Manuel Sesamath Mathématiques 2e Chapitre 1 -...

Colin et Estelle jouent avec les nombres de l'ensemble {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}.Colin commence en écrivant un premier nombre choisi dans cet ensemble. C'est ensuite au tour d'Estelle, qui choisit un autre nombre de l'ensemble, le multiplie par le nombre déjà écrit, et inscrit le produit. Chacun, ensuite, à tour de rôle, choisit dans l'ensemble un nombre non encore choisi, le multiplie par le dernier nombre écrit, puis inscrit le produit. Le premier joueur qui doit écrire un nombre plus grand que 1000 a perdu.Colin peut-il jouer pour être sûr de gagner, quel que soit la stratégie de son adversaire?

Représentation graphique de fonctions

Copyleft - Edition 2011

Manuel Sesamath Mathématiques 2e

Chapitre 1 - Fonctions

Problème

1

1 [Activité] Modéliser

1. Pour les enfants de 6 à 10 ans, la taille y (en cm) est souvent fonction de l'âge t (en années); on estime que cette relation est linéaire. La taille moyenne d'un enfant de 6 ans est de 121,9 cm et celle d'un enfant de 7 ans de 128,3 cm.

a. Exprimer y en fonction de t. b. Prévoir la taille d'un enfant de 10 ans.

c. Comparer une approche algébrique et une approche graphique

2. Le métal de la livre anglaise est un alliage cuivre-argent à 7,5 % de cuivre. Combien de grammes de cuivre pur et combien de grammes d’alliage de la livre devrait-on utiliser pour préparer 200 grammes d’alliage cuivre-argent à 10% de cuivre ?

3. Le tiers d’un capital est placé à 5% et le reste à 4%. L’intérêt annuel est de 130 Frs. Quel est ce capital ?

4. On veut construire une gouttière avec une feuille de métal rectangulaire de 12 mètres de long et de 30 cm de large, en pliant symétriquement les deux longs côtés, et en les relevant perpendiculairement à la feuille. On note x la hauteur d'un repli (perpendiculairement à la feuille).

a. Exprimer la contenance C de la gouttière en fonction de x.

b. Quelle valeur de x permet d'obtenir une gouttière qui ait une contenance maximale ? c. Quelle est alors la contenance de cette gouttière ?

5. Le directeur de la salle de théâtre d'Ottawa a remarqué qu'à 8 $ la place, il peut compter sur 500 spectateurs, et que chaque baisse de 0,50 $ lui amène 100 spectateurs de plus.

a. Poser n = baisse du prix du billet et considérer la fonction f(n) = recette totale.

b. Choisir quelques valeurs de n, calculer leurs images par f et représenter graphiquement les résultats.

c. Trouver une formule générale pour f(n).

d. Déterminer le domaine de définition de f .

e. Représenter graphiquement f.

f. Combien doit-on faire payer la place pour obtenir une recette maximale ? Quelle est alors cette recette ? Justifier.(On supposera la capacité de la salle suffisante).

6. On veut construire une boîte ouverte avec une feuille de carton rectangulaire de 30 dm de long par 20 dm de large, en découpant dans les quatre coins un carré de longueur x, puis en repliant les côtés le long des découpes et en les relevant perpendiculairement à la feuille.

a. Déterminer le volume total V en fonction de x.

b. Quelle est la valeur de x qui maximise le volume ? c. Quel est alors ce volume maximal ?

7. On veut construire un aquarium vitré, ouvert sur le dessus, dont la hauteur soit de 1,5 mètres et le volume de 6 m3. On note x la longueur et y la largeur de la base.

a. Exprimer y en fonction de x.

b. Exprimer la surface de vitre totale S en fonction de x seulement.

c. Quelle est la valeur de x qui minimise la surface ? d. Quel est alors cette surface ?

Chapitre 1 - Fonctions Copyleft - Edition 20112

2 [Activité] Relations

Dans de nombreux problèmes, on s’intéresse à des relations entre des quantités qui varient.

Par exemple :

a. la longueur d'un glacier au cours du temps ;

b. la taille d’une personne et son âge ;

c. la distance parcourue par un train et la durée de ce parcours ;

d. le côté d'un carré et son aire ;

e. le prix du billet de cinéma et le bénéfice réalisé par le cinéma ;

f. la masse et le prix d'une marchandise.

Les situations qui vont nous intéresser sont celles pour lesquelles l’une des grandeurs variables dépend de l’autre. Nous dirons alors que cette grandeur est fonction de l’autre.Ainsi, la taille d'une personne est fonction de son âge, ou la longueur d'un glacier est fonction du temps.

On dira que la longueur du glacier est la variable dépendante, et le temps la variable indépendante. Ou encore, que la taille d'un enfant est la variable dépendante, alors que l'âge est la variable indépendante.

1. Pour les exemples donnés ci-dessus, préciser à chaque fois quelle variable est indépendante et quelle variable est dépendante, et formuler une phrase comme « la taille est fonction de l’âge », puis relier les mots « âge » et « taille » par une flèche, en justifiant vos réponses.

2. Un enfant débouche subitement dans la rue devant une voiture. Le conducteur pourra-t-il s’arrêter à temps ? Cela dépend bien sûr de sa vitesse, car la distance de freinage est fonction de la vitesse.

Le tableau ci-dessous donne des distances de freinage à différentes vitesses, pour une route sèche et horizontale.

Vitesse [km/h] 0 20 40 60 80 100 120

Distance de freinage [m] 0 9 24 45 72 105 144

a. Dans cette situation, quelle est la variable indépendante et quelle est la variable dépendante ?

b. Représenter graphiquement cette fonction.

c. Peut-on relier les points ? Pourquoi ?

d. “La distance de freinage est proportionnelle à la vitesse.” Vrai ou faux ?

e. Estimer la distance de freinage d’une voiture roulant à 30 km/h, 50 km/h, 140 km/h, 200 km/h. Quelle est la précision de votre estimation dans chaque cas ?

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3 [Activité] Vitesse

Trois escargots A, B et C rampent ventre à terre pour atteindre une salade située à 10 m du point de départ. Leurs trajets respectifs sont représentés ci-contre.

a. Après 20 minutes, on ouvre les paris.Sur quel escargot pariez-vous ?

b. Quel escargot mangera en premier la salade ?

c. Quelle variable est indépendante : le temps ou la distance parcourue ?

d. Vrai ou faux ?

i L’escargot A est toujours devant B et C.

ii L’escargot B zigzague pour atteindre la salade. iii Les escargots doivent monter pour atteindre la salade.

iv C n’atteindra jamais la salade.

v A avance à vitesse constante.

