Master 2 : ScTICchemori/Temp/Ines/Predictive/Cours_Com_Predictive… · Plusieurs logiciels...

2015 / 2016

Ahmed CHEMORILaboratoire d’Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier

LIRMM, Université Montpellier 2 - CNRS161, rue Ada 34095 Montpellier, France

Email : [email protected] : http://www.lirmm.fr/~chemori/

Master 2 : ScTICCours: Systèmes robotiques pour l’assistance à la mobilité et à la rééducation

Séance 3

UPEC – Master 2 ScTIC – 2015/2016 2

1. Introduction : Contexte et origine2. Bref historique sur la commande prédictive3. Principe de base

Idée de base Algorithme de commande Schéma de principe Effet d’anticipation Paramètres et contraintes Classification des approches prédictives

4. Avantages et inconvénients5. Exemples d’applications6. Exemple illustratif 1 : Commande GPC (système mécanique)7. Exemple illustratif 2 : Commande NMPC (système mécatronique)8. Références bibliographiques

A. Chemori (Systèmes robotiques pour l’assistance à la mobilité)

Plan du cours

A. Chemori (Systèmes robotiques pour l’assistance à la mobilité) UPEC – Master 2 ScTIC – 2015/2016 3

Introduction à la commande prédictiveIntroduction


Contexte et origine

Plusieurs logiciels commerciaux disponibles : DMC, IDCOM, PFC, PCT, etc

Introduction à la commande prédictiveIntroduction

L'idée la commande prédictive se trouve déjà entre les lignes de l'ouvrage fondateur de la commande optimale de Bellman en 1957

L‘étude de la stabilité d'une telle loi de commande en boucle fermée remonte quand à elle à Kalman en 1960 qui note que ‘l'optimalité n'implique pas la stabilité’

Cette idée ne sera mise en ouvre industriellement qu'avec Richalet en 1976

Jacques Richalet (né le 13 Juillet 1936 à VERSAILLES)

Elle a été initialement appliquée aux systèmes linéaires et lents (réacteurs chimiques,industrie pétrochimie, etc

Plusieurs améliorations dans les années 90 : telles que l’étude de la stabilité et larobustesse

Période de maturité au début des années 2000 : telle que la commande des systèmes nonlinéaires, systèmes hybrides, rapides, solutions explicites, …


Introduction à la commande prédictiveHistorique


Les a

lgorit

hmes

MPC

linéa

ires

DMC (Dynamic Matrix Control)– Utilise la réponse indicielle du système– Processus stable et sans intégrateur

PFC (Predictive Functional Control)– Utilise un modèle d'état du système– Peut s'appliquer aux systèmes non linéaires

GPC (Generalized Predictive Control)– Utilise un modèle CARMA– Le plus répandu

SMOC Shell Multivariable Optimizing Control

Introduction à la commande prédictive

Bref historique sur la commande prédictive

Historique


Introduction à la commande prédictivePrincipe de base


Idée de base

C’est une commande basée modèle

Elle est caractérisée par l’effet anticipatif

Objectif de commande : revient à résoudre un problème d’optimisation

Utilisation du concept de l’horizon fuyant

Prise en compte explicite des contraintes (entrées, sorties, états, etc)

Régulation / poursuite de trajectoires


La philosophie de la commande prédictive(MPC pour Model Predictive Control) serésume à utiliser un modèle pour prédire lecomportement du système et choisir la décisionla meilleure au sens d'un certain coût tout enrespectant les contraintes".

Principe de base


Algorithme de commande

Prédire l’évolution du système

À l’instant

Résolution d’un problème d’optimisation

Calcul de la séquence de commande

Application du premier élément

Passé Futur

Sortie prédite

Horizon de prédiction

Horizon de commande

Consigne

Erreur de position

Commandes optimales





À l’instant




ConsignePassé Futur


Horizon de commande

Sortie prédite

Erreur de position

Commandes optimales





À l’instant




Passé Futur


Horizon de commande

Consigne

Sortie prédite

Erreur de position

Commandes optimales



Résumé de l’algorithme de commande

Utilisation explicite d'un modèle numérique du système permettant de prédire son comportement future Résolution d’un problème d’optimisation en BO minimisant une fonction coût sur un horizon fini pour le calcul d'une séquence future de commandesApplication du premier échantillon de la séquence de commande calculée Réitérer cette procédure à la période d’échantillonnage suivante selon la stratégie d’horizon fuyant



Schéma de principe

Modèle

Optimisation

Contraintes

Système

Fonction coût

Contrôleur prédictif

Trajectoirede référence

Entrées et sorties antérieures

Entrées futuresErreurs

futures

Consigne



Effet d’anticipation

Effet anticipatif par l’utilisation de la trajectoire de référence dans le future

