matché a terme

LES MARCHES DERIVES

Nicolas NalpasESC Toulouse

Mars 2006

Table des matières

1 Introduction 4

2 Contrats à terme fermes et swaps 52.1 Principe et évaluation des contrats à terme fermes . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Caractéristiques d’un contrat à terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Le principe des ventes à découvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Valorisation d’un contrat à terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Les différents types de contrats à terme fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Les contrats à terme sur marchandises et matières premières . . . . . 92.2.2 Les contrats à terme sur actions et sur indice boursier . . . . . . . . . 92.2.3 Les contrats à terme de change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.4 Les produits de taux (d’intérêt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Les swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Risques liés aux contrats de swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Evaluation des swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 Une catégorie particulière de swaps : les dérivés de crédit . . . . . . . 12

3 Contrats à terme optionnels 143.1 Qu’est-ce qu’une option ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.2 Les stratégies de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Que vaut une option ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.1 Valeur d’une option = Valeur intrinsèque + Valeur temps . . . . . . . 153.2.2 Les déterminants du prix des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 L’évaluation des options par arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.1 La formule de Merton, Black et Scholes (1973) . . . . . . . . . . . . . 173.3.2 Comment utiliser cette formule ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.3 Les développements ultérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Les différents contrats d’options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.1 Les différents sous-jacents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.2 Les options de seconde génération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

TABLE DES MATIÈRES 2

4 Organisation des marchés dérivés 214.1 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Les origines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.2 Le tournant des années 1970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Les marchés dérivés français . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2.1 MATIF et MONEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2.2 Les contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.3 Les caractéristiques communes : standardisation et garantie des tran-

sactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Le développement des marchés dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3.1 Les marchés organisés : entre diversification et partenariats . . . . . . 254.3.2 Les marchés de gré à gré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Les options sur indice CAC 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4.1 L’indice CAC 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4.2 Les caractéristiques des contrats d’options européennes sur indice CAC 40

(contrats PXL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Les stratégies d’arbitrage 305.1 Les propriétés de base des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 Propriétés d’arbitrage des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3 La prise en compte des versements de dividende . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4 Parité Call-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Les stratégies de couverture 366.1 La gestion du risque de change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.1.1 Ne pas se couvrir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.1.2 Se couvrir en utilisant des contrats à terme fermes . . . . . . . . . . . 366.1.3 Se couvrir en utilisant des contrats à terme optionnels . . . . . . . . . 376.1.4 Conclusion ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.2 Appel d’offre et risque conditionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 La gestion du risque de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7 Les stratégies spéculatives 397.1 L’effet de levier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.1.1 Spéculation sur le marché au comptant . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.1.2 L’achat de calls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.1.3 La vente de puts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.1.4 La combinaison d’options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.1.5 Les spreads et les tunnels (combos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.2 Le trading de volatilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2.2 Les indices de volatilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

TABLE DES MATIÈRES 3

8 La valorisation d’une option 438.1 La dynamique de l’actif sous-jacent et le lemme d’Ito . . . . . . . . . . . . . 43

8.1.1 Processus de Wiener — Processus d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.1.2 Lemme d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.1.3 Processus de Wiener géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.2 Le modèle de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.2.1 L’équation aux dérivées partielles (EDP) fondamentale . . . . . . . . 488.2.2 La formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.2.3 L’effet des déterminants sur le prix de l’option . . . . . . . . . . . . . 54

8.3 Les autres modèles de référence pour la valorisation des options . . . . . . . 558.3.1 Modèle de Merton (1973) pour une option sur action payant des divi-

dendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.3.2 Modèle de Garman et Kohlhagen (1983) pour les options sur devise . 568.3.3 Modèle de Black (1976) pour les options sur contrat à terme . . . . . 57

9 Mesure de la volatilité et phénomène de Smile 599.1 La mesure de la volatilité historique et de la volatilité implicite . . . . . . . . 59

9.1.1 Estimation de la volatilité historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.1.2 La volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9.2 L’estimation du smile de volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.2.1 La matrice des volatilités implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.2.2 Les anomalies du smile de volatilité implicite . . . . . . . . . . . . . . 63

Chapitre 1

Introduction

Un produit dérivé (traduction de derivatives) est un titre financier dont la valeur dépenddu cours d’un actif ou d’un indice sous-jacent. Ces titres permettent de transférer les risquesentre les intervenants sur le marché financier. Nous présentons dans le chapitre 2 les contratsà terme fermes et les swaps ; les contrats optionnels feront l’objet du chapitre 3. Le chapitre 4est consacré à l’organisation des marchés dérivés. Les différentes stratégies liées à l’utilisationdes produits dérivés seront introduites dans les chapitres 5, 6 et 7. La dérivation complètedu modèle de Black and Scholes est exposée dans le chapitre 8. Le chapitre 9 se concentresur la mesure de la volatilité et le problème du smile.

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Chapitre 2

Contrats à terme fermes et swaps

2.1 Principe et évaluation des contrats à terme fermes

2.1.1 Caractéristiques d’un contrat à terme

Une opération à terme consiste à arrêter aujourd’hui les conditions d’une transactioneffectuée à une date future. Il existe deux types d’opération à terme, les contrats forwardet les contrats future. La principale différence entre ces deux types de contrat est que lescontrats forward sont échangés sur les marchés de gré à gré alors que les contrats futuresont échangés sur les marchés organisés. Dans les deux cas, il s’agit d’un contrat, signé à ladate t, qui permet à son détenteur d’acheter ou de vendre l’actif sous-jacent à l’échéance T(T > t) à un prix fixé au moment de la signature du contrat. On appelle prix d’exercice oude livraison (ou delivery price) K, le prix convenu auquel la transaction se fera à l’instantT .L’une des parties du contrat décide d’acheter l’actif sous-jacent dans le futur à un prix

spécifié K. On dit qu’il prend une position longue. L’autre partie décide de vendre cet actifsous-jacent. On doit qu’il prend une position courte. A la date de signature du contrat, leprix d’exercice est choisi de telle sorte que la valeur du contrat pour les deux parties estnulle. Cela implique que le contrat ne coûte rien ni à l’acheteur ni au vendeur. Un contrat àterme ne donne donc lieu à aucun échange monétaire au moment de sa signature.Le contrat est réglé à l’échéance. Le détenteur de la position courte livre l’actif au dé-

tenteur de la position longue en échange d’un montant d’argent égal au prix d’exercice. Aumoment de sa signature, le contrat a une valeur nulle. Par la suite, il peut prendre une valeurpositive ou négative, selon l’évolution du prix de l’actif sous-jacent. Par exemple, si le prixde l’actif augmente après la signature du contrat, la valeur de la position longue devientpositive et la valeur de la position courte devient négative. Au terme du contrat, le payoff(c’est-à-dire le gain de l’investisseur) pour une position longue est ST −K. En effet, le dé-tenteur du contrat doit acheter l’actif au prix de livraison K et il peut le revendre aussitôtau prix ST . De même, le payoff pour une position courte est K − ST , puisque le détenteurdu contrat doit vendre l’actif au prix de livraison K alors qu’il peut l’acheter au prix ST .

5

CHAPITRE 2. CONTRATS À TERME FERMES ET SWAPS 6

Puisque le coût du contrat est nul, le payoff représente également le profit de l’investisseur.On appelle prix à terme (ou prix forward), noté Ft, le prix d’exercice du contrat qui

assure que le contrat a une valeur nulle en t. Au moment de la signature du contrat, leprix à terme et le prix d’exercice sont par définition égaux. Par la suite, le prix à terme estsusceptible de se modifier, alors que le prix d’exercice reste le même.Le fait que le contrat future est signé sur un marché organisé a deux conséquences essen-

tielles : d’une part, la chambre de compensation établit des contrats standardisés ; d’autrepart, comme les deux parties du contrat ne se connaissent pas nécessairement, le marché pré-voit un mécanisme qui garantit aux deux parties que le contrat sera honoré. Chaque partieverse donc un dépôt de garantie dont le montant lui est crédité sur un compte courant. A laclôture quotidienne, la position de l’opérateur est ajustée. Si une perte apparaît, l’opérateurdoit en assurer le financement ; dans le cas contraire, son compte est crédité. La livraison del’actif sous-jacent se fait au prix de la date T , et non au prix convenu dans le contrat.

2.1.2 Le principe des ventes à découvert

Une des particularités des marchés dérivés est de permettre aux agents de vendre àterme des marchandises ou des actifs financiers qu’ils ne détiennent pas : c’est le principedes ventes à découvert. Jusque dans les années 1970 et la naissance des marchés dérivéssous leur forme moderne, les vendeurs de contrats à terme devaient posséder ou acquérir lesous-jacent afin d’honorer leur contrat. Aujourd’hui, les vendeurs ne sont à aucun momentcontraints d’acquérir le sous-jacent. Ils disposent de trois moyens pour solder leur position.Tant que le contrat n’est pas arrivé à échéance, ils peuvent prendre une position inverse àleur position initiale (i.e. ils achètent un contrat à terme de même caractéristiques que celuiqu’ils ont vendu). A l’échéance, ils disposent encore de deux solutions :- régler en espèces la différence entre le cours de liquidation du contrat et le dernier cours

au comptant (ou plus exactement le cours de compensation) ; on parle alors d’une procédurede cash settlement.- procéder à une livraison physique du sous-jacent. Cette solution est la seule qui suppose

que le vendeur possède le sous-jacent.Sans la procédure de cash settlement, la tentation serait forte pour les acheteurs de contrat

à terme de manipuler les cours et de faire pression pour augmenter les prix au comptant,surtout si les contrats sont peu liquides, portent sur des denrées périssables ou des matièrespremières et si les possibilités de stockage sont réduites. Des propriétaires de mines d’or peuscrupuleux pourraient, par exemple, acheter à terme de l’or, avant de limiter les quantitésqu’ils mettent sur le marché (stratégie de corner & squeeze, qui revient à créer une baissevolontaire de la liquidité sur un actif). Aujourd’hui, les cas de manipulations de cours sontrares. L’affaire la plus connue de ces dernières années concerne la trading house japonaiseSumitomo qui a profité de sa position sur le marché du cuivre pour manipuler les cours àson profit sur le London Metal Exchange entre 1991 et 1996.


2.1.3 Valorisation d’un contrat à terme

Un exemple de Cash and Carry

Le prix au comptant et le prix à terme d’un actif financier sont liés par une relationd’arbitrage appelée relation de " cash and carry ". Supposons que l’on souhaite aujourd’huigarantir le prix d’achat d’une action dans un an F (comme forward). Le prix de l’action estactuellement de 100 euros (S, comme spot) et l’on craint une augmentation de celui-ci. Deuxstratégies sont envisageables :- Le plus simple est d’acheter un contrat à terme ferme par lequel on s’engage à acheter

une action dans un an au prix F ;- Une seconde stratégie consiste à emprunter pendant un an 100 euros au taux sans risque

du marché, ici 3%, pour acheter l’action immédiatement et la conserver pendant un an (c’estle sens de l’expression “cash and carry”). Dans un an, on devra rembourser l’emprunt etpayer les intérêts, soit un flux négatif de 103 euros à verser dans un an. En outre, on anticipeque l’action versera un dividende de 2 euros au cours de l’année. Le coût de cette stratégie estdonc de 103 - 2 = 101 euros. Dans les deux cas, l’investissement initial est nul et le résultatest le même : on détient à terme une action. Par conséquent, si les marchés sont bien arbitrés,le coût de ces deux stratégies doit être identique, soit F = 101 euros. Plus généralement,le prix d’un contrat à terme ferme est égal au prix comptant plus le coût de portage. Cedernier est égal à la somme des coûts (coût d’opportunité et/ou coûts de stockage) diminuéedes revenus (dividendes, intérêts, etc.) liés à la détention de l’actif. C’est cette relation quiva nous permettre de valoriser un contrat à terme. Nous étudierons successivement 3 cas.Le cas d’un actifs sous-jacent qui ne rapporte aucune revenu (dividende, coupons, ...). Celuid’un actif qui procure un revenu et celui où le sous-jacet est un taux de change.

Contrat à terme sur un titre qui ne rapporte aucun revenu

On s’intéresse tout d’abord à l’évaluation d’un contrat à terme, sur un titre qui nerapporte aucun revenu à son détenteur. Il peut s’agir par exemple d’une action ne versantpas de dividende ou d’une obligation zéro-coupon. On cherche donc le prix du contrat quiassure que le contrat ne coûte rien aux deux contractants au moment de sa signature.On note St le prix de l’actif sous-jacent (prix au comptant, ou prix spot) à la date t,

K le prix d’exercice du contrat et f la valeur du contrat à terme à la signature du contraten t. On cherche Ft le prix du contrat à terme en t qui sera versé à la date T. La duréeτ = T − t, appelée maturité, est la période qui sépare une option de son échéance. Pourobtenir le prix du contrat à terme, on imagine deux stratégies qui doivent rapporter le mêmerevenu à l’échéance. Comme elles rapportent le même montant final, elles doivent avoir lemême prix aujourd’hui.Le portefeuille A contient une position longue dans le contrat à terme (payée f) et un

montant Ke−rτ placé dans l’actif sans risque1. Le portefeuille B contient une unité d’actifachetée au prix St. A l’échéance du contrat, en T , le montant investi dans l’actif sans risque

1Exprimé en temps continu, 1 euro placé dans l’actif sans risque en t rapporte erτ euro en T .


vaut K. Cette somme est utilisée pour payer l’achat du titre au terme du contrat. Donc àl’échéance, les deux portefeuilles sont constitués d’une unité du titre. Ils doivent donc avoirla même valeur à la date t. Si ce n’était pas le cas, il serait possible pour un investisseur defaire un profit sans risque en achetant le portefeuille le moins cher et en vendant le plus cher.On doit donc avoir

f +Ke−rτ = St.

A la signature du contrat, le prix à terme est égal au prix d’exercice spécifié dans le contratqui assure que la valeur du contrat est nulle en t. Autrement dit, le prix à terme Ft est lavaleur de K qui assure que f = 0 dans l’équation précédente, soit

Ft = Sterτ .

Que faire si Ft > Sterτ ? L’investisseur peut emprunter St euros pour une durée τ au taux

sans risque r, acheter l’actif et prendre une position courte dans le contrat à terme. A ladate T , l’actif est vendu au prix du contrat à terme, Ft et une somme Sterτ est utilisée pourrembourser l’emprunt. L’investisseur a donc réalisé un profit de F − Ste

rτ qui est positif. Al’inverse, si Ft < Ste

rτ , l’investisseur vent à découvert l’actif, place cette somme St au tauxsans risque et prend une position longue sur le contrat à terme. Il réalise en T un profit deSte

rτ − F .

Contrat à terme sur une action qui verse un taux de dividende connu

Dire qu’une action verse un taux de dividende connu indique que le revenu exprimé enpourcentage du prix de l’actif est connu. On suppose que le taux de dividende est payécontinûment à un taux annuel q. Ainsi, si q = 0, 05, le taux de dividende est de 5% par an.Pour évaluer un contrat à terme pour un tel actif, on considère de nouveau deux stratégiesd’arbitrage équivalentes. Pour cela, on remplace le portefeuille B précédent par un portefeuillecontenant e−qτ unité d’actif (acheté au prix St) avec tous les revenus réinvestis dans cet actif.Comme le nombre d’unité croît au taux q, à l’échéance, l’investisseur détient exactement uneunité d’actif. On doit donc avoir l’égalité

f +Ke−rτ = Ste−qτ

soitFt = Ste

(r−q)τ . (2.1)

On remarque qu’un indice boursier peut être vu comme une action qui paie des dividendesen continu. Un contrat à terme sur indice boursier a donc pour prix à terme le prix donnépar l’équation (2.1).

Contrat à terme sur devise

On définit St comme le taux de change au comptant, c’est-à-dire la valeur d’une unité dedevise étrangère en dollar. On note rf le taux d’intérêt sans risque (continûment composé)


dans le pays étranger. Une devise peut s’interpréter comme une action payant un dividendeconnu. En effet, le détenteur de devise reçoit un “taux de dividende” égal au taux sans risquerf en devise. On peut donc appliquer la formule précédente obtenue pour un contrat à termesur action payant un dividende, en remplaçant q par rf . D’où la relation

Ft = Ste(r−rf)τ .

Cette relation est appelée parité couverte des taux d’intérêt.

2.2 Les différents types de contrats à terme fermes

2.2.1 Les contrats à terme sur marchandises et matières premières

Ces contrats à terme fermes sont utilisés par les filières agroalimentaire et minière (agri-culteurs, intermédiaires, grossistes, négociants) et représentent moins de 5% des volumestotaux échangés sur les marchés dérivés. La difficulté principale sur ces marchés tient à ladéfinition des caractéristiques du produit qui fait office de sous-jacent, notamment sa qualité.C’est par exemple le cas lorsque le sous-jacent est un grand cru du bordelais (cf. le segmentWinefex du MATIF). Le dénouement du contrat se déroule la plupart du temps par compen-sation : un flux financier vient solder les positions des contractants, sans livraison physiquedu sous-jacent.

2.2.2 Les contrats à terme sur actions et sur indice boursier

Les contrats à terme sur actions et sur indices boursiers sont principalement négociés surles marchés organisés. Alors que les premiers sont récents et encore peu liquides (longtempsn’ont existé que des contrats d’options sur actions), les seconds remontent au début desannées 1980 et on en dénombre plusieurs centaines dans le monde. Ces indices ou paniers devaleurs mobilières peuvent être constitués de valeurs nationales (ex : CAC 40, DJIA, S&P500, etc.), internationales (ex : DJ Euro Stoxx 50, FTSEurofirst, etc.), ou sectorielles. Dansle cas des contrats sur indice boursier (comme d’ailleurs dans le cas de tous les contrats surindice) il est impossible de livrer l’actif sous-jacent en cas d’exercice, et pour cause puisqu’ilest intangible ! Les positions ouvertes donnent donc toujours lieu à un règlement en espèces.Notons toutefois qu’il existe depuis moins d’un an sur Euronext.Liffe des contrats à termesur tracker qui permettent la livraison du sous-jacent.

2.2.3 Les contrats à terme de change

Les contrats à terme de change permettent de se protéger contre une évolution défavorabledu cours de change. La majorité des contrats dérivés sur devises se traitent de gré à gré,mais quelques uns se traitent sur les marchés organisés.


2.2.4 Les produits de taux (d’intérêt)

Les contrats à terme fermes sur taux

On distingue essentiellement deux types de futures sur taux : - Les futures sur taux à longterme qui permettent de fixer le prix futur auquel on pourra acheter ou vendre une obligationfictive (le notionnel) dont le gisement est généralement constitué d’emprunts d’Etat. C’est lecas, par exemple, du contrat Long Gilt (qui porte sur des emprunts d’Etat britanniques), ducontrat Euro-Bund (obligations publiques allemandes), des contrats 2-Year, 5-Year, 10-Yearet 30-Year Treasury Notes (obligations d’Etat américaines) et du contrat JGB (obligationsd’Etat japonaises). Il existe aussi des forwards de taux (marché de gré à gré) dont le principede fonctionnement est proche, à ceci près qu’ils portent sur des obligations qui existentréellement et non sur des obligations fictives. - Les futures sur taux à court terme qui portentsur un taux d’intérêt à 3 ou 6 mois. Le dénouement de ces futures passe par une procédurede cash settlement. La cotation de ces contrats à terme est originale dans la mesure où ilssont cotés (100% - le taux de référence). Par exemple, si le taux d’intérêt Euribor 3 moisest égal à 2,15%, le contrat Euribor 3 mois cotera 97,85. Outre l’Euribor 3 mois négocié surl’Eurex et le Liffe, on trouve parmi les futures sur taux à court terme le contrat 13-weekT-bills et les contrats Eurodollar et Euroyen à 3 mois.

