Livre maths 1ereS4

Outils pour l’algorithmique

Second degré

Fonctions de référence

Dérivation

Étude des variations d’une fonction

Suites numériques – Généralités

Suites arithmétiques et géométriques

Géométrie plane

Trigonométrie

Produit scalaire

Statistiques

Probabilités

Loi binomiale

page-titres-GF.indd 1 9/02/11 15:25:46

Jean-Paul Beltramone

Vincent Brun

Jean Labrosse

Claudine Merdy

Philippe Rousseau

Olivier Sidokpohou

Claude Talamoni

Alain Truchan



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Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique 1

1. Programme offi cielEn Seconde, les élèves ont conçu et mis en œuvre quel-ques algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle terminal. Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés à : - décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ; - en réaliser quelques-uns à l’aide d’un tableur ou d’un programme sur calculatrice ou avec un logiciel adapté ; - interpréter des algorithmes plus complexes. Aucun langage, aucun logiciel n’est imposé. L’algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme (analyse, géométrie, statistiques et proba-bilités, logique), mais aussi avec les autres disciplines ou le traitement de problèmes concrets. À l’occasion de l’écriture d’algorithmes et programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes

de rigueur et de les entraîner aux pratiques systémati-ques de vérifi cation et de contrôle.

Instructions élémentaires (aff ectation, calcul, entrée, sortie). Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables : - d’écrire une formule permettant un calcul ; - d’écrire un programme calculant et donnant la valeur d’une fonction ; - ainsi que les instructions d’entrées et sorties néces-saires au traitement.

Boucle et itérateur, instruction conditionnelle Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables de : - programmer un calcul itératif, le nombre d’itérations étant donné ; - programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fi n de boucle conditionnelle.

Le manuel propose dans ses diff érents chapitres de très nombreuses occasions de concevoir des algorithmes ou d’écrire des programmes autour des contenus et compé-tences du programme de mathématique de Première S.Dans ce chapitre, on s’attache à organiser les connais-sances et savoir-faire du programme et à proposer pour chacun au moins une activité élémentaire et une activité évoluée en rapport avec une branche des mathémati-

ques du lycée. Cependant, afi n de laisser au professeur la maîtrise de la progression, aucun exercice ne nécessite d’outils étrangers à un élève sortant de Seconde. L’accent est mis sur la mise en œuvre d’algorithmes « à la main » et sur calculatrice programmable, seuls outils disponibles en permanence pour l’élève. L’ouverture indispensable sur d’autres logiciels est prise en compte et facilitée par les fi ches de la fi n de l’ouvrage.

2. Intentions des auteurs

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2 Décomposer en instructions élémentaires

ActivitéActivité 1 Analyse de trois algorithmes1 Algo 1 : Calcul du PGCD de a et b.Algo 2 : Détermination de la liste de tous les nombres premiers entre 2 et n (Crible d’Eratosthène).Algo 3 : Calcul de la moyenne des N nombres.

2

◗ Lire les deux entiers a et b◗ Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b◗ TANT QUE r est diff érent de 0 – Remplacer a par b – Remplacer b par r – Remplacer r par le reste de la division

euclidienne de a par b◗ Affi cher la valeur de b

◗ Lire le nombre n◗ Écrire tous les entiers entre 2 et n◗ Pour chacun de ces entiers, en commençant par 2 : – Si il n’est pas rayé Alors rayer tous ses multiples sauf lui-même◗ Écrire la liste des entiers non rayés

◗ Lire le nombre de données N◗ Lire toutes les données◗ Calculer la somme des données◗ Diviser cette somme par N◗ Affi cher le résultat.

3 a. ◗ Lire x◗ Placer le point correspondant au réel x sur l’axe des abscisses◗ Tracer une verticale passant par le point précé-dent◗ Lire l’ordonnée du point d’intersection de la verticale et de la représentation graphique.

b. ◗ Lire le réel c◗ Tracer un segment de longueur c◗ Prendre un écart de compas de longueur c◗ Pour chacune des extrémités du segment : – Placer la pointe sèche du compas sur

l’extrémité et tracer un cercle◗ Relier les deux extrémités du segment à l’un des points d’intersection des deux cercles.

c. ◗ Lire les réels positifs a, b et c◗ Aff ecter le plus grand des trois réels à p◗ Aff ecter les deux autres à q et r◗ Aff ecter q r2 2+ à s◗ Si s est égal à p2

Alors Affi cher « Le triangle est rectangle »Sinon Affi cher « Le triangle n’est pas rectangle »

ActivitéActivité 2 La sauterelle et la grenouille1 Lire avanceSauterelle2 Aff ecter 0 à posGrenouilleAff ecter posGrenouille+avanceSauterelle à posSaute-relle3 Aff ecter 1 à ChasseEnCours4 Tant que ChasseEnCours est égale à 1 :

Aff ecter posGrenouille + 40 à posGrenouilleAff ecter posSauterelle + 24 à posSauterelle

5 Si posSauterelle – posGrenouille est négatifAlors

Aff ecter 0 à ChasseEnCoursAff ecter « La sauterelle s’est échappée » à txtFinal

SinonSi posSauterelle – posGrenouille est plus petit que 10

AlorsAff ecter 0 à ChasseEnCoursAff ecter « La grenouille a mangé la saute-relle » à txtFinal

FinSiFinSi

FinTantQue6 Affi cher txtFinal

3 Affecter une variable

ActivitéActivité 1 À mon tourÀ l’aide d’un tableau de suivi, déterminer les valeurs contenues dans les variables a, b et c à la fi n de l’algo-rithme :

Ligne a b c4 0 / /5 0 2 /6 0 2 27 4 2 28 4 4 29 4 4 0

10 4 4 0

ActivitéActivité 2 Le Bourgeois gentilhomme1 a = « belle marquise » ;

b = « vos beaux yeux » ;c = « me font » ;d = « mourir d’amour ».


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a. Affi cher a + b + c + d.b. Affi cher a + d + b + c.c. Affi cher d + b + a + c.d. Affi cher c + b + a + d.

2 Nous constatons que nous pouvons donner un sens à certaines de ces phrases mais que le manque de ponc-tuation est gênant.a. Affi cher a + « , » + b + c + d + « . »b. Affi cher a + « , » + d + b + c + « . »c. Affi cher d + « , » + a + « , » + b + c + « . »

ActivitéActivité 3 Jouons avec les variables1 Il est nécessaire de recou-rir à un troisième pot. On verse le contenu du pot noté « abricot » dans ce troisième pot libérant ainsi le pot qui pourra recevoir le contenu correspondant à son éti-quette.

2 On obtient par exemple le tableau de suivi ci-dessous.

Étape a b

1 7 /

2 7 3

3 10 3

4 10 7

5 3 7

Cet algorithme permet donc également d’échanger le contenu de variables (numériques) sans avoir recours à une troisième variable.

4 Exprimer une condition

ActivitéActivité 1 Valeur d’une conditionDéterminer la valeur ( vrai ou faux ) de chacune des conditions suivantes :• Vrai ;• Vrai (inégalité triangulaire) ;• Faux.

ActivitéActivité 2 Instructions conditionnelles1 Algo 1 : v = « Le triangle est rectangle ».Algo 2 : v = 3.

2 a. a 1= , b 2= et c 3= conviennent (il faut 1 1a b c ).

b. a 1= , b 3= et c 2= conviennent (il faut 1a b et c bG ).c. a 2= , b 1= et c 3= conviennent (il faut b aG ).

3

DébutLire a^ h ; Lire b^ h ; Lire c^ h ;Delta = b*b - 4*a*cSi Delta 1 0Alors v = « Le trinôme n’admet aucune racine » ;Sinon Si Delta == 0 Alors x0 = -b/(2*a) ; v = « Le trinome admet une unique racine : » + x0 ; Sinon x1 = (-b + sqrt(Delta))/(2*a) ; x2 = (-b - sqrt(Delta))/(2*a) ; v = « Le trinôme admet deux

racines : » + x1 + « et » + x2 ; FinSiFinSiAffi cher v^ h ;Fin.

ActivitéActivité 1 La fonction de Heaviside1 a. H 2 01 - =^ h ; ,H 0 5 01 - =^ h ; H 0 11 =^ h et

,H 1 5 11 =^ h .b.

DébutLire x^ h ;Si 1x 0 image = 0 ;Sinon image = 1 ;FinSiAffi cher(image) ;Fin.

2 a. L’unique diff érence est : H 0 11 =^ h et ,H 0 0 5,0 5 =^ h .b. Voir l’algorithme Heavi05 ci-dessous.

DébutLire(x) ;Si 1x 0 image = 0 ;Sinon Si x == 0 Alors image = 0,5 ; Sinon image = 1 ; FinSiFinSiAffi cher(image) ;Fin.

Début Entrer a^ h ; Entrer b^ h ; c a= ; a b= ; b c= ;Fin.

4 Livre du professeur - Outils pour l’algorithmique

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c. H 0 00 =^ h ; d’où l’algorithme Heavi0 ci-dessous.

DébutLire x^ h ;Si 2x 0 image = 1 ;Sinon image = 0 ;FinSiAffi cher(image) ;Fin.

3

DébutLire x^ h ;Si 1x 2 0-^ h

image = 0 ;Sinon Si x == 2 Alors image = 0,5 ; Sinon image = 1 ; FinSiFinSiAffi cher(image) ;Fin.

DébutLire x^ h ;Si 1x 0 image = 0 ;Sinon Si x == 0 Alors image = 0,5 ; Sinon image = 1 ; FinSiFinSiAffi cher(image - 0,5) ;Fin.

b.

5 Répéter une instruction en boucle

ActivitéActivité 1 1 S = 55.

2 i = 11.

3 10 fois.

4 Elle sert à demander à l’utilisateur d’entrer un nombre jusqu’à ce que celui-ci soit positif.

5 Elle permet la première exécution de la boucle.

ActivitéActivité 2 1 a. Il teste la propriété pour plusieurs couples ;x y^ h avec fd xG G et fd yG G .b. Il faut remplacer les pointillés par : test == 1.d. On constate que pour certaines valeurs du couple

;x y^ h la propriété est fausse.

2 a. Casio

TI

b. On voit deux séries de points distinctes.c. On trouve x 1= et y x= .d. Soit un couple ;x y^ h de réels tels que :

x y x xy2 + = + .

On a alors x x xy y2 - = - , ce qui revient à :x x y x1 1- = -^ ^h h.

Cette dernière équation s’écrit aussi :y x x 1 0- - =^ ^h h ;

d’où y x 0- = ou x 1 0- = . Soit encore y x= ou x 1= .


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ActivitéActivité 3 La marelle de Bresenham1 Le cas 10 # 10Algo 1 : les entiers naturels a et b sont choisis au début du jeu et ne changent pas à chaque tour.

Débutx = 0y = 0s = 0a = NombreAuHasard(0 ; 11)b = NombreAuHasard(0 ; 11)TantQue ( 1x 10= ET 1y 10= ) Faire Affi cherPoint ;x y^ h

Si 1s 0 Alors x x 1= +

s s a= +

Sinon y y 1= +

s s b= -

FinSiFinTantQueFin.

2 Le cas 3 # 3a. En la reproduisant sur votre feuille, tester le dépla-cement de Céline en comptant le nombre de déplace-ments dans les cas suivants :◗ dans le cas a b= : on obtient toujours trois déplace-ments ;◗ dans le cas a 1= et b 10= : de même.b. Au début du jeu, le compteur est à zéro. Le premier déplacement sera donc d’un carreau vers le Nord et le compteur prendra la valeur - b. On peut ainsi modifi er l’algo1 précédent en initialisant y à 1 et s à - b. Remarque : Notons que dans ce cas s devient strictement négatif et le déplacement suivant sera forcément d’un carreau vers l’Est, ce qui permet d’initialiser en plus x à 1 et s à a b- .)

3 Pertinence de l’algorithmeOn s’intéresse cette fois à la fi nitude de l’algorithme. La boucle utilisée ne s’arrêtant que si une condition est remplie, il nous faut prouver que cette condition se réali-sera en un nombre fi ni d’étapes.Pour cela, on se remet dans la condition initiale de la marelle de 10 sur 10.a. Pour atteindre la frontière Est il faut avoir fait 9 pas vers l’Est, on en déduit qu’elle a en outre fait 8 pas vers le nord. Voici un exemple d’un tel déplacement :

b. Étant donné qu’il faut (et qu’il suffi t de) faire 9 pas vers l’Est pour atteindre cette frontière, on en déduit que 16 pas ont été fait vers le Nord. Cependant, au bout de 9 pas vers le Nord la frontière Nord est atteinte. On en conclut que cette situation est impossible.c. Ainsi le nombre maximal de pas au total est de 9 pas dans une direction et de 8 dans l’autre, soit 17 pas.d. n p 1+ - .

C H A P I T R E

Second degré

Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré 1

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1. Programme offi ciel

Contenus Capacités attendues CommentairesSecond degréForme canonique d’une fonction polynôme de degré deux.Équation du second degré, discriminant.Signe du trinôme.

◗ Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique.

On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de Seconde. Des activités algorithmiques doivent être réalisées dans ce cadre.

Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole .

2. Intentions des auteursLes fonctions polynômes de degré 2 ont été abordées en Seconde. Dans ce chapitre, on complète les connais-sances concernant la forme canonique et on les réin-vestit pour résoudre l’équation ax bx c 02 + + = . Enfi n, on réinvestit les connaissances concernant les variations pour étudier le signe de ax bx c2 + + .

Du point de vue mathématique :

– on met en place la forme canonique avec l’introduc-tion du discriminant ;– on résout l’équation ax bx c 02 + + = a 0!^ h et on en déduit la factorisation éventuelle de ax bx c2 + +

a 0!^ h ;

– on étudie le signe de ax bx c2 + + en exploitant le tableau de variations de la fonction qui à x associe ax bx c2 + + a 0!^ h.

Les exercices visent avant tout à assurer une bonne connaissance du second degré, tant du point de vue fonc-tionnel que du point de vue algébrique. Les nouveaux acquis permettent de résoudre des problèmes de mise en équation.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 1 Second degré

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Objectifs◗ Réactiver les connaissances du cours de Seconde concer-nant :– les représentations graphiques des fonctions polynômes

de degré 2 ;– les variations de ces mêmes fonctions ;– l’utilisation de la forme canonique.◗ Revoir également les identités remarquables pour préparer le passage forme développée-forme canonique.

A 1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai.4 Faux, la forme canonique est x 1 12- +^ h .

B f est associé au tableau c., g au tableau d., h au tableau b. et k au tableau a.

C 1 Faux, c’est ;3 1-" ,. 2 Vrai. 3 Vrai.4 Faux, une seule solution : 1,5.

D 1 b. 2 c. 3 a. 4 a.

ActivitéActivité 1 Forme canoniqueObjectifRevoir l’obtention de la forme canonique par la résolution de l’équation f x c=^ h et l’utilisation de l’axe de symétrie de la parabole. Puis découvrir une autre méthode utilisant les identités remarquables.

1 a. f x x x3 2 6 3 32+= + + =^ h

x x2 3 0+ + =^ h x 0+ = ou x 3=- .

D’où ,1 5=-a ., ,f 1 5 1 5= - =-b ^ h .

, ,f x x2 1 5 1 52= + -^ ^h h .b. g x x x1 3 5 1 12+= - + + =^ h

x x3 5 0+ - + =^ h

x 0+ = ou x35

= .

D’où 65

=a .

g65

1237

= =b c m .

g x x365

12372

=- - +^ ch m .

2 a. , ,x x x x x2 6 2 3 2 1 5 2 252 2 2+ = + = + -^ ^h h6 @., ,f x x x x2 6 3 2 1 5 2 25 32 2= + + = + - +^ ^h h6 @

, ,f x x2 1 5 1 52= + -^ ^h h .

b. .x x x x x3 5 335 3

65

36252 2

2- + =- - =- - -c cm m= G

g x x x3 5 12=- + +^ h

g x x365

3625 1

2=- - - +^ ch m= G

g x x365

12372

=- - +^ ch m .

ActivitéActivité 2 Découvrir le rôle du discriminantObjectifIntroduire le discriminant et conjecturer son infl uence sur le nombre de solutions de l’équation ax bx c 02 + + =

a 0!^ h .

2 On conjecture que : – si 2 0D , alors il y a deux solutions ; – si 0=D , alors il y a une seule solution ;– si 1 0D , alors il n’y pas de solution.

ActivitéActivité 3 Approche graphiqueObjectif« Résoudre » graphiquement l’équation ax bx c 02 + + =

a 0!^ h et lire sur le graphique le signe de ax bx c2 + + .

1 a. Pour f , la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses et le sommet est sur cet axe.Pour g, la courbe est strictement au-dessus de l’axe des abscisses et donc le sommet aussi.Pour h, la courbe traverse l’axe des abscisses et le sommet est au-dessous de cet axe.Pour u, la courbe est strictement au-dessous de l’axe des abscisses et donc le sommet aussi.Pour v, la courbe traverse l’axe des abscisses et le sommet est au-dessus de cet axe.Pour w, la courbe est au-dessous de l’axe des abscisses et le sommet sur cet axe.b. Non, on ne peut pas.

2 a.Équation f x 0=^ h g x 0=^ h h x 0=^ h

Ensemble des solutions dans R 3" , Q ;2 1-" ,

Équation u x 0=^ h v x 0=^ h w x 0=^ h

Ensemble des solutions dans R Q ;3 0-" , 2-" ,

b. x 3- 3 3+

f x^ h + 0 +

x 3- 3+

g x^ h +

x 3- - 2 1 3+

h x^ h + 0 - 0 +

x 3- 3+

u x^ h -

x 3- - 3 0 3+

v x^ h - 0 + 0 -

x 3- - 2 3+

w x^ h - 0 -


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ActivitéActivité 4 Variations et équationsObjectifLier les approches fonctionnelles (tableau de varia-tions) et algébriques (nombre de solutions de l’équation ax bx c 02 + + = a 0!^ h.

1 Si 2a 0, l’équation f x 0=^ h n’admet aucune solution si 2 0b , admet une solution si 0=b et deux solutions si 1 0b .

Si 1a 0, l’équation f x 0=^ h n’admet aucune solution si 1 0b , admet une solution si 0=b et deux solutions si 2 0b .

3 Si a et b sont choisis, la valeur de a ne peut pas modifi er le nombre de solution(s) de l’équation a x 02- + =a b^ h .

Exercices d’applicationExercices d’application

Obtenir une forme canonique

a. Pour le trinôme : x x2 52 + - , on a : 1 4 2 5 412 # #= - - =D ^ h .

b. Pour le trinôme : x x7 32- + + , on a : 49 12 61= + =D .

c. Pour le trinôme : , , ,x x1 2 0 4 2 32 + + , on a : , , ,0 16 11 04 10 88= - =-D .

d. Pour le trinôme : x x23

21

412- + - , on a :

, , ,0 25 1 5 1 25= - =-D .

a. , ,x x x2 5 2 0 25 5 1252 2+ - = + -^ h .

b. , ,x x x7 3 3 5 15 252 2- + + =- - +^ h .

c. , , , ,x x x1 2 0 4 2 3 1 261

15342

2+ + = + +c m .

d. x x x23

21

41

23

61

2452

2- + - =- - -c m .

a. x 3- - 0,25 3+

f x^ h - 5,125b. x 3- 3,5 3+

f x^ h15,25

c.x 3- 6

1-3+

f x^ h1534

d.x 3- 6

13+

f x^ h 245-

x x x x5 6 2 2 5 6 02 +- + = - =^ h .L’ensemble des solutions est ; ,S 0 1 2= " ,.

,0 6=a ; , , ,5 0 6 6 0 6 2 0 22# #= - + =b . Forme canonique : , ,x x x5 6 2 5 0 6 0 22 2- + = - +^ h .

x 3- 0,6 3+

f x^ h 0,2

x x x x2 2 1 02 +- + - =- - + =^ h .Solutions de l’équation : ;S 0 1= " ,.

,0 5=a ; , , ,0 5 0 5 2 1 752=- + - =-b .Sommet de la parabole : , ; ,S 0 5 1 75-^ h.

a. x x x4 5 2 4 52 2+ - = + - -^ h

x 2 92= + -^ h .

b. x x x x3 6 7 3 2 72 2- - = - -^ h

x x3 1 1 7 3 1 102 2= - - - = - -^ ^h h6 @ .

c. x x x x2 12 3 2 6 32 2- + + =- - +^ h

x x2 3 9 3 2 3 212 2=- - - + =- - +^ ^h h6 @ .

d. x x x x2 3 2 32 2- + + =- - +^ h

x x1 1 3 1 42 2=- - - + =- - +^ ^h h6 @ .

Résoudre une équation du second degré

a. x x2 10 02 + - = ; 81=D ; , ;S 2 5 2= -" ,.b. , , ,x x1 2 0 4 2 3 02 + + = ; ,10 88=-D ; QS = .c. x x7 6 02- + - = ; 25=D ; ;S 1 6= " ,.

d. x x21

21

81 02- + - = ; 0=D ; ,S 0 5= " ,.

a. ,x x x x2 10 2 2 5 22 + - = + -^ ^h h.b. , , ,x x1 2 0 4 2 32 + + : pas de factorisation.c. x x x x7 6 1 62- + - =- - -^ ^h h.

d. x x x21

21

81

21

212

2- + - =- -c m .

a. x x x x5 9 0 5 9 02 +- = - =^ h ; ; ,S 0 1 8= " ,.b. x x x4 4 0 2 02 2+- + = - =^ h ; S 2= " ,.c. x x11 0 112 2+- + = = ; ;S 11 11= -# - .d. x x x4 4 1 0 2 1 02 2+- + = - =^ h ; ,S 0 5= " ,.

a. x x x x5 3 2 3 7 5 5 02 2+- + =- + - =

x 1+ = ou x 1=- .f 1 4=^ h et f 1 10- =^ h . La parabole � et la droite �

sont sécantes en ;A 1 4^ h et en ;B 1 10-^ h.b. La parabole � et la droite � sont sécantes en ;A 2 1-^ h et en ;B 4 19- -^ h.c. La parabole � et la droite � sont sécantes en ;A 0 2^ h

et en ;B31 2-c m.

d. x x x3 7 12 5 142- + + = +

.x x3 2 2 02+ - + - = 20=-D . La parabole � et la droite � n’ont pas de points d’intersection.e. La parabole � et la droite � sont sécantes en ; .A 4 2-^ h


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À la calculatrice, on a - 0,62 et 1,62 à 0,01 près.x x 1 02- + + = . 5=D .

x2

1 51 = + et x

21 5

2 = - .

Résoudre une inéquation du second degré

a. x x2 102 + - ; 81=D .Comme 2 0D et 2a 0, la parabole � coupe l’axe des abscisses avec son sommet au-dessous de cet axe.b. x x3 7 52 - + ; 11=-D .Comme 1 0D et 2a 0, la parabole � est toujours au-dessus de l’axe des abscisses.c. x x4 36 812 - + ; 0=D .Comme 0=D et 2a 0, la parabole � est toujours au-dessus de l’axe des abscisses avec son sommet sur cet axe.d. x x9 6 12- - - ; 0=D .Comme 0=D et 1a 0, la parabole � est toujours au-dessous de l’axe des abscisses avec son sommet sur cet axe.e. x x8 232- + - ; 28=-D .Comme 1 0D et 1a 0, la parabole � est toujours au-dessous de l’axe des abscisses.f. x x2 2 402- + + ; 324=D . Comme 2 0D et 1a 0, la parabole � coupe l’axe des abscisses avec son sommet au-dessus de cet axe.

a. 2x x2 10 02 + - ; 81=D . ,x 2 51 =- et x 22 = . L’ensemble des solutions est :

; , ;S 2 5 2,3 3= - - +6 6@ @ .b. x x3 7 5 02 G- + ; 11=-D .L’ensemble des solutions est QS = .c. x x4 36 81 02 G- + ; 0=D .

