Mathématiques pour le BTS Systèmes Numériques · Mathématiques pour le BTS Systèmes...
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Mathématiques pour le BTS Systèmes Numériques
3-4 juin 2015, Télécom ParisTech Karim Zayana, IGEN
1
1. Des séries de Fourier à la TFD et à la Transformée de Fourier. Analyse spectrale.
Convolution(s). 2. Des signaux périodiques partout. Quelques expériences musicales. 3. Intentions du programme, du temps continu au temps discret : Laplace/Z/TFD.
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
𝑡
𝑇 = 𝑛𝑇𝑒
𝑠 t Spectre/Densité spectrale d’amplitude
1
𝑇 −
1
𝑇
𝑐0
𝑐1
𝑐2 𝑐3
𝑐4
𝑐−1 𝑇𝑒
𝑐𝑘 =1
𝑇 𝑠 𝑡 𝑒−i2𝜋𝑘
𝑡𝑇𝑑𝑡
[𝑇]
=1
𝑇 𝑠 𝑡 𝑒−i2𝜋𝑘
𝑡𝑇𝑑𝑡
𝑇
0
≅𝑇𝑒𝑇 𝑠 𝑙𝑇𝑒
𝑛−1
𝑙=0
𝑒−i2𝜋𝑘𝑙𝑇𝑒𝑇 =1
𝑛 𝑠 𝑙𝑇𝑒
𝑛−1
𝑙=0
𝑤−𝑘.𝑙 =1
𝑛𝑠𝑘 avec 𝑤 = 𝑒
𝐢2𝜋𝑛
𝑠𝑘 ≅∝ 𝑐𝑘 pour 2𝑘𝜋𝑡𝑇𝑒
𝑇≪ 1, soit 𝑘 ≪ 𝑛
𝑠𝑛−𝑘 = 𝑠𝑘 ∗
𝑓
𝑇𝐹𝐷 𝑛 = 8
𝑠0
𝑠−1 𝑠1 𝑠2
𝑠3 𝑠4 𝑠5
𝑠6 𝑠7
𝑠8
𝑠9
𝑇𝐹𝐷: 𝑠𝑘 0≤𝑘≤𝑛−1 ↪ 𝑠𝑘 0≤𝑘≤𝑛−1 voire(1) 𝑠𝑘 𝑘∈ℤ avec 𝑠𝑘 = 𝑠𝑘
𝑛−1𝑙=0 𝑤
−𝑘.𝑙 (1) 𝑠𝑘+𝑛 = 𝑠𝑘
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑘cos2𝑘𝜋𝑡
𝑇+ 𝜙𝑘
𝑘∈ℕ
= 𝑐𝑘𝑒𝐢2𝑘𝜋𝑡𝑇
𝑘∈ℤ
2
𝑇 3
𝑇 4
𝑇 𝑓
Transposition/filtrage + unités de 𝑠 (V, Pa,m)
−1
𝑇
1
𝑇 2
𝑇 3
𝑇 4
𝑇 5
𝑇 6
𝑇
7
𝑇
8
𝑇 9
𝑇
Miracle 1
Miracle 2 aux conditions de Shannon
Théorie
3 Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
Pratique
Période 𝑇 inconnue. De plus : il y en a une infinité. Observer sur 𝑇𝑜𝑏𝑠 ≫ 𝑇
𝑡 𝑇 2𝑇 3𝑇 4𝑇 0 𝑇𝑜𝑏𝑠
erreur relative plus petite
𝑠 𝑡 = sin 2𝜋 ∗ 40𝑡 + cos 2𝜋 ∗ 90𝑡 𝑇1 = 0.025 s 𝑇2 = 0.0111 s
𝑇 = 0.1 s
Tobs = 0.25; Fe=400.0; Te=1/Fe; time=0.0:Te:Tobs-Te; n=size(time,'c'); s=sin(2*%pi*40*time)+cos(2*%pi*90*time); S=abs(fft(s)); frequency=(0:1:n-1)*Fe/n; plot(frequency(1:n),S(1:n),'bx'); Tobs = 0.1;
Avec zero padding
T\Tobs Te\Tobs
Tobs≠T=0.1 s, Tobs>T Shannon Te\Tobs
hauteurs / aires
4
Pratique
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
𝑡
𝑇
𝑠 t
𝑓 =𝑓
d𝑓d𝑓
Densité spectrale d’amplitude, 𝑆 𝑓
𝑡
𝑓
Densité spectrale d’amplitude, 𝑆 𝑓
1/𝑇 2/𝑇 3/𝑇 4/𝑇 −1/𝑇
𝑐0
𝑐1 𝑐2 𝑐3
𝑐4
𝑐−1
Largeur : 1/𝑇 Hauteur : 𝑠 𝑡
𝑇2
−𝑇2
𝑒−𝐢𝑘2𝜋𝑡/𝑇d𝑡
𝑇 ≅ +∞
Largeur : 1/𝑇 = d𝑓
Hauteur :
1
2𝜋 𝑠 𝑡+∞
−∞𝑒−𝐢2𝜋𝑓𝑡d𝑡 = 𝑆 𝑓
𝑠 𝑡 = 𝑐𝑘𝑒𝐢𝑘2𝜋𝑡/𝑇
𝑘∈ℤ
= 𝑆 𝑘d𝑓 d𝑓𝑒𝐢𝑘d𝑓𝑡
𝑘∈ℤ
= 𝑆 𝑓 𝑒𝐢2𝜋𝑓𝑡d𝑓+∞
−∞
𝑐𝑘
Aire = 𝑐𝑘
𝑠 𝑡 = 𝑐𝑘𝑒𝐢𝑘2𝜋𝑡/𝑇
𝑘∈ℤ
5
Convolution apériodique
(𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1 ) ∗ ℎ0, ℎ1, ℎ2 = 𝑦0, 𝑦1, … , 𝑦𝑛−1 avec 𝑦𝑘 = 𝑥𝑖ℎ𝑗𝑖+𝑗=𝑘
𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛−1 0 0
ℎ0 ℎ1 ℎ2 ℎ0 ℎ1 ℎ2 ℎ0 ℎ1 ℎ2
𝑦0 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦𝑛−2 𝑦𝑛−1
0 0
Convolution périodique
(𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1 )⨂ ℎ0, ℎ1, ℎ2 = 𝑧0, 𝑧1, … , 𝑧𝑛−1 avec 𝑧𝑘 = 𝑥𝑖ℎ𝑗𝑖(𝑛)+𝑗≡𝑘
𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2
ℎ0 ℎ1 ℎ2 ℎ0 ℎ1 ℎ2 ℎ0 ℎ1 ℎ2
𝑧0 𝑧1 𝑦2 𝑦3 𝑦𝑛−2 𝑦𝑛−1
𝑥0 𝑥1
Équations récurrentes (filtrages / commandes numériques)
𝑧𝑘 0≤𝑘≤𝑛−1 = 𝑇𝐹𝐷 𝑥𝑘 0≤𝑘≤𝑛−1⨂ ℎ0, ℎ1, ℎ2 , 0, … , 0
𝑥1 𝑥0 𝑥2 𝑥𝑛−1
ℎ0 ℎ1 ℎ2
𝑥𝑛−2
𝑧0
𝑻𝑭𝑫−𝟏 𝑻𝑭𝑫−𝟏
Overlap and save
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
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Phénomènes périodiques : naturels (planètes, lumière, sons) ou artificiels (ondes Hertziennes, signal d’horloge).
𝑠 𝑇 − périodique se décompose en série de Fourier (Bessel, Dirichlet) :
Ω =2𝜋
𝑇 pulsation fondamentale
𝑠 𝑡 = 𝐴𝑘cos 𝑘Ω𝑡 + 𝜙𝑘𝑘∈ℕ
= 𝑐𝑘𝑒𝐢𝑘Ω𝑡
𝑘∈ℤ
𝑐𝑘 =1
𝑇 𝑠 𝑡𝑇
2
−𝑇
2
𝑒−𝐢𝑘Ω𝑡d𝑡 = 𝑐−𝑘∗
Ω 𝑇
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
7 7
réflexion réflexion
Élongation transversale
𝑡1
𝑡2
𝑡3
ℓ ℎ
𝑡
𝑡1
𝑡2
𝑡3
ℎ
𝑇 =2ℓ
𝑐 𝑐 = 𝐹 tension,masse volumique
(+toucher, +ouie)
𝑡
𝑡
𝑇 , Ω
𝑇
2, 2Ω
𝑇
3, 3Ω
𝑡
ℓ
ℓ
ℓ
Élongation transversale, fondamentale
Élongation transversale, harmonique de rang 2
Élongation transversale, harmonique de rang 3
fuseau
3 fuseaux
noeud
noeud
ven
tre
Mode propre n°1
Mode propre n°2
Mode propre n°3 Onde progressive
Onde progressive
Onde stationnaire
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
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𝜔
Spectre d’amplitude d’un DO MI
Ω 2Ω 3Ω 4Ω DO2 MI2 octave
5Ω 6Ω 7Ω DO3 MI3
SOL 2 SI 2 3
2Ω , quinte pure, SOL, SI
MI 3 SOL3 5
4Ω, tierce pure, MI, SOL
SI b 3 RE 3 7
4Ω , septième (mineure) pure, SI b, RE
SOL3 SI3
MI à vide
MI3 à vide
ℓ
2
3ℓ
Accord parfait majeur
Résonance par sympathie
Jeu d’harmoniques (main G posée vs effleure) DO
SOL
RE
LA
MI
SI FA# DO#
SOL#
RE#
LA#
MI#
SI# 312 ≅ 219 ⇒ gamme de 12 notes
Pseudo-cycle des quintes Pythagoriciennes. Vers une gamme chromatique tempérée.
