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Giroud/magnetisme.MPA/C.plan programme détaillé du module "matériaux magnétiques" MATERIAUX MAGNETIQUES : PLAN DU COURS Objectif du cours : ce cours est orienté "Physique & Applications ". Connaître et comprendre les principales méthodes de caractérisation, et les principales caractéristiques physiques des grandes familles de matériaux magnétiques utilisés dans les applications courantes. On partira des bases physiques fondamentales pour comprendre les propriétés des différents types de matériaux "magnétiques". Les supraconducteurs seront également évoqués car ils peuvent parfois constituer une alternative aux matériaux magnétiques. C1 : MAGNETOSTATIQUE DANS LES MILIEUX CONTINUS Introduction Bases théoriques de l'électromagnétisme dans la matière Champ dipolaire, équations de Maxwell "dans les milieux continus" Champ démagnétisant ; champ et induction Energie(s) magnétique(s) : thermodynamique ; magnétostatique ; couplage inductif et applications. Appendices C1A: "rappels" d'électromagnétisme ; tables numériques de coeff. de champ démagnétisant ; unités C2 : MAGNETISME D'ATOMES INDEPENDANTS Moment magnétique d'un atome libre, règles de Hund Paramagnétisme et loi de Curie Un exemple de conséquence "pratique" : le superparamagnétisme Théorie atomique ; suceptibilité diamagnétique Appendices : moments magnétiques d'éléments simples C3 : MAGNETISME DANS LES SOLIDES Interactions ; ferromagnétisme et antiferromagéntisme Description de l' échange : "champ moléculaire" Loi de Curie-Weiss (cas ferro ou antiferro) Anisotropie magnétocristalline Effets de l'anisotropie cristalline ; importance pratique Caractérisation : champ coercitif et cycle d'hystérésis «idéal» Autres effets des interactions et conséquences ; capteurs magnétorésistifs C4 : MATERIAUX MAGNETIQUES DURS OU DOUX. DOMAINES, PROCESSUS D'AIMANTATION. APPLICATIONS Paramètres importants pour le choix d'un matériau magnétique Aimantation et champ coercitif Techniques d'observation des domaines magnétiques, tailles caractéristiques Mécanismes physiques responsables de la structure en domaines Cycles d'hystérésis des ferromagnétiques doux ou durs Caractéristiques de quelques matériaux industriels Appendice: quelques exemples de caractéristiques d'aciers, ferrites, terres rares... C5 : SUPRACONDUCTEURS Etat supraconducteur : R=0, diamagnétisme parfait Ecrantage diamagnétique et équation de London Caractéristique courant / tension d'une jonction supraconductrice Conséquences et quelques exemples d'applications ; principe du SQUID continu Destruction des propriétés supras : température, champ, et courant critiques Appendice C5A : quelques notions élémentaires de cryogénie NB : certains appendices ne sont disponibles que sous forme papier. MATERIAUX MAGNETIQUES : TD On verra sur quelques exemples les conséquences des bases théoriques et caractéristiques physiques choix du matériau magnétique selon le type de dispositif, gamme de champ de fonctionnement, dimensionnement. Les exercices porteront sur : TD1: électromagnétisme "classique" : utilisation des équations de Maxwell et du champ dipolaire, applications : suceptomètre alternatif, compteur de vitesse, "champ de fuite" d'un aimant... TD2: relations entre champ appliqué, champ démagnétisant, champ interne et induction dans un matériau aimanté. Cycle d'hystérésis : passage de la caractéristique "intrinsèque" M(H) à la caractéristique mesurée M en fonction du champ appliqué (ou réciproquement, cf TP). TD3: caractérisation d'un composé paramagnétique : manipulation des règles de Hund et des lois de Curie et Curie-Weiss. Un exemple d'application en cryogénie + métrologie. TD4: énergie dipolaire magnétique et anisotropie de forme, application à l'aimantation de grains fins sur une mémoire MROM TD5: circuits magnétiques : équations de base, exemple simple d'un circuit à noyau doux type "tête de lecture". Circuit magnétique avec aimant permanent : utilisation du cycle d'hystérésis B(H) pour déterminer le point de fonctionnement d'un circuit.

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Giroud/magnetisme.MPA/C.plan programme détaillé du module "matériaux magnétiques"

MATERIAUX MAGNETIQUES : PLAN DU COURS

Objectif du cours : ce cours est orienté "Physique & Applications ". Connaîtreet comprendre les principales méthodes de caractérisation, et les principalescaractéristiques physiques des grandes familles de matériaux magnétiques utilisés dansles applications courantes. On partira des bases physiques fondamentales pourcomprendre les propriétés des différents types de matériaux "magnétiques". Lessupraconducteurs seront également évoqués car ils peuvent parfois constituer unealternative aux matériaux magnétiques.

C1 : MAGNETOSTATIQUE DANS LES MILIEUX CONTINUS

IntroductionBases théoriques de l'électromagnétisme dans la matièreChamp dipolaire, équations de Maxwell "dans les milieux continus"Champ démagnétisant ; champ et inductionEnergie(s) magnétique(s) :thermodynamique ; magnétostatique ; couplage inductif et applications.Appendices C1A: "rappels" d'électromagnétisme ; tables numériques de coeff. dechamp démagnétisant ; unités

C2 : MAGNETISME D'ATOMES INDEPENDANTS

Moment magnétique d'un atome libre, règles de HundParamagnétisme et loi de CurieUn exemple de conséquence "pratique" : le superparamagnétismeThéorie atomique ; suceptibilité diamagnétiqueAppendices : moments magnétiques d'éléments simples

C3 : MAGNETISME DANS LES SOLIDES

Interactions ; ferromagnétisme et antiferromagéntismeDescription de l' échange : "champ moléculaire"Loi de Curie-Weiss (cas ferro ou antiferro)Anisotropie magnétocristallineEffets de l'anisotropie cristalline ; importance pratiqueCaractérisation : champ coercitif et cycle d'hystérésis «idéal»Autres effets des interactions et conséquences ; capteurs magnétorésistifs

C4 : MATERIAUX MAGNETIQUES DURS OU DOUX. DOMAINES,PROCESSUS D'AIMANTATION. APPLICATIONS

Paramètres importants pour le choix d'un matériau magnétiqueAimantation et champ coercitif Techniques d'observation des domaines magnétiques, tailles caractéristiquesMécanismes physiques responsables de la structure en domainesCycles d'hystérésis des ferromagnétiques doux ou dursCaractéristiques de quelques matériaux industrielsAppendice: quelques exemples de caractéristiques d'aciers, ferrites, terres rares...

C5 : SUPRACONDUCTEURSEtat supraconducteur : R=0, diamagnétisme parfaitEcrantage diamagnétique et équation de LondonCaractéristique courant / tension d'une jonction supraconductriceConséquences et quelques exemples d'applications ; principe du SQUID continuDestruction des propriétés supras : température, champ, et courant critiquesAppendice C5A : quelques notions élémentaires de cryogénie

NB : certains appendices ne sont disponibles que sous forme papier.

MATERIAUX MAGNETIQUES : TD

On verra sur quelques exemples les conséquences des bases théoriques etcaractéristiques physiques → choix du matériau magnétique selon le type dedispositif, gamme de champ de fonctionnement, dimensionnement. Les exercicesporteront sur :TD1: électromagnétisme "classique" : utilisation des équations de Maxwell et duchamp dipolaire, applications : suceptomètre alternatif, compteur de vitesse, "champde fuite" d'un aimant...TD2: relations entre champ appliqué, champ démagnétisant, champ interne etinduction dans un matériau aimanté. Cycle d'hystérésis : passage de la caractéristique"intrinsèque" M(H) à la caractéristique mesurée M en fonction du champ appliqué (ouréciproquement, cf TP).TD3: caractérisation d'un composé paramagnétique : manipulation des règles de Hundet des lois de Curie et Curie-Weiss. Un exemple d'application en cryogénie +métrologie.TD4: énergie dipolaire magnétique et anisotropie de forme, application àl'aimantation de grains fins sur une mémoire MROMTD5: circuits magnétiques : équations de base, exemple simple d'un circuit ànoyau doux type "tête de lecture". Circuit magnétique avec aimant permanent :utilisation du cycle d'hystérésis B(H) pour déterminer le point de fonctionnement d'uncircuit.

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TD6: propriétés électromagnétiques des supraconducteurs : écran magnétique,transport de courant.

Les sujets d'examen des années précédentes (*) sont disponibles au secrétariat dela filière Physique & Applications. Ils portent aussi bien sur la caractérisationphysique des matériaux que sur leur utilisation dans des dispositifs(*) programme modifié en 1998, ne pas trop se baser sur les années antérieures.

MATERIAUX MAGNETIQUES : TP

Les Travaux Pratiques, au total 48 h, auront lieu en laboratoire, au CNRS :

• 4 demi-journées "TP magnétisme" au Laboratoire Louis Néel.préparation d'un composé magnétique : dosage des éléments, synthèse au four àinduction, vérification de la structure cristalline au Rayons X. Mesure de la courbed'aimantation en fonction du champ appliqué. Dépouillement des données : M(H) àdifférentes températures, détermination de la température de Curie et de l'aimantationspontanée.Caractérisation sommaire d'un (ou 2) autre(s) composé(s) ferromagnétique(s) à intérêttechnologique : mesure du cycle d'hystérésis, observation de l'effet de la taille desgrains sur le champ coercitif.

• 3 journées "TP supraconductivité" au Centre de Recherches sur lesTrès Basses Températures.Mise en œuvre de quelques notions de base en cryogénie : cablage d'une canne demesure ; refroidissement à l'hélium liquide, étalonnage sommaire d'un thermomètrerésistif. Détermination de la température de transition supraconductrice, par mesure derésistivité ou de suceptibilité magnétique (suceptomètre alternatif). Déterminationdu courant critique ou du champ critique, en fonction de la température ("ou" signifieque les différents binômes auront en charge chacun une des expériences, etconfronteront leurs résultats).

BIBLIOGRAPHIE : si vous voulez en savoir plus

OUVRAGES GENERAUX "DE REFERENCE"• "Magnétisme", Y. Trémolet de Lacheisserie, Presses Universitaires de Grenoble :ouvrage pédagogique (sauf chapitre "thermodynamique") très complet (≈maîtrise +DESS ou DEA)tome I : "Fondements", tome II : "Matériaux et applications"

• collection "Techniques de l'ingénieur". Nombreux chapitres intéressants,décrivant les bases scientifiques et technologiques de tous les domaines d'application ;remis à jour régulièrement. Consulter l'index général de "Techniques de l'ingénieur".

BASES THEORIQUES GENERALES• Electromagnétisme, G. Aubert, éd Dunod ; Magnetostatic principles inferromagnetism, W.F.Brown ed North Holland, traduit en français chez Dunod.• Introduction à la physique de l'état solide, C.Kittel éd Dunod ; Solid StatePhysics, N.W.Ashcroft & D.Mermin , ed. Holt&Saunders

MAGNETISME ET MATERIAUX MAGNETIQUES• Magnétisme et matériaux magnétiques pour l'électrotechnique, P. Brissonneau édHermèsbon ouvrage, allant de l'introduction (niveau MPA) au cours de spécialité ; exemplesde dispositifs pour la caractérisation, de matériaux industriels, et et d'applications àl'électrotechnique.• Foundations of magnetic recording, J.C.Mallinson éd.Academic PressApplications du magnétisme aux dispositifs d'enregistrement : couches minces, grainset bulles magnétiques, têtes lecture/écriture. Ouvrage pédagogique, beaucoupd'informations pratiques et récentes. Mais attention, les formules ne sont pas enunités MKSA ! Quelques petits exercices .• Experimental methods in magnetism, H.Zijlstra ed North Holland, série "selectedtopics in solid state physics"un vieux classique sur les méthodes de base en magnétisme (instrumentation etdispositifs de mesures utilisés en caractérisation)

SUPRACONDUCTEURS & CRYOGENIE• Foundations of applied superdonductivity, K. A. Delin & T. P. Orlando edAddison&Wesleydescription phénoménologique, bases théoriques générales, électromagnétisme descircuits supraconducteurs, applications principales. Nombreux exemples et exercicessur l'électromagnétisme des circuits supras.• Les supraconducteurs, P. Tixador, éd Hermès :brève introduction à la supra ; propriétés des matériaux et caractéristiques dedispositifs électrotechniques. Notions de cryogénie.• Principles of superconducting circuits and devices, T. van Duzer & C. W.Turner, ed. Edward Arnold / North Holland. Ouvrage spécialisé de niveau avancé.Bases théoriques, jonctions Josephson, applications en électronique etmicroélectronique, magnétométrie SQUID, HyperFréquence,...• "Eléments de cryogénie", R.Conte, éd. Masson (1970) plus édité ?

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 1

MAGNETOSTATIQUE DANS LES MILIEUX CONTINUS :CHAMPS et INDUCTION DANS LA MATIERE, ENERGIE MAGNETIQUE

Les 2 objectifs de ce chapitre sont de donner des bases concernant :- l'électromagnétisme dans la matière, en distinguant champ H et induction B,- l'énergie mise en jeu dans un dispositif ou matériau magnétique.Ces notions sont un peu ardues et parfois abstraites, mais nécessaires pour comprendre lecomportement magnétique des matériaux aussi bien que pour dimensionner un dispositif.

Le champ magnétique est produit par des matériaux ou circuits possédant un moment magnétique.

Et un moment magnétique M→ donné, soumis à une induction magnétique B→

, tendra à :

• s'orienter parallèlement à B→

sous l'effet du couple Γ→

= M→ x B→

(module MB.sinθ )

• se déplacer vers la zone de champ maximal sous l'effet de la force F→

= M→ . grad B→

pour minimiser son énergie potentielle E M= – MMMM→ . B

→ = – MB.cosθ

Applications :• force → actionneurs, relais électromécaniques, où un aimant se déplace dans une zone de

champ non uniforme d'un électroaimant ; tri magnétique. Couple → boussole ; moteurs

électriques : le couple moteur est Γ→

= N M→ x B→

et la puissance est 2πf.N.Γ, où f est lafréquence de rotation et N le nombre de pièces polaires (nombre d'aimants) autour de l'arbre.

• mesure de moments magnétiques M : le magnétomètre à balance de translation –schéma de

gauche– mesure la force M→.grad B→

le long de l'axe de la bobine (ou plutôt d'une paire de bobinesen série-opposition) créant le gradient ; on en déduit la composante de M // axe des bobines. Labobine externe, dite "de champ", sert uniquement à étudier la dépendance de M dans un champ

appliqué. Le magnétomètre à balance de torsion –schéma de droite– mesure le couple M→ x B→

; onen déduit la composante de M ⊥ à B ; cet appareil peut servir à caractériser des matériaux

magnétiques anisotropes, dans lesquels M n'est pas forcément // B → chap.4.

bobine →B pour aimanter et/ou voir M(B)

bobines→ gradBd’où force verticale MMMM.gradB

MMMM

balance

MMMM

B

couple de torsionrappel -Cθcouple magn.

MMMMxB=MMMMB.sinθ

électroaimant

fil “élastique”

Sources microscopiques de champ magnétique ; moments dipolaires

Les sources de champ magnétique sont les charges électriques en mouvement. On peut décrire un

circuit électrique transportant des charges par son moment dipolaire magnétique MMMM→ .

Ex.: M→ = I S→

, S→

étant le vecteur normal au plan de la spire de surface S portant le courant I.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 2

Moment magnétique : origine à l'échelle atomique

Les électrons en orbite autour d'un noyau ou d'un ion sont des sources élémentaires de champmagnétique. On peut décrire une orbite électronique comme une petite spire de courant. Laparticularité de ces orbites est que le moment cinétique de l'électron est quantifié : il est multiple de

h_ ≈ 1.05 10-34 J.s. Il en résulte une quantification du moment magnétique. Le moment magnétique

"orbital" sera un multiple de magnéton de Bohr µ

B= eh_

2m = 0.927 10-23 A.m

2 → chapitre 2. Les

particules possèdent en outre un "spin" = moment cinétique intrinsèque ( 12 h

_ pour les électrons).

Ce spin est à l'origne d'un moment magnétique intrinsèque des partricules élémentaires, qui

s'exprime aussi en multiple de µ B.

Ce qui change quand on passe à la "matière condensée"

Trois différences essentielles avec le comportement d'un moment (microscopique) µ→

fixé :

(1) dans les matériaux, le moment magnétique résultant n'est pas forcément constant, mais peutlui-même dépendre du champ auquel est soumis le matériau. Dans les milieux linéaires, la

densité de moment magnétique par unité de volume, appelée aimantation M (unité A.m2 / m

3 =

A/m ), est proportionnelle au champ magnétique H, avec un coefficient de proportionnalité appelésuceptibilité magnétique χ (sans dimension) : M=χH→ chapitre 2

On observera deux types de comportement :• spin= "moment rigide" qui va s'aligner // champ. Le champ de ce moment va s'ajouter au champexterne : χ positive ="paramagnétisme" ⇒ un tel matériau sera attiré si on approche un aimant.• électrons en mouvement : penser à la loi de Lenz, ou à la force de Lorentz qui courbe la trajectoiredes électrons. Il en résultera un moment induit qui va s'opposer au champ externe : χ négative

="diamagnétisme" ⇒ un tel matériau sera repoussé si on approche un aimant.

(2) interactions entre moments magnétiques, à cause notamment du recouvrement partiel desfonctions d'onde électroniques entre atomes voisins. Les moments microscopiques peuvent avoirtendance à s'aligner spontanément ente eux, même s'ils ne sont pas soumis à un champ appliqué :le milieu peut devenir "spontanément aimanté" et/ou fortement non-linéaire. Ce sontessentiellement ces matériaux qui sont intéressants pour les applications car leur aimantation M peutêtre élevée→ chapitres 3+4.

En effet, une pièce de matériau aimanté aura un moment M→ =MV proportionnel à la quantité dematériau magnétique. Dans l'exemple des moteurs électriques utilisant ce moment magnétique, lapuissance sera proportionnelle à MV, ce qui amènera à choisir des matériaux d'aimantation Mélevée si on ne veut pas trop augmenter le poids des pièces magnétiques. Le poids est un facteurlimitant, en pratique, la puissance maximale d'un moteur électrique ou d'un alternateur (quelques100 MW pour les plus grosses installations existantes, les alternateurs des centrales nucléaires).

Les matériaux ayant la plus forte aimantation ont M≈3.106 A/m (µ oM≈3T).

Les types d'alignement spontané les plus courants sont : ferromagnétique : moments alignéstous parallèles ; antiferromagnétique : moments alignés alternés antiparallèles (aimantationrésultante nulle) ; ferrimagnétique : alignement alterné antiparallèle mais avec une résultante nonnulle dans la maille cristalline ( soit à cause d'un nombre différent de moments dans chaqueorientation, soit à cause de la présence d'atomes portant des moments différents ).

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 3

(3) le champ dans le matériau, qui agit sur chaque moment microscopique, est la superpositiondu champ appliqué (ou "externe") et de celui créé par les moments magnétiques dumatériau, ce dernier étant proportionnel à l'aimantation M= densité de moments magnétiques :

B = B appliquée + B

matériau(M), où M elle-même dépend de B.

Ordre de grandeur : quelques µ B par maille atomique → induction B

matériau ≈ 3 T si tous

alignés! A comparer à B appliquée : il n'est pas si facile de produire plus de 2 T au moyen d'un

bobinage. Au-delà de 3 à 5T, on a recours à des bobinages supraconducteurs (max. ≈20T, cfchap.5) en plus d'électroaimants de forte puissance (record ≈32T dans Ø50mm, avec 10MW...)

C'est pourquoi il sera nécessaire de préciser les champs effectivement présents dans la matière et dedistinguer champ H et induction B.

Bases générales de l'électromagnetisme dans la matière

Champ dipolaire

L' Appendice 1A de ce chapitre donne la formulation théorique générale, exprimant les potentiels

électromagnétiques V (potentiel scalaire électrique) et A→

(potentiel "vecteur" magnétique) enfonction d'une distribution de sources microscopiques (charges et courants, directement ou en

passant par les moments dipolaires). On en dérive les champs E→

= – grad→

V et B→

= rot→

A→

.

On peut retrouver les résultats les plus usuels à partir du champ d'un dipôle. C'est uneformulation un peu moins générale, parfois plus lourde, mais intéressante car plus intuitive. Enoutre, il est important de bien connaître le champ d'un dipôle pour 2 raisons :• les sources microscopiques de champ magnétique sont les moments magnétiques des atomes, cesont donc essentiellement des dipôles (en première approximation)• le champ d'un aimant, "vu de loin" ( c'est-à-dire à une distance r grande devant la dimension del'aimant ), est, en première approximation, ≈ le champ d'un dipôle de même moment total.

Le schéma montre l'allure des lignes de champ B d'un dipôle de moment MMMM→ / / z .

Br

BzM

z//M

θ =angle entre M→ et r→, r→= vecteur entre le dipôle → le point où on mesure B, u→= r→/r :

B→

= µ

o

4π .r3 (3(MMMM→ . u→

) u→

–MMMM→) , qu'on peut écrire comme somme de 2 contributions :

radiale B r =

µ o

4π 3 M.cosθ

r3, et axiale B

z = –

µ o

4π Mr3

( attention ! elles ne sont pas ⊥ )

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 4

A retenir : symétrie cylindrique du champ dipolaire. Selon θ, | |B varie entre µ

o

4π Mr3

et le double.

Dépendance en Mr3

, au lieu de qr2

pour une charge électrique : caractéristique fondamentale d'un

champ dipolaire ; c'est rigoureusement analogue au cas du dipôle électrique.

La carte des lignes de champ permet de déduire les forces et couples que le dispositif exercera surun aimant. On peut "suivre" ces lignes de champ au moyen d'un capteur (antenne d'un récepteur enradiofréquences, ou tout autre capteur directionnel en continu) pour localiser la source.Applications : Appareils de Recherche de Victimes d'Avalanches, détection d'objets magnétiquesenfouis ou de sous-marins...

Rappel sur le "développement dipolaire" :

un dipôle électrique est une paire de charges ±q séparées par une "petite" distance d (petite parrapport à la distance entre le point de mesure et le dipôle). Le potentiel ou le champ électrique de cedipôle est la somme de celui créé par chacune des charges (principe de superposition linéaire dessources de champ) :

V = 1

4πε o

[ q

| r→

+ d/2→

|

– q

| r→

- d/2→

|

]

Pour d/2 << r, on approxime en faisant un développement limité au premier ordre :

|| r→

± d→

/2|| = √ [r2 ± r

→ . d→

+ d2 /4 ] ≈ √ [ r

2 ± r

→ . d→

] = r √ (1± dr.cosθ) ≈ r . (1±

d2r.cosθ)

On fait apparaître le moment dipolaire électrique p→

= q d→

(regrouper les termes en d), et :

V ≈ – 1

4πε o.r2

p→ . u→ = – p

4πε o

cosθ

r2

où u→

= r→

/ r vecteur unitaire radial et θ = angle entre z // p→ et r→. On peut de même développer :

E→

= 1

4πε o

[ q ( r

→ +d/2

→)

| r→

+d/2→

| 2

– q ( r

→–d/2→

)

| r→

–d/2→

| 2

] quand d<<r ⇒ E→

= p

4πε o

[ 3 cosθ

r3 u→

– 1r3

z→

]

NB: on peut aussi dériver E = –grad V , d'où les composantes de E en coordonnées sphériques :

E r =

p

4πε o

2.cosθ

r3 et E

θ

= p

4πε o

sinθ

r3 ( attention, ici ce sont les 2 "vraies" composantes ⊥ )

Généralisation : développement multipolaireon utilise parfois des paires d'aimants =dipôles "tête bêche". C'est le cas quand on veut éviterd'avoir un champ important en-dehors du "cœur" du dispositif, ou dans les moteurs électriquesavec les "pôles" du rotor ou du stator répartis autour de l'arbre, ou encore quand on veut optimiserune carte de gradient de champ (actionneurs utilisant la force –M.grad B). On peut faire undéveloppement de la différence des champs de 2 dipôles pour évaluer la carte de champ résultante.On parle de champ "quadrupolaire" (en d/r4), puis "octupolaire" (en dd'/r5), etc...

Equations de Maxwell "dans le vide"Pour les distinguer des champs dans la matière qu'on introduira au paragraphe suivant, on note ici

e→

le champ électrique et b→ l'induction magnétique "dans le vide", créés par les sources

microscopiques (densité de charge ρ et densité de courant j→

). En clair : l'observateur qui mesure

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 5

le champ n'est PAS DANS la distribution de charges ou de courants = matériau source. eeee→

et b→sont reliés par les équations de Maxwell. Ce sont des équations différentielles locales, quipermettent de retrouver les lois classiques de l'électromagnétisme si on les intègre sur des circuits"convenablement choisis"...

div eeee→ = –

ρ

ε o

où ε o=

1

µ oc

2

≈ 1

36π109

F/m

rot eeee→ = –

∂ b→∂t

div b→ = 0

rot b→ = µ o j→ +

1c2

∂ eeee→ ∂t où µ

o=4 π 10

- 7 H/m

Equations de Maxwell dans la matière : champ et induction

Approximation des milieux continus :on considère que la distribution de charges en mouvement et de spins microscopiques peut êtreapproximée par des densités moyennes. Ce moyennage introduit une difficulté fondamentale, liéenon pas au passage à des valeurs moyennes, qui est en général une excellente approximation, maisau fait suivant (cf schéma) :• les boucles de courant microscopiques de diamètre inférieur au "pavé" élémentaire sur lequel onmoyenne ne contribuent pas au courant transporté à travers le matériau, mais les momentsmagnétiques de ces spires microscopiques contribuent au champ magnétique• même chose pour les charges : quand on moyenne sur un pavé, les paires de charges +e, -es'annulent dans la charge du pavé, mais elles contribuent au champ via leur moment dipolaire.

