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Olivier GRANIEROlivier GRANIEROlivier GRANIER
Mécanique du point matériel
Changements de référentiels Référentiels non galiléens
Olivier GRANIEROlivier GRANIEROlivier GRANIER
Mécanique du point matériel
- A -
Cinématique
Changements de référentiels
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Mécanique du point matériel
I – Relativité du référentiel :
Le mouvement d’un mobile diffère selon le référentiel d’étude (relativité du mouvement).
Problématique :
On connaît le mouvement d’un point matériel dans un référentiel (R).
Quelle est la nature de ce mouvement, étudié dans un référentiel (R’) en mouvement par rapport à (R) (trajectoire, vitesse et accélération) ?
Exemple :
Quelle est l’allure du mouvement de la Lune par rapport au Soleil ?
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Mécanique du point matériel
1 - Notations utilisées :
y
x
z
z’
x’
y’
(R’)
(R)
O
O’
xur
yurzu
r
zu 'r
yu 'r
xu 'r
M
OMr =r
'' OMr =r
(R), O, , ),,( zyx uuurrr
zyx uzuyuxOMrrrrr
++==
R
R
R
Rdt
vdaa
dt
rdvv
==
==
rrr
rrr
)()( ;
(R’), O’, , )',','( zyx uuurrr
zyx uzuyuxMOr ''''''''rrrr
++==
'
)'(
'
)'(
''';
'''
R
R
R
Rdt
vdaa
dt
rdvv
==
==
rrr
rrr
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Mécanique du point matériel
2 - Relations entre v et v’ (composition des vitesses) :
MOOOOMr '' +==r
)',','( zyx uuurrr
RRR
Rdt
MOd
dt
OOd
dt
OMdvv
+
=
==
'')(
rr
L’indice (R) signifie que la vitesse v est exprimée par rapport au référentiel (R), pour lequel les vecteurs de base sont constants, mais pas les vecteurs , qui varient au cours du temps. Ainsi :
),,( zyx uuurrr
'
''
'
RRRdt
MOdv
dt
MOdmais
dt
OMdv
=≠
=
rr
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Mécanique du point matériel
En effet, si on explicite :
( )Rzyx
R
uzuyuxdt
d
dt
MOd''''''
' rrr++=
( )
+++=
+++++=
dt
udz
dt
udy
dt
udxv
dt
MOd
dt
udz
dt
udy
dt
udxuzuyux
dt
MOd
zyx
R
zyxzyx
R
''
''
'''
'
''
''
''''''''
'
rrrr
rrrr
&r
&r
&
Finalement :
++++=
dt
udz
dt
udy
dt
udxOvMvMv zyx '
''
''
')'()(')(
rrrrrr
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Mécanique du point matériel
Interprétation :
++++=
dt
udz
dt
udy
dt
udxOvMvMv zyx '
''
''
')'()(')(
rrrrrr
Vitesse de M dans (R)
Vitesse de M dans (R’)
Vitesse d’entraînement
evMvMvrrr
+= )(')(
Point coïncident : on appelle point coïncident le point P de (R’), immobile dans ce référentiel, qui coïncide à l’instant t avec le point matériel M.
La vitesse d’entraînement ve est la vitesse du point coïncident dans (R).
(Loi de composition des vitesses)
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Mécanique du point matériel
3 - Relations entre a et a’ (composition des accélérations) :
La formule de composition des accélérations dans le cas général est compliquée et hors programme.
Dans la suite, on se limitera à deux types de mouvements d’entraînement du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R) :
* Un mouvement de translation
* Un mouvement de rotation autour d’un axe fixe
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Mécanique du point matériel
II – Référentiels en translation l’un par rapport à l’autre :
Un solide est animé d’un mouvement de translation si tous ses points possèdent à tout instant le même vecteur vitesse :
* Exemple de la main.
* Exemple de la grande roue (translation circulaire) et du référentiel géocentrique (transparent suivant)
Les vecteurs de base du référentiel (R’) gardent donc une direction constante ; par conséquent :
0''' rrrr
=
=
=
R
z
R
y
R
x
dt
ud
dt
ud
dt
ud
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Mécanique du point matériel
Référentiel géocentrique :
*** Origine : le centre d’inertie de la Terre
*** Trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines « fixes »
(RK)
(RG)
« Etoiles fixes »
(RG) a un mouvement de translation quasi-circulaire par rapport à (RK).