,x x 4 51 2= = . L’ensemble des solutions est ,S 4 5= " ,.

d. 1x x9 6 1 02- - - ; 0=D ; x x3

11 2= = - .

L’ensemble des solutions est RS3

1= - -

' 1.

e. 1x x8 23 02- + - ; 28=-D .L’ensemble des solutions est RS = .f. x x2 2 40 02 H- + + ; 324=D . x 41 =- et x 52 = . L’ensemble des solutions est

;S 4 5= -6 @.

Construction géométrique d’une paraboleSoit un repère dont l’axe des abscisses est la droite � et dont l’axe des ordonnées passe par F avec y aF = .Comme M est sur l’axe des abscisses, ses coordonnées sont ;x 0^ h.La droite IM^ h est perpendiculaire à l’axe des abscisses donc I a même abscisse x que M.On note y l’ordonnée de I. Ainsi, on a ;I x y^ h.

I I I IM F M F2 2+ ==y x y a2 2 2+ = + -^ h

y x y ay a22 2 2 2+ = + - -

x ay a0 22 2+ = - -

I+ appartient à la parabole d’équation ,ya

x a2

2 2= +

soit ya

x a2 2

2= + .

Lancer de balle et parabole1 a. , ,h t t t t3 0 5 3 252 2=- + + =- - +^ ^h h .b. h t^ h est maximum pour ,t 0 5= et la hauteur maxi-male est 3,25 m.c. Comme t 0H , , ,h t t0 0 5 3 25 02+= - - + =^ ^h h

, , , ,t t0 5 3 25 3 25 0 52+ +- = = +^ h . La balle touche le sol à l’instant , ,t 3 25 0 5= + .La balle tombe à une distance , , v3 25 0 5+ l_ i du point de départ, soit à ,2 3 25 1+_ i m.

2 a. Comme x v t= l , tvx

=l

et .hv

xvv x 32

2= - + +

l lb. Ayant une fonction trinôme,la trajectoire est une parabole.c. Pour v v 1= =l , on a h x x 32=- + + .3 h t t vt 32=- + +^ h

, ,h t t v v0 5 3 0 252 2=- - + +^ ^h h .h t^ h est maximum pour ,t v0 5= et la hauteur maximale est , v3 0 25 2+ .a. Si v 3= , la hauteur maximale est 5,25 ; donc la balle atteint bien une hauteur d’au moins 5 m avant de retomber.b. Comme 2v 0,

, ,v v3 0 25 5 0 25 22 2+H H+v 82+ H

v 2 2+ H .La balle atteint une hauteur minimale d’au moins 5 m avant de retomber si v 2 2H .4 a. Comme t 0H ,

, ,h t t v v0 0 5 3 0 25 02 2+= - - + + =^ ^h h

, ,t v v0 5 3 0 252 2+ - = +^ h

, ,t v v3 0 25 0 52+ = + + .b. La balle atteint le sol quand h t 0=^ h , c’est-à-dire quand , ,t v v3 0 25 0 52= + + .

, , , ,v v v v3 0 25 0 5 3 3 0 25 3 0 52 2+H H+ + + -3 , ,v v v0 25 9 3 0 252 2+ H+ - +

v3 6+ Hv 2+ H .

v doit être supérieur ou égal à 2 pour que la balle n’at-teigne pas le sol avant l’instant t 3= s.5 a. h t t vt3 3 32+= - + + =^ h

t t v t0 0+ +- + = =^ h ou t v= .La balle est de nouveau à une hauteur de 3 m à l’instant t v= .La distance horizontale parcourue par la balle est vvl.

x

1 2

1

2

3

0

y


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b. Comme on a v v 42 2+ =l , v v42 2= -l .vvl est maximal v v2 2+ l est maximal

v v42 2+ -^ h est maximal v v44 2+ - + est maximal V V42+ - + est maximal avec V v2= .

Il faut donc V 2= ; donc v 22 = et v 2= . On a alors v 2=l .

Le rapport vvl

doit valoir 1, ce qui correspond à la

tangente d’un angle de 45°.

1 c. 2 b. 3 c.

1 a. et b. 2 a. et c. 3 a.

1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai.

1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.

Applications directes

1 Mesures des angles orientés de vecteurs

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai.

1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux.

1 Faux, sauf si b 0= . 2 Vrai. 3 Vrai.

1 Faux, sauf si b 0= . 2 Faux, sauf si 0=D . 3 Faux, sauf si a 1= .

1 Toutes les expressions correspondent à des trinômes du second degré sauf C x^ h de degré 3 et F x^ h de degré 1.2 Pour A x^ h, a 5= , b 3=- et c 5= .Pour B x^ h, a 2=- , b 0= et c 3= .Pour D x^ h, a 4= , b 16= et c 16= .Pour E x^ h, a 6= , b 6= et c 9= .

Savoir obtenir et utiliser une forme canonique

1 33=D et , ,x x x8 0 5 8 252 2+ - = + -^ h .

2 7=D et ,x x x3 2 0 25 331

1272

2- + + =- - +c m .

3 60=D et , ,x x x2 2 7 2 0 5 7 52 2- - = - -^ h .

4 6=D et la forme canonique est , x0 5 32 - .

1 x x x x5 4 3 3 5 4 02 2+- + = - =

,x 0 8+ = ou x 0= .

L’abscisse du sommet est , ,2

0 8 0 0 4+= .

, , ,5 0 4 4 0 4 3 2 22# #- + = , donc , ; ,S 0 4 2 2^ h.

, ,x x x5 4 3 5 0 4 2 22 2- + = - +^ h .

2 , ,x x x0 5 3 5 0 02 ++ = = ou x 7=- .Sommet de la parabole : , ; ,S 3 5 6 125- -^ h.Forme canonique :

, , , , ,x x x0 5 3 5 0 5 3 5 6 1252 2+ = + -^ h .

3 x x x2 8 13 13 02 +- + - =- = ou x 4= .Sommet de la parabole : ;S 2 5-^ h.Forme canonique :

.x x x2 8 13 2 2 52 2- + - =- - -^ h

4 x x x32 2 1 1 02 +- + - =- = ou x 3= .

Sommet de la parabole : , ; ,S 1 5 0 5^ h. Forme canonique :

, ,x x x32 2 1

32 1 5 0 52 2- + - = - - +^ h .

a. , ,x x x3 4 1 5 1 5 42 2 2+ - = + - -^ h

, ,x 1 5 6 252= + -^ h .b. x x x x8 9 8 92 2+ + =- - +^ h

x x4 4 9 4 252 2 2=- - - + =- - +^ ^h h6 @ .c. ,x x x x2 3 3 2 1 5 32 2- + + =- - +^ h

, ,x2 0 75 0 75 32 2=- - - +^ h6 @

, ,x2 0 75 4 1252=- - +^ h .d. ,x x x x4 1 4 0 25 12 2+ - = + -^ h

, ,x4 0 125 0 125 12 2= + - -^ h6 @

, ,x4 0 125 1 06252= + -^ h .

1 Pour , ,x x x8 0 5 8 252 2+ - = + -^ h , les coor-données du sommet de la parabole sont , ; , .S 0 5 8 25- -^ h

2 Pour ,x x x3 2 0 25 331

1272

2- + + =- - +c m , les

coordonnées du sommet de la parabole sont ; .S31

127

c m

3 Pour , ,x x x2 2 7 2 0 5 7 52 2- - = - -^ h , les coor-données du sommet de la parabole sont , ; ,S 0 5 7 5-^ h.4 Pour , x0 5 32 - , les coordonnées du sommet de la parabole sont ;S 0 3-^ h.

a. x 3- - 1,5 3+

f x^ h - 6,25b. x 3- 4 3+

f x^ h25

c. x 3- 0,75 3+

f x^ h4,125

d. x 3- - 0,125 3+

f x^ h - 1,0625


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1 a. Sur calculatrice.b. La plus grande valeur prise par f x^ h semble être 7 pour x 2= .2 a. f x x x x4 3 2 72 2=- + + =- - +^ ^h h .b. Le sommet de la parabole est ;S 2 7^ h, donc la conjec-ture est vérifi ée.

1 x x x80 480 120 80 3 6002 2- + = - -^ h .

x 3- 3 3+

f x^ h - 600

Les coordonnées du sommet de la parabole sont;S 3 600-^ h.

2 x x x27 270 582 27 5 932 2- - - =- + +^ h .

x 3- - 5 3+

f x^ h93

Les coordonnées du sommet de la parabole sont ;S 5 93-^ h.

3 x x x43 602 2 107 43 72 2- + = -^ h .

x 3- 7 3+

f x^ h 0

Les coordonnées du sommet de la parabole sont ;S 7 0^ h.

f est la seule fonction affi ne, donc elle est repré-sentée par la droite �3.g est la seule fonction trinôme ayant un maximum, donc elle est représentée par �2.Pour h, 23=-D , donc h x 0=^ h n’a pas de solution et h est représentée par �5.Pour j, 9=D , donc j x 0=^ h a deux solutions et j est représentée par �1.Pour k, 0=D donc k x 0=^ h a une unique solution et k est représentée par �4.

Associer un trinôme à un tableau de variations

f x a x 11 72= - -^ ^h h avec 2a 0.

, ,f x a x 1 2 2 42= + +^ ^h h avec 2a 0.

,f x a x 4 5 232= - -^ ^h h avec 1a 0.

f x a x 12 802= + +^ ^h h avec 1a 0.

Démonstration d’un résultat du cours

ax bx c a xab x c2 2+ + = + +c m

a xa

ba

b c2 4

2

2

2= + - +c m= G

a xa

ba

b ac2 4

42 2= + - -

c m .

On complète l’algorithme par :AFFICHER “La forme canonique est”

AFFICHER a,”(x+”,b,”)2+”,d/4*aProgramme sur TI :

ALGO

PROGRAM: FORMECAN:Input “A=”,A:Input “B=”,B:Input “C=”,C:B2-4AC"D:Disp “DELTA=”,D:Pause:Disp “FORME CANONIQUE”:Disp A,”(X+”,B/(2A),”)2+”:Disp -D/(4A)

2 Résolution d’une équation du second degré

1 Vrai ( 1=D ). 2 Faux ( 173=D ).3 Faux ( 48=-D ). 4 Faux ( 13=D ).5 Vrai ( 25=D ).

1 b. 2 a. 3 a.

1 Deux solutions. 2 Aucune solution.

3 Deux solutions. 4 Une solution.

1 Faux (deux points communs).2 Faux (un seul point en commun). 3 Faux (point de �g d’abscisse 2). 4 Vrai. 5 Vrai.

a. x x 12 02 + - = ; 49=D ; ;S 4 3= -" ,.b. x x3 5 8 02- + - = ; 71=-D ; QS = .c. x x2 7 5 02 - + = ; 9=D ; , ;S 2 5 1= " ,.d. x x100 60 92 + + ; 0=D ; ,S 0 3= -" ,.

a. x x x x2 3 1 3 2 1 02 2++ = + - = ;

16=D ; ;S 131

= -' 1.

b. x x x x3 2 1 3 2 1 02 2+- + =- - + + = ;

16=D ; ;S 13

1= -

' 1.

c. x x x x7 13 7 13 02 2+= - - + = ; 3=-D ; QS = .

d. x x4 5 02- + = ; 81=D ; ; ,S 1 0 8= -" ,.

a. x x x x3 7 0 3 7 02 ++ = + =^ h ;

;S 037

= -' 1.

b. , ,x x5 2 7 0 0 542 2++ = =- ; QS = .c. , ,x x2 0 5 0 0 252 2+- + = = ; , ; ,S 0 5 0 5= -" ,.d. x x x x8 0 1 02 +- + - = - + =^ h ; ;S 0 1= " ,.

a. x x x x8 9 8 9 02 2+- = - - = ; 100=D ;;S 9 1= -" ,.

b. x x x6 9 0 3 02 2+- + = - =^ h ; S 3= " ,.


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c. x x2 5 1 2 5 12 ++ = + =^ h ou x2 5 1+ =- ;;S 2 3= - -" ,.

d. x x5 2 5 1 0 5 1 02 2+- + = - =^ h ;

S5

1= ( 2.

e. x x2 1 02 - - = ; 9=D ; ; ,S 1 0 5= -" ,.f. x x x x3 0 3 02 ++ = + =^ h ; ;S 0 3= -" ,.

a. x x 122 + - ; 49=D ; les racines sont - 4 et 3.x x x x12 4 32 + - = + -^ ^h h.b. x x3 12 - + ; 13=-D ; on ne peut pas factoriser.c. x x2 7 52- + - ; 9=D ; les racines sont 2,5 et 1.

,x x x x2 7 5 2 2 5 12- + - =- - -^ ^h h.d. ,x x10 6 0 92 + + ; 0=D ; il y a une seule racine - 0,3.

, ,x x x10 6 0 9 10 0 32 2+ + = +^ h .

a. P x x x4 32= - +^ h ; 4=D ; les racines sont 1 et 3.P x x x1 3= - -^ ^ ^h h h.b. P x x x2 12= - +^ h ; 0=D ; la seule racine est 1.P x x 1 2= -^ ^h h .c. P x x x3 1 42= + +^ h ; 4=D ; les racines sont - 1 et

31- . P x x x x x3 1

31 1 3 1= + + = + +^ ^ c ^ ^h h m h h.

d. P x x x6 22=- + +^ h ; 49=D ; les racines sont

- 0,5 et 32 .

,P x x x x x6 0 532 2 1 3 2=- + - = + - +^ ^ c ^ ^h h m h h.

e. P x x x5 30 452= + +^ h ; 0=D ; la seule racine est - 3. P x x5 3 2= +^ ^h h .f. P x x x5 62= - -^ h ; 49=D ; les racines sont - 1 et 6. P x x x6 1= - +^ ^ ^h h h.

a. x x x x3 5 3 52 - = -^ h.b. x x x4 81 2 9 2 92 - = - +^ ^h h.c. x2 32- - ne se factorise pas.d. ,x11 1 52 + ne se factorise pas.

On peut mettre une valeur a avec :a. a strictement négatif ;b. a nul ;c. a strictement positif.

On peut mettre une valeur a avec :a. a strictement positif ;b. a nul ;c. a strictement négatif.

a. Il est impossible d’avoir deux solutions.b. Il est impossible d’avoir une solution.c. Pour toute valeur à la place des pointillés, il n’y a pas de solution à f x 0=^ h .

1 On conjecture graphiquement qu’il y a un point commun.f x g x x x x22 3+= - =^ ^h h

x x x2 03 2+ - + =

x x x 2 02+ - + =^ h .

Pour x x 22 - + , on a 7=-D , donc x x 22 - + n’est jamais nul.La seule solution à f x g x=^ ^h h est 0.�f et �g n’ont que le point ;O 0 0^ h en commun.2 On conjecture graphiquement qu’il y a trois points communs.f x g x x x x2 2 22 3+= + - = -^ ^h h

x x x2 03 2+ - - =

x x x2 1 02+ - - =^ h .Pour x x2 12 - - , on a 8=D , donc x x2 12 - - a deux racines qui sont 1 2- et 1 2+ .f x g x=^ ^h h admet donc trois solutions 0, 1 2- et

1 2+ .�f et �g sont sécantes en ;A 0 2-^ h, en

;B 1 2 5 5 2- -^ h et en ;C 1 2 5 5 2+ +^ h.

1 On conjecture graphiquement qu’il y a trois points communs.f x g x x x x x x2 3 22 4 2+= - = - -^ ^h h

x x x x4 0 4 04 2 2 2+ +- = - =^ h

x 0+ = ou x 2= ou x 2=- .f x g x=^ ^h h admet donc trois solutions 0, 2 et - 2.

�f et �g sont sécantes en ;A 0 0^ h, en ;B 2 0^ h et en ;C 2 8-^ h.

2 On conjecture graphiquement qu’il y a trois points communs.f x g x x x x2 4 3+= = +^ ^h h

x x x x x x0 1 04 3 2 2 2+ ++ - = + - =^ h .Pour x x 12 + - , on a 5=D , donc x x 12 + - a deux

racines qui sont 2

1 5- + et 2

1 5- - .

f x g x=^ ^h h admet donc trois solutions 0, 2

1 5- +

et 2

1 5- - .

�f et �g sont sécantes en ;A 0 0^ h,

en ;B2

1 52

3 5- + -c m

et en ; .C2

1 52

3 5- - +c m

a. Pour X X3 5 2 02 - + = , 1=D et X 1= ou

X32

= .

x x x3 5 2 0 14 2 2+- + = = ou x322 = .

; ; ;S 1 132

32

= - -' 1.

b. Pour X X3 2 02 + + = , 1=D et X 1=- ou X 2=- .x x x3 5 2 0 14 2 2+- + = =- ou x 22 =- . QS = .

c. Pour X X2 1 02- - + = , 9=D et X 1=- ou ,X 0 5= .

x x x3 5 2 0 14 2 2+- + = =- ou ,x 0 52 = ., ; ,S 0 5 0 5= -# -.

d. Pour X X2 2 02- + - = , 4=-D et QS = .

1 Pour x 0! ,

x x xx x1 2 3 3 2 1 02 2

2+- = - - + =

x x3 2 1 02+ - - + = .


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On a 16=D et ;S 131

= -' 1.

2 Pour x 0! et x 1! - ,

xx

xx

x xx x

11 3 2 2 1 3 02

2+

++ + =

+

+ - - =

x x 1 02+ - - + = .

On a 5=D et ;S2

1 52

1 5= - - - +

' 1.

3 En posant X x 12= + , on a X X6 5 02 - + = avec 16=D et X 1= ou X 5= .

On a donc x 1 12 + = ou x 1 52 + = . ; ;S 0 2 2= -" ,.4 Pour x 2! - et x 1! - ,

xx

xx

27 1

12 3 4 0 +

+- -

++ - =

x xx x x x x x

2 17 1 1 2 3 2 4 2 1

+ +

- + - + + - + +

^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^

h h

h h h h h h

.0=x x13 15 02+ - - = .

On a 229=D et ;S2

13 2292

13 229= + -

' 1.

a. Si la parabole P coupe deux fois l’axe des abscisses, alors l’équation f x 0=^ h a deux solutions et 2 0D .

b. Si 0=D , alors l’ordonnée a4

-D du sommet est nulle

et le sommet de P est sur l’axe des abscisses.c. Si le sommet de P est sur l’axe des ordonnées, alors

son abscisse ab

2- est nulle donc b 0= .

d. Si c 0= , alors f x ax bx2= +^ h qui s’annule au moins en 0 et l’équation f x 0=^ h a au moins une solution.

a. « Si 2 0D , alors P coupe deux fois l’axe des abscisses » est vrai, car si 2 0D alors l’équation f x 0=^ h a deux solutions.b. « Si le sommet de P est sur l’axe des abscisses, alors

0=D » est vrai, car l’ordonnée nulle du sommet est

a4-D .

c. « Si b 0= , alors le sommet de P est sur l’axe des ordon-

nées » est vrai, car l’abscisse ab

2- du sommet est nulle.

d. « Si f x 0=^ h admet au moins une solution alors c 0= » est faux, car x x5 6 02 - - = admet deux solu-tions avec c 0! .

1 AlgorithmegALGO

DébutDemander les valeurs de A, de B et de C.Calculer B2 – 4AC et ranger la valeur dans D.Si D < 0 alors Affi cher “pas de solution” sinon si D = 0 alors Affi cher “une solution” sinon Affi cher “deux solutions” fi nsifi nsiFin

2 Programme sur TI :

ALGO

PROGRAM:DEGRE2:Input “A=”,A:Input “B=”,B:Input “C=”,C:B2 – 4AC"D:If D>0:Then:Disp “PAS DE SOLUTION”:ElseIf D=0:Then:Disp “UNE SOLUTION”:Else:Disp “DEUX SOLUTIONS”ENDEND

1 Algorithme

ALGO

DébutDemander les valeurs de A, de B et de C.Calculer B2 – 4AC et ranger la valeur dans D.Si D < 0 alors Affi cher “pas de solution” sinon si D = 0 alors Affi cher “une solution” et la

valeur de a

b2-

sinon Affi cher “deux solutions”

et les valeurs a

b2

- + D et

ab

2- - D

fi nsifi nsiFin


ALGO

PROGRAM:DEGRE2:Input “A=”,A:Input “B=”,B:Input “C=”,C:B2 – 4AC"D:If D>0:Then:Disp “PAS DE SOLUTION”:ElseIf D=0:Then:Disp “UNE SOLUTION”,-b/(2A):Else:Disp “DEUX SOLUTIONS”,(-b+ (D))/(2A),(-b – (D))/(2A)ENDEND


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1 Algorithme

ALGO

DébutDemander les valeurs de A, de B et de C.Calculer B2 – 4AC et ranger la valeur dans D.Si D < 0 alors Affi cher “pas de factorisation” sinon si D = 0 alors Affi cher la valeur de A,”(x+”,

la valeur de a

b2- et “)2”

sinon Affi cher la valeur de A,”(x+”,

la valeur de a

b D2

- + ,“)

(x+”, la valeur de

ab

2- - D et “)”

fi nsifi nsiFin


ALGO

PROGRAM:DEGRE2:Input “A=”,A:Input “B=”,B:Input “C=”,C:B2 – 4AC"D:If D>0:Then:Disp “PAS DE FACTORISATION”:ElseIf D=0:Then:Disp A,”(X+”,-b/(2A),”)2”:Else:Disp A,”(X+”,(-b+ (D))/(2A),”)(X+,(-b– (D))/(2A),”)”ENDEND

1 x xab

1 2+ =- .

2 x1 et x2 sont les solutions de f x 0=^ h . L’abscisse

ab2- du sommet est aussi égale à x x

21 2+ .

On en déduit le résultat du 1 .

Démonstration d’un résultat du coursPour a 0! , on a :

ax bx c a xab x c2 2+ + = + +c m

a xa

ba

b c2 4

2

2

2= + - +b l= G

a xa

ba

b ac2 4

42 2= + - -

c m

a xa

ba2 4

2= + -

Dc m .

1 Si 0=D , on a :

ax bx c a xa

b2

22

+ + = +c m .

2 Si 2 0D , on a :

ax bx c a xa

ba2 4

22

+ + = + -D

c m

a xa

ba2 2

2 2= + -

Dc cm m= G

a xa

ba

xa

ba2 2 2 2= + + + -

D Dc cm m.

On a bien ax bx c a x x x x21 2+ + = - -^ ^h h.

3 Si 1 0D , ax bx c 02 + + = n’a pas de solution.Supposons que l’on puisse écrire :

ax bx c a x m g x2 + + = -^ ^h h.m serait solution de ax bx c 02 + + = , ce qui est absurde.On ne peut pas écrire ax bx c a x m g x2 + + = -^ ^h h.

