Machines thermiques avec changements d'état

Machines thermiques avec changements d’état I38. Étude d'une pompe à chaleur destinée au chauffage d'une habitation(ESIM 1992).

T2 T1

T2 T3

Une pompe à chaleur à fréon 22 (CHF2Cl : difluorochlorométhane) prélève de la chaleur à un circuit d'eau froide et

cède de la chaleur à de l'eau chaude qui circule dans le sol de l'habitation. Le fréon décrit un cycle : – dans l'évaporateur, il subit une évaporation complète sous la pression de vapeur saturante p2 et à la température

T2 ; – le fréon gazeux sort du compresseur à la température T3 et sous la pression p1 ; – dans le condenseur le fréon gazeux se refroidit, puis se liquéfie complètement sous la pression de vapeur saturante

p1 et à la température Tl ; – en traversant le détendeur, le fréon subit une détente de Joule-Thomson, passant de T1, p1 à T2, p2 ; cette détente

s'accompagne d'une vaporisation partielle du liquide. Tous les calculs seront réalisés pour une masse m = 1 kg de fréon et on pose : – Lv (T) : chaleur latente de vaporisation du fréon ; – cL : capacité thermique massique du fréon liquide, supposée indépendante de T et de p ; – le fréon gazeux est assimilé à un gaz parfait de masse moléculaire molaire M, et pour lequel ; 1,20γ = – l'énergie cinétique macroscopique ainsi que l'énergie potentielle de pesanteur seront négligées dans tout le

problème ; – le volume massique du fréon liquide est indépendant de la pression et de la température ; Lv– l'installation fonctionne en régime permanent. Données :

1 12 1 2 1

1 1 5 52 1

3 1 1 1

3 1

273K; 305K; ( ) 205kJ.kg ; ( ) 175kJ.kg ;

1, 38 kJ.kg .K ; 5.10 Pa; 12,65.10 Pa;

0,75dm .kg ; 8, 31J.mol .K ;

masse molaire du fréon : 86,5.10 kg.mol .

v v

L

L

T T L T L T

c p p

v R

M

− −

− −

− − −

− −

= = = =

= = =

= =

=

0. Préliminaire.

0.1. Montrer que la capacité thermique massique à pression constante du fréon gazeux est ( 1)pRcM

γγ

=−

0.2. La calculer numériquement. 0.3. Un fluide traverse une machine stationnaire. Par unité de masse de fluide transvasé, la machine reçoit un travail

et une chaleur q . Montrer qu’avec les approximations du problème définies précédemment la différence d’enthalpie massique h entre la sortie et l’entrée, représentées par des indices s et e , obéit à w ′

s eh h w q′− = + 1. Étude de la compression. 1.1. La compression est adiabatique et réversible ; en déduire T3, puis le travail w en fonction des données. ′1.2. Quelle est la variation d'entropie massique du fréon ? 2. Passage dans le condenseur.

DS : machines thermiques avec changements d’état, page 1

2.1. Calculer la quantité de chaleur reçue par le fréon. 1q2.2. Calculer sa variation d'entropie massique. 3. Passage dans le détendeur. 3.1. Le détendeur est un robinet, auquel on ne fournit ni travail, ni chaleur. Quelle est la variation de l’enthalpie du

fréon ? 3.2. En déduire la fraction massique x de fréon gazeux à la sortie du détendeur. 3.3. Calculer la variation d'entropie massique du fréon. 3.4. Commenter. 4.Passage dans l'évaporateur. 4. 1. Calculer la quantité de chaleur reçue par le fréon. 2q4.2. Calculer sa variation d'entropie massique. 5. Efficacité. Le compresseur est entraîné par un moteur électrique de rendement électro-mécanique r = 0,8. Définir l'efficacité e de cette pompe à chaleur et l'évaluer. Si on peut faire varier Tl et T2, pour quelles valeurs de ces paramètres l’efficacité est-elle la meilleure ? Quel

avantage présente ce chauffage par rapport au chauffage électrique ? 6.Étude du cycle. 6. 1. Vérifier le bilan énergétique du cycle. 6.2. Vérifier le bilan entropique du cycle. 6.3. Utilisation d'un diagramme entropique. Déterminer l'équation d'une isobare dans la partie correspondant à l’état gazeux du diagramme entropique (s en

abscisse, T en ordonnée). Tracer qualitativement l'isobare p1. Par quel déplacement la courbe isobare correspondant à p2 se déduit-elle de celle correspondant à p1 ? Comment sont représentées la vaporisation et la condensation à pression constante dans le diagramme entropique ? Comment est représentée la détente de Joule-Thomson dans ce diagramme ? Représenter qualitativement sur le diagramme précédent le cycle. Montrer que le travail w reçu par le fréon est supérieur à l'aire du cycle. ′ 7. Fonctionnement de l’installation. Cette pompe à chaleur sert à compenser les pertes de chaleur de l'habitation maintenue à la température T4 = 293 K,

alors que la température extérieure est Te = 273 K.


dt 1

7.1. Dans le but d'évaluer ces pertes, on coupe le chauffage ; la température de l'habitation passe alors en une durée = 4 heures de Tt∆ 4 = 293 K à T5 = 283 K. On admet que la quantité de chaleur perdue pendant la durée d t petite

s'écrit , où désigne la capacité thermique de l'habitation, T sa température à l'instant t, et a une constante dépendant de l'isolation.

( )eQ ak T Tδ = − − 72.10 J.Kk −=

Donner une équation différentielle décrivant l'évolution T (t) ; en déduire a. 7.2. Calculer la puissance électrique consommée pour maintenir la température de l'habitation à la valeur

constante TeP

4. 7.3. L'eau qui alimente la source froide subit une chute de température degrés centésimaux durant la

traversée de l'échangeur. En déduire son débit massique. 4T∆ =

Capacité thermique massique de l'eau froide utilisée : . 1 14,18 kJ.kg .Kfc− −=

II30. Etude d'un climatiseur. On s'intéresse au fonctionnement d'un appareil de climatisation, dont le but est de maintenir une température

constante (T0 = 20°C) dans un local été comme hiver. Le climatiseur fonctionne donc en pompe à chaleur l'hiver, en machine frigorifique l'été. Les transferts thermiques du climatiseur se font avec 2 sources :

• L'intérieur de la pièce (à T0). • L'atmosphère extérieure (on prendra T1 = 0°C en hiver ; T2 = 40°C en été afin de prévoir des conditions

« extrêmes »). Le fluide caloporteur qui effectue des cycles dans l'appareil est l'ammoniac. Ses caractéristiques thermodynamiques

sont résumées dans le diagramme entropique T(S) où sont représentées : • les isenthalpiques (H est donné en kJ/kg) ; • les isobares (représentées par dans le domaine « vapeur sèche »).

