MecaChap4(GeomDesMasses)

CHAPITRE 4. GOMTRIE DES MASSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.1 -4.1. Description dun systme matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.1 -

4.1.1. Notion de point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.1 -4.1.2. Systmes matriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.1 -4.1.3. Utilit de la gomtrie des masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.1 -

4.2. Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.2 -4.2.1. Dfinition du centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.2 -

A) Expression vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.2 -B) Coordonnes du centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.3 -

4.2.2. Centre de masse et centre de gravit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.4 -A) Champ gravifique uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.4 -B) Solide homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.6 -

4.2.3. Systmes rectilignes et systmes plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.7 -4.2.4. Systmes symtrie matrielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.11 -4.2.5. Principe de subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.13 -4.2.6. Thormes de Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.15 -

A) Premier thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.15 -B) Second thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.17 -

4.3. Moments dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.19 -4.3.1. Dfinitions du moment dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.19 -4.3.3. Thorme dHuyghens (ou de changement daxes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.22 -4.3.4. Rayon de giration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.23 -4.3.5. Moment dinertie polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.23 -4.3.6. Produit dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.25 -4.3.7. Moments dinertie par rapport toutes les droites issues dun point . . . . . . . . - 4.26 -4.3.8. Cas particuliers : les systmes plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.27 -4.3.9. Ordre de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4.29 -

Version du 2 janvier 2015 (11h22)

CHAPITRE 4. GOMTRIE DES MASSES

4.1. Description dun systme matriel

4.1.1. Notion de point matriel

Les objets matriels qui, dans certaines circonstances, peuvent tre considrs comme petits etdont la position sera repre avec suffisamment de prcision par trois coordonnes, seront appels despoints matriels (les circonstances sont parfois telles quun objet, norme notre chelle, le soleil parexemple, puisse tre considr comme petit au sens ci-dessus). On appelle ainsi point matriel un pointdou de masse. Ce concept est donc une idalisation, souvent utile, de la notion familire dobjet matriel.

4.1.2. Systmes matriels

On appelle systme de points matriels, ou plus simplement systme matriel, tout ensemble(fini ou non) de points matriels. Dans le cas des systmes constitus dun nombre fini de points, onappelle masse m du systme matriel la somme des masses mi de chacun de ses n points :

m mii

n

=

=

1

Dans les cas o on est amen idaliser un objet par un ensemble de points matriels trsnombreux et trs rapprochs les uns des autres (en faisant par exemple correspondre un point matriel chaque atome de lobjet), on facilitera les calculs pratiques en adoptant une reprsentation continue dusystme, en associant chaque lment diffrentiel d (lment dune courbe, dune surface ou dunvolume) une masse lmentaire :

dm d=

tant la masse unitaire (respectivement par unit de longueur, ou par unit de surface, ou par unit devolume).

La masse totale du systme matriel S aura ainsi lexpression :

m dm dS S

= = 4.1.3. Utilit de la gomtrie des masses

La gomtrie des masses regroupe les dfinitions et la recherche des proprits dun certainnombre de paramtres caractrisant les systmes matriels. A tout systme matriel on associe un pointappel centre de masse et dont la connaissance fournit une information globale sur la situation du systme(le centre de masse est une sorte de point moyen du systme). A tout systme on associe aussi une famillede paramtres appels moments et produits dinertie, qui caractrisent la dispersion (ou inversement laconcentration) des points du systme autour dun point, dune droite ou dun plan donns. Le centre demasse, les moments et produits dinertie donnent donc une ide sommaire de la situation et de laconfirmation du systme. On verra quen plus de leur rle de caractrisation globale des systmes, lesparamtres tudis dans la gomtrie des masses jouent un rle fondamental et tout fait prcis dansltude dynamique des systmes.

J-P. Bauche - R. Itterbeek Mcanique - Gomtries des masses Page - 4.1 -

4.2. Centre de masse

4.2.1. Dfinition du centre de masse

A) Expression vectorielle

Considrons le systme des n points Ai ( ) et associons chacun de ces points une masse1 i nnon nulle mi, par dfinition positive.

Remarque :Il peut tre utile de traite certains problmes en y admettant partiellement des points

masse ngative, condition que : , non nul, m tant la masse totale dum mii

n

=

= >1

0

systme).

On peut dfinir un point G par la relation :

m OG m OAi ii

n

=

=1

soit encore :

OG

m OA

m

m OA

m

i ii

n

ii

n

i ii

n

=

=

=

= =

1

1

1(q. 4.7.)

Remarque :Cest la formule de laxe central pour des forces parallles.

Ce point G est indpendant du point O qui sert dfinir : en effet soit et G1 le pointO O1 analogue G mais dtermin partir de O1 :

fig. 4.1. - Dfinition.


m O G m O A

m O O OG m O O OA

m O O m OG m O O m OA

i i

i

i i i

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

=

+

= +

+ = +

= = m OG m OA m OGi i1

et ainsi G1 concide avec G.

Le point G est ds lors dfini sans ambigut; on lappelle centre de masse, ou encore centredinertie, ou barycentre.