4 [Activité] Fonctions

1. Une fonction f d'un ensemble D vers un ensemble E est une relation qui attribue à tout élément de D au plus un élément de E .

2. D s'appelle l'ensemble de départ et E l'ensemble d'arrivée. On note f : D E x f x

Lorsque les ensembles de départ et d'arrivée sont implicites (le plus souvent ℝ , on se contente de d'exprimer la fonction par la relation algébrique y = f(x).

a. Déterminer la relation algébrique qui fait correspondre à un nombre entier le nombre suivant et donner une notation appropriée.

b. Déterminer la relation algébrique qui fait correspondre à un nombre réel positif le carré du nombre de départ et donner une notation appropriée.

3. Illustrer cette notion avec d’autres exemples, en donnant des cas de fonctions et des cas où les relations ne sont pas des fonctions.

5 [Activité] Fonctions réelles

1. Une fonction réelle est une fonction dont les ensembles de départ et d'arrivée sont des ensembles de nombres réels. Pour toute la suite du cours, la phrase « f est une fonction » sans autre précision signifiera toujours qu'on parle d'une fonction réelle.

2. Donner des exemples de fonctions réelles et non réelles.

3. f (x)= 2x + 1 et f (u)= 2u + 1 désignent-elles les mêmes fonctions réelles ?


6 [Activité] Représentation graphique

1. Une représentation graphique d'une fonction f est le tracé dans un repère (en général orthonormé) de l'ensemble des couples (x ; f(x)) pour lesquels x appartient à l'ensemble de départ et f(x) existe. On représente les valeurs de x sur l'axe horizontal et celles de f(x) sur l'axe vertical.

2. On considère la fonction réelle définie par f (x )= √ x+3x2

.

a. Calculer, si cela est possible, f(x) pour x = –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 et 4 .

b. Dessiner une représentation graphique de cette fonction, le plus précisément possible.

7 [Activité] Fonctions ?

Les représentations graphiques ci-dessous sont-elles celles de fonctions réelles ? Justifier.

8 [Activité] Vocabulaire

1. Considérons la fonction f : ℝ ℝ x x4−1

.

Si l'on choisit x =2 dans l'ensemble de départ, alors f fait correspondre à 2 le nombre 24−1 , soit 15.

On dit que 15 est l'image de 2 par f et on note f (2)=15

On dit que 2 est une préimage de 15 par f.

Les images appartiennent à l'ensemble d'arrivée, les préimages à celui de départ.

2. Pourquoi parle-t-on de l'image et d'une préimage, et non de l'image et de la préimage, ou encore d'une image et d'une préimage ?

3. Déterminer toutes les préimages de 15. Comment noter ce résultat?

4. Déterminer toutes les préimages de -1.


9 [Activité] Lire !

On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction f :

Lire sur le graphique :

f (4) f (5) f (-5) f (9) f (14) f -1(-4) f -1(-5) f -1(-1) f -1(3)

10 [Aller plus loin] Vrai ou faux ?

Soit la fonction réelle f définie par f x =1

x . Justifier ou infirmer les propositions suivantes.

a. f 2=12

b. f−11={1}

c. f−112={2 }

d. f 0=0

e. l'image de 0,2 est 5

f. 0 n'a pas de préimage

g. le point 3 ;13 appartient à une

représentation graphique de f

h. le point −11;2

20 appartient à une

représentation graphique de f

11 [Aller plus loin] Physique

La plupart des relations entre grandeurs physiques définissent des fonctions :

a. MRUA : x= 12 gt2

, où g est la constante g≃9.81m / s2 . La fonction x : ℝℝ

t 12

g t2=x t

donne la position x en fonction du temps t.


b. Énergie cinétique : E=12 mv

2. La fonction E : ℝℝ

m 12

m v2=E m

donne l'énergie E en

fonction de la masse m pour une vitesse donnée.

c. La fonction E : ℝℝ

v 12

mv 2=E v

donne l'énergie E en fonction de la vitesse v pour une

masse donnée.

Donner d'autres exemples.

12 [Activité] Domaine de définition

Considérons les fonctions réelles f :ℝ ℝ x x3−1

et g :ℝ ℝ

x 1x2−1

.

1. Qu'est-ce qui les différencie si on essaie de calculer des images ?

Soit f : D E x f x

une fonction quelconque. Le domaine de définition de f est le sous-ensemble

de D constitué de tous les éléments de D pour lesquels f admet une image. On le note D f .

2. Déterminer le domaine de définition des fonctions réelles définies par :

a. f (x )= 3 x−x2+7 x−10

b. f ( x)=√ 5− x

13 [Activité] Domaine des valeurs intéressantes pour le problème

Déterminer pour toutes les fonctions de l'activité 1 le domaine des valeurs intéressantes pour le problème Dvipp .

14 [Activité] Ensemble des zéros

1. Un réel x dont l'image par f est nulle s'appelle un zéro de f . Un tel x satisfait la relation f x =0 .

2. Déterminer les zéros des fonctions réelles définies par :

a. f ( x)=3 x−57

b. f ( x)=√ 12−8 x c. f ( x)=−3 x2+9+6 x

3. Quelle est l'interprétation graphique de cette notion ?


15 [Activité] Quelques fonctions particulières

1. Fonctions constantes

a. Donner des exemples de fonctions constantes. Déterminer domaine de définition et ensemble des zéros puis représenter graphiquement.

b. Quelle serait la définition générale d'une telle fonction ?

c. Une droite verticale peut-elle représenter graphiquement une fonction constante ?

2. Fonctions du premier degré

a. Donner des exemples de fonctions du premier degré. Déterminer domaine de définition et ensemble des zéros puis représenter graphiquement.

b. Quelle serait la définition générale d'une telle fonction ?

3. Autres fonctions élémentaires

Représenter graphiquement les fonctions réelles définies par i x =x , f x =1 , g x= x2

h x=x3 , j x=x 4 , k x = x , l x = 1x et m x =∣ x ∣ , où ∣ x ∣ est la valeur absolue de x.

