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Olivier GRANIER Olivier GRANIER Olivier GRANIER Mécanique du point matériel Changements de référentiels Référentiels non galiléens

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Mécanique du point matériel

Changements de référentiels Référentiels non galiléens

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Mécanique du point matériel

- A -

Cinématique

Changements de référentiels

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Mécanique du point matériel

I – Relativité du référentiel :

Le mouvement d’un mobile diffère selon le référentiel d’étude (relativité du mouvement).

Problématique :

On connaît le mouvement d’un point matériel dans un référentiel (R).

Quelle est la nature de ce mouvement, étudié dans un référentiel (R’) en mouvement par rapport à (R) (trajectoire, vitesse et accélération) ?

Exemple :

Quelle est l’allure du mouvement de la Lune par rapport au Soleil ?

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Mécanique du point matériel

1 - Notations utilisées :

y

x

z

z’

x’

y’

(R’)

(R)

O

O’

xur

yurzu

r

zu 'r

yu 'r

xu 'r

M

OMr =r

'' OMr =r

(R), O, , ),,( zyx uuurrr

zyx uzuyuxOMrrrrr

++==

R

R

R

Rdt

vdaa

dt

rdvv

==

==

rrr

rrr

)()( ;

(R’), O’, , )',','( zyx uuurrr

zyx uzuyuxMOr ''''''''rrrr

++==

'

)'(

'

)'(

''';

'''

R

R

R

Rdt

vdaa

dt

rdvv

==

==

rrr

rrr

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Mécanique du point matériel

2 - Relations entre v et v’ (composition des vitesses) :

MOOOOMr '' +==r

)',','( zyx uuurrr

RRR

Rdt

MOd

dt

OOd

dt

OMdvv

+

=

==

'')(

rr

L’indice (R) signifie que la vitesse v est exprimée par rapport au référentiel (R), pour lequel les vecteurs de base sont constants, mais pas les vecteurs , qui varient au cours du temps. Ainsi :

),,( zyx uuurrr

'

''

'

RRRdt

MOdv

dt

MOdmais

dt

OMdv

=≠

=

rr

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Mécanique du point matériel

En effet, si on explicite :

( )Rzyx

R

uzuyuxdt

d

dt

MOd''''''

' rrr++=

( )

+++=

+++++=

dt

udz

dt

udy

dt

udxv

dt

MOd

dt

udz

dt

udy

dt

udxuzuyux

dt

MOd

zyx

R

zyxzyx

R

''

''

'''

'

''

''

''''''''

'

rrrr

rrrr

&r

&r

&

Finalement :

++++=

dt

udz

dt

udy

dt

udxOvMvMv zyx '

''

''

')'()(')(

rrrrrr

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Mécanique du point matériel

Interprétation :

++++=

dt

udz

dt

udy

dt

udxOvMvMv zyx '

''

''

')'()(')(

rrrrrr

Vitesse de M dans (R)

Vitesse de M dans (R’)

Vitesse d’entraînement

evMvMvrrr

+= )(')(

Point coïncident : on appelle point coïncident le point P de (R’), immobile dans ce référentiel, qui coïncide à l’instant t avec le point matériel M.

La vitesse d’entraînement ve est la vitesse du point coïncident dans (R).

(Loi de composition des vitesses)

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Mécanique du point matériel

3 - Relations entre a et a’ (composition des accélérations) :

La formule de composition des accélérations dans le cas général est compliquée et hors programme.

Dans la suite, on se limitera à deux types de mouvements d’entraînement du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R) :

* Un mouvement de translation

* Un mouvement de rotation autour d’un axe fixe

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Mécanique du point matériel

II – Référentiels en translation l’un par rapport à l’autre :

Un solide est animé d’un mouvement de translation si tous ses points possèdent à tout instant le même vecteur vitesse :

* Exemple de la main.

* Exemple de la grande roue (translation circulaire) et du référentiel géocentrique (transparent suivant)

Les vecteurs de base du référentiel (R’) gardent donc une direction constante ; par conséquent :

0''' rrrr

=

=

=

R

z

R

y

R

x

dt

ud

dt

ud

dt

ud

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Mécanique du point matériel

Référentiel géocentrique :

*** Origine : le centre d’inertie de la Terre

*** Trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines « fixes »

(RK)

(RG)

« Etoiles fixes »

(RG) a un mouvement de translation quasi-circulaire par rapport à (RK).

