MATHEMATIQUES - JFF-DUT-TC · 7 8 14 11 4 15 270 E 10,8 N 7 14 4 25 = = = = == × + × + × + + ∑...

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IUT de Saint-Etienne – Département TC –J.F.Ferraris – Math – S1 – Stat1var – TDExCorr – Rev2019

Département TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION

MATHEMATIQUES

Semestre 1

____ Statistiques descriptives à une variable ____

CORRIGES des TD et exercices

Documents en ligne : sur http://jff-dut-tc.weebly.com section DUT Maths S1.

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IUT de Saint-Etienne – Département TC –J.F.Ferraris – Math – S1 – Stat1var – TDExCorr – Rev2019 – page 1 sur 14

Compléter le tableau suivant

classes de caractère [50 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 110[ [110 ; 150[

modalités xi 65 90 105 130

amplitudes ai 30 20 10 40

effectifs ni 57 72 63 108 N = 300

ECC (effectifs cumulés croissants)

0 57 129 192 300

concentrations d'effectifs

ci 1,9 3,6 6,3 2,7

fréquences fi 0,19 0,24 0,21 0,36

FCC (fréquences

cumulées croissantes) 0 0,19 0,43 0,64 1

D’après le tableau ci-dessous, réaliser un diagramme en barres des effectifs.

prix d'un téléphone portable 59 65 68 69 75

nombre de magasins 1 6 4 6 3

Les abscisses contiennent les valeurs de la variable (prix) ; les ordonnées représentent ce qui est

demandé : les effectifs ; le diagramme est constitué de barres verticales.

Compléter le tableau ci-dessous, puis réaliser un histogramme.

classes de caractère (nb d’employés)

[50 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 110[ [110 ; 150[

amplitudes ai 30 20 10 40

effectifs ni 57 72 63 108 N = 300

concentrations ci 1,9 3,6 6,3 2,7

Les abscisses contiennent les valeurs de la variable (nombre d’employés) ; les ordonnées représentent

ce qui se doit dans un histogramme : les concentrations ; le diagramme est constitué de rectangles

couvrant les classes en largeur et les concentrations en hauteur – de cette manière, la surface

couverte par un rectangle sur une classe vaut exactement l’effectif correspondant.

Exercice 1. Éléments d’un tableau (variable continue) – TD cours page 6

Exercice 2. Diagramme en barres des effectifs (variable discrète) – TD cours page 8

Exercice 3. Histogramme (variable continue) – TD cours page 9

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On donne le tableau ci-dessous.


effectifs ni 57 72 63 108 N = 300

ECC (effectifs cumulés croissants)

0 57 129 192 300

fréquences fi 0,19 0,24 0,21 0,36

FCC (fréquences

cumulées croissantes) 0 0,19 0,43 0,64 1

1) Compléter ce tableau.

2) Déterminer :

a. ECC(80) = 57 : 57 entreprises ont moins de 80 employés.

b. FCC(110) = 0,64 : 64% des entreprises ont moins de 110 employés.

c. ECC(90) = 57 plus la moitié de 72 = 93 : 93 entreprises ont moins de 90 employés.

d. x tel que FCC(x) = 73% : cette fréquence cumulée dépasse 0,64, donc nous nous trouvons dans la

dernière classe. Le dépassement est de 9%, soit le quart de ce que contient cette classe (36%). Il faut

donc parcourir le quart de la classe [110 ; 150[, ce qui nous conduit à 120. FCC(120) = 73%.

e. FCC(130) = 81% (nous avons parcouru un quart de la dernière classe en plus à partir de la réponse

précédente, donc nous avons cumulé 9% supplémentaires. Pour les mêmes raisons, FCC(140) = 91%

(et on pourrait même, en continuant, vérifier que FCC(150) = 100%).

3) Réaliser un diagramme des fréquences cumulées croissantes de ces données.

