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  • MATHEMATIQUES

    Mikio Sato, un visionnaire des mathematiques

    Pierre Schapira1

    Comme les singularites, les idees se propagent, mais leur vitesse de propa-gation depend fortement de lenergie mise dans leur promotion, et lon ne peutpas dire que Sato ait fait des efforts demesures pour populariser les siennes.Esperons que lattribution du prix Wolf 2002/2003 aidera a faire connatreune uvre profonde et sans doute trop originale pour etre immediatementacceptee. Sato ecrit tres peu, ne communique pas facilement, ne frequentequepisodiquement les congres et pas du tout les institutions. Mais Sato ainvente une nouvelle maniere de faire de lanalyse, l Analyse Algebrique , eta cree une ecole, lEcole de Kyoto.

    Si Mikio Sato est ne en 1928 2, il ne sest fait connatre quen 1959-60, avecsa theorie des hyperfonctions. Sa scolarite a en effet ete fortement perturbeepar la guerre et en particulier par les bombardements americains sur Tokyo. Ildoit travailler comme livreur de charbon pour aider sa famille dont la maisona brule, puis est professeur decole a 19 ans et ce jusquen 1958, date a laquelleil devient assistant a lUniversite de Tokyo. Il etudie les mathematiques et laphysique, seul.

    Pour comprendre loriginalite de la theorie des hyperfonctions de Sato, il fautse souvenir de lambiance mathematique de lepoque. LAnalyse Mathematiquedans les annees 50-70 etait sous linfluence directe de lanalyse fonctionnelleet fortement marquee par le succes de la theorie des distributions. On cher-chait essentiellement des theoremes dexistence et la plupart des demonstrationsconsistaient a definir le bon espace fonctionnel , a demontrer une inegalitea priori , et a appliquer le theoreme de Hahn-Banach. Cest dans ce contexteque Mikio Sato definit en 59-60 les hyperfonctions comme valeurs au bord defonctions holomorphes, decouverte qui lui permettra dobtenir un poste a lUni-versite de Tokyo, et ce, grace a la protection eclairee du Professeur Iyanaga,personnalite dune ouverture desprit exceptionnelle et grand ami de la culturefrancaise. Sato part ensuite deux ans aux Etats-Unis, a New York et a Prince-ton, ou il essaie sans succes de convaincre Andre Weil de la pertinence de sonapproche cohomologique de lanalyse.

    La methode de Sato est radicalement nouvelle car elle nutilise en au-cune maniere la notion de limite. Ses hyperfonctions ne sont des limites defonctions dans aucun sens raisonnable, et lespace des hyperfonctions na

    1 Universite Pierre et Marie Curie, Institut de Mathematiques, 175, rue du Chevaleret,75013 Paris, France, schapira@math.jussieu.fr, http://www.math.jussieu.fr/~schapira/2 Nous avons utilise le texte dun entretien accorde par Mikio Sato en 1990 a Emmanuel An-dronikof, tristement disparu en 1994. Ce texte devrait neanmoins voir prochainement le jour,grace aux efforts de A. DAgnolo. Nous avons aussi beneficie des commentaires scientifiquesde J-B. Bost et de A. Chambert-Loir, ce dont nous les remercions chaleureusement.

    SMF Gazette 97, Juillet 2003

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    Fig. 1. Mikio Sato vers 1972

    Fig. 2. Mikio Sato et Pierre Schapira vers 1972

    SMF Gazette 97, Juillet 2003

  • MIKIO SATO, UN VISIONNAIRE DES MATHEMATIQUES 25

    aucune topologie naturelle autre que grossiere. Pour sa construction Satoinvente en parallele avec Grothendieck la cohomologie locale, un outil pure-ment algebrique. Il sagit vraiment dun regard revolutionnaire sur lanalyse,une rupture epistemologique, dirait-on dans les annees 70. Mais outre sonoriginalite incontestable, lapproche de Sato a des implications profondes carelle debouche naturellement sur lanalyse microlocale, comme je vais tenter delexpliquer.

    La theorie des equations aux derivees partielles (EDP) lineaires a coefficientsvariables en etait a ses tout debuts dans les annees 65-70, et etait sous le choc delexemple de Hans Lewy qui montrait que lequation lineaire du premier ordre(11+22(x1+

    1x2)3)u = v na pas de solution, meme locale, meme

    dans lespace des distributions 3. Le fait quune equation nait pas de solutionetait a lepoque un peu choquant. On pensait que cetait un defaut de la theorie,que les espaces que lon avait construit netaient pas assez gros pour contenirces solutions. Bien sur, cest au contraire souvent quand il y a une obstructioncohomologique quil se passe des choses interessantes : labsence de solutionsest la manifestation dun phenomene geometrique cache et profond. Dans le casde lequation de Hans Lewy, la geometrie cachee est microlocale et cetteequation est microlocalement equivalente a une equation de Cauchy-Riemanninduite sur une hypersurface reelle de lespace complexe.

