J.P. Rozet 2007 1

CHAPITRE X

MÉCANIQUE ONDULATOIRE

I - L'EMERGENCE DE NOUVEAUX CONCEPTS QUANTIQUES

1) Problèmes posés par l'ancienne théorie des quantas

Dans le cadre de l'ancienne théorie des quantas, le point de départ pour la résolution d'un problème donné était

toujours la solution classique du problème. Ensuite venait l'étape de la traduction quantique du problème, basée sur

l'utilisation du principe de correspondance : trouver les "bonnes" conditions de quantification était un problème délicat,

faisant plus appel à l'intuition qu'à une méthodologie raisonnée. Certains problèmes conduisaient de plus à des

difficultés apparemment insurmontables, tels que ceux correspondant aux propriétés des systèmes polyatomiques ou de

façon plus fondamentale encore, ceux correspondant à l'interaction d'une onde électromagnétique (continue) avec un

atome (aux états d'énergie quantifiés). Le caractère discontinu des échanges d'énergie d'un atome avec le milieu

extérieur s'opposait au caractère continu des ondes électromagnétiques dont l'existence, démontrée par les phénomènes

de diffraction et d'interférence, ne pouvait être mise en cause. Ceci conduisait d'ailleurs Darwin à suggérer dès 1919 la

possibilité d'une non-conservation (au moins locale ou temporaire) de l'énergie.

Deux nouvelles théories quantiques vont se développer parallèlement et de façon quasi-simultanée : la

mécanique des matrices et la mécanique ondulatoire. L'équivalence mathématique de ces deux formalismes sera établie

dès 1926 par Schrödinger. La même année, Wentzel, Brillouin et Kramers établiront que les conditions de

quantification de Bohr-Sommerfeld peuvent se déduire du formalisme de Schrödinger dans le cadre d'une

approximation connue aujourd'hui sous le nom de méthode WKB (Wentzel, Brillouin, Kramers).

2) La mécanique des matrices (1925)

Nous nous contenterons ici de donner une vue très schématique des idées contenues dans cette théorie, et

n'utiliserons pas la démarche (historique) utilisée à l'époque.

Les concepts fondamentaux de la mécanique des matrices ont été introduits par Heisenberg en 1925 ; Born et

Jordan en ont développé le formalisme. L'idée de base de cette théorie est que la théorie de Bohr (ou Bohr-Sommerfeld)

repose sur des concepts classiques tels que ceux de trajectoire et de vitesse (par exemple, d'un électron sur son orbite

autour d'un noyau d'atome), mais qu'en réalité ces grandeurs échappent à l'observation (nous reviendrons plus loin sur

ces questions à propos du principe d'incertitude d'Heisenberg). La théorie devrait donc se limiter à l'introduction et au

calcul des seules grandeurs observables, par exemple la fréquence et l'intensité des transitions radiatives dans un

atome.

La méthode de base repose sur le développement en série de Fourier de quantités physiques dépendant du temps

et le développement de certaines propriétés mathématiques établies a priori en se basant sur le principe de

correspondance de Bohr. Nous ne donnerons qu'un résumé des conclusions et de certaines parties du raisonnement en

utilisant un formalisme largement postérieur à celui utilisé à l'époque.

J.P. Rozet 2007 2

On peut caractériser la fréquence d'une transition par hνij = Ei – Ej , et son intensité par une quantité |aij|2 , où aij

est l'amplitude de la "vibration" correspondante. Considérons alors une quantité du type

aijbij

(un cas particulier est Iij = (aij)2).

A partir du principe de correspondance et la loi de combinaison de Ritz sur les termes spectraux, Heisenberg a

montré que nécessairement, on a la règle de multiplication (dite d'Heisenberg) :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

kkjikijij ba)b)(a(

Born et Jordan remarquèrent que cette règle de multiplication est précisément celle du produit matriciel. Dans le

cadre de la mécanique des matrices, on associe donc à chaque grandeur physique une matrice la représentant. Par

exemple, (aij) représente la matrice des amplitudes de transition. Cependant, le produit de deux matrices est en général

non commutatif. En particulier, examinant la quantité

QP - PQ

où Q et P sont les matrices représentant des variables conjuguées q et p (position et impulsion par exemple),

Born et Jordan montrent que les règles de quantification de l'ancienne théorie des quanta conduisent (et sont

équivalentes) à la loi de commutation :

QP – PQ = i h I

(où I est la matrice unité).

Ce formalisme permet de retrouver tous les "anciens" résultats (avec parfois quelques différences, comme le fait

que les niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique sont donnés par 0)21n(E ω+= h au lieu de nhω0 → énergie du

"zéro absolu" = 021

ωh ). Il permet de plus de résoudre toute une série de problèmes impossibles à traiter dans le cas de

l'ancienne théorie. Nous en donnerons un exemple d'application à la fin de ce chapitre.

3) Dualité onde-corpuscule

a) Introduction : ondes électromagnétiques et photons

Parallèlement à la mécanique des matrices va se développer un autre formalisme, complètement différent, basé

sur une idée introduite par Louis de Broglie. Nous avons vu que peu à peu s'était imposée l'idée que la lumière était

constituée de photons. En fait, la notion de photon ne s'impose que lorsque le rayonnement interagit avec la matière.

Dans d'autres circonstances, les phénomènes observés ne peuvent s'expliquer que par la nature ondulatoire de la

lumière. Il faut donc, en fait, conserver à la fois l'aspect ondulatoire et l'aspect corpusculaire de la lumière. Cette

nécessité est bien mise en évidence par quelques expériences que les techniques expérimentales modernes ont permis

de réaliser. On peut en particulier réaliser une expérience d'interférences "photon par photon" : dans l'expérience

d'interférences lumineuses des fentes d'Young, par exemple, on peut se placer dans des conditions expérimentales telles

que le résultat obtenu ne peut s'expliquer entièrement ni avec la théorie ondulatoire seule, ni avec la théorie

corpusculaire seule.

J.P. Rozet 2007 3

Examinons tout d'abord la relation qui peut être établie entre intensité lumineuse et nombre de photons :

- si la lumière est constituée d'un "jet" de photons d'énergie E = h ν = h ω, alors l'intensité lumineuse

en un point est proportionnelle au nombre de photons par seconde qui passent en ce point.

- si la lumière est de nature ondulatoire, alors l'intensité lumineuse est proportionnelle au carré de

l'amplitude du champ électrique en ce point.

Lorsque, dans l'expérience des fentes d'Young, on diminue très fortement l'intensité de la source émettrice, on

peut détecter l'arrivée des photons (dans la zone de visualisation des franges) de façon individuelle : on peut en

particulier diminuer le flux de photons de telle sorte que l'intervalle de temps moyen entre l'arrivée de deux photons

consécutifs soit 100 ou 1000 fois plus long que le temps de transit total des photons entre la source et l'écran. Dans de

telles conditions, où les photons traversent l'appareil un par un (et sont détectés individuellement), on observe

néanmoins que les franges restent observables, pourvu que l'on compte suffisamment longtemps : au début, les

"impacts" de photon se répartissent de façon aléatoire (en contradiction avec une interprétation purement ondulatoire où

l'intensité doit varier de façon continue), puis la répartition des impacts prend peu à peu un aspect continu exhibant la

présence de franges d'interférences (en contradiction avec une interprétation corpusculaire dans laquelle les photons

passant un par un au travers du dispositif ne peuvent pas interagir les uns avec les autres).

Ceci conduit à admettre que :

- dans tous les cas, la propagation (évolution temporelle) d'un photon reste décrite par une onde

classique,

- l'intensité observée en un point, proportionnelle au carré de l'amplitude du champ, correspond

également à la probabilité de présence d'un photon en ce point.

Examinons maintenant les lois physiques régissant la propagation de la lumière, en raisonnant sur un cas simple

à une dimension. Les solutions élémentaires de l'équation d'onde la plus simple :

0tv

1x 2

2

22

2=

∂ψ∂

−∂

ψ∂

sont des ondes progressives sinusoïdales (ondes planes de l'espace à trois dimensions) : )tkx(ieA)t,x( ω−=ψ

Dans le cas d'un milieu dit non dispersif (ex. : ondes E.M. dans le vide), on a la relation :

λπ

=ω

=2

vk

Dans le cas général, l'équation d'onde peut prendre des formes plus compliquées. On peut cependant toujours

chercher des solutions sous la forme d'ondes progressives, mais on obtient alors en général une relation plus

compliquée entre ω et k. On donne le nom de relation de dispersion à la loi qui lie ω à k :

ω = ω(k)

On appelle alors vitesse de phase vϕ la vitesse de propagation d'un point de phase constante :

ϕ = kx - ωt = cste ⇒ )v(kdt

dxv =ω

==ϕ

kv ω

=ϕ

Dans le cas de la lumière, on obtient ncv =ϕ , et en général vϕ ≤ c.

J.P. Rozet 2007 4

Cette vitesse de phase, cependant, ne peut pas être assimilée à la vitesse de propagation des photons.

Remarquons tout d'abord qu'une onde plane monochromatique correspond à un cas limite idéal qui ne

correspond jamais à la réalité. Tous les signaux réels ont une durée finie (et donc une extension finie dans l'espace), si

bien qu'ils correspondent en réalité à une superposition d'ondes planes de différentes pulsations ω (principe de

décomposition spectrale).

On appelle paquet d'ondes une telle superposition qui peut s'écrire en général :

∫ ω−

π=ψ kde)k(g

)2(1)t,r( 3)tr.k(i

2/3

rrrr

Dans le cas à une dimension, on a :

∫+∞

∞−

ω−

π=ψ dke)k(g

21)t,x( )tkx(i

En remarquant que

∫π=ψ dke)k(g

21)0,x( ikx

on voit que g(k) est simplement la transformée de Fourier de ψ(x,0) :

∫ −ψπ

= dxe)0,x(21)k(g ikx

Pour discuter les propriétés des paquets d'onde, nous raisonnerons sur le cas très simple où le signal est formé

par la superposition de deux composantes de même amplitude et de pulsations voisines ω et ω', soit

[ ])t'x'k(i)tkx(i eeA)t,x( ω−ω− +=ψ

Un calcul simple donne alors :

)t2

'x2

'kk(iet

2'x

2'kkcosA2)t,x(

ω+ω−

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−ω

−−

=ψ

Cette expression représente une vibration de pulsation 2

'ω+ω et de longueur d'onde 'kk

4+π

=λ , dont

l'amplitude varie lentement (battements). La phase se propage à la vitesse :

'kk'v

+ω+ω

=ϕ et pour ω → ω' (k → k'), k

v ω→ϕ

Cependant, le point d'amplitude maximale se déplace à une vitesse différente, que l'on appelle vitesse de groupe :

k'kk'vg Δ

ωΔ=

−ω−ω

=

Ce calcul peut se généraliser au cas d'une superposition continue quelconque. On a alors Δω → 0, et la vitesse

de groupe est définie par :

dkdvgω

=

Dans le cas des ondes E.M., cette vitesse correspond en général à la vitesse de propagation de l'énergie, que

l'on peut assimiler à celle des photons. Dans le cas d'un milieu non dispersif, ω dépend linéairement de k et vg = vϕ .

Dans tous les autres cas, on aura vg ≠ vϕ .