Les abscisses contiennent les valeurs de la variable (nombre d’employés) ; les ordonnées représentent

ce qui est demandé : les FCC ; le diagramme est constitué de segments de droite montants. Chaque

segment couvre une classe, de gauche à droite, et monte, représentant ainsi le cumul progressif des

individus tout au long de la classe. Il s’agit d’un segment de droite, reflétant le cumul des individus à

vitesse constante dans une classe (par hypothèse, les individus sont répartis de façon homogène dans

une classe).

Exercice 4. Diagramme des FCC (variable continue) – TD cours page 9

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4) Par lecture graphique, donner

a. FCC(65) = 9,5 b. x tel que FCC(x) = 85% : FCC(132) = 85%

1) L’histogramme suivant a été établi d’après une étude menée sur 70 individus.

a. Combien d’individus ont une modalité comprise entre 6 et 8 ?

Les concentrations peuvent nous aider : c = n/a donne pour l’intervalle [6 ; 8[ 5 = n/2, soit n = 10.

Le graphique est suffisamment simple ici pour nous éviter des calculs : l’histogramme couvre en tout

14 carreaux représentant 70 individus, soit 5 individus par carreau. Le premier rectangle étant

constitué de deux carreaux, il représente bien sûr 10 individus.

b. A quelle fréquence a-t-on rencontré des individus de modalité supérieure à 9 ?

Au-delà de 9 : 9 carreaux sur 14. 9/14 = 0,6429 = 64,29%. Réponse : dans 64,29% des cas.

c. Retrouver le tableau de départ mentionnant les intervalles et les effectifs correspondants.


effectifs 10 15 30 15

2) Le diagramme des FCC suivant a été établi d’après une étude menée sur 250 individus.

a. Combien d’individus ont une modalité comprise entre 30 et 40 ?

30% des individus ont été cumulés dans cet intervalle, soit 75 individus.

b. Combien d’individus ont une modalité comprise entre 37,5 et 47,5 ?

FCC(37,5) = 20% et FCC(47,5) = 80%.

80% des individus ont moins de 47,5 mais 20% des individus ont moins de 37,5.

On trouve donc 60% des individus entre ces deux valeurs, soit 150 individus

c. Retrouver le tableau de départ mentionnant les intervalles et les effectifs correspondants.

Exercice 5. Lectures graphiques

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classes de caractère [30 ; 35[ [35 ; 40[ [40 ; 42,5[ [42,5 ; 45[ [45 ; 50[ [50 ; 55[

effectifs 25 50 63 37 50 25

1) Déterminer le mode de la série donnée ci-dessous.

prix d'un téléphone portable 59 65 68 69 75

nombre de magasins 1 6 4 6 3

Le mode est la modalité la plus représentée (suivie par le plus grand nombre d’individus), en caractère

discret. Ici, il y a deux modes : 65 € et 69 €. On dit que la distribution est bimodale.

2) Déterminer la classe modale de la série donnée en exercice 1.

La classe modale est celle de plus forte concentration ; ici, c’est donc la classe [100 ; 110[.

Dans chaque classe se trouvent un certain nombre d’individus ; mais les classes offrent, de par leur

amplitude, plus ou moins de place à ceux-ci. La concentration exprime le nombre d’individus qui doivent

être rangés dans chaque unité de largeur d’une classe. Plus elle est élevée, plus les individus sont

« serrés » dans la classe.

1) A partir du diagramme des FCC établi dans l’exercice 4, faire une lecture graphique du nombre

d’employés médian de ces 300 entreprises.

2) Par interpolation linéaire, calculer cette médiane.

Exercice 6. Mode – TD cours page 10

Exercice 7. Médiane (caractère continu) – TD cours page 11

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1) Calculer la moyenne de la série présentée ci-dessous :

note en maths 8 11 15

nombre d'étudiants 7 14 4

( ) 1 7 8 14 11 4 15 270E 10,8

N 7 14 4 25

= × + × + ×= = = = =+ +

∑p

i i

i

n x

x X

2) Dans le monde, 30% des gens ont accès à 3000 calories par jour et 70% des gens à 1200 calories par

jour. Si l’on pouvait distribuer les ressources alimentaires disponibles de manière équitable à tous les

êtres humains, à combien de calories chaque personne aurait-elle accès chaque jour ?