    En mathematique comme en physique, pour traiter un probleme dans unespace (affine), on est amene a calculer dans lespace dual. Une methode pourcela, celle employee en analyse, est la transformee de Fourier. Mais cette trans-formation est fort peu locale, et se prete tres mal au passage aux varietes. Lamethode de Sato au contraire est beaucoup plus adaptee a ce passage : unevariete reelle se complexifie, et au lieu de regarder le comportement a linfinide la transformee de Fourier, on peut regarder dou viennent les valeursau bord. En termes techniques, on regarde le fibre cotangent (plus exactement,1-fois le fibre cotangent) comme le fibre conormal au reel dans le complexe.

    Sato definit ainsi le front donde analytique des hyperfonctions (donc en parti-culier des distributions), un ferme conique du cotangent, et montre que si unehyperfonction u est solution dune equation Pu = 0, alors son front donde estcontenu dans la variete caracteristique reelle de loperateur P . Cest le debut delAnalyse Microlocale, inventee donc par Sato, et qui a revolutionne lanalyse.

    Bien sur, dautres mathematiciens et physiciens ont eu a cette periode (si cenest bien avant, avec Hadamard et Leray) lintuition de ce quil fallait travaillerdans lespace cotangent, et les operateurs pseudo-differentiels existaient avantle front donde. Mais Sato est le premier a faire vivre les objets de lanalyse(comme les distributions) dans lespace cotangent et il construit pour cela unoutil fondamental de la theorie des faisceaux, le foncteur de microlocalisation, transforme de Fourier-Sato du foncteur de specialisation. Cest le point dedepart de la theorie microlocale des faisceaux de [3]. Sato et ses deux etudiantsde lepoque, Kashiwara et Kawai, publient en 73 un traite sur lanalyse micro-locale des EDP, traite qui a certainement eu une influence considerable, meme

    3 Lequation un peu plus simple (1 +1x12)u = v na pas non plus de solutions dans

    lespace des germes de distributions a lorigine dans R2, pas plus dailleurs que dans lespacedes germes dhyperfonctions.

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    si la plupart des analystes ny ont pas compris grand chose et, entranes parHormander, ont su adapter la transformee de Fourier classique a ces nouvellesidees.

    Des les annees 60, Sato avait lintuition de la theorie des D-modules, dessystemes holonomes et de la b-fonction (dite de Bernstein-Sato). Il donne uneserie de conferences sur ce theme a lUniversite de Tokyo, mais celles-ci doiventsinterrompre, faute de combattants. Ces idees sont reprises systematiquementet developpees par Masaki Kashiwara dans sa these de 1969 ([1], [2]). Commeson nom lindique, un D-module est un module sur lanneau D des operateursdifferentiels, et un module sur un anneau veut essentiellement dire un systemedequations lineaires a coefficients dans cet anneau. Il sagit donc de traiterles systemes (generaux) dEDP lineaires. Cette theorie qui est aussi apparuesimultanement a Moscou dans un cadre plus algebrique avec J. Bernstein, elevede Gelfand, a rapidement eu un succes considerable dans plusieurs branchesdes mathematiques. Dans les annees 70-80, Kashiwara obtient dailleurs a luiseul lessentiel des resultats fondamentaux de la theorie, en particuler ceuxconcernant les systemes holonomes, avec le theoreme de constructibilite (en1975), le theoreme de lindice, le theoreme sur la rationalite des zeros de lab-fonction et sa theorie des systemes holonomes reguliers.

    Le paysage mathematique des annees 70-80 a donc considerablement change :non seulement on traite les equations a coefficients variables, mais on traite dessystemes et on travaille microlocalement, i.e., dans lespace cotangent, lespacede phase des physiciens. Mais il y a vraiment deux ecoles dans le monde : lecoleC issue de lanalyse classique, et dont le chef de file est Hormander qui a misau point le calcul des operateurs integraux de Fourier, et lecole analytique,derriere Sato et fort peu representee en dehors du Japon et de la France.

    La France etait particulierement bien placee pour comprendre les idees deSato car celles-ci sappuient a la fois sur celles de Jean Leray et de AlexandreGrothendieck. Comme Leray, Sato a compris quil faut chercher les singularitesdans le domaine complexe (meme pour comprendre les phenomenes purementreels) et lanalyse algebrique de Sato repose sur la theorie des faisceaux, inventeepar Leray en 1944 alors quil etait prisonnier de guerre, clarifiee par Cartan, etrendue dune efficacite redoutable par Grothendieck avec son formalisme descategories derivees et des six operations .

    Sato, toujours motive par la physique, aborde ensuite lanalyse de la matriceS a la lumiere de lanalyse microlocale, puis, avec ses deux eleves Jimbo etMiwa, construit explicitement la solution de la fonction a n-points du modelede Ising en dimension 2 en utilisant la theorie classique de Schlesinger desdeformations isomonodromiques des equations differentielles ordinaires. Celalamene naturellement aux equations differentielles non lineaires du type KdV.En 81, en collaboration avec sa femme Yasuko Sato, il interprete les solutionsdes hierarchies K-P comme des points dune Grassmannienne de dimension in-finie et i