Remarques :1) On peut encore dfinir G de faon intrinsque (cest--dire indpendamment du point

de rfrence O) par la relation :

m GAi i = 0

ce qui revient faire concider lorigine du systme daxes avec G.

2) Pour les rpartitions continues de masses, les formules ci-dessus restent valables, condition de substituer aux sommes des intgrales :

m OG OA dm OA dS S

= = d tant un lment diffrentiel de courbe (fig. 4.2.a), de surface (fig. 4.2.b) ou devolume (fig. 4.2.c) de masse unitaire , localis en A.

B) Coordonnes du centre de masse

Elles sont immdiates trouver, partir de la formulation vectorielle : pour un systme de npoints Ai, on a :

xm xm

ym ym

zm zmG

i AG

i AG

i Ai i i= = = ; ;

fig. 4.2. - Position du centre de masse.


De mme, pour un systme continu S, on aura :

xx dm

my

y dm

mz

z dm

mGS

GS

GS

= = =

; ;

4.2.2. Centre de masse et centre de gravit

A) Champ gravifique uniforme

Soit un systme de n points matriels Ai. Sous laction de la pesanteur, chaque point Ai de massemi est soumis laction dune force (poids du point). La rsultante de ces forces :

piP

pi P pi

i

n

=

=

1

doit tre applique sur son axe central.

Cest lquivalent de la recherche de laxe central.

Si on suspend le systme en un point A1 (quelconque), en le laissant pendre sous laction de lapesanteur, il va prendre sa position dquilibre (fig. 4.3.a); soit d1 la verticale mene par A1.

On suspend ensuite le systme par le point A2, et, lquilibre, on mne cette fois la verticale d2par A2 (fig. 4.3.b). Dans le cas o le systme est plac dans un champ gravifique uniforme (vecteuracclration de la pesanteur, , constant en grandeur et en direction), on constate que d1 et d2 se coupent,

gen un point qui concide avec le centre de masse G (et, comme le choix de A1 et A2 est arbitraire, on peuten dire autant si on suspend le systme par un autre point, par exemple A3; lquilibre, la verticale d3trace par A3 passe aussi par G).

Dfinition : On appelle centre de gravit le point dapplication de la rsultantede ces forces de pesanteur.

fig. 4.3. - Postion.


En effet, suspendre le systme en A1 et mener la verticale d1 revient en fait considrer en touspoints Ai du systme des vecteurs poids . Si le champ gravifique est uniforme, ces vecteurs sont

p m gi i=tous parallles la verticale (fig. 4.5.).

Leur rsultante situe sur son axe central, doit passer par le point A, afin P p m gi

i

n

ii

n

= =

= =

1 1

de former avec la raction dappui un systme de deux forces quivalent zro ( et doiventf A1

P

f A1

tre des vecteurs rciproques). Or la droite d1, qui est donc laxe central des forces , admet pourpi

quation (voir 3.2.3. thorme de Varignon) :

xx p

P

x m g

m g

x m

m

yy p

P

y m g

m g

y m

m

di i x

x

i i i i

di i y

y

i i i i

1

1

= = =

= = =

(q. 4.26.)

(la simplification par g ne pouvant se faire que si le champ gravifique est uniforme).

Ceci prouve bien que G, centre de masse, se trouve sur d1 (puisque ses trois coordonnes vrifientles deux quations ci-dessus). De mme, on montrerait que G appartient d2, d3, ... di. Le centre de gravitdun systme matriel, sous lhypothse nonce, est ainsi confondu avec le centre de masse.

Remarque :La gnralisation pour les systmes continus est immdiate (il suffit de remplacer lesigne somme 3 par intgrale *, et on retrouve les expressions de 4.2.1.B)).

fig. 4.4. - Expression analytique de la position.


Application 4.1. Dterminer le centre de masse dun solide S constitu dun huitime de sphre pleinehomogne, de rayon r0.

B) Solide homogne

Un systme S est dit homogne si sa masse unitaire (par unit de longueur, ou par unit desurface, ou par unit de volume) est constante pour tout lment diffrentiel d. Dans ce cas, on peutcrire (pour les systmes continus par exemple) :

xx dm

dm

x d

d

x d

d

yy dm

dm

y d

d

y d

d

zz dm

dm

z d

d

z d

d

GS

S

S

S

S

S

GS

S

S

S

S

S

GS

S

S

S

S

S

= = =

= = =

= = =

ce qui signifie que pour un solide volumique homogne, par exemple, le centre de masse est confonduavec le centre de volume.

Remarque :Dans la suite du texte, et sauf mention explicite du contraire, nous considrerons lessystmes matriels envisags comme homognes et placs dans un champ gravifiqueconstant.

Solution :Calculons dabord la position du centre de gravit en x

Application de la formule de base avec (ici et constant) :dm dV= = V

xx dm

dm

x dV

dV

x dV

dVG

S

S

S

S

S

S

= = =

et prenons pour dV le plus grand lmentdiffrentiel associ une valeur de x donne :

dV r dx= 14

2

avec, dans le triangle OPQ, la relation, sachantque :

OP r

OQ xr r x

=

=

= 2 02 2

et ds lors :

fig. 4.5. - Application 4.1.