< J >

Mj

boucles <j>=0 mais <b>≠0

< Q > =0 mais

P>≠0 et < e > ≠ 0

P +q-q

Conséquence :les relations entre charges, courants, et champ, vont devoir être reformulées en tenant compte nonpas seulement du courant transporté moyen (=celui qui traverse vraiment le matériau) et de lacharge (nulle en moyenne), mais aussi des moments dipolaires de la distribution de charges.

On note ci-dessous < entre crochets > les quantités moyennes : E→=< eeee→> et B→=<b→> désignent

les valeurs moyennes "macroscopiques" des champs existant à l'échelle microscopique.

Les équations de Maxwell N°2 (Faraday) et N°3 (divB=0) ne vont pas changer, car elles nedépendent pas explicitement de la densité de charge ou de courant. On a donc toujours :

rot < eeee→> = –

∂ < b→>∂t , et div < b→> = 0

Les deux autres vont faire intervenir les moments dipolaires. On note <M→> et < P→> la densitémoyenne de moment dipolaire respectivement magnétique et électrique, qu'on apppelle

l'aimantation M→ et la polarisation P→ , et < j→> la densité de courant moyenne, càdeffectivement transportée à travers le matériau ( PAS les "boucles de courant atomiques") :

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 6

rot < b→> = µ o < j→> + µ

o rot < M→> +

1c2

∂ ( < eeee→> + < P→/ε

o>)

∂t . . .

div < eeee→> = –

ρ

ε o

– div < P→/ε o > ...

Il est commode de regrouper les termes en rot, ou en div. On définit alors l' induction

électrique D→

et le champ magnétique H→

par

D→

= ε o E

→ + P

→ et µ

o H→

= B→

— µ

oM→

avec toujours µ o=4 π 10

-7 H/m.

Sens physique de cette distinction entre B et H (schématiquement) : B résultant de tousles moments ≠ H produit sur un moment par les autres moments du matériau .

D'où l'expression des équations de Maxwell généralisées et applicables partout :

(1) d i v D→

= –ρ "Maxwell - Poisson"

(2) rot E→

= – ∂B→

∂t "Maxwell - Faraday"

(3) d i v B→

= 0 flux conservatif ; pas de "charge magnétique"

(4) r o t H→

= j→

+ ∂D→

∂t "Maxwell - Ampère"

Unités SI: M est une densité de moment magnétique, en A.m2 / m

3 = A/m ; H en A/m aussi. B a la

dimension de µ oM, en T (tesla), µ

o en H/m = kg.m.A

-2 s

-2 , et ε

o µ

oc2 = 1 .

On peut retrouver les lois classiques connues en électricité, en intégrant les équations de Maxwellsur des circuits ou des volumes adéquats. La 1ère équa de Maxwell premet de retrouver la loi dePoisson et le théorème de Gauss. La 2e permet de retrouver la loi de Lenz-Faraday. La 3ese traduit par la conservation du flux de l'induction. La 4e permet de retrouver le théorèmed'Ampère, et la loi de Biot et Savart.→ ces démonstrations sont regroupées en APPENDICE 1B pour ne pas les noyer dans le cours.NB: on y jettera un coup d'œil attentif ! Les méthodes utilisées dans ces démonstrations sont trèsutiles dans la résolution des problèmes pratiques de circuits électriques + magnétiques →TD.

Champ démagnétisant ; équivalences aimantation /pôles /courants

Dans l'approximation des milieux continus, l'induction B est bien la moyenne du "champ"physiquement présent, mais il faut introduire H dans les équations de Maxwell.

Notion de champ démagnétisant

Le champ démagnétisant est, dans un matériau aimanté, la contribution de M→

à H→

:

H→

= H→

a+ H→

dém où H→

a est le champ appliqué (ou "externe") s'il y en a un.

On définit de même le champ dépolarisant E→

dép= E→

- E→

a en électrostatique.

Il est souvent commode pour évaluer le H dém créé par une pièce magnétique d'un dispositif, et

donc en déduire les champs H et B effectivement présents dans le dispositif, d'utiliser les notionsde "pôles équivalents" ou de "courants équivalents".

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 7

équivalences aimantation / pôles / courants

ATTENTION :ces notions sont très utiles pour évaluer le champ dans un matériau ou circuit magnétique, maisn'ont pas d'existence physique. Il n'existe pas de "charge" ou "pôle" magnétique (ce sont lescharges électriques en mouvement qui créent le champ magnétique). De même, les "courantséquivalents" ne traversent pas le matériau (pas de courant entre les bornes d'un ampèremètreposées sur les "pôles" d' un aimant ! ) donc n'interviennent PAS dans la densité de courant j deséquations de Maxwell.

"PÔLES EQUIVALENTS" : il y a des pôles ("Nord" ou "Sud") sur les surfaces qui coupent M→

n- - - - - - - -

n

Hdem

+ + + + + + + +

M

“Nord”

“Sud”

+-

+

équivalence

M

densité volumique ρ*m = - div M

→, et en surface σ

*m = M

→. n→

n→

étant le vecteur unitaire normal à la surface, orienté du milieu aimanté vers l'extérieur.

On en déduit le champ H→

dém créé par M→

(exactement analogue au calcul du champ

électrostatique qui serait créé par cette distribution de "charges").Expression générale (cf Annexe 1) :

V*m( r

→) =

14π ∫

d

3 r '

ρ*m

r→

- r'→

+ 14π ∫

d

2 r '

σ*m

r→

- r'→

H→

dém = - grad→

V*m

Le champ H = H a + H

dém ainsi défini est bien le même que celui de B

→ = µ

o(H→

+M→

) défini

plus haut avec les équations de Maxwell dans la matière, d'après un théorème d'Helmholtz pour ladécomposition unique d'un champ de vecteurs en une composante solénoïdale (de div. nulle) etune composante irrotationnelle (de rot. nul).

COURANTS EQUIVALENTS (ou "courants ampériens") : sur les surfaces tangentes à M→

équivalence

M km

n

MBm

densité volumique j→*

m = rot→

M→

, et en surface k→*

m = M→

× n→

(cf règle des 3 doigts)

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 8

NB: j*m en A/m

2 mais densité surfacique k

*m en A/m. On passe de ces densités à des courants

en sommant sur la section dans le cas d'une densité volumique ( i = ∫section

∫ S

j→

.dS→

), ou en

sommant sur la largeur dans le cas d'une densité surfacique ( i = ∫largeur

k→

.dl→

).

On en déduit l'induction B→

m créée par M→

(exactement analogue au calcul de l'induction

qui serait créé par cette distribution de "courants", par ex. en utilisant la loi de Biot & Savart)Expression générale (cf Annexe 1) :

A→

m ( r→

)= µ

o

4π ∫

d

3 r '

j*m→

r→

- r'→

+ µ

o

4π ∫

d

2 r '

k*m→

r→

- r'→

B→

m = rot→

A→

m

L'induction B→

= ( B→

a+ B→

m) est bien celle de B→

= µ o(H→

+M→

) et des équations de Maxwell (encore

théorème d'Helmholtz).

Le schéma suivant indique l'allure des lignes de champ d'un dipôle élémentaire, puis les deuxreprésentations équivalentes d'un barreau cylindrique aimanté (M uniforme //axe du cylindre),successivement avec les "pôles" équivalents et H, puis avec les courants équivalents et B.

B

M++++++

- - - - - -H

M++++++

- - - - - -

Pôles équivalents→ H (idem électrostatique) ; courants équivalents→ B(idem Biot&savart,...)

On voit que H et B sont identiques (au facteur µ o près) à l'extérieur de l'aimant, mais pas à

l'intérieur ; les conditions de continuité aux interfaces ne sont pas les mêmes pour B et H, car cene sont pas sur les mêmes faces qu'on trouve les "pôles" ou les "courants" équivalents. Quand ons'éloigne, les lignes de champ de l'aimant sont ≈ celles d'un dipôle.

évaluation du champ démagnétisant :

le champ démagnétisant est le H produit par l'aimantation du matériau. C'est la superpositionlinéaire du champ des moments du matériau, donc une fonction linéaire de l'aimantation :

H→

dém= – D⇒

M→

,

D⇒

est le tenseur (matrice 3x3 symétrique) des coefficients de champ démagnétisant de l'échantillon.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 9

En toute rigueur H→

dém n'est uniforme que dans des ellipsoïdes. En pratique, il suffit le plus

souvent de connaître 3 coeff. de champ démagnétisant : un pour chacun des trois axes du repèredans lequel on décrit l'échantillon. On a alors pour chaque composante :

( H dém)

#= –D

# M

#,

où # désigne x, y , z en coordonnées cartésiennes, ou ρ, ϕ, z en coordonnées cylindriques.

Deux remarques importantes à propos du champ démagnétisant :

(1) le champ démagnétisant dépend de la forme du matériau magnétique. Mais il est toujours de

module H

dém≤ M, et de sens opposé à l'aimantation. Autrement dit : 0 ≤ D ≤ 1.

"Justification" : voir schémas "pôles équivalents". Plus qualitativement : cf allure des lignes dechamp d'un dipôle. Si on considère le champ créé en un site d'un réseau par tous les autres dipôlesalignés parallèles, on voit que ce champ a une composante négative selon l'axe d'alignement.

(2) "on" peut démontrer que la somme des 3 coefficients de champ démagnétisant vaut 1:

D x + D

y + D z = 1 .

Conséquence : si la symétrie du volume considéré impose que certains coeff. sont égaux, il suffitd'en connaître 1 ou 2.

Exemple de la sphère : 3 directions équivalentes ⇒ les 3 coeff. sont égaux ⇒ H→

dém= – 13 M→

.

Application : champ démagnétisant dans des cas particuliers simples :

Hdém =0M selon tore :

MM

+

+++++

–––

––HdémHdém

−σm*

σm*

σm*

++++ ++++

----

----

---- ---- ----

-

-

-

-

-

+ + +

+

++ ++++ +

+

- - - -------- -+

-

-- M

Hdém M

Hdém

σm*−σm*

−σm*

• sphère : 3 axes équivalents, D x = D

y = D z =

13 , H

→ dém = –

13 M→

.

• cylindre ou ellipoïde de révolution (forme "cigare") très allongé suivant z :

D x = D

y ≈ 12 , et D

z ≈ 0 : champ démagnétisant très faible si M→

est sur l'axe long.

• ellipoïde de révolution très aplati suivant z (forme "camembert"):

D x = D

y ≈ 0, mais attention D z≈ 1 : H

→ dém ≈ –M

→ maximal si M

→ //axe court

• cas particulier d'une configuration torique (noyaux de transfo) : pas de champ démagnétisant !

• valeurs de D dans des cas un peu plus généraux : cf tableaux et documents annexes.

NB : dans un solide où D x ≠ D

y ≠ D z, H

→ dém et M

→ ne sont pas forcément colinéaires !

• conséquence pour des milieux linéaires, c'est-à-dire où l'aimantation suit une loi

M→

= χ H→

= χ ( H→

a + H→

dém )

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 10

comme H→

dém = – D⇒ M→

, alors pour chaque composante (#) M # =

χ

1+χD #

H

a #

Conditions de (dis)continuité aux interfaces :

n(2)(1)

BN H2

H1

kn

En intégrant les équations de Maxwell sur des parcours fermés infinitésimaux bien choisis auvoisinage immédiat de l'interface (schéma ci-dessus), on montre que :

n→

12.( B→

2 − B→

1 ) = ∆ B ⊥

= 0 ⇔ B ⊥ 1

=B ⊥ 2

( continuité de B ⊥

)

n→

12x( H→

2 − H→

1 ) = ∆ H //

= k→

( discontinuité de H // )

où k→

est la densité surfacique de courants ( les vrais ! ) à l'interface, n→

12 le vecteur unité

normal à l'interface, sortant du matériau (1) vers (2), et B ⊥ i

la composante normale de B→

du

côté (i) de l'interface.

• Discontinuité de B //

et H ⊥

à la surface d'un corps d'aimantation M→

:

cf schéma précédent montrant B et H d'un barreau aimanté. Par analogie, on aura cette fois :

∆ B //

=µ ο

k→*

m=µ ο

M→

× n→

, et ∆ H ⊥

= σ*m=M

→. n→

.

Energie(s) magnétique(s)

Thermodynamique des milieux magnétiques

Il s'agit des échanges d'énergie, entre matériau et source de champ externe, en jeu au cours desprocessus d'aimantation. Dans le cas d'un moment "isolé", on n'avait pas besoin de distinguer B =

µ oH = µ

oH

a. L'énergie potentielle d'un moment magnétique M donné et constant, soumis à une

induction B produite par une source externe, était : E = – M→ . B→ = − M→ . µ o H→

a.

Généralisation à un matériau dont l'aimantation dépend du champ :

cette généralisation peut être faite parfaitement rigoureusement, mais n'est pas triviale (cf livresG.Aubert ou W.F.Brown). On peut partir de l'expression des forces F=qE+qvxB à l'échellemicroscopique, et de leur travail, pour arriver, après sommation et moyenne, à l'énergie nécessairepour amener le matériau à son état d'aimantation M. On admettra le résultat.

La densité d'énergie ffff

m du matériau varie quand son aimantation varie :

d ffff m = µ

o H→

a.dM→

par unité de volume

(analogue du terme P.dV de l' énergie libre de Helmholtz en thermodynamique des gaz parfaits)

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 11

En sommant sur le volume du matériau, on obtient l'énergie FFFF m acquise par le matériau lors

d'un changement d'aimantation :

FFFF m = ∫

M initiale

M finale

d

3 r' ( µ

oH→

a.dM→

)

Si on se place "du point de vue de la source de champ", c'est le champ appliqué H a qui est la

"variable de contrôle" (c'est souvent ce qu'on fait en pratique!), et l'énergie fournie par legénérateur (ne pas oublier le signe –) qui fait varier le champ appliqué au matériau sera :

dgggg m = – µ

oM→

.dH→

a par unité de volume

(analogue du terme –V.dP de l' enthalpie libre de Gibbs en thermodynamique des gaz parfaits)

soit au total une énergie GGGG m = ∫

Ha initial

Ha final

d

3 r' ( – µ

oM→

.dH→

a )

Ces densités d'énergie correspondent aux surfaces représentées ci-dessous dans le plan (H a,M),

illustrant le cas d'un matériau réversible d'abord linéaire puis se saturant (schéma de gauche), ou

d'un matériau présentant une hystérésis (resp. F m, puis G

m sur le schéma de droite ) :

M

HaFM

M

HaGM

M

HaFM

GM

On rencontre aussi souvent une autre expression pour la densité d'énergie magnétique.

d ffff m = H→

.dB→

, et dgggg m= –B

→.dH→

selon la variable de contrôle

La différence vient de ce que dans ce cas, on inclut aussi dans l'énergie le travail qu'aurait dûfournir le générateur pour créer le même champ appliqué en l'absence du matériau. Autrement dit :on inclut l'énergie du champ électromagnétique dans tout l'espace environnant. Ce choix detravailler sur l'énergie totale oblige à évaluer H et B dans tout l'espace où le champ est non nul (etnon plus simplement sur le volume du matériau), sans apporter d'information supplémentaire sur lematériau. NB: c'est évidemment le bon choix quand on veut décrire l'ensemble d'un dispositif avecgénérateur + aimant(s), mais pas pour caractériser un matériau magnétique.

Autre variante qu'on trouve parfois : dffff m= µ oH→

.dM→

, ou dgggg m= –µ

oM→

.dH→

: attention, c'est

FAUX, sauf si on peut négliger le champ démagnétisant H≈H

a !

NB: on a négligé les pertes par courants de Foucault (ou la présence éventuelle de courantspersistents supraconducteurs, cf chap.5), une déformation éventuelle du matériau, ou unécoulement d'ensemble (ferrofluide). On ne traitera pas dans ce cours la contribution magnétique àl'entropie, qui peut éventuellement donner lieu à des effets magnétocaloriques.

Energie magnétostatique d'un aimant

L'énergie magnétostatique représente l'énergie dipolaire magnétique associée au seul fait quel'aimant crée un champ non nul. Ne pas confondre avec l'énergie à fournir pour amener le matériaujusqu'à cet état aimanté (cf § "thermodynamique").

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 12

En partant de la densité d'énergie d'un champ électromagnétique à intégrer sur l'espace + desthéorèmes d'analyse vectorielle, ou en décomposant la variation d'énergie mise en jeu par lepassage à l'état aimanté, on pourrait montrer que l'énergie magnétostatique d'un aimant est :

E dip = ∫

vol.aimant

12 µ

oM→

.H→

dém.d3r

On peut voir ce résultat comme l'énergie qu'aurait l'aimant soumis à un champ 12H

dém, le

12 venant

du fait que H dém n'est pas externe, mais proportionnel à M (ou : on ne doit pas compter 2 fois

l'énergie correspondant à l'effet du champ d'un 1ermoment sur un 2e, et du 2e sur le 1er ! )

Energie de couplage inductif : théorème de réciprocité

On utilise très souvent un couplage inductif pour actionner (moteurs, relais), produire ou distribuerde l'électricité (alternateurs, transformateurs), mesurer (capteurs de champ, têtes de lectures,appareils de caractérisation de matériaux magnétiques).

Pour un seul circuit, on définit la self-inductance L par : V = – L ∂I∂t ou Φ = L I ;

⇒ énergie inductive dans ce circuit : ∫

V.I.dt =

12 L I

2

Entre 2 circuits couplés inductivement : on définit similairement la mutuelle inductance par

Φ 2→1 = L

21 I

2 , et Φ

1→2 = L

12 I

1

Φ i→j désignant le flux envoyé dans le circuit (j) par le courant I

i du circuit (i).

L'énergie de couplage inductif est E = Φ 2→1 Ι

1 = L

21 I

2 I

1 ou encore, si on se place "du point de

vue de l'autre circuit", E = Φ 1→2 Ι

2 = L

12 I

1 I

2. Il est clair que par symétrie, L

12 = L

21 .

On peut généraliser cette formulation, par exemple au cas où on remplace un des circuits (1) par unaimant. Cette expression est connue sous le nom de "théorème de réciprocité" :

MMMM→ 1 . B

→ 2→1

= Ι

2 Φ

1→2

où M→ 1=moment magnétique aimant (1) ; B

→ 2→1

=induction que créerait le circuit (2) au point où

est l'aimant (1), si alimenté par courant Ι 2 ; et Φ

1→2

=flux envoyé par aimant (1) dans circuit (2).

On se contente ici une "justification" dans le cas simple d'une spire (2) et d'un aimant "ponctuel"(1), et on admettra le théorème général.Si on "remplace" l'aimant par une petite spire équivalente de même moment magnétique

M→ 1 = I

1 S→

1, on peut écrire :

M→ 1. B→

2→1= (I

1 S→

1). B→

2→1= I

1.( S

→ 1 B→

2→1) =I

1 Φ

2→1

= Φ 1→2

Ι 2 cqfd

Pour 2 aimants, le théorème de réciprocité devient : M→ 1. B→

2→1= M→

2. B→

1→2

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 13

Applications du théorème de réciprocité

De nombreux dispositifs de mesure sont basés sur la variation du flux produit par un aimant àtravers un circuit électrique, aux bornes duquel on détecte la tension V=–∂Φ/∂t. Pour relier latension détectée au moment magnétique de l'aimant, il est souvent plus facile d'utiliser le théorèmede réciprocité, que de calculer B en chaque point puis d'intégrer pour connaître le flux Φ. Onmontre ci-dessous 3 exemples d'applications usuelles.

NB: un traitement plus détaillé des 2 premiers dispositifs, le magnétomètre à échantillon vibrant etle suceptomètre ac, est fourni en Appendice 1C ; on utilisera en TP ce genre de technique.

Exemple du magnétomètre à échantillon vibrant (ou magnétomètre de Foner, ou "VSM")

Principe : l'échantillon dont on veut mesurer l'aimantation est fixée sur l'axe central d'une paire debobines de détection, montées en série-opposition, elles-même centrées dans un électroaimantdestiné à aimanter l'échantillon si nécessaire. Le porte-échantillon est animé d'une oscillation lelong de l'axe z, de part et d'autre du centre du dispositif. Lorsque l'échantillon est décentré, ilenvoie plus de flux dans une des bobines de détection que dans l'autre. La somme (algébrique!) duflux à travers ces 2 bobines subit une variation alternative, et on détecte la tension induite par cettevariation.

µ1

mesure V

vibration δz ± zo

2 R

+

-

+

-

Le calcul du flux détecté n'est pas coton, mais grâce au théorème de réciprocité, on sait que :

M→ 1. B

→ 2→1

= Φ 1→2

Ι 2 ⇔ Φ

1→2

= M→ 1.( B

→ 2→1

/ Ι 2 )

donc il suffit de connaître l'induction que produirait un courant Ι 2 dans le bobinage de détection, le

long de l'axe z, pour pouvoir relier le signal V= – ∂ (Φ 1→2

) / ∂t au moment magnétique qu'on

veut mesurer.

Exemple du suceptomètre ac (mesure de suceptibilité en alternatif)

Principe : le bobinage primaire sert à appliquer un champ alternatif connu. Ce champ alternatifproduit une aimantation variable de l'échantillon. Le moment magnétique M=χHV de l'échantilloncrée donc un champ dipolaire alternatif, et on détecte son flux grâce au bobinage secondaire enmesurant la tension induite -∂Φ/∂t. La présence d'une paire de bobines secondaires en série-opposition est juste là pour éliminer la tension induite par le seul flux alternatif primaire.

On repère par l'indice 1 (resp. 2) le circuit primaire (resp. secondaire). Le théorème de réciprociténous dispense du calcul complet du flux induit :

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1 Chapitre 1 champs EM page 14

Φ = Φ éch→2

= M→ éch.( B

→ 2→éch

/ Ι 2 ) = χ (

Hi )

1 i

ac 1V (

Bi )

2

h2

h2 → N2 spires

au secondaire

r1 r2

+

-

h1 → N1 spires

au primaire

échantillon

bobinages secondaires en série-opposition

bobinage primaire

Il suffit de connaître le "B/i" des bobines pour avoir une calibration de l'appareil, càd déduire χ de

la tension mesurée (attention toutefois à la correction de champ démagnétisant : on impose H 1a,

pas H 1 ; voir Appendice 1C pour + de détails).

Exemple des têtes magnétiques, lecture ou écriture :

M

bande magnétique (succession de grains aimantés ±M)

noyau haute µr

entrefer ou “gap d’air”

e

h

bobine : source de B pour enregistrement, ou mesure –∂Φ/∂t pour lecture

On verra au Chap. 4 les propriétés des matériaux constituant le "noyau". C'est un ferromagnétiqueà haute perméabilité magnétique. Le noyau canalise l'induction : B produite par (bobine + noyau)pour aimanter les grains de la bande ou du disque pour une tête d'écriture ; ou B produite par lesgrains et captée par (noyau + bobine) pour une tête de lecture.Si la tête produit une induction B quand la bobine est alimentée par un courant Ι, on sait évaluer

B→

circuit→grain au voisinage de l'entrefer (calculs numériques et/ou approximations classiques

dans les circuits magnétiques). On pourra en déduire directement le flux que les grains aimantésdéfilant face à l'entrefer enverront dans la bobine de détection :

Φ grain→circuit

= M→ grain.

B→

circuit→grain

Ι circuit

sans être obligés de faire le calcul, souvent compliqué, de la carte du champ produit par les grainsau niveau du circuit.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1A Appendices au chapitre 1 EM page A1

1

Appendices au chapitre 1

• l'appendice 1A décrit les bases théoriques sur les potentiels et champs EM. Ces notions ne sontpas essentielles dans le cadre du cours de maîtrise. On les mentionne quand même, car il est parfoisplus simple (surtout dans les méthodes numériques) de calculer le potentiel puis d'en dériver lechamp, plutôt que de calculer le champ. En outre, dans les cas où on doit tenir compte des propriétésquantiques des électrons, en MQ l'énergie à minimiser s'exprime en fonction des potentiels.

*** l'appendice 1B rappelle quelques lois de base de l'électromagnétisme retrouvées à partir deséquations de Maxwell : à savoir manipuler couramment !*** appendice 1C : 2 applications du théorème de réciprocité, pour calculer le signal mesuré dansun magnétomètre de Foner ou dans un suceptomètre ac. Utile pour l'exploitation des TP.

