MÉCANIQUE DES TERRAINS PERMÉABLES

J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 63

Mécanique des terrains perméables

The mechanics of perméable soils

P A R J. FEREANDON

MAITRE DE CONFÉRENCES A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE

Le texte ci-dessous résume la matière d'une série de conférences faites aux Elèves Ingénieurs de l'Institut Polytechnique de Grenoble au cours de la session scolaire i95S-195b. Leur objet est l'examen de certaines propriétés des terrains perméables particulièrement utiles pour les applications. La première partie expose les lois de l'écoulement laminaire en généralisant, par Vintroduc-tion du tenseur de perméabilité, la loi de Darcy aux milieux isotropes. La seconde partie traite de l'équilibre limite des sols cohérents sans frottement interne et des sols pulvérulents par la méthode analytique de Cauchy, par laquelle les lignes de glissement apparaissent comme courbes caractéristiques d'un système d'équation aux dérivées partielles. La troisième partie envisage les phénomènes de propagation de discontinuités dans un sol perméable, compte tenu de l'existence de deux phases solide et liquide en présence. Enfin une note de M. F . Serre sur l'évolution en fonction du temps du tassement des couches argileuses aborde le problème du tassement des fondations d'une manière tout à fait générale.

The following text is a résumé of a séries of lectures delivered to engineering students at the Grenoble Polytechnic Institnte during the 1953-I95Ï session. The object of the lectures was to examine those properties of perméable soils which are of spécial importance in prac-tical problems. The first part treats the laws of laminar flow. generalising Darcy's law for isotropic soils by introducing the permeability tensor. The second part deats with the limiting equilib-rium of cohesive soils without internai friction, and of cohesionless soils. The analytical method of Cauchy is used and gives the failure Unes as characteristic curves of a System of partial differential équations. The third part considers the , phenomena of propagation of discontinuâtes in a perméable soil talcing into account the existence of both solid and liquid stages. Finally a note by M . F . SERRE on the time élément in the seulement of clay strata introdu-ces the problem of foundation seulement in a very gênerai manner.

D E U X I È M E P A R T I E <*>

É T A T S LIMITES DES MASSIFS F I L T R A N T S

L e s m a s s i f s na ture ls ( sab les , argi les , vases ) sur l e s q u e l s sont édif iés l e s cons t ruc t ions sont, en p lus d e s c h a r g e s superf ic ie l les q u e leur t r ansmet tent l e s f o n d a t i o n s d e ce s de rn ie r s , sol l ic i tés par d e s f o r c e s d e v o l u m e c o m p o r t a n t leur p o i d s p r o p r e et l es ac t ions , m i s e s e n év idence p r é c é d e m ment , d e l ' eau y filtrant.

L a s e c o n d e pa r t i e d e ce t e x p o s é est c o n s a c r é e à l ' e x a m e n d e s cond i t ions d ' équ i l i b re de ces sols sous les f o r c e s p r é c i t é e s .

I l y s e r a traité s u c c e s s i v e m e n t :

— de l 'é tat l o c a l d e s cont ra in tes ,

—- de l'état d ' équ i l ib re l imi te d e s sols c o h é r e n t s à f ro t t emen t nul,

— de l 'é tat d ' équ i l ib re l imi te d e s sols pu lvé rulen ts .

(*) La Houille Blanche, n° 4, 1954, pp. 466-480 .

L e p r e m i e r poin t est , à d i re vrai , c l a s s ique , m a i s sa c o n n a i s s a n c e est i n d i s p e n s a b l e pour la c o m p r é h e n s i o n d e la sui lc . Au d e u x i è m e s 'at tachen t d e s é q u a t i o n s in t ég rab le s d ' o ù p r o c è d e n t d e s résul ta ts t ang ib l e s i m m é d i a t e m e n t u t i l i sab les pa r l ' ingénieur . Il e n est a u t r e m e n t du de rn ie r p o u r l e q u e l il f a u d r a se con ten te r de généra l i t é s et d e q u e l q u e s résul ta ts pa r t i e l s d ' a i l l eurs f ruc tueux .

I

É T U D E L O C A L E DES C O N T R A I N T E S

1. C O N T I N U I T É M A C R O S C O P I Q U E .

L e s sols pu lvéru len t s o u c o h é r e n t s f o r m é s p a r la j ux t apos i t i on d ' é l é m e n t s d e nature , d e f o r m e , et d e d i m e n s i o n s t rès d ive r ses , n e son t p a s sus -

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955025

http://www.shf-lhb.org

http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955025

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eep t ib l e s d 'une ana lyse p r éc i s e fa isant é ta t de leur cons t i tu t ion in terne c o m p l e x e . Mais la p lu par t des obse rva t ions et inves t iga t ions d ' o ù p r o cèden t les résul ta ts uti les aux ingénieurs , conce r nent des ex tens ions finies d 'un n o m b r e si é levé d e par t icu les qu ' i l appara î t l ég i t ime d e les trai ter c o m m e d e s cont inus m a c r o s c o p i q u e s eu éga rd à la r e c h e r c h e des g randeur s m o y e n n e s ca rac té r i s t iques de leur état m é c a n i q u e .

2. R E P R É S E N T A T I O N P L A N E D E L A D I S T R I B U T I O N

L O C A L E D E S C O N T R A I N T E S .

I! est ainsi p o s s i b l e de définir pour les m a s s i f s en terre d e s tensions in te rnes o u con t ra in tes analogues à ce l les d e la m é c a n i q u e d e s cont inus m a tériels d é f o r m a b l e s et e n p o s s é d a n t toutes les p rop r i é t é s g é o m é t r i q u e s s u p p o s é e s c o n n u e s du lecteur . L a poss ib i l i té d 'une r ep ré sen t a t i on p l a n e de l 'état d e s f o r c e s in té r ieures est l 'une de ce l les qui se ra souvent p r i se e n cons idé r a t i on pa r la sui te et dont il convient , afin de fixer, une fo is pour tou tes , ce r t a ines conven t ions et no ta t ions , de r a p p e l e r s u c c e s s i v e m e n t les d é v e l o p p e m e n t s e s sen t i e l s .

Soit à ce t effet un mass i f cont inu , supposé tout d ' a b o r d bidimensionneL E n tout po in t M, les a x e s rec tangu la i res d e c o o r d o n n é e s étant de d i rec t ions q u e l c o n q u e s , et les c o m p r e s s i o n s étant c o m p t é e s pos i t ivement , so ient N x , N 2 , T 3 (notations d e L a m é ) les c o o r d o n n é e s d u tenseur d e s cont ra in tes . L e s c o m p o s a n t e s n o r m a l e s N et tan-gent ie l les T d e la cont ra in te re la t ive à l ' é l émen t de dro i te (P) pas san t pa r M et défini par l 'angle 0 d e sa n o r m a l e Mn et de Ox sont :

, T Ni + N., , N n No « A , rr. • O A

\ r _ — ^ -|_ — L _ - -—- cos 2 0 -\- 13 s in 2 ô ( D

2

N - N.. ) .Ali sin 2 0 + Tr> cos 2 6

Dans le s v s t è m e d ' axes rec tangula i res liés à (P) , Mn, Mt (fig. 13), le po in t m (N, T ) décr i t ainsi , l o r sque 6 varie , le ce rc le ( F ) pas san t pa r les

Fui. 13

points m} (N,, T 3 ) et m2 (N2, — T ; î ) c o r r e s p o n d a n t r e spec t i vemen t à 0 = 6" et 0 = Or /2), e t d i a m é t r a

l emen t o p p o s é s . L e cen t re O d e ( F ) a pou r a b s c i sse = (1 /2 ) (N x + N 2 ) . L ' a n g l e (m^ om) est éga l à 2 0. L e s con t ra in tes p r inc ipa l e s ont pour g randeur s les a b s c i s s e s a et b d e s po in t s A e t B d ' in te r sec t ion d e ( F ) et d e mn; e l l e s font avec Ux les ang les (1 /2 ) (omx A ) et ( 1 /2 ) (omx B ) , étant e n t e n d u q u e les ang les , dans le p l an nMt de la r ep résen ta t ion , sont c o m p t é s pos i t i vemen t dans le sens a m e n a n t Mt sur Mn.

L ' e x t e n s i o n d e la c o r r e s p o n d a n c e c i -dessus aux m a s s i f s tridimensionnels résu l te du t h é o r è m e suivant dont est s e u l e m e n t donné l ' énoncé . E n u n po in t q u e l c o n q u e M du massif , soit @ la cont ra in te re la t ive à l ' é l é m e n t p l an (P) d e norm a l e Mn. Sur Mn p o r t o n s les t rois po in t s A , B , C (fig. 14) dont les a b s c i s s e s pa r r appor t à l 'ori-

,t

(P) (P)

M

FIG. 1 4

gine M sont les va leurs a, b, c d e s con t ra in tes p r i nc ipa l e s e n M; puis , d a n s le p l an Mn ©, traçons les t rois c e r c l e s de d i a m è t r e A B , B C , C A . L 'ex t r émi t é m de la con t ra in te © est, que l l e q u e soit la pos i t i on de Mn, intérieure au plus grand des cercles et extérieure aux deux autres.

3 , F R O T T E M E N T I N T E R N E E T C O H É S I O N .

C O U L O M B .

L O I D E

L ' e x p é r i e n c e condui t à a d m e t t r e q u e toute rupture d ' équ i l ib re d 'un mass i f e n ter re , sous l ' act ion de sol l ic i ta t ions ex t é r i eu re s pa r t i cu l i è res , s ' a m o r c e pa r d e s g l i s semen t s i r r éve r s ib l e s le long de cer ta ins d e ses é l é m e n t s d e su r face . E n un poin t M, soit (P) l 'un d ' eux d e n o r m a l e Mn ei ® (N, T) la con t ra in te re la t ive à ce lui-c i . L a c o n d i t ion d e non-appa r i t i on d e s d é s o r d r e s en c a u s e cons i s te e n une inégal i té de la f o r m e :

| T | < N t g 9 + C

t raduisant la loi de C O U L O M B .

(2)

En toute général i té , 9 et C d é p e n d e n t d e la pos i t ion et de l 'or ienta t ion d e Mn. Dans l ' h y p o thèse , t rès g é n é r a l e m e n t a d o p t é e pa r la suite, d 'un sol i so t rope , c e s p a r a m è t r e s sont, en un point donné , d e s p a r a m è t r e s dés ignan t r e s p e c t ivement l 'angle d e frottement interne et la c o h é s ion e n ce point . Si, par surcroî t , le mass i f est h o m o g è n e , c e s quan t i t é s sont d e s cons t an t e s a b -

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so lues pe rmet t an t , du point de vue de la s tabilité in terne , d e le carac té r i se r .

L a c o n n a i s s a n c e d e la valeur d e s coeff ic ients ca rac t é r i s t i ques ? e t C qui s ' avère ainsi e s s e n tielle es t d e m a n d é e à l ' expé r i ence dans c h a q u e cas par t icul ier . Sont donnés , à titre indicatif, dans le t a b l e a u c i -dessous , q u e l q u e s o rd res d e g randeur .

Valeurs moyennes et approximatives des coefficients caractérist iques de divers terrains

Désignation du sol Angle de Cohésion

Désignation du sol frottement interne C (en degrés) heciopièzes

Sable f in . . Sab le l i m o n e u x

ou arg i leux L i m o n Argile Argile grasse V a s e .

33 à 35

27 à 33 25 à 33 25 à 27 15 à 25

0 à 15

0,5 à 1 0,2 à 0,5 0,1 à 0,2

L e s m a t é r i a u x pulvéru lents ou à c o h é s i o n nulle c o m p r e n n e n t les sables, les m a t é r i a u x sans frott ement interne, ce r t a ines vases et n o t a m m e n t la p lupar t d e s vases m a r i n e s gorgées d ' e au . E n tre ces d e u x ca t égor i e s e x t r ê m e s s 'é tend la g a m m e d e s argiles et d e s marnes.

Il y a l ieu de noter le ca rac tè re a p p r o c h é de la loi d e C O U L O M B . Celle-ci ass igne en effet aux d ivers sols qu ' e l l e c o n c e r n e une c o u r b e intrins è q u e f o r m é e de d e u x dro i tes symé t r iques par r appor t à l ' axe des cont ra in tes no rma le s , et ce t te f o r m e n 'es t m a n i f e s t e m e n t pas c o m p a t i b l e avec la p ropr i é t é de ceux-c i de se r o m p r e sous d e s c h a r g e s d e t ract ion re la t ivement m o d é r é e s . E n fait, si les c o u r b e s in t r insèques des sab les (fig. 15) se réduisent à deux demi -d ro i t e s du p lan

t

(a) (b) (c) \ Fin. 15

n > o pa s san t par l 'or igine et inc l inées d e ± ? (angle de f ro t t ement in terne) sur Taxe d e s n, ce l l e s d e s vases , (fig. 15 b) et ce l les des argi les ou d e s m a r n e s (fig. 15 c) sont curvi l ignes et a d m e t t e n t r e spec t i vemen t pour a s y m p t o t e s les f a i s c e a u x d e dro i tes t = =t= C, f = ± n t g 9 + C dont e l l es p o s s è d e n t na tu re l l ement la symét r ie

par r appor t à l ' axe d e s n, et avec l e sque l l e s e l l es peuven t l ég i t imemen t ê t re c o n f o n d u e s pour les c o m p r e s s i o n s q u e l q u e p e u i m p o r t a n t e s . Dans cet te éventual i té , un mass i f i so t rope s e r a d o n c s table si, e n c h a c u n d e ses po in ts M, la cond i tion (2) est sa t is fa i te pour toute d i rec t ion Mn, au t r emen t dit, si le ce rc le représenta t i f d e s c o n traintes les p lus d a n g e r e u s e s est situé au -des sous de la dro i te d ' é q u a t i o n :

t = n tg 9 + C

4 . N O T I O N D ' É Q U I L I B R E L I M I T E .

