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  • Mcanique des milieux continus

    MATH-F-426

    Gregory KozyreffUniversit Libre de Bruxelles (U.L.B.)

    Facult des SciencesOptique Non Linaire Thorique CP 231

    24 mars 2014

  • ii

    Avertissement Ces notes se veulent un repre mathmatique pour lecours oral. Elles viennent en accompagnement du cours. Les principalessources de ce cours sont :

    Applied Solid Mechanics, P. Howell, G. Kozyreff, and J. Ockendon,Cambridge University Press 2009

    Elementary Fluid Dynamics, D. J. Acheson, Oxford University Press1990

    An Introduction to Fluid Dynamics, G. K. Batchelor, Cambridge Uni-versity Press 2000

    Les notes historiques sont tires de A History and Philosophy of FLuid Mechanics, G.A. Tokaty, Dover,1994

    A treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, A. E. H. Love,Dover, 1944

    2012, Gregory KozyreffReproduction libre, sauf des fins commerciales.

  • Table des matires

    1 Dformations et contraintes 31.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2.1 Fluides et solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Drive matrielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3 Dformations (Strain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Contraintes (Stress) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.5.1 Valeurs propres et directions principales . . . . . . . . 101.6 Rappels sur la notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2 Lois de conservation 152.1 Thorme de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.4.1 variables p et T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2 variables et T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.5 Fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.1 Fluides inviscides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.2 Fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.3 Fluides newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.6 Solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6.1 Elasticit linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6.2 nergie lastique (Strain energy) . . . . . . . . . . . . 272.6.3 Incompressiblit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3 Applications des quations gnrales 313.1 quations sous forme adimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . 313.2 coulements inviscides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.2.1 Vorticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    1

  • 2 TABLE DES MATIRES

    3.2.2 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3 Fluide compressible dans une tuyre . . . . . . . . . . 353.2.4 Vagues en eau profonde . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.5 Traine hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.6 Vagues en eau peu profonde. Ondes solitaires . . . . . . 463.2.7 Circulation atmosphrique et ocanique . . . . . . . . . 49

    3.3 coulements visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.1 quations de Stokes, quations de Oseen . . . . . . . . 523.3.2 coulements 2D - fonction de courant . . . . . . . . . 533.3.3 Thorie de la lubrification . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.4 Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.4 Ondes lastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.1 Ondes S et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.2 Rfraction et rflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.3 Ondes de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    4 Thories approches de llasticit 694.1 Cordes et membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2 Poutres I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    4.2.1 Relation B = M 2wx2

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 Plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    4.3.1 Couple produit par 2wx2

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.2 Couple produit par 2w

    y2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.3.3 Couple produit par 2wxy

    . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.4 Synthse des cas prcdents . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.5 Equations dune plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.6 Conditions aux bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3.7 quations de von Krmn . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    4.4 Poutres II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    A Etude multi-chelle 87

  • Chapitre 1

    Dformations et contraintes

    1.1 IntroductionLa mcanique du point fait intervenir des masses, des ressorts et des

    dashpots. Si L est la longueur de rfrence, ` la longueur instantane et Tla force applique aux extrmits, on a, pour un ressort,

    T = k(` L) (1.1)

    et pour un frein visqueux (dashpot),

    T = d`

    dt. (1.2)

    Ces lois valent pour des lments ponctuels ; il nous faut les adapter auxmilieux continus. Nous verrons que L et T se gnralisent par les notions detenseurs des dformations et des contraintes. La loi de proportionnalit (1.1)fut dcouverte par Hooke en 1660, mais nonce par lui bien plus tard en1676 et 1678. Mariotte la dcouvrit indpendemment en 1680 et lappliquaau problme fondateur de llasticit, la rsistance des poutres, tudi parGalile aux alentours de 1638 ; le problme fut repris par Jacques (James)Bernoulli 1, puis par Euler quelques annes plus tard (voir plus loin dans lecours).

    1.2 CinmatiqueUn milieu continu est suppos dcrit par une portion despace euclidien

    trois dimensions. Un point matriel est donn par le vecteur position X.

