Manuel de Calcul Numerique Applique (Guilpin C., 1999)_EDP Sciences_9782868834065_Mohcine_Canada

7/23/2019 Manuel de Calcul Numerique Applique (Guilpin C., 1999)_EDP Sciences_9782868834065_Mohcine_Canada

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MANUEL D E C A L C U L

NUMRIQUE APPLIQU

Christian GuilpinMa t re de Co nf r en ce , re sp on sa bl e de 1 enseignement des mathmatiques appliques

en matrise de Physique et Applications luniversit Paris VII-Denis Diderot

/ E D P ISCIENCES

7, avenue du Hoggar

Parc dactivit de Courtabuf, BP 11291944 Les Ulis Cedex A, France


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Avant-propos

Ce livre de calcul appliqu trouve son origine dans un cours dispens aux tudiants de matrisede physique et applications (MPA) luniversit Paris VII depuis 1984, ainsi que dans quelquesproccupations de recherche au laboratoire .

Ce manuel ne constitue pas proprement parler un cours au sens usuel du mot, et si certainschapitres ont des liens vidents et senchanent naturellement, dautres, plus isols, ont t runissous forme dannexes pour prserver au mieux lunit, mais leur importance nest pas secondaire.

Lorganisation de cet ouvrage vise une prsentation suffisamment concise et assimilable desalgorithmes num riques fondamen taux, dvelopps jusqu leur mise en uvre, de telle sortequils soient susceptibles daider ltudiant, le chercheur et lingnieur dans lexercice quotidiende leur art : il sagit de pouvoir obtenir des rsultats numriques convenables chaque fois quunemthode analytique fait dfaut.

Pour ce qui concerne certains thormes trs importants, nous nous sommes parfois born les noncer sans les dmontrer, le contraire eut risqu d e nous loigner de not re proccupa-tion majeure : le rsultat nu mrique ; cependant, les indications bibliographiques permettentdobtenir aisment ces dmonstrations qui sont classiques.

Les objectifs poursuivis se situent sur deux plans que lon a coutume de sparer mais qui sontindissociables de notre point de vue : lacquisition dalgorithmes numriques indispensable larsolution de problmes usuels et la matrise du traitement des donnes exprimentales selon lamthode statistique. Traiter les donnes de lexprience impose lusage de techniques numriquesapp ropr ies, et lexamen d es rsultats entachs derreur et d incertitude impose lusage d e lastatistique. La propagation des erreurs travers les algorithmes relve dune analyse subtile qui

est ternellement omise tant elle est dlicate. Nous avons tent de leffleurer et cest une desraisons qui nous a pouss dvelopper ltude des lois de distribution ainsi que leurs fondementsdans une partie qui est davantage dvolue aux statistiques.

De mme qu il est impensable de vouloir ap prend re jouer d u piano la veille de d onner u nconcert, de mme il est impensable de vou loir apprend re lalgorithm ique nu mrique le jour ole besoin simp ose. Dans les deux cas, il convient d e recourir au x gamm es afin d acqurir u nesolide exprience. En calcul nu mr ique il ny a p as de voie royale, et aucun algorithme n estcapable de fournir d e rsultats corrects quelles que soient les d onnes fourn ies. Il est tou jourspossible de mettre en dfaut une procdure et dobtenir des rsultats abrrants pourvu que lonsen d onne la peine... Un trs bel exemple est tud i loccasion d e la rsolution d es systmeslinaires dpendant dune matrice de Hilbert.

Lexprience pratique prend alors toute sa valeur, et cest ainsi que notre enseignementcomporte un e sance hebdomad aire de trois heures sur calculateur arithmtique. Peu imp orte

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MANUEL DE CALCUL NUMRIQUE APPLIQU

le langage et la manire, seul le rsultat correct 8 compte et ce nest pas une mince affaireque de se faire une opinion sur les erreurs qui entachent les rsultats finals. Ensuite viendrontventuellement se greffer les problmes dlgance et doptimisation.

En aucun cas, cet enseignement na pour but dexplorer et de recenser tous les algorithmesayant trait un type de problmes. Nous avons voulu prsenter ceux qui se sont montrsparadigmatiques soit sous langle de la simplicit soit sous langle de lefficacit. Il sagit deconstruire des programmes que nous aurons soigneusement tests, dont nous connatrons leslimites et qui rempliront peu peu notre bote outils.

Pour simplifier, nous dirons que ce livre peut se subdiviser en trois parties savoir :

1. tudes dalgorithmes numriques et leur mise en oeuvre.

2. Analyse statistique des rsultats dexpriences.3. Annexes, problmes et corrigs.

Nous lavons dj dit, les deux premires parties interfrent partiellement, et cest une desraisons pour laquelle nous avons renonc prsenter un ouvrage o tout ce qui est tudi dansun chapitre sappuie ncessairement sur ce qui a t tabli prcdemment. Par souci dunit nousavons prfr regrouper les titres par centre dintrt. Ainsi, il nous est apparu plus intressantdavoir rassembl ltude des polynmes orthogonaux plutt que davoir dispers linformationdans diffrents chapitres concernant linterpolation et lintgration numrique.

Il aurait t dommage de ne pas avoir abord, ne serait-ce que rapidement, les mthodes deMonte-Carlo dune part, et les problmes mal poss dautre part. Ces domaines illustrent bien

la synthse des deux premires parties, dautant plus quils sintgrent remarquablement dansles proccupations des chercheurs et des ingnieurs. Qui, en physique, na pas eu rsoudrenumriquement une quation de convolution? Qui na pas tent la rsolution dun problme aumoyen dune simulation?

Pour terminer nous proposons un avant-dernier chapitre constitu dun ensemble de problmeset dexercices qui illustrent quelques usages des mthodes qui ont t prsentes; ils serventgalement clairer quelques points de thorie qui seraient venus alourdir le cours sils avaientt intgrs dans les divers chapitres : on montre par exemple que le coefficient de conformitde Pearson obit bien une loi du x2. Le dernier chapitre donne les solutions des problmesprsents.

La plupart des chapitres font lobjet dune illustration et se terminent par des programmescrits dans le langage C : il sagit du langage de base qui assure la portabilit. Ce point de vuesexplique par la facilit quil y a changer de langage : Fortran , Pascal, etc., sans avoir grandchose modifier dans le programme source. On nest pas oblig de partager ces vues, mais il esttrs facile de modifier les programmes proposs pour quils apparaissent moins archaques .

Pour en finir avec les algorithmes choisis et les programmes prsents, nous dirons quilssont fournis sans garantie daucune sorte malgr le grand soin port ce travail. Ils peuventcomporter des imprcisions voire des imperfections, ceci sajoute le fait quaucun algorithmenest irrprochable dans la mesure o il est toujours possible de trouver des valeurs numriquesqui le mette en dfaut.

Bien sr, nous formons le vu que cet ouvrage puisse apporter une aide solide aux tudiants,ingnieurs et chercheurs pour lesquels il constituera un outil dont le rle favorise la ralisationde sa propre bote outils.

La rdaction dun ouvrage ne se ralise jamais dans lisolement, et il ma fallu bien des oreillesattentives, bien des lecteurs vigilants, bien des conseillers clairs. Linstant est venu de remerciertous ceux qui, quelque titre que ce soit, mont apport une aide inconditionnelle, je citerai

par ordre alphabtique : Claude Bardos, Jean Bornarel, Jacques Gacougnolle, Patricia Guilpin,


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Sommaire

AVANT-PROPOS 3

1. GNRALITS SUR LE CALCUL NUMRIQUE 17

1 . La not ion da lgor ithme en ca lcu l numr ique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Le calcul numrique ne concerne que les nombres ent iers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Le calcul numrique traite du problme pratique de lapproximation de fonctions

e x p l i c i t e s o u i m p l i c i t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 . Solu tions litt rales et solu tions analy tiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . Q ue sa it-on ca lcu ler r igou reu semen t? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Les erreu rs et les in certitu d es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Un problme difficile : la propagation des erreurs en calcul automatique . . . . . . . . . . . . . . .