( )x dV x r xr x x r r r

S

r

r r

= =

=

=

4

4 2 4 4 2 4 16

02 2

0

02

2

0

4

0

04

04

04

0

0 0

On trouve ainsi pour xG :

xx dV

dV

r

r

rG

S

S

= = =

04

03

01643

8

38

Un calcul analogue, suivant x et y, donnerait exactement les mmes valeurs :

x y z rG G G= = =38

0

4.2.3. Systmes rectilignes et systmes plans

Si un systme de n points matriels est contenu dans une droite (respectivement un plan), le centrede masse G de ce systme appartient la droite (respectivement au plan) en question.

Autrement dit :

< si 2D : on prend Oxy dans le plan de la figure = =z m zG i Ai0

< si 1D : On prend Ox suivant la figure linaire = = = = y z m y m zG G i A i Ai i0

Soient Ai les points de masse mi, tels que :m mi= > 0

Supposons que ces points soient contenus dans la droite d dfinie par le point O et le vecteurunitaire (fig. 4.6.). On a donc :

1d

(i est un rel)OAi i d

= 1

fig. 4.6. - Systme rectiligne.


Application 4.2. Dterminer le centre de masse de deuxpoints A1 (masse m1) et A2 (masse m2).

De l on tire :

m OG m OA mi i i i d

= = 1soit encore :

OGmm

i id

= 1

ce qui prouve que G appartient bien la droite d.

Pour le cas du systme plan, la dmonstration est analogue ( partir de deux vecteurs nonparallles du plan, et ).

1d

1e

Remarque :Pour des systmes disposs suivant une courbe non rectiligne (respectivement unesurface non plane), le centre de masse nappartient pas ncessairement cette courbe(respectivement cette surface). Le centre de masse nest pas ncessairement un despoints matriels du systme.

Solution :Prenons lorigine O de la droite d confondue avec A1 :

ds lors :

OG m OA m OAm m

m OAm

=

+

+=

1 1 2 2

1 2

2 2

( )

=

=

+ = + =

m OG m OA

m A G m A A

m m A G m A G GAA G

A G

mm

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 21

2

2

1

En particulier, si le centre se trouve au milieu du segment; sinon il est toujours le plusm m1 2=prs de la masse la plus lourde. (Rgle des segments inverses).



Application 4.3. Dterminer la position du centre de massedune surface A homogne constitue dun quart de disquede rayon r0.

Application 4.4. Dterminer le centre de masse dunquart de circonfrence homogne, de rayon r0.

Solution :Choix du repre

Pour une surface plane, on sait que G appartient auplan qui la contient; soit Oxy ce plan : il suffit dedterminer xG et yG. Soit :

yy dA

dA

y dA

rGS

S

S= =

0

2

4avec dA le plus grand lment diffrentiel associable la coordonne y :

dA AB dy=avec :

AB r= 0 cosy r dy r d= =0 0sin cos

ce qui donne :

y dA r d

r r

S =

=

=

03 2

0

2

03

3

0

2

03

3 3

sin cos

cos

et ds lors :

y rr

rG = =

03

02

034

43

On trouverait la mme valeur pour xG, par un calcul analogue (existence dun axe de symtrie).

Solution :Remarque :

La circonfrence (qui ne doit pas tre confondueavec un disque !) est une courbe non rectiligne; lecentre de masse nappartiendra donc pasncessairement cette courbe. Il faut ainsi calculerles deux coordonnes xG et yG.

Application de lquation de base

xx dl

dl

x dl

rGS

S

S= =

0

2avec :




(ou : )dl r d= 0 dl dx dy= +2 2

x r= 0 coset donc :

[ ]x dl r d r rS = = =02 0 2 02 0 2 02cos sin

ce qui entrane :

x rr

rG = =

02

0

0

22

On trouverait la mme valeur pour yG (axe de symtrie 45 par rapport Ox).

Le point G ( ; ) nest donc pas un point de la courbe elle-mme.2 0r

2 0r


4.2.4. Systmes symtrie matrielle

On appelle lment de symtrie matrielle dun systme, tout lment de symtrie (centre, axeou plan) du systme condition que deux points quelconques qui se correspondent soient affects de lamme masse (symtrie gomtrique et massique).

Si un systme de n points matriels possde un lment de symtrie matrielle, le centre de massedu systme appartient llment de symtrie.

En effet, pour un systme possdant un lment de symtrie matrielle, si le centre de masse Gnappartenait pas cet lment, il lui correspondrait son symtrique G, qui serait aussi centre de masse(fig. 4.10.). Or, le centre de masse est unique; il ne peut donc pas ne pas appartenir llment desymtrie du systme. (Cette proprit justifie notamment le rsultat trouv aux exemples 4.3. et 4.4.).

La figure fig. 4.11. regroupe quelques systmes dont on peut ainsi directement dterminer lecentre de masse.

fig. 4.10. - Systme symtrie.

fig. 4.11. - Systmes symtrie.


Application 4.5. Dterminer le centre de masse duncne de rvolution, homogne, de rayon de base r0 et dehauteur h.

Solution :Position du systme daxe

Le centre de masse appartient laxe de symtriedu cne; plaons ds lors notre systme daxesavec Oz confondu avec laxe de symtrie, do :

x yG G= = 0Il reste calculer zG.

