LYCEE DESSAIGNES ANNEE 2015/2016...
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LYCEE DESSAIGNES ANNEE 2015/2016 INTERROGATIONS DE MATHEMATIQUES SEMAINE N 21 DU 21/03 AU 25/03/2016 _________________________________________________________ Espaces préhilbertiens réels Produit scalaire: propriétés générales et exemples , notamment R n ;L 2 (R) Norme euclidienne associée à un produit scalaire Orthogonalité : vecteurs orthogonaux ,relation de Pythagore, orthogonal d’une partie , d’un sous espace si F est un sev de dim finie de EF et F ? sont supplémentaires projections orthogonales . Propriété .Caractérisation métrique de P F (x):; Distance d’un vecteur à un sous espace de dimension finie Espaces Euclidiens Procédé d’orthonormalisation de Schmidt Bases orthonormales: expression d’un vecteur dans une BON: x = P n 1 (x j e i )e i . Matrice d’un endomorphisme dans une BON Expression de la projection orthogonale p F à l’aide d’une base orthonormale de F (notamment exemple de la projection sur une droite vectorielle , sur un hyperplan) Théorème de représentation des formes linéaires en dimension finie Suites orthonormales (e i ) i2N . Inégalité de Bessel : P +1 0 (x j e i ) 2 est convergente et P +1 0 (x j e i ) 2 kxk 2 Suites totale: la suite orthonormale (e i ) i2N est totale dans E ssi vect fe i ;i 2 Ng = E (e i ) i2N est totale ssi pour tout x 2 E; x = P +1 0 (x j e i )e i ssi P +1 0 (x j e i ) 2 = kxk 2 Questions de cours 1 Ex 76 Algèbre. 2 Ex 77 Algèbre. 3 Ex 81 Algèbre. 4 Ex 92 Algèbre. 5 Une projection orthogonale P F vérifie 8(x; y) 2 E 2 ; (P F (x) j y)=(x j P F (y)): Conséquence sur la matrice de P F dans une BON. 6 Méthode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille libre (e i ) i2I : formules et explication de la méthode. 1
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LYCEE DESSAIGNES ANNEE 2015/2016
INTERROGATIONS DE MATHEMATIQUES
SEMAINE N◦ 21 DU 21/03 AU 25/03/2016
_________________________________________________________
Espaces préhilbertiens réels
Produit scalaire: propriétés générales et exemples , notamment Rn, L2(R)Norme euclidienne associée à un produit scalaire
Orthogonalité : vecteurs orthogonaux ,relation de Pythagore, orthogonal d’une partie , d’un sous espace
si F est un sev de dim finie de E F et F⊥ sont supplémentaires
projections orthogonales . Propriété .Caractérisation métrique de PF (x).,Distance d’un vecteur à un sous espace de dimension finie
Espaces Euclidiens
Procédé d’orthonormalisation de Schmidt
Bases orthonormales: expression d’un vecteur dans une BON: x =∑n
1 (x | ei)ei.Matrice d’un endomorphisme dans une BON
Expression de la projection orthogonale pF à l’aide d’une base orthonormale de F (notamment exemple de la
projection sur une droite vectorielle , sur un hyperplan)
Théorème de représentation des formes linéaires en dimension finie
Suites orthonormales (ei)i∈N . Inégalité de Bessel :∑+∞
0 (x | ei)2 est convergente et∑+∞
0 (x | ei)2 ≤ ‖x‖2
Suites totale: la suite orthonormale (ei)i∈N est totale dans E ssi vect {ei, i ∈ N} = E(ei)i∈N est totale ssi pour tout x ∈ E, x =
∑+∞0 (x | ei)ei ssi
∑+∞0 (x | ei)2 = ‖x‖2
Questions de cours
1◦ Ex 76 Algèbre.
2◦ Ex 77 Algèbre.
3◦Ex 81 Algèbre.
4◦ Ex 92 Algèbre.
5◦Une projection orthogonale PF vérifie ∀(x, y) ∈ E2, (PF (x) | y) = (x | PF (y)). Conséquence sur la matrice de
PF dans une BON.
6◦ Méthode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt appliquée à la famille libre (ei)i∈I : formules et explication de la
méthode.
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