8. Rexamen des er reur s du poin t de vue stat ist ique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Su r la r ep rsen ta tion d es n ombr es en mach in e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. lm en ts d e bibliograp hie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. QUELQUES ALGORITHMES ACCLRATEURSDE LA CONVERGENCE DES SUITES 31

1. Lalgorithme A2 dAitken ( 1 8 9 5 - 1 9 6 7 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312. Le procd dextrapolation de Richardson (1881-1953). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Prsen ta tion de lepsilon-a lgor ithme sca la ir e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Lep silon -a lgor ith me v ector iel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Lepsilon-algorithme matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6. Remarques et proprits de lepsilon-algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7. Proprits remarquables du procd A2 dAitken et de l'epsilon-algorithme . . . . . . . . . . . . 398. lments de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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3. LESDVELOPPEMENTSASYMPTOTIQUES 43

1. Un exemple de dveloppement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432. Quelques proprits utiles des dveloppements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Dveloppement asymptotique de quelques fonctions spciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. lments de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. RSOLUTIONDES QUATIONSNUMRIQUES 511. Gnralits sur la rsolution des quations f(z) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512. Rsolution dun systme non linaire de deux quations deux inconnues .. . . . . . . . . . . . 59

3. Racines dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5. LMENTSDECALCULMATRICIEL 691. Multiplication de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2. Rsolution dun systme linaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3. Inversion dune matrice carre dordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784. Calcul des valeurs prop res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795. lments de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6. L'INTERPOLATION 89

1. De la lgitimit de linterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2. Le polynme de Lagrange (173661813). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903. valu ation d e lerreu r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4. Comment minimiser E(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935. Autre disposition pratique du calcul du polynme de Lagrange .. . . . . . . . 94

6. Cas o les abscisses sont en progression arithmtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7. Les polynmes dinterpolation de Newton (164331727) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8. Le polynme dinterpolation de Stirling (169221770) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9. Le polynme dinterpolation de Bessel (178441846). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10. Erreurs commises en utilisant les polynmes dinterpolation .. . . . . . . . . . . . 100

11. Programmes dterminant les polynmes dinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

12. Interpolation par les fonctions-spline. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

13. Les fonctions-spline du troisime degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

14. Rsolution dun systme linaire dpendant dune matrice tridiagonale 104

15. Une application simple des polynmes dinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

16. Lalgorithme dinterpolation dAitken (1932) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10617. Approximation par une combinaison linaire de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 109

18. lments de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7. LESPOLYNMESDELEGENDRE.MTHODED'INTGRATIONDEGAUSS-LEGENDRE 113

1. Les polynm es de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132. Mthode dintgration de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

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S O M M A I R E

8. LES POLYNMES DE TCHEBYCHEFF.APPLICATION LA MTHODE DE GAUSS-TCHEBYCHEFF 1 3 3

1. Les polynmes de Tchebycheff (1821-1894) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332. Une proprit essentielle des polynmes de Tchebycheff coefficient principal rduit . 1343. Les racines des polynmes de Tchebycheff &+I(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354. Calcul des poids Hk correspondant aux racines zk du polynme T,+r(x). . . . . . . . . . . . . . . 1355. Mthode din tgra tion de Gauss-Tchebycheff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6. Calcul de lintgrale 1 = 7 f(x)~a dM d z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367. Calcu l de ler reur commise lor s de lapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378. Fonctions gnratrices des polynmes de Tchebycheff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399. Un exem ple din tgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9. LES POLYNMES DE LAGUERRE.MTHODE DINTGRATION DE GAUSS-LAGUERRE 1 4 1

1. Relation de rcurrence entre trois polynmes conscutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2. Rela tion de r cur rence fa isant in terven ir la dr ive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423. Les premiers polynmes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424. Calcul des coefficients des n premiers polynmes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435. Orthogonalit des polynmes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436. Calcul des racines des premiers polynmes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447. Calcul des poids HI, correspondant aux racines X~C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458. Calcul numrique des poids Hk associs a ux r acin es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459. Calcul des intgrales du type 1 = Sexp (-z)f(s) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10. Calcul de lerreur commise lors delapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14711. Fonction gnratrice des polynmes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912. Calcu l numr ique de la tr ansforme de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14913. Appendice : Les polynmes de Laguerre gnraliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010. LES POLYNMES DHERMITE.

LA MTHODE DINTGRATION DE GAUSS-HERMITE 153

1. Relation de rcurrence entre trois polynmes conscutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Rela tion de rcur rence en tre po lynmes et dr ives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Les premiers polynmes dHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Calcul des coefficients des premiers polynmes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Orthogonalit des polynmes dHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Calcul des racines des premiers polynmes dHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Calcul des poids HI, correspondant aux racines xk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Technique de calcul des intgrales du type 1 = 7 exp (-x2/ 2) f(x) d z . . . . . . . . . . . . . . . .9. Aut res notat ions tr s u tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .y:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Calcul de lerreur commise lors de lapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. Fonction gnratrice des polynmes dHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12. lm en ts d e bibliograp hie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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SOMMAIRE

15. LES SRIES DEFOURIER 229

1. Petit aperu historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Orthogonalit des fonctions sinus et cosinus sur une priode.. . . .

3. Srie de Fourier associe une fonction priodique . . . . . . . . . . .4. Conditions dgalit de f(z) et de la srie de Fourier associe . . .5. Quelqu es p rop rits rem arqu ables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Approximation des fonctions par une srie de Fourier tronque..7. Cas o la fonct ion est d iscontinu e lorigine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Le phnomne de Gibbs (1839-1903) et lepsilon-algorithme . . . .9. Reprsentation des sries de Fourier avec un terme de phase . . . .

10. criture du dveloppement sous forme complexe.. . . . . . . . . . . . . .11. Approximation des fonctions au sens de Tchebycheff . . . . . . . . . . . .12. Application des sries de Fourier au filtrage numrique.. . . . . . . .13. propos du dveloppement des fonctions non priodiques.. . . . . .14. Calcul des sries de Fourier coefficients approchs dans L2 . .15. lments de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .. .

. . . 229

. . . 231

. . . 232

. . . 233. . . 234. . . 235. . 238. . . 238. . . 241. . . 241. . . 242. . . 244. . . 246. . . 246. . . 247

16. LESTRANSFORMESDEFOURIER 249

1. Extension des sr ies de Fourier au cas o la pr iode est infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2492. Conditions dexistence des transformes de Fourier dans les espaces L1 et L2 .......... 2523. La transforme de Fourier dans lespace L1 ................................................ 2534. Les transformes de Fourier dans lespace L2 .............................................. 2555. Produit de convolution dans les espaces L1 ou L2 ........................................ 2566. Sur le ca lcu l numr ique des t ransformes de Four ier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

7. Cas d es fon ction s ch an tillon nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2608. Calcu l p ar u n algorith me ord in aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2619. Lalgorithme de Cooley-Tukey (1915- ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

10. P rog rammes de ca lcu l d es tr an sfor mes de Fou rier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26611. Un problme fondamental : quelle doit tre la priode dchantillonnage

d e la fonction f(z)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26712. La distribution de Dirac (190221984) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26913. Transformes de Fourier multidimensionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27114. lm ents d e bibliograp hie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

17. INITIATION AUX PROBLMES MAL POSS:QUATIONS INTGRALE~,SYSTMES LINAIRES MALCONDITIONNSETQUATIONSDECONVOLUTI~N 2731. Un exemple de problme mal pos :

le calcul des sries de Fourier coefficients approchs dans L2 .......................... 2732. Lquation intgrale de Fredholm (186661927) de premire espce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2743. N otion d e p roblm es bien et m al p oss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2764. Mthode de rgularisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2765. Application la rsolution approche des quations intgrales

de Fredholm de premire espce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2806. Rsolu tion dun systme lina ire mal condit ionn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

7. Rsolution des quations de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838. Bibliograp hie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

11


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SOMMAIRE

23. SYSTMES PLUSIEURS VARIABLES ALATOIRES 3411. Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Systme de variables alatoires, fonction de rpartition . . . . . . . . . . . .