On donne, par ailleurs, les pressions de vapeur saturante Ps(T) aux trois températures d'étude Ps(0°C) = 4,3 bars Ps(20°C) = 8,2 bars Ps(40°C) = 15 bars

On se limitera à l'étude du climatiseur en régime permanent. Par un jeu de vannes adéquat, le fluide peut circuler dans un sens pour chauffer la pièce (A, B, C, D, A) ; dans l'autre sens pour la rafraîchir (B, A, D, C, B).

Le circuit comporte 2 parties isobares • L'une à la pression de vapeur saturante de l'ammoniac à 20°C (côté local) ; • L'autre à la pression de vapeur saturante de l'ammoniac à Text (côté atmosphère extérieure). Par ailleurs, on suppose l’énergie cinétique du fluide

négligeable ; alors, à la traversée d'une partie active (compresseur, détendeur ou échangeur) l'énergie reçue par le fluide circulant en régime permanent vérifie :

∆h = hs – he = w + q si he et hs sont les enthalpies massiques du fluide à l'entrée et à

la sortie ; w et q étant le travail et la chaleur utiles reçus (c'est-à-dire échangés avec l'extérieur du circuit, excluant le travail des forces de pression) par kilogramme de fluide traversant la partie act

Le flive.

uide subit des échanges de chaleur isobares (sans recevoir de travail utile) dans les échangeurs E et E2 avec les 2 so

à la plus forte pr

dans le détendeur (la détente est donc ise

réalise-t-on un détendeur (détente isenthalpique d'un fluide) ? Quel autre nom porte une telle

déte premier principe de thermodynamique est bien vérifié dans une partie active ; c'est pourtant ∆h (et non ∆u )

qu.

2.

eur E est un condenseur : l'ammoniac y entre en B sous forme de vapeur sèche ; il en ressort sous fo

vapeur qui entre en D se vaporise totalement pour res

uement sa tem

1kg d'ammoniac traité (on rappelle que E , E2 et le compresseur sont des pa

l w fourni par le compresseur au fluide ; l) lors du passage dans l'échangeur E ;

t de performance η du climatiseur. Quel intérêt présente une telle installation par

lurces de chaleur (local et atmosphère extérieure). Un système de ventilation permet d'améliorer les échanges

thermiques : la température du fluide est celle de la source d'échange à la sortie de chacun d'entre eux. Le compresseur comprime de manière adiabatique réversible le fluide à l'état gazeux de la plus faible

ession. L'unité de masse de fluide traité y reçoit le travail utile w. Le fluide subit une détente adiabatique, sans échange de travail utile, nthalpique).

1. Généralités1-1- Commentente ? 1-2- Li est égal à (w + q)... Expliquer qualitativement (sans entrer dans le détail d'une démonstration) cette différence. 1-3- Par lecture du graphe, déduire les enthalpies massiques de vaporisation de l'ammoniac à 0°C, 20°C et 40°C

Fonctionnement hivernal du climatiseur (chauffage) Dans ce cas : • l'échang l

rme de liquide saturant en C, à la température T0 du local ; • l'échangeur E2 est un évaporateur : le mélange liquidesortir sous forme de vapeur saturante en A à la température de l'atmosphère extérieure T1 = 0°C. 2-1- Tracer le cycle (en l'orientant) de l'ammoniac sur le diagramme entropique. Trouver graphiqpérature TB à la sortie du compresseur.

2-2- Déterminer (graphiquement), pour lrties actives) : • Le travai• La chaleur qc reçue par le fluide (de la part du loca l• La chaleur qf reçue par le fluide (de la part de l'extérieur) lors de son passage dans E2. Faire un bilan énergétique du cycle. 2-3- Définir et calculer le coefficien rapport à un chauffage électrique ? Quel serait le coefficient de performance η’ si le fluide effectuait des cycles de


Carnot en effectuant les échanges thermiques avec les mêmes sources de chaleur ? En quoi le cycle effectué diffère-t-il d'un cycle de Carnot ?

2-4- Quelle est la fraction massique de vapeur XD à la sortie du détendeur ? 2-5 En supposant que l'ammoniac, à l'état gazeux dans le compresseur, est assimilable à un gaz parfait de

coefficient adiabatique γ constant, exprimer le rapport Ts/Te (des températures absolues de sortie et d'entrée dans le compresseur) en fonction de γ et Ps/Pe (rapport des pressions de sortie et d'entrée du compresseur). En déduire l'indice adiabatique γ du gaz ammoniac.


III56. Chauffage d’une piscine à l'aide d'une pompe à chaleur. Capacité calorifique massique de l'eau : c0 = 4,18 J.g–1.K–1


Masse volumique de l'eau : ρeau = 10 kg.m

ne pompe à chaleur permet de maintenir constante la température de l'eau de la piscine ; on se placera donc en ré

est

int i (compris entre 1 et 5) du cycle, on note Pi, Ti et Vi la pression, la température et le volume du flu

ation d’entropie ∆S de la vapeur assimilée à un gaz parfait pour une transformation isobare entre les

1 donne l'allure de la courbe d'équilibre liquide-vapeur du fluide considéré dans le di

une des cinq

flèches les sens réels des flux thermiques et du travail. In

iser un changement d’état ? Quel est l'intérêt d'utiliser un fluide ca

ynamique η de la pompe à chaleur. Montrer que l'efficacité réelle de to

l'air. Dans les conditions précisées pl

aleur puisse maintenir la température de

I 2004). On modélise un congélateur par une machine où circule un fluide, le tetrafluoroéthane R134a, dont le diagramme

pression-enthalpie massique P,h est joint. Dans ce diagramme sont représentées les isothermes, les isochores, les isentropiques et la courbe de saturation qui délimite les régions du liquide, de la vapeur et du mélange liquide-vapeur.

