mathematiques-financieres1

Professeur Mme BENOMAR Mathmatiques Financires

Portail des Etudiants dEconomie - 14 -

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Z.

M.F

Chapitre 3 : ANNUITS I- Dfinition :

On appelle annuit, des sommes payables intervalle de temps rgulier. Dans le cas des annuits, les sommes sont verses chaque anne mme date, la priode retenue est lanne. On peut cependant effectuer des paiements semestriels, trimestriels ou mensuels, dans ces cas on parle de semestrialit, trimestrialit ou mensualit. Le versement dannuit a pour objet soit de rembourser une dette, soit de constituer un capital (Exemple dun capital retraite ou dun capital ducation ).

II- Annuits constantes en fin de priode :a a a a

0 1 2 3 n

( ) ( ) ...........11 21 aiaia nn +++++ ( ) ( )[ ]1........11 21 +++++ nn iia .

( )( )

( ) ( )i

ia

ii

ai

ia

nnn 111111

11 +=

+=

+

+.

Donc ; ( )i

iaA

n

n

11 += . (Formule de capitalisation).

a tant le montant de lannuit constante ; i tant le taux dintrt ; n tant le nombre dannuit ou de versement ; An tant la valeur acquise au moment de versement de la dernire annuit.

Applications :

1- Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement par une suite de 10 annuitsconstantes de fin de priode de 17.500 dirhams chacune. Capitalisation de 8% lan. Ainsi quelintrt produit.

2- Calculer la valeur de cette mme suite sept mois aprs le dernier versement.

3- Calculer la valeur de cette mme suite un an et neuf mois aprs le dernier versement.

4- Quelle somme constante faut-il verser chaque anne la mme date pour constituer en 12versements deux ans aprs le dernier versement un capital de 500.000 dirhams chacune. Tauxest de 7% lan.

5- Calculer un mois aprs le dernier versement la valeur acquise par une suite de 72mensualits de 2.500 dirhams chacune. Taux est de 7% lan.

Solution :

1- on sais que : ( )i

iaA

n

n

11 += .



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M.F

( )

.84,514.25308,0

108,01500.1710

10 dirhamsA =+

=

Le capital vers est : 17.500 10 = 175.000 dirhams. Intrt = An capital vers. = 253.514,84 175.000 = 78.514,84 dirhams.

2- Solution rationnelle :

On sais que : ( ) .110

++=

+i

qpiCC k

qpk

( ) .12711 010

1270

++=

+iiAC

.53,345.26512708,0184,514.253

1270

dirhamsC =

+=

+

- Solution commerciale : On sais que : ( ) .10 q

pk

qpk

iCC ++

+=

( ) .1 1270101270

+

++= iAC

( ) .46,155.26508,0184,514.253 12701270

dirhamsC =+= ++

3- Solution rationnelle :

On sais que : ( ) .110

++=

+i

qpiCC k

qpk

( ) .79,223.290.12911 110

1291

dirhamsiiAC =

++=

+

- Solution commerciale : On sais que : ( ) .10 q

pk

qpk

iCC ++

+=

( ) .1 1291101291

+

++= iAC

( ) .75,064.29008,0184,514.253 12911291

dirhamsC =+= ++

4- On a 500.000 = A12 (1 + i)2. Avec; ( ) .11

12

12 ii

aA +=

( ) ( ) .111000.500 2

2

iii

a ++

=

( )[ ]( )212 111 000.500 ii ia ++ = ( )[ ]( ) .74,588.2208,01108,01 08,0000.500 212 dirhamsa =++ =



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M.F

5- on a ; ( )m

m

ii

aA 1172

72+

= .

Et on a ; ia = 0,07. Il faut donc calculer im .

- Taux proportionnel

.00583333,01207,0

12===

a

m

ii

- Taux quivalent :

( ) ( )112 11 mm ii +=+ ( ) 07,11 12 =+ mi 12

1

07,11 =+ mi

.0056414538,0107,1 121

==mi

Donc, on sait que ; ( )nn iCC += 10 ( ) .1 172 miAA +=

- Cas du taux proportionnel : ( ) ( ) .86,213.22400583333,01

00583333,0100583333,01500.2 1

12

dirhamsA =+

+

=

- Cas du taux quivalent : ( ) ( ) .49,651.2220056414538,01

0056414538,010056414538,01500.2 1

12

dirhamsA =+

+

=

Remarque :

Les organismes de capitalisation utilisent les taux quivalents pour remettre le moins possible dargent.

