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01/06/2018
MATH & MAGIE Des tours de magie pour apprendre
des mathématiques au 1er degré.
Travail de fin d’études présenté en vue de
l’obtention du grade de Bachelier-Agrégé de
l’Enseignement secondaire inférieur, sous-
section mathématique.
Travail de fin d’études réalisé par
Jean-Christophe Dangoisse
Promotrice
Laure Ninove
Remerciements
Je remercie tout d’abord Mme Ninove pour ses idées originales et son encadrement durant la
création du TFÉ.
Je tiens également à remercier Mme Cheu pour les opportunités qui m’ont permis d’étoffer ce
travail.
Je souhaite aussi remercier les enseignants qui ont participé à l’élaboration de ce TFÉ, Mr Hawia,
Mme Finé, Mme Dehaye et Mme Chantillon.
Je remercie Gaspard Leemans et Jolan Van Langendonck pour leur implication dans les ateliers
de Math & Magie ainsi que Julian Devilé et Alexia Herinckx.
Enfin, je tiens à remercier Alexandra Herchaft pour son soutien de tous les instants.
2
Table des matières
1. Introduction ................................................................................................................................. 3
2. D’un point de vue historique ....................................................................................................... 4
3. Mise en pratique sur le terrain .................................................................................................... 6
3.1. Présentation générale de l’outil et des méthodologies utilisées. ................................................ 6
3.2. Les différents tours : présentation et analyse ............................................................................. 8 3.2.1. Le fruit de tes pensées ........................................................................................................ 8 3.2.2. La main gagnante ............................................................................................................. 10 3.2.3. Le coup des dés devinés ................................................................................................... 13 3.2.4. Le treize porte-bonheur .................................................................................................... 15 3.2.5. Le tour de base ................................................................................................................. 17 3.2.6. L’échange neutre .............................................................................................................. 20 3.2.7. Les portraits du roi ........................................................................................................... 23 3.2.8. Preuve par neuf ................................................................................................................ 26 3.2.9. Voilà la carte choisie ........................................................................................................ 28 3.2.10. Donne-moi de l’aire ......................................................................................................... 31
3.3. Analyse à posteriori des expérimentations en classe ................................................................ 34
4. L’avis des experts .......................................................................................................................36
4.1. Dominique Souder .................................................................................................................... 36
4.2. L’avis de futurs enseignants en mathématique ......................................................................... 38 4.2.1. Les étudiants en Bloc 2 AESI mathématiques ................................................................. 38 4.2.2. Deux étudiants de Bloc 3 AESI mathématiques .............................................................. 39
4.3. L’avis d’enseignants en mathématiques ................................................................................... 40
5. Conclusion ..................................................................................................................................42
Bibliographie ......................................................................................................................................43
Annexes ...............................................................................................................................................45
La main gagnante .................................................................................................................................. 50
Le coup des dés devinés ......................................................................................................................... 51
Le 13 porte-bonheur .............................................................................................................................. 52
Le tour de base ....................................................................................................................................... 53
L’échange neutre ................................................................................................................................... 54
Les portraits du roi ................................................................................................................................. 55
La preuve par neuf ................................................................................................................................. 56
Voilà la carte choisie .............................................................................................................................. 57
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1. Introduction
Dans ce travail nous allons présenter la Math & Magie, outil didactique mathématique au
travers de tours de magie.
Nous nous intéresserons aux processus mathématiques de différents tours, à leur
application et aux avantages et inconvénients qui découlent de l’utilisation de cette méthode.
L’année dernière, j’ai eu l’occasion d’aller animer, au Sacré-Cœur de Nivelles, des
ateliers sur la thématique des codes secrets. J’ai beaucoup aimé faire ces activités, de prime abord
sans lien direct avec le programme mathématique à enseigner. J’ai toujours été intéressé par la
magie, je regarde notamment une émission où des magiciens essaient de bluffer des collègues de
renom. Je me suis donc demandé si c’était pertinent d’introduire de la magie dans les cours de
mathématiques. Le but étant aussi de bluffer les élèves avec des tours de magie dont les
mécanismes étaient régis par l’application de concepts mathématiques afin de les intéresser à la
matière.
Les tours de magie que nous avons utilisés sont basés sur les travaux de Dominique
Souder, ancien professeur de mathématiques de collège, de lycée et secrétaire de la Fédération
Française de Jeux Mathématiques.
Pour commencer, nous allons présenter un bref aperçu historique afin de savoir à partir
de quel moment les maths sont intervenues dans la magie. Ensuite, nous présenterons les tours
utilisés en stage (Collège Saint Gertrude de Nivelles avec des premières années secondaire) et
lors des ateliers de math (Institut du Sacré-Cœur de Nivelles avec des élèves de deuxième
secondaire). Nous décrirons comment se sont déroulés les tours dans les classes. Enfin, nous
parlerons de l’avis de différents enseignants à qui nous avons, soit montré les tours, soit fourni
les fiches-élève pour qu’ils les utilisent dans leur propre classe.
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2. D’un point de vue historique
Depuis la Préhistoire la magie a évolué avec l’Homme. Nous allons essayer de définir à
quel moment sa route a croisé celle des mathématiques.
À la Préhistoire, la magie se nommait sorcellerie. Les sorciers utilisaient des trucs et
astuces qu’ils faisaient passer pour du divin. D’un autre côté, les mathématiques étaient sans doute
utilisées pour partager des ressources ou pour compter des troupeaux.
Dans l’Antiquité, nous retrouvons les premières traces d’écriture mathématique dans la
civilisation sumérienne. Même si nous savons que les Égyptiens ont eu recours à des
mathématiques plus poussées pour construire leurs pyramides. La magie, elle, est devenue une
source de pouvoir. Les dirigeants se font accompagné de savants qui maitrisent certains tours de
passe-passe ou d’illusions. Les Grecs se posent des énigmes comme celle bien connue du Sphinx.
Ils découvrent des « trucs » mathématiques. Comme par exemple, les Pythagoriciens avec les
nombres amiables. Deux nombres tels que dont la somme de leurs propres diviseurs est égale à
l’autre nombre. Par exemple, la somme des diviseurs de 220 est égale à 284. La somme des
diviseurs de 284 est égale à 220.
C’est au Moyen-Âge qu’apparaissent les premières traces du jeu de carte venant des
Chinois (entre 618 et 907). En Europe, c’est en Catalogne que les premières traces de cartes sont
découvertes en 1371. Les premiers tours de magie apparaissent. Le plus ancien est celui des
gobelets et d’une noix de muscade qui disparait ou qui change de gobelet. Sur la peinture de
Jérôme Bosch1, nous pouvons apercevoir ce tour ainsi que la représentation que les gens se
faisaient de la magie au Moyen-Âge.
1 J. Bosch, « l’escamoteur », Musée communale de Saint-Germain-en-Laye, v. 1475-1505.
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Premièrement, sur la table se trouve une baguette qui sert à manipuler les gobelets d’où la baguette
magique. Deuxièmement, on voit apparaitre le concept de détournement d’attention. Le magicien
montre quelque chose pendant que le spectateur se fait voler par un complice. Troisièmement, la
complicité, le fait d’avoir besoin d’un assistant pour la résolution de certains tours. Et
quatrièmement, on aperçoit un hibou dans la bourse du magicien. Animal considéré à cette époque
comme animal maléfique.
Le Moyen-Âge est une mauvaise période pour la magie surtout lors de l’Inquisition. En
effet, pendant cette période, la science et la magie ne forment qu’un et ces pratiques sont réservées
aux prêtres. Le moindre truc ou astuce peut être considéré comme un acte du diable et passible de
bûcher ou de décapitation. La période n’est pas propice non plus au développement des
mathématiques en Europe. Nous voyons même décliner les connaissances mathématiques dans
certaines parties d’Europe. Les Arabes prennent le relai des Grecs dans la recherche
mathématique. Puis les Italiens, grâce aux nombreuses traductions des recherches des Arabes,
faites pendant cette période. Des mathématiciens comme Fibonacci se lancent des défis
mathématiques à résoudre.
À la Renaissance, des mathématiciens comme Pascal continuent de lancer des défis
mathématiques à des confrères. Cette pratique de résoudre des problèmes grâce à des astuces va
influencer fortement la magie ou la prestidigitation. Au début de la Renaissance, les pratiquants
de la magie sont toujours considérés comme des fous ou des charlatans. Il faut attendre 1682 pour
que la magie soit rationalisée. Deux personnes sont les acteurs majeurs de cette rationalisation.
Le premier est un Anglais du nom de Robert Fludd. Il est médecin et astrophysicien. Le deuxième
est un Allemand du nom de Athanasuis Kircher. C’est un jésuite, scientifique et surtout
graphologue. Par ailleurs, ce dernier enseignera les mathématiques à l’université de Wurtzbourg.
C’est à partir de cette époque, que les tours de magie vont être tels que nous les connaissons
aujourd’hui. Dans le but de divertir et d’amuser un public. C’est aussi à cette époque que les
magiciens vont inclure à leurs tours des procédés mathématiques. Nous allons retrouver ces
procédés dans des tours d’illusionnisme, de cartes ou encore de mentalisme.
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3. Mise en pratique sur le terrain
3.1. Présentation générale de l’outil et des
méthodologies utilisées.
Dans cette partie, nous présentons les dix tours de magie menés dans diverses classes du
premier degré commun. L’utilisation de ces tours de magie dans l’apprentissage des
mathématiques a l’intérêt de faire appel à de nombreuses compétences2 que l’élève doit
s’approprier au cours de l’année. Nous proposons deux outils complémentaires. Un à destination
des enseignants, que nous appellerons fiche-outil. Ces fiches-outils seront présentées dans la
partie 3.2. L’autre à destination des élèves que nous nommerons fiche-élève. Ces fiches-élève
comprennent huit des dix tours et sont consultables dans les annexes de la page 50 à 57.
Dans les fiches-outil, nous expliquons le but visé de chacun des dix tours, le matériel
nécessaire à son fonctionnement, le déroulement avec les élèves, l’explication mathématique du
tour et parfois nous y apportons quelques outils pour aider à la compréhension des élèves.
D’autres part, pour les huit tours qui s’y prêtaient, nous
proposons les fiches-élève représentées ci-contre. Elles demandent aux
élèves de comprendre le message de façon à pouvoir le reformuler pour
d’autres au moment de la présentation des tours. Il va également leur être
demandé d’appliquer les consignes reprises sur les fiches. La
présentation à leurs camarades de classe les obligera à comprendre
correctement la matière, à maitriser les contraintes du tour mais également à prendre la parole et
à orienter le message en fonction du public ciblé.
L’un des buts de cette démarche, au-delà de la compréhension des mathématiques, est
qu’ils prennent confiance en eux, qu’ils arrivent à utiliser les informations de façon adéquate et
qu’ils puissent les communiquer efficacement.