Les FRA (Forward Rate Agreement) ou garanties de taux d’intérêt

Le FRA permet à deux parties contractantes de garantir dès aujourd’hui un taux d’intérêtfutur. L’acheteur d’un FRA veut fixer le taux d’un emprunt futur, le vendeur souhaite fixerle taux d’un placement futur. Les caractéristiques d’un FRA sont : la devise, le montantnominal à couvrir, le délai d’attente entre la signature du contrat et le début de la couverture,le taux garanti, la référence variable à laquelle le taux garanti doit être comparé et le sens del’opération : achat ou vente. Par exemple, un FRA 3/9 sur un million d’euros sera proposépar une banque à 5,02/5,08%. Cela signifie qu’une entreprise qui redoute une hausse destaux peut acheter un FRA, i.e. se garantir un taux de 5,08% pour un emprunt d’un milliond’euros dans 3 mois pour une durée de 6 mois. Une autre entreprise, qui redoute une baissedes taux, peut vendre le même FRA à la banque et s’assurer un placement dans 3 moispour 6 mois au taux de 5,02%. Contrairement à une opération de forward-forward, le FRAn’implique pas l’adossement du contrat à un engagement de prêt ou d’emprunt. En d’autrestermes, le dénouement d’un FRA se fait par le versement du différentiel de taux d’intérêtmultiplié par le nominal, alors que le dénouement du forward-forward suppose une doubleopération de prêt et d’emprunt. De ce fait, le risque de contrepartie (et, in fine, le coût) estplus faible sur les FRA que sur les forward-forward.


2.3 Les swaps

2.3.1 Principe

Le principe des swaps s’inspire de la technique des prêts parallèles en vigueur dans lesannées 1970. Le premier contrat de swap a été conclu en 1981 entre la Banque Mondiale etIBM pour un montant de 200 millions de dollars. Depuis, le marché des swaps a connu undéveloppement spectaculaire : de 3 milliards de dollars en 1983, les montants notionnels ontatteint 85 000 milliards de dollars en 2002. To swap, en anglais, signifie échanger. Il s’agit, leplus souvent, d’échanger des dettes libellées dans deux devises différentes (swap de changeou swap de devises), des flux financiers à taux fixes contre d’autres à taux variables (swap detaux) ou des flux financiers à taux variables différents (basis swap). Les agents qui échangentsont en général mis en relation par un ou plusieurs intermédiaires. Un contrat de swap estun contrat ferme et irrévocable. Les caractéristiques d’un swap sont : le montant nominal,la ou les devises, les taux de référence. Les entreprises qui s’endettent en devises étrangères(cas d’IBM) ou qui veulent financer des filiales étrangères utilisent fréquemment les swapsde devises. Prenons l’exemple d’un swap de taux. L’entreprise A peut emprunter des dollars(USD) sur 10 ans au taux fixe de 5,80% ou au taux variable EURIBOR + 0,25%. Dans lemême temps l’entreprise B, moins bien notée, peut emprunter des USD sur 10 ans au tauxfixe 7% ou au taux variable EURIBOR + 0,75%. Le coût de l’emprunt est supérieur pourl’entreprise B, i.e. la prime de risque est plus élevée, qu’elle emprunte à taux fixe ou variable.L’entreprise B a tout de même un avantage comparatif sur les emprunts à taux variable(et l’entreprise A sur les emprunts à taux fixe), puisque le surcoût n’est que de 0,5 points,contre 1,2 points à taux fixe. Si l’entreprise A souhaite emprunter à taux fixe et B à tauxvariable aucun swap n’est profitable puisque chaque entreprise emprunte là où elle disposed’un avantage comparatif. En revanche, si l’entreprise A souhaite emprunter à taux variableet B à taux fixe, elles ont toutes les deux intérêt à conclure un swap. Les opérations sont lessuivantes :- A emprunte à taux fixe 5,80%;- B emprunte à taux variable EURIBOR + 0,75%;- A et B concluent un swap EURIBOR contre taux fixe 5,90%.Conformément à leur accord, A et B vont s’échanger les intérêts : A recevra de B des

intérêts fixes et lui paiera des intérêts variables. Dans l’idéal, A et B doivent emprunter lemême montant, mais le swap est profitable même si les montants diffèrent. Chaque année,A rembourse les intérêts de son emprunt à taux fixe 5,80%, reçoit le versement de B 5,90%et lui paie le taux EURIBOR. L’entreprise A paie donc : 5,80% - 5,90% + EURIBOR =EURIBOR - 0,10% pour s’endetter à taux variable, au lieu de EURIBOR + 0,25%. Dans lemême temps, l’entreprise B rembourse les intérêts de son emprunt à taux variable EURIBOR+ 0,75%, reçoit de A EURIBOR et lui paie 5,90%. L’entreprise B paie donc : EURIBOR+ 0,75% - EURIBOR +5,90% = 6,65% pour s’endetter à taux fixe, au lieu de 7%. Le gains’élève à 0,35 points pour l’entreprise A et pour l’entreprise B. En pratique, le gain résultedu pouvoir de négociation de chaque entreprise ; toutefois, le gain total est toujours égal à la


différence entre les écarts entre les taux fixes et les écarts entre les taux variables : ici donc1,2 - 0,5 = 0,7 points.

2.3.2 Risques liés aux contrats de swap

Un swap ne donne lieu à aucun paiement en capital. Les deux parties s’échangent unique-ment, à chaque date de paiement, le montant net des intérêts. Aussi, le risque de contrepartiedans le cas des swaps est limité. Les engagements de prêt et d’emprunt sont connexes : sil’une des contreparties cesse le paiement des intérêts, l’autre n’est plus tenue de respecterses engagements. Le risque de contrepartie ne se traduit donc pas par la perte du montantnotionnel, mais seulement par le coût de remplacement du contrat. Ajoutons que ce coût estparfois plus que compensé par le gain financier en cas d’évolution favorable des cours. Repre-nons l’exemple précédent. Supposons que l’entreprise A fasse défaut et que l’EURIBOR soitégal à 5%. L’entreprise B est libérée de ses engagements et paie de nouveau un taux variable,ici 5,75% au lieu de continuer à payer un taux fixe de 6,65%; libre à elle de contracter unnouveau swap pour repasser en taux fixe. Outre le risque de contrepartie, les intervenantsdoivent tenir compte des risques juridiques. Un contrat de swap doit être précis et met en jeude multiples paramètres juridiques, à la différence d’opérations au comptant telles que lesopérations de change. Pour éviter les négociations longues et coûteuses lors de l’élaborationd’un contrat de swap, l’habitude a été prise de se référer à des conditions standard (définiesau niveau mondial par l’International Swap Dealers Association*).

2.3.3 Evaluation des swaps

Au moment de sa signature, un swap n’a aucune valeur : aucun des agents qui sontparties prenantes du contrat ne paie. Toutefois, dès que le contrat est signé, le swap a unevaleur positive, négative ou nulle, en fonction de l’évolution des taux d’intérêt ou des tauxde change. Pour évaluer cette valeur, on peut décomposer le swap en deux opérations (deux" jambes " dans le jargon financier), la première jambe étant un prêt (celle qui reçoit despaiements d’intérêt), la seconde un emprunt (celle qui verse des intérêts). Pour estimer lavaleur du swap, il suffit alors d’estimer la différence entre la valeur du prêt et celle del’emprunt. Pour cela, on peut procéder en calculant la valeur actuelle (ou valeur présente,08) des flux engendrés par la jambe fixe, diminuée du montant du prêt à taux variable (lemontant notionnel du swap).

2.3.4 Une catégorie particulière de swaps : les dérivés de crédit

Initialement conçus pour gérer les risques de marché (risque de taux, risque de change,risque lié aux variations de prix des matières premières ou des cours de bourse, etc.), lesproduits dérivés sont utilisés aujourd’hui pour se couvrir ou spéculer sur les risques de cré-dit (risque de non-paiement ou de non-remboursement). Le premier dérivé de crédit datede 1991 : il s’agissait d’un credit default swap, émis par Banker Trust, indexé sur le risque


de défaut d’un panier de banques japonaises. Ces swaps permettent à leurs acheteurs de seprémunir contre les risques d’une dégradation de la qualité d’un crédit. Le vendeur du swapreçoit de l’acheteur une prime périodique et s’engage à lui verser une compensation en casd’occurrence d’un "événement de crédit", prévu par le contrat de swap (faillite de l’emprun-teur, défaut sur le remboursement du principal ou des intérêts, dégradation de notation. . . ).Outre les credit default swaps, qui sont les principaux dérivés de crédit, on trouve aujour-d’hui de nombreuses options sur crédit, des produits structurés, etc. Ces nouveaux produitsservent essentiellement aux banques pour gérer leur portefeuille de prêts. Les motivations àcela sont nombreuses. Il s’agit, par exemple, pour un créancier de vendre un risque de crédittrop élevé afin de se mettre en conformité avec les directives édictées par les autorités desupervision ou, dans une optique purement commerciale, afin de continuer à prêter à certainsclients sans devoir supporter les coûts de sa faillite éventuelle. Les techniques d’évaluationdes risques et la standardisation des opérations ont permis un rapide essor des dérivés decrédit. La Banque des Règlements Internationaux évalue l’encours des dérivés de crédit à695 milliards de dollars en juin 2001 (contre 108 milliards en juin 1998). Malgré cette fortecroissance, ce marché dérivé reste encore d’une taille inférieure aux autres marchés dérivés.

Chapitre 3

Contrats à terme optionnels

3.1 Qu’est-ce qu’une option ?

3.1.1 Définition

Une option est un contrat à terme par lequel l’acheteur de l’option obtient du vendeur,moyennant le paiement d’une prime (premium), le droit, mais non l’obligation, d’acheter(on parle alors de call) ou de vendre (on parle alors de put) une quantité déterminée d’ac-tif sous-jacent, à un prix convenu à l’avance (dit prix d’exercice, ou strike) au cours d’unepériode ou à une date déterminée. N’importe quel support peut servir de sous-jacent : ac-tions, indices boursiers, devises, titres à revenu fixe, matières premières, options (on parlealors d’options sur option). . . Les options dites européennes ne peuvent être exercées qu’àl’échéance, alors que les options dites américaines peuvent être exercées à n’importe quelledate jusqu’à l’échéance. Cette terminologie n’a bien sûr rien à voir avec la localisation géo-graphique : on trouve des options européennes aux Etats-Unis et, inversement, des optionsaméricaines en Europe. Par exemple, une option d’achat européenne sur 100 actions FranceTélécom, d’échéance 6 mois, de prix d’exercice 20 euros offre à l’acheteur de l’option ledroit, s’il le désire, d’acheter dans 6 mois 100 actions France Télécom au prix de 20 euros.Contrairement au cas d’un contrat à terme ferme, l’acheteur d’une option n’est pas contraintd’acheter les actions.

3.1.2 Les stratégies de base

Il existe quatre stratégies de base en ce qui concerne les options.

L’achat d’un call

L’acheteur d’un call acquiert un droit, celui d’acheter, s’il le désire, l’actif sous-jacentau prix K à (ou jusqu’à) la date prévue T par le contrat. Pour acquérir ce droit, il payela prime p. Si, à l’échéance, le prix de l’actif sous-jacent S est supérieur au prix d’exercicede l’option (S > K), l’acheteur de l’option exerce son contrat puisqu’il réalise un gain (S

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CHAPITRE 3. CONTRATS À TERME OPTIONNELS 15

- K). Si, au contraire, le prix de l’actif sous-jacent est inférieur ou égal au prix d’exercicede l’option (S K) le détenteur de l’option n’exerce pas son option ; il est en effet préférabled’acheter directement sur le marché au prix S. L’acheteur du call est donc couvert contre unehausse du prix de l’actif sous-jacent (au pire, l’actif sous-jacent lui coûte K), mais bénéficiedes baisses éventuelles. Mathématiquement, son profil de gain (pay-off) net s’écrit Max (0,S - K) - p.

La vente d’un call

Le vendeur d’un call est soumis à la volonté de l’acheteur. Il est obligé de livrer lesous-jacent au prix d’exercice ou de payer la différence entre le prix au comptant et le prixd’exercice si l’acheteur de l’option en décide ainsi. Le profit du vendeur est limité au montantde la prime perçue, alors que ses pertes sont illimitées. Son profil de gain net est symétriqueau précédent ; il s’écrit p - Max (0, S - K).

L’achat d’un put

L’acheteur d’un put a le droit, mais pas l’obligation, de vendre l’actif sous-jacent S au prixd’exercice K. Il espère une hausse du cours du sous-jacent. Si ces anticipations se confirment,il réalise un gain ; gain d’autant plus élevé que le prix de l’actif sous-jacent est faible. Contrai-rement à l’achat d’un call, les gains sont ici limités au montant K (parce que le prix de l’actifsous-jacent a pour limite inférieure zéro). En outre, puisque l’acheteur de l’option de ventedécide d’exercer, ou non, son option, le montant de ses pertes est limité à la prime ; en effet,il n’exerce que si K > S. L’acheteur d’un put est donc couvert contre une baisse éventuellede l’actif sous-jacent tout en profitant des opportunités de hausse. Précisément, sa fonctionde gain net s’écrit Max (0, K - S) - p.

La vente d’un put

Le vendeur d’un put est soumis à la volonté de l’acheteur. De fait, il se retrouve dans unesituation où ses gains sont limités (au montant de la prime) alors que ses pertes peuvent êtretrès importantes. Sa fonction de gain net est symétrique à la celle de l’acheteur d’un put ;elle s’écrit p - Max (0, K - S).

3.2 Que vaut une option ?

3.2.1 Valeur d’une option = Valeur intrinsèque + Valeur temps

La valeur d’une option, c’est-à-dire aussi le montant de la prime exigée par le vendeur del’option, est fonction de deux composantes additives :- La valeur d’une option est, au minimum, égale au profit de l’acheteur si l’option était

exercée immédiatement : on parle de valeur intrinsèque. La valeur intrinsèque d’une option


ne dépend que de la différence entre le cours du support et le prix d’exercice. Celle-ci ne peutêtre négative puisque l’exercice de l’option est un droit et non une obligation.- En outre, il existe toujours une probabilité non nulle pour que, d’ici l’échéance, l’évo-

lution des cours du sous-jacent soit favorable au détenteur de l’option ; c’est ce que mesurela valeur temps. La valeur temps se mesure par la différence entre le prix de marché de l’op-tion et sa valeur intrinsèque. Plus l’échéance de l’option est éloignée et plus la valeur tempsest importante car l’incertitude quant au potentiel d’évolution de la valeur intrinsèque aug-mente. Toutes choses égales par ailleurs, la valeur temps est maximale lorsque le prix del’actif sous-jacent est égal au prix d’exercice de l’option.A l’échéance, la valeur d’une option est égale à sa seule valeur intrinsèque puisque la

valeur temps est nulle.On dit qu’une option est à la monnaie ou à parité (at the money) si le cours de l’actif

sous-jacent est égal au prix d’exercice, i.e. S = K; elle est dans la monnaie (in the money)si sa valeur intrinsèque est positive, i.e. S > K pour un call et K > S pour un put ; enfin,elle est en dehors de la monnaie (out the money) si sa valeur intrinsèque est nulle, i.e. S <K pour un call et K < S pour un put.

3.2.2 Les déterminants du prix des options

La valeur d’une option est fonction des caractéristiques du contrat (échéance et prixd’exercice), du taux d’intérêt sans risque et des caractéristiques de l’actif sous-jacent, plusprécisément de sa fonction de distribution à l’échéance :- plus le cours de l’actif sous-jacent est élevé, plus la prime exigée pour une option d’achat

(de vente) est élevée (faible).- plus le prix d’exercice est élevé, moins (plus) l’option d’achat (de vente) a de chance

d’être exercée et moins (plus) elle est chère.- plus l’actif sous-jacent est volatil, plus la probabilité d’exercice est importante et plus

le prix à payer pour se couvrir est élevé, qu’il s’agisse d’une option d’achat ou de vente.- l’option ayant une durée de vie limitée, le temps qui passe a un impact négatif sur la

valeur temps de l’option (d’achat ou de vente) et, in fine, sur le prix de l’option.- plus le taux d’intérêt est élevé, plus la valeur d’une option d’achat (de vente) est

élevée (faible) : l’achat d’un call est toujours moins coûteux que l’achat du sous-jacent, lemontant "économisé" peut alors être placé au taux sans risque ; l’achat d’un put diffèrela vente (éventuelle) du sous-jacent ce qui s’interprète comme un coût d’opportunité subipar l’acheteur. En pratique toutefois, les variations de taux d’intérêt ont un effet limité etambigu. En plus de l’effet ceteris paribus (toutes choses égales par ailleurs) des taux d’intérêtsur le prix de l’option, les taux ont un impact négatif sur le cours des actions, qui affecte leprix des options en sens inverse.