16 [Activité] Une nouvelle famille de fonction

1. En partant d'une représentation graphique de la fonction g définie par g x = x2 , représenter graphiquement les fonctions suivantes définies par:

a. f ( x)=( x−2)2 b. f ( x)=( x−3)2 c. f ( x)=( x−5)2 d. f ( x)=( x+3)2

Qu'en déduire quant à la représentation graphique des fonctions de la forme f (x )=( x−k )2 ?[où k est une constante réelle quelconque ; x une variable réelle]

2. Représenter graphiquement les fonctions suivantes f définies par:

a. f ( x)=3( x−2)2 b. f ( x)=8( x−2)2 c. f ( x)=12( x−2)2 d. f ( x)=−2 (x−2)

2

Qu'en déduire quant à la représentation graphique des fonctions de la forme f x=ax−k 2 ? [où k et a sont des constantes réelles quelconques ; x une variable réelle]

3. Représenter graphiquement les fonctions suivantes f définies par:

a. f ( x)=2( x−2)2+1 b. f ( x)=2( x−2)2+3 c. f ( x)=2( x−2)2+32

d.

f ( x)=2( x−2)2−3

Qu'en déduire quant à la représentation graphique des fonctions de la forme f x =a x−k 2m [où k , m et a sont des constantes réelles quelconques ; x une variable réelle] ?


4. Quelle est la définition générale « naturelle » d'une fonction du deuxième degré ?

5. Soit f la fonction définie par f ( x)=x2+4 x+3 . Cette écriture s'appelle la forme développée.

a. Donner également la forme factorisée de f.

b. Écrire f sous forme f x =a x−k 2m . Cette écriture s'appelle la forme standard de f.

c. Représenter graphiquement la fonction f.

6. Discuter les avantages comparatifs des formes standard, factorisée et développée d'une fonction du deuxième degré lorsqu'on souhaite la représenter graphiquement.

7. En déduire un algorithme permettant de représenter graphiquement de façon efficace une fonction du deuxième degré.

8. L'appliquer aux fonctions f ( x)=−2 x2−6 x+8 et f ( x)=4 x2+23 x+9 .

17 [Activité] Fonctions, équations et représentations graphiques

1. Discuter la différence entre la représentation graphique d'une équation du premier (ou du deuxième) degré et la représentation graphique d'une fonction du premier (ou du deuxième) degré.

2. Pourquoi appelle-t-on « parabole » une représentation graphique d'une fonction de degré 2 ?

18 [Activité] Intersections

Considérons les trois fonctions f, g et h définies par f ( x)=14

x²−x−1 , g ( x)=−18 x²+54

x−1 et h ( x)=2 x−6 . Déterminer graphiquement puis algébriquement leurs points d’intersections.

19 [Activité] Signe, croissance et décroissance

1. Donner une définition intuitive puis mathématique du signe d'une fonction (fonction positive, négative, nulle sur un intervalle). Illustrer avec des exemples.

2. Donner une définition intuitive puis mathématique de la croissance (respectivement de la décroissance) d'une fonction sur un intervalle. Illustrer avec des exemples.

3. Utiliser un tableau de signes pour représenter les variations de signe des fonctions ci-dessous, puis déterminer les intervalles sur lesquels elles sont croissantes (respectivement décroissantes) :

a. f ( x)=3 x−57

b. f ( x)=2−7 x

c. f ( x)=√ x−3

d. f ( x)=√ 12−8 x

e. f ( x)=x2−x+1

f. f ( x)=x2−2 x−3

g. f ( x)=−6 x+9+x2

h. f ( x)=−3 x2+9+6 x


1 [A savoir] Fonctions

Définition

□ Une fonction f d'un ensemble D vers un ensemble E est une relation qui attribue à chaque élément de D au plus un élément de E.

Vocabulaire et notation

□ D s'appelle l'ensemble de départ ou source et E l'ensemble d'arrivée ou but□ On note f : D E

x f x la transformation effectuée par la fonction f. On lui associe la

relation algébrique y= f ( x) .□ On note f : x f ( x) lorsque D et E sont des ensembles de réels. □ Dans l'écriture y= f x , x est appelée variable indépendante, car il n'y a pas de restriction à priori sur les valeurs qu'elle peut prendre dans l'ensemble de départ, alors que y est appelée variable dépendante, car ses valeurs dépendent de celles que x a prises.

Autrement dit, on est en présence d'une fonction quand on a:

• une variable indépendante qui prend ses valeurs dans un ensemble de départ ;

• une variable dépendante qui prend ses valeurs dans un ensemble d'arrivée ;

• un tableau de correspondances, une phrase, une représentation graphique, une formule, ... qui indique comment la variable dépendante varie en fonction de la variable indépendante ;

• une condition : à tout élément de l'ensemble de départ correspond 0 ou 1 élément de l'ensemble d'arrivée.

Remarque: le plus souvent, une fonction est définie par une formule (et par la donnée parfois implicite des ensembles de départ et d'arrivée), mais elle peut également être donnée par une représentation graphique, un texte, un tableau de valeurs, ...

Exemple

□ f est la fonction qui à tout nombre naturel associe son dixième□ f :ℝ ℝ

x x24 est la fonction f de ℝ dans ℝ définie par f (x )=x2+4

2 [A savoir] Fonctions réelles

Définition

Une fonction réelle est une fonction dont les ensembles de départ et d'arrivée sont des ensembles de nombres réels.

Remarque: pour toute la suite du cours, la phrase « f est une fonction » sans autre précision signifiera toujours qu'on parle d'une fonction réelle.


3 [A savoir] Images et préimages

Définition

Soit f : D E x f x

une fonction et soient a∈D et b∈E tels que f (a)=b, alors

□ b est l'image de a par f ;□ a est une préimage de b par f.

Remarque: l'image, quand elle existe, est toujours unique (par la définition de « fonction »), alors qu'un élément b de l'ensemble d'arrivée peut avoir aucune, une ou plusieurs préimages. On parle de l'ensemble des préimages de b.

Notation

L'expression « a est la préimage de b par f » se note f −1(b)={ a} . L'expression « c et d sont les deux préimages de b par f » se note f −1(b)={ c ; d } .

Exemple

Considérons la fonction f :ℝ ℝ x x4−1

.

Si on choisit x = 2 dans l'ensemble de départ, alors f fait correspondre à 2 le nombre 24−1 , soit 15.