D’un point de vue strictement mathématique, le temps de réflexion en groupes sur les fiches outils
vont permettre aux élèves de confronter leurs avis, d’argumenter leurs raisonnements et de trouver
une résolution au problème.
2 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
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Ils seront donc à même de comprendre le fonctionnement du tour de magie et surtout de le répéter
lors des présentations aux autres groupes d’élèves. Cela implique qu’ils seront capables
d’appliquer les consignes reprises sur les fiches élèves mais aussi d’appréhender les concepts
sous-jacents au tour de magie. De cette façon, il leur sera possible de généraliser leur
apprentissage et faire preuve de créativité en trouvant de nouveaux moyens d’arriver au même
résultat.
Lorsque nous avons présenté les tours de magie aux élèves, nous avons exploité deux
méthodes différentes. La première méthode est que l’enseignant montre le tour à toute la classe
rassemblée autour d’un banc. Les élèves retournent à leur place une fois le tour fini et nous
recherchons ensemble le mécanisme et le principe mathématique qui régit le tour. Enfin, si
l’enseignant le souhaite, les élèves s’exercent à maitriser ce tour. La deuxième méthode est de
diviser la classe en un nombre pair de groupes. Les groupes A reçoivent une fiche élève d’un tour
de magie et les groupes B un autre tour de magie. Par groupe, ils découvrent comment fonctionne
le tour qu’ils ont reçu. Ils s’exercent jusqu’à le maitriser. L’enseignant passe de groupe en groupe
pour les aider. Ensuite, nous mélangeons les groupes A et B, les élèves A montrent le tour qu’ils
ont reçu aux élèves B et inversément. Enfin, nous cherchons le principe mathématique qui régit
les deux tours présentés.
Les deux méthodes ont des avantages et des inconvénients. Premièrement, certains tours
ne se prêtent qu’à la première méthode. Les tours « one-shot », comme « le fruit de tes pensées »
et « donne-moi de l’aire » sont difficilement répétables parce qu’ils ne varient pas dans leur
réponse. Deuxièmement, le temps que nous voulons y consacrer est important. La première
méthode va plus vite que la seconde. Troisièmement, l’implication des élèves est différente, ils
seront plus acteurs des recherches des mécanismes du tour avec la deuxième méthode. Ils auront
sans doute plus de facilités à comprendre pourquoi le tour fonctionne mathématiquement s’ils ont
pu s’exercer à le faire. Quatrièmement, la gestion du bruit et de la classe demande plus d’efforts
avec la deuxième méthode. Les élèves sont en recherche et vont échanger leurs impressions ainsi
que leurs désaccords. Certains groupes iront plus vite que d’autres et devront attendre que les
derniers finissent. Pour pallier cela nous pouvons demander à ces groupes d’aider les groupes plus
lents.
En conclusion, si le but est d’observer les principes mathématiques de chaque tour alors
nous conseillons la première méthode. Si le but est de faire travailler les élèves en groupe et
d’aiguiser leur compréhension des consignes alors nous conseillons la seconde méthode.
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3.2. Les différents tours : présentation et analyse
3.2.1. Le fruit de tes pensées3
But de l’activité
- Tour de mise en route pour capter l’attention des élèves.
Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)4
- Revoir le critère de divisibilité
des nombres multiples de neuf.
- Résoudre un problème par le
calcul littéral.
- Revoir la différence entre nombre
et chiffre.
- Construire des expressions
littérales où les lettres ont le statut
de variables ou d’inconnues.
- Transformer des expressions
littérales, en respectant la relation
d’égalité et en ayant en vue une
forme plus commode.
Matériel nécessaire
- Une feuille et un stylo par l’élève.
Présentation de l’activité
Phase 1 : déroulement du tour de magie
Étape 1 : l’élève choisit un nombre à trois chiffres. 477
Il additionne les chiffres qui le compose. 4+7+7= 18
Étape 2 : il soustrait ce nombre à son nombre de départ 477-18 = 459
Étape 3 : il soustrait cinq au résultat obtenu 459-5 = 454
Étape 4 : il additionne les chiffres de son nouveau nombre 4 + 5 + 4 = 13
Étape 5 : il répète l’opération en prenant comme nombre le résultat obtenu à l’étape précédente
1 + 3 = 4
3 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 16-17 4 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
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Prenez l’alphabet : A=1, B=2, C=3 et ainsi de suite jusque Z. S’arrêter à C dans l’exemple de
l’alphabet pour laisser un effet de surprise plus grand.
Étape 6 : il choisit un pays d’Europe qui commence par la lettre de l’alphabet associée à son
dernier nombre. Danemark
Étape 7 : il choisit un fruit qui commence par la dernière lettre qui compose le mot du pays de son
choix. Kiwi (ou Kaki mais moins connu).
Phase 2 : explication du tour de magie
Étape 1 : 100a + 10b + c
Étape 2 : 100a + 10b + c – a – b – c = 99a + 9b, nous rendons le nombre multiple de 9
Étape 3 : nous soustrayions 5 à 99a + 9b, si on additionne les chiffres qui composent le nombre,
le résultat sera égal à 9 ou 18, en enlevant 5, la somme des chiffres sera égale à 4 ou 13.
Étape 4 : nous additionnons les chiffres qui composent le nombre, la somme sera égale à 4 ou 13.
Étape 5 : nous nous assurons que le nombre final soit bien égal à 4, pour cela nous répétons la
dernière opération pour obtenir 4 grâce à l’addition de 1 et 3 ou de 4 lui-même.
Étape 6 : la quatrième lettre de l’alphabet est D, un seul pays d’Europe commence par D, c’est le
Danemark.
Étape 7 : deux fruits commencent par K, le Kiwi et le Kaki mais le deuxième étant très peu connu,
normalement seul le Kiwi sera envisagé par l’élève.
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3.2.2. La main gagnante5
But de l’activité
Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)6
- Résoudre un problème par le
calcul littéral.
- Revoir la différence entre nombre
et chiffre.
- Construire des expressions
littérales où les lettres ont le statut
de variables ou d’inconnues.
- Transformer des expressions
littérales, en respectant la relation
d’égalité et en ayant en vue une
forme plus commode.
Matériel nécessaire
- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que
tous les élèves testent le tour).
- Trois dés (prévoir trois dés par groupe de deux élèves).
- Fiche élève (en annexe page 50, fiche non testée en classe).
Présentation de l’activité
Phase 1 : présentation du tour de magie
Sur la table sont disposés trois dés et un paquet de cinquante-deux cartes dont les as sont
positionnés de la treizième à la seizième position en partant du dessus du paquet.
Un élève lance les trois dés et fait leur somme.
Du paquet de cinquante-deux cartes, il va retirer carte par carte la somme du lancer de ses dés
pour former un deuxième paquet. Ces cartes seront, comme le paquet initial, faces cachées.
L’élève choisit deux de ses trois dés et les retourne pour avoir leurs faces opposées. Il additionne
ces deux faces. Comme à l’opération précédente, il va retirer du premier paquet de cartes, la
somme de ses dés, carte par carte et les mettre sur le second paquet.
5 Tour de magie provenant de : Hiéronymus, Nouveaux Tours extraordinaires de mathémagique, ellipses, Paris, 2009, pp 9-10 6 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
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Il retire ensuite la valeur du dernier dé du deuxième paquet pour former un troisième paquet,
toujours carte par carte.
Enfin, l’élève va retirer deux cartes du deuxième et du troisième paquets et les retourner face
visible pour dévoiler les quatre as.
Attention, si la valeur du dernier dé est égale à un, alors l’élève ne doit pas former un troisième
paquet. Il doit retourner la première carte du premier paquet et les trois premières du deuxième
paquet.
Pour que cela fonctionne mieux, il faut essayer de trouver chaque fois une justification pour que
l’élève retourne deux cartes de chaque paquet avec les dés qui sont sur la table. Par exemple, les
valeurs des dés sur la table sont cinq, trois et six. « Combien font 5 – 3 ? » L’élève sera obligé de
dire deux et pensera qu’il a encore prise sur le tour.
Phase 2 : explication mathématique du tour
Les as sont positionnés en treize, quatorze, quinze et seizième positions dans le paquet de cartes.
La valeur d’une face d’un dé et de sa face opposée sera toujours égale à sept. Certains élèves vont
vite le remarquer sans indice.
Nous jetons trois dés, nous allons obtenir 𝑎 pour le premier dé, 𝑏 pour le deuxième dé et 𝑐 pour
le troisième.
Le nombre de cartes présentes dans le deuxième paquet seront 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 .
On rajoute 7 − 𝑎 et 7 − 𝑏 cartes au second paquet.
Le nombre de cartes du second paquet = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 7 − 𝑎 + 7 − 𝑏 = 𝑐 + 14
Ensuite, nous retirons 𝑐 cartes pour former le troisième paquet.
Si nous retournons deux cartes du deuxième paquet, il n’en restera plus que douze. Les deux cartes
retournées seront donc les treizième et quatorzième du paquet initial. Et si nous retournons les
deux premières cartes du paquet 𝑐, nous retournons les quinzième et seizième cartes du paquet
initial.
Cas particulier : si le dernier dé vaut un, le troisième paquet aura une valeur d’un et ne contiendra
que la quinzième carte du paquet initial. C’est pourquoi, nous devons aller rechercher la seizième
carte dans le paquet initial.
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Si le groupe classe éprouve des difficultés avec le calcul littéral, nous conseillons de prendre un
exemple avec des données chiffrées, par exemple les valeurs des dés que l’élève a lancé lors de
la présentation. Éviter le cas particulier du un pour l’exemple. Définir une couleur par dé au
tableau pour une meilleure compréhension visuelle de l’élève.
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3.2.3. Le coup des dés devinés7
But de l’activité
Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)8
- Résoudre un problème par le
calcul littéral.
- Revoir la priorité des opérations.
- Construire des expressions
littérales où les lettres ont le statut
de variables ou d’inconnues.
- Transformer des expressions
littérales, en respectant la relation
d’égalité et en ayant en vue une
forme plus commode.
- Calculer les valeurs numériques
d’une expression littérale.
- Respecter les priorités des
opérations.
- Effectuer un calcul comportant
plusieurs opérations à l’aide de la
calculatrice.
Matériel nécessaire
- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que
tous les élèves testent le tour).
- Trois dés (prévoir 3 dés pour deux élèves, si on veut que les élèves testent le tour).
- Éventuellement une calculatrice.
- Fiche élève (en annexe page 51).
Présentation de l’activité
Phase 1 : présentation du tour de magie
- Un élève lance trois dés.
- Il choisit un premier dé et il multiplie sa valeur par deux.
- Il ajoute cinq au résultat précédent.
7 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 8 8 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
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- Il multiplie par cinq le résultat précédent.
- Il rajoute la valeur de son second dé au résultat précédent.
- Il multiplie par dix le résultat précédent.
