Lycée Louise Michel TES/L2017/2018

MATHEMATIQUESExercices chapitre 1

Exercice 1Déterminer graphiquement les coefficients directeurs m des droites de la figure :

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5 0 x

y

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5 0 x

y

Exercice 2Dans le repère ci-dessous, représenter les droites suivantes :

— D1 passant par le point A (0 ; 1) et de coefficient directeur m = 2 ;— D2 passant par le point B (1 ; 0) et de coefficient directeur m = −1 ;

— D3 passant par le point C (−1 ; −1) et de coefficient directeur m =14

;

— D4 passant par le point D (1 ; 2) et de coefficient directeur m = −23

;

— D5 passant par le point E (2 ; −3) et de coefficient directeur m =35

;

— D6 passant par le point F (0 ; 3) et de coefficient directeur m = 0 ;

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5 0 x

y

Exercice 3On donne la courbe représentative d’une fonction f dé-finie sur [−5 ; 5] ainsi que les tangentes à cette courbeen certains points.

1. Donner le nombre de solutions de l’équationf(x) = 0. Justifier.

2. Donner le nombre de solutions de l’équationf ′(x) = 0. Justifier.

3. Donner f(−5), f(0), f(1) et f(4).

4. Donner f ′(−5), f ′(−3), f ′(−1) et f ′(4).

5. Déterminer une équation des tangentes aux pointsA, B et C.

1

2

3

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6 0

++

+

+

B

A

C

Exercice 4Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par :1. f(x) = 3x4 − 2x3 + 5x − 4

2. f(x) = 4x2 − 3x + 1

3. f(x) = (2x + 3)(3x − 7)

4. f(x) = 2 +1x

5. f(x) = 2x + 5 +4x

6. f(x) = x3 − 3x + 2

Exercice 5Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par :

1. f(x) =1

2x + 6

2. f(x) =5

3x − 5

3. f(x) =−4

2 − 6x

4. f(x) =2x + 1x + 3

5. f(x) =4 − x

x

6. f(x) =4x + 51 − 2x

Exercice 6Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par :1. f(x) = x(3x − 4)

2. f(x) = (x2 + 5)(4x + 3)

3. f(x) = 2x − 4 +3x

4. f(x) =3x

x2 + 1

5. f(x) =7 − 5x

x − 3

6. f(x) =3x2

x − 2

Exercice 7Soit f la fonction définie sur R par f(x) = −x3 − 2x2 + 4x + 2.

1. Calculer f ′(x).

2. Étudier le signe de f ′(x).

3. Donner le tableau des variations de f .

4. Montrer que l’équation f(x) = 7, admet une solution unique α dans l’intervalle [−4; −3].Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α au dixième près.

Exercice 8Une entreprise produit de la farine de blé.On note q le nombre de tonnes de farine fabriquée avec 0 < q < 80.On appelle C(q) le coût total de fabrication, R(q) la recette obtenue par la vente et B(q) le bénéfice obtenu par lavente de q tonnes de farine.

1. Sachant que chaque tonne est vendue 120e, exprimer R(q) en fonction de q.

2. Sachant que C(q) = 2q2 + 10q + 900 :

a. tracer sur une calculatrice la courbe représentant le bénéfice ; quelle est sa nature ?

b. déterminer graphiquement puis par le calcul la quantité de farine à produire pour que la production soitrentable ;

c. déterminer graphiquement puis par le calcul la production correspondant au bénéfice maximal et le montantde ce bénéfice.

Exercice 9

- Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x) = x3 − 5x2 − 6.On note f ′ la dérivée de la fonction f .

1. a. Calculer f ′(x).

b. Étudier le signe de f ′(x).

c. Donner le tableau complet des variations de f .

2. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique α. À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur deα arrondie au centième près.