Stratégie de commande bien adaptée aux problèmes de poursuite de trajectoires,pour lesquels la trajectoire de référence est parfaitement connue à l’avance etplanifiéePrise en compte naturelle des contraintes


Sans anticipationPID

Avec anticipationMPC

Principe de base


Paramètres et contraintes

Ses paramètres de réglage :

Les horizons (de prédiction et de commande) Les contraintes terminales La fonction coût (généralement quadratique) Les pondérations dans la fonction coût Solveur utilisé pour calculer la solution optimale

Les contraintes les plus utilisés :

Contraintes sur l’amplitude de la commande Contraintes sur l’incrément de la commande Contraintes sur la sortie / sur l’état Contraintes terminales



Classification des approches prédictives

Linéaire Non linéaire

Approche classique (MPC)[Clarke 1987]

Approche basée sur les points de coïncidence (MPC-CP)[Maciejowski 2001]

Approche non linéaire (NMPC)[AllgÖwer 1999]


Catégories de la commande prédictive


Introduction à la commande prédictiveAvantages et inconvénients


Avantages et inconvénients de la commande prédictive


Simplicité du concept

Réglage intuitif et aisé

Adaptée à une large variété de systèmes (linéaires, non linéaires, instables, à NMP, variant, etc)

Prise en compte implicite des contraintesRobustesse par rapport aux incertitudes et perturbationsAnticipation amélioration du suiviNumériquement stable

Modélisation précise : Difficulté scientifique

Temps de calcul : Difficulté technique

Avantages et inconvénients


Introduction à la commande prédictiveApplications


Introduction à la commande prédictiveApplications

Exemples d’applications

Raffinerie de pétrole Agroalimentaire Métallurgie

Aéronautique Industrie chimique Mécatronique

. . .


Exemple illustratif 1

Introduction à la commande prédictiveExemple illustratif 1


Principle of the gyrostabilizer

The Schilovski Gyrocar (1914)

The effect of a torque (e.g. gravity / excitation moments)

Causes a variation in the spin axis

Reaction of a spinning wheel

Output torque orthogonal to the input torque and spin axes The phenomenon provides an effective means of motion control and balance Gyro’s flywheel must be in motion to resist gravityTwo early examples of application :

Single gimbal active stabilizer unitWith 40 inch diameter & 4.5 inch thick Flywheel operated at 2000-3000 rpm

Twin type active stabilizer system (3000 rpm) 40 feet long and weighted 22 tons Developed primary for military applications



Examples of some applications

[Townsend et al 2007]

Gyrostabilizer

Applications

Cars

AerospaceMarine systems

Underwater vehicles

Academic

IKURA AUV

ECP 750 Two-wheel gyro car

Monorails

Robotics



Control PC

Power supply (12V)

Speed variator

Inclinometer

Pendulum body

Inertia wheel Input/output card

Mechanical part Electric/electronic part

Micro strain FAS-GMaxon EC-Powermax 30 (DC Brushless)

encoder

Description of the experimental testbed



Inclinometer

Pendulum body

Inertia wheel

Active articulation

Passive articulation

Frame

Mechanical part of the system : inertia wheel inverted pendulum

Description of the mechanical part



Functioning principle

G2

G1

O

A

B

Equivalent mechanical modelInitial mechanical model

G2

G1

O

Rotation

The actuator is controlled to produce a torque on the inertia wheel Torque can produce an acceleration of the rotating wheelThanks to the dynamic coupling, a torque acting on the passive joint is generated This passive joint can be controlled through the acceleration of the inertia wheel



Three moments are acting on the passive joint :

Moment relative to the force :

Moment relative to the force :

Moment du to the gravity force :

One moment (torque of actuator) is acting on the active joint (inertia wheel)

G2

G1

O

A

B

Functioning principle

O

Rotation 1 Rotation 2



Generalized coordinates :

Propose to use the formalism of Lagrange :

The application of Lagrange principle gives :

Dynamic modeling


Of the form :


O

Control problem formulation

O

Assume the system in some initial condition

Find a control input u to bring to and maintain it around this point

Proposed solutions : State feedback control Optimal control Sliding mode control Generalized Predictive Control (GPC) Linear discrete dynamics



Linearization of the dynamics

Recall the nonlinear dynamics :

Consider the state vector : and

The nonlinear dynamics can be written in nonlinear state space as :

The unstable equilibrium of the system :

The linearization of the dynamics around the unstable equilibrium gives :

With :



Summary of geometric and dynamic parameters of the system

Discritization of the dynamics

Recall the linearized dynamics :

