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Mathématiques - spécialité en Terminale ESTrois domaines sont abordés dans l’enseignement de spécialité : deux d’entre eux (suites etgéométrie dans l’espace) prolongent directement le travail commencé en classe de première ; lesparagraphes qui suivent expliquent le choix du troisième domaine et de la méthode de travailproposée.Une ouverture sur la théorie des graphes.Ce choix est cohérent tant avec le programme de la classe antérieure qu’avec les exigences deformation ultérieure : on trouve en effet ici quelques applications intéressantes du calcul matricieldéveloppé dans l’option de première ES ; par ailleurs les problèmes résolus constituent unepremière approche - volontairement modeste - de situations complexes (d’ordonnancement, degestions de flux,…) auxquelles de nombreux élèves seront par la suite confrontés. Ce programme,en s’ouvrant sur la théorie des graphes, conduit à de nouveaux modes de pensée et permet unnouveau regard mathématique sur diverses situations. Enfin le travail fait sur les graphes peut êtrerepris en TPE (problèmes de flots maximum, d’ordonnancement, etc.).Un travail axé sur la seule résolution de problèmes.Il n’est pas question de retomber dans les pièges du langage ensembliste des années 1970 : touteprésentation magistrale ou théorique des graphes serait contraire au choix fait ici. L’essentiel dutravail réside dans la résolution de problèmes : résolution à l’initiative des élèves, avec ses essais ettâtonnements, ses hésitations pour le choix de la représentation en terme de graphe (quels objetsdeviennent arêtes ? lesquels deviennent sommets ?), la recherche d’une solution et d’unraisonnement pour conclure.On trouvera dans le document d’accompagnement une liste d’exemples, sans caractère normatif,couvrant largement le programme et illustrant le type de travail attendu ; chaque exemple est suivid’une liste de contenus (termes ou propriétés) que celui-ci permet d’aborder ; un lexique en fin dece document reprend la totalité des termes et propriétés ainsi introduits. L’optique première étant larésolution de problèmes, on insistera plus sur le bon usage des mots que sur leur définition formelle.L’intérêt du lexique est de bien marquer des limites à ce qui est proposé : toute notion relative à lathéorie des graphes qui ne correspond pas à l’un des termes du lexique est en dehors du programme.

Répartition horaire approximative : graphes : 40 % ;suites : 35 % ;géométrie dans l’espace : 25 %

Contenus Modalités de mise en œuvre CommentairesRésolution de problèmes àl’aide de graphes

Résolution de problèmes conduisant àla modélisation d’une situation par ungraphe orienté ou non, éventuellementétiqueté ou pondéré et dont la solutionest associée :- au coloriage d’un graphe,- à la recherche du nombre chromatique,- à l’existence d’une chaîne ou d’uncycle eulérien,- à la recherche d’une plus courtechaîne d’un graphe pondéré ou non,- à la caractérisation des mots reconnuspar un graphe étiqueté et,réciproquement, à la construction d’ungraphe étiqueté reconnaissant unefamille de mots.

Les problèmes proposés mettront en jeudes graphes simples, la résolutionpouvant le plus souvent être faite sansrecours à des algorithmes.On présentera simplement unalgorithme de coloriage des graphes etun algorithme de recherche de pluscourte chaîne.

Il s’agit d’un enseignemententièrement fondé sur la résolutionde problèmes. L’objectif est de savoirmodéliser des situations par des grapheset d’identifier en terme de propriétés degraphes la question à résoudre.Ces algorithmes seront présentés dansles documents d’accompagnement et onrestera très modeste quant à leursconditions de mise en œuvre.On pourra montrer sur un exemple enquoi la complexité de certainsproblèmes rend nécessaire la mise enplace d’algorithmes de résolution.

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- à la recherche d’un état stable d’ungraphe à 2 ou 3 sommets pondéré pardes probabilités.

Vocabulaire élémentaire des graphes :sommets, sommets adjacents, arêtes,degré d’un sommet, ordre d’un graphe,chaîne, longueur d’une chaîne, graphecomplet, distance entre deux sommets,diamètre, sous-graphe stable, grapheconnexe, nombre chromatique, chaîneeulérienne ; matrice associée à ungraphe ; matrice de transition pour ungraphe pondéré par des probabilités.

