MATHEMATICAL ANALYSIS OF MODELS OF NON-HOMOGENEOUS â€؛ download â€؛ pdf â€؛ آ ...

download MATHEMATICAL ANALYSIS OF MODELS OF NON-HOMOGENEOUS â€؛ download â€؛ pdf â€؛ آ  2016-07-26آ  problem

of 160

  • date post

    30-Jun-2020
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of MATHEMATICAL ANALYSIS OF MODELS OF NON-HOMOGENEOUS â€؛ download â€؛ pdf â€؛ آ ...

  • Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati Sector of Functional Analysis and Applications

    Université Paris-Est � École Doctorale MSTIC Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées � UMR CNRS 8050

    (also supported by Università Italo-Francese / Université Franco-Italienne)

    MATHEMATICAL ANALYSIS OF

    MODELS OF NON-HOMOGENEOUS FLUIDS

    AND OF

    HYPERBOLIC EQUATIONS

    WITH LOW REGULARITY COEFFICIENTS

    (Analyse mathématique des modèles de �uids non-homogènes et d'équations hyperboliques à coe�cients peu réguliers)

    Supervisors Prof. Andrei Agrachev Prof. Ferruccio Colombini Prof. Raphaël Danchin

    Referees Prof. Isabelle Gallagher Prof. Nicolas Lerner

    Candidate Francesco Fanelli

    Defence Committee:

    Prof. Andrei Agrachev Supervisor

    Prof. Stefano Bianchini SISSA internal member

    Prof. Marco Cannone Université Paris-Est internal member

    Prof. Ferruccio Colombini Supervisor

    Prof. Gianni Dal Maso SISSA internal member

    Prof. Raphaël Danchin Supervisor

    Prof. Nicolas Lerner External member

    Thesis submitted for the degree of �Doctor Philosophiæ�

    May 28, 2012

  • Non si arriva ad una meta se non per ripartire [. . . ] portando nel cuore

    quella ricchezza di cose e di persone che si è vissuta Anonymous

    Wichtig ist, dass man nicht aufhört zu fragen (The important thing is not to stop questioning)

    A. Einstein

  • Abstract

    The present thesis is devoted to the study both of strictly hyperbolic operators with low regularity coe�cients and of the density-dependent incompressible Euler system.

    On the one hand, we show a priori estimates for a second order strictly hyperbolic operator whose highest order coe�cients satisfy a log-Zygmund continuity condition in time and a log- Lipschitz continuity condition with respect to space. Such an estimate involves a time increasing loss of derivatives. Nevertheless, this is enough to recover well-posedness for the associated Cauchy problem in the space H∞ (for suitably smooth second order coe�cients).

    In a �rst time, we consider a complete operator in space dimension 1, whose �rst order coe�cients were assumed Hölder continuous and that of order 0 only bounded. Then, we deal with the general case of any space dimension, focusing on a homogeneous second order operator: the step to higher dimension requires a really di�erent approach.

    On the other hand, we consider the density-dependent incompressible Euler system. We show its well-posedness in endpoint Besov spaces embedded in the class of globally Lip-

    schitz functions, producing also lower bounds for the lifespan of the solution in terms of initial data only.

    This having been done, we prove persistence of geometric structures, such as striated and conormal regularity, for solutions to this system.

    In contrast with the classical case of constant density, even in dimension 2 the vorticity is not transported by the velocity �eld. Hence, a priori one can expect to get only local in time results. For the same reason, we also have to dismiss the vortex patch structure.

    Littlewood-Paley theory and paradi�erential calculus allow us to handle these two di�erent problems. A new version of paradi�erential calculus, depending on a paramter γ ≥ 1, is also needed in dealing with hyperbolic operators with nonregular coe�cients.

    The general framework is that of Besov spaces, which includes in particular Sobolev and Hölder sets. Intermediate classes of functions, of logaritmic type, come into play as well.