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Mécanique du point matériel
Loi de composition des vitesses :
Loi de composition des accélérations :
)'()(')( OvMvMvrrr
+=
)'()(')( OaMaMarrr
+=
La vitesse d’entraînement est égale à la vitesse de O’ dans (R).
C’est la vitesse de translation de (R’) par rapport à (R).
L’accélération d’entraînement est égale à l’accélération de O’ dans (R).
C’est l’accélération de translation de (R’) par rapport à (R).
Pour une translation uniforme : )(')( MaMarr
=
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Mécanique du point matériel
III – Référentiels en rotation l’un par rapport à l’autre :
1 – Notations :
x
y
z =z’
(R)
Oxu
r
yur
zur
M
OMr =r
y’
x’
yu 'r
xu 'r
θθθθ
H
zyx
zyx
uzuyux
uzuyuxOMrrrr
rrrr
++=
++==
''''
(Rotation autour d’un axe fixe, noté Oz)
Trajectoire de M
Trajectoire du point coïncident
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Mécanique du point matériel
On note : zxx uetuu
rr&rr
ωωθωθ === ;)',(
est appelé vecteur vitesse angulaire de rotation du référentiel (R’) par rapport au référentiel (R).
On peut rappeler que (voir cours de cinématique) :
xx
R
y
yy
R
x uudt
uduu
dt
ud''
';''
' rr&
rrr&
r
ωθωθ −=−=
==
ωr
2 – Loi de composition des vecteurs vitesse :
( )dt
udy
dt
udxvuzuyux
dt
d
dt
OMdv
yx
Rzyx
R
''
'''''''
rrrrrrr
++=++=
=
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Mécanique du point matériel
D’où la loi de composition des vecteurs vitesse :
)''''(' xy
R
uyuxvdt
OMdv
r&r&rrθθ −+=
=Soit :
Or :
)''''()''''( xyzyxz uyuxuzuyuxuOMr&r&rrrr&
rθθθω −=++∧=∧
Remarque :
OMvavecvvOMvv ee ∧=+=∧+= ωωrrrrrrr
''
HMOMve ∧=∧= ωωrrr
La vitesse d’entraînement est la vitesse d’un point immobile de (R’) et qui a donc un simple mouvement de rotation autour de l’axe (Oz) (cercle de centre H et de rayon HP, où P = M est le point coïncident, confondu avec M à l’instant t).
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Adt
Ad
dt
Ad
RR
rrrr
∧+
=
ω
'
Remarque : (dérivation et changement de référentiel)
OMdt
OMd
dt
OMdsoitOMvv
RR
∧+
=
∧+= ωω
rrrr
'
'
On peut généraliser cette formule au cas d’un vecteur quelconque : Ar
C’est cette relation qui va être utilisée pour déterminer la loi de composition des vecteurs accélération.
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Mécanique du point matériel
( ) '2' vOMOMdt
daa
rrrrr
rr∧+
∧∧+∧+= ωωω
ω
3 – Loi de composition des vecteurs accélération :
vdt
vd
dt
vda
RR
rrrr
r∧+
=
= ω
'
En utilisant la relation précédente :
Puis : ( ) ( )OMvOMvdt
da R ∧+∧+∧+= ωωω
rrrrrr'' '
( )OMvdt
OMdOM
dt
d
dt
vda
RRR
∧∧+∧+
∧+∧
+
= ωωωω
ω rrrrrrr
r'
'
'''
Soit :
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Mécanique du point matériel
( ) '2' vOMOMdt
daa
rrrrr
rr∧+
∧∧+∧+= ωωω
ω
Accélération de M dans (R)
Accélération de M dans (R’)
Accélération d’entraînement de M
(celle du point coïncident)
Accélération de Coriolis de M
ce aaaarrrr
++= '
L’accélération de Coriolis est nulle si le point M est au repos dans (R’).
Cette relation se généralise à un mouvement d’entraînement de (R’) par rapport à (R) quelconque.
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Mécanique du point matériel
( )OMae ∧∧= ωωrrr
Cas d’une rotation uniforme (ωωωω = cste) :
( ) cbabcacbarrrrrrrrr
).().( −=∧∧Rappel mathématique :
OMOMOMOMae2
).().().( ωωωωωωω −=−=rrrrrrr
Par conséquent :
Soit H le projeté orthogonal de M sur l’axe (Oz) : OHOM ωω =.r
D’où : MHMOOHOMOHOMOHa e2222
)()().( ωωωωωω =+=−=−=rr
Finalement :HMae
2ω−=r
On retrouve l’expression de l’accélération pour un mouvement circulaire uniforme.
