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01/06/2018 MATH & MAGIE Des tours de magie pour apprendre des mathématiques au 1er degré. Travail de fin d’études présenté en vue de l’obtention du grade de Bachelier-Agrégé de l’Enseignement secondaire inférieur, sous- section mathématique. Travail de fin d’études réalisé par Jean-Christophe Dangoisse Promotrice Laure Ninove

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01/06/2018

MATH & MAGIE Des tours de magie pour apprendre

des mathématiques au 1er degré.

Travail de fin d’études présenté en vue de

l’obtention du grade de Bachelier-Agrégé de

l’Enseignement secondaire inférieur, sous-

section mathématique.

Travail de fin d’études réalisé par

Jean-Christophe Dangoisse

Promotrice

Laure Ninove

Remerciements

Je remercie tout d’abord Mme Ninove pour ses idées originales et son encadrement durant la

création du TFÉ.

Je tiens également à remercier Mme Cheu pour les opportunités qui m’ont permis d’étoffer ce

travail.

Je souhaite aussi remercier les enseignants qui ont participé à l’élaboration de ce TFÉ, Mr Hawia,

Mme Finé, Mme Dehaye et Mme Chantillon.

Je remercie Gaspard Leemans et Jolan Van Langendonck pour leur implication dans les ateliers

de Math & Magie ainsi que Julian Devilé et Alexia Herinckx.

Enfin, je tiens à remercier Alexandra Herchaft pour son soutien de tous les instants.

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Table des matières

1. Introduction ................................................................................................................................. 3

2. D’un point de vue historique ....................................................................................................... 4

3. Mise en pratique sur le terrain .................................................................................................... 6

3.1. Présentation générale de l’outil et des méthodologies utilisées. ................................................ 6

3.2. Les différents tours : présentation et analyse ............................................................................. 8 3.2.1. Le fruit de tes pensées ........................................................................................................ 8 3.2.2. La main gagnante ............................................................................................................. 10 3.2.3. Le coup des dés devinés ................................................................................................... 13 3.2.4. Le treize porte-bonheur .................................................................................................... 15 3.2.5. Le tour de base ................................................................................................................. 17 3.2.6. L’échange neutre .............................................................................................................. 20 3.2.7. Les portraits du roi ........................................................................................................... 23 3.2.8. Preuve par neuf ................................................................................................................ 26 3.2.9. Voilà la carte choisie ........................................................................................................ 28 3.2.10. Donne-moi de l’aire ......................................................................................................... 31

3.3. Analyse à posteriori des expérimentations en classe ................................................................ 34

4. L’avis des experts .......................................................................................................................36

4.1. Dominique Souder .................................................................................................................... 36

4.2. L’avis de futurs enseignants en mathématique ......................................................................... 38 4.2.1. Les étudiants en Bloc 2 AESI mathématiques ................................................................. 38 4.2.2. Deux étudiants de Bloc 3 AESI mathématiques .............................................................. 39

4.3. L’avis d’enseignants en mathématiques ................................................................................... 40

5. Conclusion ..................................................................................................................................42

Bibliographie ......................................................................................................................................43

Annexes ...............................................................................................................................................45

La main gagnante .................................................................................................................................. 50

Le coup des dés devinés ......................................................................................................................... 51

Le 13 porte-bonheur .............................................................................................................................. 52

Le tour de base ....................................................................................................................................... 53

L’échange neutre ................................................................................................................................... 54

Les portraits du roi ................................................................................................................................. 55

La preuve par neuf ................................................................................................................................. 56

Voilà la carte choisie .............................................................................................................................. 57

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1. Introduction

Dans ce travail nous allons présenter la Math & Magie, outil didactique mathématique au

travers de tours de magie.

Nous nous intéresserons aux processus mathématiques de différents tours, à leur

application et aux avantages et inconvénients qui découlent de l’utilisation de cette méthode.

L’année dernière, j’ai eu l’occasion d’aller animer, au Sacré-Cœur de Nivelles, des

ateliers sur la thématique des codes secrets. J’ai beaucoup aimé faire ces activités, de prime abord

sans lien direct avec le programme mathématique à enseigner. J’ai toujours été intéressé par la

magie, je regarde notamment une émission où des magiciens essaient de bluffer des collègues de

renom. Je me suis donc demandé si c’était pertinent d’introduire de la magie dans les cours de

mathématiques. Le but étant aussi de bluffer les élèves avec des tours de magie dont les

mécanismes étaient régis par l’application de concepts mathématiques afin de les intéresser à la

matière.

Les tours de magie que nous avons utilisés sont basés sur les travaux de Dominique

Souder, ancien professeur de mathématiques de collège, de lycée et secrétaire de la Fédération

Française de Jeux Mathématiques.

Pour commencer, nous allons présenter un bref aperçu historique afin de savoir à partir

de quel moment les maths sont intervenues dans la magie. Ensuite, nous présenterons les tours

utilisés en stage (Collège Saint Gertrude de Nivelles avec des premières années secondaire) et

lors des ateliers de math (Institut du Sacré-Cœur de Nivelles avec des élèves de deuxième

secondaire). Nous décrirons comment se sont déroulés les tours dans les classes. Enfin, nous

parlerons de l’avis de différents enseignants à qui nous avons, soit montré les tours, soit fourni

les fiches-élève pour qu’ils les utilisent dans leur propre classe.

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2. D’un point de vue historique

Depuis la Préhistoire la magie a évolué avec l’Homme. Nous allons essayer de définir à

quel moment sa route a croisé celle des mathématiques.

À la Préhistoire, la magie se nommait sorcellerie. Les sorciers utilisaient des trucs et

astuces qu’ils faisaient passer pour du divin. D’un autre côté, les mathématiques étaient sans doute

utilisées pour partager des ressources ou pour compter des troupeaux.

Dans l’Antiquité, nous retrouvons les premières traces d’écriture mathématique dans la

civilisation sumérienne. Même si nous savons que les Égyptiens ont eu recours à des

mathématiques plus poussées pour construire leurs pyramides. La magie, elle, est devenue une

source de pouvoir. Les dirigeants se font accompagné de savants qui maitrisent certains tours de

passe-passe ou d’illusions. Les Grecs se posent des énigmes comme celle bien connue du Sphinx.

Ils découvrent des « trucs » mathématiques. Comme par exemple, les Pythagoriciens avec les

nombres amiables. Deux nombres tels que dont la somme de leurs propres diviseurs est égale à

l’autre nombre. Par exemple, la somme des diviseurs de 220 est égale à 284. La somme des

diviseurs de 284 est égale à 220.

C’est au Moyen-Âge qu’apparaissent les premières traces du jeu de carte venant des

Chinois (entre 618 et 907). En Europe, c’est en Catalogne que les premières traces de cartes sont

découvertes en 1371. Les premiers tours de magie apparaissent. Le plus ancien est celui des

gobelets et d’une noix de muscade qui disparait ou qui change de gobelet. Sur la peinture de

Jérôme Bosch1, nous pouvons apercevoir ce tour ainsi que la représentation que les gens se

faisaient de la magie au Moyen-Âge.

1 J. Bosch, « l’escamoteur », Musée communale de Saint-Germain-en-Laye, v. 1475-1505.

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Premièrement, sur la table se trouve une baguette qui sert à manipuler les gobelets d’où la baguette

magique. Deuxièmement, on voit apparaitre le concept de détournement d’attention. Le magicien

montre quelque chose pendant que le spectateur se fait voler par un complice. Troisièmement, la

complicité, le fait d’avoir besoin d’un assistant pour la résolution de certains tours. Et

quatrièmement, on aperçoit un hibou dans la bourse du magicien. Animal considéré à cette époque

comme animal maléfique.

Le Moyen-Âge est une mauvaise période pour la magie surtout lors de l’Inquisition. En

effet, pendant cette période, la science et la magie ne forment qu’un et ces pratiques sont réservées

aux prêtres. Le moindre truc ou astuce peut être considéré comme un acte du diable et passible de

bûcher ou de décapitation. La période n’est pas propice non plus au développement des

mathématiques en Europe. Nous voyons même décliner les connaissances mathématiques dans

certaines parties d’Europe. Les Arabes prennent le relai des Grecs dans la recherche

mathématique. Puis les Italiens, grâce aux nombreuses traductions des recherches des Arabes,

faites pendant cette période. Des mathématiciens comme Fibonacci se lancent des défis

mathématiques à résoudre.

À la Renaissance, des mathématiciens comme Pascal continuent de lancer des défis

mathématiques à des confrères. Cette pratique de résoudre des problèmes grâce à des astuces va

influencer fortement la magie ou la prestidigitation. Au début de la Renaissance, les pratiquants

de la magie sont toujours considérés comme des fous ou des charlatans. Il faut attendre 1682 pour

que la magie soit rationalisée. Deux personnes sont les acteurs majeurs de cette rationalisation.

Le premier est un Anglais du nom de Robert Fludd. Il est médecin et astrophysicien. Le deuxième

est un Allemand du nom de Athanasuis Kircher. C’est un jésuite, scientifique et surtout

graphologue. Par ailleurs, ce dernier enseignera les mathématiques à l’université de Wurtzbourg.

C’est à partir de cette époque, que les tours de magie vont être tels que nous les connaissons

aujourd’hui. Dans le but de divertir et d’amuser un public. C’est aussi à cette époque que les

magiciens vont inclure à leurs tours des procédés mathématiques. Nous allons retrouver ces

procédés dans des tours d’illusionnisme, de cartes ou encore de mentalisme.

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3. Mise en pratique sur le terrain

3.1. Présentation générale de l’outil et des

méthodologies utilisées.

Dans cette partie, nous présentons les dix tours de magie menés dans diverses classes du

premier degré commun. L’utilisation de ces tours de magie dans l’apprentissage des

mathématiques a l’intérêt de faire appel à de nombreuses compétences2 que l’élève doit

s’approprier au cours de l’année. Nous proposons deux outils complémentaires. Un à destination

des enseignants, que nous appellerons fiche-outil. Ces fiches-outils seront présentées dans la

partie 3.2. L’autre à destination des élèves que nous nommerons fiche-élève. Ces fiches-élève

comprennent huit des dix tours et sont consultables dans les annexes de la page 50 à 57.

Dans les fiches-outil, nous expliquons le but visé de chacun des dix tours, le matériel

nécessaire à son fonctionnement, le déroulement avec les élèves, l’explication mathématique du

tour et parfois nous y apportons quelques outils pour aider à la compréhension des élèves.

D’autres part, pour les huit tours qui s’y prêtaient, nous

proposons les fiches-élève représentées ci-contre. Elles demandent aux

élèves de comprendre le message de façon à pouvoir le reformuler pour

d’autres au moment de la présentation des tours. Il va également leur être

demandé d’appliquer les consignes reprises sur les fiches. La

présentation à leurs camarades de classe les obligera à comprendre

correctement la matière, à maitriser les contraintes du tour mais également à prendre la parole et

à orienter le message en fonction du public ciblé.