3. Variables alatoires lies et indpendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Caractristiques numriques, covariance, coefficient de corrlation5. Gnralisation au cas de plusieurs var iables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 . Q uelq ues th or mes imp or tants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Proprits du coefficient d e corrlation (dmonstrations). . . . . . . . . . .8. lmen ts d e bibliograph ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24. CRITRES DE CONFORMIT 351

341341

343343345346348349

1 . Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Reprsentation des donnes numriques. Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Conformit entre une rpartition thorique et une rpartition exprimentale(ou rp artition statistiqu e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Le xi d e P earson (1857-1936) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Critre de Kolmogorov (190331987) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Estimation des paramtres dune loi inconnue. Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. lm en ts d e bibliograp hie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25. TUDE DES DPENDANCE S DANS LE CAS LINAIR E 3611. Les types de schmas de dpendance linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Fondements de lanalyse de corrlation-rgression. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Conclu sions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. lmen ts d e bibliograph ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

351

352

353353356356359

361

364369370

26. ANALYSE DE CORRLATION ET DE RGRESSION 371

1. La corrlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Rgression lin aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. lmen ts d e bibliograph ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

371375379

ANNEXES 381

A. LES SUITES DE STURM. APPLICATION LA DTERMINATIONDU NOMBRE DE RACINES RELLES DUN POLYNME 383

1. Notion de variations dune suite numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Suite de Sturm gnre par tir dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Quelques p ropr its des su ites de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Le t hor me d e Stur m (1829) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Disposition des calculs, schma de Routh (1831-1907) . . . . . . . . . . . . .6. Quelques exemples de su ites de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Mise en uvre du thorme de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. lmen ts d e bibliogr ap hie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

383383384385386386

386387

13


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B. POLYNMES ORTHOGONAUX RELATIVEMENT UNE FONCTION POIDS.GNRALISATIONDELAMTHODEDEGAUSS 389

1. Gnralisation de la notion de polynmes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

2. Dcomposition dune fonction f(z) sur la base des polynmes IV~(Z) orthogonauxsur lintervalle (u,b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

3. Racines des polynmes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

4. Relation de rcurrence entre trois polynmes orthogonaux conscutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

5. Gn ra lisation d e la mth od e d e Gau ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

6. Expression de lerreur en remplaant 1 par J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 47. lments de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

C. LES FRACTIONS CONTINUES 397

1. Un exemple de fraction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les fr act ions con tinues fin ies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les fractions continues infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Dveloppement en fraction continue partir dun dveloppementen srie en tire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Dveloppement en fractions continues de sries usuelles . . . . . . . . . . .

6. Dveloppement en fraction continue partir dun produit infini . .

7 . lmen ts d e bibliograph ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

397

398

400

401

402

403

404

D. LESAPPROXIMANTSDEPADETDEMAEHLY 405

1. Le thorme fondamental de Pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

2. Sur le calcul effectif des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

3. Estimation d e lerr eu r commise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

4. Dveloppements de quelques fonctions en approximants de Pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

5. Gnralisation des approximants de Pad, mthode de Maehly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4146. Erreur lie lusage des approximants de Maehly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

7. Difficults lies la recherche dune gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

8 . lm en ts d e bibliograp hie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

E. CALCULDESFONCTIONSDEBIBLI~THQUELMENTAIRES 4211. Calcul de exp(z) pour x appartenant (-CO, +oo) . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Calcul de sin(z) et COS(X) pour 2 appartenant (-CO, $00) . . . . . . . .3. Calcul de loge(z) pour z appartenant (0, +oo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Calcul de tangente et cotangente pour 5 appartenant (-00, +~CI)5. Calcul de argtanh(z) pour z appartenant (0,l) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Calcul de a r c t a n pour z appartenant (0, +co) . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Calcul de a r c s i n et arccos pour 2 appartenant (0,l). . . . . . . .8. Calcul de la racine carre pour 2 appartenant (0, oo). . . . . . . . . . . . . .9 . lments de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

421

423

425

425426

426

426

427427

1 4


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S OMMAIRE

F. CALCULNUMRIQUEDES FONCTIONSDEBESSEL 429

1. Lquation diffrentielle des fonctions de Bessel (1784.2. Relations de rcurrence.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Reprsentation de Jy(z) par une intgrale dfinie.. . . .4. Technique de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Calcul de lerreu r sur Jo(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. lments de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1846)

..............................

..................... 429

.....................

430. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

G. LMENTS SUCCINCTS SURLETRAITEMENTDU SIGNAL1. Puissance et nergie dun signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La cor rla tion et ses p rop rits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Applica tions de la cor rla tion ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. La convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . Notions sur le filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Notion de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. lmen ts d e bibliograp hie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

433

.......... 433

... .. .. . . . 435

.. . . . . . . . . 437

... .. .. . . . 439

... .. .. . . . 440

... .. .. . . . 441

. . . . . . . . . . 442

H. PROBLMESETEXERCICES 443

1. Gn ralits su r le ca lcu l n umriqu e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

2. Algor ithmes acclrateurs de la convergence des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

3. Les dveloppements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

4. Rsolu tion d es qu ation s n um riqu es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

5. lm en ts d e calcu l m atriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

6 . Linterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

7. Intgration des quations diffrentielles dans le champ rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

8. In tgra tion des quations aux dr ives part ielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

9. Les tran sform es de Fou rier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

10. Introduction aux mthodes de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47011. lm en ts d e calcu l des p robabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

12. Lois (Binomiale, Poisson, Gauss-Laplace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47213. La fonction caractristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

14. La loi du x2 et la loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48115. Systmes plusieurs variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

16. Critres de conformit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

17. tude des dpendances dans le cas linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

18. Analyse de corrlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

19. Les fractions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49420. lmen ts d e tr aitemen t d u sign al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

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1 . CORRIGS DES PROBLMES ET EXERCICES 497

1. Gnralits sur le calcul numrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Algorithmes acclrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les dveloppements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Rsolut ion des quations numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. lments de ca lcu l mat riciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 . Interp olation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Intgration des quations diffrentielles dans le champ rel8. Intgration des quations aux drives partielles . . . . . . . . . . . .

9. Les tr an sfor mes d e Fou rier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10. Introduction aux mthodes de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. lments de calcul des probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12. Lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. La fonction caractristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14. La loi du x2 et la loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15. Systmes plusieurs variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 6 . Critres d e con form it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17. tude des dpendances dans le cas linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .18. Analyse de r gression-corrla tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19. Les fraction s con tin ues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20. lments de t ra itement du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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obtenir la solution sous forme littrale. Cependant, chacun sait que les pendules sont capricieux,et tous nont pas le bon got de vouloir limiter lamplitude de leurs oscillations. Cest le rle ducalcul numrique que dapporter une rponse ces types de problmes et lon verra chaque fois

de quelle manire.

4. Solutions littrales et solutions analytiques

propos du pendule, nous avons dit que la solution e(t, 00, w2) ne pouvait tre exprime sousforme littrale cest--dire que lon ne pouvait pas donner une expression formelle en fonctiondes transcendances usuelles et des polynmes. Cela ne signifie nullement que la solution nest pasune fonction analytique. ce sujet, rappelons quune fonction est dite analytique lorsquelle estdveloppable en srie entire, que la fonction soit relle ou complexe, que les arguments soientrels ou complexes. Dailleurs, sans prjuger de la suite, on peut ajouter que le calcul numriquefait amplement appel aux dveloppements en srie dans de nombreuses mthodes, et dunefaon tout fait gnrale, on peut affirmer que toutes les solutions numriques sont des valeursnumriques de fonctions analytiques. En rsum, pour viter tout abus et toute ambigut, ilconvient de distinguer lexpression formelle dune fonction avec son expression analytique.

