MASTER 2EME

ANNEE

MATHEMATIQUES

EN CO-ACCREDITATION AVEC L’UNIVERSITE POLYTECHNIQUE HAUTS-DE-FRANCE,

L’UNIVERSITE D’ARTOIS, L’UNIVERSITE DU LITTORAL COTE D’OPALE

Année universitaire 2019 – 2020

Laboratoire Paul Painlevé CNRS UMR 8524-Lille

Laboratoire de Mathématiques LAMAV UPRES EA 4015-UPHF

Laboratoire de Mathématiques de Lens UPRES EA 2462-Artois

Laboratoire de Math. Pures et Appliquées Joseph Liouville UPRES EA 2597-Calais

http://mathematiques.univ-lille1.fr

RESPONSABLES LILLE Parcours Agrégation externe :

Vincent THILLIEZ

Parcours Recherche Mathématiques Appliquées :

André DE LAIRE

Parcours Recherche Mathématiques Pures :

Gautami BHOWMIK

Université de Lille, Faculté des Sciences et Technologies Département de Mathématiques F-59655 VILLENEUVE D’ASCQ CEDEX

SECRETARIAT Aurore SMETS

math-masters2@univ-lille1.fr

Tel. 03.20.43.42.33

RESPONSABLE VALENCIENNES Serge NICAISE

Université Polytechnique Hauts-de-France LAMAV - ISTV2 Le Mont Houy 59313 VALENCIENNES Cedex 9

SECRETARIAT Nabila DAIFI

nabila.daifi@uphf.fr

Tel. 03.27.51.19.01

RESPONSABLE LENS-ARTOIS Martintxo SARALEGI-ARANGUREN

saralegi@euler.univ-artois.fr

Tel. 03.21.79.17.20

Université d'Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Rue J. Souvraz, SP 18 F-62307 LENS CEDEX

RESPONSABLE ULCO Carole ROSIER

Centre Universitaire de la Mi-Voix Université du Littoral-Côte d'Opale 50, rue F. Buisson, BP. 699 F-62228 CALAIS CEDEX

SECRETARIAT Christine GOURNAY

christine.gournay@univ-littoral.fr

Tel. 03.21.46.36.16

OBJECTIFS

En proposant une formation de haut niveau associant approfondissement des connaissances et initiation à la recherche en mathématiques, le Master de Mathématiques a pour objectifs :

de préparer les étudiants souhaitant poursuivre leurs études en Doctorat (parcours Recherche Mathématiques Pures, parcours Recherche Mathématiques Appliquées),

de préparer les étudiants souhaitant passer le concours de l’Agrégation Externe (parcours Agrégation),

d'approfondir la culture mathématique des enseignants de mathématiques des lycées et collèges.

La formation est centrée sur les cinq domaines des mathématiques pures et appliquées représentés dans les laboratoires:

analyse

analyse numérique et EDP

arithmétique et géométrie algébrique

géométrie et topologie

probabilités et statistique

DEBOUCHES

Les deux parcours Recherche préparent aux fonctions d'enseignant et de chercheur. Ils donnent accès à des emplois dans les laboratoires de recherche publics ou privés, et, plus généralement, dans des sociétés de services ayant besoin de mathématiciens capables de modéliser des situations scientifiques variées. Le parcours Agrégation est une voie d’accès à la carrière de professeur agrégé dans l’enseignement secondaire ou supérieur. Tous les parcours permettent également de poursuivre en Doctorat. À l'issue du Master, le groupe de formation doctorale sélectionne au cours du mois de mai les étudiants admis à préparer un doctorat. Le doctorat donne accès aux carrières d'enseignant-chercheur dans l'enseignement supérieur ou de chercheurs dans les organismes publics ou les grandes entreprises.

BOURSES

POUR LES PARCOURS RECHERCHE DU MASTER 2 MATHEMATIQUES

Des bourses d’excellence de Master 2, financées par le LABEX CEMPI (http://math.univ-lille1.fr/~cempi/ ), peuvent être attribuées aux candidats les plus méritants. La procédure de candidature est expliquée sur le site de la formation : http://mathematiques.univ-lille1.fr/Formation/Masters-du-departement-de-Mathematiques/Masters-mathematiques/Master_2_Mathematiques_Recherche-Rentree/?info=adm .

Date limite de dépôt des demandes de bourse d’excellence : 15 février 2019

POUR PREPARER UNE THESE DE DOCTORAT :

Un nombre limité de contrats doctoraux de 3 ans peuvent être établis. Leurs sources de financement sont: Allocations de recherche du Ministère, bourse du LABEX CEMPI, bourses CNRS, bourses de la Région, bourses CIFRE, bourses financées par des programmes institutionnels. Une rémunération complémentaire pour service d'enseignement peut également être envisagée.

Candidature : Les règles du concours d’attribution des allocations de thèse et le dossier à télécharger se trouvent sur le site de l’Ecole Doctorale SPI (http://edspi.univ-lille1.fr/ ). L’étudiant choisit un sujet de thèse (la liste se trouvant sur les sites web des laboratoires), se met en contact avec un directeur de thèse et lui adresse un dossier complet avant le 1er mai.

ADMISSIONS

Les modalités relatives à la procédure de candidature sont disponibles sur le site de l’Université de Lille : https://www.univ-lille.fr/etudes/candidater/ .

Note concernant le parcours Agrégation : - Le parcours peut être accessible sous certaines conditions prévues par les textes légaux régissant le concours (enseignants titulaires de catégorie A, certains diplômes d’ingénieur). Voir le site du ministère de l'éducation nationale : http://www.devenirenseignant.gouv.fr/pid33987/enseigner-dans-les-classes-preparatoires-agregation.html ou contacter le responsable du parcours pour toute information complémentaire. - L'inscription administrative au concours de l'Agrégation est une procédure personnelle et indépendante de l'inscription en master. Elle se fait auprès du service Examens et Concours de l'Académie. Suivant les années, la période des inscriptions peut varier entre juin-juillet et septembre-octobre. Il convient de se référer au site officiel pour plus de détails : http://www.devenirenseignant.gouv.fr/pid33987/enseigner-dans-les-classes-preparatoires-agregation.html .