3.3 L’évaluation des options par arbitrage

Les options étant cotées sur les marchés financiers, leurs prix résultent de la confron-tation de l’offre et de la demande. Toutefois, il est possible, en utilisant un raisonnementpar arbitrage, de déterminer le juste prix (fair price) des options. C’est l’objet des méthodesd’évaluation développées, entre autres, par Robert C. Merton, Fisher Black et Myron Scholes.Ces travaux leur ont valu le prix Nobel d’économie en 1997. La formule qu’ils établissentpour le pricing d’un call est l’une des formules mathématiques les plus utilisées en finance ; lapublication au début des années 1970 de leurs travaux a certainement été un facteur déter-minant dans le développement des marchés d’options. Nous donnons dans la section suivantel’intuition de la formule de Black and Scholes. Sa dérivation est exposée dans le chapitre 7

3.3.1 La formule de Merton, Black et Scholes (1973)

Considérons le cas d’un call européen sur action. Nous avons vu précédemment quel’acheteur de ce call anticipe une hausse de l’actif sous-jacent, tandis que le vendeur anticipe,lui, une baisse. Chacun gagne ce que l’autre perd ; le jeu est à somme nulle. A première vue,il s’agit pour les deux parties de formuler une hypothèse sur la distribution de probabilité duprix futur de l’action (S). Toutefois, Black, Scholes et Merton ont montré qu’il était possiblede prendre position sur les options, sans tenir compte de la rentabilité anticipée de l’action.Sans présenter de démonstration mathématique, il est possible de saisir l’intuition de Black,Scholes et Merton. Pour évaluer la prime d’une option, Black, Scholes et Merton proposede construire un portefeuille composé d’options et d’actions qui, à tout moment, soit sansrisque. Il est nécessaire pour cela de connaître l’ampleur des variations de prix de l’optionlorsque le prix de l’action varie d’une unité. Ce rapport de variations est appelé le delta. Ledelta varie entre 0 et 1 ou -1 respectivement pour un call et un put ; il est d’autant plusproche de 0 que l’option est out of the money (i.e. tout mouvement de cours du sous-jacenta peu d’impact sur la valeur de l’option) et d’autant plus proche de 1 ou -1 que l’option estin the money (i.e. toute variation du support, à la hausse comme à la baisse, se répercutesur la prime de l’option). Lorsque le prix d’exercice d’une option est proche du prix du sous-jacent (at the money), le delta est très sensible aux variations du support. Pour construireun portefeuille sans risque il suffit, par définition, d’acheter un call et de vendre actions. Eneffet, quelle que soit la variation de prix des actions, elle est compensée par une variationen sens contraire du prix de l’option. Le problème est toutefois que le paramètre se modifieà mesure que le cours de l’action varie et que l’échéance de l’option approche. Il est doncnécessaire d’ajuster la composition du portefeuille en permanence, ce qui est théoriquementpossible si, comme le font Black, Scholes et Merton, on suppose qu’il n’existe aucun coûtde transaction : ni impôts, ni frais de courtage. Finalement, le fait que ce portefeuille soitinsensible aux variations de prix de l’action implique, sous l’hypothèse de marchés efficients,que son rendement soit égal à celui d’un titre sans risque, tel qu’un bon du Trésor : à risqueégal, rendement égal ! En effet, si tel n’était pas le cas, les investisseurs profiteraient dudifférentiel de rendement pour réaliser des arbitrages. Or, le seul prix C du call qui satisfait


ces conditions est défini par l’équation suivante : avec N la fonction de répartition de la loinormale, s volatilité future du sous-jacent, T l’échéance de l’option, r le taux d’intérêt sansrisque et K prix d’exercice de l’option. Cette formule est connue sous le nom de formule deBlack et Scholes.

3.3.2 Comment utiliser cette formule ?

Cette formule est remarquable dans la mesure où tous les paramètres, excepté la volatilitéfuture, sont parfaitement connus. La volatilité peut alors simplement être calculée à partirdes mouvements du cours au comptant observés dans le passé (volatilité historique). Ellepeut également être estimée à partir de méthodes économétriques sophistiquées (processusGARCH par exemple). Mais le plus souvent, en pratique, la volatilité est extraite du prixde marché des options en " inversant " la formule de Black et Scholes. Sous les hypothèsesdu modèle, le prix de l’option est donc unique et ne dépend pas des préférences temporellesou de l’aversion au risque des agents. Cette particularité a fait le succès de la formule. Alorsqu’auparavant, les opérateurs se limitaient à prendre position, une fois pour toutes et àattendre passivement que l’option vienne à échéance en se fondant sur leurs anticipations deprix, leur logique est désormais bien différente ; il s’agit d’une logique de couverture où levendeur de l’option va acheter la quantité d’actif nécessaire pour maintenir un portefeuilleinsensible à la hausse ou à la baisse du prix de l’actif sous-jacent, portefeuille qui, comme nousl’avons vu, devra être réajusté régulièrement ; c’est ce qu’on appelle la gestion dynamiqueen delta-neutre. A cet égard, l’apport de Black, Scholes et Merton est moins d’avoir établiune nouvelle formule d’évaluation que d’avoir proposé une nouvelle méthode de gestion desrisques. D’ailleurs, cette formule n’est pas tant utilisée pour déterminer le prix des optionsque pour estimer les paramètres nécessaires à la couverture d’un portefeuille, comme le deltadéjà mentionné.

3.3.3 Les développements ultérieurs

La publication des articles de Black, Merton et Scholes a mis fin à un problème vieuxde plus de 70 ans. Déjà en 1900, le mathématicien français Louis Bachelier dans sa thèse dedoctorat essayait de résoudre le problème de l’évaluation de ces contrats. Mais la publicationdes articles de Merton, Black et Scholes constitue le véritable point de départ de la théoriede l’évaluation des actifs dérivés. Le raisonnement précédent développé pour l’évaluation(le pricing) des calls européens sur actions s’applique, après quelques modifications, à denombreux autres contrats optionnels. Par ailleurs, il est possible de relâcher certaines deshypothèses du modèle de base pour prendre en compte les coûts de transaction, la variabilitédes taux d’intérêt et de la volatilité, le versement des dividendes, la possibilité d’exerciceanticipé des options américaines, la non-normalité des rendements boursiers, etc. Le plussouvent, les formules qui en découlent sont toutefois complexes à mettre en œuvre. L’im-portance scientifique des travaux de ces trois économistes ne se limite d’ailleurs pas à leurcontribution en matière d’évaluation d’actifs dérivés. Leur démarche est également à l’origine


de la théorie des options réelles qui a renouvelé la théorie des choix en avenir incertain enmettant en avant l’importance économique de la flexibilité d’une politique d’investissement.

3.4 Les différents contrats d’options

Jusqu’à présent, nous avons uniquement évoqué le cas des options traditionnelles (bap-tisées familièrement plain vanilla). En fait, l’innovation financière ne connaît pas de limite ;il existe une multitude de contrats d’options qui différent par leur sous-jacent ou par l’ajoutde clauses supplémentaires.

3.4.1 Les différents sous-jacents

Depuis le XIXème siècle et la création des premiers marchés à terme à Chicago , denombreux actifs ont servi de supports aux contrats d’option. Les premiers contrats optionnelsportaient, comme les contrats à terme fermes, sur le bétail, les denrées périssables (blé,colza, etc.) et les matières premières (pétrole et métaux précieux). Aujourd’hui, on trouvepar ailleurs des contrats sur le gaz naturel ou le vin de Bordeaux. Depuis les années 1970, lesagents disposent aussi d’options sur devises et d’options de taux, parmi lesquelles les caps,floors et collars. Un cap permet à son acheteur de se protéger contre une hausse des tauxd’intérêt sur longue période, tout en profitant d’une baisse éventuelle. Le floor est symétriqueau cap, il permet une protection contre la baisse des taux tout en offrant la possibilité deprofiter d’une hausse. Enfin, le collar, ou tunnel, résulte de la combinaison d’un cap et d’unfloor, permettant ainsi d’encadrer les variations du taux d’intérêt dans un tunnel. Les optionssur actions, également apparues dans les années 1970, font aujourd’hui l’objet de nombreusesinnovations financières avec le développement des options sur indices boursiers (sectoriels,nationaux ou internationaux) et des warrants. Ces derniers, dont l’essor date surtout desannées 1990, sont dans leur principe semblables aux options, à la différence qu’ils ne sontpas standardisés et qu’ils sont émis par les banques. Ils sont, le plus souvent de valeurnominale réduite et de long terme. Ils se négocient comme des actions - inutile d’ouvrir uncompte spécifique - et peuvent être achetés et revendus simplement par les particuliers. Enfin,on voit apparaître de nombreuses options aux sous-jacents exotiques. Parmi les sous-jacentsproposés :- d’autres contrats dérivés, à savoir des futures, des options ou des swaps (on parle alors

de swaption, contrat qui donne le droit mais non l’obligation à leur acheteur de conclureultérieurement un swap à des conditions prédéfinies) ;- des matières premières non stockables (électricité, par exemple) ;- des indicateurs de marché, (volatilité d’un actif par exemple) ;- voire n’importe quel indice statistique, pourvu qu’il soit basé sur un phénomène dont

l’issue est aléatoire et quantifiable ; c’est déjà le cas des précipitations météorologiques oude la durée d’ensoleillement (dérivés climatiques) et peut-être, dans un avenir proche, desémissions de CO2 ou de la qualité de l’eau.


3.4.2 Les options de seconde génération

Des clauses supplémentaires peuvent être ajoutées aux contrats traditionnels afin dediminuer le montant de la prime pour l’acheteur, de limiter les pertes potentielles pour levendeur, etc. On parle alors d’options de seconde génération. Parmi celles-ci, on distingue :- les options asiatiques, dont le prix d’exercice est égal à la moyenne des cours observés

sur une période donnée ;- les lookback options qui permettent à leur détenteur de bénéficier du cours le plus

avantageux observé sur l’ensemble de la durée de vie d’une option ;- les options à barrière qui s’activent (options in) ou se désactivent (options out) en

fonction du franchissement, à la hausse (options up) ou à la baisse (options down), d’unseuil prédéterminé (par exemple un call down & in s’active si le cours de l’actif sous-jacentfranchit le seuil à la baisse) ;- les options digitales (ou binaires ou "all or nothing") qui définissent un montant for-

faitaire à verser par le vendeur à l’acheteur si le cours du sous-jacent franchit un seuilprédéterminé ;- les options contingentes pour lesquelles le paiement de la prime est conditionné au

franchissement d’un seuil par le sous-jacent ;- les options bermudiennes, dont l’exercice n’est possible que pendant certaines plages

de temps (ainsi nommées parce que les Bermudes sont entre l’Europe et l’Amérique et lesoptions bermudiennes sont entre les options européennes et les options américaines) ;- etc.

Chapitre 4

Organisation des marchés dérivés

4.1 Un peu d’histoire

4.1.1 Les origines

Les contrats à terme tels que nous les connaissons sont le fruit d’une longue évolutiondes pratiques commerciales et financières. De nombreux témoignages rapportent que despratiques financières similaires à celles en vigueur aujourd’hui étaient courantes durant lahaute Antiquité. En particulier, Aristote raconte comment le philosophe Thalès de Milet mità profit l’effet de levier des options pour réaliser des opérations spéculatives. Mais ce n’estqu’à partir du XVIIème siècle, avec le développement des échanges transcontinentaux etl’essor des premières bourses, que de telles pratiques se généralisent vraiment. Les contratsà terme remplissent alors un double rôle : ils servent à la fois de moyen de financementet d’instrument de couverture. Ainsi, les marchands hollandais finançaient leurs opérationscommerciales en proposant de vendre leur cargaison avant même d’embarquer. De la mêmemanière, quelques siècles plus tard aux Etats-Unis, les propriétaires terriens négociaient leprix de leurs récoltes avant même de commencer à planter. Le développement des marchésdérivés s’est poursuivi au Japon, vers 1730, avec la Bourse du riz de Dojima (fermée parle gouvernement Meiji en 1869) et surtout à Chicago au XIXème siècle, avec la créationdu Chicago Board of Trade (CBOT) en 1848 et du Chicago Mercantile Exchange (CME)en 1874. Le premier était spécialisé sur le marché des céréales et le second sur le bétail etles denrées périssables. Pourquoi Chicago plutôt que New-York par exemple ? Simplementparce que la ville de Chicago bénéfice d’une situation géographique favorable à l’agriculture,à proximité des plaines du Middle-West et de la région des grands lacs. Des contrats à termese négociaient aussi à Paris à la fin du XIXème siècle. Les transactions étaient toutefois peunombreuses et il n’existait pas de marché secondaire sur lequel on pouvait se défaire de sesengagements. Jusqu’en 1970, peu d’innovations sont venues alimenter les marchés à terme sice n’est la mise en place, à Chicago, sous l’impulsion des bourses de commerce, des systèmesde dépôt de garantie dès 1877 et la création des chambres de compensation à partir de 1925.

21

CHAPITRE 4. ORGANISATION DES MARCHÉS DÉRIVÉS 22

4.1.2 Le tournant des années 1970

Les incertitudes relatives aux fluctuations des taux de change et des taux d’intérêts, dansun contexte de changes flexibles, ainsi que les variations de prix des valeurs mobilières, dansun environnement caractérisé par une plus grande liberté des mouvements de capitaux etpar une globalisation financière accrue, sont à l’origine du développement, à grande échelle,des marchés à terme organisés. L’ouverture, le 16 mai 1972, de l’International MonetaryMarket marque le véritable essor des marchés à terme. Ce marché, filiale du CME, proposeles premiers contrats à terme fermes sur devises. Le premier marché réglementé d’optionssur actions négociables, le Chicago Board Options Exchange (CBOE), fut lui créé le 26avril 1973. Le hasard a d’ailleurs voulu que cette date coïncide avec la parution des articlespionniers de Fisher Black, Myron Scholes et Robert C. Merton sur l’évaluation des options.Le CBOE connaît rapidement un vif succès (1,12 millions de contrats sont échangés en1973, 5,6 millions en 1974, 137 millions en 1982 et 326 millions en 2000), ce qui conduittoutes les places financières à procéder de même, d’abord aux Etats-Unis, puis dans lesautres pays anglo-saxons à la fin des années 1970, en Europe et en Asie dans les années 1980.Aujourd’hui, pratiquement toutes les places boursières possèdent leur propre marché à terme.Parallèlement, de nombreuses innovations financières, sous l’impulsion le plus souvent desmarchés américains, sont venues enrichir la panoplie des instruments offerts aux investisseurs.Dès 1975, le CBOT propose des contrats à terme fermes sur prêts hypothécaires. Les premierscontrats à terme sur les Bons du Trésor américains à 90 jours (T-Bills) sont introduits en 1976sur le CME, tandis que le CBOT propose à partir de 1977 un contrat sur obligations d’Etatà long terme. En 1977 également, sont créés les premières options de ventes (puts). Aprèsplusieurs années de négociation avec les autorités américaines, le Kansas City Board of Trade(KCBT) introduit en 1982 les premiers contrats à terme fermes sur indice boursier. Une étapesupplémentaire est franchie en 1983 par l’introduction, sur le CBOE, des premières optionssur indice S&P 100. Depuis, de nombreux autres contrats à terme, fermes ou optionnels, surdes indices nationaux, transnationaux ou sectoriels ont été créés, tant aux Etats-Unis qu’enEurope ou en Asie.

4.2 Les marchés dérivés français

La création des marchés dérivés en France s’est inscrite dans une logique de développe-ment de la place de Paris, recommandée à partir de 1979 par le rapport de la CommissionPérousse. Ces marchés ont permis d’accroître la liquidité et la sécurité des contrats à termeet de faciliter les opérations de couverture et de spéculation sur les titres français.

4.2.1 MATIF et MONEP

Nés au milieu des années 1980, le MATIF et le MONEP sont les deux marchés réglemen-tés d’instruments financiers à terme de la place de Paris. Le MATIF est né le 20 février 1986,sous le nom de Marché à terme d’instruments financiers ; il fut rebaptisé par la suite Marché à


terme international de France, pour affirmer la compétitivité de la place de Paris à l’échelleinternationale. Sa création, la même année que le marché des OAT, s’est inscrite dans leprocessus de modernisation de la gestion de la dette publique, en offrant aux investisseursun instrument de couverture contre les variations des taux d’intérêt. Le MONEP, Marchédes options négociables de Paris, a été ouvert le 10 septembre 1987, un mois avant la criseboursière d’octobre. Jusqu’en 2000, le MATIF et le MONEP étaient gérés par ParisBour-seSBF SA. Au moment de la fusion des marchés belges, français et néerlandais en septembre2000, ils ont naturellement été intégrés à la société Euronext. Depuis l’offre publique d’achatamicale d’Euronext sur le LIFFE (London International Financial Futures and Options Ex-change), le marché dérivé de Londres, fin 2001, c’est ce dernier, rebaptisé Euronext.Liffe, quigère l’ensemble des marchés dérivés d’Euronext, y compris donc le MATIF et le MONEP.

4.2.2 Les contrats

Contrairement à ce que leurs noms suggèrent, le MATIF n’est pas réservé aux contrats àterme fermes et le MONEP aux contrats d’options. En effet, le MATIF regroupe les produitsdérivés de taux d’intérêt (contrats à terme et options sur contrats à terme) et de matièrespremières ; le MONEP, quant à lui, regroupe les contrats à terme fermes et optionnels suractions et sur indices.Le contrat phare duMATIF a longtemps été le contrat notionnel (renommé euro-notionnel

après le passage à l’euro, il s’appuie sur un gisement d’obligations françaises et allemandesà 10 ans). Après avoir été le leader européen, ce contrat a été victime, à partir de 1998,de la concurrence qui l’opposait à l’Euro-Bund, le contrat à terme ferme sur les obligationsd’Etat en euro traité sur l’Eurex (le marché germano-helvétique). S’agissant des contrats surmarchandises, on trouve parmi les sous-jacents proposés, le colza (graine, huile ou tourteau),le blé, le maïs, les graines de tournesol ou encore les vins rouges de Bordeaux. Les contratssur le sucre, le cacao, les devises, les bons du Trésor français à trois mois, les dépôts à troismois en euromarks ou les obligations d’Etat italiennes à dix ans, un temps proposés sur leMATIF, sont aujourd’hui abandonnés.En 2003, on dénombrait sur le MONEP plus d’une centaine de classes d’options portant

sur plus de 75 actions (françaises ou étrangères). En plus de ces contrats sur actions, leMONEP propose depuis 1988 des contrats à terme, fermes ou optionnels, sur l’indice CAC40. Enfin le MONEP diffuse, depuis 1997, deux indices de volatilité calculés à partir ducours des options sur indice CAC 40 à maturité courte et à maturité longue. Ces indicesde volatilité, calculés toutes les 15 secondes, fournissent à chaque instant, une mesure dela volatilité anticipée par les opérateurs sur le marché français. La diffusion de ces indicesconstitue à ce titre une réponse des autorités de marchés à la pratique désormais répanduedu trading de volatilité qui consiste à spéculer, non pas sur le sens des variations de prix,mais sur leur amplitude.


4.2.3 Les caractéristiques communes : standardisation et garantiedes transactions

La négociabilité des contrats sur le MATIF et le MONEP est favorisée par plusieursfacteurs. La cotation de ces instruments sur un marché réglementé présente tout d’abordl’avantage de permettre la standardisation des contrats et la concentration des transactions.L’utilisation d’une plate-forme de transaction électronique (LIFFE CONNECT) permet en-suite une confrontation rapide et efficace des ordres. Enfin et surtout, la présence d’unechambre de compensation offre une réelle garantie aux intervenants : en s’interposant entreles acheteurs et les vendeurs, cet organisme rompt le lien contractuel initial entre les deuxparties et permet à chacun de clore sa position sans craindre le défaut de sa contrepartie. Enretour, la chambre de compensation demande à tous les intervenants des dépôts de garantie(deposits), de l’ordre du 5 à 10% du montant du contrat et procède quotidiennement à desappels de marge, traduction impropre de l’anglais margin call puisqu’en fait il s’agit du ver-sement d’une sorte d’acompte. La règle, édictée par la COB*, est la suivante (le mécanismeest à peu de chose près le même pour tous les marchés organisés) : les investisseurs doiventdisposer à tout moment de garanties nécessaires au débouclage de leurs positions dans l’hy-pothèse d’une évolution défavorable de l’actif sous-jacent au cours de la séance. Chaque soir,la société Clearnet, filiale d’Euronext NV, évalue donc le coût théorique de liquidation dechaque portefeuille (la valeur liquidative) dans différents scénarios. Clearnet s’assure ensuiteque chaque intervenant dispose de la couverture nécessaire à la liquidation éventuelle desa position dans l’hypothèse la plus défavorable. Si cette couverture excède le montant desdépôts de garantie, le donneur d’ordre doit répondre à un appel de marge, faute de quoi ilest tenu de liquider sa position immédiatement. Ainsi, les dépôts de garantie sont ajustésquotidiennement et les intervenants sont protégés en cas de défaillance de l’un d’entre eux.