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Mécanique du point matériel

Loi de composition des vitesses :

Loi de composition des accélérations :

)'()(')( OvMvMvrrr

+=

)'()(')( OaMaMarrr

+=

La vitesse d’entraînement est égale à la vitesse de O’ dans (R).

C’est la vitesse de translation de (R’) par rapport à (R).

L’accélération d’entraînement est égale à l’accélération de O’ dans (R).

C’est l’accélération de translation de (R’) par rapport à (R).

Pour une translation uniforme : )(')( MaMarr

=

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Mécanique du point matériel

III – Référentiels en rotation l’un par rapport à l’autre :

1 – Notations :

x

y

z =z’

(R)

Oxu

r

yur

zur

M

OMr =r

y’

x’

yu 'r

xu 'r

θθθθ

H

zyx

zyx

uzuyux

uzuyuxOMrrrr

rrrr

++=

++==

''''

(Rotation autour d’un axe fixe, noté Oz)

Trajectoire de M

Trajectoire du point coïncident

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Mécanique du point matériel

On note : zxx uetuu

rr&rr

ωωθωθ === ;)',(

est appelé vecteur vitesse angulaire de rotation du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R).

On peut rappeler que (voir cours de cinématique) :

xx

R

y

yy

R

x uudt

uduu

dt

ud''

';''

' rr&

rrr&

r

ωθωθ −=−=

==

ωr

2 – Loi de composition des vecteurs vitesse :

( )dt

udy

dt

udxvuzuyux

dt

d

dt

OMdv

yx

Rzyx

R

''

'''''''

rrrrrrr

++=++=

=

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Mécanique du point matériel

D’où la loi de composition des vecteurs vitesse :

)''''(' xy

R

uyuxvdt

OMdv

r&r&rrθθ −+=

=Soit :

Or :

)''''()''''( xyzyxz uyuxuzuyuxuOMr&r&rrrr&

rθθθω −=++∧=∧

Remarque :

OMvavecvvOMvv ee ∧=+=∧+= ωωrrrrrrr

''

HMOMve ∧=∧= ωωrrr

La vitesse d’entraînement est la vitesse d’un point immobile de (R’) et qui a donc un simple mouvement de rotation autour de l’axe (Oz) (cercle de centre H et de rayon HP, où P = M est le point coïncident, confondu avec M à l’instant t).

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Mécanique du point matériel

Adt

Ad

dt

Ad

RR

rrrr

∧+

=

ω

'

Remarque : (dérivation et changement de référentiel)

OMdt

OMd

dt

OMdsoitOMvv

RR

∧+

=

∧+= ωω

rrrr

'

'

On peut généraliser cette formule au cas d’un vecteur quelconque : Ar

C’est cette relation qui va être utilisée pour déterminer la loi de composition des vecteurs accélération.

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Mécanique du point matériel

( ) '2' vOMOMdt

daa

rrrrr

rr∧+

∧∧+∧+= ωωω

ω

3 – Loi de composition des vecteurs accélération :

vdt

vd

dt

vda

RR

rrrr

r∧+

=

= ω

'

En utilisant la relation précédente :

Puis : ( ) ( )OMvOMvdt

da R ∧+∧+∧+= ωωω

rrrrrr'' '

( )OMvdt

OMdOM

dt

d

dt

vda

RRR

∧∧+∧+

∧+∧

+

= ωωωω

ω rrrrrrr

r'

'

'''

Soit :

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Mécanique du point matériel

( ) '2' vOMOMdt

daa

rrrrr

rr∧+

∧∧+∧+= ωωω

ω

Accélération de M dans (R)

Accélération de M dans (R’)

Accélération d’entraînement de M

(celle du point coïncident)

Accélération de Coriolis de M

ce aaaarrrr

++= '

L’accélération de Coriolis est nulle si le point M est au repos dans (R’).

Cette relation se généralise à un mouvement d’entraînement de (R’) par rapport à (R) quelconque.

