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Master Professionnel « Eaux Souterraines » Cours d’hydrogéologie

Septembre 2007

Hydrogéologie des milieux fissurés

François Renard

Hydrogéologie des milieux fissurés 03/10/07

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Table des matières 1 Ecoulement en milieu fissuré .......................................................................................................................... 3

1.1 Ecoulement permanent ........................................................................................................................... 3 1.2 Calcul de la vitesse moyenne .................................................................................................................. 4 1.3 Vitesse de Darcy en milieu fissuré.......................................................................................................... 4 1.4 Perméabilité de la fissure ........................................................................................................................ 5 1.5 Loi cubique ............................................................................................................................................. 5

2 Circulation dans une fracture .......................................................................................................................... 6 2.1 Nombre de Reynolds .............................................................................................................................. 6 2.2 Diamètre hydraulique équivalent ............................................................................................................ 6 2.3 La rugosité .............................................................................................................................................. 7

3 Comparaison entre perméabilité des milieux poreux et des milieux fissurés ................................................. 9 3.1 Mesure de la perméabilité K en milieu fissuré ..................................................................................... 10 3.2 Cas de réseaux de fractures d'orientations différentes .......................................................................... 10 3.3 Milieux à fractures finies ...................................................................................................................... 12 3.4 Ecoulement transitoire .......................................................................................................................... 14 3.5 Porosité et perméabilité des milieux fissurés modèles .......................................................................... 15

3.5.1 Modèles de tubes .......................................................................................................................... 15 3.5.2 Modèles de fissures ....................................................................................................................... 15

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1 Ecoulement en milieu fissuré

On cherche la solution analytique de l'écoulement dans ce système. Les équations de Navier-Stokes consistent à appliquer les propriétés générales de la mécanique à un fluide ( amf r

r= ). Ces équations sont au nombre de 3

(une pour chaque direction xi de l'espace) et ont le forme suivante:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=∇−∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

∂∂

dtdu

Fuudivxx

p iii

iiρμμζ 2

3r

où ζ: coefficient de viscosité de volume, négligeable devant μ: kg.m-1.s-1

μ: coefficient de viscosité dynamique: kg.m-1.s-1 Noter que le rapport ν=μ/ρ est appelé viscosité dynamique (m2.s-1)

2∇ : Laplacien Fi: composantes des forces à distance, par exemple la gravité (kg.m.s-2) A cela on couple l'équation de continuité

0=∂∂

+t

udiv ρρ r

qui décrit la conservation de la masse dans un volume fixé.

1.1 Ecoulement permanent Ces équations sont très compliquées et on utilise des simplifications. Dans le cadre d'un écoulement permanent dans une fracture, on obtient:

'''2

1 2 CzCz

Cux ++= μ

où C, C', C'' sont des constantes que l'on détermine à l'aide des conditions aux limites. On arrive alors à la solution:

( )ezzL

ppux −⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−= 212

21μ

La vitesse n'est pas constante sur une verticale et varie avec z. Elle est nulle sur les parois à cause des frottements.


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1.2 Calcul de la vitesse moyenne On cherche le débit qui traverse la fracture. Une fois ce débit connu, il suffit de le diviser par une surface pour obtenir une vitesse moyenne.

( )∫=××=e

xmoyenxmoyen dzzueeuq

0,

11

Ici 1 représente une largeur unitaire. Le produit ex1 est la surface à travers coule le fluide. On obtient:

Lppe

u moyen,x12

2

12−

−=μ

Le fluide a une vitesse maximale au centre de la fracture, pour z=e/2. On a alors

Lppe

u max,x12

2

8−

−=μ

soit ux,max=1.5ux,moyen

1.3 Vitesse de Darcy en milieu fissuré - fissures horizontales: la gravité n'intervient pas, seul le gradient de pression intervient; - fissures verticales: il faut rajouter la gravité.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

→→zgradgpgrad

eu moyenx ρμ12

2

,

En milieu poreux, la loi de Darcy est U=Q/A, alors qu'en milieu fissuré, elle est U=Q/le.

