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Matériaux Composites

Prof. Rafic YOUNESMaster Mécanique 3M

Beyrouth – 2008

Pli Unidirectionnel

Théorie de l’homogénéisationVolume élémentaire représentatifModèle Série et Modèle Parallèle Bibliographie des modèles d’homogénéisationLe Méthode de BeltramiModules hors axes principaux Bornes sur les modules homogénéisésComparaison des différentes théories

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Théorie de l’homogénéisation

L’analyse de la réponse mécanique des milieux hétérogènes est compliquée.

Toutefois, la réponse mécanique qu'on cherche est souvent une réponse à une échelle macroscopique (un déplacement, une énergie de déformation etc.).

Il s'agit d'un problème d'homogénéisation: le milieu hétérogène est homogénéisé à un milieu homogène mécaniquement équivalent.

Théorie de l’homogénéisation

Dans le cas des composites renforcés par des fibres, le but des théories d'homogénéisation est celui, une fois connues les caractéristiques mécaniques des phases et la fraction volumique des fibres, de prédire les caractéristiques mécaniques homologues d'un solide homogène équivalent, qui reste toutefois, dans le cas en objet de fibre orientées, anisotrope.

Un concept commun à toutes les théories d'homogénéisation est celui de volume élémentaire représentatif.

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Volume élémentaire représentatif

C’est le volume minimum à prendre en considération pour que, une fois appliquée la théorie d'homogénéisation, les résultat obtenu soit représentatif du comportement macroscopique du milieu hétérogène.

Au volume élémentaire représentatif on applique un modèle mécanique, caractéristique de la théorie d'homogénéisation choisie.

La définition du volume élémentaire représentatif peut ne pas être simple et dans certains cas elle fait l'objet d'une discussion.

Volume élémentaire représentatifLe cas qui nous intéresse ici est celui d'une couche renforcée par des fibres unidirectionnelles uniformément distribuées dans le corps de la couche.

L’identification du volume élémentaire représentatif, dans ce cas, n'est pas difficile, et peut être faite comme en figure.

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Modèle série et Modèle parallèle Modèle Série / Loi des Mélanges / Borne supérieur de Voigt:

Modèle Série / Borne inférieur de Reuss :

mmffC VMVMM ⋅+⋅=

m

m

f

f

C MV

MV

M+=

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Modèle de Hirsch :

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅+⋅

⋅⋅−+⋅+⋅⋅=

mffm

mfmmffC VMVM

MMxVMVMxM )1(

Exemple : Approche de Tsai – Pagano :

ReussCVoigtCC EEE ,, 85

83

⋅+⋅=

Modèle série et Modèle parallèle

)1( fmffLT VV −⋅+⋅= ννν

)1( fmffL VEVEE −⋅+⋅=

)1( fmffr VV −⋅+⋅= σσσDe même :

Lmf εεε ==

L

L

m

m

f

f

EEEσσσ

==Lmf

L

mm

m

ff

f

EAAF

EAF

EAF

⋅+=

⋅=

⋅ )(

L

L

mmff

mf

EF

EVEVFF

=⋅+⋅

+

)1( fmffTH VGVGG −⋅+⋅=

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Modèle série et Modèle parallèle

( )fffm

mfT VEVE

EEE

−⋅+⋅

⋅=

1

( )fffm

mfLT VGVG

GGG

−⋅+⋅

⋅=

1

Tmf σσσ == TTmmff EEE εεε ⋅=⋅=⋅

De même :

Or : Tmmff AAA εεε ⋅=⋅+⋅

( )fffm

mfTH VV −⋅+⋅

⋅=

1νννν

ν

Bibliographie des ModèlesFibres aléatoires (η = 1/3)

)1( fmffL VEVEE −⋅+⋅⋅= η

Modèle d’Ekval :

)1('fmffL VEVEE −⋅+⋅=

( ) ( )2'

'

11 mfffm

mfT VEVE

EEE

ν−⋅−⋅+⋅

⋅=

2'

21 m

mm

EEν⋅−

=

Toutefois, quantitativement cette correction n'est pas significative pour νm<1/4.

