MCDMssp

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Décision multicritères

Hélène Fargier, Michel Lemaîtred’après beaucoup d’autres ...

[email protected]

"Décision Multicritère", 2009-2010, Sup Aéro (SSP)

1

2

1. Introduction

ISAE Décision Multi critères 1. INTRODUCTION

3

Quelques problèmes de décision et

d’évaluation

• Choisir le site d’implantation d’une usine, d’un magasin ...

• Engager du personnel.

• Acheter du matériel.

• Évaluer la qualité des fournisseurs.

• Évaluer des projets.

• Choisir une stratégie d’investissement.


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Modèle unicritère

• Modèle unicritère : Optimiser g(a), a ∈ A où g : A 7→ R

• Mathématiquement bien posé :

– Notion de solution optimale;

– Classement complet des actions;

• Économiquement mal posé :

– Un seul critère ?

– seuils de perception, ...

– Exigence de critères numériques


5

Choix d’une automobile

alternatives

Citroen Peugeot Renault Ford

prix (×1000 ∈) 22 20 21 16

critères consommation 7.1 7.0 7.2 7.8

puissance (kW) 55 65 58 55

type essence gpl gpl diesel

• le nombre fini critères

• le nombre fini d’alternatives

• aucune ne s’impose a priori (n’est meilleure sur tous lescritères)


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Exemple : choix d’un candidat

alternatives

Durant Dupont Dubois Dubosc

prétentions 53 50 53 45

critères âge 31 25 32 38

expérience 7 2 7 15

compétences moyennes top top forte


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Modèle multicritère

• Modèle multicritère : Optimiserg1(a), g2(a) . . . gn(a), a ∈ A où gi : A 7→ R

Comment optimiser sur **plusieurs** fonctions ?

Les critères sont

• Souvent contradictoires (puissance et prix)

• Exprimés dans des unités différentes (puissance et prix)

• Difficiles à mesurer quantitativement (type moteur): lescritères qualitatifs ordonnent plutôt que n’évaluent


8

Démarche générale en

décision/optimisation multicritère

• définir l’ensemble des alternatives possibles (les objets surlesquels portent la décision : candidats, ordonnancements,plans), et leurs attributs

• définir les différents points de vue sur lesquels on jugera lesalternatives, établir des préférences sur ces points de vue, lestraduire en critères (de manière ordinale ou cardinale)


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Attributs et critères

• Attribut: Caractéristique décrivant chaque objet(âge, diplôme, résultats aux tests d’aptitude, prétentions)

• Critère : exprime les préférences du décideur relativementà un point de vue (ex: compétence);Intègre la structure de préférence du décideur sur ce critère(minimiser les prétentions, maximiser la compétence)

Tableau des attributs 7→ Tableau des performances

• Généralement (et pour la suite) : attribut critère


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Démarche générale en

décision/optimisation multicritère - cont

• définir l’ensemble des alternatives possibles (les objets surlesquels portent la décision : candidats, ordonnancements,plans), et leurs attributs

• définir les différents points de vue sur lesquels on jugera lesalternatives, établir des préférences sur ces points de vue, lestraduire en critères (de manière ordinale ou cardinale)

• synthétiser une structure de préférence globale sur les alt.

• exploiter cette structure de préférence globale pour décider(algorithmes, calculs)


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Problématiques d’aide à la décision MCDM

Données: un ensemble d’alternatives, évaluées ou classées pardes critères

Problèmes:

• Sélection : Choix d’une solution (la meilleure) ou d’unensemble de (meilleures) solutions

• Affectation : Tri résultant de l’affectation de chaquealternative à une catégorie parmi n (préféfinies)

• Classement : ordonner l’ensemble des alternatives


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Plan

• Introduction

• Principes de base pour la modélisation des préférences

• Agréger puis comparer : les principales approches parfonction d’agrégation

• Comparer puis agréger : les méthodes de surclassement

• Conclusion


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Exercice 1

alternatives


prix (×1000 ∈) 22 20 21 16




Avec gpl > essence, diesel; minimiser prix et consommation,

maximiser performance

Quelles sont les meilleures solutions ? Que dire si on ne tient compte

que des critères prix et consommation ?

Représenter les alternatives dans l’espace de ces deux critères.


14

2. Principes de base

ISAE Décision Multi critères 2.PRINCIPES BE BASE

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2.1 Modélisation des préférences

Dans un problème multicritère, on distingue:

1. Les préférences locales, exprimées par les critères

2. La préférence globale du décideur sur l’ensemble desalternatives

En général, les préférence locales forment la donnée duproblème,et on cherche à synthétiser la préférence globale.

Les deux niveaux utilisent les mêmes modèles pour exprimerles préférences. Attention à ne pas les confondre.


16

Le modèle relationnel

Ce modèle décrit explicitement toutes les comparaisons deux àdeux entre alternatives.

On représente les préférences par une relation sur A: a b

signifiant que a est préféré au sens large à b.

Hypothèse minimale : est doit être réflexive (a est toujoursau moins aussi bon que a).

Le problème de classement: synthétiser un g global à partirdes critères, cad de préférences locales i, i = 1, n.


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Préférence stricte, indifférence et incomparabilité

définit 3 relations exclusives sur A :

la préférence stricte, notée ≻ : a ≻ b ⇔ a b ∧ ¬(b a)

l’indifférence, notée ∼ : a ∼ b ⇔ a b ∧ b a

l’incomparabilité, notée ≍ : a ≍ b< ⇔ ¬(a b) ∧ ¬(b a)


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Transitivité

Définition [(Quasi) Transitivité] Une relation R est transitive⇐⇒def aRb et bRc implique aRc.

Une relation est quasi-transitive⇐⇒def sa partie stricte esttransitive.

• Les relations d’indifférence ∼ (et donc les relations ) nesont pas toujours transitives

• Les relations de préférence stricte ≻ sont généralementtransitives

Par exemple dans la vie courante ?


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Critères à seuil ou "quasi critères"

Un quasi critère se défini partir d’un attribut g numérique

A maximiser : a b ⇐⇒ g(a) + q ≥ g(b) avec q > 0

i.e. a ≻ b ⇐⇒ g(a) > g(b) + q,a ∼ b ⇐⇒ |g(a)− g(b)| ≤ q

Attribut à minimiser: a b ⇐⇒ g(a)− q ≤ g(b)

(i.e. a ≻ b quand g(b)− q > g(a))

Ex: pour l’achat voiture, le critère consommation ne fait unedifférence qu’à plus de 0.1 litre aux 100.


20

Quasi critères (cont.)

La relation d’indifférence n’est pas transitive en général

Peugeot (7 l) ∼conso Citroen (7.1 l) car 7.1− 7 ≤ 0.1

Citroen (7.1 l) ∼conso Renault (7.2 l ) car 7.2− 7.1 ≤ 0.1

Mais Peugeot ≻conso Renault (car 7.2− 7.0 > 0.1)

La relation de préférence stricte obtenue par un critère à seuilest toujours transitive.


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Vote à la majorité

C’est une règle pour synthétiser la préférence globale à partirdes préférences locales ("règle de décision")

a Maj b ⇐⇒ |i, a i b| ≥ |i, b i a|

Exemple:

Votant 1: a ≻1 b ≻1 c

Votant 2: c ≻2 a ≻2 b

Votant 3: b ≻3 c ≻3 a

|1, 2| > |3| : a ≻Maj b,|1, 3| > |2| : b ≻Maj c,mais |2, 3| > |1| : c ≻Maj a


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Complétude

Définition [relation complète)] Une relation est complète

⇐⇒def a b ou b a pour tout a et b.

est complète ⇐⇒ ≍ est vide.

