MASTER 1ere ANNEE - EXAMENPhysique des satellites et du positionnement

Gravity Probe A

29 juin 2015 - duree de l’epreuve : trois heures

L’usage des calculatrices est autorise. Les documents distribues en cours sont autorises, ainsi quevos notes manuscrites. Quand elles ne sont pas definies dans le texte, les notations utilisees dans ceprobleme sont les meme que dans le cours. Les differentes parties du probleme sont independantes,et pourront etre traitees dans l’ordre voulu. Les reponses devront etre soigneusement redigees, no-tamment en definissant precisement les notations utilisees.

Le 18 juin 1976, une fusee de type Scout D a ete lancee des Iles Wallops en Virginie pouratteindre une altitude de 10 000 km. Cette fusee transportait une sonde de 100 kg stabilisee enrotation comportant notamment une horloge maser a hydrogene. L’objectif de l’experience etaitde mesurer directement l’effet du potentiel gravitationnel sur la frequence de l’horloge a bordpar comparaison avec une horloge maser au sol. Le temps de vol fut suffisant pour permettre al’experience de durer un peu moins de 2 heures. Cette experience menee par R. F. C. Vessot et M.W. Levine fut appelee : Gravity Probe A (GP-A).

Les donnees numeriques du probleme sont :

RT = 6378 km

ΩT = 7, 292 · 10−5 rad.s−1

Gm = 3, 985 · 1014 m3.s−2

c = 299792458 m.s−1

νH = 1420405751, 770 Hz (frequence d’horloge du maser a hydrogene)

A - Maser a hydrogene

Pour les questions relevant de cette partie A, les resultats de cours en physique quantiquepeuvent etre utilises sans demonstration pour justifier les reponses, a condition de definir soigneu-sement les quantites utilisees.

1. Dans une horloge maser a hydrogene, la transition d’horloge s’effectue entre deux niveauxhyperfins de l’hydrogene 12 S1/2 F = 1 et 12 S1/2 F = 0. Donner les valeurs des nombresquantiques associes a ces niveaux ainsi que leur degre de degenerescence.

Solution: On a→J +

→I=→F et donc |j − i| ≤ F ≤ |j + i|

D’autre part : −F ≤ mF ≤ +F par pas de un.

Etat 12S1/2 F = 1 : n = 1 (etats internes) ; s = 1/2 ; ` = 0 (moment cinetique orbital) ;j = 1/2 (moment cinetique electronique total) ; F = 1 (moment cinetique total) ; i = 1/2(moment cinetique nucleaire)mF = −1, 0, 1 ; l’ordre de degenerescence est 3.Etat 12 S1/2 F = 0 : n = 1 ; s = 1/2 ; ` = 0 ; j = 1/2 ; F = 0 ; i = 1/2mF = 0 ; le niveau n’est pas degenere.

2. On etudie la transition entre les 2 etats des atomes F = 1 mF = 0 et F = 0 mF = 0 associesa la transition de l’horloge que l’on designe par |f〉 et |e〉 respectivement. Cette transition estinduite par un champ magnetique de direction constante et d’amplitude B cosωt, avec B et ωconstantes.

L’hamiltonien total peut s’ecrire sous la forme

Htot = H0 +H(t)

avec H0|f〉 = hωf |f〉H0|e〉 = hωe|e〉H(t)|f〉 = hΩ cosωt|e〉H(t)|e〉 = hΩ cosωt|f〉ou ωf , ωe et Ω sont des constantes.

On note l’etat de l’atome au temps t par

|ψ(t)〉 = a(t)|f〉+ b(t)|e〉

Ecrire l’equation d’evolution de |ψ(t)〉.

Solution: Htot|ψ(t)〉 = i ∂∂t |ψ(t)〉

3. Determiner les equations differentielles qui gouvernent l’evolution en temps des coefficients a(t)et b(t). En definissant de maniere appropriee des fonctions α(t) et β(t) telles que |α|2 = |a|2 et|β|2 = |b|2, et en negligeant des termes oscillant rapidement, demontrer que :

α =iΩ

2βeiωdt

β =iΩ

2αe−iωdt

En posant : ωd = ω − ω0 et ω0 = ωe − ωf

Solution: Si on pose : a(t) = α(t)e−iωf t

b(t) = β(t)e−iωet

On obtient les equations demandees.

4. Si que l’on impose la condition initiale : a(0) = 1 et b(0) = 0, la solution de l’equation precedentedonne :

b(t) = −i Ω

Ω′sin

Ω′t

2e−iωdt/2e−iwet

avec Ω′ =√

Ω2 + ω2d

Quelle est la probabilite de transition de l’atome vers l’etat |e〉 au temps t ?