- Il ajoute son dernier dé.
- Le magicien demande le résultat total de la série d’opérations.
- Le magicien retire mentalement deux-cent cinquante au résultat.
- Le magicien énonce chaque chiffre qui compose le nombre qu’il a trouvé. Ces chiffres
représentent dans l’ordre les valeurs des trois dés que l’élève à choisit.
Phase 2 : Explication mathématique du tour
Avec les élèves nous pouvons comparer au tableau le tour de trois manières différentes. La
première colonne avec des phrases en français, la seconde avec le calcul littéral et la dernière avec
des valeurs numériques.
Nous lançons trois dés dont les valeurs sont a, b et c.
Exemple avec les valeurs 4, 1 𝑒𝑡 6
On choisit la valeur du dé a 𝑎 4
On le multiplie par deux 2𝑎 2 ∙ 4
On ajoute cinq 2𝑎 + 5 2 ∙ 4 + 5
On multiplie par cinq (2𝑎 + 5) ∙ 5 (2 ∙ 4 + 5) ∙ 5
On ajoute la valeur du dé b (2𝑎 + 5) ∙ 5 + 𝑏 (2 ∙ 4 + 5) ∙ 5 + 1
On multiplie par dix ((2𝑎 + 5) ∙ 5 + 𝑏) ∙ 10 ((2 ∙ 4 + 5) ∙ 5 + 1) ∙ 10
On ajoute la valeur du dé c ((2𝑎 + 5) ∙ 5 + 𝑏) ∙ 10 + 𝑐 ((2 ∙ 4 + 5) ∙ 5 + 1) ∙ 10 + 6
On retire deux-cent
cinquante
((2𝑎 + 5) ∙ 5 + 𝑏). 10 + 𝑐 − 250 ((2 ∙ 4 + 5) ∙ 5 + 1) ∙ 10 + 6 − 250
On effectue les opérations = ((10𝑎 + 25) + 𝑏) ∙ 10 + 𝑐 − 250
= 100𝑎 + 250 + 10𝑏 + 𝑐 − 250
= 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐
= ((8 + 5) ∙ 5 + 1) ∙ 10 + 6 − 250
= (13 ∙ 5 + 1) ∙ 10 + 6 − 250
= (65 + 1) ∙ 10 + 6 − 250
= 66 ∙ 10 + 6 − 250
= 660 + 6 − 250
= 666 − 250
= 416
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3.2.4. Le treize porte-bonheur9
But de l’activité
Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)10
- Résoudre un problème par le
calcul littéral.
- Revoir le principe de
complémentarité avec les
nombres (pas les angles).
- Construire des expressions
littérales où les lettres ont le statut
de variables ou d’inconnues.
- Transformer des expressions
littérales, en respectant la relation
d’égalité et en ayant en vue une
forme plus commode.
Matériel nécessaire
- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que
les élèves testent le tour).
- Fiche élève (en annexe page 52).
Présentation de l’activité
Phase 1 : présentation du tour de magie
- Un élève choisit cinq à six cartes représentant des chiffres dans un paquet de cinquante-
deux cartes. Il les dispose face visible sur la table.
- L’élève pose sur chaque carte le complément de la valeur qu’elle représente pour arriver
jusqu’à douze. Par exemple si la valeur de la première carte est sept alors il va déposer
dessus face visible cinq cartes aléatoires. Le magicien qui a aidé l’élève à comprendre les
consignes jusque-là se retourne pour ne plus voir les cartes.
- L’élève choisit trois tas de cartes qu’il conserve. Il retourne ses trois paquets face cachée.
Il remet les autres tas dans le paquet initial.
- Le magicien prend le paquet de carte initial, retire treize cartes en disant que c’est son
nombre porte bonheur.
- Le magicien compte le nombre de cartes qu’il reste dans le paquet initial.
9 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 54-55 10 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
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- Il annonce alors à l’élève la somme des trois premières cartes de chaque paquet. Cette
somme est le nombre de cartes qu’il reste dans le paquet initial.
Phase 2 : explication mathématique du tour
Un jeu de base comporte cinquante-deux cartes. Si nous en retirons treize, il en reste trente-neuf.
Si nous divisons les trente-neuf cartes par trois, nous obtenons trois paquets de treize cartes.
Chaque tas sur la table possède comme nombre de carte, le complément de la valeur de sa
première carte pour arriver à treize. Par exemple si la première carte est un neuf, le tas est composé
de quatre cartes.
Si nous généralisons, nous choisissons la valeur 𝑎 pour le premier tas, la valeur 𝑏 pour le deuxième
et la valeur 𝑐 pour mon troisième tas.
Somme de la valeur
des trois premières
cartes de chaque tas
Nombre de carte dans
le paquet initial moins
mon nombre porte
bonheur
Moins le
reste du
paquet 𝑎
Moins le
reste du
paquet 𝑏
Moins le
reste du
paquet 𝑐
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 52 − 13 − (13 − 𝑎) − (13 − 𝑏) − (13 − 𝑐)
Si nous effectuons l’opération, nous obtenons bien 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 dans chaque membre de l’égalité.
Nous conseillons d’accompagner la généralisation par un exemple concret pour faciliter la
compréhension des élèves.
Exemple : la valeur de la première carte du premier paquet est quatre. Nous allons donc rajouter
huit cartes pour atteindre douze. Dans le premier paquet, nous avons donc la carte de base plus
les huit cartes que nous avons ajoutées donc neuf cartes au total. Le complément de neuf pour
arriver à treize est quatre. Ces quatre cartes sont dans le paquet initial. Faire le même raisonnement
pour les deux autres paquets.
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3.2.5. Le tour de base11
But de l’activité
Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)12
- Découvrir un autre système de
base que celui que nous utilisons.
Dans ce cas, la base deux.
- Dénombrer.
Matériel nécessaire
- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que
tous les élèves testent le tour).
- Sept tableaux où sont représentés six cartes bien précises. Ils sont rangés dans l’ordre de
« k1 à k7 » (en annexes page 62 à 68).
- Fiche élève (en annexe page 53).
- Micomputer de Papy13 (en annexes page 58 à 61).
Présentation de l’activité
Phase 1 : présentation du tour de magie
Disposition des élèves : regroupés autour d’une table.
Un élève choisit une carte dans le paquet de cinquante-deux cartes sans la montrer au magicien.
Il peut la montrer aux autres élèves.
Le magicien montre à l’élève une série de sept tableaux. Pour chaque tableau, l’élève doit
répondre par oui ou par non uniquement. Les quatre premiers tableaux représentent la valeur de
sa carte (as, deux, trois, …, dame ou roi). Les trois derniers tableaux représentent la couleur de sa
carte (cœur, carreau, pique ou trèfle).
11 Tour de magie provenant de : D. Souder, 80 petites expériences de Maths Magiques, DUNOD, Paris, 2008, pp
188-192 12 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31 13 F. Papy, « Minicomputer», 1967, [en ligne], http://www.rkennes.be/Papy-Minicomputer/minicomp-reidel.pdf (page
consultée le 28/05/2018).
18
Le magicien va comptabiliser les réponses pour chaque tableau, les valeurs des réponses des
tableaux K1 à K4 sont additionnables.
Réponse de l’élève Nom du tableau Valeur associée
Non K1, K2, K3 et K4 0
Oui K1 1
Oui K2 2
Oui K3 4
Oui K4 8
Non K5 Cœur
Non K6 Carreau
Non K7 Pique
Oui K5, K6 et K7 Trèfle
Prenons un exemple avec le Sept de pique. Les réponses de l’élève seront :
Oui pour K1, K2, K3 et K7 et Non pour K4, K5 et K6.
Si nous additionnons les valeurs de K1 (1), K2 (2) et K3 (4), on va obtenir 7 = 1 + 2 + 4.
Cas particulier : le valet vaut 11, la dame 12 et le roi 0. Si dans les trois derniers tableaux,
les réponses de l’élève sont toutes positives alors la couleur de la carte sera un trèfle.
Phase 2 : mise en commun
Nous cherchons le concept mathématique qui régit le tour. Dans ce cas-ci, c’est la base deux parce
que nous recevons uniquement des réponses binaires, oui et non.
Les élèves seront capables d’identifier le truc pour les trois derniers tableaux numérotés de K5 à
K7.
Pour les quatre premiers tableaux, très peu d’élèves décèlent le mécanisme juste en les regardant.
Nous conseillons de passer à la phase 3 et à la découverte du système en base deux grâce à l’outil
du « mini computer de Papy » pour revenir ensuite observer les tableaux de K1 à K4.
19
Phase 3 : aide pour les élèves
Si nous faisons le tour avec toute la classe, nous pouvons basculer sur l’outil « le mini computer
de Papy ». Cet outil comprend plusieurs jeux déjà existant, tel que la guerre des pions, qui permet
de comprendre le fonctionnement de la base deux.
Si le tour s’effectue par groupe alors l’enseignant donne le début des grilles du « mini computer
de Papy » qui va aider les élèves à comprendre le fonctionnement de la base deux sans aller plus
profondément dans l’outil.
20
3.2.6. L’échange neutre14
But de l’activité
Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)15
- Revoir le calcul écrit.
- Revoir le principe de la
commutativité.
- Peut être utilisé comme situation
d’introduction à la commutativité.
- Revoir la différence entre nombre
et chiffre.
- Dénombrer.
Matériel nécessaire
- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que
tous les élèves testent le tour).
- (Éventuellement) une calculatrice
- Fiche élève (en annexe page 54, fiche non testée en classe)
Présentation de l’activité
Phase 1 : présentation du tour de magie
Disposition des élèves : regroupés autour d’une table.
Un élève choisit neuf cartes représentant des chiffres
dans le paquet de cinquante-deux cartes.
Il les dispose en carré (3 x 3) sur la table.
14 Tour de magie provenant de : D. Souder, 80 petites expériences de Maths Magiques, DUNOD, Paris, 2008, pp 33-36 15 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
21
L’enseignant pose sa prédiction face cachée en bas des neuf cartes. Il va prédire en calculant la
somme à l’image d’un calcul écrit sauf qu’il calcule en additionnant les lignes et non les colonnes.
Exemple :
L’enseignant demande à l’élève de réarranger comme il le souhaite la première ligne pour qu’elle
devienne la première colonne. Il procède de la même façon pour la ligne deux puis la ligne trois.
Exemple :
L’enseignant demande à l’élève d’additionner les 3 nouveaux nombres qu’il vient de créer. 489
+ 581 + 376 = 1446
L’enseignant dévoile alors sa prédiction.
Phase 2 : indice pour les élèves
Disposition des élèves : deux/trois par banc.