3 Signe d’un trinôme du second degré

1 Vrai ( 47=-D et 2a 0).2 Vrai ( 13=D ).3 Faux ( 25=D ).4 Faux (nul pour - 1).

1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai.


1 a. et c. 2 a. et c.3 a. et b. 4 b. et d.

1 c. 2 b. 3 d.

a. 1x x 12 02 + - ; 49=D ; x 41 =- et x 32 = ; ;S 4 3= - 6@ .

b. x x3 5 8 02 H- + - ; 71=-D ; QS = .

c. x x2 7 5 02 G- + ; 9=D ; x 11 = et ,x 2 52 = ; ; ,S 1 2 5= 6 @.

d. 2x x100 60 9 02 + + ; 0=D ; ,x 0 3S =- ;; , , ;S 0 3 0 3,3 3= - - - +6 6@ @ .

a. x x3 2 1 02 G+ - ; 16=D ; x 11 =- et ;x31

2 =

;S 131

= -; E.

b. 2x x3 2 1 02- + + ; 16=D ; x 11 = et x3

12 = - ;

;S3

1 1= -;E .

c. 2x x7 13 02 - + ; 3=-D ; QS = .d. x x4 5 02 H- + ; 81=D ; x 11 = et ,x 0 82 =- ;

, ;S 0 8 1= -6 @.

a. P x x x2 12=- + +^ h ; 9=D ; ,x 0 51 =- et x 12 = .

x 3- - 0,5 1 3+

P x^ h - 0 + 0 -

b. ,P x x x10 56 78 42= - +^ h ; 0=D ; ,x 2 8S = .

x 3- 2,8 3+

P x^ h + 0 +


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c. ,P x x x5 0 12= + +^ h ;1=-D .

x 3- 3+

P x^ h +

d. P x x x4 4 242= + -^ h ; 400=D ; x 31 =- et .x 22 =

x 3- - 3 2 3+

P x^ h + 0 - 0 +

a. P x x x2 12=- + +^ h ; 9=D ; ,x 0 51 =- et x 12 = .

Le sommet est au-dessus de l’axe des abscisses et la parabole traverse l’axe des abscisses en - 0,5 et en 1.b. ,P x x x10 56 78 42= - +^ h ;

0=D ; ,x 2 8S = .La parabole est au-dessus de l’axe des abscisses avec son sommet d’abscisse 2,8 sur cet axe.c. ,P x x x5 0 12= + +^ h ;

1=-D .La parabole est toujours strictement au-dessus de l’axe des abscisses.d. P x x x4 4 242= + -^ h ;

400=D ; x 31 =- et .x 22 =Le sommet est au-dessous de l’axe des abscisses et la parabole traverse l’axe des abscisses en - 3 et en 2.

Résoudre avec un tableau de signes

1 Les solutions de l’inéquation correspondent aux abscisses des points de l’hyperbole situés au-dessous de la droite. L’ensemble des solutions ne comprend pas de valeurs inférieures à - 2.2 Zoé a multiplié par x 2+^ h dans une inéquation. Or x 2+^ h peut être négatif ou positif et le sens de l’iné-

quation doit être modifi é ou conservé selon les valeurs de x.3

xx x

xx x

22 1 3

22 1 3 0+G G

++

++ -

xx x

23 4 1 0

2+ G

+- - + .

Soit x1 et x2 les racines de x x3 4 12- - + trouvées par Zoé.

x 3- - 2 x2 x1 3+

x x3 4 12- - + - - 0 + 0 -

x 2+ - 0 + + +

Quotient + - 0 + 0 -

; ;S 23

2 73

2 7, 3= - - - - + +; ;E E .

a. 2 2x

xx

x x2

12

2 02 2

++ +

- -

2x

x x2

1 20+

+

+ -^ ^h h.

; ;S 2 1 2, 3= - - +6 6@ @ .

b.

xx

xx

xx

xx

23 1

34 5

23 1

34 5 0+G G

-- +

+- +

-- + +

+-

x xx x

2 37 5 7 0

2+ G

- +- + -^ ^h h

.

x x7 5 72- + - a un discriminant négatif et x x7 5 72- + - est toujours négatif.

x x2 3- +^ ^h h est positif sur ;3 2- 6@ .On en déduit que ;S 3 2= - 6@ .

2 On conjecture que ;S 0 1= 6@ .3 a.

.x x bx c x b x c x c1 1 12 3 2- + + = + - + - -^ ^ ^ ^h h h h

En identifi ant, pour tout réel x, avec x 13 - , on a b 1= et c 1= .

b. 1 1xx

xx

1 1 02 2+ -

1x

x 1 03

+ -

1x

x x x1 10

2

+- + +^ ^h h

.

x x 12 + + est toujours strictement positif.On obtient ;S 0 1= 6@ .

Résoudre une inéquation bicarrée

1 Pour X X3 13 42 - + , 121=D et les racines sont 4 et

31 .

2 X X X X3 13 4 4 3 12 - + = - -^ ^h h.

3 2 2X x x x3 13 4 0 4 3 1 04 2 2 2+- + - -^ ^h h .

; ; ;S 231

31 2, ,3 3= - - - +6 ; 6@ E @ .

a. Pour X X2 5 72- + + , 81=D et les racines sont - 1 et 3,5.On a X X X X2 5 7 1 2 72- + + = + - +^ ^h h et :

x x x x2 5 7 0 1 2 7 04 2 2 2+G G- + + + - +^ ^h h

Comme x 12 + est strictement positif, il suffi t de résoudre x2 7 02 G- + .

; , , ;S 3 5 3 5,3 3= - - +6 6@ @ .

b. Pour X X9 12 42 - + , 0=D et la seule racine est 32 .

On a X X X9 12 4 3 22 2- + = -^ h .x x x9 12 4 0 3 2 04 2 2 2+G G- + -^ h .

Il faut donc avoir x3 2 02 - = .

;S32

32

= -' 1.

c. Pour X X6 5 12 + + , 1=D et les racines sont - 0,5 et

31- .

On a X X X X6 5 1 2 1 3 12 + + = + +^ ^h h.2 2x x x x6 5 1 0 2 1 3 1 04 2 2 2++ + + +^ ^h h , ce qui

est toujours vrai.RS = .

d. On pose ici X x3= .Pour X X 12- + - , 3=-D . Il n’a pas de racine et

X X 12- + - est strictement négatif.Il en est de même de x x 16 3- + - , donc QS = .


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Problèmes

Notons n le nombre de personnes. Le nombre de poignées de mains échangées correspond au nombre de groupes de deux personnes. Donc on résout :

n nn n

21

55 110 02+-

= - - =^ h

.

441 212= =D ; donc, n étant positif, .n2

1 21 11= + =

1 Notons n le plus petit des deux entiers relatifs cherchés ; on résout :n n n n1 5 725 2 2 5 724 02 2 2++ + = + - =^ h

n n 2 862 02+ + - = .

11449 1072= =D , donc n2

1 107!= - .

On a donc deux solutions : 53 et 54 d’une part et - 54 et - 53 d’autre part.2 Notons n l’entier du milieu ; on résout :n n n n1 1 2 030 3 2 2 0302 2 2 2+- + + + = + =^ ^h h

n n676 262+ + != = .On a donc deux solutions : 25, 26 et 27 d’une part et - 27, - 26 et - 25 d’autre part.

1 La longueur du rectangle est , x12 5 - , donc son aire est égale à , ,x x x x12 5 12 52- =- +^ h . Ce

trinôme admet un maximum pour ,xa

b2

6 25=- = ;

, , ,12 5 6 25 6 25- = . Donc dans ce cas, le rectangle est carré.

2 La longueur du rectangle est p x2 - , donc son aire

vaut x p x x p x2 2

2- =- +d n . Ce trinôme admet un

maximum pour xa

b p2 4=- = .

p p p2 4 4- = . Donc dans ce cas, le rectangle est carré.

a. ;S 2 3= -" ,.b. S 0= " ,.

1 a. Il faut que x x2 9 02 H- + + . 40=D ; les racines sont 1 10! et 1a 0, donc

;x 1 10 1 10! - +7 A.b. Non, car la fonction racine carrée ne prend que des valeurs positives.2 a. Les deux membres étant positifs, on obtient une équation équivalente en élevant au carré :

x x x x x x2 9 1 2 4 22 2 2+ + !- + + = + + = = .b. S 2= " , 2 1G-^ h.

Il faut que ;x 0 4! 6 @.x x

x x2

921

29 4 9 18 02+# #-

= - + - =^ h

9=D ; les solutions sont 2

9 3!-

- , c’est-à-dire 3 et 6. Donc x 3= .

Ce trapèze se décompose en un rectangle et un triangle isocèle, donc il faut que ;h 0 6! 6 @.

h hh h

26 6

10 12 20 02+#+ -

= - + - =^ h6 @ ;

64 82= =D ; les solutions sont 2

12 8!-

- , c’est-à-dire 2 et 10. Donc h 2= .

Il faut que ;x 0 3! 6 @. L’aire de la partie bleue est x x x3 5 2+ - .

Elle doit être égale à la moitié de l’aire totale ; donc : ,x x8 7 5 02- + - = .

34=D ; les solutions sont 2

8 34!-

- .

Donc x2

8 34= - ,x 1 08.^ h.

1 a. a

ba

bab

ab

2 2 22- - + - + = - =-

D D

et

.a

ba

ba

baac

ac

2 2 4 44

2

2

2#- - - + = - = =D D D

b. Si a 1= , S b=- et P c= .c. x u x v x u v x uv2- - = - + +^ ^ ^h h h .Donc, si u v S+ = et uv P= , alors u et v sont solutions de l’équation x Sx P 02 - + = .2 Les deux nombres cherchés sont les solutions de l’équation x x60 851 02 - + = .

142=D ; les solutions sont 23 et 37. 3 a. ; ; ;S 14 15 15 14= ^ ^h h" ,.

b. ; ; ;S21

31

31

21

= - -c cm m' 1.

4 L et , sont les solutions de l’équation :x x30 221 02 - + = .

16=D ; 13, = et L 17= .

L et , sont les solutions de l’équation :x x130 4 081 02 - + =

576 242= =D ; 53, = et L 77= .

1 2b a4 02 2= +D .2 a. Le produit des solutions est 1

ac

aa 1 0= - =- .

Donc avec la règle des signes, les deux solutions sont de signes contraires.

b. x x 11 2# =- , donc xx1

21

=- . Ainsi, x2 est l’opposé

de l’inverse (ou l’inverse de l’opposé) de x1.

a. f 2 0=^ h ; x26 32 = = ;

b. f 1 0=^ h ; x32 1

32

2 '= = .

c. ,f 0 5 0- =^ h ; ,x x2 1 52 1=- - =- ;

d. f 7 0=^ h ; x 2 72 =- - .

On calcule le discriminant du trinôme x x k4 52 - - - et on discute selon son signe :

k k16 4 5 36 4= - - - = +D ^ h .Si 1 9-D , QS = .Si 9=-D , S 2= " ,.

Si 2 9-D , S k2

4 36 4!=

+' 1 .


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On calcule le discriminant du trinôme x k x2 42 + - +^ h et on discute selon son signe :

k k k2 16 2 4 2 42= - - = - - - +D ^ ^ ^h h h

k k2 6= - - - +D ^ ^h h

k 3- - 2 6 3+

Signe de D + 0 - 0 +

Nombre de solutions 2 1 0 1 2

1 AB AC 84 2# #= , donc ACx

168= . Avec le

théorème de Pythagore :

xx

x x168 25 625 28 224 022

2 4 2++ = - + =c m .

En posant X x2= , on résout X X625 28 224 02 - + = ;

5272=D , donc X2

625 527 576!= = ou 49.

576 242= et 49 72= , donc AB 7= et AC 24= (ou le contraire).2 En notant H le pied de la hauteur issue de E, le triangle

DEH a une aire de 84 cm² et son hypoténuse a pour longueur 25 cm. On retrouve les conditions de la question 1 . Donc DH 7= ou DH 24= , donc le périmètre est :

25 25 14 64+ + = ou 25 25 48 98+ + = .

1 L’aire de la zone bleue est :B x x x x x x x8 10 2 182= - + - =- +^ ^ ^h h h

et l’aire de la zone verte est :V x x x x x x8 10 2 18 802 2= + - - = - +^ ^ ^h h h .

2 V x B x x x4 36 80 02+H H- +^ ^h h

x x9 20 02+ H- + .

3 1=D ; les racines sont 4 et 5, donc ; ;x 0 4 5 8,! 6 6@ @.

1 x

168 et ,x 2168 0 4-

- .

2 ,x x

1682

168 0 4=-

-

,x x x x168 2 168 0 4 2+ - = - -^ ^h h

, ,x x0 4 0 8 336 02+ - - = ., ,538 24 23 22= =D et x 0H , donc :

,, ,x2 0 4

0 8 23 2 30#

=+

= .

Il y a 30 élèves dans cette classe.

Notons x le nombre de litres de gasoil achetés par Pierre et p le prix d’un litre de gasoil. Paul a alors acheté x 8-^ h litres de carburant à ,p 0 2+ € le litre. On peut donc écrire : ,p x 57 20# = et

, ,p x0 2 8 57 20#+ - =^ ^h h .

En remplaçant p par ,x

57 2 dans la seconde, on obtient :

, , ,x x0 2 1 6 457 6 02 - - = .

, ,368 64 19 22= =D et 2x 0, donc :

,, ,x2 0 2

1 6 19 2 52#

=+

= .

Pierre a acheté 52 litres de gasoil.

Notons v la vitesse moyenne de Jean et t la durée de son trajet. La vitesse moyenne d’Ali est alors v 4+ , et

la durée de son trajet t 1- .

D’où les équations vt

195= et v

t4

1195

+ =-

.

On résout alors :

t tt t t t195

1195 4 195 1 195 4 1+=-

- - = - -^ ^h h

t t4 4 195 02+ - - = .

3 136 562= =D et 2t 0, donc ,t2 4

4 56 7 5#

= + = . Ils sont donc arrivés à 15 h 30.

1 ,58 1 6= .

2 a. Le format de ABCD est x x1 = et celui de BEFC est

x 11-

.

b. xx

x x1

1 1 02+=-

- - = ;

5=D et 2 0U , donc 2

1 5= +U .

c. 12

1 5- = - +U et 1 12- = - =U U U U^ h

par défi nition de U .d. En divisant par U la dernière égalité, on obtient :

1 1- =U

U.

3 ABCD rectangle d’or + format de ABCD = U

EB 1+ = -U

+ format de EBCF1

1=

-U

+ format de EBCF EBCF+= U rectangle d’or.BEFC est un rectangle d’or

x xx

11

21+

-=

--

x x2 1 2+ - = -^ h

x x 1 02+ - - =

+ ABCD est un rectangle d’or.

1 On conjecture que les courbes ont deux points communs.

2 x

x x x221

23 3 4 02+= - - - = ;

25=D ; les solutions sont 1- et 4, donc les points

communs ont pour coordonnées ;1 2- -^ h et ;421

c m.

3 Par lecture graphique, ; ;S 1 0 4,3= - -@ @ @ @.

1 Pour toute valeur de m, le point de coordonnées ;1 2- -^ h appartient à �m et à �.

2 a.


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b. Lorsque m 0! , �m et � semblent avoir deux points communs.

c. x

m x mx m x2 1 2 2 2 02+= + - + - - =^ ^h h ;

pour m 0! , cette équation a une unique solution si, et seulement si, son discriminant est nul :

m m0 2 8 02+= - + =D ^ h

m m4 4 02+ + + =

m 2 02+ + =^ h

m 2+ =- .

En calculant tan Bt dans les triangles rectangles BCD et BAH, on a :

,,

BDCD

BHAH

BH BHAH

2 42 4+=-

=

, HA HB HA HB2 4+ #+ =^ h .Avec le théorème de Pythagore :HA HB AB HA HB HA HB2 492 2 2 2+ #+ = + - =^ h

,HA HB HA HB4 8 49 02+ + - + - =^ ^h h .Ainsi, HA HB+ est solution de l’équation

,x x4 8 49 02 - - = .,14 82=D et 2HA HB 0+ ;

donc : , , ,HA HB2

4 8 14 8 9 8+ =+

= .

Alors, , , ,HA HB 2 4 9 8 23 52# #= = .HA et HB sont donc les solutions de l’équation

, ,X X9 8 23 52 02 - + = ;,1 42=D et HA est plus petit que HB ; donc :

, , ,HA2

9 8 1 4 4 2=-

= et , , ,HB2

9 8 1 4 5 6=+

= .

R R

R R

R R

R RR R

1351 1

301

135

301

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2+

+ =

+ =

+ =

+=

* *

R RR R

13530 135 4 050

1 2

1 2+

#

+ =

= =*

Donc R1 et R2 sont les solutions de l’équation x x135 4 050 02 - + = .

452=D , donc les solutions sont 2

135 45! .

Ainsi R 451 = X et R 902 = X (ou le contraire).

Notons t la durée de la chute et d la profondeur du canyon. On a donc : , ,d g t t0 5 4 92 2# #= = .Le son met t10 -^ h secondes pour revenir jusqu’aux enfants, d’où : d t340 10= -^ h.On résout alors :

, ,t t t t4 9 340 10 4 9 340 3 400 02 2+= - + - =^ h ;

182 240=D et 2t 0, donc ,

t2 4 9

340 182 240#

= - + .

Finalement, ,d t4 9 3852 .= . Le canyon a une profondeur d’environ 385 m.

1 a. Le triangle FM Ml où ; ,M a 0 25l^ h est rectangle en M l ; donc, avec le théorème de Pythagore :FM M F M M2 2 2= +l l

,a a 0 252 2 2= + -^ h

, ,a a a0 5 0 06252 4 2= + - +

, ,a a0 5 0 06254 2= + +

,a 0 252 2= +^ h .

Donc ,FM a 0 252= + .b. ;R a a FM2 +^ h, donc ; ,R a a2 0 252 2 +^ h.2 a. Le coeffi cient directeur de la droite FR^ h est égal à

x xy y

aa a2 2

R F

R F2

-

-= = .

b. : y ax p2= +D ; avec les coordonnées de M, on obtient : y ax a2 2= -D .3 a. x ax a x a x a2 02 2 2+ += - - = =^ h .b. d = D , donc d FR= ^ h, donc d est la hauteur issue de M du triangle FMR. Ce triangle étant isocèle en M, d en est l’axe de symétrie. Donc le rayon symétrique de FM^ h est MR^ h. Ainsi le rayon réfl échi est parallèle à Oy^ h.

• À l’aide d’un logiciel, on conjecture que les longueurs CM et HK sont égales pour une valeur de x proche de 2,53 et que les points C, M et K ne sont pas alignés, car les angles en M mesurent 60° dans MBK et 57,6° dans MAC.• Le triangle équilatéral MBK a pour base MB x8= - et

pour hauteur HK MB23

= .

CM HK CM HK2 2+= =

x x1643 82 2+ + = -^ h

x x x64 4 3 64 162 2+ + = - +^ h

x x48 128 02+ + - = . 2 816=D et il y a une seule solution positive .8 11 24-

• Pour la valeur x 8 11 24= - , dans le triangle AMC

l’angle en M a une tangente qui vaut 8 11 24

4-

diff é-

rente de la tangente de l’angle en M dans MBK ; donc les points C, M et K ne sont pas alignés.

Soit x le nombre de pièces de tissu achetées. Le prix unitaire est

x180 .

En achetant trois pièces de plus pour la même somme,

le prix unitaire serait x 3180+

, mais aussi x

180 3- .

On résout donc x x3180 180 3 1+

= - ^ h.

Pour 2x 0, x x x1 180 180 3 3+ = - +^ ^ ^h h h

x x0 3 9 5402+ =- - + .Il y a une seule solution positive 12 : j’ai acheté 12 pièces de tissu.

Revoir les outils de base

a. x x x4 5 2 12 2- + = - +^ h .b. x x x6 2 3 72 2+ + = + -^ h .c. , ,x x x10 0 5 9 752 2+ + = + +^ h .d. , , ,x x x0 5 1 0 25 0 93752 2- + = - +^ h .


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1 b. Fonction trinôme avec 2a 0.2 a. Fonction trinôme avec 1a 0.3 c. f x x4 8= -^ h .4 b. Fonction trinôme avec 2a 0.

a. x 3- 1 3+

f x^ h 3b. x 3- 3 3+

f x^ h- 5

c. x 3- - 2 3+

f x^ h- 8

d. x 3- - 5 3+

f x^ h3

1 a. f x x x2 3 12= + +^ h ; 1=D ., ,f x x2 0 75 0 1252= - -^ ^h h .

b. f x x x3 52=- - +^ h ; 61=D .

f x x361

12612

=- + +^ ch m .

2 a. f x x x2 92=- + +^ h ; f x x9 0+= =^ h ou x 2= .

1=a ; 10=b ; f x x 1 102=- - +^ ^h h .b. f x x x3 2 72= + -^ h ;

f x x7 0+=- =^ h ou x32

= - .

31

= -a ; 322

= -b ; f x x331

3222

= + -^ ch m .

3 a. f x x x x4 1 2 4 12 2= + - = + - -^ ^h h

f x x 2 52= + -^ ^h h .b. f x x x x x2 6 10 2 3 102 2=- + + =- - +^ ^h h

, ,f x x2 1 5 4 5 102=- - + +^ ^h h

, ,f x x2 1 5 14 52=- - +^ ^h h .

1 a. x x x x17 8 0 17 8 02 +- = - =^ h ;

;S 0178

= ' 1.

b. x x x9 6 1 0 3 1 02 2+- + = - =^ h ;

S31

= ' 1.

2 a. x x5 11 16 02 + - = ; 441=D et ; ,S 1 3 2= -" ,.b. x x4 92- + - ; 143=-D et QS = .

a. f x x x x x2 7 4 2 1 42= - - = + -^ ^ ^h h h.b. f x x x 12=- + -^ h ne peut être factorisée, car

3=-D .c. f x x x x x3 7 6 3 2 32=- + + = - - -^ ^ ^h h h.d. f x x x x4 20 25 2 52 2= - + = -^ ^h h .

a. f x x x 62= + -^ h ; les racines sont 2 et - 3.

x 3- - 3 2 3+

f x^ h + 0 - 0 +

; ;S 3 2,3 3= - - +6 6@ @ .

b. f x x x2 12=- + +^ h ; les racines sont 1 et - 0,5.

x 3- - 0,5 1 3+

f x^ h - 0 + 0 -

, ;S 0 5 1= - 6@ .

c. f x x x2 5 42= + +^ h ; 1 0D , il n’y a pas de racine.

x 3- 3+

f x^ h +

QS = .d. f x x x x4 28 49 2 72 2= + + = +^ ^h h

x 3- - 7 3+

f x^ h + 0 +

S 7= -" ,.e. f x x x3 4 22=- + -^ h ; 8=-D ; il n’y a pas de racine.

x 3- 3+

f x^ h -

QS = .

En lien avec les sciences

Soit v la vitesse du vent.

On veut : ,v v150

308150

308 0 5-

=+

+

, v v0 5 716 11250 02+ + - = .Il y a deux solutions dont une seule positive qui vaut 18.La vitesse du vent est 18 km/h.

1 Le carré a pour côté x4

, donc son aire est x16

2.

Le rectangle a pour largeur x6

1 - et pour longueur

x3

1 - , donc son aire est x181 1 2-^ h .