Il s 'agit d 'é tudier , dans une c i r cons t ance très par t icu l iè re qui se ra géné ra l i s ée u l t é r i eu remen t , l e s p rop r i é t é s essen t i e l l e s d 'un mass i f e n terre en équ i l ib re l imite , c 'es t -à-di re tel q u e ce r t a ines modi f ica t ions t rès pe t i t es d e s so l l ic i ta t ions ex té r ieures y p r o v o q u e n t d a n s une zone finie d e s déso rd re s i r révers ib les . En tout poin t d 'un tel m a s sif, sous les r é se rves é n o n c é e s c i -dessus , quant à l ' intensité d e s p res s ions , est a lo r s sa t i s fa i te l 'égali té de C O U L O M B . Es t clone t rès l imi ta t ive-men t envisagé un mass i f pulvérulent ( sab le sec) de p o i d s spéc i f ique A et d ' ang le de f ro t t emen t in terne 9, l imité vers le hau t par un p l a n h o r i -

FIG. 1 6

zonla l non c h a r g e . Ses é l é m e n t s ho r i zon taux sont p r inc ipaux pour la d is t r ibut ion d e s con t ra in tes qui y régnent , et à la p r o f o n d e u r //, l ' intensité de la p r e s s i o n ver t ica le est Ay. L a cons idé r a t i on de l ' équ i l ib re du mass i f ne suffit p a s à d é t e r m i n e r Ja p r e s s i o n p r inc ipa le hor i zon ta le Nj qui peu t ê t re c o m p r i s e en t re d e u x va leurs e x t r ê m e s N\ et N"^ a b s c i s s e s d e s po in ts d ' i n t e r sec t ion de Mn et d e s ce r c l e s d'équilibres limites C et C/' p a s sant pa r le po in t d ' a b s c i s s e Ay de ce t axe et t angents à la dro i te de C O U L O M B : / = n tg 9 (fig. 16) . T o u s les é ta ts p o s s i b l e s sont ainsi c o m p r i s en t r e l 'état d ' équ i l ib re infér ieur N \ o u d e poussée, et Tétat d ' équ i l i b r e supér ieur N"-, ou d e butée sur l e sque l s va p r é c i s é m e n t por te r no t re a t ten t ion .

Dans c h a c u n de ceux-c i , à condi t ion d 'at tr i-

6

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buer à l a cons tan te À l 'une o u l 'autre d e s va leurs résul tant d i r e c t e m e n t d e la figure :

j et qui ca rac té r i sen t l 'é tat d e poussée et l 'é tat d e butée r e spec t i vemen t , l es cont ra in tes e n tout po in t résu l ten t d e s exp re s s ions :

N 2 = Ay ,

Cons idé rons Vétat de poussée. E n c h a q u e poin t M du massif , sur les d e u x é l é m e n t s e\ et e'2

d ' i m a g e s t\ et t'2> l a cont ra in te p r é s e n t e avec la n o r m a l e Mn l ' inc l ina ison m a x i m u m (9 d a n s le cas ac tue l d 'un so l pu lvé ru len t ) , s y m é t r i q u e s pa r r appor t à l ' hor izon ox, ils son t inc l inés sur cet axe d e s ang les (fig. 17) :

0'* 4 ^ ' 2 = - H i - +

Butée

L ' e n s e m b l e d e s e\ o u éléments de glissement de première espèce es t por té p a r le r é s e a u d e s droites de glissement de première espèce d i s t r ibuées e n f a i s c e a u d e pa ra l l è l e s s y m é t r i q u e s pa r r appor t à ox (fig. 17 b). L ' é t a t d e butée c o m por t e d e s résul ta ts ana logues . Aux é l é m e n t s e'\ et e " 2 d ' i m a g e s if\ et f'2 (fig. 16) c o r r e s p o n d e n t de m ê m e les lignes de glissement de seconde espèce fa i san t avec ox les angles :

- - p , V'o = - - ^- — - X

et se groupant e n f a i s c e a u x pa ra l l è l e s (fig 17 c ) .

R E M A R Q U E : L e s équ i l i b r e s l imi tes t rès par t i cul iers donnan t l ieu, te ls c eux décr i t s c i -dessus , à l ignes d e g l i s semen t pa ra l l è l e s , sont dits équ i l ib res de R A N K I N E .

5. S T R U C T U R E M É C A N I Q U E D E S M A S S I F S E N É Q U I

L I B R E .

Afin d e just if ier l es d é v e l o p p e m e n t s qu i vont suivre et d ' e n faci l i ter la c o m p r é h e n s i o n , q u e l q u e s ind ica t ions sur la cons t ruc t ion d e s m a s s i f s e n t e r re e n équ i l ib re sont u t i les . Un tel e n s e m ble es t f o r m é d e zones d e d e u x na tures . Dans l es p r e m i è r e s (E) , j u s t i c i ab le s e n p r e m i è r e a p p r o x i

m a t i o n d e la théor ie d e l 'é last ici té , l ' équ i l ib re est surabondant, et une pe t i t e mod i f i c a t i on de l 'état d e s con t ra in tes résul tant d e la m i s e e n j e u d e fo r c e s a c c i d e n t e l l e s n 'y d é t e r m i n e n t q u e d e s per turba t ions quas i - r éve r s ib l e s . L e ce r c l e r e p r é s e n t a tif d e s con t r a in t e s l es p lus d a n g e r e u s e s es t e n tout po in t situé au -des sous d e la dro i t e d e C O U

L O M B , t = n tg 9 + C. Dans l e s s e c o n d e s (L) e n équilibre limite, in fér ieur o u supér ieur , l 'égal i té t = n tg 9 + C es t e n tout po in t vér i f iée . L e cer c le représen ta t i f d e s con t ra in tes es t t angent à l a dro i te d e C O U L O M B . L e s r ég ions ( L ) , qu i p e u v e n t d 'a i l leurs s ' évanoui r e n a rc s o u e n po in t s i so l é s o ù es t at teint l ' équ i l ib re l imi te , sont s é p a r é e s d e s rég ions (E) pa r d e s surfaces de glissements}

in té r ieurs a u mass i f o u cons t i tuant tout o u par tie d e sa f ron t iè re . Dans l ' éventual i té d e l a d i s t r ibut ion p l a n e d e s m a s s i f s h o r i z o n t a l e m e n t in définis , l es d i r ec t r i ces d e s s u r f a c e s d e g l i s semen t cy l ind r iques cons t i tuent d e s lignes de glissement.

F I G . 18

L e s c i r c o n s t a n c e s t rès g é n é r a l e s sont i l lus t rées p a r d e u x e x e m p l e s . L a figure 18 est la c o u p e e n t ravers d 'un mass i f sur le po in t d e c é d e r r e tenu pa r un s o u t è n e m e n t . On y a t racé l a l igne d e g l i s semen t y par tan t du p i e d du m u r e t s é p a rant l e s zones (E) et ( L ) .

L a figure 19 es t re la t ive à un p j e u t r ansme t tant a u so l sous - jacen t l a c h a r g e P qu ' i l reçoi t en tê te . Deux éventua l i t és sont à dis t inguer : ou

( L )

F I G . 1 9

b ien la su r face in fé r i eu re du p i e u cons t i tue la seu le zone e n é q u i l i b r e l imi te , o u b i e n ce t état s 'é tabl i t d a n s une zone finie en touran t ce t t e e x t rémi té et s é p a r é e pa r l a l igne d e g l i s semen t du res te du massif .

F I G . 17

Ni = Ay , T 3 = 0.

L ' e x p r e s s i o n ligne de glissement es t suscept i b l e d e suggérer une in te rpré ta t ion e r r o n é e du p r o c e s s u s d e rupture qu ' i l convient d e s ignaler . Pour les sols pulvérulents , nous ve r rons en effet q u e , sur c h a q u e l igne de g l i ssement , la cont ra in te fait a v e c l a n o r m a l e l 'angle 9 d e f ro t t ement inte rne . Il es t a lors tentant d ' imaginer la rupture c o m m e u n g l i s sement d e s zones (L) sur les zo n e s (E) sans d é f o r m a t i o n à l ' intérieur d e c e s r ég ions r e spec t ive s . Mais c e type de m o u v e m e n t n 'est c i n é m a t i q u e m e n t p o s s i b l e q u e si l es l ignes d e g l i s semen t se réduisent à d e s a rcs d e ce r c l e s o u à d e s s e g m e n t s de dro i tes . Il résu l te ra d 'une a n a l y s e u l té r ieure q u e leur r é s e a u est loin d'offrir une tel le s impl ic i té . E n fait, l ' obse rva t ion d e s g l i s s emen t s d e talus, par e x e m p l e , m o n t r e q u ' e n tre d e u x zones e n m o u v e m e n t relatif a p p a r e m m e n t i n d é f o r m é e s , p rennen t na i s sance d e s z o n e s t r o u b l é e s d e s ingular i tés te l les q u e fa i l les , d é c h i rement» y r endan t i l lusoi re toute inves t iga t ion quant i ta t ive .

II

T H É O R I E D E L ' É Q U I L I B R E L I M I T E

DES SOLS C O H É R E N T S

SANS F R O T T E M E N T I N T E R N E

1.

P lus ieurs r a i sons mi l i tent e n faveur d 'une é tude dé ta i l l ée d e s é ta ts l imi tes d e s sols dépour vus d e f ro t t emen t in terne , don t ce r t a ines vases m a r i n e s const i tuent un e x e m p l e d 'une vas te e x t ens ion :

— L e u r cons idé r a t i on condui t à d e s p r o b l è m e s t r è s g é n é r a l e m e n t in t ég rab les don t les s o lut ions servi ront d e guides qual i ta t i f s lors d e c i r cons t ances m o i n s f a v o r a b l e s aux dév e l o p p e m e n t s ana ly t i ques ;

— L e s résul ta ts conce rnan t les sols pulvéru lents ne peuven t leur ê t re é t endus pa r le j e u d e s t h é o r è m e s d e s é ta ts c o r r e s p o n d a n t s (*) dont l ' énoncé s ' avère i l lusoi re e n c e qu i les c o n c e r n e ; f o r c e est d o n c d e p r o c é d e r à une ana lyse d i r e c t e ;

<*) Théorème des états correspondants (CAQUOT) : Un système cohérent (v, C) est en équilibre si l'on peut

lui faire correspondre un milieu pulvérulent en équilibre, occupant le même espace, admettant le même frottement apparent interne 00 et soumis, sur les parois qui le l imitent, a u x mêmes efforts que le milieu cohérent, augmenté de la pression hydrostat ique :

H = — C cotg 9

— Enfin, lo r s d e s rup tures d e m a s s i f s go rgés d ' eau , il s e m b l e b i e n q u e le frot tement» e n tre gra ins n ' ayant e n ce t te c i r cons t ance q u e d e s con tac t s for tui ts d ' i m p o r t a n c e négl i geab le , es t nul o u quasi-nul» et q u e s u b siste la seu le c o h é s i o n c o m m e c o n s é q u e n c e d 'a t t rac t ions in te rnes .

E n vue d 'une te l le ana lyse , le so l es t s u p p o s é s o u m i s à d e s ac t ions superf ic ie l les qu i se ron t éven tue l l emen t p r é c i s é e s u l t é r i eu remen t et à d e s f o r c e s de v o l u m e c o m p o r t a n t les f o r c e s gravi f i -q u e s et l es f o r c e s h y d r o d y n a m i q u e s d e r é su l tan te :

d F = — g v a d \ ô>$ + [A — ET (1 — m)] y V

(O y? ver t i ca le a s c e n d a n t e ) , sur tou te pa r t i cu le m a c r o s c o p i q u e d e v o l u m e dV 1 . 3 . 4 .

Désignant pa r :

0 = A — S (1 _ m) <*> (2)

le p o i d s spéc i f ique d u so l , c o m p t e tenu d e la p o u s s é e a r c h i m é d i e n n e , e t pa r :

Y = a > # + S y , (3)

le po ten t i e l to ta l don t les f o r c e s d e v o l u m e dé r i vent, i l vient i n d i f f é r e m m e n t :

d F = — grad ( w # + 0 y) d V = — g rad Y d V

et l e s f o r c e s p a r unité d e v o l u m e pa r t i cu la i re ont pour p r o j e c t i o n s sur les a x e s : :

dx ' *dy ' Zz

2. E Q U A T I O N S I N D É F I N I E S D ' É Q U I L I B R E L I M I T E .

E s t envisagé l imi t a t ivemen t un mass i f dé p o u r v u d e f ro t t emen t in terne , d e c o h é s i o n C, r appor t é aux a x e s r ec t angu la i r e s Ox, Oy (vert ica l e a s c e n d a n t e ) , d e p o i d s spéc i f ique A, sol l ic i té pa r d e s f o r c e s d e v o l u m e d e l ' e s p è c e déc r i t e c i -des sus . Dans ce t t e h y p o t h è s e et e n d e h o r s d e s z o n e s d ' appa r i t i on d e rup ture p a r t rac t ion , es t défini c o m m e état limite ce lu i p o u r l e q u e l le c e r c l e (C) représen ta t i f d e s con t ra in tes (fig. 20) a p o u r r a y o n la va leur C d e l a c o h é s i o n , e t se re t rouve p a r sui te tangent a u x d ro i t e s t = =t= C aux po in t s tt et t2, i m a g e s d e s é l é m e n t s p o u r l e s q u e l s l ' inc l ina ison d e la con t ra in te sur la nor-

( * ) A désigne le poids spécifique apparent de la phase solide contenu dans le volume d X) dont le poids tota l est A d T .

