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Master - Automatique - Chap. VI : 1

Chapitre VI :Description interne des systèmes linéaires invariants (SLI) - Représentation d’état

VI-1 Introduction

VI-2 Représentation d’état

VI-3 Obtention des équations d’états

VI-7 Commandabilité et Observabilité d’un SLI

VI-4 Solution générale des équations d'états

VI-6 Représentation d'état d'un système échantillonné

VI-5 Expression de la transmittance en fonction de la représentation d'état ( Matrice de transfert)


VI-1 Introduction

Nous allons dans les chapitres VI et VII introduire un nouvel outil pour l’étude des systèmes : LA REPRESENTTION D’ETAT

Cet outil utilise l’algèbre linéaire (calcul matriciel) dont les principaux avantages sont :

Un même formalisme pour les systèmes analogiques ou échantillonnés.

Un même formalisme pour les systèmes mono- ou multi-variable.

Une analyse interne des systèmes.

L’utilisation généralisée de l’ordinateur.

VI-2 Représentation d’état

Equation d’état BeAxdtdx

DeCxs Equation d’observation

Prenons par exemple un système d’ordre n :

e séquation différentielle d’ordre n n équations du 1er ordre

+s=f(e,x)


A : matrice de dynamique ou matrice d’état

B : matrice de commande

C : matrice d’observation

D : matrice de transfert direct

avec : n

n

n

q

q

p

n

pD sera nulle pour un système

physique réel

A, B, C et D constitue la représentation d’état

Exemple 11er Ordre

C

Rse

v

variable d’état : v (tension aux bornes du condensateur)

vx équation d’observation :

1D

1C

evves

équation d’observation :

RC1

B

RC1

A

RCev

RCs

dtdv

Rs

i

Ci

dtdQ

C1

dtdv

p : entrées

q : sorties


2ème Ordre

K Amortissement (f)

y

M

e(t)

teyFKyym

M1

0Bet

MF

MK

10A

eM

1

0

v

y

MF

MK

10

v

y

Mte

dtdy

MF

yMK

dtdv

dtyd

vdtdy

: étatd' équation

2

2

vy

yx : état

t y: sortie

te : entrée

Equation du mouvement :

Prenons les variables suivantes :

ODet01C

v

y01y : nobservatiod' équation

On prend pour variables celles qui définissent les CI

Pour un système le vecteur d'état n'est pas unique : il existe

une infinité de représentation pour un

même système.

Exemple 2 :


Exemple 3 :

d1

h1

h2

d2

S1S2

q1

q2

2

1

2

21

2

1

1

1

1

1

2

2

2

2221

2

12

1

121

1

11

22221122

211111

S10

0S1

Bet

Skk

Sk

Sk

Sk

A

Sd

Shk

hhSk

h

Sd

hhSk

h

dt.ddt.hkdt.hhkdh.S

dt.hhkdt.ddh.S : étatd' équation

2

1

2

1

2

1

h

hx : étatd' vecteur

q

qs : sortie

d

de : entrée

0Detk0

kkC

0h

h

k0

kk

q

q

.hkq

hh.kq: nobservatiod' équation

2

11

2

1

2

11

2

1

222

2111


VI-3 Obtention des équations d’états

a. directement (voir exemples précédent)

b. A partir de la transmittance

Principe : Transmittance schéma bloc

• variables d'états = sortie des intégrateurs• réécrire n équations différentielles du 1er ordre

On part de la forme normalisée :

1ère Réalisation Compagne (Matrice de commandabilité)

VI-3-1 Cas Continu

pEpX

.pXpS

pEpS

pbp

papF 1n

0i

i

i

n

n

0i

i

i

n

0i

i

ipa

pXpS

1n

0i

i

i

n pbp

1pEpX

On peut poser : et

On revient maintenant dans le domaine temporel :

n

0i

i

i

1 txatspXpS

TL

1n

0i

i

i

n1 txbtetxpEpX

TLet


1/pe(t)

an

bn-1

an-1

bn-2

1/p

an-2

b1

1/p

a0

x(t)+

+

+

-

x’x(n-1)

Schéma de la transmittance :

x(n) x(n-2)

+

+

+

+

+

+

b0

a1

+

+

+

+s(t)

x1xn-1xn x2

+ +

+

Intégrateur


Equation d'état :

