MATHÉMATIQUE 306

CHAPITRE 1

LES NOMBRES RÉELS

NOM : ____________________________

GROUPE:_______

École Leblanc

2019-2020

2

1. Les ensembles de nombres Nombre : exprimé à l’aide d’un ou de plusieurs chiffres, un nombre est un concept

mathématique servant à compter, évaluer, mesurer, comparer ou ordonner des grandeurs.

1.1 Ensembles, symboles et définitions

Ensemble de nombres et

symbole

Définition Notation décimale

Nombres naturels

________

Nombres qui servent à dénombrer (à compter) :

ℕ = {0,1,2,3,4, … }

**Entiers positifs

La partie décimale des nombres naturels et des nombres entiers est nulle. Nombres entiers

________

Nombres naturels et leurs opposés :

ℤ = {… , −2, −1,0,1,2, … }

**Entiers positifs et négatifs

Nombres décimaux

________

Nombres qu’on peut écrire sous forme de fraction (quotient de deux nombres entiers), mais qui ont une partie décimale finie lorsqu’on les écrit en notation décimale.

La partie décimale est finie.

Exemples : a) 5

2= 2,5

b) 13

20= 0,65

Nombres rationnels

________

Nombres qu’on peut écrire sous forme de fraction (quotient de deux nombres entiers) : 𝑎

𝑏 où 𝑎 ∈ ℤ 𝑒𝑡 𝑏 ∈ ℤ∗

Les nombres rationnels écrits en notation décimale comportent une période. Exemples :

a) 1

30= 0,0333 … = 0,03̅

b) 31

24= 1,291666 … = 1,2916̅

Nombres irrationnels

________

Nombres qu’on ne peut pas écrire sous forme de fraction.

Les nombres irrationnels possèdent une suite de décimales infinie et non-périodique. On ne peut pas les représenter de façon précise à l’aide de la notation décimale. On utilise des symboles pour les représenter.

Exemples : 𝜋 = 3,14159 …

√5 = 2,23606 …

Nombres réels

_______

Ensemble qui correspond à l’union des nombres rationnels et des nombres irrationnels.

3

Symbole et signification

Exemple

∈

Est élément de

14 ∈ ℕ

Le nombre 14 est élément (fait partie) de l’ensemble des naturels.

∉

N’est pas élément

de

3

4∉ ℤ

Le nombre 3

4 n’est pas élément (ne fait pas partie) de l’ensemble des

entiers.

+ Positif

ℝ+

Tous les nombres réels positifs.

- Négatif

ℝ−

Tous les nombres réels négatifs.

* Non nul

ℕ∗

Tous les nombres naturels sauf 0.

′ Est complément de

ℚ′

Tous les éléments qui n’appartiennent pas à l’ensemble des rationnels.

4

Exercice : Place les nombres suivants dans le diagramme ci-dessous.

2 𝜋 7,99 1

2 -0,333… -5 1 245

2

3 −√36 0,125786…

539 2

9 0,9 −

5

8 0,000 2 −√3 -1 999 √5 6, 7̅

ℕ ℤ

ℚ ℚ′ D ℝ

5

2. La notation exponentielle et les lois des exposants 2.1 Notation exponentielle La notation exponentielle est la représentation d’un nombre réel à l’aide d’exposants suite à une décomposition de ce nombre en facteurs.

𝐵𝑎𝑠𝑒𝑒𝑥𝑝𝑜𝑠𝑎𝑛𝑡 = 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 (𝑟é𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡 𝑑𝑒 𝑙′𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛) L’exposant indique le nombre de fois qu’une base est multipliée par elle-même.

Exemple : 73 = 7 × 7 × 7 = 343

Tout comme on compresse l’opération d’addition répétée par la multiplication, nous pouvons compresser l’opération de multiplication répétée par l’exponentiation. Exemples :

a) 3+3+3+3+3 = ______________

b) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = ___________

Exercices :

1) Complète le tableau suivant.

Base Exposant Puissance

26

-26

(-2)6

2) Écris ces valeurs sous forme exponentielle.

a) 4 4 4 4 = __________

b) (-5) (-5) (-5) (-5) (-5) (-5) = _________

c) -3 3 = ___________

6

2.2 Lois des exposants 1. Une base affectée de l’exposant 1 a pour puissance sa propre valeur.

Exemple : 41 = ________ 2. Une base affectée de l’exposant 0 a pour puissance 1, sauf si la base est 0.

Exemples : 40 = ________ (-3)0 = ________ 00 = ________ -30 = ________ 3. Une base affectée d’un exposant négatif correspond à son inverse dont le dénominateur

est affecté de l’opposé de cet exposant. Exemples : 4-3 = ________

10-2 = ________ 4. Une expression comportant une base affectée d’un exposant 1

2⁄ peut être traduite sous la

forme d’une racine carrée.