Appendice 1 A : potentiels, champs EM, moments dipolaires

Des charges en mouvement par rapport à un observateur créent pour celui-ci un champ électrique et

un champ magnétique . Une distribution de charges ρ( r '→ ) en mouvement par rapport à un

observateur sis en r→ va créer à l'instant t un potentiel scalaire V( r→,t) et un potentiel pseudo-vecteur

A→( r→,t) :

rr'

Mesure de B(r)

Origine repèreu = r / r

Matériau source

j=ρv

ρ

V( r→,t) = 1

4πε o

d

3 r'

ρ (t - r→- r '→/c)

r→ - r '→

A→( r→,t) = µ

o

4π ∫

d

3 r'

j→ (t - r→- r '→/c)

r→ - r '→ De ces deux potentiels, dits potentiels de Lorentz, dérivent les champs physiques E et B bien connus :

E→ = – grad→ V = – ∇→ V

B→ = rot→ A→ = ∇→×Α→

∇→ désignant les dérivées % coordonnées r→ du point où on mesure le champ.Les conditions d'invariance auxquelles ces potentiels et ces champs doivent obéir pour avoir droit autitre de quantités physiques donnent les quatre équations de Maxwell dans le vide (1ére colonne) oudans la matière (2e colonne ; cf cours pour la différence entre les 2 cas et définition de H et D) :

div E→ = ρ

ε o

div D→ = ρ

rot E→ = – ∂B→

∂t rot E→ = – ∂B→

∂t

div B→ = 0 div B→ = 0

rot B→ = µ o j→ +

1c2

∂ E→

∂t rot H→ = j→ + ∂D→

∂t

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1A Appendices au chapitre 1 EM page A2

2

Moments d'une distribution de charges en mouvement

Dans la matière, on aura deux approximations raisonnables à notre disposition :(1) les charges sont "faiblement relativistes". C'est en général suffisant pour les électrons "libres"dans la matière, et les charges de cœur (couches inférieures complètes) des atomes n'interviennentquasiment pas dans les propriétés des matériaux. On se contentera donc d'un développement au

premier ordre en v / c des potentiels retardés de Lorentz. Le retard (dans t – r→- r '→/c) sera ≈

constant sur la distribution de charges, et on pourra permuter indifféremment des ∂ /∂t avec des ∫

ou des dérivées spatiales. Limite de l'approx.: attention aux champs alternatifs très haute fréquence.(2) on s'intéressera à ce qui se passe "de pas trop près" : l'observateur ou le capteur est à unedistance grande par rapport aux dimensions atomiques . Dans ce cas, on peut utiliser undéveloppement en puissances de r' / r. Ceci va faire apparaître explicitement les momentsmultipolaires de la distribution de charges en mouvement dans l'expression des potentiels.

"Développement multipolaire" des potentiels :généralisation de l'expression d'un moment dipolaire

Dans l'expression générale des potentiels de Lorentz, on injecte les deux approximations ci-dessus(v<<c, et r–r'<<r). Se reporter aux ouvrages de référence pour plus de détails.

Notation: r→=point où on mesure le champ, r '→ =position des charges ou courants, u→ = r→/r.En réarrangeant les termes provenant du développement en r' / r ( cas r' << r)

1

r→ - r '→ =

1r +

u→ . r '→ r2

+ ... , on fait apparaître les moments dits "multipolaires" :

moment dipolaire électrique PPPP→ : moment quadrupolaire électrique Q→ (etc...)

PPPP→ = ∫

d

3 r ' ρ ( r '→ ) r '→ Q→ = ∫

d

3 r'

12 ρ( r '→) ( u→ . r '→) r '→

moment dipolaire magnétique MMMM→ :

MMMM→ = ∫

d

3 r '

12 ( r '→ × j→(r '→ ) )

+

-P M r’ j

r’

dans le cas où la distribution de charge est concentrée en deux points voisins distants de d, on

retrouve le dipôle "ponctuel" P→ = q d→; idem pour M→ = I S→ si le courant est concentré dans une

spire de fil conducteur, S→ étant normal au plan de la spire de surface S.

On en déduit les potentiels ( q = charge ), puis les champs E→ = – grad→ V et B→ = rot→ A→ :

V( r→ ,t) = 1

4π ε o. r

q + 1

4π ε o.r2

PPPP→ . u→ . . . ( rappel: u→ = r→ / r )

A→( r→ ,t) = µ

o

4π . r ∂ PPPP→∂t +

µ o

4π .r2.∂ QQQQ→

∂t + µ

o

4π .r2 MMMM→→× u→ . . .

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1A Appendices au chapitre 1 EM page A3

3

Champ et induction magnétique sont reliés par :

B→ = µ

o ( H→ + M→ ...) cf cours ; M→ est l'aimantation = densité de M → / Volume

Remarque : en magnétohydrodynamique (fluide conducteur soumis à un champ EM) ou dans lesferrofluides (solution ou suspension de particules ferromagnétiques), si le fluide s'écoule avec une

vitesse d'ensemble v→ par rapport à l'observateur, dans le référentiel "du laboratoire":

B→ = µ

o ( H→ + M→ + ( D→ - ε o E→ )× v→ ) . . . équa. de Minkovski

Dans le cas où on se limite à des moments dipolaires, on retrouve bien le champ donné dans le

chapitre 1 pour un dipôle M→→ // z dans le cas statique (faire ∂/∂t = 0) :

E→ = 1

4πε o.r2

q + 1

4πε o.r3

( 3( P→ . u→) u→ - P→ ) ...

B→ = µ

o

4π.r2 ∂ P→∂t +

µ o

4π .r3 ( 3 (M→.... u→) u→ -M→→ ) ... ( rappel: u→ = r→ / r )

composante radiale B r =

µ o

4π 3 M cosθ

r3composante axiale B

z = –

µ o

4π Mr3

Appendice 1 B : Maxwell ⇒ lois usuelles de l'électromagnétisme

On retrouve des lois classiques des circuits en intégrant judicieusement les équations de Maxwell :

H.dl

j

B∂B/∂t

E

Q D

• théorème de Gauss ⇒ loi de Poisson (premier schéma à gauche)

∫vol

sphère

div D→ dv = ∫

surface

∫ sphère

D→.dS→ (math.), et ∫

ρ dv = Q =charge à l'intérieur la sphère

d'où div D→ = –ρ ⇒ 4πR2 D = Q pour toute sphère centrée sur la distribution de charge (et

D→radiale)

• loi de Lenz-Faraday (deuxième schéma)

∫surface

∫ circuit

rot E→.dS→ = ∫

contour

E→ .dl→ (math.), et ∫

surface

∫ circuit

∂ B→

∂t .dS→ = ∂∂t ∫

B→.dS→ =

∂Φ∂t

d'où rot E→ = – ∂B→/∂t ⇒ ∫contour

E→ .dl→ = V = -

∂Φ∂t

• conservation du flux de B (troisième schéma)

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1A Appendices au chapitre 1 EM page A4

4

div B→ dv = ∫

B→.dS→ = 0 pour toute surface fermée

donc flux entrant = flux sortant pour tout "tube" délimité par des lignes de B

• théorème d'Ampère pour H (dernier schéma à droite): : dans le cas statique ∂D∂t = 0

∫surface

∫ S

rot H→.dS→ = ∫

j→.dS→ = i ⇔ ∫

contour de S

H→ .dl→ = i = courant traversant S

donc pour un fil conducteur, en prenant S = disque ⊥ fil ⇒ 2π r H = i (H→ orthoradial par symétrie)

On peut également retrouver ce résultat en appliquant la loi de Biot et Savart :

B→ = µ

o

4 π ⌡⌠

f i l

i d llll→ x r→

r3 (peut se déduire de l'expression A→ en fonction de j→)

Application à un fil rectiligne "infiniment long" : B= µ

o i

2 π r ( B orthoradiale, à distance r du fil).

• application de Biot & Savart : induction produite par une spire circulaire sur son axe

i

B(r)

R

z

Par symétrie, les contributions de 2 tronçons diamétralement opposés donnent une induction

résultante // axe z de la spire, donc on projette B→ sur cet axe, puis on utilise le triangle rectangle

délimité par le rayon R de la spire, la hauteur z et le vecteur r→ :

Biot & Savart ⇒ B = B z =

µ o

⌡⌠

spire

i dl sin α

r2

= µ

o i

4π . 2πR.sin α

r2

soit au choix B = µ

o i

2 R . sin3 α , ou B =

µ o i

2 . R

[ R2+z2] 3/2

= µ

o i

2 R . 1

[ 1 + (z/R)2] 3/2

Pour une bobine, on devra sommer sur les spires, numériquement ou en passant à la limite ∑→∫

Appendice 1 C : magnétomètre à échantillon vibrant

Rappel du schéma de principe ci-dessous, cf Chapitre 1 du cours :

on captera V=-∂Φ/∂t du flux Φ 1→2

= M→ 1.( B

→ 2→1

/ Ι 2 )

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1A Appendices au chapitre 1 EM page A5

5

Seule intervient la composante M//z dans cette mesure, puisque B sur l'axe du bobinage est //z.

µ1

mesure V

vibration δz ± zo

2 R

+

-

+

-

• évaluation du B/I de la bobine :

B→

créée par une spire circulaire se déduit de la loi de Biot et Savart (cf Appendice 1B). En notantα l'angle sous lequel on voit la spire de rayon R, depuis le point où on mesure B :

B→

= µ

o

⌡⌠

spire

i dl→

x r→

r3

= µ

o i

2 R sin 3 α z

Pour une bobine "plate" et "mince" (∅ bobinage >> hauteur et épaisseur du bobinage), assez bienadaptée à ce genre de montage :

B 2→1

≈ N µ

o Ι

2

2 R sin 3 α = Ι

2

Nµ o

2R 1

[ 1+(z/R)2 ]

3/2

, où N=nombre de spires

• variation de B due aux oscillations δz :on traite le cas d'une variation δz(t) sinusoïdale (généralisable par transf. Fourier) :

z = z(t) = ± z o + δz.sin (ωt) (2 bobines en ± z

o).

Pour des oscillations de faible amplitude, on peut se contenter d'un développement limité au premierordre en δz/R, et "on" obtient pour la paire de bobines en série-opposition, sauf erreur :

( B→

2→1 / Ι

2 ) ≈

Nµ o

2R . 6δz.z

o.cosωt

R2

. ( 1 + z2o

R2

)–5/2

• résultat :

signal V ≈ – M 1z .ω.

Nµ o

2R . 6δz.z

o.cosωt

R2

. ( 1 + z2o

R2

)–5/2

unités: M en Am2 , ω en rad/s, µ

o en H/m, z et R en m ⇒ [V] =

A.H.rads = [L

∂I∂t]=Volts.

Remarque pratique : bobines de Helmholtz

pour un rayon R donné, il existe une valeur de (z o/R) optimale pour la paire de bobines de détection

en série-opposition :

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1A Appendices au chapitre 1 EM page A6

6

signal d'amplitude V max ⇒ ∂ V

∂ (z o/R)

= 0 ⇒ z

o = R/2.

On peut montrer que cette configuration z o = R/2 est également celle qui minimiserait le gradient de B

dans la zone centrale si la paire de bobines était connectée en série. On appelle un tel montage"bobines de Helmholtz" (eh oui, encore lui).

Appencice 1 C : mesure de suceptibilité en alternatif

Rappel du schéma de principe, cf Chapitre 1 du cours :

h2

h2 → N2 spires

au secondaire

r1 r2

+

-

h1 → N1 spires

au primaire

échantillon

bobinages secondaires en série-opposition

bobinage primaire

D'après le théorème de réciprocité, et compte tenu de la correction de champ démagnétisant, le fluxque produit l'échantillon de suceptibilité χ, de coeff.démagnétisant D, et de volume V, est :

Φ éch→2

= M→ éch.( B

→ 2→éch

/ Ι 2 ) =

χ

1+Dχ (

Hi )

1 i

ac 1V (

Bi )

2

où ( Hi )

1i

ac 1 = champ alternatif appliqué par le primaire. Là aussi, on n'est sensible qu'à M // axe

du bobinage car B→

est sur l'axe (du moins tant que l'échantillon est centré). On n'inclut pas dans cetexemple la contribution d'éventuels courants de Foucault.

Remarque : si M n'est pas linéaire en H, cette méthode est sensible seulement à la partie de M qui suit

à chaque période l'oscillation du champ primaire ; on mesure la contribution réversible ∂M∂H , appelée

"suceptibilité alternative" χ

ac.

• tension V

2 aux bornes du secondaire : c'est

-

∂∂t Φ

éch→2

• (B/i) d'une bobine solénoïdale :

longueur h >> diamètre r et épaisseur (r ext–r

int), car c'est un choix mieux adapté à cet type

d'appareil.On note N le nombre de spires, α ' et α" l'angle sous lequel est vu le rayon de l'extrémité dubobinage depuis l'échantillon (voir champ sur l'axe d'une spire en Appendice1B, puis sommer...).

(Bi ) ≈ µ

o

Nh

(cosα' - cos α")2 ; au centre du bobinage α' = π- α" = α d'où (

Bi ) ≈ µ

o

Nh cosα

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1A Appendices au chapitre 1 EM page A7

7

self inductance L ≈ µ

o N2 π r2

h cosα

• Si le primaire est alimenté en courant alternatif de fréquence f (ou pulsation ω=2πf) :

V 2 = ω

χ

1+Dχ V (

Bi )

2 (

Bi )

1

1

µ o

i 1 ≈ i

1 2πf [

χ

1+Dχ V ]

N 1N

2

h 1h

2

µ o cosα

2 [

cosα" 1 - cosα'

1

2 ]

Par commodité (cf TP), on choisit souvent d'alimenter en tension. On enverra cette tension V 1 à la

fois aux bornes du primaire, et comme tension de référence sur une détection synchrone (cf coursélectronique ou traitement du signal).

• Si le primaire est alimenté en tension alternative de fréquence f :

V 2 ≈ V

1 .

χ

1+Dχ .

VVVV

πr21 h

2

. N

2

N 1

. 1

√ ( 1 +R

21

L21ω

2)

. [cosα"

1-cosα'

1

2cosα 1

. cosα 2]

Z 1=√ (R

21+L

21ω

2) étant l'impédance totale du circuit primaire (R 1 = R

bobine1 + R

série des câbles de

connexion + éventuelle R de charge). Pour des solénoïdes, le terme en cos est proche de 1. En effet,dès que h/r ≥ 5, | |cosα ≥ 0.928

• optimisation des bobinages :

on cherchera à avoir un signal V 2 "assez important" (selon application visée), tout en minimisant la

sensibilité aux flux parasites, et en respectant les contraintes pratiques : encombrement des bobines,diamètre du fil (fil trop fin → fragile, fil épais → faible densité de spires N/h par couche). Pour desraisons pratiques (place disponible) et pour ne pas être trop sensible aux flux parasites (optimisationdu rapport signal/bruit), en général primaire et secondaire auront ≈ même diamètre, qu'on essaierad'adapter au gabarit typique des échantillons qu'on veut caractériser.

Les conditions optimum ne sont pas les mêmes selon qu'on alimente en courant ou en tension, carl'impédance du circuit primaire ne joue pas de la même façon dans ces 2 cas. On notera bien que dans

l'impédance du primaire, la résistance de la bobine 1 est proportionnelle à N 1 (R

bob = N ρ

8r∅2, où

ρ=résistivité du fil et ∅ son diamètre, et N = n h∅

où n=nombre de couches), alors que l'inductance

augmente comme N21.

Un bobinage sera optimum dans une gamme de fréquence donnée. Ces montages sont plutôt adaptésaux "basses fréquences" (f < MHz). A haute fréquence, l'impédance inductive devient élevée, et lescourants de Foucault induits dans l'échantillon et/ou les pièces métalliques du montage deviennentgênants si le but est de mesurer χ.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1A Appendices au chapitre 1 EM page A8

8

Appencice 1 D : Systèmes d'Unités en ElectroMagnétisme

Un système d'unités fait intervenir en électromagnétisme deux constantes, ε o et µ

o (constante

diélectrique et perméabilité – ou permittivité – magnétique du vide) qui doivent vérifier :

ε o µ

oc2 = 1 ,

où c est la vitesse de la lumière, constante fondamentale du système SI.

Le Système International (ou "MKSA rationalisé") est caractérisé par :

µ o = 4 π 10-7 H/m ⇒ ε

o ≈

136π 109 F/m (c= 2.997925 108 ≈3.108 m/s)

Le choix de la valeur de µ o a été fixée de sorte à assurer la compatibilité entre unités

"électromagnétiques" et "mécaniques" (Newton, Joule, ...) définies classiquement.

Dimensions : [ µ o ] = m.kg.s-2.A-2 équivalent à : Henry / m, ou J / (A

2 .m)

[ ε o ] = m-3.kg-1.s4.A2 équivalent à : Farad / m, ou J / (V

2 .m)

AVERTISSEMENT

l'utilisation de systèmes autres que le SI (en principe illégaux depuis un décret de 1962) estdéconseillée pour les raisons suivantes :• il n'est pas toujours possible en pratique de vérifier l'homogénéité (équation aux dimensions) d'uneformule dans un système d'unités autre que le SI → risqué quand on manipule des relations entregrandeurs électromagnétiques, et mécaniques ou thermiques. Attention, des constantes numériquespeuvent cacher une grandeur qui n'est pas sans dimension...• saupoudrage de 4π. Outre l'apparition de facteurs π dans des problèmes où le cercle n'a rien à faire,il en résulte parfois des ambigüités sur la définition même du champ ou de l'induction dans un milieumagnétique (en CGS, "polarisation magnétique" M ou 4πM selon les auteurs ! ).

Malgré ces inconvénients, on trouve encore des documents utilisant d'autres systèmes d'unités : leCGS-uem est encore relativement usuel dans les livres et laboratoires de recherche en physique desmatériaux. Le CGS-Gauss est encore relativement fréquent chez les chercheurs en physiquethéorique."CGS" pour cm, g, s

• CGS Gauss : µ o =

4πc , B = H + 4π M, D = E + 4πP

• CGS uem ("unités électromagnétiques") : µ o = 1, B = H + 4πM

• CGS ues ("unités électrostatiques") : ε o = 1, D = E + 4πP

Attention : éviter absolument d'utiliser le CGS-uem en électrostatique ou le CGS-ues en magnétisme,ce serait du vice !

A partir de ces définitions, on a les ingrédients passer d'un système à un autre si vraiment on ne peutpas faire autrement...

Giroud/magnetisme.MPA2000/C1A Appendices au chapitre 1 EM page A9

9

Conversions entre systèmes d'unités SI / CGS-uem :

On donne dans le tableau ci-dessous la valeur par laquelle il faut multiplier la grandeur exprimée enCGS-uem pour avoir sa valeur en unités SI.

Ex: 22 kG, coefficient 10-4 ⇒ induction B=2.2 T ≈induction à saturation µoM s du fer

1.75 kOe, coeff 103⇒ aimantation 1.75 106 A/m ≈aimantation à saturation M s du fer

GRANDEUR unité SI unité CGS-uem coeff. conversion________________________________________________________________________

induction magnétique B T G 10-4

champ magnétique H A/m Oe 103 / 4π

" " µ oH T Oe 10-4

aimantation M A/m uem/cm3 103

" µ oM T uem/cm3 4π.10-4

suceptibilité (volumique) χ sans dim «uem/cm3» 4π

suceptibilité molaire χ mol m3/mol «uem/mol» 4π.10-6

moment magnétique M A.m2 uem 10-3

énergie J erg 10-7

densité d'énergie µ oH.M J /m3 erg/cm3 10-1

attention à la cohérence des unités en CGS : l'unité CGS de courant est...10 A

Unités "pratiques" pour les énergies :

équivalences E ≡ k BT ≡ µ

BB ≡ hf ≡ eV ; on peut donc ramener des énergies caractéristiques à

des échelles en degrés Kelvin, Tesla, Hertz, ou Volts. Intérêt : échelle d'énergie + facile à compareravec la grandeur expérimentale directement mesurée (température, induction magnétique, fréquenceou longueur d'onde, tension...selon la technique employée) :1 eV = 1.60219 10-19 J

1 K ≡ 1.3807 10-23 J ⇒ 1 meV ≡ 11.604 K

1 GHz ≡ 6.6262 10-25 J ≡ 4.1357 10-6 eV ≡ 4.799 10-2 K (et 1 cm-1≈30 GHz)

1 µ B dans 1 T ≡ 9.2741 10-24 J ≡ 0.67171 K ≡ 5.786 10-5 eV

Valeurs de quelques constantes fondamentales :

GRANDEUR symbole unité SI valeur SI en unités CGS uem

constante de Planck h J.s 6.6262 10-34 6.6262 10-27 erg.smagnéton de Bohr

µ B

A.m2 = J / T 0.92741 10-24 9.2741 10-21uem

constante de Boltzmannk

B

J / K 1.3807 10-23 1.3807 10-16erg/K

quantum de flux h/2e Φo T.m2 = Wb 2.0679 10-15 2.0679 10-7G.cm2

charge de l'électron e C 1.60219 10-19 1.602 10-20 uemou 4.803 10-10 ues

rayon de Bohr h2/(4π2me2) a o

m 0.52918 10-10 0.52918 10-8cm

Giroud/magnetisme.MPA2000/C2 Chapitre 2 Magnétisme Atomes page 1

MAGNETISME D'ATOMES INDEPENDANTS :REGLES DE HUND, PARAMAGNETISME, LOI DE CURIE ; DIAMAGNETISME

Le domaine d'application qui consomme la plus grosse quantité de matériaux magnétiques est legénie électrique = production et distribution d'électricité (en 1997 production européenne >Mtonne/an, marché mondial ≈ 6G /an). En génie électrique, le principal intérêt des matériauxmagnétiques est de fournir une induction magnétique éleéve : la puissance d'un moteur, alternateurou transformateur, est proportionnelle à l'induction au niveau des pôles du rotor ou du stator oudans le noyau, et donc à l'aimantation du matériau employé dans ce circuit. Le domained'application qui a le plus fort impact économique est actuellement l'enregistrement de données(marché européen ≈ 1G /an). Dans ce cas, un des critères de sélection d'un matériau magnétiqueest le champ produit à proximité du grain de mémoire : ce champ est lui aussi proportionnel àl'aimantation du matériau, et doit être suffisant pour pouvoir être lu par la tête de lecture.

On s'intéressera donc le plus souvent aux matériaux ayant une aimantation (= moment magnétiquepar unité de volume) assez élevée. On va partir des constituants élémentaires des matériaux, lesatomes, pour voir lesquels peuvent avoir un moment magnétique important.

Moment magnétique d'un atome libre

Atome "libre" = non soumis à un champ appliqué.

Moment magnétique orbital

Un électron de moment cinétique orbital m r v =l h_ (llll entier, h

_ =

h2π = 1.05 10

-34 J.s),

parcourant une orbite de périmètre 2 π r à la vitesse v est équivalent à une spire de surface S=π r2

parcourue par le courant i=e

2πr / v . Son moment magnétique est donc µ =iS= evr2 , soit µ = l

eh_

2m.

Le moment magnétique "orbital" sera un multiple de magnéton de Bohr :

µ B=

eh_

2m = 0.927 10- 2 3 A.m

2

Moment magnétique de spin

Spin S = moment cinétique intrinsèque qui dépend de la nature de la particule ( 12 h

_ pour les

électrons e– , protons et neutrons, h

_ pour les photons...). La seule différence est qu'un e

– de spin

12 h

_ a un moment magnétique µ

B et non

12 µ

B(autrement dit : µ

s = gSµ

B avec g=2).

Moment cinétique total de l'atome

Le principe d'exclusion de Pauli interdit de mettre 2 e– identiques dans le même état. On

caractérise un état possible par : son numéro du niveau atomique n (celui de la couche du tableaude Mendéleiev), son moment orbital l, et son moment de spin s.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C2 Chapitre 2 Magnétisme Atomes page 2

Méca.Quantique: dans une couche donnée, la projection du moment orbital sur un axe de référence

peut prendre (2l+1) valeurs possibles, entre –l et +l par pas entiers. Chacun de ces états peut

accueillir 2 e– sous réserve que leur spin soit différent, donc antiparallèle (s=±

12 ).

On doit sommer les moments L=|∑ l | et S=|∑s| des électrons de l'atome. On ne sait pas a prioriquelle est le bon arrangement des électrons parmi les états de différents moments. Les règles deHund permettent de prévoir quel sera l'arrangement le plus favorable énergétiquement, et donc lemoment magnétique d'un atome, à mesure qu'on remplit une couche électronique.

Règles de Hund

(1) le premier électron occupe d'abord un état de composante de llll maximal. Explication

schématique : l'électron en orbite, tout comme une spire de courant, crée un champ B orb. Le

moment magnétique de spin de l'électron voit ce champ "orbital", et s'orientera pour minimiser son

énergie de couplage Spin-Orbite – µ→

spin. B→

orb, qui est proportionnelle à + l→ . s→

v S→µ spin

L→µ orbital

i

µ orbital

(2) e– suivants: il faut minimiser aussi la répulsion électrostatique entre électrons de cette couche

(la répulsion avec les couches précédentes se traduit déjà par l'ordre des "sous-couches" s p d f, cftableau Mendéleiev). Pour cela, on a intérêt à occuper des niveaux de valeurs successives dela composante de llll. Schématiquement : le couplage spin-orbite favorise les états de |l| élevée,

mais la répulsion favorise une répartition des e– sur des orbites n'ayant pas même |l|, plutôt que

des électrons qui peuvent se télescoper sur une trajectoire identique (les états ±lcorrespondent àune même trajectoire parcourue en sens inverse).

(3) pour bien minimiser l'énergie Spin-Orbite du tout, le moment de spin se mettra de préférenceanti-parallèle au moment orbital résultant des électrons déjà présents (cf allure des lignes de champd'un dipôle). Conséquence : le moment total J sera J=L–S pour des couches moins quemoitié pleines, et J=L+S pour des couches plus que moitié pleines.

