CESI FI Mathmatiques de base 3 tudes de fonctions : exercices

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Exercice 1

Dmontrer que la compose de deux fonctions de mme variation est croissante et que celle de deux fonctions de variations contraires est dcroissante.

Exercice 2

Etudier les limites aux bornes de son ensemble de dfinition et le comportement asymptotique de la fonction

: 2 1 2 Exercice 3

Dterminer lim 1 1 Exercice 4

Peut-on prolonger par continuit la fonction f en 0 ? : cos 1

Exercice 5

Soit f une fonction de dans , continue en 0 et en 1, telle que !, #$% & #%. Dmontrer que cest une fonction constante sur . Exercice 6

Soit f une fonction continue de '(; *+ dans '(; *+. Dmontrer quelle admet un point fixe, cest--dire quil existe , '(; *+ tel que #,% & ,. On pourra considrer la fonction -: #% . Exercice 7

Soit f la fonction dfinie sur par : #% & 1 ||

Montrer que f est une bijection de sur +1; 1', puis dterminer pour 2 +1; 1' une expression de 45#2% analogue celle de #%. Exercice 8

1) Dterminer une approximation affine de 554: lorsque h est voisin de 0.

2) En mcanique classique, lnergie cintique dun corps de masse m anim dune

vitesse v est donne par la formule : ; & 5$

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Exercice 9

Dterminer la limite suivante en utilisant deux nombres drivs :

limEsin # F3%1 2cos #%

Exercice 10

Soient ( H 0 et : '0; (+ drivable telle que #0% & #(% & 0 et J#0% & 0. 1) Montrer que -: #%/ sannule sur +0; ('. 2) En dduire quil existe un point autre que lorigine en lequel la tangente la

courbe (C) reprsentative de f passe par lorigine.

Exercice 11

En utilisant lgalit des accroissements finis, dterminer :

limLM Nsin 1 1 sin 1O Exercice 12

En utilisant lingalit des accroissements finis et le fait que , 1 P cos #% P 1 , dmontrer que :

, 1 2 P cos#% P 1 2 Q

24 Exercice 13

Soit S un point dune sphre de rayon R et de centre O. Soit (C) un cne de sommet S inscrit dans la sphre ; sa base est un disque (D) et (SO) est perpendiculaire au plan de (D). On note H lintersection de (D) et (SO). Pour tout point A du cercle intersection de (C) et (D), on note x une mesure de (STUUUUUUV; SWUUUUUV%.

1) Dmontrer que le volume V(x) de (C) est donn par : X#% & F!3 'cos#% cos$#% cos#% 1+

Dterminer x tel que ce volume soit maximal et dterminer alors la hauteur et le rayon de base de (C).

2) Retrouver les rsultats prcdents en notant h = OH et en tudiant la fonction V qui, h, associe le volume V(h) de (C). Que dire du choix de la variable dans ce problme ?

Exercice 14

Soit la fonction dfinie par : Y Z 1 1

On note #[% sa courbe dans un repre orthonorm donn du plan. 1) Dterminer son ensemble de dfinition D. 2) Etudier la drivabilit de en 1. Interprter graphiquement le rsultat. 3) a) Justifier que est drivable sur \\^1_.

b) Exprimer '#%+ en fonction de x lorsque \. En dduire lexpression du produit #%J#% pour tout \\^1_.

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c) Etudier le signe de J#% pour \\^1_. 4) Dterminer les limites de aux bornes de D. 5) Construire le tableau de variations de . 6) Dmontrer que #[% admet deux asymptotes, dont lune est oblique par rapport laquelle on prcisera la position relative de #[%. 7) Construire (C), aprs avoir construit ses asymptotes.

Exercice 15

Dmontrer que '1; 1+, arccos#% arcsin#% & E$ Exercice 16

Simplifier les expressions suivantes : a) cos #2 arccos#%% ; b) cos #2 arcsin#%% ; c) sin #2 arccos#%% d) cos #2 arctan#%% ; e) sin #2 arctan#%% ; f) tan #2 arcsin#%%

Exercice 17

Simpliaier arcsin b c1 d Exercice 1 : Appliquer les dfinitions de la croissance et de la dcroissance deux fonctions u et v dfinies sur un intervalle I, en comparant =#e#(%% et =#e#*%% pour tous a et b dans I tels que ( f *. Exercice 2 : Remarquer dabord que g ^2; 1_, #% & $LL54$ & 2 5

554$ . La limite en 1 est 4

(point asymptote) ; la limite en 2 gauche est et en -2 droite (asymptote verticale & 2) ; la courbe admet une asymptote oblique aux infinis, dquation 2 & 2 5. Exercice 3 : La limite est 1.Utiliser la quantit conjugue du numrateur.

