CESI FI Mathmatiques de base 1 Calcul algbrique : cours

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Calcul algbrique

1 Polynmes (rels)

1-1 Polynmes de degr 1

1-1-1 Dfinition :

On appelle polynme (rel) de degr 1 toute fonction P du type : , o ; est un couple de rels. Dans ce cas, est le coefficient du monme de degr 1 et celui du monme de degr 0. 1-1-2 Proprit (annulation) :

Un polynme de degr 1 sannule une unique fois dans : 0 / 1-1-3 Proprit (signe) :

Un polynme de degr 1 est partout du signe du coefficient de son monme de degr 1

aprs stre annul, et du signe contraire avant.

1-1-4 Proprit (reprsentation graphique) :

La courbe reprsentative de : est la droite dquation en est le coefficient directeur et en est lordonne lorigine. 1-2 Polynmes de degr 2

1-2-1 Dfinition :

On appelle polynme (rel) de degr 2 une fonction P du type o ; ; est un triplet de rels. est le coefficient du monme de degr 2. 1-2-2 Dfinition :

On appelle discriminant de le rel 4 1-2-3 Thorme (annulation) : les notations tant celles qui prcdent :

Si 0, alors lquation 0 nadmet aucune solution dans Si 0, alors lquation 0 admet une unique solution dans : cest /2 et on a de plus la factorisation (P admet une unique racine : ) Si 0, alors lquation 0 admet deux solutions distinctes dans : ce sont

2 et 2 et on a de plus la factorisation

(P admet deux racines distinctes qui sont et ) 1-2-4 Proprit (signe) :

Un polynme de degr 2 est du signe du coefficient de son monme de degr 2 partout

dans , sauf entre ses racines, sil en a deux. 1-2-5 Proprit (reprsentation graphique) :

La courbe reprsentative de : est une parabole dont le sommet a pour abscisse /2 et dont laxe de symtrie est la droite dquation /2

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1-3 Polynmes de degr ! "# 1-3-1 Dfinition :

On appelle polynme (rel) de degr n toute fonction P du type

$ %%&%' o %(%(& est un n-uplet de rels avec & ) 0 (coefficient du monme de degr n) 1-3-2 Thorme (division euclidienne)

Soient A et B deux polynmes de degr non nul. Alors il existe un unique couple *; + de polynmes tels que :

,- ! , / 0* +degr + degr 0 5 On dit que Q est le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B.

1-3-3 Thorme (annulation et factorisation) :

Soient P un polynme de degr ! "# et 6 ! . Alors : 6 0 6 est racine de le reste de la division euclidienne de par 6 est nul Il existe un polynme * de degr 1 tel que - ! , 6* 1-3-4 Thorme (nombre de racines) :

Un polynme non identiquement nul admet un nombre de racines relles distinctes au

maximum gal son degr.

1-3-5 Dfinition (ordre de multiplicit dune racine) :

Soient P un polynme et 6 ! une racine de P. Sil existe H ! " et un polynme Q tel que *6 ) 0, alors on dit que m est lordre de multiplicit de la racine 6 de P. 1-3-6 Dfinition (polynme scind) :

On dit quun polynme P est scind dans sil est entirement factorisable en produit de polynmes de degr 1 coefficients rels.

2 Fractions et fractions rationnelles

2-1 Calculs gnraux sur les fractions

2-1-1 Oprations algbriques

Pour tous rels a, b, c et d tels quaucun dnominateur ne soit nul dans les fractions : 1/ I J J K J J J J J

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2-1-2 Nullit : 0 0 et ) 0 2-2 Calculs sur les fractions rationnelles

2-2-1 Dcomposition dans le cas o degr (numrateur) > degr (dnominateur) :

Si A et B sont deux polynmes tels que degr(A) > degr(B), alors il existe daprs 1-3-2

un unique couple *; + de polynmes tels que : L- ! , /0 * +0degr + degr 0 5

2-2-2 Dcomposition dans le cas o degr (numrateur) < degr (dnominateur) :

Soient A et B deux polynmes tels que B soit scind et degr(A) < degr(B).

Soient 6M(M(N les racines de B et soient HM(M(N les ordres de multiplicit respectifs de ces racines. Alors il existe une dcomposition, dite en lments simples, de la forme :

/0 / 6MPQNM' $ R$ % 6M%PQ

%' SN

M'

3 Systmes linaires dquations

3-1 Dfinition

On appelle systme linaire n inconnues M(M(& tout ensemble (S) de p quations simultanment satisfaites par ces inconnues et qui sont de la forme :

R$ MTT&T' MS(M(N o les UMTV(M(N(T(& et les M(M(N sont des constantes connues. 3-2 Proprits fondamentales et dfinition On ne modifie pas les solutions du systme (S) (cest--dire quon obtient un systme quivalent) lorsquon lui applique les oprations suivantes :

Permuter deux quations Multiplier une quation par un rel non nul Substituer une quation une combinaison linaire de cette quation et dune ou plusieurs autres

La mthode dite de Gauss consiste appliquer ces proprits afin dliminer

successivement des inconnues.

Elle permet de faire apparatre le nombre r dquations rellement non redondantes

dans (S), nombre quon appelle le rang de (S). Elle permet ventuellement aussi de

mettre en vidence labsence de solutions (on dit alors que le systme est incompatible).

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3-3 Rsolution dans le cas o le systme est carr ( W) 3-3-1 Rsolution par la mthode de Gauss

La mthode de Gauss consistera ici obtenir un systme triangulaire, si cest possible.

Dans ce cas, le systme peut se rsoudre en cascade et il admet une unique solution.

Si lon ne peut pas obtenir un systme triangulaire, cest que le rang r de (S) est infrieur

p (et donc n). Dans le cas o le systme est compatible, on choisit X inconnues dites auxiliaires , qui jouent le rle de paramtres, et en fonction desquelles on

exprime les r inconnues restantes (dite principales ) : on cre ainsi un sous-systme

carr de format r et ce systme est triangul ; il a une unique solution pour les inconnues

principales, mais comme celles-ci dpendent (linairement) des inconnues auxiliaires, le

systme (S) a une infinit de solutions.

3-3-2 Rsolution au moyen de dterminants (formules de Cramer)

Dans le cas o un systme (S) carr est de rang gal son format, on peut le rsoudre

par des formules mcaniques utilisant des dterminants. On ne retiendra ici que les

rsultats suivants, applicables lorsque ! Y2; 3[, mais gnralisables. On note \ J\ J et ]

J ^ _` a b ] \^ _a b \ cJ _` b c cJ ^` ac \^ _a b \ J \ a b\ ` c ^ _c

Alors :

Si \ J\ ) 0 , le systme , d J e5 admet pour unique solution : cd e Jc\ J\ ;

c d ec\ J\ Si ] J ^ _` a b ] ) 0, le systme L

f dJ ^ _f ` a bf ge5 admet pour unique solution :

]d e ^ _g a b ]

] J ^ _` a b ] ; ]

d J e _` g b ]] J ^ _` a b ]

; f ] dJ ^ e` a g]

] J ^ _` a b ]

3-4 Rsolution dans le cas o W La mthode de Gauss permet l aussi de connatre le rang r du systme (S) ; et on peut

rsoudre le systme en choisissant X inconnues auxiliaires en fonction desquelles on peut exprimer les r inconnues principales correspondantes. On se ramne alors au

cas prcdent avec un systme carr de format r, mais dont les seconds membres

contiennent les inconnues auxiliaires comme paramtres (infinit de solutions).