Darcy en milieu poreux Darcy en milieu fissuré

Dans ce second cas on considère la surface de la fissure. Si la densité ρ du fluide reste constante, on définit la charge h=p/ρg +z.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=⋅

→→→zgradgpgrad

ghgrad ρ

ρ1


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D'où pour le cas de la fracture

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

→→hgrad

geU

μ

ρ

12

2

Ici U s'exprime dans la direction x, y du plan de la fracture et ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂=⋅

→

yh

xhhgrad , dans le plan de la fracture.

1.4 Perméabilité de la fissure

μ

ρ

12

2 geK f = : Coefficient de perméabilité (m/s): dépend du milieu poreux ET du fluide.

12

2ek f = : Perméabilité intrinsèque (m2), ne se rapporte qu'au milieu poreux et ne dépend pas du fluide.

1.5 Loi cubique On cherche le débit par unité de longueur dans la direction y. U.e.1. D'où

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=

→hgrad

geQ

μρ

12

3

en m3/s

Q est proportionnel au cube de l'ouverture de la fracture. Ainsi, si l'ouverture d'une fracture double, le débit est multiplié par 8. Quand on creuse un tunnel, la contrainte est tangentielle augmente et les fissures se referment, ce qui fait chuter la perméabilité. Dans un forage, on cherche à augmenter la pression fluide pour ouvrir des fissures et augmenter la perméabilité


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2 Circulation dans une fracture Dans des expériences de laboratoire de circulation de fluides dans des fissures, on a montré aussi qu'il faut tenir compte de:

- la vitesse de l'eau (décrit par le nombre de Reynolds) - la rugosité des surfaces de la fracture (décrite par la rugosité relative)

2.1 Nombre de Reynolds

μρUdRe =

Re est sans dimension, U [m/s], d [m], ρ [kg/m3], m [Pa.s=kg.m/s2.m2] où d est une distance caractéristique (par exemple le diamètre d'une conduite), U est la vitesse moyenne du fluide. Dans la pratique, la distance caractéristique est prise égale au diamètre hydraulique équivalent Dh. Il existe deux régimes:

- Re < 2300: l'écoulement est laminaire; - Re > 2300: l'écoulement est turbulent.

écoulement laminaire écoulement turbulent

2.2 Diamètre hydraulique équivalent

PADh

4=

où A est la surface, section du canal, et P le périmètre mouillé. C'est le périmètre sur lequel s'effectue le frottement. Sur une section circulaire on obtient:

Exemple: Pour un écoulement au fond de la mer


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avec e = 5 km, μ = 10-3 Pa.s à 20°C. Si on prend une vitesse U=1 cm/s (soit 10-2 m/s), on obtient Re=5.107, ce qui est très grand. La mer est donc turbulente, même à des vitesses très lentes. Conduit karstique:

PADh

4=

( ) eelle

PADh 22

44≈

+==

2.3 La rugosité

La rugosité relative est définie par: eD

Rh

r 2εε

==


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On définit 5 régimes d'écoulement selon la valeur du nombre de Reynolds et de la rugosité relative.

Régime 1 (laminaire lisse): ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

→→hgrad

geU

μ

ρ

12

2

Régime 4 (laminaire rugueux): ( ) ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛⋅−=

→→hgrad

R

geU

r5.1

2

8.8.112μ

ρ

Régimes 2, 3 et 5 (turbulents): ( )α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

→→hgradU où α=4-7 (régime 2), α=1 (régime 3), α=2 (régime 5),

Dans une fissure d'épaisseur e:

61022 ⋅⋅⋅=⋅⋅= eUeURe μρ

Pour avoir Re > 2300, il faut donc Ue>10-3. Si e = 1 mm, il faut U > 1 m/s, ce qui est relativement grand. Exemple du barrage de Malpasset (Var): Ce barrage s'appuie sur un socle fissuré. Les fissures sont colmatées à l'aval. L'eau qui s'infiltre fait pression à l'aval et provoque des effondrements de la voûte car la résistance des appuis est altérée. Le barrage s'est effondré en 1959 (425 morts). On aurait dû construire des drains (en rouge) pour évacuer l'eau.