L’un des buts de cette démarche, au-delà de la compréhension des mathématiques, est

qu’ils prennent confiance en eux, qu’ils arrivent à utiliser les informations de façon adéquate et

qu’ils puissent les communiquer efficacement.

D’un point de vue strictement mathématique, le temps de réflexion en groupes sur les fiches outils

vont permettre aux élèves de confronter leurs avis, d’argumenter leurs raisonnements et de trouver

une résolution au problème.

2 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

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Ils seront donc à même de comprendre le fonctionnement du tour de magie et surtout de le répéter

lors des présentations aux autres groupes d’élèves. Cela implique qu’ils seront capables

d’appliquer les consignes reprises sur les fiches élèves mais aussi d’appréhender les concepts

sous-jacents au tour de magie. De cette façon, il leur sera possible de généraliser leur

apprentissage et faire preuve de créativité en trouvant de nouveaux moyens d’arriver au même

résultat.

Lorsque nous avons présenté les tours de magie aux élèves, nous avons exploité deux

méthodes différentes. La première méthode est que l’enseignant montre le tour à toute la classe

rassemblée autour d’un banc. Les élèves retournent à leur place une fois le tour fini et nous

recherchons ensemble le mécanisme et le principe mathématique qui régit le tour. Enfin, si

l’enseignant le souhaite, les élèves s’exercent à maitriser ce tour. La deuxième méthode est de

diviser la classe en un nombre pair de groupes. Les groupes A reçoivent une fiche élève d’un tour

de magie et les groupes B un autre tour de magie. Par groupe, ils découvrent comment fonctionne

le tour qu’ils ont reçu. Ils s’exercent jusqu’à le maitriser. L’enseignant passe de groupe en groupe

pour les aider. Ensuite, nous mélangeons les groupes A et B, les élèves A montrent le tour qu’ils

ont reçu aux élèves B et inversément. Enfin, nous cherchons le principe mathématique qui régit

les deux tours présentés.

Les deux méthodes ont des avantages et des inconvénients. Premièrement, certains tours

ne se prêtent qu’à la première méthode. Les tours « one-shot », comme « le fruit de tes pensées »

et « donne-moi de l’aire » sont difficilement répétables parce qu’ils ne varient pas dans leur

réponse. Deuxièmement, le temps que nous voulons y consacrer est important. La première

méthode va plus vite que la seconde. Troisièmement, l’implication des élèves est différente, ils

seront plus acteurs des recherches des mécanismes du tour avec la deuxième méthode. Ils auront

sans doute plus de facilités à comprendre pourquoi le tour fonctionne mathématiquement s’ils ont

pu s’exercer à le faire. Quatrièmement, la gestion du bruit et de la classe demande plus d’efforts

avec la deuxième méthode. Les élèves sont en recherche et vont échanger leurs impressions ainsi

que leurs désaccords. Certains groupes iront plus vite que d’autres et devront attendre que les

derniers finissent. Pour pallier cela nous pouvons demander à ces groupes d’aider les groupes plus

lents.

En conclusion, si le but est d’observer les principes mathématiques de chaque tour alors

nous conseillons la première méthode. Si le but est de faire travailler les élèves en groupe et

d’aiguiser leur compréhension des consignes alors nous conseillons la seconde méthode.

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3.2. Les différents tours : présentation et analyse

3.2.1. Le fruit de tes pensées3

But de l’activité

- Tour de mise en route pour capter l’attention des élèves.

Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)4

- Revoir le critère de divisibilité

des nombres multiples de neuf.

- Résoudre un problème par le

calcul littéral.

- Revoir la différence entre nombre

et chiffre.

- Construire des expressions

littérales où les lettres ont le statut

de variables ou d’inconnues.

- Transformer des expressions

littérales, en respectant la relation

d’égalité et en ayant en vue une

forme plus commode.

Matériel nécessaire

- Une feuille et un stylo par l’élève.

Présentation de l’activité

Phase 1 : déroulement du tour de magie

Étape 1 : l’élève choisit un nombre à trois chiffres. 477

Il additionne les chiffres qui le compose. 4+7+7= 18

Étape 2 : il soustrait ce nombre à son nombre de départ 477-18 = 459

Étape 3 : il soustrait cinq au résultat obtenu 459-5 = 454

Étape 4 : il additionne les chiffres de son nouveau nombre 4 + 5 + 4 = 13

Étape 5 : il répète l’opération en prenant comme nombre le résultat obtenu à l’étape précédente

1 + 3 = 4

3 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 16-17 4 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

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Prenez l’alphabet : A=1, B=2, C=3 et ainsi de suite jusque Z. S’arrêter à C dans l’exemple de

l’alphabet pour laisser un effet de surprise plus grand.

Étape 6 : il choisit un pays d’Europe qui commence par la lettre de l’alphabet associée à son

dernier nombre. Danemark

Étape 7 : il choisit un fruit qui commence par la dernière lettre qui compose le mot du pays de son

choix. Kiwi (ou Kaki mais moins connu).

Phase 2 : explication du tour de magie

Étape 1 : 100a + 10b + c

Étape 2 : 100a + 10b + c – a – b – c = 99a + 9b, nous rendons le nombre multiple de 9

Étape 3 : nous soustrayions 5 à 99a + 9b, si on additionne les chiffres qui composent le nombre,

le résultat sera égal à 9 ou 18, en enlevant 5, la somme des chiffres sera égale à 4 ou 13.

Étape 4 : nous additionnons les chiffres qui composent le nombre, la somme sera égale à 4 ou 13.

Étape 5 : nous nous assurons que le nombre final soit bien égal à 4, pour cela nous répétons la

dernière opération pour obtenir 4 grâce à l’addition de 1 et 3 ou de 4 lui-même.

Étape 6 : la quatrième lettre de l’alphabet est D, un seul pays d’Europe commence par D, c’est le

Danemark.

Étape 7 : deux fruits commencent par K, le Kiwi et le Kaki mais le deuxième étant très peu connu,

normalement seul le Kiwi sera envisagé par l’élève.

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3.2.2. La main gagnante5

But de l’activité

Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)6

- Résoudre un problème par le

calcul littéral.

- Revoir la différence entre nombre

et chiffre.

- Construire des expressions

littérales où les lettres ont le statut

de variables ou d’inconnues.

- Transformer des expressions

littérales, en respectant la relation

d’égalité et en ayant en vue une

forme plus commode.

Matériel nécessaire

- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que

tous les élèves testent le tour).

- Trois dés (prévoir trois dés par groupe de deux élèves).

- Fiche élève (en annexe page 50, fiche non testée en classe).

Présentation de l’activité

Phase 1 : présentation du tour de magie

Sur la table sont disposés trois dés et un paquet de cinquante-deux cartes dont les as sont

positionnés de la treizième à la seizième position en partant du dessus du paquet.

Un élève lance les trois dés et fait leur somme.

Du paquet de cinquante-deux cartes, il va retirer carte par carte la somme du lancer de ses dés

pour former un deuxième paquet. Ces cartes seront, comme le paquet initial, faces cachées.

L’élève choisit deux de ses trois dés et les retourne pour avoir leurs faces opposées. Il additionne

ces deux faces. Comme à l’opération précédente, il va retirer du premier paquet de cartes, la

somme de ses dés, carte par carte et les mettre sur le second paquet.

5 Tour de magie provenant de : Hiéronymus, Nouveaux Tours extraordinaires de mathémagique, ellipses, Paris, 2009, pp 9-10 6 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

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Il retire ensuite la valeur du dernier dé du deuxième paquet pour former un troisième paquet,

toujours carte par carte.

Enfin, l’élève va retirer deux cartes du deuxième et du troisième paquets et les retourner face

visible pour dévoiler les quatre as.

Attention, si la valeur du dernier dé est égale à un, alors l’élève ne doit pas former un troisième

paquet. Il doit retourner la première carte du premier paquet et les trois premières du deuxième

paquet.

Pour que cela fonctionne mieux, il faut essayer de trouver chaque fois une justification pour que

l’élève retourne deux cartes de chaque paquet avec les dés qui sont sur la table. Par exemple, les

valeurs des dés sur la table sont cinq, trois et six. « Combien font 5 – 3 ? » L’élève sera obligé de

dire deux et pensera qu’il a encore prise sur le tour.

Phase 2 : explication mathématique du tour

Les as sont positionnés en treize, quatorze, quinze et seizième positions dans le paquet de cartes.

La valeur d’une face d’un dé et de sa face opposée sera toujours égale à sept. Certains élèves vont

vite le remarquer sans indice.

Nous jetons trois dés, nous allons obtenir 𝑎 pour le premier dé, 𝑏 pour le deuxième dé et 𝑐 pour

le troisième.

Le nombre de cartes présentes dans le deuxième paquet seront 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 .

On rajoute 7 − 𝑎 et 7 − 𝑏 cartes au second paquet.

Le nombre de cartes du second paquet = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 7 − 𝑎 + 7 − 𝑏 = 𝑐 + 14

Ensuite, nous retirons 𝑐 cartes pour former le troisième paquet.

Si nous retournons deux cartes du deuxième paquet, il n’en restera plus que douze. Les deux cartes

retournées seront donc les treizième et quatorzième du paquet initial. Et si nous retournons les

deux premières cartes du paquet 𝑐, nous retournons les quinzième et seizième cartes du paquet

initial.

Cas particulier : si le dernier dé vaut un, le troisième paquet aura une valeur d’un et ne contiendra

que la quinzième carte du paquet initial. C’est pourquoi, nous devons aller rechercher la seizième

carte dans le paquet initial.

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Si le groupe classe éprouve des difficultés avec le calcul littéral, nous conseillons de prendre un

exemple avec des données chiffrées, par exemple les valeurs des dés que l’élève a lancé lors de

la présentation. Éviter le cas particulier du un pour l’exemple. Définir une couleur par dé au

tableau pour une meilleure compréhension visuelle de l’élève.

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3.2.3. Le coup des dés devinés7

But de l’activité

Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)8

- Résoudre un problème par le

calcul littéral.

- Revoir la priorité des opérations.

- Construire des expressions

littérales où les lettres ont le statut

de variables ou d’inconnues.

- Transformer des expressions

littérales, en respectant la relation

d’égalité et en ayant en vue une

forme plus commode.

- Calculer les valeurs numériques

d’une expression littérale.

- Respecter les priorités des

opérations.

- Effectuer un calcul comportant

plusieurs opérations à l’aide de la

calculatrice.

Matériel nécessaire

- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que

tous les élèves testent le tour).

- Trois dés (prévoir 3 dés pour deux élèves, si on veut que les élèves testent le tour).

- Éventuellement une calculatrice.

- Fiche élève (en annexe page 51).

Présentation de l’activité

Phase 1 : présentation du tour de magie

- Un élève lance trois dés.

- Il choisit un premier dé et il multiplie sa valeur par deux.

- Il ajoute cinq au résultat précédent.

7 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 8 8 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

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- Il multiplie par cinq le résultat précédent.