Exemple d'une couche "d" i.e. états de moment cinétique L=2 ⇒ l =0, ±1, ±2.Rappel: s, p, d, f pour moments orbitaux L valant respectivement 0, 1, 2, 3.

couche < moitié pleine: L=|∑ llll |, S=|∑s| et J=|L–S|

-2 -1 0 1 2 L=2, S=1/2, J=3/2

-2 -1 0 1 2 L=3, S=1, J=2

-2 -1 0 1 2 L=3, S=3/2, J=3/2

Giroud/magnetisme.MPA2000/C2 Chapitre 2 Magnétisme Atomes page 3

-2 -1 0 1 2 L=2, S=2, J=0

-2 -1 0 1 2 L=0, S=5/2, J=5/2 L=0, S max pour couche demi-pleine

couche > moitié pleine: L=|∑ llll |, S=|∑s| et J=|L+S|

-2 -1 0 1 2 L=2, S=4, J=6

-2 -1 0 1 2 L=3, S=3/2, J=9/2 moment total J max

-2 -1 0 1 2 L=3, S=2, J=5

-2 -1 0 1 2 L=2, S=1/2, J=5/2

-2 -1 0 1 2L=0, S=0, J=0 couche pleine ⇒ MOMENTS NULS

Cette série correspondrait aux électrons "d" des atomes ou ions de la famille "métaux detransition", comprenant en particulier les métaux ferreux, les plus courants dans les applications.On traite exactement de même une couche d'électrons "f" (famille des Terres Rares ou"lanthanides" dans le tableau de Mendéleiev) c'est-à-dire L=3, avec cette fois 2x7 électrons demoment orbital ±3, ±2, ±1, 0, et de spin ±1/2 → à faire en exercice !

Moment magnétique total de l'atome

En MQ, "on" montre que le moment magnétique µ J est relié au moment cinétique J par :

µ J = g

J J µ

B

où g J = 1+

J(J+1) –L(L+1) +S(S+1)2 J (J+1) =

32 +

S (S+1) – L(L+1)2 J ( J + 1 )

g J est appelé facteur de Landé du niveau J.

On retrouve bien g J =1 pour un moment purement orbital (S=0, J=L), et g

J =2 pour un spin

(L=0, J=S). Le µ

J atomique le plus élevé est ≈ 10.6 µ B, pour Ho3+ et Dy3+, deux Terres Rares.

Si ces moments étaient tous alignés dans le solide, ils produiraient une induction de l'ordre de 3 T.

On néglige le moment magnétique du noyau : magnéton nucléaire µ

N= eh_

2m N

≈ 1

2000 µ B.

Remarque : le maximum du moment magnétique µ J ne correspond pas nécessairement au

maximum du moment orbital résultant L=|∑ l |, ni au maximum du moment résultant de spinS=|∑s|. On verra les conséquences sur le choix d'un matériau magnétique en vue d'uneapplication. Schématiquement : J maximal → aimantation élevée

L maximal → anisotropie plus importante cf fin chap.3

S maximal → favorise une température de Curie plus élevée= température au-dessus de laquelle les matériaux "ferromagnétiques"perdent leur aimantation, cf chapitre 3.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C2 Chapitre 2 Magnétisme Atomes page 4

Limites de validité des règles de Hund :elles peuvent être mises en défaut :• dans un matériau où la présence d'électrons d'atomes voisins de la maille cristalline perturbe lesorbites des électrons de l'atome considéré. On verra que cet effet est significatif dans des métauxcomme Fe, Ni, Co,... = métaux "3d", très courants dans les applications → chapitre 3.• dans les atomes de grand numéro atomique Z. Le couplage spin-orbite devient alors tellement fort

qu'il perturbe la combinaison L=|∑l | et S=|∑s| , pour imposer des états de j=l +s différents desrègles de Hund. Concerne un peu la fin de la série des Terres Rares, et surtout les actinides Z≥89(éléments radioactifs sans application pratique du point de vue du magnétisme).

Suceptibilité paramagnétique et loi de Curie

Pour un grand nombre d'atomes, on va devoir considérer le moment résultant MOYEN. Lamoyenne résulte de l'équilibre statistique entre 2 tendances contradictoires :

- un moment µ J tend à s'aligner sur B,

- mais l'agitation thermique désordonne cet alignement...

Aimantation moyenne :

chaque moment µ J peut avoir une projection de J sur B variant entre j=–J et j=+J par pas entiers

(MQ). A chacune de ces valeurs est associée une énergie "Zeeman" ε j = – (g

J j µ

B).B

correpondant à l'aignement de ce moment sur B (idem cas classique). Cet état "j" sera peuplé avecune probabilité p(j) donnée par une exponentielle d'activation thermique (Boltzmann et sa constante

k B =1.38 10

- 2 3 J/K). On peut en déduire la moyenne :

M = NV <µ

J> =

NV ∑

j=–J

+J

p(j) g J j µ

B , où p(j) = C. exp [ –

(–g J j µ

B).B

k BT

]

La constante C est déterminée en normant la probabilité p(j) c'est-à-dire en faisant ∑p(j) = 1,

d'où C–1 = ∑

j=–J

+J

exp(–ε j / k

BT) et M =

NV ∑

j=–J

+J

C. exp(–ε

j / k BT)

"On" reconnait les termes de séries géométriques de raison r =exp ( g

J µ

BB

k BT

), et on achève le

calcul en réarrangeant la somme 1–r2J+1

1–r en fonction de th ou coth (ça traîne dans tous les

bouquins, cf Ashcroft, Kittel, Brissonneau ou autre). Résultat :

M = NV µ

J . BBBB

J( µ

JB

k BT

)

où la fonction de Brillouin B J (x) =

2J+12J coth (

2J+12J x ) –

12J coth (

x2J ).

La figure suivante représente B J (x) pour quelques valeurs de J, entre J=1/2, la plus petite valeur

non nulle possible, et J=8, la valeur la plus élevée parmi les éléments disponibles couramment (ionholmium Ho3+, dans la série des Terres Rares).

Giroud/magnetisme.MPA2000/C2 Chapitre 2 Magnétisme Atomes page 5

A noter : pente B J (x) ≈

J+13J x à l'origine, et B

J (x) → 1 dès que x dépasse nettement 1. La

fonction de Langevin est la limite des B J (x) quand J>>1 : L(x)= coth(x) – 1/x.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10

fonct

ion d

e B

rillo

uin

BJ(

x)

x = µJB / kB T

B1 / 2B3 / 2 B6

B8 fonction de Langevin=B ∞J croissants

Cas limite très important : loi de Curie

Dans la pratique, µ JB / k

BT sera souvent <<1. Même pour B≈2T, ce qui correspond à la

saturation d'un aimant à base de fer, à l'ambiante T=300K ou k BT=4 10

-21 J ⇒

µ JB

k BT

est de

l'ordre de 10-2 ⇒ on peut approximer la fonction de Brillouin par sa tangente à l'origine :

M ≈ NV µ

J . (

J+13J

µ JB

k BT

) ≈ NV

J+13J

µ2Jµ

o

k BT

. H , en supposant B≈µ oH (i.e. M<<H)

On voit que M est linéaire en H, d'où par définition de la suceptibilité (M=χH) :

χ = ( NV

J+13J

µ2J µ

o

k BT

) 1T

Ce dernier résultat (suceptibilité en 1/T) constitue la loi de Curie.

On exprime habituellement la loi de Curie en fonction du "moment effectif" µ eff :

χ = ( µ

o

k B

NV

µ2ef f3 )

1T =

CT avec bien sûr µ

2eff = g

2J J (J+1) µ

2B

Le préfacteur C est appelé constante de Curie du matériau (dimension d'une température). µ

2eff3

serait, en physique classique, la moyenne de

µ

eff→ 2

projeté sur l'axe de mesure pour un vecteur

µ eff→ orienté aléatoirement (1/3 = moyenne de cos2θ à 3 dimensions).

Giroud/magnetisme.MPA2000/C2 Chapitre 2 Magnétisme Atomes page 6

Ordre de gandeur :

C = µ

o

k B

NV

µ2eff3 ≈ typiquement quelques 0.1K, d'où χ ≈ quelques 10

-3 à T ambiante. L'effet

d'alignement des moments est donc peu efficace ! C'est aussi ce qu'on constate en examinant lafonction de Brillouin : pour s'approcher raisonnablement de l'asymptote (i.e. de la saturation de

l'aimantation), il faut que µ

JB

k BT

devienne ≈ ou >1, ce qui nécessite soit des B gigantesques qu'on

ne peut pas produire en pratique, soit des T très basses → se méfier des matériauxparamagnétiques dans les dispositifs cryogéniques sensibles aux perturbations magnétiques !

Cas des très petits grains magnétiques : le "superparamagnétisme"

Même lorsqu'un matériau est ferromagnétique (ses µ J tous alignés, cf chap.3), l'agitation

thermique peut affecter l'aimantation résultante d'une population de grains fins. En effet, si lesgrains sont suffisamment petits (on précisera cette notion au chap.4), on peut les considérer enquelque sorte comme des "atomes géants" et appliquer le même raisonnement qu'aux atomes ⇒l'aimantation totale devrait suivre une loi de Curie, le moment du grain remplaçant le momentatomique. On parle alors de "superparamagnétisme".

L'agitation thermique conduit à une réduction de l'aimantation totale en retournant aléatoirement lemoment magnétique des grains au cours du temps, pour tendre vers la loi de Curie à l'équilibrethermodynamique. Le superparamagnétisme peut constituer une limite physique sur les plus petitestailles de grains de mémoire magnétique.

Retournements d'aimantation thermiquement activés :

L'énergie nécessaire pour retourner l'aimantation d'un grain dépend de l'anistropie cristalline dumatériau et de la forme du grain (chap.3+4). Pour un grain uniformément aimanté de volume V,

cette énergie est µ oMVH

coù H

cest le champ nécessaire pour retourner l'aimantation de ce grain.

La probabilité que l'agitation thermique retourne un grain suit une loi d'Arrhénius :

en moyenne <M(t)> = M(0). exp – (t

τ ) ,

constante de temps caractéristique τ = τ o exp(

µ oMVH

c

2k BT

) en champ nul

Le temps τ caractérise l'échelle de temps sur laquelle l'enregistrement magnétique s'effacerait sousl'effet de l'agitation thermique. Statistiquement ≈35% des grains ont retourné leur M au bout de cetemps τ. Au départ, il suffit de t≈1% de τ pour que 1% des M aient tourné.

Application à l'enregistrement très haute densité ou "UHD" ?

pour les grains actuellement disponibles sur le marché : µ oM≈1T, µ

oH

c≈0.2T (exemple d'un

disque avec dépôt orienté d'alliage base cobalt, V≈entre 3.10–23 et 5.10–22m3). Des expériences

sur de petits agrégats magnétiques, et des modèles théoriques, donnent τ o de l'ordre de 1ns. A T

ambiante, le volume correspondant à τ≈1s en champ nul serait V≈1.1 10–24m3, soit un cube de

Giroud/magnetisme.MPA2000/C2 Chapitre 2 Magnétisme Atomes page 7

(10 nm)3. Grâce aux vertus de la fonction exponentielle, il suffit de 2V pour que τ≈19 mois, et

2.2 V pour τ≈ 1 siècle. Mais attention! Ne pas oublier le champ produit par les grains voisins,

surtout s'ils sont serrés. τ baisse tout aussi exponentiellement si un grain est soumis à un champ

inverse –H qui voudrait retourner M. Si on remplace H c par H

c–H dans l'exponentielle, ce τ≈1

siècle retomberait à 1s si le grain est soumis à H=–0.55H c. Si on veut que ces grains supportent

–0.9H c et aient τ ≥ quelques 10 ans, il faut VVVV > (0.03µm)3.

En pratique, on est confrontés à d'autres limitations avant celle du "superparamagnétisme" :

• l'effacement progressif des bandes ou disquettes qu'on constate parfois à l'usage n'est pasforcément thermique. Il est dû à la corrosion : chimique, ou abrasion par les têtes de lecture! NB:quelle que soit la technique utilisée, la "hauteur de vol" entre tête et support d'enregistrement nedoit jamais être >> distance entre les grains ou "bits d'information".

• les plus petits composants fabriqués par lithogravure font actuellement ≈0.2 µm de large enproduction industrielle. A ces échelles, c'est le rapport signal / bruit des têtes de lecture (etaccessoirement le mécanisme de positionnement...) qui limite la densité des mémoires magnétiquesMROM. Les performances "extrêmes" (stade Recherche & Développement) correspondentactuellement à ≈300Mbits/cm2 avec les têtes inductives ou ≈5Gbits/cm2 avec les têtesMagnétoRésistives (MRH). Au stade "production" : on commercialise des disques, avec lecture"MRH", de capacité ≈ 500Mbits/cm2, soit ≈ 0.1µmx2µm par bit ! Données Nov. 99.Les têtes magnéto-optiques visent ≈ la même gamme : résolution limitée par la longueur d'ondeet/ou par la densité de puissance du faisceau de lecture.

Comportement d'un atome soumis à un champ magnétique

Le but de toute cette fin de chapitre, assez théorique, est de justifier qu'on n'a rien oubliéd'important dans notre description du magnétisme d'une assemblée d'atomes "sans interaction".En étudiant l'énergie d'un atome soumis à un champ magnétique, on peut montrer que le champmagnétique ne produit qu'une perturbation modeste à l'énergie des électrons de l'atome. Cetteperturbation conduit à l'apparition d'un petit moment magnétique induit sur chaque atome, et d'unepetite suceptibilité diamagnétique (négative!), souvent négligeable dans la plupart des applications.On va voir quels matériaux sont concernés, et on ne s'y intéressera plus par la suite.

A l'échelle d'un atome "isolé" :

• on n'a pas besoin de distinguer B→

= µ oH→

= µ oH→

a.

• on peut considérer tout champ appliqué comme uniforme, c'est-à-dire ne variant pas sur unedistance ≈ dimension atomique.

Ce qui complique, c'est qu' on est obligés de tenir compte du caractère quantique des électrons. Le

hamiltonien des Z e– de l'atome s'écrit (∑ représentant la somme sur les Z e

– de l'atome) :

H = H NM + ∑

[ p→

–e A→

]2

2m – µ→

s . B→

; traduction :

• H NM est un fourre-tout "Non Magnétique" qui contient tout ce qui ne dépend pas du champ

magnétique. Toutes les énergies incluses dans ce terme (électrostatique, spin-orbite...) déterminentle remplissage des couches, donc interviennent indirectement en imposant le "bon" moment

Giroud/magnetisme.MPA2000/C2 Chapitre 2 Magnétisme Atomes page 8

magnétique µ J (cf règles de Hund). Mais ensuite elles n'interviendront plus explicitement dans les

propriétés magnétiques de l'atome (justification: cf § "ordres de grandeurs" un peu plus loin).

• le terme – µ→

s . B→

, appelé énergie Zeeman, décrit l'énergie potentielle d'un moment "rigide" (le

moment de spin µ→

s est fixé) qui tend à s'aligner sur le champ B→

(idem boussole classique).

• [ p→

–e A→

]2

2m est l'expression généralisée d'une énergie cinétique pour une particule quantique en

présence d'un potentiel vecteur magnétique. On va voir que le moment magnétique orbital est cachédans ce terme.

A l'échelle atomique, B→

uniforme ⇒ on peut prendre A→

= – 12 r→

x B→

(vérifier que rot A→

redonne

bien B→

). On peut alors "simplifier" l'expression du hamiltonien :

H = H NM + ∑

p→2

2m +

e2m p

→.( r→

x B→

) + e2

8m ( r→

x B→

)2 – µ

→ s . B

on utilise les règles sur les doubles produits de vecteurs pour faire apparaître l→

= r→

x p→

H = H N M + ∑

p→2

2m + ∑

e2m B

→.( p→

x r→

) + e2

8m r2⊥

.B2 – gµ

B s→

. B→

, où r ⊥

est la

composante de r ⊥ B,

soit enfin HHHH =H NM + ∑

p→2

2m – ∑ ( llll

→ + g s

→)µ

B . B

→ + B

2 ∑

e2

8m r2⊥

On voit apparaître les différentes contributions à l'énergie sous une forme plus explicite :

•H NM + ∑

p→2

2m ne dépend pas du champ magnétique, on l'oublie.

• –[∑ ( l→

+ g s→

)µ B]. B

→ est le terme "Zeeman" pour le moment total ∑(l

→+g s

→) µ

B = g

JJ µ

B des

règles de Hund.C'est l'énergie associée à l'alignement du moment total µ J // B.

• B2 ∑

e2

8m r2 est le terme de Larmor, qui traduit la dépendance en champ de l'énergie cinétique.

Image simple : les orbites sont perturbées par la force de Lorentz. Plus rigoureusement en MQ :précession des moments orbitaux ⇒ modification du moment orbital moyen.

Les contributions "magnétiques" à l'énergie de l'atome

Ordres de grandeur• µ

B≈10

-23 Am

2 ou J/T ⇒ énergie d'alignement µ

BB ≈10

-22 J pour B≈10T, ce qui est déjà

une induction énorme. Pour info, record du monde en champ continu ≈32T au centre Ø50mmd'un électroaimant "hybride" (càd combinant électroaimant "normal" + bobine supraconductrice),qui consomme 10 MW avec son circuit refroidissement !

Giroud/magnetisme.MPA2000/C2 Chapitre 2 Magnétisme Atomes page 9

L'énergie "magnétique" ne sera donc, sauf cas très particulier, qu'une "perturbation" ne

déterminant pas la structure atomique donc µ J . En effet :

- énergies de dissociation d'une molécule pouvant atteindre ≈0.1eV≈10-20 J

- énergie de cohésion dans un cristal souvent ≈10-20 J ≈ k BT

fusion (pour fusion vers 1000 K)

- énergie d'ionisation d'un atome typiquement ≈ eV à ≈keV (RX)

Conséquence importante : on ne pourra en général pas augmenter de manière significative lemoment magnétique d'un atome en appliquant un champ. Au mieux, on cherchera à aligner lesmoments atomiques si on veut disposer d'un matériau aimanté.

• dans cette énergie magnétique, la contribution "Larmor" sera ≈négligeable devant "Zeeman" dès

que le moment résultant µ J de l'atome est non nul. En effet, µ

J ≈ quelques µ

B, donc pour des

valeurs réalistes (B≈1T, rayon atomique ≈0.3nm, Z=30 e- ), le terme Zeeman est typiquement 103

à 104 fois plus fort que le terme Larmor dans l'énergie.

Aspect qualitatif

• le terme "Larmor" est proportionnel au carré du champ, avec un préfacteur positif :→ l'application de B ne peut qu'augmenter l'énergie

→ classiquement la densité d'énergie à l'équilibre est ∫

–MdB

a donc si l'énergie est en +B

2a ,

c'est que l'aimantation – ∂H

∂B a

est linéaire en B a et de sens opposé à B

a .

⇒ moment atomique induit ∝ (– B a). On parle de DIAMAGNETISME et on peut définir

immédiatement à partir des propriétés d'un atome la suceptibilité χ = MH ≈

M

H a

qui sera négative.

• le terme Zeeman, traduisant la tendance à l'alignement sur B, est proportionnel à –B. C'est donctout le contraire : le moment tendra à se mettre dans le sens de B ; on parle dePARAMAGNETISME. Mais on ne peut pas définir de suceptibilité atomique, le moment étant et

restant µ J , et non pas proportionnel au champ. C'est la moyenne sur un grand nombre d'atomes

qui conduit à la suceptibilité paramagnétique et à la loi de Curie, vue au § précédent.

Suceptibilité diamagnétique de Larmor

Dérive du terme B2 ∑ e28m r2 de l'énergieH d'un atome. Pour une population de N atomes

"indépendants" par unité de volume V, la suceptibilité sera χ = ∂<M>

∂H a

= – NV

∂2<H>

µ o∂H

2a

(toujours en

supposant que B→≈µ

oH→≈µ

oH→

a).On admettra que la moyenne <∑ e28m r2> est Z

e212m <r

2⊥

>, où

Z=numéro atomique et <r2⊥

> = rayon carré moyen des orbites projetées sur le plan ⊥ B.

D'où la suceptibilité diamagnétique dite de Larmor (M/H sans dimension) :

χ = – NV µ

o

Ze26m <r

2⊥

>

Giroud/magnetisme.MPA2000/C2 Chapitre 2 Magnétisme Atomes page 10

Ordre de grandeur: NV <r

2⊥

>≈ 1

qq Å , µ o=4 π 10-7H/m, e=1.602 10-19C, m=9.11 10-31kg,

d'où par exemple χ≈ –6 10-5 (Li, Z=3) à –1.6 10

-3 (Au, Z=79). Ces valeurs sont en accord avec

l'expérience, et |χ|<<1 justifie a posteriori l'approximation B≈µ oH≈µ

oH

a.

Matériaux diamagnétiques :

cette très faible suceptibilité négative sera la seule contribution si on a affaire à des atomes ouions à couches pleines donc de moment résultant J=0. On utilisera ces matériauxdiamagnétiques, souvent dits "non magnétiques" (|χ|<<1, M très faible à toute température),quand on voudra éviter d'avoir une aimantation parasite dans une partie sensible d'un montage.

Quelques exemples :

• gaz rares He,Ne, Ar, Kr, Xe, Rn (resp. Z=2,10,18,36,54,86). Intérêt pratique très limité...• solides fortement ioniques comme le sel de cuisine NaCl : Cl– déshabille complètement Na+ deson e– de valence, et le cristal est formé de 2 ions à couches pleines. Idem pour :

Al 2O

3 (Al

+32 O

–23 ), alumine sous forme céramique (oxyde réfractaire) ; ou saphir sous forme

cristalline, transparent dans l'optique. Isolant électrique, bonne conductivité thermique à bassetempérature, assez bonne stabilité chimique.

MgO = Mg2+ O

2– , parfois utilisé comme diélectrique à faibles pertes en Hyper-Fréquences.

Inconvénient : matériau hygroscopique dont les performances se dégradent à l'air humide.

SiO 2, silice sous forme amorphe (le verre des vitres) ; quartz sous forme cristalline, souvent

utilisé pour ses propriétés piézoélectriques (oscillateurs, capteurs). Oxyde isolant, peu coûteux ;compatibilité avec Si : sert à isoler différents niveaux dans l'architecture de circuits intégrés /silicium.

• cas des semiconducteurs : les orbites des e– de conduction "localisés" autour d'une impuretéchargée (les atomes de dopant) donnent une contribution exactement analogue, appelée suceptibilitéde Landau. L'orbite autour d'un atome de dopant est nettement plus étendue qu'une orbiteatomique, mais la densité de porteurs est très faible : au total, les semiconducteurs ont égalementune faible suceptibilité diamagnétique (sauf bien sûr si dopants = atomes portant un momentmagnétique → faible suceptibilité paramagnétique).

En résumé

Sauf cas très particulier, le champ magnétique modifie très peu le moment magnétique d'unatome : faible χ diamagnétique "de Larmor" ( | |χ ≈ 10-5 à 10-3). Les règles de Hund permettentde prévoir le moment magnétique atomique : 0 pour les atomes ou ions à couche pleine, à max.

environ 11 µ B dans la série des Terres Rares. Si chaque atome d'un solide porte un moment de

quelques µ B, l'alignement de l'ensemble des moments produirait une induction importante (jusque

vers ≈2 T pour le fer, et ≈3 T pour ces Terres Rares) mais l'alignement est difficile à obtenir pourune population d'atomes "indépendants" à cause de l'agitation thermique. χ paramagnétique estinversement proportionnelle à la température : loi de Curie. Pour obtenir des aimants, il faudraimpérativement des interactions à l'échelle moléculaire, qui imposeront un alignement "spontané"des moments magnétiques.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 1

SOLIDES FERROMAGNETIQUESINTERACTIONS, LOI DE CURIE-WEISS, ANISOTROPIE

On ne s'intéresse plus qu'aux atomes à couche incomplète, de µ J ≠ 0, puisque les autres n'ont

qu'un moment magnétique induit trop faible pour être intéressant dans les applications usuelles. Onva voir comment les interactions dites "d'échange" entre ces moments peuvent produire unalignement spontané des moments atomiques, d'où les matériaux "magnétiques" et les aimants. Onexaminera aussi une autre propriété physique due aux interactions entre atomes voisins dans uncristal : l'anisotropie magnétique, qui a des conséquences importantes pour les applications enempêchant (ou non) le moment magnétique de tourner librement par rapport aux axes cristallins.

Interactions entre moments magnétiques

Deux façons d'interagir pour les électrons porteurs du moment magnétique :

• interaction dipolaire : cf chapitre 1 , schéma des lignes de champ d'un dipôle

un µ→ J crée B→=

µ o

4π.r3

( 3( µ→ J . u→) u→– µ→

J ) , qui agit sur un µ→

J voisin.

Pour 2 atomes situés à r de distance, portant chacun p.µ B, l'énergie dipolaire est :

E dip = – µ→

J . B→ =

µ o

4π ( –3 cos2θ + 1 ) p2µ

2B

r3 , où θ = angle entre µ→

J et u→= r→ /r

soit E dip ≈

µ o

4π p2µ

2B

r3 à un facteur 2 près, selon la valeur de θ .

Ordre de grandeur : pour r≈0.2 nm et p=10 (c'est à peu près le maximum qu'on peut trouver en

passant en revue le tableau de Mendéléiev, cf règles de Hund), E dip≈10 -23 J. C'est faible : dans

cet exemple si on compare avec une énergie thermique, k BT devient ≥ E

dip dès que T ≥1K.

• interaction d'échange

Origine physique : principe de Pauli ( d'où découle aussi le modèle en couches de l'atome )(pb fondamental de symétrie des fonctions d'onde de particules de spin 1/2 entier en Méca. Q.).

V E R B

O T

E N

Autrement dit : «ça coûterait une énergie infinie de mettre 2 électrons identiques dans le mêmeétat», donc c'est exclus.