Chaleur latente massique de vaporisation de l'eau : Lvap = 2800 J.g–1

3 –3

U

gime permanent. La machine thermique fonctionne avec deux sources de chaleur (thermostats) : l'air extérieur de température Text = 283 K et l'eau de la piscine de température Teau = 299 K. Le fonctionnement de la pompe à chaleurbasé sur le cycle d'un fluide caloporteur ayant une température d'ébullition basse. Le fluide caloporteur, initialement sous forme d’un mélange liquide-vapeur au point 1, traverse l'évaporateur où l'air extérieur lui permet de subir une vaporisation complète et de se transformer en vapeur saturante (trajet 1-2). Le compresseur comprime ensuite cette vapeur (trajet 2-3), de façon adiabatique et réversible. Au niveau du condenseur, la vapeur surchauffée voit d'abord sa température descendre jusqu'à Teau en suivant une transformation isobare (trajet 3-4). Le fluide caloporteur, toujours comprimé, redevient ensuite liquide saturé (trajet 4-5). La soupape de détente réduit la pression du fluide caloporteur(trajet 5-1), transformation au cours de laquelle la température du fluide s'abaisse fortement le rendant prêt pour un nouveau cycle.

1) Pour un poide caloporteur. a. Calculer la vari températures T3 et T4. b. Le dessin de la figure

agramme (T,S). On y a repéré le point 1 correspondant au début du cycle (en fait, ce point n’est placé qu’approximativement). Reproduire le schéma sur votre feuille et placer les points 2, 3, 4 et 5. Pour chacétapes, justifier rapidement l’allure des courbes ainsi obtenues.

2) Reproduire le diagramme de la figure 2 et indiquer par desdiquer dans quelles étapes du cycle ces flux ont lieu. 3) Quel est l'intérêt, pour une pompe à chaleur, d’utilloporteur de température d'ébullition basse ? 4) Donner la définition de l'efficacité thermod

ute pompe à chaleur est inférieure à l’efficacité obtenue dans le cas d’un fonctionnement réversible utilisant des sources de même températures et calculer cette dernière efficacité. On a ici η = 5.

5) Les pertes de la piscine sont essentiellement dues à l'évaporation de l'eau dansus haut, le taux d'évaporation par heure et par mètre carré de surface d'eau est de α = 150 g.h–1.m–2. En déduire

l'énergie perdue pendant une heure par l'eau de la piscine, de surface S = 250 m2. 6) Quel doit être le travail que l'on doit fournir au fluide pour que la pompe à ch la piscine constante pendant une heure ? Comparer ce travail à l'énergie qu'il aurait fallu fournir si on chauffait l'eau

de la piscine avec une simple résistance électrique.

IV32. Réfrigérateur (d’après X-Cachan PS


r unité de masse de tetrafluoroéthane ayant subi un cy

Cette machine ditherme fonctionne en régime permanent ; pacle, elle reçoit les quantités de chaleur cq d’une source chaude, le milieu ambiant à 20°C, fq d’une source froide

l’intérieur du congélateur à –18°C, et le travail w . On note T la température absolue et θ la température Celsius. Le cycle décrit par le fluide est constitué de

quatre transformations successives qui on es propriétés suivantes :

t l

ré

r de 2 à 3 et évaporateur de

, un tuyau très fin et in

les

coles.

ui reçoit masse de fluide ; soit h1 et h2 l’enthalpie massique du fluide à l’entrée et à la sortie de cet organe. Montrer

que dans la vanne de 3 à 4.

sothermes et les isobares dans la zone mélange liquide-vapeur ?

aporateur avec l'extérieur permet une vaporisation complète du fluide ve

présenter le cycle (diagramme à rendre avec la co erpolation linéaire sur ce même diagramme, les valeurs de P, θ, h, s en ces di

empérature de sortie sous la m

tente massique L de vaporisation à cette température. me

– la compression de 1 à 2 est adiabatique et versible ; – les passages dans les deux échangeurs

thermiques, condenseu4 à 1, sont isobares ; – la vanne

déformable, ne reçoit pas de chaleur ; – l'état du fluide n'est pas modifié par

tuyauteries de liaison entre éléments nsécutifs –les énergies cinétiques sont négligeab1) Un écoulement stationnaire et lent de

fluide traverse un organe stationnaire qde l’unité de

de l’extérieur le travail w’ et la chaleur q pendant le temps de passage

e le premier principe s’écrit ∆h = w' +q. 2) Montrer que la détente est isenthalpiqu3) Quelle propriété remarquable lie les i4) On donne les indications suivantes : – La température du fluide lors de la vaporisation dans l'évaporateur est – 30°C. – La pression à la sortie du compresseur P2 = 8 bars = 0,8 MPa. – Le point 3 est du liquide saturé. – La quantité de chaleur échangée dans l'évnant de 4 et conduit la vapeur de façon isobare jusqu'à l’état 1 de vapeur saturante. Placer les 4 points du cycle 1, 2, 3, 4 sur le diagramme joint, y repie) et déterminer, par lecture et intfférents points. Regrouper les résultats dans un tableau. 5) Si le compresseur était adiabatique mais non réversible, comment se situerait sa t

ême pression P2 par rapport à la température θ2 ? 6) Pour une pression de 8 bars, quelle est la température d’équilibre liquide-vapeur ? Calculer de deux façons

différentes à l’aide du diagramme la valeur de la chaleur la7) Quelle est la valeur de la chaleur latente massique L de vaporisation au point critique représenté sur le diagram

par le sommet de la courbe de saturation ? 8) Calculer le titre x en vapeur au point 4. 9) Calculer les chaleurs massique cq fournie au condenseur par le milieu ambiant et fq fournie à l’évaporateur par

i au compresseur et le travail total reçu par la machine. ? La cal

ur a acité ? Ex

c est-il éloigné ?