Cela se résume à un calcul de moyenne :

( ) % %1

E 30 3000 70 1200 900 840 1740p

i i

i

x X f x=

= = = × + × = + =∑

Une redistribution équitable permettrait à chacun d’avoir accès à 1740 calories par jour.

1) Une liste contient 10 valeurs, dont une inconnue (x) : 2, 7, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, x. La moyenne

vaut 9,9. Saurez-vous retrouver la valeur de x ?

La somme des valeurs vaut 85 + x, ce qui, divisé par 10, doit donner la moyenne de 9,9.

La somme des valeurs vaut donc forcément 99. Soit x = 14.

2) Dans la série suivante, de moyenne 30, il manque également une valeur… à retrouver.

valeurs xi 24 28 33 x

effectifs ni 3 6 5 2

La somme des valeurs vaut 405 + 2x, ce qui, divisé par 16, doit donner la moyenne de 30.

La somme des valeurs vaut donc forcément 30×16 = 480. Soit 2x = 75 et donc x = 37,5.

Comparer directement pour chaque série : la moyenne, le mode, la médiane. [15;25[ [25;35[ [35;45[ [45;55[ [55;65[ [15;25[ [25;35[ [35;45[ [45;55[ [55;65[

xi 20 30 40 50 60 total xi 20 30 40 50 60 total

ni 1 3 5 7 4 20 ni 4 7 5 3 1 20

médiane : médiane :

Exercice 8. Moyenne – TD cours page 12

Exercice 9. Moyenne

Exercice 10. Comparaison des paramètres de position – TD cours page 12

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On a cumulé la moitié de l’effectif total lorsqu’on a

pris le premier individu de la classe [45 ; 55[, qui en

contient 7. Donc : (M-45)/(55-45) = 1/7, soit

M = 46,43.

moyenne :

(1×20+3×30+5×40+7×50+4×60)/20 = 45

On a cumulé la moitié de l’effectif total lorsqu’on a

pris les six premiers individus de la classe [25 ; 35[,

qui en contient 7. Donc : (M-25)/(35-25) = 6/7, soit

M = 33,57.

moyenne :

(4×20+7×30+5×40+3×50+1×60)/20 = 35

Remarque : quel que soit le cas de figure, la médiane est comprise entre le mode et la moyenne.

Soit le tableau suivant :

prix (€) xi 59 65 68 69 75 X : variable "prix d'un téléphone"

nombre de magasins ni 1 6 4 6 3 N = 20

1) Calculer le prix moyen d’un téléphone.

(1×59+6×65+4×68+6×69+3×75)/20 = 68 €

2) Si tous les magasins pratiquaient une remise de 5 €, quelle serait l’incidence sur le prix moyen ?

On peut refaire le calcul, mais une propriété de la moyenne est la suivante : E(X+a) = E(X) + a.

Ici : E(X-5) = E(X) – 5, soit en traduisant : le prix moyen des téléphones avec remise de 5 € est égal au

prix moyen normal, moins 5 € : le prix moyen aura donc baissé de 5 € et se trouve ici à 63 €.

3) Si tous les magasins pratiquaient une remise de 10 %, quelle serait l’incidence sur le prix moyen ?

Chaque téléphone voit ici son prix multiplié par 0,9. Or une propriété de la moyenne est la suivante :

E(a×X) = a×E(X). Ici : E(0,9X) = 0,9×E(X), soit en traduisant : le prix moyen des téléphones avec remise de

10% est égal au prix moyen normal, diminué de 10% : le prix moyen aura donc baissé de 6,8 € et se

trouve ici à 61,2 €.

4) Quel est le prix moyen de deux téléphones ? et si on ne les achète pas forcément dans le même

magasin ?

Si on veut acheter deux téléphones dans le même magasin, ils le seront au même prix tous les deux, et

la formule E(2X) = 2E(X) correspond à la situation.