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Mécanique du point matériel
- B -
Dynamique
Référentiels non galiléens
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Mécanique du point matériel
I – Les « pseudo » forces d’inertie :
1 – Exemple d’une voiture accélérée :
2 – Principe fondamental dans un référentiel non galiléen :
(R) est un référentiel galiléen et (R’) un référentiel en mouvement quelconque par rapport à (R).
Un point matériel M (m) est soumis à des forces (« réelles ») dont la résultante est nommée .
On note v et a la vitesse et l’accélération de M dans (R).
On note v’ et a’ la vitesse et l’accélération de M dans (R’).
On rappelle que, dans le cas général :
fr
ce aaaarrrr
++= 'evvvrrr
+= '
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Mécanique du point matériel
Le PFD appliqué dans le référentiel galiléen (R) donne :
En utilisant la composition des accélérations :
On pose :
famrr
=
)()(')'( cece amamfamsoitfaaamrrrrrrrr
−+−+==++
eie amfrr
−=
cic amfrr
−=
« Pseudo » force d’inertie d’entraînement
« Pseudo » force d’inertie de Coriolis
Alors :icie fffamrrrr
++='
On peut ainsi appliquer un « pseudo » PFD dans un référentiel non galiléen, à condition de rajouter aux forces « réelles » les « pseudo » forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis.
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Mécanique du point matériel
3 – Le mouvement d’entraînement est une translation :
C’est le cas par exemple d’une voiture qui accélère en ligne droite.
Alors :
Dans le référentiel de la voiture, le « pseudo » PFD devient :
Si la résultante des forces est nulle :
Si la voiture freine : le passager est projeté vers le pare-brise.
Si la voiture accélère : le passager est collé au siège.
routevoitureamfam /'rrr
−=
0/
rrrr== croutevoituree aetaa
routevoitureaa /'rr
−=
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Mécanique du point matériel
4 – Le mouvement d’entraînement est une rotation autour d’un axe fixe :
x
y
z =z’
(R)
Oxu
r
yur
zur
M
OMr =r
y’
x’
yu 'r
xu 'r
θθθθ
H ( )
∧∧+∧−= OMOM
dt
dmf ie ωω
ω rrr
r
'2 vmfic
rrr∧−= ω
Pour un mouvement de rotation uniforme :
C’est la force centrifuge !
HMmf ie2ω+=
r
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Mécanique du point matériel
II – Exemples d’applications :
1 – Ascenseur et poids apparent :
)(0' eamgmRamrrrrr
−++==
O
z
yuggrr
−=
yur
Pèse personne
Ascenseur
yee uaarr
=
Rr
gmr
L’équilibre « relatif », dans le référentiel de l’ascenseur s’écrit :
Soit, en introduisant la notion de « poids apparent », Papp :
yeeapp
app
uagmagmP
RP
rrrr
rr
)()( +−=−=
−=
Remarque : g est en valeur absolue (g > 0) alors que ae est en valeur algébrique (> ou < 0).
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Mécanique du point matériel
II – Exemples d’applications :
2 – Ressort sur un plateau de manège tournant :
Notations :
ωr
Tr
iefr
O
x
x’
y’
y
z
gmr
Rr
M
La vitesse de rotation est constante.
A t = 0, la longueur du ressort est .
Le point M se déplace sans frottement sur l’axe (Ox’). A t = 0, (Ox’) était confondu avec (Ox) et M était immobile par rapport au manège, avec x’ = L.
Etudier, selon les valeurs de ωωωω et k (constante du ressort) la nature du mouvement du point M.
