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Itinraire d'accs Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibria

MATHMATIQUES 1

@ Ym SESSION 2013

JK. Q @ @CNC 2013

Mathmatiques 1

AQALMOUN MOHAMED agrg de mathmatiques MPSI CPGE Khouribga

Corrig disponible + Ici

Quelques aspects de la transforme de LaplaceCe problme est compos de quatre parties. La deuxime partie utilise essentiellement le rsultat de

la question 2.c de la premire partie. La troisime partie est largement indpendante de la seconde et laquatrime fait appel la troisime ainsi quau lemme de Lettelwood faisant lobjet de la question 3 de lapremire partie et le thorme de Cesro tabli la section 5. de la deuxime partie, ces deux rsultatsninterviennent que dans la quatrime partie.

Dans ce problme K dsigne R ou C, si I est un intervalle de R, C(I,K) dsigne lespacevectoriel des applications continues de I dans K et Cp(I,K) dsigne lespace vectoriel des ap-plications de classe Cp de I dans K, p 1.

Si C(R+,K), on rappelle que lintgrale +0

(t)dt est dite convergente lorsque la

fonction x 7 x0(t)dt possde une limite dans K lorsque x tend vers + ; on note alors +

0(t)dt la valeur de cette limite.

On rappelle aussi que +0

(t)dt peut converger sans que la fonction soit intgrable sur

R+. Toutes fois, pour les fonctions positives, il ya quivalence entre lintgrabilit de la fonctionsur un intervalle et la convergente de son intgrale sur cet intervalle.

Soit f C(R+,C) ; pour tout z C tel que +0

eztf(t)dt converge, on note L(f)(z) la

valeur de cette intgrale. La fonction ainsi dfinie est appele la transforme de Laplace de f .

Premire partie :Rsultats prliminaires

1. Soit z C ; on note x sa partie relle et y sa partie imaginaire ; x = Re(z) et y = Im(z)(a) Montrer que la fonction z 7 ezt est intgrable sur R+ si, et seulement si, Re(z) > 0.(b) Montrer que si est rel non nul, la fonction t 7 cos(t) nadmet pas de limite en

+. En dduire que la fonction t 7 eiyt possde une limite dans C, lorsque t tendvers + si, et seulement si, y = 0.

MP 1 / 5 Aqalmoun Mohamedwww.aqalmoun.com

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(c) Montre que lintgrale +0

eztdt converge si, et seulement si, Re(z) > 0.

2. Soit f C(R+,C), et z0 C, tel que lintgrale +0

ez0tf(t)dt soit convergente, et soit

z un complexe tel que Re(z) > Re(z0), on dsigne par F la fonction dfinie par

F (x) =

x0ez0tf(t)dt , x 0

(a) Montrer que F est de classe C1 et borne sur R+.(b) Montrer que la fonction t 7 e(zz0)tF (t) est intgrable sur R+.

(c) laide dune intgration par parties, montrer que lintgrale +0

eztf(t)dt converge

et que +0

eztf(t)dt = (z z0) +0

e(zz0)tF (t)dt

3. Un Lemme de Lettlewood : Soit C2(]0,+[,C) une fonction de limite nulle en 0+telle que la fonction x 7 x2(x) soit borne sur ]0,+[, on prolonge par continuiten 0, en posant (0) = 0, et on note

M = supt>0

t2|(t)|

(a) Montrer pour tout, x > 0 et tout ]0, 1[, la formule

(x) (x) = ( 1)x(x) + xx

(x t)(t)dt

(b) En dduire, pour tout x > 0, et tout ]0, 1[, lingalit

|x(x)| 21 sup0tx |(t)|+

1 22

M

(c) Montrer alors que la fonction x 7 x(x) est de limite nulle en 0+.

Deuxime partie :Exemples et proprits de la transforme de Laplace

1. Ici f C(R+,C), dsigne la fonction t 7 et, C, dterminer le domaine de dfinitionde L(f) et donner lexpression de L(f)(z) lorsque cette quantit est dfinie.

