Lorsquune grandeur augmente et que lautre diminue proportionnellement, la proportion est indirecte....

Lorsqu’une grandeur augmente et que l’autre diminue proportionnellement, la proportion est indirecte.

« Plus je vais vite, moins je mets de temps »

Lorsqu’une grandeur augmente et que l’autre augmente proportionnellement, la proportion est directe.

« Plus je vais vite, plus je parcours de km »

Grandeurs directement proportionnellesExemples de problèmes :

Une douzaine d’oeufs coûtefr. 6.50.Combien coûtent 17 oeufs ?

Un automobiliste valaisan part en vacances.Arrivé à Bulle, il voit « Kloten 220 km ».Combien de temps lui reste-il à rouler jusqu’àl’aéroport sachant qu’il a mis 70 minutes pourfaire les 97 premiers km ?

En une journée, 9 ouvriers ont creusé une galeriede 45 mètres.Combien d’ouvriers fallait-il engager sur ce chantierpour réaliser une galerie de 65 mètres en une journée ?

Résumé :

1) 12 oeufs valent fr. 6.50

17 oeufs valent fr. ?

2) 70 minutes pour effectuer 97 km

? minutes pour effectuer 220 km

3) 9 ouvriers creusent 45 mètres

? ouvriers creusent 65 mètres

Constatation : Dans ces problèmes trois termes d’une proportions sont connus, il s’agit de déterminer le quatrième.

Méthode 1 - Le raisonnement -

a) Rechercher la valeur d’une unité

b) Calculer la valeur pour le nombre d’unités cherchées.

12 oeufs coûtent fr. 6.501 oeuf coûte 12 x moins (6.50/12) fr. 0.54

1 oeuf coûte fr. 0.5417 oeufs coûtent 17 x 1 oeuf (17 x 0.54) fr. 9.20

Raisonnement

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ?

1. Ramener la donnée à l'unité

2. Multiplier le nombre donné par la valeur de l'unité

Raisonnement


1. Ramener la donnée à l'unité

2. Multiplier le nombre donné par la valeur de l'unité

1 œuf = 6,50/12 = CHF 0.54166

17 œufs = 0.5416 x 17 = CHF 9.20

Méthode 2 - Le coefficient de proportionnalité -

a) Quelle opération permet de passer de 12 à 6,5 ?

b) Appliquer le coefficient à la valeur cherchée :

12 / 6.5 = 1.846

17 / 1.846 = 9,20

12 oeufs 17 oeufs

Fr. 6.50 fr. ?: 1.846

Méthode 2 - Le coefficient de proportionnalité -

a) Quelle opération permet de passer de 12 à 6,5 ?

b) Appliquer le coefficient à la valeur cherchée :

12 / 6.5 = 1.846

17 / 1.846 = 9,20

12 oeufs 17 oeufs

Fr. 6.50 fr. ?: 1.846 x 0.5416

6.5 / 12 = 0.5416

17 x 5416 = 9,20

ou

Proportionnalité


1. Chercher le coefficient de proportionnalité

2. Appliquer ce coef. à la valeur donnée.

Proportionnalité


1. Chercher le coefficient de proportionnalité

2. Appliquer ce coef. à la valeur donnée.

12 oeufs 17 oeufs

CHF 6.50 ?X 0.5416

17 x 0.5416 = CHF 9.20

Méthode 3 - La règle de trois -

Une proportion est l’égalité de deux rapports

La proportion contient 4 termes :

3 est à 4 comme 15 est à 20

3 15 -------- = --------

4 20

Le premier (ici) 3 et le quatrième (20)sont les extrêmes

3 -------- = --------

20

Le deuxième (4) et le troisième (15)sont les moyens

15 -------- = --------

4

La règle de trois (suite)

Règle :

Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens

3 15 -------- = --------

4 20

3 x 20 = 4 x 15


Dans les problèmes de proportionnalité il manque un carreau !

Trois termes sont connus, il faut déterminer le quatrième.

? 15 -------- = --------

4 20


? 15 -------- = --------

4 20

Calcul :

20 x ? = 4 x 15

4 x 15? = ----------

20

TrucLe terme orphelin d’un

produit est le dénominateur

La règle de trois (suite) Reprenons notre exemple !