D’une manière plus générale, une dernière formule affirme que E(X+Y) = E(X) + E(Y). X est alors une

variable représentant le prix (par exemple) de quelque chose quelque part et Y le prix (par exemple)

d’autre chose autre part. Lorsque X et Y sont équivalents (on veut dans cet exercice acheter deux fois le

même objet, à partir de la même liste de magasins possibles, mais pas forcément dans le même

magasin, cette formule conduit à E(X+X) = E(X) + E(X), ce qui revient à E(2X) = 2E(X) !

Conclusion : si l’on considère toutes les possibilités pour acheter deux téléphones, le prix moyen

attendu est 2×68 = 136 €.

On s’intéresse aux personnes susceptibles d’acheter un téléphone, plus une housse.

Voici ce qui est proposé sur le marché :

téléphone :

prix (€) xi 59 65 68 69 75 X : variable "prix d'un téléphone"

nombre de magasins ni 1 6 4 6 3 N1 = 20

housse :

Exercice 11. Propriétés de la moyenne – TD cours page 12

Exercice 12. Distribution somme – TD cours page 12

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prix d'une housse (€) yj 8 12 Y : variable "prix d’une housse"

nombre de magasins nj 5 2 N2 = 7

L'étude du prix total à payer pour un téléphone plus une housse est celle de la distribution somme X+Y.

Elle impose d'envisager chaque prix total possible, associé au nombre de cas où on peut le rencontrer.

1) Compléter le tableau suivant :

prix total

(X+Y, en €) xi + yj 67 73 76 77 83 71 77 80 81 87

nombre de

cas ni × nj 5 30 20 30 15 2 12 8 12 2 N = 140

* La première moitié du tableau cumule les cinq prix différents d’un téléphone et une housse à 5 € ; la

seconde moitié envisage une housse à 8 €.

* Chaque effectif, dans ce dernier tableau, représente le nombre de couples de magasins dans lesquels

on peut effectuer telle ou telle dépense totale. Exemple : une dépense de 83 € est possible en achetant

un téléphone 75 € dans l’un des trois magasins disponibles et une housse 5 € dans l’un des cinq

magasins disponibles. Cela fait 3×5 = 15 façons de combiner les deux achats, 15 parcours possibles.

* remarque : l’effectif total du dernier tableau se trouve être le produit des effectifs totaux des deux

premiers.

2) Calculer E(X+Y) à partir du tableau ci-dessus.

(5×67+30×73+ … + 2×87)/140 = 77,14 €

3) Comparer le résultat précédent à E(X) + E(Y).

E(X) = 68 € et E(Y) = 9,14 €. La somme des deux vaut 77,14 € ! En effet, E(X+Y) = E(X) + E(Y).

1) Soit les nombres horaires de pièces fabriquées par deux ouvriers pendant cinq heures :

ouvrier 1 26 29 34 38 42

ouvrier 2 30 33 34 35 37

Déterminer les étendues de ces deux séries.

e1 = 42 – 26 = 16 pièces/heure ; e2 = 37 – 30 = 7 pièces/heure

2) Quelles sont les étendues des séries présentées dans les exercices 1 et 2 ?

e1 = 149 – 50 = 99 employés ; e2 = 75 – 59 = 16 €

Déterminer les quartiles de l’exemple présenté en exercice 2 ; réaliser la boîte à pattes.

ECC(Q1) = (N+1)/4 arrondi = 21/4 arrondi = 5.

Q1 est donc le prix du magasin n°5 dans l’ordre croissant des prix : Q1 = 65 €.

ECC(M = Q2) = N/2 (car N est pair) = 20/2 = 10.

M est donc le prix du magasin n°10 dans l’ordre croissant des prix : M = 68 €.

ECC(Q3) = 3(N+1)/4 arrondi = 63/4

arrondi = 16.

Q3 est donc le prix du magasin

n°16 dans l’ordre croissant des

prix : Q3 = 69 €.

Exercice 13. Étendue – TD cours page 13

Exercice 14. Quantiles – TD cours page 14

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Soit la série suivante : (notes obtenues et nombre d'étudiants)

xi 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ni 2 5 4 7 22 16 18 11 9 7 6 7 3 2 1 120

ECC

1) Donner l’étendue de la série.

e = 19 – 5 = 14 points

2) Donner les trois quartiles de la série.