2. Abscisse de convergenceMontrer que, pour tout f C(R+,C), il existe un unique R {,+} tel queL(f)(z) soit dfini si Re(z) > , et ne le soit pas si Re(z) < . Si le domaine de dfini-tion de L(f) nest pas vide on pourra considrer la bornne infrieure dans R {+} de{Re(z) ; L(f)(z) existe}. est appel labscisse de convergence de L(f) et est not (f).

3. Quelques propritsSoit f C(R+,C) une fonction telle que (f) < +, Daprs ce qui prcde la transfor-me de Laplace est dfinie sur le demi plan ((f)) = {z C , Re(z) > (f)} du plancomplexe, donc aussi sur lintervalle ](f),+[.


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Dans la suite du problme, on note aussi L(f) la restriction lintervalle ](f),+[ de latransforme de Laplace de f .Dans les questions qui suivent , on pourra utiliser avec profit le rsultat de la question2.3. ci-dessus de la premire partie et exploiter au mieux les proprits de la fonction Fdfinie en 2. de la premire partie.

(a) Montrer que la fonction L(f) est continue sur le demi plan ().

(b) On note f = {(x, y) R2 , x > (f)} ; il sagit dun ouvert de R2 sur lequel ondfini lapplication not Lf par

Lf (x, y) = L(f)(x+ iy) , (x, y) fMontrer que lapplication Lf est de classe C1 sur f et que

Lfx

(x, y) = +0

te(x+iy)tf(t)dt , (x, y) f

(c) Montrer que la restriction lintervalle ](f),+[ de la transforme de Laplace de fest de clesse C, et donner pour tout p N, une expression intgrale de la drivedordre p de L(f) not L(f)(p). On pourra raisonner par rcurrence sur p.

(d) Montrer que lapplication x 7 L(f)(x), dfinie sur lintervalle ](f),+[, admetune limite nulle en +.

4. Soit la fonction dfinie par, (t) =1 cos t

t2, t > 0 ; on la prolonge par continuit en 0

(a) Prciser la valeur en 0 de la fonction et montrer que () 0.(b) Calculer la drive seconde de lapplication x 7 L()(x) dfinie sur ]0,+[.(c) En dduire, pour tout x > 0, lexpression de L()(x), puis celle de L()(x) laide

de fonctions usuelles. On pourra utiliser la question 3.4 de la deuxime partie pourcalculer les constantes dintgration.

5. Un thorme de Cesro : Soit g C(R+,R) une fonction valeurs positives telle que(g) 0 ; on suppose de plus que la fonction x 7 xL(g)(x) admet 1 comme limite en 0+.

(a) Montrer que, pour tout x > 0, et toute fonction h continue par morceaux sur [0, 1] et valeurs relles, la fonction t 7 extg(t)h(ext) est intgrable sur [0,+[. On posealors

x(h) =

+0

extg(t)h(ext)dt

(b) Si P est un polynme coefficients rels, on dsigne galement par P la restrictionau segment [0, 1] de la fonction polynomiale associe. Montrer que x(P ) tend vers 10P (t)dt lorsque x tend vers 0+. On pourra exploiter la linarit de x.

(c) En donnant un nonc prcis du thorme utilis, tablir que la proprit prcdentestend aux fonction continues sur [0, 1] et valeurs relles.

(d) On admet ici que le rsultat de la question prcdente stend aux fonctions conti-nues par morceaux sur [0, 1] et valeurs relles, et on considre la fonction h1 dfiniesur [0, 1] par :

h1(t) =

0 si 0 t < 1e1t si

1e t 1


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Pour tout x > 0, exprimer lintgrale 1

x

0g(t)dt en fonction de x et de x(h1) puis

en dduire que la fonction a 7 1a

a0g(t)dt dfinie sur ]0,+[, tend vers 1 lorsque

a tend vers +.Troisime partie :

Comportement au voisinage de lorigine

Soit f C(R+,C) ; on sintresse dans cette partie ltude du comportement au voisinage de0+ de la transforme de Laplace L(f) en rapport avec lexistence de L(f)(0).

1. Dans cette question on suppose que L(f)(0) existe, ce qui est quivaut la convergence

de lintgrale +0

f(t)dt, on en dduit que (f) 0.(a) En dduire que L(f)(x) admet L(f)(0) comme limite lorsque x tend vers 0+. On

pourra exploiter le fait que limt0

F (t) = L(f)(0), puis dcouper lintgrale prcdent

en deux.