2 a. Par développement.

b. f x x14417

178

3412

= - +^ ch m .

x 3- 178

3+

f x^ h 341

3 La somme des aires est minimale pour x178

= et

cette somme minimale vaut 341 .

1 a. Le plus grand numéro manquant peut être N et la somme de tous les numéros vaut alors N260 + .

On a N N

N2

1260 1G

++

^^

hh.

Le plus petit numéro manquant peut être 1 et la somme de tous les numéros vaut alors 261.


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b. On a N N

21

261 2H+^

^h

h.

2 N N1 520 02+ G- -^ h .

2 081=D ; x2

1 2 0811 = + et x

21 2 081

2 = - .

;S x x1 2 1= 6 @.N N2 522 02+ H+ -^ h .

2 089=D ;

x2

1 2 0893 = - + et x

21 2 089

4 = - - .

; ;S x x2 4 3,3 3= - +6 6@ @ .

3 ;S S x x1 2 3 1+ = @ @, intervalle qui ne contient qu’une valeur entière 23.

N 23= et le numéro manquant est 2

23 24 260# - , soit 16.

1 On conjecture que les points de C d’abscisses 3 et 0,5 ont pour milieu I.

2 a. L’ordonnée de A est a1 .

b. I milieu de AB6 @ x x x2 IB A+ = - et y y y2 IB A= -

B+ a pour coordonnées ;aa2

737 1

- -c m.

c. B C yx1

BB

+! =

a a37 1

27

1+ - =-

aa

a37 3

7 22+ - =

-

a a a7 3 7 2 6+ - - =^ ^h h

a a14 49 21 02+ - + - =

a a2 7 3 02+ - + = .d. Les solutions de a a2 7 3 02 - + = sont 3 et 0,5.Il existe deux points de C de milieu I : leurs abscisses sont 3 et 0,5.

C H A P I T R E

Fonctions de référence

Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence 1

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Contenus Capacités attendues CommentairesFonctions de référencex 7 x et x 7 x .

◗ Connaître les variations de ces deux fonc-tions et leur représentation graphique.

Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur 0 ; .3+7 7

Justifi er les positions relatives des courbes représentatives des fonctions x 7 x, x 7 x2 et x 7 x .

Aucune technicité dans l’utilisation de la valeur absolue n’est attendue.


2. Intentions des auteursDans ce chapitre, on réactive les connaissances du cours de Seconde sur les fonctions affi nes, carré et inverse avant de voir les deux nouvelles fonctions de référence au programme. Les démonstrations exigibles sont détaillées dans la partie cours pour l’une et en activité de découverte pour l’autre.

Bien que le programme ne le stipule pas explicitement, il nous a semblé opportun de lier la valeur absolue à la notion de distance entre deux réels.

Du point de vue mathématique :

– on rappelle les résultats essentiels concernant les fonctions de référence du cours de Seconde ;

– on étudie la fonction racine carrée et on compare x, x2 et x lorsque x est positif ;– on étudie la fonction valeur absolue et on fait le lien avec la notion de distance.

Outre l’acquisition des nouvelles notions, les exercices permettent de revoir le vocabulaire lié aux fonctions (images, antécédents, maximum…), ainsi que le signe de ax b+ pour écrire des expressions sans valeur absolue selon les valeurs de x.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence

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Objectifs◗ Revoir le vocabulaire de base relatif aux fonctions ainsi que les notions de fonctions croissantes et décroissantes sur un intervalle.◗ Réactiver les connaissances concernant les fonctions de référence vues en Seconde.

A 1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Faux. 6 Faux.

B 1 c. 2 b. et c. 3 c. 4 a.

C 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Faux. 5 Vrai.

ActivitéActivité 1 Exprimer au moyen d’une racine carréeObjectifAborder la racine carrée à partir d’une fi gure connue (le cercle) et sensibiliser l’élève à l’infl uence de la nature du repère sur l’aspect d’une courbe.

1 ;M x y !^ h � OM 22 2+ =

x y 42 2+ + = .

2 a. x y 42 2+ = et y y x0 4 2+H = - ; donc �1 est la représentation graphique de la fonction g défi nie sur ;2 2-6 @ par g x x4 2= -^ h .

b. h x g x x4 2=- =- -^ ^h h .

3 a. Le repère est orthogonal mais pas orthonormal.

b. a 1=- et a

b2

0- = , donc f est croissante sur

; 03-@ @ et décroissante sur ;0 3+6 6.c. g est croissante sur ;2 0-6 @ et décroissante sur ; .0 26 @

On peut donc conjecturer que la fonction x 7 x conserve l’ordre.

ActivitéActivité 2 Étudier des positions relatives de courbesObjectifConjecturer et démontrer un résultat du cours faisant parti des exigibles du programme.1 a. 2P P 0F H- . b. 1P P 0F H- .c. Après 60 ans la courbe de PF est au-dessus de celle de PH , et entre 30 et 50 elle est en dessous.2 On conjecture que sur ;0 16 @ la courbe de x 7 x2 est

en dessous de celle de x 7 x, elle-même en dessous

de celle de x 7 x , et que sur ;1 3+6 6 les positions sont inversées.3 a. x x x x 12 - = -^ h est du signe de x 1- (car x 0H ), c’est-à-dire négatif sur ;0 16 @ et positif sur

;1 3+6 6.b. L’affi rmation est fausse sur ;0 16 @.

4 a. x xx x

x x x xx xx x2

- =+

- +=

+

-^ ^h h .

b. x x+ étant positif, x x- est du signe de x x2 - donc, d’après 3 , négatif sur ;0 16 @ et positif sur ; .1 3+6 6

5 Sur ;0 16 @, x x2 - et x x- sont négatifs, donc

x x x2 G G , donc la courbe de x 7 x2 est en

dessous de celle de x 7 x, elle-même en dessous de

celle de x 7 x . Sur ;1 3+6 6, c’est le contraire.

ActivitéActivité 3 Découvrir la valeur absolueObjectifDécouvrir la fonction valeur absolue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.3

x

1

1

A O

M

y

y = OA

4 L’ordonnée de M est égale à son abscisse quand cette dernière est positive et à l’opposé de son abscisse quand celle-ci est négative. Autrement dit, si x 0H , y x= et si x 0G , y x=- .

ActivitéActivité 4 Distance entre deux nombresObjectifLier les notions de valeur absolue et de distance.

1 a. OA xA=- ; OB xB=- ; OC xC= et OD xD= .b. OM x= si x 0H et OM x=- si x 0G .

2 a. CD x x2 D C= = - .

b. BD x x5 D B= = - ; BA x x1 B A= = - .c. MN y x= - si y xH et MN x y= - si x yH .

3 a. x1980 8- = ou x 1980 8- = .b. x 1980 8- = .


Utiliser les variations des fonctions de référence

a. x 3- 3+

f x^ h

b. x 3- 3+

g x^ h

c. x 3- 0 3+

h x^ h - 10

d. x 3- 0 3+

k x^ h


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a. b a0 G G , donc b a2 2G .b. b a 0G G , donc a b2 2G .c. a b=- , donc a b2 2= .d. b a0 G G , donc b a2 2G .

a. x 3- 1,5 3+

f x^ h - 0 +

b. x 3- 1,5 3+g x^ h + 0 -

a. 1 a b0 G , donc b a1 1G .

b. 1a b 0G , donc b a1 1G .

c. 1 1a b0 , donc 1 1a b1 0 1 .

d. 1b a0 G , donc a b1 1G .

a. x

xx

x241

482

3+ = +

.x

x x x4

2 2 42

=+ - +^ ^h h

Le discriminant de x x2 42 - + est négatif donc, pour tout réel x, 2x x2 4 02 - + . Le quotient est donc du signe de x x4 2+^ h.

Finalement, la courbe de f : x 7 x41 2- est en dessous

de celle de g : x 7 x2 sur les intervalles ; 23- -@ @ et

;0 3+ 6@ , et au-dessus sur ;2 0-6 6.

b. Sur ;0 3+ 6@ , 2x2 0 et 1x

41 02- , donc la compa-

raison est immédiate. Sur ; 03- 6@ , la calculatrice amène à conjecturer que les positions relatives des deux courbes changent lorsque x 2=- . On vérifi e que f g2 2 1- = - =-^ ^h h .La fonction f est croissante sur ; 03- 6@ , donc, si x 2G - , on a f x 1G -^ h . La fonction g est décroissante sur ; 03- 6@ , donc, si x 2G - , g x 1H -^ h .Ainsi, sur ; 23- -@ @, fg x xH^ ^h h. De même, si

1x2 0G- , on a f x 1H -^ h et g x 1G -^ h , donc sur ;2 0-6 6, fg x xG^ ^h h.

On retrouve les résultats de a.

Utiliser la fonction racine carrée

a. D , ;2 5f 3= - +6 6. b. D ;14f 3= +6 6.

c. D ;31

f 3= -E E. d. D ; 6f 3= - -@ @.

a. ,f 0 5 0=^ h et f est toujours positive, donc elle admet pour minimum 0 atteint en 0,5.

b. La fonction x 7 x1 2- est croissante puis décrois-sante, donc elle admet un maximum. Ce maximum est atteint en

ab

20- = et vaut 1. La fonction racine carrée

étant croissante sur ;0 3+6 6, la fonction g admet un maximum en 0 valant 1 1= .

a. RD f = ( 1 0D et 2a 0).

b. 49=D ; les racines sont 2- et 31 , et 1a 0 ;

d’où D ;231

f = -; E.

D ;231

f = -; E (voir exercice 8.b.).

La fonction x 7 x x3 5 22- - + est « d’abord crois-sante, puis décroissante », donc elle admet un maximum

atteint en a

b2 6

5- =- valant :

365 5

65 2

12492

- - - - + =c cm m .

Ainsi, pour tout ;x 231! -; E, x x3 5 2

12492 G- - +

avec égalité si x65

=- .

En prenant la racine carrée, on obtient f x1249G^ h

avec égalité si ,x65 0 83.=- - , ce qui prouve la

conjecture émise.

Résoudre un problème de distance en utilisant la valeur absolue

a. 7. b. 0,001. c. ,3 14-r . d. 2 3- .

a. x 3- 2 3+

f x^ h x 2- + x 2-

b. x 3- 2- ,0 5 3+

g x^ h x3 1- - x 3- + x3 1+

a. x 3- 2 3+

f x^ h 0

x 3- 0,5 3+

g x^ h 2,5

b.

x

y

10

1

�f

�g

a. S 3= -" ,. b. ;S 2 6= -" ,.

c. S21

= -' 1. d. QS = .

a. 1- et 3.b. ; ;1 3,3 3- - +6 6@ @ .


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a. 76543210–1–2–3–4–5 x

b. 43210–1–2–3–4–5–6–7–8 x

c. 76543210–1–2–3–4–5 x

d. 76543210–1–2–3–4–5 x

Rechercher un lieu géométriqueAM AN MN2 2 2= +

OM a a OM1 12 2 2 2 2+ + = + + +^ h

OM a1 2 1 2 2+ + = +

OM a2+ = .Ainsi ;R a a2

_ i, donc il appartient à la courbe de la fonc-tion racine carrée.

Déduire une courbe d’une autre1 La transformation qui permet de passer de � à � semble être une translation.2 ;OM x y^ h ; ;OA 3 2^ h ; ;AM X Y^ h.

3 yx

Yx

Yx

23

1 2 2 1 1+ += +-

+ = + = .

4 La transformation qui permet de passer de � à � est la translation de vecteur OA.

Identifier la nature d’une courbe1 g 1 0=^ h , donc I ! � et g 0 1=^ h , donc J ! �.

2 y x

y g x

y x

x x x1 2 1+

=

=

=

= - + -^ h* *

y x

x

y x

x121 1

41+ +

=

- =

=

- =* *

y x43+ = = . Donc ;A

43

43

c m.

3 Non, car OA169

169

89 12 != + = .

Distances minimales1 Il semble que la somme est minimale lorsque a 2= et que cette somme minimale vaut 3.2 AD BE CF x x x4 1 2+ + = - + - + -

f x= ^ h.3 Si x 1G , f x x7 3= -^ h ;si x1 2G G , f x x5= -^ h ;si x2 4G G , f x x1= +^ h ;et si x 4H , f x x3 7= -^ h .D’où :

x 3- 2 3+

f x^ h 3

4 La conjecture est démontrée : f admet un minimum en 2 valant 3.

1 c. 2 a. 3 a. 4 b. 5 c.

1 a. et c. 2 b. et c. 3 c. 4 c. 5 b. 6 a. et b.

1 b. 2 c. 3 a. 4 a. 5 b.

1 Vrai : si x est négatif, x x0G G et si x est positif, x x= .2 Vrai : la fonction racine carrée est croissante sur

;0 3+6 6.

3 Faux : x41

= .

4 Vrai : x x0 0+H G- .5 Vrai :

2 3 4 5 6 7 8 9 x

6 Faux : 5 6- est négatif.


1 Les fonctions de référence déjà connues

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.

1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.


a. x 3- 8 3+

f x^ h - 0 +


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b. x 3- 3

13+

g x^ h + 0 -

c. x 3- 4,5 3+h x^ h + 0 -

d. x 3- - 3 3+

k x^ h - 0 +

a. a et b sont positifs et 1a b , donc 1a b2 2.b. a 492 = et b 482 = , donc 2a b2 2.c. a b=- , donc a b2 2= .d. a et b sont positifs et 1a b , donc 1a b2 2.

a. a4 252G G .b. a100 4002G G .c. a0 92G G .d. a0 252G G .

a. 1211 212, donc 2211

1212

1 .

b. 243 1- - , donc 1

34 1- - .

c. 1,3 14 r , donc 2,3 141 1

r.

d. 2, ,2 0395 2 039, donc 1,2 0395

14 0782 000 .

a. x4

1 131G G .

b. x

1 121G G- - .

c. 1x5

1 1 0G- .

d. 1 1x

0 171 .

1 f 3 6- =^ h ; f 2 1=-^ h ; f21

411

=-c m .

2 x x x3 2 5 52 2+ +- = = = ou x 5=- . 3 On considère deux réels quelconques a et b tels que

1a b0 G .On a successivement 1a b0 2 2G , puis 1a b3 3 32 2G- - - ; c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h, donc f est croissante sur ;0 3+6 6.On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .

On a successivement 1b a0 2 2G , puis 1b a3 3 32 2G- - - ; c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h, donc f est décroissante sur ; 03-@ @.4 x 3- 0 3+

f x^ h - 3

1 f 1 0- =^ h ; f 3 2=-^ h ; f32

95

=c m .

2 x x1 5 62 2+- + =- = x 6+ = ou x 6=- .

3 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b0 G .

On a successivement 1a b0 2 2G , puis 2a b2 2- - , puis 2a b1 12 2- + - + ; c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h, donc f

est décroissante sur ;0 3+6 6.On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .

On a successivement 1b a0 2 2G , puis 2 ,b a2 2- - puis 2b a1 12 2- + - + ; c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h, donc f est croissante sur ; 03-@ @.4 Comme f est d’abord croissante puis décroissante, elle admet un maximum. Ce maximum est réalisé pour x 0= et il vaut f 0 1=^ h .

Revoir les généralités sur les fonctions

1 x 3- - 1 1 1 3+

f x^ h

2

- 2

2 a. ;S 2 1= -" ,. b. ; ;S 3 0 3, 3= - +7 7 7A .3 On doit enlever les valeurs qui annulent la fonction f . Donc l’ensemble de défi nition de f

1 est :

R\ ; ;3 0 3-# - .

1 L’ensemble de défi nition de f est l’intervalle ;3 4-6 @.

2 x - 3 - 1 2 4

f x^ h- 2

5

1

4

3 Si ;k 2 1 5,! -6 6 " ,, on a une solution.Si ;k 4 5 1,! 6@ " ,, on a deux solutions.Si ;k 1 4! @ @, on a trois solutions.Pour les autres valeurs de k, il n’y a pas de solution.

4 AB^ h : x 7 x27

217

+ .

BC^ h : x 7 x34

311

- + .

CD^ h : x 7 x23 2- .

a. Faux. b. Vrai. c. Vrai. d. Faux.

2 La fonction racine carrée

1 c. 2 b.

1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux. 4 Faux.

1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai.

a. D ;1f 3= +6 6.b. D ; ;1 1f ,3 3= - - +6 6@ @ .c. D ; ;2 3f ,3 3= - +6 6@ @ .d. D ;3f 3= +6 6. e. D ; 2f 3= -@ @\ 0" ,.


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Le réel x doit être à la fois supérieur ou égal à 5 et inférieur à 3, c’est impossible. La calculatrice ne trace rien.

1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b2 G- .On a successivement 1a b0 2 2G + + ,puis 1a b2 2+ + ,puis 1a b2 1 2 1+ - + - ,donc 1f fa b^ ^h h, et f est croissante sur ;2 3- +6 6.2 x - 2 3+

f x^ h- 1

3 f x x x4 2 1 4 2 5+ += + - = + =^ h .

Or x 2+ et 5 sont positifs, donc :

x x x2 5 2 5 25 2 232+ ++ = + = = - = .

D ;2f 3= - +6 6, c’est la courbe orange.D ; 2g 3= -@ @, c’est la courbe bleue.D ,0h 3= +6 6, c’est la courbe rouge.

RDk = , c’est la courbe violette.

1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b3 G .On a successivement 1a b0 3 3G - - , puis

1a b3 3- - , puis 2a b3 3- - - - , puis 2a b3 2 3 2- - + - - + , donc 2f fa b^ ^h h,

donc f est décroissante sur ;3 3+6 6.2 Comme f est décroissante sur ;3 3+6 6, pour tout x 3H , on a : f f fx x3 2+G G^ ^ ^h h h .

Le maximum de f est 2, il est atteint pour x 3= .3 f x x x0 2 3 0 3 2+ += - - = - =^ h .Or x 3- et 2 sont positifs, donc :

x x x3 2 3 2 4 3 72+ +- = - = = + = .

1 Pour les valeurs - 1, 0 et 1 la réponse est impos-sible. Les valeurs obtenues pour 2, 3 et 5 sont respecti-vement 2, 1,414 et 1.2 Comme on calcule x 1- qui est au dénominateur, on doit avoir 2x 1 0- , c’est-à-dire 2x 1.

3 f : x 7x 1

2-

. D ;1f 3= + 6@ .

4 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b1 .

On a successivement 1 1a b0 1 1- - ,

puis 1a b1 1- - ,

puis 2a b1

11

1- -

, puis 2a b1

21

2- -

,

donc 2f fa b^ ^h h, et f est décroissante sur ;1 3+ 6@ .

3 La fonction valeur absolue

1 a. 2 c. 3 a. 4 b.

1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux.

1 b. 2 b. 3 a. 4 c.

1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Vrai.

A 5= ; B 3= ; C 15= ; D 4= ; E 6= ; F 0= .

A31

= ; B121

= ; C35

= ; ,D 0 09= ; E300

1= .

A43

22

= - ; B 5 1= + ;

C 3 6= + ; D 2 1= - .

E32

23

=- + .

A 1= -r ; B 2 3 3= - ;

C 102=- +r ; D 231

= - ;

E 3 1= + .

a. E x x x1 2 2 5= - + - + =-^ ^h h .

b. E x x x x32 1

35

= - - - + - + = -c ^ ^m h h .

c. E x x x x2 2 1 3 5 5= + + + + = +^ ^ ^h h h .

a. E x x1 1= - + + =^ h .b. E x x x x5 1 4= - + - + - = -^ ^h h .c. E x x x x3 3 3= - + - + - =- +^ ^ ^h h h .

a. ;S 4 4= -" ,.b. QS = .

c. Si x 0H , on a x x x2 131++ =- =- impos-

sible.Si x 0G , on a x x x2 1 1+- + =- =- .Donc S 1= -" ,.d. x 5 3 8= + = ou x 5 3 2= - = .Donc ;S 2 8= " ,.

e. Si x21H - , on a x x x2 1 7 2 6 3+ ++ = = = .

Si x21G - , on a :

x x x2 1 7 2 8 4+ +- - = - = =- . Donc ;S 4 3= -" ,.f. x x x x5 8 5 8++ = - + = -

ou ,x x x5 8 1 5++ =- + = .Donc ;S 1 5= " ,.

a. La distance de x à 0 vaut 4 , donc ;S 4 4= -" ,.b. Une distance ne peut être négative , donc QS = .d. La distance entre x et 5 vaut 3 :

2 3 4 5 6 7 8 9 xA B

;S 2 8= " ,.f. La distance entre x et - 5 doit être égale à celle entre x et 8, donc sur la droite graduée x est au milieu des deux autres nombres.

,x2

5 8 1 5= - + = . Donc ,S 1 5= " ,.


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lic 1

re S

a. La distance entre x et 0 est inférieure ou égale à 4 : ;S 4 4= -6 @.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 xA B

b. La distance entre x et 0 est supérieure ou égale à 1 :; ;S 1 1,3 3= - - +6 6@ @ .

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 xBA

c. x x3 2 5+G G- .La distance entre x et 0 est inférieure ou égale à 5 :

;S 5 5= -6 @.

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 xA B

d. La distance entre x et 4 est supérieure ou égale à 2 : ; ;S 2 6,3 3= - +6 6@ @ .

–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xA B

e. x x4 3 143

41

+G G+ + .

La distance entre x et 43

- est inférieure ou égale à 41 .

On a ;x43

41

43

41! - - - +; E,

donc ;S 121

= - -; E.

–1 –0,9 –0,8 –0,7 3–— 4 –0,6 –0,5 –0,4x

B CA

f est associée à la courbe orange �2.g est associée à la courbe bleue �4.h est associée à la courbe rouge �1.k est associée à la courbe verte �3.

Démonstrations de cours1 Si x 0H , x x 0H= .Si x 0G , x x 0H=- .Donc pour tout réel x, x x 0H= .2 Si x 0= , alors x 0 0= = .Si x 0= , alors la distance de x à 0 est nulle donc x 0= .Conclusion : x x0 0+= = .3 Si x 0G , x x=- , de plus x 0H- , donc

x x- =- : on a bien égalité dans ce cas.Si x 0H , x x= , de plus x 0G- , donc

x x x- =- - =^ h : on a bien égalité dans ce cas égale-ment. Pour tout réel x, x x= - .4 Si x y= ou x y=- , alors x y= ou x y y= - = , donc dans tous les cas on obtient x y= .

Si x y= , alors x et y ont la même distance à 0, ils sont donc égaux ou symétriques par rapport à 0 , c’est-à-dire opposés.5 x x2 2 2=_ i et x x2 2= .Ces deux nombres positifs ont le même carré, donc ils sont égaux.

a. On obtient la bande de plan « verticale » limitée par les droites d’équations x 3=- et x 3= .b. On obtient la bande de plan « horizontale » limitée par les droites d’équations y 4=- et y 4= .c. On obtient la bande de plan « verticale » limitée par les droites d’équations x 1=- et x 3= .d. On obtient la bande de plan « horizontale » limitée par les droites d’équations y 3=- et y 1=- .

1 y 1 2G- . 2 x21

23G+ .

Calculs de distances

a. AB 5 8 3= - = .

b. AB 3 7 4= - + = .

c. AB 15 62 77= - - = .

d. AB31

41

121

= - = .

e. AB53

21

1011

= + = .

f. AB 3 2 3 2= - =- + .

a. , , ,AB 1 2 2 7 3 9= - - = .

b. , , ,AB 0 42 0 402 0 018= - = .

c. AB23

2 23

2= - =- +r r .

d. AB 1 5 1 5= - + =- + .

e. AB 3 2 3 2= + = + .

f. AB 3 2 3 2 2 2= + - + = .