4.3 Le développement des marchés dérivés

Depuis 1970, les volumes de transaction de produits dérivés n’ont pratiquement jamaiscessé d’augmenter pour atteindre, en 2002, près de 700 000 milliards USD sur les marchésorganisés (hors contrats sur marchandises et sur actions), auxquels il faut ajouter environ1 500 000 milliards USD négociés de gré à gré ; à titre de comparaison, le montant totaldes importations et des exportations dans le monde s’élève à 13 000 milliards USD par anenviron. Une des raisons pour laquelle les volumes de transaction sur les marchés dérivéssont si élevés tient à ce que l’achat ou la vente d’un contrat à terme par l’utilisateur finalconduit à une cascade d’opérations en aval (ce multiplicateur est difficile à évaluer mais ilest au moins d’un facteur 10). Il convient, en outre, de préciser que les volumes de tran-saction s’entendent comme des montants notionnels qui sont bien supérieurs aux montantseffectivement échangés.


4.3.1 Les marchés organisés : entre diversification et partenariats

A l’instar des bourses de valeurs, les marchés dérivés se font de plus en plus concur-rence depuis la fin des années 1990. Cette concurrence est plus vive encore que celle sur lesmarchés au comptant dans la mesure où la clientèle est composée, pour l’essentiel, de profes-sionnels des marchés. A cela s’est ajoutée en Europe l’unification monétaire, qui a entraînéla disparition ou la fusion de nombreux contrats mais qui, dans le même temps, a permis àd’autres produits d’atteindre une taille critique. Les marchés dérivés français sont surtouten concurrence avec l’Eurex, né en 1998 de la fusion de Deutsche Terminbörse (une filialede la Deutsche Börse) et du SOFFEX, le marché dérivé de Zurich. Dès le début, le marchéallemand a parié sur la cotation électronique au lieu du système à la criée organisé autourde la corbeille, système pourtant très ancré dans les traditions des marchés dérivés. Tech-nologiquement en avance sur Paris et Londres, ce marché a vraiment pris l’ascendant à lafin des années 1990, avec la mise en place de l’euro. De manière générale, le MONEP résistemieux à la concurrence européenne que le MATIF. Les options européennes sur indice CAC40 sont parmi les plus traitées au monde et le marché des options sur actions est le premieren Europe. Le MONEP a toutefois abandonné à l’Eurex les contrats à terme sur les indicesDow Jones Stoxx 50 et Dow Jones Euro Stoxx 50 (qui couvrent respectivement les valeursdes pays d’Europe occidentale et celles de la zone euro), ainsi que sur 7 indices sectorielseuropéens. En outre, l’augmentation globale des transactions semble marquer le pas depuisl’essor des warrants. Dans le cadre de son expansion, Euronext a aussi lancé un compar-timent spécifique pour les warrants, NextWarrant. Fin 2001, 500 sous-jacents différents yétaient disponibles. Euronext examine par ailleurs l’opportunité d’étendre son activité à denouveaux produits dérivés aux sous-jacents " exotiques ". Le champ d’application des pro-duits dérivés est effectivement très vaste. Euronext envisage ainsi de proposer des contratsà terme sur l’électricité ou le gaz naturel (Euronext est actionnaire à 34% de PowerNext,ouvert en novembre 2001). Si la conjoncture boursière s’y prête, il se peut aussi qu’appa-raissent des contrats à terme sur la volatilité de l’indice CAC 40 afin de faciliter le trading devolatilité. Euronext souhaite également élargir son offre aux dérivés climatiques (Euronextdiffuse déjà, en coopération avec Météo France, des indices de températures sur le segmentNextWeather). Enfin, en réaction à l’intensification de la concurrence, Euronext Paris a signéun accord, connu sous le nom d’Alliance GLOBEX, avec le CME et cinq autres bourses deproduits dérivés en vue d’autoriser l’accès de chaque marché à l’ensemble des membres.

4.3.2 Les marchés de gré à gré

La plupart des produits dérivés aux sous-jacents exotiques s’échangent déjà sur les mar-chés de gré à gré. Les positions ouvertes sur les marchés de gré à gré sont d’ailleurs beaucoupplus importantes que celles enregistrées sur les marchés organisés (selon la BRI, en décembre2002, les positions ouvertes étaient de 141 737 milliards de dollars sur les marchés de gré àgré contre 23 873 milliards de dollars sur les marchés organisés). Le principal avantage desmarchés de gré à gré est de proposer des contrats “sur-mesure” qui répondent parfaitementaux attentes des investisseurs. Les derniers recensements font d’ailleurs état de milliers de


contrats différents. Et les innovations en la matière ne sont pas arrivées à leur terme. Outreune grande variété de sous-jacents exotiques, il est possible d’échanger de gré à gré de nom-breuses options, dites de seconde génération, dont les caractéristiques diffèrent de celles desoptions classiques. C’est le cas, par exemple, des options asiatiques ou des options à barrière.On trouve également sur les marchés dérivés de gré à gré de nombreux contrats de swap. Encontrepartie de cette plus grande flexibilité, les marchés de gré à gré sont plus risqués queles marchés organisés, principalement en raison de l’absence de chambre de compensation.

4.4 Les options sur indice CAC 40

4.4.1 L’indice CAC 40

L’indice CAC 40 est défini comme la moyenne arithmétique, pondérée par la capitalisa-tion boursière, des derniers prix de transactions de 40 valeurs industrielles, commerciales etfinancières du Premier Marché parmi les plus importantes et les plus liquides (cotées sur lecompartiment Règlement Mensuel).1 Le Premier Marché est entièrement géré de façon élec-tronique, par le système SuperCAC (Cotation Assistée en Continu).2 Le marché bénéficieainsi d’une large transparence, qui caractérise les marchés dirigés par les ordres. Les actionsdu CAC 40 représentent à elles seules une capitalisation de plus de 700 milliards d’euros et80% du volume des échanges en actions sur le marché parisien au 31 août 1999. L’indice estcalculé et diffusé toutes les 30 secondes. Il est ajusté quotidiennement pour éliminer toutesles variations exogènes (augmentation de capital par attribution ou émission d’actions, ré-duction de capital...). La cotation des titres se fait en continu, de 9h02 à 17h30, après unepériode de pré-ouverture.Le niveau de l’indice CAC 40 à la date t, notée It, est égal à mille fois le rapport de la

capitalisation boursière de l’échantillon à la date t sur la capitalisation de base ajustée en t :

It = 1000×PN

i=1(Qit × Ci

t)

Kt × CBAt0

où n = 40 le nombre de valeurs composant l’indice, Qit le nombre de titres inscrits de la

valeur i à la date t, Cit le cours de la valeur i à la date t, CBAt0 la capitalisation boursière

1La détermination de la composition de l’échantillon s’effectue selon des critères de taille(les valeurs éligibles figurent parmi les 100 premières capitalisations boursières) et des critèresde liquidité mesurant l’étendue et la profondeur du marché de chaque valeur (l’étendue dumarché est déterminée par le flottant, le montant des transactions et le taux de rotationquotidien - rapport du volume de transactions à la capitalisation boursière - tandis quel’impact des transactions sur le marché est évalué par la fourchette moyenne et la volatilitéqui donnent une bonne idée de la présence et du renouvellement de l’offre et de la demande).

2Le système SuperCAC est un système de gestion et d’appariement des ordres d’achat etde vente reposant sur le respect des règles de priorité entre les différents ordres. La dynamiquedes prix est donnée par l’interaction entre le stock d’ordres non exécutés (le carnet d’ordres)et le flux continu d’ordres nouveaux. Le carnet d’ordres est diffusé en temps réel et donneles 5 meilleurs ordres à la vente et les 5 meilleurs ordres à l’achat.


de l’échantillon le jour de base de l’indice, soit le 3 décembre 1987, et Kt le coefficientd’ajustement à la date t de la capitalisation boursière de base.En plus de l’indice nu, Euronext Paris SA diffuse deux mesures de la rentabilité nette

et globale obtenues en réinvestissant les dividendes nets ou globaux (nets + avoirs fiscaux),le jour du détachement d’un coupon de dividende par une valeur de l’échantillon. Cettemesure permet de suivre la rentabilité d’un portefeuille investi en actions françaises danslequel seraient réinvestis les dividendes et de la comparer à celle d’autres actifs. Ces indicesde rentabilité se déduisent immédiatement de l’indice nu auquel ils sont adossés. S’agissantde l’indice de rentabilité net, sa valeur à la date t, notée Rt, s’exprime comme suit :

Rt =Rt−1

It−1× (It + 1000×

PNi=1(Q

it ×Di

t)

Kt × CBAt0

)

où Dit sont les dividendes nets versés par les valeurs i de l’échantillon à la date t.Par comparaison avec l’indice nu, l’indice de rentabilité net nous permet de calculer

directement en points d’indice la valeur des dividendes détachés par les actions sous-jacentes.

4.4.2 Les caractéristiques des contrats d’options européennes surindice CAC 40 (contrats PXL)

- Type de l’option : Les options sur indice CAC 40 sont de type européen.- Actif sous-jacent : L’actif sous-jacent est l’indice CAC 40 au comptant,calculé en continu par Euronext Paris SA et diffusé toutes les 30 secondes. Lorsqueles valeurs représentant plus de 35 % de la capitalisation de l’indice CAC 40 nesont momentanément pas susceptibles d’être cotées (soit du fait d’un incidenttechnique, soit du fait de mesures de réservation de cotation affectant les valeursde l’échantillon), un éclaireur de tendance est substitué à l’indice.- Unité de négociation et échelon de cotation : L’unité de négociation estconstituée d’un contrat dans lequel chaque point d’indice est affecté d’une valeurde 1 euro. La taille du contrat est égale à la valeur de l’indice × 1 euro et savaleur au cours de l’option × 1 euro. L’écart minimal entre deux cotations estfixé à 0,10 point d’indice, soit 0,1 euro par contrat. Signalons que dans certainscas, en raison du passage d’ordres liés, certains prix sont, dans la base de donnéesdont nous disposons, fixés au centièmes d’indice près.- Echéances des options : Les options peuvent être négociées jusqu’au dernierjour de bourse du mois d’échéance. Les négociations portent sur huit échéancesglissantes : 3 mensuelles, 3 trimestrielles du cycle mars, juin, septembre, décembreet 2 semestrielles du cycle mars, septembre.

- Prix d’exercice : Les prix d’exercice sont des valeurs standard fixées par ajoutou soustraction de 50 points d’indice sur les échéances mensuelles (échéancesdites rapprochées), 100 points sur les échéances trimestrielles et 200 points sur les


échéances semestrielles par rapport au prix d’exercice à parité. Les prix d’exercicesont différents pour les options d’achat et les options de vente. Lors de l’ouvertured’une échéance, des séries sont créées (options d’achat et options de vente) auxprix d’exercice les plus proches de la valeur de l’indice, un à parité et deuxen-dehors des cours.3 Lorsque la valeur de l’indice atteint ou dépasse le pointcentral entre le prix d’exercice à parité et le premier prix d’exercice en dehorsdes cours (ex. : +/- 100 points pour les séries dont les prix d’exercice sont crééesà intervalles de 200 points d’indice), de nouvelles séries sont créés afin qu’il y aiten permanence, et sur chaque échéance ouverte, au moins un prix d’exercice àparité et deux prix d’exercice en-dehors des cours sur chacun des types d’options(options d’achat et options de vente).

- Exercice des options : A l’échéance, les options dans-la-monnaie sont exer-cées automatiquement, sauf instruction contraire du donneur d’ordres. L’exerciced’une option achetée donne lieu à l’assignation aléatoire d’un vendeur et au rè-glement d’un montant en espèces égal à la différence entre le prix d’exercice del’option exercée et la valeur de l’indice de liquidation, valorisée par le nombre decontrats exercés et l’unité de négociation (1 euro). L’indice de liquidation qui sertde référence à l’exercice automatique des contrats dans les cours est la moyennearithmétique des valeurs de l’indice calculées et diffusées entre 15 h 40 et 16 h 00le jour de l’échéance (y compris la première valeur de l’indice diffusée après 16 h00).- Limites de variations quotidiennes des cours : La limite de variationquotidienne du contrat à terme ferme sur l’indice CAC 40 est fixée à +/- 275points d’indice par rapport au cours de compensation de la veille. Lorsque cettelimite est franchie sur une des deux échéances les plus proches, les cotationspeuvent être momentanément suspendues sur les contrats d’options et les contratsà terme ferme cotés sur le MONEP et portant sur l’indice CAC 40. Il peut,par ailleurs, être procédé à un appel de garantie supplémentaire.4 De même, cedispositif de coupe-circuit peut trouver à s’appliquer en cas de déséquilibre dumarché entraînant une réservation des cotations sur un échantillon de valeursde l’indice représentant ensemble plus de 75% de la capitalisation de l’indiceCAC 40.- Dépôt de garantie : Le principe retenu consiste à globaliser les positionsdétenues par un même donneur d’ordres en options CAC 40 à maturité courte etlongue et à valoriser le portefeuille ainsi obtenu sur la base d’une seule et mêmehypothèse d’évolution de l’indice. Les donneurs d’ordres détenant une position

3Par exemple, pour un indice de valeur 3 952 et pour des séries avec des prix d’exercicecréés à intervalles de 200 points d’indice, création d’options d’achat aux prix d’exercice 4 000,4 200, 4 400 et d’options de vente aux prix d’exercice 4 000, 3 800, 3 600.

4Par exemple, si le cours de compensation de la veille est de 6 500, le seuil de réservationpotentielle à la hausse est 6 775 tandis que le seuil de réservation potentielle à la baisse est6 225.


globale nette vendeur se voient imposer un dépôt de garantie ajusté quotidien-nement, d’un montant représentant la valeur liquidative la plus défavorable deleur position dans l’hypothèse d’une variation de la valeur de l’indice de +/- 300points par rapport à l’indice de clôture du jour. L’ampleur de cette variationpeut être ajustée par la chambre de compensation en fonction des conditions dumarché.5

- Organisation des transactions : Les cotations s’effectuent en continu de9h02 à 17h30 (la cotation des séries arrivant à échéance cesse à 16h00 le jour del’échéance).- Frais : La négociation des options sur indice CAC 40 effectuées sur le MO-NEP donnent lieu à la perception par Euronext Paris SA d’une commission denégociation de 0,02 euro par contrat, et d’une commission de compensation d’unmontant variable en fonction du montant des capitaux négociés. Le montant de lacommission de négociation perçue par opération ne peut être supérieur à 1 % descapitaux traités. Les commissions sont soumises à la TVA selon la réglementationen vigueur.

5La garantie peut être constituée d’espèces en euros ou en devises, de Bons du Trésor(BTF et BTAN), d’OAT, de T.Bills, de Bunds, de titres support ou de titres entrant dansla composition de l’indice CAC 40, des indices Dow Jones STOXX supports d’instrumentsfinanciers cotés sur le MONEP, d’actions de SICAV ou de parts de fonds communs dont laliste est arrêtée par Clearnet SBF SA, et de tout autre actif agréé par Clearnet SBF SA. Lesactifs admis en garantie, autres que les espèces en euros, sont valorisés quotidiennement àleur contre-valeur en euros s’agissant des devises, à leur valeur de marché ou à leur valeurnominale s’agissant des titres de créance, à leur valeur de marché s’agissant des titres decapital, et à leur valeur liquidative s’agissant des OPCVM, avec application le cas échéantd’un taux d’abattement fixé par Clearnet SBF SA en fonction de la nature et de la maturitédes titres.

Chapitre 5

Les stratégies d’arbitrage

5.1 Les propriétés de base des options

Le prix (premium) d’une option d’achat pour un actif sous-jacent de prix St en t, de prixd’exercice K et d’échéance T (donc de maturité τ = T − t), est noté Ct = C (St, τ ,K). Demême, le prix d’une option de vente est donné par Pt = P (St, τ ,K). Il s’agit de trouver Ct

et Pt.On adopte en outre les notations suivantes :Ct = C (St, τ ,K) : prix en t d’une option d’achat européenneC 0t = C 0 (St, τ ,K) : prix en t d’une option d’achat américaine

Pt = P (St, τ ,K) : prix en t d’une option de vente européenneP 0t = P 0 (St, τ ,K) : prix en t d’une option de vente américaine

St : prix en t de l’actif sous-jacentST : prix à l’échéance T de l’actif sous-jacentK : prix d’exercice de l’optiont : date actuelleT : date d’échéance de l’option, et τ = T − t durée de vie jusqu’à l’échéance de l’optionr : taux d’intérêt sans risque pour un investissement d’échéance T .

5.2 Propriétés d’arbitrage des options

De nombreuses conditions sur les prix des options peuvent être mises en évidence. Nousne retiendrons ici que les plus intéressantes. On considère pour le moment des options portantsur des actifs sous-jacents ne rapportant pas de dividende.— L’acheteur d’une option n’est jamais obligé d’exercer l’option. La perte maximale pos-sible est donc le prix de l’option. La valeur de l’option ne peut donc jamais être négative.D’où

Ct ≥ 0, C 0t ≥ 0, Pt ≥ 0, P 0

t ≥ 0.

30

CHAPITRE 5. LES STRATÉGIES D’ARBITRAGE 31

— A l’échéance T , une option d’achat, de prix CT = C (ST , 0,K), vaut zéro si l’actifsous-jacent a une valeur inférieure au prix d’exercice K, et vaut la différence ST −Kdans le cas contraire. De même, une option de vente, PT = P (ST , 0, K), vaut zéro sil’actif sous-jacent a une valeur supérieure au prix d’exercice K, et vaut la différenceK −ST dans le cas contraire. De plus, à l’échéance, la valeur d’une option européenneest égale à celle d’une option américaine ayant le même actif sous-jacent et le mêmeprix d’exercice. D’où

CT = C 0T = max (0, ST −K) (5.1)

PT = P 0T = max (0,K − ST ) . (5.2)

— Pour des options américaines, il est possible de déterminer des valeurs limites tout aulong de leur vie. En effet, comme une option américaine peut être exercée à tout instantjusqu’à l’échéance, son prix doit toujours être supérieur ou égal à sa valeur intrinsèque.D’où

C 0t = max (0, St −K) (5.3)

P 0t = max (0,K − St) . (5.4)

Ces conditions ne s’appliquent pas aux options européennes, puisque celles-ci ne peuventpas être exercées avant l’échéance.

— Le prix d’une option d’achat est une fonction non croissante du prix d’exercice. Eneffet, plus le prix d’exercice est élevé, moins il a de chance d’être atteint par le prix dusous-jacent. Donc, moins l’investisseur a de chance d’exercer son option. Au contraire,le profit attendu de l’acheteur d’une option de vente (K − S) augmente avec le prixd’exercice. D’où

C (S, τ ,K1) ≤ C (S, τ ,K2)C 0 (S, τ ,K1) ≤ C 0 (S, τ ,K2)

pour K1 > K2

etP (S, τ ,K1) ≥ P (S, τ ,K2)P 0 (S, τ ,K1) ≥ P 0 (S, τ ,K2)

pour K1 > K2.