J.P. Rozet 2007 5

b) Corpuscules et ondes de matière (1923)

Louis de Broglie a remarqué que dans le cadre de la relativité, photons et particules jouent un rôle similaire : en

particulier, les photons, comme les particules, ont une énergie totale et une quantité de mouvement. Si donc il n'y a pas

de différence radicale de nature entre les particules matérielles et le photon, la dualité onde-corpuscule établie dans le

cas des photons devrait se retrouver dans le cas des autres corpuscules : la dualité onde-corpuscule devrait être un

phénomène universel, et pas simplement une propriété exclusive du photon. Il est par ailleurs tentant de faire un

parallèle entre les conditions de quantification de l'ancienne théorie des quanta et les conditions d'onde stationnaire de

certains phénomènes vibratoires.

Dans le cas des photons, on avait :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=λ

=ν

=

ω=ν=

khc

hp

hE

h

h

De Broglie propose alors (1923) de généraliser ces relations au cas de n'importe quel corpuscule. On associera à

un corpuscule matériel d'énergie totale E et d'impulsion pr

une onde de pulsation ω = 2πν et de vecteur d'onde kr

donnés par les mêmes relations que pour les photons : ce sont les relations de Louis de Broglie :

λ==

ν=ω=hkp

hE

h

h

Dans le cas de particules relativistes, on a :

E2 = p2c2 + m2c4

⇒ h2ω2 = h2k2c2 + m2c4

ωdω = c2kdk ⇒ ⇒=β==ω

=ω vc

Wpcckc

dkd 2

vdkdvg =ω

=

la vitesse de groupe définie au a) s'identifie bien à la vitesse de la particule.

Par contre :

cvcc

pcWc

pW

kv

2≥=

β===

ω=ϕ

Le fait que la vitesse de phase de l'onde soit supérieure à c montre qu'aucune signification physique ne doit être

attachée à cette vitesse de phase. D'ailleurs, De Broglie parlait d'une "onde fictive associée au mouvement du mobile" :

contrairement au cas des ondes électromagnétiques, aucune quantité physique n'est associée à l'onde, et seule la

vitesse de groupe a un sens.

Remarquons d'autre part que si nous nous intéressons au cas de particules lentes, on peut utiliser les formules de

mécanique classique :

hω = E = T = 21 mv2 p = mv = hk

⇒ vmdv/)mvdv(dkdvg ==ω

= (on retrouve bien vg = v)

J.P. Rozet 2007 6

mais

2v

mv

mv21

kv

2

==ω

=ϕ

(vg est invariante par rapport au zéro de l'énergie, vϕ ne l'est pas).

De Broglie a montré que l'on peut retrouver les conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld à partir de ses

relations. Dans le cas de l'atome d'hydrogène, par exemple, il faut remplacer l'électron en rotation par une onde en

"rotation" autour du noyau. Considérons donc une onde de longueur d'onde λ se propageant suivant un cercle de rayon

r. En un tour, l'onde a parcouru une longueur 2πr. Si l'on veut que la phase de l'onde ait une valeur bien définie en

chaque point, il faut que cette longueur soit égale à un nombre entier de longueurs d'onde (condition d’onde

stationnaire), soit :

2πr = nλ ⇒ phnr2 =π soit finalement:

pr = L =nh

qui est précisément la condition de quantification de Bohr !

c) Vérification expérimentale : diffraction de particules

La validité des relations de Louis de Broglie sera justifiée par les succès de la mécanique ondulatoire que

Schrödinger développera à partir de celles-ci en 1926. L'existence des ondes de matière postulée par Louis de

Broglie sera également prouvée expérimentalement dès 1927 par Davisson et Germer lorsqu'ils observèrent la

diffraction d'un faisceau d'électrons par un cristal.

• Rappel sur les lois de la réflexion de Bragg

Considérons un cristal qui reçoit un faisceau parallèle de rayons X dans une direction dont le vecteur unitaire est

0ur

. Soit ur

la direction du faisceau diffracté.

La diffraction des rayons X est due à des interférences constructives entre rayons réfléchis par des plans

cristallins consécutifs (et parallèles entre eux) : on note θ l'angle de 0ur avec un tel plan.

Uo U

M M'

N

d

θθ

J.P. Rozet 2007 7

α) dans un plan : la différence de marche entre les ondes diffractées par deux atomes du réseau cristallin

placés en M et M' est donnée par

)uu.('MM 0rr

−=δ

On obtient un maximum d'amplitude diffractée si δ = nλ

On note que : 0)uu.('MM0 0 =−⇒=δrr

⇒ 0uurr

− perpendiculaire au plan réticulaire 'MM ⇒ tous les rayons réfléchis par le plan cristallin ont une

différence de marche nulle entre eux, et l'angle du faisceau émergent est égal à l'angle d'incidence (lois de la réflexion).

N.B. : bien noter qu'ici θ est (conventionnellement) repéré par rapport à un plan cristallin et non pas par rapport à une

perpendiculaire au plan de réflexion. Ceci tient au fait que la direction des plans cristallins par rapport à la surface du

cristal peut être incertaine, et que ce qui caractérise le mieux le phénomène est l'angle de déviation du faisceau

incident qui vaut 2θ avec cette convention : θ est appelé angle de Bragg.

β) plusieurs plans : l'intensité globale diffractée correspond à un processus de réflexion sur de nombreux plans

cristallins parallèles : pour obtenir un maximum d'intensité il faut que la différence de marche correspondant à la

réflexion sur deux plans consécutifs obéisse à :

λ=−=δ n)uu.(MN 0rr

)uu( 0rr

− est porté par la normale aux plans et a pour module 2sinθ. La projection de MN sur cette normale

vaut d, distance entre deux plans consécutifs. D'où la condition :

δ = 2d sinθ = nλ

Pour n=1, on parle de réflexion au 1er ordre, pour n=2 de 2e ordre, etc...La réflexion n'a lieu que si d est

suffisamment grand :

1d2

nsin <λ

=θ ⇒ 2d > nλ

On caractérise généralement les propriétés de réflexion sur un plan cristallographique donné par la valeur de la

quantité 2d correspondante.

L'utilisation en spectroscopie X de la réflexion de Bragg repose sur le fait que θ (et donc la déviation 2θ) dépend

de la longueur d'onde de la radiation incidente.

• Diffraction d'électrons

Dans l'expérience de Davisson et Germer, on observe pour des électrons de 54 eV un maximum distinct

d'intensité pour un "angle de Bragg" d'environ 50° sur un cristal de nickel de 2d = 2,15 Å.

La formule de Bragg donne (au 1er ordre) :

λ = 2d sin50° = 1,65 Å

La relation de de Broglie donne :

542511000

12400

Ecm2

c2pchc

ph 19702

2e

××=

π===λ ×π

321h Å

soit λ = 1,67 Å !

J.P. Rozet 2007 8

• Diffraction de neutrons

On utilise très fréquemment les neutrons pour étudier les cristaux, ou inversement les cristaux pour produire par

réflexion de Bragg un faisceau de neutrons monocinétiques. Le domaine d'énergie utile s'obtient en écrivant que la

réflexion de Bragg est obtenue pour λ ≅ Å ⇒ λ

≅λπ

≅12400c2pc h eV (avec λ en Å)

⇒ eV08,01210940

)12400(Mc2

cpM2

pE 226

2

2

222

λ=

λ×=== (avec λ en Å)

ce qui correspond au domaine des neutrons thermiques : eV026,0106,1

3001038,1kTE 19

23=

×=≅ −

−

• Autres mesures

On sait aussi réaliser des expériences d'interférences d'électrons par exemple, à l'aide de dispositifs

électrostatiques produisant l'équivalent du système des fentes d'Young (voir par exemple Physique Atomique - Cagnac

et Pebay-Peroula, Tome I). De même, on peut réaliser des expériences d'interférence avec des atomes (hélium en

particulier : voir La Recherche, octobre 1992).

d) Corpuscules classiques et corpuscules quantiques

Dans le domaine non relativiste, la longueur d'onde de L. de Broglie est donnée par

mvh

ph

==λ

Cette relation indique que λ est d'autant plus grande que m et v sont petits. Dans le paragraphe précédent,

nous avons vu quelques exemples de cas où λ n'est pas très petit devant les dimensions caractéristiques du problème :

dans ce cas, on peut observer des manifestations du comportement "ondulatoire" des particules, imposant une

description "quantique".

Inversement, les propriétés ondulatoires de la matière sont impossibles à mettre en évidence dans le domaine

macroscopique : par exemple, un grain de poussière, de diamètre d ≅ 1 µ, a une masse de l'ordre de :

kg10)10(10vm 15363 −− =×≅ρ=

Si on admet que le caractère ondulatoire ne peut être mis en évidence que si λ ≥ 10-2 d = 10-8 m

on doit avoir

111815

34ms106,6

1010106,6

mhv −−

−−

−

=×

×=

λ≤ !

Compte tenu de la vitesse minimum imposée par l'agitation thermique (mouvement Brownien), ceci correspond

à

K10k3

mvTmv21kT

23 13

22 −≤=⇒= !

Une description classique d'une telle particule sera donc toujours appropriée.

J.P. Rozet 2007 9

II - FONCTION D'ONDE : ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

1) Introduction : description ondulatoire d'une particule

Les idées de L. de Broglie ont été généralisées par Schrödinger en 1926 : établissant l'équation d'évolution

spatio-temporelle de la fonction d'onde associée à un corpuscule, il a fondé la mécanique ondulatoire. Ainsi que nous

l'avons déjà signalé, Schrödinger lui même a montré que la mécanique ondulatoire et la mécanique des matrices sont

équivalentes. Elles correspondent à deux formulations particulières d'une théorie plus générale, dite mécanique

quantique, dont le formalisme a été essentiellement élaboré par Dirac, et que nous aborderons par la suite. Nous nous

limiterons pour quelque temps à la mécanique ondulatoire, qui nous permettra de nous initier de façon relativement

simple aux concepts quantiques.

Dans le paragraphe précédent, nous avons vu l'analogie qui existe entre les ondes de matière et les ondes

électromagnétiques de l'optique. En même temps, nous avons en fait attribué implicitement à ces ondes une

signification qui ne va pas forcément de soi : par exemple, l'interprétation que nous avons donnée de l'expérience

d'interférence photon par photon conduit à admettre que l'intensité de l'onde associée à une particule donne la

probabilité de trouver la particule en un point donné. Nous reviendrons plus loin sur l'interprétation et la cohérence

interne de la théorie quantique. L'interprétation statistique que nous adopterons ici, appelée interprétation statistique de

l'école de Copenhague et qui est très généralement admise aujourd'hui, est due à Born, Heisenberg et Bohr (1926-

1932). Signalons cependant que cette interprétation fut à l'époque l'objet de vives controverses : ses opposants les plus

célèbres furent Einstein et L. de Broglie lui-même.

Nous admettrons donc les postulats suivants :

- on peut associer à une particule matérielle une fonction d'onde )t,r(r

ψ qui caractérise son "état" : la fonction

d'onde contient toutes les informations qu'il est possible d'obtenir sur le corpuscule.