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Mécanique du point matériel

( )OMae ∧∧= ωωrrr

Cas d’une rotation uniforme (ωωωω = cste) :

( ) cbabcacbarrrrrrrrr

).().( −=∧∧Rappel mathématique :

OMOMOMOMae2

).().().( ωωωωωωω −=−=rrrrrrr

Par conséquent :

Soit H le projeté orthogonal de M sur l’axe (Oz) : OHOM ωω =.r

D’où : MHMOOHOMOHOMOHa e2222

)()().( ωωωωωω =+=−=−=rr

Finalement :HMae

2ω−=r

On retrouve l’expression de l’accélération pour un mouvement circulaire uniforme.

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Mécanique du point matériel

- B -

Dynamique

Référentiels non galiléens

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Mécanique du point matériel

I – Les « pseudo » forces d’inertie :

1 – Exemple d’une voiture accélérée :

2 – Principe fondamental dans un référentiel non galiléen :

(R) est un référentiel galiléen et (R’) un référentiel en mouvement quelconque par rapport à (R).

Un point matériel M (m) est soumis à des forces (« réelles ») dont la résultante est nommée .

On note v et a la vitesse et l’accélération de M dans (R).

On note v’ et a’ la vitesse et l’accélération de M dans (R’).

On rappelle que, dans le cas général :

fr

ce aaaarrrr

++= 'evvvrrr

+= '

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Mécanique du point matériel

Le PFD appliqué dans le référentiel galiléen (R) donne :

En utilisant la composition des accélérations :

On pose :

famrr

=

)()(')'( cece amamfamsoitfaaamrrrrrrrr

−+−+==++

eie amfrr

−=

cic amfrr

−=

« Pseudo » force d’inertie d’entraînement

« Pseudo » force d’inertie de Coriolis

Alors :icie fffamrrrr

++='

On peut ainsi appliquer un « pseudo » PFD dans un référentiel non galiléen, à condition de rajouter aux forces « réelles » les « pseudo » forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis.

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Mécanique du point matériel

3 – Le mouvement d’entraînement est une translation :

C’est le cas par exemple d’une voiture qui accélère en ligne droite.

Alors :

Dans le référentiel de la voiture, le « pseudo » PFD devient :

Si la résultante des forces est nulle :

Si la voiture freine : le passager est projeté vers le pare-brise.

Si la voiture accélère : le passager est collé au siège.

routevoitureamfam /'rrr

−=

0/

rrrr== croutevoituree aetaa

routevoitureaa /'rr

−=

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Mécanique du point matériel

4 – Le mouvement d’entraînement est une rotation autour d’un axe fixe :

x

y

z =z’

(R)

Oxu

r

yur

zur

M

OMr =r

y’

x’

yu 'r

xu 'r

θθθθ

H ( )

∧∧+∧−= OMOM

dt

dmf ie ωω

ω rrr

r

'2 vmfic

rrr∧−= ω

Pour un mouvement de rotation uniforme :

C’est la force centrifuge !

HMmf ie2ω+=

r

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Mécanique du point matériel

II – Exemples d’applications :

1 – Ascenseur et poids apparent :

)(0' eamgmRamrrrrr

−++==

O

z

yuggrr

−=

yur

Pèse personne

Ascenseur

yee uaarr

=

Rr

gmr

L’équilibre « relatif », dans le référentiel de l’ascenseur s’écrit :

Soit, en introduisant la notion de « poids apparent », Papp :

yeeapp

app

uagmagmP

RP

rrrr

rr

)()( +−=−=

−=

Remarque : g est en valeur absolue (g > 0) alors que ae est en valeur algébrique (> ou < 0).

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Mécanique du point matériel

II – Exemples d’applications :

2 – Ressort sur un plateau de manège tournant :

Notations :

ωr

Tr

iefr

O

x

x’

y’

y

z

gmr

Rr

M

La vitesse de rotation est constante.

A t = 0, la longueur du ressort est .

Le point M se déplace sans frottement sur l’axe (Ox’). A t = 0, (Ox’) était confondu avec (Ox) et M était immobile par rapport au manège, avec x’ = L.

Etudier, selon les valeurs de ωωωω et k (constante du ressort) la nature du mouvement du point M.