The discretization of the dynamics gives :



Proposed control approach : GPC

Consider the case of the GPC approach with penalty on the end-state

Recall the discrete dynamics of the system :

Consider the extended state vector :

The variation on the control input :

The dynamics can be written as :

with :

This last dynamics will be used in the controller design




Consider the following optimization function :

From the system model one can have the state predictions :

The prediction of future outputs be :




In a matrix form we have :

The control input is computed as the minimum of :

with

The optimal solution is :



Scenario 1 : Stabilization in the nominal case



Scenario 2 : Case with persistent disturbance



Scenario 3 : Case with punctual disturbance



Scenario 4 : Combination of the two disturbances

0 5 10 15 20 25 30-5

0

5

10

Temps[s]

θ 1[r

ad]

La position angulaire du pendule inversé

0 5 10 15 20 25 30-6

-4

-2

0

2

4

6

temps[s]

d θ1[r

ad/s

]

La vitesse angulaire du pendule inversé

0 5 10 15 20 25 30-500

0

500

1000

1500

2000

Temps[s]

d θ2[r

ad/s

]

La vitesse angulaire du volant d'inertie

0 5 10 15 20 25 30-5

0

5

10

Temps[s]

U[N

m]

Le couple du volant d'inertie



Exemple illustratif 2



Qu’est ce qu’un disque dur ?


Les mémoires Stockage temporaireVolatiles (RAM: Random Acess Memory)Capacité limitéeAccès en lecture seule (ROM: Read OnlyMemory)Accès rapide aux données

Le disque durStockage permanent Non volatileCapacité énormeAccès en lecture et écritureTemps d’accès plus lent


Un peu d’historique

1956

RAMAC 305

Aujourd’hui 2005

ST-506 Enterprise Capacity 3.5

• 50 disques• Diamètre: 24”=61 cm • Capacité: 5Mo• Vitesse: 1200 tr/mn• Débit: 8,8 ko/s

• Technologie Seagate• Diamètre: 5,25”=13 cm• Capacité: 6,38 Mo• Vitesse: 3600 tr/mn• Débit: 5 Mo/s

• Technologie Seagate• Le plus rapide• Diamètre: 3,5”=9 cm• Capacité: 6 To• Vitesse: 7200 tr/mn

1979

Toshiba 0.85 ’’

• Le plus petit • Taille d ‘un timbre postal• Diamètre: 0,85”=2,15 cm • Capacité: 4 Go (2005)

8 Go (2008)


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/IBM_350_RAMAC.jpg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/IBM_350_RAMAC.jpg


Densité de stockageVitesse de rotationTaux de transfert RigiditéFiabilité

Facteur de formeTemps d’accèsFrottements ChaleurPrix

Découvrons l’intérieur d’un disque dur

Un peu d’historique



A l’intérieur d’un disque dur ?

Un accès rapide aux pistes

Une haute précision de lecture/ écriture



1 2

12

Position actuelle

Position désiréeRecherche de pistes(Track seeking) Commande bornée

à effort réduit Transition en un temps

minimal

Suivi de pistes(Track following) Maintient de la tête au centre

de la piste Minimisation de l’erreur

de positionnement

Eventuelles difficultés

Problèmes de commande



Résonnances mécaniques

Bruit de mesuretechnique et/ou

capteur de mesure

Vibrations et chocsexternes

Effets d’hystérésis, frottements

Extensions et contractions du câble

des données

Non linéarités Incertitudes Paramétriques

mouvement de la tête

Problèmes de commande



Carte électronique

Moteur du bras (VCM)

Bras mobile

Plateaux

Moteur électrique

Tête de lecture/écriture

Piste

secteur

En aluminium, en céramique ou en verre

Recouverts d’une couche magnétique

Solidaires d’un axe, monté sur un roulement à bille ou à l’huile

Tournent à une vitesse constante entre 3600 tr/mn et 25000 tr/mn

Plateaux

Porte la tête de lecture / écriture (une tête par face du plateau)

Déplace la tête sur toute la surface du disque

Composé de deux parties, entre lesquelles le disque tourne

Bras mobile

Composée d’un électro-aimant qui survole la surface du disque

Repose sur un coussin d’air créé par la rotation des plateaux

Distance tête-disque est de l’ordre de 10 nanomètres

Ne touche jamais la surface du disque

Tête de lecture/écriture

Principaux composants



Le bras se déplace selon la loi de Lorentz

Le sens de la force dépend du sens du courantLa force est proportionnelle au courant

Aimant permanent Force Déplacement de la tête

Comment s’orientent les têtes



Les informations sont stockées sur des pistes sous forme de "0" et de "1".