Application de lquation de base

zz dV

dV

z dV

r hGS

S

S= =

0

2

3avec :

dV r dz= 2

o :

( )rh

rh z

r h z rh

0 0=

=

et donc :

( )( )

z dV z r dz

rh

h z h z z dz

rh

h z h z z

rh

h h h

r h

S

h

h

h h h

=

= +

=

+

= +

=

2

0

02

22 2 3

0

02

22

2

0

3

0

4

0

02

2

4 4 4

02 2

2

22

3 4

22

3 4

12ce qui nous donne :

z r hr h

hG = =

02 2

02

123 4



Application 4.6. Dterminer la position du centre de massedune plaque homogne en forme dquerre, de dimensionsprcises ci-contre.

4.2.5. Principe de subdivision

Si un systme S de n points matriels Ai peut se subdiviser en un nombre fini de sous-ensemblesdisjoints, son centre de masse sobtiendra partir des centres de masse des sous-ensembles, chacun deceux-ci tant dot de la masse totale du sous-ensemble.

Cest videmment un cas particulier de lexpression (q. 4.7.).

Premire solution :Constatons que la symtrie matrielle de la pice entrane

.x yG G=

Principe de subdivisionDcomposons la surface en deux rectangles A1 et A2,de centres de masses et de surfaces immdiatementconnus :

A a b1 =avec :

et x bG1 2= y aG1 2

=

et( )A a b b2 =

avec :

et x a a bG2 2=

y

bG2 2

=

Application de la formule de base

( ) ( )( ) ( )

xA x A x

A A

a b b a b b a a b

a b a b b

a a b ba b

GG G

=

+

+

=

+

+

=

+

1 2

1 2

2 2

1 2

2 2

4 2En appliquant la formule pour yG, on trouve la mme valeur que pour xG.


fig. 4.14. - Premire solution.


Deuxime solution :Principe de subdivision

Il est galement possible de dcomposer lquerre enun carr A3 (de ct a) moins un carr A4 (de ct

), de centres de masse respectifs G3 et G4. Ceci( )a brevient dire quil faut considrer A4 comme unesurface ngative :

A a32

=

avec :

x y aG G3 3 2= =

et

( )A a b4 2= avec :

( )x y

a bG G4 4 2

= =

+

Application de la formule de base

( )( )( )( )

xA x A x

A A

a a a b a b

a a b

a a b ba b

GG G

=

+

+

=

+ +

+

=

+

1 2

1 2

2 2

2 2

2 2

1 2

2 2

4 2Ce qui confirme le premier rsultat.

Troisime solution :Calcul intgral

Le mme rsultat aurait pu tre obtenu par calculintgral, comme prcdemment : sans dtailler tous lescalculs, on peut crire :

[ ] [ ]

xx dA

dA

x a dxdA

x b dxdA

a dx b dx

a x b x

a x b x

a a b ba b

GA

A

b

b

a

b

b

a

b

b

a

b

b

a

= =

+

+

=

+

+

=

+

1

0

2

0

2

0

2

02 2

2 2

4 2Et de mme pour yG.

fig. 4.15. - Deuxime solution.

fig. 4.16. - Troisime solution.


Quatrime solution :Graphostatique

Remarquons que G peut tre dtermin de faonpurement graphique : il appartient llment desymtrie matrielle (par 4.2.3.B) et appartient ladroite joignant G1 G2 (par 4.2.3.A).

Dautres dcompositions auraient pu convenir (endeux autres rectangles, ou en trois rectangles...).

4.2.6. Thormes de Guldin (1)

A) Premier thorme

Considrons un arc de courbe l homogne, dans le plan Oyz, et ne traversant pas laxe Oz (fig.4.19.). En faisant tourner cet arc de courbe autour de laxe Oz, on engendre une surface de rvolution dontlaire Al vaut :

A r ll G= 2

: reprsentant la longueur de la circonfrence dcrite par G, centre de masse de2 rGla courbe l (le centre de gravit G ne ce trouvant pas ncessairement sur lacourbe l).

fig. 4.17. - Quatrime solution.

fig. 4.18. - Premier thorme de Guldin : principe.

(1) Guldin Paul (Guldin Habakuk) , (1577 [Mels] - 1643 [Graz] : jsuite suisse, astronome et mathmaticien.


Application 4.7. Dterminer le centre de masse dun quart de circonfrence homogne de rayon r0 (voirapplication 4.4.).

Application 4.8. Recherchez la surface latrale dun tore(surface dune chambre air) dont on connat :< le rayon de la circonfrence r m= 010.< le rayon denroulement .R m= 0 25.


Dmonstration :En effet, un lment darc dl engendre un tronc de cne dont laire latrale dA vaut :

dA y dl= 2 On obtient ds lors :

A y dl ll

y dl

yl yl r

ll l

g

G

G

= =

=

=

2 2 1

22

Solution :La pice est symtrique :

x yG G=

Appliquons le thorme de GuldinEn faisant tourner le quart de circonfrence autour de Oy, onengendre une surface hmisphrique :

( )A r l

r x rL G

G

=

=

212

4 220

2 0

ce qui donne :

x r yG G= =2 0

dj trouv prcdemment.