— Pour une option américaine, le droit d’exercer une option pendant une période pluslongue ne peut pas nuire à son détenteur, puisque cela lui offre des opportunités deprofit supplémentaires. Le prix d’une option américaine est donc une fonction nondécroissante de sa durée de vie résiduelle. D’où

C 0 (S, τ 1,K) ≥ C 0 (S, τ 2,K)P 0 (S, τ 1,K) ≥ P 0 (S, τ 2,K)

pour τ 1 > τ 2

De telles opportunités ne sont pas possibles avec des options européennes. Donc, cesconditions ne s’appliquent pas pour ces options.


— Une option américaine peut être exercée avant l’échéance. Elle offre donc plus de pos-sibilités de profit qu’une option européenne de mêmes caractéristiques. Le prix d’uneoption américaine doit donc être au moins égal à celui d’une option européenne ayantles mêmes caractéristiques. D’où

C 0t ≥ Ct

P 0t ≥ Pt.

— Le prix de l’actif sous-jacent peut être considéré comme une option d’achat américained’échéance infinie et de prix d’exercice nul. Comme le prix d’une option d’achat estune fonction décroissante du prix d’exercice, on a

St ≥ C 0t ≥ Ct.

De même une option de vente américaine ne peut valoir plus que son prix d’exercice.L’option de vente n’atteint son maximum K que lorsque le prix de l’actif sous-jacentest nul. D’où

K ≥ P 0t ≥ Pt.

— Il est maintenant possible de borner la valeur d’une option d’achat européenne toutau long de sa durée de vie. Considérons les deux portefeuilles suivants. Le portefeuilleA contient une option d’achat européenne de prix Ct et un montant Ke−rτ placé dansl’actif sans risque. Le portefeuille B contient une action achetée au prix St. A l’échéance,si ST ≤ K, le portefeuille A vaut K (l’option n’est pas exercée et l’actif sans risquerapporteK), ce qui est supérieur à la valeur du portefeuille B. Si ST > K, le portefeuilleA vaut (ST −K) +K = ST , ce qui est égal à la valeur du portefeuille B. Donc, en T ,le portefeuille A a une valeur supérieure ou égale à celle du portefeuille B quel que soitl’état de la nature. Il doit donc avoir une valeur en t au moins égale à celle de B.

Valeur en t Valeur en Tsi ST ≤ K si ST > K

Portefeuille A Ct +Ke−rτ 0 +K (ST −K) +KPortefeuille B St ST ST

A>B A=B

D’oùCt ≥ St −Ke−rτ .

De la même manière, on montre que le prix d’une option de vente européenne doitvérifier

Pt ≥ Ke−rτ − St.

— Une option d’achat américaine sur un actif qui ne verse pas de dividende n’est jamaisexercée avant l’échéance. Son prix est donc égal à celui d’une option européenne. D’où

C 0t = Ct.


On ne peut pas établir une égalité similaire pour une option de vente, car ces optionspeuvent être exercées prématurément, même lorsque l’actif sous-jacent ne verse pas dedividende. On conserve donc l’inégalité P 0

t ≥ Pt.

5.3 La prise en compte des versements de dividende

Les relations précédentes reposent pour la plupart sur l’hypothèse que l’actif sous-jacentne rapporte pas de dividende. Or, sauf pour les options de maturité très courte, cette hy-pothèse n’est pas vraisemblable pour les options sur action. On note D la valeur actualiséedes dividendes versés durant la vie de l’option. On note également Ct = C (St, D, τ ,K) etPt = P (St,D, τ ,K) les prix en t d’une option d’achat européenne et d’une option de venteeuropéenne. Les prix d’une option d’achat américaine et d’une option de vente américainesont définis de façon similaire par C 0

t = C 0 (St,D, τ ,K) et P 0t = P 0 (St,D, τ ,K).

— On remarque tout d’abord que, comme une option d’achat européenne ne perçoit pasles dividendes versés au cours de la durée de vie de l’option, la valeur d’une optiondont l’actif sous-jacent verse des dividendes doit être inférieure à celle d’une optionidentique dont l’actif sous-jacent ne verse aucun dividende. Donc

C (St, D, τ ,K) < C (St, τ ,K) .

— En outre, la valeur d’une option d’achat européenne sur un actif versant des dividendesdoit être au moins égale à la valeur de l’actif diminuée de la valeur actualisée du prixd’exercice et de la valeur actualisée des dividendes qui seront payés au cours de la viede l’option, soit

Ct ≥ St −Ke−rτ −D.

De même, on a pour une option de vente européenne

Pt ≥ Ke−rτ +D − St.

— Lorsque l’actif sous-jacent verse des dividendes, on n’a plus la condition selon laquelleune option d’achat américaine n’est jamais exercée avant l’échéance. En effet, il estparfois optimal d’exercer une option d’achat américaine immédiatement avant la datede versement des dividendes. Cela est dû au fait que le versement des dividendesprovoque un saut à la baisse du prix de l’action, rendant l’option moins attractive.Plus précisément, si juste avant chaque date de versement des dividendes, la relationK (1− e−rτ) > D est vérifiée, alors une option d’achat américaine dont l’actif sous-jacent verse des dividendes ne sera jamais exercée prématurément. Sa valeur est doncégale à celle d’une option d’achat européenne.

— En ce qui concerne l’option de vente américaine, la situation est plus complexe. Eneffet, l’exercice prématuré de l’option peut avoir lieu que l’actif sous-jacent verse desdividendes ou non. Il peut se produire à n’importe quel moment (et non, comme pourl’option d’achat, juste avant le versement de dividendes).


5.4 Parité Call-Put

Jusqu’à présent, nous avons considéré des relations d’arbitrage (sans risque) fondéesuniquement sur une option, le titre sous-jacent et l’actif sans risque. On considère maintenantl’utilisation simultanée d’une option d’achat et d’une option de vente.On s’intéresse tout d’abord au cas d’options européennes portant sur un actif sous-jacent

ne versant pas de dividendes. Pour cela, on considère deux portefeuilles :— Le portefeuille A contient une option d’achat européenne de prix Ct et un montantKe−rτ placé dans l’actif sans risque.

— Le portefeuille B contient une option de vente européenne de prix Pt et une actionachetée au prix St.

En t, la constitution des deux portefeuilles a coûté respectivement Ct + Ke−rτ pour leportefeuille A et Pt + St pour le portefeuille B. A l’échéance, si ST ≤ K, le portefeuille Avaut K (l’option n’est pas exercée et l’actif sans risque rapporte K), et le portefeuille Bvaut (K − ST ) + ST = K. Si ST > K, le portefeuille A vaut (ST −K) + K = ST , et leportefeuille B vaut ST (l’option n’est pas exercée). Donc, en T , les portefeuilles A et B ontla même valeur quel que soit l’état de la nature. Par conséquent, pour qu’il n’existe pasd’opportunités d’arbitrage entre les deux portefeuilles, ils doivent avoir le même prix à ladate t.

Valeur en t Valeur en Tsi ST ≤ K si ST > K

Portefeuille A Ct +Ke−rτ 0 +K (ST −K) +KPortefeuille B Pt + St K ST

A=B A=B

D’oùCt +Ke−rτ = Pt + St

soitPt = Ct − St +Ke−rτ .

Par conséquent, si on sait évaluer une option d’achat européenne sur un actif qui ne paiepas de dividende, on sait également évaluer une option de vente ayant la même échéance, lemême support et le même prix d’exercice. Ainsi, il est suffisant de savoir évaluer une optiond’achat. Le prix de l’option de vente se déduit toujours de celui d’une option d’achat.Pour des options américaines portant sur un actif sous-jacent ne versant pas de dividende,

on ne peut pas établir une relation de parité similaire. En fait, on peut montrer que l’on ala relation d’inégalité suivante :

C 0t − St +K ≥ P 0

t ≥ C 0t − St +Ke−rτ .

Pour des options européennes sur un actif sous-jacent versant des dividendes au cours dela durée de vie des options, la parité put-call n’est que très légèrement modifiée, puisqu’on a

Pt = Ct − St +Ke−rτ +D.


Enfin, pour des options américaines sur un actif sous-jacent versant des dividendes aucours de la durée de vie des options, la relation d’inégalité se récrit

C 0t − St +K +D ≥ P 0

t ≥ C 0t − St +Ke−rτ .

Chapitre 6

Les stratégies de couverture

L’utilisation des produits dérivés par les entreprises non financières se fait essentiellementen vue de se couvrir contre les variations de prix des actifs financiers qui pourraient affecterla marge commerciale de l’entreprise. Cette protection se fait en transférant le risque à unecontrepartie disposée à l’assumer. Cette contrepartie peut être un agent ayant une positioninverse sur le marché sous-jacent ou un spéculateur qui ouvre une position (08).

6.1 La gestion du risque de change

Prenons l’exemple d’une entreprise exportatrice européenne qui doit recevoir 10 millionsde dollars dans 3 mois. Le taux de change EUR/USD au comptant est de 1,05. Plusieursopportunités s’offrent alors à l’entreprise.

6.1.1 Ne pas se couvrir

L’entreprise peut décider de ne pas se couvrir, elle spécule alors sur l’appréciation dudollar (dit autrement, sur la dépréciation de l’euro). Si, par exemple, dans 3 mois le tauxde change est EUR/USD = 1, elle pourra changer ses 10 millions dollars contre 10 mil-lions d’euros, au lieu de 9,52 millions d’euros. En revanche, elle court le risque de voir ledollar se déprécier et sa marge commerciale disparaître : si dans 3 mois le taux de changeest EUR/USD = 1,12, l’entreprise n’échangera en effet ses dollars que contre 8,93 millionsd’euros.

6.1.2 Se couvrir en utilisant des contrats à terme fermes

L’entreprise peut décider aujourd’hui d’acheter des euros dans 3 mois contre 1,07 dollar(contrats futures ou forwards). L’entreprise est alors couverte contre toute baisse du dollar,mais ne peut profiter des hausses éventuelles ; dans tous les cas l’entreprise échangera dans3 mois ses dollars contre 9,35 millions d’euros. Cette solution sera privilégiée si le trésorieranticipe une dépréciation du dollar ou s’il manifeste une forte aversion pour le risque.

36

CHAPITRE 6. LES STRATÉGIES DE COUVERTURE 37

6.1.3 Se couvrir en utilisant des contrats à terme optionnels

L’entreprise peut aussi décider de recourir aux options sur devises. Il se garantit ainsi unprix d’achat plancher de ses euros (un prix de vente plafond de ses dollars), mais contraire-ment au cas précédent, il pourra profiter d’une baisse du taux de change EUR/USD. Etantdonné la situation de l’entreprise, le mieux est de pouvoir acheter des options européennes(call EUR ou put USD) d’échéance 3 mois. Reste pour l’entreprise à définir le prix d’exercicede son option : plus le prix d’achat des euros sera faible, plus la garantie sera intéressante,mais plus la prime sera élevée. Par exemple, la prime d’une option at the money (ATM)sera de 0,03 euro tandis que la prime d’une option out the money (OTM), de prix d’exercice1,08, ne sera que de 0,02 euro. Si le dollar se déprécie fortement à 1 euro contre 1,12 euro,l’entreprise exercera ses options et recevra 9,26 millions dans le premier cas, contre 9,09 dansle second. Si le dollar s’apprécie et que le taux de change EUR/USD = 1, alors l’entreprisen’exercera pas son option et recevra 9,71 millions dans le premier cas, contre 9,80 dans lesecond.

6.1.4 Conclusion?

Aucune des stratégies précédentes ne domine toutes les autres ; aucune n’est systémati-quement dominée. Le choix de la stratégie à adopter repose clairement sur les anticipationset les objectifs du trésorier.

6.2 Appel d’offre et risque conditionnel

La gestion du risque de change pour les entreprises qui répondent à des appels d’offreest plus complexe. Le risque de change est alors conditionnel puisqu’il dépend de l’obtentiondu marché par l’entreprise. L’entreprise ne peut donc plus recourir aux contrats à termefermes pour se couvrir. Imaginons en effet qu’une entreprise décide de vendre des dollars àterme. Si elle remporte le marché l’entreprise sera couverte. En revanche, si elle ne remportepas l’appel d’offre, l’entreprise se retrouve en position courte, i.e. elle spécule : si le dollarse déprécie elle réalise un gain financier, s’il s’apprécie, elle enregistre une perte financière.Quoi qu’il en soit, cette stratégie est risquée, aussi risquée que décider de ne pas se couvrir,sauf que dans ce dernier cas, le risque se concrétise si l’entreprise remporte le contrat etsi le dollar se déprécie. La seule façon de se couvrir consiste ici à acheter des options. Eneffet, dans ce cas, si l’entreprise remporte le contrat, elle est parfaitement couverte ; elle peutmême profiter d’une appréciation du dollar. Et si l’entreprise ne remporte pas le contrat, aupire elle ne perd que la prime et au mieux, elle bénéficie d’un gain financier, issu de l’exercicede l’option.

CHAPITRE 6. LES STRATÉGIES DE COUVERTURE 38

6.3 La gestion du risque de taux

La gestion du risque de taux est assez particulière dans la mesure où, généralement, ils’agit de gérer une succession de flux à intervalles réguliers. Mais, comme dans le cas pré-cédent, les agents disposent d’instruments de couverture fermes ou conditionnels. Le plussouvent, ces produits se traitent sur des marchés de gré à gré. Prenons l’exemple d’un inves-tisseur qui a prêté 10 millions d’euros à taux variable EONIA + 1% qui craint une baissedes taux d’intérêt. Il a le choix entre :- Ne pas se couvrir contre l’évolution des taux ; le prêt rapporte à l’investisseur EONIA

+ 1%.- Acheter un floor dont le taux de référence est l’EONIA et qui garantit un taux plancher

de 3%. Il doit toutefois payer une prime, disons de 0,25%. Tant que l’EONIA est supérieurà 3%, le placement rapporte à l’entreprise EONIA + 1% - 0,25%, soit EONIA + 0,75%, etsi l’EONIA passe en dessous de 3%, elle reçoit 3,75%.- Conclure un swap EONIA contre taux fixe 3%. Le taux d’intérêt du prêt sera alors égal

à 4%, quelle que soit l’évolution future des taux d’intérêt.L’investisseur anticipe que le taux du marché monétaire va baisser pour passer en dessous

des 2,70%. Si ses anticipations s’avèrent vérifiées et qu’il ne s’est pas couvert, il recevra deson prêt un taux inférieur à 3,70%. S’il a acheté un floor, il recevra au minimum un tauxde 3,7%. Dans le troisième cas, il recevra un taux de 4%. Dans ces conditions, il a intérêt àconclure un swap surtout s’il a une forte aversion au risque.

Chapitre 7

Les stratégies spéculatives

La raison pour laquelle les investisseurs sont susceptibles d’utiliser les marchés dérivéspour spéculer tient essentiellement à la possibilité de prendre une position importante sur lesous-jacent, par le biais d’une mise de fonds initiale relativement modeste. C’est le principede l’effet de levier.

7.1 L’effet de levier

Prenons l’exemple d’un investisseur qui dispose d’une somme de 50 000 euros et quisouhaite spéculer sur la hausse de l’indice CAC 40. Le CAC 40 cote à ce moment 5 000points.

7.1.1 Spéculation sur le marché au comptant

Une première stratégie consiste simplement à investir 50 000 euros dans l’achat d’actionsau comptant, choisies de manière à répliquer les performances de l’indice CAC 40. Cettestratégie est coûteuse en terme de coûts de transaction étant donné le nombre importantd’actions à acheter (notons que pour réduire ces coûts, il est désormais possible d’acheterdes trackers* sur indice CAC 40). En outre, cette stratégie ne permet de spéculer qu’à lahausse. Le plus souvent, en effet, il n’est pas possible de vendre des actions à découvert.

7.1.2 L’achat de calls

Une deuxième stratégie consiste à acquérir, pour le même montant, 250 options d’achatà la monnaie d’échéance 3 mois moyennant le paiement d’une prime unitaire de 200 euros (leprix d’une option s’évalue simplement à l’aide d’un pricer - on en trouve sur Internet). Si, àl’échéance, le CAC 40 est à 5 500 points, le gain sera de 75 000 euros ((5 500 - 5 000 - 200)250) contre 5 000 euros dans le premier cas. Ainsi, pour une mise de fonds identique, le gainsur le marché des options est, potentiellement, 15 fois plus important que sur le marché aucomptant ; l’effet de levier est ici de 15. Mais, dans ce dernier cas, le risque est lui aussi, plus

39

CHAPITRE 7. LES STRATÉGIES SPÉCULATIVES 40

important. Si l’indice côte en effet dans 3 mois 4 500 points, la perte s’élève à 5 000 eurossi l’investisseur achète les actions au comptant, contre 50 000 euros, la totalité du montantinvesti, si l’investisseur achète des options. Pour limiter les risques de marché, il suffit en faitde ne pas investir la totalité de son portefeuille en achat de calls. Supposons par exemple quel’investisseur n’achète que 17 options pour 3 400 euros et investisse le reste de son portefeuilleen actif sans risque (on supposera pour simplifier que ce placement n’est pas rémunéré). Sil’indice atteint 5 500 points, le gain est de 5 100 euros ((5 500 - 5 000 - 200) 17), soit 100euros de plus que pour l’achat d’actions au comptant. Mais si l’indice chute de 500 points,la perte n’est que de 3 400 euros.

7.1.3 La vente de puts

Une troisième stratégie consiste à vendre des options de vente. Si les marchés sont effi-cients, le prix d’une option de vente à la monnaie est donné par la relation de parité call-put(36) et devrait être environ de 163 euros (avec un taux d’intérêt annuel de 3%, on a 5000/ (1 + 0,03/4) - 5000 + 200 = 162,78). Supposons que le dépôt de garantie* exigé par lesautorités de marché s’élève à 40% du montant de la transaction, soit dans notre exemple, à65,2 euros par contrat. Notre investisseur peut donc, avec 50 000 euros, vendre jusqu’à 762contrats (s’il n’y a pas de dépôt de garantie, il n’y a aucune limite au nombre de puts vendus ;l’effet de levier est infini). Supposons qu’à l’échéance, l’option de vente finisse en dehors dela monnaie avec un indice CAC 40 à 5 500 points. Notre investisseur fait alors un gain netd’environ 125 000 euros (762 163 = 124 206). Remarquons que cette stratégie est très risquéepuisque si le support baisse, l’acheteur de l’option a intérêt à l’exercer et l’investisseur perdalors la différence entre le prix d’exercice et l’indice. En cas de baisse de l’actif sous-jacentde 500 points par exemple, la perte s’élève à plus de 250 000 euros ((500-163)) 762 = 256794) soit plus de 5 fois le montant investi.

7.1.4 La combinaison d’options

Outre l’effet de levier, un autre attrait essentiel des contrats optionnels est qu’ils offrentaux investisseurs, de par leur profil non-linéaire, la possibilité de construire des pay-offs aussispécifiques que variés en combinant les différents produits.