- )t,r(r

ψ est interprétée comme une amplitude de probabilité de présence : la probabilité pour que la particule

soit trouvée, à l'instant t, dans un élément de volume d3r = dxdydz situé au voisinage du point repéré par rr

, est donnée

par

rd)t,r(C)t,r(dP 32rrψ=

Lorsqu'on s'intéresse à un problème où on se limite à la description d'une seule particule, la probabilité totale

pour trouver la particule n'importe où dans l'espace à un instant t doit être égale à 1. On doit donc avoir :

∫ = 1)t,r(dPr

soit

∫ =ψ 1rd)t,r(C 32r

On en déduit que normalement la fonction d'onde doit être de carré sommable. On utilise souvent des fonctions

d'ondes normalisées, c'est à dire vérifiant

∫ =ψ 1rd)t,r( 32r

on a alors C = 1.

Nous compléterons ces postulats après l'étude de l'équation de Schrödinger et de quelques cas simples.

J.P. Rozet 2007 10

2) Equation de Schrödinger

Nous nous intéressons donc maintenant à l'équation d'évolution de la fonction d'onde. Il n'existe aucun

moyen de l'obtenir par un simple raisonnement déductif : on peut cependant donner certaines justifications au choix

d'une forme particulière de cette équation, dont la validité reposera sur la vérification expérimentale de ses

conséquences. Pour garder l'analogie établie avec le cas des photons (dualité onde corpuscule), on peut s'imposer les

conditions suivantes :

- l'équation d'onde doit être linéaire et homogène : en particulier, toute combinaison linéaire de solutions

particulières de l'équation doit aussi être solution.

- on cherchera à obtenir une équation différentielle du premier ordre par rapport au temps, de manière à ce que la

connaissance de la fonction d'onde à l'instant initial suffise à déterminer toute son évolution ultérieure.

- enfin, il doit exister une analogie formelle entre l'équation d'onde et les équations de la mécanique classique

(principe de correspondance).

Considérons le cas d'une particule libre ; comme dans le cas des photons, la forme la plus générale de l'onde

devrait être une superposition (paquet d'onde) d'ondes planes ( kr

= cst., ω = cst.) du type :

∫ ω−

π=ψ kde)k(g

)2(1)t,r( 3)tr.k(i

2/3

rrrr

Nous nous limiterons désormais au cas non relativiste, où la relation de dispersion ω=ω(k) se déduit de la

formule classique

m2pE

2= ⇒

m2k22h

h =ω

Calculons les dérivées partielles pouvant intervenir dans l'équation d'onde :

( ) ( )∫∫ ω−ω− ωπ

=Ψ∂∂

⇒ω−π

=∂ψ∂ kde)k(g

)2(1

tikde)k(gi

)2(1

t3)tr.k(i

2/33)tr.k(i

2/3

rrrr rhh

r

Pour un problème à trois dimensions, les dérivées partielles x∂∂ ,

y∂∂ ,

z∂∂ sont remplacées par l'opérateur

gradient :

( ) ( )∫∫ ω−ω−

π=ψ∇−⇒

π=ψ∇ kde)k(gk

)2(1)t,r(ikde)k(gki

)2(1)t,r( 3)tr.k(i

2/33)tr.k(i

2/3

rrrr rrh

rrh

rrrr

On revient à une quantité scalaire en répétant l'opération :

∫ ω−−π

=ψ∇∇=ψΔ kde)k(gk)2(1)t,r(.)t,r( 3)tr.k(i2

2/3

rrrrrrr

la relation m2k22h

h =ω implique alors que :

ψΔ−=π

=ωπ

=∂ψ∂

∫∫ ω−ω−

m2kde)k(g

m2k

)2(1kde)k(g

)2(1

ti

23)tr.k(i

22

2/33)tr.k(i

2/3hrhr

hhrrrr

D'où l'équation de Schrödinger pour une particule libre :

)t,r(m2t

)t,r(i2 rh

r

h ψΔ−=∂

ψ∂

J.P. Rozet 2007 11

L'analogie formelle avec la mécanique classique est basée quant à elle sur la notion d'opérateur. On remarque

en particulier sur les équations aux dérivées partielles précédentes qu'il est possible d'établir la règle de

correspondance :

ψ⇔ψ∇−

ψ⇔∂ψ∂

pi

Et

irr

h

h (E = hω)

)kp(rh

r=

Etablissons dès à présent une analogie avec les règles de la mécanique des matrices. Considérons la quantité xpx – pxx ,

où px est la composante suivant x de l'opérateur impulsion dont l'action s'écrira donc :

xipx ∂

ψ∂−=ψ h

On a:

ψ=

ψ+∂ψ∂

+∂ψ∂

−=

ψ∂∂

+∂ψ∂

−→ψ−

h

hhh

hh

i

ix

xix

xi

)x(x

i)x

i(x)xppx( xx

ce qui établit (au sens des opérateurs) :

(xpx – pxx) = i h

et on retrouve la loi de commutation de la mécanique des matrices :

QP - PQ = ihI

(où Q et P sont ici des matrices, objets mathématiques susceptibles de représenter un opérateur).

Considérons maintenant le cas où la particule subit l'action d'un potentiel V( rr ,t) ; son énergie est donnée par

:

)t,r,p(H)t,r(Vm2

pE2 rrr

=+=

On peut supposer que la règle de correspondance précédente reste toujours valable : on obtient alors l'équation

de Schrödinger dépendante du temps :

)t,r()t,r(V)t,r(m2t

)t,r(i2 rrrh

r

h ψ+ψΔ−=∂

ψ∂

D'une façon générale, l'équation de Schrödinger s'obtient de fait en remplaçant dans la fonction de Hamilton

H(pi,qi) les quantités pi par les opérateurs iq

i∂∂

− h . L'équation de Schrödinger s'écrit alors sous forme condensée :

ψ=∂ψ∂ Ht

ih

Notons dès à présent que le fait que les opérateurs associés à p et q ne commutent pas doit conduire à certaines

précautions dans l'utilisation de la règle de correspondance entre quantités classiques et opérateurs associés.

J.P. Rozet 2007 12

3) Equation aux valeurs propres (Equation de Schrödinger indépendante du temps)

Dans de nombreux cas, l'Hamiltonien H ne dépend pas explicitement du temps : c'est le cas en particulier des

systèmes conservatifs (où, classiquement, l'énergie est une constante du mouvement). En ce cas, il est possible de

trouver des solutions de la forme :

)t()r()t,r( χϕ=ψrr

En effet, en remplaçant dans l'équation de Schrödinger et en divisant les deux membres par ψ, on obtient alors :

)]r([H)r(

1dt

)t(d)t(

i rr

hϕ

ϕ=

χχ

Le membre de gauche ne dépend que du temps, celui de droite des coordonnées seulement : l'égalité n'est

possible que si les deux membres sont égaux à une constante. Remarquant que cette constante a les dimensions d'une

énergie, nous poserons qu'elle est égale à E = hω. On a alors :

hrrr

hh

Etititi e)r(e)r()t,r(eA)t()t(dt

)t(di−ω−ω− ϕ=ϕ=ψ⇒=χ⇒ωχ=

χ

où )r(r

ϕ est solution de l'équation :

)r(E)r(Hrr

ϕ=ϕ

que l'on appelle équation de Schrödinger indépendante du temps ou équation aux valeurs propres de H.

Lorsque le système est dans un état représenté par une fonction d'onde de la forme hrr /iEte)r()t,r( −ϕ=ψ

l'intensité de l'onde, ou densité de probabilité, donnée par 22 )r()t,r(rr

ϕ=ψ est indépendante du temps. On

dit qu'un tel état correspond à une solution stationnaire de l'équation de Schrödinger. Une seule pulsation ω (ou

énergie E = hω) apparaît dans la fonction d'onde, et un état stationnaire est aussi un état d'énergie E = hω bien défini.

Dans tous les cas (très fréquents) où H ne dépend pas explicitement du temps, la résolution du problème

consistera donc à chercher les états stationnaires solutions de l'équation :

H ϕ = E ϕ

Les solutions de l'équation de Schrödinger (dépendante du temps) sont alors de la forme : hrr /iEte)r()t,r( −ϕ=ψ

ou une superposition de celles-ci. Dans le langage de la théorie des équations aux dérivées partielles, une

équation du type :

Hϕn = Enϕn

porte le nom d'équation aux valeurs propres : il s'agit de trouver les valeurs de E, dites valeurs propres de

l'opérateur H, pour lesquelles l'équation différentielle admet une solution à valeur unique et finie, dite fonction propre

ou état propre de H. Nous verrons que dans le cas E < 0 correspondant aux états liés, cette équation n'admet de

solutions "acceptables" que pour certaines valeurs de E : c'est l'origine de la quantification de l'énergie.

J.P. Rozet 2007 13

4) Solutions acceptables comme fonction d'onde

Nous nous limiterons à la discussion des problèmes à une dimension. Les conclusions s'étendent sans difficulté

au cas général. L'équation de Schrödinger indépendante du temps s'écrit alors :

ϕ=ϕ+ϕ

− EVdxd

m2 2

22h

soit

ϕ−=ϕ )EV(m2

dxd

22

2

h

Pour que cette équation ait un sens, il faut pouvoir définir 2

2

dxd ϕ : ceci exige donc qu'en principe ϕ et

dxdϕ soient

des fonctions continues en tout point. Par ailleurs, puisque |ϕ(x)|2 est une densité de probabilité, ceci impose que ϕ soit

bornée partout.

Nous aurons l'occasion d'étudier des problèmes pour lesquels une modélisation simple consiste à utiliser des

potentiels présentant des discontinuités (ex. : potentiel "carré"). En ce cas, pour un état d'énergie bien déterminée (état

stationnaire solution de l'E. de S.), la dérivée seconde de ϕ présentera une discontinuité du même type que celle de V.

Supposons par exemple que V subisse une variation rapide au voisinage de x = x0. On a :

0dx)x()EV(m2lim)]x(')x('[lim0

0

x

x20000

=ϕ−=ε−ϕ−ε+ϕ ∫ε+

ε−→ε→ε h

,

et pourvu que ϕ reste bornée et que la discontinuité de V soit bornée, la dérivée ϕ' de la fonction d'onde demeure

continue ainsi que ϕ.

Notons finalement que si V présente une discontinuité infinie, ϕ' sera alors discontinue. On peut montrer par un

raisonnement analogue au précédent que la fonction d'onde elle même reste cependant continue.

5) Exemple : puits de potentiel carré infiniment profond

Intéressons nous à une situation où une particule de masse m est assujettie à se déplacer suivant l'axe Ox et est

soumise au "potentiel carré infini".

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>∞≤≤

<∞=

axpourax0pour0

0xpour)x(V

O a

V(x)

x

J.P. Rozet 2007 14

La particule ne pouvant pénétrer dans les régions x < 0 ou x > a, sa fonction d'onde doit y être identiquement

nulle (on peut d'ailleurs justifier cette nullité en étudiant le cas - un peu plus compliqué - où le potentiel reste fini dans

les régions x < 0 et x > a, puis en faisant tendre le potentiel vers l'infini).