Solution: P (t) = |b(t)|2 =Ω2

Ω′2sin2 Ω′t

2

5. Qu’est-ce que la frequence de Rabi du systeme ? De quel(s) parametre(s) depend-elle ? Quel estle phenomene associe a cette frequence ?

Solution: La frequence de Rabi du systeme est la frequence d’oscillation des atomes entreles deux etats lorsque le systeme est en interaction avec un signal a la resonance. Elle estproportionnelle a l’amplitude du champ magnetique B.

6. Decrire brievement le role de l’oscillateur dans le fonctionnement d’une horloge atomique.

Solution: L’oscillateur fait le lien entre le compteur (qui permet de lire la valeur de lafrequence) et les atomes de l’horloge. L’oscillateur emet un signal dont la valeur est prochede celle de l’horloge. Ce signal electromagnetique est envoye sur les atomes. Si le signalest a la frequence atomique, il y aura resonance avec les niveaux atomiques et la reponsedes atomes sera forte. Une boucle de retroaction permet alors de detecter le maximumde resonance pour fixer la frequence de l’oscillateur a celle de l’horloge. La frequence del’oscillateur est alors mesuree par un compteur.

7. Le diagramme ci-dessous donne les stabilites de differents types d’horloges. A l’epoque del’experience, les horloges a atomes froids n’existaient pas.

Justifier le choix de l’horloge pour l’experience.

Solution: Le maser a hydrogene est l’horloge la plus performante en terme de stabilitepour le temps de mesure associe a l’experience.

B - Effets de l’atmosphere

La trajectoire de Gravity Probe A a culmine a 10 000 km environ. Les signaux de communicationavec le sol ont donc traverses une partie de l’atmosphere terrestre. Le schema ci-dessous donne lescaracteristiques typiques de l’atmosphere terrestre. Pour les communications, l’experience GravityProbe A utilisait deux frequences differentes : pour les signaux partant du sol vers la sonde lafrequence etait f1 = 2117, 69 MHz et pour les signaux allant de la sonde vers le sol, la frequencevalait f2 = 2299, 75 Mhz.

1. Quels sont les effets de l’atmosphere terrestre sur les signeux de communication ? Quels sont lesparametres physiques necessaires pour evaluer ces effets ? On demande une reponse qualitative.

Solution: La partie ionospherique de l’atmosphere va induire un retard sur les signaux decommunication du a l’interaction entre le plasma ionospherique et les signaux composesd’ondes electromagnetiques. Cet effet depend de la frequence du signal et de la densiteelectronique de l’atmosphere au moment de la traversee. La partie neutre de l’atmosphere(troposphere) retarde le signal par interaction entre l’onde electromagnetique et le milieudielectrique atmospherique. L’amplitude de l’effet depend de l’etat thermodynamique del’atmosphere (T et P) ainsi que de la quantite d’eau (taux d’humidite).

2. On s’interesse a present aux effets de la partie ionospherique sur les signaux de communication.Rappeler les conditions pour qu’un signal electromagnetique puisse traverser un plasma. Lademonstration detaillee n’est pas demandee, mais une justification rapide pourra etre donnee.

Solution: Un signal electromagnetique peut traverser un plasma si sa frequence est superieurea la frequence de plasma (ou de Langmuir). Cette limite est imposee par la relation de dis-persion des ondes dans un milieu ionise, issue des equations de Maxwell. Cette relation

de dispersion n’a de sens (ou de solution) que si la pulsation du signal verifie l’inegalite :

ω > ωp =√

n0e2

ε0meou n0 est la densite d’electrons, e la charge d’un electron en valeur

absolue, me la masse de l’electron.

3. Exprimer le retard ∆t induit sur un signal de frequence f par l’ionosphere lorsqu’elle a unedensite electronique n0. On appelle L la distance geometrique parcourrue par le signal. Si laformule comporte un nombre, preciser les unites de cette valeur.

Solution:

∆t = 40, 3n0f2

Lc

L’unite de ”40,3” est m3.s−2

4. Si l’on ne prend en compte que les effets de l’ionosphere, determiner la difference de tempsde parcours pour des signaux simultanes allant du sol vers la sonde et reciproquement. Quelinteret y a-t-il a envoyer des signaux de frequences differentes entre pour la communicationsol-sonde et sonde-sol ?

Solution: Entre les communications aller (sonde-sol) et retour (sol-sonde), la difference de

temps de propagation est ∆tretour −∆taller = 40, 3n0

(1

f2retour− 1

f2aller

)Lc

En connaissant la valeur de la position de la sonde et donc la valeur de L , le fait d’avoirune frequence differente pour permet de determiner la densite electronique de l’atmosphereau moment de la mesure et donc de corriger les effets de l’atmosphere.

5. Les experimentateurs ont affirme que, lorsque la sonde culmine a 10 000 km, les erreurs demesure en temps issues des fluctuations ionospheriques etaient de l’ordre de 5 · 10−15 en relatif.En supposant que les frequences des signaux sont connues a une precision relative bien meilleure,estimer l’incertitude relative sur les fluctuations de densite electronique de l’ionosphere associeea cette estimation.