Pistes

N SS N NN SS

0 0 1

SN

1

Enregistrement longitudinal

Plateau

N SS N“0”

N S N S

ouN SS NN SS N

“0”

N S N SN S N S

ou

NN SS

S SN N“1”ou

NN SS NN SS

S SN NS SN N“1”ou

Transition S-N ou N-S Transition N-N ou S-S

Pas de changement de magnétisation Changement de magnétisation

Comment écrire les données



N SS N NN SSSN

0 0 11

Piste magnétique

BB BB

Lignes de champ magnétique

Tête de lecture =

Détecteur de champ magnétique

Lecture des données par détection du champ magnétique de fuite.

t1t2t4 t 3

Comment lire les données



Hautes fréquencesBasses fréquences

Frottements non linéaires Extension et contraction du câblede données Pivotement du moteur du bras

Modes résonnants Flexibilité de la structure Vibrations Flux d’air

Modélisation dynamique [Chen 2006]



Gain de mesure de position

Coefficient de conversion courant-force

Masse d’inertie du système

Modèle nominal

Fonction de transfert

Position de la tête

Vitesse de la tête

Commande d’entrée

Pulsation de résonnance

Coefficient d’amortissement

Région hautes fréquences [Chen 2006]



Modèle dynamique Représentation d’état du modèle nominal

Modèle étudié

00

Modèle discrétisé

Commande prédictive linéaire En hautes fréquences



Commande prédictive linéaire En hautes fréquences

Modes résonnantsModèle nominal

Contrôleur prédictif linéaire

G

Filtre coupe-bande

Modèle

Optimisation

Contraintes Fonction coût

Trajectoirede référence

Entrées et sorties antérieures

Entrées futures

Erreurs futures



En se basant sur le modèle linéaire discrétisé

Modèle basé sur le sur les incréments de la commande et de l’état

Application de la MPC linéaire [Wang 1994]



Frottements non linéaires

Modèle non linéaire

Modèle de LuGre[DeWit 1995]

Raideur des déformations

Coefficient d’amortissement

Coefficient de frottement visqueux

Frottement de Coulomb

Frottement statique

Vitesse de Stribeck

Région basses fréquences [Chen 2006]



NMPC

Schéma de commande

Le modèle non linéaire étudié Représentation d’état discrète

Application de l’approche non linéaire NMPC(Basses fréquences)



PID NMPC

Scénario 1 : Cas nominal avec bruitEn

trée

de c

omm

ande

(v)

Posi

tion

de so

rtie

()

0 0.005 0.01 0.015 0.02-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps (s)

Trajectoire désiréeSortie mesurée

0 0.005 0.01 0.015 0.02-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Temps (s)

0 0.005 0.01 0.015 0.02-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps (s)

Trajectoire désirée Sortie mesurée

0 0.005 0.01 0.015 0.02-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Temps (s)



Scénario 2 : Rejet de perturbations externes

0 2 4 6 8 10

-0.5

0

0.5

1

Temps (ms)

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps(ms)


0 2 4 6 8 10

-0.5

0

0.5

1

Temps (ms)

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps (ms)


PID NMPC

Entr

éede

com

man

de (v

)Po

sitio

n de

sort

ie (

) Introduction à la commande prédictiveExemple illustratif 2


Scénario 3: 40% d’incertitudes paramétriques

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps (ms)

Trajectoire désiréeCas nominal 40% d'erreur

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-0.5

0

0.5

1

Temps (ms)

Cas nominal40% d'erreur

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-0.5

0

0.5

1

Temps (ms)

Cas nominal 40% d'erreur

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps (ms)

Trajectoire désiréeCas nominal 40% d'erreur

PID NMPC

Entr

éede

com

man

de (v

)Po

sitio

n de

sort

ie (

) Introduction à la commande prédictiveExemple illustratif 2


Etude comparative entre PID et NMPC

Nominal avec bruit PID NMPCTemps de réponse (ms)

Dépassement maximal

Énergie fournie (v)

1,7 0, 333% 0,4%

Temps de réponse (ms)

Dépassement maximal

Rejet de perturbations

1,11 0,180,75 0,25

Incertitudes paramétriques (40%)

Temps de réponse (ms) Dépassement maximal

Énergie fournie (v)

Temps de recouvrement (s)

12% négligeable

1,7233% 6%

0,26

5,50 5,56

32,09



Références bibliographiques


URL : www.lirmm.fr/~chemori/

Email: [email protected]

CNRS researcher LIRMM – UMR CNRS/UM2 N° 5506161, Rue Ada 34095, Montpellier

Tel : +33 (0)4.67.41.85.62Fax : +33 (0)4.67.41.85.00

Coordonnées

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