Dans la région 0 ≤ x ≤ a, la fonction d'onde s'écrit :

h

iEt

e)x()t,x(−

ϕ=ψ

où ϕ(x) est solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

ϕ−=ϕ−=ϕ 2

22

2kmE2

dxd

h

en posant )pp(mE2k 2

2

2 hhh===

Cette équation différentielle se résout aisément et a pour solution

ϕ(x) = A sin(kx + φ)

Il est facile de voir que la condition de continuité de la fonction d'onde impose des restrictions sur les valeurs

possibles de k et donc de E (m2k22h

= ) ; on doit avoir

ϕ(0) = ϕ(a) = 0

⎩⎨⎧

≥π±=⇒=π=φ⇒=φ

⇒)0entiern(nka0kasinA

)(00sinA

Le cas φ = π conduit à ϕ(x) = A sin(kx + π) = - A sin kx ; de même, si φ = 0 et ka = -nπ, ϕ(x) = A sin (- xa

nπ )

= - A sin( xa

nπ ). Or deux fonctions d'onde ne différant entre elles que par leur signe représentent le même état

quantique, puisque seule la quantité |ϕ(x)|2 (densité de probabilité de présence) a un sens physique. On peut donc

choisir φ = 0 et k ≥ 0. Le cas k = 0 est également à rejeter, car il conduit à ϕ(x) = 0 en tout point (la probabilité de

présence serait nulle en tout point). En définitive, nous sommes conduits à la conclusion que les seules valeurs

possibles de E correspondent à :

ank π

= avec n entier > 0

soit :

22

2222

n nma2m2

kE hh π==

Seules certaines valeurs de E (les valeurs de En ci-dessus) sont permises : il y a quantification de l'énergie ( !).

J.P. Rozet 2007 15

III - FONCTION D'ONDE : PRINCIPE D'INCERTITUDE ET MESURE DES GRANDEURS PHYSIQUES

1) Principe d'incertitude de Heisenberg et mesure

a) Mesures de position et d'impulsion - principe d'incertitude

Considérons un faisceau de corpuscules (électrons ou photons) monocinétiques traversant un diaphragme de

largeur d.

X

Z

α

La traversée du diaphragme s'accompagne d'un effet de diffraction. La tache produite, observable sur un écran,

correspond à une ouverture du faisceau d'un angle

hsinpdpd

hd

sin =α→=λ

≅α (h : cste de Planck)

Cette dispersion en angle correspond à une dispersion de l'impulsion des particules suivant la direction Ox

donnée par

Δpx = p sinα

Supposons donc que l'on veuille définir avec précision le point de l'axe Ox où une particule est passée, c'est à

dire effectuer une mesure de la position d'une particule à un instant t donné : l'incertitude sur x est donnée par d, soit :

Δx = d

d'où :

xh

dh

dphpsinppx Δ

==≅α=Δ

soit :

Δx.Δpx ≅ h

ce que l'on peut traduire en disant que "l'impulsion de la particule, supposée parfaitement connue avant

l'opération de mesure, a été perturbée de façon incontrôlable d'une quantité de l'ordre de x

hΔ

par cette opération".

Une autre méthode de mesure de la position d'un objet consiste à éclairer cet objet et à observer son image au

travers d'un microscope. Là encore, la précision de la mesure est limitée par les phénomènes de diffraction, et on

obtient une "tache" de dimensions Δx donnée par

αλ

≅Δsin

x

où α est le demi angle d'ouverture du microscope et λ la longueur d'onde de la lumière utilisée.

J.P. Rozet 2007 16

α

Par ailleurs, la théorie de l'effet Compton montre

que la particule irradiée par la lumière incidente reçoit,

pour chaque photon diffusé d'un angle α, une "impulsion

de recul" de l'ordre de αν sinc

h , si hν est l'énergie des

photons incidents. Le photon incident a une impulsion

bien déterminée, mais sa direction de diffusion n'est

connue qu'à l'angle α près (ouverture).

L'impulsion transférée à la particule n'est connue qu'à Δpx près, donnée par :

αλ

=α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ν

≅Δ sinhsinc

hpx

D'où

hsinhsin

p.x x =αλ

×α

λ≅ΔΔ

La relation Δx.Δpx ≅ h s'appelle la relation d'incertitude de Heisenberg. Elle recouvre deux notions

complémentaires :

- la mesure de la position de la particule avec une précision Δx a pour conséquence de communiquer à la

particule une quantité de mouvement imprévisible et incontrôlable Δp de l'ordre de x

hΔ

: plus on essaie de rendre Δx

petit (en diminuant la taille du diaphragme ou en diminuant λ et augmentant α dans le cas du microscope), plus Δp

devient grand, et il n'est pas possible d'effectuer une mesure simultanée de la position et de la quantité de

mouvement avec une précision supérieure à la limite donnée par Δx.Δp ≅ h.

- en même temps, et il s'agit là d'une notion très importante sur laquelle nous reviendrons, le principe même de

la mesure perturbe profondément l'état du système mesuré. Cette perturbation est de plus imprévisible et incontrôlable à

l'intérieur des limites fixées par le principe d'incertitude. Par exemple, un corpuscule d'impulsion bien déterminée à

l'origine mais de position complètement indéterminée (onde plane) a une impulsion d'incertitude Δp après la mesure si

la mesure de position s'est faite à p

hxΔ

=Δ près (ceci correspond à un paquet d'onde d'extension Δx en x et Δp en p).

On peut trouver d'autres exemples de mesures montrant que, symétriquement, toute mesure d'une impulsion à

Δp près entraîne une incertitude correspondante p

hxΔ

≅Δ de la position après la mesure.

b) Abandon de la notion de trajectoire pour les objets quantiques

Reprenons l'exemple du grain de poussière, dont les dimensions sont de l'ordre du µ, et supposons sa vitesse

égale à 0,2 mm/s (→ K1k2/3

mv2/1T2

°≅≅ ). Si on mesure sa position à 0,01 µ près, c'est à dire avec une précision très

inférieure à ses dimensions, l'incertitude sur son impulsion doit vérifier :

J.P. Rozet 2007 17

1268

34kgms106

1010.6

xhp −−

−

−

=≅Δ

≅Δ

alors que p = mv = 10-15 × 2.10-4 = 2.10-19 kgms-1

soit 710pp −≅

Δ

précision sur son impulsion quasiment impossible à atteindre avec un appareil de mesure. En ce cas, la relation

d'incertitude n'introduit aucune restriction significative sur la précision avec laquelle on peut fixer à la fois position et

impulsion de la particule, et la notion classique de trajectoire garde son sens.

Considérons maintenant l'électron de l'atome d'hydrogène, que le modèle de Bohr décrit comme ayant une

trajectoire classique, avec une vitesse v et un rayon r. Ceci n'a de sens que si les incertitudes sur la position et

l'impulsion vérifient :

1rx

<<Δ et 1

pp

<<Δ ⇒ Δx.Δp << r p

or, dans le modèle de Bohr,

r p = L = nh

La notion de trajectoire classique impose donc :

Δx.Δp << n h

alors que le principe d'incertitude impose :

Δx.Δp ≥ h

Ces deux inégalités sont incompatibles, sauf si n >> 1 : l'atome d'hydrogène est un objet quantique, pour lequel

la notion de trajectoire de l'électron n'a pas de sens. On pourra cependant conserver cette image semi-classique de

trajectoire pour les états très excités de n >> 1 (qui restent quantifiés) : les atomes dans de tels états très excités portent

le nom d'atomes de Rydberg.

c) Dualité onde-corpuscule et complémentarité

Reprenons l'analyse de l'expérience d'interférence (fentes d'Young) dont nous avons déjà parlé. Nous avons vu

qu'effectuer cette analyse en termes de photons (ou de particules) seulement, ou en termes d'ondes seulement n'est pas

possible : les aspects ondulatoires et corpusculaires de la lumière sont tous deux indispensables à l'explication des

phénomènes observés. Par ailleurs, ces aspects s'excluent mutuellement, en ce sens qu'il est impossible de mettre en

évidence l'un des deux aspects sans détruire la possibilité d'observer l'autre. En particulier, il est impossible d'observer

la figure d'interférence et de savoir en même temps par quelle fente est passé chaque photon (voir "Pour la

Science" Fev.95). On dit que propriétés ondulatoires et propriétés corpusculaires sont complémentaires. La notion de

dualité onde corpuscule oblige à renoncer à l'idée qu'un photon (particule) passe, dans cette expérience, par une fente

déterminée ; autrement dit, encore une fois, il faut renoncer à la notion de trajectoire d'une particule. De fait, la

complémentarité des aspects corpusculaires et ondulatoires est intimement liée au principe d'incertitude.

Soit a la distance entre les deux fentes, et d la distance fente-écran. La distance entre franges vaut :

adi λ

=

J.P. Rozet 2007 18

Il est clair que les figures d'interférence ne sont visibles que si la position des fentes est connue avec une

précision δx inférieure à i :

adx λ

<δ

L'aspect ondulatoire est mis en évidence par l'observation de franges. L'aspect corpusculaire pourrait être mis en

évidence simultanément s’il était possible de savoir par quelle fente passe chaque photon. Un détecteur de photon placé

derrière une fente les arrêterait et les franges disparaîtraient aussitôt. On peut cependant imaginer un dispositif, qui,

enregistrant le transfert d'impulsion entre un corpuscule et les fentes, permettrait de savoir par quelle fente il est passé.

On peut montrer (Cohen-Tannoudji, complément D1) que le transfert d'impulsion diffère, suivant que le photon est

passé par l'une ou l'autre fente, de :

dah

dapp

λ=≅δ (

λ=

hp )

Pour mettre en évidence simultanément les deux aspects, il faut donc connaître à la fois la position et l'impulsion

des fentes avec :

adx λ<δ et

dahp

λ<δ , soit :

δx . δp < h

ce qui violerait le principe d'incertitude : on ne peut déterminer la fente par laquelle est passé le photon sans

faire disparaître les interférences.

On retrouve ainsi l'idée que lorsque l'on effectue une mesure sur un système physique microscopique, on le

perturbe de façon fondamentale : en mécanique quantique, on ne peut négliger le rôle joué par l'appareil de mesure

lorsque l'on effectue une observation sur un système.

2) Mesures de la position et de l'impulsion - valeurs moyennes

a) Probabilité du résultat d'une mesure

Nous sommes amenés à conclure qu'en mécanique ondulatoire, les résultats d'une mesure sont incertains, sauf

cas particuliers sur lesquels nous reviendrons : en général, toute une gamme de valeurs est possible, et

le résultat de la mesure est aléatoire.

Il faut en général pour caractériser l'état d'un système procéder à un grand nombre de mesures. En particulier, on

peut obtenir deux systèmes "identiques" en les "préparant de la même manière" : du point de vue de la mesure, ces deux

systèmes n'apparaîtront identiques que de façon statistique, c'est à dire qu'au bout d'un grand nombre de mesures on

constatera que les lois de caractère probabiliste donnant les résultats possibles sont effectivement identiques.

Ces probabilités sont reliées à l'expression de la fonction d'onde, et deux systèmes identiques seront

caractérisés par des fonctions d'onde identiques.