Quand des atomes distincts se rapprochent pour former une molécule ou un solide, il y a une zonede recouvrement des densités électroniques. L'effet du principe de Pauli est pour ainsi dire«atténué» car les états des 2 atomes voisins sont seulement «en partie identiques». Conséquence :

plus favorable que

énergie d’échangeE – E →

C'est ce qu'on appelle l' interaction d'échange.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 2

L'énergie d'échange décroît très rapidement, exponentiellement avec la distance interatomique ⇒on se limite en général aux premiers voisins dans la description de l'échange.

Ordre de grandeur : E éch est une fraction plus ou moins importante de l'énergie de liaison

interatomique. Valeurs de ≤ 10 -25J à ≈10 -20J par atome. On a accès à cette énergie par desméthodes spectroscopiques, ou... par les propriétés magnétiques. En effet, en appliquant un petitchamp appliqué constant, et en mesurant M(T), on détectera le passage d'un état "désordonné"

(spins voisins désalignés par l'agitation thermique, M résultante faible) si k BT domine par rapport

à E éch , à un état "ordonné" (spins alignés de proche en proche, M résultante importante) si au

contraire k BT < ou << E

éch .

Effet de l'interaction d'échange

• "échange direct" : c'est le schéma ci-dessus. Privilégie un alignement antiparallèle des momentsvoisins ↑↓ ⇒ antiferromagnétisme.• "échange indirect" : même principe mais par l'intermédiaire d'un électron de liaison à cheval surles 2 sites. Peut privilégier un alignement parallèle ↑↑ ⇒ ferromagnétisme, cf schéma ci-dessous :

C'est ce qui se passe par exemple dans l'oxyde de chrome (Cr / O / Cr) ou dans le fer métallique(Fe+3/ e– conduction / Fe+3).

Conséquence sur les molécules covalentes :

à cause de l'échange direct, les électrons d'une liaison covalente se mettront par paires de spinanti // ⇒ les composés fortement covalents, dans lesquels l'énergie de liaison et l'énergied'échange direct sont importantes, comporteront des "orbitales moléculaires" de spin résultantnul : situation analogue aux atomes à couches complètes. Ces matériaux ne seront donc "pasmagnétiques", càd auront une petite suceptibilité diamagnétique (chap.2).• Matériaux concernés : la plupart des molécules organiques et polymères (tissus, plastiques,résines, colles).

Description de l' interaction d' échange : "champ moléculaire"

Le mécanisme d'échange privilégie un alignement // ou anti// entre spins voisins. L'énergie

d'échange entre 2 spins S→

1 et S→

1 peut donc se mettre sous la forme :

E éch =

12 ( E

↑↑

– E ↑↓

) = – J 12 S→

1. S→ 2 = – J S→

1. S→

2

(facteur 1/2 pour ne pas compter 2 fois chacun des 2 spins de la paire quand on fera le bilan total)

Les moments magnétiques de spins sont mis en unités µ B càd ici S = entier ou 1/2 entier.J est une

énergie, souvent appelée "intégrale d'échange" (car elle se calcule en évaluant le recouvrement desdensités électroniques càd l'intégrale d'un produit de fonctions d'onde).

Signe : énergie minimale pour des spins // si J positive = cas ferro ↑↑

" " " anti// si J négative = antiferro ↑↓

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 3

Pour un atome de spin S→ entouré de z premiers voisins de spin S→ i , l'énergie d'échange sera

E éch = ∑

i voisins

z (– J S→ . S→

i ) = – S→ ∑

i voisins

z ( J S→

i )

Tout se passe comme si le moment du spin considéré voyait un "champ" ∑i voisins

z ( J S→

i ) qui tend à

l'aligner par rapport à ses voisins. Par analogie avec l'énergie d'alignement – µ→ . B→ d'un moment

sur un champ, on peut définir le "champ d'échange" B→ éch qui donnerait la même énergie

s'il était appliqué au moment magnétique µ J

→ d'un atome :

E éch = – µ

J

→. B→

éch, soit B→ éch =

J S

µ J

∑ i voisins

z ( S→

i )

Ce B→

éch n'existe pas en tant que champ électromagnétique. Mais il s'agit d'une façon commode

de décrire la façon dont l'énergie d'échange est reliée à S→, et de traduire la tendance à l'alignementimposée par l'échange (// si J positive, anti// si J négative). On l'appelle "c h a m pmoléculaire", car il décrit l'interaction entre atomes voisins d'une molécule ou d'un solide.

• en résumé :

entre deux moments voisins l'interaction d'échange met en jeu une énergie E éch =

12 (E

↑↑

– E ↑↓

).

Si un moment a z voisins équivalents, son énergie d'échange E éch pourra s'écrire :

– µ→ J . B→

éch = – S→ ∑

i voisins

( J S→

i ) où J et B

éch > 0 dans le cas Ferro et < 0 si AntiFerro.

Aimantation spontanée et loi de Curie-Weiss

Ce "champ d'échange" ou "champ moléculaire" tend à aligner les spins les uns // aux autres mêmesans champ appliqué. Mais reste la tendance au désordre apportée par l'agitation thermique. Ondoit faire la même démarche que celle qui nous avait donné la loi de Curie : évaluer l'aimantationmoyenne d'une population de moments atomiques en interaction. On évalue cette moyenne pour unéquilibre statistique, avec les exponentielles de Boltzmann. On n'a pas besoin de tout réécrire : si

on s'est donné la peine d'introduire B→ éch , c'est pour pouvoir réutiliser les résultats

"paramagnétisme et loi de Curie".

Application de la notion de champ moléculaire

par définition du champ d'échange, un moment atomique µ→

aura une énergie magnétique

– µ→

.( B→

+ B→

éch ). On peut reconduire les résultats du chap.2 en remplaçant directement B par

(B+B éch), donc M =

NV < µ

J > =

NV µ

J . B

J [ µ

J (B+B

éch)

k BT

]

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 4

Notation : µ J désigne le module du moment atomique, < µ

J > la moyenne statistique du moment

projeté sur B, et B J la fonction de Brillouin (cf chap.2).

Difficulté "cachée": B éch dépend lui-même des orientations des spins voisins. Mais on pourra se

contenter d'approximer ce champ par sa valeur moyenne à l'équilibre :

µ JB

éch ≈ µ

J<B

éch> = z J S2

<µ J>

µ J

(on ne traite ici que l'exemple de z voisins identiques,

sinon, évidemment, il faut détailler la somme des ≠ contributions), d'où :

< µ J > ≈ µ

J . B

J [ µ

JB

k BT

+ z J S2 <µ

J>

k BT µ

J

] ⇒ M= NV µ

J .BBBB

J [ µ

JB

k BT

+ z JJJJ S 2

k BT

M

NVµ

J

]

On rencontre aussi la notation suivante pour le champ moléculaire, en introduisant une constante

sans dimension λ éch définie par B

éch = λ

échµ

oM,

autrement dit λ

éch = z JJJJ S2

µ o

NV µ

2J

= E

éch

µ o

NVµ

2J

⇒ M = NV µ

J . B

J [ µ

J (B+λ

échµ

oM)

k BT

]

Pour dégager une relation entre M et H qui permettra de caractériser le milieu et sa suceptibilité, on

terminera en réarrangeant les termes contenant M dans l'argument de B J :

B+λ échµ

oM = µ

o(H+M)+λ

échµ

oM = µ

oH + (1+λ

éch) µ

oM = µ

oH + λ µ

oM.

Signification physique de λ : le "champ moléculaire" λ µ

oM inclut maintenant aussi bien

l'effet de l'interaction d'échange que l'interaction dipolaire entre moments voisins.

Aimantation spontanée et température de Curie

On utilise la variable sans dimension x = µ

J µ

o(H+λM)

k BT

= rapport énergie magnétique / agitation

thermique, pour arriver à une équation réduite qui peut se résoudre numériquement ou

graphiquement : voir graphe B J (x) au chapitre précédent §"loi de Curie"

( x k BT – µ

JoH ) = λ µ

o

NVµ

2J B

J (x) , ou encore : x — µ

J. µ

oH

k BT

= λ µ

o

NVµ

2J

k BT

BBBB J (x)

Même en champ nul H=0, on remarque qu'il existe une solution M≠0 dès que la température est

suffisamment basse (pente k BT

λ µ o

NVµ

2J

faible), sous réserve que λ soit positive (cas ferro

JJJJ >0). On dit qu'il y a apparition d'une aimantation spontanée M

s en-dessous de Θ

C =température de Curie. C'est une manifestation directe du "champ d'échange" qui aligne les

moments voisins entre eux. En pratique, cette aimantation spontanée en-dessous de Θ

C se mesure

en extrapolant la mesure de M(H) à H→ 0, cf TP. M

s croît à partir de 0 quand on franchit le point

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 5

de Curie, et à mesure que l'agitation thermique devient de plus en plus faible quand T<<Θ C, cette

aimantation spontanée → aimantation à saturation (moments tous bien alignés).

En se souvenant de la pente initiale B J (x) ≈

J+13J x, on trouve cette température de Curie Θ

C = la

plus haute pour laquelle il y a encore une solution non nulle :

k BΘ

C = λ

J+13J

NV µ

o µ

2J , où λ = (

E éch

µ o

NVµ

2J

+ 1 )

Dès que l'énergie d'échange est significative, c'est-à-dire dès qu'elle dépasse sensiblement

l'énergie d'interaction dipolaire (cf début du chapitre), on approximera λ=(λ éch+1)≈λ

éch d'où :

k BΘ

C ≈

13 z J S

2(J+1)J =

13 z JJJJ S2

µ2ef f

µ2J

ou encore k BΘ

C ≈

13 µ

JB

éch

µ2eff

µ2J

où on a repris l'expression du moment effectif (chap.2) : µ2eff = g

2J J (J+1) µ

2B =

J+1J µ

2J

Quelques exemples de Θ C : Co ≈1380K, Fe et SmCo

5 ≈1000K, Ni ≈900K, Nd

2Fe

14B ≈600K,

ferrites XFe 2O

4 (X= autre métal de transition comme Mn, Ni, Zn, Cr, ...) typiquement ≈500-

700K, Gd ≈300K, Dy et EuO ≈80K, certains composés organométalliques (dont l'hémoglobine)

Θ C ≤1K. On peut modifier Θ

C en jouant sur la composition d'alliages ou de composés. Les

températures de Curie sont souvent plus hautes dans les Métaux de Transition que dans les Terres

Rares car les e– 3d, "moins localisés" que les 4f, interagissent davantage entre voisins.

Loi de Curie-Weiss

Même démarche que pour la loi de Curie, dans la limite haute température (T > ou >> Θ C ) :

si l'argument de B J est petit devant 1, on approxime B

J (x) ≈ J+13J x d'où

M ≈ NV

µ2eff

3k B

µ o

(H+λM)T = C

(H+λM)T

on retrouve la constante de Curie C = NV

µ2ef f

3 k B

µ o , où µ

2eff = g

2J J (J+1) µ

2B.

En regroupant les termes en M, on a M .(T–λC) = CH, soit un comportement linéaire

M = χ H , avec χ = C

T–Θ , où Θ =λ C

Ce dernier résultat constitue la loi de Curie-Weiss.

Attention, Θ =λ C a le signe de J :

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 6

• pour un ferromagnétique : alignement spontané //, J et λ > 0

Θ >0 au dénominateur. Il s'agit de la température de Curie Θ C , et χ =

C

T–Θ

C

. Au-dessus de la

température de Curie, le comportement est similaire aux matériaux paramagnétiques. On parle decomportement paramagnétique : il n'y a pas d'aimantation en champ nul, mais tendance àl'alignement des moments en présence d'un champ appliqué, d'autant plus marquée que latempérature s'abaisse. En-dessous de la température de Curie, il y a une aimantation spontanée et lematériau n'est plus linéaire. On s'intéressera surtout à ces matériaux pour les applications.

• pour un antiferromagnétique : alignement spontané anti//, J et λ < 0

Θ <0 au dénominateur. On note Θ

N=–Θ la température correspondante, dite température de

Néel, et χ = C

T+Θ

N

. On retrouve un "comportement paramagnétique" au-dessus de Θ N. En-

dessous de cette température de Néel on ne voit pas apparaître d'aimantation spontanée moyennecar l'alignement est antiferro, mais il y a un alignement spontané alterné anti// (cf diffraction

neutron). L'aimantation n'est pas linéaire en champ à T<Θ N, mais contrairement aux ferros, elle

est faible en champ faible. Les antiferros ont peu d'applications pratiques.

NB: il existe aussi des matériaux ferrimagnétiques, avec alignement alterné anti// mais desmoments atomiques non compensés sur différents sites cristallins de la maille ↑↓ ; il y a alors uneaimantation spontanée ≠0 en-dessous de Θ, mais en général plus faible que celle d'un ferro. Lesferrites, oxydes souvent utilisées dans les applications en alternatif haute fréquence ou dans lesaimants bon marché, sont de ce type.

• On trace souvent 1 / χ en fonction de T pour déterminer les paramètres C et Θ d'un matériau

(graphe de gauche pour un ferro, de droite pour un antiferro) → cf TP. Le graphe du milieu montrel'allure typique de l'aimantation spontanée d'un ferromagnétique en fonction de la température.

1/χ

TθN–θN

An

tiF

erro pente 1/C

00.20 .4

0 .6

0 .8

11 .2

0 0 .20 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2

M/M

s

T/T Curie

ferro

T

1/χ

Ferropente 1/C

θc

paramagn.

Anisotropie cristalline (ou magnétocristalline)

Origine physique :

"champ cristallin" = vrai champ, mais électrostatique et non magnétique. Il y a attraction desélectrons d'un atome par des ions positifs, ou répulsion par les orbitales électroniques voisines ⇒"déformation" des trajectoires électroniques donc du moment orbital. Il pourra exister desdirections ± favorables pour le moment orbital et donc pour l'aimantation.

Ce champ cristallin est plus important quand les orbites sont plus "étalées", donc sont plus prochesdes ions voisins. C'est d'autant plus le cas que le numéro de la couche et son L sont bas : lechamp cristallin est important dans la série des métaux ferreux. Le spin est affecté seulementindirectement (donc faiblement, via couplage spin-orbite) par ce phénomène.

Importance pratique :c 'est un ingrédient essentiel pour toutes les applications des aimants "permanents".

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 7

Exemple d'un moteur à aimants permanent, dit moteur synchrone :

pôles du rotor(aimant permanen t

B tournant

Mpôles du stator(bobine électroaima n

arbre du mote u•

à cause du champ tournant B→

du stator, le moment magnétique M→ de l'aimant du rotor est soumis

à un couple Γ=M→ x B→. Si M est libre de s'orienter dans les cristallites de l'aimant, elle tourne et

rien ne se passe à l'extérieur. Par contre si M→ est "verrouillée" sur un axe privilégié parl'anisotropie cristalline, c'est l'aimant en bloc donc le rotor qui va tourner.

Effets de l'anisotropie cristalline

→ axe(s) de facile aimantationtoutes les directions ne sont pas équivalentes, certaines sont plus favorables (axes dits "de facileaimantation"), sous-entendu énergétiquement. Par définition, l'énergie d'anisotropie est ladifférence d'énergie entre les cas M // "axe facile" et M // "axe difficile".

→ réduction du moment orbitalla perturbation des trajectoires électroniques conduit à une espèce de précession du moment orbital :la trajectoire a du mal à rester dans un plan ⇒ en moyenne réduction du moment magnétiqueorbital.

La figure suivante illustre l'exemple simple d'une anisotropie uniaxiale (un seul axe "facile" priscomme axe θ=0, le plan perpendiculaire étant "difficile").

En première approximation, on a supposé E(θ) ≈ Cte + K A. sin2θ.

Justification : l'anisotropie vient d'une répulsion entre orbites électroniques voisines, et ladépendance angulaire des orbitales s'exprime avec des harmoniques sphériques = polynômes defonction trigo. Les puissances impaires sont éliminées (car –sinθ= sin(θ±π), or tourner M de π ⇔même orbite parcourue en sens inverse, cela ne doit pas avoir d'incidence sur l'énergiemagnétocristalline).

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

-1 0 1 2 3 4 5 6éner

gie

/ uni

té v

olum

e

angle M % axe du cristal (radians)

KA

axe facile :

θ= ± π/2

θ=π

axe difficile

θ=0

Si on note K Ala densité d'énergie d'anisotropie /unité volume, K

A a la dimension de µ

o H M. On

peut définir, toujours par analogie avec l'énergie d'alignement d'un moment sur un champ, une

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 8

échelle de champ caractéristique de l'anisotropie, ou "champ d'anisotropie" H A. Ce serait le

champ qui, appliqué à l'aimantation M, lui donnerait la même densité d'énergie K A.

Anisotropie : champ coercitif et cycle d'hystérésis

On va voir comment on peut caractériser expérimentalement l'anisotropie en mesurant M(H a) selon

l'orientation du champ qu'on applique. La densité d'énergie totale est : E = E(θ) – µ oM→ .H→

a.

On traite ici le cas simple d'un cristal avec anisotropie uniaxiale en E(θ) = Cte + K A. sin2θ.

Si on note θ l'angle entre M et l'axe facile et ϕ l'angle entre le champ appliqué et l'axe facile :

E = E(θ) – µ oM→ .H→

a= Cte + K

A. sin2θ – µ

oM

sH

a.cos(θ−ϕ) en supposant M uniforme

M→ est "spontanément" sur cet axe en l'absence de champ.

• cas H→

ale long de l'axe facile :

si on applique un champ H→

a//M→ et de même sens (ϕ=0), l'aimantation est déjà dans l'état le plus

favorable, rien ne change. Si on applique H→ a//M→ mais de sens opposé (ϕ=π), M→ va se renverser,

mais seulement si on dépasse le champ coercitif H

c (par définition du champ coercitif), à cause

de la barrière d'énergie d'anisotropie. On mesure le champ coercitif en cyclant, et enobservant à quel champ l'aimantation se renverse en passant par 0.

Valeur théorique du champ coercitif : on cherche le champ H c au-delà duquel la barrière =

maximum de E(θ) disparaît. Ce maximum est déterminé par l'existence d'un zéro de ∂E

∂θ :

∂E

∂θ = (2K

A.cosθ — µ

oM

sH

a).sinθ =0 ⇒ la barrière disparaît quand µ

oH

cM

s≥ 2K

A

- 2

-1.5

- 1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ddddeeee

nnnnssss iiii

tttt éééé dddd

'''' éééénnnn

eeeerrrr gggg

iiii eeee

θ / 2π

cas H perpendiculaire axe facile

pour 4 valeurs de champ croissant

entre 0 et H c o e r c

=position des minima

- 2

- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ddddeeee

nnnnssss iiii

tttt éééé dddd

'''' éééénnnn

eeeerrrr gggg

iiii eeee

4 valeurs de champ croissant entre

0 et -H c o e r c

cas H appliqué // axe facile

θ / 2π

• cas H→

a ⊥ axe facile ϕ=±π/2 ⇒ cos(θ−ϕ)=±sinθ

toujours à cause de l'anisotropie, M→

ne vas pas tout de suite se mettre // champ.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 9

Minimisation de l'énergie : ∂E

∂θ = 2 K

A. cosθ sinθ + µ

oM

sH

acosθ =0

Si µ oH

a>

2 K A

M s

= µ oH

A=champ d'anisotropie, il faut que cosθ=0, càd que M est venue se

mettre // champ (θ=ϕ=π/2). Mais tant que µ oH

a≤ µ

oH

A c'est pour sinθ=

µ oM

s

2K A

H a que l'énergie

est minimum. Progressivement, l'aimantation va s'écarter de l'axe facile et sa composante

(M s .sinθ) selon H

a augmente linéairement.

Si l'anisotropie E(θ) n'a pas une expression simple (selon la structure du cristal), même démarche.L'énergie se développe alors en polynôme de fonctions trigo (puissances paires), et on peut avoirdifférentes orientations favorables pour M.

• en résumé :

champ d'anisotropie µ oH

A= champ coercitif idéal µ

o H

c =

2 K A

M

s

et cycle "idéal" M(H) :

H

Ms

M

cas //axe faci

-Hc Hc

–Ms

cas ⊥ axe facil e

H

M

-HcHc

Ms

–Ms

NB: le cycle "idéal" est tracé en fonction de H (penser au champ démagnétisant si'il y a lieu).

Ordres de grandeur : dans les matériaux "réels" on observe des valeurs µ oH

c allant de ≈1µT à

≈2 ou 3T. Pour des matériaux où µ oM

s vaut typiquement ≈1T , la densité d'énergie d'anisotropie

maximale est donc ≈ 106 J/m3. On peut en principe "stocker" une énergie de l'ordre du MJ /m3dans un aimant très performant (la source de champ lui fournit cette énergie en l'aimantant). Cela

fixe aussi la limite de puissance pour un moteur à aimants permanents : le couple Γ= (M→V) x B→est

limité par la condition que B→reste ≤ au µ o H

c de l'aimant.

NB: en alternatif, on dissipe à chaque période l'énergie correspondant à l'aire du cycle M(H a). Ce

sont les "pertes par hystérésis" ⇒ chauffage, baisse du rendement...

Enfin, on notera une conséquence paradoxale de l'importance du champ (électrostatique) cristallinsur l'énergie d'anisotropie magnétocristalline et sur le champ coercitif :

champ cristallin plus FORT dans les Métaux de Transition 3d que dans les Terres Rares 4f ⇒ effet plus important de réduction du moment orbital dans MT que TR

⇒ le moment magnétique restant (spin) est moins sensible à l'anisotropie cristalline " " "

⇒ énergie d'anisotropie et champ coercitif PLUS FAIBLES dans MT que TR !

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 10

Autres effets des interactions

à titre indicatif, mentionnons la "structure de bande" dans les solides (alors qu'on a raisonnéjusqu'ici à partir d'atomes ± perturbés). Cet aspect est parfois très important pour les propriétésdes métaux magnétiques.

Pour décrire les solides réels, on ne peut pas résoudre exactement le problème, maisqualitativement l'image est la suivante : au bout des opérations, on décrit le solide par sa structurede bandes, c'est-à-dire le nombre d'états permis pour les électrons, par unité de volume du solide,en fonction de leur énergie.

On arrive à cette description en termes de "bandes" (→ cf schémas ci-dessous )

• soit en partant des atomes, et en considérant la perturbation des niveaux atomiques provoqué parl'énergie de liaison (car recouvrement des fonctions d'onde). Approche dite "liaisons fortes" :

etc. ..

états à 1, 2, ... Natomes

énergi e

densité électroniqu e

positio n

LIMITE N “infini”

énergi e

densitéd’états

⇒ ⇒

• soit en partant du cristal idéal, en considérant la perturbation de l'énergie "cinétique" d'un électronse déplaçant dans le potentiel périodique. Approche dite "électrons presque libres" ou "ondesplanes" :

énergi e

impulsio n

Kpositio n

potenti e

densitéd’états

énergi eLIMITE N “infini”

⇒ ⇒

Une fois qu'on connaît les états disponibles à chaque énergie, on les remplit par énergie croissante

(principe de Pauli!), jusqu'à épuisement du stock d'électrons, i.e. jusqu'au niveau de Fermi E F .

Accès expérimental à la structure de bande : spectroscopie par photoémission, spectrocopietunnel...

Conséquences :

• dans un métal (ou un semiconducteur), contribution à la suceptibilité paramagnétique provenantdu spin des électrons de conduction, dite suceptibilité de Pauli. Origine: si on soumet le matériau à

une induction, un e– de conduction aura une énergie E F ± µ

BB selon l'orientation de son spin. On

peuplera donc un peu plus les états de spin favorable (//B), d'où une aimantation induite

proportionnelle à la densité électronique au niveau de Fermi. Effet faible tant que µ BB<<k

BT <<

E F ; en pratique k

BT << E

F dans les métaux ⇒ χ

Pauli ≈ 10-3–10-2, et quasi indépendante de la

température.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 11

• ferromagnétisme des e- de conduction : quand on remplit les états par énergie croissante jusqu'auniveau de Fermi, s'il y a une énergie d'échange, elle déséquilibrera les populations d'e– de

conduction de spin ↑ ou ↓. Là, l'effet peut être fort car E éch peut être > k

BT (comparable aux

énergies caractérisant les bandes du solide).ENM(k)

n n

E échange

Etotal e

n nE éch

EFermiou :

⇒ aimantation spontanée des e– de conduction. Le moment résultant dépend alors non pas desrègles de Hund mais de la structure de bande. Ce fait est confirmé expérimentalement dans nombrede métaux et alliages métalliques ferromagnétiques.

Magnétorésistance : mécanisme physique

relation entre aimantation et électrons de conduction ⇒ variations de résistance électrique souschamp magnétique. ∆R/R peut varier de ≤1% dans des champs appliqués ≈1T, à plus de 30%dans une gamme de champ de quelques mT pour les dispositifs performants.

La magnétorésistance (MR) est le plus souvent très faible dans les Terres Rares, car ce sont desélectrons 4f, plutôt localisés sur leur site atomique (≠ électrons de conduction 5s+5d), qui créentl'aimantation. Les métaux de transition ont une MR plus forte, bien qu'elle reste souvent modeste :pour Fe ou Co pur par exemple, ∆R/R ≈2% entre états désaimanté et saturé.