68 LA H O U I L L E B L A N C H E J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5

m a i e Mn est m a x i m u m . Ces é l é m e n t s , dits de glissement, sont o r thogonaux . L e s l ignes d e gliss e m e n t qu i leur sont t angen tes cons t i tuent ainsi un r é s e a u rée l de deux f a m i l l e s d is t inc tes (Tx)

t

c j V m , ( N t J 3 î c

f j V m , ( N t J 3 î

M m 2 ( N 2 T 5 ) \ ^

JzQJ

ti

FIG. 20

et (Fo ) , d ' a rcs S 3 et S 2 . Par tout poin t du mass i f passen t d e u x te l les c o u r b e s o r t h o g o n a l e s . Soient 9 (fig. 21) Fangle d e l a d i r ec t ion (F a ) avec la vert icale My et 91 la p r e s s i o n m o y e n n e e n M, ou d e m i - s o m m e d e s p r e s s ions p r inc ipa les , N 1 ? N 2, T 3 ,

FIG. 2 1

les c o o r d o n n é e s du tenseur des con t ra in tes r e l a tif au point M. Compte tenu de Fégali té évi den te :

5 1 = 1/2 0 \ \ + N 2 )

par la cons idé ra t ion de la figure (1), il vient les re la t ions :

N, = 91 + C sin 2 0

.91 — C sin 2 0

- C cos 2 0

( 4 )

définissant les c o m p o s a n t e s d e L A M É p r o p r e s à l ' équi l ibre l imite , e n fonc t ion d e s deux p a r a m è tres 91 et 6. Par l ' in t roduct ion de ceux-ci , les équa t ions indéf inies de l ' équ i l ib re :

0, 3 N ,

dx + 3 T : î dr "dx

3 T 3

dx •ày +

dr

3. ' / = 0,

en posan t :

s 'écr ivent :

[ - j L + 2 C c o s 2 6 - | 1 + 2 C s i n 2 f l ^ \ dx dx dy

— 2 C c o s 2 6 — -3 # ?>ij

+ 2 C s in 2 6 ~

= 0,

(6)

= 0.

E l les cons t i tuent un s y s t è m e d e d e u x é q u a tions aux d é r i v é e s pa r t i e l l e s de TC et 6, dont v a ê t re en t repr i se la d i scuss ion .

3 . L E P R O B L È M E D E C A U C H Y P O U R L E S F O N C T I O N S %

( O U 91) E T 6.

C h e r c h o n s à q u e l l e s cond i t ions est p o s s i b l e la d é t e r m i n a t i o n d e d e u x fonc t ions TC et 6, so lu t ions du s y s t è m e (6) p renan t sur un a rc y (£, TJ) appa r tenant au mass i f d e s v a l e u r s TC ( Ê , 'n), 0 &, y\) résultant d 'une d is t r ibu t ion d o n n é e d e s con t ra in tes le long d e y. Es t ainsi p o s é le p r o b l è m e d e C A U

C H Y pour les é q u a t i o n s (6) . Cel les-ci , éc r i t e s p o u r :r = l, y = TJ et les re la t ions :

, 3TC » . 3TC

fo rmen t , pa r r appor t aux d é r i v é e s pa r t i e l l e s d e s fonc t ions TC et 0, un s y s t è m e l inéa i re d e qua t r e é q u a t i o n s à qua t r e i nconnues dont le d é t e r m i nant es t :

D

1

0

dl

0

0

1

tfr,

0

2 C cos 2 0

2 C sin 2 0

0

dl

2 C sin 2 6

2 C cos 2 0

0

d Y]

— 2 CCcos Od£ + sin Odïi) (•— sinO r / ^ + c o s Orfr,)

Si D est différent d e zé ro sur (y), l a r é so lu t ion d e s équa t i ons est p o s s i b l e sur ce t te l igne. Par d i f fé renc ia t ions success ives o n peu t a lo r s ca lcu le r des dé r ivées d e tous o r d r e s de TC et 0 et cons t ru i re les d é v e l o p p e m e n t s tay lor iens de ces fonc t ions au vo is inage de y.

L ' annu la t i on d e D, en t ra înant une impossibilité ou une indétermination p o u r la r éso lu t ion e n ques t i on se produi t , si Varc y se confond avec une ligne de glissement. Si ce l le -c i est de p re miè re e s p è c e ( fami l l e Vt) :

cos 6 d t - f sin Ô d tj = 0

Si c 'est une l igne de s e c o n d e e s p è c e ( fami l le Fo) :

cos

91 + Y ( 5 )

ô + - J - j d l + sin + j d 7] = 0

On e n conclu t q u e la r é so lu t ion du p r o b l è m e

JANVIER-FÉVRIER 1 9 5 5 LÀ H O U I L L E B L A N C H E

cle C A U C H Y est géné ra l emen t impossible à part ir d e s d o n n é e s arb i t ra i res %{\, T J ) , 0 (Ç, tq) re la t ives à une l igne d e g l i ssement q u e l c o n q u e du massif . Pour q u ' e l l e soit indéterminée doit exister e n outre, en t r e les d o n n é e s % et G et pour c h a c u n e des f a m i l l e s ( I \ ) e t ( P 2 ) , une re la t ion différent iel le q u e nous a l lons f o r m e r t*). A cet effet, mul t ip l ions la p r e m i è r e é q u a t i o n (6) par dl= — s i n O d s ^ la s e c o n d e pa r d t\ = cos 6 dslt et a joutons , il vient :

d T : — 2 C d 0 = 0, le long des

De m ê m e , mul t ip l ions la p r e m i è r e équa t ion (6) par :

d l = — cos 0 ds2

la s e c o n d e pa r :

d Tj = - sin ô ds2,

et a jou tons , il vient :

tfx + 2 C e / 8 = : 0 le long d e s ( F 2 ) .

E n r é s u m é , aux lignes de glissement ( I \ ) et ( r 2 ) de première et de seconde espèce, sont r e s p e c t i v e m e n t a t t achés les s y s t è m e s différent ie ls :

t co s 0 d i + sin 0 d -r\ == 0

t dx — 2 C d Ô = 0 ( }

j sin 0 d Z — cos 0 d T, == 0

( d 7 r + 2 C d O = 0

Si (y) n 'est p a s l igne d e g l i s sement du massif , p a r tout po in t M intér ieur au quadr i l a t è re f o r m é pa r qua t r e l ignes d e g l i s sement , d e u x à d e u x i s sues d e s ex t r émi t é s d e y (fig- 22) , pas sen t deux l ignes de g l i s sement rencon t ran t y e n a et £ en t re ses ex t r émi t é s A et B , Chacune de ces l ignes é ta blit une re la t ion en t re les va leurs de et G en M;

FIG. 22

% et 6 y sont d o n c b i e n d é t e r m i n é e s . Au cont ra i re , pou r un po in t ex té r ieur au quad r i l a t è r e d e s l ignes d e g l i s sement , o n ne peu t m e n e r qu 'une seu le ou zé ro l igne d e g l i s sement rencon t ran t (y). Suivant

(*) Ces relations traduisent en fait J'équilibre du quadrilatère infinitésimal de côtés dsi et ds<>> formé par l'intersection de deux lign'es ( r i ) et de deux lignes (f 2) infiniment voisines.

les rég ions du p lan , la so lu t ion est soit d é t e r m i née , soit s i m p l e m e n t ou d o u b l e m e n t indé te r m i n é e .

R E M A R Q U E . — L e s l ignes de g l i s semen t a p p a ra issent ainsi , du point d e vue ana ly t ique , c o m m e les lignes caractéristiques du système d ' é q u a t i o n aux dé r ivées par t i e l l es (6) . L e r a i s o n n e m e n t fai l m o n t r e qu ' e l l e s sont r é e l l e s . L e s r e l a t ions (7) et (8) , qui e x p r i m e n t les cond i t ions pour q u e le p r o b l è m e d e C A U C H Y , g é n é r a l e m e n t i m p o s s i b l e à par t i r d e d o n n é e s a rb i t ra i res d e z et 0 le long d 'une ligne ca rac té r i s t ique , soit i ndé t e rminé , sont d i tes caractéristiques du s y s t è m e en cause .

4 . P R O P R I É T É S G É N É R A L E S D E S L I G N E S D E G L I S S E

M E N T E T D E C E R T A I N E S F O N C T I O N S S ' Y R A T

T A C H A N T .

L 'ex i s t ence d 'un r é s e a u d e l ignes d e g l i s semen t ayant été mi s e n év idence , il s e m b l e d 'au tant p lus ind iqué d'y r appo r t e r le mass i f e n vue de l ' é tude de s o n état l imi te qu ' i l cons t i tue un syst ème na ture l de c o o r d o n n é e s o r t h o g o n a l e s par t icu l iè rement app rop r i é à ce t t e fin.

Soient donc , r e l a t i vemen t au r e p è r e pr imit i f x o y pa r r appor t a u q u e l les c o o r d o n n é e s d 'un point q u e l c o n q u e d 'une l igne d e g l i s semen t sont tou jours dé s ignées par 5 v\ :

u (Ç -n) = O , v (X v0 = Q» (9)

les é q u a t i o n s d e s l ignes d e g l i s semen t d e s e c o n d e e s p è c e (T 2 ) et d e p r e m i è r e e s p è c e ( r , ) r e spec t i ve -

FIG. 23

ment . Ces de rn i è r e s sont o r i en t ée s c o m m e p réc i s é sur la figure 23, et pa r l ' in t roduc t ion d e s q u a n tités pos i t ives E x , E 2 ,

déf in ies pa r :

( 1 0 )

leurs a rcs é l é m e n t a i r e s ont p o u r e x p r e s s i o n s :

dsx = E t du (pour F - , ) , ds» = E 2 du (pour F 2 )

(11)

L a m i s e en œ u v r e d e s déf ini t ions n o u v e l l e s a ins i p r é c i s é e s condui t t rès d i r e c t e m e n t à q u e l q u e s p rop r i é t é s i m p o r t a n t e s qui vont ê t re e x p o s é e s ,

7 0 L A H O U I L L E B L A N C H E J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5

a) Transformation des équations caractéristiques.

Aux s y s t è m e s (7) e t (8) , re la t i f s aux l ignes d e g l i s sement , se subst i tuent ainsi l es é q u a t i o n s :

3 . du

3TC

+ E x s in 6

39

: 0 , | 3 - — E x c o s ou

6 = 0

(12)

2 C ~ = 0, (le long d e toute Fj) du ou

| | + E 2 c o s ( 0, 4- Eo sin

3y * 6 = 0

(13)

j?!! _ l 2 C | i = 0, (le long d e tou te F 2 ) 3y ' d u

b) Courbure des lignes de glissement.

L a c o u r b u r e kx d e s l ignes (Tx) et ce l l e k2 d e s l ignes ( r 2 ) , qui ont r e s p e c t i v e m e n t pour va leu r s :

k ^ - L ^ - , k * = 4 - ^ > (14)

Exdu E 2 dv sa t i s font k d e s é q u a t i o n s d i f férent ie l les in tégra-b l e s qu i vont ê t re f o r m é e s . A ce t effet , l ' ident ification d e s d é r i v é e s s e c o n d e s d2 l/du dv, d édu i tes d e s p r e m i è r e s é q u a t i o n s (12) e t (13) d o n n e :

s in 0 3 E X

dv • E x C O S ô ~

dv •cos 9

3 E 2

du

-4- Eo sm ô 3 u

et de m ê m e par l a cons idé ra t i on d e s d é r i v é e s d2 V 3 a dv, i l vient ; :

c o s 6 - | ^ L — E , s i n ô | * dv dv

— — s m 1 3 E o

soit e n réso lvan t e n 3 Ex 3tf

F 3 0

3 n

et

3 E 2

E 2 c o s 6 du

3 E 2

du

dv * du

puis , c o m p t e t enu d e (14)

1 3 E ,

du

E, Eo 3 » k,

9 E ,

E t E 2 3 u (16)

Dérivant ensuite chacune des équations (.15) par du et 3y respectivement, il vient pour valeur commune de :

3 2 0 _b 3 E X , „ 9/c, Su au ' ( 1 7 )

Or, les relations caractéristiques (deuxièmes équations (12) et (13)) dérivées, soit :

9 2 7!

du dv du dv du dv 2 C

3 2 ô 3 u dv

= 0

en t ra înent l a null i té d e ( 3 2 Si;) = 0, c e qu i , pa r (17) , a ss igne a u x c o u r b u r e s d e sa t i s fa i re au s y s t è m e :

1 dkx

E 2 dv

qui , p u i s q u e

1 dkx

— 7 ^ = 0,

dk,

1 E x 3 «

E 2 dv ds2

dev ien t finalement :

dkx

1 E ,

a\s 2

- ^ = 0, 3A:2

d s 3

3 £ 2

3 «

+ *2

dk2

dsi

0. (18)

Sous ce t t e f o r m e , F in tégra t ion a n n o n c é e es t i m m é d i a t e et, e n dés ignant pa r gx et ? 2 l es r a y o n s de c o u r b u r e d e s l ignes d e g l i s semen t (F x ) e t ( r 2 ) , d o n n e l e s r e l a t ions :

H + s2 = O , te — * i = C t o ,

p r o p r e s à p e r m e t t r e le t race d e s l ignes d e gl iss e m e n t à part ir , pa r e x e m p l e , d e d e u x l ignes d e g l i s semen t d e c h a q u e s y s t è m e se coupan t e n un point .

c) Recherche directe des fonctions et 6.