Un critère à seuil définit une préférence locale complète

Le vote à la majorité définit une préférence globale complète


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La règle d’unanimité

Une règle de décision a minima : a Una b ⇐⇒ ∀i, a i b


prix (×1000 ∈) 22 20 21 16




Peugeot ≻Una Citroen; Peugeot ≻Una Renault.Ford et Peugeot sont incomparables; Citroen et Renault le sontaussi.


24

Le modèle ordinal : le préordre complet

Définition [préordre] Un préordre est une relation binaireréflexive et transitive.

Exercice 2 Montrer que la relation de préférence à l’unanimité est

un préordre (partiel)

Exercice 3 Montrer que si est un préordre, ∼ est une relation

d’équivalence (réflexive, symétrique, transitive) et ≻ une relation

d’ordre (antisymétrique, transitive)


25

Le modèle ordinal : le préordre complet (cont.)

Un préordre défini donc un ordre sur les classes d’équivalencedes ex-æquo possibles.

Un préordre complet définit un ordre total sur les classesd’équivalence (on peut ranger).

Modèle ordinal←→ préordre complet sur les alternatives

Un critère ordinal peut être représenté par une fonctiong : A → N


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Le modèle cardinal

Définition [critère numérique cardinal] Un critère cardinal estune fonction g : A → R

Par rapport au modèle ordinal (qui peut aussi être représenténumériquement), le modèle cardinal permet d’exploiter des«différences d’intensités» entre préférences. On suppose uneinformation riche.

Un critère cardinal induit une relation de préférence ordinale:a b ⇐⇒ g(a) ≥ g(b) (si maximisation)

Exercice 4 Le prouver.


27

Représentation des préférences: en bref

Trois principaux modèles pour exprimer des préférences :

• le modèle relationnel

– modèles acceptant l’incomparabilité : Paretodominance, surclassement

– modèles acceptant l’intransitivité: quasicritères,décision à la majorité

• le modèle ordinal = modèle relationnel + complétude +transitivité

• le modèle cardinal = information ordinale + intensitéscardinales


28

On fait l’hypothèse simplificatrice que les préférences sont localesreprésentées par des critères numériques, ordinaux oucardinaux, (à maximiser, par convention)

gi : A 7→ R, i = 1, n

Problème de classement: synthétiser la préférence globale dudécideur (g) qui en découle.

Problème de sélection: sélectionner une alternative préférée ausens de g.


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Hypothèse simplificatrice (cont)

Puisque les préférences locales sont des critères numériquesgi : A 7→ Ri ⊆ R, i = 1, n ...

... à tout a correspond un vecteur 〈g1(a), g2(a), . . . gn(a)〉 desvaleurs de a sur les critères, qu’on appelle profil de a.

On le note par convention a = 〈a1, a2, . . . , an〉, avec ai = gi(a)

... on peut passer de l’espace des alternatives à l’espace desprofils: on travaille maintenant sur A = R1 × · · · ×Rn


30

2.2 Quelques principes de base pour une règle de

décision

Le principe d’universalité: pour toute paire a, b ∈ A, on doitpouvoir décider si a g b ou non.

Le principe d’unanimité: si a est au moins aussi bon que b surtous les critères, alors il faut que a g b


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Pareto-unanimité

Pareto : économiste, première référence historique à la décisionmulticritère (1896).

Définition [dominance faible]

a domine faiblement b⇐⇒def ∀i, ai ≥ bi

Définition [Principe d’unanimité] g satisfait le principed’unanimité si et seulement si, si a domine faiblement b alorsa g b.


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décision



Le principe d’efficacité: a est au moins aussi bon que b sur tousles critères et meilleur sur certaines (a "domine" b), alors il fautque a ≻g b


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Pareto-optimalité et efficacité

Définition [dominance (forte)]

a domine b⇐⇒def ∀i, ai ≥ bi et ∃i, a >i b

Définition [Principe d’efficacité] : g satisfait le principed’efficacité si et seulement si, si a domine b alors a ≻g b.

Définition [Pareto-optimalité] Une alternative a est ditePareto-optimale si elle n’est dominée par aucune autre.

Une alternative Pareto-optimale ne peut être améliorée au regard d’uncritère sans la détériorer pour un autre.

Sélection: rechercher uniquement des Pareto optimales


34


décision



Le principe d’efficacité: a est au moins aussi bon que b sur tousles critères et meilleur sur certaines (a "domine" b), alors il fautque a ≻g b

Le principe d’indépendance préférentielle (ou "séparabilité"): lapréférence entre a et b ne dépend pas des critères sur lesquelsa et b reçoivent la même évaluation.


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Principe d’indépendance préférentielle mutuelle(ou "séparabilité")

Assure que les décisions sont cohérentes "toutes choses égalespar ailleurs"

Définition [] g satisfait le principe de séparabilité ssi, quel quesoit I ⊆ X , quels que soient a, b, c, d ∈ Rn:

aIc g bIc ⇐⇒ aId g bId

où xIy désigne le profil t tel que ti = xi si i ∈ I , ti = yi sinon.

Informellement, la préférence globale entre deux alternativesne dépend pas des critères qui ne les départagent pas.


36

Exemple du téléviseur [Vincke]

a b c d

- prix -1000 -800 -1000 -800

critères image 5 4 5 4

son 5 5 3 3

SAV 4 4 5 5

Le principe de séparabilité dit que, si le décideur préfère a à b,alors il préfère c à d (et réciproquement)


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Exercices

Exercice 5 Montrer que :

• ≻ est asymétrique : a ≻ b implique non b ≻ a

• ≻ est irréflexive : non a ≻ a

• ∼ est réflexive : a ∼ a

• ∼ est symétrique : a ∼ b implique b ∼ a

• ≍ est irréflexive : non a ≍ a

• ≍ est symétrique : a ≍ b implique b ≍ a


38

Exercice 6 On définit généralement ≻,∼,≍ depuis :

a ≻ b⇐⇒ a b et non b a

a ∼ b⇐⇒ a b et b a

a ≍ b⇐⇒ non a b et non b a

On pourrait inversement partir de deux relations exclusives ≻

(asymétrique) et ∼ (réflexive, symétrique) et poser:

a b⇐⇒def a ≻ b ou a ∼ b

Montrer que définie à partir de ≻ et ∼ est réflexive.


39

Exercice 7 Montrer que toute relation de préférence globale qui est

transitive, séparable et satisfait le principe de projection des échelles:

∀a, b, c,∀h,∀i : ai i bi ⇐⇒ aiih biih

satisfait aussi le principe d’efficacité


40

3. Agrégation multi critère

ISAE Décision Multi critères 3. AGRÉGATION MULTI CRITÈRE

41

3.1 Introduction

Types d’approches

• Agréger puis comparer: calculer une note globale pourchaque alternative, puis préférer celle qui obtient lameilleure (ce chapitre)

• Comparaison par paires: établir la préférence entre deuxalternatives en fonction des degrés de surclassementobtenus sur chaque critère (chapitre suivant)


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Principe de base

La relation de préférence globale est donnée par un critère

cardinal global h : A → R obtenu par agrégation des critèresnumériques par une fonction d’agrégation f : R

n → R.

Le critère cardinal global est défini par

h(a) = f(a1, . . . , an).

"Agréger puis comparer" : a g b ⇐⇒ h(a) ≥ h(b)


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Propriétés des approches par fonction d’agrégation

a g b ⇐⇒ f(a1, . . . , an) ≥ f(b1, . . . , bn)

La relation de préférence globale est forcément un préordretotal.

Le principe d’unanimité exige que f soit monotone croissante.