Quelques systèmes à forte magnétorésistance :

– systèmes multicouches métal Ferro / Métal Non magnétique, ou jonctions tunnelFerro/Isolant/Ferro. Dans ce cas, la résistance est modifiée par l'orientation relative, // ou anti//, del'aimantation de 2 couches Ferro séparées par une très mince (≈nm) couche non magnétique. Une- de conduction n'a pas la même probabilité de collision selon que son spin est // ou anti// à lamajorité des spins, donc à l'aimantation. Systèmes sensibles en champ faible, mais zone de champutile restreinte : ∆R/R ≈10% à 30% dans quelques mT-10mT. Ces systèmes présentent forcémentune hystérésis car on utilise l'écart de champ coercitif des 2 couches pour contrôler l'orientationrelative de leur aimantation (l'une se retourne avant l'autre quand on cycle en champ).

– s e m i - m é t a u x (= cas limite d'un semiconducteur à gap nul, comme Bi), ousemiconducteurs. Souvent moins sensibles que les "bonnes" multicouches en champ faible,mais réponse linéaire et réversible (pas d'hystérésis) sur une plus grande gamme de champ,jusqu'à plusieurs T éventuellement. Dans ces matériaux, il suffit de peu d'énergie pour faire varier

sensiblement la population d'électrons de conduction ⇒ l'énergie "Zeeman" ±µ BB des e- joue sur

la résistivité.C'est aussi le cas de certains composés magnétiques comme les manganites de la

famille (La:Sr)MnO 3, où le remplissage de la bande de conduction est fortement assymétrique entre

les spins ↑ ou ↓ ⇒ magnétorésistance très élévée ∆R/R>100%.

Magnétorésistance : intérêt et applications

le dispositif physique sensible peut être un petit élément magnétique conducteur gravé dans unecouche mince (techno circuits intégrés sub-microniques) → éléments plus compacts avec des

Giroud/magnetisme.MPA2000/C3 Chapitre 3 Magnétisme Solides page 12

temps de réaction plus rapides que les circuits "classiques" limités par les inductances desbobinages.

• Couches magnétorésistives ⇒ microcapteurs et capteurs intégrés, "MRH"= TêtesMagnétoRésistives pour lecture des mémoires non volatiles MROM ou vidéo.

• Dispositifs multi-couches : les "dernières générations" de têtes de lecture pour disques HD sontdes têtes MagnétoRésistives basées sur des dispositifs "vannes de spin".A signaler : au stade R&D, études portants sur des circuits mémoires vives MRAM basées sur desjonctions tunnel magnétiques. Eléments a priori intéressant : temps de commutation ≈ ns, faibleénergie de commutation ≤10-15J, état stable sans alimenter une fois commuté. On pourrait doncespérer intégrer davantage de circuits magnétiques /cm2 sans qu'ils ne s'échauffent. Difficultés etlimitations liées à l'intégration des interconnections Write/Read ; pas directement compatibles aveccircuits RAM semiconducteurs (pas mêmes gammes d'impédances). Affaire à suivre...

RO= Read Only, RA= Random Access, D= Dynamic (par opposition à "non volatile" ou"permanent"), M...= Magnetic ..., ...M = ...Memory

Giroud/magnetisme.MPA2000/C4 Chapitre 4 processus d'aimantation et domaines page 1

APPLICATIONS DES MATERIAUX MAGNETIQUES DURS OU DOUX:DOMAINES, PROCESSUS D'AIMANTATION, CONSEQUENCES PRATIQUES

Paramètres importants pour le choix d'un matériau magnétique

On s'intéresse maintenant aux matériaux ferromagnétiques (ou à la rigueur ferrimagnétiques), quiont une aimantation spontanée non nulle en-dessous de leur température de Curie. On va voir quelstypes de matériaux ferromagnétiques peuvent convenir pour les différents types d'applications.Deux paramètres physiques décisifs dans le choix d'un matériau sont l'aimantation et lechamp coercitif :

• électroaimants : aimantation la plus élevée possible. La puissance d'une machine à électroaimantsest proportionnelle à ωMVB.• transformateurs, têtes de lecture,...: le moins d'hystérésis possible, donc un champ coercitif très

faible, et une réponse aussi linéaire que possible. La perméabilité magnétique µ r doit être >>1 pour

ces applications, typiquement de l'ordre de ou supérieure à 103 (c'est ce qui permet de canaliser

l'induction dans le noyau du circuit magnétique). L'obtention d'une haute perméabilité vaobligatoirement de pair avec un champ coercitif très faible.

• aimants permanents : aimantation et champ coercitif élevées (densité d'énergie µ oMH élevée)

• supports d'enregistrement : aimantation importante (mesurable par la tête de lecture) et champ

coercitif "moyen". En général µ oH

c entre ≈40 et ≈300 mT : pas trop faible sinon l'enregistrement

risquerait de s'effacer trop facilement, pas trop fort sinon on a du mal à enregistrer !

Deux constats :

• aimantation :en théorie, les interactions d'échange conduisent à l'apparition d'une aimantation spontanée nonnulle, les moments atomiques ont intérêt à s'aligner de proche en proche. Dans lesferromagnétiques, ces moments s'alignent spontanément // ( ↑↑ ) en-dessous de la température deCurie et on peut estimer l'aimantation spontanée à partir du champ d'échange et de la fonction deBrillouin. Mais dans la pratique, à l'échelle macroscopique, un matériau mêmeferromagnétique sera en général "désaimanté" : aimantation résultante ≈ nulle sauf si onimpose un champ appliqué pour aimanter le matériau...

• champ coercitif :le champ coercitif d'un matériau peut varier fortement selon la qualité métallurgique (pureté,traitement thermique, taille des grains cristallins), même si l' aimantation et la température de Curiedu matériau ne changent pas beaucoup. On observe en général des champs coercitifs plus

faibles que le champ coercitif "intrinsèque" (ou champ d'anisotropie) attendu théoriquement

( µ oH

c = 2K

A / M

s )

Division en domaines magnétiques d'un aimant macroscopique

On doit distinguer l'aimantation spontanée, non nulle du fait de l'alignement ferro, de l'aimantationmoyenne macroscopique, qui, elle, résultera d'une compétition entre cette tendance à l'alignementferro, et un effet dipolaire qui pénalise cet alignement à l'échelle macroscopique. On observe eneffet que les moments atomiques sont bien alignés "à courte échelle", dans des zones appeléesdomaines magnétiques de Weiss, mais pas "à grande échelle". Les domaines sont orientésaléatoirement de sorte que l'aimantation moyenne macroscopique, elle, est nulle.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C4 Chapitre 4 processus d'aimantation et domaines page 2

Les tailles de ces domaines varient selon les matériaux, et pour un matériau donné, selon la qualitémétallurgique. Ordres de grandeur : typiquement quelques 10 nm à 100 µm. C'est uneéchelle dite "mésoscopique", >> maille atomique, mais << matériau macroscopique.NB: c'est l'échelle des circuits intégrés et des grains de mémoire magnétique.

Conséquence de la structure en domaines

L'aimantation moyenne à l'échelle macroscopique sera déterminée par la moyenne sur lesorientations des domaines (la fonction de Brillouin donnant, elle, l'intensité de l'aimantation àl'intérieur d'un domaine). Le cycle d'hystérésis et le champ coercitif, déterminants pour le choixd'un matériau en vue d'une application, seront le résultat de la mise en ordre progressive desdomaines. D'où la nécessité de comprendre les mécanismes gouvernant les domaines magnétiques.

Techniques d'observation des domaines magnétiques

L'étude des cycles d'hystérésis du matériau sont un reflet "indirect" de la structure en domaines.Quelques méthodes permettent de voir directement les domaines :

• méthode de décoration de Bitter (de moins en moins utilisée)on met le matériau à observer dans un liquide avec une suspension de poudre ferro très fine

(magnétite Fe 3O

4...), ou dans un ferrofluide. Variante + sophistiquée haute résolution : on

évapore un matériau ferro (Fe, Ni...) dans une enceinte où règne une faible pression de gaz neutre(He) ; la surface du matériau magnétique est fixée à une certaine distance de la sourced'évaporation. Dans la vapeur, les atomes qui se thermalisent condensent en petits agrégatsmagnétiques (Ø 10-100 nm).Dans les deux cas, les particules magnétiques vont aller dans les zones de gradient de champmagnétique max. (force µ.gradB). Si le matériau est divisé en domaines, les poudres secondenseront préférentiellement aux raccords entre domaines d'aimantation opposée. On observeensuite la surface au microscope optique, ou électronique dans la variante haute résolution(≈0.1µm). Méthode relativement simple et sensible, mais lente. La surface n'est pas toujoursréutilisable après manipulation.

• effet magnéto-optique (MOKE=Magneto-Optic Kerr Effect)Principe : certains matériaux peuvent faire tourner la polarisation d'une onde EM, d'un angle quidépend de l'aimantation du matériau = effet Faraday. Si il y a des domaines d'orientationdifférente, la polarisation n'aura pas tourné de la même façon en traversant les différents domaines.En plaçant la lame de matériau magnétique entre analyseur et polariseur, on peut reconstituer lacarte des domaines magnétiques. Si le matériau magnétique n'est pas transparent et on fait le mêmetype de mesure sur la lumière réfléchie = effet Kerr ; on peut même appliquer cette méthode à desmatériaux non actifs optiquement si on les recouvre d'un film magnétooptique. Bien que la rotationde polarisation soit faible (souvent ≈ quelques 0.1 degré d'angle), ces effets sont de plus en plusutilisés (cf mémoires magnéto-optiques).Méthode rapide et non destructive. Résolution spatiale : intrinsèquement limitée par la longueurd'onde optique, environ 0.1 µm ; possibilité d'améliorer jusque vers 30nm en mettant en quasi-contact avec la surface une fibre optique taillée en pointe, mais on perd alors la vitesse.

• microscopie tunnel "STM" et variantes "Atomic Force Microscope" et "MFM":

Microsccope tunnel ("Scanning Tunnel Microscope") : une pointe métallique est guidée avec unegrande précision par des actionneurs, en général piézoélectriques, et balaie la surface à étudier.Dans un STM, on détecte les variations de courant tunnel entre le matériau à étudier et la pointe,une tension connue étant imposée entre pointe et surface. Ce courant tunnel est une fonctionexponentielle de la distance de séparation matériau / pointe (de même que c'est une fonctionexponentielle de l'épaisseur de barrière dans une diode). C'est un technique très sensible pourcartographier une surface conductrice à des hauteurs ≈nm (résolution atomique). Nécessite unesurface très propre et lisse ! Si la pointe est un métal ferromagnétique, ou supraconducteur, lecourant tunnel I(V) peut dépendre aussi de la polarisation magnétique des électrons de conductiondans le matériau imagé.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C4 Chapitre 4 processus d'aimantation et domaines page 3

Microscopes MFM ( Magnetic Force Microscope) : c'est un AFM = "Atomic Force Microscope"dans lequel la force entre pointe et objet est une force magnétique.On utilise une pointe aimantée fixée au bout d'un petit levier de constante de raideur appropriée(très fine tige cristalline gravée dans du silicium par exemple). Une force magnétique dépendant dela carte de champ, donc de l'aimantation du matériau sous la pointe, va s'exercer. Méthodesemployées pour mesurer cette force : indirectement au moyen d'un microcapteur de déplacement ;ou en mode détection de zéro (on exerce une force de contre-réaction qui maintient fixe la distancepointe-surface) ; ou on fait vibrer le levier à sa fréquence de résonance mécanique et on détectel'écart à la résonance provoqué par la force magnétique. Mise au point délicate, très hauterésolution spatiale (20 nm de résolution latérale), aquisition des données point par point (donc pastrès rapide) sur des champs de quelques 10 µm au plus. Possibilité d'observer aussi des surfacesnon conductrices. De tels instruments sont maintenant disponibles commercialement.

Autre variante (stade R&D) : on fixe un petit capteur de champ à la pointe d'un STM ou d'unAFM, pour cartographier directement le champ magnétique à la surface du matériau, donc lesdomaines. La résolution spatiale est ≈ celle du microcapteur , qui peut atteindre quelques 0.1µmavec des sondes de Hall ou des SQUIDs produits par micro-lithographie. Ces dispositifspourraient être intéressants si on souhaite privilégier une haute résolution en champ ou en flux

(quelques µT avec un SQUID de surface active ≈(µm)2 ), ou pour des mesures en champ faible si

on craint que le champ d'une pointe MFM ferro perturbe localement le matériau étudié.

• diverses techniques de microscopie électronique :+ coûteux et + difficile à mettre en œuvre ; haute résolution <0.1µm. On ne peut pas imager unisolant, sauf si on le recouvre d'un dépôt conducteur. Ces techniques peuvent être basés surdifférents principes : déviations du faisceau électronique par les force de Lorentz, ou intensité desélectrons secondaires (= e–réfléchis après avoir échangé un peu d'énergie dans le matériau)légèrement différente selon la polarisation relative matériau / faisceau, ou encore effet du potentielvecteur magnétique sur les interférences entre électrons du faisceau (sous réserve qu'on arrive àpréparer un faisceau cohérent ! ).

Mécanismes physiques responsables de la structure en domaines

Compétition énergie dipolaire / énergie d'échange

Le champ d'un aimant aimanté (càd dont les domaines sont alignés) est, vu de loin, celui d'un grosdipôle de même moment magnétique total. Il y a donc dans tout l'espace environnant un champ nonnul, donc une densité d'énergie électromagnétique non nulle "dépensée" par l'aimant. Autre façonde voir : l'échange aligne les moments. Mais s'ils sont alignés // (ferro), il apparait un champdémagnétisant proportionnel à l'aimantation moyenne, et de sens inverse à celle-ci. C'est uneconfiguration défavorable, car M voudrait s'aligner sur le champ. Ces deux façons de voir sontrigoureusement équivalentes. L'état uniformément aimanté coûte une énergie dipolaire :

énergie magnétostatique = ∫aimant

12 µ

oM→ .H→

dém d

3 r (cf chapitre 1)

Compromis dipolaire / échange ?

Pour minimiser son énergie d'échange, le matériau a intérêt à avoir ses moments atomiques voisinsalignés // ( cas ferro↑↑ ).Pour minimiser son énergie dipolaire, l'aimant à intérêt à avoir uneaimantation moyenne nulle. Compromis : division en domaines qui vont rester ferros, maisl'aimantation d'un domaine sera orientée aléatoirement. Ainsi, l'échange, mécanisme agissant à trèscourte distance, est satisfait car seuls les spins à la limite entre 2 domaines sont "frustrés" ↑↓ . Et ledipolaire, qui ne décroît que plus lentement avec la distance, sera satisfait car la moyenne de M surdes distances > domaines tend vers 0.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C4 Chapitre 4 processus d'aimantation et domaines page 4

On peut en tirer une estimation de la taille optimale d des domaines : on suppose l'aimant divisé endomaines réguliers de taille d. Bien sûr, l'énergie dipolaire va dépendre de la géométrie de l'aimantet des domaines, et la solution exacte est très compliquée. Mais en gros :

• énergie dipolaire d'un aimant macroscopique de taille LL'L":la configuration en domaines abaisse le champ dipolaire à l'extérieur et le champ démagnétisant àl'intérieur (coeff. de champ démagnétisant réduit suivant le rapport des dimensions). Pour deslamelles :

+ + +– – –

L

L’

L”d

+ + + + + + ++ + + + + + +

on doit sommer (en général numériquement) les contributions des domaines successifs, chacunétant soumis à son champ démagnétisant et au champ des domaines voisins. Cette somme convergevers une valeur assez proche de l'énergie magnétostatique d'un domaine, fois le nombre dedomaines, le champ des voisins décroissant assez rapidement ( série alternée en 1/(nd)3 ) :

E dip≈ Cte d'ordre unité . (

Ld ) .

12 µ

oM

2s .dL'L".D

dom ,

Ld étant le nombre de domaines, (dL'L")

et D dom resp. le volume et le coeff. de champ démagnétisant d'un domaine. D

dom est plus faible

que le D de l'aimant entier (forme plus allongée) ; en première approximation si la réduction est de

l'ordre d'un facteur ( dL ) :

E dip≈

12 µ

oM

2s . (LL'L").

dL . δ,

où est δ un coeff. géométrique "de l'ordre de 1" lié à la forme de l'aimant et des domaines(ce coeffgéométique peut être calculé dans certaines géométries simples, cf Kittel).

• énergie d'échange :

coût E éch=2J. S2 par paire de spins S ↑↓, par rapport à une paire ↑↑.

D'où le coût énergétique des parois pour Ld parois de surface L'L" chacune :

E éch=2J. S2

Ld .

L'L"a2 , a désignant la distance entre ces moments (maille supposée ≈cubique).

• bilan : on vérifie que la taille d optimum est fixée par le rapport E éch / E

dip.

si énergie [ échange + dipolaire ] minimale, ∂E∂d =0 ⇒ d≈ [

4

δ

J. S2

µ oM

2sa3

La ]1/2

Comparaison avec l'expérience : pour L≈ quelques cm, échange ≈10–20J par atome, µ oM

s≈1T

(ex. du Ni), a≈0.3nm, on aurait d≈ quelques 0.1 mm. C'est trop gros. Où est l'erreur ?

Compétition ( échange + anisotropie ) / dipolaire

On n'a pas tenu compte d' une autre énergie qui intervient à l'échelle de la maille cristalline :l'énergie d'anisotropie magnétocristalline (chap.3). Mais l'aimant y a pensé, et il a remarqué qu'ilest plus intéressant d'adopter une structure en domaines avec des parois "larges" de largeur W=Na,où le passage de ↑ à ↓ se fait par rotation progressive de l'aimantation:

Giroud/magnetisme.MPA2000/C4 Chapitre 4 processus d'aimantation et domaines page 5

.

123

4

vue “de face”

etc

profil : largeur de paroi W=Na

1 2 3 4

Cette paroi est appelée paroi de Bloch, et elle permet d'économiser de l'énergie de paroi. Eneffet, la rotation progressive coûte un peu d'énergie d'anisotropie (les moments inclinés ne sontplus // axe facile), mais économise de l'énergie d'échange puisque 2 moments voisins sontmaintenant presque alignés entre eux. Si l'énergie d'anisotropie est plus faible que l'énergied'échange, on peut supposer que des parois larges seront avantageuses.

On peut évaluer le coût énergétique d'une paroi de Bloch, et comparer à notre évaluation précédentequi correspondait au passage brutal de ↑ à ↓. Si on approxime le profil par une rotation uniforme(NB: ce n'est pas exact, mais le vrai résultat ne diffère pas beaucoup de cette approximation, cf

bouquins de magnétisme), l'angle du nème moment avec l'orientation de départ est

nπN :

• coût en énergie d'échange (toujours par rapport à des moments // ) :

-J.S2.L'L"

a2 (cosπN –1) pour la tranche entre n et (n+1), -J.S2.

L'L"a2 N ( cos

πN –1) pour la paroi.

• coût en énergie d'anisotropie : la nème tranche coûte une densité d'énergie K

A.sin

2 (

nπN ),

volume concerné = tranche aL'L". Coût de la paroi K A.aL'L".∑

n=1

N

sin2 (

nπN ).

• bilan : si l'énergie d'anisotropie magnétocristalline est sensiblement plus faible que l'énergied'échange (c'est le cas dans la plupart des matériaux courants), l'optimum sera N>>1, et on

approxime avec des développements au premier ordre en 1N, d'où le coût énergétique de la paroi,

en sommant le long de la paroi (n=1 à N)

E paroi ≈ J. S

2 .

L'L"a2 N (

π2

2N2) + K A.aL'L".∑

n=1

N

sin2(nπN ) : approx ∑ par ∫

sur θ=

nπN

⇒ E paroi ≈J. S2 .

L'L"a2

π2

2N + K A.aL'L"

Nπ ∫

0

π

sin2 θ.dθ = J. S2 .

L'L"a2

π22N + K

A.aL'L"

N2π

Résultat : largeur de parois et taille de domaines

Optimum : coût énergétique de la paroi minimal quand ∂E∂N =0 ⇒ largeur Na = a π √ (

πJ. S2

E A.a3

)

ce qui donne un coût en énergie au total ≈ L'L" √ (π J. S2K

A

a ).

La paroi de Bloch coûte donc ≈ √(π J. S2K

A

a ) par unité de surface, au lieu de J. S2 1a2 pour

une paroi étroite sur 1 maille. Gain : facteur ≈ √( πJ. S2

K Aa3

). Ce gain dépend directement du

rapport entre les énergies échange / anisotropie, dont la compétition fixe la largeur. La paroi serad'autant plus large que l'énergie d'anisotropie est faible par rapport à l'énergie d'échange.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C4 Chapitre 4 processus d'aimantation et domaines page 6

Et si une paroi coûte moins cher, on peut en mettre plus pour le même prix. Donc on peut tasserdavantage de domaines, plus petits, dans le même espace. Si on applique ce facteur correctif gagnésur l'énergie de paroi à notre taille de domaines, on tombe cette fois sur des ordres de grandeurraisonnables de quelques 10 nm pour les parois et quelques 10 µm pour les domaines (pour une

densité d'énergie d'anisotropie K Acorrespondant à µ

oH

c ≈1T, autres paramètres inchangés L≈

quelques cm, échange J ≈10–20J par atome, µ oM

s≈1T, a≈0.3nm).

NB:• l'expérience indique que les domaines tendent à être plus petits dans les couches minces que dansun aimant "massif". C'est ce qu'on trouve aussi avec ce modèle si on est capable de calculerl'énergie dipolaire de la configuration en domaines.• les domaines ne sont pas forcément en bandes, commme dans l'exemple simple traité ici. Ilspeuvent former des petits domaines cyclindriques dans certains matériaux en couches minces. Onpeut utiliser ces domaines appelés "bulles magnétiques" comme éléments de mémoires.

Processus d'aimantation, ferromagnétiques doux ou durs

L'effet des domaines est que l'aimantation macroscopique moyenne est nulle même pour unferromagnétique. Si on applique maintenant un champ, l'aimantation des domaines va bien finir pars'aligner sur ce champ. Comment ?

.

123

4etc

Ba21paroi “avant rotation”

paroi “après rotation”

3 4

Les moments qui sont en biais subissent un couple µxB a (règle des 3 doigts de la main droite), ils

tournent pour s'aligner sur B a. Tout se passe donc comme si, au total, la paroi du schéma se

décalait vers la droite. Résultat : le domaine de gauche qui contenait les moments // à B a s'étend

au détriment du domaine de droite qui contenait les moments anti // à B a. Le même raisonnement

s'appliquerait à une autre paroi à l'autre extrémité du domaine.

Au total : l'application d'un champ va donc déplacer les parois en faisant tourner l'aimantation, etle résultat est que en moyenne les domaines // vont grossir au détriment des domaines anti //.C'est de cette manière que l'aimantation macroscopique moyenne M va augmenter progressivementà partir de l'état désaimanté, jusqu'à l'état "aimanté" ou saturé. Si cette augmentation est importante

dès les champs faibles, le matériau a une perméabilité magnétique élevée µ r >>1.

(rappel: B=µ o(H+M)=µ

rH tant que le matériau est linéaire, càd avant qu'on commence à saturer

M en alignant les domaines).

Piégeage des parois et champ coercitif

Les mêmes phénomènes se produisent quand, à partir d'un état aimanté, on applique un champ ensens inverse. On observe que des parois se créent (à partir des bords, ou des défauts du matériau),et c'est reparti pour un tour. La conséquence de ces processus est que même si le champ appliquéest bien inférieur au champ coercitif "théorique" (ou champ d'anisotropie), le mouvement desparois autorise l'aimantation moyenne à varier. Pour observer effectivement un champ coercitif à

Giroud/magnetisme.MPA2000/C4 Chapitre 4 processus d'aimantation et domaines page 7

l'échelle macroscopique, i.e.que l'aimantation reste "verrouillée" même quand on applique unchamp inverse (ou désaligné), il faut que les parois soient "piégées".

Pour ce faire, il faut qu'il existe dans le matériau des emplacements "privilégiés", favorablesénergétiquement, qui accueilleront les parois. A priori, tous les défauts (au sens large : lacunes,inversion d'atomes, dislocations, joints de grains oxydés, inclusions d'impuretés, gradients de

concentration,...) peuvent modifier localement les énergies d'échange J. S2 et d'anisotropie

K Aa3. Si l'énergie varie selon la proximité de tel ou tel défaut, les parois auront tendance à rester

là où c'est favorable pour elles, et le champ coercitif augmente.

Conséquences pratiques :

Attention : une paroi de Bloch est un objet étendu, et de largeur > ou >> maille atomique.L'énergie est à évaluer sur l'ensemble de la paroi. Si les défauts sont trop petits par rapport à lalargeur de paroi, et répartis partout dans le matériau, un déplacement de la paroi, en moyenne, nemodifiera pas l'énergie : la paroi ne serait alors pas "piégée".

• champ coercitif (très) faible si matériau "parfait" (≈cristal idéal) ou au contraire "ultra-désordonné" (amorphe). Mais : il est souvent difficile de produire un bon cristal de dimensionsmacroscopiques, et très difficile d'usiner un cristal sans le casser... En pratique, on emploierasurtout les alliages amorphes ou nanocristallins dans les applications demandant une faiblecoercivité.On appelle ces matériaux "ferromagnétiques doux" (ils s'aimantent facilement, et sedésaimantent aussi facilement).

• champ coercitif élevé si matériau anisotrope et "texturé" avec des défauts répartis de manièreinhomogène. L'idéal : des zones "défectueuses" de largeur comparable à la largeur de paroi,espacées de distances comparables aux largeurs de domaines. On emploiera des matériaux en petitsgrains cristallins (taille ≈quelques µm ou 10 µm), alignés (axes de facile aimantation alignées) etassemblés soit par collage, soit par frittage selon les cas.On appelle ces matériaux "ferromagnétiques durs" (difficiles à aimanter, mais aussi,évidemment, difficiles à désaimanter en champ inverse).