0l

(R) : réf terrestre galiléen ; (R’) : réf lié au plateau (non galiléen)

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Mécanique du point matériel

ωr

Tr

iefr

O

xx’

y’

y

z

gmr

Rr

)0':(

''

''2'2

''

')'(

''';'''

'

2

0

=

+=

−=∧−=

=

−=

−−=

==

++++=

x

zzyy

yic

xie

z

x

xx

icie

RfrottementdePas

uRuRR

uxmvmf

uxmf

umggm

uxkT

uxvuxa

ffTgmRam

rrr

r&

rrr

rr

rr

rl

r

r&

rr&&

r

rrrrrr

ωω

ωM

z

y

Rmg

Rxm

xmxkxm

+−=

+−=

+−−=

0

''20

')'('2

0

&

l&&

ω

ω

icfr

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Mécanique du point matériel

mgRxmR zy =≠= ;!0'2' &ω

Equation du mouvement :

On pose :

Alors :

02

')(' l&& kxmkxm =−+ ω

m

k=0ω (Pulsation propre du système

masse-ressort)

020

220 ')(' l&& ωωω =−+ xx

020

2

202

02

020

2

20

0

0220

2022

00220

20

0

)(':

cos)(':

ll

ll

ωω

ωωω

ωω

ωωω

ωω

ωωω

ωω

ωωω

−+

−−=<

−+

−−=>

tchLxSi

tLxSi

Réaction du plateau :

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Mécanique du point matériel

II – Exemples d’applications :

3 – Tige tournant à vitesse angulaire constante :

iefr

x

y

z

(R)

Ozu

r

M

gmr

y’

x’

rur

αααα

H

Tige

ωr

θ = θ = θ = θ = ωωωωt

(R’)

Rr La tige est dans le plan (Ox’z).

Dans le référentiel (R’) lié à la tige :

On projette sur l’axe de la tige :

)(22

r

zr

urmHMm

Rumgurm

r&

r

rrr&&

∧−+

+−=

ωω

rmmgrm )sin(cos22 αωα +−=&&

ααω cos)sin(2

grr −=−&&

icfr

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Mécanique du point matériel

La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :

2

)sin()sin(

)sin(

cos

αω

ααωαω gBeAer

tt ++= −

Compte tenu des CI :

3 cas sont à considérer :

( )220

)sin(

cossin

)sin(

cos

αω

ααω

αω

α gtch

grr +

−=

.':)sin(

cos

.0:)sin(

cos

.:)sin(

cos

20

20

20

Mdeinstableéquilibredpositiong

r

entombeMg

r

tigeladelonglegrimpeMg

r

αω

α

αω

α

αω

α

=

<

>

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Mécanique du point matériel

Résolution par la conservation de l’énergie mécanique

Définition de l’énergie potentielle centrifuge : la force d’inertie centrifuge s’écrit :

Elle dérive de l’énergie potentielle centrifuge telle que (en coordonnées cylindriques) :

Par conséquent (à une constante près) :

22,

2

1ρωmE iep −=

ρρωω umHMmf ie

rr22 ==

ρρ ρωρ

umud

dEf

iep

ie

rrr2,

=−=

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Mécanique du point matériel

La force de Coriolis, perpendiculaire à la vitesse (donc au déplacement) ne travaille pas. La masse m constitue donc, dans (R’), un système conservatif dont l’énergie mécanique, constante, s’écrit :

Par dérivation temporelle :

Soit :

On retrouve l’équation différentielle obtenue en utilisant le pseudo-PFD dans (R’).

222)sin(

2

1cos

2

1αωα rmmgrrmE m −+= &

0)sin(cos2 =−+= rrmrmgrrm

dt

dE m &&&&& αωα

ααω

αωα

cos)sin(

0)sin(cos

2

2

grr

rgr

−=−

=−+

&&

&&

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Mécanique du point matériel

- C -

Dynamique

Caractère galiléen approché de quelques référentiels d’utilisation

courante

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Mécanique du point matériel

I – Le référentiel terrestre :

1 – Définitions et notations :

Ωr

x

y z

O

C

S

N

(E)

H

λλλλ

O : Paris

Ox : dirigé vers l’Est et tangent au parallèle du lieu.

Oy : dirigé vers le Nord et tangent au méridien du lieu.

Oz : dirigé selon le rayon terrestre CO et dirigé vers l’extérieur de la Terre.