Exemple : 412 = √4=2

Exercices :

a) 161

2 = ___________________________

b) 641

2 = ___________________________

c) 811

2 = ___________________________

𝒂𝟏 = 𝒂

𝒂𝟎 = 𝟏

si a ≠ 0

𝒂−𝒎 =𝟏

𝒂𝒎

si a ≠ 0

𝒙𝟏𝟐 = √𝒙

7

Exercice : remplis le tableau suivant en inscrivant le carré des nombres de 0 à 15.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

n2

5. Produit de puissances de même base

Le résultat est la base affectée de la somme des exposants des puissances.

Exemples :

a) 23 24 = 23 + 4 = 27 = 128

b) 89 87 = _______________________________

c) 119 1111 = __________________________

d) x-3 •x5 = ____________________________ 6. Quotient de puissances de même base

Le résultat est la base affectée de la différence des exposants des puissances.

Exemples :

a) 24 ÷ 23 = 24-3 = 21 = 2

b) 89 ÷ 87 = ______________________________

c) 119 ÷ 1111 = ___________________________

d) x12 ÷ x7 = _____________________________

𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏

𝒂𝒎

𝒂𝒏= 𝒂𝒎−𝒏

si a ≠ 0

8

7. Puissance d’une puissance

Le résultat est la base affectée du produit des exposants.

Exemples :

a) (84)3 = 84•3 = 812

b) (46)3 = _______________________

c) (x2)5 = _______________________

8. Puissance d’un produit

La puissance d’un produit est égale au produit des bases affectées de ce même exposant.

Exemples :

a) 33

53 = (3 5)3 = 153

b) 31

2 121

2 = _________________________________

c) 6-4 2-4 = __________________________________

d) x3 • y3 = ___________________________________

e) 50½ 2½ = _________________________________

f) √25𝑥 =______________________________________

(𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎𝒏

(𝒂 × 𝒃)𝒎 = 𝒂𝒎 × 𝒃𝒎

9

9. Puissance d’un quotient

La puissance d’un quotient est égale au quotient des bases affectées de ce même

exposant.

Exemples :

a) 184

64= (

18

6)

4

= 34

b) √75

√5= ________________

c) 843

123= ________________

d) (53

76)2

=_________________

e) √36

25 = ____________________

Exercices

a) (53 52)4 ÷ 510 = ______________________________________________

b) (7727) ÷1414 = _______________________________________________

c) √6×√7

√21 = _____________________________________________

(𝒂

𝒃)

𝒎

=𝒂𝒎

𝒃𝒎

si b ≠ 0

10

En résumé :

Lois des exposants

Lois (propriétés)

Exemples

aa 1

37371

10 a

13150 180

m

m

aa

1

3

3

4

14

2

26

6

1

aa 21

52525 2

1

Produit de puissances

de même base

nmnm aaa

96363 11111111

Quotient de puissances

de même base

nm

n

m

aa

a

347

4

7

151515

15

Puissance

d’une puissance

mnnm aa

105252 191919

Puissance d’un produit mmm

baba 10100100250250 2

12

12

12

1

Puissance

d’un quotient m

mm

b

a

b

a

33

3

3

712

84

12

84

11

2.3 Expression d’un nombre par un produit de ses facteurs premiers Transformer la puissance en un produit de facteurs premiers (2,3,5,7,11,13,17,…). Rassembler les bases identiques en utilisant les exposants.

Exemples :

a) 8 = 2x2x2 = 23

b) 45=3x3x5=32x5

c) 27=

d) 64=

e) 48=

f) 120=

La décomposition d’un nombre en un produit de ses facteurs premiers nous permet de simplifier des expressions, tout en utilisant les lois des exposants. Exemples :

g) 2

45

=

h) 212525 =

i) 43 328 =

j) 2

5

72

9

27 =

k) 364

82

=

l) 54

3

169

816

=

12

3. Cube, racine cubique et exposants fractionnaires 3.1 Le cube et la racine cubique Le cube d’un nombre est la troisième puissance de ce nombre.

L’expression 𝑎3 se lit « 𝑎 au cube ».

Exemple : 93 = 9 × 9 × 9 = 729 Exercice : remplis le tableau suivant en inscrivant le cube des nombres de 0 à 10.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n3

La racine cubique d’un nombre 𝑎, notée √𝑎3

, est le nombre dont le cube est égal à 𝑎.

Extraire la racine cubique d’un nombre 𝑎 consiste donc à trouver le nombre qui, multiplié 3

fois par lui-même, donne 𝑎. Il s’agit de l’opération inverse d’élever au cube.

Ainsi, si √𝑎3

=x, alors 𝑥3 = 𝑎. Exemples :

a) √1253

= 5, puisque 53 = 125

b) √643

= ____________________

c) √273

= ____________________

d) √13

= _____________________

Exercices :

a) Sachant que le volume d’un cube s’obtient à l’aide de la formule 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑒 = 𝑐3, où

« c » représente la mesure d’une arête, détermine le volume d’un cube de 4 cm d’arête.

13

b) Un cube a un volume de 216 dm3. Quelle est la mesure de chacune de ses arêtes?