12 6.50

17 ??

La règle de trois, une histoire de carreau !

Réponse :

17 X 6.50

---------------- 12

l’orphelin des produits

croisés

La règle de trois (suite) Exercice

70 min 97 km

220 km?? Réponse :

70 X 220

---------------- 97

Un automobiliste valaisan part en vacances.Arrivé à Bulle, il voit « Kloten 220 km ».Combien de temps lui reste-il à rouler jusqu’àl’aéroport sachant qu’il a mis 70 minutes pourfaire les 97 premiers km ?

= 158 min

La règle de trois (suite) Exercice

9 ouv. 45 m.

65 m.?? Réponse :

9 X 65 --------------

45 = 13 ouvriers


Traité d'arithmétique du feu Sieur Barrême (1780)

O b s e r v a t i o n s sur la Règle de Trois

La Régle de Trois est si universelle, que parelle on résout les plus difficiles questions quipeuvent survenir sur les nombres et sur les affaires humaines; elle est facile est utile auxgens d'épée et de plume…

Règles de trois successives

R ye

Voici un cas intéressant !

De l’avoine canadienne est importée au prixd’achat de $ 15.- le boisseau.Quel est le prix de revient en Suisse parquintal, sachant que les frais d’achats’élèvent à 10% du prix d’achat ?Renseignements :1 $ can vaut Fr. 1.601 boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids)1 lb pèse 453,6 grammes

Réponse : L’avoine canadienne revient en Suisse à Fr. 135.35 le quintal.

Règle de trois

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ?Règle : Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

1. Poser les proportions

2. Multiplier les deux éléments de la diagonale complète et diviser par l'élément seul.

Règle de trois

12 œufs valent CHF 6.50; combien coûtent 17 œufs ?Règle : Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

1. Poser les proportions

2. Multiplier les deux éléments de la diagonale complète et diviser par l'élément seul.

17 x 6.50 = CHF 9.20 12

Méthode 4 - La conjointe -

A utiliser lorsqu’il y a plusieurs règles de trois successives…

I N S T R U C T I O N

Cette Règle de Trois conjointe s'appelle ainsi,parce que par elle on joint autant de Règles deTrois que l'on veut……mais aussi elle est plus excellente et plusparfaite; parce que par elle on peut résoudre lesRègles les plus difficiles qui peuvent survenir dans le grand Commerce…

La conjointe (suite)

La conjointe est un procédé arithmétique (et non mathématique !!!) très utile lorsque plusieurs règles de trois successives sont nécessaires pour résoudre un problème.

Elle se compose d’une suite de rapports où les quantités de gauche sont appelées antécédents et cette de droite conséquents.

? => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquent


1) Poser la question du problème sous forme d’égalité, le premier terme de la conjointe étant l’inconnue.

Marche à suivre :

2) L’antécédent du deuxième rapport est de même espèce que le conséquent du premier rapport.

3) L’antécédent du troisième rapport est de même espèce que le conséquent du deuxième rapport, et ainsi de suite…

4) Le conséquent du dernier rapport est de même espèce que l’inconnue.

5) La valeur de l’inconnue s’obtient en divisant le produit des conséquents par le produits des antécédents.

produit des conséquents? = -----------------------------------

produit des antécédents

? => conséquent? => conséquentantécédent =>

? => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquentantécédent =>

? => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquentantécédent =>

? => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquentantécédent => conséquent


x fr. => 17 œufs12 œufs => 6.50 fr.

17 x 6.50

12



x € => 17 œufs12 œufs => 6.50 CHF1.56 CHF => 1 €

Une douzaine d’oeufs coûte CHF 6.50.Combien coûtent 17 oeufs en Euros ?

Renseignement :1 € vaut CHF 1.54

17 x 6.50

12 x 1.56= 5.90 €


R ye

Voici un cas intéressant !