ECC(Q1) = (N+1)/4 arrondi = 121/4 arrondi = 30.

Q1 est donc la note de l’étudiant n°30 dans l’ordre croissant des notes : Q1 = 9.

ECC(M = Q2) = N/2 (car N est pair) = 120/2 = 60.

M est donc la note de l’étudiant n°60 dans l’ordre croissant des notes : M = 11.

ECC(Q3) = 3(N+1)/4 arrondi = 363/4 arrondi = 91.

Q3 est donc la note de l’étudiant n°91 dans l’ordre croissant des notes : Q3 = 13.

3) Donner les premier et dernier déciles de cette série.

ECC(D1) = N/10 arrondi = 120/10 arrondi = 12.

D1 est donc la note de l’étudiant n°12 dans l’ordre croissant des notes : D1 = 8.

ECC(D9) = 9N/10 arrondi = 1080/10 arrondi = 108.

D9 est donc la note de l’étudiant n°108 dans l’ordre croissant des notes : D9 = 16.

4) Réaliser une boîte à pattes basée sur les valeurs extrêmes et les quartiles.

A partir du diagramme des FCC réalisé en exercice 4, faites une lecture graphique des quartiles.



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On considère la série donnée en exercice 1.

1) A l’aide de la calculatrice, donner sa moyenne et son écart type.

La saisie sur calculette renvoie les résultats : x = 102,8 et σX = 24,045

2) A partir du diagramme des FCC dressé en exercice 4 pour cette même série, dire par lecture graphique

quel est le pourcentage d'individus dont les modalités se trouvent dans l'intervalle [ ];x xσ σ− + .

[ ];x xσ σ− + = [79 ; 127] environ.

Nous pouvons lire graphiquement les nombres d’entreprises cumulées, de 50 à 79 employés : 18% des

entreprises, ou de 50 à 127 employés : 79% des entreprises.

79% - 18% = 61%. Ainsi, 61% des entreprises ont de 79 à 127 employés.

On considère les impôts locaux payés dans une commune par les 2000 contribuables :

montant de

l'impôt (€) xi effectifs fi FCC ai ci

[0 ; 400[ 200 220 0,11 0,1100 400 0,550

[400 ; 600[ 500 515 0,258 0,3675 200 2,575

[600 ; 700[ 650 420 0,21 0,5775 100 4,200

[700 ; 1000[ 850 490 0,245 0,8225 300 1,633

[1000 ; 1500[ 1250 355 0,178 1,0000 500 0,710

1) a. Donner la classe modale de cette série.

Classe modale : [600 ; 700[ (plus forte concentration)

b. Construire l'histogramme et donner une valeur modale ponctuelle.

Exercice 17. Moyenne et écart type – TD cours page 15

Exercice 18.

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2) a. Dresser un diagramme des fréquences cumulées croissantes.

b. Faire une lecture graphique des trois quartiles puis calculer la médiane de la série.

On lit graphiquement les quartiles : Q1 = 510 € ; M = 665 € ; Q3 = 910 €.

€− − −= ⇔ = ⇔ − = ≈ ⇔ ≈− −

M 600 50 36,75 M 600 13,25 1325M 600 63,1 M 663,1

700 600 57,75 36,75 100 21 21

c. Donner la signification concrète de ces trois valeurs.

25% des contribuables payent entre 0 et 510€, 25% entre 510 et 663€, 25% entre 663 et 910€ et 25%

entre 910 et 1500€.

3) a. Donner, à l'aide de la calculatrice, la moyenne de la distribution et son écart type.

Moyenne : 717,375 € Ecart type : 311,8 €

b. Par lecture graphique, déterminer le pourcentage de contribuables dont l'impôt appartient à

l'intervalle [ ];x xσ σ− + .

Cet intervalle est environ [406 ; 1029]. Par lecture graphique, FCC(406) = 12% et FCC(1029) = 83%.

83 - 12 = 71. 71% des contribuables se situent dans cet intervalle.