ORGANISATION DE L'ENSEIGNEMENT

La deuxième année du Master (M2) comporte trois parcours : un parcours « Recherche Mathématiques Fondamentales », un parcours « Recherche Mathématiques Appliquées » et un parcours « Agrégation ». Le M2 consiste en deux semestres de 30 crédits ECTS. Les crédits d'une unité (cours ou mémoire) sont acquis si la note finale obtenue à cette unité est supérieure ou égale à 10/20.

Le niveau Master 1ère année en Algèbre, Arithmétique, Analyse réelle, Analyse complexe, Analyse fonctionnelle, Calcul différentiel, Géométrie, Intégration, Topologie, est un pré-requis pour les unités du M2.

Les deux parcours Recherche :

Les crédits ECTS s'obtiennent en validant dans le parcours mathématiques fondamentales :

3 cours fondamentaux de 10 ECTS parmi 5 proposés au 1er semestre.

2 cours approfondi de 8 ECTS parmi 6 proposés au 2nd semestre.

un mémoire annuel de 14 ECTS.

Les crédits ECTS s'obtiennent en validant dans le parcours mathématiques appliquées :

2 cours fondamentaux de 10 ECTS parmi 5 proposés au 1er semestre.

1 cours spécialisé à 5 ECTS parmi 2 proposés au 1er semestre.

1 module numérique à 5 ECTS parmi 2 proposés au 1er semestre.

2 cours approfondi de 8 ECTS parmi 6 proposés au 2nd semestre.

un mémoire annuel de 14 ECTS.

Le parcours mathématiques appliquées propose des cours orientés vers deux thématiques : Équations aux dérivées partielles-Analyse numérique et Probabilités-Statistiques. Le mémoire annuel dans ce parcours devra s’inscrire dans ces thématiques. Le mémoire des deux parcours « Recherche » est un travail d'initiation à la recherche encadré par un enseignant-chercheur. Il consiste en l'étude et la présentation d'un ou plusieurs articles de recherche, de chapitres de livres, etc. Il donne lieu à un rapport écrit et à une soutenance publique unique. Le mémoire est encadré par un membre des laboratoires associés. Il peut y avoir co-encadrement extérieur dans le cadre d’un stage hors de nos universités. NB: (1) Un cours peut être choisi par l’étudiant parmi les cours proposés dans le cadre du programme d'échange franco-belge. Les choix doivent être validés par l'équipe pédagogique. (2) La liste des cours approfondis est renouvelée chaque année.

Le parcours Agrégation :

Les crédits ECTS s'obtiennent en validant :

2 cours fondamentaux de 10 ECTS parmi 5 proposés au 1er semestre.

1 module de préparation à 5 ECTS au 1er semestre.

1 module numérique à 5 ECTS parmi 2 proposés au 1er semestre.

2 cours fondamentaux de 10 ECTS au 2nd semestre.

1 module de modélisation à 7 ECTS parmi 2 proposés au 2nd semestre.

un module mémoire annuel à 3 ECTS. Chaque cours de 10 ECTS (resp. 8 ECTS et 5 ECTS) a un volume de 48 heures (resp. 40 heures et 24 heures) réparties en 12 semaines (resp. 8 semaines et 12 semaines) à raison de 3 heures (resp. 4 heures et 1.5 heures) de cours et 1 heure de Travaux (resp. 1 heure et ½ heures) divers (exposés, discussions, exercices, etc.) chaque semaine. Chaque module numérique consiste en 12 séances de 3 heures de travaux pratiques sur machine. L’UE « Ecrits et oraux blancs pour l’agrégation » donne lieu à une note sur 20 attribuée par contrôle continu sur la base d’une série d’écrits blancs de 6h. Dans le cas du parcours « Agrégation », la préparation des leçons, la rédaction des développements et la présentation publique qui en est faite au cours de l'année font l'objet d'une note sur laquelle est basée la validation du module « mémoire ».

VALIDATION DU MASTER 2

En MS3 et MS4 (M2), les UE sont capitalisées ; il n’y a pas de compensation semestrielle, sauf décision expresse du jury. Cette compensation s’opère au vu de la moyenne du semestre pédagogique ; la moyenne au semestre pédagogique est la moyenne générale des notes obtenues pour les diverses UE, hors mémoire.

PPRROOGGRRAAMMMMEE DDEESS CCOOUURRSS

22001199 -- 22002200

COURS DU SEMESTRE 3 S3 : Analyse Fonctionnelle – E. MATHERON (36 h cours, 12h TD) – 10 ECTS Résultats fondamentaux sur les espaces normés (10h)

Théorème de Hahn-Banach dans les espaces normés. Espaces de Banach, exemple des espaces Lp et de l'espace C(X;R) où X est un espace métrique compact, théorème d'Ascoli. Théorème de Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte et corollaires.

Topologies faibles et espaces réflexifs (18h)

Pré-requis de topologie générale. Topologie initiale associée à une famille d'applications. Topologie produit. Espaces compacts et théorème de Tychonoff. Topologie faible et faible- pour un espace normé, bornitude faible, théorème de Banach-Alaoglu (la boule unité du dual est faible- compacte). Espaces réflexifs, tout espace de Hilbert est réflexif, tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif. Liens avec la séparabilité. Relations entre convergence faible et convergence forte. Application aux espaces Lp : étude des propriétés de dualité, réflexivité, séparabilité, de ces espaces.