5. Que sait-on calculer rigoureusement?

Comme nous ne pouvons traiter que de nombres admettant une reprsentation finie de chiffressignificatifs, seules ladd ition, la soustraction et la mu ltiplication donneront des rsultatsrigoureux lors de lexcution des diffrentes oprations (encore avons-nous fait abstraction desrels problmes de la taille rserve pour reprsenter les nombres). La premire division venue

a statistiquement toutes les chances dintroduire un rsultat comportant un nombre infini dechiffres significatifs.

Sur le plan du calcul des fonctions, seuls les polynmes (dont le degr est videmment fini)sont susceptibles dtre calculs rigoureusement (ou avec une prcision souhaite lavancedans la mesure o le calcul peut faire intervenir la division). L repose le grand intrt desdveloppements en srie (de MacLaurin (1698-1746) et Taylor (168551731)) qui fournit uneexpression calculable sachant que lon se fixe lavance une prcision donne et sachant que lonpeut majorer convenablement lexpression du reste de la srie. Au passage, il est bon de noterque lon sait en gnral raliser une opration formelle importante : la drivation, indispensableau calcul des coefficients du dveloppement en srie.

Considrons une fonction f(x) rgulire cest--dire continue, drivable autant de fois que lonveut dans un domaine D contenant a et a + h, son dveloppement en srie de Taylor scrit :

f(a +h)=f(a) + f(a)-h2+-+ f()(a)-+ -tR~+In.o R~+I est lexpression du reste lorsque lon tronque par ncessit le dveloppement lordre72. Ce reste scrit :R f@+)(t) hTZ+ln+l = ( n + l ) !

o < est un nombre compris entre a et (a + h).Il est quasiment impossible de connatre 6 et, conformment lusage, on cherche un majorant

deGI dans lintervalle (a, a + h). ce propos, rappelons que si R,+l tend vers zro quand20


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1. GNRALITS SUR LE CALCUL NUMRIQUE

C o m m e1 1n(n + 1) - n ~~(n i 1)

on voit que la somme partielle limite au me terme scrit :STn=l- (m ;l ).

En effectuant un passage la limite quand m devient infini, on en conclut que la limite dela srie est gale 1. Ce nest pas lexamen mathmatique de cette srie qui va retenir notreattention, mais uniquement le calcul numrique effectif ainsi que lerreur qui en rsulte.

Quand on limite la somme aux m premiers termes, on peut majorer lerreur de troncature decette srie, cest une erreur mathmatique qui est majore par le premier terme abandonn dela srie convergente alterne :

e --.m - (m k l ) prsent supposons que les calculs soient raliss sur une machine qui travaille avec des

nombres reprsents sur 5 octets. Chaque tape du calcul introduit une erreur de lordre de

(cf. 09) : f& = 10-9J32.Comme il ny a pas derreur sur les multiplications (pas de troncature), seules sont prises

en compte les erreurs sur les inversions et sur les additions : soient au total 2m oprationssusceptibles dapporter une contribution ce que nous appellerons lerreur globale J!&. On peutmajorer Eg :

E , = 2m e,.Nous donnons ci-dessous un tableau (Tab. 1.1) o sont ports m, S,, lerreur globale, lerreur

statistique et 1 ~ S -& ./1 - S -& 1est un terme qui reprsente les erreurs cumules au cours des oprations ralises

en machine, ce terme est dsign par erreur relle dans le tableau. Nous avons choisi de fairevarier m de 10 000 en 10 000 jusqu 50 000, puis de passer la valeur 100 000.

Tableau 1.1.

m S err. globa. 108 err. stat. 106 err. relle 106

10 000 0,999 900 0,931 0,475 0,32920 000 0,999 950 1,86 0,672 0,44030 000 0,999 967 2,79 0,822 0,25540 000 0,999 975 3,72 0,950 2,8850 000 0,999 980 4,66 1,06 2,30

100 000 0,999 991 9,31 1,502 77,0Il est facile de constater que les erreurs globales Eg majores a priori ne reprsentent pas

du tout la ralit, et pour m = 50000, Eg est environ 500 fois trop grand. On en conclut quecette manire de concevoir les erreurs napporte rien et surtout nest pas raliste. Il est bien

prfrable de raisonner en termes de probabilit. Du reste, la probabilit pour que lerreur soiteffectivement gale Eg est pratiquement nulle.

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8. Rexamen des erreurs du point de vue statistique

Supposons que lon utilise une machine qui travaille sur des mantisses de n chiffres significatifs.On va alors raisonner sur la valeur absolue de la mantisse considre comme un nombre entier.

Faisons lhypothse que lerreur de troncature puisse tre considre comme une variablealatoire continue que lon dsigne par X valeur sur (0,l).8.1. Cas o la distribution des X peut tre considre comme rectangulaire

On peut aisment calculer les caractristiques de la variable alatoire X. On calcule dabord lamoyenne :

s1

m = (X ) = XdX = 0,5;0

puis lcart quadratique moyen 0 :o2 = s I(X -m)2dX = 0,083 3,0

do lon tire o = 0,288 7. chaque opration, on peut associer lerreur une variable alatoire X. Sil y a N oprations

dans la procdure globale et si lon suppose que les erreurs sont indpendantes, lerreur totalesera la variable alatoire :

Y=&.3=1

Daprs le thorme central limite, Y est une variable alatoire gaussienne de moyenne m et

dcart quadratique moyen CT : CT; = Na2ce qui donne en dfinitive une mesure de lerreur donne par lcart type :

cy = 0,288 74%.fly constitue en gnral une bonne estimation de lerreur et nous rappelons ce sujet que laprobabilit pour que lerreur soit infrieure en module gy est 68%, 2a, est 95% et 3a, est99,7%.

En ralit la variable alatoire X prend ses valeurs sur lintervalle (0, 0,5) puisque la machineeffectue non pas des troncatures mais des arrondis, ce qui divise chaque erreur lmentaire par2. Il sensuit que : m = (X) = 0,25, g2 = 1,042 10P2, soit CT = 0,102, et cy = 0,102fi.8.2. Cas o X nest plus distribution rectangulaire

Reprenons lexemple prcdent et cherchons calculer la somme de la srie la prcision de lamachine , cest--dire que lon va arrter les calculs lorsque S,/ (n + l)/ (n+ 2) sera plus grandqu e 10g932 si lon dispose de 4 octets pour reprsenter la mantisse.

partir dun certain rang K < n, la division va introduire une erreur systmatique qui vagarder le mme sens trs longtemps. La distribution ne sera plus du tout rectangulaire et lesestimations effectues au moyen des erreurs gaussiennes deviennent caduques.

Grosso modo, la prcision optimum est obtenue pour une valeur de n voisine de 100000que nous avons porte dans le tableau. On voit trs bien que, pour ce type de problmes, les

grandeurs statistiques ne sont plus des estimateurs acceptables de lerreur, cependant elles ledemeurent pour n allant jusqu 50 000 environ.

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1. GNRALITS SUR LE CALCUL NUMRIQUE

9. Sur la reprsentation des nombres en machine

9.1. Les nombres entiers

Pour les entiers positifs la reprsentation retemre est la reprsentation binaire pure et pour lesentiers ngatifs la reprsentation binaire en complment deux. Nous allons montrer de quellefaon se ralisent ces reprsentations sur une machine travaillant sur des mots-mmoire de kbits (bit est la contraction de binary digit signifiant chiffre binaire).

Le nombre de configurations diffrentes susceptibles dtre obtenues est alors 2, on peutdonc reprsenter 2 nombres entiers en binaire. La plupart du temps il est convenu dutiliserle premier bit gauche pour exprimer le signe du nombre et lon adopte la valeur zro pourdsigner un nombre positif et la valeur un pour dsigner un nombre ngatif.