1-n

0iiin

n1-n

32

21

xb-ex

xx

xx

xx

1n2n10bbbb

1000

1

0100

00010

A

1

0

0

B

1ère Forme Compagne

Si D=O 0an et

xbxbxb-eaxaxaxas n1-n2110nn1-n2110

Equation d'observation :

n

1nn1n1n10n0

aD

baabaabaaC

1n10

aaaC


On part de la forme normalisée :

SbEap1

SbEap1

EaS

0EaSbEaSbpEaSp

0pbppSpapE

pbp

pa

pEpS

pF

1bavecpbp

papF

00n1n1nn

001n1n1n

nn

n

0i

ii

nn

0i

ii

n

0i

ii

n

n

0i

ii

nn

0i

ii

n

n

0i

ii

2ème Réalisation Compagne (Matrice d'observabilité)


1/p

e(t)

a0

b0

an-2

bn-2

1/p

an-1

bn-1

1/p

an

s(t)

+ + + +

- - -

x1x2xn

Schéma de la transmittance :

n

n1

aDet001C

eaxs



Equation d'état :

ebaa x-bx

ebaax x-bx

ebaax x-bx

ebaax x-bx eaxs

x sb-eax

0n010n

1n1n111-n

2-nn2-n312-n2

1-nn1-n211-n1

n1

21-n1-n1

000b

100b

01b

0001b

A

0

1

2n

1n

0n0

1nn1n

baa

baa

B

2ème Forme Compagne

Si D=O

0

1n

a

a

B

0an et


Réalisation Diagonale ou modale ou de Jordan

Ici on va décomposer la transmittance F(p) en éléments simples.

Cas de n pôles simples

txptetxtetxptxpp

pEpX

pXir

pEpp

rpEapS

ppr

apF

iiiiiii

n

1i

i

in

n

1i

in

1TL

i

i

i

e(t)

pi

+

+

xi

txi

Intégrateurgraphe

Donc le graphe de F(p) sera décrit par une succession de ces graphes élémentaires


e(t)

p1

+

+

x1 tx1

an s(t)+

+

+

+r1

pn

+

+

xn txn +

+rn

txptetx

txptetx

nnn

111

n

1

p0

0p

A

1

1

B

n

1iin tx

irteats

n

n1

aD

rrC

Equation d'état :



Cas d'un pôle multiple : p1 d'ordre

n

1i

i

i1n

pXir

pEpp

rpE

pppE

pppEapS

ii1

pEpp

1X

1

1 Quel est le graphe de

p1

+

+

E(p)

p1

+

+p1

+

+

cellules

pEpp1

X12

1

Le graphe de sera la cascade de -1 cellules

Donc le graphe final sera


e(t) an s(t)+

+

+

+

+

+

p1

+

+p1

+

+p1

+

+

1

+

+

-1

p+1

+

+

x+1 tx 1

+

+r+1

pn

+

+

xn txn

+

+rn

x x-1 x1


txptetx

txptetx

txptetx

txpxtx

txpxtx

txpxtx

nnn

111

1

111

2132

1121

n

1

1

1

1

1

p00

00

p00

0p00

1p

0

1p0

00001p

A

1

1

1

0

0

B

teatxirtx

its n

n

1ii

1ii

n

n121

aD

rrC

Equation d'état :


Bloc de Jordan

-1


Exemple :

12p16p7p1p

2p3p1p

pF

23

2

Soit la transmittance suivante :

1ère Réalisation compagne :

71612

100

010

A

1

0

0

B 011C

2ème Réalisation compagne :

0012

1016

017

A

1

1

0

B 001C


Réalisation Modale :

23p1p

dpd

13p1p

22p1p

r

3pr

2p2p2p3p1p

pF

2p

2

2p

1

3p

23

322

12

300

020

012

A

1

1

0

B

221C


VI-3-2 Cas Discret


DeCxs Equation d’observation

Continu :

Equation d’état kk1kBeAxx

kkkDeCxs Equation d’observation

Discret :

e(t)

A

+

+

xx

D

s(t)+

+

CB

ek

A

+

+

1kx

D

skCB 1Z kxRetard d'un échantillon =

1Z 1kx kx

++


VI-4 Solution générale des équations d'états


Solution = Solution générale sans entrée (e=0) + Solution particulière avec entrée (e)

a - Solution générale sans entrée (e=0)

Axdtdx

0

ttA txetx 0 où t0 est l'instant initial

La matrice s'appelle la matrice de transition d'état Atet

Propriétés de :

