Master Actuariat de Dauphine Mémoire présenté devant O ......ainsi que pour leurs idées, et leur...

Mémoire présenté devant l’Université Paris Dauphine

pour l’obtention du diplôme du Master Actuariat

et l’admission à l’Institut des Actuaires

le 18 Novembre 2014

Par : Guillaume Metge

Titre: Calcul de la Market Value Margin pour les Annuités Variables

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membre présent du jury de l’Institut

des Actuaires : Signature :

Entreprise : AXA Life Invest

Nom :

Signature :

Directeur de mémoire en entreprise :

Membres présents du jury du Master

Actuariat de Dauphine :

Nom : Jiangang YU

Signature :

Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de diffusion de documents

actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité)

Signature du responsable entreprise :

Secrétariat :

Bibliothèque : Signature du candidat :

Université Paris-Dauphine, Place du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75775 PARIS Cedex 16

Master Actuariat de Dauphine

Université Paris IX Dauphine

École Centrale Paris

AXA Life Invest

Mémoire d'Actuariat

Calcul de la Market Value Marginpour les Annuités Variables

Auteur :

Guillaume Metge

Tuteur :

Jiangang Yu

Présenté devant l'Institut des Actuaires le 18 Novembre 2014

Table des matières

Résumé II

Abstract III

Remerciements IV

Introduction V

1 Les Variables Annuities 11.1 Le marché des annuités variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Fonctionnement des annuités variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Que retenir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Market Value Margin et Solvabilité II 142.1 Les risques sous Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Principe de la MVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Recherche de drivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Que retenir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Projection du capital de solvabilité 263.1 Vieillissement des hypothèses �nancières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Vieillissement des hypothèses démographiques . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Exemple de calcul du capital de solvabilité choqué . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Calcul de la MVM à partir du capital projeté . . . . . . . . . . . . . . . . 35Que retenir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Analyse des drivers 394.1 Quels drivers observer ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Méthode générique de construction d'un driver . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Méthodes originales de construction d'un driver . . . . . . . . . . . . . . . 46Que retenir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Robustesse du modèle 515.1 Les limites du choix d'un unique scénario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2 Fiabilité du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Que retenir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Conclusion 57

Bibliographie 58

Table des �gures 60

I

Résumé

Les produits en annuités variables, si ils existent depuis les années 1980 aux États-Unis,sont assez récents en Europe. Ce sont des produits complexes, du point de vue de l'actifcomme du passif, et leur traitement dans le cadre Solvabilité II nécessite un certain nombred'études. Parmi les provisions introduites sous Solvabilité II, ces travaux s'attachent toutparticulièrement à la Risk Margin ou Market Value Margin. Cette provision s'ajoute à laBest Estimate of Liabilities pour former les provisions techniques a�n que ces dernièresatteignent la valeur de marché qui serait la leur en cas de rachat de l'assureur.

La première partie de ce mémoire décrit le fonctionnement des produits en annuitésvariables. Il s'attache principalement à dé�nir le fonctionnement des principales garantiesattachées à ces produits, qui sont proches des options de vente. La seconde partie parcourtles points les plus importants de Solvabilité II et présente le concept de Market ValueMargin. Elle présente la méthode par coût du capital (MCoC) préconisée par les autoritésde régulation pour le calcul de celle-ci. On introduira également la notion de driver,préconisée par le QIS5, qui permet la projection du capital de solvabilité dans l'avenir, enminimisant les calculs.

Pour des annuités variables couvertes à l'actif, la méthode MCoC postule la projectiondu capital de solvabilité lié aux risques vie dans l'avenir. La troisième partie de ce mémoireprésentera la méthode utilisée pour projeter le capital de solvabilité. On s'intéresseraprincipalement aux raccourcis de modélisations qui ont été pris, dans une optique dediminution des temps de calculs, et aux hypothèses �nancières, qui se placent dans lecadre d'un scénario équivalent certain.

La méthode MCoC autorise l'utilisation de drivers, fortement corrélés au capital deSolvabilité, pour le calcul de la MVM. La quatrième partie s'intéresse à la nature de cesdrivers, à leur construction et aux caractéristiques qui en font des drivers acceptables. Àce stade, on sera capable de dé�nir une méthode générale pour un calcul simpli�é de laMVM.

Finalement, une cinquième partie abordera les limites et la robustesse de l'étude. Ellecherchera à ouvrir des pistes, en terme de backtesting et stress-test pour certi�er la validitédu calcul de MVM proposé.

Les résultats de la méthodologie abordée dans ce mémoire ont été utilisés dans lescomptes d'AXA Life Invest dès l'année 2014.

Mots clefs : Actuariat, Solvabilité II, Market Value Margin, Risk Margin, Annuités

Variables, Capital de Solvabilité.

II

Abstract

Variable annuities, which exist for 40 years in the United States, were introducedquite recently in Europe. These are complex insurance products, from the asset as wellas the liability side. Thus, they need peculiar computation in Solvency II. Among theprovisions developped for Solvency II, this memoir focuses on Risk Margin - or MarketValue Margin -. This provision adds itself to the Best Estimate of Liabilities so thatany undertaker willing to take over the insurance company should meet the insuranceobligations.

First variable annuities description will be handled. The main guarantees attached tothese products, close to a put, will be presented. Second part will describe the major pointsof Solvency II and de�ne the Market Value Margin. The Market Cost Of Capital (MCoC)approach, preconized by the ruling authorities, will be dealt with. We will introduce thedriver concept, preconized by QIS5, which allows to project easily solvency capital infuture.

For hedged variable annuities, MCoC method needs the projection of life solvencycapital in future. Third part of this report will present the method used for this projection.We will bear on the modelization easings, taken as to diminish computation time, andthe �nancial hypotheses, which were "equivalent certain". Reader could, at the end of theday, de�ne a general method for a simpli�ed computation of the MVM.

MCoC methodology allows the use of drivers, highly correlated to solvency capital, asto compute the MVM on a simple way. Fourth part will present the more commons drivers,the way to build them and the caracteristics of a good driver for MVM computation.Reader should then be able to use a general method for �nding driver and perform aquick MVM computation.

Fifth part will eventually focus on the limits and robustness of the study. It will dealwith the possibilities of backtesting and stress tests as to certify the �ability of the study.

Results of the computation performed for this study were taken into account by AXALife Invest in 2014.

Keywords : Actuarial, Solvency II, Market Value Margin, Risk Margin, Variable An-

nuities, Solvency Capital.

III

Remerciements

Je tiens d'abord à remercier toute l'équipe d'AXA Life Invest pour m'avoir accueilliet m'avoir permis de rédiger un mémoire impactant sur les chi�res de l'entreprise.

Je remercie l'équipe Life Reporting, et tout particulièrement Jiangang Yu et MustaphaKadiri pour leur rôle de guide au sein des systèmes et des modèles d'AXA Life Invest,ainsi que pour leurs idées, et leur vision critique du sujet de stage. Je remercie égalementMustapha pour sa relecture précise du mémoire et du rapport de stage. Je tiens égale-ment à remercier Hélène Madre pour m'avoir accueilli dans son équipe, et m'y avoir faitcon�ance. Pour la revue critique des travaux e�ectués, et l'aide qu'ils ont pu apporter, jeremercie l'équipe actuariat de Dublin en Richard McMahon, Ciaran O'Sullivan et LiamHannigan.

Finalement, je tiens à remercier l'École Centrale et l'Université Dauphine pour m'avoirpermis de mener à bien ce double cursus.

IV

Introduction

L'objectif de ces travaux est d'établir une méthode générale pour le calcul de laMarket

Value Margin sur des produits particuliers que sont les annuités variables. Leur objet

principal est la minimisation du nombre d'opérations et de calculs à e�ectuer pour calculer

la Market Value Margin.

Les annuités variables sont des produits d'assurance assimilables à des unités de compte

dans le référentiel français. Nés aux États-Unis, les contrats à annuités variables sont arri-

vés en Europe au cours des années 2000. Le provisionnement de ces contrats est complexe

dans la mesure où ils font porter à l'assuré un certain nombre de risques de marché tout

en lui o�rant certaines garanties à terme. Ces garanties peuvent prendre la forme d'un

taux de rendement minimum assuré ou d'un e�et cliquet. La sortie de ces contrats peut

se faire en rente, à vie ou limitée dans le temps, en capital, ou en assurance décès selon

le contrat ; ces di�érents types de sortie peuvent être agrégés dans un seul contrat. Le

provisionnement de ces produits est donc sophistiqué. A fortiori, les métriques de risques

sur ces produits nécessitent des outils complexes. Par exemple, dans le cadre des modules

vie du capital de solvabilité, sous les règlementations Solvabilité II, les calculs peuvent

durer plus d'une journée.

Les rapports Solvabilité II devant être rédigés tous les trimestres, les calculs et opéra-

tions que les membres de l'équipe Life Reporting e�ectuent doivent donc être minimisés,

dans les limites de ce qui est autorisé par les autorités de régulation européennes chargées

de la mise en place de Solvabilité II.

Plus précisemment, la Market Value Margin nécessite, si on utilise l'approche Market

Cost Of Capital préconisée par l'EIOPA, la projection des capitaux de solvabilité pour

les risques non-couverts. La Market Value Margin est en e�et sensée représenter, dans

cette approche, le coût que représente, pour toutes les années futures, la mobilisation du

V

Calcul de la MVM pour les annuités variables G. Metge

capital de solvabilité pour les risques non-couverts. Dans le cadre des annuités variables

telles qu'elles sont gérées au sein d'AXA Life Invest, seuls les risques de vie sont considérés.

Les risques de marchés sont en e�et intégralement couverts par AXA.

Il est clair que la projection des capitaux de solvabilité pour les risques de vie pour

toutes les années futures est, du point de vue de la quantité de calcul, très longue. De

plus, la paramétrisation de cette projection est assez complexe, et peut être sujette à des

erreurs opérationnelles. Éviter la projection du capital de solvabilité est donc un enjeu

important pour l'équipe Life Reporting.

Pour éviter d'avoir à réaliser cette projection chaque trimestre, l'EIOPA autorise l'uti-

lisation de drivers. Un driver est une variable du portefeuille qui est proportionnelle au

capital de solvabilité non-couvrable utilisé dans le calcul de la Market Value Margin. Un

driver doit être plus facile à calculer que le capital de solvabilité a�n de permettre une

projection aisée des capitaux de solvabilité. Son objectif principal est de simpli�er les

calculs.

Dans un premier temps, un calcul de la Market Value Margin selon la méthode du

Market Cost Of Capital doit être réalisé, sans utiliser de driver. On doit donc projeter

le capital de solvabilité non couvrable. Dans ces travaux, la projection du capital de

solvabilité a été faite par pas de 5 ou 10 ans. Les capitaux pour les années entre ces pas

de temps ont été interpolés. En e�et, l'évolution du capital de solvabilité vie pour les

annuités variables au cours du temps est su�samment continue pour se permettre cette

approximation. On aura également entre 5 et 10 fois moins de calculs à réaliser ; l'étude

pourra donc être faite dans des temps raisonnables, sans monopoliser toute la puissance

de calcul disponible au sein d'AXA Life Invest.

La projection du capital de solvabilité passe par la projection du portefeuille au cours

du temps, ainsi que des hypothèses �nancières et démographiques dans le futur. La pro-

jection s'est faite selon un scénario équivalent certain où, après vieillissement de la courbe

des taux, les taux d'évolution des actifs sont supposés égaux aux taux d'évolution de

l'actif sans risque.

Les chocs appliqués à l'engagement à chaque pas de temps doivent également être

vieillis. On étudiera un exemple, qui a été implémenté pour les travaux.

