LSIS – UMR-CNRS 6168 1 Adaptation du paramètre déchelle de Laguerre pour le contrôle prédictif...

LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 11

Adaptation du paramètre d’échelle Adaptation du paramètre d’échelle de Laguerre pour le contrôle de Laguerre pour le contrôle

prédictifprédictif

M. EL Adel & M. OuladsineM. EL Adel & M. Ouladsine

LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168Marseille - FranceMarseille - France


Plan de la présentationPlan de la présentation

IntroductionIntroduction Séries de LaguerreSéries de Laguerre Algorithme d’estimation Algorithme d’estimation contrôle Prédictifcontrôle Prédictif Résultats de SimulationsRésultats de Simulations ConclusionConclusion


IntroductionIntroduction

Le comportement des contrôleurs adaptatifs en présence des dynamiques non Le comportement des contrôleurs adaptatifs en présence des dynamiques non modélisées modélisées

Le manque de connaissances a priori sur les procédés Le manque de connaissances a priori sur les procédés

Représentation par les séries orthonormales Représentation par les séries orthonormales

Abandon du modèle ARMAAbandon du modèle ARMA


Grâce à sa simplicité de mise en œuvre, la base de fonctions orthogonales de Laguerre Grâce à sa simplicité de mise en œuvre, la base de fonctions orthogonales de Laguerre est choisie pour la modélisation et la commande des systèmes linéairesest choisie pour la modélisation et la commande des systèmes linéaires

Problème :Problème :

Cette base de fonctions orthogonales de Laguerre contient un paramètre crucial (Le Cette base de fonctions orthogonales de Laguerre contient un paramètre crucial (Le paramètre d’échelle de Laguerre paramètre d’échelle de Laguerre p p > 0 )> 0 )

Si ce paramètre est choisi convenablement, alors la base de fonctions orthogonales de Si ce paramètre est choisi convenablement, alors la base de fonctions orthogonales de Laguerre peut effectivement approximer n’importe quelle fonction de transfert d’un Laguerre peut effectivement approximer n’importe quelle fonction de transfert d’un système stable.système stable.

Le but principal de cette présentation, est le choix Le but principal de cette présentation, est le choix optimal de ce paramètre dans le cas de la optimal de ce paramètre dans le cas de la commande prédictive.commande prédictive.


Propriétés des Séries de LaguerrePropriétés des Séries de Laguerre

)]2exp(1[1)!1(

1)exp(2),( ptntndtn

ndptpptnf

nps

npsppsnF)(

1)(2),(

0

,2,1

p

n

base la de ordreblocs de Nombreq

qC2C1C

ps

ps

ps

ps

ps

p

2

Circuit Summing)(ˆ sY

)(su )(1 sL )(2 sL )(sqL

)(),(ˆ

)(ˆ)(ˆ

1

1

supsFC

sLCsY

q

n

nn

q

n

nn


p

ap ; aa

pTa

ap

Ta; apTa

)1(2)1(

2

)1(2

)exp(

1412

1131

1321

1321

22

1

1321

1

)1(

0

00

aT

aaa

T

)aa(aa

aT

aa-aa

A

q

qq

Tq aTaaTaab 4

12424 ])/()/([

)()()1( tbutALtL

T : période d’échantillonnage


1z

A

b)(ˆ tY)(tu

)(ˆ tCT

)()(ˆ)(ˆ

)()()1(

tLtCtY

tbutALtLT

)()()(ˆ)( tetLtCtY T

Tq

T

q

tLtLtLtL

CCCC

)()()()(

ˆˆˆˆ

21

21


Algorithme d’estimation Algorithme d’estimation

I – Le vecteur paramètre de projection )(ˆ tC

0 t 0)0( ,10 ;)(max)1()(

oo ZeZμZtLtZμtZ


)(

)()(

tZ

tYtY

)(

)()(

tZ

tLtL

)(

)()(

tZ

tete

On définit

Le modèle normalisé devient :

où :

De point de vue estimation, le modèle n’est pas convenable si le terme d’erreur e(t) n’est pas borné



)()1()()(

)()()1()1(ˆ)(ˆ

2 tLtPtLtZ

tetLtPtCtC

T

)1(-)()1()()(

)1()()()1()1(

)(

1)( 2

2

tPσ

tLtPtLtZ

tPtLtLtPtP

tλtP

T

T

10 σ

où :

et 980)0(980

)1()1()(

., λ.λ

λtλλtλ

o

oo


La matrice de covariance )(tP satisfait les propriétés suivantes

qq IρtPIη )(

avec 0η et ρ0

i-

ii- si 0)( tL alors qIγtP )( lorsque t tend vers l’infini

qI est la matrice identité et γ est un scalaireoù :


II - Le paramètre d’échelle adaptatif de Laguerre

Dans le domaine de Laplace, nous supposons que le système réel à modéliser dont la sortie

est peut être décrit par la fonction de transfert . Nous supposons aussi que cette

fonction de transfert est bornée c.à.d

)(tY )(sG

ωdωjG

2)(

En considérant un ordre de projection q, nous pouvons projeter cette fonction de

transfert sur la base de Laguerre dont les éléments sont comme suit:

),(ˆ)(ˆ

1

psFCsG n

q

n

n

Le calcul standard de est donné dans le domaine fréquentiel par :nC

ωdpωjFωjGπ

C nn ),()(ˆ2

1ˆ *

),( psFn

)(ˆˆ pCC nn


Considérons le coût de fonction à minimiser

ωdpωjFpCωjGπ

p

q

n

nn

2

1

),()(ˆ)(2

1)(

En utilisant l’expression de , nous avons

q

n

n pCωdωjGπ

p

1

22

)(ˆ)(2

1)(

Donc le minimum de par rapport à correspond au maximum de )(p p

2

1

2 )(ˆ)(ˆ pCpC

q

n

n

nC


Lemme Nous pouvons montrer aisément ce qui suit :

