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Problemes de Mathematiques
Trois relations identiques dans P(E)
Corrige
Corrige du probleme
1. M= P(E) convient.[ Q ]2. (a) Reflexivite
Soit AdansP(E). PuisqueM =, soit Xun element de M.
On a...A X=A X, ce qui prouve A R A.
Symetrie
Elle est evidente par definition (car X, Y jouent le meme role.)
Transitivite
SoientA, B,C dansP(E), tels que : A R B et B R C.
Il existe X et Y dans M tels que A X=B X et B Y =C Y.
On sait quil existe Z dansM tel que ZX Y.
On en deduit
A X Z=B X Z
B Y Z=C Y Z
puis
A Z=B Z
B Z=C Zcar X Z=Z et Y Z=Z.
AinsiA Z=C Z, et Zest element deM. Donc A R C.
Conclusion
R est une relation dequivalence sur P(E).
[ Q ]
(b) SupposonsM = {E}
Pour tous Aet B deP(E), A R B A E=B EA = B.
La relation R est donc legalite.
Reciproquement
On suppose que M est different de {E}. Montrons queR nest pas legalite.
PuisqueM =, il existe X dansM, avec X=E.
On constate que XR E (car X X=E X et X M.)
Or X et Esont distincts : R nest pas donc pas la relation egalite.
Conclusion
R est la relation egalite Mse reduit au singleton{E}.
[ Q ]
(c) Supposons M
Pour tous A, B deP(E) on a alors A R B car A = B .
R est donc lequivalence universelle.
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Problemes de Mathematiques
Trois relations identiques dans P(E)
Corrige
Reciproquement
Supposons queR soit lequivalence universelle dans P(E).
Alors en particulier R E.
Il existe donc un element X deP(E) tel que E X= X.
Mais cela signifie que X=. Donc M.
Conclusion
R est lequivalence universelle est element deM.
[ Q ]
3. (a) Classe deE
AE X M tel que A X=E X X M tel que A X=X X M tel que XAEest donc formee des parties de Econtenant au moins un element de M.
En particulier tous les elements de M sont dans la classe de E.
Classe de
A X Mtel que A X= X X Mtel que A X=
est donc lensemble des parties de Equi ont une intersection vide avecau moins un element de M.
[ Q ]
(b) Soient Aet B deux elements deE.Comme on la vu, il existe X et Y dansMtels que XA et Y B .
On sait quil existe un element ZdeM tel que ZX Y.
On a donc ZA B, ce qui prouve que A B appartient aE. [ Q ](c) Il sagit de demontrer que pour tous A,B deP(E), A R B A SB.
SupposonsA R B
Alors il existe X dans M tel que A X=B X.
On Xest aussi element de N=E (car Xcontient X !). Donc A SB. SupposonsA SB
Alors il existe Xdans IN tel que A X=B X.
Par definition, il existe un element Y deM tel que Y X.
On en deduit A X Y =B X Y puis A Y =B Y. Donc A R B.
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Problemes de Mathematiques
Trois relations identiques dans P(E)
Corrige
Conclusion
Les relations R et S sont identiques.
[ Q ]
4. (a) Il sagit de demontrer que pour tousA,B deP(E), A R B A T B.
Pour toutes parties Aet B de Eet tout element XdeM:
(AB) X=
(A B) (A B)
X=
(A B X) (A B X) =
A B X= et A B X=
A XB et B XA.
On aura termine la demonstration quand on aura prouve lequivalence :
(A XB et B XA) A X=B X
Dans le sens : cest evident.
Dans le sens :
A XB
B XA
A X XB X
B X XA X
A XB X
B XA X
A X=B X
Les relationsR etTsont donc identiques. [ Q ]
(b) Par hypothese, il existe X et Y dansM tels que : (S)
A X=A X
B Y =B Y
On sait quil existe Z dansMtel que ZX Y.
Le systeme (S) implique alors ()
A Z=A Z
B Z=B Z
Intersection
() A Z B Z=A Z B Z
(A B) Z= (A B) Z
On en deduit (A B) R (A B).
Reunion
(S) (A Z) (B Z) = (A
Z) (B
Z) (A B) Z= (A B) Z
On en deduit (A B) R (A B).
Complementaire
Pour toutes parties C et D de E, on remarque que CD= CD.
Dans ces conditions :
A R A A T A X Mtel que (AA) X=
X M tel que (AA) X= A TA A R A
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Problemes de Mathematiques
Trois relations identiques dans P(E)
Corrige
Difference symetrique
On utilise les resultats precedents :A R AB R B
A R A et B R B
B R B et A R A (A B) R (A B)
(B A) R (B A)
(A B) (B A) R (A B) (B A)
Ce dernier resultat nest autre que (AB) R (AB).
[ Q ]
5. (a) SiM = {E},R est legalie. Il y a donc autant de classes que de parties de E.
Plus precisement : pour toute partie Ade E,
A= {A}. [ Q ]
(b) Si M,R est lequivalence universelle.
Il na donc quune seule classe dequivalence, a savoirP(E). [ Q ]
(c) Pour toutes parties Aet B de E,
A R B A {x}= B {x}
x A B
ou
x /A et x /BIl y a donc deux classes dequivalence :
Celle formee des parties de Equi contiennent x.
Celle formee des parties de Equi ne contiennent pas x.
[ Q ]
(d) On suppose donc que{x}et{y}sont deux elements de M.
Mais on sait quil existe Z dans M tel que Z {x} {y}.
Dans ce cas cela siginifie que M.
On est ainsi ramene au cas (b).[ Q ]
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