- Il rajoute la valeur de son second dé au résultat précédent.

- Il multiplie par dix le résultat précédent.

- Il ajoute son dernier dé.

- Le magicien demande le résultat total de la série d’opérations.

- Le magicien retire mentalement deux-cent cinquante au résultat.

- Le magicien énonce chaque chiffre qui compose le nombre qu’il a trouvé. Ces chiffres

représentent dans l’ordre les valeurs des trois dés que l’élève à choisit.

Phase 2 : Explication mathématique du tour

Avec les élèves nous pouvons comparer au tableau le tour de trois manières différentes. La

première colonne avec des phrases en français, la seconde avec le calcul littéral et la dernière avec

des valeurs numériques.

Nous lançons trois dés dont les valeurs sont a, b et c.

Exemple avec les valeurs 4, 1 𝑒𝑡 6

On choisit la valeur du dé a 𝑎 4

On le multiplie par deux 2𝑎 2 ∙ 4

On ajoute cinq 2𝑎 + 5 2 ∙ 4 + 5

On multiplie par cinq (2𝑎 + 5) ∙ 5 (2 ∙ 4 + 5) ∙ 5

On ajoute la valeur du dé b (2𝑎 + 5) ∙ 5 + 𝑏 (2 ∙ 4 + 5) ∙ 5 + 1

On multiplie par dix ((2𝑎 + 5) ∙ 5 + 𝑏) ∙ 10 ((2 ∙ 4 + 5) ∙ 5 + 1) ∙ 10

On ajoute la valeur du dé c ((2𝑎 + 5) ∙ 5 + 𝑏) ∙ 10 + 𝑐 ((2 ∙ 4 + 5) ∙ 5 + 1) ∙ 10 + 6

On retire deux-cent

cinquante

((2𝑎 + 5) ∙ 5 + 𝑏). 10 + 𝑐 − 250 ((2 ∙ 4 + 5) ∙ 5 + 1) ∙ 10 + 6 − 250

On effectue les opérations = ((10𝑎 + 25) + 𝑏) ∙ 10 + 𝑐 − 250

= 100𝑎 + 250 + 10𝑏 + 𝑐 − 250

= 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐

= ((8 + 5) ∙ 5 + 1) ∙ 10 + 6 − 250

= (13 ∙ 5 + 1) ∙ 10 + 6 − 250

= (65 + 1) ∙ 10 + 6 − 250

= 66 ∙ 10 + 6 − 250

= 660 + 6 − 250

= 666 − 250

= 416

15

3.2.4. Le treize porte-bonheur9

But de l’activité

Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)10

- Résoudre un problème par le

calcul littéral.

- Revoir le principe de

complémentarité avec les

nombres (pas les angles).

- Construire des expressions

littérales où les lettres ont le statut

de variables ou d’inconnues.

- Transformer des expressions

littérales, en respectant la relation

d’égalité et en ayant en vue une

forme plus commode.

Matériel nécessaire

- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que

les élèves testent le tour).

- Fiche élève (en annexe page 52).

Présentation de l’activité

Phase 1 : présentation du tour de magie

- Un élève choisit cinq à six cartes représentant des chiffres dans un paquet de cinquante-

deux cartes. Il les dispose face visible sur la table.

- L’élève pose sur chaque carte le complément de la valeur qu’elle représente pour arriver

jusqu’à douze. Par exemple si la valeur de la première carte est sept alors il va déposer

dessus face visible cinq cartes aléatoires. Le magicien qui a aidé l’élève à comprendre les

consignes jusque-là se retourne pour ne plus voir les cartes.

- L’élève choisit trois tas de cartes qu’il conserve. Il retourne ses trois paquets face cachée.

Il remet les autres tas dans le paquet initial.

- Le magicien prend le paquet de carte initial, retire treize cartes en disant que c’est son

nombre porte bonheur.

- Le magicien compte le nombre de cartes qu’il reste dans le paquet initial.

9 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 54-55 10 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

16

- Il annonce alors à l’élève la somme des trois premières cartes de chaque paquet. Cette

somme est le nombre de cartes qu’il reste dans le paquet initial.

Phase 2 : explication mathématique du tour

Un jeu de base comporte cinquante-deux cartes. Si nous en retirons treize, il en reste trente-neuf.

Si nous divisons les trente-neuf cartes par trois, nous obtenons trois paquets de treize cartes.

Chaque tas sur la table possède comme nombre de carte, le complément de la valeur de sa

première carte pour arriver à treize. Par exemple si la première carte est un neuf, le tas est composé

de quatre cartes.

Si nous généralisons, nous choisissons la valeur 𝑎 pour le premier tas, la valeur 𝑏 pour le deuxième

et la valeur 𝑐 pour mon troisième tas.

Somme de la valeur

des trois premières

cartes de chaque tas

Nombre de carte dans

le paquet initial moins

mon nombre porte

bonheur

Moins le

reste du

paquet 𝑎

Moins le

reste du

paquet 𝑏

Moins le

reste du

paquet 𝑐

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 52 − 13 − (13 − 𝑎) − (13 − 𝑏) − (13 − 𝑐)

Si nous effectuons l’opération, nous obtenons bien 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 dans chaque membre de l’égalité.

Nous conseillons d’accompagner la généralisation par un exemple concret pour faciliter la

compréhension des élèves.

Exemple : la valeur de la première carte du premier paquet est quatre. Nous allons donc rajouter

huit cartes pour atteindre douze. Dans le premier paquet, nous avons donc la carte de base plus

les huit cartes que nous avons ajoutées donc neuf cartes au total. Le complément de neuf pour

arriver à treize est quatre. Ces quatre cartes sont dans le paquet initial. Faire le même raisonnement

pour les deux autres paquets.

17

3.2.5. Le tour de base11

But de l’activité

Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)12

- Découvrir un autre système de

base que celui que nous utilisons.

Dans ce cas, la base deux.

- Dénombrer.

Matériel nécessaire

- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que

tous les élèves testent le tour).

- Sept tableaux où sont représentés six cartes bien précises. Ils sont rangés dans l’ordre de

« k1 à k7 » (en annexes page 62 à 68).

- Fiche élève (en annexe page 53).

- Micomputer de Papy13 (en annexes page 58 à 61).

Présentation de l’activité

Phase 1 : présentation du tour de magie

Disposition des élèves : regroupés autour d’une table.

Un élève choisit une carte dans le paquet de cinquante-deux cartes sans la montrer au magicien.

Il peut la montrer aux autres élèves.

Le magicien montre à l’élève une série de sept tableaux. Pour chaque tableau, l’élève doit

répondre par oui ou par non uniquement. Les quatre premiers tableaux représentent la valeur de

sa carte (as, deux, trois, …, dame ou roi). Les trois derniers tableaux représentent la couleur de sa

carte (cœur, carreau, pique ou trèfle).

11 Tour de magie provenant de : D. Souder, 80 petites expériences de Maths Magiques, DUNOD, Paris, 2008, pp

188-192 12 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31 13 F. Papy, « Minicomputer», 1967, [en ligne], http://www.rkennes.be/Papy-Minicomputer/minicomp-reidel.pdf (page

consultée le 28/05/2018).

18

Le magicien va comptabiliser les réponses pour chaque tableau, les valeurs des réponses des

tableaux K1 à K4 sont additionnables.

Réponse de l’élève Nom du tableau Valeur associée

Non K1, K2, K3 et K4 0

Oui K1 1

Oui K2 2

Oui K3 4

Oui K4 8

Non K5 Cœur

Non K6 Carreau

Non K7 Pique

Oui K5, K6 et K7 Trèfle

Prenons un exemple avec le Sept de pique. Les réponses de l’élève seront :

Oui pour K1, K2, K3 et K7 et Non pour K4, K5 et K6.

Si nous additionnons les valeurs de K1 (1), K2 (2) et K3 (4), on va obtenir 7 = 1 + 2 + 4.

Cas particulier : le valet vaut 11, la dame 12 et le roi 0. Si dans les trois derniers tableaux,

les réponses de l’élève sont toutes positives alors la couleur de la carte sera un trèfle.

Phase 2 : mise en commun

Nous cherchons le concept mathématique qui régit le tour. Dans ce cas-ci, c’est la base deux parce

que nous recevons uniquement des réponses binaires, oui et non.

Les élèves seront capables d’identifier le truc pour les trois derniers tableaux numérotés de K5 à

K7.

Pour les quatre premiers tableaux, très peu d’élèves décèlent le mécanisme juste en les regardant.

Nous conseillons de passer à la phase 3 et à la découverte du système en base deux grâce à l’outil

du « mini computer de Papy » pour revenir ensuite observer les tableaux de K1 à K4.

19

Phase 3 : aide pour les élèves

Si nous faisons le tour avec toute la classe, nous pouvons basculer sur l’outil « le mini computer

de Papy ». Cet outil comprend plusieurs jeux déjà existant, tel que la guerre des pions, qui permet

de comprendre le fonctionnement de la base deux.

Si le tour s’effectue par groupe alors l’enseignant donne le début des grilles du « mini computer

de Papy » qui va aider les élèves à comprendre le fonctionnement de la base deux sans aller plus

profondément dans l’outil.

20

3.2.6. L’échange neutre14

But de l’activité

Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)15

- Revoir le calcul écrit.

- Revoir le principe de la

commutativité.

- Peut être utilisé comme situation

d’introduction à la commutativité.

- Revoir la différence entre nombre

et chiffre.

- Dénombrer.

Matériel nécessaire

- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que

tous les élèves testent le tour).

- (Éventuellement) une calculatrice

- Fiche élève (en annexe page 54, fiche non testée en classe)

Présentation de l’activité

Phase 1 : présentation du tour de magie

Disposition des élèves : regroupés autour d’une table.

Un élève choisit neuf cartes représentant des chiffres

dans le paquet de cinquante-deux cartes.

Il les dispose en carré (3 x 3) sur la table.

14 Tour de magie provenant de : D. Souder, 80 petites expériences de Maths Magiques, DUNOD, Paris, 2008, pp 33-36 15 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

21

L’enseignant pose sa prédiction face cachée en bas des neuf cartes. Il va prédire en calculant la

somme à l’image d’un calcul écrit sauf qu’il calcule en additionnant les lignes et non les colonnes.

Exemple :

L’enseignant demande à l’élève de réarranger comme il le souhaite la première ligne pour qu’elle

devienne la première colonne. Il procède de la même façon pour la ligne deux puis la ligne trois.

Exemple :

L’enseignant demande à l’élève d’additionner les 3 nouveaux nombres qu’il vient de créer. 489

+ 581 + 376 = 1446

L’enseignant dévoile alors sa prédiction.

Phase 2 : indice pour les élèves

Disposition des élèves : deux/trois par banc.

L’enseignant demande aux élèves de résoudre les deux calculs écrits suivants :

3 5 4

+ 6 1 7

+ 4 9 8

1 4 6 9

1

5 4 3 2 + 2

7 8 8 3 +1

6 9 1 6

1 4 4 6

4 8 9

5 8 1

3 7 6

1 4 4 6

6 1 8

+ 3 9 4

+ 4 5 7

1 4 6 9

22

Phase 3 : mise en commun

Les élèves émettent des hypothèses sur le fonctionnement du tour.