Le principe d’efficacité exige que f soit monotone strictementcroissante.

Selon les fonctions d’agrégation, les principes d’efficacité et deséparabilité peuvent être ou non satisfaits


44

3.2 Fonctions d’agrégation additives

h(a) =n

∑

i=1

ui(ai)

avec ui monotones strictement croissantes (ui: fcts. d’utilité)

Cas particulier de la combinaison linéaire des critères(ou «somme pondérée»): ui(ai) = λi . ai

h(a) =∑

i

λi . ai, λi > 0

Exercice 8 Montrer que le maximum d’une fonction d’agrégation

additive correspond à des alternatives Pareto-optimales.


45

Séparabilité

= cohérence des décisions toutes choses égales par ailleurs.

Propriété Les fonctions d’agrégation additives satisfont leprincipe de séparabilité.

Exercice 9 Le démontrer

Théorème (Debreu 1960) Si A est connexe, séparable etordonné w.r.t. g, alors il existe une fonction d’agrégationadditive représentant la relation g.

Inversement, si g n’est pas séparable, aucune fonctiond’agrégation additive ne peut la représenter.


46

Le cas particulier de la somme pondérée

u(a) =∑

i=1,n

wi · ai, wi > 0

Interprétation des poids wi ? un point délicat :

• les poids wi représentent des taux de substitution

entre critères (w1 = bw2 signifie (0, b, ....) ∼ (1, 0, ......)))plutôt qu’une importance

• véhicule l’idée de compensations possibles entre critères -(ab) ∼ (a− δ, b+ γ) : le gain de γ compense la perde de δ.

• suppose implicitement que tous les critères peuvents’exprimer indirectement dans la même unité (euros,secondes, ...) : pb. de normalisation des échelles


47

Somme pondérée : critique 2)

• Élimine des alternatives Pareto-optimalesqui peuvent être intéressantes car équilibrées et peut doncfavoriser des alternatives extrêmes.

wi a b c

g1 0.5 20 5 12

g2 0.5 5 20 12

Les deux alternatives extrêmes a et b sont considéréeséquivalentes, et meilleures que l’alternative équilibrée c.


48

Somme pondérée : critique 3)

• Une faible variation des poids peut entraîner de grandesconséquences sur la préférence globale.

wi a b c

g1 0.499 20 5 12

g2 0.501 5 20 12

Le jeu de poids 〈0.499, 0.501〉 entraîne b ≻ a, mais le jeu〈0.501, 0.499〉 entraîne a ≻ b.


49

3.3 La fonction min

h(a) = miniui(ai)

On cherche à maximiser le critère le moins satisfait.

Contrairement aux agrégations additives, elle est adaptée auxcritères ordinaux comme aux critères cardinaux.

Utilisé plutôt en décision coopérative (ex: des allocationsmonétaires aux agents) :maximiser la satisfaction de l’agent lemoins satisfait


50

Séparabilité

L’opérateur min ne distingue pas entre les profils dont lesminimaux sont égaux. Exemple : 〈4, 2, 3, 2〉 et 〈2, 4, 2, 2〉 sontindistingués.

Le min ne satisfait pas le principe de séparabilité: 〈5, 4〉 ≻ 〈5, 3〉mais 〈2, 4〉 ∼ 〈2, 3〉

Le principe d’efficacité n’est pas respecté non plus : 〈2, 4〉 ∼ 〈2, 3〉


51

Un raffinement du min : le leximin

Rattraper le faible pouvoir de décision du min en raffinantl’ordre qu’il propose.

L’idée est donc d’ôter les paires d’utilités minimum égalesavant de prendre le min, jusqu’à ce qu’ils soient différents.

Ici : 〈4, 2, 3, 2〉 : 〈2, 4, 2, 2〉 → 〈4, 3, 2〉 : 〈4, 2, 2〉 → 〈4, 3〉 : 〈4, 2〉.


52

Le leximin (2)

Ordre leximin = tris non décroissant des vecteurs,puis ordre lexicographique (inverse)

Exemples :

〈1, 2, 3, 4〉 =leximin 〈4, 2, 1, 3〉, car 〈1, 2, 3, 4〉 ⇐⇒ 〈1, 2, 3, 4〉

〈4, 2, 3, 2〉 ≻leximin 〈9, 2, 2, 2〉, car 〈2, 2, 3, 4〉 précède 〈2, 2, 2, 9〉dans l’ordre lexicographique inverse

L’ordre leximin raffine l’ordre induit par le min :

v ≻min u⇒ v ≻leximin u


53

3.5 L’intégrale de Choquet

Le principe de séparabilité est loin être respecté lorsque l’onobserve des décideurs en situation

Il est battu en brèche lorsqu’il y a des interactions entre critères(redondances, oppositions)


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Un contre exemple à la séparabilité

alternatives = clubs de tenniscritères = équipements: tennis,sauna, hammam, tir à l’arc

Critères

sauna hammam arc tennis

Cat non non OUI oui

Alternatives Cht non OUI non oui

Cats oui non OUI oui

Chts oui OUI non oui

La plupart des gens préfèrent Cht à Cat, mais Cats à Chts. Laséparabilité n’est pas respectée


55

Mesure floue

Il faut exprimer explicitement l’importance des combinaisonsde critères.

Définition [Mesure floue] Une mesure floue sur X est unefonction µ : 2X → [0, 1], avec

• µ(X) = 1,

• µ(∅) = 0,

• S ⊆ T =⇒ µ(S) ≤ µ(T )(monotonie)

(étend la notion de poids à un sous-ensemble de critères)


56

Mesure floue (cont.)

Sur l’exemple:

µ(ten.) = 0.6, µ(ten. ∪ A) = 0.6 + µ(A) (A t.q. ten. /∈ A)

µ(arc) = 0.1, µ(arc ∪ A) = 0.1 + µ(A) (A t.q. arc /∈ A)

µ(sauna) = 0.25, µ(sauna, ham.) = 0.3

µ(ham.) = 0.25

Donc, µ(sauna, arc) = 0.35 alors que µ(sauna, ham.) = 0.3,et ce bien que "arc" soit un critère bien moins prioritaire que"hammam"


57

Extension de la somme pondérée aux critères

dependants : Intégrale de Choquet

Comment calculer une utilité agreggée à partir d’une fonction d’utilité u etd’une capacité µ sur les critères ? Retournons d’abord sur le cas de lasomme pondérée

Ex: 3 critères, hyp. (non restrictive) : u(a3) ≥ u(a2) ≥ u(a1))

h(a) = u(a3).w3 + u(a2).w2 + u(a1).w1

h(a) = u(a1) . (w3 + w2 + w1)

+ (u(a2)− u(a1))) . (w3 + w2)

+ (u(a3)− u(a2)) . (w3)


58

Extension de la somme pondérée aux critères

dependants : Intégrale de Choquet

Pour une capacité µ additive (µ(A) = Σi∈Aµ(i)):

Maximiser Σj=m...1(λj − λj−1) . µ(Aλj)

Avec L = λm > · · · > λ1 et Aλj= i, u(ai) ≥ λj

Pour une capacité quelconque µ

Maximiser Ch((a1, . . . , an))µ =∑

j=m...1(λj − λj−1) . µ(Aλj)


59

L’intégrale de Choquet

Scruter la décision par niveau de satisfaction λi, croissant.