L’enseignant demande aux élèves de résoudre les deux calculs écrits suivants :
3 5 4
+ 6 1 7
+ 4 9 8
1 4 6 9
1
5 4 3 2 + 2
7 8 8 3 +1
6 9 1 6
1 4 4 6
4 8 9
5 8 1
3 7 6
1 4 4 6
6 1 8
+ 3 9 4
+ 4 5 7
1 4 6 9
22
Phase 3 : mise en commun
Les élèves émettent des hypothèses sur le fonctionnement du tour.
Mettre en évidence que les chiffres sont les mêmes pour chaque colonne.
L’enseignant peut réexpliquer avec les chiffres du tour qui sont toujours sur la table.
Phase 4 : synthèse
Dans une addition, si nous permutons (commute) les termes, la somme sera identique. Nous
appelons cela la commutativité.
5 + 3 = 8 ou 3 + 5 = 8
Phase 5 : mise en pratique
Les élèves pratiquent le tour par deux ou trois en alternant celui qui présente le tour et celui qui
participe.
23
3.2.7. Les portraits du roi16
But de l’activité
- Travailler la logique de l’élève en anticipant les cartes qui vont être retournées et celles
qui vont se retrouver face visible.
Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)17
- Revoir la symétrie orthogonale
lors du pliage en deux et la
symétrie centrale lors de
l’observation du mécanisme (aller
plus loin).
- Reconnaitre et caractériser une
symétrie axiale et une rotation.
Matériel nécessaire
- Seize cartes dont les quatre rois.
- Fiche élève (en annexe page 55).
Présentation de l’activité
Phase 1 : présentation du tour de magie
Positionnement des cartes en « carré » de quatre sur quatre avec les rois à
ces positions bien précises :
Retourner certaines cartes pour former un K comme ceci.
16 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 62-63 17 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
K K
K K
24
Plier plusieurs fois l’ensemble des cartes en deux parties égales pour obtenir un seul paquet, les
rois seront visibles d’un côté et les autres cartes de l’autre.
Phase 1 (bis) : raconter une histoire pour expliquer pourquoi on retourne certaines cartes :
C’est l’histoire d’un roi d’Angleterre qui s’aimait beaucoup. Il a fait faire 4 portraits de lui. Il les
a accrochés avec d’autres portraits de paysages pour en faire une énorme fresque. Pour rendre
hommage à ce roi disparu, nous allons d’ailleurs écrire un K en retournant certains tableaux parce
qu’en anglais roi se dit king.
Le roi se venta dans tout son royaume de ses tableaux magnifiques. Il n’aurait pas dû le crier sur
tous les toits car des voleurs voulurent s’en emparer. Malheureusement pour eux, les tableaux
étaient accrochés tous ensembles. Les voleurs avaient apporté un sac pour prendre uniquement
les tableaux du roi, mais devant la beauté de la fresque, ils décidèrent de tout voler. Le sac qu’ils
avaient prévu, était trop petit pour tout contenir tel quel. Ils durent plier en deux l’ensemble des
tableaux. Mais là encore, le sac fut trop petit. Ils durent replier la fresque pour ne former un tas
de la taille d’un seul tableau.
Le roi furieux de s’être fait voler, lança à la poursuite des voleurs tous les gardes du royaume. Ils
finirent par capturer les voleurs mais au moment d’ouvrir leur sac, les voleurs dirent :
Option 1 : « c’est juste quelques toiles de paysages sans grande valeur » et ils partirent avec leur
butin. Si tous les tableaux du roi sont face cachée.
Option 2 : « c’est juste des toiles vierges... » et les gardes les arrêtèrent car parmi les toiles vierges,
trônaient les 4 portraits du roi. Si tous les tableaux du roi sont face visible.
Phase 2 : compréhension de la mécanique du tour
Nous réfléchissons avec les élèves à la manière d’arriver à avoir uniquement les rois dans le même
sens à la fin du pliage.
Pour cela, les élèves vont diviser une feuille en quatre parties égales et indiquer sur chaque quart
de feuille un numéro calligraphié de la même couleur. Sur le verso de la feuille, ils vont procéder
à la même opération avec une autre couleur.
Ils vont se rendre compte que peu importe la manière dont ils choisissent de plier la feuille, ils
obtiendront toujours les couleurs de manière alternée. Par contre, les numéros changeront d’ordre.
25
Nous pouvons en conclure que si nous laissons toutes les cartes telles
quelles sans en retourner une partie, nous obtiendrons le schéma suivant
pour l’ensemble des seize cartes.
À partir de là, nous allons pouvoir mettre les rois à des endroits aléatoires.
Les élèves vont réfléchir aux cartes à retourner pour obtenir le même
résultat que la phase une.
Aller plus loin
Nous pouvons demander aux élèves de créer leur propre schéma.
Par exemple une variante avec les dames et le Q de queen :
D
D D
D
Sur cet exemple que nous avons créé, formant un N et cette fois 6 rois. Nous pouvons observer
une symétrie centrale sur ce dernier schéma.
R R
R
R
R R
26
3.2.8. Preuve par neuf18
But de l’activité
Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)19
- Revoir le critère de divisibilité
des nombres multiples de neuf.
- Résoudre un problème par le
calcul littéral.
- Revoir la différence entre nombre
et chiffre.
- Construire des expressions
littérales où les lettres ont le statut
de variables ou d’inconnues.
- Transformer des expressions
littérales, en respectant la relation
d’égalité et en ayant en vue une
forme plus commode.
Matériel nécessaire
- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que
les élèves testent le tour).
- (Éventuellement) une calculatrice
- Fiche élève (en annexe page 56).
Présentation de l’activité
Phase 1 : présentation du tour de magie
- Un élève choisit un nombre composé de quatre chiffres. Ce nombre doit être plus grand
que mille dix.
- L’élève additionne les chiffres qui composent son nombre.
- Il soustrait le total à son nombre de base.
- Il obtient un nouveau nombre composé de quatre chiffres.
- Pour chaque chiffre, il va choisir une carte dans le paquet de cinquante-deux cartes dont
les valeurs sont identiques. Il peut sélectionner une couleur qu’une seule fois. Par
exemple, si sa première carte est un sept de cœur, il ne pourra plus choisir cœur pour les
trois cartes suivantes. Une fois les quatre cartes choisies, il aura donc un cœur, un pique,
un trèfle et un carreau. Le zéro est représenté par un dix.
18 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 59 19 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
27
- Le magicien demande à l’élève de garder une carte en main et de lui donner les trois
autres.
- Le magicien annonce la carte de l’élève.
Phase 2 : explication mathématique du tour
En faisant retirer la somme des chiffres qui compose le nombre de l’élève, nous allons rendre le
résultat multiple de neuf.
Nous pouvons le présenter au tableau comme ceci :
Nombre de base choisi par
l’élève
Moins la somme des chiffres qui
composent le nombre de base
Résultat de la différence
1000a + 100b + 10c
+ d
−(a + b + c + d)
= 999a + 99b + 9c
Nous pouvons mettre neuf en évidence pour aider les élèves à mieux visualiser : 9(111a +
11b + c)
Nous énonçons le critère de divisibilité par neuf : « Un nombre est divisible par neuf lorsque la
somme de ses chiffres est un nombre multiple de neuf ».
Nous observons les trois cartes que l’élève nous a données et on calcule combien il manque pour
arriver au prochain multiple de neuf. Par exemple, si nous avons en main un sept de trèfle, un huit
de carreau et un sept de cœur, la carte de l’élève sera le cinq de pique. 7 + 7 + 8 = 22 . Il manque
cinq pour obtenir le prochain multiple de neuf supérieur à vingt-deux.
Le tour possède une erreur, si dans la main de trois cartes que nous donne l’élève se trouve déjà
un multiple de neuf alors la solution n’est plus unique. La carte que l’élève a gardée en main est
soit un dix soit un neuf.
L’élève doit choisir absolument un nombre supérieur à mille dix. Les nombres à quatre chiffres
qui sont inférieurs à mille dix, lorsque que nous soustrayons le nombre que composent ces
chiffres, le résultat obtenu sera inférieur à mille. Dans ce cas, l’élève choisira trois cartes au lieu
de quatre.
Exemple : 1005 1005 − 6 = 999
28
3.2.9. Voilà la carte choisie20
But de l’activité
Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)21
- Revoir la mise en équation d’un problème.
- S’aider d’un outil mathématique comme
une droite graduée pour résoudre un
problème.
- Revoir la différence entre nombre et
chiffre.
- Construire des expressions
littérales où les lettres ont le
statut de variables ou
d’inconnues.
- Utiliser l’égalité en terme de
résultat et en terme
d’équivalence.
Matériel nécessaire
- Un paquet de trente-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que les
élèves testent le tour).
- Fiche élève (en annexe page 57).
Présentation de l’activité
Phase 1 : présentation du tour de magie
- Un élève prend, face cachée, entre vingt et vingt-neuf cartes dans le paquet de trente-
deux.
- Il additionne les deux chiffres qui composent ce nombre.
- Il retourne le paquet et regarde la carte à la position qui correspond à ce nombre.
- L’élève remet le reste des trente-deux cartes qu’il n’a pas choisies en dessous du paquet
après avoir remis le paquet face cachée.
- L’enseignant prend le paquet et compte jusqu’à dix-neuf dans sa tête. Il retourne la carte
en disant qu’il a senti l’énergie de l’élève sur cette carte. Ou il épelle chaque lettre de la
phrase « magique » suivante « v-o-i-l-à l-a c-a-r-t-e c-h-o-i-s-i-e ». Il retire une carte
chaque fois qu’il épelle une lettre. Au E final de « choisie », il retourne la carte qui sera
celle de l’élève.
20 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 4-5. 21 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
29
Phase 2 : explication mathématique du tour
Quel que soit le nombre de cartes que choisit l’élève, nous allons toujours compter jusqu’à dix-
neuf en partant du dessus du paquet pour tomber sur sa carte. Nous allons mettre en équation les
deux manières de trouver la carte et vérifier que ces deux méthodes sont bien équivalentes.
Position de la carte en
partant du dessus du
paquet
Position de la carte en partant
du dessous du paquet
Nombre de carte choisies
moins dix-huit cartes car
la dix-neuvième carte est
la nôtre.
Somme des chiffres qui
composent le nombre de cartes
choisies
(20 + 𝑥) − 18
∀ 𝑥 ∈ 𝑁 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑥 ≤ 9 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠
=
2 + 𝑥
Pour les élèves, nous pouvons exprimer ce résultat à l’aide d’une droite graduée et d’un exemple :
imaginons qu’un élève ait choisi vingt cartes. Si nous partons du dessus du paquet, nous devons
retirer dix-neuf cartes du paquet de départ. Nous les symbolisons par un point noir au-dessus du
nombre des cartes qui composent le paquet. Si nous partons du dessous du paquet, nous devons
partir de zéro carte et compter le nombre de cartes pour arriver à l’addition des chiffres qui
composent notre nombre. Le nombre obtenu par le résultat de notre addition est symbolisé par
des points gris situés en dessous du nombre des cartes qui composent notre paquet.