Solution: Les quantites sont proportionnelles. Les autres parametres etant considerescomme connus avec une precision bien plus importante, les fluctuations de densite electroniquesdoivent donc etre de l’ordre a 5 · 10−15 en relatif Lors des communications.

C - Orbite de GP-A

On suppose que l’orbite de GP-A est une orbite keplerienne. Vu les masses respectives de la Terreet de la fusee Scout, on suppose que le barycentre des masses des deux objets est confondu avec lecentre de masse de la Terre. Dans le plan orbitale de GP-A, on introduit les coordonnees polairesusuelles (r, φ), avec leurs vecteurs unitaires (~ur, ~uφ), ou r est la distance du centre de masse de lafusee Scout au centre de masse de la Terre, et φ l’angle entre le vecteur position initial de la fusee(au temps t = 0, correspondant au moment son lancement) et sa position au temps t.

1. Quelle sont les deux quantites conservees du probleme de Kepler ? Exprimer la norme dumoment cinetique par unite de masse reduite, h, en fonction de r et de vφ, ou vφ = ~v · ~uφ et ~vest le vecteur vitesse de la fusee Scout.

Solution: L’energie totale et le moment cinetique du systeme reduit sont conserves (lamasse reduite du systeme est µ = m1m2/(m1 + m2), ou m1 et m2 sont les masses de leTerre et de la fusee Scout).

h = r2φ = rvφ

2. La fusee est lancee de facon verticale, donc la composante vφ au moment du lancement estuniquement due a la vitesse de rotation de la Terre. Calculer h, sachant que la position initialede la fusee est en r = RT a une latitude de λ = 2944′.

Solution:vφ0 = RTΩT cosλ = 4.039× 102 m.s−1

h = RT vφ0 = 2.576× 109 m2.s−1

3. Soit r = Ra la distance de la fusee Scout au centre de la Terre lorsqu’elle est a son apogee, a10000 km d’altitude. Exprimer la valeur de l’energie par unite de masse reduite E a l’apogeede la fusee, en fonction de h, Ra et Gm. Calculer la valeur de E. D’apres cette valeur, quelleest le type d’orbite de la fusee ?

Solution:

E =v2a2− Gm

Ra=

h2

2R2a

− Gm

Ra= −2.432× 107 m2.s−2

car vr = 0 a l’apogee. E < 0 donc l’orbite est elliptique.

4. Exprimer la valeur de l’energie par unite de masse reduite E a la position initiale de la fusee,en fonction de h, RT , Gm et vr0, la composante suivant ~ur de la vitesse a sa position initiale.Avec la question precedente, en deduire l’expression de la vitesse vr0 en fonction de Ra, RT , het Gm. Calculer sa valeur.

Solution:

E =h2

2R2T

+v2r02− Gm

RT

⇒ v2r0 = 2Gm

(1

RT− 1

RA

)− h2

(1

R2T

− 1

R2A

)=

(1

RT− 1

RA

)(2Gm− h2

(1

RT+

1

RA

))⇒ vr0 = 8.727× 103 m.s−1

5. Exprimer l’eccentricite de l’orbite e en fonction de h, Ra et Gm. La calculer. D’apres sa valeur,de quelle figure geometrique est proche la forme de l’orbite ? A quelle distance du centre demasse de la Terre devrait se trouver le perigee de l’orbite ? Est-ce possible ? Faire un dessinqualitatif de la forme de l’orbite et de la Terre, en indiquant le vecteur vitesse de la fusee et labase (~ur, ~uφ) a l’endroit du lancement.

Solution:

e = 1− h2

GmRa= 0.9990

e est tres proche de 1 donc d’une trajectoire parabolique.

rp =h2

Gm(1 + e)= 8.329× 103 m

Ce n’est evidemment pas posible de passer a environ 8 km du centre de la Terre.

Representation qualitative de l’orbite de la fusee :

Le cercle de rayon RT represente l’intersection entre la surface terrestre et le plan orbital dela fusee. Ce plan est incline d’un angle egal a la latitude du lieu de lancement par rapporta l’equateur terrestre.

D - Comparaison d’horloges

On se place dans un referentiel GCRS dans lequel :

ds2 = −(

1− 2Gm

rc2

)c2dt2 + δijdx

idxj , (1)

ou on utilise la convention d’Einstein sur les indices repetes, et i, j = 1, 2, 3.1. Quelles sont les caracteristiques du systeme GCRS ?

Solution: Ce systeme de reference est centre sur le centre de masse de la Terre. Il estfixe/non-tournant par rapport aux objets distants extra-galactiques. Le temps coordonneeest le TCG (Temps Coordonnee Geocentrique).