Éléments de théorie spectrale (12h)

Spectre d'un opérateur borné sur un espace normé. Opérateurs compacts sur un espace normé, exemples. Alternative de Fredholm. Adjoint d'un opérateur sur un espace de Hilbert, décomposition spectrale des opérateurs normaux compacts. Application : opérateurs intégraux, théorème de Mercer et expression de la trace.

Introduction aux algèbres de Banach (8h)

Algèbres de Banach, exemples. Résolvante, rayon spectral. Théorème de Gelfand-Mazur. Idéaux maximaux, caractères. Application : théorème de Wiener sur les séries de Fourier absolument convergentes. Spectre et transformée de Gelfand.

Références - H. Brézis, Analyse Fonctionnelle - Théorie et Applications, Masson. - H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer. - J. Cerda, Linear Functional Analysis, gsm 116, AMS. - F. Hirsch, G. Lacombe, Eléments d’analyse fonctionnelle, Dunod. - W. Rudin, Functional Analysis, Mc Graw Hill. - D. Li, Cours d'analyse fonctionnelle avec 200 exercices corrigés, Ellipses. Modalités de contrôle des connaissances Deux épreuves écrites : un devoir surveillé de 2 heures et un examen de 3 heures. Le DS et d'éventuelles autres évaluations donnent une note de contrôle continu sur 20, CC. L'examen donne lieu à une note sur 20, E. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S3 : Algèbre – B. FRESSE (36 h cours, 12h TD) – 10 ECTS Anneaux (3 semaines)

1. Anneaux de fractions, anneaux localisés. 2. Noethérianité, factorialité pour les anneaux noethériens. Théorème de la base. Nullstellensatz. 3. Valuations discrètes, anneaux de valuation discrète, distance ultra-métrique, complétion, lemme de Hensel. Valuations sur Q, nombres p-adiques, entiers p-adiques, Ostrowski. Valuations sur k[X], anneaux des séries formelles (multiplication, composition, dérivation, inversibles).

Modules (4 semaines)

1. Modules, modules noethériens. Modules de type fini sur un anneau principal. 2. Application à la classification des groupes abéliens de type fini. 3. Application à la réduction des endomorphismes : invariants de similitudes (caractérisation des classes de similitudes, indépendance du corps de base…), réduction de Jordan. Semi-simplicité, décomposition de Dunford.

Théorie analytique des nombres (4-5 semaines) Le but de cette partie est de démontrer le théorème de la progression arithmétique.

1. Étude approfondie de (Z/nZ)* (structure, caractères). 2. Fonctions arithmétiques, fonctions multiplicatives, convolution, inversion de Möbius. 3. Séries de Dirichlet, abscisse de convergence, fonction zêta, séries L. 4. Répartition des nombres premiers : progression arithmétique.

Références - Amice, Les nombres p-adiques, PUF. - Artin, Algebra, Pearson. - Serre, Cours d'arithmétique, PUF. Modalités de contrôle des connaissances Deux épreuves écrites : un devoir surveillé de 2 heures et un examen de 3 heures. Le DS et d'éventuelles autres évaluations donnent une note de contrôle continu sur 20, CC. L'examen donne lieu à une note sur 20, E. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S3 : Géométrie – M. BELLIART (36 h cours, 12h TD) – 10 ECTS Variétés (4 semaines)

1. Variétés, espace tangent, orientation. Partitions de l'unité, théorème de plongement de Whitney. 2. Fibrés vectoriels, fibré tangent et fibrés associés.

Formes différentielles (4 semaines)

1. Formes différentielles sur les variétés, différentiation, lemme de Poincaré. 2. Intégration, formes volumes, formule de Stokes. Application : le théorème de Brouwer.

Topologie différentielle (4 semaines) L'enseignement pourra porter sur quelques uns des thèmes suivants :

1. Cohomologie de de Rham, exemples de calculs de groupes de cohomologie. 2. Formes différentielles à support compact. Applications : invariance du domaine, théorème de Jordan différentiable. 3. Surfaces dans R3, courbure, formule de Gauss-Bonnet (par la méthode des repères mobiles et la formule de Stokes). 4. Lemme de Sard, degré et formes volumes. Formule de Hopf pour l'indice total des points singuliers des champs de vecteurs.

Références - Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences 2010. - Godbillon, Eléments de topologie algébrique, Hermann 1998. - Chavel, Riemannian Geometry : a modern introduction, Cambridge University Press 2006. - Bott-Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Springer 1982. Modalités de contrôle des connaissances Deux épreuves écrites : un devoir surveillé de 2 heures et un examen de 3 heures. Le DS et d'éventuelles autres évaluations donnent une note de contrôle continu sur 20, CC. L'examen donne lieu à une note sur 20, E. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S3 : Processus stochastiques - statistiques des processus – A. DERMOUNE (36 h cours, 12h TD) – 10 ECTS Probabilités (9 semaines)

1. Notions de base sur les processus à temps discret et continu : lois ni-dimensionnelles, modification et équivalence, Théorème d'existence de Kolmogorov, mouvement brownien, processus de Poisson. 2. Stationnarité : Définition des deux types de stationnarité, représentation spectrale, Théorème ergodique de Birkhof. 3. Propriétés trajectorielles : critères de mesurabilité ou de continuité des trajectoires. Théorème de Kolmogorov sur la continuité Hölder des trajectoires. 4. Convergence des processus : convergence faible, Théorème de Donsker. Convergence des lignes polygonales vers le mouvement brownien. 5. Martingales à temps continu : inégalité de Doob, inégalités maximales, Théorèmes de convergence. 6. Processus gaussien : définition, caractérisation, exemples.