Demander les valeurs de a, b, x.Calculer ax b+ et le mettre dans z.Si z 0H , affi cher « y z= ».Sinon affi cher y z=- .

Problèmes

1 ;M x x1 2-_ i .

2 OM x x x x1 1 12 2 2 2 2= + - = + - =^ h .M appartient au demi-cercle de centre O de rayon 1 situé au-dessus de l’axe des abscisses si, et seulement si, on a y 0H et OM 1= .OM OM x y1 1 12 2 2+ += = + =

y x12 2+ = - .Comme y 0H , on obtient y x1 2= - .

1 On conjecture que �f est au-dessus de �g sur l’intervalle ;0 1@ @ et en dessous sur l’intervalle ;1 3+6 6.2 D’après le cours, on sait que pour tout x appartenant à ;0 1@ @ on a x xG , donc sur cet intervalle on aura

x x1 1H c’est-à-dire �f au-dessus de �g . De même,

pour tout ;x 1 3! +6 6 on a x xH , donc sur cet inter-

valle on aura x x1 1G c’est-à-dire �f en dessous de �g .


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lic 1

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1

x

y

10

1

y = x – 1

y = x

Par lecture graphique, on conjecture qu’il n’y a qu’une solution qui vaut environ 2,6.2 Si 1x 1, alors 1x 1 0- et x ne peut pas être négatif.Donc si 1x 1, il n’y a pas de solution.3 Si x 1H , les deux membres de l’équation étant posi-tifs, on élève au carré, on obtient une équation équiva-lente El^ h : x x 1 2= -^ h

E x x x x x2 1 3 1 02 2+ += - + - + =l^ h .4 29 4 5 0= - =D , donc deux solutions à cette équation.

x2

3 51 = - et x

23 5

2 = + .

Or 1x 11 , donc il ne peut pas être solution d’après 1 .

Finalement, seul x2 est solution : S2

3 5= +

' 1.

1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .On a successivement 2a b 0H- - , puis 2a b 0H- - , c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h et f est décroissante sur ; 03-@ @.2 x 3- 0

f x^ h0

3 x x x5 25 25+ +- = - = =- .S 25= -" ,.

1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .On a successivement 2a b 0H- - , puis

2a b 0H- - et enfi n 1a b- - - - , c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h. Donc f est croissante sur , 03-@ @.On sait que la fonction racine carrée est croissante sur l’intervalle ;0 3+6 6.Conclusion : f est croissante sur R.2

x

y

10

1

��f

3 a. Si x est positif, l’ordonnée de M est x .b. ;M x x- -l^ h.

c. Le milieu I de MMl6 @ a pour coordonnées

;x x x x2 2- -

c m, c’est le point 0 quelle que soit la

position de M sur la courbe de f .Conclusion : �f est symétrique par rapport au point 0.

1 x 0 1 3+

f x^ h 01

La fonction f est croissante puis décroissante, donc elle admet un maximum.Ce maximum vaut 1 et il est atteint pour x 1= .

2 Si x0 1G G , f x x x21

21

41+ += = =^ h .

Si x 1H , f xx

x21 1

21 2+ += = =^ h .

Donc ;S41 2= ' 1.

1 ff

a b

a b

a ba

4 2 0

1 2

2 02

+= + =

= + =

+ =

=-

^

^

h

h* )

ba

42

+=

=-) .

2 On a f x x2 4=- +^ h .On considère deux réels quelconques a et b tels que

1a b0 G .On a successivement 1a b0 G , puis 2a b2 2- - , puis 2a b2 4 2 4- + - + , c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h.La fonction f est décroissante sur l’intervalle ;0 3+6 6.3 x 0 3+

f x^ h

4

4 On résout :x x x x2 4 0 2 4 2 4+ + +- + = = = = .

1 f

f

a b

a b

0 2

3 3 4

= =

= + =

^

^

h

h* .

Les réels a et b étant strictement positifs, ce système est équivalent à :

a ba b

ab

bb

43 16

4

4 3 16

2

2

2

+=

+ =

=

+ =^ ^h h

Z

[

\

]]

]]* .

La deuxième équation donne :b b b12 4 16 1++ = = .

On obtient a a4 22 += = , car a est positif.Finalement f x x2 1= +^ h .2 f x^ h est défi nie si, et seulement si,

x x1 0 1+H H+ - .Donc D ;1f 3= - +6 6.3 On considère deux réels quelconques a et b tels que

1a b1 G- .On a successivement 1a b0 1 1G + + , puis 1a b0 1 1G + + , puis 1 ,a b2 1 2 1+ + c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h.


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f est croissante sur ;1 3- +6 6.

x - 1 3+

f x^ h0

4 On résout :

x x2 1 5 125++ = + =

x x14

25421+ ++ = = .

1 On conjecture que la fonction f est toujours décroissante sur son intervalle de défi nition quelle que soit la valeur de b.2 On considère deux réels quelconques m et n tels que

1m n2 G .On a successivement 1m n0 2 2G - - , puis 1m n0 2 2G - - ,

puis 2m n21 2

21 2- - - -

et enfi n 2m b n b21 2

21 2- - + - - + quel

que soit b, c’est-à-dire 2f fm n^ ^h h.La fonction f est toujours décroissante sur ;2 3+6 6.

3 On a f b b11 021 3 0

23+ +#= - + = =^ h .

1 Conjecture : Si a est strictement positif, la fonc-tion f est croissante sur ;1 3- +6 6 ; si a est négatif, elle est décroissante.Preuve : On considère deux réels quelconques m et n tels que 1m n1 G- .On a successivement 1m n0 1 1G + + ,puis 1m n0 1 1G + + , puis :• si a est positif, 1a m a n1 1+ + et enfi n 1a m a n1 3 1 3+ - + - , c’est-à-dire 1f fm n^ ^h h ;

• si a est négatif, 2a m a n1 1+ + et enfi n 2a m a n1 3 1 3+ - + - , c’est-à-dire 2f fm n^ ^h h.2 f a a8 5 3 3 5

32+ +=- - =- =-^ h .

Comme a est négatif, f est décroissante.

f x x32 1 3=- + -^ h et f 1 3- =-^ h .

x - 1 3+

f x^ h

- 3

f admet un maximum en - 1 qui vaut - 3, donc elle ne prend que des valeurs négatives.

1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b0 G .On a successivement 1a b0 2 2G , puis :

1a b1 1 12 2G + + , 1a b1 1 12 2G + + , 1a b2 2 1 2 12 2G + + ,

c’est-à-dire 1 .f fa b^ ^h h

f est croissante sur ;0 3+6 6.On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .

On a successivement 1b a0 2 2G , puis :1b a1 1 12 2G + + , 1b a1 1 12 2G + + , 1b a2 2 1 2 12 2G + + ,

c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h.f est décroissante sur ; 03-@ @.2 La fonction f est décroissante puis croissante, donc elle admet un minimum. Ce minimum est atteint pour x 0= et il faut f 0 2=^ h .3 L’équation f x 1=^ h n’a aucune solution puisque le minimum atteint par f est 2. QS = .

f x x3 2 1 32+= + =^ h

x 1232+ + =

x 1492+ + =

x452+ =

x25+ = ou

25

=- .

;S25

25

= -' 1.

1 f x x xx

1 1 12 22= + = +^ dh n

xx

xx

1 1 1 122 2= + .

2 Pour tout réel x non nul on a :

f x g x xx

x1 12- = + -^ ^h h

.xx

1 1 12= + -d n

Or 2x

1 1 12+ , donc 2x

1 1 1 02+ -d n .

Comme dans ce cas 2x 0, on a bien :

2f x g x 0-^ ^h h .De plus 2f g0 0 1 0- =^ ^h h .Donc pour tout réel x, on a bien la relation demandée.3 Comme pour tout réel x, 2f x g x^ ^h h, la courbe de f est toujours placée au-dessus de celle de g.4 Arthur s’est trompé.

1 On doit avoir 2 2x x1 0 1+- .Donc D ;1f 3= + 6@ .2 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b1 .

On a successivement 1 1a b0 1 1- - , puis 1 1a b0 1 1- - ,

puis 2a b1

11

1- -

,

c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h.f est décroissante sur ;1 3+ 6@ .


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Déc

lic 1

re S

3

��f

x

y

10

1

y = x

On conjecture une solution à l’équation, elle vaut environ 1,6.

4 x

xx

x1

11

1+-

=-

= , car les deux quan-

tités sont positives.On obtient x x x x1 1 1 02+- = - - =^ h .

5=D , donc l’équation a deux solutions :

x2

1 51 = + et x

21 5

2 = - .

Mais x2

1 52 = - est négatif, donc cette solution est

impossible. Conclusion : S

21 5

= +' 1.

5 Une valeur approchée de ce nombre est 1,618, c’est donc cohérent avec la lecture graphique.

1 a a b aG , car on a multiplié par le même nombre positif a .

a bG , car la fonction racine carrée est croissante sur ;0 3+6 6.

b a b bG , car on a multiplié l’inégalité précédente par le même nombre positif b.2 On obtient donc a a b a b bG G .On en déduit a a b bG , puis a a b b1 1G- - , c’est-à-dire f fa bG^ ^h h.f est croissante sur ;0 3+6 6.3 f 1 1 1 1 0= - =^ h .4 Pour tout réel x :

1x0 1G , on a 1x x 1 1 ; donc 1f x 0^ h .Pour tout réel x : 2x 1, on a 2x x 1 1 ; donc 2f x 0^ h d’après 1 et 2 .

Le réel 1 est donc l’unique solution de l’équation f x 0=^ h .

1 On conjecture que f est décroissante sur l’inter-valle ;1 3+6 6.2 On doit avoir simultanément x 1H - et x 1H , donc D ;1f 3= +6 6.

3 x x1 1+ - -

x xx x x x

1 11 1 1 1

=+ + -

+ - - + + -_ _i i

x xx x

1 11 1

=+ + -

+ - +

x x1 12

=+ + -

.

4 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b1 G .

On a successivement 1a b1 1- - et 1 ,a b1 1+ + puis 1a b1 1- - et 1a b1 1+ + , donc on obtient :

1a a b b1 1 1 1+ + - + + - ,

puis 2a a b b1 1

11 1

1+ + - + + -

et enfi n 2a a b b1 1

21 1

2+ + - + + -

c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h.f est décroissante sur ;1 3+6 6.

1 Si x 0H , f x x2 1= +^ h .Si x 0G , f x 1=^ h .2

x

y

10

1�f

3 Si x est négatif f x 1=^ h .f 0 1=^ h et la fonction affi ne x 7 x2 1+ est crois-

sante sur ;0 3+6 6, donc pour tout réel positif x, on a f x 1H^ h .

Donc pour tout réel x, on a bien f x 1H^ h .

1 Comme la valeur absolue d’un nombre est toujours positive, le nombre x existe toujours.2 Si x est positif, on a f x x=^ h et on sait d’après le cours que cette fonction est croissante.3 Si x est négatif, f x x= -^ h et on sait qu’elle est décroissante d’après l’exercice 78.

4 a. ;M x x^ h.

b. ;M x x- -l` j, or dans ce cas x x- = , car x- est négatif. Donc ;M x x-l^ h : ce point a la même ordonnée que M.c. La courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.5

x

y

10

1

��f

1 Si x25H , f x x2 5= -^ h .

Si x25G , f x x2 5=- +^ h .

2 x 3- 2

53+

f x^ h 0


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Déc

lic 1

re S

3

x

y

10

1

�f

1 Si x 1H , f x x 3= -^ h .Si x 1G , f x x 1=- -^ h .2 x 3- 1 3+

f x^ h - 23

x

y

10

1

�f

1 • Si x 3H , f x x x2 3= + -^ h

f x x3 3= -^ h .• Si x0 3G G , f x x x2 3= - +^ h

f x x 3= +^ h .• Si x 0G , f x x x2 3=- - +^ h

f x x3 3=- +^ h .2 x 3- 0 3+

f x^ h 33

x

y

10

1

�f

1 • Si x34H , f x x x2 3 4= + - +^ h

f x x2 6=- +^ h .

• Si x234G G- , f x x x2 3 4= + + -^ h

f x x4 2= -^ h .

• Si x 2G - , f x x x2 3 4=- - + -^ h

f x x2 6= -^ h .

2 x 3- 3

43+

f x^ h 310

3

x

y

20

2

��f

1 Si A 0H , on a A A= .Si A 0G , on a A A=- avec A 0H- , donc dans ce cas A AG - .Pour tout réel A, on a bien A AG .2 C’est évident si A est positif.Si A est négatif, on utilise le fait que A A2 2= -^ h .D’où le résultat.3 D’après la question 2 ,x y x y x y xy22 2 2 2+ = + = + +^ h .

De plus, x y x y x y22 2 2+ = + +_ i

x y xy22 2= + + .

Or xy xyG donc x y x y2 2G+ +^ h .4 Les carrés de ces deux nombres positifs sont classés dans le même ordre que les nombres eux-mêmes, donc

x y x yG+ + .

Partie A 1

x y x y# x y# x y x y#

2 5 10 10 2 5 10- 3 - 4 12 12 3 4 12

7 - 2 - 14 14 7 2 14- 5 3 - 15 15 5 3 15

2 On conjecture que x y x y# #= .

Partie B1 a. x y 0# H .b. x y x y# #= .c. x x= ; y y= ; x y x y# #= .d. Dans ce cas, on a démontré la conjecture.2 a. x 0G ; y 0G .x y 0# H ;x y x y# #= ;x x=- ; y y=- ; x y x y# #= .

Dans ce cas, on a démontré la conjecture.b. x 0H ; y 0G .x y 0# G ;x y x y# #=- ;x x= ; y y=- ; x y x y# #=- .

Dans ce cas, on a démontré la conjecture.c. x 0G ; y 0H .x y 0# G ;x y x y# #=- ;x x=- ; y y= ; x y x y# #=- .

Dans ce cas, on a démontré la conjecture.


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Déc

lic 1

re S

3 Pour tous réels x et y on a l’égalité :x y x y# #= .

1 L’aire demandée est égale à :, , , , ,

A2

0 2 0 22

0 4 0 2 0 2# #= +

+^ h

, , , , , ,2

0 6 0 4 0 22

0 8 0 6 0 2# #+

++

+^ ^h h

, ,2

1 0 8 0 2#+

+^ h

A +, , , , , ,2

0 4 0 2 0 4 0 6 0 8 0 2=

+ + +^ hA , , , , , ,0 2 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1= + + + +^ h .

2 Le calcul précédent donne environ : ,A 0 65= .

3 ,32 0 666. , donc on commet une erreur inférieure

à 0,02.

Dans la cellule A4, on met : =1/B1.

Dans la cellule A5 : =A4+(1/$B$1) que l’on tire vers le bas jusqu’à obtenir x 1= .

Dans la cellule C4 : =0.5*A3*B3.

Dans la cellule C5 : 0.5*(B4+B5)*(1/$B$1).

Dans la cellule D4 on somme les valeurs de la colonne C et dans la cellule E4 on met : =(2/3)-D4.

Pour n 5= , on retrouve eff ectivement les résultats de la question 2 de l’exercice 92.On obtient une erreur inférieure à 10 4- à partir de n 162= .

2 On conjecture que l’aire du carré est égale à x2 2+ .

3 y x1 2= - .4 AM x y1 2 2= + +^ h

AM x x1 12 2= + + -^ h

AM x2 2= + .5 Aire de AMCD AM x2 22= = + .C’est bien une fonction affi ne.6 On résout :

,x x2 22 2

4 0 21+ c+ = = - -r r .

Partie A – Fonction opposée1 Ml s’obtient à partir de M par une symétrie par rapport à l’axe des abscisses.2 La courbe de f- s’obtient à partir de celle de f par la symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

Partie B – Valeur absolue d’une fonction polynôme du second degré1 x 3- 1 3+

g x^ h- 1

2 Les racines du polynôme sont 0 et 2 donc :x x22 - est positif sur ; ;0 2,3 3- +6 6@ @ et négatif sur ;0 26 @.3 D’après la défi nition de la valeur absolue, on a bien x x x x2 22 2- = - si x appartient à

; ;0 2,3 3- +6 6@ @ et x x x x2 22 2- =- + si x appartient à ;0 26 @.

4

x

y

10

1

��f

��g

1 f x x2 6= -^ h .

2 g x x 1= - +^ h .

3 h x x21

=^ h .

4 k xx1

=^ h .

x

y

10

1

�f

x

y

10

1

�g

y

x10

1�h

y

x10

1

�k


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5 x x x2 1, = + -^ ^ ^h h h .

1 On a x1 0H , donc 2

x2 1 2+ .

2 Si x est positif, f xx

2 1= +^ h .

Si x est négatif, f xx

2 1= -^ h .

3 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b0 .

On a successivement : 2a b1 1 , puis 2 ,

a b2 1 2 1

+ +

donc 2f fa b^ ^h h c’est-à-dire que f est décroissante

sur ;0 3+ 6@ .On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 1a b 0.

On a successivement : 2a b1 1 , puis 1

a b1 1

- - , puis

1a b

2 1 2 1- - ; donc 1f fa b^ ^h h, c’est-à-dire que f

est croissante sur ; 03- 6@ .

4 x 3- 0 3+

f x^ h

5 On résout 2x

k xk

2 12

1 0++ = =-

et 1x

k xk

2 12

1 0+- = =-

.

;Sk k2

12

1=

- -' 1

1 Cet algorithme sert à écrire la valeur absolue d’un trinôme du second degré sans utiliser les barres de valeur absolue selon les valeurs de x. Il n’est valable que si 2a 0.

2 x 31 =- ; x 12 = ;

x x x x3 6 9 3 6 92 2+ - =- - + pour x compris entre x1 et x2 ;

x x x x3 6 9 3 6 92 2+ - = + - sinon.

3

1 Avec la calculatrice on conjecture que cette fonc-tion est croissante sur R.2 Si a est négatif, son cube l’est également, si b est positif, son cube l’est également ; on a donc 1a b3 3.3 a. Lorsqu’on développe le produit, on obtient bien a b3 3- .b. Si a et b sont de même signe, alors a2, ab et b2 sont positifs, donc leur somme est positive.4 Si a et b sont de mêmes signes, alors a b3 3- est du signe de a b- , donc si 1a b on a 1a b 0- ; on a donc

1a b 03 3- .Si a et b sont de signes contraires, alors 1a b3 3 d’après la question 2 .5 x 3- 3+

f x^ h

6

y

x10

1

y = x2

y = x3

x x x x 13 2 2- = -^ h avec x 02 H .Si x 1G , on a x x 03 2 G- , donc la courbe de la fonc-tion cube est en dessous de celle de la fonction carré.Si x 1H , on a x x 03 2 H- , donc la courbe de la fonc-tion cube est au-dessus de celle de la fonction carré.Il y a deux points communs à ces deux courbes, les points ;0 0^ h et ;1 1^ h.

1 C’est la symétrie d’axe la droite d’équation y x= .2 Le milieu I de MN6 @ a pour coordonnées

;I a b a b2 2+ +

c m dont l’ordonnée est égale à l’abs-

cisse, ce point appartient à la droite d’équation y x= .De plus OM a b2 2 2= + .

IO a b a b a b2 2 2

22 2 2

= + + + =+

c c^

m mh

.

IM a b b a a b2 2 2

22 2 2

= - + - =-

c c^

m mh

I IO M a ab b a ab b2

2 22 22 2 2 2

+ = + + + - +

a b a b OM2

2 22 22 2 2= + = + = ,

ce qui prouve que le triangle OIM est rectangle en I , donc la droite d’équation y x= coupe le segment MN6 @ en son milieu et perpendiculairement. M et N sont bien symétriques par rapport à cette droite.3 On considère le point ;M x x2

^ h avec x positif quel-conque, il appartient à la courbe de la fonction carré. On en déduit que le point ;N x x2

^ h appartient à la courbe de la fonction racine carrée. En eff et, dans ce cas, x x2 = .

y

x10

1

��


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D’après la question 2 , ces deux points sont symétriques par rapport à la droite d’équation y x= . Comme c’est vrai pour tout point de la courbe de la fonction carré, on peut dire que les deux courbes sont symétriques par rapport à cette droite.

1

, (m) 0 0,5 1 2 5 8 10 12 15T (s) 0 1,42 2 2,84 4,49 5,67 6,34 6,95 7,77

2 On conjecture que la fonction f est croissante.On considère deux réels quelconques a et b tels que

1a b0 G .On a successivement : 1

ga

gb , puis 1

ga

gb , puis

1ga

gb2 2r r ; donc 1f fa b^ ^h h et f est crois-

sante sur ;0 3+6 6.3 On résout :

, , ,2

9 815

9 81 25

9 81 425

2+ +, , ,= = =r

r r

, ,4

9 81 25 6 2122+ #, .=r

m.

4 ,

,T 29 8167 16 42.= r s.

1 ,

IZU

40 4 0 1 5004

2 2 2 2# #= =

+ r

, AI 0 013. .

2 On résout ,

,1600 4 0 01

4 0 052 2#+

=r r

.

On obtient ,,

n1600 0 040 05

42 2+ =r

, n1600 0 04 6 4002 2+ + =r

, n0 04 4 8002 2+ =r

,n

0 044 8002

2+ =r

, ,n

0 044 800

0 210 48

2+ = =r r

D’où Hzn 110. .

3 a. Lorsque n 0= , ,I404 0 1= = A.

b. L’intensité I est décroissante sur l’intervalle ; .0 5006 @ Elle décroît de 0,1 A pour n 0= à 0,13 A environ pour n 500= .c. On considère deux réels quelconques a et b tels que

1a b0 G .On a successivement :

1a b0 2 2G ;

1R R L a R L b4 42 2 2 2 2 2 2 2 2G + +r r ;

1R L a R L b4 42 2 2 2 2 2 2 2+ +r r ;

2R L a R L b4

141

2 2 2 2 2 2 2 2+ +r r ;

2R L a

UR L b

U4 42 2 2 2 2 2 2 2+ +r r

.

Ce qui prouve que I est une fonction décroissante de la fréquence n.


1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux.

1 a. f 2 6=^ h .

b. f 4 18- =^ h .

c. f32

922

=c m .

d. f 3 5=^ h .

e. f52

2552

- =c m .

2 f x x7 52+= =^ h

x 5+ != .3 et 4 a est positif, donc f est décroissante puis crois-

sante ; de plus a

b2

0- = .

x 3- 0 3+

f x^ h2

1 a. f 2 11- =-^ h . b. f 1 2=-^ h .

c. f31

32

=c m .

d. f 5 14- =-^ h .

e. f23

45

- =-c m .

2 f x x3342+=- =^ h

x3

2+ != .

3 et 4 a est négatif, donc f est croissante puis décrois-

sante ; de plus a

b2

0- = .

x 3- 0 3+

f x^ h

1

1 a. f 1 5=^ h .

b. f31 9=c m .

c. f 55

2 3- =- +^ h .

d. f21 1- =-c m .

2 , ,f xx

2 5 2 5 5+=- =-^ h

,x

5 52

114+ =- =- .

3 On prend 1 1a b0 et on obtient successivement

2a b1 1 , 2

a b2 2 et enfi n 2f fa b^ ^h h.