λλλλ : latitude du lieu,

Ω: vitesse angulaire de la Terre autour de l’axe NS :

−∈

2,

2

ππ

)sin(cos zy uurrr

λλ +Ω=Ω

15.10.3,7

−−≈Ω srad

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Mécanique du point matériel

I – Le référentiel terrestre :

2- Le poids d’un corps :

Ωr

HO2Ω

0gr

gr

C

OH

λλλλ

αααα

Immobilité relative d’une personne située sur un pèse –personne en O :

02

2

rrr=+Ω+− RHOmu

R

mMG z

T

T

Comme dans l’exemple de l’ascenseur, on définit :

HOmuR

mMGP

RPP

z

T

T

app

2

2Ω+−=

−==

rr

rrr

En posant , il vient : gmPrr

=

HOgHOuR

MGg z

T

T 20

2

2Ω+=Ω+−=

rrr

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Mécanique du point matériel

g est appelée accélération de la pesanteur et comprend deux termes :

* le terme gravitationnel g0 (prépondérant)

* le terme centrifuge ΩΩΩΩ2OH (faible)

La direction du fil à plomb (la verticale du lieu, donnée par la direction du poids mg) n’est pas confondue avec le rayon terrestre CO (écart d’un angle αααα).

Quelques valeurs numériques :

Pôles

T

T gsmR

GMg === − 2

20 .81,9

)'(.10.4,3)(222

max2

équateurlàsmRHO T−−≈Ω=Ω

%34,010.4,33

0

0=≈

−−

g

gg équateur

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Mécanique du point matériel

Evaluation de l’angle d’inclinaison αααα :

Ωr

HO2Ω

0gr

gr

C

OH

λλλλ

αααα

gHO

λα sinsin2

HOg

2sinsin Ω=

λα

λαα cos;;sin 0 TRHOgg =≈≈

λλλ

α 2sin2

cossin

0

22

0 g

RR

g

TT

Ω=Ω≈

AN :

Quelle devrait la vitesse de rotation de la Terre pour être en état d’apesanteur ?

)45(1,00017,0max °=°=≈ λα Pourrad

HO2Ω

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Mécanique du point matériel

I – Le référentiel terrestre :

3 – Effets de la force de Coriolis :

* Déplacements parallèles au sol : un mobile se déplace selon un méridien ou un parallèle.

La force de Coriolis est toujours dirigée vers la droite dans le sens du mouvement (dans l’hémisphère Nord) et vers la gauche dans le sens du mouvement (dans l’hémisphère Sud).

On le montre à partir de la définition de la force de Coriolis :

Dans l’hémisphère Nord :

* La rive droite des fleuves est souvent plus érodée que la rive gauche

* Les rails de chemin de fer sont davantage usés à droite.

'2 vmf ic

rrr∧Ω−=

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Mécanique du point matériel

* Enroulement des dépressions et des anticyclones :

Basse pression

Haute pression

Dans l’hémisphère Nord

Animation Cabri

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Mécanique du point matériel

Exercice : (deux trains qui se croisent)

Deux trains identiques, de masse m = 10 t (et assimilés à des points matériels), animés d'un mouvement uniforme (de vitesse égale à v = 144 km.h-1) le long d'un parallèle (situé à la latitude λλλλ = 45°), se croisent.

Calculer la différence des forces de réaction sur les rails du train qui se dirige vers l'Est et de celui qui se dirige vers l'Ouest.

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Mécanique du point matériel

Chute libre verticale : un mobile se trouve à l’instant t = 0 sur l’axe (Oz) à une hauteur h. On le lâche sans vitesse initiale (pas de frottements).

Dans l’hypothèse où le référentiel terrestre est galiléen, la chute libre est verticale et on peut écrire :

La prise en compte de la force de Coriolis entraîne une légère déviation vers l’Est (force dirigée selon les x > 0) :

Ordre de grandeur de la déviation observée :

htgztgvz +−=−= 200

2

1;

zzzyzzie uvuumuvmfrrrrrr

∧+Ω−=∧Ω−= )sin(cos22 λλ

xxzie utmgumvfrrr

)cos2(cos2 0 λλ Ω=Ω−=

cmxalorsmh 5,145;100 =°== λ

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Mécanique du point matériel

*** Origine : le centre d’inertie de la Terre

*** Trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines « fixes »

(RK)

(RG)

« Etoiles fixes »

(RG) a un mouvement de translation quasi-circulaire par rapport au référentiel de Kepler (RK). La période est de 365,25 jours (année sidérale).