VI


Finalement, une fois les capitaux de solvabilité vie projetés, on doit chercher dans les

données disponibles en sortie du portefeuille lesquelles feraient de bons drivers. Quelles

sont les données qui peuvent être facilement projetées dans l'avenir ? Ces données sont-elles

bien corrélées au capital de solvabilité vie au cours du temps et permettent donc-t-elles

un calcul de Market Value Margin simpli�é ?

Au cours des travaux e�ectués, une méthode générale pour trouver un driver du capital

de solvabilité simple a été mise au point et utilisée sur deux portefeuilles distincts 1.

Également, pour certains risques, si on est incapable de trouver des drivers su�samment

corrélé ; on proposera une méthode innovante de combinaison de drivers.

En�n, le coe�cient de proportionnalité utilisé entre capital de solvabilité et driver

doit être calculé à t = 0. En e�et, dans le cas contraire, l'utilisation des résultats de

l'étude en terme de choix de driver ne serait pas possible sans projeter à nouveau le

capital de solvabilité, ce que l'on cherche à éviter étant donné la volonté de minimiser

les calculs. Dans le cas d'un risque dont le capital de solvabilité est nul à t = 0, on

ne pourra, de manière assez évidente, pas trouver le coe�cient de proportionalité. On

proposera quelques pistes, utilisées dans les travaux ci-dessous, pour trouver ce coe�cient

sans projeter le capital de solvabilité.

Les résultats obtenus en terme de choix de driver doivent être soumis à des tests. Il

semble, à travers des tests simpli�és, que de très fortes variations de la courbe des taux

pourraient changer les conclusions.

1. Portefeuille allemand et portefeuille japonais.

VII

Chapitre 1

Les Variables Annuities

Les annuités variables cherchent à arbitrer entre le besoin de sécurité des assurés, et le

fait que les performances �nancières ne sont plus facilement atteignables dans un univers

de taux bas (1.1). Elles nécessitent des études spéci�ques pour le calcul de la MVM. Ce

sont en e�et des produits complexes et modulables (voir 1.2).

Dans la mesure où seul le passif entre en compte dans le cadre du calcul de la Market

Value Margin pour les annuités variables, nous nous intéresserons principalement à ses

mécanismes. On ne rentrera pas dans les détails de couverture �nancière de ces engage-

ments.

Sommaire1.1 Le marché des annuités variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 AXA Life Invest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1.1 Place dans le groupe AXA . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1.2 Organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Historique des Variable Annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2.1 Le besoin en annuités variables . . . . . . . . . . . . . 31.1.2.2 Les annuités variables aux États-Unis . . . . . . . . . 41.1.2.3 Les annuités variables en Europe . . . . . . . . . . . . 51.1.2.4 Les annuités variables en Asie . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Fonctionnement des annuités variables . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Les garanties GMxB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1.1 GMAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1.2 GMDB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1.3 GMSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1.4 GMWB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1.5 GMIB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Les mécanismes principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2.1 Analogie annuité variable / option de vente . . . . . . 91.2.2.2 L'Account Value (AV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2.3 La Bene�t Base (BB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Que retenir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1


1.1 Le marché des annuités variables

1.1.1 AXA Life Invest

1.1.1.1 Place dans le groupe AXA

Le groupe AXA est né d'une logique de concentration et de consolidation autour

d'activités en assurance. Il couvre aujourd'hui plus de 50 pays, et plus de 100 millions de

clients.

Le groupe AXA contrôle de nombreuses �liales dans le monde et en France. Parmi

elles, AXA Life Invest se charge de la chaîne de valeur des variable annuities en dehors

des États-Unis 1. Cette �liale est issue de la fusion en 2012 d'AXA Hedging Services, qui

s'occupait de la couverture �nancière des variable annuities et de AXA Global Distribu-

tors, qui distribuait ces produits.

1.1.1.2 Organisation

Le pôle parisien d'AXA Life Invest s'est structuré à la manière d'un desk de trading.

Les annuités variables nécessitent en e�et des programmes de couverture complexes, dans

la mesure où elles proposent des garanties importante de l'assureur. Pour se passer de

ces programmes de couverture, les assureurs peuvent également conclure des traités de

réassurance ou acheter des produits structurés[1]. Les équipes quantitatives principales

sont les suivantes :

� Structuring : chargé de la création des nouveaux produits, et des méthodologies

de modélisation ;

� Pricing : chargé du suivi des indicateurs de rentabilité des variable annuities, du

calcul de certaines provisions ;

� Hedging : chargé de la couverture, sur une base journalière, des variable annuities

sur les marchés �nanciers ; les ordres sont passés à AXA Bank Europe ;

� Life Reporting : chargé du calcul et de la di�usion au groupe des principales

métriques : Solvabilité I, Solvabilité II, Embedded Value, et des métriques utilisées

localement dans les pays concernés par AXA Life Invest ; cette équipe, où j'ai e�ec-

tué mon mémoire travaille sur tous les produits proposés par AXA Life Invest dans

le monde ;

1. AXA Equitable se charge de la gestion des annuités variables aux États-Unis.

2


� Risk Management : chargé de l'analyse du risque et du calcul de certaines mé-

triques du risqueé ;

� Tool Management and Support : chargé du développement et du maintien des

outils de calcul informatiques (C++) utilisés par les di�érentes équipes.

De plus, l'équipe Finance émet les comptes à partir des métriques calculées par

l'équipe Life Reporting.

1.1.2 Historique des Variable Annuities

1.1.2.1 Le besoin en annuités variables

Dans un univers de taux bas et volatils, les stratégies d'allocations d'actifs consistant

à se reposer sur les actifs obligataires ou les assurances emprunteur sont insu�santes. Les

actuaires ont développé, au cours des années 1990, un certain nombre de produits per-

mettant de capter les performances des marchés actions, mais protégés par des garanties

en terme de valeur du contrat, de la pension, etc.

Figure 1.1 � Le marché des produits retraite[2] � les annuités variables ("VA") exposent

modéremment l'assuré aux actions.

3


De plus, pour l'assuré, les annuités variables garantissent un revenu minimal à la re-

traite (dans leurs versions GMIB ou GMWB). Elles sont également un outil �scal dans la

mesure où elles permettent de di�érer l'impôt dans la plupart des pays. Les primes seront

déductibles du salaire [3], et l'impôt ne sera payé que lors du paiement des prestations.

1.1.2.2 Les annuités variables aux États-Unis

Les annuités variables sont nées aux États-Unis, d'une demande de produits de re-

traites privés et/ou professionnels, dans le cadre d'un régime public obligatoire de retraite

limité au Social Security Act de 1935. La National Association of Variable Annuities fait

remonter à 1952 et au TIAA-CREF (Teachers Insurance And Annuity Association - Col-

lege Retirement Equities Fund) les premières annuités variables. Aujourd'hui, deux tiers

des capitaux destinés à la retraite sont investis dans des produits d'annuités variables aux

États-Unis[4].

Le produit a principalement gagné en popularité dans les anées 1980 sous l'e�et conjugué

de plusieurs facteurs[5] :

� les performances du marché action ;

� les réformes de l'administration Reagan sur la taxation des produits de retraite.

Les garanties (voir 1.2.1) furent introduites au début des années 1990. Le risque �nan-

cier lié aux annuités variables était en e�et plus important. De plus, il était possible de

couvrir ces risques dans la mesure où l'ingénierie �nancière 2 commençait à se développer

fortement.

Avec l'explosion de la bulle dotcom au début des années 2000, les acteurs principaux

du marché américain (Prudential, AXA Equitable, MetLife, AIG...) ont encore renforcé

leur couverture du risque. En 2007, les ventes de produits annuités variables atteignaient

182 milliards de dollars[6]. Après la crise, il représente aujourd'hui toujours plus de 100

milliards[7].

2. À travers l'utilisation de modèles stochastiques et des travaux de Black, Scholes et Merton.

4


Figure 1.2 � L'évolution du marché américain avec la crise[8] � Une diminution de la

collecte après la crise des subprimes.

De manière générale, le marché américain est un marché très concentré (les 20 plus

grandes entreprises possèdent 92% du marché [8]). C'est un marché consolidé, qui n'est

plus en croissance. Les produits, de plus en plus, se �nancent sur les frais du contrat [8].

1.1.2.3 Les annuités variables en Europe

En Europe, les annuité variables se sont exportées plus tard. Aujourd'hui, il y a peu

de produits d'annuité variable en Europe si l'on compare aux États-Unis.

Elles arrivent en 2007 au Royaume-Uni avec MetLife. Le marché britannique est un

marché en croissance (30% d'augmentation en volume, 19% d'augmentation en polices en

2012 [8]). Cependant, l'épargne est relativement faible au Royaume-Un, ce qui nuit au

développement de l'épargne retraite.

5


Figure 1.3 � Un marché britannique en croissance [8].

En 2007, AXA lance également "Capital Ressources" en France. En 2011, un rapport

de l'EIOPA estimait le marché, en terme de provisions techniques, à 188 milliards d'euros

[1]. Si c'est un succès commercial en Allemagne et dans d'autres pays, les annuités variables

sont en France un produit plutôt con�dentiel réservé à une clientèle de banque privée [9].

1.1.2.4 Les annuités variables en Asie

Au Japon, le lancement des annuités variables fut très dynamique entre 2002 et 2007

(4000 milliards de Yen en terme de primes en 2005 [8]). Le déclin a été très fort (moins

de 500 milliards de Yen de primes en 2011) du fait d'un marché volatil et de taux bas.

Le produit est également présent en Corée. Les actifs gérés par les fournisseurs d'an-

nuités variables représentaient en 2009 2,1% du produit intérieur brut coréen (à comparer

avec 1,62% pour les États-Unis et plus de 10% au Japon). Bien qu'un succès, les garan-

ties proposées sont très agressives d'un point de vue commercial et Milliman pointait les

faiblesses du système en terme de management du risque [10].

En Chine, le marché des annuités variables est en phase de démarrage. Sont vendus

des contrats avec garantie GMAB (voir 1.2.1.1). Le marché des actifs chinois est cepen-

dant trop peu liquide pour fournir les actifs nécessaires à la couverture des programmes

d'annuités variables [8].

6


1.2 Fonctionnement des annuités variables

De manière générale, les annuités variables se présentent comme un ensemble de garan-

ties (1.2.1), assimilables à des options de vente (1.2.2.1). Les paramètres de ces produits

évoluent en accord avec le marché, avec des taux d'intérêt garantis, et éventuellement des

e�ets cliquets (voir 1.2.2.2 et 1.2.2.3).

1.2.1 Les garanties GMxB

Les annuités variables peuvent être dé�nies comme une accumulation de di�érentes

garanties. Nous allons dans cette partie nous intéresser aux cinq types de garanties les

plus fréquentes :

1. Guaranteed Minimum Accumulation Bene�t (GMAB) ;

2. Guaranteed Minimum Death Bene�t (GMDB) ;

3. Guaranteed Minimum Surrender Bene�t (GMSB) ;

4. Guaranteed Minimum Withdrawal Bene�t (GMWB) ;

5. Guaranteed Minimum Income Bene�t (GMIB) ;

1.2.1.1 GMAB

D'un point de vue �nancier, ce produit se comporte comme une option de vente (put).

L'assuré récupère le maximum entre son Account Value (AV) et l'Accumulative Bene�t

Base (BB). De manière générale, ces produits ont une maturité de l'ordre de la dizaine

d'années. Leur claim s'écrit de la manière suivante (T la maturité) :

max(BBT − AVT , 0)

Cette garantie peut être récursive. Dans ce cas, à la �n de chaque période, l'assuré

peut choisir de quitter le produit avec le maximum entre son AV et sa BB. On assimilera

alors ce type de produit à une option de vente américaine.