Caractéristiques de quelques matériaux industriels

Tendance générale : température de Curie importante mais anisotropie magnétocristalline et champcoercitif (paradoxalement) réduits dans les Métaux de Transition ; anisotropie importante dans lesTerres Rares mais température de Curie plus basse. On peut avoir à optimiser les propriétésmagnétiques en choisissant des composés MT + TR, et adapter les traitements métallurgiques.

En plus des critères "champ coercitif" et "aimantation" dans la gamme de champ dans laquelle onveut travailler, on pourra avoir à tenir compte de :

• stabilité thermique :la température de Curie limite évidemment le domaine d'utilisation d'un matériau ferromagnétique.

Mais même en-dessous de T Curie

, le champ coercitif et l'aimantation spontanée décroissent quand

on chauffe. Schématiquement, pour la plupart des applications, on aura intérêt à rester de préférece

dans la gamme T≤ 60% de T Curie

si on veut profiter de l'induction spontanée et/ou du champ

coercitif.Se reporter à des ouvrages spécialisés pour plus de détails ; dans certains cas on peut approximer

M s(T) ≈M

s(0) √(1 - t) , ou ≈M

s(0) √(1 - t3/2), et H

c(T) ≈H

c(0)(1-t

2 ), où t = T / T

Curie.

• corrosion chimique :les oxydes sont souvent plus inertes, sauf les oxydes de structure complexe qui peuvent plusfacilement devenir non-stoechiométriques. On peut avoir recours à un encapsulage ou une

Giroud/magnetisme.MPA2000/C4 Chapitre 4 processus d'aimantation et domaines page 8

passivation de surface, parfois cruciale pour les grains fins ou les couches minces (enregistrement,capteurs magnétorésistifs), ou en volume (addition C ou Si dans le fer → aciers "inoxydables").

• magnétostriction :déformations induites lors de variations d'aimantation, ou réciproquement variation del'aimantation sous contraintes mécaniques. Origine physique : effet d'une déformation de la maillecristalline sur les moments magnétiques orbitaux, ± important selon matériaux. On peut limiter ceseffets en combinant des matériaux où les signes de ces effets sont opposés (ex. Ni et Fe).Conséquences : "ronflements" sonores en courant alternatif, ou génération d'harmoniquesindésirables + bruit électrique induit par les vibrations mécaniques (appelé "bruit microphonique")→ à éviter en électrotechnique forte puissance, ou en instrumentation haute sensibilité.

• facilité de mise en forme :usinage mécanique, électroérosion, dépôt de revêtement en couche mince, moulage, etcompatibilité de ces procédés avec la stabilité du composé et les conditions d'application visées.

• prix :selon cours des matières premières, degré de pureté (métaux ou terres rares garantis 3N=99.9%pur, 4N=99.99%,...), procédés métallurgiques, quantités nécessaires → voir presse spécialisée.

MATERIAUX les plus DOUX

• les plus faibles champs coercitifs sont µ

o H c≈ quelques 0.1 µT dans des alliages

amorphes à base de Métaux de Transition (MT), commercialisés sous les noms de Mumetal,Supermalloy, ou Metglas. Ces alliages contiennent Fe, Ni et/ou Co comme constituantsmajoritaires. Ils sont en général produits par trempe rapide sous forme de rubans d'épaisseurtypiquement ≤ 0.2mm (jet métal liquide sur roue froide en rotation), et nécessitent des traitementsthermiques pointus (recuits sous atmosphère et/ou champ magnétique contrôlés) ⇒ assez cher.Matériaux mécaniquement fragiles.Ces très faibles champs coercitifs sont automatiquement associés à de très hautes

perméabilités magnétiques, jusqu'à µ

r≈105 : un très faible champ suffit pour augmenter la

part des domaines //. Conséquence : un faible champ H suffit aussi à saturer l'aimantation de ces

matériaux et à quitter le régime linéaire haute perméabiblité. En gros H sat ≈M

s/ µ

r est à peine plus

élevé que H c, l'aimantation spontanée restant de l'ordre du T dans ces alliages. Il sera donc le plus

souvent nécessaire de protéger ces dispositifs de champs magnétiques "parasites" (y comprischamp terrestre ≈ 50µT). On le fait au moyen d'écrans réalisés avec des alliages haute (mais moins

haute) perméabilité. Attention aussi au champ démagnétisant |H dém| > ou même >> champ

appliqué H a dans un matériau haute µ

r ⇒ enroulements toriques.

Principales applications : noyaux de transformateurs en intrumentation (linéarité,amplification importante de l'induction, ≈ pas de "fuites" de flux, bas bruit). De telstransformateurs peuvent servir à optimiser l'adaptation d'impédance entre différents étages d'unechaîne de mesure, et à préamplifier une petite tension provenant d'un objet de basse impédance(thermocouples métalliques, bobines de détection, circuits SQuIDs cf chap.5 ). On en trouve aussidans les têtes magnétiques de haute qualité (faible distorsion du signal : chaînes "HiFi").

MATERIAUX les plus DURS

• les champs coercitifs les plus élevés sont µ o H

c≈ 2.5 T dans les composés de Terre

Rare (TR) des familles "SmCo" et "NdFeB". Ces matériaux ont un cycle d'hystérésis ≈

Giroud/magnetisme.MPA2000/C4 Chapitre 4 processus d'aimantation et domaines page 9

rectangulaire ; aimantation spontanée importante (≈1.2T), produits µ oM

sH

c les plus élevés.

Température de Curie ≈600K pour "NdFeB" et ≈800 K pour "SmCo" ⇒ M s et H

cbaissent

sérieusement au-dessus de 150°C à 350°C. Ces composés nécessitent des traitementsmétallurgiques à l'abri de l'air à cause des Terres Rares très oxydables. Leur usinage n'est pasparticulièrement facile (matériaux relativement durs et cassants).

Applications : aimants dans les dispositifs (actionneurs, moteurs, relais...) où on est prêt à payerle prix pour obtenir un niveau de performance élevé : poids ou encombrement moindre pour unepuissance donnée, large gamme de champ de fonctionnement, stabilité. Rappelons que le poids estsouvent un facteur limitatif dans la puissance d'une machine électrique ; c'est un critère crucial enaéronautique, et important pour les machines "embarquées" (motrices de trains à grandevitesse, sous-marins...) et les équipements portables.

MATERIAUX les plus COURANTS

car plus faciles à produire et moins chers...

MATERIAUX DOUX :

• alliages haute perméabilité ou "mu-métaux" de µ oH

c≈10µT : alliages Ni:Fe ou Permalloy, avec

des perméabilités µ r ≈ quelques 103, quand même. Applications : écrans pour le blindage contre

les perturbations magnétiques : c'est application assez importante du fait des normes deCompatibilité ElectroMagnétique. Nombreux "circuits magnétiques" comme noyaux detransformateurs, têtes magnétiques inductives,...

Circuits magnétiques :le rôle du matériau à haute perméabilité est de canaliser l'induction le long d'un noyau, qu'onchoisira, si possible, de forme ≈ torique pour minimiser le champ démagnétisant. Ce noyau pourraêtre combiné avec un aimant permanent, des bobinages de commande ou de détection.Dimensionnement : calculs "classiques" relativement simples si on utilise conservation du flux de B+ théorème d'Ampère pour H + caractéristique B(H) des matériaux du circuit → cf TD.

Schéma de principe de quelques exemples :

bande magnétique

entrefer

tête magnétique inductive

N S

dynamo de vélo

aimantdu rotor

noyau du stator

bobine de l’induit

noyau haute µrbobine de commande

aimant mobile

actionneur, relais

• on notera l'importance des ferrites "douces" dès qu'une application en alternatif hautefréquence est envisagée ( f > MHz pour vidéo, informatique, radio et télécomm). En effet, àhaute fréquence, les courants de Foucault deviennent gênants dans les circuits métalliques et il fautmieux employer des isolants électriques dans les têtes magnétiques.

Les ferrites sont des oxydes du genre (Fe 2O

3,MO), M étant un autre métal de transition comme

Ni, Zn, Mn, Cr... Ces matériaux sont relativement peu coûteux (minerais Fe 2O

3 abondants), et ne

craignent pas l'oxydation. Des ferrites frittées ou moulées dans des polymères sont souventutilisées aussi pour les aimants bon marché (électroménager, dynamos de vélo, accessoiresautomobiles...). Leur stabilité thermique n'est pas toujours bonne.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C4 Chapitre 4 processus d'aimantation et domaines page 10

• le fer est un matériau abondant dans la croûte terrestre, donc peu coûteux. Il a une induction

spontanée élevée µ

oM

s ≈2.15T et une température de Curie ≈1100 K donc une stabilité

thermique satisfaisante. Les alliages à base de fer ont rarement des champs coercitifs élevés. Les

aciers Fe:Si ( à ≤ 5% Si ) ont des perméabilités élevées de 102 à 10

3 , et une induction spontanée

restant ≈2T. Matériaux dont la métallurgie est maîtrisée à l'échelle industrielle (tôles minces àgrains orientés ou non), très souvent utilisés en électrotechnique : alternateurs, moteursélectriques, électrotechnique de puissance, noyaux de transfos.

NB: tôles minces car à 50Hz, la profondeur de peau δ= √ ( 2

µσω ) dans ces alliages est de l'ordre

de 0.3 mm ; il ne servirait à rien de travailler avec des pièces plus épaisses. En pratique, on empiledes tôles minces pour fabriquer des noyaux de transfos, l'induction alternative devant être dans leplan des tôles. Ainsi, les courants induits, perpendiculaires au B alternatif d'après la 3 èmeéquation de Maxwell, sont "coupés" (une couche oxydée à la surface des tôles peut suffire à ceteffet) et l'induction peut pénétrer dans tout le noyau.

MATERIAUX DURS ou "SEMI-DURS" :

• aimants µ oH

c≈0.3 à 0.5 T : certaines ferrites "dures" d'aimantation spontanée modeste

µ oM

s≈≤ 0.5T. Alliages base cobalt comme AlNiCo ou TiCoNAl, souvent préférés aux ferrites en

électromécanique (actionneurs, haut-parleurs...) car densité d'énergie µ oM

sH

c plus élevée.

• on trouve également dans cette gamme de µ oH

cet M

s les matériaux utilisés dans les supports

d'enregistrement, en grains fins ( < 1 µm). Les plus courants sont à base de γ-Fe 2O

3, CrO

2 ou

Fe:Co. Le champ coercitif de tels grains peut aller de 30 à 200 mT ; il résulte à la fois de lastructure cristalline et de l'anisotropie de forme (pour des grains allongés, M préférentiellement //axe long). On utilise des procédés physico-chimiques favorisant la production de poudres à grainsen forme de bâtonnets, qu'on oriente sur le disque ou la bande par divers procédés. Pour lesapplications "Haute Densité", on dépose une couche mince ferro (≤0.1µm), souvent un alliagebase Co:Pt, sur un support dur (Al par exemple) en favorisant une direction de croissancecristalline, puis on applique des technologies de lithogravure (échelle 0.2µm à quelques µm selonle procédé) pour délimiter les pistes magnétiques.

• cas particulier des matériaux magnéto-optiques :ils sont choisis en fonction de leur proriétés optiques, non abordées dans ce cours. Il s'agit decomposés à maille cristalline non centro-symétrique, comportant souvent des Terres Rares oucombinaison TR + Métaux de Transition, par exemple TbFe. Préparation à l'abri de l'air, nécessitéde protéger ensuite ces grains de l'oxydation par l'air ambiant.

On cherchera à avoir, contrairement aux autres applications, une T Curie

relativement basse (200–

300°C) pour l'enregistrement magnéto-optique réinscriptible. En effet, les matériaux ayant de"bonnes" propriétés magnéto-optiques ont souvent des champs coercitifs importants. Laproduction d'un tel champ nécessiterait une tête d'enregistrement moins compacte que ce qu'onsouhaite pour un enregistrement haute densité et/ou haute fréquence. On contourne cette difficultégrâce à un procédé d'enregistrement thermomagnétique : on échauffe momentanément etlocalement les grains de mémoire avec une diode laser, pour abaisser le champ coercitif lors del'enregistrement.

diode laser

bobine écriture

piste magnétique(matériau magnéto-optique)

bits de mémoire

noyau haute µ substrat

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 1

MATERIAUX SUPRACONDUCTEURSCARACTERISTIQUES PRINCIPALES, CONSEQUENCES POUR LES APPLICATIONS

Etat supraconducteur

Les supraconducteurs constituent parfois une alternative intéressante aux matériaux magnétiques etaux dispositifs électromagnétiques "classiques". Les supraconducteurs sont des matériaux

conducteurs qui, en-dessous d'une certaine température T c appelée température critique, transitent

dans un état nouveau se distinguant par :

• résistivité électrique nulle :

ce point a été découvert d'abord par des mesures directes de résistance,

R

T

Tc0

5

10

15

20

25

0 0.5 1 1.5 2

RRRR ((((

ΩΩΩΩ ))))

TTTT (((( KKKK ))))

R(T) d'une couche mince d' Alu

puis vérifié en induisant un courant i dans une boucle supra au moyen d'une rampe de champappliqué, et en mesurant le moment magnétique iS de la boucle en fonction du temps. Une fois larampe de champ stoppée, un conducteur normal conduirait à une décroissance exponentielle, de

constante de temps LR (L et R resp. inductance et résistance de la boucle). Par cette méthode, si on

attend suffisamment longtemps, on peut tester des résistances extrêmement basses sans être gênéspar les résistances de contacts dans le circuit de mesure. Résultat : il y a bien une chûte brutale àR=0 dans l'état supraconducteur. Borne expérimentale : résistivité ρ < 10–25Ωm ; pour

comparaison, les métaux nobles (Cu, Ag, Au...) ont une résistivité ρ≈10–8 Ω.m (=1µΩ.cm) à Tambiante et ≈10–10 Ωm à très basse température.

• suceptibilité magnétique parfaitement diamagnétique :

un supra expulse parfaitement le flux magnétique qu'on lui applique : suceptibilité χ=–1, c'estle max. que puisse atteindre la valeur absolue d'une suceptibilité diamagnétique. En effet, au mieuxle milieu diamagnétique peut compenser totalement le flux appliqué, mais ne peut pas en produireun plus important. On appelle état Meissner cet état de χ=–1.

HM

pente χ= –1

Meissner normal Hc χ<<1

-Hc

B

Meissner

normalχ<<1, µr≈1

0

µoHc

µoHcµoH

supra

B

NB : ce phénomène est différent de l'écrantage par les courants induits qu'on connaît dans lesmétaux normaux (courants de Foucault et effet de peau en champ alternatif).Trois différences à signaler :

(1) l'écrantage ou expulsion du flux dans un supra se produit même pour un champ statique alorsqu'un conducteur normal ne peut écranter qu'une variation de flux. C'est ce qu'on appelle l'effetMeissner : si on refroidit de l'état normal à l'état supra un matériau plongé dans une inductionappliquée constante, le flux est expulsé du matériau quand il devient supra.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 2

(2) dans un supra, il s'agit d'une suceptibilité diamagnétique, càd que le flux induit est enopposition de phase avec le flux appliqué qu'il écrante (car M=χH avec χ<0). Par contre, dans lecas des courants induits "normaux" (de Foucault) le flux induit est en quadrature avec le flux

appliqué (car Maxwell rot E= – ∂B∂t et densité de courant j=σE → cf TD+TP ). Ces courants induits

ne dissipent pas d'énergie dans le supra, contrairement aux pertes Joule du métal normal .

(3) enfin, cet écrantage se fait dans une profondeur appelée profondeur de London λL, en général

plus faible que la "profondeur de peau" des métaux normaux : λL souvent ≈ quelques 0.1µm.

R=0, diamagnétisme parfait, équation de London

L'explication des propriétés supraconductrices est complexe. Schématiquement : les phonons =vibrations des ions du réseau produisent une petite interaction attractive indirecte entre électrons.Un électron induit sur son passage une déformation du réseau d'ions positifs, qui peut à son tourattirer un autre électron ("effet matelas"), une fois le premier parti plus loin.

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

-+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + + +-

-

Il faut faire le bilan entre cette attraction via les phonons et la répulsion électrostatique e–e–, ce quimet en jeu la dynamique des e– et des déformations du réseau d'ions. Selon les matériaux, il estpossible que, quand l'agitation thermique devient < cette énergie attractive, les e– sont comme liésen paires ="paires de Cooper". Une paire n'a pas un spin demi-entier donc échappe au principe dePauli (Méca.Q) ⇒ les paires se tassent toutes ensemble dans un état fondamental, décrit par une"fonction d'onde collective", d'énergie un peu plus basse que ne pouvaient le faire les e–.

Dans cet état supraconducteur, les paires supras "en bloc" transportent le courant, les collisionsaléatoires entre électrons de conduction sont comme "gelées". Conséquences : R=0, expulsion duflux, phénomène de quantification du flux dans les circuits supras, et phénomènes d'interférences.

Lien entre résistivité nulle et écrantage du flux magnétique :

Dans un métal normal, les collisions empêchent les électrons de se laisser accélerer librement par lechamp électrique E, ce qui se traduit par l'apparition de la résistance électrique: j=σE pour unconducteur ohmique. Dans le modèle classique de Drude, l'e– de conduction est accéléré enmoyenne pendant un temps τ entre collisions, puis sa vitesse est "remise à zéro" aléatoirement. Il

en résulte une conductivité σ= 1

ρ =

ne2τm (n =densité d'e– de conduction ; en toute rigueur masse

effective m* au dénominateur).Ex. d'un très bon conducteur, le cuivre à T=4K : résistivité résiduelle 0.02µΩ.cm (100 fois plusfaible qu'à T=300K), soit τ≈10-13s, libre parcours de l'ordre de 0.1µm entre collisions.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 3

Dans l'état supra, collisions "gelées" ⇒ ms ∂v∂t = es E (principe fondamental de la dynamique), ou

encore nses ∂v∂t =

ns e2s

ms

E , avec ns=densité volumique de porteurs dans le supra, es et ms =

leur charge (valeur algébrique) et leur masse.

Par définition d'une densité de courant on reconnait que ∂js∂t =

ns e2s

ms

E.

On fait ensuite tourner la manivelle à équations de Maxwell pour relier courant et induction

rot ∂js∂t =

ns e2s

ms

rot E = – ns e

2s

ms

∂B∂t , et d'autre part rot H = js (pas de ∂D/∂t dans notre métal).

On approxime rot H par rot B

µo

car les matériaux supras sont en général "non magnétiques"

NB: le moment magnétique du courant supra j

s ne doit pas être compté 2 fois, ici on en tient déjà

compte par le terme js donc pas de M. On pourrait le compter dans un terme M (aimantation

diamagnétique correspondant au moment magnétique résultant de j

s ) à la place, mais pas en plus

du terme en j.

donc rot ∂js∂t = rot

∂∂t (rot

B

µo

) qu'on injecte dans ∂∂t rot rot

B

µo

= – ns e

2s

ms

∂∂t B

⇒ – ∂∂t ∆B = –

µons e2s

ms

∂∂t B

où ∆ désigne le laplacien vectoriel (on a utilisé rot rot = grad div – lap , et divB=0).Comme ce doit être vrai indépendamment d'une variation alternative ("effet Meissner" en Bstatique), ce n'est pas vrai seulement pour la dérivée ∂/∂t, et on a finalement :

laplacien ∆ B→ = ( µ

o n

s e

2s

ms

) B→ : "équation de London"

Conséquence : B à partir de la surface du supra décroît en exp –(r / λL) , avec une longueur

caractéristique λL= [ ms

µons e2s

] 1/2

appelée profondeur de pénétration de London. Le supercourant

js a le même décroissance exponentielle à partir de la surface, et on l'appelle souvent "courant

d'écrantage". Les électrons d'un supra voyagent par paires ( "paires de Cooper" m s=2m, es=2e,

ns=n/2 ), d'où :

λL = [

ms

µons e2s

] 1/2

= √ ( m

µo ne2

)

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 4

Ordre de grandeur typique : m≈9 10–31kg, e=1.6 10–19C, n≈ quelques 1029 e– par m3

dans les métaux usuels ⇒ λ

L ≈ 0.1µm (≈quelques 10nm à µm selon matériaux).

On vérifie ainsi que B est expulsée, à part dans une infime couche de profondeur quelques λL à la

surface du supra. λLest plus faible que la profondeur de peau δ= √( 2

µσω) des métaux normaux, et

λLne dépend pas de la fréquence; elle reste petite même si ω→0, contrairement à la profondeur de

peau dans les métaux normaux.

Limite de validité : à très haute fréquence, typiquement quand hf≈k

B Tc soit f ≥GHz, l'énergie

E=hf des photons de l'onde EM peut casser les paires supraconductrices.

Autre formulation un peu abstraite mais plus générale : B = rot A

donc rot ∂js∂t = –

ns e2s

ms

∂B∂t ⇒ js = –

ns e2s

ms

A

En fait, la Méca Q. dit que l'expression générale du courant fait intervenir en plus un terme quidépend du gradient de la phase de la fonction d'onde, ici la fonction d'onde collective des pairesd'e– supras. C'est une particularité qu'on pouvait ignorer pour les e– "normaux" car ils ont chacunune phase aléatoire qui est sans cesse "remise à zéro" à chaque collision. Avec les paires parcontre, c'est un peu comme si la phase jouait le rôle d'un espèce de "potentiel" ; elle est fixée et apriori uniforme pour tous les paires à l'équilibre. Mais si "on" impose un gradient de la phase,alors les paires supras ajustent leur fonction d'onde pour compenser en se déplaçant.

Résultat : j s = – nse

2s

ms

( A – h_

es

∇ϕs ) où h_ =

h2π = 1.05 10

-34 J.s, et es=2e

⇔ js = – ne

2

m ( A – h_

2e ∇ϕs ) ou encore j

s→ = –

1

µoλ

2L

( A→ – h_

2 e ∇→ ϕ

s )

c'est une autre forme de l' équation de London, qui remplace dans l'état supra le j=σE desmétaux "normaux".

Conséquence pratique importante :

on peut observer un courant j

s non relié à une tension électrique dans un circuit supra,

de même qu'entre les 2 électrodes d'une jonction Supra Isolant Supra, une "version supra de ladiode", appelée jonction Josephson (JJ).

Caractéristique courant/tension d'une jonction Josephson

I

V

V=2∆/e (∆=gap supra)

norm

al V=RI

IcJosephson

X

notation d’une jonction Josephson

sur schémas de circuits :

ou

La branche verticale à V=0 est appelée courant Josephson, c'est un courant de "paires supras" qui

obéit à l'équation de London (j dépend donc de A et ϕs ). La branche en gris est un courant tunnel

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 5

d'électrons "normaux" comme dans les jonctions normales ou semi-conductrices : la fine barrièreisolante laisse passer un courant par effet "tunnel".

La tension de gap correspond à l'énergie eV=2∆ qu'il faut pour "casser" une paire supra en 2électrons "normaux". La caractéristique est symétrique (V,I→–V,–I).

Ordres de grandeur : le gap "∆" est en général de l'ordre de k BTc, et R et le courant Josephson

maximal en principe tels que le produit RIcJ est ≈ tension de gap ⇒ niveaux typiques tension de

gap ≈mV ; courants Josephson ≤ mA, pour une résistance "normale" de l'ordre de Ω à kΩ. Lacommutation, ou transition, entre deux branches de la caractéristique est rapide (≤0.1ns) et dissipe

peu de puissance : ≤100µW pour une jonction de quelques µm2. L'énergie de commutation est un

paramètre important si on veut intégrer un grand nombre de composants sur une puce sans qu'ilschauffent trop.⇒ applications potentielles en électronique rapide VLSI (VLSI : circuits intégrés "Very Large ScaleIntegration", lithogravures à l'échelle ≤ quelques µm) malgré le bas niveau de tension noncompatible avec les composants digitaux usuels. Certains laboratoires ont mis au point desprototypes de composants basés sur des Jonctions Josephson. Mais ces applications restent pourl'instant marginales, à cause de : contraintes cryogéniques, et progrès faits par les FET.

Quantification du flux

si un circuit comporte une boucle supra, on intégre l'équa. de London le long du circuit fermé

⌡⌠

circuit

js→.d l→ = ∫

circuit( –

1

µoλ2L

( A – h_

2e ∇ϕs ).dl

soit en utlisant un théorème classique : circulation d'un vecteur = flux de son rot

∫circuit

j s .dl = – 1

µoλ2L

[ ∫ ∫ B.dS – h_

2e ∫c

∇ϕs .dl ]

dans un fil supra, dès que la section est notablement plus grosse que la profondeur de London, on

a B≈0 dans tout l'intérieur du volume supra donc A≈0 et js≈0 aussi.D'autre part, l'intégrale sur un

contour fermé d'une phase de fonction d'onde est un multiple de 2π, car sinon la fonction d'ondeaurait plusieurs valeurs différentes au même point, ce qui n'est pas physique. D'où :

0 = ∫ ∫ B.dS – h_

2e 2Nπ ⇔ ∫ ∫ B→.d S→ = Φ = N h2e où N = entier

Le flux à travers la boucle supra est un multiple du quantum de flux Φo :

Φo =

h2 e = 2.07 10

– 1 5 T.m

2

A titre indicatif, c'est le flux qu'enverrait le champ terrestre ≈50 µT dans une boucle carrée de6 µm de côté. Ou : il suffirait de 2.10-11T, ce qui serait en gros le B produit par 1 cm3 de fer

aimanté à saturation, à une distance de 20 m, pour produire Φo dans une boucle de 1 cm2.