Mettre en évidence que les chiffres sont les mêmes pour chaque colonne.

L’enseignant peut réexpliquer avec les chiffres du tour qui sont toujours sur la table.

Phase 4 : synthèse

Dans une addition, si nous permutons (commute) les termes, la somme sera identique. Nous

appelons cela la commutativité.

5 + 3 = 8 ou 3 + 5 = 8

Phase 5 : mise en pratique

Les élèves pratiquent le tour par deux ou trois en alternant celui qui présente le tour et celui qui

participe.

23

3.2.7. Les portraits du roi16

But de l’activité

- Travailler la logique de l’élève en anticipant les cartes qui vont être retournées et celles

qui vont se retrouver face visible.

Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)17

- Revoir la symétrie orthogonale

lors du pliage en deux et la

symétrie centrale lors de

l’observation du mécanisme (aller

plus loin).

- Reconnaitre et caractériser une

symétrie axiale et une rotation.

Matériel nécessaire

- Seize cartes dont les quatre rois.

- Fiche élève (en annexe page 55).

Présentation de l’activité

Phase 1 : présentation du tour de magie

Positionnement des cartes en « carré » de quatre sur quatre avec les rois à

ces positions bien précises :

Retourner certaines cartes pour former un K comme ceci.

16 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 62-63 17 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

K K

K K

24

Plier plusieurs fois l’ensemble des cartes en deux parties égales pour obtenir un seul paquet, les

rois seront visibles d’un côté et les autres cartes de l’autre.

Phase 1 (bis) : raconter une histoire pour expliquer pourquoi on retourne certaines cartes :

C’est l’histoire d’un roi d’Angleterre qui s’aimait beaucoup. Il a fait faire 4 portraits de lui. Il les

a accrochés avec d’autres portraits de paysages pour en faire une énorme fresque. Pour rendre

hommage à ce roi disparu, nous allons d’ailleurs écrire un K en retournant certains tableaux parce

qu’en anglais roi se dit king.

Le roi se venta dans tout son royaume de ses tableaux magnifiques. Il n’aurait pas dû le crier sur

tous les toits car des voleurs voulurent s’en emparer. Malheureusement pour eux, les tableaux

étaient accrochés tous ensembles. Les voleurs avaient apporté un sac pour prendre uniquement

les tableaux du roi, mais devant la beauté de la fresque, ils décidèrent de tout voler. Le sac qu’ils

avaient prévu, était trop petit pour tout contenir tel quel. Ils durent plier en deux l’ensemble des

tableaux. Mais là encore, le sac fut trop petit. Ils durent replier la fresque pour ne former un tas

de la taille d’un seul tableau.

Le roi furieux de s’être fait voler, lança à la poursuite des voleurs tous les gardes du royaume. Ils

finirent par capturer les voleurs mais au moment d’ouvrir leur sac, les voleurs dirent :

Option 1 : « c’est juste quelques toiles de paysages sans grande valeur » et ils partirent avec leur

butin. Si tous les tableaux du roi sont face cachée.

Option 2 : « c’est juste des toiles vierges... » et les gardes les arrêtèrent car parmi les toiles vierges,

trônaient les 4 portraits du roi. Si tous les tableaux du roi sont face visible.

Phase 2 : compréhension de la mécanique du tour

Nous réfléchissons avec les élèves à la manière d’arriver à avoir uniquement les rois dans le même

sens à la fin du pliage.

Pour cela, les élèves vont diviser une feuille en quatre parties égales et indiquer sur chaque quart

de feuille un numéro calligraphié de la même couleur. Sur le verso de la feuille, ils vont procéder

à la même opération avec une autre couleur.

Ils vont se rendre compte que peu importe la manière dont ils choisissent de plier la feuille, ils

obtiendront toujours les couleurs de manière alternée. Par contre, les numéros changeront d’ordre.

25

Nous pouvons en conclure que si nous laissons toutes les cartes telles

quelles sans en retourner une partie, nous obtiendrons le schéma suivant

pour l’ensemble des seize cartes.

À partir de là, nous allons pouvoir mettre les rois à des endroits aléatoires.

Les élèves vont réfléchir aux cartes à retourner pour obtenir le même

résultat que la phase une.

Aller plus loin

Nous pouvons demander aux élèves de créer leur propre schéma.

Par exemple une variante avec les dames et le Q de queen :

D

D D

D

Sur cet exemple que nous avons créé, formant un N et cette fois 6 rois. Nous pouvons observer

une symétrie centrale sur ce dernier schéma.

R R

R

R

R R

26

3.2.8. Preuve par neuf18

But de l’activité

Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)19

- Revoir le critère de divisibilité

des nombres multiples de neuf.

- Résoudre un problème par le

calcul littéral.

- Revoir la différence entre nombre

et chiffre.

- Construire des expressions

littérales où les lettres ont le statut

de variables ou d’inconnues.

- Transformer des expressions

littérales, en respectant la relation

d’égalité et en ayant en vue une

forme plus commode.

Matériel nécessaire

- Un paquet de cinquante-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que

les élèves testent le tour).

- (Éventuellement) une calculatrice

- Fiche élève (en annexe page 56).

Présentation de l’activité

Phase 1 : présentation du tour de magie

- Un élève choisit un nombre composé de quatre chiffres. Ce nombre doit être plus grand

que mille dix.

- L’élève additionne les chiffres qui composent son nombre.

- Il soustrait le total à son nombre de base.

- Il obtient un nouveau nombre composé de quatre chiffres.

- Pour chaque chiffre, il va choisir une carte dans le paquet de cinquante-deux cartes dont

les valeurs sont identiques. Il peut sélectionner une couleur qu’une seule fois. Par

exemple, si sa première carte est un sept de cœur, il ne pourra plus choisir cœur pour les

trois cartes suivantes. Une fois les quatre cartes choisies, il aura donc un cœur, un pique,

un trèfle et un carreau. Le zéro est représenté par un dix.

18 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 59 19 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

27

- Le magicien demande à l’élève de garder une carte en main et de lui donner les trois

autres.

- Le magicien annonce la carte de l’élève.

Phase 2 : explication mathématique du tour

En faisant retirer la somme des chiffres qui compose le nombre de l’élève, nous allons rendre le

résultat multiple de neuf.

Nous pouvons le présenter au tableau comme ceci :

Nombre de base choisi par

l’élève

Moins la somme des chiffres qui

composent le nombre de base

Résultat de la différence

1000a + 100b + 10c

+ d

−(a + b + c + d)

= 999a + 99b + 9c

Nous pouvons mettre neuf en évidence pour aider les élèves à mieux visualiser : 9(111a +

11b + c)

Nous énonçons le critère de divisibilité par neuf : « Un nombre est divisible par neuf lorsque la

somme de ses chiffres est un nombre multiple de neuf ».

Nous observons les trois cartes que l’élève nous a données et on calcule combien il manque pour

arriver au prochain multiple de neuf. Par exemple, si nous avons en main un sept de trèfle, un huit

de carreau et un sept de cœur, la carte de l’élève sera le cinq de pique. 7 + 7 + 8 = 22 . Il manque

cinq pour obtenir le prochain multiple de neuf supérieur à vingt-deux.

Le tour possède une erreur, si dans la main de trois cartes que nous donne l’élève se trouve déjà

un multiple de neuf alors la solution n’est plus unique. La carte que l’élève a gardée en main est

soit un dix soit un neuf.

L’élève doit choisir absolument un nombre supérieur à mille dix. Les nombres à quatre chiffres

qui sont inférieurs à mille dix, lorsque que nous soustrayons le nombre que composent ces

chiffres, le résultat obtenu sera inférieur à mille. Dans ce cas, l’élève choisira trois cartes au lieu

de quatre.

Exemple : 1005 1005 − 6 = 999

28

3.2.9. Voilà la carte choisie20

But de l’activité

Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)21

- Revoir la mise en équation d’un problème.

- S’aider d’un outil mathématique comme

une droite graduée pour résoudre un

problème.

- Revoir la différence entre nombre et

chiffre.

- Construire des expressions

littérales où les lettres ont le

statut de variables ou

d’inconnues.

- Utiliser l’égalité en terme de

résultat et en terme

d’équivalence.

Matériel nécessaire

- Un paquet de trente-deux cartes (prévoir un paquet pour deux élèves, si on veut que les

élèves testent le tour).

- Fiche élève (en annexe page 57).

Présentation de l’activité

Phase 1 : présentation du tour de magie

- Un élève prend, face cachée, entre vingt et vingt-neuf cartes dans le paquet de trente-

deux.

- Il additionne les deux chiffres qui composent ce nombre.

- Il retourne le paquet et regarde la carte à la position qui correspond à ce nombre.

- L’élève remet le reste des trente-deux cartes qu’il n’a pas choisies en dessous du paquet

après avoir remis le paquet face cachée.

- L’enseignant prend le paquet et compte jusqu’à dix-neuf dans sa tête. Il retourne la carte

en disant qu’il a senti l’énergie de l’élève sur cette carte. Ou il épelle chaque lettre de la

phrase « magique » suivante « v-o-i-l-à l-a c-a-r-t-e c-h-o-i-s-i-e ». Il retire une carte

chaque fois qu’il épelle une lettre. Au E final de « choisie », il retourne la carte qui sera

celle de l’élève.

20 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 4-5. 21 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

29

Phase 2 : explication mathématique du tour

Quel que soit le nombre de cartes que choisit l’élève, nous allons toujours compter jusqu’à dix-

neuf en partant du dessus du paquet pour tomber sur sa carte. Nous allons mettre en équation les

deux manières de trouver la carte et vérifier que ces deux méthodes sont bien équivalentes.

Position de la carte en

partant du dessus du

paquet

Position de la carte en partant

du dessous du paquet

Nombre de carte choisies

moins dix-huit cartes car

la dix-neuvième carte est

la nôtre.

Somme des chiffres qui

composent le nombre de cartes

choisies

(20 + 𝑥) − 18

∀ 𝑥 ∈ 𝑁 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑥 ≤ 9 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠

=

2 + 𝑥

Pour les élèves, nous pouvons exprimer ce résultat à l’aide d’une droite graduée et d’un exemple :

imaginons qu’un élève ait choisi vingt cartes. Si nous partons du dessus du paquet, nous devons

retirer dix-neuf cartes du paquet de départ. Nous les symbolisons par un point noir au-dessus du

nombre des cartes qui composent le paquet. Si nous partons du dessous du paquet, nous devons

partir de zéro carte et compter le nombre de cartes pour arriver à l’addition des chiffres qui

composent notre nombre. Le nombre obtenu par le résultat de notre addition est symbolisé par

des points gris situés en dessous du nombre des cartes qui composent notre paquet.