- Partie B - Étude d’un coût moyen

Soit CT la fonction définie pour tout réel x élément de l’intervalle ]0; 10] par :

CT (x) = x3 − 10x2 + 34x + 12

La fonction CT modélise sur l’intervalle ]0; 10] le coût total de production exprimé en milliers d’euros, où x désigne lenombre de milliers d’articles fabriqués chaque jour.La courbe représentative de la fonction coût total, notée (Γ), est donnée ci-dessous :

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

y

(Γ)

a

A

On considère la fonction CM définie sur l’intervalle ]0; 10] par CM (x) =CT (x)

x. La fonction CM mesure le coût moyen

de production, exprimé en euros, par article fabriqué.

1. Dans le cas où la production est de 7500 articles par jour, calculer le coût moyen d’un article.

2. Soit A le point d’abscisse a de la courbe (Γ).

a. Montrer que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal au coût moyen CM (a)

b. Conjecturer graphiquement, les variations de la fonction CM

3. On désigne par C′ la dérivée de la fonction CM .

a. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle ]0; 10] on a C′(x) =2

(

x3 − 5x2 − 6)

x2.

b. En vous aidant de la partie A, étudiez les variations de la fonction CM .

c. En déduire la production, arrondie à la dizaine d’articles près, pour que le coût moyen soit minimal.Quel doit être alors le prix de vente minimal, arrondi à l’euro près, d’un article pour que l’entreprise ne travaillepas à perte ?

Exercice 10

Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Sa courbe représentative Cf est tracée ci-dessous dans le plan munid’un repère.Les tangentes à la courbe Cf aux points A B et C sont parallèles à l’axe des abscisses.

La tangente à la courbe Cf au point D (1 ; −1) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées(

0 ; −52

)

.

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

1 2 3 4 5 6 7-1-2 0 x

y

b

b

b

b

A

B

C

D

Cf

1. Donner les valeurs de : f(3), f ′(1), f ′(5).

2. Dresser le tableau de variation de la fonction f .

3. Parmi les courbes suivantes, quelle est celle de la fonction f ′ ?

a) la courbe C1

2

-2

-4

2 4 6-2 0 x

y

b) la courbe C2

2

-2

-4

2 4 6-2 0 x

y

c) la courbe C3

2

-2

-4

2 4 6-2 0 x

y

4. On considère la fonction g définie sur R par g(x) = [f(x)]2. On note g′ sa dérivée.On rappelle que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, (u2)′ = 2 × u × u′.

Déterminer g′(1).

Exercice 11

- Partie A -

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle ]−8; +∞[ par :

f(x) =x2 − 1, 275x + 6, 8

x + 8

1. On note f ′ la dérivée de la fonction f .

2. Calculer f ′(x).

3. Étudier le signe de f ′(x).

4. Donner le tableau des variations de f .

- Partie B -

L’offre et la demande désignent respectivement la quantité d’un bien ou d’un service que les acteurs du marché sontprêts à vendre ou à acheter à un prix donné.Une étude concernant un article A a permis d’établir que :

— la fonction d’offre est modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle [1; 12] par :

f(q) =q2 − 1, 275q + 6, 8

q + 8

— la fonction demande est modélisée par la fonction g définie sur l’intervalle [1; 12] par :

g(q) =78 − 6q

q + 8

où f(q) et g(q) sont les prix d’un article en euros, pour une quantité q comprise entre 1 et 12 millions d’unités.Les courbes représentatives des fonctions d’offre et de demande sont tracées ci-dessous dans le plan muni d’un repèreorthogonal.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Prix (en e)

Quantité

(en millions)

Courbe de demande

du marché

Courbe d’offre

du marché

E

1. On suppose dans cette question que le prix de vente d’un article est de 6 e.

a. Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée de la quantité d’articles offerte sur le marché.

b. Calculer la quantité d’articles demandée sur le marché à ce prix.

c. Quel problème cela pose-t-il ?

2. On dit que le marché est à l’équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantitédemandée.Calculer les quantités échangées au prix d’équilibre et en déduire le prix d’équilibre du marché.