En ce qui concerne les nombres ngatifs, on prfre utiliser la reprsentation en complment deux qui permet alors deffectuer laddition des nombres et non la soustraction. Ajoutons que

lon gagne un chiffre dans la reprsentation car il ny a quune seule configuration pour zroalors quil y en aurait deux en signant les nombres ngatifs : une pour les positifs et une pourles ngat i f s .

Si lon se limite au point de vue opratoire, la reprsentation en complment deux consiste crire le nombre en binaire pur, puis changer le symbole zro en symbole un et le symboleun en symbole zro, et enfin ajouter un. Ainsi, de cette faon, on reprsente les nombres surlintervalle fini (-2-l, +2-l ~ 1).Exemple - On suppose que le mot-mmoire a la taille dun octet (8 bits), donc on peutreprsenter 256 configurations diffrentes, soit encore les nombres de -128 +127.

On dsire raliser lopration c = a + b avec a = 57 et b = -36. Les reprsentations binairessont les suivantes :

a 00111001 Ibl 00100100b 11011100 C 100010101

report

On saperoit alors, qu lexcution, il y a un dpassement de la capacit du mot-mmoire.La plupart des compilateurs masquent ce dpassement de capacit (report) et lon gnre desnombres entiers modulo 2. Cette proprit sera exploite pour gnrer des nombres pseudo-alatoires (cf. chapitre 19).9.2. Les nombres dcimaux ou flottants ou rels

La reprsentation entire ne permet pas une large dynamique et se trouve mal adapte lareprsentation des nombres de grande taille (grand module de lexposant). Pour fixer les ides,considrons un nombre de lordre de 101. Il faudrait des mots-mmoire constitus de 300 350bits pour le reprsenter en binaire pur ce qui est prohibitif dans la mesure o statistiquementpeu de nombres aussi grands sont utiliss, alors que toutes les oprations arithmtiques devrontporter sur tous les bits sans exception ; cela montre que la machine passerait le plus clair de sontemps travailler pour rien... Tout bien considr, mme si la taille de la mmoire devait treconsidrable, le problme des trs petits nombres fractionnaires resterait entirement pos.

En dfinitive, il sagit de trouver un compromis acceptable entre la prcision de la repr-

sentation et la taille du mot-machine, ce qui a une incidence directe sur le temps dexcutiondes oprations et la taille de la mmoire centrale. Avant denvisager la manire de stocker un

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d - Reprsentation des entiers et des flottants dans certains langages utiliss avec lesmicro-ordinateurs - Selon les logiciels et les ordinateurs utiliss, la reprsentation entireseffectue sur 2, 4 voire 8 octets : en binaire pur pour les entiers positifs et en complment

deux pour les entiers ngatifs. Dans le cas de deux octets, on dispose de nombres compris danslintervalle (-32 768, +32 767).R em a rq u e : En gnral, en arithmtique entire, au cours des calculs les dpassements decapacit sont automatiquement masqus et les calculs sont effectus modulo 2m, avec m = 8k - 1o k est le nombre doctets retenus pour la reprsentation. Cette proprit sera utilise pourgnrer des nombres pseudo-alatoires.

La reprsentation des nombres flottants seffectue sur des doubles mots soit 4 octets. Lesystme est identique celui utilis pour les Basics la diffrence prs toutefois quon nedispose plus que de 3 octets au lieu de 4 pour crire la mantisse. En consquence de quoi ladynamique est videmment la mme, tandis que la prcision se trouve un peu rduite, elle se

situe au voisinage de :

e, = 1/223 = 1,210F7.e - La double prcision - Par exemple, en C, dans les micro-ordinateurs usuels, la repr-sentation des nombres en double prcision seffectue sur 8 octets, soit 16 demi-octets. Les troispremiers demi-octets contiennent le bit de signe du nombre suivi de lexposant, ce qui permet unedynamique de lordre de 10~so8 10308 La mantisse est reprsente sur les treize demi-octets.restants. La plus petite mantisse est donc 8 x 1612 sur laquelle lerreur darrondi est 0,5. Laprcision relative la plus dfavorable est donc de lordre de 0,2 10p16.

10. lments de bibliographieN. BAKHVALOV (1976) Mthodes Numriques, ditions MIR.

C. BERNARD~, B. METIVET et R.VERFURTH (1996) A review of a posteriori errer estimationan d adaptive mesh-refinement techniques, Wiley.

H. BESTOUGEFF, GUILPINCh. et M. JACQUES (1975) La Technique Informatique, Tomes 1 et II,Masson.

B. DMIDOVITCH et L.MARON (1979) E l. ments de Calcul Nu m rique, ditions MIR.P. HENRICI (1964) Elements of Num erical Analysis, Wiley.F. HILDEBRAND (1956) Introduction to the numerical analysis, Mc Graw-Hill.D. Mc CRACKEN et W. DORN (1964) Numerical Methods and Fortran Programming, Wiley.E. NAGEL, J. NEWMAN, K. GODEL et J.-Y. GIRARD (1989) Le th orm e de Godel, Seuil.A. RALSTON et H.S. WILF (1965) Mth odes m at hm at iques pour calculateurs arithmtiques,

Dunod.H. RUTISHAUSER (1990) Lectures on numerical mathematics, Springer-Verlag.J. STOER et R. BULIRSCH (1993) Introduction to numerical analysis, Springer-Verlag.

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2. QUELQUESALGORITHMESACCLRATEURSDELA CONVERGENCEDES SUITES

Cette srie sera tudie chapitre 16 et elle servira dintroduction ltude du phnomne deGibbs. Du fait de la discontinuit de premire espce de la fonction, la srie converge lentementet, qui plus est, nous sommes en prsence du phnomne de Gibbs. En appliquant lepsilon-algorithme la suite des onze sommes partielles formes entre le terme dordre 40 et le termedordre 50 dont voici les valeurs :

SC)S;)

= 1 002 194 232 20

= 1043 240 233 83

S@)5;)

= 10 17 43 9

1052 942

936 43 S@) = 1 031279 464 80

5) = 1064 575 093 01 S)=

1066 278

746 94 S = 1060 110 382 53S S;) = =49

= 1061704 573 49

) 50= 1055 820 967 14 5;)48 1065 271752 62

720184.

on obtient la valeur : S = 1,000689 pour la valeur 5 = 0,l.Conclusion : lepsilon-algorithme fait disparatre le phnomne de Gibbs, cest--dire les lentes

oscillations au voisinage de la discontinuit.

4. Lepsilon-algorithme vectoriel

Les suites S(Q) ne sont plus des grandeurs scalaires mais des grandeurs vectorielles. Il est doncncessaire de prciser la technique de calcul des oprations proposes notamment en ce quiconcerne la grandeur :

l/ (SF& - SF) .La diffrence de deux vecteurs ne pose pas de problme, et il nous reste dfinir linverse Vp l(= l /V) dun vecteur V. Cette opration nest pas dfinie habituellement, mais pour le cas qui

nous proccupe, on admettra quelle est ralise en multipliant numrateur et dnominateur parle vecteur V* dont les composantes sont les composantes complexes conjugues du vecteur V .Ainsi nous avons :

v -1 =v * = u *.v . v* v2Cette prcision apporte, rien nest modifi dans la conduite du calcul.Si la suite traiter est forme de nombres complexes, rien ne nous empche de considrer

un nombre complexe comme un vecteur deux dimensions et dappliquer lepsilon-algorithme

vectoriel.Cet algorithme vectoriel trouvera son emploi chaque fois que le rsultat dun calcul itratif est

donn par un ensemble de valeurs (Uj) que lon peut alors considrer comme les composantesdun vecteur. Par exemple, nous tudierons la mthode de Picard qui permet dobtenir paritrations un chantillon dune certaine fonction solution dune quation diffrentielle. Cettemthode converge trs lentement et il va de soi que nous pourrons lacclrer au moyen delepsilon-algorithme vectoriel.