30

+10

+10

+10

Aller plus loin

Nous pouvons nous poser la question, si nous prenons un paquet composé entre dix et dix-neuf

cartes, de combien de lettres va être composée notre phrase magique pour tomber sur la bonne

carte ? Et pour un paquet composé de trente à trente-neuf cartes ? Est-ce que nous observons une

constante entre les paquets de dix à dix-neuf, de vingt à vingt-neuf et de trente à trente-neuf

cartes ? Si oui pouvons-nous prédire le nombre de lettres de chaque phrase magique pour des

paquets composés avec des nombres différents de cartes ?

Si nous mettons ces données dans un tableau, nous remarquons que chaque fois que nous

augmentons de dix cartes la taille du paquet initial, nous devons augmenter notre phrase magique

de neuf lettres.

10-19 10

20-29 19

30-39 28

40-49 37

+9

+9

+9

31

3.2.10. Donne-moi de l’aire22

But de l’activité

Concept(s) mathématique(s) visé(s) Compétence(s) visée(s)23

- Revoir la formule d’aire du

triangle, du carré et du trapèze.

- Revoir la proportionnalité.

- Revoir la pente.

- Apprendre à vérifier ses

informations.

- Construire et utiliser des

démarches pour calculer des aires.

- Mesurer des angles.

Matériel nécessaire

- Plusieurs formes prédécoupées à partir d’un carré.

- Des aimants, si on veut l’afficher au tableau.

Présentation de l’activité

Phase 1 : déroulement du tour de magie

Ce tour n’est pas à faire comme introduction des tours de magie mais plutôt lorsque le groupe

classe est déjà habitué aux activités magiques. Son aspect est très mathématique et peut donc

rompre l’immersion du thème de la magie.

Avec les élèves, nous observons les 4 figures disposées en carré (voir page suivante). Nous

mesurons l’aire du carré et nous l’inscrivons au tableau.

80 . 80 = 6400𝑐𝑚²

Nous vérifions l’aire des quatre figures et nous remarquons que la somme de leurs aires est égale

à celle du carré.

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 80 . 30

2+

80 . 30

2+

(30 + 50) . 50

2+

(30 + 50) . 50

2

= 1200 + 1200 + 2000 + 2000 = 6400𝑐𝑚²

Enfin, nous calculons l’aire du triangle formé par les quatre formes.

22 Tour de magie provenant de : Hiéronymus, Tours extraordinaires de mathémagique, ellipses, Paris, 2005, pp 39-41 23 Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

32

(50 + 50) . (50 + 80)

2=

100 . 130

2= 6500𝑐𝑚²

Nous remarquons que les deux aires sont différentes, pourquoi ?

Phase 2 : explication du tour de magie

Par proportionnalité

Si nous comparons les proportions des deux triangles. Le premier étant celui

nommé B et le second est une partie du trapèze C que nous allons appeler E.

Si nous comparons le coefficient de proportionnalité des deux triangles, nous

observons qu’il est différent.

E B

x (en cm) 50 80

y (en cm) 20 30

Le coefficient de proportionnalité est de 20

50= 0,4 pour le triangle E et de

30

80= 0,375 pour le

triangle B. Il est donc impossible que, mis dans cette position, les deux triangles forment une

même droite avec leur hypoténuse respective.

33

Par le calcul des angles

Si nous calculons les amplitudes des angles 𝑎 et 𝑏, nous observons qu’elles sont différentes. Par

conséquent, il est impossible, dans cette disposition, que les sommets opposés aux côtés (qui

mesurent 30cm) des triangles A et B se rejoignent en seul un point.

Angle 𝑎 = arctan50

(50−30)= 68,02°

Angle 𝑏 = arctan80

30= 69,44°

Pour les élèves, ces calculs sont trop complexes. Nous proposons de comparer simplement les

angles avec l’outil Géogebra. Ou d’observer que les grands côtés des triangles A et B ne forment

pas une ligne droite parfaite. Par conséquent, la figure formée par les quatre figures n’est pas un

triangle.

34

3.3. Analyse à posteriori des expérimentations en

classe

La préparation des tours demande un certain investissement au professeur. En effet, même

si la maitrise complète de certains tours prend quelques minutes, certains autres ne sont acquis et

applicables qu’après plusieurs heures d’entrainement. Durant la préparation, il faut prendre en

compte la compréhension des concepts mathématiques, mais aussi la façon de les transmettre aux

élèves au travers des fiches-outils. Enfin, il faut ajouter les répétitions du tour en lui-même devant

des tiers avant de pouvoir le présenter aux élèves.

C’est une façon de transmettre la matière qui demande une implication différente que de

donner un cours de mathématique classique. Ce genre de procédé impose à l’enseignant d’être

beaucoup plus mobile dans la classe. Il doit être présent pour chaque groupe afin de réactiver la

réflexion des élèves, ne pas les laisser s’ennuyer ou renoncer. Cela demande également de

s’adapter aux différents profils d’élèves et de groupes pour donner de nouvelles pistes de

compréhension efficace.

Cela implique enfin de gérer le bruit de manière différente. Faire changer de place les

élèves ou leur demander de travailler en groupe occasionnera obligatoirement des discussions

entre eux qu’il faudra gérer sans imposer le silence.

Lors de la troisième semaine de stage au collège Sainte-Gertrude de Nivelles, mon maitre

de stage m’a proposé de m’occuper, exceptionnellement une d’heure de plus, de la classe de

première 1A. Pendant mon stage, j’ai donné cours de mathématique pendant quatre heures

semaine à cette même classe. J’ai donc profité de l’occasion pour faire des Maths & Magie. La

première chose que j’ai pu observer était leur enthousiasme face à cette nouvelle activité que je

leur avais proposée. Comme je leur donnais cours depuis trois semaines, j’ai pu noter des

changements de comportement chez certains d’entre eux. Plusieurs élèves qui avaient l’habitude

de se faire extrêmement discrets ou de déranger le cours se sont montrés très intéressés par

l’activité et se sont retrouvés parmi ceux qui posaient le plus de questions. Deux élèves sont

d’ailleurs restés environ dix minutes de plus après la sonnerie de fin des cours afin de comprendre

le mécanisme mathématique de leur tour de magie, sachant que l’activité s’est déroulée un jeudi

en dernière heure.

Lors des cours classiques donnés après l’activité, je n’ai pas vraiment observé de

changement dans leur comportement. Par contre, cela a influencé mon regard sur eux et m’a donné

de nouvelles informations pour interagir avec les différents élèves.

35

Plusieurs étudiants ou enseignants en mathématiques, dont mon maitre de stage, m’ont

demandé de leur transmettre les fiches-outils que j’avais utilisées pour pouvoir reproduire les

tours de magie avec leurs classes. Certains élèves ont également tenu à avoir ces fiches. Ce qui

témoigne de l’intérêt d’un public varié pour ce sujet.

Je pense qu’une activité régulière de ce type pourrait être très bénéfique pour les élèves

et le professeur. Cela permettrait de changer le type de relation que le professeur a habituellement

avec ses élèves, et donc avoir un contact différent avec eux.

36

4. L’avis des experts

4.1. Dominique Souder

Dominique Souder était professeur de mathématiques au lycée Valin de La

Rochelle en France. Il est, depuis 1990, secrétaire de la Fédération Française de Jeux

Mathématiques. Il est l’auteur de plusieurs livres mêlant mathématiques et magie. La

plupart des tours de magie que nous utilisons en sont issus. Il est également l’auteur de

vidéos que nous pouvons trouver sur Youtube et de conférences traitant de mathémagie.

Alors qu’il était professeur, il a créé un club de mathémagie qui avait lieu durant la pause

de midi. Dans ce club, les élèves apprenaient et créaient des tours de magie basés sur les

mathématiques. L’un des élèves participant à ce club à même participé à la rédaction de

deux des ouvrages de Dominique Souder.

Dans un article24 écrit par l’auteur, que nous pouvons retrouver sur le site

CultureMath, il dépeint les diverses utilisations de la mathémagie en classe.

Tout d’abord, un même tour peut être adapté pour différents niveaux de connaissances et

de capacités. Un tour peut être complexifié ou facilité en apportant une aide

supplémentaire aux élèves.

Le moment propice à un tour de magie est lorsque nous pouvons mettre en valeur un

concept mathématique vu récemment. Ils peuvent aussi être vus en guise d’introduction

à un nouveau concept mathématique. Enfin, cela peut être une « récompense ludique en

fin de cours » (Souder)25 pour aider à la création d’images mentales qui serviront à la

compréhension d’autres concepts.

Ce style d’activité sert à mettre en valeur les mathématiques, à faire comprendre aux

élèves qu’il y a une utilité à la théorie qu’ils ont apprise. Par exemple, un tour de magie

qui permet de retrouver le dernier chiffre du numéro d’un billet de banque.

24 D. Souder, « La mathémagie », 07/01/2017 [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-math%C3%A9magie

(page consultée le 19/05/2018).

25 D. Souder, « La mathémagie », 07/01/2017 [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-math%C3%A9magie

(page consultée le 19/05/2018).

37

Certains tours préparent à comprendre le langage informatique et donc le codage.

D’autres tours font appel à l’utilisation de la calculatrice, ce qui permet aux élèves de

s’entrainer avec cet outil.

D’après D. Souder26, La mathémagie a cet avantage de motiver les élèves et de les

transporter ailleurs que dans le cadre d’un cours type scolaire. Cela va les pousser à

s’investir davantage dans l’apprentissage des mathématiques. Le fait que les élèves

puissent s’approprier les tours de magie va augmenter leur confiance en eux, leur

éloquence et aussi leur créativité dans la production ou la réalisation des tours. Pour

Souder27 : « La mathémagie devient un sport complet, où les mathématiques conduisent

à un épanouissement personnel. » Cette dernière citation a son importance dans un

quotidien scolaire où les mathématiques sont souvent craintes par la plupart des élèves.

Le but de Mr. Souder est de banaliser les mathématiques en les reliant beaucoup plus au

quotidien.

Le fait d’impressionner positivement les élèves les pousse à avoir envie de comprendre

la logique pour répéter les tours. Leur enthousiasme aura aussi des répercussions positives

sur la relation élève-professeur. Il ne faut pas le négliger.

« Les maths sont souvent vécues comme répulsives par certains et attaquées dans les

médias. Je les défends à ma manière. Pour moi les mathématiques peuvent être, aussi, un

talent de société, et un domaine de développement de la créativité. Partout où je suis

passé j’ai trouvé des élèves capables d’imagination… » (Souder)28

26 D. Souder, « La mathémagie », 07/01/2017 [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-math%C3%A9magie

(page consultée le 19/05/2018).

27 D. Souder, « La mathémagie », 07/01/2017 [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-math%C3%A9magie

(page consultée le 19/05/2018).

28 D. Souder, « La mathémagie », 07/01/2017 [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-math%C3%A9magie

(page consultée le 19/05/2018).