On dit que 15 est l'image de 2 par f et on note f (2)=15

On dit que 2 est une préimage de 15 par f .

4 [A savoir] Domaine de définition

Définition

Soit f : D E x f x

une fonction.

Le domaine de définition de f est le sous-ensemble de D constitué de tous les éléments de D pour lesquels f admet (exactement) une image. On le note D f .

Remarque: déterminer le domaine de définition d'une fonction, c'est donc « faire le tri » entre les éléments de l'ensemble de départ qui admettent une image et ceux pour lesquels il n'existe pas d'image, en ne gardant que les premiers.

Exemple : déterminer les D f des fonctions f (x )=x+3 , g (x)=√ x+1 et h (x )=1

x2−4.

□ comme f(x) existe pour tout x réel, alors D f =ℝ .

□ comme g(x) n'existe que pour x≥−1 , alors D g=[−1 ;∞[ .

□ comme h(x) n'existe que pour x≠±2 , alors Dh=ℝ∖{−2 ;2} .


5 [A savoir] Domaine des valeurs intéressantes pour le problème

Définition

Soit f : D E x f x

une fonction.

Le domaine des valeurs intéressantes pour le problème définition de f est le sous-ensemble de D constitué de tous les éléments de D pour lesquels f admet (exactement) une image. On le note Dvipp .

Exemple : on veut construire une boîte ouverte avec une feuille de carton rectangulaire de 30 dm de long par 20 dm de large, en découpant dans les quatre coins un carré de longueur x, puis en repliant les côtés le long des découpes et en les relevant perpendiculairement à la feuille.

Les valeurs possibles de x sont comprises (strictement) entre 0 dm et 10 dm, car des valeurs négatives n'auraient pas de sens, et des valeurs supérieures ou égales à 10 dm ne peuvent être considérées, la découpe étant alors impossible. Donc Dvipp=]0 ;10 [

6 [A savoir] Représentation graphique

Définition

Une représentation graphique d'une fonction f est le tracé de l'ensemble des couples x ; f x pour x appartenant au domaine de définition.

Remarque: à ce stade, pour représenter graphiquement une fonction, nous nous appuierons sur les connaissances acquises précédemment concernant la représentation graphique des équations, en particulier pour le degré 1 ; dans les cas d'autres fonctions, nous nous aiderons de calculs d'images.

Voici par exemple une représentation graphique de la fonction

f ( x)={ x2 , si x≤21 , si x>2 :

7 [A savoir] Déterminer image et préimage

Quand la fonction est définie par un tableau

Exemple : on donne un tableau de valeurs de la fonction h. Quelle est l'image de 8 par la fonction h ? Trouver une préimage de − 125.

x − 5,25 − 3 − 1,75 0 2 5,5 8

h(x) − 358 − 125 3 7 12,5 3 20


-6 -4 -2 0 2 4 6

4

2

-2

-4

12

□ La deuxième ligne du tableau donne l'image de chaque nombre de la première ligne par la fonction h.

□ Pour trouver l'image de 8 : on cherche 8 sur la première ligne du tableau et on lit son image sur la deuxième ligne ; l'image de 8 est 20 et on écrit h(8) = 20.

□ Pour trouver la (ou les) préimage(s) de − 125 : on cherche − 125 sur la deuxième ligne du tableau et on lit la (ou les) préimage(s) sur la première ligne ; une préimage de − 125 est − 3 et on écrit h−1−125={− 3 } .

Quand la fonction est définie par une représentation graphique

Exemple 1 : soit la représentation graphique d'une fonction f ; déterminer l'image de − 1.

On trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées (− 1 ; 0). On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses et qui passe par le point d'intersection de la courbe et de la droite précédente. Elle coupe l'axe des ordonnées approximativement au point de coordonnées (0 ; 2). On en déduit que l'image de − 1 par la fonction f est environ 2 donc f(− 1) ≈ 2.

Exemple 2 : soit la représentation graphique d'une fonction g ; déterminer la (ou les) préimage(s) de 5.

On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0 ; 5).

On trace la (ou les) droite(s) parallèle(s) à l'axe des ordonnées passant par le(s) point(s) d'intersection de la courbe et de la droite précédente.

Ces parallèles (deux, ici) coupent l'axe des abscisses approximativement aux points de coordonnées (4 ; 0) et (− 2,3 ; 0).

Donc 5 a deux préimages par la fonction g qui sont, environ, 4 et − 2,3.

On écrit g−1(5)={−2.3 ;4} .

Quand la fonction est définie par une formule

Exemple : Soit la fonction f : x 3x2 − 7x 12. Quelle est l'image de − 5 ?

Calcul de l'image de − 5 par f avec f (x) = 3x2 − 7x - 12 :

f (− 5) = 3⋅(− 5)2 − 7⋅(− 5) - 12 On remplace x par − 5.

f (− 5) = 75 35 - 12 On calcule.

f (− 5) = 98

Donc l'image de − 5 par la fonction f est 98. On écrit aussi f(− 5) = 98.

Exemple : Soit la fonction f : x 3x2 − 7x - 12. Quelles sont les préimages de − 2 ?

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y

x−1 1

1

2

x

y

41

5

1

− 2,3

13

Calcul des préimages de − 2 par f avec f (x) = 3x2 − 7x - 12 = -2 :

3x2 − 7x - 12 = -2 On résout l'équation.

3x2 − 7x - 10 = 0 On factorise le membre de gauche.

(3x − 10)(x + 1) = 0

− 2 a donc pour préimages -1 et 103

. On écrit aussi f −1−2={−1 ; 103

} .

8 [A savoir] Zéros d'une fonction

Définition

Un réel x dont l'image par f est nulle s'appelle un zéro de f .On note souvent Z f l'ensemble des zéros de f.

Remarque : déterminer l'ensemble des zéros, c'est donc résoudre l'équation f (x) = 0.

Exemple 1 : déterminer l'ensemble des zéros de la fonction f x =3−2 x

On résout l'équation : 3−2 x=0 ⇔ x=32

. L'ensemble des zéros de f est donc {32} .