• Au niveau de satisfaction de plus bas (λ1) : soutien deA1 = S - force µ(S) = 1

• Pour chaque increment d’utilité λi − λi−1, i = 2,m, soutien :Aλi

= j, u(aj) ≥ λi,

Utilité pondérée pour l’increment λi − λi−1 :(λi − λi−1) · µ(Aλi

)

A sommer sur tous les increments de satisfaction:Ch((a1, . . . , an))µ = λ1 . µ(A1) + Σi=2,m(λi − λi−1) . µ(Aλi

)

Pour retrouver les moyenne pondérées, poser µ(A) = Σj∈Aµ(j)


60

L’intégrale de Choquet (cont.)

Avec λ1 = non (u(non) = 0) et λ2 = oui (u(oui) = 1)

Cµ(Cat) = 0× µ(ham., ten., sauna, arc) + (1− 0)× µ(arc, ten.)

= µ(arc, ten.) = 0.7

Cµ(Cht) = 0× µ(ham., ten., sauna, arc) + (1− 0)× µ(ham., ten.)

= µ(ham., ten.) = 0.85

Cµ(Cats) = 0× µ(ham., ten., sauna, arc) + (1− 0)× µ(arc, ten., sauna)

= µ(arc, ten., sauna) = 0.95

Cµ(Chts) = 0× µ(ham., ten., sauna, arc) + (1− 0)× µ(ham, ten., sauna

= µ(ham, ten., sauna) = 0.9


61

L’intégrale de Choquet (cont.)

Le min est une intégrale de Choquet particulière

Exercice 10 Le montrer

Plus généralement, on peut montrer que les moyennespondérées ordonnées sont des intégrales de Choquetparticulières.

En fait, les intégrales de Choquet recouvrent toute une gammede compromis entre le min et le max, en passant par lesmoyennes pondérées et la médiane.


62

3.6 Utilisation des approches agregatives –

théorie de l’utilité multi attribut

On ne connait pas au départ les critères du décideur, maissimplement l’espace des vecteurs d’attributs A = A1 × · · · ×An.

Le décideur ne peut pas exprimer toute sa relation depréférence sur A.

Le problème: Essayer, en fonction des propriétés souhaitées dela règle de décision et d’exemples de deviner et calibrer la règlede décision ("Théorie du Mesurage Conjoint"). Puis l’utiliser ensituation de décision.


63

L’utilité multiattribut

C’est LE modèle standard, traditionnel, appelé aussi modèle ditde « l’école américaine ». Ref: R. L. Keeney and H. Raiffa, 1976:Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs.

Hypothèse fondamentale : La relation de préférence globaleg est un préordre total, donc

il existe un critère global u : A → R, («fonction d’utilité globale»)avec

a b⇐⇒ u(a) ≥ u(b)

Cette relation est pré-existante mais cachée. Le rôle d’uneméthode d’aide à la décision est de révéler cette relation.


64

L’utilité multiattribut (cont.)

Autres hypothèses :

• les préférences sur les points de vue s’expriment par desattributs numériques («utilités») g1, g2, . . . , gn

• l’utilité globale ne dépend que des critères, est donnée parune fonction d’agrégation :u(a) = f(a1, a2, . . . , an) avec ai = gi(a).


65

L’utilité multiattribut – cas séparable

Lorsqu’on admet la séparabilité des critères, on se tourne(quasi) forcément vers un modèle additif (Debreu)

u(a) =∑

i=1,n ui(ai) avec ui monotones strictementcroissantes

La question essentielle reste donc de trouver les ui.Principales voies :

1. «apprentissage» des ui par points à partir d’une based’alternatives évaluées sur tous les critères et classéesglobalement. Dans cette voie : méthode UTA, logicielUTA+

2. recherche de courbes iso-préférence.


66

Cas non séparable

Lorsque

• la propriété de séparabilité n’est pas vérifiée

• on cherche à exprimer des synergies entre critères

Se tourner plutôt vers des fonction d’agrégation non additives :

• des fonctions simples commeu(a) = [u1(a1) + u2(a2)] · u3(a3)

• les moyennes pondérées ordonnées (OWA)

• les intégrales de Choquet

A paramétrer correctement (éliciter les poids ou plusgénéralement la mesure floue .....)


67

Exercice 11 Montrer que l’ordre leximin est un préordre complet et

respecte le principe d’efficacité.

Exercice 12 Imaginez un exemple réaliste d’une situation de

décision multicritère pour laquelle la propriété de séparabilité des

critères n’est pas vérifiée.

1. Donnez pour votre exemple (1) le tableau alternatives / critères

habituel, (2) les préférences globales du décideur sur les

alternatives, et montrez pourquoi la propriété n’est pas vérifiée.

2. Quelle conséquence majeure cela a-t-il sur l’expression de

relation de préférence globale du décideur ?

3. Sur votre exemple, imaginez une fonction d’utilité globale,

agrégeant les critères, capable d’exprimer les préférences globales.


68

Exercice 13 (préférence globale lexicographique) On se donne

un ordre total (un classement sans ex-aequos) sur les critères,

représentant leur importance.

Soit deux alternatives a et b. Si on peut décider laquelle est la

meilleure au regard du premier critère seul (le plus important), alors

on ne tient pas compte des autres. Sinon, c’est que ces alternatives

sont indiscernables au regard du premier critère. On cherche alors àtrancher entre celles-ci à l’aide du second critère, ... et ainsi de suite.

Questions :

1) exprimer formellement la relation de préférence globale.

2) est-ce bien un préordre complet ? est t il séparable ? efficace ?

3) On supposera que les domaines des critères sont finis. Élaborer uncritère cardinal global représentant la relation de préférence globale.


69

4. Méthodes de

surclassement

ISAE Décision Multi critères 4. MÉTHODES DE SURCLASSEMENT

70

4.1 Introduction

L’approche par fonctions d’agrégation “procède par réductiond’une logique multicritère au cas monocritère, au prix d’hypothèsesextrêmement restrictives”

Dans le monde réel

• les critères ne sont pas séparables

• les échelles des différents critères ne sont pascommensurables (unité commune ?)

• l’indifférence n’est pas transitive

• l’indifférence (on peut choisir au hasard) est différente del’incomparabilité (incapacité à choisir si critères en conflit)


71

Résumé de la démarche

Contrairement au modèle traditionnel, on ne présuppose pasqu’une relation de préférence sur les décisions soit totale, nitransitive, ni même qu’elle pré-existe.

L’aide à la décision multicritère est plutôt considérée commeun processus d’élaboration d’une structure de préférences.

Recherche d’un compromis entre

• la relation de dominance au sens de Pareto, jugée troppauvre,

• et une relation d’ordre total découlant d’une agrégationjugée trop arbitraire et réductrice (finalement, c’est dumonocritère).


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Exemple: la méthode interactive "STEM"

Aider l’utilisateur à se déplacer dans l’espace des alternatives.

Par exemple, optimiser sur deux critères =

• 1. Optimiser sur le premier, puis sur le second (ex:maximiser h(a) = γg1(a) + g2(a) avec γ grand)

• 2. Demander à l’utilisateur de combien il peut en rabattresur C1 : poser une contrainte g1(a) ≥ α sur C1 et optimisersur C2

• 3,4,5,... : On recommence : Demander à l’utilisateur decombien il peut en rabattre sur C2 et optimiser sur C1, etc.


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Méthodes de surclassement (outranking)

Une méthode de surclassement cherche à établir et explorerune relation de surclassement.

aSb⇐⇒def il existe suffisamment d’arguments pour admettreque a est au moins aussi bonne que b, sans qu’il y ait de raisonimportante de refuser cette affirmation.

Deux étapes :

• la construction de la relation de surclassement (pasforcement transitive ni quasi transitive)

• son exploitation: en extraire un "noyau" de bonnesalternatives


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4.2 Construction d’une relation de

surclassement

La démarche : on compare (phase 1) puis on agrège (phase 2)

Phase 1 : les alternatives sont comparées par paires (a, b),

Pour chaque critère i, une fonction φi : R× R → R, établit ledegré de surclassement de a sur b:

→ On obtient n indices φi(ai, bi)


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Construction d’une relation de surclassement

(cont.)