J.P. Rozet 2007 19

b) Valeur moyenne des résultats d'une mesure de la position

La probabilité pour trouver une particule dans l'élément de volume d3r au voisinage de rr

est donnée par :

rd)t,r(rd)t,r(P)t,r(dP 323 rrrψ==

si )t,r(r

ψ est normée, c'est à dire que ∫ =ψ 1rd)t,r( 32r

On en déduit la valeur moyenne des résultats d'une mesure de la position à l'instant t, que l'on note trr

:

∫ ∫ ψψ=ψ= rd)t,r().t,r(*rrd)t,r(rr 332t

rrrrrr

que l’on peut aussi bien noter, et ceci pour des raisons qui vont apparaître dans le paragraphe suivant

∫ ψψ= rd)t,r(r)t,r(*r 3t

rrrr

c) Valeur moyenne des résultats d'une mesure de l'impulsion

En mécanique ondulatoire, l'expression la plus générale pour la fonction d'onde correspondant à une particule

libre est le paquet d'onde :

kde)k(g)2(1)t,r( 3)trk(i

2/3 ∫ ω−

π=ψ

rrrr

qui peut aussi s'écrire :

kde)t,k(g)2(1)t,r( 3rki

2/3 ∫π=ψ

rrrr

et ψ( rr

,t) apparaît comme la transformée de Fourier (inverse) de la fonction g( kr

,t). On peut aussi regarder

ψ( rr

,t) comme une combinaison linéaire d'ondes planes de vecteurs kr

ou impulsions kprh

r= bien déterminés, chaque

onde étant affectée du coefficient )k(g)2(1

2/3

r

π. Si cette combinaison ne comportait qu'un seul terme rki 0e

rr

, le résultat

d'une mesure de pr

serait certainement celui correspondant à la valeur 00 kprh

r= .

De façon générale, utilisant la transformation de Fourier :

rde)t,r()2(1)t,k(g 3rki

2/3 ∫ −ψπ

=rrrr

on constate que la fonction d'onde ψ( rr

,t), interprétée comme une amplitude de probabilité sur rr

, donne le

poids relatif des ondes planes rkierr

− dans la combinaison linéaire de celles-ci donnant g( kr

,t). Il est donc "naturel" de

faire jouer à g( kr

,t) un rôle symétrique à celui de ψ( rr

,t) et d'interpréter g( kr

,t) comme une amplitude de probabilité

dans l'espace des vecteurs d'onde ou impulsion : on donne à g( kr

,t) le nom de fonction d'onde dans l'espace des

vecteurs d'ondes (écrite en fonction de kprh

r= , ce sera la fonction d'onde dans l'espace des impulsions).

Poursuivant le raisonnement, nous écrirons donc que la probabilité kd)t,k( 3r

Π de trouver une valeur de kr

dans

l'élément de "volume" d3k est donnée par

J.P. Rozet 2007 20

kd)t,k(gkd)t,k()t,k(d 323rrr

=Π=Π

On note par ailleurs que le produit scalaire étant conservé par transformée de Fourier, si )t,r(r

ψ est normée, sa

transformée de Fourier g( kr

,t) l'est aussi.

∫∫ =⇔=ψ 1kd)t,k(g1rd)t,r( 3232 rr

La valeur moyenne pour une mesure de pr

est donc donnée par :

∫== kd)t,k(gkkp 32

tt

rrh

rh

r

On peut aussi utiliser, au lieu des variables conjuguées rr

et kr

, les variables rr

et pr

directement. On

conviendra alors de définir les transformations de Fourier par :

∫ ψπ

=ψ pd)t,p(e)2(

1)t,r( 3/)rpi(2/3

r

h

r hrr

et :

∫ ψπ

=ψ − rd)t,r(e)2(

1)t,p( 3/)rpi(2/3

r

h

r hrr

ou, pour les problèmes à une dimension (et en n'écrivant plus explicitement les dépendances avec le temps) :

∫ ψπ

=ψ dp)p(e21)x( /ipx h

h

∫ ψπ

=ψ − dx)x(e21)p( /ipx h

h

De nombreux résultats peuvent s'obtenir à partir du théorème de Parseval :

∫ ∫ ψψ=ψψ ∗∗ dp)p()p(dx)x()x( 1212

En particulier, comme :

∫ ∫ψ

−− ψπ

−∂ψ∂

π==ψ

∂∂

4444 34444 21 hhh

hh

)p(

/ipx/ipx dx)x(e21ipdx

xe

210)p(

x

on a :

∫ ∫ ψ=ψπ

=∂ψ∂

π−− )p(ipdx)x(e

21ipdx)x(

xe

21 /ipx/ipx

hhhh

hh

⇒ la transformée de Fourier de x∂ψ∂ est égale à

h

ip fois celle de ψ(x) ; inversement, celle de )p(ipψ

h est

)x(x

ψ∂∂ . On a donc :

∫ ∫ ∫ ψ∂∂

ψ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψψ−=ψψ= dx)x(

x)x(*idp)p(ip)p(*idp)p(p)p(*p h

hh

que l'on peut réécrire

∫ ∫ Ψ∂∂

ψ=Ψ∂∂

−ψ= dx)x()xi

)(x(*dx)x()x

i)(x(*p hh

Cette formule se généralise au cas à trois dimensions en écrivant :

J.P. Rozet 2007 21

∫ ψ∇ψ= rd)t,r(i

)t,r(*p 3t

rrhrr

et on retrouve la règle de correspondance, établie plus haut de façon empirique à propos de l'équation de

Schrödinger, entre grandeurs physiques usuelles et opérateurs , en ce qui concerne leur action sur les fonctions d'ondes

dans l'espace (des vecteurs position) :

rr

→ multiplication par rr

pr

→ action de l'opérateur ∇rh

i

d) Mesure d'une grandeur fonction de rr

et pr

Nous généralisons les résultats précédents. À une grandeur physique quelconque A, fonction de rr

et pr

, nous

associons un opérateur A, obtenu en substituant rr

à rr

et ∇rh

i à pr

dans son expression classique. Par exemple :

Δ−→==m2m2

p)E(T22

ch

Sa valeur moyenne <A> s'écrit :

∫ ψψ= rd)t,r()p,r(A)t,r(*A 3t

rrrr

où il faut considérer que A est un opérateur agissant sur )t,r(r

ψ .

e) Représentations rr

et pr

Il est un point important sur lequel nous reviendrons en détail dans le cadre du formalisme de la mécanique

quantique : la transformation de Fourier qui associe )p(r

ψ à )r(r

ψ (et inversement) établit une correspondance

biunivoque entre ces deux fonctions. La donnée de la fonction )p(r

ψ suffit donc, aussi bien que celle de )r(r

ψ , à

définir l'état dynamique de la particule. Ceci est illustré par l'équivalence des écritures de la valeur moyenne de pr

∫ ∫ ψ∇ψ=ψψ= rd)r(i

)r(*pd)p(p)p(*p 33 rrhrrrr

On donne à )p(r

ψ le nom de fonction d'onde dans l'espace des impulsions. On dit aussi que les fonctions

)r(r

ψ et )p(r

ψ sont des représentations équivalentes d'un même état dynamique (représentation { }rr et { }pr

).

En particulier, on notera que de la même façon que nous avons associé à l'opérateur pr

l'opérateur :

∇→rhr

i)p( en représentation { }rr ,

on peut associer à l'opérateur rr

l'opérateur :

pi)r( ∇→r

hr

en représentation { }pr

,

où p∇r

est l'opérateur gradient dans l'espace des impulsions (de composantes zyx p

,p

,p ∂

∂∂

∂∂

∂ ).

J.P. Rozet 2007 22

3) Grandeurs physiques et observables

a) Remarques sur le principe de correspondance

Le principe de correspondance énoncé plus haut à propos du passage des grandeurs physiques aux opérateurs

associés a besoin d'être précisé. En effet, d'une part la forme générale obtenue pour un opérateur se trouve dépendre du

système de coordonnées choisi, et d'autre part, le fait que les opérateurs associés à rr

et pr

ne commutent pas conduit à

des difficultés dans le choix de l'opérateur associé à une grandeur du type g( pr

).f( rr

) )prrp(rrrr

≠ .

Il convient donc de se conformer à des règles strictes, dont on peut montrer qu'elles sont indispensables pour

aboutir à une interprétation statistique cohérente de la fonction d'onde :

• La règle de correspondance ne s'applique que si les variables conjuguées p et q sont des coordonnées

cartésiennes.

• Les expressions du type )r(fprr

doivent être symétrisées, et on utilise donc l'expression :

( )p).r(f)r(fp21)r(f.p

rrrrrr+→

qui devra être utilisée à chaque fois que l'on a affaire à des variables qui ne commutent pas.

b) Observables physiques

Considérons une grandeur physique )p,r(rr

A à laquelle est associée l'opérateur )i

,r(A ∇rhr

. Sa valeur moyenne

dans l'état )t,r(r

ψ est donnée par :

∫ ψψ= rd)t,r(A)t,r(*A 3rr

L'opérateur A agissant sur ψ lui fait correspondre une nouvelle fonction d'onde :

)t,r(A)t,r('rr

ψ=ψ

Le principe de superposition impose que A soit un opérateur linéaire, c'est à dire que

A(λ1ψ1 + λ2ψ2) = λ1(Aψ1) + λ2(Aψ2)

Par ailleurs, si on veut que la valeur moyenne de A ait un sens physique, elle doit être réelle. On doit donc avoir

<A>* = <A>

soit :

∫ ∫∫∫ ψψ=ψψ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψψ=ψψ

ψψ

∗

ψψrd*)A(rd*)A(rd)A(*rd)A(* 3

*)'(

3

*)'(

3

'

3

'

Un opérateur satisfaisant une telle propriété est dit hermitique. De façon plus générale, on définit l'adjoint d'un

opérateur par la relation :

( ) ∫∫ ψψ=ψψ +∗∗∗ rdArdA 321

312 ou : ∫ ∫ ψψ=ψψ +∗∗ rd)A(rd)A( 3

213

12

ou encore :

∫ ∫ ψψ=ψψ ∗+∗ rd)A(rd)A( 312

312

J.P. Rozet 2007 23

Si A = A+ , on dit que A est self-adjoint ou hermitique. Nous aboutissons donc à la conclusion importante

qu'une variable physique ne peut être représentée que par un opérateur linéaire hermitique.

4) Mesure des grandeurs physiques : valeurs propres

a) Principe de décomposition spectrale

Nous reprenons une fois de plus l'analyse d'une expérience d'optique, concernant cette fois la polarisation de la

lumière : ceci va nous permettre de préciser un peu plus les caractéristiques du processus de mesure en mécanique

quantique.

On envoie une onde plane monochromatique et polarisée sur un analyseur. Soit donc une onde caractérisée par : )tkz(i

p0 eeE)t,r(E ω−=rrr

où per

est un vecteur unitaire repérant la direction du vecteur champ électrique (polarisation). Cette onde se

propage suivant 0z, et son intensité lumineuse I0 est proportionnelle à |E0|2. Si on dispose un analyseur A laissant passer

la lumière polarisée suivant l'axe 0x, et qu'on appelle θ l'angle entre per

et le vecteur unitaire xer

, on obtient à la sortie

de l'analyseur une onde plane polarisée suivant Ox )tkz(i

x0 ee'E)t,r('E ω−=rrr

d'intensité I', proportionnelle à |E0|2, et donnée par la loi de Malus : I' = I0 cos2θ (⇔ E'0 = E0 cosθ)

Après cette analyse en termes d'onde, examinons ce qui se passe en termes de photons (corpuscules). Pour ceux-

ci, tout se passe en termes de "tout ou rien" : soit le photon passe (→ oui), soit il est absorbé par l'analyseur (→ non).