5. Lepsilon-algorithme matriciel

Ici, il ny a aucune difficult dfinir la diffrence de deux matrices carres de mme ordre etlinverse dune matrice, pourvu que cette dernire soit rgulire. La technique de calcul se trouve

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inchange. Il est bon de remarquer que lepsilon-algorithme ne sapplique qu des matricescarres ; il sensuit quune suite convergente de matrices rectangulaires ne peut pas tre acclrepar ce procd puisque ces matrices ne possdent pas dinverse mais seulement deux pseudo-inverses qui ne peuvent pas faire laffaire.

En revanche, sur le plan pratique, il est tout fait possible dappliquer lepsilon-algorithme une suite de matrices rectangulaires ou carres pour en acclrer la convergence et cela en faisantusage de lepsilon-algorithme vectoriel appliqu chacun des vecteurs-lignes ou chacun desvecteurs-colonnes. Cette remarque prend toute sa signification lorsque la suite des matrices estconstitue de ce que lon appelle des matrices mal conditionnes. Dans ce cas, il est extrmementfrquent dobtenir des erreurs de calcul trs importantes qui se rpercutent sur lensemble deslments de la matrice notamment lors de lopration dinversion. Cet aspect ngatif des chosesse trouve alors rduit par lusage de lepsilon-algorithme vectoriel.

Lepsilon-algorithme matriciel peut trouver une application lors des problmes de rsolution delquation de Laplace (174991827) (ou de Poisson) par la mthode itrative de Gauss-Seidel dans

le cas particulier o la reprsentation du maillage conduit une matrice carre. Toutefois, quelsque soient la gomtrie et le maillage retenu pour intgrer lquation de Laplace, ds lors quelon utilise une mthode itrative, il est toujours possible dutiliser ou bien lepsilon-algorithmescalaire ou bien lepsilon-algorithme vectoriel.

6. Remarques et proprits de Iepsilon-algorithme

1. Nous venons de voir la forme scalaire de lepsilon-algorithme, la forme vectorielle et laforme matricielle. Pour information, il existe aussi deux formes topologiques que nous nous

contentons de mentionner.

2. Lorsquon applique lepsilon-algorithme une suite, il nest pas ncessaire de dbuter lescalculs partir du premier terme de la suite et lon peut trs bien prendre les termes de 4 en4 partir du rang k pour former la suite initiale (cJ lexemple concernant le phnomne deGibbs).

3. Lepsilon-algorithme ne peut donner que ce quil a, cest--dire quil peut acclrer laconvergence condition toutefois que la prcision des termes retenus soit suffisante. Enaucun cas il ne peut fournir une prcision suprieure celle ui a servi faire les calculs

des termes initiaux. Autrement dit, si le dernier lment S, de la suite initiale a t4obtenu la prcision de la machine , cest--dire que laddition du terme suivant de lasrie laisse inchange la valeur de SC, il est inutile de vouloir appliquer lepsilon-algorithmequand bien mme bnficierait-on dun accroissement de prcision pour raliser cette dernireopration. Par exemple, si nous avons obtenu SC en simple prcision, lapplication delepsilon-algorithme en double prcision napportera strictement rien. Il nest pas possibledextraire une information qui nest pas contenue dans les donnes.

4. loccasion de ltude des sries de Fourier, on rencontre un phnomne gnant qui semanifeste au voisinage des points de discontinuit de premire espce (lorsque la fonctiondveloppe prsente ces discontinuits) : cest le phnomne de Gibbs (183991903). Lepsilon-algorithme supprime le phnomne de Gibbs qui se traduit normalement par des oscillationsde grande amplitude lesquelles samortissent trs lentement avec le nombre de termes de lasrie de Fourier.

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2. QUELQUESALGORITHMESACCLRATEURS DELA CONVERGENCEDESSUITES

5. Il est possible qu un moment donn la quantit ( S(p)k+l -SF)) soit nulle ce qui fait tomberen dfaut le mcanisme dacclration de la convergence puisque linverse de cette grandeurproduit un dpassement de capacit en machine. Dans la plupart des cas cette difficult se

rencontre lorsque les SF ont t calculs un moment donn la prcision de la machine et il sensuit que lon retiendra ce rsultat. Sil nen est pas ainsi, bien quil existe des rglesparticulires qui peuvent tre utilises, il est souvent prfrable dabandonner la procdure.En consquence de quoi, il est recommand deffectuer un test sur les diffrences (Si,, -S(p))dans le programme et de procder larrt des calculs lorsque lune de ces diffrences est nulle.Au pralable, on aura pris soin denregistrer ou de faire imprimer les rsultats partiels quidemeurent susceptibles dtre exploits.

Ralisations pratiques - Sur le Web (*), on trouvera deux programmes ralisant lun lepsilon-algorithme scalaire epsilon. h et lautre lepsilon-algorithme vectoriel evectr0. h.

L psilon-algorithme dans les autres chapitres

1. Calcul des limites de suites, application au calcul numrique des intgrales.

2. Calcul des sries de Fourier, suppression du phnomne de Gibbs, calcul des drives ayantun dveloppement divergent.

3. Rsolution des quations f(z) = 0.

4. Acclration de la convergence des mthodes itratives utilises lors de lintgration desquations diffrentielles.

5. Acclration de la convergence lors de la recherche des valeurs propres des matrices.

6. Acclration de la convergence lors de la rsolution des systmes linaires et non linaires.

7. Intgration des quations aux drives partielles de type elliptique.

8. Rsolution des quations intgrales de Fredholm de deuxime espce (srie de Liouville-Neumann).

On trouvera sur le Web (*) des illustrations de ces diffrents problmes : aitken2. c, epsil0. c,epsill. c, epsil2. c, epsi14. c, kacmarzi . c et newtono. c.

7. Proprits remarquables du procd A* dAitkenet de Iepsilon-algorithme

7.1. Le prolongement analytique

Si une fonction admet un dveloppement en srie de puissances convergent dans le disque D,on peut en gnral effectuer le prolongement analytique de cette srie en dehors du disque deconvergence. Alors il est possible dappliquer lun des algorithmes la suite des sommes partielles

*http:/ / www.edpsciences.com/ guilpin/39


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Exemple

1

U(z) = expz2 + 51 (cos(zr) + L&sin(rz)(y - 0,5)) U(y) dy.0

On a retenu neuf vecteurs, cest--dire les sommes partielles jusqu psA8y. Chacune des cesfonctions a t chantillonne sur vingt et un points. Nous avons obtenu pour les lments dudernier vecteur lordre de grandeur de 104 car la srie de Liouville-Neumann est divergente.

La technique de rsolution de lquation de Fredholm est une mthode self-consistante quipermet dobtenir aisment lerreur. Lepsilon-algorithme donne une erreur infrieure 10-12 ausens du sup.

On trouvera sur le Web (*) le programme f redholm. c qui ralise ce calcul.

8. lments de bibliographieC. BRZINSKI (1978) A lgorithm es dAcclrution de la Convergence, tude Numrique, ditions

Technip, Paris.

J.P. DELAHAY (1988) Sequence transformations, Springer-Verlag.A. RALSTON et R.S.WILF (1965) Mthodes mat hm at iques pour calculateurs arithmtiques,

ditions Dunod.

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Les dveloppements asymptotiques, encore appels sries semi-convergentes, constituent une fortbelle application numrique des sries divergentes. Le but est dassocier une certaine fonction

f(z) un dveloppement du type :

Sous certaines conditions que nous allons voquer, le dveloppement divergent, tronqu un ordre convenable, permet de calculer numriquement la fonction f(z) avec une prcisiondautant plus grande que le module de largument est plus lev. Par exemple, on rencontre en

analyse classique un tel dveloppement quand on veut calculer la constante dEuler (1707-1783)avec une grande conomie de moyen (cj. annexe H, exercice l-4).