7.1.5 Les spreads et les tunnels (combos)

Reprenons l’exemple précédent où l’investisseur anticipe une hausse modérée de l’indice.L’achat de calls peut s’avérer coûteux, la vente de puts très risquée. Aussi a-t-on intérêt àcombiner différentes options. En particulier, l’investisseur peut construire un " call spread". Il s’agit ici d’acheter des calls à la monnaie (ATM) et de simultanément vendre des callshors de la monnaie (OTM) de même échéance. L’intérêt de cette vente est qu’elle amortitle prix de revient de la position tout en réduisant les risques en cas de forte chute de lavaleur support ; mais en contrepartie, le gain est limité. En outre, dans ce type de stratégie,


l’influence de la volatilité est réduite car les effets se compensent. Le gain maximal de cettestratégie correspond à la différence entre les deux prix d’exercice moins le versement initial.Supposons que la prime d’un call, dont le prix d’exercice est de 5 400 points, soit égale surle marché à 60 euros ; le prix d’un call à la monnaie (de prix d’exercice 5 000) est toujourségal à 200 euros. Pour 100 options achetées et vendues, le gain maximal est obtenu pour unCAC supérieur à 5 400 points ; il est de 26 000 euros (5 400 - 5 000 - 200 + 60) 100).Toujours pour profiter d’une hausse du sous-jacent, l’investisseur aurait pu mettre en

place un tunnel haussier (achat d’un call et vente d’un put en dehors de la monnaie, leprix du support se situant entre les deux prix d’exercice). Le gain est alors potentiellementillimité, mais le risque en cas de chute des cours est très important. Ces stratégies ne peuventêtre mises en œuvre à l’aide de warrants dans la mesure où seules les banques peuvent enémettre (les particuliers ou les entreprises ne peuvent qu’en acheter ou en revendre).

7.2 Le trading de volatilité

7.2.1 Exemple

Jusqu’à présent on a supposé que l’investisseur misait sur le niveau atteint par l’indiceCAC 40 d’ici à l’échéance. Mais les contrats d’options permettent également de miser surl’ampleur des variations de prix du sous-jacent, indépendamment du sens de ces variations.Pour simplifier, reprenons d’abord le cas où l’investisseur vend 762 options de vente. Sup-posons que le niveau de l’indice est toujours de 5 000 points mais que les anticipations devolatilité diminuent pour passer de 18% à 15%. Le prix de marché des options de vente n’estplus alors que de 130 euros. L’investisseur peut donc dénouer sa position (i.e. revendre sesputs) et gagner près de 26 000 euros (762 (164 - 130) = 25 908) sans attendre l’échéancedu contrat. De manière plus générale, supposons que l’investisseur ignore le niveau futur del’indice CAC 40 mais anticipe une baisse de la volatilité à court terme. L’investisseur peutalors vendre à la fois des options d’achat et de vente (straddles). Supposons qu’il vende 100puts et 100 calls à la monnaie. Il n’a besoin pour cela de verser à la chambre de compensationque 40% de 36 400 euros, soit 14 560 euros ((200 + 164) 100 0,4). Si dans 3 mois, l’indicea peu varié, l’investisseur réalise un gain ; si au contraire l’indice a fortement augmenté oubaissé, il enregistre une très lourde perte. Considérons ces deux cas.- Si l’indice n’atteint, par exemple, que 5 100 points dans 3 mois (qu’importe si pendant

ce temps l’indice est monté très haut ou est descendu très bas), l’investisseur empoche 26400 euros qui se décomposent de la manière suivante : 16 400 euros au titre de la vente desputs qui ne sont pas exercés, plus 20 000 euros au titre de la vente des calls, moins 10 000euros, le différentiel à payer à l’acheteur du call ((5 100 - 5 000) 100). A noter que ce gainest identique si l’indice a varié de 100 points à la baisse.- En revanche, l’investisseur réalise une perte si l’indice varie de plus de 300 points : le

montant des primes reçues ne compense pas l’exercice des options (en l’occurrence, des callssi l’indice augmente et des puts si l’indice diminue).Dans le même esprit, pour spéculer sur la volatilité, l’investisseur aurait pu mettre en


place un strangle, un butterfly ou un condor qui, en combinant 2, 3 ou 4 options différentes,permettent le réduire les coûts initiaux et/ou de limiter le risque de pertes. Notons qu’enpratique, la volatilité est fortement et négativement corrélée avec les changements de prix.L’investisseur qui, comme dans le cas précédent, à une position courte (vendeur) sur lavolatilité doit ainsi s’attendre à une augmentation de cette dernière en cas de baisse brutaledu prix de l’actif sous-jacent. Une telle situation est à l’origine de la faillite de la banqueBarings, ruinée par le célèbre trader, Nick Leeson mis en défaut par la hausse de la volatilitéconsécutive à la chute de l’indice Nikkei en 1995.

7.2.2 Les indices de volatilité

Le MONEP a lancé, en 1997, deux indices de volatilité calculés à partir du cours desoptions sur indices CAC 40 à maturité courte (indice VX1) et à maturité longue (indiceVX6). L’objectif de ces indices de volatilité, diffusés toutes les 15 secondes, est de fournir, àchaque instant une mesure de la volatilité anticipé par les opérateurs sur le marché français.La diffusion de ces indices constitue à ce titre une réponse des autorités de marchés à lapratique désormais répandue du trading de volatilité (voir Chapitre 3).La méthodologie retenue pour la construction de ces indices consiste à estimer la volatilité

implicite d’un contrat << virtuel >> à parité et de maturité constante (31 jours pourl’indice à court terme et 185 jours pour l’indice à long terme).1 De tels indices de volatilitéexistent également sur le CBOE avec les indices VIX et VXN, calculés respectivement àpartir des options sur indice S&P 100 et sur indice Nasdaq 100, sur l’EUREX avec l’indiceVDAX calculé à partir des options sur indice DAX, et sur le London Securities & DerivativesExchange, filiale de l’OM, dont les indices de volatilité sont calculés à partir des options surle DAX, l’OMX ou le FTSE 100. A terme, ces indices pourraient servir de support à denouveaux contrats dérivés comme c’est déjà le cas sur le CBOE.2

1La méthode de calcul des indices de volatilité VX1 et VX6 est adaptée de celle proposée par Brenneret Galai (1989). Elle consiste dans un premier temps à calculer le prix d’un contrat d’options à parité,de maturité donnée, par interpolation linéaire avec les données existantes, puis à estimer la volatilité enminimisant l’erreur entre le prix observé et le prix théorique tel qu’il ressort de la formule de Black etScholes (1973) (Voir Chapitre 2).

2Un des freins à la diffusion de ces contrats tient aujourd’hui, à l’instar des produits exotiques, auxdifficultés de valorisation. Voir Heston et Nandi (2000).

Chapitre 8

La valorisation d’une option

8.1 La dynamique de l’actif sous-jacent et le lemmed’Ito

Le prix d’une option dépend de l’évolution du prix de l’actif sous-jacent jusqu’à l’échéance.Pour pouvoir évaluer une option, il est donc nécessaire maintenant de préciser la dynamiquedu prix de l’actif sous-jacent.Nous considérons tout d’abord la dynamique du prix d’une action. Le prix est vu comme

un processus stochastique. Un processus stochastique peut être défini comme un processus entemps discret (le processus peut changer de valeur à certaines dates seulement) ou commeun processus en temps continu (les changements peuvent survenir n’importe quand). Il peutégalement s’agir d’une variable continue (le processus peut prendre n’importe quelle valeurà l’intérieur d’un certain intervalle) ou d’une variable discrète (seules certaines valeurs sontpossibles).On admet que le prix d’une action est un processus stochastique à variable continue et

en temps continu, même si cette hypothèse est quelque peu abusive1.

8.1.1 Processus de Wiener — Processus d’Ito

Processus de Wiener

Un processus de Markov est un processus stochastique, pour lequel seule la valeur présentede la variable est utile pour prévoir le futur. Cette hypothèse est, d’une certaine façon,cohérente avec l’hypothèse d’efficience des marchés. En effet, la propriété de processus deMarkov implique que le prix actuel incorpore toute l’information contenue dans les prixpassés.Un processus de Wiener est un type particulier de processus de Markov. Pour com-

prendre ce qu’est un processus de Wiener, considérons le comportement de la variable W et

1En réalité, le prix d’une action ne peut prendre que des valeurs discrètes et les changements de prix nepeuvent être observés que lorsque le marché est ouvert.

43

CHAPITRE 8. LA VALORISATION D’UNE OPTION 44

plus précisément son évolution au cours de petits intervalles de temps. On s’intéresse à unpetit intervalle de temps, de longueur ∆t et on note ∆W le changement de W au cours del’intervalle ∆t.

Propriété 1 : ∆W est lié à ∆t par la relation : ∆W = ε√∆t où ε est une variable

aléatoire N (0, 1).

Propriété 2 : Les valeurs prises par ∆W pour deux petits intervalles de temps ∆t1 et∆t2 sont indépendantes.

La propriété 1 implique que ∆W a une distribution normale avec E (∆W ) = 0 etV (∆W ) = ∆t. La propriété 2 implique que W est un processus de Markov.On considère maintenant l’évolution de W au cours d’une période de temps plus longue

T . On dénote cet accroissement par W (T ) −W (0). Il peut être vu comme la somme desaccroissements de W au cours des N petits intervalles de temps de longueur ∆t avec N =T/∆t. On a en effet

W (T )−W (0) =NXi=1

εi√∆t

où εi, i = 1, ..., N , sont des variables aléatoires N (0, 1). Compte tenu de la propriété 2, lesεi sont indépendants les uns des autres. On a donc que W (T ) −W (0) a une distributionnormale avec E [W (T )−W (0)] = 0 et V [W (T )−W (0)] = N∆t = T .Si on fait maintenant tendre les petits intervalles de temps vers 0 (∆t → 0), les petits

accroissements s’approchent de 0 (∆W devient alors dW ). Un processus de Wiener est lalimite quand ∆t→ 0 du processus W . On écrit alors le processus de Wiener sous la forme :

dW = ε√dt.

Processus de Wiener généralisé

Un processus de Wiener généralisé est un processus de Wiener qui autorise une dérivetemporelle (drift)

dX = adt+ bdW = adt+ bε√dt,

où a et b sont des constantes. Si l’on s’intéresse à de petits intervalles ∆t, ce processus s’écrit

∆X = a∆t+ b∆W = a∆t+ bε√∆t.

Le processus X s’accroît donc d’un montant a∆t à chaque intervalle de temps ∆t. ∆X aune distribution normale avec E [∆X] = a∆t et V [∆X] = b2∆t. De même, X (T )−X (0) aune distribution normale avec E [X (T )−X (0)] = aT et V [X (T )−X (0)] = b2T .La Figure 2 trace l’évolution pour plusieurs valeur de ∆t du processus Xt. On a choisi

a = 0, 1 et b = 7. La série est d’abord simulée sur 1000 observations (assimilées à desréalisations en fréquence quotidienne) (Figure 2a), puis une observation sur 5 est retenue(assimilées à des réalisations en fréquence hebdomadaire) (Figure 2b), et une observationsur 21 est retenue (assimilées à des réalisations en fréquence mensuelle) (Figure 2c).


Processus d’Ito

Il est possible enfin de généraliser le processus de Wiener généralisé, de façon à autoriserles paramètres a et b à être des fonctions de la variable X et du temps t, sous la forme

dXt = µ (Xt, t) dt+ σ (Xt, t) dWt. (8.1)

On note en général µt = µ (Xt, t) et σt = σ (Xt, t). Cela indique que la réalisation de Xt

permet de caractériser totalement le comportement de la moyenne µ et de l’écart-type σ.L’équation (8.1) définit alors ce qu’on appelle un processus de diffusion ou processus d’Ito.On remarque que la dynamique du processus Xt est donnée par

Xt = X0 +

Z t

0

µsds+

Z t

0

σsdWs.

8.1.2 Lemme d’Ito

On s’intéresse maintenant au comportement d’une fonction f (Xt, t) d’un processus d’Itoet du temps. On suppose que f est une fonction continue en ses deux arguments et dérivableautant de fois que nécessaire. Le lemme d’Ito permet d’exprimer la dynamique de f (Xt, t)en fonction de celle de Xt.

Lemme d’Ito : On suppose que la variable X suive un processus d’Ito de la forme

dXt = µ (Xt, t) dt+ σ (Xt, t) dWt

où Wt est un processus de Wiener et µ et σ des fonctions de X et de t. Alors une fonctionf (Xt, t) de Xt et de t suit le processus

df (Xt, t) =

µ∂f

∂Xµt +

∂f

∂t+1

2

∂2f

∂X2σ2t

¶dt+

∂f

∂XσtdWt.

Démonstration : La dérivation du lemme d’Ito est relativement simple. Elle repose surles étapes suivantes :— On considère tout d’abord une fonction f à une seule variable X. Pour une petitevariation de X, la variation résultante ∆f de f s’obtient par une expansion de Taylor

∆f ≈ df

dX∆X +

1

2

d2f

dX2∆X2 + ...

Dans le cas d’une fonction f à deux variables X et Y , la variation résultante ∆f de faprès une variation ∆X de X et ∆Y de Y est donnée par

∆f ≈ df

dX∆X +

df

dY∆Y +

1

2

d2f

dX2∆X2 +

1

2

d2f

dY 2∆Y 2 +

d2f

dXdY∆X∆Y + ... (8.2)

Lorsque ∆X et ∆Y tendent vers 0, cette équation donne

df =∂f

∂XdX +

∂f

∂YdY .


— On considère maintenant un processus d’Ito de la forme

dXt = µ (Xt, t) dt+ σ (Xt, t) dWt

et une fonction f de Xt et de t. Par analogie avec l’équation (8.2), on a

∆f ≈ df

dX∆X +

df

dt∆t+

1

2

d2f

dX2∆X2 +

1

2

d2f

dt2∆t2 +

d2f

dXdt∆X∆t+ ... (8.3)

Or le processus d’Ito peut être discrétisé sous la forme

∆Xt = µt∆t+ σtεt√∆t.

Dans le cas précédent, lors du passage à la limite quand ∆X et ∆t tendent vers 0,les termes en ∆X2 et ∆t2 sont ignorés car ce sont des termes du second ordre. Orici ∆X2 = σ2ε2∆t + termes d’ordre supérieur en ∆t. Donc le terme en ∆X2 faitintervenir un terme en ∆t, qui ne peut pas être ignoré. Par ailleurs, la variance d’unprocessus N (0, 1) s’écrit V (ε) = E [ε2]− (E [ε])2 = 1 avec E [ε] = 0, d’où E [ε2] = 1.La valeur espérée de ε2∆t est donc ∆t. Comme de plus la variance de ε2∆t est d’ordre∆t2, le terme ε2∆t devient non stochastique et égal à sa valeur espérée (∆t) quand ∆ttend vers 0. Donc, quand ∆X et ∆t tendent vers 0, le terme ∆X2 tend vers σ2∆t etl’équation (8.3) devient finalement

df =∂f

∂XdX +

∂f

∂tdt+

1

2

∂2f

∂X2σ2tdt

d’où, comme dX = µdt+ σdW ,

df =∂f

∂X(µdt+ σdW )+

∂f

∂tdt+

1

2

∂2f

∂X2σ2dt =

µ∂f

∂Xµ+

∂f

∂t+1

2

∂2f

∂X2σ2¶dt+

∂f

∂XσdW

qui correspond au lemme d’Ito.

8.1.3 Processus de Wiener géométrique

On s’intéresse maintenant à la dynamique du prix d’une action, St. Plus précisément, onconsidère le prix d’une action ne payant pas de dividende. Un processus de Wiener standard,de la forme dSt = µdt + σdWt, où µ et σ sont des constantes, n’est pas satisfaisant, car lavariable St peut alors prendre des valeurs négatives, ce qui est impossible puisqu’il s’agitd’un prix. De plus, la variation de prix anticipée (µdt) pour un intervalle de temps donné dtne dépend pas du prix de l’action. Par exemple pour dt = 1 an, et µ = 10 euros, la variationdu prix sera la même (10 euros par an) que St soit égal à 100 euros ou 1000 euros, ce qui estpeu réaliste.Une hypothèse plus réaliste est que le taux de croissance espéré est constant. Pour obtenir

une telle caractéristique de la dynamique des prix, il suffit d’écrit le processus sous la forme


dS = µSdt, de telle sorte que c’est le taux de croissance du prix dS/S = µdt qui est constantsur un intervalle de temps donné. En fait, une telle hypothèse est aussi désirable pour lavariance du prix. On écrit donc ce nouveau processus sous la forme

dS

S= µdt+ σdW

oudS = µSdt+ σSdW . (8.4)

Ce processus est appelé processus de Wiener (ou mouvement brownien) géométrique. µ estle taux de rendement anticipé de l’action et σ est la volatilité du prix de l’action.Pour étudier plus précisément le processus de Wiener géométrique, on applique le lemme

d’Ito à l’équation (8.4) pour la fonction f (St, t) = ln (St). On obtient

df =

µ∂f

∂SµS +

∂f

∂t+1

2

∂2f

∂S2σ2S2

¶dt+

∂f

∂SσSdW

avec ∂f∂S= 1

S, ∂2f∂S2

= − 1S2et ∂f

∂t= 0, soit

d ln (St) =

µµ− 1

2σ2¶dt+ σdWt.

ln (St) suit donc un processus de Wiener généralisé, avec un drift µ− σ2/2 constant et unevariance σ2 constante. Comme ln (St) est toujours défini, il s’en suit que St sera toujourspositif.La variation de ln (S) entre deux dates t et T s’écrit sous la forme

ln (ST )− ln (St) =µµ− 1

2σ2¶τ + σ (WT −Wt)

avec τ = T − t, et est distribuée comme une loi normale d’espérance¡µ− 1

2σ2¢τ et de

variance σ2τ . Enfin, on a

ln (ST ) ∼ N

µln (St) +

µµ− 1

2σ2¶τ , σ2τ

¶.

Par ailleurs, on se souvient que si X ∼ N (a, b2), alors E [exp (X)] = exp¡a+ 1

2b2¢. On a

donc ici

E [ST ] = exp

µln (St) +

µµ− 1

2σ2¶τ +

1

2σ2τ

¶= St exp (µτ) .

De même, on vérifie que

V [ST ] = S2t exp (2µτ)¡exp

¡σ2τ

¢− 1¢.


8.2 Le modèle de Black et Scholes

8.2.1 L’équation aux dérivées partielles (EDP) fondamentale

On développe dans cette section l’EDP que doit satisfaire tout prix de produit dérivé.Le principe est de se constituer un portefeuille sans risque comprenant une position dans leproduit dérivé et une position dans l’actif sous-jacent. Le rendement de ce portefeuille doitdonc être égal au taux d’intérêt sans risque, puisqu’il s’agit d’un portefeuille sans risque.La raison pour laquelle il est possible de se constituer un portefeuille sans risque est quel’actif sous-jacent et le produit dérivé sont tous deux affectés par une source d’incertitudeunique. Autrement dit, sur une courte période de temps, les deux actifs sont parfaitementcorrélés. Alors, quand le portefeuille est correctement constitué, le profit (ou la perte) surl’actif sous-jacent est exactement compensé par la perte (le profit) sur l’actif dérivé, de sorteque la valeur du portefeuille au terme de la petite période de temps est connue avec certitude.