Ce n'est que pour un grand nombre N de photons incidents que l'on retrouvera la loi classique, en ce sens qu'on

détectera en moyenne N cos2θ photons après l'analyseur. On ne peut prédire avec certitude le comportement de chaque

photon : il a simplement une probabilité cos2θ de passer au travers de l'analyseur.

conclusions :

i) L'appareil de mesure ne peut donner que certains résultats (ici oui/non), qu'on appellera résultats propres : il y a

quantification du résultat de la mesure (par opposition à l'analyse classique où l'intensité varie de façon continue entre

I0 et 0 suivant la loi I0cos2θ).

ii) A chacun des résultats propres correspond un état propre. Ici, les deux états propres sont caractérisés par :

xp eerr

= (→ le photon passe à tout coup)

yp eerr

= (→ le photon ne passe jamais)

Si le corpuscule (photon) se trouve dans un de ces états propres avant la mesure, le résultat est certain, et ne peut

être que le résultat propre associé (oui/non).

iii) Lorsque l'état avant la mesure est "quelconque", on ne peut faire de prédictions sur le résultat de la mesure

que de nature probabiliste : pour trouver les lois de probabilité, on décompose l'état du corpuscule (direction de per )

en une combinaison linéaire des divers états propres. Ici, on écrit :

θ+θ= sinecosee yxprrr

J.P. Rozet 2007 24

La probabilité d'obtenir un résultat (propre) donné est alors proportionnelle au carré du module du

coefficient de la combinaison :

Probabilité de franchir l'analyseur cos2θ

Probabilité de ne pas franchir l'analyseur sin2θ

______

Somme 1

(le facteur de proportionnalité est fixé par la condition : {somme des probabilités = 1}).

Cette règle de décomposition est appelée en mécanique quantique principe de décomposition spectrale.

iv) On remarquera une fois de plus le rôle joué par l'appareil de mesure :

• dans la décomposition en états propres (qui donne les valeurs cos2θ et sin2θ), le choix des axes Ox et Oy

est fixé par l'orientation de l'analyseur

• après passage de l'analyseur, la lumière est complètement polarisée suivant Ox : une nouvelle mesure de

polarisation suivant le même axe donnerait un résultat certain. Ceci traduit une nouvelle fois le fait que la

mesure perturbe de façon fondamentale le système microscopique.

• après la mesure, l'état du système a changé (théorème de projection, réduction du paquet d'ondes).

b) Mesure des grandeurs physiques : résultats possibles, probabilités

Nous généralisons les résultats précédents.

Postulat : Les seules valeurs susceptibles d'être obtenues lors d'une mesure d'une grandeur )p,r(rr

A sont les

valeurs propres aα de l'opérateur )p,r(Arr

associé, c'est à dire les valeurs aα pour lesquelles l'équation

)t,r(a)t,r()p,r(Arrrr

ααα ψ=ψ

a des solutions autres que la solution nulle.

Les fonctions )t,r(r

αψ sont appelées fonctions propres de l'opérateur A. Lorsque le système est dans un état

décrit par une fonction )t,r(r

αψ , on dit que le système est dans l'état propre de A relatif à la valeur propre aα : le

résultat d'une mesure de A est alors, avec certitude, aα.

Si le système est dans un état correspondant à une superposition linéaire du type :

∑α

αα ψ=ψ )t,r(C)t,r(rr

les probabilités de trouver les diverses valeurs aα lors d'une mesure de A sont données par les carrés des modules

des coefficients :

P(aα) = |Cα|2 (pourvu que ∑α

α = 1C 2 )

Enfin, notons que si la mesure a effectivement donné aα, la fonction d'onde décrivant le corpuscule

immédiatement après la mesure est la fonction propre correspondante )t,r(r

αψ (réduction du paquet d'ondes).

J.P. Rozet 2007 25

5) Formulation précise du principe d'incertitude

a) Commutateur

Nous avons déjà signalé que les opérateurs correspondant aux observables physiques pouvaient obéir à des

règles de commutation particulières : en général, le produit de deux opérateurs n'est pas commutatif. Nous introduisons

la notation conventionnelle pour le commutateur de deux opérateurs A et B :

[A,B] = AB - BA

Si ce commutateur est nul, on dit que les deux opérateurs commutent.

Dans le cas des variables conjuguées x et px, on écrira donc (voir calcul plus haut) :

[x,px] = i h

Notant qu'en représentation { }rr , l'opérateur px s'écrit xi ∂∂h , on montre d’ailleurs facilement les relations de

commutation suivantes (généralisant la formule précédente):

[ri,pj] = i h δij xfi]p),x(f[ x ∂

∂= h

xx p

gi)]p(g,x[∂∂

= h

ou, plus généralement :

iii q

fi]p),q(f[∂∂

= h i

ii pgi)]p(g,q[

∂∂

= h …etc...(voir T.D.)

En remarquant que par définition de la conjugaison hermitique

(AB)+ = B+A+

on a :

[A,B]+ = (AB - BA)+ = B+A+ - A+B+ = - [A+,B+] ,

on peut faire deux remarques importantes :

- le produit de deux opérateurs hermitiques n'est hermitique que si [A,B] = 0

(on a alors (AB)+ = B+A+ = BA = AB)

- le commutateur de deux opérateurs hermitiques n'est pas un opérateur hermitique (sauf si le commutateur est

nul...)

[A,B]+ = - [A,B]

Cependant, si on pose

[A,B] = i C avec A et B hermitiques

alors :

C+ = (-i[A,B])+ = i[A,B]+ = -i[A,B] = C

⇒ si A et B sont hermitiques, l'opérateur C ainsi défini l'est aussi.

Exemple : f(x) et px étant hermitiques, x

)x(fxfi]p),x(f[ x ∂

∂⇒

∂∂

= h hermitique.

b) Démonstration de la relation d'incertitude

Soit A un opérateur quelconque, et A+ son adjoint. Alors :

J.P. Rozet 2007 26

∫ ∫∫∫ τψ=τψψ=τψψ=τψψ= ++++++ dAd)A(*)A(d)A(A*d)AA(*AA2

⇒ <AA+> ≥ 0

Soient alors deux opérateurs hermitiques A et B dont le commutateur peut s'écrire

[A,B] = i C

compte tenu de ce qui précède, C est hermitique.

Intéressons nous à l'opérateur (A + iλB) avec λ réel

alors :

(A + iλB)+ = (A+ - iλB+) = A - iλB

Cet opérateur satisfait à l'inégalité démontrée plus haut

<(A+iλB) (A+iλB)+> ≥ 0 ⇒ <A2 - iλ(AB-BA) + λ2B2> ≥ 0 <A2> + λ<C> + λ2<B2> ≥ 0

le discriminant du trinôme du 2e degré en λ doit donc être négatif ou nul :

<C>2 - 4<A2><B2> ≤ 0 ⇒ <A2> <B2> ≥ 4

C 2

Si A et B sont hermitiques, les opérateurs

δA = A - <A> et δB = B - <B>

le sont aussi (<A> et <B> sont des nombres réels).

On a de plus :

[δA,δB] = AB -A<B> - <A>B + <A><B> - BA + B<A> + <B>A - <B><A>

Les valeurs moyennes sont des nombres qui commutent ⇒

[δA,δB] = AB - BA = [A,B] = iC

L'inégalité précédente donne, en remplaçant A et B par δA et δB :

<δA2> <δB2> ≥ 4

C 2

notons que :

<δA2> = <(A-<A>)2> = <A2-2A<A> + <A>2> = <A2> - 2<A>2 + <A>2 = <A2> - <A>2 = (ΔA)2

de même

<δB2> = (ΔB)2

D'où la relation sur les écarts quadratiques moyens ΔA et ΔB définis par :

ΔA = (<A2> - <A>2)1/2

2CB.AiC]B,A[ ><

≥ΔΔ⇒=

En particulier, [ri,pj] = ihδij ⇒

2/p.z

2/p.y2/p.x

z

y

x

h

h

h

≥ΔΔ

≥ΔΔ≥ΔΔ

On remarquera que, par contre, [ri,pj] = 0 si i ≠ j ⇒ Δri.Δpj ≥ 0 : il n'y a pas de relation d'incertitude attachée à la

mesure simultanée de telles quantités.

On dit aussi que deux observables qui commutent sont compatibles.

J.P. Rozet 2007 27

c) Exemple d'application : énergie minimum d'un état lié

On peut utiliser le principe d'incertitude pour estimer l'énergie cinétique moyenne (minimum) d'un corpuscule

se déplaçant dans un volume limité de l'espace. Considérons par exemple le cas où

)p(2

pz

)p(2

py

)p(2

px

z0y0x0

zz

yy

xx

≅≥Δ⇒≅Δ

≅≥Δ⇒≅Δ

≅≥Δ⇒≅Δ

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

≤≤≤≤≤≤

l

hl

l

hl

l

hl

l

l

l

et 2

22

C m83

m2pE

l

h≥=

→ On ne peut pas avoir simultanément l=0 et E=0

Exemples :

Atome l = 0,53 Å ⇒ eV10

mc8c3E 22

22

C ≅≅l

h

Nucléon d'un noyau l ≅ 2 F ⇒ EC ≅ 4 MeV

Cas du puits de potentiel: (voir II-5)

dans l'état "fondamental" E1 (n=1), on a :

p = hk = ahπ et h

tiE1

eaxsinA)t,x(

−π=ψ

⇒ ap = πh ⇒ Δx.Δp ≅ h

plus précisément : )61(121ax,)

231(

3ax,

2ax 22

22

π−=Δ

π−==

ap,

ap,0p 2

222 π

=Δπ

==hh

hh 57,0)61(121p.x 2 ≅

π−π=ΔΔ

J.P. Rozet 2007 28

6) Relation d'incertitude temps-énergie

a) Principe d'incertitude temporel

Bien que l'énergie et le temps ne soient pas des variables conjuguées (au sens de Hamilton) à proprement parler,

il existe une autre relation d'incertitude, qui essentiellement relie l'incertitude ΔE sur la valeur prise par la variable

dynamique E à un intervalle de temps Δt caractéristique du rythme d'évolution du système. Cette relation s'écrit :

ΔE.Δt ≥ h

Une première façon d'illustrer ce principe consiste à considérer un paquet d'ondes planes monochromatiques

d'extensions Δx et Δp dans l'espace physique et l'espace des moments respectivement, représentant une particule libre.

Si on veut déterminer l'instant de passage de la particule en un point, sa vitesse de groupe étant v, compte tenu

de l'incertitude sur x, Δx, on aura une incertitude sur le temps de passage

vxt Δ

≅Δ

Par ailleurs :

p.vpmpE

m2pE

2Δ=Δ=Δ⇒= ⇒

2p.xpv.

vxE.t h

≥ΔΔ=ΔΔ

≅ΔΔ

Une autre façon d'illustrer la relation est d'examiner le cas où l'état quantique d'une particule est la superposition

de deux états stationnaires d'énergies E1 et E2 respectivement. Sa fonction d'onde est de la forme : hh rrr /tiE

2/tiE

121 e)r(e)r()t,r( −− βϕ+αϕ=ψ

⇒ [ ]hr /t)EE(i21e

22

21

2 21e]*[R2)r()r()t,r( −∗ϕβϕα+βϕ+αϕ=ψ

La densité de probabilité évolue donc dans le temps avec la période

Eh

EE2

21 Δ=

−π=τ

h

On retrouve une relation entre le temps caractéristique d'évolution Δt ≅ τ du système et l'incertitude

correspondante sur l'énergie ΔE donnée par :

ΔE.Δt ≅ h

On peut donner une formulation plus précise de cette relation dans certains cas particuliers, comme nous allons

le voir dans le paragraphe suivant.

b) Lien avec la durée de vie des états excités

Considérons un noyau radioactif ou un atome dans un état excité, la désexcitation se faisant par émission de

photons.