Phase 1→ n indices φi(ai, bi)

Phase 2 : on agrège les résultats des comparaisonspar une fonction ψ : R

n → R

ce qui décide de la préférence globale :

aSb⇐⇒ ψ

(

φ1

(

a1, b1)

, . . . , φn

(

an, bn)

)

≥ 0

En général cela donne une relation de préférence globale quin’est pas un préordre complet, donc pouvant être difficile àexploiter.


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Exemple: surclassement à la majorité

Exemple très simple (majorité relative, méthode de Condorcet)

φi(x, y) = 1 si x >i y,

φi(x, y) = 0 si x =i y,

φi(x, y) = −1 si x <i y.

ψ =∑

.

Autrement dit : aSb (i.e. Σiφ(ai, bi) ≥ 0) si une majorité decritères (votants) préfèrent a à b.

Exercice 14 Construire, selon cette méthode, un exemple pour lequella relation de préférence n’est pas transitive (paradoxe de Condorcet).


77

4.3 Exploitation de la relation de

surclassement

On fait correspondre à S un graphe sur A.

On cherche un sous-ensemble N d’alternatives incomparablesentre elles et tel que toute alternative qui n’est pas dans N estsurclassée par au moins une alternative de N ; formellement :

∀b ∈ A−N , ∃a ∈ N : aSb

∀a, b ∈ N : ¬aSb

L’ensemble N s’appelle le noyau du graphe. Il représente unensemble d’alternatives «intéressantes» parmi lesquelles le oules décideurs devraient faire leur choix.


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Détermination du noyau

Tout graphe sans circuit admet un noyau unique.Un graphe avec circuits admet 0, 1 ou plusieurs noyaux.

Le problème général de décider si un graphe possède un noyaude moins de k nœuds est NP-complet (dc on ne connaît pasd’autres algorithmes que croissant exponentiellelement avec lataille des données).

Ce problème n’admet pas d’algorithme d’approximationpolynômial.


79

4.4 Un exemple historique :

la méthode ELECTRE I

(Roy, 1968), la plus ancienne mais bien représentative.


80

ELECTRE I : définition de la relation de

surclassement

• on attribue à chaque critère gi un seuil d’indifférence βi etun poids pi reflétant son importance (avec

∑

i pi = 1)

• matrice de concordance : on calcule pour chaque paired’alternatives (a, b) le nombre

c(a, b) =∑

i:ai+βi≥bi

pi

Le nombre c(a, b) est un réel entre 0 et 1 ; il résume « laforce des arguments qui ne s’opposent pas à aSb », par unesorte de vote pondéré.


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ELECTRE I : définition de la relation de veto

• on attribue à chaque critère gi un seuil de veto vi

• matrice de veto : on calcule pour chaque paire d’alternatives(a, b) le nombre

d(a, b) = 1 si ∃i, bi > ai + vi, d(a, b) = 0 sinon

d(a, b) = 1⇐⇒ veto sur la préférence aSb car b est bienmeilleur que a sur un critère au moins i


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ELECTRE I : définition de la relation de

surclassement

Finalement:

• on se fixe un seuil de concordance µ avec 0 < µ ≤ 1

• on définit

aSµb ⇐⇒def c(a, b) ≥ µ et d(a, b) 6= 1

Exercice 15 Exprimer la relation de surclassement de la méthodeELECTRE I dans le modèle général des relations de surclassement.


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ELECTRE Is : définition du Noyau et +

Tout graphe sans circuit admet un noyau unique.

Idée : supprimer les cycles dans S en condensant les classesd’équivalence et supprimant des arêtes (selon une matrice derobustesse)

→ En général on revient ensuite à la phase 1 et on essaied’autres seuils de concordance, voire d’autres poids (analyse desensibilité), afin de conforter les opinions.

Logiciels associés→ bureau d’étude.


84

Autres méthodes ELECTRE

• ELECTRE-1, ELECTRE-1S→ choix d’une ou de quelquesalternatives

• ELECTRE-TRI→ tri (dans des classes prédéfinies)

• ELECTRE III et IV→ rangement (préordre)


85

Exercices

Exercice 16 Soit la propriété de monotonie suivante :

∀a, b :(

∃j : gj(a) ≥ gj(b) et ∀i 6= j : gi(a) = gi(b))

implique aSb

Quelles exigences sur les ψ et φi peuvent traduire cette hypothèse ?


86

Exercice 17 Un cabinet de recrutement fait subir 3 tests aux 6

candidats à un poste. Ces tests concernent les points de vue suivants:l’évaluation des compétences (critère g1), la culture générale (critèreg2) et la motivation (critère g3). Chaque test est noté sur une échellede 0 à 20. Les résultats sont les suivants

candidats

A B C D E F

g1 16 10 18 18 16 6

critères g2 14 18 12 4 10 14

g3 16 12 6 20 12 18

On considère que le critère de compétence est primordial (poids relatif0.6), le critère de motivation deux fois moins important (poids relatif0.3) et le critère de culture générale secondaire (poids relatif 0.1).


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• Quels sont les alternatives pareto efficaces

• Quelles seraient les meilleurs candidats au sens de la sommepondérée

candidats

A B C D E F

g1 16 10 18 18 16 6

critères g2 14 18 12 4 10 14

g3 16 12 6 20 12 18

Compétence: 0.6; motivation : 0.3 ; culture générale : 0.1.

• Etablir la matrice de concordance (pour chacun des critères, onprend un seuil d’indifférence egal à 3) et la matrice de véto (seuilde véto égal à 9). On rappelle que c(a, b) = Σj:aj+qj≥bj

pj et


88

d(a, b) = 1 si ∃j, aj + vj < bj , d(a, b) = 0 sinon.

• Etablir la relation de surclassement pour un seuil µ1

correspondant aux conditions les plus sévères. Extraire le noyau.

• Déterminer un ou deux autres seuil(s) offrant une relation plusriche sans pour autant introduire de cycle. Quel serait d’aprèscette analyse le meilleur candidat ?

• Comparer les resultats obtenus par les deux méthodes (sommepondérée et surclassement)


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5. Conclusion: l’optimisation

multicritère en pratique

ISAE Décision Multi critères 5. CONCLUSION: L’OPTIMISATION MULTICRITÈRE EN PRATIQUE

90

L’optimisation multicritère en pratique

Problématiques essentielles:

• Quelles sont les propriétés souhaitables/intéressantes de larelation de préférence globale ?→ monotonie, séparabilité des critères, complétude,transitivité, compensation possibles entre critères

• Lorsque c’est possible (hypothèses fortes) se tourner versun approche agrégative:

→ Quelle est la «bonne» fonction d’agrégation ?→ comment la paramétrer (ex: utilité multi attribut) ?


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Le modèle additif ou non ?

Le modèle additif fait des hypothèses fortes : complétude,commensurabilité donc compensations possibles entre points devue, séparabilité, transitivité

Il convient bien pour les applications de type

• technique (critères quantitatifs mesurables objectivement)

• répétitif dans le temps

Les modèles non additifs : pour prendre en compte desinteractions entre critères (synergies, non-séparabilité), la noncommensurabilité, l’ordinalité des évaluations


92

Approches constructives

Approches constructives: "fonder progressivement une convictionplutôt que de révéler un optimum ou une préférence pré-existante”

On ne présuppose pas qu’une relation de préférence sur lesdécisions soit totale, ni transitive, ni même qu’elle pré-existe.