l’intérieur du congélateur. 10) Calculer de même le travail w' fourn w1→211) Pourquoi définit-on l'efficacité de la machine frigorifique étudiée par /fq wη = culer numériquement. 12) En réalité, la consommation électrique du congélateur est de 0,70 kWh par jour, tandis que la puissance de ses

pe

′ηrtes thermiques (rapport de la chale traversant les parois au temps) est de 60 w tts.Quelle est son efficpliquer pourquoi elle diffère de η et dans quel sens. 13) Comment ce diagramme permet-il de discuter si le gaz se comporte ou non comme un gaz parfait ? Dans quel

domaine de pression ce comportement est-il éloigné d’un gaz parfait ? 14) Comment ce diagramme permet-il de discuter si le liquide se comporte ou non comme un fluide incompressible

et indilatable ? Dans quel domaine e comportement en

V28. Procédé Linde-Hampson de liquéfaction de l’azote.


lors

′

La figure ci-contre représente le schéma de principe du procédé LINDE-HAMPSON utilisé pour produire de l'azote liquide (état 5). L'azote entre dans le compresseur C dans l'état 1 (p1 = 1 bar ; T1 = 290 K) ; il y subit une compression isotherme qui l'amène à l'état 2 (p2 = 200 bars ; T1 = 290 K. Il est arefroidi à pression constante (p3 = p2 ) dans l'échangeur E, avant d'être détendu jusqu'à la pression atmosphérique (p4 = p5 = p6 = p1 = 1 bar) dans le détendeur D. L'azote sortant du détendeur est un mélange de gaz et de liquide ; le liquide est extrait au niveau du séparateur S, qui renvoie la vapeur primitivement saturée d'azote (état 6) dans l'échangeur thermique à contre-courant E pour refroidir l'azote entrant ; on admettra que cette vapeur d'azote est ramenée à l'état 1 à la sortie de l'échangeur E.

L'étude de ce procédé de liquéfaction sera effectuée en utilisant les propriétés thermodynamiques réelles lues sur le diagramme fourni avec le sujet. Ce diagramme, sur lequel figureront les divers points de la transformation, sera rendu avec la copie.

Dans tout le problème, on négligera les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de situation.

1) Introduction. 1.a) Une machine stationnaire transvase de façon stationnaire un fluide. Quand elle est traversée par l’unité de masse

de ce fluide, elle reçoit d’un opérateur le travail w et d’un thermostat de température T la chaleur q . Soit et les valeurs de l’enthalpie massique du fluide à l’entrée et à la sortie de la machine. Par quelle relation entre ces grandeurs se traduit le premier principe ?

′ eh sh

1.b) Soit et les valeurs de l’entropie massique du fluide à l’entrée et à la sortie de la machine. Par quelle relation se traduit le second principe ?

es ss

1.c) Supposons à présent que la machine, toujours stationnaire, a deux entrées et deux sorties. Notons et les masses de fluide entrantes, et les masses de fluides sortantes, W et Q le travail et la chaleur données à la machine pendant la même durée ; soit les valeurs de l’enthalpie et de l’entropie massique du fluide entrant ou sortant. Que deviennent les relations traduisant les deux principes ?

em em ′

sm sm ′ ′, , , , , , ,e e s s e e s sh h h h s s s s′ ′ ′

2) Compresseur C. La compression de l'azote s’y effectue de façon isotherme et mécaniquement réversible de l'état 1 jusqu'à l'état 2 (p2

= 200 bar). La température du thermostat qui maintient la température constante sera prise égale à celle de l’azote comprimé, soit . 1 290KT =

2.a) Placer les points 1 et 2 sur le diagramme de l'azote et déterminer leurs enthalpies et entropies massiques. 2.b) L’azote se comporte-t-il comme un gaz parfait ? 2.c) Calculer la quantité de chaleur fournie par le thermostat par kilogramme d'azote comprimé. 2.d) Calculer le travail w fourni par l’opérateur au compresseur par kilogramme d'azote comprimé.

3) Détendeur D. La détente, qui s'effectue dans le détendeur D, fait passer l'azote de 200 bar à 1 bar : le détendeur ne comporte pas de

parties mobiles et est un simple robinet. Le détendeur, le séparateur S, l'échangeur E et tous les circuits de liaison sont supposés parfaitement calorifugés.

Déterminer, en la justifiant, la nature de la transformation dans le détendeur.

4) Séparateur S. 4.a) Placer les points 5 et 6 sur le diagramme et déterminer leurs enthalpies et entropies massiques. 4.b) Vérifier la cohérence de ces lectures en comparant les variations d'enthalpie et d'entropie entre ces deux points. 4.c) On note y la masse d'azote liquide obtenu par kilogramme d'azote comprimé. Ecrire une relation entre

et y . 4 5 6, ,h h h

5) Echangeur thermique E. 5.a) Ecrire une relation entre et y . 2 3 6 1, , ,h h h h5.b) Calculer littéralement, puis numériquement . y5.c) Calculer le travail par kg d’azote liquide produit.

6) Second principe. 6.a) Placer les points 3 et 4 sur le diagramme et donner leurs enthalpies et entropies massiques. 6.b) Calculer la différence entre l’entropie à la sortie et celle à l’entrée pour le détendeur. Commenter avec précision. 6.c) Calculer la différence entre l’entropie à la sortie et celle à l’entrée pour le séparateur. Commenter avec précision.

6.d) Calculer la différence entre l’entropie à la sortie et à l’entrée de l’échangeur thermique. Commenter avec précision.

Nota : s’il y a irréversibilité, préciser son origine.


Réponses

I. 0.2. 1576, 4J.K .kg( 1)pgRcM

− −= =−γ

γ1 ; 1. 1.

111

3 22

318,7 Kp

T Tp

−⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠γ ;

; 1.2. ; 2.1. ;

2.2.

3 2( ) 26300J/kgpgw c T T′ = − = 0s∆ = 11 1 3 1( ) ( ) 182900J.kgpg vq c T T L T −= − − = −

11 1

3 1

( )ln 599,1J.K .kgvp

L TTs c

T T− −∆ = − = − 1 ; 3.1. ; 3.2. 0s eh h− = 1 2

2

( )0,2154

( )L

v

c T Tx

L T−= = ; 3.3.

22 1

1 2

( )ln 8, 8J.K .kgv

LxL TT

s cT T

− −∆ = + = 1 ; 4.1. ; 4.2. 12 2(1 ) ( ) 160800J.kgvq x L T −= − =

2 1 1

2

(1 ) ( )589,1J.K .kgvx L T

sT

− −−∆ = = ; 5. 1 5,56q

w−= =′

1

e r ; 6.1.

petit ; 6.2.

petit ; 6.3.