Les hypothèses nécessaires à la résolution de l’EDP de Black et Scholes sont les suivantes :

1. Le prix de l’actif sous-jacent suit un processus de Wiener géométrique

dSt = µStdt+ σStdWt, (8.5)

avec µ et σ constants.

2. Il est possible de pratiquer la vente à découvert.

3. Il n’existe pas de coûts de transaction ou de taxes. Tous les actifs sont parfaitementdivisibles.

4. Il n’y a pas de versement de dividende durant la vie de l’actif dérivé.

5. Il n’y a pas de possibilité d’arbitrage sans risque.

6. Il existe un marché sur lequel il est possible de négocier à tout instant, librement.

7. Le taux d’intérêt sans risque, r, est constant et identique pour toutes les maturités.

On suppose que f (St, t) est le prix de l’actif dérivé. La dynamique de f est donnée parle lemme d’Ito :

df (St, t) =

µ∂f

∂SµSt +

∂f

∂t+1

2

∂2f

∂S2σ2S2t

¶dt+

∂f

∂SσStdWt.

On considère un portefeuille constitué de l’achat de ∂f∂Sunités de l’actif sous-jacent et de

la vente de 1 unité de l’actif dérivé. La valeur en t de ce portefeuille est notée Vt, avec

Vt =∂f

∂SS − f.


Le montant ∂f∂Sest localement constant. La dynamique de Vt est donnée par

dVt =∂f

∂SdS − df

=∂f

∂S[µStdt+ σStdWt]−

∙µ∂f

∂SµSt +

∂f

∂t+1

2

∂2f

∂S2σ2S2t

¶dt+

∂f

∂SσStdWt

¸= −

µ∂f

∂t+1

2

∂2f

∂S2σ2S2t

¶dt.

Puisque cette équation ne fait pas intervenir dWt, le portefeuille est sans risque au coursde la période dt. Par conséquent, pour éviter toute opportunité d’arbitrage, il faut que sarentabilité soit égale à celle d’un investissement, pour un montant Vt, dans l’actif sans risque,qui rapporte rdt au cours de la période dt. D’où

dVtVt= rdt

soit, en remplaçant Vt par∂f∂SS − f

−µ∂f

∂t+1

2

∂2f

∂S2σ2S2t

¶dt =

µ∂f

∂SS − f

¶rdt

ou∂f

∂t+ rS

∂f

∂S+1

2σ2S2t

∂2f

∂S2= rf . (8.6)

Cette équation EDP de Black et Scholes a de nombreuses solutions, correspondant àtous les produits dérivés que l’on peut définir avec S comme prix de l’actif sous-jacent.L’expression obtenue pour un produit dérivé particulier dépend de conditions de bord. Cesconditions indiquent les valeurs que peut prendre l’actif dérivé aux frontières des valeurspossibles de S et t. Par exemple, la condition de bord est f = max (S −K, 0) quand t = Tdans le cas d’une option d’achat européenne et f = max (K − S, 0) quand t = T dans lecas d’une option de vente européenne. On peut montrer que la résolution de l’EDP (8.6), àlaquelle on adjoint la condition de bord f = max (S −K, 0) quand t = T , a pour solutionla formule de Black et Scholes du prix d’une option d’achat européenne (8.8) obtenue dansla section suivante. Comme la démonstration est relativement délicate dans ce cas, nousproposons une dérivation plus simple de cette relation dans la section suivante.On remarque que le portefeuille n’est que localement sans risque, pour une toute petite

période de temps. En effet, quand S et t changent, alors ∂f∂Schange également. Pour maintenir

le portefeuille sans risque, il est alors nécessaire de changer continûment les proportionsrelatives entre l’actif sous-jacent et l’actif dérivé dans le portefeuille. C’est ce qu’on appellela gestion dynamique de la couverture.L’équation (8.6) met également en évidence un résultat essentiel pour l’évaluation des

produits dérivés. En effet, cette équation ne dépend pas de la tendance du processus, µ.Les variables qui apparaissent dans l’équation sont le prix actuel de l’actif St, la volatilité


du prix de l’actif σ et le taux d’intérêt sans risque r, qui ne dépendent pas des préférencesdes investisseurs vis-à-vis du risque. En revanche, la valeur de µ dépend de ces préférences :plus le degré d’aversion pour le risque des investisseurs est élevé, plus l’investisseur exigeune valeur de µ élevée pour compenser sa prise de risque. Ce résultat est important pourrésoudre l’EDP de Black et Scholes : si les préférences vis-à-vis du risque n’interviennentpas dans l’équation, alors on peut résoudre cette EDP pour n’importe quelles préférences.En particulier, on peut choisir que l’investisseur est neutre vis-à-vis du risque. Sous cettehypothèse de neutralité vis-à-vis du risque, le rendement anticipé de tous les actifs est égalau taux d’intérêt sans risque r. Cela est dû au fait qu’un investisseur neutre vis-à-vis durisque ne réclame pas une prime pour accepter de prendre des risques. Ainsi, dans un universneutre vis-à-vis du risque, la dynamique du prix de l’actif sous-jacent se récrit

dSt = rStdt+ σStdWt, (8.7)

où Wt est un nouveau processus de Wiener qui assure l’équivalence entre cette dynamiqueet celle décrite dans l’équation (8.5). En outre, dans un univers neutre vis-à-vis du risque, lavaleur actualisée de n’importe quel flux peut être obtenue en actualisant sa valeur anticipéeau taux sans risque.

8.2.2 La formule de Black et Scholes

Le prix de l’option dans un univers neutre vis-à-vis du risque

Dans un univers neutre vis-à-vis du risque, la valeur à la date t d’un actif d’échéanceT est égale à sa valeur en T anticipée en t, actualisée au taux d’intérêt sans risque r. Ons’intéresse maintenant spécifiquement à la valeur d’une option d’achat européenne, de prixC (St, τ ,K). La valeur de l’option à son échéance (en T ) est max (0, ST −K). La valeuranticipée en t de cette expression s’écrit simplement E [max (0, ST −K) |St, t ], où E désignela valeur anticipée dans un univers neutre vis-à-vis du risque. Autrement dit, St doit satisfairela dynamique (8.7), compatible avec l’EDP. Enfin, la valeur de l’option est la valeur de ceterme actualisée au taux sans risque r, soit

C (St, τ ,K) = e−rτ E [max (0, ST −K) |St, t ] .

La dynamique de St (8.7) compatible avec l’EDP (8.6) s’écrit

dSt = rStdt+ σStdWt

dans laquelle le drift µ a été remplacé par le taux d’intérêt sans risque r. La dynamique deln (St) s’écrit

d ln (St) =

µr − 1

2σ2¶dt+ σdWt

et doncln (ST ) ∼ N

¡ln (St) +

¡r − σ2/2

¢τ , σ2τ

¢.


La valeur de l’option s’obtient donc par le calcul suivant

C (St, τ ,K) = e−rτ E [max (0, ST −K) |St, t ]

= e−rτZ ∞

y=0

max (0, y −K) g (y |St ) dy

= e−rτZ ∞

y=K

(y −K) g (y |St ) dy

où g (y |St ) désigne la densité de y = ST pour une valeur de St donnée. Comme l’évaluationest faite sous l’hypothèse de neutralité vis-à-vis du risque, cette densité est appelée densiténeutre au risque.Comme on connaît la loi de ln (ST ) et non de ST , on procède à un changement de variable.

On sait que, si la loi de ln (ST ) est une loi normale N (m, s2), alors la loi de ST est une loide densité g (ST ) = ϕ ((ln (ST )−m) /s) / (sST ), où ϕ (·) est la distribution normale centréeréduite2, avec m = ln (St) +

¡r − 1

2σ2¢τ et s = σ

√τ , ce qui correspond à une distribution

log-normale. Ici, la loi de ST est donc de la forme

g (ST |St ) = L¡ST¯m, s2

¢=

1

sSTϕ

µln (ST )−m

s

¶=

1

σ√τST

ϕ

µln (ST )− ln (St)− (r − σ2/2) τ

σ√τ

¶On définit la loi log-normale sous la forme L (ST |m, s2 ) où les deux arguments désignent lamoyenne et la variance respectivement3.

La résolution du problème

On effectue le changement de variable suivant :

z = ln (y) ⇒ dz = dy/y

avecy = K ⇒ z = ln (K)y = +∞ ⇒ z = +∞.

2On rappelle qu’une loi normale centrée réduite a pour densité

ϕ (x) =1√2πexp

µ−12x2¶.

3On rappelle qu’une densité log-normale de paramètres m et s2 s’écrit sous la forme :

L¡x¯m, s2

¢=

1√2πsx

exp

Ã−12

µln (x)−m

s

¶2!.


On a donc

C (St, τ ,K) = e−rτZ ∞

y=K

(y −K)1

syϕ

µln (y)−m

s

¶dy

= e−rτZ ∞

z=ln(K)

(exp (z)−K)1

s

1√2πexp

Ã−12

(z −m)2

s2

!dz.

avec m = ln (St) + (r − σ2/2) τ et s = σ√τ .

On pose

I1 = e−rτZ ∞

z=ln(K)

exp (z)1

s

1√2πexp

Ã−12

(z −m)2

s2

!dz

et

I2 = −e−rτZ ∞

z=ln(K)

K1

s

1√2πexp

Ã−12

(z −m)2

s2

!dz

de sorte que C (St, τ ,K) = I1 + I2.On commence par résoudre I2. On procède de nouveau par changement de variable, en

posant x2 = z−msce qui donne dx2 =

dzs. La borne inférieure z = ln (K) devient −d2 =

ln(K)−ms

. D’où

I2 = −Ke−rτZ ∞

−d2

1√2πexp

¡−x22/2

¢dx2.

Or, on sait queR∞−d2

1√2πexp (−x22/2) dx2 =

R d2−∞

1√2πexp (−x22/2) dx2, de sorte que

I2 = −Ke−rτΦ (d2) où d2 =ln (St/K) + (r − σ2/2) τ

σ√τ

et Φ (x) est la fonction de répartition de la loi normale.On résout maintenant l’intégrale I1. Pour cela, on regroupe tous les termes en exponentiel

sous l’intégrale :

I1 =

Z ∞

z=ln(K)

1

s

1√2πexp

Ã−rτ + z − 1

2

(z −m)2

s2

!dz.


Le terme exp (·) se récrit :

exp

µ− 1

2σ2τ

h2rσ2τ 2 − 2zσ2τ +

¡z − ln (St)−

¡r − σ2/2

¢τ¢2i¶

= exp

µ− 1

2σ2τ

£z2 + (ln (St))

2 + r2τ 2 + σ4τ 2/4− 2z ln (St)− 2z¡r − σ2/2

¢τ

+2 ln (St)¡r − σ2/2

¢τ − rσ2τ 2 + 2rσ2τ 2 − 2zσ2τ

¤¢= exp

µ− 1

2σ2τ

hz2 + (ln (St))

2 +¡r + σ2/2

¢2τ 2 − 2z ln (St)− 2z

¡r + σ2/2

¢τ

+2 ln (St)¡r + σ2/2

¢τ − 2 ln (St)σ2τ

¤¢= St exp

µ− 1

2σ2τ

£z − ln (St)−

¡r + σ2/2

¢τ¤2¶

.

On procède de nouveau par changement de variable, en posant x1 =z−ln(St)−(r+σ2/2)τ

σ√τ

, ce qui

donne dx1 = dzσ√τ. La borne inférieure z = ln (K) devient −d1 =

ln(K/St)−(r+σ2/2)τσ√τ

. D’où

I1 = St

Z ∞

−d1

1

σ√τ

1√2πexp

µ−12x21

¶dx1

de sorte que

I1 = StΦ (d1) où d1 =ln (St/K) + (r + σ2/2) τ

σ√τ

.

Finalement, le prix d’une option d’achat européenne, selon le modèle de Black et Scholes,s’écrit

C (St, τ ,K) = StΦ (d1)−Ke−rτΦ (d2) (8.8)

avec

d1 =ln (St/K) + (r + σ2/2) τ

σ√τ

d2 =ln (St/K) + (r − σ2/2) τ

σ√τ

= d1 − σ√τ .

On remarque que pour une option de vente européenne, on peut utiliser directement laparité put-call, qui s’écrit P (St, τ ,K) = C (St, τ ,K)−St+Ke−rτ . On a donc immédiatement

P (St, τ ,K) = St (Φ (d1)− 1)−Ke−rτ (Φ (d2)− 1)

soit, comme Φ (x) + Φ (−x) = 1

P (St, τ ,K) = Ke−rτΦ (−d2)− StΦ (−d1) . (8.9)


8.2.3 L’effet des déterminants sur le prix de l’option

— Le prix d’une option d’achat est une fonction décroissante de son prix d’exercice,puisque l’équation (8.8) donne

∂C

∂K= −erτΦ (d2) < 0.

Pour une option de vente, la relation est croissante, puisque

∂P

∂K= erτΦ (−d2) > 0.

— Le prix d’une option d’achat est une fonction croissante de sa durée de vie τ = T − t,puisque l’équation (8.8) donne

∂C

∂τ=

Stσ

2√τϕ (d1) + rKe−rτΦ (d2) > 0.

Le signe de la dérivée est en revanche indéterminé pour une option de vente, puisque

∂P

∂τ=

Stσ

2√τϕ (d1) + rKe−rτ (Φ (d2)− 1) .

Ces deux expressions souvent appelées le θ d’une option, avec θC = −∂C∂τet θP = −∂P

∂τ.

— Le prix d’une option d’achat est une fonction croissante du taux d’intérêt sans risquer, puisque l’équation (8.8) donne

∂C

∂r= τKe−rτΦ (d2) > 0.

Pour une option de vente, en revanche, la relation est décroissante, puisque

∂P

∂r= τKe−rτ (Φ (d2)− 1) < 0.

— Le prix d’une option d’achat est une fonction croissante du prix de l’actif sous-jacentSt, puisque l’équation (8.8) donne

∆C =∂C

∂St= Φ (d1) > 0.

Quand le prix de l’actif sous-jacent augmente d’un euro, le prix de l’option d’achataugmente de ∆C euro. Comme 0 ≤ Φ (d1) ≤ 1, on en déduit que la hausse du prix del’option est plus faible que la hausse du prix de l’actif. On remarque de plus qu’on a

ΓC =∂2C

∂S2t=

1

Stσ√τϕ (d1) > 0.


Donc, plus le prix de l’actif est élevé, plus une augmentation de ce prix entraîne uneaugmentation importante du prix de l’option d’achat. Par ailleurs, pour une option devente, en revanche, la relation est décroissante, puisque

∆P =∂P

∂St= −Φ (−d1) < 0

avec

ΓP =∂2P

∂S2t=

1

Stσ√τϕ (d1) > 0.

Donc, plus le prix de l’actif est élevé, plus une augmentation de ce prix entraîne unediminution importante du prix de l’option de vente.

— Le prix d’une option d’achat est une fonction croissante de la volatilité de l’actif sous-jacent σ, puisque l’équation (8.8) donne

∂C

∂σ= St√τϕ (d1) > 0.

Pour une option de vente, la relation est également croissante, puisque

∂P

∂σ= St√τϕ (d1) > 0.

8.3 Les autres modèles de référence pour la valorisa-tion des options

A chaque type d’actif sous-jacent peut être associé un modèle de référence. Il s’agit dumodèle de Black et Scholes (1973), qu’on vient de voir, pour les options sur action ou surindice boursier, du modèle de Garman et Kohlhagen (1983) pour les options sur devise,du modèle de Black (1976) pour les options sur contrats à terme de taux d’intérêt ou dematière première. En fait, il s’agit du même modèle, mais adapté aux spécificités de l’actifsous-jacent.

8.3.1 Modèle de Merton (1973) pour une option sur action payantdes dividendes

Le modèle de Black et Scholes tel qu’il a été présenté dans la section précédente reposesur l’hypothèse que l’action ne verse pas de dividende. On suppose maintenant que l’actionverse un dividende de façon continu à un taux annualisé constant noté q. On sait que leversement de dividendes provoque un saut dans le prix de l’action d’un montant égal auxdividendes versés. Ainsi un paiement continu des dividendes à un taux q implique que lacroissance du prix de l’action est inférieure de ce qu’elle serait sans les dividendes. Si enprésence d’un dividende continu de q, le prix de l’action passe de St à la date t à ST à ladate T , il s’en suit que sans dividende le prix serait passé de St à la date t à STeqτ à la date


T . Donc, une option européenne sur une action de prix St payant un dividende continu de qa la même valeur d’une option européenne sur une action de prix Ste

−qτ ne versant pas dedividende, puisque la valeur terminale de l’action est la même dans les deux cas.Le prix d’une option européenne pour une action payant un dividende peut donc être

obtenu en appliquant la formule de Black et Scholes en remplaçant le prix St par Ste−qτ , cequi donne

Ct = Ste−qτΦ (d1)−Ke−rτΦ (d2)

Pt = Ke−rτΦ (−d2)− Ste−qτΦ (−d1) .

Puisque ln (Ste−qτ/K) = ln (St/K)− qτ , on a

d1 =ln (St/K) + (r − q + σ2/2) τ

σ√τ

d2 =ln (St/K) + (r − q − σ2/2) τ

σ√τ

= d1 − σ√τ .

8.3.2 Modèle de Garman et Kohlhagen (1983) pour les optionssur devise

Pour évaluer une option sur devise, on définit St comme le taux de change au comptant,c’est-à-dire la valeur d’une unité de devise étrangère en dollar. On suppose que le taux dechange suit le même type de processus stochastique qu’une action, à savoir un processus deWiener géométrique. On définit σ la volatilité du taux de change et rf le taux d’intérêt sansrisque dans le pays étranger.Une devise peut s’interpréter comme une action payant un dividende connu. En effet,

le détenteur de devise reçoit un ”taux de dividende” égal au taux sans risque rf en devise.Comme le processus suivi par le taux de change est supposé le même que pour une action, lesformules précédentes obtenues pour une option sur action versant un dividende sont correctespour les options sur devise, en remplaçant q par rf .On remarque que, dans un monde neutre au risque, St peut être récrit sous la forme :

dSt = (r − rf)Stdt+ σStdWt (8.10)

où Wt est le processus de Wiener pour la mesure de probabilité neutre au risque. Le taux dechange a alors pour distribution une loi normale :

ln(ST ) ∼ N¡ln(St) + (r − rf − σ2/2)τ , σ2τ

¢.

Le prix d’une option européenne sur devise est alors obtenu en appliquant la formule deMerton pour une action payant un dividende et en remplaçant q par rf , ce qui donne

Ct = Ste−rf τΦ (d1)−Ke−rτΦ (d2)

Pt = Ke−rτΦ (−d2)− Ste−rf τΦ (−d1) .