Solution :Appliquons Guldin

fig. 4.19. -

Premier thorme de Guldin :La surface de rvolution engendre par une ligne tournant autour dun axe, situdans son plan et ne la traversant pas, est gal au produit de la longueur de la lignepar la circonfrence que dcrit son centre de masse.



( )A r l

R r R r

m

G=

= =

= =

22 2 4

4 0 25 01 0 99 1

2

2 2

. . .

B) Second thorme

V r AA G= 2

Dmonstration :Un lment de surface dA engendre par sa rotation un volume lmentaire :

dV y dA= 2 et ainsi, on obtient :

V y dA AA

y dA

yy Ar A

AA A

G

G

G

= =

=

=

2 2 1

22

Remarques :1) On peut videmment, par Guldin,

< soit trouver rG si on connat le volume< soit trouver le volume, si on connat rG

2) Pas de troisime thorme de Guldin... car si on fait tourner un volume nous avons la 4imedimension...

Second thorme de Guldin :Le volume de rvolution engendr par une surface tournant autour dun axe, situdans son plan et ne la traversant pas, est gal au produit de laire de cette surfacepar la circonfrence que dcrit son centre de masse.

fig. 4.22. - Second thorme de Guldin : principe


Application 4.9. Dterminer la position du centre de masse dun quart de disque homogne de rayonr0 (voir application 4.3.).

Solution :La pice est symtrique :

x yG G=

Appliquons le thorme de GuldinEn faisant tourner le quart de disque autour de Oy, onengendre un volume hmisphrique :

V r A

r x rA G

G

=

=

2

12

43

240

3 02

ce qui donne :

x r yG G= =43

0

dj trouv prcdemment.



4.3. Moments dinertie

4.3.1. Introduction

Le centre de masse (gravit) permet de rduire un solide (surface ou ligne) en un point.

Cependant, la rpartition des masses (surfaces, lignes) autour de ce centre de masse aussi sonimportance. Cest la notion de moment dinertie.

En effet, par exemple, deux masses de 1 kg sparer de 1 m va ragir diffremment sa miseen rotation que si le deux masses taient spares de 2 m. Pour tant le systme mme centre de gravit.

En rsistance des matriaux, disposer une poutre rectangulaire plat ou sur sa tranche, auraun effet direct sur la dforme de celle-ci.

4.3.1. Dfinitions du moment dinertie

On appelle moment dinertie du systme par rapport un lment de rfrence r, qui peut treun point, une droite, ou un plan, la somme des produits des masses lmentaires du systme par le carrde leur distance llment de rfrence r. Soit :

kgm2J m dr i ii

n

=

=

21

Le moment dinertie caractrise ainsi grossirement la dispersion des masses autour de llmentde rfrence : il est dautant plus grand quil y a plus de masses leves grande distance de llmentde rfrence r (point, droite ou plan, selon le cas).

Dans le cas dun systme matriel S continu, nous aurons la dfinition suivante :

kgm2J d dmrS

= 2

dans laquelle d dsigne la distance de la masse lmentaire dm llment de rfrence r (dans le cas dela figure fig. 4.24. r est un axe).

fig. 4.24. - Moment dinertie.


Application 4.10. Trois points matriels de masses 3, 5 et 2 kilogrammes sont situes respectivementaux points A (-1; 0; 1), B (2; 1; 3) et C (-2; 2; 1). Les coordonnes sont en mtres. Trouver lesmoments dinertie par rapport chacun des axes de coordonnes.

Application 4.11. Calculer le moment dinertie duncylindre plein homogne, de hauteur h et de rayon r0,par rapport au plan Oxy. Le systme daxes est centren G, centre de masse du cylindre. Calculer ensuite lemoment dinertie de ce cylindre par rapport laxeOz.

Solution :Moment dinertie par rapport laxe x :

Par dfinition :

( ) ( ) ( ) ( )J m y zkgm

x i i i= + = + + + + +

=

2 2 2 2 2 2 2 22

3 0 1 5 1 3 2 2 1

63

Moment dinertie par rapport laxe y :Par dfinition :

( ) ( ) ( ) ( )J m x zkgm

x i i i= + = + + + + +

=

2 2 2 2 2 2 2 22

3 1 1 5 2 3 2 2 1

81

Moment dinertie par rapport laxe z :Par dfinition :

( ) ( ) ( ) ( )J m x ykgm

x i i i= + = + + + + +

=

2 2 2 2 2 2 2 22

3 1 0 5 2 1 2 2 2

44

Solution :Moment dinertie par rapport au plan Oxy

La masse volumique tant constante, on peut crire :( )dm r dz= 02

Appliquons la dfinition :

( )J z dm z r dzr z dz

r h m h

Oxy h

h

h

h

h

h

= =

=

= =

+

+

+

2

2

2 202

2

2

02 2

2

2

02

3 2

12 12

m reprsentant la masse totale du cylindre.


fig. 4.26. - Rsolution.


fig. 4.27. - Rsolution.

