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Mécanique des corps déformables1 2002-2003

1. IntroductionUn cours de mécanique générale traite notamment de la description des mouvements d’unsolide soumis à différentes forces et moments extérieurs (équations de Newton et du momentcinétique). La statique considère le cas particulier d’un solide en équilibre. Cette descriptionsuppose que le solide est indéformable, i.e. les distances entre des points quelconques restentinvariantes au cours du mouvement.

Ce chapitre a pour objectif de compléter la connaissance du comportement des corps déform-ables en déterminant leurs déformations qui résultent de forces extérieures. L’approchephénoménologique est utilisée pour présenter les lois décrivant les déformations dans des cassimples, puis quelques bases théoriques sont introduites pour généraliser les résultats.

2. Etats de la matière, Modèle continu

2.1 Etats de la matière

D’une manière générale, les solides sont caractérisés microscopiquement par des forces de liai-sons intermoléculaires "rigides" et anisotropes. Sous l’effet de la température, les atomesvibrent autour de leur position d’équilibre, mais ne peuvent pas se déplacer librement les unspar rapport aux autres. En conséquence, macroscopiquement, un solide se déforme très peu etdifféremment selon différentes directions. Ses propriétés macroscopiques spécifiques sont samasse, son volume et sa forme.

Les fluides, au contraire, sont caractérisés par des forces de liaisons "non rigides" et isotropes.On distingue deux types de fluides selon leurs propriétés macroscopiques, les liquides et lesgaz. Les gaz, peu denses et donc facilement compressibles, présentent de faibles forces d’inter-action attractives entre molécules (nulles pour les gaz parfait). Les liquides ont une densitécomparable à celle des solides, sont peu compressibles, et les forces d’interactions entre molé-cules sont plus importantes que celles des gaz, mais suffisamment faibles pour qu’un élémentliquide puisse se déplacer considérablement par rapport à un élément voisin. Contrairementaux gaz, les liquides n’ont pas tendance à occuper tout le volume disponible. Leurs propriétésmacroscopiques spécifiques sont leur masse et leur volume.

Les solides cristallins possèdent un ordre à courte et à longue distance, alors que les solidesamorphes (quartz amorphe SiO2) et les liquides ne possèdent qu’un ordre à courte distance.

Un cristal liquide est un liquide formé de particules organiques allongées qui possède égale-ment un ordre à longue distance au-dessous d’une température de transition (au-dessus, il secomporte comme un liquide usuel).

Les polymères sont formés de longues chaînes constituées par la répétition de molécules orga-niques simples. Les liaisons entre atomes d’une même chaîne sont fortes alors que les forcesinterchaînes sont plus faibles et influencent beaucoup les propriétés mécaniques du polymère.

1. Résumé du cours du Professeur J.-J. Meister, Section de Physique EPFL.

- 2 -

Il existe des polymères naturels (amidon, cellulose, protéines) et synthétiques.

2.2 Modèle continu

La matière est formée d’un grand nombre d’atomes ou de molécules dont il n’est pas possiblede décrire exactement l’état de mouvement d’une manière détaillée.

La mécanique des solides déformables ainsi que la mécanique des fluides nécessite l’introduc-tion d’un modèle continu qui consiste à considérer des particules matérielles de volume ∆Vsuffisamment petit pour que cet élément ∆V ait les propriétés d’une différentielle, mais suff-isamment grand pour contenir un nombre élevé d’atomes ou de molécules. On peut ainsi fairetotalement abstraction de la structure atomique et définir, par exemple, une densité locale ρ(x).Par commodité, on écrit souvent dV pour l’élément fini ∆V.

2.3 Rhéologie des corps déformables

Lorsqu’on soumet un corps déformable (solide, liquide ou gaz) à des forces ou à des momentsextérieurs constants ou dépendant du temps, on peut s’intéresser à la réponse du corps en fonc-tion du temps en analysant des grandeurs caractéristiques du corps telles que longueurs, aires,volumes et angles.

Les résultats de telles expériences peuvent généralement être décrits par quatre propriétésrhéologiques1 fondamentales: l’élasticité, la viscosité, la plasticité et la résistance à la rupture2.

Si les changements subis par le corps sont suffisamment petits, on peut les décrire par des loisphénoménologiques linéaires:

• Elasticité selon Hooke: la déformation est proportionnelle à la contrainte.

• Viscosité selon Newton: la force de frottement (ou de traînée) est proportionnelle à la vit-esse.

• Plasticité selon von Mises: la vitesse de déformation est proportionnelle à la contrainte.

En revanche, des effets non-linéaires apparaissent si les changements sont importants.

Par définition, la déformation élastique disparaît lorsque les contraintes sont annulées, contrai-rement à la déformation plastique qui subsiste. Les corps réels (non idéalisés) présentent cestrois propriétés rhéologiques.

3. Comportement élastiqueLorsque des forces extérieures sont appliquées à un corps déformable, avec les conditionsΣFext = 0 et ΣM0ext = 0 (statique), on observe des déformations du corps. On parle d’élasticitédu corps si la courbe de charge correspond à la courbe de décharge: figure 2. Elle n’estgénéralement linéaire que si les déformations sont faibles.

Ce comportement élastique linéaire est une bonne approximation pour la plupart des solides

1. La rhéologie est la branche de la physique qui étudie la viscosité, la plasticité, l’élasticité et l’écoule-ment de la matière.

2. Le phénomène de rupture ne sera pas abordé dans ce cours.

- 3 -

(déformations relatives de l’ordre de 10-3). De même, les fluides possèdent cette propriété encompression (ou détente) uniforme.1

3.1 Traction simple

Considérons un solide homogène et isotrope en équilibre, dont la forme est un parallélépipèderectangle de longueur Lx et de section S = Ly·Lz: figure 1.

Appliquons deux forces colinéaires, opposées et d’égale amplitude Fnx, perpendiculairementaux extrémités. On observe un allongement du solide (∆Lx > 0) simultané à une diminution desa section (∆Ly et ∆Lz < 0).

Figure 1

Si l’on reporte l’amplitude de la force Fnx en fonction de l’allongement ∆Lx, on observed’abord une région élastique (déformation réversible), puis une région plastique et finalementla rupture. La figure 2 illustre deux comportements observés; les flèches indiquent le sens desdéformations et leur éventuelle réversibilité.

Figure 2

Dans la région élastique linéaire, l’expérience montre que ∆Lx est proportionnel à Fnx et Lx, etinversement proportionnel à S:

1. Du point de vue de la thermodynamique, le comportement élastique représente une transformation réversible.

Fnx- Fnx

Ly

Lz

Lx

Lx + ∆Lx

Lz + ∆Lz

régionélastique

régionplastique

∆Lx

Fnx

rupture régionélastique

régionplastique

∆Lx

Fnx

rupture

ou

- 4 -

(1)

La constante de proportionnalité E est le Module de Young, dont l’unité est le N/m2. Il dépenddu matériau, de son traitement, de la température et éventuellement d’autres variables thermo-dynamiques. Sa valeur ne dépend pas de la géométrie du corps.

En définissant la contrainte normale par:

[N/m2] (2)

et l’allongement spécifique par:

(3)

On obtient la loi de Hooke:

(4)

Le module de Young caractérise le rapport contrainte-déformation.

La même expérience montre que les dimensions transversales Ly et Lz subissent une contrac-tion proportionnelle à Lx. Au niveau microscopique, on peut dire de manière simple que cettecontraction résulte de l’existence de liaisons interatomiques obliques. Cette contraction estdécrite par la loi de Poisson:

(5)

Cette observation signifie qu’une déformation dans une direction peut résulter d’une contrainteappliquée dans une autre direction.

La constante ν, sans dimension, est le module de Poisson. Selon le matériau, il vaut entre 0,3 et0,5. On verra à la section 3.2 que ν doit être inférieur ou égal à 0,5.

La figure 3 donne les caractéristiques de quelques solides. La limite d’élasticité est la valeur dela contrainte au-dessus de laquelle le corps perd ses qualités élastiques.

∆Lx1E---

FnxLxS--------------⋅=

σxFnxS--------=

εx∆LxLx

----------=

εx1E---σx=

εy εz νσxE------–= =

- 5 -

Figure 3

Remarques

• Par convention, les contraintes sont positives lorsqu’elle correspondent à un état d’exten-sion et négatives dans le cas d’une compression. Une contrainte de compression correspondà une pression avec la convention de signe p = - σ.

• Les constantes E et ν caractérisent entièrement le comportement élastique d’un solide iso-trope et homogène.

• On parle d’anisotropie des propriétés mécaniques si l’application de forces dans différentesdirections conduit à des valeurs différentes du module de Young et du module de Poisson.

3.2 Compression uniforme

Considérons un solide isotrope ou un fluide soumis à une compression uniforme, i.e.:

(6)

Prenons d’abord un solide de forme parallélépipédique de volume V: figure 4. Calculons lesdéformations résultant de l’état de contraintes en utilisant les lois de Hooke et Poisson.

Un tel calcul nécessite d’admettre le principe de superposition: la superposition des contraintesentraîne la superposition des déformations correspondantes.

Matériau E [N/m2] ν [ ] Limite d’élasticité [N/m2]

Charge de rupture [N/m2]

AluminiumAcierCuivreVerrePlombBéton (compression)BoisCaoutchoucOs (compression)

6,9.1010

18 à 30.1010

12.1010

5 à 8.1010

0,5 à 2.1010

3.1010

1 à 2.1010

2.106

0,5 à 1.1010

0.330,270,330,30,40,15--0,5--

10 à 13.107

25 à 80.107

3 à 12.107

--0,4 à 1.107

--------

11 à 15.107

40 à 150.107

20 à 40.107

4 à 6.107

1,3 à 2,2.107

4.107

5.107

--17.107

σx σy σz σ p–= = = =

- 6 -

Figure 4

En utilisant ce principe pour σx, σy et σz, l’allongement spécifique selon x s’écrit:

(7)

Les allongements spécifiques selon y et z ont la même valeur.

En négligeant les termes en ∆L d’ordre supérieur à 1, (on suppose de petites déformations), lavariation de volume du solide est donnée par ∆V = ∆Lx(LyLz) + ∆Ly(LxLz) + ∆Lz(LxLy). Lavariation relative s’écrit alors:

(8)

On caractérise cet état de compression uniforme par le coefficient de compressibilité κ définide telle façon que:

<==> [m2/N] (9)

On voit ainsi que ν doit être ð 0,5, car sinon ∆V pourrait être positif (dilatation) lors d’unecompression (σ < 0). Le cas ν = 0,5 correspond à l’incompressibilité du solide.

Certains ouvrages utilisent le module d’élasticité volumique B défini par l’inverse du coeffi-cient de compressibilité.

Prenons maintenant le cas d’un fluide. En vertu de ses propriétés décrites à la section 2.1, unélément fluide peut se déplacer considérablement par rapport à un élément voisin. Ainsi,aucune expérience de traction simple ne peut être effectuée et les modules E et ν n’existentpas. En revanche, si le fluide est au repos (dans un récipient), l’expérience montre qu’il peutêtre soumis à une compression élastique obéissant à l’équation 9: figure 5.

Ly

Lz

Lx

y

z

x

εx∆LxLx

----------σxE------

νE--- σy σz+( )– σ

E--- 1 2ν–( )= = =

∆VV-------- εx εy εz+ + σ

E---3 1 2ν–( )= =

∆V κVσ= κ 3 1 2ν–( )E-----------------------=

- 7 -

Figure 5

On a l’habitude, dans ce cas d’un fluide, d’utiliser la surpression en lieu et place de la con-trainte σ:

(10)

κ est ainsi le coefficient de compressibilité du fluide. Il dépend en général du fluide, de latempérature, de la pression et éventuellement d’autres variables thermodynamiques. Pour unliquide, κ dépend très peu de T et p.

La figure 6 donne les valeurs de κ de quelques fluides.

Figure 6

L’équation 10, mise sous une forme différentielle, est appelée équation d’état du fluide. L’étu-diant vérifiera qu’elle peut s’écrire sous les deux formes suivantes1:

ou (11)

où ρ est la densité du fluide.

3.3 Cisaillement simple

Considérons un solide soumis à des forces tangentielles, en supposant toujours que l’équilibreest réalisé. On suppose que deux forces tangentielles Ftz et - Ftz de direction parallèle à l’axeOy sont appliquées aux deux faces perpendiculaires à l’axe Oz et deux autres forces Fty et - Ftyde direction parallèle à Oz sont appliquées aux deux faces orthogonales à l’axe Oy: figure 7.

Eau Alcool Mercure Air (patm)

T = 18 oC 0,45.10-9 m2/N 1.10-9 m2/N 3,8.10-12 m2/N ∼ 7.10-6 m2/N

1. En thermodynamique, on définit les coefficients de compressibilité adiabatique et isotherme, mais si l’on admet la réversibilité (processus très lent), le résultat d’une compression uniforme est indépen-dant du chemin thermodynamique; on peut ainsi utiliser la différentielle et κ peut figurer sans référence spéciale: dV = - κVdp.

FVolume initial: VPression initiale: pVolume final: V + ∆V

Pression finale: p + ∆p

∆V κ– V∆p=

dV κ– Vdp= dρ κρdp=

- 8 -

Figure 7

La condition Σ forces = 0 est réalisée. Pour que la condition Σ moments = 0 soit réalisée, ilfaut que FtzLz - FtyLy = 0.

En définissant les contraintes tangentielles par:

et (12)

la condition d’équilibre s’écrit:

(13)

Un solide soumis à de tels efforts subit des déformations angulaires d’angles γ1 et γ2: figure 8.

Figure 8

L’expérience montre que dans le domaine élastique, γ = γ1 + γ2 est proportionnel à la contraintetangentielle (en supposant tg γi ≅ γi) : c’est la loi du cisaillement simple:

(14)

Le facteur de proportionnalité G est le module de cisaillement ou de glissement [N/m2] quidépend du matériau, de son traitement, de la température et éventuellement d’autres variablesthermodynamiques.

Dans les matériaux isotropes du point de vue des propriétés mécaniques, G, E et ν sont liés par

Ly

Lz

Lx

y

z

x

Equilibre:Σ moments = 0Σ forces = 0Fty

-Fty

Ftz

-Ftz

τzFtz

LxLy------------= τy

FtyLxLz------------=

τz τy τ= =

Fty-Fty

Ftz

-Ftz

γ1

γ2

γ1 γ2+

0 ≡ 0’ ou 0

0’

γ 1G----τ=

- 9 -

la relation (démontrée à la section 7.):

(15)

Remarques

• Les propriétés élastiques de cisaillement concernent surtout les solides et le module decisaillement G d’un fluide au repos est généralement nul. Cependant, certains fluides possè-dent une élasticité transitoire lors de déformations de cisaillement.

• Lors d’un cisaillement simple, la variation de volume du corps est du second ordre par rap-port aux angles de glissement; elle est nulle si l’on ne garde que les termes linéaires(démontré à la section 6.). Cela permet de redéfinir un cisaillement comme une déformationqui ne change pas le volume du solide.

• La réponse à un cisaillement peut être anisotrope, i.e. G peut dépendre des faces surlesquelles s’exercent les forces.

Illustration

La déformation d’un cube soumis à des contraintes normales opposées (σx = 0, σy = σ > 0, σz= - σ) correspond à celle d’un cisaillement simple.

Remarque

Les contraintes normales et de cisaillement ont été définies sur les faces extérieures d’unsolide. De façon générale, elles existent et sont donc définies en tout point d’un corps: section5.

3.4 Energie mécanique élastique

Pour déformer un corps, il faut à l’évidence dépenser de l’énergie. Lorsque la déformation sousl’effet de contraintes est élastique (réversible), il n’y a pas d’échange de chaleur avecl’extérieur et le travail fourni correspond ainsi à l’énergie mécanique emmagasinée par lecorps1.

a. Traction simple

En se référant à la figure 1, le travail fourni s’écrit:

(16)

où x est l’allongement, supposé << Lx, qui varie entre 0 et ∆Lx au cours de la traction. Ennégligeant les variations de la section résultant de la contraction selon y et z, on obtient:

1. Les cas de déformations vus dans les sections précédentes seront traités en suivant le raisonnement utilisé pour calculer le travail W à fournir pour maintenir un ressort en extension de ∆x, qui corre-spond à la variation d’énergie mécanique du ressort:

G E2 ν 1+( )--------------------=

W kx xd0

∆x

∫12---k∆x2= =

W Fnx xd0

∆Lx

∫=

- 10 -

(17)

σx et εx correspondent aux valeurs finales, i.e. lorsque l’allongement x = ∆Lx.

b. Compression uniforme

En se référant à la figure 4, le travail développé pour de petites déformations s’écrit:

(18)

L’étudiant intéressé vérifiera que le travail à fournir pour comprimer de manière adiabatique nmoles de gaz parfait entre un volume initial Vi et final Vf s’écrit:

(19)

γ = Cp/Cv est le rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume constants.

c. Cisaillement simple

En se référant à la figure 8, le travail fourni s’écrit:

(20)

4. Comportement visqueuxNous avons supposé jusqu’ici que la déformation élastique d’un corps évolue de manièreréversible. En réalité, un processus n’est réversible du point de vue de la thermodynamique quesi sa vitesse est infiniment lente. Or, un mouvement réel s’effectue à vitesse finie et desphénomènes de dissipation d’énergie ont lieu.

La viscosité d’un solide ou d’un fluide est un des phénomènes de dissipation qui se manifestelors d’une déformation d’un corps à vitesse finie.

4.1 Phénoménologie

Le comportement visqueux de la matière est le plus facilement mis en évidence dans les flu-ides, et en particulier dans les liquides, à partir de l’expérience modèle de la figure 9:

W 12---σxεx volume⋅=

W σ Vd0

∆V

∫12---σ εx εy εz+ +( ) volume⋅= =

WnRTiγ 1–------------

ViVf------

γ 1–1–=

W 12---τγ volume⋅=

- 11 -

Figure 9

On considère deux surfaces planes d’aires égales S et distantes de e placées à l’intérieur d’unrécipient contenant un fluide; les dimensions de chaque surface sont supposées beaucoup plusgrande que e. On observe qu’il est possible de déplacer l’une des surfaces tangentiellement parrapport à l’autre avec une vitesse constante vt en appliquant une force Ft colinéaire et de mêmesens que vt à la surface supérieure et une force - Ft à la surface inférieure pour la maintenirimmobile1. L’expérience montre, et c’est ce qui caractérise un comportement visqueux, que lefluide est entraîné entre les deux plaques et que la géométrie (S, e) restant la même, Ft est unefonction biunivoque de vt:

Un fluide newtonien est un fluide tel que la relation entre Ft et vt est linéaire.

Pour être newtonien, un fluide doit notamment être homogène et isotrope. C’est le cas de l’eau,du pétrole, de l’huile, etc. Au contraire, ce n’est pas le cas pour certains silicones, pour des sus-pensions dans l’eau, etc.

Dans le cas de l’écoulement laminaire2 d’un fluide newtonien entre les deux plaques, la vitessevarie linéairement entre les plaques. De plus, les vitesses du fluide en contact avec les plaquessont égales à celles des plaques: cette observation est parfois appelée condition de non-glisse-ment: figure 10.

1. Les forces appliquées dans cette expérience correspondent à un cisaillement simple (section 3.3).2. Les caractéristiques d’un écoulement laminaire seront précisées lors de l’étude de la physique des flu-

ides.

Ft

-Ft

vt

y

x

z

e

0

S

S

Ft f vt géométrie fluide, ,( )=

y

z

e

0

vt(z)

surface immobile

surface mobile vt(z = e)

- 12 -

Figure 10

L’expérience montre que la force Ft est proportionnelle à S et inversement proportionnelle à e.On a alors la loi suivante:

(21)

η [kg/ms ou Pas] est le coefficient de viscosité dynamique1 qui dépend notamment du fluide etde sa température2. Quelques valeurs sont données à la figure 11.

Figure 11

Comme dans le cas élastique, on introduit la contrainte tangentielle par τz = Ft/S. En tenantcompte de l’évolution linéaire de la vitesse, l’équation 21 peut être exprimée sous formelocale:

(22)

γ est la déformation angulaire (figure 8) et la vitesse de cisaillement.

Remarque

La contrainte tangentielle définie ici rend compte de la viscosité d’un fluide. Elle dépend de lavitesse de déformation, contrairement à la contrainte de cisaillement définie à la section 3.3 quidécrit les propriétés élastiques d’un corps en quasi-équilibre (processus réversible), i.e. en con-sidérant une vitesse de déformation nulle.