    1. Jacques Bernoulli, 1654-1705, quation de llastica, Ch. 4, ne pas confondre avecson neveu Daniel Bernoulli, 1700-1782, qui est associ lquation de Bernouilli pour lesfluides non visqueux, Ch. 3.

    3

  • 4 CHAPITRE 1. DFORMATIONS ET CONTRAINTES

    X est aussi la position initiale dun point dun corps dformable ; aprs d-formation, ce point se trouve

    x = x (X, t) . (1.3)

    On a donc x(X, 0) = X. noter que X est une variable continue. X estattach au point matriel, cest la variable de Lagrange. Si on fixe X dans(1.3), on suit la trajectoire dun point matriel au cours du temps. Dautrepart, x est la variable dEuler. Supposons quon puisse inverser la relationci-dessus et crire

    X = X(x, t) (1.4)

    Dans ce cas, si lon fixe x, le point matrielX associ cette position varieragnralement au cours du temps.

    Exemple. On se tient au bord de leau et on regarde leau couler sousun pont : cest une description en variables dEuler ; on suit du regard unefeuille emporte par le courant : Lagrange.

    Rappelons enfin quentre les lments de volume des deux variables existela relation

    dx = J dX, (1.5)

    o le facteur de dilatation

    J =

    det( xiXj) (1.6)

    est suppos non nul et born.

    1.2.1 Fluides et solides

    Dun point de vue mcanique, un solide se caractrise essentiellement parun champ de dplacement

    u = xX (1.7)

    alors quun fluide se dcrit plutt par un coulement 2

    v =u

    t. (1.8)

    Il sagit l dune notion intuitive et incomplte (eau dans un verre, dentifrice).Pour un fluide, la variable dEuler est souvent la plus approprie. Pour unsolide, o les dplacements sont petits, les variables de Lagrange sont souvent

    2. Dans ce cours, nous utilisons v pour les vitesses, afin dviter la confusion avec u,que nous rservons aux dplacements.

  • 1.2. CINMATIQUE 5

    utilises ; nanmoins, pour les trs petites dformations dun solide (lasticitlinaire), les deux descriptions sont indistingables en premire approximation.

    Pour visualiser un coulement fluide, on a recours aux lignes de courant(anglais : streamlines). Il sagit des courbes qui, un instant donn, sontparallles en tout point au vecteur vitesse. Chacune de ces courbes peut treparamtre par x = (x(s), y(s), z(s)), o

    dx

    ds= vx,

    dy

    ds= vy,

    dz

    ds= vz. (1.9)

    Pour un coulement stationnaire, les lignes de courant dcrivent la trajectoiredun paquet fluide.

    1.2.2 Drive matrielle

    Soit une fonction f(x, t). Dune part, on peut considrer la variation def dans le temps en un point x fix (ex. : sous le pont), auquel cas, on calculesimplement

    f(x, t)

    t. (1.10)

    Dautre part, on peut sintresser la variation de cette grandeur X fix,cd. en suivant un point matriel ou un paquet fluide. Dans ce cas, on estamen calculer lvolution de f(x(t), t), cd.

    limt0

    f(x(t+ t), t+ t) f(x(t), t)t

    = (v ) f + ft, (1.11)

    o(v ) = v1

    x1+ v2

    x2+ v3

    x3= vi

    xi. (1.12)

    Nous dfinissons ainsi la drive matrielle par

    Df

    Dt=f

    t+ (v ) f. (1.13)

    Le premier terme de cette drive donne la variation de f x fix. Dautrepart, si lon dnote par s = v/|v| la direction de la vitesse, le second termenest autre que la drive directionnelle, |v|/s dans le sens de lcoule-ment. Autrement dit, cest un terme d au dplacement du fluide ou dad-vection. Lorsque nous transposerons la loi de Newton un milieu continu,nous devrons calculer lacclration dun paquet fluide. Celle-ci sera donne,en coordonnes dEuler, par la drive matrielle de la vitesse.

  • 6 CHAPITRE 1. DFORMATIONS ET CONTRAINTES

    1.3 Dformations (Strain)Pour gnraliser L et ` dans (1.1), soient les points voisinsX etX + X.

    Aprs dformation, le premier se trouve dplac en x = X + u(X, t), lesecond en

    X + X + u(X + X, t) =