1. Un exemple de dveloppement asymptotique

Considrons la fonction cosinus intgral :

Ci(x) = - .Icas(t)t dt avec x > 0.

Intgrons successivement par parties, nous obtenons :

sin(x) COS(X) 2 sin(x)Ci(x) = - -~ -~5 X2 X3 + ~COS(Z)-+...X4+ (2k + l)! smcos(t) &~t 2+2 z

Soit encore :


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3. LES D V ELO PPEM EN TS A SY M PTO TI Q U ES

Rappelons que cette erreur est lie strictement la troncature des deux sries; lors delexcution des calculs, il faudra ajouter les erreurs effectues sur chacun des termes constituantles sommes.

Il suffit donc de calculer la somme des cinq premiers termes des deux sries pour connatreCi(l0) a v e c u n e p r c i s i o n s u p r i e u r e 0,36 10V4. L a s o m m e Szk(lO) d o n n e : S2k(lO) =-0,454 81 10V2 et lon peut donc voir que lalgorithme propos permet dobtenir les trois premierschiffres significatifs exacts. En dfinitive :

Ci(l0) = 4,54810-2 310,003 610-2.Pour la petite histoire, il semble que ce soit Stokes G.G. (181991903) qui ait pressenti le

premier lintrt dune telle procdure, et cest Poincar H. (185441912) que revient le mritedavoir dvelopp la thorie (1886), essentiellement dans le but de rsoudre quelques quationsdiffrentielles apparaissant en mcanique cleste et en mcanique analytique.Ajoutons que ces dveloppements servent principalement approcher les fonctions dites spciales B pour des arguments dont le module est lev ~ disons de plusieurs units oudizaines dunits.

Les travaux de Poincar permettent dapporter quelques prcisions sur la notion de dvelop-pement asymptotique et ce sont ses propres ides que nous allons rappeler succinctement.

Dfinition

On dira que la srie Sri(z) reprsente un dveloppement asymptotique de la fonction f(z)au voisinage de linfini si, sur un certain intervalle 1]a, oo[ auquel appartient z, les conditionssuivantes sont remplies :En posant Rn(z) = X~(~(X) -&(z)), on doit avoir :

lim &(z) = 0 quel que soit 72 mme lorsque2+03lim Rn(z) > 00 quel que soit II: fix.n+cL!

Il en rsulte que lon pourra toujours prendre 11: suffisamment grand de telle sorte qu e lingalitsuivante soit vrifie :

o E est un infiniment petit positif fix lavance.Pour utiliser au mieux le dveloppement asymptotique, on choisit n de telle faon que lerreur

commise sur lapproximation soit la plus petite possible.

2. Quelques proprits utiles des dveloppements asymptotiques

Unicit du dveloppement asymptotique - Quand une fonction f(z) admet un dveloppe-ment asymptotique, alors ce dveloppement est unique.

Laffirmation inverse est fausse car deux fonctions diffrentes peuvent avoir le mme dvelop-pement asymptotique. En effet, supposons que les deux fonctions diffrent de exp(-crz) avecla partie relle de hi positive, alors, les coefficients du dveloppement asymptotique de cettequantit sont identiquement nuls.

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Dans ce chapitre, nous tudions quelques mthodes de rsolution des quations du type f(x) = 0suivi de quelques mthodes de rsolution de systmes non linaires dquations, puis nousterminons par ltude dune mthode spcifique concernant les quations algbriques. Nouslimitons notre tude aux fonctions relles, mais, comme nous le verrons, bien des mthodespourront tre tendues sans grande difficult au cas de la variable complexe ; et dans la mesureo les calculateurs utiliss permettent deffectuer les calculs en complexes, il ny aura que peude changements apporter aux algorithmes et programmes proposs.

On a lhabitude de classer les quations f(x) = 0 en deu x types qui sont les quationsalgbriques (polynmes) et les quations transcendantes cest--dire celles qui ne sont pasrductibles un polynme. Toutes les mthodes qui sappliquent la rsolution dquationstranscendantes sappliquent galement aux quations algbriques et cela sans prjuger des ennuis

possibles de calcul numrique. En revanche, pour ce qui concerne les polynmes, il existe quelquesmthodes spcifiques dont certaines sont trs utiles connatre, cest la raison pour laquelle noustudions dabord les mthodes gnrales avant daborder les mthodes spcifiques.

1. Gnralits sur la rsolution des quations f(x) = 0

1 . 1 . Localisation des racines des quations

Avant dentreprendre le calcul proprement parler dune ou de plusieurs racines, il convientde localiser soigneusement ces racines pour ne pas avoir rencontrer de surprises dsagrables,

telles que larrt inop in de la machine... Plusieurs p ossibilits soffrent nous p our localiser lesracines, en voici quelques-unes.

a. On peut avoir recours certains thormes de mathmatiques nous fournissant ces renseigne-ments. Ce sont par exemple les thormes gnraux concernant les polynmes orthogonauxrelativement une fonction poids W(X) donne.

b. On peut, dans le mme ordre dide, effectuer une tude particulire de la fonction f(x) eten effectuer la reprsentation graphique.

c. On peut aussi tabuler la fonction f(z) avec un pas variable pour tenter dobtenir le maximumde renseignements.

d. Dans certains cas, on pourra essayer dutiliser les suites de Sturm (1803-1855), mais il fautbien dire que lintrt de telles suites est essentiellement thorique, et lutilisation devientdlicate mme pour les polynmes coefficients entiers (de quelques units cependant) dont

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4. RSOLUTION DES QUATIONS NUMRIQUES

a - Reprsentation gomtrique de la mthode - On porte sur le mme graphe les fonctionsy = mx et y = g(x) = f(x) + mx.

Cela va nous permettre de localiser non seulement la ou les racines mais aussi de connatre la

drive au voisinage des racines donc ventuellement dajuster le coefficient m selon le c as qu ise prsente. Sur le graphe de la figure 4.1, on peut suivre la suite des points gnre partir dela premire approximation x0 :

x0 9(x0)x1= 9(x0) 9(x1)x2=g(x1) S(Q)

.Y

b - Prcision sur la dtermination de /a racine - On dsigne par M la limite suprieure dela valeur absolue de la drive dans le domaine o lon effectue les itrations. Nous pouvonsdonc crire :

/un1 = M Iu,-11 avec M < 1.Si nous arrtons les itrations aprs n tours, nous aurons :

x,=~u,=s,,p=oet lon dduit que lerreur e sur la racine x*, en adoptant x* comme approximation, est :

e = F UP.p=n+1

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Cette valeur nous permet dobtenir, sous certaines rserves, une meilleure approximation quenous crivons : fx0 )Icl=Io -f(xo)

Rien ne nous empche, except toutefois labsence ventuelle de convergence, ditrer succes-sivement la procdure jusqu ce que lon obtienne la racine x* avec la prcision souhaite. Onaura form la suite :

.fcxk)xk+1 = Ik - f,(xk) Dans la mesure o lon dispose non seulement de la fonction mais aussi de sa drive on peut

esprer obtenir une vitesse de convergence rapide du moins dans le cas o les racines sont simples.Au reste, linterprtation gomtrique est trs parlante. Reprsentons la courbe y = f(x) sur un

diagramme (cJ Fig. 4.2) ainsi que la premire approximation x0. La linarisation du problmeconsiste remplacer un arc de courbe de f(x) p ar un segment de droite qui est tangent lacourbe dans le cas gnral. Traons la tangente au point [x0, f(xo)]. Elle coupe laxe des x aupoint x1 donn par lexpression : fx0 )x1=ILo -f(xo)

Figure 4.2. Mth ode de N ewton . 0

La rptition du processus nous permet dobtenir sans problme les points suivants qui sont

%2,x3,...a - Ennuis possibles avec la mthode de Newton - En labsence de difficults, la mthodede N ewton assure un e convergence trs rapide de la suite de xk. Dans le cas de racines simples, laconvergence est mme quadratique ce qui confre cette technique un intrt particulier quandon dispose dj dun chiffre significatif. Nous utiliserons cet algorithme pour raliser une partie

de la fonction de bibliothque calculant la racine carre, et nous verrons ultrieurement dansquelles conditions.