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4 x 0 3+

f x^ h

Les savoir-faire du chapitre

1 a. On prend 1 1a b1 et on obtient successive-ment :1 1a b0 1 1- - ,

2a b1

11

1- -

,

2 ,a b1

41

4- -

2a b1

4 21

4 2-

--

- ,

c’est-à-dire 2g a g b^ ^h h, donc g est décroissante sur ;1 3+ 6@ .

b. Si ;x 1 3! @ @, g x g 3 0H =^ ^h h .c. Si 1x 1, g x^ h est négatif.2 Il faut que x 1! et g x 0H^ h .Si x 3H , alors g x g 3 0G =^ ^h h .3 On prend 1 1a b1 3G et on obtient g a g b 0H H^ ^h h , puis 2f fa b^ ^h h.

Donc f est décroissante sur l’intervalle ;1 3@ @.

1 • Si x 3G - , f x x x3 2=- - - -^ ^h h

f x 5=-^ h .• Si x3 2G G- , f x x x3 2= + - -^ ^h h

f x x2 1= +^ h .• Si x 2H , f x x x3 2= + + -^ h

f x 5=^ h .2 Sur les intervalles ; 33- -@ @ et ;2 3+6 6, f est constante ; sur l’intervalle ;3 2-6 @, f est une fonction affi ne croissante.3 f est négative sur ; 33- -@ @ et positive sur ;2 3+6 6 ;

de plus, x x2 1 021+G G+ - .

Finalement, ;S213= - -E E.

a. La distance séparant x et 2 est égale à 3 :

–1 0 1 2 3 4 5 6 7 x

Donc ;S 1 3= -" ,.b. x est équidistant de 5- et 3 :

–1–2–3–4–5 0 1 2 3 x

Donc S 1= -" ,.c. x est plus proche de 5 que de 1- :

–1 0 1 2 3 4 5 6 7 x

Donc ;S 2 3= +6 6.

g x x 1= -^ h et h x x 1= -^ h .On conjecture que g est décroissante sur ; 13-@ @ et croissante sur ;1 3+6 6.Démonstration : si x 1G , g x x 1=- +^ h est une fonction affi ne décrois-sante, et si x 1H , g x x 1= -^ h est une fonction affi ne croissante.On conjecture que h est décroissante sur ; 03-@ @ et croissante sur ;0 3+6 6.Démonstration : si x 0G , h x x 1=- -^ h est une fonction affi ne décrois-sante, et si x 0H , g x x 1= -^ h est une fonction affi ne croissante.

1 Pour g, il faut que f x 0H^ h ; le discriminant étant négatif, RDg = .Pour h, il faut que x 0H , donc D ;0h 3= +6 6.2 Si 1a b0 G , 1a b donc 1a b2 2 ; on obtient donc 1a a b b2 3 2 3+ + + + .3 On conjecture que g est décroissante sur ; 13- -@ @ et croissante sur ;1 3- +6 6.Démonstration : comme la fonction racine carrée est croissante sur

;0 3+6 6, g a les mêmes variations que f ; f est décrois-

sante puis croissante (a est positif ) et a

b2

1- =- .


1 ,,

,v 15 3 6

0 02911 63 15 273

#=+

^^

hh

km hv 15 1224 1$. -^ h .

2 La fonction sous le radical est une fonction affi ne croissante de la variable T. Comme la fonction racine carrée est croissante sur ;0 3+6 6, elle ne change pas l’ordre ; la multiplication par le réel positif 3,6 non plus, donc la vitesse du son est une fonction croissante de la température.3 On utilise la formule d v t#= ; donc la foudre est

tombée à v 303 600

8#^ h km de Medhi, soit environ

2,8 km.

Approfondissement

1 Avec le théorème de Pythagore, AM x 42= +

et MB x x x6 1 12 372 2= - + = - +^ h .

2 On utilise la formule tvd

= ;

d’où : f x AM MB5 3= +^ h

.f x x x x5

43

12 372 2=

++

- +^ h

3 On obtient, au mètre près, ,x 5 321= .

C H A P I T R E

Dérivation

Livre du professeur - CHAPITRE 3 Dérivation 1

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Contenus Capacités attendues CommentairesNombre dérivé d’une fonction en un point.

Tangente à la courbe représentative d’une fonction dérivable en un point.

Fonction dérivée.

◗ Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé.

◗ Calculer la dérivée de fonctions.

Le nombre dérivé est défi ni comme limite du

taux d’accroissement h

a h af f+ -_ _i i,

quand h tend vers 0.On ne donne pas de défi nition formelle de sa limite.L’utilisation des outils logiciels facilite l’in-troduction du nombre dérivé.

On évite tout excès de technicité dans les calculs de dérivation. Si nécessaire, dans le cadre de la résolution de problèmes, le calcul de la dérivée d’une fonction est faci-lité par l’utilisation d’un logiciel de calcul formel.Il est intéressant de présenter le principe de démonstration de la dérivation d’un produit.

Dérivée des fonctions usuelles : x 7 x ,

x 7 x1 et x 7 xll (n entier naturel non

nul).

Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient.

2. Intentions des auteursUne notion nouvelle et importante est abordée dans ce chapitre, celle de nombre dérivé et de fonction dérivée. La notion de tangente donne rapidement un sens concret au nombre dérivé. Les fonctions dérivées et le formulaire usuel sont étudiés ici, mais le lien avec les variations sera vu dans le chapitre 4. Le taux d’accrois-sement de f en a est introduit comme une fonction de la variable h. Cette fonction, que l’on devrait noter

ax , a volontairement été notée x pour ne pas perturber les élèves avec des notations trop compliquées. Les fonctions de référence étudiées en Seconde et dans le chapitre 2 fournissent les exemples et contre-exemples nécessaires.

Du point de vue mathématique :– on introduit, intuitivement, la notion de limite en zéro ;– on défi nit le taux d’accroissement de f en a, puis le nombre dérivé de f en a ;– on défi nit la tangente de f en ; fA a a^^ hh lorsque f est dérivable en a et on établit son équation ;– on établit les formules de dérivation au programme.

Les exercices ont pour but de faire assimiler aux élèves la défi nition sans oublier d’étudier des cas de non déri-vabilité, de s’approprier la notion de tangente et d’assi-miler le formulaire. L’utilisation de la calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel permet de vérifi er les résultats.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 3 Dérivation

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Objectifs◗ Réactiver les connaissances du cours de Seconde concer-nant les équations de droites et la notion de coeffi cient directeur.◗ Prendre contact avec le type de calculs littéraux qui sera utilisé.

A 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Vrai. 6 Vrai.

B 1 c. 2 b. 3 d. 4 a.

C 1 a., c. et d. 2 b. et c. 3 b., c. et d.

ActivitéActivité 1 Taux d’accroissement d’une fonctionObjectif

Se familiariser avec l’expression f f

ha h a+ -^ ^h h

.

1 hx^ h est le coeffi cient directeur de la droite AM^ h.

2 a. RD =x \ 0" , ; hhh h

2= =x^ h .

b. RD =x \ 0" , ;

hhh

hh h h

2 4 4 42 2

=- + -

= - = -x^^

hh

.

3 a. RD =x \ ;1 0-" , ;

hhh

h hh

h1

1 1

11 1

11

= +-

=+

- +=

+-x^

^

^h

h

h.

b. D ;0 3= +x 6@ ; hhh

h1

= =x^ h .

ActivitéActivité 2 Approche de la « limite en zéro »ObjectifAborder intuitivement la notion de limite en zéro.

1 Dans le cas 2 b., lim h 4h 0

=-x"

^ h .

Dans le cas 3 a., lim h 1h 0

=-x"

^ h .

2 a. h 1 0,25 0,01 10 4- 10 50-

hx^ h 1 2 10 100 1025

b. Il semble que lim hh 0

3=+x"

^ h .

ActivitéActivité 3 Tangente à un demi-cercleObjectifFaire le lien entre les notions de taux d’accroissement et de tangente par le biais de la seule situation connue par les élèves : la notion de tangente à un cercle.

1 OA 1 2 52 2= + = , donc A ! �.

2 Un point ;M x y^ h distinct de A appartient à la tangente au cercle en A si, et seulement si, OAM est un

triangle rectangle en A, ce qui, d’après le théorème de Pythagore se traduit par :OA AM OM x y x y5 1 22 2 2 2 2 2 2++ = + - + - = +^ ^h h

x y2 4 10 0+ - - + =

y x21

25+ =- + .

Le coeffi cient directeur de cette tangente est 21

- .

3 a. Un point ;M x y^ h appartient à � si, et seulement si, y 0H et OM 5= , ce qui équivaut à y 0H et OM 52 = .OM x y y x5 5 52 2 2 2+ += + = = - .

b. hh

hh

h h5 1 2 4 2 22 2

=- + -

= - - -x^^

hh

.hh h h

h hh h

h4 2 2

4 2 44 2 2

22

2

2=- - +

- - - =- - +

- -x^ _h ic. La limite de hx^ h quand h tend vers 0 est .

42

21

- =- C’est le coeffi cient directeur de la tangente.

ActivitéActivité 4 À toute vitesse !ObjectifDécouvrir le calcul d’une vitesse instantanée.

1 • Entre 0 et 1 s : , m sd

11

4 9 1$. -^ h ;

• entre 1 et 2 s : , m sd d

2 12 1

14 7 1$.-

- -^ ^h h ;

• entre 0,5 et 1 s : ,

,, m s

d d1 0 5

1 0 57 35 1$.

-

- -^ ^h h ;

• entre 1 et 1,5 s : ,

,, m s

d d1 5 1

1 5 112 25 1$

-

-= -^ ^h h

;

• entre 0,9 et 1 s : ,

,, m s

d d1 0 9

1 0 99 31 1$.

-

- -^ ^h h ;

• entre 1 et 1,1 s : ,

,, m s

d d1 1 1

1 1 110 29 1$.

-

- -^ ^h h.

2 , g , g

hh

d h dhh

1 11 1 0 5 1 0 52

=+ -

+ -=

+ -x^

^ ^ ^h

h h h

, g, g , ,h

hh h

h h0 5 2

0 5 2 9 8 4 9.=+

= + +x^^

^hh

h .

3 ,lim h 9 8h 0

=x"

^ h , donc à l’instant 1, l’objet a une vitesse

de , m s9 8 1$ - , ou encore de :, , km h .

10009 8 3 600 35 28 1# $= -

4 , ghh

d h dh

2 20 5 4=

+ -= +x^

^ ^^h

h hh

, ,h h19 6 4 9. +x^ h .,lim h 19 6

h 0=x

"^ h , donc à l’instant 2, l’objet a une vitesse

de , m s19 6 1$ - , ou encore de , km h70 56 1$ - .

ActivitéActivité 5 Tangente à une paraboleObjectifEnvisager la tangente à la parabole au point A comme étant la seule droite non parallèle à l’axe des ordonnées ayant un unique point commun (A donc) avec la parabole, puis faire le lien avec la droite passant par A de coeffi cient directeur la limite de hx^ h quand h tend vers zéro.


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1 a. M se rapproche de A.b. Le coeffi cient directeur de AM^ h semble se rappro-cher de la valeur 4.

c. x xy y

hh

hh h h

2 22 4 4 4

M A

M A2 2

-

-=

+ -

+ -= + = +

^ h;

quand h se rapproche de zéro, h4 + se rapproche de 4.d. Équation réduite de la droite � : y x4 4= - .

2 a. Les coordonnées de A doivent vérifi er l’équation, donc m p4 2= + , ou encore p m4 2= - .b. Les points communs à � et � sont tels que leurs coor-données ;x y^ h vérifi ent y x2= et y mx p= + . Donc x est solution de l’équation x mx p2 = + , ou encore x mx m4 2 02 - - + = .c. Cette équation du second degré admet une unique solution si, et seulement si, son discriminant est nul.

m m0 4 2 4 02+= - - - =D ^ ^h h

m m m m8 16 0 4 0 42 2+ + +- + = - = =^ h .d. m 4= et p m4 2 4= - =- ; donc � : y m4 4= - .

3 � = �.


Calculer un nombre dérivé et l’interpréter géométriquement

g 0 0=l^ h ; g 1 3=-l^ h ; g 2 0=l^ h et g 3 9=l^ h .

a. f fhh

hh1 1 3 2 2 3

+ -= - + =

^ ^h h.

La fonction f est dérivable en 1 et f 1 3=l^ h .

b. f f

hh

hh h h1 1 1 2 12+ -

= + + - -^ ^h h

h1= + .Quand h tend vers 0, h1 + se rapproche de 1. La fonc-tion f est dérivable en 1 et f 1 1=l^ h .

a. y x3 5= - . b. y x 1= - .

Utiliser le formulaire de dérivation des fonctions usuelles

1 f l : x 7 3.2 f l : x 7 x2 2+ .3 f l : x 7 x10 8- .4 f l : x 7 x x3 22 - .5 f l : x 7 x x16 10 14 3- + .

Les fonctions proposées sont dérivables sur l’inter-valle indiqué comme sommes et/ou produits par un réel de fonctions dérivables sur cet intervalle.1 f l : x 7 x

32- . 2 f l : x 7 x

22 .

3 f l : x 7 xx1 4+ . 4 f l : x 7 x

x2 2

2- .

g x xx

2 1 12= - -l^ h .

g 1 2 1 1 0= - - =l^ h et g 1 1 1 1 1= - + =^ h ,donc la tangente au point d’abscisse 1 a pour équation y x0 1 1 1= - + =^ h .

,g 2 4 141 2 75= - - =l^ h

et ,g 2 4 221 2 5= - + =^ h ,

donc la tangente au point d’abscisse 2 a pour équation :, , ,y x x2 75 2 2 5 2 75 3= - + = -^ h .

Utiliser les formules de dérivation du produit et du quotient

1 a. f x x x x3 5 3 53 2= - + -^ h , donc f x x x9 10 32= - +l^ h .b. f x x x x x x3 1 2 3 5 9 10 32 2= + + - = - +l^ ^ ^h h h .

2 a. f x x x x x x2 2 26 4 3 2= + - + - +^ h , donc f x x x x x6 8 3 2 25 3 2= + - + -l^ h .b. f x x x x x x2 1 2 4 14 2 3= - + + + -l^ ^ ^ ^h h h h

f x x x x x6 8 3 2 25 3 2= + - + -l^ h .

3 a. f x x x25 30 92= - +^ h , donc f x x50 30= -l^ h .b. f x x x x5 5 3 5 5 3 50 30= - + - = -l^ ^ ^h h h .

Les fonctions proposées sont dérivables sur l’inter-valle indiqué comme inverses ou quotients de fonctions dérivables sur cet intervalle, les dénominateurs ne s’an-nulant pas sur I.

a. f l : x 7x

x4

22 2+

-

^ h. b. f l : x 7

xx

1164 2

3

+^ h.

c. f l : x 7 xx x x

xx x

12 1 2 2 1

12 2 2

2 2

2

2 2

2

-

- - -=

-

- + -

^

^ ^

^h

h h

h.

d. f l : x 7 x xx x x x x x

12 1 1 2 1 1

2 2

2 2

+ +

- + + - + - +

^

^ ^ ^ ^

h

h h h h

x xx

12 2

2 2

2=

+ +

-

^ h.

Tangente commune à une parabole et une hyperboleÉtape 2tape 2

�a : f fy a x a a a x a a2 2= - + = - +l^ ^ ^ ^h h h h

ax a2 2= - .

On veut que �a passe par ;B bb1

c m, donc ,b

ab a1 2 2= -

et que son coeffi cient directeur a2 coïncide avec ,g bl^ h

d’où ab

2 12=- .

En remplaçant a par b21

2- on obtient :

bab a

b b b1 2 1 1

412

4+= - =- -

b bb b b2

41 8

81

44 3+ + +=- =- =- ,

car b 0! , ce qui équivaut à b81 03 + = .


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lic 1

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Pour vérifi er l’égalité il suffi t de développer le membre de droite.Ensuite, x

813 =-

x x x21

21

41 02+ + - + =c cm m

x21 0+ + = ou x x

21

412 - +

x21+ =- ( 1 0D pour l’équation du second degré).

On a donc b21

=- .

Il s’en suit a 2=- .Il existe donc une unique droite tangente simultané-ment aux courbes des fonctions carré et inverse. Elle a pour équation y x4 4=- - .

Pour qu’une droite � soit tangente à une parabole1 On conjecture que k 2= et ,A 1 3^ h.2 a. Le coeffi cient directeur de � est 2 ; il doit être égal au nombre dérivé de f en a, soit 2a ; donc a 1= .b. A ! �, donc y 2 1 1 3A #= + = .Donc ;A 1 3^ h.c. A ! � f k1 3 2+ += =^ h .

Dérivée et valeur absolue1

2 Il semble que f n’est pas dérivable en - 1 et en 1.

3 a. f f

hhh

hh1 1 1 12

=+ -

=+ -

x^^ ^ ^

hh h h

hh

h hh

h hh

h h2 2 22 #=

+=

+=

+x^

^h

h.

b. Si 2h 0, h et h 2+ sont positifs, donc :

hh

h hh

22=

+= +x^

^h

h.

Si 1 1h1 0- , h est négatif et h 2+ est positif, donc :

hh

h hh

22=

- +=- -x^

^h

h.

c. lim limh h 2 2

2 2

hh

hh

00

00

= + =x" "

^ h .

d. lim limh h 2 2

1 1

hh

hh

00

00

= - - =-x" "

^ h .

4 Sur ; 13- -@ @ et sur ;1 3+6 6, x 1 02 H- , donc f x x 12= -^ h .

Sur ;1 1-6 @, x 1 02 G- , donc f x x 12=- +^ h .5 Les fonctions g et d sont dérivables comme sommes de fonctions dérivables sur R.g x x2=-l^ h , donc g 1 2=-l^ h .d x x2=l^ h , donc d 1 2=l^ h .g d1 1!l l^ ^h h, donc f n’est pas dérivable en 1.

1 a. 2 c. 3 c. 4 b.

1 a. et c. 2 a. et b. 3 a., b. et c.

1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux.


1 Nombre dérivé

1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux.

1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux.


1 h 2=x^ h ; f 6 2=l^ h .2 h 2=-x^ h ; f 2 2- =-l^ h .3 h 1=x^ h ; f a 1=l^ h .

1 h h 2= +x^ h ; f 1 2=l^ h .2 h h9 2= -x^ h ; f 2 9- =l^ h .3 h h 1= -x^ h ; f 0 1=-l^ h .

1 g n’est pas défi nie en 1- .

2 hh

g h gh

h1 1 21

21

=+ -

= +-

x^^ ^

hh h

hh h

hh h

hh2 2

2 22 2 2 2

1=

+

- +=

+- =

+-x^

^

^

^ ^h

h

h

h h.

3 limh2 2

141

h 0 +- =-

" ^ h, donc g est dérivable en 1 et

g 141

=-l^ h .

f f

hhh

h1 1

11f=

+ -= =

-x^

^ ^h

h h.

limh 1

1 1h 0 -

=-"

,

donc f est dérivable en 1 et f 1 1=-l^ h .

1 f f

hh

hh

h2 2 2 83

=- + - -

=- + - -

x^^ ^ ^ ^

hh h h h

hh

h h h h h6 12 6 123 2

2= - + = - +x^ h .

2 lim h h6 12 12h 0

2 - + ="

, donc f est dérivable en - 2

et f 2 12=l^ h .


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Déc

lic 1

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1 g n’est pas défi nie en 0, donc elle n’est pas déri-vable en 0.

2 a. et b. hh

g h gh

h2 2 1 1=

+ -=

+ -x^^ ^

hh h

hx^ h h h

h h

h hh

1 1

1 1 1 1

1 11 1

=+ +

+ - + +=

+ +

+ -

^^ ^

^hh h

hh

h1 11

=+ +

x^ h .

c. limh1 1

121

h 0 + +=

", donc g est dérivable en 2 et

g 221

=l^ h .

3 hh

g h gh

1 1 1f=+ -

= =x^^ ^

hh h

tend vers

3+ quand h tend vers 0, donc g n’est pas dérivable en 1.

La calculatrice permet de vérifi er les résultats précé-dents.

1 hh

x h xh

0 04=

+ -= -x^

^ ^h

h h ;

lim h 4 4h 0

- =-"

, donc la vitesse à l’instant initial est de

m s4 1$- - .2 a. x t t t t0 4 0 0+ += - = =^ ^h h ou t 4= , donc il repasse en O après 4 s.

b. hh

x h xh

4 44=

+ -= +x^

^ ^h

h h ; lim h 4 4

h 0+ =

",

donc la vitesse à l’instant 4 est de m s4 1$ - .

2 Tangente à une courbe en un point



1 b. 2 c. 3 b.

Les courbes 1 et 5.

1 a 1= ; f a 3=-^ h ; f a 3=-l^ h ; � : y x3=- .2 a 1=- ; f a 0=^ h ; f a 1=l^ h ; � : y x 1= + .3 a 2=- ; f a 2=^ h ; f a 0=l^ h ; � : y 2= .

a. f a 4=-^ h ; f a 2=l^ h .b. f a 10=-^ h ; f a 2=l^ h .c. f a 13=-^ h ; f a 5=-l^ h .d. f a 9=^ h ; f a 0=l^ h .

3 Fonction dérivée : premières propriétés

1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux. 5 Vrai.

1 b. et c. 2 a. et c. 3 a. et c. 4 b. et c.


1 f l : x 7 13.2 f l : x 7 x2 8- .3 f l : x 7 x3 6- + .4 f l : x 7 x x12 10 112 - - .5 f l : x 7 x x x x2 6 2 9 74 3 2- + + - .

Les fonctions proposées sont dérivables sur l’inter-valle indiqué comme sommes et/ou produits par un réel de fonctions dérivables sur cet intervalle.

1 f xx2

2=l^ h . 2 f x xx

9 222= -l^ h .

3 f xx x

1 12= +l^ h . 4 f x

x3 2

2= -l^ h .

On propose une fonction u. Pour v, il suffi t d’ajouter n’importe quelle constante à u.a. u x x2=^ h . b. u x x2=^ h .

c. u x x x53= +^ h . d. u x x x21 2= -^ h .

1 Le pas de graduation est 0,5 en abscisse comme en ordonnée.2 f x x2 1= -l^ h .3 f fy x1 1 1= - +l^ ^ ^h h h

y x1 1 0+ = - +^ h

y x 1+ = - .4 T0 : y x=- ; T 1- : y x3 1=- - .5 On vérifi e en utilisant la touche indiquée dans l’énoncé.

1 f x x b2= +l^ h .2 a. f 0 1=-l^ h et f 0 3=^ h donnent b 1=- et c 3= .b. f 3 2- =l^ h et f 3 10- =-^ h donnent b 8= et c 5= .

1 f xx

bxc

2 2= -l^ h .

2 a. f 1 2=-l^ h et f 1 7=^ h donnent b 2= et c 3= .b. f 4 0=l^ h et f 4 3=^ h donnent b 1= et c 4= .

f x ax b2= +l^ h ; f 1 0=l^ h et f 1 2=^ h donnent a 2=- et b 4= .

1 La hauteur de la falaise est a 0^ h, c’est-à-dire 160 m.2 L’objet tombe dans la mer quand son altitude est

nulle, donc ,

t4 9160

12

= . Comme t 01 H , t7

401 = s.