L’aide à la décision multicritère est plutôt considérée commeun processus d’élaboration d’une structure de préférences.


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Optimiser sur un espace combinatoire

• Approches agregatives simples (critères indépendants)

→ Programmation par contraintes, contraintes valuées

• Critères dépendants: Choquet en programmation parcontraintes (ça commence)

• Méthodes de surclassement: plus dur, il faut comparer unnombre exponentiel de paires

→ Mais on peut toutefois garder l’aspect interactif (ex:STEM)


Decision Multicritere — Exercices corriges

3eme annee ISAE

Helene Fargier

2009-2010

1 Choix d’une automobile

On considere le probleme de choix d’une automobile suivant :

alternativesCitroen Peugeot Renault Ford

prix (×1000 ∈) 22 20 21 16criteres consommation 7.1 7.0 7.2 7.8

puissance (kW) 55 65 58 55type essence gpl gpl diesel

Avec gpl > essence, diesel ; minimiser prix et consommation, maximiser performanceQuelles sont les meilleures solutions ? Que dire si on ne tient compte que des criteres prix et consom-

mation ?Representer les alternatives dans l’espace de ces deux criteres.

Si l’on compare les alternatives sur les 4 criteres : Peugeot domine Renault (consomption plus faible,plus puissante et moins cher pour le meme type de moteur). Elle domine egalement Citroen. En revanche,elle ne domine pas Ford. Ford ne domine ni n’est dominee par aucune autre alternative. Peugeot et Fordsont appelees decisions efficaces ou Pareto-optimales. Ce sont les deux meilleures solutions

Meme resultat si l’on ne prend en compte que les criteres consommation et prix :C et R sont dominees par P (moins bonnes sur les deux criteres. Elles peuvent donc etre rejetees a

priori.

2 Preference a l’unanimite

Montrer que la relation de preference a l’unanimite est un preordre (partiel)

On montre facilement a partir de sa definition que la relation de preference globale a l’unanimite quela reflexivite des preferences locales ( ∀i, ai i ai) entraıne celle de la relation globale.

Pour la transitivite, on suppose que a Una b et b Una c, i.e. par definition, ∀i, ai Una bi et∀i, bi Una ci. Donc ∀i, ai Una bi et bi Una ci. Par transitivite des i, cela donne ∀i, ai i ci. Donc∀i, a Una c. a Una est transitive.

Reflexive et transitive, Una est un preordre.Il est partiel (pas complet) : on peut exhiber un cas d’incomparabilite, e.g. sur l’exemple du choix

d’automobiles.

3 Decompositions d’un preordre

Montrer que si est un preordre, ∼ est une relation d’equivalence (reflexive, symetrique, transitive)et ≻ une relation d’ordre (antisymetrique, transitive)

– ∼ est reflexive parce que l’est.– ∼ est symetrique : supposons a ∼ b. Par definition on a a betb a ce qui est aussi la definition

de b ∼ a.

1

– ∼ est transitive : a ∼ b et b ∼ c s’ecrit a b et b c et b a et c b. Par transitivite de , celadonne a c et c a donc a ∼ c.

– ≻ est irreflexive : a ≻ a est par definition a aetnona a ce qui est impossible. Donc non(a ≻ a).– ≻ est transitive : supposons a ≻ b et b ≻ c. On a donc les assertions suivantes : a b, non(b a),b c, non(c b). De la nous tirons que a c par transitivite de .Pour montrer maintenant que non(c a), supposons que cela soit : c a. Par transitivite de ,avec a b, nous tirons c b, ce qui est en contradiction avec non(c b). Donc on a non(c a).Mais nous avions montre a c, ce qui, avec non(c a), s’ecrit a ≻ c et termine la demonstration.

– Supposons a ≻ b. On doit montrer que ≻ est asymetrique, c’est-a-dire non(b ≻ a). Supposons quecela soit, c’est-a-dire b ≻ a. Par la transitivite on tire a ≻ a, en contradiction avec l’irreflexibilitedemontree plus haut. G est donc asymetrique.

4 Relation de preference induite par un critere numerique

Montrer qu’un critere cardinal induit une relation de preference ordinale : a b ⇐⇒ g(a) ≥ g(b) (simaximisation)

On pose a b ≡ g(a) ≥ g(b)et on montre les proprietes de ainsi definie :

– ≍ est vide :Evident : on a soit g(a) > g(b) soit g(b) > g(a), soit g(a) = g(b), et jamais impossibilite de comparer.

– est complete (ou complete) : a b ou b a pour tout aetb ∈ Aparce que ≍ est vide

– ∼ et ≻ sont transitives :Evident : par transitivite de > et =

et donc– =≻ ∪ ∼ est reflexive et transitive (c’est un preordre) est reflexive parce que ∼ l’est. est transitive parce que ∼ et ≻ le sont.

5 Decomposition d’une relation de preference quelconque

Soit une relation de preference. Montrer que :– ≻ est asymetrique : a ≻ b implique non b ≻ a

– ≻ est irreflexive : non a ≻ a

– ∼ est reflexive : a ∼ a

– ∼ est symetrique : a ∼ b implique b ∼ a

– ≍ est irreflexive : non a ≍ a

– ≍ est symetrique : a ≍ b implique b ≍ a

Trivial a partir des definitions

6 Definition d’une relation a partir de ses parties stricte et as-

symetrique

On definit generalement ≻,∼,≍ depuis :a ≻ b ≡ a b et non b a

a ∼ b ≡ a b et b a

a ≍ b ≡ non a b et non b a

On pourrait inversement partir de deux relations exclusives ≻ (asymetrique) et ∼ (reflexive, symetrique)et poser :

a b ≡ a ≻ b

mbox ou a ∼ b

Montrer que definie a partir de ≻ et ∼ est reflexive.

2

Evident : a ∼ a donc a a

7 Relation de preference a l’unanimite

Montrer que toute relation de preference globale qui est transitive, separable et satisfait le principe deprojection des echelles :

∀a, b, c,∀h,∀i : ai i bi ⇐⇒ aiih biih

satisfait aussi le principe d’efficacite

Se demontre par recurrence sur le nombre de criteres ou ai ≻i bi.

Cas 1 : Si pour tous les criteres sauf un, aj = bj (sur ces criteres, les deux vecteurs sont iden-tiques), et que sur le dernier critere, disons i, ai ≻i bi. Le principe de projection des echelles assure queaiih ≻ biih, en posant h = a = b, cela donne aiia ≻ biib, i.e. a ≻ b.

Cas m + 1 : Supposons que , quels que soient a et b, si sur tous criteres sauf m, aj = bj et que sur lesm autres criteres ai ≻i bi, alors a ≻ b.

On choisit maintenant a et b tels que, sur tous criteres sauf m+ 1, aj = bj et que sur les m+ 1 autrescriteres ai ≻i bi. On note j l’un des criteres ou ai ≻i bi. Par recurrence, aja ≻ ajb et a cause duprincipe de projection ajb ≻ bjb. Par transitivite, aja ≻ bjb, i.e. a ≻ b

8 Aggregation additive et Pareto optimalite

Montrer que le maximum d’une fonction d’agregation additive correspond a des alternatives Pareto-optimales.

Rappel : une fonction d’agregation additive est de la forme h(a) =∑n

i=1 fi(ai) ou les fi sont desfonctions monotones strictement croissantes.