(b) Montrer par un exemple que la fonction L(f) peut tre dfinie sur ]0,+[ et poss-der une limite dans C en 0+ sans que lintgrale de f sur R+ soit convergente.

Dans la suite de cette partie, on se propose dtudier une condition suffisant dexis-tence de L(f)(0) lorsque la fonction L(f) possde une limite en 0+.Dans cette question on suppose que la fonction t 7 tf(t) tend vers 0 en +.

2. Thorme de Tauber.(a) Justifier que (f) 0.(b) Montrer que la fonction a 7 1

a

a0|tf(t)|dt tend vers 0 en +.

(c) Monter que pour tout, rel u, 1 eu u.(d) Montrer que pour toue rels x et a strictement positifs, on aL(f)(x) a

0f(t)dt

a0

(1 ext)|f(t)|dt+ +a

ext|f(t)|dt,

puis en dduire queL(f)(x) a0f(t)dt

x a0|tf(t)|+ 1

axsupta|tf(t)|

(e) On suppose de plus que la fonction L(f) possde une limite C en 0+. En choi-sissant convenablement x en fonction de a, dduire de ce qui prcde que L(f)(0)existe et vaut 0.

Quatrime partie :Une gnralisation du thorme de Tauber dans le cas rel

Dans cette partie on prend f C(R+,R), et on suppose que la fonction t 7 tf(t) est borne sur[0,+[. On pose M = sup

t0|tf(t)|, et dsigne par f1, f2 et f3 les fonctions dfinies par :

f1(x) =

x0tf(t)dt x 0, f2(x) = f1(x)

x, x > 0, et f3(x) =

f2(x)

xx > 0 .


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1. Justifier que les fonctions f2 et f3 sont continues sur ]0,+[ et montrer quelles sontprolongeables par continuit en 0. On pourra utiliser le thorme de Rolle pour traiter f3.Dans la suite, on notera encore f2 et f3 les prolongements par continuit ainsi obtenues.

2. Montrer que, pour tout x > 0, la fonction t 7 f2(t)ext admet 0 comme limite en +.3. Monter que, pour tout x > 0,les fonctions t 7 f2(t)ext et t 7 f3(t)ext sont intgrables

sur R+. En particulier (f2) 0 et (f3) 0.4. Montrer , pour tout triplet (u, v, x) de rels strictement positifs, la relation v

uf(t)extdt = f2(v)exv f2(u)exu + x

vuf2(t)e

xtdt+ vuf3(t)e

xtdt

puis en dduire que (f) 0 et que L(f)(x) = xL(f2)(x) + L(f3)(x)On suppose dsormais que la fonction L(f) admet 0 comme limite en 0+.

5. On va montrer ici que la fonction t 7 tf3(t) tend vers 0 en +. On note g la fonctiondfinie par g(t) = 1 tf(t)

M, t 0 o M = sup

t0|tf(t)|. Il est claire que g C(R+,R) , g 0

et (g) 0.(a) Montrer en utilisant le lemme de Lettlewood, que la fonction x 7 xL(f)(x) est de

limite nulle en 0+.

(b) En dduire que la fonction x 7 xL(g)(x) admet 1 comme limite en 0+.(c) Montrer alors que la fonction x 7 xf3(x) tend vers 0 en +. On pourra utiliser

Cesro.

6. Montrer que la fonction x 7 xL(f2)(x) admet 0 comme limite en 0+. On pourra utiliseren le justifiant le fait que f2(x) 0

x+7. En dduire que L(f3)(x) 0

x0+puis montrer que L(f3)(0) existe et vaut 0.

8. Montrer alors queL(f)(0) existe et vaut 0. On pourra effectuer une intgration par parties.

9. On considre ici une fonction C(R+,R) telle que la fonction t 7 tf(t) soit borne sur[0,+[, et on suppose de plus que la fonction L(), dfinie sur ]0,+[, admet en 0+ unelimite R, montrer que L()(0) existe et vaut .

YJ k

KA D @ FIN END


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