11 2 26300 182900 160800 4200J.kgw q q −′ + + = − + =

1599,1 8, 8 589,1 1,2J.K .kgs − −∆ = − + + = −∑11

00

0exp

p

s spT Tp c

γ−⎛ ⎞ −⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠ ; 7.1. ; ( )ekdT ak T T dt= − −

4 5 1

5

1ln 4, 81.10 se

e

T Ta

t T T− −−= =

− ; 7.2.

4( )3 460We

eak T T

Pe−= = ; 7.3. débit : 2 11, 013kg.s

f

Pc T

−=∆

.

s

T

II. 1.1) détendeur : orifice très étroit ; détente de Joule-Thomson ; 1.3) Par lecture des enthalpies Par lecture des entropies

à 0°C 1672 435 1237 kJ/kgv v lL h h= − = − = ( )11,75 cm

273 5 1220kJ/kg13,15 cmv v lL T s s= − = × × =

à 20°C 1690 540 1150kJ/kgvL = − = 10,2 cm293 5 1136kJ/kg

13,15 cmvL = × × =

à 40°C 1705 645 1060kJ/kgvL = − = 8, 8 cm313 5 1047 kJ/kg

13,15 cmvL = × × =

2.1) ; 2.2) ; ;

; 2.3)

56 CBT = ° 103kJ/kgB Aw h h= − = q 1235kJ/kgc C Bh h= − = −

1132kJ/kgf A Dq h h= − = 12cqw−η = = ;

2

1

114,6

1 TT

′η = =−

; détendeur irréversible ; échange

thermique entre l’ammoniac gazeux primitivement à 56°C et le local à 20°C irréversible ; 2.4) 1cm

0,08511,75 cmDX = = ; 2.5)

1 1/

1 1/T

ps s

e e

T pcste

T p

− γ

− γ⎛ ⎞⎟⎜= ⇒ = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ; . 1, 406γ =


2

3

4 5 Q345

W23

Q12

III. 1.a) 44 3

3lnpT

S S CT

− = ; 3) voir corrigé ; 4) 345

23

1

1 ext

eau

QTWT

−η = ≤−

; 5) ; 6) 8345 1, 05.10 J/hQ− =

345 723 2,1.10 J/hQW −= =

η ;au lieu de . 81, 05.10 J/hW =

IV. 1) et 2)voir cours ou corrigé ; 3) isothermes et isobares confondues ;4) 1 2 3 4 vapeur saturante vapeur sèche liquide saturé liquide + vapeur θ en °C –30 42 32 –30 P en bar 0,84 8 8 0,84 h en kJ/kg 380 430 245 245 s en kJ.kg–1.K–1 1,75 1,75 1,15 1,18

5) la température en 2 serait supérieure ; 6) 32°C ; L ou bien ; 7) ; 8) ; 9)

; 10) ; 11) η 2,7 ;

12) ; 13) dans la mesure où les isothermes sont verticales, soit ; 14) isochores verticales et très écartées,.

1430 245 165kJ.kg−= − =

1 1− −

4

6 6228 kJ.kg ; 3 kJ.kg .Kh s− −= = 1 1 15 532 kJ.kg ; 0, 4 kJ.kg .K− − −= =

( ) ( ) 12 3 305 1,75 1,15 181,5 kJ.kgL T s s −= − = − = 0L = 4 0, 37x =

3 2 1 4185kJ/kg 135kJ/kgc fq h h q h h= − = − = − = 12 1 50 kJ.kgw w h h −′= = − = =

2, 06′η = 10barsP <

V. 1.a) ; 1.b) si réversible, , sinon ; 1.c) ; 2.a)

; 2.b) non ;

2.c) ; 2.d) ; 3) ; 4.a) ; h s ; 4.b)

s eh h w q′− = + /s es s q T− = /s es s q T− >; /s s s s e e e e s s s s e e e em h m h m h m h W Q m s m s m s m s Q T′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ − + = + + − + ≥

1 1 1 11 1 2 2452kJ.kg ; 4, 40 kJ.kg .K ; 417 kJ.kg ; 2,72kJ.kg .Kh s h s− − − −= = = =

( ) 12 1 487 kJ.kgq T s s −= − = − 1

2 1 4452kJ.kgw h h q −= − − = 3h h=1 1 1−

6 5

6 5

228 3275, 4

3 0, 4h h

Ts s

− −= = =− −

alors qu’on lit sur le diagramme T ; 4.c) yh ; 5.a)

; 5.b)

76K= 4y h h+ − =( )5 61

( )( )3 2 1 61 0h h y h h− + − − = 1 2

1 50, 0833

h hy ; 5.c) W w ; 6.a)

; s y ; ; 6.b) s s ; 6.c)

; 6.d) s s .

h h−= =−

y −= =

kgs y s −= + − =

3 3212kJ.kg ; 1,72 kJ.kg .Kh s− −= = 1 14 3 1, 06 kJ.kg .K− −− =

y s s − −− + − − =

1/ 5420kJ.kg

( ) 14 5 61 212kJ.kgh yh y h −= + − = ( ) 1

4 5 61 2,78 kJ.1 1 1−

( )5 6 41 0ys y s s+ − − = ( )( ) 1 13 2 1 61 0,28 kJ.kg .K


Corrigé

I. Pompe à chaleur destinée au chauffage d'une habitation. 0. Préliminaire.

0.1. D’après la loi de Mayer, ; d’autre part, par définition, p VC C nR− = p

V

CC

γ = ; d’où 1p

nRC

γγ

=−

et, en

divisant par la masse , la formule demandée. m nM=

0.2. 1 11,2 8, 31 576, 4J.K .kg( 1) 0,2 0, 0865pgRcM

γγ

− −×= = =− ×

0.3. Soit une machine stationnaire traversée par un écoulement stationnaire d’un fluide et qui reçoit le travail W et la chaleur Q . Appliquons le premier principe au système formé par cette machine et par le fluide qui dans l’état initial est en partie dans la machine et en partie à l’entrée et dans l’état final est en partie dans la machine et en partie à la sortie. Notons par l’indice e le fluide à l’entrée et par l’indice s le fluide à la sortie. Soit et les sections du tuyau à l’entrée et à la sortie et et les longueurs qu’y occupe le fluide dans l’état initial et dans l’état final. Outre W , le système reçoit le travail des forces de pression à l’entrée , le travail des forces de pression à la sortie et le travail du poids qui est parce que le poids dérive d’une énergie potentielle et parce que la machine et l’écoulement sont stationnaires, ce qui fait que l’énergie potentielle qu’ils stockent est constante.