La probabilité d'émission de photon au cours du temps suit une loi du type 22/t/t

0 eaeII τ−τ− ==

où τ est la durée de vie de l'état excité.

Classiquement, on peut décrire le processus d'émission comme un train d'onde amorti :

J.P. Rozet 2007 29

ti0

0e)t()t( ωε=ε avec ⎪⎩

⎪⎨⎧

>=ε

<=ετ− 0tpourea)t(

0tpour0)t(2/t

0

0

ε(t) n'est pas une véritable fonction harmonique, puisque son amplitude dépend du temps. Si on cherche A(ω)

telle que ε(t) soit une superposition d'ondes planes (harmoniques) :

∫ ωωπ

=ε ω de)(A21)t( ti

(où ω et t jouent le rôle de variables conjuguées équivalentes à x et k précédemment), A(ω) est donnée par

(décomposition par transformée de Fourier) :

∫+∞

∞−

ω−επ

=ω dte)t(21)(A ti

∫+∞

ω−ωτ−

π=ω

0

t)(i2/t dteea21)(A 0

∫∞

τ−ω−ω

π=ω

0

t]2/1)(i[ dtea21)(A 0

et on trouve :

)(i21

12a)(A

0 ω−ω−τ

π=ω

soit

22

0

22

41)(

12a)(A

τ+ω−ωπ

=ω

La variation de |A(ω)|2 en fonction de δω = ω - ω0 est appelée courbe de Lorentz ou Lorentzienne.

Cette courbe passe par un maximum pour ω = ω0 . Sa largeur à mi-hauteur Δω est égale à τ1

, et correspond à

ce que l'on appelle la largeur naturelle de la raie. On a :

τ=ωΔ=Δ=Γh

hE

On retrouve ainsi le lien entre incertitude temporelle (caractérisée par la durée de vie τ) et incertitude en énergie

(caractérisée par la largeur naturelle de la raie spectrale correspondante) :

τ.ΔE = h

Application : hc = 1970 eV Å ⇒ h ≅ 6,6 10-16 eV.s

τ = 10-15 s → ΔE = 0,66 eV

τ = 10-9 s → ΔE = 6,6 10-7 eV ⇒ 9101=

τ=ωΔ

)MHz100(Hz102

8≅πωΔ

=νΔ

J.P. Rozet 2007 30

7) Evolution temporelle des valeurs moyennes

a) Formule générale :

∫ ∫∫∫ ψψ−=ψψ−=ψψ−=ψψ

⇒

ψ=ψ

−⇒ψ=ψ

+ rdHA*rd)A(H*rd)A(*)H(rdAdt

)t,r(*di

*))t,r(H(dt

*di)t,r( )t(Hdt

)t,r(di

3333r

h

rh

rr

h

car H est hermitique. D'où :

><+><=

ψψ+><+ψψ−=ψψ=><

∫∫∫

dtdA)]t(H,A[

i1

rdAH*i1

dtdArdHA*

i1rdA*

dtd

dtAd 333

h

hh

soit : ><+><=><

dtdA)]t(H,A[

i1

dtAd

h

b) Cas des variables rr

et pr

: théorème d'Ehrenfest

x

2x

2p

mi]

m2p,x[]

m2p,x[]H,x[ h

===

pmi]H,r[rhr

=⇒ (notation abrégée)

⇒ mpr

dtd ><

>=<r

r

de même :

)r(Vi)]r(V,p[]H,p[rr

hrrr

∇==

⇒ >∇<−>=< )r(VPdtd rrr

Ces équations ont une forme semblable à celles des équations classiques :

vmp

dtrd r

rr

==

F)r(Vdtpd rrrr

=∇−=

J.P. Rozet 2007 31

8) Evolution temporelle : conservation de la probabilité - Densité de courant

a) Norme du vecteur d'état

Calculons ∫ Ψ∂∂ 23 )t,r(rdt

r :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

∂∂

Ψ+Ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

∂∂

=Ψ∂∂ )t,r(

t)t,r()t,r()t,r(

t)t,r(

t**2 rrrrr

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ΨΨ−ΨΨ=Ψ

∂∂

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Ψ−=Ψ∂∂

Ψ=Ψ∂∂

)t,r()t,r()t(H)t,r()t(H)t,r(i1)t,r(

t*))t,r()t(H(i1)t,r(

t

)t,r()t(Hi1)t,r(

t **2

*

rrrr

h

r

r

h

r

r

h

r

( ) ( )[ ] 0)t,r()t(H)t,r()t,r()t(H)t,r(rd

i1

)t,r()t,r()t(H)t,r()t(H)t,r(rdi1)t,r(rd

t**3

**323

=ΨΨ−ΨΨ=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ΨΨ−ΨΨ=Ψ

∂∂

⇒

∫

∫∫rrrr

h

rrrr

h

r

car H est hermitique.

Le carré de la norme du vecteur d'état reste constante au cours du temps.

En particulier, si )t,r( 0r

Ψ est normé, )t,r(r

Ψ l'est aussi : 1)t,r(rd)t,r(rd 20

323 =ψ=ψ ∫∫rr

b) Densité et courant de probabilité

Si )t,r(r

ψ est normée, la probabilité de trouver à l'instant t la particule dans le volume infinitésimal d3r situé au

point rr

vaut :

rd)t,r()t,r(Pd 32rrψ=

que l'on peut aussi écrire, en posant :

2)t,r()t,r(rr

ψ=ρ

rd)t,r()t,r(Pd 3rrρ=

)t,r(r

ρ est une densité de probabilité, qui varie localement au cours du temps, mais dont l'intégrale sur tout

l'espace reste constante. A cette densité de probabilité, ou densité de particules en rr

à t, on peut aussi associer un

courant Jr

(de probabilité, ou de particule), par la relation :

0)t,r(Jdiv)t,r(t

=+ρ∂∂ rrr

qui est la traduction locale de la conservation globale du nombre de particules (analogue aux équations

locales en électromagnétisme)

Pour établir l'expression du vecteur courant de probabilité )t,r(Jrr

, calculons )t,r(t

rρ

∂∂ :

t*

t*))t,r().t,r(*(

tt)t,r(

∂ψ∂

ψ+ψ∂ψ∂

=ψψ∂∂

=∂

ρ∂ rrr

J.P. Rozet 2007 32

En utilisant :

)t,r()t,r(v)t,r(m2

)t,r(t

i2 rrrhr

h ψ+ψΔ−=ψ∂∂

et

)t,r(*)t,r(v)t,r(*m2

)t,r(*t

i2 rrrhr

h ψ+ψΔ−=ψ∂∂

−

on a (en multipliant la 1ère équation par )t,r(*r

ψ , la seconde par )t,r(r

ψ et en soustrayant) :

[ ]**m2

))t,r().t,r(*(t

i2

ψΔψ−ψΔψ−=ψψ∂∂ hrr

h

soit :

[ ]**mi2t

)t,r(ψΔψ−ψΔψ−=

∂ρ∂ hr

or :

[ ] ***)(*)).(()(*)*).((**. 22 ψΔψ−ψΔψ=ψ∇ψ−ψ∇ψ∇−ψ∇ψ+ψ∇ψ∇=ψ∇ψ−ψ∇ψ∇rrrrrrrrr

⇒

[ ]⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ψ∇ψ−ψ∇ψ∇−=

∂ρ∂ **

mi2.

t)t,r( rrhrr

qui se met sous la forme :

0)t,r(Jdiv)t,r(t

=+ρ∂∂ rrr

en posant :

[ ]**mi2

)t,r(J ψ∇ψ−ψ∇ψ=rrhrr

Remarque : Jr

peut aussi s'écrire :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ψ∇ψ= )t,r(

i)t,r(*Re

m1)t,r(J

rrhrrr

c) Exemple

Onde plane à une dimension :

ψ(x) = A eikx

( ) ( )[ ]22

ikxikxikxikxx

AmkAik2

mi2

e*ikA.AeikAe.e*Ami2

J

hh

h

=×=

−−= −−

2x A

mkJ h

=

2A=ρ représente la densité de probabilité de présence et Jx = ρvx ( mk

mpv x

xh

== ) représente le courant de

probabilité (ou flux de particules...)

J.P. Rozet 2007 33

IV - EXEMPLES ET APPLICATIONS

1) Paquet d'onde Gaussien à une dimension

a) Définition

Considérons une particule libre, c'est à dire pour laquelle V(x) = 0. Les solutions de l'équation de Schrödinger

sont du type "ondes planes" : )tkx(iti

k ee)x()t,x( ω−ω− =ϕ=ψ

Cette fonction n'est pas de carré sommable, et ne peut donc pas, en toute rigueur, représenter un état physique

pour la particule. Nous avons déjà signalé qu'une superposition linéaire d'ondes planes, appelée paquet d'onde, peut par

contre être de carré sommable. Soit donc un tel paquet d'onde, donné à l'instant t=0 par

∫+∞

∞−π=ψ dke)0,k(g

21)0,x( ikx

Dans le cas où g(k,0) correspond à une fonction de Gauss, centrée en k=k0, du type

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Δ−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δπ= 2

20

2/1

)k(2)kk(exp

k1)0g(k,

on parle de paquet d'onde Gaussien.

La plupart des calculs qui suivent utilisent le résultat : ∫+∞

∞−

β+α−

απ

=dxe22 )x(

(pourvu que Reα2 > 0 et avec 4

arg4

π<α<

π− )

On constate que, d'après notre définition, g(k,0) est normée. En effet :

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

Δ−

−Δπ

= 1dkk

)kk(expk

1dk)k(g 2

202

On peut aussi calculer une expression explicite de ψ(x,0), en écrivant :

dkikx)k(2)kk(exp

k1

21)0,x( 2

20

2/1

∫+∞

∞− ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

Δ−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δππ=ψ

soit :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ Δ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πΔ

=ψ 22

xik2/1

x2

)k(expek)0,x( 0

(la transformée de Fourier d'une gaussienne est une gaussienne).

J.P. Rozet 2007 34

b) Valeurs moyennes - relation d'incertitude

On calcule "facilement" :

∫+∞

∞−

Δ− =π

Δ>=< 0xdxekx

22 x)k(

∫+∞

∞−

Δ−

Δ=

πΔ

>=< 22x)k(2

)k(21dxxekx

22

d'où : 2k

1xxx 22

Δ=><−><=Δ

de même :

∫+∞

∞−

Δ−− =πΔ

>=<>=< 0)k/)kk(( kdkke

k1kp

20 hhh

∫+∞

∞−

Δ−− Δ+=

πΔ>=<>=<

2)k(kdkke

k1kp

220

22)k/)kk((2222 20 h

hhh

⇒ 2kppp 22 Δ

=><−><=Δh

(bien noter que Δk n'est pas, ici, l'écart quadratique moyen sur k...; pour éviter la confusion, on note souvent ces

écarts quadratiques σx (=Δx) et σp (=Δp)).

On a donc :

22k.