Exemple 2 : déterminer l'ensemble des zéros de la fonction g (x)=2 x2+7 x+3

On résout l'équation, soit par factorisation :

2 x27 x3=0 ⇔ 2 x1 x3=0 ⇔ x=−12

ou x=−3

soit par Viète : Δ=b2−4ac=49−24=25, d'où x1,2=−b±√Δ2a

=−7±√ 54

=−7±54

soit x1=−124

=−3 et x2=−24=−1

2. L'ensemble des zéros de g est donc {−12 ;−3} .

9 [A savoir] Fonctions particulières

Définitions

□ On appelle fonction constante f une fonction définie par f (x) = c, avec c∈ℝ .□ On appelle fonction du premier degré f une fonction définie par f (x) = ax+b, avec a∈ℝ* et b∈ℝ .□ On appelle fonction du deuxième degré f une fonction définie par f (x) = ax²+bx+c, avec a∈ℝ* et b, c∈ℝ .

Exemples


□ f(x) = −5 est une fonction constante (c = −5)

□ f(x) = x est une fonction du premier degré (a = 1 et b = 0). C'est la fonction identité.

□ f(x) = 3x −5 est une fonction du premier degré (a = 3 et b = −5).

□ f(x) = 7x −2x 2 est une fonction du deuxième degré (a = -2, b = 7 et c =0).

Représentations graphiques

□ Une fonction constante est représentée graphiquement par une droite horizontale□ Une fonction du premier degré est représentée graphiquement par une droite oblique

□ Autres fonctions élémentaires à connaître :

fonction identité

fonction "x carré"

fonction "x cube"

fonction "racine carrée"

fonction "1 sur x"

fonction "valeur absolue"


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

54

321

-1-2

-3-4-5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

54321

-1-2-3-4-5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

10 [A savoir] Fonctions de degré 2

Nous allons maintenant nous intéresser aux fonctions du type f x =ax2bxc avec a≠0 .

La fonction du deuxième degré « la plus simple » est f x =x2 qui se représente par la courbe ci-dessous:

La fonction f x = x−k 2 correspond à la même courbe déplacée horizontalement d'une distance k. Attention, le sens du déplacement dépend du signe de k.

k>0 k

Théorème

Si une fonction est définie par f ( x)=ax2+bx+c (avec a≠0 ), alors □ sa représentation graphique est une parabole ;□ elle admet un axe de symétrie d'équation x=− b

2a ;

□ elle admet un sommet au point S − b2a

;− 4 a

;

□ elle est convexe (de forme ∪ ) si a>0 et concave (de forme ∩ ) si a0 , donc parabole convexe (c'est-à-dire ∪ ).

Si nécessaire, on détermine encore quelques points supplémentaires, ainsi que leurs symétriques par rapport à l'axe

x=− b2a .

Prenons x=2 alors f (2)=2⋅22+2−6=4 donc le

point 2 ; 4 appartient à la parabole. Par

symétrie, le point −2.5; 4 appartient également à la parabole.


Toutes ces informations se placent dans le repère et permettent de tracer la parabole :

11 [A savoir] Signe

Définition

□ f est positive sur un intervalle I ⇔ f (x)≥0 pour tout x dans I.□ f est négative sur un intervalle I ⇔ f (x)≤0 pour tout x dans I.□ f est strictement positive sur un intervalle I ⇔ f (x)>0 pour tout x dans I.□ f est strictement négative sur un intervalle I ⇔ f (x)

Définition

□ f est croissante sur un intervalle I ⇔ f (x1)≤ f ( x2) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1x 2 .□ f est décroissante sur un intervalle I ⇔ f x1≥f x2 pour tout x1 et x2 dans I tels que x1x 2 .□ f est constante sur un intervalle I ⇔f x1=f x2 pour tout x1 et x2 dans I.□ f est strictement croissante sur un intervalle I ⇔ f (x 1)< f ( x2) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1x 2 □ f est strictement décroissante sur un intervalle I ⇔ f (x1)> f ( x2) pour tout x1 et x2 dans I tels que x1x 2

Remarque : Les intervalles de croissance (resp. intervalles de décroissance) d'une fonction sont les sous-ensembles maximum du domaine de définition dans lesquels la fonction est croissante (resp. décroissante).

Exemple 1 : soit la représentation graphique d'une fonction f ; déterminer les intervalles sur lesquelles f est croissante et ceux sur lesquelles elle est décroissante.

f est croissante sur l'intervalle :

I =]−∞ ;−2 ,1 ]∪[2 ,7 ;∞[

f est décroissante sur l'intervalle :

I ↓=[−2 ,1 ;2 , 7 ]

Exemple 2 : soit la représentation graphique d'une fonction g ; déterminer les intervalles sur lesquelles g est respectivement croissante, constante ou strictement croissante.

g est croissante sur l'intervalle :

I ↑=]−∞ ;+∞[

g est constante sur l'intervalle :

I →=[2 ;+∞[

g est strictement croissante sur l'intervalle :

I ↑=]−∞ ;2 ]


-6 -4 -2 0 2 4 6

6

4

2

-2

-4

-6

-6 -4 -2 0 2 4 6

4

2

-2

-4

20

1 Sachant que la somme de deux nombres vaut 9, exprimer l’un des nombres en fonction de l’autre.

2 Même question si l’on sait que le produit de deux nombres vaut a.

3 Pour un carré de côté x, exprimer la longueur de sa diagonale en fonction de la longueur de son côté.

4 Exprimer l’aire d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté.

5 Pour une longueur L donnée, exprimer, en fonction d’un des côtés, l’aire d’un rectangle ayant L pour périmètre.

6 Un groupe d'ouvriers municipaux doit effectuer une grande quantité de plantations. Parmi ces graphiques, quel est celui ou ceux qui modélisent le mieux la relation entre le nombre d’ouvriers et le temps nécessaire pour accomplir la tâche ? Expliquez votre choix.

7 Deux coureurs A et B partent en même temps du village pour se rendre à la ville par la même route. Leur course est caractérisée par le graphique ci-dessous :

Vrai ou faux ?

a. La route monte du village à la ville.

b. A arrive en premier à la ville.

c. A est toujours devant B.

d. B court plus vite que A.

e. B zigzague d'un côté à l'autre de la route.

f. A court à vitesse constante.

8 Avec des allumettes, on constitue une suite de figures régulières. Quel est le nombre d’allumettes nécessaires pour la n-ième figure?

a.

b.

c.