30
+10
+10
+10
Aller plus loin
Nous pouvons nous poser la question, si nous prenons un paquet composé entre dix et dix-neuf
cartes, de combien de lettres va être composée notre phrase magique pour tomber sur la bonne
carte ? Et pour un paquet composé de trente à trente-neuf cartes ? Est-ce que nous observons une
constante entre les paquets de dix à dix-neuf, de vingt à vingt-neuf et de trente à trente-neuf
cartes ? Si oui pouvons-nous prédire le nombre de lettres de chaque phrase magique pour des
paquets composés avec des nombres différents de cartes ?
Si nous mettons ces données dans un tableau, nous remarquons que chaque fois que nous
augmentons de dix cartes la taille du paquet initial, nous devons augmenter notre phrase magique
de neuf lettres.
10-19 10
20-29 19
30-39 28
40-49 37
+9
+9
+9
31
3.2.10. Donne-moi de l’aire22
But de l’activité
Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)23
- Revoir la formule d’aire du
triangle, du carré et du trapèze.
- Revoir la proportionnalité.
- Revoir la pente.
- Apprendre à vérifier ses
informations.
- Construire et utiliser des
démarches pour calculer des aires.
- Mesurer des angles.
Matériel nécessaire
- Plusieurs formes prédécoupées à partir d’un carré.
- Des aimants, si on veut l’afficher au tableau.
Présentation de l’activité
Phase 1 : déroulement du tour de magie
Ce tour n’est pas à faire comme introduction des tours de magie mais plutôt lorsque le groupe
classe est déjà habitué aux activités magiques. Son aspect est très mathématique et peut donc
rompre l’immersion du thème de la magie.
Avec les élèves, nous observons les 4 figures disposées en carré (voir page suivante). Nous
mesurons l’aire du carré et nous l’inscrivons au tableau.
80 . 80 = 6400𝑐𝑚²
Nous vérifions l’aire des quatre figures et nous remarquons que la somme de leurs aires est égale
à celle du carré.
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 80 . 30
2+
80 . 30
2+
(30 + 50) . 50
2+
(30 + 50) . 50
2
= 1200 + 1200 + 2000 + 2000 = 6400𝑐𝑚²
Enfin, nous calculons l’aire du triangle formé par les quatre formes.
22 Tour de magie provenant de : Hiéronymus, Tours extraordinaires de mathémagique, ellipses, Paris, 2005, pp 39-41 23 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
32
(50 + 50) . (50 + 80)
2=
100 . 130
2= 6500𝑐𝑚²
Nous remarquons que les deux aires sont différentes, pourquoi ?
Phase 2 : explication du tour de magie
Par proportionnalité
Si nous comparons les proportions des deux triangles. Le premier étant celui
nommé B et le second est une partie du trapèze C que nous allons appeler E.
Si nous comparons le coefficient de proportionnalité des deux triangles, nous
observons qu’il est différent.
E B
x (en cm) 50 80
y (en cm) 20 30
Le coefficient de proportionnalité est de 20
50= 0,4 pour le triangle E et de
30
80= 0,375 pour le
triangle B. Il est donc impossible que, mis dans cette position, les deux triangles forment une
même droite avec leur hypoténuse respective.
33
Par le calcul des angles
Si nous calculons les amplitudes des angles 𝑎 et 𝑏, nous observons qu’elles sont différentes. Par
conséquent, il est impossible, dans cette disposition, que les sommets opposés aux côtés (qui
mesurent 30cm) des triangles A et B se rejoignent en seul un point.
Angle 𝑎 = arctan50
(50−30)= 68,02°
Angle 𝑏 = arctan80
30= 69,44°
Pour les élèves, ces calculs sont trop complexes. Nous proposons de comparer simplement les
angles avec l’outil Géogebra. Ou d’observer que les grands côtés des triangles A et B ne forment
pas une ligne droite parfaite. Par conséquent, la figure formée par les quatre figures n’est pas un
triangle.
34
3.3. Analyse à posteriori des expérimentations en
classe
La préparation des tours demande un certain investissement au professeur. En effet, même
si la maitrise complète de certains tours prend quelques minutes, certains autres ne sont acquis et
applicables qu’après plusieurs heures d’entrainement. Durant la préparation, il faut prendre en
compte la compréhension des concepts mathématiques, mais aussi la façon de les transmettre aux
élèves au travers des fiches-outils. Enfin, il faut ajouter les répétitions du tour en lui-même devant
des tiers avant de pouvoir le présenter aux élèves.
C’est une façon de transmettre la matière qui demande une implication différente que de
donner un cours de mathématique classique. Ce genre de procédé impose à l’enseignant d’être
beaucoup plus mobile dans la classe. Il doit être présent pour chaque groupe afin de réactiver la
réflexion des élèves, ne pas les laisser s’ennuyer ou renoncer. Cela demande également de
s’adapter aux différents profils d’élèves et de groupes pour donner de nouvelles pistes de
compréhension efficace.
Cela implique enfin de gérer le bruit de manière différente. Faire changer de place les
élèves ou leur demander de travailler en groupe occasionnera obligatoirement des discussions
entre eux qu’il faudra gérer sans imposer le silence.
Lors de la troisième semaine de stage au collège Sainte-Gertrude de Nivelles, mon maitre
de stage m’a proposé de m’occuper, exceptionnellement une d’heure de plus, de la classe de
première 1A. Pendant mon stage, j’ai donné cours de mathématique pendant quatre heures
semaine à cette même classe. J’ai donc profité de l’occasion pour faire des Maths & Magie. La
première chose que j’ai pu observer était leur enthousiasme face à cette nouvelle activité que je
leur avais proposée. Comme je leur donnais cours depuis trois semaines, j’ai pu noter des
changements de comportement chez certains d’entre eux. Plusieurs élèves qui avaient l’habitude
de se faire extrêmement discrets ou de déranger le cours se sont montrés très intéressés par
l’activité et se sont retrouvés parmi ceux qui posaient le plus de questions. Deux élèves sont
d’ailleurs restés environ dix minutes de plus après la sonnerie de fin des cours afin de comprendre
le mécanisme mathématique de leur tour de magie, sachant que l’activité s’est déroulée un jeudi
en dernière heure.
Lors des cours classiques donnés après l’activité, je n’ai pas vraiment observé de
changement dans leur comportement. Par contre, cela a influencé mon regard sur eux et m’a donné
de nouvelles informations pour interagir avec les différents élèves.
35
Plusieurs étudiants ou enseignants en mathématiques, dont mon maitre de stage, m’ont
demandé de leur transmettre les fiches-outils que j’avais utilisées pour pouvoir reproduire les
tours de magie avec leurs classes. Certains élèves ont également tenu à avoir ces fiches. Ce qui
témoigne de l’intérêt d’un public varié pour ce sujet.
Je pense qu’une activité régulière de ce type pourrait être très bénéfique pour les élèves
et le professeur. Cela permettrait de changer le type de relation que le professeur a habituellement
avec ses élèves, et donc avoir un contact différent avec eux.
36
4. L’avis des experts
4.1. Dominique Souder
Dominique Souder était professeur de mathématiques au lycée Valin de La
Rochelle en France. Il est, depuis 1990, secrétaire de la Fédération Française de Jeux
Mathématiques. Il est l’auteur de plusieurs livres mêlant mathématiques et magie. La
plupart des tours de magie que nous utilisons en sont issus. Il est également l’auteur de
vidéos que nous pouvons trouver sur Youtube et de conférences traitant de mathémagie.
Alors qu’il était professeur, il a créé un club de mathémagie qui avait lieu durant la pause
de midi. Dans ce club, les élèves apprenaient et créaient des tours de magie basés sur les
mathématiques. L’un des élèves participant à ce club à même participé à la rédaction de
deux des ouvrages de Dominique Souder.
Dans un article24 écrit par l’auteur, que nous pouvons retrouver sur le site
CultureMath, il dépeint les diverses utilisations de la mathémagie en classe.
Tout d’abord, un même tour peut être adapté pour différents niveaux de connaissances et
de capacités. Un tour peut être complexifié ou facilité en apportant une aide
supplémentaire aux élèves.
Le moment propice à un tour de magie est lorsque nous pouvons mettre en valeur un
concept mathématique vu récemment. Ils peuvent aussi être vus en guise d’introduction
à un nouveau concept mathématique. Enfin, cela peut être une « récompense ludique en
fin de cours » (Souder)25 pour aider à la création d’images mentales qui serviront à la
compréhension d’autres concepts.
Ce style d’activité sert à mettre en valeur les mathématiques, à faire comprendre aux
élèves qu’il y a une utilité à la théorie qu’ils ont apprise. Par exemple, un tour de magie
qui permet de retrouver le dernier chiffre du numéro d’un billet de banque.
24 D. Souder, « La mathémagie », 07/01/2017 [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-math%C3%A9magie
(page consultée le 19/05/2018).
25 D. Souder, « La mathémagie », 07/01/2017 [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-math%C3%A9magie
(page consultée le 19/05/2018).
37
Certains tours préparent à comprendre le langage informatique et donc le codage.
D’autres tours font appel à l’utilisation de la calculatrice, ce qui permet aux élèves de
s’entrainer avec cet outil.
D’après D. Souder26, La mathémagie a cet avantage de motiver les élèves et de les
transporter ailleurs que dans le cadre d’un cours type scolaire. Cela va les pousser à
s’investir davantage dans l’apprentissage des mathématiques. Le fait que les élèves
puissent s’approprier les tours de magie va augmenter leur confiance en eux, leur
éloquence et aussi leur créativité dans la production ou la réalisation des tours. Pour
Souder27 : « La mathémagie devient un sport complet, où les mathématiques conduisent
à un épanouissement personnel. » Cette dernière citation a son importance dans un
quotidien scolaire où les mathématiques sont souvent craintes par la plupart des élèves.
Le but de Mr. Souder est de banaliser les mathématiques en les reliant beaucoup plus au
quotidien.
Le fait d’impressionner positivement les élèves les pousse à avoir envie de comprendre
la logique pour répéter les tours. Leur enthousiasme aura aussi des répercussions positives
sur la relation élève-professeur. Il ne faut pas le négliger.
« Les maths sont souvent vécues comme répulsives par certains et attaquées dans les
médias. Je les défends à ma manière. Pour moi les mathématiques peuvent être, aussi, un
talent de société, et un domaine de développement de la créativité. Partout où je suis
passé j’ai trouvé des élèves capables d’imagination… » (Souder)28
26 D. Souder, « La mathémagie », 07/01/2017 [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-math%C3%A9magie
(page consultée le 19/05/2018).
27 D. Souder, « La mathémagie », 07/01/2017 [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-math%C3%A9magie
(page consultée le 19/05/2018).
28 D. Souder, « La mathémagie », 07/01/2017 [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-math%C3%A9magie
(page consultée le 19/05/2018).