Moment dinertie par rapport laxe OzAppliquons la dfinition :

( )J r dm r r h drh r dr

h r m r

zS

r

r

= =

=

= =

2 2

0

3

0

04

02

2

2

2 2

0

0


fig. 4.28. - Mouvement plan du solide.

4.3.3. Thorme dHuyghens (ou de changement daxes)

De par la dfinition du moment dinertie, on remarque que les valeurs des moments dinertie dunsystme matriel S dpendent du point (ou droite, ou plan) par rapport auquel on les calcule.

Soient a et aG deux droites parallles, aG tant la droite passant par le centre de masse G du solideS fig. 4.28..

Par chaque point Ai, conduisons un plan perpendiculaire ces deux droites, et appelons Bi et Ciles points de perce respectifs. Le vecteur est identique pour chacun des points Ai : soit . C Bi i

C B di i

=

Ds lors, par construction et par dfinition du produit scalaire, on a :

J m A B

m A B A B

m A C C B A C C B

m A C A C

m A C

m C B

d

C B m A C C B

J m d m A C

a i i i

i i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i

i i i

i i i

aaG

i i i i i i i

a aa i i iG G

=

=

= +

+

=

+ +

= + +

2

2

2

2

2

0

C Bi i

nest autre que la projection sur un plan normal aG de la relation de dfinitionm A Ci i i = 0

du centre de masse. Autrement dit : les masses sont rparties de faon gales autour du centre de masseG.

Ds lors :

J J m da a aaG G= +2


Application 4.12. Calculer le moment dinertie dun cylindre pleinhomogne, de hauteur h et de rayon r0, par rapport a un axe a tangent une gnratrice du cylindre.

fig. 4.29. - Application4.12.

Dfinition :

Remarque :JaG porte aussi le nom d inertie propre

On en dduit limportante proprit : de tous les moments dinertie dun systme par rapport tous les points de lespace, le plus petit est celui calcul par rapport au centre de masse.

Le centre de masse est donc le point (manifestement unique) qui rend minimum le momentdinertie par rapport lui.

Solution :Application du thorme dHuyghens :

J J m da Oz a Oz= +2

Pour le calcul de Joz voir application 4.11.Do :

( )J m r m r m ra = + =02

02

02

232

4.3.4. Rayon de giration

Pour un systme de masse totale m et de moment dinertie Jr par rapport un point (une droite,un plan), on appelle rayon de giration par rapport ce point (cette droit, ce plan), la longueur ig r dfiniepar :

miJmg r

r=

Il exprime la distance laquelle il faudrait placer toute la masse m par rapport au centre degravit de la section afin davoir une inertie quivalente.

4.3.5. Moment dinertie polaire

Le moment dinertie polaire est le moment dinertie par rapport un ple O (point), gnralement le centre du systme daxes utiliss.

Le moment dinertie dun systme matriel par rapport une droite a est gale son moment dinertie par rapport une droite parallle la premire et passant parson centre de masse, major du moment dinertie par rapport la droite initiale dupoint matriel concidant avec le centre de masse et affect de la masse totale dusystme.


De par la dfinition du moment dinertie, le moment dinertie polaire scrit :

J dm ou mOS

i ii

= 2 2

Sachant que , le moment dinertie polaire peut aussi sexprimer par la demi 2 2 2 2= + +x y zsomme des 3 moments dinertie par rapport aux 3 axes orthogonaux passant par le ple O :

( ) ( )J x y z dm J J JOS

Ox Oy Oz= + + = + + 2 2 2 12En effet : on verra plus tard....


4.3.6. Produit dinertie

Il sera utile aussi pour la suite de dfinir les trois produits dinertie Jxy, Jyz et Jzx, soit :

J x y dm ou x y m

J y z dm ou y z m

J z x dm ou z x m

xyS

i i ii

n

yzS

i i ii

n

zxS

i i ii

n

=

=

=

=

=

=

1

1

1

Le produit dinertie, par exemple Jxy, reprsente le degr de symtrie (de masse) par rapportaux axes, dans ce cas-ci Ox et Oy. Autrement dit, si laxe Ox et/ou Oy est un axe de symtrie, on peutdmontrer que le produit dinertie .J xy = 0

En effet, si un systme possde un axe de symtrie matrielle et quon prenne cet axe pour Oy,le produit dinertie :

J x y mxy i i ii

n

=

=

1

est une somme de termes que lon peut regrouper par paires :

( )x y m x y mi i i i i i= sannulant mutuellement. Nous avons donc . Et pour une raison analogue . On peutJ xy = 0 Jyz = 0dmontrer que cet axe de symtrie (qui par ailleurs porte le centre de masse) est un axe central principaldinertie (A.C.P.I.) (voir 4.3.7.).

On peut aussi appliquer le thorme de Huyghens (changement daxes) aux produits dinertie cequi donne que:

J J m d dab ab propre aa bbG G= +

Le produit dinertie dun systme par rapport un systme daxes sont gaux auxproduits dinertie par rapport un systme daxes parallles aux premiers maisissus du centre de masse, majors des produits dinertie par rapport aux axesprimitifs du point matriel qui concide avec le centre de masse et a pour masse lamasse totale du systme.


fig. 4.30. - Moment dinertie par rapport aux droites issues dun point.