1.2.1.2 GMDB

Comme son nom l'indique, cette garantie ne s'exerce qu'au décès de l'assuré. Elle

verse le maximum entre la Death Bene�t Base (BB) et l'Account Value (AV) à la mort

7


de l'assuré. Tout comme le GMAB, on peut le modéliser comme un put. La maturité de

ce put est cependant aléatoire contrairement aux produits AB.

1.2.1.3 GMSB

Le GMSB permet à l'assuré de racheter son contrat sans frais après une surrender

period. L'assuré pourra alors partir avec le maximum entre la Surrender Bene�t Base

(BB) et l'Account Value (AV). On peut modéliser ce type de garantie comme une option

de vente américaine, à la di�érence près que l'assuré qui souscrit à un contrat GMSB paye

des charges en continu, et non pas à l'achat de l'option.

1.2.1.4 GMWB

Cette garantie sur l'épargne permet au souscripteur le retrait d'un certain nombre

de coupons de valeur constante à des dates données. Après une période d'attente, le

paiement des coupons débute. Le souscripteur peut, sans y être obligé, alors retirer un

certain nombre de coupons qui correspondent à un pourcentage de la garantie GMWB.

Ils sont retirés de l'Account Value (AV). Durant la période des paiements, l'assuré peut

toujours partir avec son AV.

Quand l'AV s'annule, l'assureur continue à verser le reste des coupons dans ses fonds

propres. Si l'AV ne s'annule jamais, l'assureur reverse cette garantie à la �n du contrat.

La durée de période de paiement des coupons peut être limitée ou à vie (dans ce cas, on

parlera de GLWB - Guaranteed Lifetime Withdrawal Bene�t).

En convertissant les coupons en capital, on peut voir ces garanties comme des options

de vente, à la manière des garanties précédentes.

1.2.1.5 GMIB

Le GMIB permet également le retrait de coupons à des dates données. Cependant,

à la di�érence du GMWB ou GLWB, le GMIB ne permet pas le retrait de l'AV durant

la période des paiments ou à la �n du contrat (que ce soit un rachat ou le décès du

béné�ciaire).

D'un point de vue mathématique, l'assureur s'est engagé à verser un coupon basé sur

la Bene�t Base (BB) et sur un coe�cient de réversion (annuité) garanti ag. À la date

de liquidation du contrat, du fait du vieillissement des tables de mortalité, le coe�cient

8


de réversion a changé ; on l'appelera acT . Le claim de l'assuré peut donc s'écrire de la

manière suivante :

max(BBT

ag· acT − AVT , 0).

1.2.2 Les mécanismes principaux

1.2.2.1 Analogie annuité variable / option de vente

Du point de vue de l'assureur, les garanties peuvent être vues comme des options de

vente. La maturité et la nature américaine ou européenne dépendent du type de garantie.

Le sous-jacent de l'option dépend de l'Account Value (AV), et le strike dépend de la

Bene�t Base (BB).

Cette analogie trouve principalement sa pertinence dans les méthodes de couverture

du passif au sein d'AXA Life Invest. La couverture est en e�et faite sur les "grecques" du

passif [11] 3

1.2.2.2 L'Account Value (AV)

L'AV correspond à la somme des primes payées par l'assurées. Celles-ci évoluent en

accord avec les investissements faits par l'assureur sur les marchés.

1.2.2.3 La Bene�t Base (BB)

La BB évolue selon di�érents mécanismes de roll up ou ratchet (cliquet) a�n de sécu-

riser un niveau minimal de BB pour l'assuré.

Mécanisme roll up Le mécanisme de roll up sécurise une performance minimale des

marchés (de l'ordre, traditionnellement, de 2% ou 3%). On aura donc, pour un taux de

roll up r, à une maturité T :

BBT = AV0erT .

3. Sensibilité au temps, au sous-jacent, etc.

9


Figure 1.4 � Rollup dans un cadre béné�que pour l'assuré

Mécanisme ratchet Le mécanisme de ratchet permet de sécuriser des béné�ces acquis

sur les marchés. Étant donné une partition (t1, t2, ...tN) de [0, T ] (généralement, les pas

sont annuels), on a :

∀i ∈ {1, ..., N}, BBti = max(BBti−1, AVti),

soit :

BBT = max0≤i≤N

(AVti).

10


Figure 1.5 � Application du cliquet au bout de 1, 4 et 8 ans

Combinaisons rollup/ratchet On peut combiner les deux types de sécurités de plu-

sieurs manières :

Combinaison

BBT = max( max1≤j≤N

(AVtj), AV0erT ).

11


Figure 1.6 � Le ratchet sécurise une BB plus grande que le rollup à échéance

Rollup sur Ratchet Cette deuxième garantie est plus avantageuse pour l'assuré,

dans la mesure où son ratchet béné�cie d'un rollup.

BBti = max(max1≤j≤i

(AVtj), BBti−1er(ti−ti−1)).

Figure 1.7 � La BB sécurisée par le ratchet évolue au taux de rollup

12


Que retenir ?

? Les annuités variables sont des produits complexes assimilables à des options de

vente ;

? Les annuités variables proposent di�érents types de garanties GMxB : assurance

décès, sortie en rente, sortie en capital ;

? Les annuités variables peuvent proposer des garanties en terme de revalorisation

(rollup) ou des e�ets cliquets (ratchet).

13

Chapitre 2

Market Value Margin et Solvabilité II

Dans le cadre réglementaire européen dessiné par Solvabilité II sont dé�nies les règles

présidant au calcul de la Market Value Margin. On s'attachera dans la première partie

à recenser les risques auxquels le calcul de cette marge de risque s'applique (2.1). Puis

on explicitera la méthode de calcul par coût du capital (MCoC, voir 2.2) conseillée par

l'EIOPA. Cette méthode permettant l'utilisation de drivers pour projeter le capital de

solvabilité, on dé�nira ce qui fait un driver acceptable dans la dernière partie (2.3).

Sommaire2.1 Les risques sous Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Risques de longévité / mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1.1 Risque de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1.2 Risque de longévité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Risque de lapse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 Risque expenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.4 Risque CAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.5 Agrégation des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Principe de la MVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Méthodologie MCoC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2.1 Market Cost Of Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2.2 Risques non couvrables . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2.3 Le coût du capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3 Méthodes d'estimation du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3.1 Calcul exact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3.2 Estimation à travers des drivers par module . . . . . 212.2.3.3 Estimation à travers des drivers au niveau général . . 222.2.3.4 Utilisation d'une formule fermée . . . . . . . . . . . . 222.2.3.5 Pourcentage �xe des réserves Best Estimate . . . . . . 22

2.3 Recherche de drivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Pertinence qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Pertinence quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2.1 Corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2.2 Écart à la MVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2.3 Réécriture du problème en termes statistiques . . . . . 24

2.3.3 Simplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Que retenir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

14


2.1 Les risques sous Solvabilité II

Dans la mesure où la MVM ne s'intéresse qu'aux parties non couvrables du SCR(voir

2.2), nous nous limiterons dans cette partie à la description des risques appartenant au

module vie du SCR.

Figure 2.1 � Le module vie du SCR

Le risque de dépendance ne concerne pas les annuités variables, tout comme le risque

de révision.

2.1.1 Risques de longévité / mortalité

Ces deux risques sont liés à des écarts sur la mortalité réelle par rapport aux estima-

tions de mortalité best-estimate.

2.1.1.1 Risque de mortalité

Le risque de mortalité traduit le fait de voir plus d'assurés décéder que ce qu'il était

prévu. Une telle mésestimation peut provenir [12] :

15


� De modi�cations dans le niveau, les tendances d'évolutions où la volatilité des tables

de mortalité ;

� D'erreurs dans les estimations mêmes des tables de mortalité ;

Dans le cadre des annuités variables, les garanties de type GMDB seront impactées

par un choc de mortalité. Les autres types de garanties ne seront pas impactées.

2.1.1.2 Risque de longévité

À l'opposé de la mortalité, le risque de longévité capture le risque de voir des assurés

vivre plus longtemps que prévu. Il est symétrique au choc de mortalité et se compose

également d'erreurs d'estimations et d'erreurs de tendances.

Il impactera les garanties de type GMIB ou GMWB.

2.1.2 Risque de lapse

Le risque dit de lapse correspond à une modi�cation dans les taux attendus de rachats,

renouvellement et �ns de polices. Ce risque correspond à trois types de risques [12] :

� la diminution du taux de lapse (lapse down) ;

� l'augmentation du taux de lapse (lapse up) ;

� les mass lapse.

2.1.3 Risque expenses

Les risques d'expenses correspondent à une augmentation des frais de l'assureur dans

le cadre des ses contrats. Ils correspondent principalement, d'après l'EIOPA [12] à des

coûts :

� de personnel ;

� de commissions aux intermédiaires ;

� de l'infrastructure informatique ;

� de l'immobilier (bureaux).

Le risque sur les dépenses peut toucher tous les types de garanties.

16


2.1.4 Risque CAT

Le risque catastrophe correspond à des événements qui sont insu�samment pris en

compte par le risque de mortalité [12]. Par exemple, des épidémies ou des pandémies

entrent dans ce cadre.

Tout comme la mortalité, on le retrouvera donc plutôt dans le cadre de garanties

GMDB.

2.1.5 Agrégation des risques

On dispose de r1, ..., rN des capitaux de solvabilité risque par risque, que l'on écrira

comme un vecteur R ∈MN,1. Ces risques ne sont pas indépendants ; il existe des corréla-

tions entre les di�érents risques. Par exemple, la mortalité et la longévité sont inversement

corrélés, de façon assez triviale.

On a donc une matrice de corrélation Γ ∈MN,N(R) 1. On dé�nit le capital de solvabilité

vie (ou BSCR 2 dans le cadre de Solvabilité II) par :

Life SCR =√RT · Γ ·R.

2.2 Principe de la MVM

LaMarket Value Margin (ou risk margin) correspond au coût du capital non-couvrable

2.2.2.2 qui doit être immobilisé, dans le cadre des directives Solvabilité II, et d'un point

de vue économique, pour toutes les années futures. Il permet d'informer, par exemple, un

acheteur potentiel de l'engagement en capital à mettre en face de l'entreprise à l'avenir

[13].

La méthodologie proposée par l'EIOPA [13], ainsi que par le CRO Forum [14] est la

méthodologie en "coût du capital" présentée dans en 2.2.2. Cette méthodologie nécessite

la projection du capital de solvabilité dans les années futures. Plusieurs méthodes sont

possibles, et présentées dans la partie 2.2.3.

1. Elle est donc symétrique,tous ses facteurs sont compris entre 0 et 1 et ses éléments diagonaux sont

égaux à 1.2. Basic SCR.

17


2.2.1 Dé�nition

La Market Value Margin cherche dans le bilan à donner une valeur "de marché" à

l'entreprise, dans la mesure où les régulations prudentielles et �nancières, depuis Bâle II

et Solvabilité II, s'intéressent aux valeurs de marché des actifs et du passif.

Comme dé�ni dans [13], la Market Value Margin est explicitée par :

Technical provisions consist of the best estimate and the risk margin. The risk

margin is a part of technical provisions in order to ensure that the value of

technical provisions is equivalent to the amount that insurance and reinsurance

undertakings would be expected in order to take over and meet the insurance

and reinsurance obligations.

D'un point de vue comptable, laMarket Value Margin s'ajoute à la valeur présente des

engagements futurs (les provisions techniques) pour former la Market Value of Liabilities

(voir 2.2).