0l
(R) : réf terrestre galiléen ; (R’) : réf lié au plateau (non galiléen)
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Mécanique du point matériel
ωr
Tr
iefr
O
xx’
y’
y
z
gmr
Rr
)0':(
''
''2'2
''
')'(
''';'''
'
2
0
=
+=
−=∧−=
=
−=
−−=
==
++++=
x
zzyy
yic
xie
z
x
xx
icie
RfrottementdePas
uRuRR
uxmvmf
uxmf
umggm
uxkT
uxvuxa
ffTgmRam
rrr
r&
rrr
rr
rr
rl
r
r&
rr&&
r
rrrrrr
ωω
ωM
z
y
Rmg
Rxm
xmxkxm
+−=
+−=
+−−=
0
''20
')'('2
0
&
l&&
ω
ω
icfr
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Mécanique du point matériel
mgRxmR zy =≠= ;!0'2' &ω
Equation du mouvement :
On pose :
Alors :
02
')(' l&& kxmkxm =−+ ω
m
k=0ω (Pulsation propre du système
masse-ressort)
020
220 ')(' l&& ωωω =−+ xx
020
2
202
02
020
2
20
0
0220
2022
00220
20
0
)(':
cos)(':
ll
ll
ωω
ωωω
ωω
ωωω
ωω
ωωω
ωω
ωωω
−+
−
−−=<
−+
−
−−=>
tchLxSi
tLxSi
Réaction du plateau :
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Mécanique du point matériel
II – Exemples d’applications :
3 – Tige tournant à vitesse angulaire constante :
iefr
x
y
z
(R)
Ozu
r
M
gmr
y’
x’
rur
αααα
H
Tige
ωr
θ = θ = θ = θ = ωωωωt
(R’)
Rr La tige est dans le plan (Ox’z).
Dans le référentiel (R’) lié à la tige :
On projette sur l’axe de la tige :
)(22
r
zr
urmHMm
Rumgurm
r&
r
rrr&&
∧−+
+−=
ωω
rmmgrm )sin(cos22 αωα +−=&&
ααω cos)sin(2
grr −=−&&
icfr
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Mécanique du point matériel
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :
2
)sin()sin(
)sin(
cos
αω
ααωαω gBeAer
tt ++= −
Compte tenu des CI :
3 cas sont à considérer :
( )220
)sin(
cossin
)sin(
cos
αω
ααω
αω
α gtch
grr +
−=
.':)sin(
cos
.0:)sin(
cos
.:)sin(
cos
20
20
20
Mdeinstableéquilibredpositiong
r
entombeMg
r
tigeladelonglegrimpeMg
r
αω
α
αω
α
αω
α
=
<
>
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Mécanique du point matériel
Résolution par la conservation de l’énergie mécanique
Définition de l’énergie potentielle centrifuge : la force d’inertie centrifuge s’écrit :
Elle dérive de l’énergie potentielle centrifuge telle que (en coordonnées cylindriques) :
Par conséquent (à une constante près) :
22,
2
1ρωmE iep −=
ρρωω umHMmf ie
rr22 ==
ρρ ρωρ
umud
dEf
iep
ie
rrr2,
=−=
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Mécanique du point matériel
La force de Coriolis, perpendiculaire à la vitesse (donc au déplacement) ne travaille pas. La masse m constitue donc, dans (R’), un système conservatif dont l’énergie mécanique, constante, s’écrit :
Par dérivation temporelle :
Soit :
On retrouve l’équation différentielle obtenue en utilisant le pseudo-PFD dans (R’).
222)sin(
2
1cos
2
1αωα rmmgrrmE m −+= &
0)sin(cos2 =−+= rrmrmgrrm
dt
dE m &&&&& αωα
ααω
αωα
cos)sin(
0)sin(cos
2
2
grr
rgr
−=−
=−+
&&
&&
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Mécanique du point matériel
- C -
Dynamique
Caractère galiléen approché de quelques référentiels d’utilisation
courante
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Mécanique du point matériel
I – Le référentiel terrestre :
1 – Définitions et notations :
Ωr
x
y z
O
C
S
N
(E)
H
λλλλ
O : Paris
Ox : dirigé vers l’Est et tangent au parallèle du lieu.
Oy : dirigé vers le Nord et tangent au méridien du lieu.
Oz : dirigé selon le rayon terrestre CO et dirigé vers l’extérieur de la Terre.