38

4.2. L’avis de futurs enseignants en mathématique

4.2.1. Les étudiants en Bloc 2 AESI mathématiques

Nous avons demandé aux étudiants de 2ème AESI mathématiques de l’École Normale du

Brabant Wallon de participer aux tours de magie comme s’ils étaient les élèves. L’activité a

débuté par quelques tours pour capter leur attention. Ensuite, nous avons divisé le groupe en trois.

Chaque groupe a eu un tour de magie à décoder à l’aide des consignes élèves. Chaque groupe a

essayé de comprendre le(s) concept(s) mathématique(s) qui régissent leur tour de magie. Enfin,

chaque groupe a présenté le tour de magie qu’ils avaient reçu aux deux autres groupes.

Normalement, la durée de cette activité avec un groupe classe est de cinquante minutes

pour deux tours de magie à décoder. Avec les étudiants de deuxième AESI mathématiques,

l’activité a duré vingt-cinq minutes pour trois tours de magie à décoder. Le gain de temps peut

être en grande partie dû au fait que nous nous sommes rendus très peu dans les groupes d’AESI

alors qu’avec des élèves du secondaire, nous étions sollicités en permanence.

La plupart des élèves de deuxième AESI ont été bluffés par les tours. Ils ont participé

avec enthousiasme. Ils étaient curieux de découvrir le mécanisme mathématique de chaque tour.

A la fin, nous leur avons demandé de donner leurs impressions sur l’activité qu’ils avaient vécue.

Les impressions exprimées sont les suivantes :

- L’activité est ludique.

- Les consignes sont faciles à expliquer.

- Favorise le rappel des certains concepts mathématiques.

- Entraine l’esprit logico-mathématique.

- Attractif pour les élèves.

- Les élèves travaillent en autonomie.

- Éveille la curiosité.

Les conseils d’amélioration sont les suivants :

- Difficulté à gérer les groupes dans leur ensemble.

- Attention à ce que les groupes ne soient pas trop volumineux pour que tous les élèves

puissent participer au décodage du tour de magie.

- Certains tours ont des faiblesses et ne sont pas réalisables à cent pour cent par la méthode

proposée dans les fiches-élève.

39

4.2.2. Deux étudiants de Bloc 3 AESI mathématiques

En plus des activités Math & Magie que j’ai faites en stage au Collège Sainte-Gertrude

de Nivelles, on m’a proposé d’animer un atelier ludique et divertissant autour des mathématiques

pour les élèves de deuxième secondaire à l’Institut du Sacré-Cœur de Nivelles. Pour ce faire, j’ai

demandé à deux de mes camarades de classe de m’accompagner. C’était l’occasion pour eux de

tester les tours avec des élèves et moi de les observer. L’activité a également permis qu’ils me

donnent leurs impressions sur le déroulement des tours et de l’activité en général. L’un d’entre

eux, Jolan, a aussi utilisé cette activité dans sa propre école de stage pour animer ses élèves lors

de deux heures de cours.

Voici leurs avis

Jolan a trouvé l’utilisation de la magie dans les mathématiques très intéressante car elle

éveille la curiosité des élèves. Elle leur permet aussi de comprendre des concepts par d’autres

voies que celles vues normalement au cours. De plus, elle nécessite très peu de matériel. Elle est

un bon moyen de reprendre de la matière déjà vue au cours ou d’en introduire une nouvelle. Pour

lui, c’est aussi une très bonne activité car elle donne aux élèves l’envie d’apprendre les tours et

donc la théorie pour pouvoir les reproduire chez eux ou devant d’autres élèves.

Il a eu beaucoup de succès dans sa propre école de stage, que ce soit auprès des élèves ou des

professeurs. Un professeur de mathématique lui a demandé de reproduire l’activité dans une

classe qui n’était pas la sienne, après que sa maitre de stage en ai parlé dans la salle des

professeurs.

Dans l’avis qu’il m’a donné, le seul inconvénient étant la gestion du bruit et de l’excitation des

élèves qui sont amenés à parler entre eux pour comprendre le fonctionnement des tours.

Gaspard a profité de l’activité pour tester différentes méthodes de déroulement dans

l’introduction des tours :

« 1. Je fais le tour devant tout le monde, puis je donne les fiches explicatives à la moitié des élèves

qui les lisent et essaient de faire le tour aux autres.

2. Je fais le tour devant tout le monde, puis je donne les fiches explicatives à tous les élèves et

ils se font ensuite le tour mutuellement.

3. Je donne directement les fiches explicatives à tous les élèves, ils essaient de comprendre par

eux-mêmes et en s’entraidant, puis ils se présentent mutuellement le tour. » (Gaspard Leemans)

Pour lui, la méthode la plus compliquée est la troisième car les élèves reçoivent très peu

d’explications en plus de la fiche. Ils doivent comprendre seuls comment les concepts peuvent

40

permettre de réaliser un tour de magie. Cette méthode sera utilisée avec des élèves motivés qui

désirent un peu de challenge.

Il pense que la méthode n°1 est utile quand les élèves ne sont pas tous au même niveau. Certains

auront l’occasion de chercher à comprendre avec l’aide de la fiche alors que les autres pourront

essayer d’identifier les concepts utilisés sans indice.

La méthode n°2 est celle qui sera utilisée dans une classe « normale » où tout le monde est plus

ou moins au même niveau de compréhension.

4.3. L’avis d’enseignants en mathématiques

Afin d’avoir des avis de personnes expérimentées dans l’enseignement des

mathématiques, j’ai demandé à mon maître de stage Monsieur François Hawia, professeur de

mathématiques au Collège Sainte-Gertrude à Nivelles. À la maitre de stage de Jolan Van

Langendonck, Madame Caroline Dehaye, professeur de mathématiques au Lycée Martin V à

Louvain-la-Neuve. Elle a assisté à l’activité donnée par Jolan dans sa classe et dans la classe d’un

autre professeur.

J’ai également demandé l’avis de Madame Axelle Finné, enseignante au Collège Cardinal Mercier

à Braine-l'Alleud depuis près d’un an. Je lui ai appris plusieurs tours de magie et prêté mon

matériel afin qu’elle puisse les faire avec ses élèves.

Monsieur Hawia a relevé le caractère ludique et motivant de l’activité pour les élèves.

Elle permet également de « faire le lien avec certaines propriétés vues en classe » (Hawia). Un

autre avantage est que l’activité peut se faire de différentes manières : collégiale, en petits

groupes, en groupes plus importants, selon les besoins et les capacités des élèves.

Il faut, selon lui, faire attention à la gestion du bruit mais aussi à l’implication de chacun des

élèves. En effet, le travail de groupe favorise l’entraide et la réflexion, mais cela peut également

permettre à certains élèves de laisser les autres chercher à leur place ou de mettre quelqu’un de

moins rapide de côté. Il faudra donc être tout particulièrement attentif à la formation des groupes

et à la bonne compréhension de chacun.

Il remarque enfin que ce genre de technique est très intéressante mais qu’elle ne peut pas tenir

dans la durée s’il n’y a pas de variations des techniques.

Madame Dehaye a également noté l’association des mathématiques à des applications

ludiques et différentes comme une qualité de l’activité. Elle remarque que la lecture des consignes

41

« permet de travailler des compétences transversales comme la compréhension et l’interprétation

des consignes ». C’est aux élèves d’expliquer aux autres comment leur tour fonctionne en leur

donnant les bonnes informations. C’est, pour elle, une bonne activité qui permet de donner un

attrait différent aux mathématiques et de stimuler le cerveau.

Pour Madame Finné, le point positif de cette activité est que les élèves « disposés en

îlots » vont pouvoir argumenter et confronter leurs raisonnements. De plus, ces tours de magie

peuvent être utilisés tout au long de l’année comme introduction ou conclusion d’une matière. Ils

sont également un bon outil de révision.

42

5. Conclusion

Les tours de magie font appel à plusieurs compétences programmées par la Fédération

Wallonie-Bruxelles, qu’elles soient transversales ou relatives aux outils mathématiques de base.

Les travaux de Dominique Souder traitant de Math & Magie ont permis la création

d’outils qui abordent les mathématiques différemment. C’est un apport très intéressant pour

l’enseignement aux élèves.

La Math & Magie permet d’intéresser les jeunes autrement. Elle donne également la

possibilité de découvrir les élèves sous d’autres aspects. Certains d’ordinaire peu motivés peuvent

se transformer en moteur du groupe. Cependant, d’autres élèves peuvent profiter de l’occasion

pour être moins productif en se laissant mener par les autres.

Il serait intéressant d’instaurer une heure complémentaire, comme dans certaines écoles,

où le professeur ferait autre chose que son cours avec les élèves afin de créer d’autres contacts.

L’un de mes maitres de stage, Monsieur Demaret a conçu une chanson de révision pour aider les

élèves à mémoriser des propriétés mathématiques. Il fait apprendre les couplets de la chanson en

fonction de l’avancement dans les chapitres du cours.

Que ce soit la magie, la musique ou une autre compétence, nous sommes convaincus que tout le

monde peut développer un atout permettant de motiver les élèves différemment ou de les aider à

appréhender les mathématiques sous un autre angle.

43

Bibliographie Ouvrages

Hiéronymus, « Tours extraordinaires de Mathémagique », Paris, ellipses Éditions, 2005.

Hiéronymus, « Nouveaux tours extraordinaires de Mathémagique » Paris, ellipses Éditions.,

2009.

Souder D., « Magie & Maths », Villejuif, Collections Hyper Cube, Éditions Pentaèdre, Paris,

Éditions du Kangourou, 2001.

Souder D., « 80 petites expériences de Maths Magiques », Paris, Collections La science des petits

riens, Éditions DUNOD, 2008.

Sites internet

Apprendremagie.com, [en ligne], http://www.apprendremagie.com/la-magie-travers-les-

epoques/ (page consultée le 28/05/2018).

Arlettaz D., mathématicien, recteur de l’Université de Lausanne, [en ligne],

https://www.rts.ch/decouverte/sciences-et-environnement/maths-physique-

chimie/maths/4660273-d-ou-viennent-les-maths-comment-ont-elles-evolue-.html (page

consultée le 28/05/2018).

Imago Mundi, Encyclopédie gratuite en ligne, [en ligne],

http://www.cosmovisions.com/mathematiquesChrono.htm (page consultée le 28/05/2018).

Informations tirées de :

- Barbin, « La révolution mathématique du XVIIe siècle », Ellipses Marketing, 2006.

- Chemla K., « Mathématiques et connaissance du monde réel avant Galilée »,

Omniscience, 2010.

- Chemla K., Shuchun G., Lloyd G., « Les Neuf Chapitres, le classique mathématique de

la Chine ancienne et ses commentaires », Dunod, 2004.

- Clifford a., Pickover, « Le Beau Livre des Maths » - De Pythagore à la 57e dimension,

Dunod, 2010.

- Rousselet M., Morice-Singh C., « A la découverte des mathématiques des pharaons, des

mayas et de l'Inde ancienne » : Pack en 3 volumes, Pole, 2010.