3 ,d t a t t160 4 9 2= - =^ ^h h .4 ,d t t9 8=l^ h .

5 ,v d t m s9 87

40 561 11# $= = = -l^ h

, km h , km hv 56 3 6 201 611 1# $ $= =- - .

1 a. hh

m a h p ma pm=

+ + - +=x^

^ ^h

h h ;

donc, pour tout réel a, f a m=l^ h .b. On applique le résultat précédent avec m 0= .


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Déc

lic 1

re S

2 .hh

a h aha a h

a a ha a h

1 11

= +-

=+

- +=

+-x^

^

^

^h

h

h

h

lim ha1

h 0 2=-x"

^ h ; donc, pour tout réel a non nul :

f aa12=-l^ h .

1

hh

ku a h ku ak

hu a h u a

#=+ -

=+ -

x^^ ^ ^ ^

hh h h h

.

2 limh

u a h u au a

h 0

+ -=

"

l^ ^

^h h

h, car u est dérivable en

a, donc lim h k u ah 0

#=x"

l^ ^h h, d’où le résultat.

4 Dérivée d’un produit, d’un quotient


1 Faux. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai.

1 a. et c. 2 b. 3 b. et c.

à 1 La fonction proposée est dérivable sur l’intervalle indiqué comme produit, inverse ou quotient de fonc-tions dérivables sur cet intervalle, les éventuels dénomi-nateurs ne s’annulant pas sur I.

2 f x x xx

xx

x22

12

5 12 2= + - = -l^ h .

3 f fy x y x1 1 1 2 2+= - + = -l^ ^ ^h h h .

2 f xx

xx x

2 21

1=-

-

=l^ h .

3 f fy x y x2 2 22 2

12

3+= - + = -l^ ^ ^h h h .

2 f xx x

x2

5 2 12 2=

+ -

- +l^

^

^h

h

h.

3 f fy x y x0 0 045

25+= - + =- -l^ ^ ^h h h .

2 f xx

x x4 3

2 4 3 3 2 12=

-

- + -l^

^

^ ^h

h

h h

f xx4 3

52=

-l^

^h

h.

3 f fy x y x1 1 1 5 4+= - + = -l^ ^ ^h h h .

2 f xx

x x x2

2 2 12

2

=-

- + +l^

^

^ ^h

h

h h

f xx

x x2

4 12

2=

-

- + +l^^

hh

.

3 f fy x y x1 1 1 4 2+= - + = -l^ ^ ^h h h .

2 f xx x

x x3 2

2 34 72 2

2=

- + +

- + -l^^

hh

.

3 f fy x y x1 1 14

434

57+= - + + - =- -l^ ^ ^h h h .

a. f x x6 5= -l^ h .

b. f x xx x

x3 1 3 122 2

4= - = -l^ h .

c. f xx

x xx3

1 3 1 13

42 2=

-

- - +=

-

-l^^

^ ^

^h

h

h h

h.

Le logiciel utilise la formule du produit en considérant

f x^ h sous la forme xx

13

1#+

-^ h .

a. f xx

22= -l^ h .

b. f x x x31 3 2 2#= =l^ h .

c. f xx2 1

22=

+

-l^^

hh

.

f xx2

1=l^ h et, avec le logiciel,

x

xxx

x21 1

2 21

# # = =c cm m .

1 f est le quotient de deux fonctions dérivables sur I et x2 1+ ne s’annule pas sur I.

2 f xx

x x x x2 1

2 1 2 1 22

2

=+

- + - -l^

^

^ ^ ^h

h

h h h

f xx

x x2 1

2 2 12

2=

+

+ -l^^

hh

.

3 f fy x1 1 1= - +l^ ^ ^h h h

y x31 1 0+ = - +^ h

y x31

31+ = - .

4 f fy x2 2 2= - +l^ ^ ^h h h

y x2511 2

52+ = - +^ h

y x2511

2512+ = - .

5 Travail à faire sur la calculatrice.

1 Avec n 1=- , xx1n =

et nx xx

1 1n 1 22#=- = -- - .

2 a. Inverse d’une fonction dérivable qui ne s’annule pas sur les intervalles donnés.b. f x

xx

x2 24 3= - = -l^ h .

c. Avec n 2=- , xx1n2=

et nx xx

2 2n 1 33#=- = -- - .

3 a. Même réponse que pour 2 a.

b. f xxnx

xn

n

n

n2

1

1= - = --

+l^ h .

c. En remplaçant n par n- , nxn 1- devient :

nxx

nnn

11- = -- -

+.


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Déc

lic 1

re S

1 a. Non. b. Non.

2 hh

h h h= =x^ h ;

lim h 0h 0

="

, donc f est dérivable en 0 et f 0 0=l^ h .

fg x x x= +^ ^h h ; si g était dérivable en 0, g f- le serait aussi, or la fonction racine carrée n’est pas déri-vable en 0.

Problèmes

1 On conjecture qu’il y a une valeur de a (environ 0,33) et que le point de tangence a pour coordonnées (3 ; 3).2 � est tangente à � en A si, et seulement si,

ff

x x

x

2 3

20 0

0

= -

=l

^

^

h

h* , ce qui correspond au système

proposé, car f x ax20 0=l^ h .3 En remplaçant ax0 par 1 dans la première équation,

on obtient x x2 30 0= - ; d’où x 30 = et a31

= .

Ainsi, � est tangente à � au point ;A 3 3^ h lorsque a

31

= .

1 a. On remarque que le cercle passe par C.b. On remarque la même chose.c. A semble être le milieu de BC6 @.

2 a. ;A aa1

c m.

b. f fy a x a a= - +l^ ^ ^h h h

ya

x aa

1 12+ =- - +^ h

ya

xa

1 22+ =- + .

c. ;Ba

0 2c m et ;C a2 0^ h.

d. a a2

0 2+ = et aa2

2 0 1+= , donc A est le milieu

de BC6 @.

a. f x x2 3= +l^ h ;

f x 2=ll^ h .

b. f xx 2

22=

-

-l^^

hh

;

f xx 2

43=

-ll^

^h

h.

c. f xx2

1=l^ h ;

f xx

xx x4

22

1

41

#

=

-

= -ll^ h .

d. f xx12=-l^ h ;

f xx2

3=ll^ h .

1 f x a=l^ h ; f x 0=ll^ h .

2 f x ax b2= +l^ h ; f x a2=ll^ h .

1 f x x6 5= -l^ h ; f x 6=ll^ h .

2 f f f fx x x x x0 02

02 5 32 2+ + = - + =l

ll^ ^

^^h h

hh.

3 f x ax b2= +l^ h ; f x a2=ll^ h ;

f f f fx x c bx ax x0 02

0 2 2+ + = + + =lll

^ ^^

^h hh

h.

1 On multiplie par h l’égalité de l’énoncé.2 f a^ h correspond à l’ordonnée de A. La tangente à � en A a pour équation f fy a x a a= - +l^ ^ ^h h h, donc le point d’abscisse a h+ de cette tangente a pour ordonnée f fh a a+l^ ^h h ; d’où la quantité en bleu. L’or-donnée du point de � d’abscisse a h+ a pour ordonnée f a h+^ h, d’où, avec l’égalité de la question 1 , la quan-

tité en vert.3 h 7 f fa a h+ l^ ^h h est une fonction affi ne de la variable h.

4 a. h h h1 12 1

12

. .+ + + .

b. Avec ,h 0 02= , , , ,1 02 12

0 02 1 01. .+ ; avec ,h 0 004=- ,

, , ,0 996 12

0 004 0 998. .- .

5 a. h

h2

121

4.

+- .

b. Avec ,h 0 004= , ,

, ,2 004

121

40 004 0 499. .- ;

avec ,h 0 008=- , ,

, ,1 992

121

40 008 0 502. .+ .

Si on note a l’abscisse de A, la tangente à � en A a pour coeffi cient directeur le nombre dérivé de la fonc-tion carré en a, c’est-à-dire a2 .La droite y x= ayant pour coeffi cient directeur 1, résoudre le problème revient à résoudre l’équation

a2 1= . Le problème a donc une solution, le point

;A21

41

c m.

1 Comme h est petit par rapport à q, les écono-

mistes considèrent que h

C q h C q+ -^ ^h h est proche

de sa limite quand h tend vers zéro, c’est-à-dire C ql^ h.

2 a. C q qq

10 250M

2= + +^ h .

C q q3 102= +l^ h .

b. CC q q qq

q10 250 3 10M2 2+= + + = +l^ ^h h

qq250 2 2+ =

q q125 53+ += = .


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Déc

lic 1

re S

1 a. ,P P1 051 0= et ,D D0 91 0= ,

donc ,

,E0 05

0 1 2=-

=- .

b. ,P P1 081 0= et ,D D1 21 0= , donc ,, ,E

0 080 2 2 5= = .

2 La demande diminue de 3 %.

3 a. f

f f

E

PP P

DD D

PP h P

PP h P

0

1 0

0

1 0

=-

-

=+ -

+ -

^

^ ^

h

h h

ff f

EP

P h PhP

#=+ -

^

^ ^

h

h h

f ff

Eh

P h PP

P#=

+ -^ ^

^

h h

h.

b. Comme h est petit par rapport à P, les économistes

considèrent que f f

hP h P+ -^ ^h h

est proche de sa

limite quand h tend vers zéro, c’est-à-dire f Pl^ h.


a. 41 . b. 4- . c. 0.

�1 : y x2 1= - . �2 : y x32 4=- + .

�3 : y x34

=- . �4 : y 2= .


a. f x 3=l^ h . b. f x x6 2= -l^ h .

c. f xx3

2=-l^ h . d. f xx2

3=l^ h .

1 f x x6 2= -l^ h ;

g xx 2

32=

+l^

^h

h ;

h xx2

3 1= -l^ h .

2 f 2 10=l^ h , g 1 3- =l^ h et h 441

=-l^ h .

1 f 0 1=^ h ; f 2 3- =^ h et f 4 3=^ h .2 ,f 0 1 5=-l^ h ; f 2 0- =l^ h et ,f 4 4 5=l^ h .

f x x2 2= -l^ h ;T 1- : y x4 4=- + ;T3 : y x4 4= - .

1 f 0 1=^ h ; f 0 5=-l^ h et f 1 1=l^ h .2 f x ax b2= +l^ h ; d’où :

fff

cb

a b

0 1

0 5

1 1

15

2 1+

=

=-

=

=

=-

+ =

l

l

^

^

^

h

h

h

Z

[

\

]]

]]* .

Ainsi, a 3= , b 5=- , c 1= .


1 x x x

x1 121

22

A A A

A= + =+

l ;

donc : xx

x2

2A

A

A=+

l .

2 a. x x

xx

x22

42

2 2 42

2-

+=

+

+ -=

+

^ h.

b. Sur chacun des intervalles, g est dérivable et 2g x

x 24 02=

+l^

^h

h.

3 Avec 1x 2- on obtient successivement : 1 ,x 2 0+

2x 2

4 0-+

et 2x

22

4 2-+

; donc Al est à droite

de F l.4 Si 2x 0, x2 et x 2+ sont positifs, donc 2g x 0^ h . De

plus, 1x 2

4 0-+

, donc en ajoutant 2, 1g x 2^ h . Donc

Al est entre O et F l.5 Lorsque A est entre F et O, 1 1x2 0- ; comme

2x 2 0+ , 1g x 2^ h (comme dans 4 ) et comme 1 ,x 0 1g x 0^ h (variations de g). Finalement Al est à gauche

de O.

Approfondissement

1 x 12 + ne s’annule pas sur R.

2 f xx

x1

12 2

2=

+

-l^^

hh

; T0 : y x= .

3 f f3 3100

8- = =-l l^ ^h h .

4 Pour tout réel x, f fx x- =l l^ ^h h, car x x2 2- =^ h .

1 Ta : y a x a a3 2 3= - +^ h

Ta+ : y a x a3 22 3= - .

2 a a3 32 2= -^ h .

3 y aA3= permet de placer l’ordonnée à l’origine a2 3-

sur l’axe des ordonnées au compas.

C H A P I T R E

Étude des variations d’une fonction

Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction 1

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Contenus Capacités attendues CommentairesSens de variation des fonctions u k+ , um ,

u et u1 , la fonction u étant connue, k étant

une fonction constante et m un réel.

◗ Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples.

On nourrit la diversité des raisonnements travaillés dans les classes précédentes en montrant à l’aide de contre-exemples qu’on ne peut pas énoncer de règle générale donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions.L’étude générale de la composée de deux fonctions est hors programme.

Lien entre signe de la dérivée et sens de variation.Extremum d’une fonction.

◗ Exploiter le sens de variation pour l’obten-tion d’inégalités.

Il n’est pas toujours utile de recourir à la dérivation pour étudier le sens de variation d’une fonction.On traite quelques problèmes d’optimisa-tion.


2. Intentions des auteursDans ce chapitre, on fait le point sur l’étude des varia-tions d’une fonction et son utilisation dans le cadre de la résolution de problèmes.On travaille tout d’abord sur la défi nition de fonction croissante et de fonction décroissante sur un intervalle, et on l’applique à l’étude d’une somme de fonctions, d’un produit d’une fonction par une constante, d’une racine carrée d’une fonction ou de l’inverse d’une fonc-tion. Une étude rapide des variations d’une fonction dans des cas simples est alors possible. Un travail a été particulièrement mené sur les hypothèses des théo-rèmes utilisés, et la non-généralisation des théorèmes donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions.Puis on met en place un nouvel outil dans le cas de fonc-tions dérivables sur un intervalle : le lien entre le signe de la fonction dérivée et le sens de variation d’une fonc-tion. C’est l’occasion de réinvestir les formules de déri-vation vues au chapitre 3 et le travail sur les tableaux de signes amorcé en classe de Seconde .

Dans le cadre de la résolution de problèmes, l’étude des variations d’une fonction permet à l’élève de comparer deux images, d’obtenir des encadrements, d’optimiser des grandeurs, etc. Conformément au programme, les situations proposées répondent à des problématiques clairement identifi ées d’origine purement mathéma-tique ou en lien avec d’autres disciplines.

Dans tout le chapitre, l’utilisation de logiciels (calcula-trices, traceurs de courbes, logiciels de géométrie dyna-mique) donne du sens aux notions de variations d’une fonction et d’extrema (local ou global). L’utilisation d’un logiciel de calcul formel peut permettre, en fonction des élèves, de surpasser les diffi cultés du calcul algébrique.

De nombreux QCM et Vrai-Faux permettent de manier la notion de contre-exemple.

Des démonstrations de théorèmes non données en cours se retrouvent aux exercices 30, 31, 38 et 39.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 4 Étude des variations d’une fonction

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ObjectifIl s’agit de remettre en mémoire les outils indispensables pour aborder les problématiques du chapitre : défi nitions du sens de variation d’une fonction numérique, signe d’une expression algébrique, nombre dérivé comme coeffi cient directeur de la tangente.

A 1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai.

B 1 b. 2 a. et b. 3 b.

C 1 b. 2 b.

D 1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai.

ActivitéActivité 1 Utiliser une fonction pour étudier une situation en géométrieObjectifIl s’agit d’aborder les problématiques du chapitre en utili-sant les résultats de la classe de Seconde : mise en équa-tion, utilisation des variations d’une fonction (ici du second degré), retour au problème posé.

1 Le périmètre mesurant 100 m, on a : .x y2 100+ =^ h Donc x y 50+ = .Les longueurs x et y étant positives, x et y appartiennent à l’intervalle ;0 506 @.

2 Comme y x50= - et � x x y#=^ h , on obtient � x x x50= -^ ^h h.

3 � x^ h est un polynôme du second degré qui s’annule en 0 et en 50. Le sommet de la parabole le représentant a alors pour abscisse la moyenne de 0 et 50, soit 25. Son ordonnée est � 25 625=^ h .Comme � x x x502=- +^ h et que a 1=- est négatif, la parabole est tournée vers le bas.Donc le tableau de variations de � sur ;0 506 @ est :

x 0 25 50

� x^ h0

625

0

Les dimensions du rectangle d’aire maximale sont donc mx 25= et my 50 25 25= - = .

4 L’aire du rectangle de dimensions x et y et de péri-mètre P est :

� x x P x x P x2 2

2= - =- +^ ch m , polynôme de degré 2

où a 1=- , s’annulant en 0 et en P2

.

Le tableau de variations de � sur l’intervalle ; P02; E est :

x 0P4

P2

� x^ h0

P16

2

0

Les dimensions du rectangle d’aire maximale sont donc :

x P4= et y P P P

2 4 4= - = .

ActivitéActivité 2 Variations d’une sommeObjectifs◗ Mobiliser la défi nition d’une fonction croissante ou d’une fonction décroissante.◗ Réinvestir le sens de variation des fonctions de référence.

1 a. f fb ab

ba

a1 1- = - - -^ ^ c ch h m m

b aa b

aba b a b1 1

= - + - = - + -c ^ ^m h h

a bab1 1= - +^ ch m.

b. Comme 1 1a b0 , on a : 1a b 0- et 2ab 0, et donc

2ab1 1 0+ . Par produit, 1f fb a 0-^ ^h h .

c. Pour tous réels a et b tels que 1 1a b0 , 2 .f fa b^ ^h h Donc la fonction f est strictement décroissante sur l’in-tervalle ;0 3+ 6@ .

2 a. La fonction inverse g et la fonction affi ne h sont strictement décroissantes sur ;0 3+ 6@ .b. Pour tous réels a et b tels que 1 1a b0 , 2g a g b^ ^h h et 2h a h b^ ^h h. En ajoutant membre à membre, on obtient que : 2f fa b^ ^h h. Donc la fonction f est stricte-ment décroissante sur l’intervalle ;0 3+ 6@ .

ActivitéActivité 3 Sens de variation d’une fonction et signe du nombre dérivéObjectifIl s’agit de faire le lien entre le signe de la dérivée d’une fonc-tion et le sens de variation. Pour cela, on regarde le signe du nombre dérivé (comme coeffi cient directeur de la tangente à la courbe) sur chacun des intervalles où f est monotone.

1 a. On conjecture le tableau de variations suivant :

x 3- 1- 1 3+

f x^ h

2

2-

b. La fonction affi ne représentant la tangente � n’est croissante que lorsque l’abscisse de M appartient à

; ;1 1,3 3- - +6 6@ @ .c. Pour tout réel x, f xl^ h est le coeffi cient directeur de la tangente en M d’abscisse x.D’après la question b., 1f x 0l^ h pour ;x 1 1! - 6@ .On conjecture que :• lorsque la fonction f est croissante sur un intervalle, la fonction f l est positive sur cet intervalle ;• lorsque la fonction f est décroissante sur un intervalle, la fonction f l est négative sur cet intervalle.

2 a. f x x x x x3 3 3 1 3 1 12 2= - = - = - +l^ ^ ^ ^h h h h.b. On a le tableau de signes suivant :

x 3- 1- 1 3+

f xl^ h + 0 - 0 +


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c. On admet la réciproque :• lorsque la fonction f l est positive sur un intervalle, la fonction f est croissante sur cet intervalle ;• lorsque la fonction f l est négative sur un intervalle, la fonction f est décroissante sur cet intervalle.On obtient alors le tableau obtenu en 1 a.

ActivitéActivité 4 Relier la courbe représentative d’une fonction à celle de sa fonction dérivéeObjectifsAssocier signe de la dérivée et sens de variation sans se laisser infl uencer par le sens de variation de la fonction dérivée ; la confusion entre le signe et le sens de variation est très répandue.

On utilise le théorème vu dans l’activité 3 :• la fonction f est croissante sur un intervalle si, et seule-ment si, la fonction f l est positive sur cet intervalle ;• la fonction f est décroissante sur un intervalle si, et seule-ment si, la fonction f l est négative sur cet intervalle.Pour la fonction 1 : La fonction 1 est croissante sur

; 13-@ @ et sur ;3 3+6 6, et est décroissante sur ;1 36 @. Sa dérivée est donc positive sur ; 13-@ @ et sur ;3 3+6 6, et est négative sur ;1 36 @ : c’est la fonction b .

Pour la fonction 2 : La fonction 2 est décroissante sur ; 33- -@ @ et sur ;1 3+6 6, et est croissante sur ; .3 1-6 @

Sa dérivée est donc négative sur ; 33- -@ @ et sur ;1 3+6 6, et est positive sur ;3 1-6 @ : c’est la fonction c .

Pour la fonction 3 : La fonction 3 est croissante sur ;0 3+ 6@ . Sa dérivée est donc positive sur ;0 3+ 6@ :

c’est la fonction a .

ActivitéActivité 5 Problème d’optimisationObjectifs◗ Traiter un problème central dans le chapitre : l’optimisa-tion.◗ Montrer que les outils « connus » ne suffi sent pas : seul le théorème sur le sens de variation et le signe de la dérivée permet de conclure.1 Par le théorème de Thalès, on a :

EDAE

DFAG

= . Donc

xAG

xx

5 5-=

+.

On en déduit que : AGx

x xx

x x55

55 2

=+

-=

+-^ h

.

2 On conjecture que le maximum de AG est environ 0,86, atteint lorsque CF est environ égal à 2,07.3 a. On applique la formule du quotient aux fonctions u et v dérivables sur ;0 56 @ suivantes :

u x x x5 2= -^ h et v x x5= +^ h .

On a : u x x5 2= -l^ h et v x 1=l^ h .

Donc f xx

x x x x5

5 2 5 5 12

2 #=

+

- + - -l^

^

^ ^ ^h

h

h h h

f xx

x x5

10 252

2=

+

- - +l^^

hh

.

b. Pour le signe du numérateur : 200=D ; ;10 2=D

,x 5 5 2 2 071 .=- +

et , .x 5 5 2 12 072 .=- - -

D’où le tableau de signes de f xl^ h et de variations de f sur ;0 56 @ :

x 0 x1 5

x x10 252- - + + 0 -

x5 2+^ h + +

f xl^ h + 0 -

f x^ h0

15 10 2-

0

c. La position du point F pour lequel la distance AG est maximale est ,CF 5 5 2 2 07.=- + .La distance maximale est ,15 10 2 0 86.- .On obtient ici la valeur exacte, alors qu’à la question 2 , on a obtenu une valeur approchée.


Utiliser les variations des fonctions de référence

La fonction affi ne x 7 x 1- est strictement crois-sante et positive sur l’intervalle ;1 3+ 6@ .Donc son inverse x 7 x 1

1-

est strictement décrois-sante sur ;1 3+ 6@ .En ajoutant 2, on en déduit que la fonction f est stricte-ment décroissante sur ;1 3+ 6@ .

1 Il semble que la fonction g est strictement décroissante sur ; 03-@ @ et strictement croissante sur

;0 3+6 6.

2 La fonction u : x 7 x 32 + est un polynôme du second degré, avec a 1= positif et ;S 0 3^ h comme sommet de la parabole. Alors la fonction u est stricte-ment décroissante sur ; 03-@ @ et strictement crois-sante sur ;0 3+6 6.Comme g u= , la fonction g a les mêmes variations que la fonction u.Donc la fonction g est strictement décroissante sur

; 03-@ @ et strictement croissante sur ;0 3+6 6.

Sur l’intervalle ; 23-@ @ la fonction affi ne u : x 7 x2 - est décroissante, car son coeffi cient directeur est négatif.Comme h u= , les fonctions u et h ont le même sens de variation. Donc la fonction h est décroissante sur

; 23-@ @.