)1( fmffr VV −⋅+⋅⋅= σησσ

Modèle de Puck :

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+−−

⋅+⋅=

mf

mffm

fmT

EEEVV

EE

2111

85,01

25,12

2

ν

ν ( )( )

f

mff

fLT

GGVV

G⋅+−

⋅+=

25,1

2/1

1

6,01 ν

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Bibliographie des ModèlesModèle de Halpin – Tsai

Dans les équations de Halpin-Tsai, M représente un module parmi ET, GLT ou νTH,.

ξ =2 pour ET et ξ =1 pour GLT.

pour GLT.

Pour ce qui concerne EL et νLT, Halpin et Tsai continuent àprendre les formules de la théorie classique.

Bibliographie des Modèles

Le terme φmax qui est la fraction maximum de «packing» du renfort. Cette fraction prend différentes valeurs selon la nature de l’arrangement des fibres. Par exemple, pour un arrangement carré des fibres la fraction vaut 0,785 alors que pour un « packing » aléatoire des fibres sa valeur est donnée à 0,82. Le terme ℓ/d représente le facteur de forme de la fibre.

Modèle de Halpin – Tsai modifié

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Bibliographie des Modèles

r : Rayon de la fibre. R : Distance entre les fibres centre à centre. Af : Aire de la fibre.

Modèle de Cox (1952)

Bibliographie des Modèles

lc : Longueur critique des fibres. K1 : Facteur d’orientation de la fibre. K2 : Facteur de la longueur des fibres.

Modèle de Bowyer et Bader

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Bibliographie des Modèles

La résistance transverse d’un composite unidirectionnel (σtu) est exprimée en fonction de la qualité de l’adhésion, du module de traction de la matrice et du module transverse du composite (Nielsen et Landel 1994). Cette relation se présente sous une forme un peu différente de l’expression employée par Mallick (1997).

Modèle de renforcement selon Nielsen

Bibliographie des Modèles

la disposition des fibres n'est généralement pas régulière,mais plutôt les fibres semblent se disposer de façon aléatoire.

Modèle de Tsai avec contiguïté

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Bibliographie des Modèles

Le coefficient k est le facteur d'alignement des fibres, introduit par Tsai pour tenir compte des imperfections dans les directions des fibres; sa valeur varie surtout en fonction du processus de fabrication, varie très peu, entre 0.9 et 1.

La valeur du facteur de contiguïté C doit être déterminée expérimentalement, en fonction de la fraction volumique Vf.

Méthode de Beltrami

)1)(21(2 mm

mm

EKνν +−

=

)1)(21(2 ff

ff

EK

νν +−=

f

f

mm

f

fmmfff

fmffLT

KV

GKV

KKVV

VV−

++

−−−+−+= 11

)11)()(1()1(

ννννν

f

f

mm

f

mffffmffL

KV

GKV

VVVEVEE

−++

−−+−+= 11

))(1(4)1(

2νν

)1(2 f

ff

EG

ν+=

)1(2 m

mm

EGν+

=

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Méthode de Berthelot

)1()1()1()1(

fmff

fmffmLT VGVG

VGVGGG

++−

−++=

)

)1(

38237

1(

fm

m

mm

mf

m

fmTH

VG

G

GGG

VGG

−+

++

−

+=

κ

κ)21(3 f

ff

Eν

κ−

=

)21(3 m

mm

Eν

κ−

=

L

LT

THL

T

EGK

E 2

22

12

12

ν++

=

mm

f

mfmf

fmL

G

VGG

VKK

34

1

3)(

1

+

−+

−+−

+=

κκκ

12

−⋅

=TH

TTH G

Eν

Modules hors axes principaux

θθν

θθ 2244 sincos21sin1cos11⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⋅+⋅=

L

LT

LTTLx EGEEE

θθνθθ 2244 sincos21cos1sin11⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⋅+⋅=

L

LT

LTTLy EGEEE

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+= θθθθνν 2244 sincos111sincos

LTTLL

LTxxy GEEE

E

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= θνθνν 22 sincos

LT

LH

L

LHxxz EE

E

( ) θθνθθ 2244 sincos14222sincos11⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−+=

LTL

LT

TLLTxy GEEEGG

( )θνθ 22 sin12cos11

⋅+

+=T

TH

LHxz EGG