De l’avoine canadienne est importée au prixd’achat de $ 15.- le boisseau.Quel est le prix de revient en Suisse parquintal, sachant que les frais d’achats’élèvent à 10% du prix d’achat ?Renseignements :1 $ can vaut Fr. 1.601 boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids)1 lb pèse 453,6 grammes


1) Poser la question du problème sous forme d’égalité, le premier terme de la conjointe étant l’inconnue.

Marche à suivre :

2) L’antécédent du deuxième rapport est de même espèce que le conséquent du premier rapport.

3) L’antécédent du troisième rapport est de même espèce que le conséquent du deuxième rapport, et ainsi de suite…

4) Le conséquent du dernier rapport est de même espèce que l’inconnue.

5) La valeur de l’inconnue s’obtient en divisant le produit des conséquents par le produits des antécédents.

De l’avoine canadienne est importée au prix d’achat de $ 15.- le boisseau.Quel est le prix en Suisse par quintal, sachant que les frais d’achat s’élèvent à 10% du prix d’achat ?Renseignements :1 $ can vaut Fr. 1.60 - 1 boisseau vaut 43 lb (livres Avoirdupoids) - 1 lb pèse 453,6 grammes

x Fr Suisse => 100 kgx Fr Suisse => 100 kg0,4536 kg => 1 lb43 lb =>

x Fr Suisse => 100 kg0,4536 kg => 1 lb43 lb => 1 boisseau1 boisseau => 15 $ Canada

1 $ Canada


1 $ Canada => 1.60 Fr Canada

100 Fr Canada =>


1 $ Canada => 1.60 Fr Canada

100 Fr Canada => 110 Fr Suisse

produit des conséquents? = -----------------------------------

produit des antécédents

100 x 15 x 1.6 x 110? = -----------------------------------

0,4536 x 43 x 100

Réponse : L’avoine canadienne revient en Suisse à Fr. 135.35 le quintal.

Conjointe 1. Poser la question sous forme d'égalité (correspondance)

2. Le terme de gauche de l'égalité suivante est de même nature que le terme de droite de l'égalité précédente…


Conjointe 1. Poser la question sous forme d'égalité (correspondance)

2. Le terme de gauche de l'égalité suivante est de même nature que le terme de droite de l'égalité précédente…

x CHF => 17 oeufs

12 oeufs => 6.50 CHF 17 x 6.50 = CHF 9.20 12


Méthode 5 - L’algèbre -

Cette méthode sera abordée en mathématiques…

X = prix d'un oeuf

Equation :

12 X = 6.50

Calcul :

12 X = 6.50

X = 6.50/12

X = 0.54166

17 X = 9.20


Algèbre 1. Définir l'inconnue

2. Poser l'équation

3. Résoudre l'équation


Algèbre 1. Définir l'inconnue

2. Poser l'équation

3. Résoudre l'équation

x = prix d'un oeuf

12 x = 6.50

x = 0.54166

17 x = 9.20


Méthode 6 - Les parties aliquotes -

Méthode obsolète…

Du temps où les calculettes n'existaient pas, on cherchait des astuces pour simplifier les calculs oraux.

aliquotealiquote [alikɔt] adjectif et nom féminin [ARITHM. ] Vx. Partie aliquote d'un nombre, diviseur d'un nombre autre que lui-même.

Le Petit Larousse illustré 1999. © Larousse, 1998.

9 ouvriers = 45 mètres

1 ouvrier = 5 mètres




Parties aliquotes 1. Décomposer un nombre en parties entières

2. Additionner les valeurs correspondantes


Parties aliquotes 1. Décomposer un nombre en parties entières

2. Additionner les valeurs correspondantes

12 = 6.50

6 = + 3.25

1 = - 0.55

17 = 9.20


Jean a des fils.

Son fils aîné a 1 fois et demi l'âge du second. Le second a quatre ans de plus que le dernier. Le dernier a exactement la moitié de l' âge de l' aîné. Question: Quel âge ont ses fils?

X = âge du dernier X + 4 = âge du second 1,5(X + 4) = âge de l'aîné

Equation :

2 X = 1,5(X + 4)

Calcul :

2 X = 1,5(X + 4)

2 X = 1,5X + 6

0,5 X = 6

X = 12

Aîné = 24 Second = 16 Dernier = 12

- Combinaison de proportions (1) -Dans une bergerie, 5 bergers ont tondu 3150 kg de laine en travaillant 8h3/4 par jour pendant 6 jours.