On a mené des études sur deux parcelles de vergers, quant à la masse des pommes d'un échantillon

recueilli. On a obtenu les résultats suivants :

classes (g) [75 ; 85[ [85 ; 95[ [95 ; 105[ [105 ; 115[ [115 ; 125[

effectifs parcelle 1 1 8 9 6 2

effectifs parcelle 2 2 8 9 10 1

1) Comparez les moyennes et écarts types de ces deux séries.

Les moyennes de chaque parcelle valent 100g ; les écarts types sont égaux aussi et valent 10g.

2) Dans quelle parcelle trouve-t-on le pourcentage le plus important de pommes pesant moins de 100g ?

Nombre de pommes pesant moins de 100 g :

parcelle 1 : 1 + 8 + 4,5 = 13,5 pommes, soit en fréquence 13,5/26 = 0,5192 = 51,92%

parcelle 2 : 2 + 8 + 4,5 = 14,5 pommes, soit en fréquence 14,5/30 = 0,4833 = 48,33%

Exercice 19.

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Un rapport d'activité a été partiellement effacé. Saurez-vous le compléter ?

nombre de contacts clients [45 ; 50[ [50 ; 55[

nombre de commerciaux 3 4 8 5

moyenne : 45,875 contacts par commercial ; intervalle interquartile : [42,5 ; 50]

1) Compléter ce tableau.

Q1 = 42,5 et représente 25 % d'individus cumulés, soit 5 individus cumulés, soit le centre du second

intervalle. Le second intervalle est donc [40 ; 45[.

Notons x le centre du premier intervalle. On a :

3 4 42,5 8 47,5 5 52,5 3 812,545,875 3 20 45,875 812,5 105 35

20 20

x xx x x

+ × + × + × += ⇔ = ⇔ = × − = ⇔ =

2) Si on prenait pour moyenne la valeur de la médiane, quel pourcentage d'erreur commettrait-on ?

La médiane est la valeur qui correspond à 10 individus cumulés, donc à 3 individus

dans le troisième intervalle. M 45 3 15

M 45 M 46,87550 45 8 8

− = ⇔ − = ⇔ =−

Pourcentage d'erreur que représente la médiane par rapport à la valeur de référence qu'est

la moyenne : M 1

100 100 2,1845,875

− × = × ≈x

x

On commettrait environ 2,18 % d'erreur.

3) On souhaite ici choisir deux commerciaux au hasard et s'intéresser au nombre total de contacts

clients de ce duo. On appelle X la variable "nombre de contacts clients d'un commercial" et on lui

donnera pour valeurs les minimums des classes du tableau de l'énoncé.

a. Faites un tableau donnant la série statistique de la distribution somme X+X.

Distribution X :

nombre X de contacts clients 30 40 45 50

nombre de commerciaux 3 4 8 5

Distribution somme X+X :

X+X 60 70 75 80 70 80 85 90 75 85 90 95 80 90 95 100

n 9 12 24 15 12 16 32 20 24 32 64 40 15 20 40 25

Regroupons les valeurs identiques :

X+X 60 70 75 80 85 90 95 100

n 9 24 48 46 64 104 80 25

b. Quelles sont les chances que le duo que l'on va choisir au hasard totalise au moins 90 contacts ?

nombre total de possibilités pour choisir deux commerciaux : 400

nombre de possibilités de totaliser au moins 90 contacts : 104+80+25 = 209

chances de totaliser au moins 90 contacts : 209/400 = 52,25%

Pour vérifier la régularité de la grosseur d'un fil textile on peut utiliser la méthode du titrage.

Le titre d'un fil (exprimé en Tex) est la masse en grammes d'un kilomètre de fil.

Une filature conditionne un fil de laine sous forme de bobines.

La mesure du titre du fil de 200 bobines d'un échantillon fournit les résultats suivants :

Titre x en Tex [76 ; 77,5[ [77,5 ; 78[ [78 ; 78,5[ [78,5 ; 80[

Effectifs 62 56 48 34

Exercice 20.

Exercice 21.