′

eS sS

eL sL ′e e ep S L s s sp S L−

( e smg z z− )

]c e

mgz

Comme l’écoulement et la machine sont dans un état stationnaire, l’énergie stockée dans la machine ne varie pas, donc . D’autre part et . En divisant par la masse m

de fluide transvasée et en représentant par des minuscules les grandeurs massiques :

( ) [ scU E U E∆ + = + e e e e eH U p S L= + s s s s sH U p S L= +

21[ ]2

seh v gz w ′+ + = + q

qui se réduit avec les approximations du problème à : s eh h w q′− = +

1. Compresseur. 1. 1. La transformation est une adiabatique réversible d’un gaz parfait, qui obéit à la loi de Laplace :

11 113 2 1 1,23 21 11 1 2

1 2

3 2

273 (12,65/5) 318,7 K

( ) 576, 4 (318,7 273) 26300J/kgs e pg

T T pT T

pp p

w h h c T T

γ

γ γ

−−

− −

⎛ ⎞⎟⎜= ⇒ = = × =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

′ = − = − = × − =

1.2. Comme la transformation est adiabatique et réversible, . 0s∆ =2. Condenseur. 2.1. Considérons le chemin :

1 3 1 1 1 1vapeur à , vapeur à , liquide à ,p T p T p T→ →

11 1 3 1( ) ( ) 576,4 (305 318,7) 175 000 182900J.kgpg vq h c T T L T −= ∆ = − − = × − − = −

2.2. 1 1 1

3 1

175 000( ) 305ln 576, 4 ln 599,1J.K .kg318,7 305

vpT L T

s cT T

− −∆ = − = − = − 1

3. Détendeur. 3.1. . 0s eh h− =

3.2. On peut calculer les variations des fonctions d’état sur le chemin : 1 1 2 2 2 2liquide à , liquide à , fraction gazeuse et fraction 1 liquide à ,T p T p x x T p→ → −

Les propriétés d’un liquide dépendent peu de la pression : on peut calculer sa variation d’enthalpie sans se préoccuper de la pression.

2 1 2

1 2

2

( ) ( ) 0

( ) 1, 38 (305 273)0,2154

( ) 205

vL

L

v

h c T T xL T

c T Tx

L T

∆ = − + =

− × −= = =

Autre calcul possible, un peu plus compliqué. On peut calculer les variations des fonctions d’état sur le chemin :

1 1 1 1 2 2

1 2 1 2 1

1 2

1 1 2

liquide à , fraction gazeuse et 1 liquide à , ) fraction gazeuse et 1 liquide à ,

( ) ( ) (1 ) ( ) 0

( ) 1380 (305 273)( ) ( )( ) 175000 (1380 5

v p L

L

v pL

T p x x T p x x T p

h xL T xc T T x c T T

c T Tx

L T c c T T

→ − → −

∆ = + − + − − =

− × −= =+ − − + −

0,201576,4) (305 273)

=× −

On ne trouve pas le même résultat, conformément à l’écart entre les données signalé en 6.1. DS : machines thermiques avec changements d’état, page 12

3.3. 2 2 1

1 2

0,2154 205000( ) 273ln 1380 ln 8, 8J.K .kg305 273

vLT xL T

s cT T

− −×

1= + = + =

>

L T −= − = − × =

∆

3.4. La transformation étant adiabatique et irréversible, ∆ . 0s4. Evaporateur. 4.1. q x 1

2 2(1 ) ( ) (1 0,2154) 205000 160800J.kgv

4.2. 2 1

2

(1 ) ( )589,1J.K .kgvx L T

sT

− −− 1= =∆

5. L’efficacité est le rapport du gain, c’est-à-dire la chaleur communiquée à l’habitation à chauffer − , au coût,

qui est l’énergie à donner au compresseur

1q

wr′

. L’efficacité est donc 1182900

0,8 5,5626300

qe r

w−

= = =′

q′ + + =

q −′ + + = − + =

On peut améliorer l’efficacité si on peut rapprocher les températures T et T . 1 2

Tel quel, ce chauffage est 5,56 fois moins coûteux en énergie que le chauffage électrique. 6.1. Pour un cycle, le premier principe s’écrit w q . Or cette somme calculée avec les valeurs

trouvées au fil de ce problème donne w q ; la vérification est

acceptable à la rigueur (erreur 2 %).

1 2 01

1 2 26300 182900 160800 4200J.kg

Les données du problème sont-elles cohérentes ? Elles devraient vérifier gv Lpg L

dhdhdLc c

dT dT dT= − = − . Or

1 2 1

1 2

175000 205000( ) ( )937,5J.K .kg

305 273v vL T L TT T

− −−−

= = −− −

1

1

, tandis que

1 1576,4 1380 803,6J.K .kgpg Lc c − −− = − = −6.2. Comme l’entropie est une fonction d’état, la somme des variations d’entropie lors du cycle devrait être nulle.

Or, elle vaut ; la vérification est acceptable (erreur 0,2 %). 1599,1 8, 8 589,1 1,2J.K .kgs − −∆ = − + + = −∑6.3. Comme pour un gaz parfait 0

0 0ln ln pgT R ps s , l’équation de l’isobare de pression p est : cT M p

− = −

110

00

expp

s spT Tp c

γ−⎛ ⎞ −⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠

L’isobare de pression se déduit de l’isobare de pression par affinité par rapport à l’axe des s de rapport 2p 1p11

2

1

pp

γ−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠ puisque

112

2 11

( , ) ( , )p

T s ou par translation parallèle à l’axe des s de p T s pp

γ−⎛ ⎞⎟⎜= × ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠2

1lnpR

M p− puisque

22 1

1( , ) ( , ) ln

pRs T p s T p

M p= − .