L e p r o b l è m e de la r e c h e r c h e d e s l ignes d e gliss e m e n t et pa r sui te ce lui d e la d é t e r m i n a t i o n d e s fonc t ions % et 6, à par t i r d e s d o n n é e s d e ce l le -c i sur une c o u r b e du mass i f [3] sont a ins i g é o m é t r i q u e m e n t r é so lus . Ce de rn ie r peu t t ou t e fo i s ê t re a b o r d é d 'une aut re m a n i è r e , et l es c o n s é q u e n c e s qu i s 'ensuivent p r é sen t en t q u e l q u e in térê t .

Cons idé rons les re la t ions ca rac t é r i s t i ques (12) et (13) . E n toute généra l i té , f (v) e t g (u) d é s i gnant d e u x fonc t ions a rb i t ra i res d e s va r i ab l e s , e l l es s ' ind iquent p a r :

• 2 C e = f (v), 7C + 2 C ô = #(tt)

P lus ieurs cas doivent ê t re env i sagés :

1° / et g d é p e n d e n t e f fec t ivement d e s va r i ab l e s .

Pa r un c h a n g e m e n t d e fonc t ions c o n v e n a b l e s , il es t a lors p o s s i b l e de rédu i re le s y s t è m e p r é c é dent à :

TC 2C 0 = C v, 7c + 2 C 0 = C n , (20)

d ' o ù :

% = C u -f- v u — v (21

J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5 LA H O U I L L E B L A N C H E 71

Ainsi , l a conna i s sance des c o o r d o n n é e s curvil ignes u et y d 'un poin t du massi f équivaut à ce l l e d e s fonc t ions % et G en ce point . Or, d a n s le r é s e a u c o o r d o n n é (Tl9 r 2 ) , ce l les-c i sont l iées aux a b s c i s s e s curvi l ignes sl9s2 pa r l e s équa t ions (11) in tégrées , si b i e n q u ' e n définit ive toute la q u e s t ion est r ég ie pa r les fonc t ions Ex(u.v) E2(u.v). C'est l ' équa t ion aux dé r ivées par t ie l les c o m m u n e , à l a q u e l l e c h a c u n e d 'e l les satisfait , qui v a m a i n tenant ê t re f o r m é e . C o m p t e t enu d e (21), l a dér i va t ion d é j à e f fec tuée d e s p r e m i è r e s équa t ions (12) et (13) r e l a t ivement k u et v d o n n e :

d2l du dv

du du

- E t co s G— sin G dE, du

1 7)Y E 2 s in G — cos 0

2 ou

~ E, sin G + cos G l ou

1 fi - a ^ E o ~— E.> cos G — sin Ô - -2 ou

d 'où :

E 9 = — 2 du '

Ei = — 2 3 E 2

du

soi t p a r s é p a r a t i o n d e s fonc t ions , les deux é q u a t ions du s e c o n d o r d r e c h e r c h é e s :

d2 E, du du 4

d2 En du du 4

E 2 = 0 (22)

iden t iques , du type c l a s s ique d e s télégraphistes, et pou r l ' in tégrat ion d e s q u e l l e s on se r epor t e ra aux t ra i tés d ' ana ly se s .

2° / e t g se r édu i sen t à d e s cons tan tes o et b.

% et G sont a lo r s cons tan t s d a n s tout le mi l i eu , les l ignes d e g l i s sement const i tuent un r é s e a u de droites o r t h o g o n a l e s . C'est le cas de R A N K Ï N E é v o q u é c i -dessus . Il convien t d e no te r q u e pa r la déf in i t ion d e w = 91 + ts $ + S y, ce t te éven tualité i m p l i q u e d e s cond i t ions aux l imi tes conve n a b l e s tant p o u r les p r e s s i o n s (.91) q u e pour l ' é c o u l e m e n t d e filtration (#) qui r ègne dans le massif .

3° Une seu le d e s d e u x fonc t ions , pa r e x e m p l e g, s e rédui t à une cons tan te b. L e s d e u x re l a t ions ca rac t é r i s t i ques qu i s ' intègrent pa r :

W _ 2 c e = / ( D ) , Z + 2 C G : (23)

donnen t :

2% = f(v) +b, 2CQ = b — f(v)

G étant i n d é p e n d a n t de u, l ' intégration de la

p r e m i è r e équa t ion (7; d o n n e , par la f onc t i on arbi t ra i re h (v) :

cos 0 5 + sin G t\ = h (v) (24)

L e s l ignes de p r e m i è r e e s p è c e ( r x ) cons t i tuent un faisceau de droites à u n p a r a m è t r e , t a n g e n tes à une c o u r b e (C) (fig. 24) . L e s l ignes d e s e -

(b)

FIG. 2 4

c o n d e e s p è c e (P 2 ) t r a j e c to i r e s o r t h o g o n a l e s d e s (F x ) son t l es développantes d e (C). L e long d 'une l igne d e p r e m i è r e e s p è c e , % est cons tant , c e qu i i m p l i q u e c o m m e e n 2° d e s cond i t i ons d e c h a r g e m e n t et un po ten t i e l d ' é c o u l e m e n t pa r t i cu l i e r s . Cette c i r cons t ance p r é s e n t e un c a s d e d é g é n é r e s c e n c e l o r s q u e (C) s 'évanoui t p o n c t u e l l e m e n t . L e s (Tj) sont a lo r s les r a y o n s d e s c e r c l e s concen t r i q u e s ( r 2 ) (fig. 24 6 ) .

5. E Q U I L I B R E L I M I T E P A R A L L È L E .

L e s généra l i t é s t h é o r i q u e s d é v e l o p p é e s c i -de s sus sont p r é c i s é e s sur le c a s par t icu l ie r d e l ' équ i l ibre l imi te pa r a l l è l e p o u r l e q u e l , pa r déf in i t ion, les fonc t ions 91 = 1/2 (N x + N 2 ) et G d e m e u r e n t cons tan tes le long d e d ro i t e s p a r a l l è l e s à l ' axe OX faisant l 'angle i avec l ' ho r i zon ta le ox (fig. 25 ) .

FIG. 2 5

Cette s i tua t ion es t n o t a m m e n t à c o n s i d é r e r p o u r la d é t e r m i n a t i o n d e s d i m e n s i o n s l imi te s d e s ta lus suscep t ib l e s d ' e n a s su re r la s tabi l i té . So ien t M un po in t d u mass i f d ' o r d o n n é e y e t les l ignes d e g l i s semen t de c e po in t (F x ) et ( r 2 ) qu i c o u p e n t la d ro i t e d ' o r d o n n é e y + d y r e s p e c t i v e m e n t e n M\ et M V L e long d e c h a c u n d e s é l é m e n t s d e c e s l ignes , d e longueur dst e t ds2t l e s o r d o n n é e s l e t 7j d e M sub issen t d e s va r i a t ions :

dlt — — sin G dst9

d l„ = - co s 0 ds\>.

d t\x = c o s G dsx

(25) d v)2 = sin 0 ds.2

L A H O U I L L E B L A N C H E JANVIER-FÉVRIER 1 9 5 5

et la var ia t ion d ' o r d o n n é e a m a n i f e s t e m e n t pour exp re s s ions :

rf y = — sin (Ô — i) d$2 = co s (0 — i) dsx (26)

D'autre part , l es var ia t ions de 91 et de 0 sont les m ê m e s dans les m ê m e s condi t ions , et leurs va leurs , re la t ives à la dro i te d ' o r d o n n é e y + d y, sat isfont aux é q u a t i o n s s imu l t anées :

d dl — 2 C d 0 + rf Yj = 0

rf 3 1 + 2 C rf G + rf Y 2 == 0 (27)

c o n s é q u e n c e s d e s re la t ions ca rac té r i s t iques et où dYx et d Y 2 dés ignent r e s p e c t i v e m e n t les va r ia t ions de Y — w $ -|- S y le long de ( I \ ) et ( r 2 ) à par t i r du poin t M. Ces de rn i è re s quant i tés , c o m p t e lenu de (25), ont d 'a i l leurs pour va leurs :

d \ \

d Yo =

d\ ~ sin G dsx + cos G ds^

dr_ d~n

dl cos G ds.,- J ) Y

3 t i

(28)

soit e n c o r e par (26) :

d Yx = 5?- s i n 0 + cos G

sin 0 rf,%

Y cos (G — i)

dY d y

rfY2 = f - 3 1

9?

ds , co s (0 — z)

A | 3Y . , \ dy cos G - — — - sin 0 — — ' dt\ sin (G — i)

dr dy ds2 sin (G — ï)

Expl ic i tant les dé r ivées par t ie l les d e Y pa r l ' int roduct ion de la v i tesse de fi l tration :

V = — K grad

(K coeff ic ient de p e r m é a b i l i t é du sol h o m o g è n e et i so t rope) d ' intensi té V, fa isant angle a avec ox en posan t :

il vient :

9Y =

dl

puis :

d Y T =

d Yo =

ô? V K S

& -, dr • — SX C O S a, — -

9*0

(30)

B X s in a + S,

S [X sin (G — a) + cos G]

5 [ — X co s (G — a) + sin G]

dy cos (G -

d*

•i)

sin (G — i)

Enfin pa r (31), le s y s t è m e (27) devient :

i d 91 — 2 C d G - f 8 [X s in (G — tt) + cos 0 ] Y cos (0 — O

f d dl + 2 C d G + S [ — X co s (G — a) + sin G]

Sa réso lu t ion en d y et d dl d o n n e :

2 C

(32)

- = 0

ddl

avec :

2 C

sin 2 (0 — i) d G,

[s in (2 G — i) — X c o s (2 6-

[x = X co s (i — a) — sin i.

sin (0 — i)

(33)

. — i ) ] rfG

(34)

(35)

L ' in t ég ra t ion nécess i t e la c o n n a i s s a n c e d e s fonc t ions X et ^, c 'es t -à-d i re ce l le du c h a m p d e s v i tesse d e fi l trat ion. Supposons , ce qui es t tou j o u r s l ici te à titre d ' a p p r o x i m a t i o n , celui-c i unif o r m e dans la zone p lus o u m o i n s é t e n d u e du massif cons idé ré . Dans ces condi t ions , X e t v-, c o m m e V et a, sont cons tan tes et les é q u a t i o n s (33) et (34) in tégrées dev iennen t :

— cos 2 (0 — f) + C<°,

C

(36)

91 = — — [cos (2 G — i) X sin (2 0 a — ï.) ] + C1*.

(37)

Ces de rn i è r e s p réc i sen t c o m p l è t e m e n t l 'état d ' équ i l ib re envisagé pa r ses l ignes d e g l i s semen t et l ' intensité d e s con t ra in tes e n tout poin t . L e s l ignes d e g l i s semen t sont d 'a i l leurs suscep t ib l e s d 'une déf ini t ion g é o m é t r i q u e p r é c i s e . E n effet , r appor tan t ce l les -c i aux axes OX, OY sur c h a q u e (Xi), dX et dY sont l iés par :

rfX

d 'où , pa r (33) :

rf X = -

tg (G — f) rf Y

C H- S

sin- (0 — i) rf 0

+ C t e

et par in tégra t ion :

X = — J J l [ ~ A = J _ * s in2 (« — i ) ~

Posan t :

2(6 — i ) = c o , (38)

et c o m p t e tenu de (36), s 'obt iennent ainsi l es

J A N VIE R - F É V RI E R 1 9 5 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 7 3

é q u a t i o n s p a r a m é t r i q u e s des lignes de glissement de première espèce (F 5 ) :

I X = ~ (o> — sin co) + C t 0,

c ( 3 9 )

( Y ^ - ^ c o s c o + C-

Par un calcul ana logue , et pu i sque sur les lignes de glissement de seconde espèce (F 2 ) dX et d Y sont l iés pa r :

dX = cotg (8 — i) d Y,

il vient pour ce l les -c i :

( X = ~ (o) + sin o)) +

J (40)

/ y == — ~ cos co + C t e . \ S

E n (39) et (40) se reconna î t la r ep résen ta t ion d 'un r é s e a u é v i d e m m e n t quadra t ique , const i tué d e cycîoïdes égales e n g e n d r é e s par d e s ce rc l e s roulant sans gl isser sur d e s pa ra l l è l e s à OX et de r ayons égaux C/jx S.

Cette p ropr i é t é es t source de c o n s é q u e n c e s p r a t iques i m p o r t a n t e s sur l e sque l l e s nous aurons à insis ter au chap i t r e suivant consac ré aux appl i ca t ions de la t h é o r i e ici e x p o s é e .