0xx

0xx

A

tt

tnt

tttt.tt

1

00

n

00

020212

VI-4-1 Cas Continu


Calculs de :

1n

nn2At

!nAt

!nAt

!2At

AtIet Par le calcul de la série :

n

2

1

e0

e

0e

et

0

0

A At

n

2

1

Si A est diagonale :

Par la transformée de Laplace :

nj,i1avecaTLApIeTLalors

nj,i1avecaeSi

j,i

1At

j,i

At

La méthode consiste donc à calculer la matrice puis à prendre la transformée de Laplace inverse de chacun des termes de la matrice

1ApI

11At ApITLte


Par le théorème de Caley-Hamilton :Le théorème exprime que toute matrice carrée A est solution de l'équation caractéristique :

01

2n

2n

1n

1n

n

A apapapapApIdetpQ

OIaAaAaAaA01

2n

2n

1n

1n

n

Donc :

An s'exprime donc en combinaison linéaire de I,A, A2, …, An-1. Il en découle que le développement :

1n

nn2At

!nAt

!nAt

!2At

AtIe

est limité au degré n-1 :

1n

i1ni10

t ttte i

Les coefficients i vérifient pour chaque valeur propre i l'équation :

1n

1n10

At AtAtIte

b - Solution particulière pour e0

BeAxdtdx

On utilise la technique classique de variation de la constante, donc on cherche une solution particulière de la forme :

ttqtxp


BeAxdtdx

ttqtxp BeqAqq

on sait que : A

t

t

t

t

1

p

t

t

1

p

t

t

1

1

00

0

0

d.e.B.td.e.B.ttx

d.e.B.ttqttx

d.e.B.tq

Beq

Beq

Donc la solution est :

t

t00

0

d.e.B.ttxtttx

t

0

d.e.B.t0xttxGénéralement on peut toujours se ramener à t0=0 :

teBt0xttx Si de plus on a e(t) causale :


c – Réponse Forcée et Réponse Impulsionnelle

teDBtCts

DeteBt0xtCts

00x forcée réponse

DeCxts

0

Réponse impulsionnelle : tte

0

DBtCtRI

VI-4-2 Cas Discret

a – Régime libre

k

m

mk

k

3

2k3k

k

2

1k2k

k1k

xAx

xAAxx

xAAxx

Axx

0

0

0

kk

0

k

kk

k

Akk

xAx

b – Solution Globale

ik

1m

0i

1im

k

m

mk

2k1kk

2

k

3

2k2k3k

1kkk

2

1k1k2k

kk1k

000

0000000

000000

000

eBAxAx

BeABeBeAxABeAxx

BeABexABeAxx

BeAxx


j

1k

kj

1jk

k

kk

k

00

eBAxAx

ik jet mkk pose On

00

0

Si e est causale kTeBA0xAkTx 1kk

c – Réponse Forcée et Réponse Impulsionnelle

k0,k

1k

k

k

1k

k

eDBCAs

DeeBCAs

0,k

1k DBCARI

Calcul de Ak : 2DeCxs

1BeAxx

kkk

kk1k

Prenons la TZ de (1) :

ZBEAZIZxAZIZX

ZBEZxAZIZX

ZBEZxZXAZI

ZBEZAXZxZZX

ZxZZXxTZ

0k : initial Instant

1

0

1

0

1

0

0

01k


j

1k

kj

1jk

k

kk

keBAxAx

00

0

ZBEAZITZxZAZITZx 11

0

11

k

En utilisant les deux expressions connues de xk on obtient :

ZAZITZA 11k

VI-5 Expression de la transmittance en fonction de la représentation d'état ( Matrice de transfert)

DeCxs

BeAxx

On considère le système suivant : e est de taille ps est de taille qn ordre du système

En prenant la TL : pBEApIpX

pBEpXApI

pDEpCXpS

pBEpAXppX

1

DBApICpEpS

pF

pDEpBEApICpS

1

1

ZBEAZITZxZAZITZx 11

0

11

k


Dans le cas général F(p) sera une matrice : pFqp

pE

pE

pE

pF

pS

pS

pS

p

j

1

j,i

q

i

1

jk pour

0Ej

ij,i

kpEpS

pFavec

Remarque importante: Les éléments de la matrice ont tous le même dénominateur égale à :