Puisque ln (Ste−rf τ/K) = ln (St/K)− rfτ , on a

d1 =ln (St/K) + (r − rf + σ2/2) τ

σ√τ

d2 =ln (St/K) + (r − rf − σ2/2) τ

σ√τ

= d1 − σ√τ.

On remarque que les taux d’intérêt domestique r et le taux d’intérêt étranger rf sontsupposés constants dans le temps et identiques pour toutes les maturités. De plus, les optionsd’achat et de vente sont symétriques pour les deux devises. Ainsi une option de vente pourvendre XA unités de devise A pour XB unités de devise B est identique à une option d’achatpour acheter XB unités de devise B pour XA unités de devise A.Par ailleurs, on a vu que le taux de change à terme Ft en t, pour la maturité T , est

donné, en l’absence d’opportunité d’arbitrage, par FT = Ste(r−rf)τ . Cette relation permet de

simplifier quelque peu les solutions précédentes, si les maturités des options et du contrat àterme coïncident, puisqu’on a alors

Ct = e−rτ [FtΦ (d1)−KΦ (d2)]

Pt = e−rτ [KΦ (−d2)− FtΦ (−d1)]

avec

d1 =ln (Ft/K) + σ2τ/2

σ√τ

d2 =ln (Ft/K) + σ2τ/2

σ√τ

= d1 − σ√τ .

8.3.3 Modèle de Black (1976) pour les options sur contrat à terme

Les options sur contrats à terme (ou options sur futures) concernent aussi bien les contratsà terme financiers que les contrats sur matières premières. Les contrats à terme financiersportent principalement sur des obligations d’Etat (Treasury-bond futures option) ou sur destitres courts (Eurodollar futures options ou options sur contrat EURIBOR). Les contrats surmatières premières portent par exemple sur le blé, le sucre, le pétrole, l’or.Les contrats sur futures sont plus intéressants que des contrats directement sur l’actif

sous-jacent, car il est en général moins coûteux ou plus aisé de livrer le contrat à termesur l’actif plutôt que l’actif lui-même. Par exemple, dans le cas d’un contrat sur obligationpublique, le contrat à terme est plus liquide qu’une obligation. Dans le cas de matièrespremières, la livraison du contrat évitent évidemment la livraison de la marchandise.Le prix d’un contrat à terme, Ft, sur un actif est lié au prix au comptant de cet actif par

la relationFt = Ste

ατ .


Dans le cas d’un actif financier, α est le taux d’intérêt sans risque moins le rendement del’actif. Dans le cas d’une matière première, α est le taux d’intérêt sans risque plus le coût destockage par dollar par unité de temps, moins le convenience yield (qui mesure les bénéficestirés de la détention directe de la matière première plutôt que du contrat à terme). Onmontre que, quand α est une fonction du temps mais pas de St, et que la volatilité de Stest constante, alors la volatilité de Ft est constante et égale à la volatilité de St. Dans cecas, le contrat à terme peut être traité de la même façon qu’une action payant un dividendecontinu au taux r. Le prix d’une option d’achat (de vente) européenne est alors obtenu enremplaçant St par Ft et q par r, soit :

Ct = e−rτ [FtΦ (d1)−KΦ (d2)]

Pt = e−rτ [KΦ (−d2)− FtΦ (−d1)]

avec

d1 =ln (Ft/K) + σ2τ/2

σ√τ

d2 =ln (Ft/K) + σ2τ/2

σ√τ

= d1 − σ√τ .

Ce résultat est obtenu sous deux hypothèses : la variable α n’est fonction que du tempset la volatilité de l’actif sous-jacent au contrat à terme est constante. Ces hypothèses sontraisonnables pour des contrats à terme sur action, sur indice boursier, sur devise ou surmatière première. En revanche, elles sont peu vraisemblables quand l’actif sous-jacent est untitre dépendant des taux d’intérêt, comme une obligation d’Etat ou un contrat interbancaire.Une valorisation plus rigoureuse des options sur contrat de taux d’intérêt est beaucoup

plus délicate (Vasicek, 1977, Cox, Ingersoll et Ross, 1985) et ne sera pas développée dans lasuite. Il est à noter que de nombreux travaux empiriques sur ces options sont fondés sur lemodèle de Black, qui apparaît suffisant en première approximation.

Chapitre 9

Mesure de la volatilité et phénomènede Smile

9.1 La mesure de la volatilité historique et de la vola-tilité implicite

La volatilité est l’une des variables centrales pour l’évaluation des options. En effet, ellemesure le risque attaché à l’évolution du prix de l’actif sous-jacent. En l’absence de risque, lesoptions (les produits dérivés en général) n’auraient pas de raison d’être. Lorsqu’on considèreles marchés d’option, deux types de mesure sont naturellement disponibles, qui présentent desintérêts différents selon le point de vue qu’on adopte. Il est possible tout d’abord d’estimer lavolatilité à partir des données historiques. Cette mesure sert ainsi souvent d’input au modèlede Black et Scholes, puisque, connaissant la volatilité, on peut en déduire le prix des optionsassociées. Mais il est également possible, connaissant les prix des options à un momentdonné, d’en déduire la volatilité. On parle alors de volatilité implicite. Cette volatilité estintéressante, car elle mesure la volatilité que les opérateurs utilisent implicitement lorsqu’ilsproposent un prix d’option sur le marché.

9.1.1 Estimation de la volatilité historique

Estimation de l’écart-type des rentabilités

Dans le modèle de Black et Scholes, le prix d’une option d’achat européenne s’écrit

C (St, τ ,K) = StΦ (d1)−Ke−rτΦ (d2) (9.1)

avec

d1 =ln (St/K) + (r + σ2/2) τ

σ√τ

d2 =ln (St/K) + (r − σ2/2) τ

σ√τ

= d1 − σ√τ .

59

CHAPITRE 9. MESURE DE LA VOLATILITÉ ET PHÉNOMÈNE DE SMILE 60

En pratique, si on veut évaluer le prix, à la date t, d’une option d’achat européenne de prixd’exercice K et d’échéance T , pour un actif dont le prix est St à la date t, deux variablesrestent à déterminer pour pouvoir appliquer la formule précédente : le taux d’intérêt sansrisque r et la volatilité du prix de l’action σ.Le taux d’intérêt sans risque pour une maturité résiduelle τ peut être obtenu, par ap-

proximation, à partir du marché interbancaire. Sur ce marché sont cotés des titres pour desmaturités fixes (à un jour, à 7 jours, à 1 mois, 3 mois, 6 mois, 9 mois, 1 an). Si la matu-rité résiduelle de l’option ne coïncide pas avec l’une de ces maturités fixes, il est toujourspossible de procéder par interpolation pour obtenir un taux d’intérêt sans risque pour unedurée correspondant à la durée de vie résiduelle de l’option1.En fait, la principale difficulté dans l’application de la formule de Black et Scholes réside

dans l’estimation de la volatilité du prix de l’option. Cette volatilité peut être estimée àpartir de données historiques sur les prix de l’actif. On considère pour cela que l’on disposed’une série de prix de l’actif, sur une certaine période avec un intervalle de temps fixe entredeux observations (par exemple, tous les jours ou toutes les semaines). On suppose que l’ondispose de n + 1 observations du prix de l’actif, Si, i = 0, 1, ..., n, pendant nτ année, où τest la fréquence des données (par exemple, si on dispose de 180 observations quotidiennes,l’échantillon couvre 180× 1

365≈ 0, 5 année). On définit

Ri = ln

µSiSi−1

¶i = 1, 2, ..., n

le taux de rendement continûment composé (mais non annualisé) au cours du ième intervallede temps. L’écart-type estimé du processus de taux de rendement R est donné simplementpar

s =

vuut 1

n− 1

nXi=1

¡Ri −R

¢2où R = 1

n

Pni=1Ri est la moyenne des Ri.

Estimation de la volatilité annualisée

On a vu que la loi de ln(Si) − ln(Si−1) = Ri est une loi normale N ((r − σ2/2)τ , σ2τ) .Donc, l’écart-type des Ri est donné par

√σ2τ . La variable s est donc une estimation de la

volatilité annualisée σ√τ . D’où l’estimation de σ, notée s∗ :

s∗ =s√τ.

On montre que l’écart-type de cette estimation est, approximativement, s∗/√2n.

1Les taux du marché interbancaire ne sont pas, en théorie, sans risque, puisqu’une banque pourrait fairefaillite. De ce point de vue, il serait préférable d’utiliser des bons du Trésor, puisque l’Etat ne fait pas défaut.Toutefois, les données interbancaires sont souvent préférées, car toujours accessibles. Par exemple, il n’existepas de bons du Trésor en Allemagne.


Le choix du nombre d’observations est délicat. En effet, utiliser un grand nombre d’ob-servations permet d’améliorer la précision de l’estimation. Toutefois, la volatilité σ varievraisemblablement au cours du temps, et utiliser des données trop anciennes peut conduire àune mauvaise estimation de la volatilité actuelle. Dans les études empiriques, un compromissemble établi pour utiliser des données quotidiennes de prix au cours de 90 à 180 derniersjours. Une question importante est de savoir si le temps doit être mesuré en nombre de jourscalendaires ou en nombre de jours ouvrés. En fait, ce problème n’a pas de réponse évidente.En effet, si on se réfère à l’hypothèse d’efficience des marchés, la volatilité du prix d’un actifne dépend que de l’arrivée, aléatoire, d’informations nouvelles concernant le rendement futurde l’actif. Pour d’autres, la volatilité est principalement provoquée par les transactions. Au-trement dit, la volatilité de l’actif est-elle la même lorsque le marché est ouvert ou fermé? Lesétudes empiriques sur cette question ont montré que, pour l’essentiel, la volatilité est causéepar les transactions. Ainsi, dans la mesure de la volatilité à partir de données quotidiennes,les jours où le marché est fermé devraient être ignorés. La volatilité annualisée doit donc êtrecalculée à partir de la volatilité quotidienne à partir de la formule

volatilité par an = volatilité quotidienne ×pnombre de jours ouvrés par an.

9.1.2 La volatilité implicite

Les mesures de la volatilité implicite

Une approche alternative consiste à renverser la problématique précédente et à utiliserles prix d’option pour évaluer qu’elle est la volatilité implicitement utilisée par les opérateurspour donner un prix aux options. En effet, à une date t donnée, on connaît le prix de l’optionC (St, τ ,K) qui a été coté sur le marché. En revanche, on ne connaît pas la volatilité qui étaitutilisée par les opérateurs. On va donc inverser la relation (9.1) pour estimer cette volatilité.La difficulté réside dans le fait que cette relation ne peut pas être inversée analytiquement,

puisqu’elle fait intervenir la fonction de répartition de la loi normale. On doit alors procéderpar itérations successives, pour obtenir une évaluation de la volatilité implicite. En pratique,on utilise des algorithmes des résolutions d’équations non linéaires, tels que celui de Newton-Raphson.Toutefois, il arrive que l’on obtienne des différences, parfois importantes, entre les vola-

tilités implicites obtenues pour des options de prix d’exercice différents, alors qu’elles ont lemême actif sous-jacent. Certains arguments, concernant le mode de fonctionnement du mar-ché des options, peuvent être avancés. Par exemple, toutes les options ne sont pas cotées enpermanence au cours de la journée. Lorsqu’on collecte les prix des options en fin de journée,par exemple, on obtient en fait des prix qui ont été établis à des moments différents de lajournée (on dit qu’il y a non-synchronisation des prix). Il peut même arriver que certainesoptions (dont le prix d’exercice est particulièrement éloigné du prix de l’actif sous-jacent) nesoient pas cotées au cours de la journée. Pour mesurer la volatilité σ à partir des volatilitésimplicites, plusieurs solutions sont alors possibles.


— On peut estimer la volatilité de l’action à partir de la moyenne arithmétique des vola-tilités implicites associées à des options de prix d’exercice différents, sous la forme

σ =1

NK

NKXi=1

σi

où σi est la volatilité implicite calculée à partir de l’option i et NK est le nombred’options de prix d’exercice différents pris en compte dans le calcul de σ.

— On peut également pondérer la volatilité implicite de chaque option par l’élasticitéde son prix par rapport à la volatilité. Cette méthode permet d’attribuer un poidsplus important aux options dont les prix sont les plus sensibles aux variations de lavolatilité, c’est-à-dire en fait aux options at the money2. On obtient alors

σ =

NKXi=1

ωiσi

avec ωi =(∂Ci/∂σi)(Ci/σi)NKi=1 (∂Ci/∂σi)(Ci/σi)

, avec ∂C∂σ= St√τϕ (d1).

— Enfin, certaines études ont montré que la volatilité implicite calculée à partir de l’optionla plus at the money (c’est-à-dire celle qui est la plus sensible aux variations de lavolatilité) constitue la meilleure prévision de la volatilité future.

La fonction de répartition de la loi normale

On remarque que la relation (9.1) fait intervenir la fonction de répartition de la loinormale, qui n’est définie qu’à partir d’une intégrale

Φ (x) =

Z x

−∞ϕ (z) dz =

Z x

−∞

1√2πexp

µ−12z2¶dz.

Parfois, il est plus rapide d’utiliser une approximation de cette expression (par exemplequand on ne dispose que d’une calculatrice et non d’un ordinateur). Une approximationpolynômiale est donnée par

Φ (x) =

½1− ϕ (x) (a1k + a2k

2 + a3k3 + a4k

4 + a5k5) si x ≥ 0

1− ϕ (−x) si x < 0

aveck =

1

1 + γx

etγ = 0.2316419 a3 = 1.781477937a1 = 0.319381530 a4 = −1.821255978a2 = −0.356563782 a5 = 1.330274429.

Cette approximation permet une précision pour Φ (x) à la sixième décimale.

2Chiras et Manaster (1978).


9.2 L’estimation du smile de volatilité implicite

9.2.1 La matrice des volatilités implicites

Les praticiens qui utilisent le modèle de Black et Scholes ont observé que ce modèle necorrespond pas au modèle de valorisation des options effectivement utilisé par les opérateurs.On peut montrer aisément ce résultat en calculant pour chaque option d’un même actif sous-jacent la volatilité implicite.Comme on l’a vu, pour un même actif sous-jacent, on dispose d’options pour des ma-

turités τ différentes et, pour une même maturité, pour des prix d’exercice K différents.C’est pour cette raison que les prix d’option sont notés, dans le cas général, sous la formeCt = C (St, τ ,K). A une date t donnée, on dispose pour un actif de prix St d’options dontle prix est noté C (St, τ i, Kj) avec i = 1, ..., Nτ , et j = 1, ..., NK, où Nτ désigne le nombre dematurités et NK le nombre de prix d’exercice.Pour ces différentes options, le prix du sous-jacent St est le même. De même, on peut

faire l’approximation que le taux d’intérêt sans risque r est constant (même si, en réalité, ilest susceptible d’être différent pour des maturités différentes). Enfin, la volatilité du prix del’actif sous-jacent σ devrait être la même pour toutes les options.On a vu également qu’il était possible, pour une option donnée, de calculer la volatilité

implicite au prix de cette option, en inversant la relation (9.1). On peut donc construire unematrice de volatilités, pour chaque prix d’exercice et chaque maturité disponibles. Notons Σcette matrice de volatilité implicite, avec

Σ = {σij}ij =

⎡⎢⎣ σ11 · · · σ1NK

.... . .

...σNτ1 · · · σNτNK

⎤⎥⎦où la ligne i correspond aux options de prix d’exercice différents pour une même maturité etla colonne j correspond aux options de maturités différentes pour un même prix d’exercice. Sile modèle de Black et Scholes correspondait au modèle utilisé par les opérateurs, on devraitobserver que les volatilités implicites sont identiques pour tous les prix d’exercice et toutesles maturités, soit σij = σi0j0 , ∀i, i0, j, j0.

9.2.2 Les anomalies du smile de volatilité implicite

Or, quand on trace les volatilités implicites en fonction du prix d’exercice, pour unematurité donnée, c’est-à-dire σij pour i donné, on n’obtient généralement pas une droitehorizontale, ce qui correspond à l’hypothèse de constance des volatilités implicites. En fait,on observe habituellement que les volatilités que les options in the money et out the moneyont une volatilité implicite supérieure aux options at the money. C’est ce qu’on appelle lesmile de volatilité implicite. Les figures 4 et 5 présentent un smile de volatilité implicite.L’option at the money correspond à l’option dont le prix d’exercice est égal au prix en t del’actif sous-jacent K = St. Les options d’achat in the money et les options de vente out the


money sont à gauche du prix d’exercice K = St. Les options d’achat out the money et lesoptions de vente in the money sont à droite de ce prix d’exercice. Cela signifie que, dansla réalité, et contrairement à ce que prédit le modèle de Black et Scholes, les options quiont des prix d’exercice éloignés du prix de l’actif sous-jacent ont des volatilités (et donc desprix) supérieurs aux options qui ont des prix d’exercice proches du prix de l’actif sous-jacent.Autrement dit, le modèle de Black et Scholes tend à sous-évaluer le prix des options dont leprix d’exercice est éloigné du prix St.De la même manière, on observe souvent que le smile de volatilité implicite n’est pas

symétrique, ce qui traduit le fait que les opérateurs n’ont pas les mêmes anticipations à lahausse et à la baisse. Par exemple, pour les options sur CAC40, on trouve que la volatilitédes options d’achat in the money est plus élevée que la volatilité des options d’achat out themoney. On parle alors, non plus de smile, mais de smirk (pour ”petit sourire narquois” !).Donc les options associées à des prix d’exercice faibles sont plus chères. Cela indique qu’onest prêt à payer plus cher pour se couvrir contre un risque de baisse de l’indice que pour secouvrir contre un risque de hausse de même ampleur de l’indice.Enfin, lorsqu’on trace le smile de volatilité implicite pour différentes maturités, on constate

généralement que les smiles ne sont pas superposés. Cela traduit le fait que deux optionsde même prix d’exercice, mais de maturités différentes, vont avoir des volatilités implicitesdifférentes, contrairement à ce que prédit le modèle de Black et Scholes. On appelle alors destructure par terme de volatilité implicite.La lecture des volatilités implicites est intéressante à deux niveaux. D’une part, elle met

en évidence que le modèle de Black et Scholes n’est pas pertinent pour refléter l’évaluationdes options par les opérateurs. D’autre part, elle fournit des indications précieuses sur lesanticipations des opérateurs. Par exemple, le fait que le smile soit très accentué indique quele marché affecte une probabilité élevée à des événements extrêmes. La densité neutre aurisque doit alors sans doute présenter des ”queues plus épaisses” que celles de la densité log-normale de Black et Scholes. De même, le fait que les investisseurs soient prêts à payer pluscher une option d’achat out the money qu’une option in the money montre une asymétriedans les anticipations.Toutefois, et on atteint ici les limites de l’analyse du smile de volatilité implicite, on ne

peut pas obtenir de mesure précise de la probabilité que les opérateurs attribuent à tel outel niveau de prix. Pour cela, il est nécessaire d’aller plus loin, et d’évaluer directement ladensité de distribution du prix de l’actif sous-jacent, évaluée dans un univers neutre vis-à-visdu risque. Ceci dépasse le cadre de ce cours ...

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