III- Valeur actuelle dune suite dannuit constante de fin de priode :

0 1 2 3 n ( )

ii

aAn

n

11 +=

( ) .10 nn iAA +=

( ) ( ) .1110 nn

ii

iaA ++=

( )

ii

aAn+

=

110 (Formule dactualisation).

Remarque :

- On applique cette formule quant on se situe une priode avant le premier versement.



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M.F

- La situation peut tre celle dun emprunt du montant A0 et remboursable par le versement de n annuits de montant a chacune.

Application :

1- Calculer un an avant le premier versement la valeur actuelle dune suite de 10 annuits constantes de 17.500 dirhams chacune, taux = 9% lan. 2- Calculer la valeur actuelle de cette mme suite 3 ans avant le premier versement, taux = 9% lan. 3- Une dette de 300.000 dirhams est remboursable en 20 trimestrialits constantes, le premier versement dans 3 mois, taux = 9% lan. Calculer le montant de la trimestrialit de remboursement.

Solution :

1- On sais que : ( )i

iaA

n+=

110 .

Donc ; ( ) .0098,309.11209,0

09,011500.1710

0 dirhamsA =

=

2- 3 ans avant le premier versement quivaut calculer la valeur actuelle 2 ans avant A0.

( ) .1 202 += iAA ( ) .25,528.9409,01009,309.112 22 dirhamsA =+=

3- 1er cas : taux proportionnel :

.0225,0409,0

4===

a

t

tt

Donc ; ( )i

iaA

n+=

110

( )

0225,00225,011000.300

20+= a

( ) .62,792.180225,0110225,0000.300

20 dirhamsa =+

=

* 2me cas : taux quivalent :

( ) .11 4 at ii +=+ Donc ; ( ) .35,663.1802177818,011

02177818,0000.30020 dirhamsa =+

=

Exercice 1 :

a- Calculer la valeur lorigine de 72 mensualits de 1.500 dirhams chacune. Taux est de 12% lan. b- Calculer au mme taux la valeur de ces mensualits 13 mois avant le premier versement. Donner dans chacun des cas deux solutions diffrentes.

Solution :



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a- 1er cas : taux quivalent :

( ) ( )112 11 am ii +=+ ( ) 11 121 += am ii ( ) .009488793,0112,01 121 =+=mi Donc ; ( ) .36,992.77

009488793,0009488793,011500.1

72

0 dirhamsA =+

=

2me cas : taux proportionnel :

.01,01212,0

12===

a

m

ii

( ).59,725.76

01,001,011500.1

72

0 dirhamsA =+

=

b- 1er cas : taux proportionnel :

( ) 10 1 += iAA ( ) .99,504.6812,1 10 dirhamsAA ==

2me cas : taux quivalent : ( ) .03,636.6912,1 10 dirhamsAA ==

Exercice 2 :

a- On place respectivement le 15-05-1997 et au 26-06-1997 les sommes de 125.000 dirhams et de 175.000 dirhams intrt simple au 10-09-1997. On se retrouve avec une valeur de 307.012,50 dirhams (capitaux et intrts runis). Trouver le taux. b- On place 225.700 dirhams intrt compos au taux de 8,5% lan, on se retrouve avec une valeur acquise de 425.700 dirhams. Calculer la dure du placement. c- On sengage verser 12 annuits de 25.780 dirhams chacune, le taux de capitalisation est de 10,5% lan. Calculer le capital constitu un an et 5 mois aprs le dernier versement (solution rationnelle). d- Une dette de 357.500 dirhams est remboursable en 12 semestrialits constantes, le premier tant payable 3 ans aprs la date du contrat. Taux est de 12% lan (utiliser les taux quivalent). Calculer la semestrialit de remboursement.

Solution :

a- C0 = 125.000 C1 = 175.000 j0 = 118 j1 = 76. Va = (C0 + I0) + (C1 + I1) = .