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MANUEL DE CALCUL NU MRIQUE APPLIQU

Malheureusement des problmes peuvent surgir qui sont lis la nature de la fonction,de sa drive ainsi que du point 20 partir duquel seffectuent les itrations. En effet dansle domaine voisin de la racine o lon travaille, la courbe peut prsenter des changements

de concavit ou encore prsenter des extremums. Si un point xk tombe au voisinage dunextremum, alors f(x) est proche de zro, et la technique de Newton nous donnera un pointzk+i qui pourra tre trs loin de la solution recherche. Pour peu quil y ait une racinedans le voisinage de zk+i, on aura toutes les chances de la calculer en croyant tre dans unautre voisinage. Cela laisse la porte ouverte quelques dsastres possibles... Lorsque lon setrouve dans un cas analogue, on doit obligatoirement le savoir avant dentamer les calculspuisquon a pris les prcautions dusage. Pour viter quau dpart la suite gnre prsentedes instabilits ou des divergences locales, on combine la mthode de Newton avec celle desparties proportionnelles.

b - Estimation de la prcision de la mthode de Newton - La plus grande sagesse veut quelon reporte la valeur

X~Cque lon estime tre une approximation raisonnable de la racine dans lafonction f(x). On note : ek = f(xk). Si ek est de lordre de grandeur de lincertitude introduite

par le calcul de f(xk), cela ne signifiera certainement pas que xk soit une racine, mais quil ny apas de contradiction avec le fait quelle puisse en tre une. En revanche, si ek est trop grand, il ya lieu de sinquiter et dexaminer de nouveau le problme. Cest une attitude identique cellequon adopte lorsque lon fait usage de la preuve par 9 ou par 11. Seul un rsultat ngatif donnela certitude dune erreur, tandis quun rsultat positif ne donne pas la certitude dune exactitudemais seulement une probabilit plus ou moins leve pour que se prsente cette ventualit.

Deux cas peuvent se prsenter : ou bien la suite gnre est une suite encadrante, ou bienla suite gnre est une suite monotone croissante ou monotone dcroissante du moins partirdun certain rang.

l L a su i te es t en ca d ra n t e - Il faut bien avouer que cest un cas dcole qui se prsenterarement, car cela impose que la racine soit aussi un point dinflexion. On retiendra les deuxdernires valeurs de xk et zk-1 car on sait que la racine se situe entre ces deux derniresvaleurs entaches toutefois des invitables erreurs darrondi et des erreurs dues lapproximationdes fonctions de bibliothque. Du fait de ces erreurs, il est fort possible que lon trouve deuxlimites en machine. Bien entendu, lestimation de lincertitude est lie intimement la diffrenceIX~ - xk-il sans oublier les erreurs entachant les calculs de f(xk-1) et f(xk).partir de l, onretombe dans le calcul standard des erreurs.l L a su i te es t m on ot on e p a r t ir d u n cer ta in ra n g - partir dun certain rang r, tous leszq gnrs sont donc classs par ordre croissant ou dcroissant. Il faut sassurer que lorsque deuxvaleurs conscutives xk et xk+i sont gales la prcision de la machine, le reste des oprationsngliges napporterait plus de contribution la prcision du calcul, autrement dit il faut que :

2 jxk+l - xk i = 2j=k+l j=k+l

soit ngligeable.

Comme il ny a aucune raison particulire pour que la tangente soit verticale, la seule conditionde convergence est que f(zk) tende effectivement vers zro quand k tend vers linfini. Cest alorsque la prcision de la machine utilise intervient ainsi que la nature de la fonction f(x). Pourobtenir une estimation raisonnable de lerreur, il faudra chaque fois faire une tude particuliredont il est possible de d onner les grand es lignes : il est facile de donner la valeur ap prochex* de la racine une suite daccroissements f dz, *2 dz, f3 dz.. , +A dz avec dz = lOFPz*

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o 10-P est la prcision relative de la reprsentation en machine. Peu de valeurs suffisent. Ontabulera alors la fonction f(z) pour ces diffrentes valeurs et lon notera lintervalle dans lequelseffectue le changement de signe. Compte tenu de la prcision de la reprsentation on pourra

estimer un intervalle dans lequel se trouve effectivement la racine. Cest une valuation directede lerreur qui constitue un garde-fou contre les mauvaises surprises.

On trouvera sur le Web(*) 1 e programme newtonid. c qui calcule les racines par la mthodede Newton.

1.6. Mthode de Newton et des parties proportionnelles

En gnral, cette mthode est utilise lorsque dans lintervalle o lon recherche la racine, peutse trouver un point dinflexion ou un extremum. Donc, pour viter que la valeur de la driveapparaissant dans la mthode de Newton notamment durant les premiers tours ditration, neprovoque des instabilits prjudiciables la bonne conduite du calcul, on lui associe la mthode

des parties proportionnelles qui ramne les valeurs des approximations dans un domaine quelon espre gnralement plus raisonnable. Soit zo la premire approximation et [zo, f(zo)] lepoint A sur la courbe y = f(z). 0 n effectue une deuxime approximation :

f (x0)x1 = x0 - f(xo) . laquelle correspond le point B sur la courbe.

La mthode des parties proportionnelles consiste choisir comme approximation suivante lepoint dintersection de laxe des x et de la droite joignant les points A et B. Dsignons par 22labscisse de ce point, nous obtenons :

x2 = ~Of (Q ) - Rf(~o)f(Q)-.f(xo)

nouveau on calcule le point x3 par la mthode de Newton puis le point x4 par la mthodedes parties proportionnelles et ainsi de suite (cf. Fig. 4.3, page suivante).

On trouvera sur le Web (*) le programme newtonpp. c qui calcule les racines au moyen de lamthode de Newton et des parties proportionnelles.

R em a r qu e : Les ennuis de stabilit lis lusage de la mthode de Newton naissent essentielle-ment du choix de la premire approximation qui parfois est trop loigne de la racine que lonrecherche ou encore quand une abscisse de la suite forme se situe trop prs dun extremum.Quand on tient un certain nombre de chiffres significatifs, il faut rappeler quen labsence deracines multiples, la mthode converge quadratiquement et pratiquement seules les erreurs detroncature viennent altrer la prcision du rsultat.

2. Rsolution dun systme non linaire de deux quations deuxinconnues

Nous nous proposons de rsoudre un systme non linaire de deux quations deux inconnuesque nous crivons :

f(X> Y) = 0dX,Y) = 0.

*http://www.edpsciences.com/guilpin/

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Mise en uvre de / a mthode - On trouvera sur le Web (*) les programmes bairstow. c etbairstow . h ralisant lalgorithme de Bairstow. Toutefois ces programmes appellent plusieursremarques :

1. Le programme peut tre mis en dfaut lorsque le polynme prsente des racines multiples etnotamment des racines doubles car le jeu des erreurs peut nous faire basculer vers des valeursngatives du discriminant et peut nous donner lillusion de deux racines complexes conjugues.Cela mrite videmment un examen attentif. En fait lerreur absolue sur le discriminant estde lordre de 10p16 et par consquent la partie imaginaire sera de lordre de 10-.

2. Hormis lennui prcdemment cit, il ny a pas lieu de procder une dtermination localepralable des racines qui peuvent du reste tre complexes.

3. On pourrait mettre en uvre une mthode qui utilise un binme au lieu dun trinme, maisseules seraient calcules les racines relles du polynme coefficients rels, ce qui te tout

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