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Gilles Goncalves – Programmation linéaire - Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

Machine critique

Machine qui régule à elle seule la cadence d’un atelier

TOC (Theory of Constraints- Goldratt)

Exemples :Exemples :Exemples :Exemples :

DDDDééééfinition :finition :finition :finition :

Machine critique = machine goulot = machine goulet

- Machine à exemplaire unique

- Machine la plus lente sur une ligne de production …

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

Un ensemble de n tâches (i.e. Job) est exécuté sur une machine unique.

2215510152110d i

2424863p i

9800452r i

7654321Jobs

Données

r i : date de disponibilité de la tâche i

d i : date de fin au plus tard de la tâche i

p i : durée de la tâche i

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

But du problème :But du problème :But du problème :But du problème :

Donner un modèle simple d’ordonnancement utilisable

pour différents objectifs. Il faut déterminer les temps de début d’exécution de chaque tâche.

Minimiser :

- le temps d’exécution total

- le temps moyen d’exécution

- la somme des retards

Objectifs

Objectifs :Objectifs :Objectifs :Objectifs :

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

Modélisation

Hypothèse : la préemption n’est pas autorisée

Elaboration d’un modèle permettant de traiter les trois objectifs à la fois.

� Utilisation de variables binaires uik valant 1 si le

job i est séquencé en position k

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

Il ne peut y avoir qu’un seul job à la position k et une seule position correspond au job i.

D ’où les contraintes :

Modélisation

Contrainte 1 :

Contrainte 2 :

2

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

La durée d’exécution d’un job en position k est donnée par la somme (un seul job par position) :

Modélisation

∀ k=1..n

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

tk : date de début d’exécution du job en position k

tk doit être supérieure à la date de disponibilité (ri) du job séquencé à la position k.

Deux jobs ne peuvent être exécutés simultanément. Le job en position k+1 doit démarrer après que le job en position k soit terminé.

Modélisation

Contrainte 3 :

Contrainte 4 :

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Modélisation

Objectif 1

Minimiser la date de fin Cmax de l’ordonnancement

= minimiser la date de fin du dernier job

Fonction objective :

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

Modélisation

Contraintes :

Objectif 1

Contraintes 1 à 4

Contrainte 5 :

Contrainte 6 :

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

Modélisation

Objectif 2

Minimiser le temps moyen d’exécution

= minimiser la somme des dates de fin des jobs

Pour cela on peut utiliser d’autres variables qui sont les dates de fin d’exécution ck des jobs en position k.

Fonction objective :

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

Modélisation

Contraintes :

Objectif 2

Contraintes 1 à 6

Contrainte 7 :

Contrainte 8 :

3

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

Modélisation

Objectif 3

Minimiser la somme des retards

Utilisation d’une nouvelle variable Tk= retard du job séquencé en position k

Fonction objective :

Gilles Goncalves – Programmation linéaire -

Modélisation

Contraintes :

Objectif 3

Contraintes 1 à 8

Contrainte 9 :

Contrainte 10 :

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Modèle Xpress

Résultats

Objectif 1 : cn = 29

n°job 4 5 1 3 7 6 2

Objectif 2 : ΣΣΣΣ ck = 92

n°job 5 1 4 7 6 2 3

Objectif 3 : ΣΣΣΣ Tk = 14

n°job 5 1 4 6 2 7 3