SI3 (posé), SI4 (effleuré)
−Ω
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
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IRIS + SE SN . Options IR et EC. Rénovation confiée au groupe des SI. En vigueur à la rentrée 2014.
118 établissements + CFA publics ou privés.
Mathématiques : accompagner cette mue, numérique vs analogique. Dans cet esprit : - Conserver les suites. - Transformée de Laplace Transformée en Z. - Transformée de Fourier Transformée de Fourier Discrète. - Équations différentielles à minima.
Effet simplificateur. Exemple que soulevait la transformée de Laplace - Système linéaire invariant : 𝑦′′ + 2 𝑦 = 𝑥′ + 𝑥 , 𝑡 ≥ 0.
- 𝐿 𝑦′ = 𝑝. 𝐿 𝑦 . IPP : 𝑦′ 𝑡 . 𝑒−𝑝𝑡d𝑡+∞
0.
- Condition initiale : 𝑦(0). - En pratique : 𝑥 = 𝐻 et 𝑦 = réponse indicielle
output input
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
10
𝑡 1
𝑛
1
𝐻 ≅
𝑡 1
𝑛
𝑛
𝐻′ ≅ 𝛿
𝐿 𝐻′ ≅ 𝑛. 𝑒−𝑝𝑡1
𝑛0
d𝑡 = 1
Or, 𝐿 𝐻 = 1. 𝑒−𝑝𝑡d𝑡+∞
0= 1
𝑝
On vérifie : 𝑳 𝑯′ = 𝒑. 𝑳 𝑯 −𝑯 𝟎− On contrôle également : 𝒑. 𝑳 𝑯
+∞𝑯 𝟎+
𝒑. 𝑳 𝑯𝟎+𝑯 +∞
En poursuivant (saut remplacé par une pente forte), on a : 𝐿 𝛿 ′ = 𝑝 𝐿 𝛿 ′′ = 𝑝2, etc.
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
0
1
1
Théorème valeur initiale
Théorème valeur finale
𝛿
=
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En temps discret, difficultés qui disparaissent après transformation TC-TD
Méthode 1 : approximation d’Euler.
𝑥′ 𝑘𝑇𝑒 ≅1
𝑇𝑒𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
𝑥′′ 𝑘𝑇𝑒 ≅1
𝑇𝑒𝑥′𝑘 − 𝑥
′𝑘−1 ≅
1
𝑇𝑒2 𝑥𝑘 − 2𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−2
𝑥 𝑝 𝑘𝑇𝑒 ≅1
𝑇𝑒1 − 𝑍−1
𝑝
• 𝑥 𝑘𝑇𝑒
Méthode 2 : approximation bilinéaire.
𝑥′ 𝑘 − 1 𝑇𝑒 ≅1
𝑇𝑒𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 𝐸2
𝑥′ 𝑘𝑇𝑒 + 𝑥′ 𝑘 − 1 𝑇𝑒 ≅2
𝑇𝑒𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 𝐸1 + 𝐸2
1 + 𝑍−1 • 𝑥′ 𝑘𝑇𝑒 ≅2
𝑇𝑒1 − 𝑍−1 • 𝑥 𝑘𝑇𝑒
1 + 𝑍−1 𝑝 • 𝑥 𝑝 𝑘𝑇𝑒 ≅2
𝑇𝑒1 − 𝑍−1
𝑝
• 𝑥 𝑘𝑇𝑒
𝑥 𝑡 𝑇𝑒
𝑥 𝑘𝑇𝑒 = 𝑥𝑘 résulte d‘un échantillonnage au rythme 𝑇𝑒
𝐸1
𝑍−1: 𝑓 → 𝑡 → 𝑓 𝑡 − 𝑇𝑒
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
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Transformation Temps Continu –Temps Discret sur 𝑦′′ + 2𝑚 𝜔0𝑦′ + 𝜔02𝑦 = 𝜔0
2𝑥 avec 𝑦′ 0− = 𝑦 0− = 0.