9 Le tableau suivant présente deux façons

d'écrire ou d'exprimer des fonctions ; le compléter:

Fonction définie par une phrase

Fonction définie par une formule

« doubler puis ajouter 5 »

f (u)=3 (u+4)

« prendre le carré , puis ajouter un »

f (t )=(t+1)3

« prendre le triple, puis ajouter 10, puis multiplier par -3 »

f (t )=t3+1

10 Quelles sont les touches de la calculatrice qui représentent des fonctions ?

11 Traduire chaque égalité par une phrase contenant le mot « image »:

a. f(3) = 4

b. g(0) = − 2c. h(x) = 3x2 − 4

d. p(x) = − x

12 Traduire chaque phrase par une égalité puis par une correspondance de la forme x ... .

a. x a pour image 4x − 5 par la fonction f.

b. L'image de x par la fonction g est x(x 1).

c. Par la fonction h, − 3x est l'image de x.

d. Par la fonction r, x a pour image 2x − 5x2.

e. La fonction k associe, à tout nombre x, le nombre 3(x − 2).

13 Voici un tableau de valeurs correspondant à une fonction f :

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

f(x) 5 2 1 −3 −4 5 3 4 −4


BA

village

21

a. Quelle est l'image de 3 par la fonction f ?

b. Quel nombre a pour image − 3 par la fonction f ?

c. Quels nombres ont la même image par la fonction f ?

14 Ce graphique représente une fonction f.

a. Quelle est l'image de 1 par f ?

b. Donner des valeurs pour :

i f(0)

ii l'image de − 2 par f

iii l'image de 2 par f

iv f(− 1)

15 Dans chaque cas, expliquer pourquoi on ne peut pas trouver une fonction qui, à x, associe y :

a.

x − 2 1 0 2 − 1 1

y − 4 3 − 3 5 2 4

b.

16 Le tableau suivant est un tableau de valeurs correspondant à une fonction f.

x − 12 − 1,5 0 5 2

f(x) 4 − 2 − 1 3,5 − 2

Dans chaque cas, indiquer, d'après le tableau, la (ou les) préimage(s) du nombre donné par la fonction f.

a. 3,5 b. -2 c. 2

17 Le graphique représente une fonction h:

Recopier et compléter le tableau suivant :

x − 1,25 − 1

h(x) 1,5 1,25

18 Soit la fonction f définie par f(x) =2

x.

a. Recopier et compléter le tableau suivant :

x -1 3

f(x) -0,1 8

b. Quel nombre n'a pas d'image par f ?

19 Déterminer le domaine de définition des fonctions réelles suivantes :

a. f x = x

b. f x = x1

c. f x = 2x

d. f x = x2−1

e. f x =2

x2−5 x6

f. f x =−2x2

g. f x = x54−x2

20 Déterminer l'ensemble des zéros des fonctions réelles définies par :

a. f x =3−x

b. f x =x

c. f x =x2

d. f x =x2−4 x−7

e. f x =−4x2x

f. f x =3

2−x4


10

1

− 1 210

1

2

− 2

10

1

x

y

22

g. f x =3−4 x2−x 4

21 Représenter graphiquement les fonctions suivantes :

a. f x =−2x3

b. f x =−1.8

c. f x = 25 x1

d. f x =−∣x∣

e. f x =− xf. f x =x5

g. f x =x6

22 Pour chacune des fonctions du deuxième degré suivantes, donner si cela est possible les formes développées, standards et factoriséees, l'ordonnée à l'origine, les zéros, l'axe de symétrie, le sommet et la représenter graphiquement :

a. f x =x2x1

b. f x =−x2x1

c. f x =2 x 23 x4

d. f x =3 x2−6 x3

e. f x =−2 x2 – 1

f.f x =1− x x4

g. f x = x52−34

h.

f x =−3 x12−2

i.

f x =2 15−x x25

j. f x =x2−3 x2k. f x =−x22 x3

l. f x = x22

m. f x =−x2x4

n. f x =2x 2−8 x−10

o. f x =3 x−4 21

23 On considère les représentations graphiques des fonctions du deuxième degré suivants. Déterminer l'expression algébrique de chacune des fonctions représentées ci-dessous :

24 On considère les représentations graphiques des fonctions du deuxième degré suivants. Déterminer l'expression algébrique de chacune des fonctions représentées ci-dessous :

25 Voici les représentations graphiques de trois fonctions ƒ , g, h de ℝ dans ℝ :

a. Déterminer à partir du graphique :

i ƒ(1)

ii ƒ(–2)

iii ƒ(0)

iv g(1)

v g(–2)

vi g(0)

vii h(1)

viii h(–2)

ix h(0)

b. Vrai ou faux ? « Le point (–49;–48) appartient à la courbe représentative de h. »

c. Résoudre graphiquement :

i f(x) = –3

ii g(x) = 3

iii h(x) = 0

iv f(x) = g(2)

v g(x) > f(x)

vi f(x) = h(–3)

vii g(x) = g(x+1)

viii g(x) = h(x)


d. Quels sont les zéros de f ? de g ? de h ?

e. Sur quel ensemble f est-elle positive ? et g ? et h ?

f. Sur quel ensemble g est-elle négative ? et f ? et h ?

g. Sur quel ensemble h est-elle strictement positive ? et f ? et g ?

h. Sur quel ensemble h est-elle strictement croissante ? et f ? et g ?

i. Sur quel ensemble h est-elle décroissante ? et f ? et g ?

j. Déterminer les expressions algébriques f(x), g(x) et h(x).

26 On constate que la température au niveau de la mer est en moyenne de 15,6 °C et elle baisse d’environ 10 °C lorsque l’on monte de 1’500 m.

a. Exprimer la température de l’air T (en °C) en fonction de l’altitude h (en m au-dessus du niveau de la mer) par une expression du type : T=g (h)=a⋅h+b pour 0≤h≤6000 .

b. Calculer la température de l’air à l’altitude de 4’500 m.

c. Calculer l’altitude à laquelle il fait –17,8 °C.

d. La fonction g(h) de degré 1 est-elle affine ou linéaire ? Justifier.

e. Représenter graphiquement g.

f. Conjecturer une valeur pour le zéro de g, puis vérifier par un calcul.

g. Que signifie physiquement la pente de cette droite ?

h. De combien diminue la température T pour une augmentation d’altitude h de 1000 m ?

27 Pour quelle valeur de x l'expression x2+(x+1)2+(x+2)2 est-elle minimale, et que

vaut alors cette expression ?

Interpréter graphiquement.