Statistiques (3 semaines)

Modèles de processus linéaires : définition, estimation, prévision. Références - Bouleau, Processus Stochastiques et applications, Hermann. - Revuz et Yor, Continuous Martingales and Brownian motion, Springer. - Karatzas et Shreeve, Brownian motion and stochastic calculus, Springer. Modalités de contrôle des connaissances Deux épreuves écrites : un devoir surveillé de 2 heures et un examen de 3 heures. Le DS et d'éventuelles autres évaluations donnent une note de contrôle continu sur 20, CC. L'examen donne lieu à une note sur 20, E. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S3 : Introduction aux équations aux dérivées partielles non-linéaires – L. ZIELINSKI (36 h cours, 12h TD) – 10 ECTS Le but de ce cours est double : présenter les outils d'analyse essentiels pour l'étude des ÉDPs linéaires et non-linéaires, puis les appliquer à quelques équations type. Outils (18h)

1. Espaces de Sobolev sur un domaine (Wk,p(Ω) et Wk,p0 (Ω)) et sur RN : définition, densité, extensions, traces, injections de Sobolev. 2. Théorèmes de point fixe : Banach, Brouwer, Schauder. Application à des EDP elliptiques non-linéaires.

Équation de la chaleur linéaire (3h)

Représentations de la solution, propriétés de décroissance. Équation de Navier-Stokes (9h)

Existence de solutions faibles de Leray, existence de solutions fortes de Kato. Équations de transport (12h)

Solutions classiques, solutions faibles, méthode des caractéristiques, solutions entropiques. Résolution du problème de Riemann. Application à l'équation de Burgers et au trafic routier.

Équation d'Euler (6h)

Méthode d'énergie. Problème d'existence et explosion. Références - R. Adams, J. Fournier, Sobolev spaces (second edition), Elsevier. - L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, V. 19. - M. E. Taylor, Partial Differential Equations I,II, III Applied Mathematical Sciences. - H. Brezis, Analyse Fonctionnelle : Théorie et Application, Dunod Université. - D. Serre, Systèmes de lois de conservation, tomes i et ii, Cassini, 1996. - D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer. Modalités de contrôle des connaissances Deux épreuves écrites : un devoir surveillé de 2 heures et un examen de 3 heures. Le DS et d'éventuelles autres évaluations donnent une note de contrôle continu sur 20, CC. L'examen donne lieu à une note sur 20, E. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S3 : Statistiques – A. AMIRI / S. DABO (18h cours, 6h TD) – 5 ECTS

1. Modèles de régression : Modèle de régression multiple, estimateurs (MCO,MCP,MCG), Gauss-Markov, Tests exacts et asymptotiques, outils de sélection de modèles, analyse de la variance, régressions non paramétrique : estimation de densité par noyaux, notion de risque, estimateur de Nadaraya-Watson. 2. Analyse de données multivariées : Visualisation des données (Analyse en composante principale), analyse discriminante (modèle de régression logistique), classification, utilisation de modèles de mélange gaussiens, algorithme EM.

Modalités de contrôle des connaissances Une épreuve écrite : un examen de 3 heures ; l'examen donne lieu à une note sur 20, E. Une note sur 20 attribuée par contrôle continu, CC. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S3 : Modélisation et analyse numérique des équations aux dérivées partielles – T. REY (18h cours, 6h TD) – 5 ECTS Ce cours fournit d'une part une introduction à la modélisation en expliquant l'origine physique de diverses EDPs elliptiques, paraboliques et hyperboliques. D'autre part, il présente et analyse en profondeur les méthodes servant à les résoudre numériquement (consistance, stabilité, convergence). Problèmes elliptiques (8h)

Modélisation. Stratégies de discrétisation : schémas éléments finis (rappels), différences finies, volumes finis (1D et 2D). Analyse du schéma différences finies : propriétés des solutions approchées, convergence. Application à la résolution du problème de Sturm-Liouville.

Problèmes paraboliques (8h)

Modélisation. Schémas différences finies pour l'équation de la chaleur (Euler explicite, Euler implicite et Crank-Nicolson pour la partie temporelle). Analyse numérique. Extension à des équations de réaction-diffusion (équation de Fisher).

Problèmes hyperboliques scalaires (8h)

Modélisation. Approximation par les schémas centré, décentré amont, Lax-Friedrichs. Analyse de stabilité des différents schémas. Schéma de Godunov.

Références - E. Godlewski, P.A. Raviart, Hyperbolic systems of conservation laws, Collection Mathématiques et Applications de la SMAI, Ellipses, Paris (1991) - F. Hubert, J. Hubbard, Calcul scientifique : De la théorie à la pratique, Vuibert, 2006. - L. Sainsaulieu, Calcul scientifique, Masson, 1996. - M. Schatzmann, Analyse numérique, Interéditions, 1991. - D. Serre, Systèmes de lois de conservation, tomes i et ii, Cassini, 1996. Modalités de contrôle des connaissances Une épreuve écrite : un examen de 3 heures ; l'examen donne lieu à une note sur 20, E. Une note sur 20 attribuée par contrôle continu, CC. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S3 : Outils informatiques en Proba-Stat – D. DEREUDRE (36h de TD sur machines) – 5 ECTS Ce module s'adresse aux étudiants en mathématiques appliquées Proba-Stat et aux agrégatifs ayant choisi l'option Proba-Stat. Il s'agit de TP en scilab sur des thèmes en "probabilités et statistiques". Nous aborderons en particulier les sujets suivants qui seront accompagnés de rappels de cours.

1. Estimation paramétrique, intervalle de confiance 2. Méthodes de Monte-Carlo 3. Fonction de répartition empirique. 4. Processus de Poisson 5. Chaînes de Markov

Références - Ouvrard, Probabilités 2, Maîtrise agrégation, Cassini. - Jacod et Protter, L'essentiel en théorie des probabilités, Cassini. - Rivoirard et Stoltz, Statistique en Action, Vuibert. Modalités de contrôle des connaissances Une note sur 20 attribuée par contrôle continu.