Méthode 1 : approximation d’Euler, équation aux différences finies n°1.
1
𝑇𝑒1 − 𝑍−1
2
• 𝑦 + 2𝑚 𝜔01
𝑇𝑒1 − 𝑍−1 • 𝑦 + 𝜔0
2𝑦 = 𝜔02𝑥
𝜔02𝑇𝑒2 + 2𝑚𝜔0𝑇𝑒 + 1 𝑦𝑘 − 2 𝑚𝜔0 + 1 𝑦𝑘−1 − 𝑦𝑘−2 = 𝜔0
2𝑇𝑒2𝑥𝑘
Méthode 2 : approximation bilinéaire, équation aux différences finies n°2.
1 + 𝑍−1 2 • 𝑦′′ + 2𝑚 𝜔0 1 + 𝑍−1 2 • 𝑦′
+𝜔02 1 + 𝑍−1 2 • 𝑦 = 𝜔0
2 1 + 𝑍−1 2 • 𝑥
2
𝑇𝑒1 − 𝑍−1
2
• 𝑦 + 2𝑚𝜔0 1 + 𝑍−12
𝑇𝑒1 − 𝑍−1 • 𝑦
+𝜔02 1 + 𝑍−1 2 • 𝑦 = 𝜔0
2 1 + 𝑍−1 2 • 𝑥
𝜔02𝑇𝑒2 + 4𝑚𝜔0𝑇𝑒 + 4 𝑦𝑘 − 2 4 − 𝜔0
2𝑇𝑒2 𝑦𝑘−1
+ 4 − 4𝑚𝜔0𝑇𝑒 + 𝜔02𝑇𝑒2 𝑦𝑘−2
= 𝜔02𝑇𝑒2 𝑥𝑘 + 2𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−2
𝑝 ↔1
𝑇𝑒1 − 𝑍−1
𝑝 ↔2
𝑇𝑒
1 − 𝑍−1
1 + 𝑍−1
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
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Transformation Temps Continu –Temps Discret : application numérique 𝜔0 = 100𝜋 rad. 𝑠
−1 𝑚 = 0.1 𝑇𝑒 = 2. 10−3𝑠 𝑥 𝑡 = cos 2𝑡 , 𝑡 > 0
𝑦′′ + 2𝑚 𝜔0𝑦′ + 𝜔02𝑦 = 𝜔0
2𝑥
Méthode 1 : approximation d’Euler.
𝑦𝑘 = 1.39805𝑦𝑘−1 − 0.65770𝑦𝑘−2 + 0.25965𝑥𝑘
Méthode 2 : approximation bilinéaire. 𝑦𝑘 = 1.55193𝑦𝑘−1 − 0.89181𝑦𝑘−2 + 0.084971 𝑥𝑘 + 2𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−2
ode:=diff(y(t),t$2)+2*m*w0*diff(y(t),t)+w0^2*y(t)=w0^2*cos(2*t); dsolve({ode,y(0)=0,D(y)(0)=0},y(t)); h:=rhs(%);y:=unapply(h,'t'); plot(y(t),t=0..Tobs,color = black):
x:=array[-2..Tobs/Te]:y1:=array[-2..Tobs/Te]: for k from -2 to -1 do x[k]:=0;y1[k]:=0;y2[k]:=0; od: for k from 0 to Tobs/Te do x[k]:=cos(2*k*Te); od: for k from 0 to Tobs/Te do y1[k]:=1.39805*y1[k-1]-0.65770*y1[k-2]+0.25965*x[k]; od: for k from 0 to Tobs/Te do y2[k]:=1.55193*y2[k-1]-0.89181*y2[k-2]+0.084971*(x[k]+2*x[k-1]+x[k-2]); od: plot([seq([k*Te,y1[k]],k=0..Tobs/Te)],color=green): plot([seq([k*Te,y2[k]],k=0..Tobs/Te)],color=blue):
Réponse exacte, temps continu
Réponse approchée n°1, temps discret
Réponse approchée n°2, temps discret
En vérité : valeurs en 0-
Régime transitoire
Régime établi
Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD
14 Fourier(s) Musique Laplace/Z/TFD