38
4.2. L’avis de futurs enseignants en mathématique
4.2.1. Les étudiants en Bloc 2 AESI mathématiques
Nous avons demandé aux étudiants de 2ème AESI mathématiques de l’École Normale du
Brabant Wallon de participer aux tours de magie comme s’ils étaient les élèves. L’activité a
débuté par quelques tours pour capter leur attention. Ensuite, nous avons divisé le groupe en trois.
Chaque groupe a eu un tour de magie à décoder à l’aide des consignes élèves. Chaque groupe a
essayé de comprendre le(s) concept(s) mathématique(s) qui régissent leur tour de magie. Enfin,
chaque groupe a présenté le tour de magie qu’ils avaient reçu aux deux autres groupes.
Normalement, la durée de cette activité avec un groupe classe est de cinquante minutes
pour deux tours de magie à décoder. Avec les étudiants de deuxième AESI mathématiques,
l’activité a duré vingt-cinq minutes pour trois tours de magie à décoder. Le gain de temps peut
être en grande partie dû au fait que nous nous sommes rendus très peu dans les groupes d’AESI
alors qu’avec des élèves du secondaire, nous étions sollicités en permanence.
La plupart des élèves de deuxième AESI ont été bluffés par les tours. Ils ont participé
avec enthousiasme. Ils étaient curieux de découvrir le mécanisme mathématique de chaque tour.
A la fin, nous leur avons demandé de donner leurs impressions sur l’activité qu’ils avaient vécue.
Les impressions exprimées sont les suivantes :
- L’activité est ludique.
- Les consignes sont faciles à expliquer.
- Favorise le rappel des certains concepts mathématiques.
- Entraine l’esprit logico-mathématique.
- Attractif pour les élèves.
- Les élèves travaillent en autonomie.
- Éveille la curiosité.
Les conseils d’amélioration sont les suivants :
- Difficulté à gérer les groupes dans leur ensemble.
- Attention à ce que les groupes ne soient pas trop volumineux pour que tous les élèves
puissent participer au décodage du tour de magie.
- Certains tours ont des faiblesses et ne sont pas réalisables à cent pour cent par la méthode
proposée dans les fiches-élève.
39
4.2.2. Deux étudiants de Bloc 3 AESI mathématiques
En plus des activités Math & Magie que j’ai faites en stage au Collège Sainte-Gertrude
de Nivelles, on m’a proposé d’animer un atelier ludique et divertissant autour des mathématiques
pour les élèves de deuxième secondaire à l’Institut du Sacré-Cœur de Nivelles. Pour ce faire, j’ai
demandé à deux de mes camarades de classe de m’accompagner. C’était l’occasion pour eux de
tester les tours avec des élèves et moi de les observer. L’activité a également permis qu’ils me
donnent leurs impressions sur le déroulement des tours et de l’activité en général. L’un d’entre
eux, Jolan, a aussi utilisé cette activité dans sa propre école de stage pour animer ses élèves lors
de deux heures de cours.
Voici leurs avis
Jolan a trouvé l’utilisation de la magie dans les mathématiques très intéressante car elle
éveille la curiosité des élèves. Elle leur permet aussi de comprendre des concepts par d’autres
voies que celles vues normalement au cours. De plus, elle nécessite très peu de matériel. Elle est
un bon moyen de reprendre de la matière déjà vue au cours ou d’en introduire une nouvelle. Pour
lui, c’est aussi une très bonne activité car elle donne aux élèves l’envie d’apprendre les tours et
donc la théorie pour pouvoir les reproduire chez eux ou devant d’autres élèves.
Il a eu beaucoup de succès dans sa propre école de stage, que ce soit auprès des élèves ou des
professeurs. Un professeur de mathématique lui a demandé de reproduire l’activité dans une
classe qui n’était pas la sienne, après que sa maitre de stage en ai parlé dans la salle des
professeurs.
Dans l’avis qu’il m’a donné, le seul inconvénient étant la gestion du bruit et de l’excitation des
élèves qui sont amenés à parler entre eux pour comprendre le fonctionnement des tours.
Gaspard a profité de l’activité pour tester différentes méthodes de déroulement dans
l’introduction des tours :
« 1. Je fais le tour devant tout le monde, puis je donne les fiches explicatives à la moitié des élèves
qui les lisent et essaient de faire le tour aux autres.
2. Je fais le tour devant tout le monde, puis je donne les fiches explicatives à tous les élèves et
ils se font ensuite le tour mutuellement.
3. Je donne directement les fiches explicatives à tous les élèves, ils essaient de comprendre par
eux-mêmes et en s’entraidant, puis ils se présentent mutuellement le tour. » (Gaspard Leemans)
Pour lui, la méthode la plus compliquée est la troisième car les élèves reçoivent très peu
d’explications en plus de la fiche. Ils doivent comprendre seuls comment les concepts peuvent
40
permettre de réaliser un tour de magie. Cette méthode sera utilisée avec des élèves motivés qui
désirent un peu de challenge.
Il pense que la méthode n°1 est utile quand les élèves ne sont pas tous au même niveau. Certains
auront l’occasion de chercher à comprendre avec l’aide de la fiche alors que les autres pourront
essayer d’identifier les concepts utilisés sans indice.
La méthode n°2 est celle qui sera utilisée dans une classe « normale » où tout le monde est plus
ou moins au même niveau de compréhension.
4.3. L’avis d’enseignants en mathématiques
Afin d’avoir des avis de personnes expérimentées dans l’enseignement des
mathématiques, j’ai demandé à mon maître de stage Monsieur François Hawia, professeur de
mathématiques au Collège Sainte-Gertrude à Nivelles. À la maitre de stage de Jolan Van
Langendonck, Madame Caroline Dehaye, professeur de mathématiques au Lycée Martin V à
Louvain-la-Neuve. Elle a assisté à l’activité donnée par Jolan dans sa classe et dans la classe d’un
autre professeur.
J’ai également demandé l’avis de Madame Axelle Finné, enseignante au Collège Cardinal Mercier
à Braine-l'Alleud depuis près d’un an. Je lui ai appris plusieurs tours de magie et prêté mon
matériel afin qu’elle puisse les faire avec ses élèves.
Monsieur Hawia a relevé le caractère ludique et motivant de l’activité pour les élèves.
Elle permet également de « faire le lien avec certaines propriétés vues en classe » (Hawia). Un
autre avantage est que l’activité peut se faire de différentes manières : collégiale, en petits
groupes, en groupes plus importants, selon les besoins et les capacités des élèves.
Il faut, selon lui, faire attention à la gestion du bruit mais aussi à l’implication de chacun des
élèves. En effet, le travail de groupe favorise l’entraide et la réflexion, mais cela peut également
permettre à certains élèves de laisser les autres chercher à leur place ou de mettre quelqu’un de
moins rapide de côté. Il faudra donc être tout particulièrement attentif à la formation des groupes
et à la bonne compréhension de chacun.
Il remarque enfin que ce genre de technique est très intéressante mais qu’elle ne peut pas tenir
dans la durée s’il n’y a pas de variations des techniques.
Madame Dehaye a également noté l’association des mathématiques à des applications
ludiques et différentes comme une qualité de l’activité. Elle remarque que la lecture des consignes
41
« permet de travailler des compétences transversales comme la compréhension et l’interprétation
des consignes ». C’est aux élèves d’expliquer aux autres comment leur tour fonctionne en leur
donnant les bonnes informations. C’est, pour elle, une bonne activité qui permet de donner un
attrait différent aux mathématiques et de stimuler le cerveau.
Pour Madame Finné, le point positif de cette activité est que les élèves « disposés en
îlots » vont pouvoir argumenter et confronter leurs raisonnements. De plus, ces tours de magie
peuvent être utilisés tout au long de l’année comme introduction ou conclusion d’une matière. Ils
sont également un bon outil de révision.
42
5. Conclusion
Les tours de magie font appel à plusieurs compétences programmées par la Fédération
Wallonie-Bruxelles, qu’elles soient transversales ou relatives aux outils mathématiques de base.
Les travaux de Dominique Souder traitant de Math & Magie ont permis la création
d’outils qui abordent les mathématiques différemment. C’est un apport très intéressant pour
l’enseignement aux élèves.
La Math & Magie permet d’intéresser les jeunes autrement. Elle donne également la
possibilité de découvrir les élèves sous d’autres aspects. Certains d’ordinaire peu motivés peuvent
se transformer en moteur du groupe. Cependant, d’autres élèves peuvent profiter de l’occasion
pour être moins productif en se laissant mener par les autres.
Il serait intéressant d’instaurer une heure complémentaire, comme dans certaines écoles,
où le professeur ferait autre chose que son cours avec les élèves afin de créer d’autres contacts.
L’un de mes maitres de stage, Monsieur Demaret a conçu une chanson de révision pour aider les
élèves à mémoriser des propriétés mathématiques. Il fait apprendre les couplets de la chanson en
fonction de l’avancement dans les chapitres du cours.
Que ce soit la magie, la musique ou une autre compétence, nous sommes convaincus que tout le
monde peut développer un atout permettant de motiver les élèves différemment ou de les aider à
appréhender les mathématiques sous un autre angle.
43
Bibliographie Ouvrages
Hiéronymus, « Tours extraordinaires de Mathémagique », Paris, ellipses Éditions, 2005.
Hiéronymus, « Nouveaux tours extraordinaires de Mathémagique » Paris, ellipses Éditions.,
2009.
Souder D., « Magie & Maths », Villejuif, Collections Hyper Cube, Éditions Pentaèdre, Paris,
Éditions du Kangourou, 2001.
Souder D., « 80 petites expériences de Maths Magiques », Paris, Collections La science des petits
riens, Éditions DUNOD, 2008.
Sites internet
Apprendremagie.com, [en ligne], http://www.apprendremagie.com/la-magie-travers-les-
epoques/ (page consultée le 28/05/2018).
Arlettaz D., mathématicien, recteur de l’Université de Lausanne, [en ligne],
https://www.rts.ch/decouverte/sciences-et-environnement/maths-physique-
chimie/maths/4660273-d-ou-viennent-les-maths-comment-ont-elles-evolue-.html (page
consultée le 28/05/2018).
Imago Mundi, Encyclopédie gratuite en ligne, [en ligne],
http://www.cosmovisions.com/mathematiquesChrono.htm (page consultée le 28/05/2018).
Informations tirées de :
- Barbin, « La révolution mathématique du XVIIe siècle », Ellipses Marketing, 2006.
- Chemla K., « Mathématiques et connaissance du monde réel avant Galilée »,
Omniscience, 2010.
- Chemla K., Shuchun G., Lloyd G., « Les Neuf Chapitres, le classique mathématique de
la Chine ancienne et ses commentaires », Dunod, 2004.