S3 : Outils informatiques en calcul scientifique – C. CHAINAIS et A. MATOS (36h de TD sur machines) – 5 ECTS Ce module numérique s'adresse aux agrégatifs ayant choisi l'option Calcul Scientifique et aux étudiants en mathématiques appliquées Analyse Numérique et Équations aux Dérivées Partielles. Il s'agit de séances de TPs en python, avec quelques compléments de cours.

1. Prise en main de python : rappels et compléments 2. Résolution de systèmes linéaires : méthodes directes, méthodes itératives 3. Méthodes de calcul de valeurs propres-vecteurs propres 4. Résolution d’équations non linéaires 5. Résolution approchée de l’équation de la chaleur 6. Différences finies pour l’approximation d’une équation elliptique 1D 7. Différences finies pour la résolution approchée de l’équation de la chaleur

Références - G. H. Golub, C. Van Loan: Matrix Computations 4th Edition, John Hopkins University Press (2013) - A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Calcul Scientifique 2e edition, Springer (2010) - J.-P. Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, EDP Sciences (2006) - G. Allaire, Analyse numérique et optimisation, Les éditions de l’école Polytechnique

(2005). Modalités de contrôle des connaissances Une note sur 20 attribuée par contrôle continu.

COURS DU SEMESTRE 4 – PARCOURS AGREGATION

S4 : Compléments pour la préparation à l'agrégation externe : Analyse et Probabilités pour l'Agrégation (48h) – 10 ECTS Ce cours est destiné aux étudiants du parcours "Agrégation". Il s'agit donc d'un cours "utilitaire", qui rassemble des révisions de notions de L et M figurant au programme de l'agrégation et des compléments mettant en œuvre ces notions, notamment s'ils sont susceptibles de donner matière à des développements dans l'épreuve orale du concours. L'enseignant pourra s'adapter aux demandes éventuellement formulées par les étudiants. Modalités de contrôle des connaissances : Cette UE est évaluée en contrôle continu par deux DS de type « écrits blancs » de 6h ; la note finale sur 20 est la moyenne des deux notes de DS.

S4 : Compléments pour la préparation à l'agrégation externe : Maths générales (48h) – 10 ECTS Ce cours est destiné aux étudiants du parcours "Agrégation". Comme le cours d’analyse et probabilités, il s'agit donc d'un cours "utilitaire", rassemblant divers compléments. En particulier, l'enseignant pourra s'adapter aux demandes éventuellement formulées par les étudiants. Modalités de contrôle des connaissances : Cette UE est évaluée en contrôle continu par deux DS de type « écrits blancs » de 6h ; la note finale sur 20 est la moyenne des deux notes de DS.

S4 : Préparation à l'épreuve de modélisation, option Probabilités Statistiques (50h de cours-TD sur machines) – 7 ECTS Ce cours s'adresse aux étudiants préparant l'agrégation, il prépare à l'épreuve de modélisation, option Probabilités Statistiques. Modalités de contrôle des connaissances : Une note sur 20 attribuée par contrôle continu.

S4 : Préparation à l'épreuve de modélisation, option Calcul Scientifique (50h de cours-TD sur machines) – 7 ECTS Ce cours s'adresse aux étudiants préparant l'agrégation. Son objectif est de préparer à l'épreuve de modélisation, option Calcul Scientifique : méthodologie pour la préparation des textes, entraînement pratique. Des compléments de cours, avec des applications sur machine, seront également apportés sur les thèmes suivants (au programme de l'option B):

1. Interpolation, approximation, intégration numérique 2. Équations différentielles ordinaires 3. Optimisation

Modalités de contrôle des connaissances : Une note sur 20 attribuée par contrôle continu. S4 : Mémoire – 3 ECTS Modalités de contrôle des connaissances : Cette UE donne lieu à une note sur 20 basée sur les présentations orales faites par les étudiants au cours du semestre.

COURS DU SEMESTRE 4 SPECIALISES POUR LES DEUX PARCOURS RECHERCHE

S4 : Espaces singuliers et leur topologie – M.TIBAR (32h cours, 8h TD) –8 ECTS Descriptif Ce cours spécialisé donne une introduction à l’étude géométrique et topologique des espaces singuliers. Une variété de problèmes de recherche seront introduite également. Plusieurs sujets de thèse de doctorat sont possibles à l’issue de ce cours et j’en proposerai au moins deux. La programme proposé permet d’aborder des thématiques de recherche avec des ramifications actuelles : hypersurfaces homaloïdales, topologie des applications polynomiales, invariants locaux des singularités, géométrie de Lipschitz des singularités etc, pour certains en lien avec la géométrie algébrique, la topologie symplectique ou la physique mathématique. On commencera si nécessaire avec un cours rapide des bases de la géométrie et topologie algébrique pour pouvoir passer à des méthodes spécifiques d’étude de la topologie des variétés algébriques. Ce cours utilise des résultats de base de plusieurs domaines des mathématiques (algèbre, analyse, géométrie). Il s’appuie en particulier sur les cours de Géométrie Différentielle et Topologie Algébrique du M1, et de Géométrie du M2. Plan du cours

Les bases: lemme de sélection des courbes, algèbre des germes, déformations, discriminant, bifurcations. Courbes algébriques planes.

Invariants algébriques et topologiques attachés aux singularités: algèbre de Milnor, fibration de Milnor. Géométrie de Lipschitz des singularités.

Homologie des espaces analytiques. La dualité en géométrie algébrique. Géométrie énumérative. Formules de Plücker.

La méthode des courbes polaires. Le degré polaire. Arrangements.

Monodromie des fonctions sur des espaces singuliers. Monodromie géométrique. Polynôme caractéristique de la monodromie.

La théorie de Morse stratifiée et la théorie de Picard-Lefschetz. Théorèmes de type de Zariski-Lefschetz et applications.