III

A P P L I C A T I O N DE L A T H É O R I E DES SOLS C O H É R E N T S

SANS F R O T T E M E N T I N T E R N E

1.

L e s app l i ca t ions d e la t h é o r i e e x p o s é e au préc é d e n t c h a p i t r e sont, à vrai dire, fort n o m b r e u ses s inon i l l imi tées , et toute tentat ive d ' en d re s ser un ca t a logue c o m p l e t s 'avérerai t fas t id ieuse et i l luso i re .

C'est d o n c à l 'é tude dé ta i l l ée de q u e l q u e s e x e m p l e s t yp iques q u e se l imitent les d é v e l o p p e m e n t s ac tue ls , dés ignant pa r le t e r m e de vase les sols d e F e s p è c e env isagée , pour l e sque l s l 'angle de f ro t t emen t in te rne est nul o u nég l igeab le et la c o h é s i o n a p p r é c i a b l e ; nous e x a m i n e r o n s succes s ivemen t , et pou r les m a s s i f s b i d i m e n -s ionne ls :

— L e p o i n ç o n n e m e n t d 'une c o u c h e indéfinie de v a s e pa r une cons t ruc t ion f o n d é e e n que l q u e r ég ion de sa s u r f a c e ;

— L ' a c t i o n d 'un mass i f d e v a s e sur un r i deau r ig ide ;

L e s cond i t ions d ' équ i l i b r e d e s ta lus et la l imita t ion d e leurs d i m e n s i o n s c o m p a t i b l e s avec leur s tabil i té .

A cet effet, se ron t p r i se s e n cons idé r a t i on , e n sus d e s so l l ic i ta t ions superf ic ie l les , d e s f o r c e s de v o l u m e d 'or ig ine gravi f iques et h y d r a u l i q u e s et dér ivant du po ten t i e l :

Y = w <ï> + o y (1)

défini e n [ 2 . Ï I . 1 ] .

2 . C H A R G E D E P O I N Ç O N N E M E N T D ' U N E C O U C H E D E

V A S E D E P R O F O N D E U R I N D É F I N I E .

L e mass i f de vase d e c o h é s i o n C, l imité à sa par t ie supér i eu re pa r l ' hor izon ta le Ox, es t indé-

FIG. 2 6

fini dans la d i r ec t ion de ce t axe et vers le b a s (fig. 26) .

Il est soll ici té pa r :

Des f o r c e s d e v o l u m e d e po ten t i e l Y (1) , e n p r o v e n a n c e d e la pe san t eu r et d 'un é c o u l e men t de f i l trat ion d e c h a r g e s # ;

— Des f o r c e s superf ic ie l les c o m p o r t a n t un cha r g e m e n t u n i f o r m e d ' intensi té q par unité de longueur d e s d e m i - d r o i t e s Ox' et Az*.

Il s'agit de d é t e r m i n e r à que l l e cond i t i on un équ i l ib re l imi te d u mass i f peu t i n t é re s se r une zone finie d e celui-c i , a u t r e m e n t dit d e p r é c i s e r la r e l a t ion exis tant en t re les in tens i t é s p et q l o r squ 'une tel le c i r cons t ance est r é a l i s é e . Dans ce t te éventual i té , une l igne d e g l i s s emen t pa r t an t de O about i t e n un po in t B cle Ax p o u r dé l imi t e r avec Ox la zone OCB e n équ i l i b r e l imi te . De m ê m e une ligne d e g l i s semen t par t d e A p o u r about i r en B ' sur Ox ' dé l imi tan t avec Ox la z o n e ACB' e n équ i l i b r e l imi te . L ' a l l u r e d e s l ignes d e g l i s sement d o n n é e s pa r la figure 26 e t c o r r e s p o n dant à l ' intuit ion la p lus d i rec te m e t e n l u m i è r e p lus ieurs d o m a i n e s p r é s e n t a n t d e s c a r a c t è r e s p r o p r e s : (OCA) es t e n é ta t d e p o u s s é e sous la p ress ion ver t i ca le la p lus fo r t e p, (OCD) et (OCD0 sont e n état d e bu t ée , sous la p r e s s i o n ve r t i ca le la p lus f a ib l e q, (OCD) et (OCD') sont d e s z o n e s de p a s s a g e d 'un type d 'é ta t à l ' au t re d a n s l e s -

74 L A H O U I L L E B L A N C H E J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5

que l l e s les l ignes d 'une f a m i l l e r ayonnen t d e c h a cun d e s po in ts s ingul iers O et A.

Au-dessous d e l a l igne B 'CB, le mass i f es t en équ i l ib re su rabondan t .

Po r tons n o t r e a t ten t ion sur une l igue d e gliss e m e n t s i tuée au -dessus d e OCD, par tan t d e E sous le c h a r g e m e n t p e t abou t i s san t e n F sous le c h a r g e m e n t ç . C'est une ( F 2 ) c o m m e i l résul te d e l 'état d e s con t ra in tes e n E et F fa i san t l ' ob je t d e s figures 27 a et 27 b r e spec t i vemen t , d ' o ù se

(a) (b) FIG. 2 7

dédu i sen t e n c o r e l e s va leurs d e s fonc t ions 9t et 0 e n c h a c u n d e ses d e u x poin ts , soit :

E n E : 91 = p — c, 0 = A l

E n F : 91 = q + c, 0 = - ~ ~

L e long d e ce t te l igne d e g l i s semen t d e s e c o n d e e s p è c e , est invar iab le la quant i té [ 2 . I I . 3 ] :

î c + 2 C O = = = 0 l + ® # + 3 y + 2CO,

d 'où , pa r p r i se e n cons idé ra t ion de c h a c u n e de ses ex t r émi t é s où le po ten t ie l $ a les va leurs connues *ï>0 e n E , ^ en F :

p = q + C (2 + w ) — (* 0 — *i) (2 )

A P P L I C A T I O N . — Soit un mass i f r ig ide f o n d é à la p r o f o n d e u r h au -des sous d e la su r f ace h o r i z o n ta le d 'un so l d e l ' e s p è c e et f o r m a n t b a r r a g e en t re deux b a s s i n s c o m m u n i q u a n t pa r le subs t ra tnm p e r m é a b l e et dont l e s p l a n s d ' e a u p ré sen ten t la d i f fé rence d e n iveau e (fig. 28 ) .

n u j j

e

n u j j FIG. 2 8

L a valeur d e l a c h a r g e p a d m i s s i b l e au n iveau de la f onda t ion d u b a r r a g e résu l te d e l a f o r mule (2) d a n s l aque l l e :

q = S h9 % — <ï>1#e

d 'où :

p ^:ïh + C ( 2 + w ) — v>e

C A S P A R T I C U L I E R . — E n l ' a b s e n c e d e couran t de filtration, la cond i t ion d ' équ i l i b r e se r é s u m e é v i d e m m e n t à :

p =z: q -|- C (2 + %)

Nous l a i s sons au lec teur le so in d 'é tab l i r c o m m e c o n s é q u e n c e de [ 2 . I I . 4 ] q u e d a n s ce t te c i r cons tance , pa r a i l leurs b i e n c l a s s ique , le rés e a u d e s l ignes d e g l i s semen t s y m é t r i q u e pa r r ap po r t à l a m é d i a t r i c e d e OA se c o m p o s e d e segm e n t s d e d ro i t e s et d ' a rc s d e ce r c l e s , te ls ceux r e p r é s e n t é s sur la l igure 29 a v e c c o r r e s p o n d a n c e à la figure 22 d e s zones dé s ignées pa r les m ê m e s le t t res .

l l l l I I i 0 i u n H i i i q i 11 x ' B ' X X X /

F I G . 2 9

3 . A C T I O N D ' U N E C O U C H E D E V A S E C H A R G É E S U R

U N R I D E A U R I G I D E .

I l s 'agit d 'un mas i f d e vase d e c o h é s i o n C, limi té à sa pa r t i e supé r i eu re pa r l ' hor izonta le Ox c h a r g é e v e r t i c a l e m e n t pa r les f o r c e s ve r t i ca les d ' intensi té u n i f o r m e p, s ' appuyant sur un r é s e a u r ig ide O B d e fruit i. Diverses c i r c o n s t a n c e s sont à envisager , qu i donnen t l ieu , e n c e qu i c o n c e r n e l a d i s t r ibu t ion d e s p r e s s ions q le long d e O B , corr e s p o n d a n t à l 'é tat l imi te du massif , aux résul tats c i -de s sous .

a) Rideau parfaitement lisse.

L a con t ra in te sur tout é l é m e n t d u mass i f en con tac t avec le r i deau se rédui t à s a c o m p o s a n t e n o r m a l e q. Deux cas sont à d is t inguer suivant l a na ture d e l ' équ i l ib re l imi te r égnan t d a n s la zone O A B l imi tée ve r s le b a s pa r la l igne d e gl iss e m e n t i s sue du p i ed du r i d e a u .

p

i \ y / >

A) \ Q /

FIG. 30

1° Poussée (fig. 30-31 a-31 b) :

Tou te l igne de g l i s sement PQ issue d'un

point Q du r i deau et about issant sur Ox est d e première espèce et les va leurs de 91 et de 6 en c h a c u n e d e ses ex t rémi tés sont :

E n P : 91 = p — C,

E n Q : 91 = q + C, i +

3 %

3 %

J jq+2C h

t.

Contraintes en P

(a)

FIG. 3 1

Par [ 2 . I I . 3 ] , l ' express ion :

% — 2 C 6 = 91 + Y

Contraintes en Q

(b)

• 2 C 6

a m ê m e valeur e n P et e n Q. Désignant pa r Y 0

et Y x l a va leur d e Y = cô # - j - s */ e n c h a c u n de c e s po in t s , o n e n dédui t la p r e s s i o n n o r m a l e :

• 2 C ( 1 — 0 + Y 0 — Y x , (3)

dont la c o n n a i s s a n c e suppose , par le t e r m e e n le m o d e d ' é c o u l e m e n t d e fi l tration régnant éventue l l emen t d a n s le mass i f :

Si l ' e au du mass i f est au r epos , à une cons tante p rè s , Y se rédui t au po ten t i e l S y des f o r c e s gravi f iques et e n tout poin t Q du r i deau situé à la p r o f o n d e u r y au -dessous de Ox, la p ress ion

q = p + S y — 2 C (1 — f)

2° Butée (fig. 32-33 a-33 b) :

F I G . 3 2

/ V A

q-4C (

ti

Contraintes en P

(a)

Contrainte en Q

(b)

L a l igne d e g l i s semen t PQ est d e seconde espèce et, e n P :

e n Q

01 = p + C, 0 — ^ / 4

L a c o n s t a n c e d e rc + 2 C 0 d o n n e c o m m e ci-dessus :

2 C ( 1 — i ) + Y 0 — T 3 (4)

soit, e n l ' a b s e n c e d ' é c o u l e m e n t et p o u r tout po in t du r i deau d e p r o f o n d e u r y :

<7 = p + 8j/ + 2 C U — 0

b) Rideau parfaitement rugueux.

L a c o m p o s a n t e tangent ie l le t d e la con t ra in te s ' exerçant sur tout é l é m e n t du mass i f en con tac t avec le r i d e a u p r e n d l a va leur m a x i m u m c o m pa t ib le avec l a stabil i té d e la vase , c ' es t -à -d i re ce l le d e la c o h é s i o n C.

1° Poussée (fig. 34-35 a-35 b) :

P

FIG. 3 4

( p-2Cl J Jp n

ti

NfT\

\ 9 J J n

t. Contraintes en P

(Q)

Contraintes en Q

(b)

FIG. 3 5

L a c o m p o s a n t e t es t d i r igée d e B v e r s O. T o u t e l igne d e g l i s semen t PQ es t d e première espèce, et c o m m e :

F Ï G . 3 3 e n P : 0 t = p — C,

3TT

70 LA H O U I L L E B L A N C H E J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5

E n Q : 91 = 0 = - 2 " + ' ,

L a cons t ance d e n — 2 C 6 d o n n e la va leur d e a c o m p o s a n t e n o r m a l e q de la cons tan te e n Q :

q = p — 2C - i ) + Y 0 — Y t (5)

soit e n l ' a b s e n c e de courant :

q=p + Zy — 2C ( ï ^ l — i

2° Butée (fig. 36-37 a-37 6) : P

o _LL

FIG. 3 0

Contraintes en P

( a ) Contraintes en Q

FIG. 3 7

L a c o m p o s a n t e / est d i r igée d e O vers B . T o u t e ligne de g l i s semen t PQ est d e seconde espèce.

E n P : 91 = p + C,

E n Q : 3 1 = r/, 0 = î,

d 'où

7 = / , + 2 C ( ^ = ^ - A + Y o - Y , - 4 V

soi l cn l ' a b s e n c e de courant :

(6)

1 = /> + B ?/ + 2 C

c) Rideau mobilisant partiellement le frottement.

Sur tout é l é m e n t du mass i f e n con tac t avec le r ideau , l es c o m p o s a n t e s n o r m a l e s q et t angen-t iel les t de la cont ra in te sa t is font à une re la t ion d e la f o r m e t = q igo où o es t l 'angle de f ro t t ement mob i l i s é .

1" Poussée (fig. 38 et 39) :

T o u t e l igne de g l i s sement PQ est d e première espèce. L e s va leurs de 91 et de ô en P sont les m ê m e s q u e pour le cas b, 1°), soil :

91 •C. 3 %

" T

E n Q, les con t ra in tes donnen t l ieu à la r ep ré senta t ion p l ane , o b j e t de la figure 39, d 'où :

F i g . 3 8

FIG. 30

91 = q + C sin

avec :

cos t|/ — -q tg ?