Soit a∗ une alternative maximisant sur A la fonction h(a), et supposons que cette alternative ne soitpas Pareto optimale. Il existe donc une alternative a′ qui la domine, et donc :

∀i : a′i ≥ a∗i , et ∃i : a′i > a∗i

Utilisons maintenant le fait que les fonctions fi sont monotones strictement croissantes par definition :

∀i : fi(a′i) ≥ fi(a

∗i ), et ∃i : fi(a

′i) > fi(a

∗i )

et doncn

∑

i=1

fi(a′i) >

n∑

i=1

fi(a∗i ),

d’ou une contradiction puisque a∗ ne maximiserait pas h(a).

9 Separabilite des methodes d’agregation additives

Montrer que les relations de preference definies par de es fonctions d’agregation additives satisfont leprincipe de separabilite.

Soient a, b, c trois alternatives et V un ensemble de criteres tels que aV c bV c au sens d’une agregationadditive, i.e. Σi∈V fi(ai) + Σi/∈V fi(ci) ≥ Σi∈V fi(bi) + Σi/∈V fi(ci). Ceci est logiquement equivalent aΣi∈V fi(ai) ≥ Σi∈V fi(bi), cette derniere inegalite etant elle meme equivalente a Σi∈V fi(ai)+Σi/∈V fi(di) ≥Σi∈V fi(bi) + Σi/∈V fi(di), quel que soit l’alternative d. Donc aV c bV c est logiquement equivalent aaV d bV d.

3

10 Le min comme integrale de Choquet

Montrer que le min est une integrale de Choquet particuliere

Pour exprimer le min par une integrale de Choquet, on pose µ(S) = 1, µ(A) = 0∀A 6= S.Pour exprimer un OWA quelconque par une integrale de Choquet, poser µ(A) = Σi=n−Card(A)+1,nwi

Voir : M. Grabisch, On equivalence classes of fuzzy connectives : The case of fuzzy integrals. IEEETransactions on Fuzzy Systems 3 1 (1995), pages 96 a 109.

11 Le leximin et le principe d’efficacite

Montrer que l’ordre leximin est un preordre complet et respecte le principe d’efficacite.

L’ordre leximin est complet car on peut toujours comparer lexicographiquement (ordre du diction-naire) deux vecteurs. Il est reflexif car l’ordre lexicographique sur les vecteurs est reflexif.

Supposons que a leximin b et b leximin c.Si on a deux indifferences, c’est que les trois vecteurs sont identiques a une permutation pres ; une fois

ranges ils sont donc equivalent pour l’ordre lexicographique. Donc ils sont equivalents pour le leximin.Si a ≻leximin b et b ≻leximin c, cela signifie que, jusqu’a une composante i∗ les vecteurs classes

correspondant a a et a b, notes a′ et b′sont identiques, et qu’en i∗, a′i∗ > b′i∗ . De la meme facon, jusqu’aune composante j∗ les vecteurs classes correspondant a b et a c, sont identiques, et qu’en j∗, b′j∗ > b′j∗ .

Soit k∗ = min(i∗, j∗). Jusqu’en k∗, les trois vecteurs classes sont identiques ; en k∗, soit a′k∗ > b′k∗ etb′k∗ = ck∗ , soit a′k∗ = b′k∗ et b′k∗ > ck∗ . Donc en k∗ a′k∗ > ck∗ . Les vecteurs classes a′ et c′ etant identiquesjusqu’en k∗, avec de plus a′k∗ > ck∗ , on a par definition a ≻leximin c.

Pour prouver le principe d’efficacite, prenons a et b tels que a domine b au sens de Pareto (sens fort).a ∼leximin b est impossible car les deux vecteurs classes sont different du fait de la dominance. Consideronsles deux vecteurs classes, et supposons que b ≻leximin a. Cela signifie qu’il existe une composante desvecteurs classes tels que a′i < b′i et ∀j < i, a′j = b′j .

Soit k le critere qui fournit a′i ; sur ce critere, ak ≥ bk, puisque a domine b au sens de Pareto parhypothese . Ce critere bk ne peut pas apparaitre dans les vecteur classe b′ apres le rang i car toutes lesnotes a partir du rang i sont superieurs ou egales a b′i et b′i > a′i = ak.

On fait le meme raisonnement pour tous les criteres qui fournissent les a′j , j < i : aucun d’entre deuxne peut pas apparaitre dans les vecteur classe b′ apres le rang i.

Soient donc i+ 1 notes a apparaıtre avant le rang i, ce qui est impossible.

12 Un contre exemple a la separabilite

Imaginez un exemple realiste d’une situation de decision multicritere pour laquelle la propriete deseparabilite des criteres n’est pas verifiee.

1. Donnez pour votre exemple (1) le tableau alternatives / criteres habituel, (2) les preferences globalesdu decideur sur les alternatives, et montrez pourquoi la propriete n’est pas verifiee.

2. Quelle consequence majeure cela a-t-il sur l’expression de relation de preference globale du decideur ?

3. Sur votre exemple, imaginez une fonction d’utilite globale, agregeant les criteres, capable d’exprimerles preferences globales.

On compare 4 types d’automobiles selon 3 criteres : prix (en kE), consommation (en l/100 km), confort(note sur 20).

alternativesa b c d

g1 consommation -10 -9 -10 -9criteres g2 confort 15 13 15 13

g3 prix -10 -10 -30 -30g -35 -34 -40 -43

On suppose que les preferences globales du decideur sont d ≺ c ≺ a ≺ b. Le decideur prefere b a a(lorsque le prix est faible, il privilegie la consommation au confort), mais il prefere c a d (lorsque le prixest eleve, il privilegie le confort a la consommation).

4

La consequence importante de la non-separabilite est que la preference globale ne peut pas etrerepresentee par une fonction d’utilite qui soit une fonction d’agregation additive sur les criteres.

Pour aller au plus simple, on va utiliser un critere global h le critere global defini par test sur lecritere cout (on aurait pu alternativement construire une integrale de Choquet) :

– si g3 < −20 : h = g1 + 2g2 + 2g3– si g3 ≥ −20 : h = 3g1 + g2 + 2g3.

Les valeurs de g sont representees dans le tableau ci-dessus. Elles permettent de representer les preferencesglobales : (x ≺ y) ≡ (h(x) < h(y))

13 Preference globale lexicographique

On se donne un ordre total (un classement sans ex-aequos) sur les criteres, representant leur impor-tance.

Soit deux alternatives a et b. Si on peut decider laquelle est la meilleure au regard du premier critereseul (le plus important), alors on ne tient pas compte des autres. Sinon, c’est que ces alternatives sontindiscernables au regard du premier critere. On cherche alors a trancher entre celles-ci a l’aide du secondcritere, ... et ainsi de suite.

Questions :1) exprimer formellement la relation de preference globale.2) est-ce bien un preordre complet ? est t il separable ? efficace ?3) On supposera que les domaines des criteres sont finis. Elaborer un critere cardinal global representant

la relation de preference globale.

On classe les criteres du moins important (petit indices) au plus important (gros indices).1) exprimer formellement la relation de preference globale.– a ≻ b ssi existe un critere j tel que aj > bj et si ak = bk pour tous les criteres k plus importants

que j, i.e. pour tout k > j.– a ∼ b ssi ak = bk pour tout k.– comme =≻ ∪ ∼.

2) est-ce bien un preordre complet ?– complete, forcement : si deux alternatives ont les meme evaluations sur tous les criteres, elle sont

jugees indifferente. Sinon, on considere le plus important des criteres ou les notes different, et la cecritere impose sa preference stricte.