28 A partir d'un pont situé à 20 m au dessus d'une rivière, une pierre est jetée vers le haut avec une vitesse initiale de 10 m/s. A partir de ce moment, la hauteur h du projectile par rapport à la rivière [en mètres]

au temps t [en secondes] est donnée par la formule :

h (t )=20+10t−12

gt2 , où g≃10 m/s2 .

a. A quel moment la pierre atteint-elle sa hauteur maximale?

b. Quelle est cette hauteur maximale?

c. Combien de temps après son lancer la pierre retombe-t-elle dans l'eau?

d. Interpréter graphiquement.

e. Déterminer le Dvipp

29 Une agence de voyage organise une excursion. Le prix du billet a été fixé à 60.-, mais la compagnie a consenti, dans le cas où plus de 100 personnes feraient le voyage, à baisser le prix de chaque billet de 25 cts par personne additionnelle. Sachant qu'il en coûte 1000.- à l'agence pour transporter les 100 premiers passagers et 15.- par passager additionnel, trouver le nombre de passagers pour lequel le bénéfice net de la compagnie est maximal. Interpréter graphiquement.

30 Considérons les trois fonctions f, g et h définies par f x =1−2xx² , g x =2 x−1 ²−3 et h x=0.5 x−1 x−6 .

a. Déterminer graphiquement les points d’intersections de ces fonctions.

b. Déterminer algébriquement les points d’intersections de ces fonctions.

31 La loi de Mariotte (abbé et physicien français, 1620-1684), s'exprime ainsi : pour une masse donnée de gaz et à température constante, le produit P x V de la pression de ce gaz par son volume est constant. Les gaz suivent approximativement cette loi : elle n'est exacte que pour les gaz parfaits, c'est à dire dont les interactions moléculaires sont nulles. Une étude expérimentale, au moyen d'un gaz enfermé dans un cylindre dont le volume est variable grâce à un piston, a permis, par le biais d'un manomètre, d'établir la pression en fonction du volume :

V 17,5 18,5 20 21,5

P 112,8 103,1 102,6 89,9

23,5 26 27 28,5 31,5


84,1 78,9 73,2 67 66,2

a. Représenter le nuage des points (V , P). Si la loi de Mariotte s'applique, de quelle nature est la fonction qui, au volume, associe la pression ?

b. Calculer la moyenne des produits P x V expérimentaux. Donner l'équation de la courbe V P(V). Représenter cette courbe dans le même repère que le nuage. Conclusion ?

EXERCICES SUPPLEMENTAIRES

32 Traduire chaque phrase par une égalité:

a. Par la fonction g, − 5,3 est l'image de 6.

b. 2,5 a pour image 4,2 par la fonction f.

c. L'image de 3 par la fonction h est 7.

d. Par la fonction p, − 4 a pour image − 6,5.

e. L'image de 5 par la fonction m est nulle.

33 Traduire chaque notation par une phrase contenant le mot « image » et par une égalité.

a. f : 7 − 17

b. g : − 5 3,2

c. h : x − 4x2

d. v : x − 3

34 Voici un tableau de valeurs correspondant à une fonction g :

x − 0,5 − 0,1 0 0,7 0,9 1,1 1,3

g(x) 5 2 1 − 0,1 − 4 5 3,4

Recopier et compléter les égalités suivantes:

a. g(− 0,1) = ...

b. g(...) = 1

c. g(0,9) = ...

d. g(...) = − 4

e. g(0,7) = ...

f. g(...) = 5

35 Ce graphique représente une fonction h :

a. Quelle est l'image de 0 par la fonction h ?

b. Quels nombres ont pour image 0 par la fonction h ?

c. Donner une valeur approchée de l'image de 4 par la fonction h et de l'image de − 3 par la fonction h.

36 On considère la fonction g définie par g(x) = (x − 3)(x 1).

a. Quelle est l'image de 2 par g ?

b. Quelle est l'image de − 5 par g ?

c. Quels sont les préimages de 0 par g ?

d. Donner une préimage de − 3 par g.

37 On considère le programme de calcul :

i Choisir un nombre ;

ii Ajouter 6 à ce nombre ;

iii Multiplier le résultat par le nombre de départ ;

iv Ajouter 9 au résultat.

a. Quel nombre obtient-on si l'on choisit 2 comme nombre de départ ? Donner le résultat sous la forme du carré d'un nombre.

b. Même question avec 5.

c. On note x le nombre choisi au départ et on appelle f la fonction qui, au nombre x, associe le résultat du programme précédent.Quelles sont les images de 2 et de 5 par la fonction f ?

d. Exprimer, en fonction de x, l'image de x par la fonction f. Donner le résultat sous la forme du carré d'un nombre.

e. Recopier et compléter le tableau suivant :

x 2 5 0 −4 −8 2,5

f(x)

f. Donner une préimage de 1 par f.

g. Représenter graphiquement la fonction f.


10

1

25

h. En utilisant le graphique, quels nombres peut-on choisir au départ pour obtenir 81 comme résultat ?

i. Retrouver la réponse précédente par le calcul.

38 Soit un triangle équilatéral :

a. Calculer la hauteur puis l'aire d'un triangle équilatéral de côté 5 cm.

b. On note x le côté d'un triangle équilatéral (en cm). Exprimer sa hauteur en fonction de x.

c. On appelle f la fonction qui à x associe l'aire du triangle équilatéral de côté x.

i Déterminer une expression de f.

ii Calculer f(5) ; f(3) et f 3 .

39 Considérons les fonctions de degré 2

définies par : f (x )=14

x²+x+3 et

g (x)=x²−8 x+12 .

Déterminer pour chacune de ces fonctions :

a. les zéros ;

b. l’axe de symétrie de la parabole ;

c. les coordonnées du sommet S de la parabole ;

d. la concavité ou convexité de la parabole ;

e. l’ordonnée à l’origine ;

f. le tableau des signes ;

g. les intervalles de croissance/décroissance ;

h. la représentation graphique.

REPONSES DES EXERCICES SUPPLEMENTAIRES

33

a. g(6) = − 5,3

b. f (2,5) = 4,2

c. h(3) = 7

d. p( − 4) = − 6,5

e. m(5) = 0

34

a. 7 a pour image − 17 par la fonction f . f(7) = − 17.

b. − 5 a pour image 3,2 par la fonction g. g(− 5) = 3,2.

c. Par la fonction h, x a pour image − 4x2. h(x) = − 4x2.

d. − 3 est l'image de x par la fonction v . v(x) = − 3.