2k1p.x hh

=Δ

Δ=ΔΔ

Ce résultat est bien compatible avec la relation d'Heisenberg. En même temps, on réalise ici la plus petite

valeur possible du produit Δx.Δp. On peut montrer que ce résultat n'est d'ailleurs possible que dans le cas des

distributions gaussiennes.

c) Evolution temporelle

On a :

∫∫

∞+

∞−

ω−∞+

∞−

ω−ω−

ψπ

=ψ⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

ψπ

=ψ

=ϕ=ψ

dke)0,x()0,k(g21)t,x(

dk)0,x()0,k(g21)0,x(

ee)x()t,x(ti

kk

)tkx(itikk

avec m2k)k(

2h=ω (

m2pE

2=ω= h )

Soit ∫+∞

∞− ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

Δ−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δππ=ψ dkt

m2kkxi

)k(2)kk(exp

k1

21)t,x(

2

2

20

2/1h

Cette intégrale peut se calculer comme celle de ψ(x,0) en développant en carré parfait les termes dépendant de k.

On obtient :

J.P. Rozet 2007 35

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ Δ+

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+

π

Δ=ψ 22

22

0

2/1

22

2

mt)k(1

ktmkx

exp

mt)k(1

1k)t,x(h

h

h

En ce qui concerne g(k,t), on note que ψ(x,t) est la transformée de Fourier inverse de la fonction g(k,t), (g(k,t)

est elle même transformée de Fourier de ψ(x,t)). D'où

ti

ikx

ikxti

e)0,k(g)t,k(g

dke)t,k(g21)t,x(

dkee)0,k(g21)t,x(

ω−∞+

∞−

+∞

∞−

ω−

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

π=ψ

π=ψ

∫

∫

d'où |g(k,t)|2 = |g(k,0)|2

⇒ Les valeurs moyennes sur k n'évoluent pas au cours du temps

En particulier :

<k>t = <k>0 = k0

2k)0()t( pp

Δ=σ=σh

(avec la notation σp = Δp)

Par contre, les valeurs moyennes sur x évoluent : on voit que le paquet d'onde reste gaussien, mais que ce paquet

d'onde est centré au temps t à l'abscisse x donnée par :

tvtmkx g

0 ==h car

mk

dkdv 0

gh

=ω

=

On retrouve d'ailleurs par le calcul <x> = vg t

Le calcul de <x2> donne : 2

02

422

22

mtk

m)k(t1

)k(21x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+

Δ>=<

hh

et

22

42

x tm

)k(12k

1)x( Δ+

Δ=Δ=σ

h

On voit que σx croît avec le temps : on parle d'étalement du paquet d'onde. On peut écrire σx comme la

somme quadratique de deux termes, fonction de 2k

pΔ

=σh

2/12

p2

px m

t2 ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ=σ

h

Le premier terme est purement quantique, et traduit le fait que σx et σp ne peuvent être simultanément nuls :

2. px

h≥σσ (Heisenberg). Le deuxième peut s'interpréter de façon quasi-classique :

mpσ

représente une dispersion de

J.P. Rozet 2007 36

vitesses σv (ou Δv) (dues aux conditions initiales 2

. pxh

≥σσ ), et m

pσt représente la dispersion correspondante en x qui

croît linéairement au cours du temps, comme le prévoit la mécanique classique.

On note enfin que la conservation de la norme ( ∫ =ψ 1dx2 ) impose une diminution de la hauteur du paquet en

même temps qu'il s'étale (voir expression de |ψ(x,t)|2).

2) Oscillateur harmonique linéaire

a) à partir des conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld

• mécanique classique :

kxdt

xdmf 2

2−== ∫ =−= 2kx

21dxfV

en posant mk

0 =ω , on a :

x = xM cos(ω0t - ϕ)

220

2xm

21V

m2pT ω==

→ E = T + V = 2M

20 xm

21

ω (toutes les valeurs de xM et donc de E sont possibles).

• Bohr-Sommerfeld :

∫ =π

hndqp21 →

avec 1E2xm

mE2p 22

02

=ω

+ ,

équation d'une ellipse dans le plan p,q de surface πab avec a2 = 2m E et 20

2

mE2bω

= :

⇒ ∫ ωπ

=ω

π=π=0

20

E2m

E2Em2abdqp

⇒ hnE221

0=

ωπ

π ⇒ E = n h ω0

b) Dans le cadre de la mécanique des matrices

L'équation du mouvement peut se réécrire

xdt

xd 202

2ω−= avec

mk

0 =ω

J.P. Rozet 2007 37

ou en adoptant la notation p, q pour les variables conjuguées (x → q).

0qq 20 =ω+&&

Soit donc (qnm) la matrice associée à la variable position q. Les éléments de matrice doivent tous satisfaire

indépendamment l'équation

0qq nm20nm =ω+&&

Si on pose : nmti

nmnm qe)0(q)t(q nm == ω

(on fixe donc l’évolution temporelle par analogie avec la solution classique, mais voir aussi l’E. de S. !)

on doit donc avoir

0q)( nm2nm

20 =ω−ω

c'est à dire :

- soit ωnm = ± ω0

- soit qnm = 0

On fait alors la convention suivante, qui ne retire rien à la généralité du problème : on suppose que ωnm = + ω0

correspond au passage de l'état n à l'état n-1 (émission lors de la transition n → n-1) et que ωnm = - ω0 correspond au

passage n → n+1 (absorption).

soit :

qnm = 0 si m ≠ n ± 1

qnm ≠ 0 si m = n ± 1

et :

ωn,n-1 = ω0

ωn,n+1 = -ω0

La matrice des coordonnées a donc la forme :

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

LLLLLL

L

L

L

L

3432

2321

1210

01

nm

q0q000q0q000q0q000q0

)q(

De la relation p = m q& on tire :

pnm = i m ωnm qnm

d'où

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ωωωω

ωωω

=

LLLLLL

L

L

L

L

34343232

23232121

12121010

0101

nm

q0q000q0q000q0q000q0

mi)p(

soit, compte tenu de ωnm = ± ω0 et de la convention faite :

J.P. Rozet 2007 38

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

ω=

LLLLLL

L

L

L

L

3423

2321

1210

01

0nm

q0q000q0q000q0q000q0

mi)p(

On peut alors calculer (q2) et (p2)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

+=

LLLLLL

L

L

L

L

0qqqq000qq0qqqq0qq0qq0qqqq000qq0qq

)q(

43342332

3423322312211021

231221120110

12011001

2nm

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−+−

−+−

ω=

LLLLLL

L

L

L

L

0qqqq0qq0qq0qqqq0qq

0qq0qqqq000qq0qq

m)p(

433423322132

3423322312211021

231221120110

12011001

20

22nm

d'où, )qmp(m21E 22

022 ω+= ⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

ω=

LLLLLL

L

L

L

00qqqq00000qqqq00000qq

m)E(32231221

21120110

1001

20

La matrice de l'énergie, (E), est diagonale compte tenu des choix faits pour la matrice (q). Par ailleurs, ses

éléments sont indépendants du temps : par exemple,

q01q10 = q01(0)q10(0) titi 1001 ee ωω = q01(0) q10(0)

puisque ω10 = -ω01.

On en déduit que l'énergie d'un état donné ne varie pas au cours du temps (états stationnaires !).

La dernière étape, permettant de finir le calcul, est d'utiliser la règle de commutation :

[(q),(p)] = (q)(p) - (p)(q) = ih(I)

On obtient :

(qp - pq) = 2 imω0 ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

L

L

L

12213223

01102112

1001

qqqq000qqqq000qq

= ih (I)

d'où :

01001 m2

qqω

=h

010012112 m2

qqqqω

=−h etc....

en résolvant de proche en proche, on obtient :

J.P. Rozet 2007 39

0n,1n1n,n m2

)1n(qqω

+=++h

et pour les valeurs de l'énergie, éléments diagonaux de la matrice des énergies, les valeurs :

)qqqq(mEE n,1n1n,nn,1n1n,n20nnn −−++ +ω==

=ω

++ω=0

20n m2

)n1n(mE h

0n )21n(E ω+= h

qui diffère de la valeur obtenue par la méthode de Bohr-Sommerfeld de la quantité 2

h 0ω : le niveau le plus

bas de l'oscillateur harmonique a une valeur non nulle, en accord avec les conditions imposées par le principe

d'incertitude de Heisenberg.

c) L'oscillateur harmonique en mécanique ondulatoire

On part cette fois-ci de l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

Hϕ = Εϕ

soit, ici :

0)x()VE(dxd

m2 2

22=ϕ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

h

0)x(xm21E

dxd

m222

02

22=ϕ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ω−+

h

Posons : Em22h

=ε 2

220

2

222 xmVm2x

hh

ω==α )m( 0

h

ω=α

l'équation de Schrödinger s'écrit :

0xdxd 22

2

2=ϕ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡α−ε+

Il s'agit de trouver les valeurs de ε (valeurs propres) et les fonctions d'onde correspondantes (fonctions propres)

pour lesquelles l'équation admet une solution uniforme et finie dans tout l'espace.

On vérifie facilement que la fonction

2/)x(0

2ea)x( α−=ϕ (Gaussienne)

est solution, et que la valeur propre correspondante vaut

ε = α ⇒ 00

2

21m

m2E ω=

ω= h

h

h

On retrouve ainsi le terme d'énergie minimum donné par le calcul précédent.

On peut simplifier la recherche des solutions de l'équation différentielle en cherchant des solutions de la forme :

2/)x( 2e)x(f)x( α−=ϕ

f(x) est alors solution de l'équation :

J.P. Rozet 2007 40

0f)(dxdfx2

dxfd2

2=α−ε+α−

Cherchons pour f(x) des solutions de la forme (développement en série de puissances de x) :

∑∞

=

=0n

nn xa)x(f

Par substitution dans l'équation différentielle précédente, on obtient une relation de récurrence sur les an :

(n+2)(n+1) an+2 + [ε − α(2n+1)] an = 0

Pour la plupart des valeurs de ε, le 2ème terme ne s'annule jamais, et la série comporte un nombre infini de

termes. On peut montrer qu'alors la série diverge plus vite que 2/)x( 2e α , si bien que dans ce cas,

2/)x( 2e)x(f)x( α−=ϕ diverge pour x → +∞ : nous devons rejeter ce type de solution qui n'a pas de sens physique.

Les seules valeurs de ε possibles sont donc celles qui, pour une valeur de n quelconque, annulent le terme :

[ε - α(2n+1)]

car alors la série s'arrête et ϕ(x) a un "bon" comportement asymptotique. Ceci impose pour ε les valeurs :

ε = (2n+1) α

soit

0)21n(E ω+= h

Les fonctions propres se déduisent les unes des autres de proche en proche. La condition de normalisation sur

2/)x(00

2ea)x( α−=ϕ donne :

n=0 2/)x(

4/1

02

e)x( α−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πα

=ϕ

(a1 = 0)

n=1 2/)x(

4/13

12

ex4)x( α−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πα

=ϕ

(a2 = 0)

n=2 2/)x(2

2/1

22

e)1x2(4

)x( α−−α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πα

=ϕ

(a3 = 0) etc….

En fait, compte tenu de la condition de quantification, l'équation différentielle satisfaite par f(x) s'écrit :

0fn2dxdfx2

dxfd2

2=α+α−

ou, en posant t = α1/2 x

0nf2dtdft2

dtfd2

2=+−

équation différentielle dont les solutions sont les polynômes d'Hermite :

H0 = 1 ; H1 = 2t ; H2 = 4t2 – 2 ; H3 = 8t3 - 12t ... etc...

(de façon générale, 1.dtdt2)t(H

n

n ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ).