MATHS TERMINALE S

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Ouvrage scolaire de mathématiques - Terminale S

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  • 1. Retour sur la construction des ensembles de nombres Construction de lensemble Lquation 1 0x + = nadmet pas de solution dans , on a donc construit un ensemble appel

    qui contient et dans lequel cette quation admet 1 comme solution.

    Construction de lensemble Lquation x2 1 0+ = nadmet pas de solution dans , on a donc construit un ensemble appel

    qui contient dans lequel cette quation admet ,0 5 comme solution.

    Construction de lensemble Lquation x 1 03 + = nadmet pas de solution dans , on a donc construit un ensemble appel

    qui contient dans lequel cette quation admet 31 comme solution.

    Construction de lensemble Lquation x 22 = nadmet pas de solution dans , on a donc construit un ensemble appel qui

    contient dans lequel cette quation admet 2 et 2 comme solutions.

    Ncessit dinventer un nouvel ensemble qui contient Lquation x 12 = nadmet pas de solution dans .

    Histoire des sciences

    En Italie : Il nexiste pas de rel dont le carr est ngatif et pourtant ds le XVIIIe sicle, les algbristes italiens dont Cardan, nhsitent pas utiliser la notation a lorsque a est un nombre rel strictement positif. Ils se rendent compte que lextraction de la racine carre dans le cas dun nombre ngatif est impossible. Pour manipuler ces nouveaux nombres quils appellent nombres impossibles ; ils dfi nissent des rgles de calcul prolongeant les rgles de calcul dfi nies sur .En France : Au dbut du XVIIe sicle, on doit Descartes (1637) lappellation nombres imaginaires .En Allemagne : Au XIXe sicle, Gauss, les nomme les nombres complexes .En Suisse : Au dbut du XVIIIe sicle, Euler dclare que la notation 1 est absurde car elle conduit une contraction :

    ( ) 11 2 = par dfi nition ;) ( 1) 1( 1 1 1 2 2#= = = en appliquant les proprits sur les racines

    carres. Euler introduit donc la notation i en 1777 qui dsigne le nombre vrifi ant i2 1= .

    Sachant que i 12 = et en utilisant les rgles de calcul dfi nie sur , rsoudre les quations donnes.

    1. a. z 12 = .

    b. z 42 = .

    2. a. Montrer que 2 2 ( 1) 1z z z 2 2+ += .

    b. En dduire les solutions de lquation z z2 2 02 + = .

    3. En utilisant une mthode analogue, rsoudre lquation z z4 13 02 + = .

    dcouverte

    54

  • 2. Un premier lien entre les complexes et la gomtrie Premire interprtation gomtrique des nombres complexes (du mathmaticien franais du XVIIIe sicle Argand)

    Un nombre complexe x iy+ est reli un point du plan de coordonnes cartsiennes ( , )x y dans

    un repre orthonorm direct ;

    Les rels sont les points de coordonnes cartsiennes ( , )x 0 .

    On dfi nit une addition de deux points en utilisant la rgle de paralllogramme :

    Si M et M ont pour coordonnes cartsiennes respectives ( , )x y et , )y(x alors le point MM +=M admet pour coordonnes cartsiennes , )y y+(x x+ .

    On dfi nit un produit de deux points en utilisant les coordonnes polaires :

    Si M et M ont pour coordonnes polaires respectives ( , )r i et ), i(r alors le point MM +=M admet pour coordonnes polaires ), +i i(rr .

    Passage de ( , )x y ( , )r i et rciproquement

    Coordonnes de dpart

    On dtermine On dtermineCoordonnes darrive

    Polaires ( , )r iLa valeur de x sachant que cosx r i=

    La valeur de y sachant que sinx r i= Cartsiennes ( , )yx

    Cartsiennes ( , )x yLa valeur de r sachant que r x y2 2= +

    La valeur de i sachant

    que cos

    sin

    rx

    ry

    i

    i

    =

    =

    * Polaires ( , )r iEn utilisant la mthode dArgand, rpondre aux questions suivantes :

    1. Le produit de deux rels est-il un rel ?

    Considrons deux points M et M de coordonnes cartsiennes respectives ( , )a 0 et , 0)( a .Dterminer les coordonnes polaires des points M et M quanda. a 02 et 02a ;b. a 02 et 01a ;c. a 01 et 02a ;d. a 01 et 01a .Dans chacun des cas, donner les coordonnes polaires du produit M M= #M et en dduire les coordonnes cartsiennes de M . Que peut-on rpondre la question ?

    2. Peut-on dire que i 12 = ?

    Le complexe i (not 1 lpoque dArgand) est associ au point J de coordonnes cartsiennes

    ( , )0 1 . Dterminer les coordonnes cartsiennes de J J# et rpondre la question.

    dcouverte

    555. Xxxxxxxx : xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx - xxxxxxxxxxxxxxxx

  • 3. La mthode dArgand est-elle compatible avec les rgles de calcul prolongeant ?

    a. Sachant que i 12 = et en respectant les rgles de calcul de , montrer que

    )iy+( )( x iy x+ )yx+ (i xy+ yy xx= .b. Considrons les points M et M de coordonnes polaires respectives ( , )r i et ), i(r ,

    dterminer les coordonnes cartsiennes ); y (x du produit M=M M# .c. Donner les coordonnes cartsiennes ( ; )x y et ); y(x des points M et M dont les

    coordonnes polaires sont ( , )r i et ), i(r .d. A-t-on yyxx= x et yx+ xy= y ?

    Rpondre la question pose dans le titre de ce paragraphe.

    3. TICE Les ensembles de pointsLe plan est rapport un repre orthonormal direct ( ; , )O i j . Soit f lapplication qui tout point

    M du plan de coordonnes ( ; )x y avec ( ; ) (0 ; 0)x y ! associe le point M de coordonnes ); y(x

    tel que =xx y

    x32 2+

    et =x y

    yy3

    2 2+ avec ( ; ) (0 ; 0)x y ! .

    1. En utilisant un logiciel de gomtrie dynamique, donner une conjecture aux questions poses.

    2. Quelle est limage du cercle C de centre O et de rayon 2 par f ?

    3. Quelle est limage du cercle C de centre ( ; )A 1 1 et de rayon 2 par f ?4. Quelle est limage de la droite (d) dquation 1y x += par f ?

    5. Quelle est limage par f dune droite (d ) passant par le point O ?

    dcouverte

    56

  • Avec Goplan

    Cration dobjets gomtriques

    Crer un point libre dans le plan ;

    Crer (numrique, calcul gomtrique) x et y abscisse et ordonne de M ;

    Crer (numrique, calcul algbrique) x y

    x32 2+

    nomm x , x y

    y32 2+

    nomm y ;

    Crer M point repr, de coordonnes ), y (x . Crer un point repr dans le plan.

    Image dun cercle

    Crer une ligne cercle dfi nie par centre et rayon ;

    Crer un point libre sur un cercle : M ;

    Faire un clic-gauche sur le point libre M pour obtenir une main qui permet de dplacer le point M sur le cercle.

    Affi cher slection trace, choisir M ;Licne TT apparat et permet dobtenir la trace laisse par le point M .

    Image dune droite

    Crer une ligne droite dfi nie par une quation ;

    Redfi nir le point M : Crer un point libre sur la droite (d).

    Affi cher slection trace, choisir M ;Licne TT apparat et permet dobtenir la trace laisse par le point M .

    Image dune droite mobile

    Crer numrique variable libre note a

    Crer une ligne droite dfi nie par une quation Y aX= ;

    Redfi nir le point M ;

    Piloter au clavier slectionner a . (En utilisant les fl ches du clavier on fait varier a donc (d ).)

    dcouverte

    575. Xxxxxxxx : xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx - xxxxxxxxxxxxxxxx