35

a. g(− 0,1) = 2

b. g(0) = 1

c. g(0,9) = − 4

d. g(0,9) = − 4

e. g(0,7) = − 0,1

f. g(1,1) = 5 ou g(− 0,5) = 5

36

a. L'image de 0 par h est − 1.

b. Les nombres qui ont pour image 0 par h sont − 2 et 2.

c. Une valeur approchée de l'image de 4 par h est 3,25.Une valeur approchée de l'image de − 3 par h est 1,25.

37

a. g(2) = (2 − 3)(2 1) = − 3.

b. g( − 5) = (− 5 − 3)(− 5 1) = 32

c. On cherche les valeurs de x telles que : g(x) = 0

(x − 3)(x 1) = 0

un produit étant nul si l'un des facteurs est nul

x − 3 = 0 ou x 1 = 0

x = 3 ou x = − 1

Les préimages de 0 par g sont − 1 et 3.

d. On peut constater que (0 − 3)


B C

A

H

26

(0 1) = − 3. Donc 0 est une préimage de − 3 par g.

(On peut aussi développer g(x)...)

38

a. (2 6) 2 9 = 25 = 5².

b. (5 6) 5 9 = 64 = 8².

c. 2 a pour image 25 par la fonction f et 5 a pour image 64 par cette même fonction.

d. f(x) = (x 6) x 9 = x² 6x 9=(x 3)²

e.

x 2 5 0 − 4 − 8 2,5

f(x) 25 64 9 1 25 30,25

f. On cherche les valeurs de x telles que :

f(x) = 1

(x 3)² = 1

(x 3)² − 1 = 0

[(x 3) − 1][(x 3) 1] = 0

(x 2)(x 4) = 0

donc x 2 = 0 ou x 4 = 0

x = − 2 ou x = − 4

Les préimages de 1 par f sont − 4 et − 2.

g. Par anticipation de la suite, la courbe est tracée pour x entre -14 et +8.

h. Par lecture graphique, en prolongeant la courbe obtenue, on peut estimer que 81 a pour préimages − 12 et 6.

i. On cherche les valeurs de x telles que :

f(x) = 81

(x 3)² = 81

(x 3)² − 81 = 0

[(x 3) − 9][(x 3) 9] = 0

(x − 6)(x 12) = 0

donc x − 6 = 0 ou x 12 = 0

x = 6 ou x = − 12

Les préimages de 81 par f sont − 12 et 6.

39

a. Dans le triangle AHB, rectangle en H, on a d'après le théorème de Pythagore,

AH2 BH2 = AB2

Donc AH2 = AB2 − BH2 = 52 − 2,52 = 18,75

Et AH = √ 18 ,75≈ 4 ,33 cm

On note A l'aire de ABC :

A = AH ⋅BC2

=5√ 18 ,75

2≈ 10 ,8 cm 2 .

Dans le triangle AHB, rectangle en H, on a d'après le théorème de Pythagore,

AH2 BH2 = AB2.

Donc AH2 = AB2 − BH2 = x2 − x2

4= 3 x

2

4.

Alors AH = √ 3 x 24 = √ 32 x .b. L'aire de ABC est encore calculée par :

AH ⋅BC2

=

√ 32

x ⋅x

2, d'où f (x )= √ 3

4x2

f 5 = 34

⋅52= 25 34

f (3) = √ 34

⋅32=9√ 34

f (√3) = √ 34

⋅√ 32 = 3√ 34


x-14-12-10-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8102030405060708090

100110120130

f (x)

27

40

Pour la fonction f :

a. pas de zéros ( Z f =∅ )

b. x = -2

c. S =(-2 ; 2)

d. a > 0 => parabole convexe ∪

e. f (0) = 3

f. tableau de signes :

x – ∞ + ∞

f(x) +

g. f est croissante sur I =[−2 ;∞[ et décroissante sur I =]−∞ ;−2] .

h.

Pour la fonction g :

i. g (x)=x²−8 x+12=(x−2)(x−6) donc les zéros de g sont x = 2 et x =6 ( Z f ={2 ;6} ).

j. x = 4

k. S =(-4 ; 4)

l. a > 0 => parabole convexe ∪

m. f (0) = 12

n. tableau de signes :

x – ∞ 2 6 + ∞

g(x) + 0 – 0 +

o. g est croissante sur I =[4 ;∞[ et décroissante sur I =]−∞ ;4 ] .

p.


-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

87654321

-1-2-3-4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

121110987654321

-1-2-3-4-5

28

La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques

Blaise Pascal (1623-1662)

Savoirs

✔ fonction, fonction réelle ;

✔ image, préimage, domaine de définition, ordonnée à l'origine, ensemble des zéros, représentation graphique ;

✔ modélisation, domaine des valeurs intéressantes pour le problème (Dvipp) ;

✔ signe, tableau de signes, intervalles de croissance/décroissance ;

✔ différence entre f, f(x) et représentation graphique de f ;

✔ fonction constante, fonction du premier degré, fonction du deuxième degré, fonction identité ;

✔ caractéristiques des fonctions du deuxième degré : axe de symétrie, sommet, concave/convexe, forme standard, forme factorisée, forme développée ;

✔ autres fonctions élémentaires : racine carrée, un sur x, x cube, valeur absolue ;

✔ .............................................................................................................................................

✔ ............................................................................................................................................

✔ ............................................................................................................................................

Savoir-faire

✔ étant donnée l'expression algébrique d'une fonction, calculer des images et préimages ;

✔ étant donnée la représentation graphique d'une fonction, déterminer des images et préimages ;

✔ déterminer rapidement quelques paramètres :

✔ domaine de définition, intersections avec les axes (zéros, ordonnée à l'origine) ;

✔ selon les cas : axe et sommet, quelques images ;

✔ savoir représenter graphiquement des fonctions ;

✔ décrire en français la transformation effectuée par une fonction dont on connaît l'expression algébrique ;

✔ modéliser une situation à l'aide de fonctions ; déterminer le domaine des valeurs intéressantes pour le problème (Dvipp) ;

✔ ............................................................................................................................................


Notes personnelles

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Manuel Sesamath Mathématiques 2e Chapitre 1 -...

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