Références [AGV1] V. Arnold, A. Varchenko, S. Gusein-Zade, Singularités des applications différentiables, I, The classification of critical points, caustics and wave fronts. Monographs in Mathematics, 82. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985. [B] E. Brieskorn, H. Knörrer, Plane algebraic curves. Birkhäuser Verlag, Basel, 1986. [Di] A. Dimca, Singularities and topology of hypersurfaces, Universitext. Springer-Verlag, New York, 1992. [DP] Dimca, Alexandru; Papadima, Stefan Hypersurface complements, Milnor fibers and higher homotopy groups of arrangments. Ann. of Math. (2) 158 (2003), no. 2, 473-507.

[Eb] W. Ebeling, Functions of several complex variables and their singularities. Graduate Studies in Mathematics, 83. American Mathematical Society, Providence, RI, 2007. [F] G. Fischer, Plane algebraic curves, Student Mathematical Library, 15. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. [GM] M. Goresky, R. MacPherson, Stratified Morse theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 14. Springer- Verlag, Berlin, 1988. xiv+272 pp. [JeT] Z. Jelonek and M. Tibar Detecting Asymptotic Non-regular Values by Polar Curves, Int.Math. Res.Notices IMRN 2017, no. 3, 809-829. [JoT] Cezar Joiµa, Mihai Tibar, Bifurcation values of families of real curves, Proc.Royal Soc. Edinburgh Sect.A 147, 6 (2017), 1233-1242. [La] K. Lamotke, The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz, Topology 20 (1981), 15-51. [Mi] J. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces, Ann. of Math. Studies 61, Princeton 1968. [ST] D. Siersma, M. Tibar, Vanishing homology of projective hypersurfaces with 1-dimensional singularities Europ.J.Math. 3 (2017), 565-586. [Ti] M. Tibar, Complements of hypersurfaces, variation maps and minimal models of arrangements, dans: Bridging Algebra, Geometry and Topology. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 96, pp. 281-289, Springer Verlag 2014. [Va] V. A. Vassiliev, Applied Picard-Lefschetz theory. Mathematical Surveys and Monographs, 97. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002. Modalités de contrôle des connaissances Une épreuve écrite : un examen de 3 heures ; l'examen donne lieu à une note sur 20, E. Une note sur 20 attribuée par contrôle continu, CC. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S4 : Systèmes dynamiques linéaires – S. GRIVAUX (32h cours, 8h TD) – 8 ECTS Descriptif Un système dynamique linéaire est donné par l’action d’un opérateur linéaire borné T sur un espace de Banach réel ou complexe X. Le but de ce cours est de présenter les fondements de l’étude de ces systèmes, tant du point de vue topologique (étude du comportement des orbites – orbites denses, orbites périodiques. . .) que du point de vue mesurable (existence et étude des mesures invariantes, ergodicité. . .). Prérequis Cours Analyse fonctionnelle du S3, cours Mesure, intégration et probabilités et Analyse du S1. Plan du cours

Chapitre 1 : Hypercyclicité et chaos (définition et premiers exemples, Critère d’Hypercyclicité, opérateurs topologiquement faiblement mélangeants, critère de Godefroy–Shapiro pour l’hypercyclicité et le chaos) (6 h).

Chapitre 2 : Méthodes de Baire pour les systèmes Hilbertiens (espaces polonais, topologies sur B(H), propriétés spectrales et dynamiques typiques des opérateurs) (6 h).

Chapitre 3 : Notions de probabilités dans les espaces de Banach (séries aléatoires à valeurs scalaires et à valeurs Banachiques, mesures gaussiennes) (6 h).

Chapitre 4 : Théorie ergodique des systèmes linéaires (existence de mesures gaussiennes invariantes de support plein, ergodicité, application à l’étude de l’hypercyclicité fréquente) (8 h).

Chapitre 5 : Une introduction au Problème du sous-espace invariant (exemples classiques, théorème de Lomonosov, opérateurs de Read) (6 h).

Références

[1] F. Bayart, É. Matheron, Dynamics of linear operators, Cambridge Tracts in Mathematics, 179, Cambridge University Press, Cambridge, 2009. [2] K. -G. Grosse-Erdmann, A. Peris Manguillot, Linear chaos, Universitext, Springer, London, 2011. [3] H. Radjavi, P. Rosenthal, Invariant subspaces, Second edition, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2003. [4] I. Chalendar, J. R. Partington, Modern approaches to the invariant-subspace problem, Cambridge Tracts in Mathematics, 188, Cambridge University Press, Cambridge, 2011. Modalités de contrôle des connaissances Une épreuve écrite : un examen de 3 heures ; l'examen donne lieu à une note sur 20, E. Une note sur 20 attribuée par contrôle continu, CC. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S4 : Théorie analytique des nombres – B. MARTIN (32h cours, 8h TD) – 8 ECTS Descriptif Dans le cours d’algèbre du S3, les étudiants ont bénéficié d’une première initiation à la théorie analytique des nombres, domaine en grande effervescence depuis une quinzaine d’année du fait de nombreuses avancées spectaculaires sur des problèmes réputés difficiles. L’objectif de ce cours est de poursuivre cette incursion et d’établir quelques résultats importants de la théorie multiplicative des nombres, et de familiariser ainsi les étudiants avec quelques-unes des techniques les plus standards de la discipline. Prérequis Cours d’Algèbre au S3 du M2, cours d’Analyse complexe au S2 du M1 Plan du cours

Théorème des nombres premiers : Formes équivalentes du théorème des nombres premiers, inégalités de Tchebychev, formules de Mertens. Rappels sur les séries de Dirichlet et la fonction Gamma d’Euler. Formules de sommation, prolongement méromorphe et équation fonctionnelle de la fonction zêta, région sans zéros, théorème des nombres premiers avec terme d’erreur. Formule explicite pour la fonction de Tchebychev, hypothèse de Riemann. Théorème de Siegel-Walfisz (admis).

