Segall - En Amerique Latine. Developpement Du Mouvement Ouvrier Et Proscroiption
Math Annales Amerique
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Du rée : 4 heur es Ba ccalauréat S Amér ique du Nor d 2 ju in 2015 Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats Dans l’es pace, on considère une pyr amid e SABCE à base carrée ABCE de centre O. So it D le point de l’espace tel que O ; − −→ OA , − −→ OB , −−→ OD soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0 ; 0 ; 3) dans c e repè re. A B C E O D S Pa rtie A 1. Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en annexe 1, (à rend reavec la cop ie) . 2. Soit V le point d’intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV)et(BC) sont par all èl es. Co nst ruirele po int V sur la figure joi nte en annexe1,(àrendre avec la copi e) . 3. Soit K le point de c oordonnées 5 6 ; − 1 6 ; 0 . Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE . Pa rtie B Dans cette partie, on admet que l’a ire du quadrilatère AU VE est 5 43 18 . 1. On admet que le p oint U a pour coordonnées 0 ; 2 3 ; 1 . Vérifier que le plan (EA U) a pour équation 3 x − 3 y + 5z − 3 = 0. 2. Donner une représentation paramétrique de la droite (d ) orthogonale au plan (EAU) pas- sant par le point S. 3. Déterminer les coordonnées de H, point d’intersection de la droite ( d ) et du plan (EAU). 4. Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ?
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Dure : 4 heures
[ Baccalaurat S Amrique du Nord \2 juin 2015
Exercice 1 5 pointsCommun tous les candidats
Dans lespace, on considre une pyramide SABCE base carre ABCE de centre O. Soit D le point
de lespace tel que(O ;
OA ,
OB ,
OD
)soit un repre orthonorm. Le point S a pour coordonnes
(0 ; 0 ; 3) dans ce repre.
A B
CE
O
D
S
Partie A
1. Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe enannexe 1, ( rendre avec la copie).
2. Soit V le point dintersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites(UV) et (BC) sont parallles. Construire le point V sur la figure jointe en annexe 1, ( rendreavec la copie).
3. Soit K le point de coordonnes
(5
6; 1
6; 0
).
Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapze AUVE.
Partie B
Dans cette partie, on admet que laire du quadrilatre AUVE est5p43
18.
1. On admet que le point U a pour coordonnes
(0 ;
2
3; 1
).
Vrifier que le plan (EAU) a pour quation 3x3y +5z3 = 0.2. Donner une reprsentation paramtrique de la droite (d) orthogonale au plan (EAU) pas-
sant par le point S.
3. Dterminer les coordonnes de H, point dintersection de la droite (d) et du plan (EAU).
4. Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils lemme volume ?
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Baccalaurat S A. P. M. E. P.
Exercice 2 5 pointsCandidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit
On se place dans un repre orthonorm et, pour tout entier naturel n, on dfinit les points (An)par leurs coordonnes
(xn ; yn
)de la faon suivante :
{x0 = 3y0 = 4 et pour tout entier naturel n :
{xn+1 = 0,8xn 0,6ynyn+1 = 0,6xn +0,8yn
1. a. Dterminer les coordonnes des points A0, A1 et A2.
b. Pour construire les points An ainsi obtenus, on crit lalgorithme suivant :
Variables :i ,x, y, t : nombres rels
Initialisation :x prend la valeur 3y prend la valeur 4
Traitement :Pour i allant de 0 20
Construire le point de coordonnes (x ; y)t prend la valeur xx prend la valeur . . . .y prend la valeur . . . .
Fin Pour
Recopier et complter cet algorithme pour quil construise les points A0 A20.
c. laide dun tableur, on a obtenu le nuage de points suivant :
1
2
3
4
5
123456
1 2 3 4 5 6 71234567
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Identifier les points A0, A1 et A2.. On les nommera sur la figure jointe en annexe 2, (rendre avec la copie).
Quel semble tre lensemble auquel appartiennent les points An pour tout n entiernaturel ?
2. Le but de cette question est de construire gomtriquement les points An pour tout nentier naturel.
Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn = xn + iyn laffixe dupoint An .
a. Soit un = |zn |. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 5. Quelle interprtationgomtrique peut-on faire de ce rsultat ?
Amrique du Nord 2 2 juin 2015
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Baccalaurat S A. P. M. E. P.
b. On admet quil existe un rel tel que cos()= 0,8 et sin()= 0,6.Montrer que, pour tout entier naturel n, eizn = zn+1.
c. Dmontrer que, pour tout entier naturel n, zn = einz0.d. Montrer que +
2est un argument du nombre complexe z0.
e. Pour tout entier naturel n, dterminer, en fonction de n et , un argument du nombrecomplexe zn .
Reprsenter sur la figure jointe en annexe 2, ( rendre avec la copie).
Expliquer, pour tout entier naturel n, comment construire le point An+1 partir dupoint An .
Exercice 2 5 pointsCandidats ayant suivi lenseignement de spcialit
On donne les matricesM =1 1 11 1 14 2 1
et I =
1 0 00 1 00 0 1
.
Partie A
1. Dterminer la matriceM2. On donneM3 =20 10 1112 2 942 20 21
.
2. Vrifier queM3 =M2+8M +6I .
3. En dduire queM est inversible et queM1 = 16
(M2M 8I
).