2.2.2 Méthodologie MCoC

L'approche MCoC a été choisie et validée à partir du QIS3 en 2007. Avant cette

méthode, la méthode du percentile 3 était utilisée dans QIS1 (avec une valeur de 90%)

et QIS2 (avec une valeur de 75%). Cependant, celle-ci dépendait trop fortement de la

distribution choisie pour le Estimate of Liabilities [14].

2.2.2.1 Market Cost Of Capital

LaMarket Value Margin est la valeur actualisée des coûts en capitaux actuels et futurs

liés à un portefeuille d'assurés. Les capitaux futurs pouvant être modélisés par une variable

aléatoire, il s'ensuit que la MVM, au sens strict, est une espérance conditionnelle [15] :

MVMT |t = E(∑S≥T

CoCS|T ×BT,S × CapS|t|T ).

On a MVMT |t le capital requis en T étant donné l'information disponible en t. On

s'intéressera donc principalement, dans le cadre de ce mémoire à : MVM = MVM0|0. Cap

correspond à la valeur choquée de la Market-consistent value of liabilities (c'est-à-dire au

3. On avait alors : MVM = VaR75%/90%(Distribution of liabilities)− BEL. On pourra lire le mémoire

de Fedor Gorokhovic pour plus de précisions [3].

18


capital de solvabilité). BT,S est un facteur d'actualisation du temps T au temps S. CoCS|T

correspond au coût du capital 4 au temps S sachant T .

De plus, CoCS|T le coût du capital sera supposé constant au cours du temps. Le facteur

d'actualisation BT,S peut être obtenu à travers la courbe des taux forward 3.1.2. On peut

donc écrire :

MVM = CoC∑S≥0

B0,S · E(CapS|0|0).

Le capital Cap correspond à la valeur choquée de la Market-consistent value of liabi-

lities (MVL), et donc au SCR. La MVL contient la MVM de l'année en cours comme on

peut le voir en 2.2. Ainsi, de manière rigoureuse, la MVM devrait relever d'un système

d'équations circulaire.

Figure 2.2 � Bilan actuariel [14] � La MVM fait partie de la Market Value of Liabilitie

mais est calculée à partir du SCR, qui dépend lui même de chocs sur la MVL, d'où des

di�cultés de circularité dans les calculs.

Le CRO Forum a�rme [14] que la circularité a des impacts négligeables sur la MVL (et

donc le SCR). On peut donc ne pas prendre en compte la circularité. Si cette hypothèse

s'avérait fausse, le facteur CoC pourrait être revu à la hausse.

Dans certains cas, la circularité peut être prise en compte si l'on est capable de trouver

une formule fermée 5.

4. Il s'agit d'une valeur économique qui représente le taux de rentabilité moyen attendu d'une entre-

prise par ses investisseurs.5. Si l'on suppose que les claims ont une forme donnée (par exemple Ct = Ct−1×LnN(µt, σ

2t ) dans le

19


Figure 2.3 � Calcul de la MVM [16] � La méthode MCoC propose de projeter le capital

de solvabilité au cours du temps ; la valeur nette actualisée de tous ces capitaux, multipliée

par le coût du capital supposé �xe, est égal à la MVM.

Le processus de calcul de la MVM devient donc le suivant :

1. Projeter le capital de solvabilité de l'année 1 jusqu'à la �n du portefeuille ;

2. Calculer la charge en capital (CoC) pour les risques non couvrables pour chaque

année ;

3. Calculer la valeur actualisée de cette charge en capital.

2.2.2.2 Risques non couvrables

Les capitaux non couvrables sont les capitaux soumis au calcul d'une Market Value

Margin. Un risque non-couvrable est dé�ni comme l'inverse d'un risque couvrable. Le CRO

Forum [14] dé�nit un risque couvrable comme un risque qui peut être mutualisé ou répliqué

à travers un portefeuille. Le coût de la couverture sera donné par le prix de marché des

instruments nécessaires à la couverture. Les coûts de couverture sont considérés comme

implicites dans les prix de marché ; autrement dit, le marché les prend en compte. C'est

pourquoi ils n'ont pas à être pris en compte dans la MVM.

Au contraire, les risques non-couvrables ne peuvent pas faire l'objet d'une stratégie de

couverture. Plus précisemment, dans la mesure où tout risque peut éventuellement être

couvert, le marché pour la couverture n'est pas su�samment liquide. Il n'y a donc pas de

mémoire de Mouna Daya-Viossat [16]), on est capable de résoudre récursivement l'équation circulaire de

2.2.2. Cependant, ce type de méthode n'est pas applicable dans le cadre de ce mémoire, dans la mesure

où la projection du capital de solvabilité doit se faire dans le cadre du modèle interne d'AXA.

20


prix de marché réellement observable pour ces risques. C'est dans ce cadre que la MVM

doit être calculée.

Dans le cadre des annuités variables, les risques non-couverts correspondent aux ca-

pitaux immobilisés dans le capital de solvabilité Vie (LoB longévité, mortalité, expenses,

lapses...), dans la mesure où les risques de marché sont tous couverts chez AXA Life

Invest.

2.2.2.3 Le coût du capital

Le coût du capital (CoC) est un taux annuel qui correspond à l'attente de rendement

des investisseurs moyens. Toute augmentation de capital a en e�et un coût, que ce soit

par une augmentation de l'actionnariat ou par la levée d'obligations.

Dans le cadre du calcul de la MVM, ce taux est �xé pour tous les types d'activités.

Il correspond à un taux moyen sur le long terme, sensé représenter à la fois des période

calmes et des périodes de tension économique. Il est �xé à 6 % par QIS5 et pourra être

corrigé.

2.2.3 Méthodes d'estimation du SCR

La méthodologie MCoC nécessite donc de projeter le capital de solvabilité non-couvrable.

Il existe di�érentes méthodes pour projeter le SCR, dont les plus courantes sont présentées

dans cette partie, et sont proposées par le QIS 5 [17].

2.2.3.1 Calcul exact

La première méthode correspond au calcul exact du capital de solvabilité dans un

scénario déterministe. L'objet de ce mémoire est d'éviter cette méthode coûteuse en calculs

et en temps.

2.2.3.2 Estimation à travers des drivers par module

Soit C(t) le capital immobilisé pour un LoB non couvrable. Soit X(t) une valeur liée

à la population d'assurés au cours du temps 6. L'estimation par driver postule que C est

6. On étudiera les valeurs possibles de X dans 4.1.

21


proportionnel à X, c'est-à-dire :

C(t) =C(0)

X(0)×X(t).

On appelle X le driver de C. On calculera ensuite le SCR à travers la formule d'ag-

grégation (décrite en 2.1.5), appliquée sur tous les drivers.

2.2.3.3 Estimation à travers des drivers au niveau général

Dans cette méthode, on estime directement le SCR par un driver. On a donc :

SCR(t) =SCR(0)

X(0)×X(t).

2.2.3.4 Utilisation d'une formule fermée

On peut écrire la MVM comme :

MVM =CoC

1 + r1×DMacaulay × SCR0.

On a DMacaulay la duration de Macaulay pour le passif dé�nie comme : DMacaulay =∑Nt=1

t·Ct(1+i)t∑N

t=1Ct

(1+i)t

avec C les �ux �nanciers sortants (claims), i le taux d'intérêt technique, N la

date de run o� du portefeuille.

Cette méthode revient donc à poser SCR(t) = t·Ct

(1+r1)∑N

t=1Ct

(1+i)t

× SCR(0) et se rap-

proche de la méthode des drivers. Elle repose sur les hypothèses que la duration de tous

les risques et actifs est la même, et que l'exposition aux risques reste la même au cours

du temps.

Ce type d'hypothèse est trop simpli�é dans le cadre des annuités variables.

2.2.3.5 Pourcentage �xe des réserves Best Estimate

Cette dernière approche est la plus simple à mettre en oeuvre, et également la plus

limitée. Pour un assureur n'exerçant que sur une seule business line, l'EIOPA propose en

e�et un coe�cient α tel que : MCoC = α ·BE(0) avec BE le Best Estimate.

2.3 Recherche de drivers

Ce mémoire s'intéresse donc à la construction de drivers dans le cadre des méthodes de

projection du SCR présentées en 2.2.3.2 et 2.2.3.3. Les drivers qui seront choisis doivent

22


être de bons drivers. Ils doivent donc véri�er trois qualités principales :

� Pertinence d'un point de vue qualitatif ;

� Pertinence d'un point de vue quantitatif ;

� Simplicité ;

Ces drivers devront en e�et être validés par les autorités de régulation européenne.

On doit donc être capable de les défendre face à di�érents comités d'audit.

2.3.1 Pertinence qualitative

On doit pouvoir justi�er de l'utilisation d'un ou plusieurs drivers. Un driver doit

justi�er de sa corrélation avec le capital de solvabilité. Par exemple, dans le cadre d'un

produit GMIB, la Bene�t Base IB peut être un bon driver pour la plupart des risques,

dans la mesure où il est cohérent que le risque évolue de même manière que la Bene�t

Base, qui correspond à un engagement. Au contraire, on ne pourra pas utiliser des drivers

comme les coûts de personnels pour expliquer un risque de longévité, comme on ne peut

pas réellement faire de lien logique entre les deux.

2.3.2 Pertinence quantitative

Une fois sélectionnés les drivers qui peuvent être pertinents, encore faut-il être capable

de justi�er leur utilisation d'un point de vue quantitatif. On véri�e pour celà qu'ils sont

bien corrélés, et que la di�érence entre l'estimation de la Market Value Margin par ce

driver et son calcul avec le SCR projeté est la plus faible possible.

2.3.2.1 Corrélation

La corrélation véri�e que le driver et le SCR projeté ont la même évolution au cours

du temps. Les méthodes d'estimations par des drivers (2.2.3.2 et 2.2.3.3) postulent une

relation linéaire entre SCR et driver. On utilisera donc un coe�cient de corrélation linéaire

de Bravais-Pearson [18] entre deux séries de données (x1, ...xN) de moyenne x et (y1, ..., yN)

de moyenne y :

23


rp =

N∑i=1

(xi − x) · (yi − y)√√√√ N∑i=1

(xi − x)2 ·

√√√√ N∑i=1

(yi − y)2

.

Ces coe�cients évoluent entre -1 (correlation négative) et 1 (corrélation positive).

On cherchera les coe�cients les plus proches de 1. Dans la pratique, on acceptera des

coe�cients de corrélation entre 90% et 100%. De plus, si un driver X(t) a un coe�cient

de corrélation compris entre −100% et −90%, on note qu'on pourra facilement construire

un driver Z(t) = X(t0)−X(t) avec une forte corrélation.

2.3.2.2 Écart à la MVM

L'écart à la MVM relève plutôt du coe�cient SCR(0)X(0)

et décrit la di�érence entre la

MVM estimée à partir de la projection du SCR et la MVM estimée à partir de la projection

du SCR par driver. On a :

∆ =MVMe −MVM

MVM=

∑S≥0B0,S · (SCR(0)

X(0)·X(t)− SCR(t))∑

S≥0B0,S · SCR(t)avecSCR(t) = E(CapS|0|0).

On cherchera un ∆ légèrement positif de manière à surestimer légèrement le capital

nécessaire.

2.3.2.3 Réécriture du problème en termes statistiques

D'un point de vue statistique, la recherche de driver revient à une régression linéaire

entre deux variables aléatoires.

On possède en e�et un échantillon Rt, t ∈ T de la variable aléatoire R représentant

des risques possibles. Et N échantillons dNt , t ∈ T des variables aléatoires dN représentant

des drivers.

On cherche alors un couple (dn, αn) où dn est un driver et αn un réel tel que δn =

|∑

t∈T B(0, t) · (Rt − αn · dnt )| soit minimal et ρn = ρR,dn la corrélation entre les deux

variables aléatoires soir maximale. On remarque que δn est proche du concept d'écart à

la MVM dé�ni en 2.3.2.2.