Par la c o n s t a n c e de r, — 2 C0, o n dédui t de ce s résul ta ts :

g = P — c . + _ 2 î + s in4-)+Y 0 — Y, (7)

soit, si le mass i f n 'es t le s iège d ' aucun é c o u l e m e n t :

<I=P + <Uf — C ( ~~ — ^ — 2 i + «in 4

2" Bu tée :

L e cas de la bu tée , pa r d e s d é v e l o p p e m e n t s ana logues , d o n n e l ieu aux résul ta ts :

<1^P + C ( ~ f — 4 , _ 2 i + s i n + j + Y 0 — Y,

<7 = /> + 8 ;/ + C (ç^ — 4 — 2 ï + sin

JANVIER-FÉVRIER 1 9 5 5 LA H O U I L L E B L A N C H E 77

R E M A R Q U E . — Aux éventual i tés (a) (b) (c) exa m i n é e s c i -dessus co r responden t r e spec t ivemen t t rois d i spos i t ions différentes de sou tènement d'un mass i f d e vase : par un r ideau de pa lp l anches (a) , pa r un mass i f e n e n r o c h e m e n t s ou e n m a çonne r i e t rès rugueuse (b), par un massif d e s a b l e d e f ro t t ement interne.

4. S T A B I L I T É D E S T A L U S .

T o u j o u r s c o m m e app l ica t ion très d i rec te de la t h é o r i e géné ra l e e x p o s é e au chap i t re p récéden t , nous n o u s p r o p o s o n s d ' examine r d iverses circ o n s t a n c e s ayan t trait à l ' équi l ibre des talus et dont ce r t a ines d ispos i t ions naturel les , ou intervenant lors de cer ta ins a m é n a g e m e n t s , p r é s e n tent d e n o m b r e u x e x e m p l e s .

Seront ainsi env isagés les p r o b l è m e s suivants : — Dé te rmina t i on d e s condi t ions d ' équ i l ib re d 'un

talus éven tue l l emen t noyé et s iège d'un é c o u l e m e n t de f i i t rat ion;

— Dé te rmina t ion de la p ro fondeu r l imite d 'un a p p r o f o n d i s s e m e n t par d r agage ;

— - Dé te rmina t ion de la f o r m e d 'un talus d ' éga le r é s i s t ance au r i sque de g l i ssement .

R a p p e l o n s b r i è v e m e n t les résul ta ts essent ie l s à m e t t r e e n œuvre à cet effet.

L e mass i f de po ids spéci f ique A, de m o d u l e d e s v ides m, c o m p r e n a n t de l ' eau de po ids spéci f ique <ô dont la c h a r g e e n tout poin t est = C p A O + i V

(Oy ver t ica le a scendan te ) est soll icité par d e s f o r c e s d e v o l u m e dér ivant du potent ie l T=^=oy a v e c o = A — w (1 — m), et par d e s f o r c e s de surf a c e ou cha rges a p p l i q u é e s sur sa sur face l imite , exception faite des pressions hydrostatiques éventuel les c o m p t é e s dans grad T . Si la p h a s e so l ide ex i s te seule , T se rédui t à ky. Si la p h a s e l iqu ide est au r e p o s , la c h a r g e $ est par tout cons tante , et le po t en t i e l T , à une cons tan te p r è s , se rédui t à S y. Désignant par gt la p re s s ion m o y e n n e en tout po in t et posan t % = 9L + Y , le long d 'une ligne de g l i s sement ( F X ) fa isant avec Ox* (hor izonta le) l 'angle 0 + (TC /2) et le long d 'une l igne de g l i s sement ( F 2 ) fa isant l 'angle 0 + TC avec ce t axe , sont respec t i v e m e n t cons tan tes les quant i tés TC — 2 C 0 et TC -f- 2 C 0. Tou t cec i s u p p o s e une c o u r b e intrins è q u e du sol d ' équa t i on t = d= C, c 'es t -à-dire c e lui-ci a ssez c o m p r i m é pour ne p a s courir le r isq u e d e rupture par t rac t ion. Cette condi t ion n 'est p a s n é c e s s a i r e m e n t vér i f iée e n tout point , et il convien t d 'y p r e n d r e garde . Au vo is inage de la su r f ace l ibre n o t a m m e n t , il s e ra utile de cons idérer une t r anche de mass i f f issurée verticalement (*), d ' épa i s seur a = (2 C/S), te l les q u ' à son

(*) Il est possible de montrer , par un raisonnement direct calqué sur [ 2 , 1 1 . 3 ] et tenant compte de la forme de la courbe intrinsèque au voisinage de l'origine, que

niveau infér ieur o ù v iennent m o u r i r les l ignes d e g l i s sement d e la zone sous - j acen te (fig. 40) , l 'état d e s cont ra in tes (fig. 41) soit c o m p a t i b l e avec un état c o m p r i m é de ce l le -c i .

FIG. 4 0

t

0 n

U Contraintes en P

FIG. 4 1

Ceci étant, la m é t h o d e m i s e en œuvre dans les e x e m p l e s concre t s qui suivent est toujours la m ê m e , et cons i s te à éc r i re que l ' exp re s s ion % — 2 C 0 (TC + 2 C 0) p r e n d la m ê m e valeur aux d e u x ex t r émi t é s , o ù est connu l 'état d e s c o n traintes, d 'une l igne de g l i s semen t I \ ( F 2 ) f r on tière c o m m u n e t r acée in tu i t ivement dans le m a s sif du d o m a i n e en équ i l i b r e l imi te (1) et de la zone e n équ i l ib re su rabondan t (2) .

a) Equilbre d'un talus (fig. 42-43 a-43 b) :

Contraintes en O Contraintes en P

( a ) (b) FIG. 4 3

Soient O le p i ed du talus de p e n t e i e n O, OP la l igne d e g l i s semen t l imi te , j la p e n t e du ta lus

les f i s s u r e s sont effectivement verticales au voisinage de la surface libre, quelle que soit l'inclinaison de celle-ci. Ce fait est conforme k l'observation courante .

e n P, N0 et N les p re s s ions s u p p o s é e s n o r m a l e s au ta lus (exclusion fai te d e la p r e s s i o n h y d r o s ta t ique éven tue l le ) e n O et en P. L a l igne d e g l i s sement OP est de première espèce. D 'autre par t :

E n O : dl - iV0 + C,

E n P : 91 = N — C,

4

3 *

D 'où pa r la cons t ance de % — 2 C ô et e n notant Y 0 e t Y x la va leur de Y e n O et P r e spec t ive m e n t :

it — 2 C G = N0 + C + Y 0 — 2 C

: 2 V - C + Y — 2 C 3 %

soit :

2 C ( i - • y) = C ( 2 + « ) + 2 V 0 + Y 0 —tfV, + Y t )

Dans le sens d e la sécuri té , les l ignes d e gliss e m e n t les p lus d é f a v o r a b l e s sont ce l l e s p o u r l e s que l l e s P est situé sous le t e r re -p le in hor izon ta l . Dans c e s cond i t ions , y = 0, et la cond i t ion d ' équ i l ib re dev ien t :

C ( 2 + * — 2 0 =N, + Y , — ( 2 V 0 + Y 0 ) (9)

Ni J c o m p o r t e , e n p lus d e s c h a r g e s éven tue l l e s a p p l i q u é e s a u te r re -p le in , la c h a r g e S a (A a) d e la par t ie f issurée s i tuée au -dessus d e P.

L a p r e s s i o n N0 c o r r e s p o n d par e x e m p l e à un c h a r g e m e n t d u p i e d d e ta lus des t iné à a m é l i o r e r la s tabi l i té .

FIG. 44

E X E M P L E (fig. 44) . — Soit un ta lus sec non cha rgé pour l eque l Y = Ay. L ' é q u a t i o n (9), o ù :

N0 = Q 2 C , 0,

d o n n e pour l a hau teu r d a n g e r e u s e to ta le d u ta lus :

h = lh + 2 C C , 9 1 2 f ) .

b) Approfondissement par dragage :

L ' a p p r o f o n d i s s e m e n t pa r d r agage d 'un bas s in

à f o n d vaseux ne peu t se poursu iv re au -de l à d 'une ce r t a ine l imi te c o r r e s p o n d a n t à l ' annulat ion d e la p e n t e i du p i e d d e ta lus . L ' é q u a t i o n (9) d é t e r m i n e ce t te g randeur don t voic i l es e x p r e s s ions c o r r e s p o n d a n t aux d i spos i t ions les p lus couran te s ,

1° Massif complètement noyé en équilibre hydrostatique (fig. 45) .

Niveau de ia mer

E n O : Y 0 = 0, 2 V 0 = 0;

E n P : Y a = S y, N, = 2 C

D'où pa r (9) , d a n s l a q u e l l e / = 0 :

C (2 + «) = 2 C + S y,

soit pou r la p r o f o n d e u r l imi te to ta le :

C (2 + TC) _ ^ 0 ) u , 2 G

hi = y+ — = A _ ^ ( 1 _ m )

2° Massif à terre-plein émergeant (fig. 46) .

FIG. 46

Soit ht l a co t e d e la su r f ace d e s eaux , c o m p t é e à par t i r du f o n d d u b a s s i n , e l ' é m e r g e n c e du ter re-ple in . T o u j o u r s d a n s l ' h y p o t h è s e d 'un é q u i l ibre h y d r o s t a t i q u e en t re l ' eau du b a s s i n et ce l l e du massif , o n peu t ass igner au po ten t i e l Y les va leurs :

Y = S y, pou r O ^ y < A, et Y = S h% + A (y — h%)9

pour h ^ y ^ e — (2 C/A) . Ainsi e n O : Y 0 = 0,

iVo = 0, et e n P : Y, = S hx - f A ( 9 l — h%),

N1 = 2C. C o m m e y1 = ft, + e — (2 C/A), il

vient pa r (9) o ù i = 0 :

C ( 2 + « ) — Ae hr

A — ( 1 — m) ( 1 1 )

JANVIER-FÉVRIER 1 9 5 5 F A H O U I L L E B L A N C H E 79

c) Stabilité au voisinage d'une résurgence.

Nous env i sageons un massif baigné par une n a p p e d ' e a u d e n iveau (L ) , siège d 'un é c o u l e m e n t d e su r f ace l ib re (A), s ens ib l emen t hor izonta le à q u e l q u e d i s t ance du talus OA avec laque l le e l le se r a c c o r d e t angen t ie l l ement au point d e résurg e n c e R, situé au-dessus de ( L ) . L a l igne d e gl iss e m e n t d e p r e m i è r e e s p è c e OP c o u p e (A) au point Q d e c o t e hQ à l a p ro fondeu r e au -dessous du te r re -p le in , pou r about i r e n P à la b a s e d e la t r anche f i ssurée d ' épa i sseur a (fig. 47) . Nous nous

" ' P

F I G . 4 7

p r o p o s o n s d e ca lcu le r la hau teur H d u mass i f au -dessus du p l an d ' e a u ( L ) , pour l aque l l e l ' équil ibre l imi te p r é c é d a n t F é b o u l e m e n t d e la zone OAP es t a t te int dans ce l le -c i . A cet effet, nous f a i sons état d e la r e l a t ion (9).

Pour :

O ^ y ^ hQ) Y = sx * + 2 y,

et pour :

A q < 0 < A q + <î, Y = T Q + A ( j , — hQ).

D'où : En O: Y o = 0 , N0 = i)

En P :

Y P = ( © + S) hQ + A (hv ~ - / î q ) , Ntï = Ar/,

et pa r (9) :

C (2 + x — 2 0 = (A + ni w) h(i »|™ A(ft P — hQ + a)

soit, p u i s q u e :

H = /ip + a = hQ + e

C ( 2 +% — 2i) + mise A -f- m &

H =

d) Forme d'un talus d'égale résistance au risque de glissement.

Dans les d ivers c a s env isagés c i -dessus , on peut se p r o p o s e r d e d é t e r m i n e r une f o r m e d e talus OA, te l le q u ' e n tout po in t de celui-ci l ' inclinaison i s a t i s f a s se p r é c i s é m e n t à la re la t ion d 'équi l i b r e (9) o ù C est f r appé d 'un coeff ic ient de sécurité k. L ' o r i g i n e d e s a x e s é tant au poin t du talus

situé à l a b a s e d e la t r a n c h e f issurée d ' épa i s seur a = (2 C/S), i l v ient a ins i :

k C (2 + « — 2 i) = ( Y + N)° y (13)

A titre d ' e x e m p l e , b o r n o n s - n o u s au c a s (ft, 1°) d e l ' a p p r o f o n d i s s e m e n t pa r d r agage d 'une f o s s e b o r d é e pa r un mass i f c o m p l è t e m e n t noyé (fig. 4 8 ) .

E n O : Y 0 = 0, N0 — §a.

En tout poin t M (x, y) :

T = — S y , 2V=-0,

Niveau de la mer

d ' o ù pa r (13) :

Soit e n posan t X = (k C /2 S) et pa r i n t ég ra t ion l ' équa t ion ca r t é s i enne du prof i l OM du ta lus :

log c o s ( 1 X — —- A

y + n

lOg COS ^ 1 - y -(14)

Nous ne nous é t e n d r o n s p a s sur le t racé de ce dern ier et n o u s n o u s c o n t e n t e r o n s d e r e m a r q u e r qu ' i l a d m e t c o m m e a s y m p t o t e ho r i zon ta l e la dro i te (D) s i tuée à la p r o f o n d e u r khi (10) au -des sous du te r re -p le in .