Partie B tude dun cas particulier
On cherche dterminer trois nombres entiers a, b et c tels que la parabole dquationy = ax2+bx+c passe par les points A(1 ; 1), B(1 ; 1) et C(2 ; 5).
1. Dmontrer que le problme revient chercher trois entiers a, b et c tels que
M
abc
=
115
.
2. Calculer les nombres a, b et c et vrifier que ces nombres sont des entiers.
Partie C Retour au cas gnral
Les nombres a, b, c, p, q , r sont des entiers.
Dans un repre(O, ,), on considre les points A(1 ; p), B(1 ; q) et C(2 ; r ).
On cherche des valeurs de p, q et r pour quil existe une parabole dquation y = ax2+ bx + cpassant par A, B et C.
1. Dmontrer que si
abc
=M1
pqr
. avec a, b et c entiers. alors
3p+q+2r 0[6]3p3q 0[6]6p+2q 2r 0[6]
Amrique du Nord 3 2 juin 2015
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Baccalaurat S A. P. M. E. P.
2. En dduire que
{q r 0[3]pq 0[2] .
3. Rciproquement, on admet que si
q r 0[3]pq 0[2]A, B, C ne sont pas aligns
alors il existe trois entiers a, b et c tels que la parabole dquation y = ax2+bx + c passepar les points A, B et C.
a. Montrer que les points A, B et C sont aligns si et seulement si 2r +q3p = 0.b. On choisit p = 7. Dterminer des entiers q , r , a, b et c tels que la parabole dquation
y = ax2+bx+c passe par les points A, B et C.
Exercice 3 4 pointsCommun tous les candidats
Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrle qualiteffectue plusieurs types de contrle.
Partie A Contrle avant la mise sur le march
Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolrance de deux grammes en plusou en moins. Elle est donc mise sur le march si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes.Lamasse (exprime en grammes) dune tablette de chocolat peut tremodlise par une variablealatoire X suivant la loi normale desprance = 100 et dcart-type = 1. Le rglage des ma-chines de la chane de fabrication permet de modifier la valeur de .
1. Calculer la probabilit de lvnement M : la tablette est mise sur le march .
2. On souhaite modifier le rglage des machines de telle sorte que la probabilit de cet v-nement atteigne 0,97.
Dterminer la valeur de pour que la probabilit de lvnement la tablette est mise surle march soit gale 0,97.
Partie B Contrle la rception
Le service contrle la qualit des fves de cacao livres par les producteurs. Un des critres dequalit est le taux dhumidit qui doit tre de 7%. On dit alors que la fve est conforme.Lentreprise a trois fournisseurs diffrents :le premier fournisseur procure la moiti du stock de fves, le deuxime 30% et le dernier apporte20% du stock.Pour le premier, 98% de sa production respecte le taux dhumidit ; pour le deuxime, qui est unpeu moins cher, 90% de sa production est conforme, et le troisime fournit 20% de fves nonconformes.On choisit au hasard une fve dans le stock reu. On note Fi lvnement la fve provient dufournisseur i , pour i prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et C lvnement la fve est conforme .
1. Dterminer la probabilit que la fve proviennedu fournisseur 1, sachant quelle est conforme.Le rsultat sera arrondi 102.
2. Le troisime fournisseur ayant la plus forte proportion de fves non conformes, Lentre-prise dcide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92% defves quelle achte soient conformes.
Quelle proportion p de fves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?
Amrique du Nord 4 2 juin 2015
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Baccalaurat S A. P. M. E. P.
Exercice 4 6 pointsCommun tous les candidats
Partie A
Soit u la fonction dfinie sur ]0 ; +[ par
u(x)= ln(x)+ x3.1. Justifier que la fonction u est strictement croissante sur lintervalle ]0 ; +[.2. Dmontrer que lquation u(x)= 0 admet une unique solution comprise entre 2 et 3.3. En dduire le signe de u(x) en fonction de x.
Partie B
Soit f la fonction dfinie sur lintervalle ]0 ; +[ par
f (x)=(1 1
x
)[ln(x)2]+2.
On appelle C la courbe reprsentative de la fonction f dans un repre orthogonal.
1. Dterminer la limite de la fonction f en 0.
2. a. Dmontrer que, pour tout rel x de lintervalle ]0 ; +[, f (x)= u(x)x2
o u est la fonc-
tion dfinie dans la partie A.
b. En dduire le sens de variation de la fonction f sur lintervalle ]0 ; +[.
Partie C
Soit C la courbe dquation y = ln(x).
1. Dmontrer que, pour tout rel x de lintervalle ]0 ; +[, f (x) ln(x)= 2 ln(x)x
.
En dduire que les courbes C et C ont un seul point commun dont on dterminera lescoordonnes.
2. On admet que la fonction H dfinie sur lintervalle ]0 ; +[ par
H(x)= 12[ln(x)]2
est une primitive de la fonction h dfinie sur lintervalle ]0 ; +[ par h(x)= ln(x)x
.
Calculer I =e21
2 lnxx
dx.
Interprter graphiquement ce rsultat.
Amrique du Nord 5 2 juin 2015
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Baccalaurat S A. P. M. E. P.
Annexe
Annexe 1 (Exercice 1)
A B
CE
O
D
S
Amrique du Nord 6 2 juin 2015
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Baccalaurat S A. P. M. E. P.
Annexe 2 (Exercice 2)
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 71234567
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Amrique du Nord 7 2 juin 2015