– reflexif evident aussi car a ∼ a pour tout a, par definition– transitif : ∼ est transitif, elle correspond a l’identite des vecteurs. Soient a, b, c tel que a ≻ b etb ≻ c. Soit k le plus important des criteres sur lesquels soient a differe de b, soit b differe de a. Surtous les criteres plus importants, ai = bi = ci. En k, on a soit ak >k bk et bk ≥k ck, soit ak ≥k bk etbk >k ck ; dans les deux cas, par transitivite des preferences locale, ak > ck. Puisque ai = ci∀i > k

et ak > ck la definition induit a ≻ c. Donc ≻ est transitive. Puisque la relation est complete et queses deux composantes ∼ et ≻ sont transitives, elle est transitive.

3) elaborer un critere numerique global representant la relation de preference globaleOn va chercher a encoder la relation de preference globale par une somme ponderee.

h(a) = Σiai . pi

Pour y parvenir, il faut que les niveaux de preference sur chaque critere soient en nombre fini. Sup-posons qu’on s’y ramene, avec par exemple N + 1 niveaux par critere, par exemple entre 0 et N (ceci sefait sans perte de generalite). Soit n le nombre de criteres.

Le cas le moins favorable pour une preference lexicographique a ≻ b est quand, sur le critere decisifk, ak − bk = 1 et que sur tous les criteres moins important que k, b est excellent (note N) et a mauvais(note 0).

La traduction de a ≻ b par une somme ponderee exige que :

Σi>kai . pi + ak . pk + 0 > Σi>kbi . pi + bk . pk + Σi<kN.pi

ce qui est equivalent a

5

ak . pk + 0 > +bk . pk + Σi<kN.pi

Une condition suffisante pour que cette in equation soit verifiee est

ak . pk + 0 > +bk . pk + (n− 1)N.pk−1∀k

Soit (ak − bk) . pk > (n− 1)N.pk−1∀k, i.e. pk > (n− 1)N.pk−1

Il suffit alors que choisir les poids pk de maniere a respecter cette inequation. Par exemple pk = nk.Nk

. En effet nkNk > (n− 1).N.nk−1.Nk−1, puisque n ≥ 1.La somme ponderee choisie est donc celle ou pour tout critere i, pi = niN i (ou pi = M2i avec

M = max(n,N)), les indices de criteres devant etre d’autant plus forts que le critere est important.En toute rigueur, il faut maintenant prouver que a est meilleur que b au sens lexicographique ssi a

est meilleur que b au sens de cette somme ponderee. Il est evident que si a est indifferent a b au senslexicographique, c’est qu’il a les meme evaluations sur tous les criteres et que donc il recoit la meme noteau sens de la somme ponderee. Maintenant, si a est strictement prefere a b par la regle lexicographique,on utilise la condition elaboree plus haut pour montrer que c’est egalement vrai en utilisant la sommeponderee.

La relation etant complete, on en deduit que a lexicographique b au sens lexicographique ssi a sommepondere

b.

14 Le paradoxe de Condorcet

Construire, selon la methode de classement a la majorite, un exemple pour lequel la relation depreference n’est pas transitive (paradoxe de Condorcet).

Trois alternatives a, b, c.g1(a) = 3, g1(b) = 2, g1(c) = 1g2(a) = 2, g2(b) = 1, g2(c) = 3g3(a) = 1, g3(b) = 3, g3(c) = 2

15 Electre I comme instance du modele ”comparer puis agreger

Exprimer la relation de surclassement de la methode ELECTRE I dans le modele general des relationsde surclassement.

On suppose P = 1 (somme des pj).

φi(aj , bj) =

(1− µ) · pj si aj ≥ bj(j est d’accord pour a b)−M si (aj , bj) ∈ Dj (veto de j pour a b)−µ · pj sinon

(1)

avec M un nombre suffisamment grand. Et pour ψ on fait la somme.Verification : s’il y a veto d’un critere, alors

s(a, b) = ψ(φ1(g1(a), g1(b)), . . . , φn(gn(a), gn(b)) < 0,et on ne peut avoir a µ b.

S’il n’y a pas veto, alors

ψ(a, b) =∑

j:aj≥bj

(1− µ) · pj −∑

j:aj<bj

µ · pj = (∑

j:aj≥bj

pj)− µ (2)

et s(a, b) ≥ 0 est equivalent a c(a, b) ≥ µ, cqfd.

16 Contruction de relations de surclassement monotone

Soit la propriete de monotonie suivante :∀a, b :

(

∃j : gj(a) ≥ gj(b) et ∀i 6= j : gi(a) = gi(b))

implique aSb

6

Quelles exigences sur les ψ et φi peuvent traduire cette hypothese ?Soit la propriete de monotonie suivante :∀a, b :

(

∃j : aj ≥ bj et ∀i 6= j : ai = bi)

=⇒ a b

Quelles exigences sur les ψ et φi permettent d’assurer cette propriete ?

On suppose φi(v, v) = 0∀v, i, φi croissantes sur le premier argument et decroissante sur le second (φi(u, v) croit quand u croit et decroıt quand v croit, et ce pour tout i ).

Sur ψ, on suppose ψ(0, ....., 0) = 0 et que ψ est croissante avec ses arguments.Dans ce cas en effet, pour tous les i 6= j, φi(ai, bi) = φi(ai, ai) = 0. Comme les φi sont croissante dans

leur premier argument, φj(aj , bj) ≥ φj(bj , bj) = 0.Comme φj(aj , bj) ≥ 0, que φi(ai, bi) = 0 pour tout i 6= j, et que ψ est croissante ψ(φj(aj , bj), 0, ..., 0) ≥

ψ(0, ....., 0). Puisque psi(0, ....., 0) = 0, on obtient ψ(a, b) ≥ 0 donc a b

17 Electre I

candidatsA B C D E F

g1 (0.6) 16 10 18 18 16 6criteres g2(0.1) 14 18 12 4 10 14

g3(0.3) 16 12 6 20 12 181 - Alternatives pareto optimales : toutes, sauf E qui est domine par A

2 - Alternative optimale pour la moyenne ponderee : D, qui a une note globale ponderee de 17.2 (suivide A : 15.8)

3 - Matrice de concordance :A B C D E F

A 1 0.9 1 0.7 1 1B 0.1 1 0.4 0.1 0.4 0.7C 0.7 0.6 1 0.7 0.7 0.7D 0.9 0.9 0.9 1 0.9 0.9E 0.6 0.9 1 0.7 1 0.6F 0.4 0.3 0.4 0.4 0.4 1

4 - Matrice de discordance : veto sur (C,A), (C,D), (C,F ), (D,A), (D,B), (D,F ), (F,A),(F,C),(F,D), donc des 1 sur ces cases, 0 sur les autres et non discordance

5- Matrice de concordance : et non discordanceA B C D E F

A 1 0.9 1 0.7 1 1B 0.1 1 0.4 0.1 0.4 0.7C v 0.6 1 v v 0.7D v v 0.9 1 0.9 vE 0.6 0.9 1 0.7 1 0.6F v 0.3 v v 0.4 1

– Avec µ = 1, la relation de surclassement est la relation de dominance forte aux seuils d’indifferencepres. C’est une relation tres pauvre (peu de couples la satisfont) : A surclasse C, E et F ; E surclasseC ; Noyau A,B,D

– On obtient des relations plus riches pour µ = 0.9 et µ = 0.7. Le noyau est A,D dans le premiercas, A dans le second.

– On recommande A, qui est dans tous les noyaux lorsque l’on fait varier le seuil µ (en dessous de0.7, le consensus devient vraiment mou ; en dessous de 0.5, µ n’a pas de sens).

– avec la somme ponderee, D se detache tres nettement, bien qu’il ne soit pas equilibre (sa culturegenerale est catastrophique). A se detache avec l’approche par surclassement : cette approche limiteles effets de compensation et degage des candidats plus equilibres.

7

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