5 . DIMENSIONS LIMITES DES MASSIFS.

Soit un mass i f d e profi l p r o v i s o i r e m e n t indéte rminé d a n s le d e m i - p l a n situé d 'un m ê m e cô té d e l a d ro i t e (5) , d e pen t e i, qu i lui ser t d e f ron t ière . Il es t sol l ic i té , e n p lus d e s f o r c e s d e v o l u m e dér ivant du po ten t i e l Y et c o m p r e n a n t ce lui d 'un champ^ d e filtration uniforme d e v i t e s se V ( m o dule V, o r i en ta t ion a) e t ce lu i d e s ac t i ons gra-vif iques, pa r un c h a r g e m e n t super f ic ie l n o r m a l à S, d ' intensi té P 0 . Nous s u p p o s o n s q u ' u n e r é g i o n n é c e s s a i r e m e n t finie du massif , l im i t ée pa r une por t ion d e la d ro i t e (S) e t pa r d ive r s a r c s d e l ignes d e g l i s semen t ( r ) , es t e n é q u i l i b r e limite parallèle [ 2 . I I . 5 1 (fig. 49 ) . L a f ron t iè re d e ce t te

F I G . 4 8

80 LA H O U I L L E BLANCHE J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5

zone est m a n i f e s t e m e n t ce l le à ass igner au profil du mass i f pour q u e celui-ci soit à sa l imi te de rupture pa r g l i s sement , sous l ' h y p o t h è s e é n o n c é e quant à la nature d e l ' équ i l ib re p r é c é d a n t ce p h é -

FIG. 4 9

n o m è n e . Nous nous p r o p o s o n s d ' en dé t e rmine r les d i m e n s i o n s ( longueur ï, p r o f o n d e u r h). R a p p e l o n s à cet effet q u e nous avons posé X = ( < ô V ) / ( K S ) (2 .11.30) et 'il = A cos (f — a ) — sin i ( 2 . II. 35) pour dés igner les p a r a m è t r e s p r o p r e s à dél inir le c h a m p de fi l trat ion u n i f o r m e régnant dans le massif . Nous avons r e c o n n u q u e les l ignes de g l i s semen t d e tout équ i l ib re l imi te pa r a l l è l e const i tuent un r é s e a u q u a d r a t i q u e de cyc lo ïde s éga l e s . Si b i e n q u e la f ront iè re ( r ) d e la zone c h e r c h é e est f o r m é e d ' a rcs d e te l les c o u r b e s re p r é s e n t é e s par les équa t i ons p a r a m é t r i q u e s (*) ( 2 . I I . 3 9 40) :

ff3)

X = — —— (w — sin où) 4- Cu>

Y = — cos <o + C t f i

y- S

= —— (<° + sin o))

C Y = — — cos (o + C , e

Pour la dé t e rmine r , d e u x cas sont à d is t inguer suivant que le mass i f est a m e n é à se r o m p r e pa r bu tée ou par p o u s s é e .

1° Butée.

L e c h a r g e m e n t P 0 a la va leur m i n i m u m . Dans

Fie. 50

ces cond i t ions , (F) c o m p o r t e : un arc d e p r e m i è r e e s p è c e ( F t ) i s su du poin t A d e S et about i s san t en B s o m m e t d e la cyc lo ïde qui le con t i en t ; un arc d e s e c o n d e e s p è c e ( r 2 ) i ssu e n B et abou t i s sant au po in t C d e S (fig. 50) . E n tout po in t d e (S) et n o t a m m e n t e n A et C :

Ô = ( w / 4 ) — f , a> = ( w / 2 ) .

E n B, 0 = ( T C / 2 ) + U « = w.

Dès lors, et pa r les é q u a t i o n s p a r a m é t r i q u e s r a p p e l é e s c i -dessus , il vient :

_C A B ' =

d 'où :

et,

2" Poussée.

+ i

/ = AC

B'C G

u. ô

C x u. 0

BB' = C

(15)

( 1 6 )

L e c h a r g e m e n t P 0 a la valeur m a x i m u m . Dans ces cond i t ions , ( r ) c o m p o r t e d e u x a rc s de cycloïd e s A B et BC te ls c e u x r e p r é s e n t é s c i -des sous

Fui. 51

(fig. 51) . L e long d e (S), et n o t a m m e n t en A et C :

0 = — O c / 4 ) + U — ( w / 2 ) .

E n B : -0 = — ( w / 2 ) + i, <*> = — .

D'où, par les équa t i ons p a r a m é t r i q u e s d e s ( P j ) et ( r 2 ) :

C A B ' = -^-( 1 B'C = — ( ~ 1 V

V- B V 2 J \l 3 V 2 J

AC = ~ , BB' = ~ p. S o

L e s d i m e n s i o n s l imi tes c h e r c h é e s sont ainsi l es m ê m e s dans les d e u x cas env i sagés . Ce sont c e l -(*) Où l'on a posé t u - 2 (0 — i) ( 2 J L 3 8 ) .

J A N V I E R - F É V R I E R 1955 LA H O U I L L E B L A N C H E 81

les qu i n e saura ien t ê t re d é p a s s é e s sous p e i n e d ' en t ra îner l a rupture par g l issement , en q u e l q u e r ég ion aff leurant à sa surface , du massi f de l ' es p è c e . L e u r d é p e n d a n c e au p a r a m è t r e \l relatif au c h a m p d e fi l tration p e r m e t d ' appréc ie r , pa r e x e m p l e , le r i sque de g l i s sement q u e peut présenter un talus in i t ia lement s table pa r suite d e p réc ip i t a t ions qu i y p rovoquen t un é c o u l e m e n t d e v i t esse e s t i m a b l e .

E X E M P L E D ' A P P L I C A T I O N . — Soit un mass i f limi té pa r un ta lus AA' d ' inc l ina ison i c o m p o r tant une zone p e r m é a b l e d ' épa i s seur e, de d i rec t ion g é n é r a l e pa ra l l è l e à A A 7 f o r m é e d 'un sol de p o i d s spéc i f ique rédui t 8 , d e c o h é s i o n C. Il s 'agit d ' e s t ime r les r i sques d e g l i s sement d ' e n s e m b l e qu ' i l p r é s e n t e à Fac t ion d 'un courant l iqu ide de p o i d s spéc i f ique w d é t e r m i n é e dans l a zone perm é a b l e pa r une a l imen ta t i on à Finfini a m o n t ( rég ion A ) et une r é su rgence à Finfini aval (rég ion AO (fig. 52) .

Pluie <

perméable

Résurgence Courant de filtration

FIG. 5 2

S u p p o s o n s l ' équ i l ib re l imi te atteint dans la zone p e r m é a b l e . Il es t n é c e s s a i r e m e n t parallèle et d e poussée à q u e l q u e d i s tance d e s s ingular i tés d ' ex t r émi t é s ( a l imenta t ion et r é su rgences ) .

Dans ce s cond i t ions :

grad $ = — sin r,

pa r tf30) :

par ( I 3 5 ) :

n = — 1

(O — sin i 8

co . -

— sin i

L ' é p a i s s e u r e d e la zone p e r m é a b l e , suffisante pour y p e r m e t t r e l ' é t ab l i s sement d e Fétat d ' équ i l ibre l imi te , et pa r suite de dé t e rmine r la ru ine de l ' ouvrage e n c a u s e pa r g l i ssement d ' e n s e m b l e , r ésu l te d e (20), soit :

IV

É Q U I L I B R E S L I M I T E S DES SOLS

P U L V É R U L E N T S F I L T R A N T S

1. L ' é t u d e d e s sols pu lvéru len t s ( s a b l e s ) , don t l 'angle de f ro t t emen t in te rne o est fini et la c o h é s ion nulle, a donné l ieu à d e s d é v e l o p p e m e n t s c l a s s i q u e s r e l a t i vemen t é t endus et d 'au tant p lus in té ressan t s qu ' i l s conce rnen t auss i l es so l s pu l vérulents et c o h é r e n t s (argi les) p u i s q u e les r é su l ta ts re la t i fs aux p r e m i e r s s ' é t enden t t rès d i r e c t e m e n t aux s e c o n d s pa r la m i s e e n œ u v r e du t h é o r è m e de C A Q U O T , dit d e s états correspondants (*). Mais les é q u a t i o n s d i f fé ren t ie l les régissant les é ta ts l imi tes d e te ls mi l i eux , à l ' e n c o n -tre de c e qu i a été cons ta té pour l e s so l s d é p o u r v u s d e f r o t t e m e n t in terne , ne sont génér a l e m e n t p a s i n t é g r a b l c s ; auss i s e rons -nous c o n traints, dans le c a d r e d e ce t e x p o s é écr i t 1 e n vue d e s app l ica t ions , d e n o u s b o r n e r à l ' exposé d e q u e l q u e s - u n e s d e leurs p r o p r i é t é s pa r t i cu l i è re s de p o r t é e p r a t i q u e é t e n d u e . A ce t t e fin, n o u s s u p p o s o n s c o m m e à l ' o rd ina i re tout mass i f d e l ' e spèce s o u m i s à d e s ac t ions super f ic ie l les c o n nues , et à d e s f o r c e s d e v o l u m e dér ivan t du p o tent ie l Y = <o - f B y (oy ve r t i ca l e a s c e n d a n t e ) dont l e s c o m p o s a n t e s :

3 Y

dx - CO

dx

Y = dY

- co •ày

seront d é s i g n é e s pa r :

X = A sin a, Y A c o s a ( D

de tel le sor te q u e leur in tens i té ait p o u r m e sure A et q u e leur a z imu th relatif à la d i r ec t ion de la ver t i ca le descendante soit a (fig. 53 ) . E n

tou te généra l i té , A et a d é p e n d e n t d e la pa r t i cu l e (M, d V) c o n s i d é r é e . C o m m e grad , c e s quan t i t és sont d e s cons t an t e s l o r s q u ' e s t u n i f o r m e le c h a m p de filtration don t le mass i f es t s i ège .

e — (ts + S) sin i

(*) Le cas singulier pour lequel ce théorème n*est pas applicable est précisément celui des vases, et fait l'objet du chapitre II du présent art ic le .

7

2. E Q U A T I O N S I N D É F I N I E S D ' É Q U I L I B R E L I M I T E .

R a p p e l o n s qu ' es t défini c o m m e l imite tout état pour l eque l , e n c h a q u e poin t du massif, l ' inc l ina ison m a x i m u m de la cont ra in te sur la n o r m a l e à l ' é l émen t qui lui c o r r e s p o n d est éga le à l 'angle de f ro t t ement in te rne ? d e la t e r re qu i le const i tue . L e ce rc l e représenta t i f d e s c o n t ra intes s'y trouve ainsi, pa r défini t ion, tangent aux d ro i t e s d e C O U L O M B ; t = =±=ntg9, les d e u x poin ts de con tac t t± et t2 é tant i m a g e s d e s é lé m e n t sur l e sque l s l ' inc l inaison d e la con t ra in te es t o (fig. 54) . Ces é l é m e n t s , dits de glissement,

FIG. 54

font en t re e u x l 'angle {%/2) — 9 (fig. 55) . L e s l ignes d e g l i s s emen t qu i leur sont t angen tes const i tuent ainsi un r é s e a u r é e l d e d e u x f a m i l l e s d is t inctes ( I \ ) et ( F 2 ) , d ' a rcs sx et s2. Pa r tout po in t du mass i f pa s sen t d e u x te l les c o u r b e s ; leur angle es t (w/2)—-9. Soit 0 l ' angle d e la d i r ec tion avec l a ver t i ca le a s c e n d a n t e , p la va leur de la p r e s s ion , m e s u r é e p a r Mtx — Mt2, s ' exer -çant sur c h a q u e é l é m e n t d e g l i s sement . Des c o n s idéra t ions g é o m é t r i q u e s s i m p l e s , d é d u i t e s d e l ' e x a m e n d e l a figure 55, e n p o s a n t ta = 2 6-—9, donnen t les re la t ions :

T 3 =

—E— ( 1 -|- s in 9 sin o>), cos 9

— £ — ( 1 — sin 9 s in o ù ) , cos 9

= — p t g 9 C O S Où.

qui déf inissent l 'é tat d ' équ i l ib re l imi te e n f o n c t ion d e s d e u x p a r a m è t r e s p et 0, Par l ' in t roduct ion d e ceux-c i , l es é q u a t i o n s indéf in ies d e l ' équ i l ibre :

= 0 3Ni dx

+ 3 T , + 3 Y

dx

3 T 8

dx +

ày + dy

ày

. c o s 9

1 C O S 1

IL.

dx

dx

FIG. 55

2 P tg 9 |~cos 00 -|- ( s i n o) — ${n <p)

s 'écr ivent

30

2 p t g 9 [ (sin co - f - sin ©) - J ? -ox

C O S G) ày^_

+ A

+ A

sin a — sin 9 c o s (0) — a)

— cos a — sin 9 sin (w — a)

El les cons t i tuent un sy s t ème d e d e u x é q u a t i o n s a u x d é r i v é e s par t ie l les e n p et 0 q u e nous a l lons d iscuter c o m m e e n [2.IL2].