Le comportement viscoélastique correspond à la présence simultanée d’un cisaillement simpleélastique et d’une viscosité. En utilisant les lois correspondantes, la contrainte tangentielles’exprime par une équation différentielle:

(23)

La réponse d’un corps viscoélastique à un saut de contrainte est illustrée à la figure 12. Il tra-duit la solution de l’équation 23 donnée par:

(24)

1. On définit également la viscosité cinématique par η/ρ.2. La viscosité est parfois exprimée en poises p: 1 Pas = 10 p.

Eau (20 oC) Mercure (17 oC) Glycérine (18 oC) Air (20 oC)

η = 1.10-3 Pas η = 1,6.10-2 Pas η = 1,1 Pas η = 2.10-5 Pas

Ft ηSe---vt=

τz ηvte---- η1

e--- tddy η td

d ye--- η td

d ∆y∆z------- ηγ·= = = = =

γ·

τz Gγ ηγ·+=

γ t( )τzG---- 1 e G η⁄( )t––[ ]=

- 13 -

Figure 12

Remarques

• Les propriétés élastiques de cisaillement et le comportement visqueux sont des cas limitesde l’équation 24 lorsque η << Gt et Gt << η respectivement.

• Les gaz sont aussi caractérisés par une viscosité.

• L’expérience montre que la viscosité (pas nécessairement newtonienne) est également unecaractéristique des solides. On parle alors souvent de frottement intérieur.

• Un comportement visqueux est également lié à une traction simple ou à une compression àvitesse non-nulle. La contrainte normale ou la surpression ne dépend alors pas seulement dela déformation, mais également de la vitesse de la déformation. Pour l’expérience de com-pression du fluide de la figure 5, on a dans le cas newtonien:

σ = σstatique + σdynamique ==> (25)

où η’ est le coefficient de viscosité associé à la compression uniforme.

• On parle d’un fluide parfait s’il n’a pas de viscosité.

t

τz

τz(t) γ(t)

η/G

t

τz/G

∆p σ– 1κ---∆V

V--------– η' tdd ∆V

V-------- –= =

- 14 -

5. Efforts internes, tenseur des contraintes

5.1 Efforts internes

Considérons un corps (solide ou fluide) soumis à des forces extérieures Foi s’appliquant sur sasurface et un point P quelconque du corps1. Considérons une surface de coupure S passant parP et séparant le corps en deux parties (1) et (2). Enlevons l’une des parties, par exemple (2).Pour maintenir la partie restante (1) dans le même état de mouvement (ou de repos) qui existaitavant la séparation, il est nécessaire d’appliquer sur la surface de coupure des forces appeléesefforts internes: figure 13.

Figure 13

En particulier, il faudra exercer l’élément de force dF sur l’élément de surface dS = dSn entou-rant le point P: figure 13. On peut décomposer dF en deux composantes normale et tangen-tielle à S en P2:

(26)

Par définition,

et (27)

sont les contraintes normales et tangentielles en P lorsque la surface est orientée selon n. Cescontraintes dépendent en général des forces extérieures, du point P repéré par r, de l’orienta-

1. Nous ignorons la présence éventuelle de forces de volume telles que le champ de gravitation.2. Pour une autre surface de coupure passant par P, l’orientation de dS sera différente et la force à exercer

sur dS sera en général différente.

(1)

(2)

S

dS = dSn

dFn

dFt

dF

Fo1

Fo2

Fo3

Fo4

P

1

2

3r

dF dFn dFt+=

σn r t,( ) SddFn= σt r t,( ) Sd

dFt=

- 15 -

tion de la surface et du temps.

L’égalité de l’action et de la réaction, valable quelque soit le mouvement du corps, impose queles efforts exercés par (1) sur (2) soient opposés à ceux exercés par (2) sur (1): figure 14. On endéduit que σn’ = σn et σt’ = σt.

Figure 14

La coupure peut se faire virtuellement (par la pensée) ou réellement. Dans le premier cas, lescontraintes se déterminent par le calcul. Dans le second cas, il faut alors vraiment exercer unensemble de forces sur la coupure pour maintenir le même mouvement de la partie restante ducorps.

Exemples

• Lors d’une traction simple d’une barre en équilibre de section S par une force F, les effortsinternes dans une section quelconque ne dépendent pas de la position de la section et sontnormaux: σn = F/S et σt = 0. Les contraintes sont dites uniformes.

• La déformation d’une colonne de densité ρ, de section S et de hauteur L sous l’effet de sonpoids conduit aux efforts internes σn = - ρg(L - z) et σt = 0 sur une section située à la hau-teur z.

• La torsion simple d’un tube mince de rayon interne R et d’épaisseur e sous l’effet d’unmoment appliqué M conduit à une contrainte tangentielle σt = M/2πR2e sur une surface decoupure quelconque, perpendiculaire à l’axe du tube.

5.2 Tenseur des contraintes

Cette section a pour objectif de montrer qu’un ensemble de 6 nombres, définis en chaque point,permet de caractériser les contraintes dans un solide déformable.

Reprenons la description des efforts internes de la section 5.1 et considérons un système d’axesO123 muni d’une base e1e2e3 orthonormée: figure 15.

dF

dS(2)

(1)

dF’

dS’ (2)

(1)

dS = - dS’dF = - dF’

- 16 -

Figure 15

Choisissons en P un élément de surface dS3 = dS3e3 orienté dans la direction 3. dF(3) estl’effort interne s’appliquant sur cet élément de surface et dont les composantes sont notées(dF1

(3), dF2(3), dF3

(3)). L’indice (i) rappelle que la force de surface dF(i) s’exerce sur une sur-face perpendiculaire à l’axe i.