Une isobare est donc une courbe croissante. La vaporisation et la condensation sont représentés par des segments horizontaux. La détente de Joule -Thomson est une courbe décroissante (s augmente, tandis que T diminue), d’où le dessin ci-dessous du cycle, la compression étant le segment vertical :

s

T

Pour un cycle w w et w q . Si le cycle était réversible, q′ = 0+ = sTd= ∫ , donc w serait égal à l’aire du

cycle ; mais en réalité, le passage dans le détendeur est irréversible, donc q

′

Td< s∫ et w est supérieur à l’aire du

cycle.

′


7.1. Appliquons le premier principe à l’habitation :

( )ekdT akdU Q T T dtδ = − −= ⇒

5

4

4 5

5

1 1 20ln ln 4, 81.10 s14 400 10

eT

e

e eT

dTadtT T

T TdTat aT T t T T

− −

= −−

−= − ⇒ = = =

− −∫ 1

7.2. 5 7

419250( ) 4, 81.10 2.10 20 3460W

5,56 5,56e

eak T T

Pe

−− × ×= = = =

7.3. La puissance rejetée dans la source froide est 2

160 84019250 16930W

182900P = = .

Le débit d’eau froide est donc 2 1169301, 013kg.s

4180 4f

Pc T

−= =∆ ×

.

II. 1.1) Un détendeur est un orifice très étroit qui freine le passage d’un fluide. La transformation du fluide est la détente

de Joule-Thomson. 1.2) Le remplacement de u par h est dû au travail de la pression exercée par le fluide en amont et en aval du fluide

considéré.


1.3) Par lecture des enthalpies Par lecture des entropies

à 0°C 1672 435 1237 kJ/kgv v lL h h= − = − = ( )11,75 cm

273 5 1220kJ/kg13,15 cmv v lL T s s= − = × × =

à 20°C 1690 540 1150kJ/kgvL = − = 10,2 cm293 5 1136kJ/kg

13,15 cmvL = × × =

à 40°C 1705 645 1060kJ/kgvL = − = 8, 8 cm313 5 1047 kJ/kg

13,15 cmvL = × × =

2.1) . 56 CBT = °


2.2)

1775 1672 103kJ/kg

q 540 1775 1235kJ/kg

1672 540 1132kJ/kg

B A

c C B

f A D

w h h

h h

q h h

= − = − =

= − = − = −

= − = − =

Ces valeurs vérifient . 0c fw q q+ + =

2.3) 1235 12103

cqw−η = = = .

Il faut 12 fois moins d’énergie que pour un chauffage électrique.

Le rendement d’un cycle de Carnot serait 2

1

1 114,62731 1

293TT

= =− −

.

Le rendement de cette pompe à chaleur est inférieur parce que le détendeur fonctionne irréversiblement et parce que l’échange thermique entre l’ammoniac gazeux primitivement à 56°C et le local à 20°C est irréversible.

1 cm

A M D 2.4) 1cm

0,08511,75 cmD

MDX

MA= = =

2.5) 1 1/

1 1/T

ps s

e e

T pcste

T p

− γ

− γ⎛ ⎞⎟⎜= ⇒ = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

L’examen de la transformation AB sur le diagramme T,S donne :

( )( )

e s s273K p 4,3bars T 429K p 8,2bars

ln / 11 1/ 0,289 1,406ln / 1 0,289

e

s e

s e

T

T Tp p

= = = =

− γ = = γ = =−

11,75 cm

III. 1.a) 4

4 33

lnpT

S S CT

− = .

1.b) Le cycle est dessiné ci-contre. Le point 1 est mal positionné dans l’énoncé, il est nécessaire de considérer qu’il est plus à droite :

2

3

4 5

• transformation 1-2 : isotherme et isobare avec changement d’état, donc horizontale ;

extT T=

• transformation 2-3 : isentropique, donc verticale ; • transformation 3-4 : isobare d’un gaz parfait, donc obéit à (voir question 1a) ; la courbe est une exponentielle croissante ;

lnpS C T cste= +

• transformation 4-5 : isotherme et isobare avec changement d’état, donc horizontale ;

eauT T=

Q345

W23

Q12 • transformation 5-1 : insenthalpe avec changement d’état ; comme l’ébullition nécessite de l’énergie et comme la soupape de détente n’en fournit pas, cette énergie est prise sur le fluide caloporteur, qui se refroidit ; cette détente est adiabatique et irréversible, donc l’entropie augmente. 2) Voir schéma. La source chaude est la piscine et la source

froide l’extérieur. 3) Les changements d’état mettant en jeu une grande quantité de

chaleur, il suffit d’une quantité minime de fluide caloporteur, donc l’appareil est peu encombrant, ce qui ne serait pas le cas avec un dispositif utilisant un gaz. D’autre part, ils se produisent à température constantes, ce qui permet d’avoir des températures bien définies, d’où une meilleure adaptation de la machine et des

DS : machines thermiques avec changements d’état, page 16 sources et une efficacité plus élevée.


basse pour que le contact avec le milieu extérieur puisse faire bouillir l’agent th

nges d’énergie comme positifs s’ils sont reçus par la pompe à chaleur. L’efficacité est le rapport

du

Il faut une température d’ébullitionermique. 4) Comptons les écha

gain à la dépense. Le milieu extérieur étant gratuit, c’est donc 12Q−η = .

Premier principe : 23W

23 12 345 0W Q Q+ + = .

Second principe : 12 345 0ext eau

Q QT T+ ≤ (inférieur si irréversible, égal si réversible).

D’où :

345

W

− ≤345 23

23345

0

1 1eau ext

ext ext eau

Q Q WT T

QT T T

+

⎛ ⎞⎟⎜≥ − − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Comme et , cette inégalité montre que et que 345 0Q− > ext eauT T< 23 0W >345

23

1

1 ext

eau

Q−η = TWT

≤−

5) Il faut compenser

6)

8345 150 250 2800 1, 05.10 J/hQ− = × × = .

345Q− 723 2,1.10 J/hW = =

η.

Si l’on chauffait avec une résistance électrique, il faudrait fournir

IV. Appliquons le premier principe à un système formé de l’organe, du fluide qui est dedans et de l’unité de fluide qui

dation d’énergie de ce système est

Le v q

h h w q

+

′− = +

2) La vanne ne reçoit ni travail, ni chaleur, donc l’énoncé du premier principe pour les transvasements stationnaires m

nge liquide-vapeur, car à l’équilibre entre deux éta

1 2 3 4

81, 05.10 J/hW = .