Combien d'heures par jour 4 bergers devraient-ils travailler pour produire 2280 kg en 5 jours ?

nb de bergers kg fabriqués nb d'heures par jour nb de joursnb de bergers kg fabriqués nb d'heures par jour nb de jours

5 3150 8.75 6

nb de bergers kg fabriqués nb d'heures par jour nb de jours

5 3150 8.75 64 2280 ? 5

Plus il y a de bergers, plus ils

produisent.

Proportion directe

Plus il y a de kg, plus il faut

travailler d'heures par jour.

Proportion directe

Plus on travaille d'heures par jour, moins il faut de

jours.

Proportion inverse

9.5 heures Calcul : 5 x 2280 x 8.75 x 6

4 x 3150 x 5=

Dans une bergerie, 5 bergers ont tondu 3150 kg deLaine en travaillant 8h3/4 par jour pendant 6 jours.Combien d'heures par jour 4 bergers devraient-ilstravailler pour produire 2280 kg en 5 jours ?

- Combinaison de proportions (2) -Une compagnie de taxis dispose de 8 voitures, qui roulent 15 heures par jour et sont conduites par 12 chauffeurs. Elle désire :

• supprimer un véhicule;• augmenter la durée de service de chaque véhicule de 3 heures ;• diminuer la durée du travail de chaque chauffeur de 1 heure.

Combien devra-elle engagerde nouveaux employés ?

véhicules h/j véhicule chauffeurs h/j chauffeur

8 15 12 107 18 ? 9

Plus il y a de voitures, moins

elles doivent rouler d'heures.

Proportion inverse

Plus il y a de voitures, plus il

faut de chauffeurs.

Proportion directe

Plus il y a de chauffeurs, moins

ils doivent travailler d'heures.

Proportion inverse

14 chauffeurs Calcul : 7 x 18 x 12 x 10

8 x 15 x 9=

8 voitures – 15 h/j – 12 chauffeurs qui travaillent (8 x 15 / 12) soit 10 h/j.7 voitures – 18 h/j – x chauffeurs qui travaillent 10-1 h/j.

Il faut en engager 2

véhicules h/j véhicule chauffeurs h/j chauffeurvéhicules h/j véhicule chauffeurs h/j chauffeur

8 15 12 10

- Quand ça se complique !!! -

Il faut réfléchir …

Un chevalier voulait se rendre au château d'une princesse.

Il devait arriver à 17h00 exactement.

Habile en mathématiques, il calcula s'il voyageait 15 kilomètres par heure, il arriverait une heure trop tôt.

S'il voyageait 10 kilomètres par heure, il arriverait une heure trop tard.

Questions : 1- Quelle est l' heure de son départ? 2- Quelle distance voyagea-t-il? 3- À quelle vitesse voyageait-il?

Raisonnement sur le temps :Pour faire 10 km, il faut 60 min. à 10 km/h et 40 min. à 15 km/h.Ecart = 10 km par 20 minutes. Donc 60 km pour 2 heures d'écart.

16 h 17 h 18 h15 km/h

10 km/h

2 heures et 20 km

Raisonnement sur la distance :Après 1h. il y a 5 km d'écart. L'écart de 20 km s'est creusé en 4 h. Donc départ à 12 heures.

Vitesse :Il faut faire 60 km en 5 heures. Donc 12 km/h

Raisonnement sur le temps :Pour faire 10 km, il faut

Raisonnement sur la distance :Après 1h. il y a … km d'écart.

Vitesse :Il faut faire 60 km en … heures.

© Y. Péguiron - 02.09.04

• Les proportions

• Trois exemples

• Raisonnement

• Coefficient de proportionnalité

• Règle de trois

• Solution exemple

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• Conjointe

• Solution avoine

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• Autres problèmes

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Lorsquune grandeur augmente et que lautre diminue proportionnellement, la proportion est indirecte....

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