- Clifford a., Pickover, « Le Beau Livre des Maths » - De Pythagore à la 57e dimension,
Dunod, 2010.
- Rousselet M., Morice-Singh C., « A la découverte des mathématiques des pharaons, des
mayas et de l'Inde ancienne » : Pack en 3 volumes, Pole, 2010.
- Samueli J-J., Boudenot J-C., (préf. Éditions Brézin), « Trente livres de mathématiques
qui ont changé le monde », Ellipses, 2006.
Merlin J., ArteFake, l’art de l’illusion, [en ligne], http://www.artefake.com/HISTOIRE-DE-LA-
MAGIE.html (page consultée le 28/05/2018).
Papy F., « Minicomputer», 1967, [en ligne], http://www.rkennes.be/Papy-
Minicomputer/minicomp-reidel.pdf (page consultée le 28/05/2018).
Souder D., « La mathémagie », 07/01/2017, [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-
math%C3%A9magie (page consultée le 19/05/2018).
Wikipédia, [en ligne], https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_math%C3%A9matiques (page
consultée le 28/05/2018).
Wikiversité, [en ligne], https://fr.wikiversity.org/wiki/Cartes_%C3%A0_jouer/Histoire (page
consultée le 28/05/2018).
44
Revue
Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31
Œuvre d’art
Bosch J., « l’escamoteur », Musée communale de Saint-Germain-en-Laye, v. 1475-1505.
46
Impressions d’étudiants et d’enseignants de mathématiques
L’avis de Gaspard Leemans (étudiant de troisième année en AESI math)
Activité de Math & Magie à l’école du Sacré-Cœur de Nivelles
Avec une activité comme celle-ci, les élèves sont un peu dans l’inconnu au début mais on
remarque une attention supplémentaire que pour un cours classique.
En premier lieu, les élèves ont eu, en guise d’introduction, des tours présentés par Jean-
Christophe. Cela a eu l’effet escompté car une bonne partie des élèves était vraiment motivée pour
passer à la suite du programme, certains même avec des étoiles dans les yeux.
Je me suis occupé d’un des groupes avec « le tour de base ».
Je l’ai testé de différentes manières sur plusieurs groupes :
1. Je fais le tour devant tout le monde, puis je donne les fiches explicatives à la moitié des
élèves qui les lisent et essaient de faire le tour aux autres.
2. Je fais le tour devant tout le monde, puis je donne les fiches explicatives à tous les
élèves et ils se font ensuite le tour mutuellement.
3. Je donne directement les fiches explicatives à tous les élèves, ils essaient de
comprendre par eux-mêmes et en s’entraidant, puis ils se présentent mutuellement le tour.
La façon de faire n°3 est bien si on a des élèves dégourdis et motivés, sinon elle reste la plus
compliquée pour les élèves car aucune information supplémentaire n’est donnée au début.
L’avantage avec les autres façons est que les élèves voient l’attente final, ce à quoi le tour doit
ressembler. Ils ne doivent ensuite « plus que » réussir à le comprendre et à le reproduire. La façon
n°1 ne fait pas travailler tous les élèves sur un même pied d’égalité, je la conseille donc plus pour
des activités où l’on a des élèves de différentes années. Pour les élèves d’une même classe la
façon n°2 semble plus adaptée.
En règle générale les élèves aiment ce genre d’activité : faire des tours de magie, mais également
voir l’envers du décor et comprendre comment et pourquoi le tour fonctionne d’un point de vue
logico-mathématique.
47
L’avis de Jolan Van Langendonck (étudiant de troisième année en AESI math)
Qu'ai-je pensé des tours de magie ?
Lorsque j'ai découvert les tours de magie, j'étais intrigué par le fait que je ne comprenais pas
comment les tours fonctionnaient. En utilisant mes connaissances en mathématiques en tant que
futur enseignant, j'arrivais à comprendre quelques tours et je pouvais voir ainsi le potentiel que
les tours de magie pouvaient apporter à l'apprentissage des élèves. De plus, ce qui m'a plu dans
ces tours de magies, c'est le peu de matériel nécessaire pour leur réalisation. Lorsque j'ai montré
ces tours à mes élèves, certains ont été tellement éblouis qu'ils ont voulu les refaire aux membres
de leur famille et à leurs amis.
Comment s'est déroulé le cours ?
Lorsque j'ai appris que je n'aurais que sept élèves en fin de semaine, j'ai proposé à ma maitre de
stage de faire des tours de magie qui utilisaient des propriétés mathématiques. J'ai donc décidé de
faire 4 groupes de deux, avec la participation de ma maitre de stage qui a joué le rôle d'élève,
parce qu'elle aussi aimait beaucoup la magie. J'ai introduit le cours en montrant rapidement
quelques tours de magie et j'ai remarqué que j'avais vite obtenu l'attention de la classe. Ensuite,
j'ai laissé les élèves apprendre un tour de magie, je leur ai montré en même temps les différentes
propriétés ou concepts mathématiques qui se cachaient derrière ce tour : multiple de 9, symétrie
axiale, priorité des opérations, ..... A la fin du cours, j'ai demandé à chaque binôme de présenter
son tour aux autres. Tous ont été conquis par ce cours, mon maitre de stage y compris. Elle a
tellement aimé qu'elle en a parlé dans la salle des professeurs et un professeur de mathématiques
m'a proposé de venir une heure dans sa classe pour refaire les tours. N’ayant pas cours, j'ai accepté
avec un petit stress supplémentaire car il n'y avait pas sept élèves mais bien vingt-cinq ....
Activité de mathémagie à l’école du Sacré-Cœur de Nivelles
Lorsque je voyais les élèves rentrer en classe, on s’apercevait qu'ils étaient intrigués par ces tours
de magie. Mais en quelques minutes, en faisant quelques tours rapidement devant l'ensemble du
groupe, j’ai remarqué rapidement que les élèves étaient époustouflés : ils ne s'y attendaient pas et
ne comprenaient pas comment je faisais. J’ai pu voir assez vite des sourires apparaitre ainsi que
des rires grâce à cette magie. Je leur ai demandé ensuite d'apprendre un tour de magie qu'ils
devraient refaire à l'autre groupe. Ils s'entrainaient, parfois on essayait des variantes un peu plus
compliquées et je leur demandais de découvrir le fonctionnement du tour. Pour ce faire, j’ai pris
des exemples assez simples pour comprendre la base du tour. Les élèves étaient contents
d'apprendre ces tours car ils pouvaient les reproduire simplement devant leur famille. L'objectif
48
de ce cours est non seulement que l'élève soit capable de refaire le tour de magie mais aussi qu'il
comprenne le fonctionnement du tour et remarque que les mathématiques sont parfois cachées
derrière des choses "simples" de la vie de tous les jours. Pour ma part, l'objectif a été atteint pour
l'ensemble des élèves et ces tours de magie se sont révélés une activité ludique qui peut apporter
beaucoup pour leur apprentissage.
L’avis de François Hawia (professeur de mathématiques au Collège Sainte-Gertrude de
Nivelles)
TDMA (Travaux Dirigés de MAthématique) – Activité mathématiques sur le thème de la
magie
Les tours de magie présentés par Jean-Christophe font appel à l’utilisation des jeux de cartes ou
de dés.
Avantages
Certains tours de magie permettent de faire le lien avec certaines propriétés vues en classe (la
commutativité…)
Ce type d’activité intéresse beaucoup les élèves en général. C’est donc une activité motivante.
Mais il faudra sûrement varier les activités après quelques semaines.
Les activités se font de manière variée (collégiale, en groupe par deux, par quatre…).
Inconvénients
Le travail par groupe amène parfois du bruit qu’il faut gérer.
Il faut veiller à ce que tous les élèves soient impliqués dans le travail de groupe.
L’avis de Axelle Finé (professeur de mathématiques au Collège Cardinal Mercier de
Braine-l’Alleud)
Cette activité ludique est très appréciée par les élèves. On sort des cours « traditionnels » ce qui
inévitablement attise la curiosité. La disposition des élèves en îlots leur permet de confronter
leurs idées et d’argumenter de façon logique afin d’expliquer leurs raisonnements respectifs.
Ces tours de magie peuvent être répartis sur toute l’année en fin ou en début de chapitre selon la
propriété sous-jacente au tour choisi. Ils peuvent aussi faire l’objet d’un ou deux cours en fin
d’année pendant la période des révisions.
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L’avis de Caroline Dehaye (professeur de mathématiques au Lycée Martin V à Louvain-
la-Neuve)
Math et Magie.
Séquence de cours avec des élèves de 2ème année (7 élèves) puis de 1 ère année (24 élèves)
1) Présentation par l’étudiant de deux tours de magie à l’ensemble du groupe. (4 as et histoire
du roi). Les élèves sont attentifs et impressionnés par les deux tours proposés.
2) Travail par groupe de deux ou de quatre élèves avec une feuille de consignes pour un tour de
magie inédit. Les élèves lisent les consignes et essaient de réaliser le tour. (4 tours différents)
Intervention du prof sur les consignes plus complexes si les élèves sont en difficulté.
3) Chaque groupe réalise son tour de magie à un autre groupe et inversement puis ensemble, il
essaie de comprendre pourquoi le tour fonctionne à chaque fois.
Conclusion : séquence de cours intéressante pour plusieurs raisons.
- Cela permet tout d’abord d’associer les mathématiques à quelque chose de ludique et de
surprenant.
- Ensuite, les élèves travaillent sur la lecture des consignes, ce qui permet de travailler les
compétences transversales comme la compréhension et l’interprétation des consignes.
- Enfin, les élèves doivent réaliser le tour en veillant à expliquer correctement les
consignes à leur « victime », idéalement sans lire le document reçu.
- Ils doivent réfléchir à donner correctement les informations nécessaires à l’autre groupe.
- Ils peuvent ensuite, ensemble réfléchir au truc qui permet que le tour marche à chaque
fois.
- Une belle activité de jeu qui stimule le cerveau et donne un attrait supplémentaire aux
mathématiques.
50
29
29 Tour de magie provenant de : Hiéronymus, Nouveaux Tours extraordinaires de mathémagique, ellipses, Paris, 2009, pp 9-10
La main gagnante
Consignes :
Place dans le paquet de carte à la 13, 14, 15 et 16 éme positions les 4 AS.
Lance 3 dés et additionne leur résultat.
Enlève du paquet le nombre de cartes correspondant à la somme des 3 dés en prenant la première
carte et en la posant face cachée pour former un 2ème paquet. Ensuite, prends la 2ème carte et pose-
la sur la première carte et ainsi de suite pour toutes les suivantes.
Choisi 2 dés et retourne les pour obtenir la face opposée. Additionne la face opposée de ses deux
dés.
Effectue la même opération en prenant carte par carte et en les posant sur le 2ème paquet.
Fin n°1 : prends la valeur du dernier dé et retire le nombre de cartes associées à cette valeur du
2ème paquet et de la même manière que précédemment, pour former un 3ème paquet.