000.361

000.361 1100

++

+

TjCTjC

101100

000.36CCVjCjCT a =

+



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M.F

%.9

000.361100

10=

+

= jCjCCCV

T a

b- Va = C0 (1 + i)n . ( )na i

CV

+= 10

( ) .1log.log0

na inCV

+=

( )iCV

n

a

+=

1log

log0

n = 7,77798835 ans = 7 ans 9 mois et 10 jours.

c- ( ) ( )

+++=

++=

1251111 1212 iiAq

piiAC nn

= ( ) ( ) .97,251.655

1251111

12

dirhamsiii

ia =

++

+

d- (1 + is)2 = 1 + ia .058300524,0112,0111 =+=+= as ii

( )i

naA

n+=

110

( ) 50 1500.357 += siA

( ) ( ) 512

111500.357

++

= s

s

s ii

ia

( ) ( )[ ] .78,081.56111500.357

125 dirhamsiii

ass

s=

++

=

Exercice 3 :

Un emprunt de 450.000 dirhams est remboursable en 6 annuits constantes. La premire tant payable dans un an, taux gale 12% lan. a- Calculer lannuit de remboursement. b- tablir le tableau damortissement de lemprunt considr. c- Dterminer le montant de la dette 3 mois aprs le versement de la quatrime annuit (deux solutions).

Solution :

a- ( )

ii

aA6

011 +

=

( ) dirhamsa 57,451.10912,01112,0000.450

6 =+

=

.

b- tableau damortissement est le suivent :



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M.F

Priode Capital en dbut de priode Intrt Amortissement Annuit Capital en fin

de priode 1 2 3 4 5 6

450.000 394.548,43 332.442,66 262.884,21 184.978,74 97.724,62

45.000 47.345,21 39.893,12 31.546,11 22.197,45 11.726,95

55.451,57 62.105,76 69.558,45 77.905,47 87.254,12 97.724,62

109.451,57 109.451,57 109.451,57 109.451,57 109.451,57 109.451,57

394.548,43 332.442,66 262.884,21 184.978,74 97.924,62

0,00

c- Aprs 4 annuits, la dette est de 184.978,74 dirhams. * Solution rationnelle :

( ) .12,0123112,0174,978.184 0

++=D

.10,528.19012,041174,978.184 dirhams=

+=

* Solution commerciale : ( ) 1230174,978.184 ++= iD

( )4112,0174,978.184 +=



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M.F

Chapitre 4 : AMORTISSEMENTS DES EMPRUNTS INDIVIS

1- Dfinition :

Lemprunt indivis se caractrise par le fait que lemprunteur (un particulier ou une entreprise) sadresse un seul crancier (le nominal C de la dette nest pas divis). Lemprunt indivis soppose lemprunt obligataire pour lequel lemprunteur (dune grande entreprise ou lEtat) recourt une multitude de cranciers.

2- Amortissement par annuits constantes :

a- Construction du tableau damortissement et proprits :

On calcule dabord lannuit constante a . Pour la premire ligne, on commence par calculer lintrt i1 , par soustraction a i1 , on obtient le premier amortissement que lon dduit du capital initial (C1 = C M1). On dispose maintenant de la dette au dbut de la deuxime priode, ce qui permet de construire la deuxime ligne, et ainsi de suite.

Application :

Une personne emprunte 350.000 dirhams auprs dune banque et sengage verser 8 annuits constantes, la premire payable un an aprs la date du contrat. Sachant que le taux est de 12%, construire le tableau damortissement de lemprunt considr.

Priode Capital en dbut de priode Intrt Amortissement Annuit Capital en fin

de priode 1 2 3 4 5 6 7 8

350.000,00 321.544,01 289.673,29 253.978,09 213.999,47 169.223,41 119.074,23 62.907,14

42.000,00 38.585,28 34.760,80 30.477,37 25.679,94 20.306,81 14.288,91 7.548,86

28.455,99 31.870,71 35.695,20 39.978,62 44.776,06 50.149,19 56.167,09 62.907,14

70.455,99 70.455,99 70.455,99 70.455,99 70.455,99 70.455,99 70.455,99 70.455,99

321.544,01 289.673,29 253.978,09 213.999,47 169.223,41 119.074,23 62.907,14

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Chapitre 3 : ANNUITS

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