Exercice 12Le gérant d’une salle de cinéma de 300 places constate que le nombre x de spectateurs à une séance est une fonctionaffine du prix p du billet. Plus précisément on a : x = 300 − 12p.

1. Sachant que les charges fixes pour chaque séance s’élèvent à 1 848e, montrer que le bénéfice b(p) de chaque séanceest égal à b(p) = −12p2 + 300p − 1848.

2. En déduire graphiquement puis par le calcul pour quelles valeurs de p le séance est rentable.

3. Déterminer graphiquement puis par le calcul le prix du billet pour que le bénéfice soit maximum. Quel est alors lenombre de spectateurs et le bénéfice réalisé ?

Exercice 13Soient f et g deux fonctions définies sur R par, respectivement :

f(x) = −x4

4+ x3 − 3x2 + x + 2 et g(x) = −x3 + 3x2 − 6x + 1

1. Étudier les variations de la fonction g.

2. a. Calculer g(0) et g(1).

b. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α ∈ [0 ; 1].

c. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2.

d. Déduire de ce qui précède le signe de g(x) selon les valeurs de x.

3. Étudier les variations de f .

Exercice 14

On a représenté ci-contre la courbe représentative Γ, dansun repère orthonornal, d’une fonction f définie sur R.La courbe Γ passe par les points A (0 ; 2) et D (2, 22 ; 0)et la droite (AB), où B (−4 ; 0), est la tangente en A à Γ.La tangente à Γ en son point C d’abscisse 1 est parallèleà l’axe des abscisses.

1

2

3

−1

−2

1 2−1−2−3−4−5 0 x

y

b

b

b

bB

AC

Γ

D

1. a. Sans justifier, déterminer la valeur de f(0).

b. En justifiant, déterminer les valeurs de f ′(0) et de f ′(1).

c. Déterminer l’équation de la tangente T0 à Γ en A.

2. Parmi les trois représentations graphiques de la figure ci-dessous, l’une représente la fonction dérivée f ′ de f .Déterminer laquelle en justifiant sa réponse.

3. Parmi les trois représentations graphiques de la figure ci-dessous, l’une représente une fonction h telle que h′ = f .Déterminer laquelle en justifiant sa réponse.

Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3

1

2

−1

−2

1 2−1−2−3 0

1

−1

1 2−1−2−3 0

1

2

−1

−2

1 2−1−2−3 0

Exercice 15Soit f la fonction définie sur R\{3} par :

f(x) =x2 − 5x + 7

x − 3

On appelle f ′ sa fonction dérivée et C sa représentation graphique.

1. Résoudre l’équation f(x) = 0.

2. a. Montrer que, pour tout x 6= 3, f ′(x) =x2 − 6x + 8

(x − 3)2.

b. Étudier le signe de f ′(x) selon les valeurs de x et établir le tableau des variations de f en indiquant les extremumslocaux.

3. a. Déterminer, s’il y en a, les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

b. Soit T la tangente à C au point d’abscisse 0. Déterminer une équation de T .

Exercice 16La fonction f est définie sur [0 ; 6] par f(x) = −4x3 + 24x2 − 21x − 9.

Partie A : Étude mathématique

1. Étudier les variations de f sur [0 ; 6] et dresser son tableau de variations.

2. a. Calculer f

(

32

)

.

b. Montrer que f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [3, 5 ; 6].

c. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2.

d. Déduire des deux questions précédentes le signe de f(x) selon les valeurs de x.

Partie B : Application économiquePour une production comprise entre 0 et 600 objets, le bénéfice d’une entreprise, en milliers d’euros, en fonctionde la quantité x d’objets vendus, en centaines d’unités, est modélisé par f(x).Les réponses aux questions ci-dessous seront arrondies, si besoin, à l’unité pour les productions et à l’euro pour

les bénéfices.

a. Déterminer pour quelle production l’entreprise est rentable.

b. Déterminer pour quelle production l’entreprise réalise un bénéfice maximum et déterminer ce bénéficemaximum.