1)ns l’état initial 1 s’apprête à y entrer et dans l’état final 2 vient d’en sortir. Comme l’organe est stationnaire et l’énergie cinétique négligeable, la varia 2 1u u− . travail reçu est 1 1 2 2w p v p v′ + − et la chaleur reçue est q . D’où :

2 1 1 1u u w p v p′− = + − 2 2

2 1

ontre que l’enthalpie massique est la même à l’entrée et à la sortie. 3) Les isothermes et les isobares sont confondues dans la zone mélats d’un corps pur la pression est une fonction de la température. 4)

vapeur urante vapeu èche liquid aturé liquide apeur sat r s e s + vθ en °C –30 42 32 –30 P en bar 0,84 8 8 0,84 h en kJ/kg 380 4 2 30 45 245

s en –1 kJ.kg–1.K 1,75 1,75 1,15 1,18 5) Alors, 1 ature e rait supéri

bars, l’ 30 245 165kJ.kg−− = ou bien

7) Le graphe et le raisonnement précédent montre que = .

1 4185kJ/kg 380 245 135kJ/kgc fh q h h= − − = − = − = .

e gain est

2s s> , donc la tempér n 2 se eure. 6) Sous 8 équilibre liquide vapeur a lieu à 32°C. 4L = 1

( ) ( ) 12 3 305 1,75 1,15 181,5 kJ.kgT s s −= − = − =

LL

08) 4 0, 37x = par lecture directe. 9) 2 245 430q h = − =3

10) 12 1 430 380 50kJ.kgw w h h −′= = − = − =

11) L fq et la dépense , le milieu ambian tant gratuit ; 135/50=2,7. w t é η =

12) ( )60/ 7 4 2,06′η = = ui est inférieur à η , à cause de l’ir rsibilité de la 00/2 q réve machine réelle. e gaz est parfait dans la mes les, ce qui est

apssible si les isochores sont verticales et très écartées, ce qui n’est pas vrai près du point

cr

13) L ure où ( )h h T= donc dans la mesure où les isothermes sont vertica,proximativement vérifié si 10barsP < . 14) Le liquide est incompre

itique.

V. inspiré de ensam 1984. 1.a) . s eh h w q′− = +1.b) Pour un fonctionnement réversible, , sinon . /s es s q T− = /s es s q T− >1.c) . ; /s s s s e e e e s s s s e e e em h m h m h m h W Q m s m s m s m s Q T′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ − + = + + − + ≥


1 1− −

1−

1−

2.a) Les points 1 et 2 sont à l’intersection de l’isotherme et des isobares et . .

290KT = 1barp = 200barsp =1 1 1 1

1 1 2 2452kJ.kg ; 4, 40kJ.kg .K ; 417 kJ.kg ; 2,72kJ.kg .Kh s h s− − − −= = = =

2.b) L’azote se comporte comme un gaz parfait à 1 bar, mais pas à 200 bars ; Dans la région de 2, la deuxième loi de Joule, selon laquelle l’enthalpie ne dépend que de la température, n’est pas vérifiée.

2.c) ( ) ( ) 12 1 290 2,72 4, 4 487 kJ.kgq T s s −= − = × − = −

2.d) 12 1 417 452 487 452kJ.kgw h h q −= − − = − + =

3) Comme il n’y a ni travail, ni chaleur, le premier principe montre que la transformation est isenthalpique : . 3 4h h=

4.a) Le point 6 est à l’intersection de la courbe de rosée et de l’isobare : .

1barp =1 1

6 6228 kJ.kg ; 3 kJ.kg .Kh s− −= =

Le point 5 est à la même température et sur la courbe d’ébullition : . 1 15 532kJ.kg ; 0, 4 kJ.kg .Kh s− −= =

4.b) La cohérence de ces données peut se vérifier en calculant 6 5

6 5

228 3275, 4

3 0, 4h h

Ts s

− −= = =− −

alors qu’on lit sur

le diagramme . 76KT =4.c) Le premier principe appliqué au séparateur donne : . ( )5 61yh y h h+ − = 4

5.a) Le premier principe donne . ( )( )3 2 1 61 0h h y h h− + − − =

5.b) En combinant ces relations, 1 2

1 5

452 4170, 0833

452 32h h

yh h

− −= = =− −

.

5.c) . 1/ 452/0,0833 5420kJ.kgW w y −= = =6.a) Le point 4 est sur le segment joignant les points 5 et 6 ;

; .

( ) ( ) 14 5 61 0, 0833 32 1 0, 0833 228 212kJ.kgh yh y h −= + − = × + − × =

( ) ( ) 14 5 61 0, 0833 0, 4 1 0, 0833 3 2,78 kJ.kgs ys y s −= + − = × + − × =

Le point 3 est à l’intersection de l’isenthalpique et de l’isobare : 212h = 200barsp =1 1

3 3212kJ.kg ; 1,72kJ.kg .Kh s− −= = 1−

1

1

.

6.b) , qui est positif, en accord avec le fait que la transformation est adiabatique et irréversible : dans un détendeur, le fluide s’écoule toujours de la haute pression vers la basse pression.

14 3 2,78 1,72 1, 06kJ.kg .Ks s − −− = − =

6.c) , en accord avec le fait qu’il n’y a pas de transformation.

( ) ( )5 6 41 0, 0833 0, 4 1 0, 0833 3 2,78 0ys y s s+ − − = × + − × − =

6.d) , qui est positif ; la transformation dans l’échangeur est adiabatique et irréversible ; l’irréversibilité est due à l’échange de chaleur entre fluides de températures différentes : à droite, l’azote sortant de l’échangeur thermique à 165 K est en contact thermique avec de la vapeur entrant à 76 K.

( )( ) ( )( ) 13 2 1 61 1,72 2,72 1 0,0833 4, 4 3 0,28 kJ.kg .Ks s y s s − −− + − − = − + − − =

1 2

3

6 5 4


Machines thermiques avec changements d'état

Documents

Transcript of Machines thermiques avec changements d'état