Lycée de Souassi SECTIONS : 4 Sciences Expérimentales 1...
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Page 1 sur 5 Lycée de Souassi DEVOIR DE SYNTHESE N° 3 08/05/2009 SECTIONS : 4 éme Sciences Expérimentales 1 EPREUVE : Mathématiques DUREE : 3 heures PROFESSEUR : Mr FLIGENE Wissem EXERCICE N° 1 :(3 points) Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. L’exercice consiste à recopier sur la copie cette réponse exacte sans justification. BAREME : Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0. 1. Une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres 3 et 1 3 . La variance de X est égale à : a) 1 b) 2 3 c) 1 3 2. Une variable aléatoire Y suit la loi uniforme sur l’intervalle [0,1]. 0,3 0, 5 p Y est égale à : a) 0,3 b) 0,5 c) 0,2 3. Si Z est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,1 alors l’arrondi au centième de 10 pZ est : a) O,63 b) 0,37 c) 0,91 EXERCICE N° 2 :(4 points) Dans le repère orthonormé ( ,, ) Oi j ci-contre, la courbe (C) représente la fonction f définie sur 0, par ln () x f x ax b x où a et b sont deux réels. La droite D est tangente à (C) au point A(1 , –1). Elle passe par le point B(–1 , –5). 1. Déterminer, à l’aide du graphique, (1) f et (1) f . 2. Exprimer () f x en fonction de a et b. 3. Déterminer les réels a et b. 4. On admet que ln () 3 x f x x x a. Déterminer la limite de f à droite en 0. Que peut-on en déduire graphiquement ? b. Montrer que la courbe (C) admet la droite Δ d’équation y = –x comme asymptote en 5. Calculer l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan limitée par (C), Δ et les droites d’équations x = 1 et x =e B O i j A C D
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Lyce de Souassi
DEVOIR DE SYNTHESE N 3
08/05/2009
SECTIONS : 4me Sciences Exprimentales 1EPREUVE : MathmatiquesDUREE : 3 heuresPROFESSEUR : Mr FLIGENE Wissem
EXERCICE N 1: (3 points)Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des rponses proposes est exacte.Lexercice consiste recopier sur la copie cette rponse exacte sans justification.
BAREME : Une bonne rponse rapporte 1 point ; une mauvaise rponse enlve 0,5 point.Labsence de rponse napporte ni nenlve aucun point.Si le total de points est ngatif, la note globale attribue lexercice est 0.
1. Une variable alatoire X suit la loi binomiale de paramtres 3 et1
3. La variance de X est gale :
a) 1 b)2
3c)
1
3
2. Une variable alatoire Y suit la loi uniforme sur lintervalle [0,1]. 0,3 0,5p Y est gale :a) 0,3 b) 0,5 c) 0,2
3. Si Z est une variable alatoire qui suit une loi exponentielle de paramtre 0,1 alors larrondi au
centime de 10p Z est :a) O,63 b) 0,37 c) 0,91
EXERCICE N 2: (4 points)
Dans le repre orthonorm ( , , )O i j
ci-contre, la courbe (C)
reprsente la fonction f dfinie sur 0, parln
( )x
f x ax bx
o a et b sont deux rels.
La droite D est tangente (C) au point A(1 , 1). Elle passepar le point B(1 , 5).1. Dterminer, laide du graphique, (1)f et (1)f .
2. Exprimer ( )f x en fonction de a et b.
3. Dterminer les rels a et b.
4. On admet queln
( ) 3x
f x xx
a. Dterminer la limite de f droite en 0.Que peut-on en dduire graphiquement ?
b. Montrer que la courbe (C) admet la droite dquation y = x comme asymptote en
5. Calculer laire, en unit daire, de la partie du planlimite par (C), et les droites dquations x = 1 et x = e
B
O i
j
A
C
D
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EXERCICE N 3: (4 points)
On considre la suite nI dfinie sur par
1
01
n xnI x e dx
1. En utilisant une intgration par partie, montrer que pour tout n , on a : 1 1 1n nI n I 2. a) Montrer que pour tout n , 0nI
b) Montrer que nI est une suite dcroissante.