Pour p>0 , la transformée de Laplace des fonctions orthogonales de Laguerre satisfont l’égalité suivante :

),()1(),(),(

2 11 psFnpsnFdp

psdFp nn

n

Théorème Nous pouvons montrer que :

)(ˆ)(ˆ)(ˆ1

1

2 pCpCp

qpC

dp

dqq

q

n

n


•Le théorème permet de déduire la variation de p. Cependant, puisque le paramètre

d’échelle est strictement positif, nous cherchons des conditions qui doivent être satisfaites

pour le maintenir dans un domaine réel et positif. Ces conditions peuvent être obtenues en

passant à la dérivée seconde de :

q

n

n pC

1

2 )(ˆ

)(ˆ)(ˆ1

)(ˆ)(ˆ )(ˆ)(ˆ)(ˆ111

1

22

2pCpC

ppC

dp

dpCpCpC

dp

d

p

qpC

dp

dqqqqqq

q

n

n

La dérivée seconde est donnée par :


La fonction tend à avoir des valeurs maximales en fonction de p si

0)(ˆ

1

22

2

q

n

n pCdp

d

2)(ˆ pCn

Ceci est satisfait si l’inégalité suivante est vraie

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ

1

1

pC

pCd

pC

pCd

p

dp

q

q

q

q

Posons avec p>0, on a: )()1( tptpdp

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ

)(ˆ1)(ˆ)1(ˆ

1

1

pC

pC

pC

pCtptp

q

q

q

q


où :

))(ˆ(ˆ))1(ˆ(ˆ)(ˆ t

))(ˆ(ˆ))1(ˆ(ˆ)(ˆ111

tpCtpCpCe

tpCtpCpC

qqq

qqq

Considérons la variation de entre les instants t et t+1 on a: )(ˆ)(ˆ)(ˆ1

1

2 pCpCp

qpC

dp

dqq

q

n

n

))(ˆ(ˆ))(ˆ(ˆ

))(ˆ(ˆ

1)(ˆ)1(ˆ1

2

tpCtpCq

tpCtptp

qq

où :

22

1

2

1

22

))(ˆ(ˆ))1(ˆ(ˆ

))(ˆ(ˆ))1(ˆ(ˆ))(ˆ(ˆ

tpCtpC

tpCtpCtpC

q

n

n

q

n

n


Définition Une séquence réelle positive )(tS est dite δ asymptotiquement

δtSk

lkt

ltlk

1

)(1

suplimsuplim

faible en moyenne si (AFM) if

L’algorithme d’adaptation proposé possède les propriétés suivantes

1P - Il existe un scalaire positif cR tel que : on aINt

cRtC )(ˆ

Lemme


Il existe un scalaire positif telle que l’erreur normalisée ’adaptationδK

)(ˆ)( tYtY δK -AFM

2P

est

3P Il existe un scalaire positif tel que cK

)1(ˆ)(ˆ tCtC est cK AFM

4P *)(ˆlim ptpt

où Constante* p Est la valeur optimale de au sens de p3P

.


contrôle prédictif

La prédiction de la sortie sur un horizon de d pas permet d’écrire:

)()()]()()[(ˆ)()(ˆ tettLdtLtCtYdtY T

où )()](ˆ)(ˆ[)( dtLtCdtCt T et )(ˆ)()( tYtYte

Supposons que )1()1()( dtututu :u(t) reste constant sur d

alors )( ][)()( 1 tbuIAtLAdtL qdd Ce qui permet d’avoir

)()( )()(ˆ)()(ˆ)()(ˆ tettutβtLtKtYdtY T

où ])[(ˆ)(ˆq

dTT IAtCtK et bIAtCtβ qdT ])[(ˆ)(ˆ 1


La trajectoire de référence du premier ordre est donnée par :

)()1()()1( tYαtYαtY sprr

où et est le signal de référence 10 α )(tYsp

Pour un horizon de prédiction de d pas, on a

)()1()1()( tYαdtYαdtY sprr

)()1()()( tYαtYαdtY spdd

r

Qu’on peut réécrire comme

Posons )()()()(ˆ dtYtetdtY r

La loi de commande est :

)]()(ˆ)()([)(ˆ

1)( tLtKtYdtY

tβtu T

r


Considérons le système à phase non minimale décrit H(z), et supposons qu’il est donné son forme non structurée

212

10

)(

)()(

azaz

bzb

zA

zBzH

où les paramètres sont :

Par application de l’approche proposée, les résultats obtenus sont les suivants

8.04.0

72.07.1

10

21

bb

aa

Application

3,171.0

9.02

0

dpT

αq


)(tYsp

0 10 20 30 40 50 60-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps en sec

)(tYLes sorties et Le paramètre d’échelle )(ˆ tp

La commande )(tu Le paramètre )(ˆ tC

0 10 20 30 40 50 600

5

10

15

20

Temps en sec

0 10 20 30 40 50 60-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Temps en sec

0 10 20 30 40 50 60-20

0

20

40

60

80

100

Temps en sec


Conclusion

Adaptation du paramètre d’échelle de Laguerre à partir de l’estimation des

paramètres de projection pour le contrôle prédictif

Possibilité du contrôle prédictif des systèmes instables, non structurés et

sans connaissances a priori.

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