Le facteur B0,S correspond à un facteur d'actualisation.

24


2.3.3 Simplicité

On s'e�orcera de ne considérer que des drivers simples. Conjugué avec une pertinence

qualitative avérée, les risques de sur-apprentissage du modèle que l'on appliquera pour le

SCR sera grandement diminué. Le modèle sera alors plus robuste.

On évitera par exemple d'utiliser des modèles d'apprentissages (regression linéaire par

exemple) de manière brute, dans la mesure où ils seront di�ciles à expliquer.

Que retenir ?

? La méthode MCoC consiste à projeter le capital de solvabilité pour toutes les années

futures. La valeur actualisée de tous ces capitaux multiplié par le coût du capital

est égal à la MVM ;

? Le capital de solvabilité vie se compose de plusieurs modules : mortalité, longévité,

rachats, catastrophe, dépenses ;

? On peut projeter le capital de solvabilité en l'approchant par un driver, c'est-à-

dire une variable du portefeuille d'assurances facilement disponible, bien corrélée au

capital de solvabilité et dont on peut rationaliser la corrélation avec le capital de

solvabilité.

25

Chapitre 3

Projection du capital de solvabilité

Trouver un bon driver au sens de 2.3 nécessite tout d'abord de projeter le capital de

solvabilité nécessaire à l'utilisation de la méthode MCoC. Cette projection nécessite en

premier lieu le choix d'un scénario �nancier et le vieillissement des hypothèses �nancières

(voir 3.1). Les hypothèses démographiques seront vieillies en 3.2. On donnera �nalement

un exemple de calcul du capital de solvabilité pour le risque longévité dans le cadre d'un

produit GMIB (3.3).

Pour ce projet, nous avons choisi d'avoir une approche parcimonieuse en terme de

calculs. Nous avons donc réduit au maximum le nombre de pas de temps (ou timesteps)

pour simuler le STEC et nous sommes limités à :

� 5 ans ;

� 10 ans ;

� 15 ans ;

� 20 ans ;

� 30 ans ;

� des pas de 10 ans jusqu'à ce que le portefeuille soit vide.

La partie 3.4 explique comment calculer la MVM à partir d'un nombre de pas de

temps non exhaustif.

26


Sommaire3.1 Vieillissement des hypothèses �nancières . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1 Vieillissement de l'in�ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.2 Vieillissement de la courbe des taux et calcul des taux de swap 29

3.2 Vieillissement des hypothèses démographiques . . . . . . . . . 30

3.2.1 Vieillissement des model points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Vieillissement des autres hypothèses : exemple des dépenses �xes 31

3.3 Exemple de calcul du capital de solvabilité choqué . . . . . . 33

3.3.1 Modélisation de l'engagement IB . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1.1 Avant liquidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1.2 Après liquidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2 Choquer l'engagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2.1 Avant liquidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2.2 Après liquidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.3 Calcul du capital de solvabilité choqué . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Calcul de la MVM à partir du capital projeté . . . . . . . . . 35

3.4.1 Données à disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.2 Estimation des valeurs du SCR entre les pas de temps . . . . . 35

3.4.2.1 Interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.2.2 Interpolation cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.2.3 Interpolation de Catmul-Rom . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.2.4 Choix d'un type d'interpolation . . . . . . . . . . . . 37

3.4.3 Application de la méthodologie MCoC . . . . . . . . . . . . . . 38

Que retenir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

27


3.1 Vieillissement des hypothèses �nancières

Les hypothèses �nancières nécessaires au calcul des métriques de risque des annuités

variables sont nombreuses. Une liste partielle de celles utilisées par AXA Life Invest est :

� In�ation future ;

� Taux de swap ;

� Volatilité des swaptions (option sur un swap) ;

� Volatilité des actifs (actions et obligations) ;

� Corrélation entre les actifs ;

L'univers �nancier dans lequel nous avons projeté les taux est un univers dit en univers

certain (certainty equivalent, tous les actifs ont le même rendement que l'actif sans risque).

C'est pourquoi la plupart des hypothèses ont été �gées et que seule l'in�ation (3.1.1) et

la courbe des taux swap (3.1.2) ont été vieillis.

Les actifs ont dans cet univers les même rendements que les taux. Les autres hypothèses

de volatilité sont considérées comme constantes.

3.1.1 Vieillissement de l'in�ation

Le vieillissement de l'in�ation consiste simplement en un décalage de la courbe d'in-

�ation, les valeurs de la courbe d'in�ation n'étant pas actualisées.

Figure 3.1 � Vieillissement de l'in�ation � On suppose que les taux d'in�ation vont

revenir à un niveau "normal" ou "cible" de 2%− 2, 5%.

28


3.1.2 Vieillissement de la courbe des taux et calcul des taux de

swap

Le Group Risk Management d'AXA transmet à ses �liales une courbe des taux, pour

chaque devise, sur laquelle a été appliquée un algorithme d'Ultimate Forward Risk [19].

A partir ce cette courbe, nous avons appliqué l'algorithme décrit ci-dessous pour obtenir

des taux de swap vieillis.

Figure 3.2 � Courbe des taux UFR � Les taux sur les vingt premières années proviennent

du marché, on extrapole ensuite en supposant que les taux "à l'in�ni" seront de 3, 2%, les

calculs sont e�ectués par le Groupe AXA.

Étape 1 : Vieillissement de la courbe des zéro coupons

L'univers de calcul de la MVM est un univers certainty equivalent. On vieillira donc

la courbe des taux à partir de la courbe des taux actuelle. On note spott les taux des

zéros-coupons au cours du temps. On pose dfT,t le facteur d'actualisation au temps t+ T

vu de t. On a donc :

dfT,t =

1(spotT+t)

T+t

1(spott)

t

.

Posons spot(aged)T,t le taux spot en T vieilli de t. On a alors :

spot(aged)T,t = df

− 1T

T,t − 1.

29


Figure 3.3 � Taux zéros-coupons (3.1.2) puis taux swaps (3.1.2) vieillis obtenus avec un

bootstrapping inverse � On remarque que les courbe des taux vieillis convergent vers une

courbe constante au niveau de l'Ultimate Forward Rate.

Étape 2 : Calcul des taux swap à partir des taux zéro coupon

On utilise pour ce calcul les formules classiques de bootstrapping [11], que l'on aura

inversées. par(aged)T,t étant les taux swaps, on a :

par(aged)T,t =

1− df (aged)T,t∑t

i=1 θi × df(aged)T,i

avec df(aged)T,t =

1

(1 + spot(aged)T,t )t

.

Dans ce cas particulier, la fraction annuelle θi est égale à 1.

Étape 3 : Calcul des facteurs d'actualisation

On dé�nit le facteur d'actualisation, chaque mois, βt comme : βt = βt−1 ·par

(aged)1,t

12avec

β0 = 1.

3.2 Vieillissement des hypothèses démographiques

3.2.1 Vieillissement des model points

Dans le cadre du projet de mémoire, le vieillissement des polices est déjà géré par

les processus de calcul du Best Estimate. La projection des actifs dépend des scénarios

�nanciers dé�nis précédemment. On obtient alors autant de portefeuilles vieillis que de

timesteps (0 an, 5 ans, 10 ans, 15 ans,...).

30


3.2.2 Vieillissement des autres hypothèses : exemple des dépenses

�xes

Les seules hypothèses démographiques que l'on modi�era seront les hypothèses démo-

graphiques extensives, c'est-à-dire celles qui dépendent de la taille du portefeuille. Dans

le cadre de ce projet, la seule hypothèse de ce type que nous avons rencontrée était les dé-

penses �xes. Ces dépenses représentent les di�érents coûts d'administration �xes pour un

contrat. On peut aisément imaginer que ces coûts diminueront si l'on prévoit une diminu-

tion de la taille du portefeuille : on sera par exemple capable de redimensionner/redéployer

les équipes d'actuaires sur d'autres projets.

Les dépenses �xes seront réactualisées à chaque pas de temps de la simulation. Elles

dépendent, par hypothèse, de la taille du portefeuille considéré. Nous allons donc devoir

calculer la taille de ce portefeuille en appliquant au nombre de police à t = 0 une dé-

croissance dépendant de la mortalité et des rachats statiques (lapses). On ne prendra

pas en compte les rachats dynamiques dans ce modèle, qui sera de ce fait un peu plus

conservateur que le monde réel.

Dans le modèle adopté par AXA Life Invest, la mortalité et les lapses dépendent de

l'age des assurés (variable age) et des contrats (variable duration).

Étape 1 : Obtenir les statistiques générales des portefeuilles projetés

À chaque timestep où l'on possède la population vieillie, on calcule l'âge moyen a(t)

et la duration moyenne d(t)

du portefeuille tel que, P(t) étant l'ensemble des polices au

timestep t :

a(t) =

∑i∈P(t) ai · AVi∑

i∈P(t) AVi,

avec ai l'âge de la police i, et AVi son AV (voir 1.2.2.2). On a donc calculé un âge

pondéré par l'Account Value.

On e�ectue le même calcul pour la duration :

d(t)

=

∑i∈P(t) di · AVi∑

i∈P(t) AVi,

avec di l'âge de la police i.

31


Étape 2 : Calculer le taux de mortalité et le taux de lapse chaque année future

Les hypothèses de mortalité et de rachat sortent du cadre de ce mémoire. On supposera

connue la fonction q(a, t) qui associe à un âge a et à une date t un taux de mortalité, ainsi

que la fonction l(a, d, t) qui associe à un âge a, une duration d et une date t un taux de

rachat. Pour chaque année t∗ tel que t∗ soit un timestep, on aura le taux de mortalité qt∗

et le taux de rachat lt∗ :

qt∗ = q(a(t∗), t∗);

lt∗ = l(a(t∗), d

(t∗), t∗).

Ces formules reviennent à modéliser le portefeuille par une seule et unique police

moyenne.

Pour chaque année t qui n'est pas un timestep, telle que t∗ soit le plus grand timestep

plus petit que t, avec t− t∗ = ∆t, on estime l'âge, et la duration corrigés par :

ae = a(t∗) + ∆t;

de = d(t∗)

+ ∆t.

On aura alors :

qt = q(ae, t);

lt = l(ae, de, t).

Étape 3 : Évolution des dépenses au cours du temps

Si E0 étaient les dépenses extensives connues à t = 0, ces dépenses évoluent de la

même manière que le nombre de polices avec la mortalité et les rachats. On aura donc,

aux temps futurs :

Et = E0 ·t−1∏u=0

(1− qu) ·t−1∏u=0

(1− lu).

32


3.3 Exemple de calcul du capital de solvabilité choqué

On s'attachera principalement dans cette partie à comprendre le principe général du

vieillissement d'un engagement dans un cadre GMIB. Il augmente au fur et à mesure

du temps, sous l'action des taux 1 jusqu'à la date de liquidation T (3.3.1.1). À partir de

la date de liquidation des polices, celui-ci diminue au fur et à mesure du paiement des

coupons (3.3.1.2).

3.3.1 Modélisation de l'engagement IB

3.3.1.1 Avant liquidation

Taux de survie : lx Les lx sont déduits directement des tables de mortalité avec :

lx = lx−1 × (1− qx−1).

Les taux de mortalité qx dépendent de tables de mortalité vieillies avec une tendance 2.

Par exemple, dans l'étude du portefeuille allemand, on utilisait les tables DAV-2004 [20].

Capital représenté par l'engagement À la date de liquidation du contrat T , on

est capable d'obtenir les prestations en capital CT . En reprenant les notations présentées

en 1.2.1.5, soit la Bene�t Base à date de liquidation BBT , le coe�cient garanti ag et le

coe�cient réel à liquidation acT , le capital peut être écrit comme :

CT =BBT

ag· acT .