Équirépartition modulo 1, Sommes d’exponentielles : Suites équiréparties modulo 1, discrépance, critère de Weyl, inégalité d’Erdos-Turán (admise).Méthode de van der Corput, inégalité de Weyl-van der Corput. Application au problème des diviseurs.

Approximation diophantienne : Théorème d’approximation de Dirichlet. Développement en fraction continue d’un nombreréel. Théorème de Lagrange sur les nombres quadratiques. Type d’un nombre irrationnel. Application à la majoration de certaines sommes d’exponentielles et à la régularité locale des séries de Hecke.

Sommes d’exponentielles sur les nombres premiers : Identité de Vaughan, décomposition en sommes de type I et II et majoration de Vaughan-Vinogradov pour

. Méthode du cercle et application au problème de Goldbach ternaire : théorème de Vinogradov. Théorème de Mauduit-Rivat sur la somme des chiffres des nombres premiers en base 2.

Références [1] H. Davenport, Multiplicative number theory, Graduate Texts in Mathematics vol. 74, Springer-Verlag, New York, éd. third, 2000. revised and with a preface by Hugh L. Montgomery. [2] S. Graham et G. Kolesnik, Van der Corput’s Method of Exponential Sums, London Mathematical Society Lecture Note Series vol. 126, Cambridge University Press, 1991. [3] G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Science Publications, éd. fifth, 1979. [4] L. Kuipers et H. Niederreiter, Uniform distribution of sequences, Wiley- Interscience [John Wiley & Sons], New York, 1974. Pure and Applied Mathematics. Modalités de contrôle des connaissances Une épreuve écrite : un examen de 3 heures ; l'examen donne lieu à une note sur 20, E. Une note sur 20 attribuée par contrôle continu, CC. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S4 : Condensats de Bose-Einstein : théorie et simulation numérique – G. DUJARDIN et I. LACROIX-VIOLET (32h cours, 8h TD) – 8 ECTS Descriptif On propose dans ce cours une introduction à la modélisation et à la simulation numérique des condensats de Bose-Einstein qui traduisent le comportement superfluide d'origine quantique d'une population de bosons en interaction à très basse température dans un potentiel électrique confinant. D'un point de vue théorique, on introduit les notions de base permettant d'arriver à la formulation de l'équation de Gross-Pitaevskii. On discute en fonction de la nature des interactions des propriétés des points critiques de la fonctionnelle d'énergie associée. On fait en particulier une étude qualitative théorique détaillée du minimiseur de l'énergie. On présente également quelques aspects de la dynamique de l'équation de Gross-Pitaevsksii. S'il reste du temps, on pourra parler également de la mise en rotation des condensats et de la minimisation de l'énergie dans le repère tournant (en 2D). D'un point de vue numérique, on introduit diverses méthodes de discrétisation afin d'obtenir des solutions approchées des points critiques de l'énergie de l'équation de Gross-Pitaevskii (méthode de tir, méthode du « temps imaginaire »). On présente également des méthodes de résolution numérique en temps de l'équation de Gross-Pitaevskii (méthodes de décomposition). Enfin, s'il reste du temps, on dira quelques mots des méthodes existantes pour le calcul des condensats en rotation (en 2D).

Prérequis Analyse (S1) et, soit analyse fonctionnelle (S3), soit introduction aux EDP non-linéaires (S3) Prérequis optionnel : EDP et analyse numérique (S2)

Références [1] A. Aftalion, Vortices in Bose-Einstein condensates, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, Vol 67 (2006), Springer. [2] E. Hairer, G. Wanner and C. Lubich, Geometric Numerical Integration, Springer Series in Computational Mathematics, Vol 31 (2006), Springer. Modalités de contrôle des connaissances Une épreuve écrite : un examen de 3 heures ; l'examen donne lieu à une note sur 20, E. Une note sur 20 attribuée par contrôle continu, CC. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S4 : Méthodes mathématiques de l’information quantique (S. DE BIEVRE) – (32h cours, 8h TD) – 8 ECTS Descriptif Un ordinateur exploitant subtilement les principes de base de la mécanique quantique pourra être spectaculairement plus efficace qu'un ordinateur classique, comme l'ont démontré théoriquement Shor (1994) et Grover (1996), en proposant des algorithmes quantiques capables de factoriser un très grand nombre premier très rapidement ou de repérer très rapidement une donnée dans une très grande liste non-organisée. Ces résultats ont donné lieu à une nouvelle science, à la jonction de l'informatique, de la théorie de l'information et de la mécanique quantique: l'information quantique, avec ces cousins la cryptographie quantique et le calcul quantique. Ses promesses, non totalement tenues pour l'instant, ont également attiré les investisseurs privés comme publiques mondialement, vers la technologie quantique. Le but de ce cours est de fournir une introduction à quelques aspects de l'information quantique, en présentant notamment ses outils mathématiques. De ce point de vue, il s'agira d'un cours d'analyse, combinant analyse spectrale, analyse fonctionnelle, théorie des opérateurs et des algèbres d'opérateurs, ainsi que les probabilités. Prérequis Les connaissances acquises en Master 1 dans ces disciplines suffiront comme prérequis et le cours s'inscrit aussi bien dans un parcours orienté vers les mathématiques pures que appliquées. Plan du cours

Eléments de la mécanique quantique (8h) Espace des états = espace de Hilbert Observables = opérateurs auto-adjoints Observables (in-)compatibles = opérateurs (ne) commutant (pas) Principe d'incertitude = transformée de Fourier Etats = opérateurs à trace positifs Mélange statistique, états purs et mixtes = combinaison convexe, points extrémaux Systèmes composites = produits tensoriels Dynamique = flot unitaire = équation de Schrödinger Symétries = représentation unitaire de groupe Mesure physique = projection