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1) Quelle est la classe modale de cette série statistique ? Justifier.

Les concentrations sont, dans l'ordre : 41,33 ; 112 ; 96 ; 22,67.

La classe modale est donc le second intervalle : [77,5 ; 78[.

2) a. Représenter le diagramme des fréquences

cumulées croissantes de cette série.

b. Faire une lecture graphique visible des trois

quartiles et consigner les résultats.

Q1 = 77,2 kg ; M = 77,85 ;

Q3 = 78,35

c. Dresser la boîte à pattes de la série, en

utilisant les quartiles.

3) a. Calculer la médiane de la série puis vérifier avec les résultats obtenus précédemment.

M 77,5 50 31 19M 77,5 0,5 77,84

78 77,5 59 31 28

− −= ⇔ = + × ≈− −

Ce résultat concorde avec la lecture graphique.

b. Donner la signification de cette valeur.

La moitié des bobines ont un Tex inférieur à 77,84 kg.

A l'issue d'un devoir, 27 étudiants ont été notés sur 20 points et classés suivant leur résultat :

notes xi 5 8 9 10 11 12 14 17

effectifs ni 1 2 3 4 6 7 3 1

écarts -6 -3 -2 -1 0 1 3 6

1) a. Donner la note moyenne des étudiants, ainsi que l'écart type de cette série.

Moyenne : 11 pts ; écart type : 2,277 pts

b. Compléter dans le tableau la ligne des écarts de chaque note à cette moyenne.

c. Que vaut l'écart moyen ?

L'écart moyen est nul (voir cours)

d. Que vaut l'écart absolu moyen ?

On compte positivement ces valeurs. Leur moyenne est alors 1,630.

2) Quel est le pourcentage des individus dont la note se trouve dans l'intervalle [ ];x xσ σ− + ?

L'intervalle est environ [8,72 ; 13,28]. 20 étudiants (sur les 27) ont eu une telle note, soit 74,07%.

3) Quelle est la note médiane de la série ?

C'est celle du 14ème étudiant, dans l'ordre, soit : M = 11 pts.

Exercice 22.

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Le responsable d’un magasin de gros outillage a relevé, pendant une semaine, le montant en euros des

achats de 200 clients. Les résultats figurent dans le tableau suivant :

Montant des

achats, xi

Nombre de

clients, ni

Concentrations

d’effectifs, ci Fréquences, fi FCC

[0 ; 150[ 15 0,1 0,075 0,075

[150 ; 250[ 42 0,42 0,21 0,285

[250 ; 300[ 34 0,68 0,17 0,455

[300 ; 400[ 40 0,4 0,2 0,655

[400 ; 600[ 69 0,345 0,345 1

1) Compléter le tableau ci-dessus, donner la classe modale.

Voir tableau. Classe modale (concentration maxi) : [250 ; 300[

2) Tracer l’histogramme des effectifs de cette série et déterminer graphiquement le mode.

Echelle : 1 cm pour 50 euros en abscisses, 1 cm pour 0,1 unité en ordonnée.

3) Tracer le diagramme des FCC (fréquences cumulées croissantes).

Echelle : 1 cm pour 50 euros en abscisses, 1 cm pour 10% en ordonnées.

4) a) Déterminer graphiquement les valeurs approchées de la médiane et des quartiles.

Q1 = 230 € ; M = 320 € ; Q3 = 455 €.

Exercice 23.

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b) Donner une interprétation concrète de cette valeur médiane.

La moitié des clients a dépensé plus de 320 €.

c) Vérifier par un calcul d’interpolation linéaire la valeur donnée de la médiane.

(M-300)/100 = (50-45,5)/20, soit M-300 = 22,5 et donc M = 322,5

5) Donner la moyenne et l’écart type de cette série ; interpréter la moyenne.

Moyenne : 336,875 € ; écart type : 137,63 €.

Pour le CA total réalisé, si les 200 clients avaient dépensé la même somme, ç'aurait été 336,875 €.

Autrement dit : le CA total réalisé vaut 200×336,875 = 67375 €.

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