3. L E P R O B L È M E D E C A U C H Y P O U R L E S F O N C T I O N S

p E T 6.

C h e r c h o n s à que l l e s cond i t ions est p o s s i b l e la dé t e rmina t i on d e d e u x fonc t ions p (x, y ) , ô (x, y), solut ions de (3) , p renan t sur un arc Y ( £ , *n) a p par tenan t au mass i f et const i tuant tout o u par t ie d e sa f ront ière , les v a l e u r s p (£, t \ ) 9 6 (E, t\) ré sultant d 'une d is t r ibut ion d e s con t ra in tes le long d e y. C'est e n c e c i q u e cons i s te le p r o b l è m e de C A U C H Y p o u r les équa t i ons (3). L e s é q u a t i o n s (3) écr i tes pour x = ?, g = yj, et les re la t ions :

dp: dl

dl dp d T„ d 0 = dd

dl

d<i

fo rment , pa r r appor t à :

d\ àP_ dt\ dl

3G_

d'fi

un s y s t è m e l inéa i re d e qua t r e équa t ions , don t le dé t e rminan t s ' annule a v e c :

D = p (cos ô d l + sin ô d r\)

[sin ( 9 — 9) dl C O S (0 9) d 7 ) ]

Si D 9* 0, l a r éso lu t ion est p o s s i b l e sur Y - Pa r di f férent ia t ions success ives , on p e u t a lo r s c a l c u ler les dé r ivées de p et 0 et cons t ru i re les d é v e l o p p e m e n t s de ce s fonc t ions au vo i s inage d e v.

L ' annu la t ion d e D, en t ra înant une impossibilité ou une indétermination p o u r l a r é so lu t i on en cause , intervient dans les c i r cons t ances suivan tes :

a) L'arc y, le long duquel s'évanouissent les contraintes, constitue la surface libre du massif : p = Q. Soit i (?, -/O sa pente , on a :

J | £ cos i + - | £ sin i = 0,

et c o m p t e t enu d e s dé r ivées par t i e l l e s d e p dédui tes d u s y s t è m e (3) x = g, g = i), p = 0, s 'écr i t :

a r *

° O S 9 "9aT ~ t s l n a — s i n 9 cos (co — a ) ]

c o s 9 = — A [cos a -\~ sin 9 sin (a> — a) 1

ce t te e x p r e s s i o n dev ien t :

s in (a — f) — sin 9 cos (a> — a — î) = 0 (4)

E l l e d é t e r m i n e a> (ou ô), c 'es t -à-dire l 'or ientat ion d e s l ignes d e g l i ssement , qui ne saura ient ê t re c h o i s i e s a rb i t r a i r emen t au vois inage d e la s u r f a c e l ib re dont l ' inc l inaison i satisfait en outre à la cond i t i on d e poss ib i l i té :

| s i n (i — a) [ < sin 9 ( 5 )

b) L'arc y se confond avec une ligne de glissement. Si ce l le -c i est d e p r e m i è r e e s p è c e (Tx) :

c o s 6 d i -f- sin ô d t\ = 0

Si c 'es t une l igne d e s e c o n d e e s p è c e (F 2 ) :

s in (6 — 9) d % — cos (6 — 9) d ij = 0

Dans l 'un et l 'autre cas , D = 0. On e n conclut q u e la r é so lu t ion du p r o b l è m e de C A U C H Y est gén é r a l e m e n t impossible à part i r de d o n n é e s a rb i t raires 9 "n) re la t ives à une ligne d e g l i s sement q u e l c o n q u e du massif. D'ai l leurs e n

tre les d o n n é e s p et ô ex i s te n é c e s s a i r e m e n t , le long d e c h a q u e l igne d e g l i s sement , une r e l a t i on dif férent ie l le t raduisan t l ' équ i l ib re d u q u a d r i l a tè re inf ini tés imal d e c ô t é s dslf ds2, d é t e r m i n é pa r l ' in te rsec t ion d e d e u x l ignes { T x ) et d e d e u x l ignes (F 2 ) inf iniment v o i s i n e s ; soit , p o u r c h a q u e ligne de première et de seconde espèce s u c c e s s ivemen t :

dp — 2 /? tg 9 d ô — A co s (a — 0 + 9) dsx = 0

dp+ 2 p tg 9 d G — A s in (a — 6) ds2 — 0

De l ' ex i s t ence d e s cond i t ions d e poss ib i l i t é ( 6 ) , j o u a n t pour les sols pu lvéru len ts le rô le d e s é q u a t ions ( 2 . 1 1 . 7 , 8 ) p r o p r e s aux sols c o h é r e n t s , o n conc lu t à une o rgan i sa t ion i d e n t i q u e d e s m a s s i f s d e c h a q u e e s p è c e e n équ i l ib re l imi te , à l ' incl inai s o n p r è s d e s l ignes d e g l i s sement , o r t h o g o n a l e s d a n s le p r e m i e r cas , et f o r m a n t en t re e l l e s l ' angle (%/2) — 9 (fig. 5 5 ) d a n s le s e c o n d . Mais con t ra i r e men t aux re la t ions ca r ac t é r i s t i ques d e s v a s e s , les r e la t ions ca rac t é r i s t i ques (6) d e s s a b l e s ne sont in t ég rab les q u e dans d e s c i r c o n s t a n c e s t rès l imi tées , n o t a m m e n t p o u r A = 0, ce qu i r e v i e n drai t à négl iger les f o r c e s d e v o l u m e s , éventua l i té q u e nous exc luons et auss i d a n s le c a s d 'un é q u i l ibre pa ra l l è l e à un c h a m p d e f i l t rat ion u n i f o r m e dont nous la i s sons le lec teur pour su iv re l ' e x a m e n par un p r o c e s s u s ana logue à ce lu i m i s e n œ u v re à p r o p o s d e s sols c o h é r e n t s [ 2 . 1 1 , 5 ] .

4, E Q U I L I R R E D E R A N K I N E .

Un équ i l i b r e d e R A N K I N E es t ca rac té r i sé pa r la c o n s t a n c e d e 0 d a n s tout le mass i f don t les l ignes d e g l i s semen t f o r m e n t a lo r s un r é s e a u d e d ro i tes . A t i tre d ' app l i ca t ion , c h e r c h o n s à q u e l l e cond i t ion la p r é s e n c e d 'un c h a m p d e fi l tration ne m e t p a s obs t ac l e à Fex i s t ence d 'un tel état .

C o m p t e t enu de la cons tance r e c h e r c h é e de 6, les équa t i ons (3) donnen t .

c o s ç J^L =•— & ( 1 —. sin 9 sin a) — ( S - f 73 -~^) c o s a s in 9,

cos 9 = — f S + a> ( i _ l S i n 9 sin a) — c o s a s in 9,

d2v d2p . A E n outre , et pou r tout é c o u l e m e n t p e r m a -dont l a compa t ib i l i t é - en t ra îne en n e n U ( J > s a t i s f a i t à p é q u a t i o n d e cont inui té :

d2 * ^ d2® _ Q

posan t : B = sec a c o s e c 9: 3 x 2 " du

d2$ ^ d2 $ d2 0 Nous s o m m e s a ins i a m e n é s à r é s o u d r e le sys -

2 B ^ 3^2™ ~~ ' t ème c o m p l è t e m e n t i n t ég rab le :

84 L A H O U I L L E B L A N C H E J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5

d2* dx2

B 3 24> a 2 $

dxdy w* dy2

Son in tégra t ion donne :

+ B 3 2 $ dx dy

d<& dx

B d$ Vy

_a_ + B 3 $ 3x

: # ( , X ) .

D'ai l leurs fx = g' (x) = C, / et g sont d e s f o n c t ions l inéa i res .

E n réso lvan t e n d$/dx et d<b/dy, il vient :

3# U + B 2 )

(1 + B 2 )

dx

3

(Q/ + D) + B ( C x + E ) ,

~~-B(Q/ + D) + û c + E.

(C, D, E, cons tan tes a rb i t ra i res ) , d ' où :

 (x, y) = 1 + B 2 ~ ( x 2 — S 2 ) + S S ? ]

+ F x + + H

(F, G, H, cons tan tes a rb i t r a i r e s ) .

( 7 )

Pour q u e l ' équ i l ib re d e R A N K I N E soit pos s ib l e , le po ten t ie l d e l ' é c o u l e m e n t do i t ê t re r e p r é s e n t a b l e pa r une f o r m e q u a d r a t i q u e du type ( 7 ) p o u vant d 'a i l leurs dégéné re r e n f o r m e l inéa i re . Dans cet te éventual i té , la p r e s s i o n e n tout po in t (x, y) résul te de l ' in tégrat ion d e ( 3 ) , soit :

Po A

cos 9 [cos to — sin 9 sin (<x — a > ) ] dx

-f- [sin 4" s î n ? c o s ( a — w ) ] dy

E n r é sumé , l ' équ i l ib re d e R A N K I N E r e s te p o s s i b le à une cond i t ion t rès restr ic t ive, pu i squ ' i l est lois ible de définir des rég ions su f f i samment l imi tées du mass i f o ù le po ten t ie l est a s s imi l ab l e sinon à une fonc t ion l inéa i re ( c h a m p u n i f o r m e ) , du m o i n s à une f o r m e q u a d r a t i q u e du type précéden t . On c o m p a r e r a cet te conc lus ion à ce l le du p a r a g r a p h e [ 2 . I I . 4 c . 2 ° ] et l 'on no t e r a à ce p r o p o s une d i f férence essent ie l le ent re so l s pu lvérulents et c o h é r e n t s .

5 . L I M I T A T I O N D E L ' A N G L E D E S T A L U S .

Considérons une d igue cons t i tuée pa r un ma té r iau h o m o g è n e et i so t rope à t ravers l aque l l e s'effec tue un é c o u l e m e n t de f i l trat ion p e r m a n e n t (fig. 5 6 ) . L e s l ignes de courant i s sues d u p a r e men t a m o n t qu ' e l l e s qui t tent n o r m a l e m e n t , sauf d i spos i t ions spéc i a l e s p r o p r e s à aba i s se r l a l igne de sa tura t ion AR, about i s sen t sur le ta lus aval avec un angle var iab le . Au poin t de résur

gence R, l a l igne d e sa tura t ion est t angente au talus aval . Au-dessous du n iveau aval , les l ignes de couran t sont n o r m a l e s a u ta lus . En t r e c e s d e u x niveaux, l 'angle des l ignes de courant et du talus

Ni veau amont

FIG. 5 6

varie con t inuemen i d e 0 à TC /2 . De ce s d i spos i t ions résul tent d ivers ca s quan t à la s tabil i té d e s ta lus e n tout é ta t d e c a u s e rég ie pa r ( 5 ) .

a) Stabili té du ta lus aval au vo i s inage d e la r é su rgence (fig. 5 7 ) .

Ligne de saturation

FIG. 5 7

Au vois inage de la r é su rgence R, où la v i tesse ^ e filtration, V = — K grad #, et pa r sui te le vec teur Tïïgrad $ sont tangents au talus, o n a :

d$ du . . 3# . . . 3 * —-— — — = s i n z. = s i n 7 #»ns 7. — = s i n 2 ds

t g a :

ds

Y

sin z, —— = sin i co s i, _ ox dy

s i n 4 i.

ô) (3<fr/3x) 5> (d$/dy) 4~ S

xjs s m i co s 11

3T S i l l 2 I 4- o

D'autre part , et pa r ( 5 ) , la va leur l imi te d e l ' incl inaison du ta lus est :

i = 9 + a,

d 'où :

t a i = S 4- rs • tg? ( 8 )

6. S T A B I L I T É D U T A L U S A V A L A U - D E S S O U S D U N I

V E A U A V A L (fig, 5 8 ) .

FIG. 5 8

E n tout point du ta lus situé au -des sous du

J A N V I E R - F É V R I E R 1955 LA H O U I L L E B L A N C H E 8 5

niveau aval , v i tesse de fi l tration V et vecteur sr grad $ sont n o r m a u x au talus.

On e n dédui t :

K sin i.

t g a

K cos z,

X _

Y A sin i

A C O S l

avec , c o m m e e n : [ 2 . I I . 5 ] :

Dès lors , pa r (5), il vient la re la t ion définissant la p e n t e m a x i m u m c h e r c h é e :

tg (9 • 0 = A sin i 1 — X cos i

soit e n c o r e :

c) Stabilité du talus amont (fig. 59) .

L a vi tesse et le vec teur œ g r a d sont n o r m a u x au talus. Par un ca lcu l ana logue à celui d é v e loppé c i -dessus , il vient :

t g a = A sin i 1 -|_ X cos i

et sin (i 9) A sin o (10)

L e s f o r m u l e s (8) (9) (10), qui déf inissent les pen te s l imi tes c o r r e s p o n d a n t aux cond i t i ons d e stabil i té m i n i m a d e s d igues , exp l i quen t ce r ta ins t roubles o b s e r v é s lo r s d e la m i s e e n e a u d e s r e tenues qu ' e l l e s b o r d e n t . E n par t icu l ie r e l l es indi quen t l a poss ib i l i té de tenir les ta lus p lus r a ide s à l ' amon t des m a s s i f s q u ' à l 'aval d e ceux-c i .

sin (9 — i) = X sin 9 (9) (A suivre.)

Fir.. 50

MÉCANIQUE DES TERRAINS PERMÉABLES

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