Les termes seront introduits àl’occasion de résolution de problèmeset ne feront pas l’objet d’une définitionformelle, sauf lorsque cette définitionest simple et courte (degré d’unsommet, ordre d’un graphe parexemple).

Les élèves devront savoir utiliser à bonescient le vocabulaire élémentaire desgraphes, vocabulaire qui sera réduit auminimum nécessaire à la résolution desproblèmes constituant l’enseignementde cette partie.

Résultats élémentaires sur les graphes :- lien entre la somme des degrés dessommets et le nombres d’arêtes d’ungraphe.- conditions d’existence de chaînes etcycles euleriens ;- exemples de convergence pour desgraphes à deux sommets pondéré pardes probabilités.

On pourra, dans des cas élémentaires,interpréter les termes de la puissance n-ème de la matrice associée à un graphe.

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Complément sur les suitesSuites monotones, majorées, minorées,bornées.Suites convergentes.

On choisira des exemples permettantd’introduire le vocabulaire usuel dessuites. On s’appuiera sur un traitementtant numérique (avec outils de calcul :calculatrice ou ordinateur) quegraphique ou algébrique.

On fera comprendre, sans en donner dedéfinition formelle, les notions de suiteconvergente et de suite tendant vers +∞ou -∞ ; on étudiera ainsi lecomportement asymptotique des suitesgéométriques et des suitesarithmétiques ainsi que des sommespartielles de ces suites.

On introduira quelques exemples desuites finies, dont on demandera un ouplusieurs prolongements "logiques"(c’est-à-dire définis par une relation dutype un+1 = f(un), ou du type un = f(n).

On gardera en terminale la démarcheexpérimentale adoptée en première pourles suites, en particulier pour aborder lanotion de convergence. On évitera toutformalisme inutile, sans pour autantsacrifier la rigueur du raisonnement ; onutilisera le raisonnement par récurrencedans les situations où il est nécessaire.On pourra, utiliser les règles opératoiressur les limites vues en classe depremière pour les fonctions.On s’appuiera sur la calculatrice ou unereprésentation graphique adaptée pourconjecturer le comportement global ouasymptotique de chacune des suitesétudiées.

On soulignera l’entraînement auraisonnement inductif et la mise en jeudes capacités d’invention que larecherche de tels exemples implique.

Exemples de suites vérifiant unerelation de récurrence du type un+1 = aun + b.

Sur des exemples, on étudiera lecomportement global et asymptotiquede suites de ce type ; le cas échéant, onintroduira la suite géométriqueassociée.

Exemples de suites vérifiant unerelation de récurrence du type un+2 = aun+1 + b un.

On traitera des situations conduisant àdes suites définies par une relation derécurrence linéaire d’ordre deux :l’objectif est avant tout de manipulerces suites et de calculer les premierstermes à la main, à la calculatrice ouavec un tableur.

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Géométrie dans l’espace

Exemples de problèmes mettant en jeu deséquations de plans ou de droites de l’espace.

L’objectif de ce paragraphe est depoursuivre en terminale le travailcommencé en première sur ce thème.On admettra comme en classe depremière que, pour (a,b,c) ≠(0,0,0),ax+by+cz+d = 0 est l’équation d’unplan.

Représentation et lecture de courbes deniveau.

On travaillera des exemples simplesutilisant des fonctions de deux variablesconstruites à partir des différentes fonctionsétudiées en première et terminale. Onutilisera des logiciels pour visualiser lessurfaces et les courbes de niveauapparaîtront comme des sections de cessurfaces par des plans parallèles à l’un destrois plans de base.

En les projetant sur un plan decoordonnées, on pourra associer lescourbes de niveau à l’étude de famillesde fonctions à une variable dépendantd’un paramètre (isoquants, isocoûts,…); on exploitera en particulier desfonctions fréquemment utilisées enéconomie.

Exemples d’optimisation de fonctions à deuxvariables sous contrainte linéaire.

En écrivant la contrainte sous la formey = mx+p ou x = m’y+p’, on rechercherades extremums d’une nouvelle fonction nedépendant que d’une variable.