Donc les valeurs propres de la matrice dynamique A sont solutions

de l'équation

et sont aussi les pôles de la transmittance

ApIdet

0ApIdet

VI-6 Représentation d'état d'un système échantillonné

F(p)A,B, C, D

B0ek sk

Ts(t)

F(Z) Ae, Be, Ce, De

Réalisation à l'aide d'une des trois méthodes décrites


Calcul de Ae,Be, Ce, De :

On sait que le système continu A, B, C, D a pour solution :

t

t00

0

d.e.B.ttxtttx

T1k

kT

0

d.e.B.T1kkTx.TT1kx

T1kt et kTt prend On

k

T1k

kT

T1kA

k

AT

1ked.B.ex.ex

BeAe

On utilise un bloqueur d'ordre zéro donc e() est constant entre les

instants k et k+1, et vaut ek

kkkDeCxs

DeCe

Si le système A, B, C, D est invariant le système Ae, Be, Ce, De est invariant également Donc Be ne dépend pas de k

T

0

TA

e d.B.eB


VI-7 Commandabilité et Observabilité d’un SLI

Définition : Commandabilité ou Gouvernabilité

Un système d’équations est commandable à l’instant t0 si :BeAxx

Quelque soit les états x(t0) et x(t) pour t>t0, il existe une loi de commande e(t0 à t) capable de transférer le système de x(t0) à x(t).

On dit donc que le système est commandable à l’instant t0

Le système est complètement commandable ou commandable s’il l’est quelque soit t0 (Cas des systèmes invariants)

Définition : observabilité

Un système A, B, C, D est observable à l’instant t0 :

S’il existe un instant t> t0 tel que x(t0) puisse être déterminé à partir de la connaissance de s(t0 à t) quelque soit e(t).

Le système est complètement observable ou observable s’il l’est quelque soit t0 (Cas des systèmes invariants)


VI-7-a Critère de Commandabilité

Le système A, B, C, D est commandable si en représentation diagonale B n’a pas de ligne nulle.

p

1

np1n

ij

p111

n

1

n

1

n

1

e

e

bb

b

bb

x

x

p0

0p

x

x

p

1jjijiii

ebxpx

Si la ligne i de la matrice b est nulle implique que xi ne dépend d’aucunes entrées ej

iiixpx

Critère général de Commandabilité

On construit la matrice de commandabilité :

Le système est commandable si C est de rang n ou encore s’il existe un déterminant n×n 0

BA,,BA,AB,B 1n2 C


VI-7-b Critère d’Observabilité

Le système A, B, C, D est observable si en représentation diagonale C n’a pas de colonne nulle.

n

1

qn1q

ij

n111

q

1

x

x

cc

c

cc

s

s

Si la colonne j de la matrice C est nulle implique qu’aucunes des sorties (s1 à sq) ne dépendra de xj

Critère général d’Observabilité

On construit la matrice d’observabilité :

1n

2

CA

CA

CA

C

Le système est observable si est de rang n ou encore s’il existe un déterminant n×n 0


VI-7-c Deux cas de perte d’Observabilité

1 – Par échantillonnage(concerne les systèmes possédant au moins une paire de pôles complexes conjugués)

Prenons l’exemple d’un deuxième ordre échantillonné par un bloqueur d’ordre zéro.

2

0

2

2

0

p

B0ek

Ts(t)sk1ère Réalisation Compagne

0D0C

1

0B

0

10A

2

0

2

0

Système continu

On constate bien que le système A, B, C, D est observable, car est de rang 2 donc Observable

2

0

2

0

0

0

Système échantillonné

2

0

0

2

0

2

2

01

ZTcosZ21Z1Tcos1

ZF

ppTZZ1ZF


1ère Réalisation Compagne

11Tcos1C

Tcos21

10A

0e

0

e

Tcos211

11Tcos1

0

0

Tcos12

Tcos1Tcos12det

0

2

00

Calculons le déterminant de pour discuter de l’observabilité du système :

e0

e0

0

0

k22

kTk

kT

1Tcos

0det si Observable

La distance verticale entre les deux pôles

complexes conjugués ne doit pas être un multiple

de e

bpap1E S

2 – Par compensation de pôles et zéros

p

abpbapp

bpap1

ppF2


baab

1

CA

C

b

ou

a

0det

baabbadet

Perte d’observabilité si un zéro est égale à un

pôle

1ère Réalisation Compagne

0D1C

1

0B

baab

10A

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