On pourrait de même considérer en P un autre élément de surface dS1 ou dS2 sur lequel s’exer-cerait respectivement l’effort dF(1) ou dF(2).

De manière générale, dFk(i) est la composante k de la force s’exerçant sur un élément de sur-

face orienté perpendiculairement à l’axe i.

De manière générale, on définit alors les contraintes σki(r) au point considéré par:

, avec i = 1, 2, 3 et k = 1, 2, 3 (28)

La contrainte σki est la k-ème composante de la force agissant sur l’unité de surface perpendic-ulaire à l’axe i1. Les σki sont en général des fonctions du lieu et du temps.

Lorsque i = k, les contraintes sont normales; elles étaient notées σi dans les sections précé-dentes.

Lorsque i ¦ k, les contraintes sont tangentielles; elles étaient notées τi dans les sections précé-dentes.

Par exemple, σ11 est la contrainte normale en P et à l’instant t s’exerçant sur une surface per-pendiculaire à l’axe 1 et σ23 est la contrainte tangentielle en P et à t s’exerçant sur une surfaceperpendiculaire à l’axe 3, selon la direction de l’axe 2.

1. Certains ouvrages utilisent la convention inverse: σki est la i-ème composante de la force agissant sur l’unité de surface perpendiculaire à l’axe k.

P

1

2

3

1

2

3

e1

e3

e2

r

dF(3)dS3 = dS3e3

σki r( )dFk

i( )

dSi-----------=

- 17 -

Remarques

• La matrice des 9 composantes σki reliant les forces à la surface sur laquelle elles s’exercentest en réalité un tenseur appelé tenseur des contraintes. L’utilisation d’un système d’axesorthonormé nous permet d’éviter tout recours à l’analyse tensorielle ...

• Le tenseur des contraintes est symétrique: σik = σki; il possède ainsi 6 composantesindépendantes. Cette propriété résulte de la conditions d’équilibre Σ moments = 0. Pours’en convaincre, le lecteur exprimera l’équilibre d’un cube élémentaire quelconque.

• Un tenseur symétrique étant diagonalisable, il existe en chaque point du corps un systèmede coordonnées appelé axes principaux dans lequel les contraintes sont uniquement nor-males, i.e. σik = 0 si i ≠ k.

Connaissant le tenseur des contraintes en P, montrons qu’il est possible d’exprimer la forces’exerçant en ce point P sur un élément de surface d’orientation quelconque.

Ecrivons l’équilibre d’un élément de volume du corps ayant une face dS = (dS1, dS2, dS3) ori-entée de façon quelconque et trois faces perpendiculaires aux axes d’un système d’axesorthonormés: figure 16.

Figure 16

En négligeant d’éventuelles forces de volume, l’équation d’équilibre s’écrit:

(29)

L’indice (i) rappelle que la force de surface dF(i) s’exerce sur une surface perpendiculaire àl’axe i.

En utilisant l’équation 28, cette équation s’écrit en composantes:

(30)

Sous forme "matricielle", on a:

1

2

3 dF

dS

P

dF(3)

dF(2)

dF(1)

dF dF 1( ) dF 2( ) dF 3( )+ + + 0=

dFk σkidSii∑=

- 18 -

(31)

Remarques

• On omet généralement le signe Σ dans l’équation 30 en utilisant la convention d’Einstein dela somme sur le même indice figurant dans un produit.

• Les 6 composantes du tenseur des contraintes suffisent à décrire complètement l’état decontraintes en tout point: 3 composantes correspondent à des états de traction simple et 3 àdes états de cisaillement simple. En conséquence, tout état de contraintes peut être con-sidéré comme une superposition de tractions et de cisaillements simple.

• L’état de contraintes d’un corps ne dépend évidemment pas du système d’axes choisi. Enrevanche, la représentation du tenseur par ses composantes en dépend.

• Lorsque les contraintes tangentielles sont nulles et que σ11 = σ22 = σ33 = σ, la force ∆Fs’exerçant sur une surface ∆S d’orientation quelconque est normale à celle-ci. De plus, lacontrainte normale σn = ∆F/∆S est égale à σ, indépendamment de l’orientation de la sur-face. En hydrodynamique, cette propriété est connue sous le nom de principe de Pascal: σii= - p.

Exemple

Montrons par un exemple simple qu’il est possible de transformer un état de contraintes décritpar un cisaillement en un état de contraintes normales par simple rotation des axes.

Le solide de la figure 17.a est soumis à des force extérieures (non dessinées) telles que letenseur des contraintes en un point O est caractéristique d’un effort de cisaillement dans lesystème d’axes O12 choisi: équation 32.

Dans O123: (32)

dF1

dF2

dF3

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

dS1

dS2

dS3

=

σki

0 τ 0τ 0 00 0 0

=

AD

C BO

τ

τ

τ

τ1

2

τ

τ'

σ'A

BC

1

2

τh

h

(a) (b)

- 19 -

Figure 17

Le petit cube isolé autour de O, de côté h, subit donc les forces tangentielles de l’équation 32.Imaginons que l’on coupe le cube selon la diagonale AC et que l’on supprime la partie ADC:figure 17.b. Quelle force devrait-on appliquer sur la face AC pour maintenir l’équilibre ? Ennotant σ’ et τ’ les composantes normale et tangentielle sur la face AC, l’équilibre des forcespermet d’identifier ces composantes:

axe 1: et axe 2: (33)

On obtient donc τ’ = 0 et σ’ = τ.