λλλλ : latitude du lieu,
Ω: vitesse angulaire de la Terre autour de l’axe NS :
−∈
2,
2
ππ
)sin(cos zy uurrr
λλ +Ω=Ω
15.10.3,7
−−≈Ω srad
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Mécanique du point matériel
I – Le référentiel terrestre :
2- Le poids d’un corps :
Ωr
HO2Ω
0gr
gr
C
OH
λλλλ
αααα
Immobilité relative d’une personne située sur un pèse –personne en O :
02
2
rrr=+Ω+− RHOmu
R
mMG z
T
T
Comme dans l’exemple de l’ascenseur, on définit :
HOmuR
mMGP
RPP
z
T
T
app
2
2Ω+−=
−==
rr
rrr
En posant , il vient : gmPrr
=
HOgHOuR
MGg z
T
T 20
2
2Ω+=Ω+−=
rrr
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Mécanique du point matériel
g est appelée accélération de la pesanteur et comprend deux termes :
* le terme gravitationnel g0 (prépondérant)
* le terme centrifuge ΩΩΩΩ2OH (faible)
La direction du fil à plomb (la verticale du lieu, donnée par la direction du poids mg) n’est pas confondue avec le rayon terrestre CO (écart d’un angle αααα).
Quelques valeurs numériques :
Pôles
T
T gsmR
GMg === − 2
20 .81,9
)'(.10.4,3)(222
max2
équateurlàsmRHO T−−≈Ω=Ω
%34,010.4,33
0
0=≈
−−
g
gg équateur
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Mécanique du point matériel
Evaluation de l’angle d’inclinaison αααα :
Ωr
HO2Ω
0gr
gr
C
OH
λλλλ
αααα
gHO
λα sinsin2
=Ω
HOg
2sinsin Ω=
λα
λαα cos;;sin 0 TRHOgg =≈≈
λλλ
α 2sin2
cossin
0
22
0 g
RR
g
TT
Ω=Ω≈
AN :
Quelle devrait la vitesse de rotation de la Terre pour être en état d’apesanteur ?
)45(1,00017,0max °=°=≈ λα Pourrad
HO2Ω
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Mécanique du point matériel
I – Le référentiel terrestre :
3 – Effets de la force de Coriolis :
* Déplacements parallèles au sol : un mobile se déplace selon un méridien ou un parallèle.
La force de Coriolis est toujours dirigée vers la droite dans le sens du mouvement (dans l’hémisphère Nord) et vers la gauche dans le sens du mouvement (dans l’hémisphère Sud).
On le montre à partir de la définition de la force de Coriolis :
Dans l’hémisphère Nord :
* La rive droite des fleuves est souvent plus érodée que la rive gauche
* Les rails de chemin de fer sont davantage usés à droite.
'2 vmf ic
rrr∧Ω−=
Olivier GRANIEROlivier GRANIEROlivier GRANIER
Mécanique du point matériel
* Enroulement des dépressions et des anticyclones :
Basse pression
Haute pression
Dans l’hémisphère Nord
Animation Cabri
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Mécanique du point matériel
Exercice : (deux trains qui se croisent)
Deux trains identiques, de masse m = 10 t (et assimilés à des points matériels), animés d'un mouvement uniforme (de vitesse égale à v = 144 km.h-1) le long d'un parallèle (situé à la latitude λλλλ = 45°), se croisent.
Calculer la différence des forces de réaction sur les rails du train qui se dirige vers l'Est et de celui qui se dirige vers l'Ouest.
Olivier GRANIEROlivier GRANIEROlivier GRANIER
Mécanique du point matériel
Chute libre verticale : un mobile se trouve à l’instant t = 0 sur l’axe (Oz) à une hauteur h. On le lâche sans vitesse initiale (pas de frottements).
Dans l’hypothèse où le référentiel terrestre est galiléen, la chute libre est verticale et on peut écrire :
La prise en compte de la force de Coriolis entraîne une légère déviation vers l’Est (force dirigée selon les x > 0) :
Ordre de grandeur de la déviation observée :
htgztgvz +−=−= 200
2
1;
zzzyzzie uvuumuvmfrrrrrr
∧+Ω−=∧Ω−= )sin(cos22 λλ
xxzie utmgumvfrrr
)cos2(cos2 0 λλ Ω=Ω−=
cmxalorsmh 5,145;100 =°== λ
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Mécanique du point matériel
*** Origine : le centre d’inertie de la Terre
*** Trois axes dirigés vers trois étoiles lointaines « fixes »
(RK)
(RG)
« Etoiles fixes »
(RG) a un mouvement de translation quasi-circulaire par rapport au référentiel de Kepler (RK). La période est de 365,25 jours (année sidérale).
(RG) n’est pas, en toute rigueur, galiléen.