- Samueli J-J., Boudenot J-C., (préf. Éditions Brézin), « Trente livres de mathématiques

qui ont changé le monde », Ellipses, 2006.

Merlin J., ArteFake, l’art de l’illusion, [en ligne], http://www.artefake.com/HISTOIRE-DE-LA-

MAGIE.html (page consultée le 28/05/2018).

Papy F., « Minicomputer», 1967, [en ligne], http://www.rkennes.be/Papy-

Minicomputer/minicomp-reidel.pdf (page consultée le 28/05/2018).

Souder D., « La mathémagie », 07/01/2017, [en ligne], http://culturemath.ens.fr/content/la-

math%C3%A9magie (page consultée le 19/05/2018).

Wikipédia, [en ligne], https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_math%C3%A9matiques (page

consultée le 28/05/2018).

Wikiversité, [en ligne], https://fr.wikiversity.org/wiki/Cartes_%C3%A0_jouer/Histoire (page

consultée le 28/05/2018).

44

Revue

Fédération Wallonie-Bruxelles, Socles de Compétences, Bruxelles, 11/2014, pp 22-31

Œuvre d’art

Bosch J., « l’escamoteur », Musée communale de Saint-Germain-en-Laye, v. 1475-1505.

45

Annexes

46

Impressions d’étudiants et d’enseignants de mathématiques

L’avis de Gaspard Leemans (étudiant de troisième année en AESI math)

Activité de Math & Magie à l’école du Sacré-Cœur de Nivelles

Avec une activité comme celle-ci, les élèves sont un peu dans l’inconnu au début mais on

remarque une attention supplémentaire que pour un cours classique.

En premier lieu, les élèves ont eu, en guise d’introduction, des tours présentés par Jean-

Christophe. Cela a eu l’effet escompté car une bonne partie des élèves était vraiment motivée pour

passer à la suite du programme, certains même avec des étoiles dans les yeux.

Je me suis occupé d’un des groupes avec « le tour de base ».

Je l’ai testé de différentes manières sur plusieurs groupes :

1. Je fais le tour devant tout le monde, puis je donne les fiches explicatives à la moitié des

élèves qui les lisent et essaient de faire le tour aux autres.

2. Je fais le tour devant tout le monde, puis je donne les fiches explicatives à tous les

élèves et ils se font ensuite le tour mutuellement.

3. Je donne directement les fiches explicatives à tous les élèves, ils essaient de

comprendre par eux-mêmes et en s’entraidant, puis ils se présentent mutuellement le tour.

La façon de faire n°3 est bien si on a des élèves dégourdis et motivés, sinon elle reste la plus

compliquée pour les élèves car aucune information supplémentaire n’est donnée au début.

L’avantage avec les autres façons est que les élèves voient l’attente final, ce à quoi le tour doit

ressembler. Ils ne doivent ensuite « plus que » réussir à le comprendre et à le reproduire. La façon

n°1 ne fait pas travailler tous les élèves sur un même pied d’égalité, je la conseille donc plus pour

des activités où l’on a des élèves de différentes années. Pour les élèves d’une même classe la

façon n°2 semble plus adaptée.

En règle générale les élèves aiment ce genre d’activité : faire des tours de magie, mais également

voir l’envers du décor et comprendre comment et pourquoi le tour fonctionne d’un point de vue

logico-mathématique.

47

L’avis de Jolan Van Langendonck (étudiant de troisième année en AESI math)

Qu'ai-je pensé des tours de magie ?

Lorsque j'ai découvert les tours de magie, j'étais intrigué par le fait que je ne comprenais pas

comment les tours fonctionnaient. En utilisant mes connaissances en mathématiques en tant que

futur enseignant, j'arrivais à comprendre quelques tours et je pouvais voir ainsi le potentiel que

les tours de magie pouvaient apporter à l'apprentissage des élèves. De plus, ce qui m'a plu dans

ces tours de magies, c'est le peu de matériel nécessaire pour leur réalisation. Lorsque j'ai montré

ces tours à mes élèves, certains ont été tellement éblouis qu'ils ont voulu les refaire aux membres

de leur famille et à leurs amis.

Comment s'est déroulé le cours ?

Lorsque j'ai appris que je n'aurais que sept élèves en fin de semaine, j'ai proposé à ma maitre de

stage de faire des tours de magie qui utilisaient des propriétés mathématiques. J'ai donc décidé de

faire 4 groupes de deux, avec la participation de ma maitre de stage qui a joué le rôle d'élève,

parce qu'elle aussi aimait beaucoup la magie. J'ai introduit le cours en montrant rapidement

quelques tours de magie et j'ai remarqué que j'avais vite obtenu l'attention de la classe. Ensuite,

j'ai laissé les élèves apprendre un tour de magie, je leur ai montré en même temps les différentes

propriétés ou concepts mathématiques qui se cachaient derrière ce tour : multiple de 9, symétrie

axiale, priorité des opérations, ..... A la fin du cours, j'ai demandé à chaque binôme de présenter

son tour aux autres. Tous ont été conquis par ce cours, mon maitre de stage y compris. Elle a

tellement aimé qu'elle en a parlé dans la salle des professeurs et un professeur de mathématiques

m'a proposé de venir une heure dans sa classe pour refaire les tours. N’ayant pas cours, j'ai accepté

avec un petit stress supplémentaire car il n'y avait pas sept élèves mais bien vingt-cinq ....

Activité de mathémagie à l’école du Sacré-Cœur de Nivelles

Lorsque je voyais les élèves rentrer en classe, on s’apercevait qu'ils étaient intrigués par ces tours

de magie. Mais en quelques minutes, en faisant quelques tours rapidement devant l'ensemble du

groupe, j’ai remarqué rapidement que les élèves étaient époustouflés : ils ne s'y attendaient pas et

ne comprenaient pas comment je faisais. J’ai pu voir assez vite des sourires apparaitre ainsi que

des rires grâce à cette magie. Je leur ai demandé ensuite d'apprendre un tour de magie qu'ils

devraient refaire à l'autre groupe. Ils s'entrainaient, parfois on essayait des variantes un peu plus

compliquées et je leur demandais de découvrir le fonctionnement du tour. Pour ce faire, j’ai pris

des exemples assez simples pour comprendre la base du tour. Les élèves étaient contents

d'apprendre ces tours car ils pouvaient les reproduire simplement devant leur famille. L'objectif

48

de ce cours est non seulement que l'élève soit capable de refaire le tour de magie mais aussi qu'il

comprenne le fonctionnement du tour et remarque que les mathématiques sont parfois cachées

derrière des choses "simples" de la vie de tous les jours. Pour ma part, l'objectif a été atteint pour

l'ensemble des élèves et ces tours de magie se sont révélés une activité ludique qui peut apporter

beaucoup pour leur apprentissage.

L’avis de François Hawia (professeur de mathématiques au Collège Sainte-Gertrude de

Nivelles)

TDMA (Travaux Dirigés de MAthématique) – Activité mathématiques sur le thème de la

magie

Les tours de magie présentés par Jean-Christophe font appel à l’utilisation des jeux de cartes ou

de dés.

Avantages

Certains tours de magie permettent de faire le lien avec certaines propriétés vues en classe (la

commutativité…)

Ce type d’activité intéresse beaucoup les élèves en général. C’est donc une activité motivante.

Mais il faudra sûrement varier les activités après quelques semaines.

Les activités se font de manière variée (collégiale, en groupe par deux, par quatre…).

Inconvénients

Le travail par groupe amène parfois du bruit qu’il faut gérer.

Il faut veiller à ce que tous les élèves soient impliqués dans le travail de groupe.

L’avis de Axelle Finé (professeur de mathématiques au Collège Cardinal Mercier de

Braine-l’Alleud)

Cette activité ludique est très appréciée par les élèves. On sort des cours « traditionnels » ce qui

inévitablement attise la curiosité. La disposition des élèves en îlots leur permet de confronter

leurs idées et d’argumenter de façon logique afin d’expliquer leurs raisonnements respectifs.

Ces tours de magie peuvent être répartis sur toute l’année en fin ou en début de chapitre selon la

propriété sous-jacente au tour choisi. Ils peuvent aussi faire l’objet d’un ou deux cours en fin

d’année pendant la période des révisions.

49

L’avis de Caroline Dehaye (professeur de mathématiques au Lycée Martin V à Louvain-

la-Neuve)

Math et Magie.

Séquence de cours avec des élèves de 2ème année (7 élèves) puis de 1 ère année (24 élèves)

1) Présentation par l’étudiant de deux tours de magie à l’ensemble du groupe. (4 as et histoire

du roi). Les élèves sont attentifs et impressionnés par les deux tours proposés.

2) Travail par groupe de deux ou de quatre élèves avec une feuille de consignes pour un tour de

magie inédit. Les élèves lisent les consignes et essaient de réaliser le tour. (4 tours différents)

Intervention du prof sur les consignes plus complexes si les élèves sont en difficulté.

3) Chaque groupe réalise son tour de magie à un autre groupe et inversement puis ensemble, il

essaie de comprendre pourquoi le tour fonctionne à chaque fois.

Conclusion : séquence de cours intéressante pour plusieurs raisons.

- Cela permet tout d’abord d’associer les mathématiques à quelque chose de ludique et de

surprenant.

- Ensuite, les élèves travaillent sur la lecture des consignes, ce qui permet de travailler les

compétences transversales comme la compréhension et l’interprétation des consignes.

- Enfin, les élèves doivent réaliser le tour en veillant à expliquer correctement les

consignes à leur « victime », idéalement sans lire le document reçu.

- Ils doivent réfléchir à donner correctement les informations nécessaires à l’autre groupe.

- Ils peuvent ensuite, ensemble réfléchir au truc qui permet que le tour marche à chaque

fois.

- Une belle activité de jeu qui stimule le cerveau et donne un attrait supplémentaire aux

mathématiques.

50

29

29 Tour de magie provenant de : Hiéronymus, Nouveaux Tours extraordinaires de mathémagique, ellipses, Paris, 2009, pp 9-10

La main gagnante

Consignes :

Place dans le paquet de carte à la 13, 14, 15 et 16 éme positions les 4 AS.

Lance 3 dés et additionne leur résultat.

Enlève du paquet le nombre de cartes correspondant à la somme des 3 dés en prenant la première

carte et en la posant face cachée pour former un 2ème paquet. Ensuite, prends la 2ème carte et pose-

la sur la première carte et ainsi de suite pour toutes les suivantes.

Choisi 2 dés et retourne les pour obtenir la face opposée. Additionne la face opposée de ses deux

dés.

Effectue la même opération en prenant carte par carte et en les posant sur le 2ème paquet.

Fin n°1 : prends la valeur du dernier dé et retire le nombre de cartes associées à cette valeur du

2ème paquet et de la même manière que précédemment, pour former un 3ème paquet.

Retourne les 2 premières cartes du paquet n°2 et du paquet n°3.

Fin n°2 : si la valeur de ton dernier dé est un, alors retourne la première carte du premier paquet et

les 3 premières cartes du second paquet.