2. En partant de la metrique (1), calculez dτ/dt en faisant un developpement limite a l’ordre 1/c2.

On introduira la norme de la vitesse v =(δij

dxi

dtdxj

dt

)1/2.

Solution:

ds2 = −c2dτ2 = −(

1− 2Gm

rc2

)c2dt2 + δijdx

idxj

⇒(

dτ

dt

)2

= 1− 2Gm

rc2− v2

c2

⇒ dτ

dt= 1− Gm

rc2− v2

2c2+O(c−4) (2)

3. Sachant que a = 8.193 × 103 km et e = 0.9990, calculer la valeur de l’anomalie eccentrique Eau moment du lancement de la fusee. En utilisant l’equation de Kepler, en deduire le temps taa l’apogee (sachant que t = 0 au moment du lancement).

Solution: D’apres la relation r = a(1− e cosE), on a

E(0) = arccos

[e−1

(1− RT

a

)]= 1.347

D’apres l’equation de Kepler E(t)− e sinE(t) = n(t− tp) :— a l’apogee : π = n(ta − tp) car E(ta) = π— au lancement : E(0)− e sinE(0) = −ntp

On a alors :

ta =1

n[π − (E(0)− e sinE(0))] = 54.21 mn

4. En utilisant les relations sur l’orbite de Kepler donnees en annexe, montrer en integrant larelation de la question precedente que :

τf (t) =

(1− 3Gm

2ac2

)t− 2

√Gma

c2e sinE(t) + Cf , (3)

ou τf est le temps propre de l’horloge dans la fusee, a est le demi grand axe de l’orbite dela fusee, e l’excentricite, E l’anomalie excentrique et Cf est une constante d’integration. Ensupposant que τf (0) = 0, quelle est la valeur de la constante Cf ?

Solution: D’apres (2) et en remplacant l’expression de v2, on obtient :

dτ =

[1− 3Gm

2ac2− 2Gm

c2

(1

r− 1

a

)]dt

En utilisant r = a(1− e cos(E)) : (1

r− 1

a

)=e cos(E)

r

et en utilisant (1− e cos(E))dE = ndt :

dt

r=

dE

an

D’ou : ∫2Gm

c2

(1

r− 1

a

)dt =

∫2Gm

c2e cos(E)

andE

=2√Gma

c2e sin(E) + Cste

L’integration du terme constant est immediate, et alors on obtient bien la relation (3).

Cf =2√Gma

c2e sinE(0) = 1.239× 10−6 s

5. En integrant la relation de la question 2 pour une horloge qui reste fixee a l’endroit du lance-ment, montrer que :

τs(t) =

(1− Gm

RT c2− (RTΩT cosλ)2

2c2

)t+ Cs , (4)

ou τs est le temps propre de l’horloge restee au sol, λ est la latitude du lieu du lancement et Csest une constante d’integration. En supposant que τs(0) = 0, quelle est la valeur de la constanteCs ?

Solution: Le terme en frequence etant constant, l’integration est immediate. On a Cs = 0.

6. Deduire des questions precedentes l’expression formelle de la difference entre les temps propresde l’horloge dans la fusee et le temps propre de l’horloge au sol au moment de l’apogee de lafusee, et la calculer.

Solution:

τf (ta)− τs(ta) =

(Gm

RT c2+

(RTΩT cosλ)2

2c2− 3Gm

2ac2

)ta + Cf = 862.4 ns

7. Expliquer la difference entre erreur aleatoire et erreur systematique. Dans le tableau 1 est donneun bilan d’erreur. Quelle est l’erreur totale sur la mesure (en frequence relative) ? En deduirel’erreur en temps au moment de l’apogee, et la precision relative avec laquelle le decalagerelativiste a ete mesure.

Solution: l’erreur systematique est une erreur identique pour chaque mesure, qui ne semoyenne pas, alors que l’erreur aleatoire se moyenne. L’erreur totale est la racine de lasomme quadratique de chaque erreur du tableau, soit ε = 15.5× 10−15. L’erreur en tempsa l’apogee est alors εta = 50.41 ps, et la precision relative 50.41 ps / 862.4 ns ≈ 6× 10−5.

Erreur aleatoirebruit combine des maser et du lien micro-onde 13.0× 10−15

Erreur atmospherique residuelle 2.5× 10−15

Erreur ionospherique residuelle 5.0× 10−15

Erreur systematiqueHorloges sol 3.0× 10−15

Horloge embarquee 4.5× 10−15

Erreurs en position et vitesse 3.3× 10−15

Table 1 – Bilan d’erreur de l’experience GP-A (en frequence relative)

Annexes

Relations pour une orbite de Kepler :

r = a(1− e cosE)

v2 = Gm

(2

r− 1

a

)(1− e cosE)dE = ndt