II – Le référentiel géocentrique :
1 – Définitions et notations :
T
S
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Mécanique du point matériel
II – Le référentiel géocentrique :
2 – Accélération d’entraînement de (RG) par rapport à (RK) :
Le théorème du centre d’inertie, appliqué à la Terre, donne :
aT représente l’accélération d’entraînement du référentiel (RG) dans son mouvement de translation quasi circulaire autour de (RK).
LTTL
GMST
TS
GMa
LTTL
MGMST
TS
MGMaM
LST
LTSTTT
33
33
−−=
−−=
r
r
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Mécanique du point matériel
II – Le référentiel géocentrique :
3 – Le champ des marées :
On considère un point matériel M (m). L’étude de son mouvement est faîte dans (RG), considéré comme non galiléen (M peut être une particule d’eau d’un océan, par exemple).
M est soumis aux forces suivantes :
• Les forces gravitationnelles exercées par la Terre, le Soleil, la Lune (éventuellement les autres planètes …).
• Des forces appliquées F (électriques, magnétiques, réaction, …)
• La force d’inertie d’entraînement, fie = - maT (la force de Coriolis est nulle car (RG) est en translation par rapport à (RK)).
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Mécanique du point matériel
Le PFD appliqué dans (RG) donne :
TSLT amFSM
MS
GmMLM
ML
GmMTM
TM
GmMMam
rrr−+
−−+−=
333)(
En remplaçant aT par son expression précédente :
−−−
+
−−+−=
STTS
GMLT
TL
GMm
FSMMS
GmMLM
ML
GmMTM
TM
GmMMam
SL
SLT
33
333)(
rr
FSTTS
GMSM
MS
GMmLT
TL
GMLM
ML
GMmTM
TM
GmMam SSLLT
rr+
+−+
+−+−=
33333
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Mécanique du point matériel
Champ gravitationnel terrestre au point M
3 3 3 3 3
S ST L LGM GMGmM GM GM
ma TM m LM LT m SM ST FTM ML TL MS TS
= − + − + + − + +
uuur uuuur uuur uuur uuur rr
Différence des champs gravitationnels (dus à la Lune) aux points M
et T (centre de la Terre).
Différence des champs gravitationnels (dus au
Soleil) aux points M et T (centre de la Terre).
Autres forces
Olivier GRANIEROlivier GRANIEROlivier GRANIER
Mécanique du point matériel
ϕϕϕϕL et ϕϕϕϕS sont appelés « champs des marées ».
Ce sont des termes différentiels qui, lorsqu’ils sont négligés, conduisent à considérer le référentiel géocentrique comme étant galiléen.
Nous allons voir que ces champs permettent d’expliquer qualitativement le phénomène des marées océaniques.
)()(
)()(
33
33
TGMGSTTS
GMSM
MS
GM
TGMGLTTL
GMLM
ML
GM
SSSS
S
LLLL
L
rrr
rrr
−=
+−=
−=
+−=
ϕ
ϕ
Olivier GRANIEROlivier GRANIEROlivier GRANIER
Mécanique du point matériel
II – Le référentiel géocentrique :
4 – Les marées océaniques :
Hypothèses (théorie statique des marées) :
• Pas de rotation propre de la Terre.
• La Terre serait, en l’absence de phénomène des marées, recouverte uniformément d’eau au repos dans (RG).
• On prend en compte l’effet de la Lune et du Soleil (« champs des marées »).
On considère tout d’abord l’influence de la Lune.
Olivier GRANIEROlivier GRANIEROlivier GRANIER
Mécanique du point matériel
T L
AB
TL
RT
)(ALϕr
)(BLϕr
07
3
0310.1,122)()( g
TL
R
M
MgR
TL
MGMBA T
T
LT
LTLL
−=
=== ϕϕ
Terre
Lune
Olivier GRANIEROlivier GRANIEROlivier GRANIER
Mécanique du point matériel
08
3
0310.1,522)()( g
TS
R
M
MgR
TS
MGMBA T
T
ST
STSS
−=
=== ϕϕ
Le champ des marées dû au Soleil vaut, aux mêmes points A et B :
On constate que :
Les contributions de la Lune et du Soleil sont du même ordre de grandeur.
2,2)(
)(=
A
A
S
L
ϕ
ϕ
Prendre en compte de la rotation propre de la Terre et d’autres choses plus compliquées !