Applications des supras : intérêt et limitations

• applications du diamagnétisme parfait :"écrantage" ou blindage ElectroMagnétique. Intérêt : un supra écrante aussi bien le champélectrique que magnétique, du continu jusqu'aux Hyperfréquences ≥GHz, dès que son épaisseur

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 6

dépasse sensiblement la profondeur de London. Transformateur de flux (cf schéma duSQUID + bas). Lévitation magnétique (relativement peu d'applications pratiques).

• applications de R=0 :transport de courant élevé sans chauffer. Production de champs magnétiques élevés : alternateursou moteurs électriques de forte puissance ≥ 100kW (il existe quelques prototypes); leuravantage est qu'ils moins encombrants et moins lourds que les machines à circuits "normaux",malgré la nécessité d'un dispositif cryogénique. Des bobines supraconductrices sont égalementutilisés en Imagerie RMN (Résonance Magnétique Nucléaire) médicale, car il faut appliquer unchamp important (quelques T) qui soit bien homogène sur toute la zone à imager. Bobinages detransformateurs en intrumentation bas bruit (mesures de tension <<µV dans des circuits basseimpédance).

• autres applications de la transition supra :bolomètres en infrarouge lointain (radio - ondes mm) ; on utilise le fait qu'il suffit d'un peud'énergie, ici celle de photons infra-rouge, pour chauffer de juste en-dessous à juste au-dessus de

Tc, la transition supra étant facile à détecter par des mesures électriques. Limiteur de courant(en cours de développement) : l'élément supra redevient résistif si on essaie de faire passer uncourant trop élevé, il limite alors par son impédance le courant débité par la source de tension pourla protéger d'un court-circuit ; il joue le rôle d'un "fusible réversible" (non détruit par l'incident, sidimensionné correctement...).

• applications des jonctions Josephson (JJ) et de la quantification du flux :mesures de faibles flux magnétiques avec des SQUIDs, d'où indirectement, amperemètresou voltmètres haute sensibilité. Métrologie : l'effet Josephson en alternatif définit actuellement levolt étalon, en reliant une fréquence de résonance à la tension aux bornes d'une JJ ou de n JJ en

série(eV=nhf, cte de Planck h=6.64 10–34 J.s, charge électron e=1.60 10

–19 C).

Magnétomètre à "SQUID" (Superconducting QUantum Interference Device)

Principe du SQUID continu ou "dc" = boucle comportant les 2 jonctions Josephson (JJ)On polarise le SQUID en injectant un courant continu I dans le circuit principal. En l'absence deflux capté par le SQUID et si les 2 JJ sont identiques, elles portent chacune I/2, et transiteront au

courant 2Ic dans le circuit principal. Si la boucle SQUID capte un flux, soit directement soit par

l'intermédiaire d'un bobinage supra appelé "transformateur de flux", pour conserver un nombre

entier de quantum de flux Φo dans la boucle SQUID, il y a nécessairement un courant induit i qui

dépend directement du flux capté dans la boucle (c'est la somme algébrique du flux capté et de celuiproduit par i qui est quantifiée).

X

X

bobine de détection

transformateur de flux

boucle à JJ (=SQUID)

alim : polarisation Idc

voltmètre

objet “magnétique”champ appliqué

couplage inductif

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 7

Le courant dans les 2 JJ est donc I2 +i pour l'une, et

I2 –i pour l'autre. Une des JJ transitera dès

que I=2(Ic–i) , et c'est à ce courant qu'on sautera sur la caractéristique résistive du SQUID, ce qui

est assez facile à détecter aux bornes de la JJ. Cette mesure permet de remonter au flux capté.On trouve aussi des "SQUIDs RadioFréquence", comportant une boucle à une JJ, polarisée en

tension alternative. Fonctionnement : fait appel aux relations courant/phase I=IcJ.sin(∆ϕ) et

tension/phase V=he ∂∆ϕ∂t aux bornes de la JJ→ pas au programme, mais les SQUIDs commerciaux

sont souvent basés sur ce principe (cf Delin & Orlando, ou van Duzer &Turner ).

Le magnétomètre à SQUID est un instrument de mesure très performant en champs faibles : il

détecte une fraction de Φo dans la boucle de détection, et peut être adapté, avec des transfos de flux

adéquats, dans une relativement large gamme de fonctionnement (en-dessous du champ critique dufil supra du transfo de flux).

Records de sensibilité : δB≈ quelques 10-15

T / √Hz avec une bobine de détection adaptée, une

électronique de mesure haute sensibilité... et un blindage sérieux pour éliminer les "parasites"(champ terrestre et ses fluctuations, signaux induits par divers appareillages électriques,déplacements de masse ferreuses dans le bâtiment...). Rappel : il suffirait de ≈20 pT, qui serait le

B produit à r≈20m par 1 cm3 de fer aimanté à saturation, pour avoir 1Φo dans une boucle de

détection de 1 cm2, et on peut détecter une fraction ≤ ou ≈10-3 Φ

o avec une électronique adaptée.

Domaines d'application des SQUIDs :

mesure de l'aimantation de faibles quantités de matériau : caractérisation magnétique de grainsfins, de couches minces, de petits cristaux difficiles à faire croître. Mesure du signal magnétiqueproduit par des matériaux "peu magnétiques" : organométalliques ; signaux induits par lesmoments magnétiques nucléaires (spectromètres, scanners RMN ou "IRM"). Champs très faiblesen biomagnétisme : magnétocardiogramme, magnétoencéphalogramme (signaux faibles maisméthode intéressante car non invasive).

Limitations des applications des supras

Les propriétés miraculeuses des supras disparaissent malheureusement :

- au-dessus d'une température critique T

c

- au-dessus d'un champ magnétique critique H

c

- au-dessus d'une densité de courant critique j

c

Ordres de grandeur

Un exemple de matériau couramment employé : alliage Nb:Ti. Il a une Tc≈ 8 K, un

µoHc2≈ 13 T vers 1K, et une j c≈ 3000 A/mm2 sous 2T à 4K : c'est déjà beaucoup ! Ici, c'est la

limitation sur la température qui est gênante ; les autres paramètres critiques sont déjà plus élevésque ce qu'on peut faire des dispositifs "normaux". ⇒ environnement cryogénique nécessaire ! C'est une contrainte pratique importante. Les T defonctionnement de la plupart des matériaux supras imposent (pour l'instant) le recours à descryostats à hélium liquide.

→ quelques notions de cryogénie en ANNEXE à la fin de ce chapitre + TP.

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 8

• température critique T

c :

on connait des composés ayant des Tc jusqu'à ≈120K (cuprates des familles "YBaCuO",

"BiSrCaCuO",...), mais on ne sait encore les produire qu'en très petites quantités. Parmi les

matériaux dont la production est maîtrisée à l'échelle vraiment industrielle, Tc ne dépasse pour

l'instant pas ≈20 K ; ce sont des composés intermétalliques à base de niobium, comme Nb 3Sn ou

Nb3Ge, matériaux réfractaires, difficiles à tréfiler en câbles, et coûteux. Les alliages Nb:Ti sont

d'usage plus courants avec une Tc≈8-9K.

• champ(s) critique(s) :

certains matériaux "intermétalliques" (chalcogénures de métaux de transition, ou oxydesintermétalliques à haute température critique) restent supras jusqu'à des champs ≥ 40 T , càd plusélevés que ce qu'on sait produire en pratique... D'autres retournent à l'état normal dès quelques10 mT. On distingue deux types de supras :– supra de type I : le matériau transite de l'état Meissner χ=–1 à l'état normal (en général

χ<<1) dès que le champ H dépasse Hc. Seuls quelques métaux purs sont de ce type (Al, In, Pb,

Sn, Nb pur...). Nb est le supra de type I qui a la Tc max. ≈9K, et un µoHc max. ≈0.2T

H

M

pente χ= –1

Meissner normal Hc

χ<<1

-Hc

supra de type I

H

M

pente χ= –1

Meissner

normal

Hc1

χ<<1

Hc2

–Hc1

supra de type II

– supra de type II : on constate qu'il y a 2 champs critiques différents. Au premier champ,

appelé Hc1, le supra quitte l'état Meissner et on voit que du flux commence à pénétrer, mais

progressivement seulement ; la résistance est encore nulle. Au deuxième champ critique, H c2, le

matériau redevient tout-à-fait "normal".On appelle "état mixte" l'état entre Hc1et Hc2.

La majorité des matériaux supras, composés et alliages, sont de type II ; ils peuvent avoir un

champ critique Hc2 nettement plus élevé que leur Hc1 ou que le Hc des type I. Ce sont surtout eux

qu'on rencontre dans les applications. Ex. : µoHc2≈23T pour Nb3Sn, 13T pour Nb:Ti à T≈1K.

• densité de courant critique :

des densités de courant critique jc ≥ 109 A/m2 (=1000A/mm2, ou 1A dans Ø40µm) sont assez

courantes, le record étant d'environ 1011 A/m2 pour Nb3Ge à T≈1K, ou pour les meilleures

couches minces épitaxiées d'YBaCuO (difficiles à produire). On constate expérimentalement que ce

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 9

paramètre jc dépend fortement de la qualité métallurgique. A comparer à ≈ quelques 106 A/m2 =

quelques A/mm2 à ne pas dépasser dans un fil de cuivre à T ambiante sous peine de le chaufferdangereusement...

Ces trois grandeurs critiques sont reliées. Théoriquement :

Hc(T) ≈ Hc(0).( 1– T2 /T2c), en général assez bien vérifié

jc (T) ≈ jc(0).( 1 – T/Tc) 3/2, mais les courants critiques sont souvent plus faibles que cette valeur

théorique ou "intrinsèque".

0000

0000....2222

0000....4444

0000....6666

0000....8888

1111

1111....2222

0000 0000....2222 0000....4444 0000....6666 0000....8888 1111 1111....2222

HHHH//// HHHH

cccc

TTTT////TTTT cccc

supra

normal

0000

0000....2222

0000....4444

0000....6666

0000....8888

1111

1111....2222

0000 0000....2222 0000....4444 0000....6666 0000....8888 1111 1111....2222

jjjj //// jjjj

cccc iiiinnnntttt rrrr

iiii nnnnssss èèèè

qqqquuuueeee

TTTT //// TTTT cccc

normal

supra

Mécanisme physique limitant le courant critique sous champ

Dans toutes les applications sous champ magnétique ( sans oublier le champ produit par le couranttransporté dans le câble supra lui-même ! ), on se heurte à une difficulté : le courant critique estsouvent plus faible que ce qu'on attendrait (d'après la théorie de Bardeen-Cooper-Schrieffer et /ouGinzburg-Landau).On constate également que dans les supras de type II (les plus courants et utiles), entre les champs

critiques Hc1 et Hc2 le diamagnétisme n'est plus parfait, du flux pénètre progressivement, et on

voit apparaître une "queue" de transition résistive.

Etat mixte : les "vortex" = tubes de flux

En utilisant certaines techniques d'observation, comme pour les domaines magnétiques (chap.4),on constate que cette pénétration de l'induction se fait de manière très particulière, par un réseau detubes de flux ou "vortex", de très petites dimensions ; on sait aussi décrire théoriquement cet étatmixte.

Les vortex laissent pénétrer un quantum de flux chacun, sur un diamètre de l'ordre de λL; ils

comportent en leur cœur un petit tube ou "cœur normal" non supra, de diamètre ≈ξ, longueur sur

laquelle la densité de "paires supras" → 0. ξ est appelée longueur de cohérence dusupraconducteur, et peut varier de quelques nm au µm selon les matériaux ; dans les supras de type

II, ξ est toujours < λL.

BaB

ns

ξ

λL

Φo par vortex Φo

j transporté

force de Lorentz-> mouvement du vortex

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 10

A mesure qu'on augmente le champ à partir de Hc1, ces tubes se resserrent et finissent par envahir

tout le supra qui devient normal à Hc2. La théorie prévoit que le champ critique et la densité de

courant critique sont reliés aux longueurs ξ et λL, caractéristiques du matériau :

µoHc2= Φ o

2πξ2 et jc ≈

Φ o

3π√3 µ oξλ2L

NB: ne pas oublier que λ

L, ξ , Hc2 et j

c dépendent de la température.

Dans cet état mixte, on a à la fois des propriétés supras et des "vortex". Si on impose le passaged'un courant, tout se passe comme si chaque vortex subissait l'équivalent d'une force de Lorentz

qui tend à déplacer le vortex perpendiculairement au courant (F

L = j

tr x Φ

o par unité de longueur

de tube de flux). On n'étudiera pas le mécanisme précis, qui est complexe : il fait intervenir ladistribution de courant supra autour du cœur ("tourbillons" de courant), perturbée par le courantqu'on veut transporter, le total devant être comparé localement à la densité de courant critique"intrinsèque" du supra. Le bilan est que le vortex se déplace perpendiculairement au couranttransporté.

Conséquence importante du mouvement des vortex : R≠0 !

si on prend Oz selon B→ et Oy selon j→tr, les vortex se déplacent à une vitesse v→suivant Ox. E→ se

déduit de l'équation de Maxwell-Faraday rot→ E→=–∂B→ /∂t, et se réduira à une composante Ey

vérifiant ∂∂xEy= –v.

∂∂xBz. Résultat : dans cet état mixte, le mouvement des vortex=tubes de flux

provoque l'apparition d'une tension : E→≠0 et suivant j→tr comme dans un conducteur "normal". Il

y a donc une résistance électrique R≠0, bien que le matériau soit encore supra ! On l'appellerésistance de flux-flow, puisqu'elle est due au mouvement des tubes de flux.

Courant critique de dépiégeage

Pour pouvoir profiter de R=0, en présence d'un champ magnétique, il faut que les vortex soient"piégés" au lieu de bouger. C'est possible si le matériau comporte des "défauts" où il est plusfavorable de laisser les vortex. Tant que la force de Lorentz n'est pas assez forte pour dépiéger lesvortex, R=0. La force de Lorentz étant proportionnelle à la densité de courant, les vortex resterontimmobiles si le courant est assez faible.

A partir d'une certaine densité de courant jc dép =courant critique de dépiégeage, les vortex vont

commencer à bouger dans le supra et R≠0. Ce courant critique de dépiégeage va dépendre desdéfauts (structure, dimensions, répartition dans le matériau), d'où des variations importantes selonla qualité métallurgique.

Ce type de phénomène est analogue à ce qu'on avait vu pour les matériaux ferromagnétiques, danslesquels les défauts déterminent le champ coercitif en piégeant les parois de domaines.

Conséquence pratique

Les courants critiques de dépiégeage, nécessairement ≤ courant critique intrinsèque, seront faiblesdans les matériaux très homogènes à l'échelle de la dimension ξ du cœur des vortex (≈nm à ≈µm),donc dans les cristaux "parfaits" et dans les alliages amorphes. Au contraire, les matériaux destinésau transport de courant élevé sont en général constitué de câbles multifilamentaires inhomogènes :

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5 Chapitre 5 Supraconducteurs page 11

brins supras Ø qq µmmatrice normale

jtr

On peut mesurer ce courant critique de dépiégeage :• soit directement par mesure résistive : on monte le courant jusqu'à détecter une tension (→TP)• soit en mesurant le cycle d'hystérésis magnétique, puisque mouvement ou piégeage des vortexdéterminent aussi bien l'apparition d'une résistance que la pénétration du flux magnétique.Intéressant car il pas toujours facile de réaliser des contacts électriques pouvant supporter de fortscourants quand on étudie un matériau.

Mesure magnétique du courant critique :

Le modèle de Bean permet de relier hystérésis magnétique et courant critique. Tant qu'il y a uneinduction magnétique à écranter, un courant supraconducteur circule, mais sa densité est limitée au

maximum à j ≤ j c dép, car au-delà il y aurait échauffement et retour vers l'état normal. D'autre

part j n'a pas intérêt à être plus faible que jc dép car cela coûterait de l'énergie magnétique. On peut

donc dire que j = j c dép : c'est ce qu'on appelle l'état critique. Maxwell-Ampère nous permet de

relier directement densité de courant et profil d'induction. Dans cet "état critique", ∂B/∂r =jc dép.

Réciproquement, la mesure du flux de l'induction qui a pénétré lors d'un cyclage en champ permetde déduire le courant critique que l'échantillon est capable de faire circuler sans dépiéger sesvortex :

montée du champ appliqué :

r

js

R

jc dép

r

B

R

Ba< µojcR

r

B

Ba< µojcR

R

BaBa> µojcR

puis retour en champ appliqué nul :

r

B

R

3µojcR

r

B

R

2µojcR

r

B

R

µojcRr

B

RPour un cylindre de rayon R et d'axe // champ, si on mesure une aimantation rémanente Mrém, le

flux dans le cylindre est Φ = µoMrém .πR2 = ∫0

R

B(r) 2π r.dr

En remplaçant B(r) par le profil correspondant à cet état critique, on peut montrer que :

jc =

3 M

rémR

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5A Appendice chapitre 5 Cryogénie page 1

ANNEXE AU CHAPITRE 5 : NOTIONS DE CRYOGENIE

Des données complémentaires seront disponibles lors des TP au CRTBT

Généralités sur les fluides cryogéniques

Dans un réfrigérateur ordinaire, on utilise des cycles pression/décompression d'un fluide adéquat,selon gamme de T voulue. Pb des Basses Températures (BT) : les gaz ont condensé. On peut encoreutiliser un liquide comme source froide, sa T d'équilibre liquide/vapeur baissant quand on abaisse lapression. La puissance de refroidissement est alors fournie par la chaleur latente du passageliquide→vapeur, qu'on impose en pompant sur un bain de liquide préalablement condensé. Enpratique, la limitation sur la puissance et donc sur T minimale de l'appareillage sera imposée, le plussouvent, par le débit de pompage (pompe + canalisations).

Quelques ordres de grandeur, pour les 2 fluides les plus courants en cryogénie : hélium 4H e azote N

2

densité du liquide 125 g / l 810 g / lT condensation à P = 1 atm 4.2 K (≈ 1 K en Basse Pression) 77K (≈70K en BP, solide à 63K)chaleur latente de vaporisation 21 J / g 199 J / g"flux utile" 0.3 W / cm2 3 W / cm2

"Flux utile" désigne ici la puissance frigorifique qu'on peut "raisonnablement" espérer par cm2 detube de pompage. La T indiquée à basse pression est ce qu'on peut faire de plus froid, pratiquement,avec un équipement "réaliste" (pompes commerciales, et échangeurs thermiques entre vapeurs froidespompées et liquide condensé pour réalimenter le frigo en continu).

NB: 1W vaporise 1.4 l d'He / heure ≈ 1m3/h gaz STP. Coût de liquéfaction en 1999 ≥ 5 F/lliquide (1 l liq.≈145 g), coût matière première 50 F/l liq. ⇒ nécessité de limiter les apports dechaleur vers la partie froide du montage, et autant que possible, de bien récupérer les vapeurs...

Pour information :• hydrogène : T condensation 22K, mais explosif !• hélium 3 liquide: peut descendre à 0.3K en basse pression ; isotope rare, on se fournit enrécupérant des sous-produits de réactions nucléaires. Prix ≈ 900F/litre gaz STP ("StandardTemperature & Pressure", 1 mole=22.4 litre) soit ≈ 106 Euro / kg en Unités SI.• plus bas : ça se complique sérieusement. On a recours à des dilutions He3 / He4 pour atteindre 5 à50mK selon performances (pompes, et échangeurs thermiques). Possibilité d'y ajouter un étage"réfrigérateurs à désaimantation adiabatique nucléaire" pour descendre vers 0.1mK.• à noter : il existe des "doigts froids" basés non pas sur des fluides cryogéniques, mais sur desjonctions à effet Peltier (effet thermoélectrique). Certains de ces dispositifs peuvent refroidirvers 10-20K, mais puissance faible à basse T ; peut convenir pour refroidir composants ou circuitintégré, quand quelques mW suffisent.

Mécanismes de transfert de chaleur

• RAYONNEMENT

Entre deux corps chacun en équilibre à des températures T haute et T

basse : d'après la loi de

Stefan-Boltzmann, le flux de chaleur de la surface S chaude vers la surface S froide

Q•

= S. f(ε). σ ( T4haute – T

4basse )

où σ ≈ 5,67.10-8 W.K-4 m-2 est la constante de Stefan, et le coeff. 0<f(ε)<1 prend en compte la

réflectivité des surfaces ; f(ε) + faible ( ≤ 0.1) pour surfaces métalliques et polies.Pour limiter cet apport par rayonnement, on utilisera des "écrans" successifs métallisés et thermaliséspar le fluide cryogénique (liquide, ou vapeurs pompées qui remontent).

Giroud/magnetisme.MPA2000/C5A Appendice chapitre 5 Cryogénie page 2

• CONVECTION

à BT, ce sera l'hélium qui pourra nous gêner. On doit faire un vide d'isolement entre enceintechaude et partie froide (idem bouteilles "thermos"). Pb : haut niveau d'étanchéité requis. Quelques10-6cm3/s de gaz STP ≈ 0.1cm3/jour peuvent suffire à introduire assez de vapeurs d'hélium pourdétériorer un vide d'isolement.Remarque pratique : l'hélium liquide peut facilement fuir par des porosités, portée de joint sales, oumicrofissures où d'autres gaz ne passeraient pas. Des microfissures peuvent apparaître à froid auxraccords ou soudures entre matériaux n'ayant pas les même coefficients de dilatation thermique ⇒éviter raccords où le tube intérieur se contracte plus que le tube extérieur (par exemple).

• CONDUCTION

la conductance thermique K est le rapport entre le flux de chaleur conduit, et la différence de

température qui provoque du flux de chaleur : Q•

= K δT .Cette conductance dépend de la conductivité thermique κ du matériau, de la section S et de la

longueur L du conducteur (tout comme la résistance électrique dépend de la résistivité ρ et des

dimensions du conducteur) : K = κ SL (unités SI: K en W.K-1, κ en W.K-1m-1)

Dans la conception et le dimensionnement du montage (supports mécaniques, connexionsélectriques), on tiendra compte de ce que :• les matériaux diélectriques sont en général de mauvais conducteurs thermiques à froid ; conductivité

thermique κ ∝ (T

Θ D

) 3 quand T<< température de Debye Θ

D (dans les matériaux courants Θ

D

≈quelques 100 K, c'est-à-dire une fraction de la température de fusion).• pour les métaux, la conductivité thermique κ suit la loi de Wiedemann-Franz, valable tant que Tassez basse pour que les électrons assurent le transport de l'énergie (càd phonons négligeables) :

κ ρ = LLLL T, où la constante de Lorentz L ≈ 2,44.10-8 W.Ω.K-2

(κ = conductivité thermique en W.K-1m -1, ρ = résistivité électrique en Ω.m, T en K).Comme les métaux ont en général une résistivité électrique ≈plate (et faible : cuivre purρ≈0.02µΩ.cm à TBT, alliages inox ou "constantan" ρ ≈40µΩ.cm) à TBT, la conductivité thermiqueest linéaire en T. La conductance thermique dépendant de T, on évaluera le flux de chaleur entredeux points à T et T+∆T en intégrant le long du conducteur :

Q• = ∫

T

T+∆T

κ(T') SL dT'

→ tables "conductivité thermique intégrale" Λ(T)= ∫Tmin

T

κ(Τ')dT' dans les ouvrages spécialisés.

Pour limiter les apports par conduction, on aura intérêt à thermaliser les fils électriques sur les écransrefroidis par le fluide (cf § rayonnement). NB: les interfaces (serrage, collage, soudure) peuventlimiter la conduction thermique à très basse température ; y prendre garde pour assurer lathermalisation des parties les plus froides.

Remarque pratique : si on minimise la conduction thermique, il faut plus de temps pour évacuer lachaleur emmagasinée dans le dispositif à refoidir...Analogie thermique↔électrique : capacité calorifique mC (m= masse à refroidir, C sa chaleur

spécifique) ↔ capa du condensateur, 1

conductance K ↔ R , ∆ T ↔ V , et Q•

↔ I . La

constante de temps caractéristique associée à une variation de T sera τ = mCK ↔RC.

COURS "MAGNETISME, matériaux magnétiques & supraconducteurs"

RECTIFICATIFS à apporter au POLYCOP version MPA2000

• Annexe Chap. 1, page A4, § champ d'une spire sur son axe [...]

expression intermédiaire B = µo i

2 . R2

[ R2+z2]3/2 = ...

• Annexe chap. 1 p. A9 : dans le tableau du basexposant du magnéton de Bohr 0.92741 . 10-23 A.m2 ou J/T.

• Chapitre 2 p.3, § règles de Hund :

-2 -1 0 1 2 L=2, S=2, J=4 et non S=4, J=6 !

• Chap. 2 p. 3, § "moment magnétique total de l'atome"

le µJ atomique le plus élevé est = 10 µBtout rond, c'est le µeff correspondant qui vaut ≈10.6 µB

• Chap. 2 p. 4 § aimantation moyenne : M= ∑ moment . proba

d'où C-1 = ... et M = NV ∑

j=–J

+J

C. µj .exp(–εj / k BT)

• Chap. 4 p. 4, § énergie d'échange

"coût énergétique pour Ld parois..." : en toute rigueur le nombre de parois est (

Ld - 1 ) et non

Ld ;

erreur commise négligeable pour un aimant macroscopique grand par rapport aux domaines.

• Chap. 4 p. 5, § " Résultat" coût énergétique d'une paroi de Bloch :c'est toujours le même J de l'énergie d'échange J S2 qui intervient, il ne s'agit pas d'un autre JJJJ.