Évolution du capital au cours du temps Au fur et à mesure qu'on se rapproche de

la date T , l'engagement lié à CT augmente du fait des facteurs d'actualisation. On aura

donc :

∀t < T,Ct = B(t, T ) · CT .

avec B(t, T ) le facteur d'actualisation de t à T .

1. On est en univers équivalent certain.2. Les notations devraient donc également être indicées par t vu que les taux de mortalités sont vieillis.

On omet cette indication pour alléger les notations.

33


3.3.1.2 Après liquidation

Versement des coupons au béné�ciaire L'annuité en T , acT relève de la formule :

acT =ω∑

x=T

lx(1 + τ)x

,

avec τ le taux d'actualisation appliqué. Dans le cadre de ce projet, on utilise un taux à

10 ans.

Supposons maintenant t > T . On a alors :

Ct =BBT

ag·

ω∑x=t

lx(1 + τ)x

.

3.3.2 Choquer l'engagement

On se place ici dans le cadre d'un choc de longévité (2.1.1.2). On cherche donc à

calculer C(s)t l'engagement choqué. Les spéci�cations de l'EIOPA [21] précisent un choc

de longévité qui nous permet de calculer des taux de mortalité q(s)x choqués. On est donc

capables de calculer des taux de survie l(s)x choqués 3.

3.3.2.1 Avant liquidation

À partir de ces taux de survie choqués, on calcule une annuité choquée ac(s)T et on a

alors :

∀t < T,C(s)t = B(t, T ) · C(s)

T = B(t, T ) · BBT

ag· ac(s)T .

3.3.2.2 Après liquidation

Si on se situe après liquidation t > T 4, les taux de mortalité appliqués avant t sont

des taux non choqués. Les taux appliqués après t sont choqués. On doit donc dé�nir un

taux de survie l′x partiellement choqué tel que :

∀x ≤ t, l′x = lx

∀x > t, l′x = l′x−1 × (1− q(s)x−1);

3. On omet comme précédemment de noter le vieillissement de la table de mortalité, qui doit être

e�ectué.4. Le choc est donc réalisé à la date t.

34


On aura alors :

C(s)t =

BBT

ag·

ω∑x=t

l′x(1 + τ)x

.

3.3.3 Calcul du capital de solvabilité choqué

Le risque de longévité s'exprimera �nalement comme :

C(s)t − Ct.

3.4 Calcul de la MVM à partir du capital projeté

La projection du SCR est fait dans notre modèle à partir d'un échantillon d'années fu-

tures. Dans la mesure où la MVM correspond à la somme de tous les capitaux immobilisés

dans les années futures, il faut pouvoir estimer celle-ci dans toutes les années futures.

3.4.1 Données à disposition

Les calculs présentés précédemment nous ont donné, pour chaque timestep un capital

de solvabilité. On a donc S0, S5, S15, S20, S30, S40, ... les capitaux de solvabilité en valeur

réelle. On appelera T l'ensemble des timesteps (T = {0, 5, 10, 15, 20, 30, 40, ..}).

3.4.2 Estimation des valeurs du SCR entre les pas de temps

L'objectif est d'estimer, pour tout i, la valeur de Si. On peut utiliser pour celà di�érents

types d'interpolations. On se limitera aux interpolations dîtes spline.

Étant donné un intervalle [a, b], a ∈ R, b ∈ R fermé tel que T ⊂ [a, b], on se donne

a = t1 < t2 < ... < tn = b, n ∈ N une partition de l'intervalle [a, b] avec ∀i, ti ∈ T . Sur

chaque intervalle [ti−1, ti], i, on dé�nit Pi un polynôme tel que : ∀t ∈ T , t ∈ [ti−1, ti] =⇒

Pi(t) = St et tel que : Pi−1(ti−1) = Pi(ti−1).

On appélera degré de l'interpolation le degré maximum des polynômes Pi.

3.4.2.1 Interpolation linéaire

L'interpolation linéaire est un cas particulier du spline tel que le degré soit égal à 1.

35


L'interpolation linéaire consiste à modéliser les capitaux Si inconnus en appliquant

une fonction a�ne entre chaque capitaux de solvabilité connus.

Figure 3.4 � Interpolation linéaire

On pose m = max{t ∈ T |t < i} et M = min{t ∈ T |t > i}.

On aura alors Si = Sm + (i−m) · SM − Sm

M −m.

3.4.2.2 Interpolation cubic spline

Le spline cubique est tel que tous les polynômes Pi soient de degré 3. On aura donc

besoin de trois points dans chaque intervalle de la partition. On aura alors le choix du

polynôme interpolateur à utiliser (par exemple un polynôme de Lagrange).

3.4.2.3 Interpolation de Catmul-Rom

L'interpolation de Catmul-Rom cherche à obtenir des courbes dérivables en tout point

(courbe C1). On s'assure pour celà qu'il y a bijection entre {t1, ...tn} et T .

36


Figure 3.5 � Interpolation de Catmul-Rom

Dé�nition des tangentes Pour chaque point ti, on dé�nit sa tangente Ti =Si+1 − Si−1

ti+1 − ti−1.

Dé�nition des splines On peut alors calculer des polynômes tels que :

Pi(ti−1) = Si−1

P ′i (ti−1) = Ti−1

Pi(ti) = Si

P ′i (ti) = Ti

.

3.4.2.4 Choix d'un type d'interpolation

Dans le cadre du projet MVM, la continuité C1 du capital de solvabilité n'est pas

nécessaire à la résolution des calculs. On remarque que de manière générale, la courbe

du capital de solvabilité est convexe. L'utilisation d'une interpolation linéaire est alors

plus conservatrice que les autres types d'interpolations, dans la mesure où les valeurs

interpolées seront toujours plus élevées que les valeurs réelles. On fera donc plutôt le choix

de ce type d'interpolation, qui, étant plus conservateur, sera plus facilement défendable

devant les comités d'audit.

Dans certains cas, le capital de solvabilité peut être concave (par exemple, produit

GMIB sur le risque de longévité) ; on préférera alors utiliser une interpolation de type

cubic spline ou Catmul-Rom.

37


3.4.3 Application de la méthodologie MCoC

On possède désormais Si, i ∈ {0, 1, 2, 3, ..., 60}. On peut alors calculer la MVM comme

présenté en 2.2.2.1 :

MVM = CoC ·∑

i∈{0,1,2,3,...,60}

B(0, i) · Si.

CoC correspond au coût du capital dé�ni par le QIS5 (c'est-à-dire 6 %). B(0, i) repré-

sente un facteur d'actualisation entre le temps 0 et le temps i.

Que retenir ?

? La MVM est calculée dans un univers �nancier équivalent certain ;

? Les hypothèses �nancières, démographiques, actuarielles sont vieillies par pas de 5

ou 10 ans ;

? Le capital de solvabilité vie est calculé par pas de 5 ou 10 ans et les valeurs inter-

médiaires sont interpolées.

38

Chapitre 4

Analyse des drivers

Une fois le capital de solvabilité projeté, on cherche une variable liée au portefeuille

qui sera proportionnelle au capital de solvabilité. Il faut savoir quelles variables observer

parmi les paramètres du portefeuille (4.1). On peut ensuite s'intéresser à l'estimation du

capital de solvabilité à travers ces paramètres (voir 4.2 et 4.3).

Sommaire4.1 Quels drivers observer ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 Les variables extensives du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1.1 Le nombre de polices ajusté : une variable construite . 40

4.1.1.2 Les variables échelonnées . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.2 Les variables intensives du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.3 Vision �ux, vision actualisée et vision capitalisée . . . . . . . . 41

4.2 Méthode générique de construction d'un driver . . . . . . . . 42

4.2.1 Réduction du périmètre d'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1.1 Négliger les produits non matériels . . . . . . . . . . . 43

4.2.1.2 Négliger les risques non matériels . . . . . . . . . . . . 43

4.2.2 Recherche des drivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.2.1 Les trois critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.2.2 Limite des trois critères : quel critère ajouter ? . . . . 45

4.2.3 Agrégation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.3.1 Méthode par poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.3.2 Méthode globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Méthodes originales de construction d'un driver . . . . . . . . 46

4.3.1 Combinaison de drivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.1.1 Produits avec plusieurs garanties . . . . . . . . . . . . 46

4.3.1.2 Exemple d'un tel produit . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.1.3 Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.2 Cas des risques nuls à t = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Que retenir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

39


4.1 Quels drivers observer ?

4.1.1 Les variables extensives du portefeuille

À partir des portefeuilles vieillis, on est capables d'obtenir un certain nombre de va-

riables pouvant expliquer l'évolution du capital de solvabilité. Les plus évidentes sont

les valeurs d'Account Value (1.2.2.2) et les di�érentes Bene�t Base (1.2.2.3). On peut

également considérer la valeur totale des primes payées par les assurés.

Parmi les valeurs plus complexes à calculer, la projection des coupons à payer à un

assuré, ou la projection de ses claims (équivalent au payo� de l'option de vente représentée

par un contrat d'annuité variable) sont des variables extensives du portefeuille.

Les variables extensives représentent, sous un aspect di�érent, l'engagement global de

l'assureur vis à vis du portefeuille. En celà, elles pourront être de bons drivers pour le

capital de solvabilité.

4.1.1.1 Le nombre de polices ajusté : une variable construite

De la même manière que l'on vieillit les hypothèses de dépenses �xes en 3.2.2, on peut

estimer le nombre de polices dans la population pour les années futures 1.

Étant donné le taux de rachat lt et le taux de mortalité qt estimés pour chaque année

future avec la méthode présentées en 3.2.2, on a le nombre de polices Pt qui peut être

exprimé comme :

Pt = P0 ·t−1∏u=0

(1− qu) ·t−1∏u=0

(1− lu).

4.1.1.2 Les variables échelonnées

Dans le cadre du projet e�ectué chez AXA Life Invest, certaines variables sont éche-

lonnées au cours du temps. On peut ainsi obtenir l'échelonnement des claims au cours du

temps : C0, C1, ...CN .

1. Ce nombre de polices est di�érent du nombre de model points, car il est ajusté de la mortalité et des

rachats, et c'est pour celà qu'il nécessite un calcul spéci�que. On utilise l'expression "nombre de police

ajusté" pour éviter toute confusion.

40


On dé�nira le driver "claims restant à payer" Γt comme :

Γt =N∑i=t

Ci.

4.1.2 Les variables intensives du portefeuille

Les variables intensives sont principalement des moyennes qui peuvent évoluer au cours

du temps. Par exemple, l'âge moyen va avoir un impact sur la taille des chocs de longévité.

Figure 4.1 � Les amélorations de la longévité selon l'âge [19]

La duration moyenne du portefeuille, ou le temps moyen restant jusqu'à liquidation

du portefeuille pourraient également servir de driver.

4.1.3 Vision �ux, vision actualisée et vision capitalisée

On rappelle pour cette partie que B(u, v) désigne le facteur d'actualisation entre le

temps u et le temps v.

Pour tout driver Dt, on peut dé�nir deux drivers :

� Dt, le driver en vision �ux ;

� D′t le driver en vision actualisée tel que D′t = Dt ·B(0, t) ;

On pourra donc dire que D′t a été actualisé. Les études de drivers devront à la fois se

porter sur les valeurs vue comme des �ux actualisés ou non.

Par exemple, sur certains produits, le capital de solvabilité sera très fortement corrélé

aux claims (SCR(t) = αCt), qui peuvent être di�ciles à établir du point de vue de la

41


puissance de calcul. Cependant, si on fait l'hypothèse qu'aucun coupon n'est payé par

l'assureur, le claims par police sera constant au cours du temps si on le voit de manière

actualisée. Autrement dit, le claims en valeur réelle sera capitalisé 2. On notera C ′t les

claims moyen en vue actualisée.