Comment cela est-il possible ?

51

30

30 Tour de magie mis en page par J. Devilé et A. Herinckx et provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 8

Le coup des dés devinés

Consignes :

Tourne le dos à la table de jeu, demande à un spectateur de jeter successivement 3 dés sur la table.

Annonce alors que tu vas donner le résultat à condition que le téléspectateur suive les consignes

suivantes :

- « multiplie par 2 la face supérieure du premier dé ».

- « ajoute 5 au résultat »,

-« multiplie par 5 le total précédent »

-« ajoute la face supérieure du deuxième dé »

- « multiplie par 10 le total précédent »

-« ajoute enfin la face supérieure du troisième dé ».

-« Donne-moi ton résultat »

Voilà comment tu dois t’y prendre maintenant :

Si le spectateur annonce 374, calcule de tête 374-250, soit 124 et annonce que les 3 dés étaient

dans l’ordre 124. Pourquoi ?

52

31

31 Tour de magie mis en page par J. Devilé et A. Herinckx et provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 54-55

Le 13 porte-bonheur

Consignes :

Prends un jeu de 52 cartes, faces visibles devant toi et constitue un tas de la façon suivante.

- Pose la première carte face visible par exemple un 8, puis par-dessus une carte que tu comptes

pour 9, une autre que tu comptes 10, une autre 11 et une dernière 12, toutes visibles, puis retourne

ce petit paquet qui sera face cachée.

- Fais de même, avec 5 ou 6 tas à partir d’autres cartes à points (éviter les figures), ajoutant à chaque

fois le nombre de cartes qui permet de compter jusqu’à 12.

- Demande ensuite à un spectateur de choisir trois de ces tas. (Dont les faces restent cachées), et

rassemble tout le reste du jeu de cartes.

- Dis alors que sans les voir, tu vas trouver le total des points de chacune des 3 cartes qui sont sur

le dessus du tas.

- Du paquet restant, enlève 13 cartes, « car c’est un nombre qui porte chance ». Annonce que le

nombre de cartes qui reste (comptez-les) indiquera le total à trouver.

- Retourne les trois cartes, ajoute les valeurs, c’est le même nombre ! ».

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32

32 Tour de magie provenant de : D. Souder, 80 petites expériences de Maths Magiques, DUNOD, Paris, 2008, pp 188-192

Le tour de base

Consignes :

Dans un jeu de cinquante-deux cartes, demande au spectateur de choisir une carte sans te la

montrer.

Prends les sept tableaux de cartes numérotés de K1 à K7.

Pour les quatre premiers tableaux numérotés de K1 à K4, demande au spectateur s’il voit la même

valeur que sa carte (as, deux, trois, …, dame, roi).

Additionne le nombre de oui comme ceci : K1 = 1, K2 = 2, K3 = 4 et K4 = 8.

Le valet vaut 11, la dame vaut 12 et le roi vaut 0.

Pour les 3 derniers tableaux numérotés de K5 à K7, demande au spectateur s’il voit la même couleur

que sa carte (cœur, carreau, trèfle ou pique).

Observe les 3 derniers tableaux pour trouver leur fonctionnement.

Avec l’outil tiré du mini computer de Papy, essaye de comprendre comment fonctionne la base 2.

54

L’échange neutre

Consignes :

Prends 9 cartes représentant des chiffres dans le paquet de 52 cartes et dispose-les, faces visibles,

en rectangle de 3 par rangée et 3 par colonne.

Additionne la valeur des cartes de chaque rangée en commençant par celles du bas (la 3ème). Pour

noter le résultat de la dernière rangée, pose une nouvelle carte, face cachée, en dessous de la 3ème

colonne. Cette carte aura la valeur de l’unité du nombre de ton résultat. Si ton nombre comporte

un chiffre aux dizaines, alors reporte cette valeur au résultat de la somme de la rangée supérieur.

Ex : Les cartes de ma dernière rangée sont le 9 de cœur, le 7 de trèfle et le 8 de cœur. J’additionne,

j’obtiens 24. Je vais poser un 4 face cachée en dessous de la 3ème colonne. Je reporte 2 au résultat

de la rangée supérieure.

Effectue la même opération pour la 2ème rangée puis la 1ère.

Si le résultat de l’addition de ta rangée la plus au-dessus (1ère) est un nombre à deux chiffres alors

pose une 4ème carte, face cachée, représentant la valeur des dizaines de ce nombre, à gauche de la

carte fache cachée de la première colonne.

Ramasse les cartes de la 3ème rangée et dispose-les en paquet, face visible, au-dessus de la dernière

carte face cachée (celle qui est le plus à droite). Ramasse les cartes de la 2ème rangée et mets les en

paquet à gauche du paquet formé par la 3ème rangée. Enfin, fait la même chose pour la 1ère rangée

en mettant le paquet à gauche de celui de la 2ème rangée.

Mélange le 3ème paquet de 3 cartes et dispose-les en colonne, face visible, dans l’ordre que tu veux,

au-dessus de la dernière carte face cachée. Fait la même chose pour le 2ème paquet au-dessus de la

carte qui est face cachée. Et la même chose pour le 1er paquet, au dessus de la carte face cachée.

Tu as créé 3 nouveaux nombres de 3 chiffres, additionne les et ensuite retourne les cartes qui sont

face cachées.

Peux-tu expliquer le résultat obtenu en retournant les cartes faces cachées ?

33

33 Tour de magie provenant de : D. Souder, 80 petites expériences de Maths Magiques, DUNOD, Paris, 2008, pp 33-36

55

Les portraits du roi

Consignes :

Prends 16 cartes dans le paquet dont les quatre rois.

Dispose-les de cette manière en faisant croire que les cartes sont mises au hasard.

Les K symbolisent les rois.

K K K K

K K K K

Retourne les cartes pour former un K de la manière présentée ci-dessus.

Demande au spectateur de plier en deux parties égales les 16 cartes l’une sur l’autre de la manière

qu’il souhaite. Il doit répéter l’opération jusqu’à ce qu’il ne reste qu’un seul tas de cartes.

Regarde le sens des cartes une fois l’opération terminée.

Essaye de trouver comment ça fonctionne, pour t’aider, tu peux prendre une feuille, la diviser en

quatre parties égales sur le verso et le recto de la feuille. Choisir une couleur d’écriture pour le recto

et une autre couleur pour le verso. Enfin tu la plies pour que les quatre quarts n’en forment plus

qu’un seul.

Amuse-toi à trouver d’autres variantes.

34

34 Tour de magie provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 62-63

56

35

35 Tour de magie mis en page par J. Devilé et A. Herinckx et provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 59

La preuve par neuf

Consignes :

Tends un papier et un crayon à ta future « victime ». Demande-lui d’écrire en cachette un nombre

de 4 chiffres, puis de lui ôter la somme de ses chiffres.

Par exemple pour 1948, il calcule 1 + 9 + 4 + 8 = 22, puis 1948 − 22 = 1926.

Demande-lui de sortir du jeu 4 cartes correspondant aux chiffres du résultat obtenu mais de 4

couleurs différentes. Par exemple, 1 de cœur, 9 de carreau, 2 de trèfle, 6 de pique. (S’il y avait un

zéro vous pourriez prendre une figure).

Dis au spectateur de mettre une de ces cartes en poche et de te confier les 3 autres. Tu lui annonce

aussitôt le nom de la carte manquante.

Comment as-tu fait ?

57

36

36 Tour de magie mis en page par J. Devilé et A. Herinckx et provenant de : D. Souder, Magie & Maths, Villejuif, éditions du Kangourou, 04/2001, pp 4-5.

Voilà la carte choisie

Consignes :

Prends un jeu de 32 cartes et demande à une personne de l’assistance de constituer (secrètement)

un paquet de 20 à 29 cartes puis, additionne les deux chiffres qui composent ce nombre de cartes

formé, ensuite, regarde la carte située à cette position à partir du dessous du paquet.

Ton spectateur doit retenir le nom de cette carte, puis, sans la changer de place, compléter son

paquet par en-dessous avec le reste du jeu avant de te rendre le tout.

Feins alors d’être embarrassé, puis, reprenant ton assurance, épèle victorieusement les lettres de

la phrase :

« v-o-i-l-à l-a c-a-r-t-e c-h-o-i-s-i-e” à mesure que tu jettes les cartes une à une.

La carte jetée avec le « e » final est la bonne.

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Minicomputer de Papy37

Georges Papy était un mathématicien belge, il a créé ce système d’abaque pour calculer des

nombres, il l’a appelé Minicomputer.

Malheureusement, on a perdu le mode d’emploi, à toi de retrouver le fonctionnement du

Minicomputer.

Voici le Minicomputer de papy :

Voici le nombre 4

Voici le nombre 2

Voici le nombre 8

37 F. Papy, « MINICOMPUTER », 1967, [en ligne], http://www.rkennes.be/Papy-Minicomputer/minicomp-reidel.pdf (page consultée le 28/05/2018).

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Quel est ce nombre ?

Comment écrire le nombre 3 avec ce système ?

Voici le nombre 20

Comment peux-tu écrire le nombre 10 avec ce système ?

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Comment écrire 27 avec le moins de pions possibles ?

On remarque que les 4 cases formant la 4ème colonne sont les ………………………….

On remarque que les 4 cases formant la 3ème colonne sont les ………………………….

On remarque que les 4 cases formant la 2ème colonne sont les ………………………….

On remarque que les 4 cases formant la 1ère colonne sont les ………………………….

Entraine-toi avant la guerre des pions !

Écris le nombre 79 avec cinq pions

Écris le nombre 500 avec deux pions

Écris le nombre 607 avec cinq pions

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Écris le nombre 14589 avec huit pions

Écris le nombre 37 avec quatre pions

La guerre des pions

Déroulement :

Avec ton voisin, vous allez défier une autre paire de joueurs dans la classe. Une équipe aura les

pions bleus et l’autre les rouges.

L’équipe bleue partira du nombre 7 et ne pourra qu’augmenter ce nombre. L’équipe rouge

partira de 1400 et ne pourra que diminuer son nombre.

Chaque joueur d’une équipe joue à son tour en déplaçant un seul pion par tour. Il peut y avoir

autant de pions qu’on veut sur chaque case.

L’équipe rouge commence.

Le but du jeu :

Pour les bleus : forcer l’équipe rouge à avoir un nombre plus petit ou égale au vôtre.

Pour les rouges : forcer l’équipe bleue à avoir un nombre plus grand ou égale au vôtre.

Vous devez noter à chaque étape le calcul que vous effectué.

Exemple : je suis à 1400, je déplace mon pion. Le nouveau nombre obtenu est 1100, j’ai retiré

300 à mon nombre de départ.

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K1

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K2

64

K3

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K4

66

K5

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K6

68

K7

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Les 3 premières photos ont été

prises à l’institut du sacré cœur

de Nivelles.

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Cette dernière photo a été prise au collège Sainte-Gertrude de Nivelles