De même, si l’on isolait la partie DAB, les force à appliquer sur la face BD seraient τ’’ = τ’ =0 et σ’’ = - σ’ = - τ.

En conclusion, pour le même corps soumis aux mêmes forces extérieures, une rotation desaxes de 45o conduit à l’expression des contraintes autour de O donnée à l’équation 34. O1’2’sont ainsi les axes principaux du tenseur des contraintes au point O.

Dans O1’2’3: (34)

Le corps n’a pas tourné; le système d’axes a tourné et les composantes du tenseur des con-traintes ont été modifiées (le petit cube de référence autour de O est matériellement différent).Ainsi, l’état de contraintes décrit par un cisaillement simple dans la représentation O12 estdécrit par une traction et une compression simple dans la représentation O1’2’: figure 18.

Figure 18

6. Tenseur des déformationsCette section a pour objectif de décrire les déformations relatives en tout point d’un solidedéformable.

Considérons un point P quelconque d’un corps déformable soumis à des forces extérieures

h2 τ τ ' 22------- 2– σ' 2

2------- 2– 0= h2 τ τ ' 2

2------- 2 σ' 22------- 2–+

0=

σki

τ 0 00 τ– 00 0 0

=

A’

D’

C’

B’ τ

τ τ

1

2

τ

2' 1’

- 20 -

telles que ΣFext = 0 et ΣM0ext = 0 (corps au repos). On observe des déformations du corps. SiP était repéré par le vecteur r (de composantes x1, x2, x3) dans un système d’axes O123 munid’une base e1e2e3 orthonormée, il est repéré par r’ (de composantes x1’, x2’, x3’) après ladéformation: figure 19.

Figure 19

Le déplacement de P au cours de la déformation est représenté par le vecteur déformation oudéplacement u, tel que:

(35)

Les coordonnées x’i étant évidemment fonctions des coordonnées xi, le vecteur u est aussifonction des xi, i.e. u = u(r). La connaissance de u en chaque r détermine complètement ladéformation du corps.

Au cours de la déformation du corps, les distances entre ses points varient. Soient P et Q deuxpoints infiniment voisins quelconques. Si les composantes dxi expriment le rayon-vecteur dlséparant ces points avant la déformation, elles deviennent dx’i = dxi + dui après: figure 19.

En utilisant la convention de sommation d’Einstein, les distances entre ces points avant etaprès déformation s’écrivent:

et (36)

Les points étant et restant infiniment voisins, on peut écrire . La longueur dl’s’écrit ainsi:

(37)

La sommation dans le second terme portant sur les deux indices i et k, on peut écrire:

(38)

1

2

3 r

r’ u(r)

PQ

Q’P’

dl

dl’

u(r + dl)

ui x'i xi–=

dl2 dxi2= dl'2 dx'i

2=

dui xk∂∂ui dxk=

dl'2 dl2 2 xk∂∂ui dxidxk xk∂

∂uixj∂

∂ui dxkdxj+ +=

xk∂∂ui dxidxk xi∂

∂ukdxidxk=

- 21 -

En invertissant les indices i et j dans le troisième terme, l’expression de dl’ s’écrit:

(39)

où εik est le tenseur des déformations du corps, défini en chaque point par:

(40)

Il résulte de sa définition que ce tenseur est symétrique: εik = εki.

Dans la plupart des cas, les déformations des corps sont petites. En conséquence, la variationdes distances dans le corps sont faibles en comparaison des distances elles-mêmes. Dans lasuite, nous supposerons de petites déformations; en conséquence, toutes les composantes dutenseur des déformations sont petites. Nous supposerons également que le vecteur déformationu est petit1. On pourra ainsi négliger dans la suite de ce chapitre le dernier terme de l’équation40 et écrire simplement:

(41)

Interprétation des termes ¹uk/¹xi

Tous les termes ¹uk/¹xi représentent une variation relative de longueur.

Imaginons un problème unidimensionnel pour interpréter ¹ui/¹xi: figure 20.

Figure 20

Soit deux points P et Q très voisins, distants de PQ = h1 avant la déformation et de P’Q’ = h’1après. En utilisant la relation:

, on obtient: (42)

¹ui/¹xi représente donc l’allongement spécifique noté, ε = ∆L/L dans la loi de Hooke.

Pour interpréter ¹uk/¹xi avec k ≠ i, considérons le cisaillement simple de la figure 21.

1. La flexion d’une barre mince représente une des exceptions: u est important alors que les déforma-tions au sein de la barre sont insignifiantes.

dl'2 dl2 2εikdxidxk+=

εik12--- xk∂

∂uixi∂

∂ukxi∂

∂ujxk∂

∂uj+ +

=

εik12--- xk∂

∂uixi∂

∂uk+

=

0 P(x1) P’ Q(x1 + h1) Q’

u(x1) u(x1 + h1)

i = 1

u1 x1 h1+( ) u1 x1( ) x1∂∂u1 h1+= x1∂

∂u1 h'1 h1–h1

------------------ ε11= =

- 22 -

Figure 21

La déformation au point P, décrite par u, s’écrit en composantes:

(43)

Seul l’élément ε23 est non nul et s’écrit:

= 1/2 angle de glissement. (44)

Les éléments non diagonaux du tenseur des déformations εik correspondent aux angles deglissement lors d’un cisaillement.