On peut écrire que le claim total en vue actualisée est égal à :

C ′t = C ′t ·Nt

avec Nt le nombre de polices (voir 4.1.1.1) en t.

Donc :

Ct =C ′t

B(0, t)=C ′0 ·Nt

B(0, t),

d'où :

SCR(t) = α · C ′0 ··Nt

B(0, t).

On note alors que N ′′t =Nt

B(0, t)est un driver pour le capital de solvabilité.

On aura donc intérêt à étudier une troisième vision des �ux, en plus des vues en �ux

et actualisée, la vision capitalisée telle que D′′t =Dt

B(0, t).

4.2 Méthode générique de construction d'un driver

Lorsque l'on est pas capable de trouver un driver global (voir 2.2.3.3), on doit calculer

le capital de solvabilité produit par produit, et risque par risque. On essaie donc de limiter

le nombre de produits et de risques à étudier.

4.2.1 Réduction du périmètre d'analyse

La première phase d'une analyse de driver consiste à réduire le périmètre d'analyse.

Un portefeuille de contrats en annités variables comporte en e�et de nombreux contrats

di�érents (entre 6 et 8) qui peuvent avoir des pro�ls de risques distincts. Il s'agit tout

d'abord de négliger les produits qui n'auront pas d'impact matériel sur le pro�l de risque

(voir 4.2.1.1). Sur l'ensemble des produits considérés, on pourra alors négliger les risques

les moins importants (voir 4.2.1.2).

2. On remarquera que cet exemple que le choix d'un scénario équivalent central (voir 3.1) n'est pas

neutre dans la mesure où capitaliser au taux du marché et capitaliser au taux d'actualisation reviennent

à la même chose.

42


4.2.1.1 Négliger les produits non matériels

On cherche tout d'abord à éliminer de l'analyse les produits qui n'auront pas d'impact

majeur sur le pro�l de risque.

Figure 4.2 � Pro�l de risque par produit � Les produits 1, 2, 4 et 8 sont conservés a�n

de mener une étude signi�cative.

On ne conservera que les produits qui ont un impact important sur le capital de

solvabilité et on éliminera donc les produits 1, 2, 4 et 8.

4.2.1.2 Négliger les risques non matériels

On regarde ensuite les risques qui sont négligeables dans le portefeuille à l'instant 0.

43


Figure 4.3 � Pro�l de risque par risque � La longévité et le lapse down permettent seuls

de mener une étude signi�cative sur le portefeuille.

On remarque que la mortalité, la longévité et le lapse down sont les risques à prendre

en compte. On est en e�et dans le cas de produits avec des garanties GMWB et GMDB 3.

Le risque de rachat impacte les deux garanties. La mortalité impacte la garantie DB et la

longévité la garantie WB.

Si un seul risque semble diriger le capital de solvabilité risque en entier, on e�ectuera

une analyse globale (2.2.3.3) après avoir montré que le capital de solvabilité était corrélé

à plus de 99% au risque considéré. Sur des portefeuilles avec pour garantie principale

GMIB 4, on observera un risque de longévité hypertrophié par rapport aux autres risques.

Ce risque pourra être considéré comme le driver global du capital de solvabilité.

4.2.2 Recherche des drivers

4.2.2.1 Les trois critères

Pour chacun des couples produit/risque sélectionné, on e�ectuera une recherche du

meilleur driver parmi les possibilités dé�nies en 4.1 d'après les critères dé�nis en 2.3 :

� pertinence qualitative ;

3. Produits vendus principalement au Japon. On notera que cette combinaison est intéressante pour

l'assureur dans la mesure où le risque de mortalité et le risque de longévité se neutralisent en partie dans

le calcul du BSCR.4. Par exemple les portefeuilles vendus en Allemagne.

44


� pertinence quantitative : corrélation et écart à la MVM ;

� simplicité de calcul et d'utilisation.

4.2.2.2 Limite des trois critères : quel critère ajouter ?

Ces deux critères sont insu�sants. Il faut toujours observer les graphiques traçant les

résultats projetés dans l'avenir.

Figure 4.4 � Driver ne capte pas la concavité du risque bien que les chi�res présentent

une corrélation de 96%, et un écart à la MVM de 5% � Graphique en valeur nominale.

Bien qu'il pourrait être accepté comme driver, la concavité du capital de solvabilité

entre 0 et 5 ans 5 n'est pas bien captée par ce driver, qui devra donc être abandonné.

Le driver ne réussit en e�et pas à capter tous les paramètres du risques. Il ne permet

pas de comprendre pourquoi le risque est concave sur [0, 10] ans. En celà, c'est un mauvais

driver.

4.2.3 Agrégation des résultats

On dispose à l'issue de cette analyse d'une sélection de produits matériels 1, ..., p,

et de risques matériels 1, ..., q, ainsi que de drivers (di,j(t))i∈{1,...,p},j∈{1,...,q} du capital de

solvabilité pour le produit i et le risque j.

4.2.3.1 Méthode par poids

À t = 0, on connaît le poids relatif de chaque produit dans chacun des risques matériels

(le risque n'est dans ce cas calculé que sur l'ensemble des produits matériels). Nommons

5. Le graphique étant en valeur nominale, on observe une courbe constante entre 0 et 5 ans.

45


ces poids (π(t=0)i|j )i∈{1,...,p},j∈{1,...,q}. On a donc

∑i∈{1,...,p} π

(t=0)i|j = 1 6.

On dé�nit alors, pour chaque risque, un driver du risque Dj(t) à partir de ces poids :

∀t ∈ T , Dj(t) =∑

i∈{1,...,p}

π(t=0)i|j di,j(t)×

SCR(0)

di,j(0),

avec SCR(0) le capital de solvabilité à t = 0 pour l'ensemble des produits et des risques

(même non matériels).

Pour chaque timestep, il est alors possible de dé�nir un capital de solvabilité vie (avec

les notations de 2.1.5, c'est-à-dire que Γ est la matrice de corrélation) :

∀t ∈ T ,BSCR(t) =√

(Dj(t))Tj∈{1,...,q} · Γ · (Dj(t))j∈{1,...,q}.

Cette approche est facile à mettre en oeuvre d'un point de vue calculatoire et renvoie

de très bons résultats en terme de corrélation entre le capital de solvabilité calculé et celui

estimé avec des drivers.

4.2.3.2 Méthode globale

Si tous les produits ont le même driver, ou si un driver se retrouve dans la plupart

des produits (c'est-à-dire que ∃d,∀j ∈ {1, ..., q},∑

i,j|di,j=d π(0)i|j ∼ 1), on pourra prendre d

comme driver global (voir 2.2.3.3).

4.3 Méthodes originales de construction d'un driver

Il arrive que les analyses précédentes, par produit et par risque, ne permettent pas de

trouver un bon driver, dans ces cas, on peut explorer d'autres méthodes pour construire

des drivers.

4.3.1 Combinaison de drivers

4.3.1.1 Produits avec plusieurs garanties

La plupart des produits d'annuités variables proposent plusieurs types de garanties.

Par exemple, on trouvera des produits qui proposeront simultanément une garantie décès

6. Les poids sont calculés avant mutualisation des risques ; ils sont calculés sur la somme des risques

par produit, et pas sur le risque pour tous les produits, a�n que la somme des poids soit égale à 1.

46


DB (1.2.1.2) et une garantie de rente WB (1.2.1.4) 7. On s'attend à voir, pendant les

premières années du contrat, des activations du type DB, dans la mesure où les retraits

en rente ne se seront pas encore activés. Au fur et à mesure du temps, les retraits en rente

prennent le pas sur les garanties décès.

4.3.1.2 Exemple d'un tel produit

Pour un risque donné, on peut trouver ce pro�l de risque au cours du temps. Les BB

(Bene�t Base) des garanties DB et des garanties WB sont testées comme drivers.

La garantie décès On observe que la BB DB est très bien corrélée avec le risque

pendant les premières années, et qu'elle s'écarte de celui-ci au fur et à mesure du temps.

Figure 4.5 � La BB DB (Bene�t Base liée au Death Bene�t) vue comme driver �

Décrochage entre la BB DB et le risque entre 5 et 10 ans.

On a une corrélation à 99,94% et un écart à la MVM à -3,82%.

La sortie en rente On observe que la BB WB surestime le risque pendant les premières

années, et est très bien corrélées avec celui-ci lorsque l'aspect WB du produit a pris le pas

sur son aspect DB.

7. Produits vendus au Japon.

47


Figure 4.6 � La BB WB (Bene�t Base liée au WB) vue comme driver � La BB WB

raccroche parfaitement l'évolution du risque entre 5 et 10 ans.

On a une corrélation à 99,90% et un écart à la MVM à 3,90%.

Les deux drivers proposés sont acceptables, mais on peut construire un driver plus

précis pour le risque en utilisant le driver DB pendant les premières années, puis le driver

WB.

4.3.1.3 Combinaison

On utilise donc les variations de la BB DB entre 0 et 5 ans. À partir de 5 ans, on

utilisera les variations de la BB WB.

48


Figure 4.7 � Driver BB DB entre 0 et 5 ans, driver BB WB ensuite � La combinaison

des deux drivers colle parfaitement à l'évolution du risque.

On obtient ici une corrélation de 99,99% et une surestimation du risque 8 de 0,33%.

Cette construction est bien plus précise que les deux drivers précédents, et parfaitement

intelligible au vu des spéci�cations du produit.

Du point de vue des formules, si on pose ts ∈ T le pas de temps où l'on applique la

combinaison (5 ans dans l'exemple), d1 et d2 les deux drivers considérés, le driver avec

combinaison ds est dé�ni comme :

∀t ≤ ts, ds(t) = d1(t)

∀t > ts, ds(t) = d2(t) ·d1(ts)

d2(ts)

.

4.3.2 Cas des risques nuls à t = 0

Dans certains cas, les risques sont nuls à t = 0, mais deviennent matériels par la suite.

On est alors capables de trouver un driver dt au risque Rt tel que : Rt = α · dt + εt avec

εt petit. Dans le modèle général présenté en 2.2.3.2, α ne dépend que de valeurs au temps

t = 0 9.

8. Écart à la MVM.9. En e�et, dans le cas contraire, si on veut recalculer la MVM à une date future en utilisant seulement

le driver obtenu, on sera obligés de projeter le capital de solvabilité pour pouvoir calibrer α. Ce paragraphe

cherche à éviter cette projection super�ue

49


Si d0 = R0 = 0, ce n'est évidemment pas pertinent, et α devra dépendre de t0 > 0. Le

calcul de cette variable nécessiterait donc de projeter le capital de solvabilité en t0, Rt0 .

On cherche à éviter ce calcul qui est trop consommateur en temps.

Dans ce cas, il faut chercher parmi les portefeuilles disponibles un portefeuille proche

du portefeuille étudié en terme de garanties et de population, mais dont le pro�l de risque

est tel que, b étant le deuxième portefeuille considéré :

1. il accepte le même driver dbt pour Rbt ;

2. dbt 6= 0 et Rbt 6= 0 ;

On aura alors Rbt = αb · dbt + εbt . On utilisera en lieu et place de α le coe�cient αb. On

aura donc comme modèle pour le premier portefeuille :

Rt = αb · dt + ε′t.

Siε′tRt

est inférieur à un niveau prédé�ni pour tout t, on acceptera ce modèle. On sera

alors capable de l'utiliser à l'avenir en utilisant comme coe�cient le coe�cient αb.

Dans la pratique, cette méthode, qui consiste à utiliser les paramètres d'un portefeuille

di�érent pour établir les paramètres d'un portefeuille donné, a été utilisée avec succés.