Retourne les 2 premières cartes du paquet n°2 et du paquet n°3.
Fin n°2 : si la valeur de ton dernier dé est un, alors retourne la première carte du premier paquet et
les 3 premières cartes du second paquet.
Comment cela est-il possible ?
51
30
30 Tour de magie mis en page par J. Devilé et A. Herinckx et provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 8
Le coup des dés devinés
Consignes :
Tourne le dos à la table de jeu, demande à un spectateur de jeter successivement 3 dés sur la table.
Annonce alors que tu vas donner le résultat à condition que le téléspectateur suive les consignes
suivantes :
- « multiplie par 2 la face supérieure du premier dé ».
- « ajoute 5 au résultat »,
-« multiplie par 5 le total précédent »
-« ajoute la face supérieure du deuxième dé »
- « multiplie par 10 le total précédent »
-« ajoute enfin la face supérieure du troisième dé ».
-« Donne-moi ton résultat »
Voilà comment tu dois t’y prendre maintenant :
Si le spectateur annonce 374, calcule de tête 374-250, soit 124 et annonce que les 3 dés étaient
dans l’ordre 124. Pourquoi ?
52
31
31 Tour de magie mis en page par J. Devilé et A. Herinckx et provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 54-55
Le 13 porte-bonheur
Consignes :
Prends un jeu de 52 cartes, faces visibles devant toi et constitue un tas de la façon suivante.
- Pose la première carte face visible par exemple un 8, puis par-dessus une carte que tu comptes
pour 9, une autre que tu comptes 10, une autre 11 et une dernière 12, toutes visibles, puis retourne
ce petit paquet qui sera face cachée.
- Fais de même, avec 5 ou 6 tas à partir d’autres cartes à points (éviter les figures), ajoutant à chaque
fois le nombre de cartes qui permet de compter jusqu’à 12.
- Demande ensuite à un spectateur de choisir trois de ces tas. (Dont les faces restent cachées), et
rassemble tout le reste du jeu de cartes.
- Dis alors que sans les voir, tu vas trouver le total des points de chacune des 3 cartes qui sont sur
le dessus du tas.
- Du paquet restant, enlève 13 cartes, « car c’est un nombre qui porte chance ». Annonce que le
nombre de cartes qui reste (comptez-les) indiquera le total à trouver.
- Retourne les trois cartes, ajoute les valeurs, c’est le même nombre ! ».
53
32
32 Tour de magie provenant de : D. Souder, 80 petites expériences de Maths Magiques, DUNOD, Paris, 2008, pp 188-192
Le tour de base
Consignes :
Dans un jeu de cinquante-deux cartes, demande au spectateur de choisir une carte sans te la
montrer.
Prends les sept tableaux de cartes numérotés de K1 à K7.
Pour les quatre premiers tableaux numérotés de K1 à K4, demande au spectateur s’il voit la même
valeur que sa carte (as, deux, trois, …, dame, roi).
Additionne le nombre de oui comme ceci : K1 = 1, K2 = 2, K3 = 4 et K4 = 8.
Le valet vaut 11, la dame vaut 12 et le roi vaut 0.
Pour les 3 derniers tableaux numérotés de K5 à K7, demande au spectateur s’il voit la même couleur
que sa carte (cœur, carreau, trèfle ou pique).
Observe les 3 derniers tableaux pour trouver leur fonctionnement.
Avec l’outil tiré du mini computer de Papy, essaye de comprendre comment fonctionne la base 2.
54
L’échange neutre
Consignes :
Prends 9 cartes représentant des chiffres dans le paquet de 52 cartes et dispose-les, faces visibles,
en rectangle de 3 par rangée et 3 par colonne.
Additionne la valeur des cartes de chaque rangée en commençant par celles du bas (la 3ème). Pour
noter le résultat de la dernière rangée, pose une nouvelle carte, face cachée, en dessous de la 3ème
colonne. Cette carte aura la valeur de l’unité du nombre de ton résultat. Si ton nombre comporte
un chiffre aux dizaines, alors reporte cette valeur au résultat de la somme de la rangée supérieur.
Ex : Les cartes de ma dernière rangée sont le 9 de cœur, le 7 de trèfle et le 8 de cœur. J’additionne,
j’obtiens 24. Je vais poser un 4 face cachée en dessous de la 3ème colonne. Je reporte 2 au résultat
de la rangée supérieure.
Effectue la même opération pour la 2ème rangée puis la 1ère.
Si le résultat de l’addition de ta rangée la plus au-dessus (1ère) est un nombre à deux chiffres alors
pose une 4ème carte, face cachée, représentant la valeur des dizaines de ce nombre, à gauche de la
carte fache cachée de la première colonne.
Ramasse les cartes de la 3ème rangée et dispose-les en paquet, face visible, au-dessus de la dernière
carte face cachée (celle qui est le plus à droite). Ramasse les cartes de la 2ème rangée et mets les en
paquet à gauche du paquet formé par la 3ème rangée. Enfin, fait la même chose pour la 1ère rangée
en mettant le paquet à gauche de celui de la 2ème rangée.
Mélange le 3ème paquet de 3 cartes et dispose-les en colonne, face visible, dans l’ordre que tu veux,
au-dessus de la dernière carte face cachée. Fait la même chose pour le 2ème paquet au-dessus de la
carte qui est face cachée. Et la même chose pour le 1er paquet, au dessus de la carte face cachée.
Tu as créé 3 nouveaux nombres de 3 chiffres, additionne les et ensuite retourne les cartes qui sont
face cachées.
Peux-tu expliquer le résultat obtenu en retournant les cartes faces cachées ?
33
33 Tour de magie provenant de : D. Souder, 80 petites expériences de Maths Magiques, DUNOD, Paris, 2008, pp 33-36
55
Les portraits du roi
Consignes :
Prends 16 cartes dans le paquet dont les quatre rois.
Dispose-les de cette manière en faisant croire que les cartes sont mises au hasard.
Les K symbolisent les rois.
K K K K
K K K K
Retourne les cartes pour former un K de la manière présentée ci-dessus.
Demande au spectateur de plier en deux parties égales les 16 cartes l’une sur l’autre de la manière
qu’il souhaite. Il doit répéter l’opération jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un seul tas de cartes.
Regarde le sens des cartes une fois l’opération terminée.
Essaye de trouver comment ça fonctionne, pour t’aider, tu peux prendre une feuille, la diviser en
quatre parties égales sur le verso et le recto de la feuille. Choisir une couleur d’écriture pour le recto
et une autre couleur pour le verso. Enfin tu la plies pour que les quatre quarts n’en forment plus
qu’un seul.
Amuse-toi à trouver d’autres variantes.
34
34 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 62-63
56
35
35 Tour de magie mis en page par J. Devilé et A. Herinckx et provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 59
La preuve par neuf
Consignes :
Tends un papier et un crayon à ta future « victime ». Demande-lui d’écrire en cachette un nombre
de 4 chiffres, puis de lui ôter la somme de ses chiffres.
Par exemple pour 1948, il calcule 1 + 9 + 4 + 8 = 22, puis 1948 − 22 = 1926.
Demande-lui de sortir du jeu 4 cartes correspondant aux chiffres du résultat obtenu mais de 4
couleurs différentes. Par exemple, 1 de cœur, 9 de carreau, 2 de trèfle, 6 de pique. (S’il y avait un
zéro vous pourriez prendre une figure).
Dis au spectateur de mettre une de ces cartes en poche et de te confier les 3 autres. Tu lui annonce
aussitôt le nom de la carte manquante.
Comment as-tu fait ?
57
36
36 Tour de magie mis en page par J. Devilé et A. Herinckx et provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 4-5.
Voilà la carte choisie
Consignes :
Prends un jeu de 32 cartes et demande à une personne de l’assistance de constituer (secrètement)
un paquet de 20 à 29 cartes puis, additionne les deux chiffres qui composent ce nombre de cartes
formé, ensuite, regarde la carte située à cette position à partir du dessous du paquet.
Ton spectateur doit retenir le nom de cette carte, puis, sans la changer de place, compléter son
paquet par en-dessous avec le reste du jeu avant de te rendre le tout.
Feins alors d’être embarrassé, puis, reprenant ton assurance, épèle victorieusement les lettres de
la phrase :
« v-o-i-l-à l-a c-a-r-t-e c-h-o-i-s-i-e” à mesure que tu jettes les cartes une à une.
La carte jetée avec le « e » final est la bonne.
58
Minicomputer de Papy37
Georges Papy était un mathématicien belge, il a créé ce système d’abaque pour calculer des
nombres, il l’a appelé Minicomputer.
Malheureusement, on a perdu le mode d’emploi, à toi de retrouver le fonctionnement du
Minicomputer.
Voici le Minicomputer de papy :
Voici le nombre 4
Voici le nombre 2
Voici le nombre 8
37 F. Papy, « MINICOMPUTER », 1967, [en ligne], http://www.rkennes.be/Papy-Minicomputer/minicomp-reidel.pdf (page consultée le 28/05/2018).
59
Quel est ce nombre ?
Comment écrire le nombre 3 avec ce système ?
Voici le nombre 20
Comment peux-tu écrire le nombre 10 avec ce système ?
60
Comment écrire 27 avec le moins de pions possibles ?
On remarque que les 4 cases formant la 4ème colonne sont les ………………………….
On remarque que les 4 cases formant la 3ème colonne sont les ………………………….
On remarque que les 4 cases formant la 2ème colonne sont les ………………………….
On remarque que les 4 cases formant la 1ère colonne sont les ………………………….
Entraine-toi avant la guerre des pions !
Écris le nombre 79 avec cinq pions
Écris le nombre 500 avec deux pions
Écris le nombre 607 avec cinq pions
61
Écris le nombre 14589 avec huit pions
Écris le nombre 37 avec quatre pions
La guerre des pions
Déroulement :
Avec ton voisin, vous allez défier une autre paire de joueurs dans la classe. Une équipe aura les
pions bleus et l’autre les rouges.
L’équipe bleue partira du nombre 7 et ne pourra qu’augmenter ce nombre. L’équipe rouge
partira de 1400 et ne pourra que diminuer son nombre.
Chaque joueur d’une équipe joue à son tour en déplaçant un seul pion par tour. Il peut y avoir
autant de pions qu’on veut sur chaque case.
L’équipe rouge commence.
Le but du jeu :
Pour les bleus : forcer l’équipe rouge à avoir un nombre plus petit ou égale au vôtre.
Pour les rouges : forcer l’équipe bleue à avoir un nombre plus grand ou égale au vôtre.
Vous devez noter à chaque étape le calcul que vous effectué.
Exemple : je suis à 1400, je déplace mon pion. Le nouveau nombre obtenu est 1100, j’ai retiré
300 à mon nombre de départ.