Exercice 4 : Oui, en posant la valeur 0 en 0.

Exercice 5 : Remarquer que f est paire. Puis que H 0 , j k, l5/$mn & #%. En passant la limite pour n tendant vers linfini, on en dduit #% & #1% du fait de la continuit en 1. Ainsi, o 0, #% & #1%. En utilisant la continuit en 0 et lunicit de la limite en 0, on peut conclure. Exercice 6 : g est continue ; -#(% p 0 et -#*% P 0. Daprs le thorme des valeurs intermdiaires, il existe donc , '(; *+ tel que -#,% & 0 ; ce qui tablit le rsultat. Exercice 7 : Pour ltude de f , distinguer '0; ' et +; 0', ce qui permet dans chaque cas denlever les valeurs absolues. Dans les deux cas la fonction crot strictement (signe de la drive !). Globalement la

fonction est donc strictement croissante sur et elle y est continue. Ltude des limites permet de conclure. On obtient ensuite : 45#2% & v54|v| Exercice 8 : 1) 1 5$ h ; 2) Utiliser 1) en remarquant que lon peut poser w & =/,$ x 0. Exercice 9 : La limite est 1/3 : on fait apparatre le rapport propos comme le rapport de deux taux de variation et on utilise les nombres drivs correspondant lorsquon passe la limite.

Exercice 10 : a) En utilisant que f est drivable en 0, on montre dabord que g est prolongeable par continuit en 0 en posant -y#0% & 0. Le thorme de Rolle appliqu -y tablit le rsultat. b) En utilisant

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pour g la formule de drivation dun quotient, on montre que ,z,% & #,%. La tangente (C) au point dabscisse c a alors pour quation 2 & J#,% donc elle rpond la question. Exercice 11 : Pour un rel H 0 fix, appliquer le thorme des accroissements finis la fonction : { sin #1/{% sur lintervalle '; 1+ : on en dduira que la limite est 1. Exercice 12 : Utiliser plusieurs fois successivement lingalit des accroissements finis aux fonctions cos et sin de la variable t sur lintervalle '0; + pour x fix. Exercice 13 : 1) Le volume du cne est le tiers du produit de laire du disque de base par la hauteur. Il suffit

dexprimer ces dimensions en fonction de x et de tout exprimer en fonction de cos #% : T & !'1 cos #%+ , le rayon de base est | & ! sin#% et laire du disque de base est donc F!#1 cos#%% . On montre ensuite que J#% est du signe de sin#% 'cos#% 1+'cos#% 1/3+. Ltude du signe de chaque facteur permet den dduire lexistence du maximum comme demand. 2) Le choix de

h comme variable est plus judicieux car la fonction tudier est alors un simple polynme de degr 3 en h.

Exercice 14 : 1) \ & +; 1' } '1; ' ; 2) Le taux de variation a une limite infinie : tangente verticale ; 3) #%J#% & #~L45%#L5% ; J#% est donc du signe de #$ 1% sur D ; la valeur importante est 454$ 4) et 5) Maximum en ce nombre sur +; 1' ; croissance de f sur '1; ' . Limites infinies aux infinis. Limite infinie en 1. 6) Asymptote verticale & 1 et asymptote oblique 2 & 1. Exercice 15 : La drive de la fonction du 1er membre est nulle et cette fonction vaut

E$ en 0. Exercice 16 : a) 2 1 ;b) 1 2 ; c) 2c1 ; d) 545L ; e) $5L ; f) $c5454$ Exercice 17 : La drive de la fonction du 1er membre est la mme que celle de la fonction arctan. Donc la diffrence entre les deux drives tant nulle, la diffrence entre la fonction du 1er membre et arctan est constante. La valeur en 0 de cette diffrence est nulle, donc la constante est nulle. Do :

arcsin b c1 d & arctan #%