4.3.7. Moments dinertie par rapport toutes les droites issues dun point

Soit un tridre Oxyz et une droite a passant par O (fig. 4.30.).Si est le vecteur unitaire de la1a

droite a, ses composantes vaudront :

a

a

a

x a

y a

z a

= =

= =

= =

1

1

1

cos cos

cos cos

cos cos

Le moment dinertie par rapport la droite a vaut :

J m d m A B

m OA OA

a i i i i i

i a i a i

= =

=

2 2

1 1

En effet : 1 1 1a i a i a i iOA OA A B = =

sin

Et donc en dveloppant :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

J m a z a y a x a z a y a x

ma y z a z x a x y

a a y z a a z x a a x y

a i y i z i z i x i x i y i

ix i i y i i z i i

y z i i z x i i x y i i

= + +

=

+ + + + +

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

J J J JJ J J

a Ox Oy Oz

xy yz zx

= + +

=

cos cos coscos cos cos cos cos cos

2 2 2

2 2 2

(q. 4.128.)


fig. 4.31. - Systmes plans.

Ja varie ainsi avec la direction de la droite a.

On dmontrera (plus tard, un jour ...) quil existe trois directions (orthogonales entre elles) parmitoutes celles issues du point O, pour lesquelles le moment dinertie correspondant est un extremum local.Ces trois directions sont appeles axes principaux dinertie en ce point.

Si le point considr est le centre de masse G, ces trois directions seront appeles axes centrauxprincipaux dinertie (en abrg A.C.P.I.).

4.3.8. Cas particuliers : les systmes plans

Le cas des systmes plans est singulirement important : on verra dans le cours de Rsistance desMatriaux pour quelles raisons on est amen devoir connatre des moments dinertie de figures planes,qui sont en gnral des sections de poutre.

Prenons pour plan Oxy le plan de la figure. Une surface plane tant par dfinition continue, onva associer chaque point A (x; y) (sa coordonne en z tant toujours nulle), un lment de masse

, avec dA lment infinitsimal de surface (fig. 4.31.).dm dV l dA= =

Si le matriau est homogne, isotrope et que la surface , par principe, une paisseur constante(nulle) on prendra ds lors comme dfinitions :

Remarque :On utilisera comme symbole pour le moment dinertie plan I; J tant rserver poursymboliser le moment dinertie de masse.

1) de moments de surface (moment dinertie statique) :

(m4)I y dA

I x dA

xS

yS

=

=

2

2

2) de produit dinertie :

Dautre part :I x y dAxyS

= I Iyz zx= = 0


fig. 4.32. - A.C.P.I

Remarque :Le produit dinertie si Ox et/ou Oy est un axe de symtrie.I xy = 0

3) dinertie polaire :

Avec :( )I I I IO x y z= + +12 I I Iz x y= +Y I I IO x y= +

4) du thorme dHuyghens :

I I A da aG aaG= +2

Dfinition :

5) daxes centraux principaux dinerties :

Si on veut connatre le moment dinertie par rapport la droite a, passant par 0, il suffitdappliquer la formule du paragraphe 4.3.7. (q. 4.128.) en constatant que et que = 2 = 2(fig. 4.32.) :

( )I I I Ia x y xy= + cos sin sin2 2 2 (q. 4.140.)La droite a sera un axe principal dinertie si Ia est soit maximum, soit minimum. Sa direction peut tre dtermine :

Le moment dinertie dun systme matriel par rapport une droite a est gale son moment dinertie par rapport une droite parallle la premire et passant parson centre de masse, major du moment dinertie par rapport la droite initiale dupoint matriel concidant avec le centre de masse et affect de la surface totale dusystme.


fig. 4.33. - ACPI et axe de symtrie.

( )dId

I I Ia x y xy = = + 0 2 2 2 2cos sin sin cos cos

soit encore :( ) ( ) ( )I I Iy x xy =sin cos2 2 2

et si :I Ix y

( )tan 2 2 =

II I

xy

y x

=

+

12

22

arctanI

I Ikxy

y x(q. 4.145.)

Il y a donc deux axes principaux dinertie, passant par O, et ils sont perpendiculaires entre eux.Dans le cas o O est confondu avec G, centre de masse du systme, on en conclura quil existe deux axescentraux principaux dinertie, perpendiculaires entre eux.

Remarques :1) Si , alors ;I Ix y= = 42) Si soit laxe Ox, soit laxe Oy et un axe de symtrie

matrielle du systme, alors , et le systme daxesI xy = 0Oxy est principal dinertie:

3) Pour un systme plan possdant un axe de symtrie, cetaxe est un A.C.P.I.; le deuxime A.C.P.I. estperpendiculaire au premier, et passe par G (fig. 4.33.)

4) Si, pour un systme daxes centr en G, on a et I Ix y= I xy = 0alors, pour tout : , et il y a donc uneI I I csta x y= = =infinit dA.C.P.I. (tout axe central dinertie est principaldinertie).