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3 Comparaison entre perméabilité des milieux poreux et des milieux fissurés

massif fissuré milieu poreux équivalent b: hauteur du massif, soit équivalent à b, la distance entre deux fissures. Q=U.l.e. On compare ceci à un milieu poreux équivalent.

On peut remplacer un milieu poreux par un milieu avec une fissure. Par exemple, le débit s'écoulant à travers une section de 100 m d'épaisseur de milieu poreux de perméabilité 10-7 m/s pourrait être amené par une seule fissure dans une roche imperméable, dont l'ouverture ne serait que de 2 mm!. - loi de 1976 sur le stockage des déchets industriels toxiques:


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D'après les calculs précédents, s'il existe une seule fissure de 50 microns d'épaisseur, la perméabilité devient supérieure à 10-9 m/s, limite admise pour ces déchets. Attention donc à la perméabilité apportée par une seule fissure. En milieu souterrain, les fissures sont donc essentielles pour estimer une perméabilité. Un massif rocheux qui n'est pas remis en mouvement par la tectonique se colmate en quelques milliers d'années. Or, par exemple, la Scandinavie est remontée de 400 m en 10,000 ans, d'où une fracturation tectonique récente, non encore colmatée. En Bretagne, il y a de l'eau dans le granite (donc pas de colmatage), alors que dans le Massif Central, les granites ne contiennent pas d'eau.

3.1 Mesure de la perméabilité K en milieu fissuré La mesure de e est en général très aléatoire. On la surestime souvent.

μρ

12

2 geK −=

La mesure de K est donc plutôt effectuée par des mesures hydrauliques (essai d'eau ou essais Lugeon).

On injecte de l'eau sous pression, en mesurant le débit stabilisé (on attend 5 à 10 minutes) en fonction de la pression. Le protocole de mesure prévoit de faire varier graduellement la pression entre 0 et 10 bars, puis inversement en réduisant la pression de 10 bars à 0. On trace alors le diagramme débit en litre/minute-pression On mesure le débit injecté: 1 unité Lugeon = Q (litre/min /mètre) pour P=10 bars en 10 minutes. On rapporte cela à la perméabilité équivalente du milieu poreux. Kéquivalent (milieu poreux): 1 unité Lugeon = 1 à 2 10-7 m/s. Un obturateur peut isoler une fracture (essai d'eau).

3.2 Cas de réseaux de fractures d'orientations différentes En deux dimensions:


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On considère le milieu poreux dans son ensemble comme un milieu poreux équivalent dont la perméabilité varie selon la direction. On a pour cela les formules suivantes qui donnent les deux directions principales de l'écoulement:

( )( ) ⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

b

ai

KK

θ

θϕ2cos

2sinarctan21

(ici i = a,b)

( )( ) ( )ibia

bai

KK

KKK

ϕθϕ

θ

−+=

sinsin

sin2

2

En trois dimensions, on compte toutes les fissures et la perméabilité est un tenseur de rang 3. Le calcul de la perméabilité fait intervenir la somme de toutes les contributions de chaque famille de fracture:

∑=

=N

iiii Rkel

K1

1

où ei est l'ouverture de la fracture, l la dimension élémentaire du bloc d'observation, ki la perméabilité de chaque fracture, et Ri une matrice de rotation.

Explication de Ri:

La matrice Ri dépend de 2 paramètres, pi et di. L'intersection de la direction horizontale avec le plan de fracture donne l'azimut di. pi: pendage = angle formé entre le plan horizontal et la ligne de plus grande pente. Ri permet d'additionner les effets de N fractures observées dans le bloc.


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Ce système surestime en général K et approxime les rapports d'anisotropie et les directions principales d'écoulement. Cependant les 3 directions d'écoulement (Kx, Ky, Kz) sont surestimées avec le même rapport. on peut donc faire un essai d'eau sur un endroit et par un facteur de réduction, à partir des Ki calculées, revenir à Ki réelle. Ce calcul demande une bonne connaissance de la fracturation (faire attention si usages d'explosifs).