Intrication (8h) Etats séparables et intriqués Le théorème “no cloning” (Zurek, Wootters, Dieks 1982) La décomposition de Schmidt La purification = la représentation GNS Mesures d'intrication bi-partites, entropies de von Neumann

Opérations quantiques (8h) Application complètement positives sur un espace de Hilbert Equation maîtresse quantique, générateur de Lindblad Décohérence et approche à équilibre

Portes quantiques et algorithmes quantiques (8h) Portes quantiques binaires, générales, universelles, circuits quantiques, algorithmes quantiques: Deutsch, Schor, Grover

Références [CTLD97] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Laloe, and Franck Diu. Mécanique Quantique I. Hermann, Paris, 1997. [GMS16] Ved Prakash Gupta, Prabha Mandayam, V.S. Sunder. The Functional Analysis of Quantum Information Theory. Springer, LNP, 2015, https://arxiv.org/pdf/1410.7188.pdf [Ha18] Masahito Hayashi. Quantum information theory: mathematical foundation Springer, 2017 [RS75] Michael Reed and Barry Simon. Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1975. [RS78] Michael Reed and Barry Simon. Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1978. [RS80] Michael Reed and Barry Simon. Methods of modern mathematical physics. I. Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, second edition, 1980. Functional analysis. [S19] Wolfgang Scherer Mathematics of quantum computing. Springer,2019 Modalités de contrôle des connaissances Une épreuve écrite : un examen de 3 heures ; l'examen donne lieu à une note sur 20, E. Une note sur 20 attribuée par contrôle continu, CC. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S4 : Introduction à la théorie des processus ponctuels de Gibbs – D. DEREUDRE (32h cours, 8h TD) – 8 ECTS Descriptif Les processus ponctuels de Gibbs constituent une large classe de processus ponctuels avec interaction entre les points. L’interaction peut être attractive, répulsive ou un mélange des deux également. L’interaction nulle correspond au processus ponctuel de Poisson qui est la façon naturelle de jeter indépendamment des points dans un espace. Ces processus ont de nombreuses applications en science des données, physique statistique, astronomie afin de modéliser ou représenter des structures aléatoires plus ou moins ordonnées. Nous analyserons ces modèles en détails d’un point de vue probabiliste et statistique. Prérequis La théorie de base des probabilités. Un cours élémentaire en théorie des processus stochastiques. Aucune connaissance en statistiques n’est requise. Plan du cours

Théorie générale des processus ponctuels

Le processus ponctuel de Poisson spatial

Les processus de Gibbs en volume fini

Les processus de Gibbs en volume infini

Unicité/non-unicité. Transition de Phase

Etude statistique des processus de Gibbs.

Le cours s’appuiera fortement sur le poly [2] qui est un manuscrit que j’ai écrit suite à un cours donné lors d’une école de recherche en 2016. Il est disponible sur ma page Web. Références [1] D.J. Daley and D. Vere-Jones, An Introduction to the Theory of point Processes (1988), Wiley. [2] D. Dereudre, Introduction to the theory of Gibbs point processes. arXiv : 1701.08105. To appear in a volume of the Lecture Notes in Mathematics, CEMPI subseries. Modalités de contrôle des connaissances Une épreuve écrite : un examen de 3 heures ; l'examen donne lieu à une note sur 20, E. Une note sur 20 attribuée par contrôle continu, CC. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).

S4 : Concentration de la mesure et application – P. HEINRICH et N. WICKER (32h cours, 8h TD) – 8 ECTS Descriptif Ce cours présente quelques approches permettant d’obtenir ces outils puissants que sont les inégalités de concentration. Dans un second temps, des applications sont proposées dans quelques domaines sélectionnés : compressed sensing, réduction de dimension, statistical learning. Prérequis S1 Mesure, intégration et probabilités ; S2 Probabilités et statistiques. Plan du cours

Inégalités de concentration : comment les obtenir ? Les approches et résultats ([3, 4, 5, 6])

1) Markov (exponentiel) et somme de variables aléatoires indépendantes : inégalités de Hoeffding, Bennett, Bernstein 2) Méthodes de martingales : inégalités d’Azuma, Mc Diarmid 3) Isopérimétrie gaussienne : inégalité de Borell-Sudakov-Tsirelson 4) Méthodes d’entropie : argument de Herbst, tensorisation, mesure produit 5) Méthodes de transport : inégalité de distance convexe, inégalité de transport gaussien.

Applications sélectionnées ([1, 2, 5, 7]) : 1) Réduction de dimension : lemme de Johnson-Lindenstrauss 2) Estimation de covariance et complétion de matrices 3) Récupération d’un signal “sparse” 4) Complexité de Rademacher

Références [1] Amini M-R, Apprentissage machine, Eyrolles, 2014. [2] Bartlett p., Lectures notes, https://people.eecs.berkeley.edu/˜bartlett/courses/ 281b-sp08/ [3] Boucheron S., Lugosi G., Massart P., Concentration inequalities, Oxford, 2013. [4] Ledoux M. The concentration of measure phenomenon, AMS, 2001. [5] Tropp J.A., An introduction to matrix concentration inequlities, https://arxiv.org/pdf/1501.01571.pdf [6] Vershynin R., High-dimensional probability, 2018. https://www.math.uci.edu/˜rvershyn/ [7] Vershynin R., Four lectures on probabilistic methods for data science, https://arxiv.org/abs/1612.06661. Modalités de contrôle des connaissances Une épreuve écrite : un examen de 3 heures ; l'examen donne lieu à une note sur 20, E. Une note sur 20 attribuée par contrôle continu, CC. La note finale se calcule suivant la formule max(E, (2CC + 3 E)/5).