Remarques

• Un tenseur symétrique étant diagonalisable, il existe en chaque point du corps un systèmede coordonnées appelé axes principaux dans lequel les déformations se réduisent à desallongements spécifiques εii, i.e. εik = 0 si i ≠ k.

• Le lecteur observera que la somme des composantes diagonales du tenseur représente lavariation relative du volume du corps. Le calcul tensoriel permet de montrer que ce résultatest indépendant du systèmes d’axes.

• Toute déformation peut se décomposer en la somme d’un glissement (cisaillement) et d’unecompression.

γ2

γ3

2

3

u

P

P’

x2

x3γ2

γ3

u1 0 =u2 x3tgγ2 x3γ2≅ ≅

u3 x2tgγ3 x2γ3≅ ≅

ε2312--- x2∂

∂u3x3∂

∂u2+ 1

2--- γ2 γ3+( ) 12---γ= = =

- 23 -

7. Solide hookéen, loi de Hooke généraliséeL’expérience montre que les relations entre contraintes et déformations sont linéaires dans ledomaine élastique (Hooke, Poisson, compressibilité, cisaillement). L’expérience montre aussiqu’une déformation dans une direction donnée n’est pas forcément le résultat d’une contraintedans cette direction, mais qu’elle peut résulter d’une contrainte dans une autre direction.

Un solide hookéen est un solide qui obéit à la loi de Hooke, i.e. un corps dont le tenseur descontraintes est proportionnel au tenseur des déformations. Pour un tel solide, on peut ainsi écr-ire sa loi constitutive dans le cas général:

(45)

Lijkl est le tenseur des constantes (ou des modules) élastiques qui comprend 81 termes. En ten-ant compte de la symétrie des tenseurs des contraintes et des déformations, il se réduit à unmaximum de 21 composantes. Dans le cas isotrope, on montre qu’il reste deux coefficientsindépendants λ et µ, appelés coefficients de Lamé. La loi de Hooke s’écrit alors:

(46)

Rappel: εll signifie ε11 + ε22 + ε33

En combinant la loi de Hooke d’une traction simple (équation 4), la loi de Poisson (équation 5)et la loi du cisaillement simple (équation 14), on obtient les relations suivantes valables pourtout solide isotrope:

, , , et donc (47)

Ces relations permettent de récrire la loi de Hooke du solide isotrope:

(48)

Inversement, le tenseur des déformations en fonction du tenseur des contraintes s’écrit:

(49)

Le lecteur vérifiera que les cas particuliers de traction simple et de cisaillement simple se dédu-isent de ces deux dernières relations.

8. Fluide newtonien: relation contrainte-vitesse de déformationPour un fluide newtonien défini à la section 4.1, l’expérience montre que les relations entrecontraintes et vitesses de déformations sont linéaires. L’expérience montre aussi que la vitessede déformation dans une direction donnée n’est pas forcément le résultat d’une contrainte dansune autre direction. Pour un tel fluide, on peut ainsi écrire sa loi constitutive dans le cas

σij Lijklεkl=

σik λε llδik 2µεik+=

µ G= E µ 2µ 3λ+( )µ λ+----------------------------= λ 2νµ

1 2ν–---------------= G E2 1 ν+( )--------------------=

σikE

1 ν+------------ εikν

1 2ν–---------------εllδik+ =

εik1E--- 1 ν+( )σik νσllδik–[ ]=

- 24 -

général:

, avec (50)

L’indice ’ est introduit pour préciser que la contrainte est dynamique, et non pas statiquecomme celle intervenant dans la loi de Hooke généralisée (équation 45).

Les composantes Mijkl ont le sens physique de coefficients de viscosité. Dans le cas isotropedécrivant la plupart des fluides, on montre qu’il reste deux coefficients indépendants η et η∗ .La contrainte dynamique s’écrit alors:

(51)

Remarque

• Le second coefficient de viscosité η* est lié au coefficient η’ défini expérimentalement à lasection 4.1, équation 25, par η’ = η* +2η/3.

Lorsqu’un fluide visqueux isotrope est soumis à une compression uniforme (section 3.2, équa-tion 6) et à un cisaillement (section 4.1), sa loi constitutive générale s’écrit:

(52)

Remarques

• Si la dissipation d’énergie est négligeable lors d’une compression homogène, i.e. si la con-trainte normale moyenne est indépendante de la vitesse de déformation, on obtient une rela-tion entre les deux coefficients de viscosité: η* = - 2η/3. C’est une approximation souventutilisée.

• Le lecteur intéressé retrouvera les relations décrivant la compression uniforme (équation 6),le cisaillement simple (équation 22) et la compression uniforme d’un fluide visqueux (équa-tion 25) en les considérant comme des cas particuliers de la loi constitutive d’un fluide.

9. Ouvrages de référencesFung Y.C.A first course in continuum mechanicsPrentice-Hall, Englewood Cliffs 1977

Landau L., Lifchitz E.Theory of elasticityPergamon Press, New York 1981

Timoshenko S.P., Goodier J.N.Theory of elasticityMcGraw-Hill, New York 1987

σ'ij Mijklε·

kl= ε· kl tddεkl=

σ'ik 2ηε· ik η∗ ε· llδik+=

σik pδik– 2ηε· ik η∗ ε· llδik+ +=