3.3 Milieux à fractures finies Dans la nature, les fractures ne sont pas infinies.

Sur ce schéma on trouve 3 niveaux: la fracturation initiale (1), puis faille (2) et petites fractures (3) qui représentent des zones de faiblesse à l'échelle du mètre. Il existe toute une gamme de fractures, comment en tenir compte? On s'intéresse à la connexité (concept théorique difficile à mettre en œuvre sur le terrain) du réseau de fractures. On va supposer que la taille et la densité des fractures font qu'elles sont connexes. Règle de connexité: On considère que les fractures sont des disques circulaires d'orientation aléatoire.

(Nr3)c ≈ 0.15 à 0.3 N: nombre de fractures par unité de volume r: rayon de la fracture (ici toutes les fractures auraient la même taille)

- Si (Nr3)c < 0.15: les fractures ne sont pas connectées - Si (Nr3)c > 0.3: toutes les fractures sont connectées

Ce genre de calcul donne un ordre de grandeur. Si les fractures ne sont pas de rayon unique ou de forme circulaire, on calcule le nombre:

[N x (aire moyenne) x (1/2 périmètre moyen)]c = N x πr2 x πr = Nr3π2 = 1.5 à 3.

On peut avoir des amas locaux de fractures et avoir donc une perméabilité locale dans un massif imperméable.


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exemple: mine de granite

On injecte de l'eau dans la mine et la pression fluide diminue en P1 !

- on n'est pas dans le même amas de fractures - en injectant de l'eau on crée une contrainte mécanique. Cela peut ouvrir ou fermer certaines fractures.

Cela peut expliquer la différence de comportement entre P1 et P2-P3.

Pour simuler les écoulements dans ces milieux on utilise des modèles de fractures aléatoires (numériques). On fait cela en 4 étapes:

1- on choisit des centres de disques aléatoires

2- on choisit aléatoirement les directions di et pi. Si le milieu est peu structuré, on prend ces directions de

manière aléatoire, sinon on définit des directions par familles. 3- on choisit aléatoirement la taille r des fractures 4- on choisit aléatoirement leur épaisseur e.


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Après ces 4 étapes on voit si on a des fractures connectées ou pas. Puis on calcule l'écoulement par méthodes numériques. Ce genre de problème est actuellement en développement.

3.4 Ecoulement transitoire En écoulement permanent, la loi reliant la vitesse du fluide et le gradient de pression est définie par:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−=

→→zgradgpgradkU ρ

μv

Si l'écoulement change en fonction du temps, il faut rajouter un terme transitoire:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−⋅+⋅−=

→→

tUzgradgpgradkU

ωρ

ρμ

v

Le terme transitoire est négligeable pour des écoulements lentement variables, car U étant faible en milieu poreux, dU/dt est encore plus faible. Si ce terme devient important, l'effet devient rapide (ordre de la seconde). Le terme 1/ω est un terme d'intégration. Par exemple un séisme peut faire varier le niveau piézométrique (effet mécanique sur les fractures). Ainsi, après le séisme de Loma Prieta en 1988, le débit de certaines sources autour de la faille a été multiplié par 2 pendant un an. On explique cela par une hypothèse de pompage sismique: la fracture oscille et expulse l'eau. Une autre application est la réalisation d'essais oscillants. Ces essais permettent d'ausculter plus à fond le milieu

souterrain. Il faut alors tenir compte du terme tU∂

∂ .


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3.5 Porosité et perméabilité des milieux fissurés modèles 3.5.1 Modèles de tubes

8

2φrk =

et compte tenu que 3

2

l

drπφ = on a

3

4

8 l

drk π=

La perméabilité est contrôlée par 3 microvariables d, r, et l. 3.5.2 Modèles de fissures

3

2

2l

wcπφ = et

3

32

32

l

wck π=

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