    Keywords

    Littlewood-Paley theory, paradi�erential calculus with parameters, Besov spaces, strictly hyper- bolic operator, log Zygmund continuity, log-Lipschitz continuity, loss of derivatives, logarithmic Sobolev spaces, incompressible Euler system, variable density, lifespan, vortex patches, striated and conormal regularity.

    v

  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude des opérateurs strictement hyperboliques à coe�cients peu réguliers, aussi bien qu'à l'étude du système d'Euler incompressible à densité variable.

    Dans la première partie, on montre des estimations a priori pour des opérateurs strictement hyperboliques dont les coe�cients d'ordre le plus grand satisfont une condition de continuité log-Zygmund par rapport au temps et une condition de continuité log-Lipschitz par rapport à la variable d'espace. Ces estimations comportent une perte de dérivées qui croît en temps. Toutefois, elles sont su�santes pour avoir encore le caractère bien posé du problème de Cauchy associé dans l'espace H∞ (pour des coe�cients du deuxième ordre ayant assez de régularité).

    Dans un premier temps, on considère un opérateur complet en dimension d'espace égale à 1, dont les coe�cients du premier ordre sont supposés hölderiens et celui d'ordre 0 seulement borné. Après, on traite le cas général en dimension d'espace quelconque, en se restreignant à un opérateur de deuxième ordre homogène: le passage à la dimension plus grande exige une approche vraiment di�érente.

    Dans la deuxième partie de la thèse, on considère le système d'Euler incompressible à densité variable.

    On montre son caractère bien posé dans des espaces de Besov limites, qui s'injectent dans la classe des fonctions globalement lipschitziennes, et on établit aussi des bornes inférieures pour le temps de vie de la solution ne dépendant que des données initiales.

    Cela fait, on prouve la persistance des structures géometriques, comme la régularité strati�ée et conormale, pour les solutions de ce système.

    À la di�érence du cas classique de densité constante, même en dimension 2 le tourbillon n'est pas transporté par le champ de vitesses. Donc, a priori on peut s'attendre à obtenir seulement des résultats locaux en temps. Pour la même raison, il faut aussi laisser tomber la structure des poches de tourbillon.

    La théorie de Littlewood-Paley et le calcul paradi�érentiel nous permettent d'aborder ces deux di�érents problèmes. En plus, on a besoin aussi d'une nouvelle version du calcul paradi�érentiel, qui dépend d'un paramètre γ ≥ 1, pour traiter les opérateurs à coe�cients peu réguliers.

    Le cadre fonctionnel adopté est celui des espaces de Besov, qui comprend en particulier les ensembles de Sobolev et de Hölder. Des classes intermédiaires de fonctions, de type logarithmique, entrent, elles aussi, en jeu.

    Mots clés

    Théorie de Littlewood-Paley, calcul paradi�érentiel avec paramètres, espaces de Besov, opérateur strictement hyperbolique, continuité log-Zygmund, continuité log-Lipschitz, perte de dérivées, espaces de Sobolev logarithmiques, système d'Euler incompressible, densité variable, temps de vie, poches de tourbillon, régularité strati�ée et conormale.

    vii

  • Contents

    Introduction xi

    I Fourier Analysis methods for Partial Differential Equations 1

    1 Littlewood-Paley Theory 3

    1.1 Littlewood-Paley decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Non-homogeneous Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2.1 Time-dependent Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Homogeneous Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.3 Non-homogeneous paradi�erential calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Bony's paraproduct decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 The paralinearization theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.4 Logarithmic Besov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 General properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Duality, multipliers, interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3 Paraproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.5 Paradi�erential calculus with parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 New classes of symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 General paradi�erential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.3 Symbolic calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    II Hyperbolic Equations with low-regularity coefficients 27

    2 Non-Lipschitz coe�cients: the one-dimensional case 29

    2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.3.1 Approximation of the coe�cient a(t, x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.2 Approximate and total energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.3 Estimate for the approximate energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.4 Estimates for commutator terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.5 End of the proof of theorem 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3 Non-Lipschitz coe�cients: the general N-dimensional case 47 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Basic de�nitions and main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Tools