4.3.9. Ordre de calcul

Lors de lanalyse des caractristiques gomtriques des figures planes aussi complexes quellessoient, le problme 1e.plus important est de dterminer la disposition des axes principaux et des valeursdes moments dinertie principaux. On peut recommander lordre suivant de dtermination de ladisposition des axes principaux et des valeurs des moments dinertie centraux principaux dune figurecomplexe compose de parties simples dont les caractristiques se dterminent plus facilement.

1. Traons un systme daxes rectangulaires arbitraire. Divisons la figure en parties simples et,au moyen des quations q. 4.26., dterminons son centre de gravit.

2. Le systme initial daxes centraux Oxy sera trac de faon simplifier au possible le calculdes moments dinertie des parties de la figure par rapport ces axes. Pour ce faire, en usantdes formules de transport des axes parallles (thorme dHuyghens) dterminons lesmoments dinertie des parties de la figure par rapport leurs propres axes centraux paralllesaux axes Oxy. De cette faon, nous obtenons les valeurs de Ix, Iy et Ixy.

3. Dterminons daprs q. 4.145. langle dinclinaison des axes centraux principaux. ACPI 1 :axe trac sous le plus petit angle (positif ou ngatif), ACPI 2 la perpendiculaire cet axe.


Application 1.13. Pour la cornire branches ingales reprsenteci-contre, dterminer la position des A.C.P.I. et les momentsdinertie correspondants (cotes en mm).

30

50

6

6


30

50

6

6

G1

G2

1

2

x

y

G

xAC

yAC

ACPI 1

ACPI 2

alpha

fig. 4.35. - Schma pour la rsolution.

4. Au moyen de l q. 4.140. dterminons les valeurs des moments dinertie centraux principauxIACPI 1 et IACPI 2.

Solution :Dtermination du centre de gravit

1. Traons un systme daxes rectangulaires arbitraire.Divisons la figure en parties simples et, au moyen desquations q. 4.26., dterminons son centre de gravit.

Dans notre cas : systme daxe Oxy et rectangle 1 etrectangle 2 (voir figure ci-dessous).Ensuite calcul du centre de gravit G voir tableau Excel,partie suprieure.


2. Le systme initial daxes centraux Oxy sera trac de faon simplifier au possible le calculdes moments dinertie des parties de la figure par rapport ces axes. Pour ce faire, en usantdes formules de transport des axes parallles (thorme dHuyghens) dterminons lesmoments dinertie des parties de la figure par rapport leurs propres axes centraux paralllesaux axes Oxy. De cette faon, nous obtenons les valeurs de Ix propre, Iy propre et Ixy propre.

Dans notre cas : on prends le systme daxe OxACyAC comme cela les moments dinertie propre

des 2 rectangles seront facilement calculable avec la formule .I b hr =3

12Pour appliquer le thorme dHuyghens, le x et y cest la variation de la position de laxe derfrence par rapport auquel on calcule le moment dinertie. Donc cest la distance entre laxex (respectivement y) passant par Gi et le nouvel axe xAC (respectivement yAC) passant par G. Lesigne est donn par le sens du dplacement (axe x (axe y) vers axe xAC axe yAC)).On appliquera la formule de changement daxe (q. 4.137.), cest--dire dans notre cas :

( ) ( )( ) ( )

I I A d

I I A d

x AC x propre i y i

y AC y propre i x i

= +

= +

2

2

3. Dterminons daprs q. 4.145. langle dinclinaison des axes centraux principaux. ACPI 1 :axe trac sous le plus petit angle (positif ou ngatif), ACPI 2 la perpendiculaire cet axe.

Dans notre cas : la formule devient : =

12

2arctan

II I

xy AC

y AC x AC

4. Au moyen de l q. 4.140. dterminons les valeurs des moments dinertie centraux principauxIACPI 1 et IACPI 2.

Dans notre cas : la formule devient :

( )

( ) ( ) ( )( )I I I I

I I I IACPI x AC y AC xy AC

ACPI x AC y AC xy AC

12 2

22 2

2

2 2 2 2

= +

= + + + +

cos sin sin

cos sin sin


Titre :

i Objet Ai (mm2) xi (mm) yi (mm) Ai xi (mm

3) Ai yi (mm3)

1 Rectangle 1 264,00 3,00 28,00 792,00 7392,00

2 Rectangle 2 180,00 15,00 3,00 2700,00 540,00

444,00 3492,00 7932,00

xG = (mm)

yG = (mm)

Ix propre Iy propre dx i = x dy i = y Ai dx i2 Ai dy i2 Ixy propre Ai dx i dy i(mm4) (mm4) (mm) (mm) (mm

4) (mm4) (mm4) (mm4)

1 42592,00 792,00 4,86 -10,14 6248,06 27118,33 0,00 -13016,80

2 540,00 13500,00 -7,14 14,86 9163,83 39773,56 0,00 -19091,31

43132,00 14292,00 15411,89 66891,89 0,00 -32108,11

Ix AC = (mm4) Ixy AC = (mm

4)

Iy AC = (mm4) a lpha = (rad)

a lpha = (degr)

IACPI 1 = (mm4)

IACPI 2 = (mm4)

i

110023,89 -32108,11

Equerre branches ingales

7,865

17,865

121281,36

18446,42

29703,89 0,34

19,32


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MecaChap4(GeomDesMasses)

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