c) En dduire que nI est une suite convergente
3. a) Montrer que pour tout 0,1x et pour tout n , 1 1n nxx e x e
b) En dduire que pour tout n ,1
n
eI
n
c) Dterminer alors la limite de la suite nI
EXERCICE N 4: (5 points)Une petite entreprise de textile commercialise des pantalons et des chemises.Quand un client se prsente, il achte au plus un pantalon et une chemises.1. La probabilit pour quun client achte un pantalon est 0,2. La probabilit pour quun client achte lachemise quand il a achet le pantalon est 0,7 et la probabilit quil achte la chemise quand il na pas achetle pantalon est 0,1.a) On note P lvnement un client achte le pantalon.On note C lvnement un client achte la chemise.Construire un arbre de probabilit dcrivant la situation.b) Montrer que la probabilit de lvnement PC est gale 0,14.c) Calculer la probabilit de lvnement C.d) Calculer la probabilit pour quun client achte le pantalon quand il a achet la chemise.2. Le pantalon est vendue 125 DT et la chemise 45DT.a) Soit X la variable alatoire qui prend pour valeurs les dpenses dun client
Vrifier que lensemble des valeurs prises par X est {0, 45 , 125 , 170 }. Dterminer ainsi la loi deprobabilit de Xb) Calculer lesprance mathmatique de X.3. On rappelle que la probabilit pour quun client achte lensemble pantalon et chemise est 0,14.On choisit trois clients au hasard. On suppose que le nombre de clients est suffisamment grand pour que cechoix soit assimil un tirage successif avec remise.Quelle est la probabilit quun seul client ait achet un ensemble pantalon et chemise?
EXERCICE N 5: (4 points)1. Rsoudre l'quation diffrentielle : (E) 9y '' + 2y = 02. On dsigne par f la solution particulire de (E) dont la courbe reprsentative, dans un plan muni d'un
repre orthonorm, passe par le point P 1, 2 et admet en ce point une tangente parallle l'axe desabscisses. Dterminer f.
3. Vrifier que, pour tout nombre rel x, ( ) 2 cos 23
f x x
4. Calculer la valeur moyenne de f sur lintervalle 2, 1
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CorrectionSolution-Exercice 11) b) 2) c) 3) b)Solution-Exercice 2
1- (1) = 1
(1) = =
=5 + 1
1 1= 2
2- () = +
= +
3- (1) = 1 = 1 donc () = 1 +
comme (1) = 2 alors 1 + = 2
= 3
4- a) lim = , (, ):= 0 est une asymptote verticale (C)
b) lim [ () + [ = lim 3
= 0 donc =: est une asymptote oblique (C) au
voisinage de +
5- = | () + |
or () + = 3
0 ,1] ] donc = 3
= 3
=
3
( (
=
[( ](
=
(1 0) =
.) )
Solution-Exercice 3
1- 1 1
1 01
n xnI x e dx
Soit () = (1 ( () = (+ 1)(1)(1 (
() = () =
= [(1 (]
+ (+ 1) (1 (
= (+ (1 1
2- a) pour tout [0,1] c..d. 0 1 on a 1 0 et alors (1 ( 0 comme > 0
alors (1 ( 0, or (1 ( est continue sur [0,1] alors (1 (
= 0
b) = (1 (
(1 (
= (1 (
(1 =(1
(1 (
((
Or (1 ( 0 et 0 pour tout [0,1] et (1 ()( est continue sur [0,1]alors 0 do est dcroissantec) est dcroissante et minore par 0 alors est convergente
3- a) [0,1] 1 (1 ( (1 ( puisque (1 ( 0
b) (1 ( et (1 sont( continues sur [0,1] alors (1 (
(1 (
or (1 (
= (1 (
= (1)
1
=
(1 (
=
0
=
do
c) on a : 0
et lim
= 0 alors lim = 0
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Solution-Exercice 41- a) () = 0,2 ; () = 0,7 ; () = 0,1
b) ) ( = () () = 0,2 0,7 = 0,14c) () = ) ( + ) ) () = 0,14 + 0,8 0,1 = 0,22
d) () =()
()=
,
,=
= 0,636
2- a) () = {0,45,125,170}
0 45 125 170
) = ( 0,72 0,08 0,06 0,14
) = 0) = ) ( = 0,8 0,9 = 0,72) = 45) = ) ) = 0,8 0,1 = 0,08) = 125) = ) ( = 0,2 0,3 = 0,06) = 170) = ) ( = 0,14b) () = 0 0,72 + 45 0,08 + 125 0,06 + 170 0,14 = 34,9
3- il sagit dun schma de Bernoulli de paramtres n = 3 et p = 0,14
soit Y la variable alatoire qui donne le nombre de clients qui ont achet un ensemble pantalon etchemisedonc la probabilit quun seul client ait achet un ensemble pantalon et chemise est) = 1) =
(0,14)(1 0,14) = 3 0,14 (0,86) = 0,31
Solution-Exercice 5
1- (E) 9y '' + 2y = 0 " +
= 0 donc =
+
; (,)
2- Daprs les donnes de cette question on conclut que (1) = 2 et (1) = 0
Or f solution de (E) alors () =
+
Dautre part () =
(1) = 2
(1) = 0
3+
3= 2
3
3
3
3= 0
3
2 +
1
2 = 2
1
2
3
2 = 0
3 + = 22 (1)
3 = 0 (2)
(2) = 3 quon remplace dans (1) ce qui donne 4 = 22 =
do =
Do () =
3- () =
=
=
;=
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= + = 2
=
=
1
2
=
=
3
2
4
3 []
2
3 []
Do () = 2
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