(RG) n’est pas, en toute rigueur, galiléen.

II – Le référentiel géocentrique :

1 – Définitions et notations :

T

S

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Mécanique du point matériel

II – Le référentiel géocentrique :

2 – Accélération d’entraînement de (RG) par rapport à (RK) :

Le théorème du centre d’inertie, appliqué à la Terre, donne :

aT représente l’accélération d’entraînement du référentiel (RG) dans son mouvement de translation quasi circulaire autour de (RK).

LTTL

GMST

TS

GMa

LTTL

MGMST

TS

MGMaM

LST

LTSTTT

33

33

−−=

−−=

r

r

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Mécanique du point matériel

II – Le référentiel géocentrique :

3 – Le champ des marées :

On considère un point matériel M (m). L’étude de son mouvement est faîte dans (RG), considéré comme non galiléen (M peut être une particule d’eau d’un océan, par exemple).

M est soumis aux forces suivantes :

• Les forces gravitationnelles exercées par la Terre, le Soleil, la Lune (éventuellement les autres planètes …).

• Des forces appliquées F (électriques, magnétiques, réaction, …)

• La force d’inertie d’entraînement, fie = - maT (la force de Coriolis est nulle car (RG) est en translation par rapport à (RK)).

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Mécanique du point matériel

Le PFD appliqué dans (RG) donne :

TSLT amFSM

MS

GmMLM

ML

GmMTM

TM

GmMMam

rrr−+

−−+−=

333)(

En remplaçant aT par son expression précédente :

−−−

+

−−+−=

STTS

GMLT

TL

GMm

FSMMS

GmMLM

ML

GmMTM

TM

GmMMam

SL

SLT

33

333)(

rr

FSTTS

GMSM

MS

GMmLT

TL

GMLM

ML

GMmTM

TM

GmMam SSLLT

rr+

+−+

+−+−=

33333

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Mécanique du point matériel

Champ gravitationnel terrestre au point M

3 3 3 3 3

S ST L LGM GMGmM GM GM

ma TM m LM LT m SM ST FTM ML TL MS TS

= − + − + + − + +

uuur uuuur uuur uuur uuur rr

Différence des champs gravitationnels (dus à la Lune) aux points M

et T (centre de la Terre).

Différence des champs gravitationnels (dus au

Soleil) aux points M et T (centre de la Terre).

Autres forces

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Mécanique du point matériel

ϕϕϕϕL et ϕϕϕϕS sont appelés « champs des marées ».

Ce sont des termes différentiels qui, lorsqu’ils sont négligés, conduisent à considérer le référentiel géocentrique comme étant galiléen.

Nous allons voir que ces champs permettent d’expliquer qualitativement le phénomène des marées océaniques.

)()(

)()(

33

33

TGMGSTTS

GMSM

MS

GM

TGMGLTTL

GMLM

ML

GM

SSSS

S

LLLL

L

rrr

rrr

−=

+−=

−=

+−=

ϕ

ϕ

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Mécanique du point matériel

II – Le référentiel géocentrique :

4 – Les marées océaniques :

Hypothèses (théorie statique des marées) :

• Pas de rotation propre de la Terre.

• La Terre serait, en l’absence de phénomène des marées, recouverte uniformément d’eau au repos dans (RG).

• On prend en compte l’effet de la Lune et du Soleil (« champs des marées »).

On considère tout d’abord l’influence de la Lune.

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Mécanique du point matériel

T L

AB

TL

RT

)(ALϕr

)(BLϕr

07

3

0310.1,122)()( g

TL

R

M

MgR

TL

MGMBA T

T

LT

LTLL

−=

=== ϕϕ

Terre

Lune

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Mécanique du point matériel

08

3

0310.1,522)()( g

TS

R

M

MgR

TS

MGMBA T

T

ST

STSS

−=

=== ϕϕ

Le champ des marées dû au Soleil vaut, aux mêmes points A et B :

On constate que :

Les contributions de la Lune et du Soleil sont du même ordre de grandeur.

2,2)(

)(=

A

A

S

L

ϕ

ϕ

Prendre en compte de la rotation propre de la Terre et d’autres choses plus compliquées !