3.2 Exposants fractionnaires Nous avons vu précédemment qu’un exposant 1

2⁄ peut se traduire par une racine carrée.

De même, un exposant 13⁄ peut se traduire par une racine cubique.

Exemple : 10001

3 = √10003

= 10

Exercices: Détermine la valeur des expressions suivantes.

a) 5121

3 = _______________________________

b) √563 = _______________________________

c) 22512 = ______________________________

d) 64−1 3⁄ = _____________________________

e) 71 2⁄ × 281 2⁄ = _________________________

f) (−27)1

3⁄ = ____________________________

g) (729

8)

13⁄= _____________________________

𝒙𝟏𝟐 = √𝒙

𝒙𝟏𝟑 = √𝒙

𝟑

14

4. La notation scientifique et le système international d’unités 4.1 La notation scientifique Cette notation est utilisée pour exprimer de très grands ou de très petits nombres. Elle en facilite la lecture, l’écriture et la comparaison. La notation scientifique consiste à écrire un nombre en un produit de deux facteurs en respectant la forme suivante :

𝑎 × 10𝑛

Premier facteur : la mantisse (𝑎) Nombre décimal supérieur ou égal à 1, mais inférieur à 10. Formé de chiffres significatifs. Pour trouver la mantisse, on place la virgule après le premier chiffre non

nul du nombre.

Deuxième facteur : puissance de 10 Indique l’ordre de grandeur du premier chiffre de la mantisse.

L’exposant de la base 10 (n) est un entier positif ou négatif. Exemples :

a) 50 000 = 5 × 104 c) 9 365 269 ≈ 9,37 × 106

b) 871 000 = 8,71 × 105 d) 0,000 56 = 5,6 × 10−4

Exercices :

1. Écris les nombres suivants en notation scientifique, en conservant au maximum 3 chiffres significatifs.

a) 45 281 = ___________________________________

b) 0,0025 = ___________________________________

c) 154 300 = __________________________________

d) 0,000 05 = __________________________________

e) 9 millions = _________________________________

f) 527,6 104 = _______________________________ g) 1 000 000 000 = _____________________________

15

2. Écris les nombres suivants en notation décimale. a) 3,49 106 = __________________________________ b) 4,17 103 = __________________________________ c) 5,799 101 = _________________________________ d) 5,28 10-4 = _________________________________ e) 10-5 = _______________________________________ f) 4,52 100 = __________________________________

4.2 Multiplication et division de nombres en notation scientifique 4.2.1 Multiplication Soit à multiplier les nombres 2,5 × 108 et 4,8 × 105.

Étapes Exemple

Par commutativité de la multiplication, regrouper les mantisses ensemble et les puissances de 10 ensemble.

Par associativité de la multiplication, calculer le produit des mantisses et des puissances de 10.

Exprimer le résultat en notation scientifique.

Exercices :

a) (3 1064 ) (2 10128) =

b) (9 108 ) (5 10-2) =

16

c) (3,1 10-7 ) (6 103) =

4.2.2 Division

Soit à diviser le nombre 2,7 × 1012 par 3 × 104.

Étapes Exemple

Par associativité, regrouper les mantisses ensemble et les puissances de 10

Calculer le quotient des mantisses et des puissances de 10.

Exprimer le résultat en notation scientifique.

Exercices :

a) (6,4 10243 ) (3,2 10200 ) =

b) (3 1015 ) (4 1010 ) =

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4.3 Le système international d’unités (SI) 4.3.1 Unités de base du SI

Longueur : mètre (m)

Volume : litre (l ou L)

Masse : kilogramme (kg)

*on utilise toutefois le gramme (g) pour former les multiples des unités de masse

Temps : seconde (s)

4.3.2 Préfixes du SI

Exemples :

a) 3 𝜇𝑚 = 3 × 10−6𝑚 (3 micromètres)

b) 5,2 𝐺$ = 5,2 × 109$ (5,2 milliards de dollars)

c) 9 ℎ𝑙 = 9 × 102𝑙 (9 hectolitres)

Préfixe Symbole Multiple de l’unité de base (10n)

Nombre/ position

Téra T 1012 Billion

Giga G 109 Milliard

Méga M 106 Million

Kilo k 103 Mille

Hecto h 102 Cent

Déca da 101 Dix

--- --- 100 Unité

Déci d 10-1 Dixième

Centi c 10-2 Centième

Milli m 10-3 Millième

Micro 10-6 Millionième

Nano n 10-9 Milliardième

Pico p 10-12 Billionième

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4.4 Notation scientifique et SI Exercices : Effectue les transformations demandées. Écris tes réponses en notation scientifique.

a) 5,2 × 10−1𝑚𝑚 = ? 𝑚 5,2 × 10−1𝑚𝑚 5,2 × 10−1 × 10−3𝑚 5,2 × 10−4𝑚

b) 9000 ℎ𝑙 = ? 𝑙

c) 49 𝑛𝑠 = ? 𝑠 d) 726 𝑘𝑔 = ? 𝑔