Que retenir ?

? Les drivers potentiels sont des variables extensives ou intensives du portefeuille ; on

peut utiliser une vision en �ux, capitalisée ou actualisée ;

? La méthode générale consiste à négliger les risques et produits non matériels puis à

agréger les drivers selon les poids de chaque produit dans chaque risque et �nalement

à calculer le capital de solvabilité grâce à la matrice de corrélation ;

? Il est également possible de choisir un unique driver pour tous les risques ;

? On peut réaliser des combinaisons de drivers ;

? On peut utiliser le coe�cient de proportionnalité entre un driver et un capital de

solvabilité sur un autre portefeuille que celui sur lequel on a e�ectué le ratio, si le

premier portefeuille a un capital de solvabilité nul à t = 0.

50

Chapitre 5

Robustesse du modèle

Le choix de drivers relève d'une analyse statistique. Celle-ci n'est vraie que dans un

certain univers de simulation (5.1) et nécessite des développements. Pour être rigoureux,

cette étude devrait également tester les résultats au regard de l'évolution du marché (5.1.1

et 5.1.2).

Cependant, si les hypothèses économiques restent les mêmes, le modèle peut être

considéré comme �able dans la mesure où il a été soumis à une validation croisée (voir

5.2).

Sommaire5.1 Les limites du choix d'un unique scénario . . . . . . . . . . . . 52

5.1.1 Backtesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.2 Stress-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.3 Dé�nition d'un test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.3.1 Scénarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.3.2 Résultats du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Fiabilité du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Que retenir ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

51


5.1 Les limites du choix d'un unique scénario

Les résultats obtenus n'ont pas été testés face à des modi�cations du scénario écono-

mique utilisé.

5.1.1 Backtesting

L'étude devrait théoriquement être réactualisée en cas de changement dans l'univers

�nancier ou dans la composition du portefeuille. A�n de con�rmer cette étude, elle devra

de toute façon être relancée dans un ou deux ans pour comparer les résultats réels aux

résultats prévus. Des di�érences sont à prévoir dans la mesure où le monde �nancier

n'est pas équivalent certain. Les performances actions sont donc plus importantes que les

performances des taux, contrairement aux scénarios d'hypothèse.

On aurait dû tester les résultats face à des scénarios historiques du point de vue de la

courbe des taux utilisée.

5.1.2 Stress-test

Pour con�rmer les résultats issus du modèle, des tests supplémentaires devraient être

e�ectués en modi�ant les hypothèses. On devrait donc mettre en cause l'utilisation d'un

scénario équivalent certain. On doit également mettre en cause la courbe des taux utilisée

et véri�er si des modi�cations importantes de la courbe des taux entraînent un changement

dans le choix des driver.

Dans un cas de fort changement de l'univers des taux, le poids du risque de longévité

devrait en e�et être modi�é, dans la mesure où la valeur actualisée des engagements sera

fortement plus élevée ou plus faible. Des modi�cations dans l'allure de la courbe des taux

pourraient possiblement modi�er les driver choisis pour le risque de longévité.

Les résultats obtenus devraient donc être testés face à de fortes variations de la courbe

des taux ou des taux de rachat. Aucun stress-test rigoureux n'a pu être mené dans la

mesure où ils auraient demandé des calculs trop importants. Des tests simpli�és et partiels

ont cependant été réalisés dans la partie suivante : 5.1.3.1.

52


5.1.3 Dé�nition d'un test

5.1.3.1 Scénarios

On cherche ici à véri�er la robustesse des résultats face à di�érentes variations des

taux. On utilise pour ces tests une population homogène de polices GMIB, vendues en

Europe, qui ont une date de liquidation d'environ trois ans et demi (on se place donc dans

le cadre du modèle présenté en 3.3).

Ce type de police accepte pour driver les claims, qui a été retenu par notre étude. On

va choquer la courbe des taux à partir de la date de liquidation des polices 1. On dé�nit

trois types de chocs :

1. Augmentation du niveau des taux "longs" : la courbe des taux est augmentée de

+10bps à partir de trois ans et demi ;

2. Diminution du niveau des taux "longs" : la courbe des taux est diminuée de -10bps

à partir de trois ans et demi ;

3. Scénario de dé�ation : la courbe des taux remplacée par la courbe des taux japonaise

à partir de trois ans et demi ;

Figure 5.1 � Les scénarios de courbe de taux utilisés � deux scénarios de légère modi�-

cation du niveau des taux et un scénario de forte dé�ation.

1. Il s'agit d'une limitation du modèle.

53


5.1.3.2 Résultats du test

Avec le scénario original, il y avait une corrélation de 98% et un écart à la MVM

d'environ +13% entre le driver et le risque de longévité.

Figure 5.2 � Le scénario original � driver acceptable.

On retrouve les mêmes chi�res pour les courbes choquées à +10bps et -10bps.

Figure 5.3 � Les légers chocs de la courbe des taux � driver acceptable.

54


Pour le scénario de forte dé�ation, les claims ne sont plus un bon driver. La corrélation

est en e�et à 81% et l'écart à la MVM dépasse 50%. On ne peut plus accepter le driver

Figure 5.4 � Scénario de forte dé�ation � driver refusé.

La modi�cation de la courbe des taux impacte réellement l'allure de la courbe du

capital de solvabilité dans la mesure où l'on passe d'une courbe convexe à une courbe

concave après trois ans et demi, tandis que la courbe pour les taux utilisés dans le scénario

équivalent certain était intégralement concave.

Ces rapides stress-tests con�rment l'intuition que l'on avait sur la robustesse du modèle

à une modi�cation de la courbe des taux. De petites variations du niveau des taux, sans

changement radical de la forme de la courbe, peuvent permettre de conserver les mêmes

drivers. En cas de changement de la courbe des taux plus importants, les études décrites

dans ce mémoire devront être menées à nouveau. Des études devraient être menées a�n

de savoir à partir de quelles modi�cations du marché les choix de drivers devront être

remis en cause.

5.2 Fiabilité du modèle

La question de la valeur prédictive des résultats peut se poser au delà des remarques

liées au scénario économique utilisé pour les travaux de ce mémoire. Si l'utilisation des

critères quantitatifs et qualitatifs pour le choix d'un driver nous rassure sur sa capacité à

55


prédire l'avenir, ceux-ci sont toujours insu�sants, et l'utilisation de critères de validation

croisée nous permettrait d'être plus sûrs quant à la pertinence des drivers trouvés.

En fait, dans le projet tel qu'il a été mené chez AXA Life Invest, les analyses de drivers

se faisaient séparément sur des familles de contrats partageant les mêmes caractéristiques.

Par exemple, dans le cadre de produits IDB 2, on possédait cinq portefeuilles comprenant

des polices di�érentes. Les recherches de drivers ont été faites portefeuille par portefeuille

et un driver n'est accepté que si il est un bon driver pour tous les produits.

Bien que ces portefeuilles n'aient pas été créés aléatoirement, comme dans le cadre

d'une validation croisée classique, on peut considérer que les résultats obtenus sont �ables

sur ce plan.

Que retenir ?

? La robustesse des résultats à la modi�cation du scénario équivalent certain devrait

être testée ;

? Les résultats semblent robustes à de petites modi�cations de la courbe des taux ;

? Les résultats sont robustes à hypothèses constantes dans la mesure où ils ont été

testés et retrouvés sur des portefeuilles di�érents.

2. Cumul d'une garantie GMIB et GMDB.

56

Conclusion

À l'issue de cette analyse, nous sommes donc capables de dé�nir un schéma pour la

sélection de driver au niveau de chaque risque non couvrable du capital de solvabilité,

ou, si le cas se présente, pour la sélection d'un driver global. Dans le premier cas comme

dans le second cas, calculer une MVM à partir du, ou des, drivers sélectionnés devient

possible.

Les résultats de cette étude ont été intégrés aux comptes d'AXA Life Invest. Ils devront

cependant être soumis à des tests (backtesting et stress-testing) pour être dé�nitivement

validés. On a l'intuition que des modi�cations modérées de la courbe des taux, qui n'im-

pacteraient pas son allure, les résultats obtenus en terme de choix de drivers pourront

être maintenus. Cependant, en cas de forte modi�cation de l'environnement économique,

la robustesse du choix de driver peut poser question.

57

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59

Table des �gures

1.1 Le marché des produits retraite[2] � les annuités variables ("VA") exposent

modéremment l'assuré aux actions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 L'évolution du marché américain avec la crise[8] � Une diminution de la

collecte après la crise des subprimes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Un marché britannique en croissance [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Rollup dans un cadre béné�que pour l'assuré . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Application du cliquet au bout de 1, 4 et 8 ans . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Le ratchet sécurise une BB plus grande que le rollup à échéance . . . . . . 12

1.7 La BB sécurisée par le ratchet évolue au taux de rollup . . . . . . . . . . . 12

2.1 Le module vie du SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Bilan actuariel [14] � La MVM fait partie de la Market Value of Liabilitie

mais est calculée à partir du SCR, qui dépend lui même de chocs sur la

MVL, d'où des di�cultés de circularité dans les calculs. . . . . . . . . . . . 19

2.3 Calcul de la MVM [16] � La méthode MCoC propose de projeter le capital

de solvabilité au cours du temps ; la valeur nette actualisée de tous ces

capitaux, multipliée par le coût du capital supposé �xe, est égal à la MVM. 20

3.1 Vieillissement de l'in�ation � On suppose que les taux d'in�ation vont

revenir à un niveau "normal" ou "cible" de 2%− 2, 5%. . . . . . . . . . . . 28

3.2 Courbe des taux UFR � Les taux sur les vingt premières années proviennent

du marché, on extrapole ensuite en supposant que les taux "à l'in�ni" seront

de 3, 2%, les calculs sont e�ectués par le Groupe AXA. . . . . . . . . . . . 29

3.3 Taux zéros-coupons (3.1.2) puis taux swaps (3.1.2) vieillis obtenus avec

un bootstrapping inverse � On remarque que les courbe des taux vieillis

convergent vers une courbe constante au niveau de l'Ultimate Forward Rate. 30

60


3.4 Interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Interpolation de Catmul-Rom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Les amélorations de la longévité selon l'âge [19] . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Pro�l de risque par produit � Les produits 1, 2, 4 et 8 sont conservés a�n

de mener une étude signi�cative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Pro�l de risque par risque � La longévité et le lapse down permettent seuls

de mener une étude signi�cative sur le portefeuille. . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Driver ne capte pas la concavité du risque bien que les chi�res présentent

une corrélation de 96%, et un écart à la MVM de 5% � Graphique en valeur

nominale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 La BB DB (Bene�t Base liée au Death Bene�t) vue comme driver � Dé-

crochage entre la BB DB et le risque entre 5 et 10 ans. . . . . . . . . . . . 47

4.6 La BB WB (Bene�t Base liée au WB) vue comme driver � La BB WB

raccroche parfaitement l'évolution du risque entre 5 et 10 ans. . . . . . . . 48

4.7 Driver BB DB entre 0 et 5 ans, driver BB WB ensuite � La combinaison

des deux drivers colle parfaitement à l'évolution du risque. . . . . . . . . . 49

5.1 Les scénarios de courbe de taux utilisés � deux scénarios de légère modi�-

cation du niveau des taux et un scénario de forte dé�ation. . . . . . . . . . 53

5.2 Le scénario original � driver acceptable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Les légers chocs de la courbe des taux � driver acceptable. . . . . . . . . . 54

5.4 Scénario de forte dé�ation � driver refusé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

61

Master Actuariat de Dauphine Mémoire présenté devant O ......ainsi que pour leurs idées, et leur...

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