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Étudier les variations d’une fonction et choisir une méthode

a. La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, f x x2 1= -l^ h (fonction affi ne de coeffi cient positif,

s’annulant en 21 ).

Comme f21

47

= -c m , on obtient donc :

x 3-21 3+

f xl^ h - 0 +

f x^ h

47-

b. La fonction g est dérivable sur R et pour tout réel x, g x x6 2= +l^ h (fonction affi ne de coeffi cient positif,

s’annulant en 3

1- ).

Comme g3

132- =b l , on obtient donc :

x 3-3

1- 3+

g xl^ h - 0 +

g x^ h

32

a. Les fonctions x 7 x3 et x 7 x3 sont toutes deux des fonctions de base croissantes sur R ; donc par somme, la fonction f est croissante sur R.b. La fonction g est dérivable sur R et g x x x x x3 6 3 22= + = +l^ ^h h.g xl^ h est un trinôme du second degré qui admet pour racines 2- et 0.Donc g xl^ h est strictement positif sauf pour ; ,x 2 0! -6 @ d’où le tableau de variations :

x 3- 2- 0 3+

g xl^ h + 0 - 0 +

g x^ h

4

0

Si la fonction f est croissante sur un intervalle, alors f x 0Hl^ h sur cet intervalle.

Si la fonction f est décroissante sur un intervalle, alors f x 0Gl^ h sur cet intervalle.

D’où le tableau de signes de la fonction f l :

x 3- 2- 1 3

f xl^ h + 0 - 0 +

Déterminer des extrema, obtenir des inégalités

La fonction f est dérivable sur ;1 2-6 @ et pour tout réel x de ;1 2-6 @, f x x x x3 3 3 1 12= - = - +l^ ^ ^h h h.f xl^ h est un trinôme s’annulant en 1- et en 1, avec

a 3= positif.D’où le tableau suivant :

x 1- 1 2

f xl^ h 0 - 0 +

f x^ h

51

5

Par lecture du tableau, le maximum de f sur ;1 2-6 @ est 5 (atteint en 1- et en 2), et le minimum de f sur ;1 2-6 @ est 1 (atteint en 1).

On étudie le signe de g x u x v x= -^ ^ ^h h h.

En réduisant au même dénominateur, g xx12=^ h .

Donc pour tout réel 2x 0, 2g x 0^ h , donc 2u x v x^ ^h h.La courbe représentant u est située au-dessus de la courbe représentant v sur ;0 3+ 6@ .

1 Le maximum de f sur ;2 1-6 @ est 1. Le maximum de f sur ;1 56 @ est 5.2 Pour tout réel x de ;2 5-6 @, on a : f x4 5G G- ^ h .

Optimiser une aireÉtape 2tape 2

1 La variable x appartient à l’intervalle ;0 3+ 6@ .2 a. La hauteur issue de M du triangle MEF est :

J I IJM M x 4= + = + .b. ◗ Première méthode : En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle FMJ, on a :

J JFFA

MAD

= , soit : FA

FAx2 4

4+

=+

.

Les produits en croix donnent :x FA FA4 4 2# #+ = +^ ^h h.

Donc x FA 8# = , donc FAx8

= .

◗ Deuxième méthode : on utilise la trigonométrie :Les angles AFD% et IDM% sont égaux, donc leurs tangentes aussi.

D’où II

AFAD

DM

= , c’est-à-dire AF

x42= .

Donc AFx8

= .

◗ Or JEF AF Ax x

x2 2 8 2

2 8 2= + = + =

+^ c

^h m

h.

Donc EFx

x4 4=

+^ h.


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3 � JMEF EF Mx

xx

2 21 4 4

4# # #= =+

+^^

^hh

h.

Donc � MEFx

x2 4 2

=+

^^

hh

.

4 a. La fonction f est dérivable sur ;0 3+ 6@ comme double du quotient des fonctions dérivables u et v suivantes :

u x x 4 2= +^ ^h h et v x x=^ h .On a : u x x2 4= +l^ ^h h et v x 1=l^ h .Donc pour tout réel 2x 0,

f xx

x x x2

2 4 4 12

2

## #

=+ - +

l^^ ^

hh h

f xx

x x xx

x x2 4 2 4 2 4 42 2=

+ - -=

+ -l^

^ ^ ^ ^h

h h h h

b. Comme f 4 32=^ h , on a le tableau suivant :

x 0 4 3+

2 + +

x 4+ + +x 4- - 0 +

x2 0 + +f xl^ h - 0 +

f x^ h 32

c. Le minimum de l’aire du triangle MEF est donc 32 m², atteint lorsque IM vaut 4 m.

Minimiser une longueurPartie A2 À l’aide du logiciel Geogebra :

Partie B

A B

CD FM

E

10

x

y

1 En utilisant le coup de pouce, on a : ME EB x= = et MF DF y= = .Donc EF ME MF x y= + = + .2 D’après le théorème de Pythagore dans le triangle CEF :

EF CE CF x y10 102 2 2 2 2= + = - + -^ ^h h

EF x x y y100 20 100 202 2 2= - + + - +

EF x y x y20 20 2002 2 2= + - - + .

3 Or EF x y x xy y22 2 2 2= + = + +^ h .

Donc x y x y x xy y20 20 200 22 2 2 2+ - - + = + + .Donc xy y x2 20 20 200+ =- + , soit x y x2 10 2 100 10+ = -^ ^h h.

Donc yx

x10

100 10=

+- .

Comme EF x y= + ,

EF xx

xx

x x x10

100 1010

10 100 10= +

+- =

+

+ + -^ h

EFx

x101002

=++ .

4 a. La fonction f est dérivable sur ;0 106 @ et pour tout réel x de ;0 106 @ :

f xx

x x x10

2 10 100 12

2# #=

+

+ - +l^

^

^ ^h

h

h h

f xx

x x10

20 1002

2=

+

+ -l^^

hh

.

Pour le numérateur : 800=D ; ,x 10 10 2 24 11 .=- - -

et ,x 10 10 2 4 12 .=- + .Comme ,f 10 2 10 20 2 20 8 28.- = -^ h , on a :

x 0 x2 10

x x20 10 0252 + - - 0 +

x 10 2+^ h + +

f xl^ h - 0 +

f x^ h10

20 2 20-

10

b. Par lecture du tableau, la longueur minimale de EF est 20 2 20- , atteinte pour EB x 10 2 10= = - .Dans ce cas-là,DF y EF x 20 2 20 10 2 10= = - = - - -^ ^h h

EB10 2 10= - = .

Un volume maximum1 La variable x appartient à l’intervalle ;0 86 @.

I JV x A A AK31

2# # #=^ h

V x x x x x x61 8 8

61 8 2# # #= - - = -^ ^ ^ ^h h h h .

2 La fonction V est dérivable sur ;0 86 @, et pour tout réel x de ;0 86 @ :

V x x x x61 1 8 2 82# #= - + - -l^ ^ ^ ^^h h h hh

V .x x x x x x61 8 8 2

61 8 8 3= - - - = - -l^ ^ ^^ ^ ^h h h h h h

3 On a le tableau suivant :

x 038 8

31

+ +

x8 - + + 0x8 3- + 0 -

V xl^ h + 0 - 0

V x^ h 0 272 048

0


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Le volume du tétraèdre est maximal lorsque IA38

= cm.

Le volume maximum est ,27

2 048 75 85. cm3.

1 c. 2 a. c. 3 b. c. 4 b. 5 b. 6 b. c. 7 a. c. 8 a. c. 9 a. c.

1 Faux. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Faux.


1 Sens de variation et opérations sur les fonctions

1 a. 2 b.

1 a. 2 c. 3 b.

1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux.

1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux.

1 f 5 1- =^ h ; f 3 1- =-^ h ; f 0 2=^ h et f 4 0=^ h .2 La représentation graphique de f est :

x

y

1

1

0

Les antécédents de 2 par f sont : - 6 et 0.3 Voici le tableau des variations de f, car f est une fonc-tion affi ne par morceaux.

x 3- 3- 0 3+

f x^ h1-

2

Somme de fonctions

1 Vrai. 2 Faux.

• f a pour courbe représentative �2 , car f 0 0=^ h .• g a pour courbe représentative �3 , car g 0 1=-^ h .• h a pour courbe représentative �1 , car h 0 2=^ h .• k a pour courbe représentative �4 , car k 0 2=-^ h .

x - 5 - 2 1 3

f x^ h 46

27

x - 5 - 2 1 3

g x^ h 02

- 23

a. Les fonctions u et v sont deux fonctions affi nes de coeffi cients négatifs, donc elles sont décroissantes sur R.Donc la fonction u v+ est aussi décroissante sur R.

b. De même les fonctions u , v et u v+ sont croissantes sur R.

c. De même les fonctions u , v et u v+ sont décrois-santes sur R.

1 La fonction f est défi nie sur R\ 0" ,.

2 Pour tout réel x non nul, f x xx

xx

4 4= - = + -

^ h .

3 Les fonctions x 7 x et v 7 x4- sont croissantes

sur ; 03- 6@ .Donc par somme la fonction f est croissante sur ; 03- 6@ .

1

x

y

1

1

0

��f

��g�u

2 On a : sisisi

f xx x

x xx x

2 5 3 12 1 1 2

2 7 2 4

G G

G G

G G

=

+ - -

- + -

-

^ h *

et si

sig x

x x

x x

33 3 0

45 3 0 4

G G

G G=

- - -

-^ h

Z

[

\

]]

]]

.

Donc en sommant :

si ;

si ;

si ;

si ;

u x

x x

x x

x x

x x

35 2 3 1

37 2 1 0

43 2 0 2

413 10 2 4

!

!

!

!

=

+ - -

- - -

- -

-

^ h

6

6

6

6

@

@

@

@

Z

[

\

]]]]

]]]]

.

3 La fonction u est affi ne par morceaux. On a :

x - 3 - 1 2 4

u x^ h

- 3

31

27-

3


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Preuve du cours : somme d’une fonction et d’une constanteSoit une fonction u défi nie sur un intervalle I.Soit un réel k et la fonction v défi nie sur I par :v x u x k= +^ ^h h .1 a. On suppose que la fonction u est croissante sur I.Soient des réels x1 et x2 dans I tels que x x1 2G .Comme la fonction u est croissante sur I, ,u x u x1 2G^ ^h h donc u x k u x k1 2G+ +^ ^h h .Donc v x v x1 2G^ ^h h.b. En conséquence, la fonction v est croissante sur I.2 On suppose que la fonction u est décroissante sur I.Soient des réels x1 et x2 dans I tels que x x1 2G .Comme la fonction u est décroissante sur I, ,u x u x1 2H^ ^h h donc u x k u x k1 2H+ +^ ^h h .Donc v x v x1 2H^ ^h h.En conséquence, la fonction v est décroissante sur I.

Preuve du cours : somme de deux fonctions1 On suppose que les fonctions u et v sont croissantes sur I.a. Soient des réels x1 et x2 dans I tels que x x1 2G . Alors comme les fonctions u et v sont croissantes sur I, on a :

u x u x1 2G^ ^h h et v x v x1 2G^ ^h h.En ajoutant membre à membre,u x v x u x v x1 1 2 2G+ +^ ^ ^ ^h h h h.Donc u v x u v x1 2G+ +^ ^ ^ ^h h h h. Donc f fx x1 2G^ ^h h.b. La fonction f est croissante sur l’intervalle I.2 On suppose que les fonctions u et v sont décrois-santes sur I.Soient des réels x1 et x2 dans I tels que x x1 2G . Alors comme les fonctions u et v sont décroissantes sur I, on a :

u x u x1 2H^ ^h h et v x v x1 2H^ ^h h.En ajoutant membre à membre, u x v x u x v x1 1 2 2H+ +^ ^ ^ ^h h h h.Donc u v x u v x1 2H+ +^ ^ ^ ^h h h h. Donc f fx x1 2H^ ^h h.Donc la fonction f est décroissante sur l’intervalle I.

1 a. La fonction u est croissante et la fonction v est décroissante sur R.Pour tout réel x, u v x x

23 4+ = +^ ^h h (affi ne de coef-

fi cient positif ).Donc la fonction u v+ est croissante sur R.b. La fonction u est décroissante et la fonction v est croissante sur R.Pour tout réel x, u v x 7+ =^ ^h h . Donc la fonction u v+ est constante sur R.c. La fonction u est décroissante sur ; 03-@ @ et crois-sante sur ;0 3+6 6.La fonction v est croissante sur R.La fonction u v+^ h : x 7 x 1 2+^ h est décroissante sur

; 13- -@ @ et croissante sur ;1 3+6 6.2 En utilisant les exemples de la question 1 , on peut dire que l’affi rmation est fausse.

Produit par une constante

• La fonction f est associée à la courbe �2 car f 1 1=-^ h .

• La fonction g est associée à la courbe �4 car g 1 2=^ h .•La fonction h est associée à la courbe �3 car h 1 3=^ h .•La fonction k est associée à la courbe �1 car k 1 2=-^ h .

1 La fonction f admet le tableau de variations ci-dessous.

x 3- 0 3+

f xl^ h - 0 +

f x^ h 0

2 a. x 3- 0 3+

g xl^ h - 0 +

g x^ h 0

b. x 3- 0 3+

h xl^ h - 0 +

h x^ h - 3

c. x 3- 0 3+

k xl^ h + 0 -

k x^ h0

d. x 3- 0 3+

m xl^ h + 0 -

m x^ h1

a. x 0 6 11 18 24

f x^ h

20,7

6

22

6

20,7

b. x 0 6 11 18 24

g x^ h

- 10,35

- 3

- 11

- 3

- 10,35

c. x 0 6 11 18 24

h x^ h

- 8,35

- 1

- 9

- 1

- 8,35

1 a. fg x x x x121

412

= + = + -^ ^ ^ ch h h m .

x 3-21

- 3+

fg x^ ^h h41

-


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Déc

lic 1

re S

b. fg x x x x121

412

=- - + = - -^ ^ ^ ch h h m .

x 3-21 3+

fg x^ ^h h41

-

2 a. Faux : En prenant les fonctions f et g du 1 a., f et g

sont croissantes sur R, donc sur ;2

13- -E E.

Pourtant le produit f g# est décroissant sur ;2

13- -E E.

b. Faux : En prenant les fonctions f et g du 1 b., f et g

sont décroissantes sur R, donc sur ;21 3+; ;.

Pourtant le produit f g# est croissant sur ;21 3+; ;.

c. Faux : Le produit de deux fonctions monotones sur un intervalle I peut ne pas être monotone sur I comme le prouvent les exemples précédents.

Racine carrée de fonctions

1 La fonction u est une fonction affi ne strictement croissante et positive sur ;1 3+6 6.Donc, comme f u= , la fonction f a le même sens de variation que u.Donc la fonction f est strictement croissante sur ;1 3+6 6.2 a. La fonction u : x 7 x4 3- est une fonction affi ne strictement croissante sur I.Donc la fonction f est strictement croissante sur I.b. La fonction u : x 7 x 32 + est décroissante sur

; 03-@ @ et croissante sur ;0 3+6 6.Comme f u= , la fonction f est décroissante sur

; 03-@ @ et croissante sur ;0 3+6 6.Son tableau de variations est :

x 3- 0 3+

f x^ h3

Preuve du cours : racine carrée d’une fonction1 On suppose que la fonction u est croissante sur l’in-tervalle I.Soient deux réels x1 et x2 de I tels que x x1 2G .Comme la fonction u est croissante sur I, on a : u x u x1 2G^ ^h h.Comme la fonction racine carrée est croissante, on a :

u x u x1 2G^ ^h h .Donc la fonction u est croissante sur I.2 On suppose que la fonction u est décroissante sur l’in-tervalle I.Soient deux réels x1 et x2 de I tels que x x1 2G .Comme la fonction u est décroissante sur I, on a : u x u x1 2H^ ^h h.Comme la fonction racine carrée est croissante, on a :

u x u x1 2H^ ^h h .Donc la fonction u est décroissante sur I.

1 Pour tout réel x, on a :sisi

xx x

x x0

02 H

G=

-) . Donc x x2= .

2 La fonction f a les mêmes variations que la fonction carré. Donc :

x 3- 0 3+

x0

A. 2 On conjecture que la longueur AM minimale est environ 1,3, lorsque l’abscisse de M est environ 1,5.

B. 1 Pour tout réel x positif, ;A 2 0^ h et ;M x x^ h .Donc AM x x x x2 3 42 2 2 2= - + = - +^ ^h h .

Donc AM x x3 42= - + .2 La fonction f est du second degré, de coeffi cient a positif.Elle change de variation en

ab

2 23

= - =a .

Donc le tableau de variations de f est :

x 023 3+

f x^ h47

3 fAM x= ^ h .Donc la fonction x 7 AM a le même sens de variation que f .La distance minimum est donc de

27 , obtenue au

point de coordonnées ;23

23

c m.

Inverse de fonctions


1 x 3- 25 3+

g x^ h + 0 -

2 La fonction f est défi nie en tout réel x tel que g x 0!^ h . Donc la fonction f est défi nie sur :

; ;25

25,3 3- +; ;E E .

La fonction g garde un signe constant sur chaque inter-valle et ne s’annule pas, donc

g1 a le sens de variation

contraire à celui de g .La fonction g est décroissante sur chacun des inter-valles, donc la fonction f est croissante sur ;

253- ;E

et sur ;25 3+ ;E .

x 3- 25 3+

f x^ h

1 Comme la fonction f est strictement positive sur ;2 2-6 @, la fonction g est défi nie sur ;2 2-6 @.


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2 La fonction g a un sens de variation contraire à celui de f . Donc on a le tableau ci-dessous :

x - 2 0 2

f x^ h5

15

g x^ h51

1

51

1 En réduisant au même dénominateur, on vérifi e que ces trois expressions sont égales.2 a. L’expression permet d’étudier les variations de la fonction f .En eff et, la fonction f a le même sens de variation que l’inverse de la fonction u : x 7 x 1- .Elle est donc décroissante sur ; 13- 6@ et sur ;1 3+ 6@ .b. On utilise l’expression .Pour tout réel x diff érent de 1,

f x x x0 3 1 031

+ += - = =^ h .

Donc l’ensemble des solutions est S31

= ' 1.

c. On utilise l’expression : 1 1f xx

x11

2 0+-

^ h .

En utilisant un tableau de signes, on obtient que l’en-semble des solutions est ;0 16@ .

1 La fonction f ne s’annule pas donc la fonction g est défi nie sur R.2 Pour tout couple de réels ;a b^ h tels que 1a b , on a f fa bG^ ^h h.

Donc la fonction f est strictement décroissante sur R.3 g 2

31

- =^ h et g 12

1= -

^ h . Donc 2g g2 1-^ ^h h.

Donc la fonction g n’est pas strictement croissante sur R.4 On utilise le théorème sur l’inverse d’une fonction sur chacun des intervalles ; 03- 6@ et ;0 3+6 6.La fonction g est croissante ; 03- 6@ et sur ;0 3+6 6.

1 On a � ABCDAB DC AH

212

#=

+=^

^h

h.

Donc AHAB DC

24=

+.

On a : f xx4

24=

+^ h .

2 La fonction u : x 7 x4 + est affi ne de coeffi cient 1. Elle est donc croissante sur R.3 Comme f

u24

= , la fonction f est décroissante sur

l’intervalle ;0 8@ @.

x 0 8

f x^ h6

2

2 Sens de variation et dérivation

1 c. 2 b. 3 a.

1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux. 5 Vrai.


À partir de tableaux

1

x 3- - 2 - 1 0 3+

f xl^ h + 0 - - 0 +

f x^ h

2 a. 1f f5 3- -^ ^h h. b. 2 ,f f2 1 5- -^ ^h h.c. f 2-^ h et f 0^ h ne sont pas comparables.

1 Une allure possible de � sur ;5 4-6 @ est :

x

y

1

1

0

2 Le tableau de signes de f xl^ h est donné ci-dessous.

x - 5 - 2 1 4

f xl^ h - 0 + 0 -

3 Points à tangente parallèle à l’axe des abscisses : ;A 2 1- -^ h et ;B 1 2^ h.

Lectures graphiques

1 et 2

x - 4 - 3 0 22 4

f xl^ h + 0 - 0 + 00 -

f x^ h

14

- 30

- 23 2 ; ;f x x0 4 3 0 2+ ,! - -l^ h 6 6 6@ .

1 x - 4 - 3 1 4

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ h

2 La courbe � admet deux points à tangentes parallèles à l’axe des abscisses : le point d’abscisse - 3 et le point d’abscisse 1, où la dérivée s’annule.

1 x - 4 - 1 3 4

f xl^ h 0 + 0 - 0 +

f x^ h

2 La courbe � admet trois points à tangentes parallèles à l’axe des abscisses : le point d’abscisse - 4, le point d’abscisse - 1 et le point d’abscisse 3 où la dérivée s’annule.


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1 Il s’agit de la courbe c . En eff et, la fonction f est décroissante sur ;4 2- -@ @ et croissante sur ;2 3- +6 6.Donc sa dérivée est négative sur ;4 2- -@ @, et positive sur ;2 3- +6 6.2 On doit avoir f 2 0- =l^ h ; f 3 3- =-l^ h et

f 229

- = -l^ h . Avec f x ax bx

c4= + +

+^ h et

f x ax

c4 2= -

+l^

^h

h.

Ainsi f a c24

0- = - =l^ h ; f a c3 3- = - =-l^ h et

a b c22 2

9- + + = - .

Les réels a, b et c sont solutions du système :

a c

a c

a b c

40

3

22 2

9

- =

- =-

- + + = -

Z

[

\

]]]

]]]

. On obtient :

a

b

c

1

29

4

=

= -

=

Z

[

\

]]

]]

.

Donc f x xx2

94

4= - +

+^ h .

Étude de variations

1 Pour tout réel x, f x x10 2= +l^ h .

2 x 3- 5

1- 3+

f xl^ h - 0 +

3 x 3- 5

1- 3+

f x^ h 5,8

a. La fonction f est dérivable sur R et f x x x x3 3 3 1 12= - = - +l^ ^ ^h h h.

x 3- - 1 1 4

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ h 2- 2

b. La fonction g est dérivable sur R et g x x x x x3 6 3 22= - = -l^ ^h h.

x 3- 0 2 3+

g xl^ h + 0 - 0 +

g x^ h0

- 4

a. La fonction f est dérivable sur R et f x x x x x x4 16 4 2 23= - = - +l^ ^ ^h h h.

x 3- 2- 0 2 3+

x x2 2- +^ ^h h + 0 - - 0 +

x4 - - 0 + +

f xl^ h - 0 + 0 - 0 +

f x^ h

- 16

0

- 16

b. La fonction g est dérivable sur R et g x x x3 4 42=- + +l^ h .

64=D ; x 21 = et x32

2 = - .

x 3-32- 2 3+

g xl^ h - 0 + 0 -

g x^ h2740-

8

a. La fonction f est dérivable sur ; ;0 0,3 3- +6 6@ @ .

Sur cet ensemble, f xx x

x4 1 4 12 2

2= - = -l^ h qui est

du signe de x x2 1 2 1- +^ ^h h. On a le tableau :

x 3-21

- 021 3+

f xl^ h + 0 - - 0 +

f x^ h- 4

4

b. La fonction g est dérivable sur ;0 3+ 6@ .Sur cet ensemble,

g x xx

xx

x12

1 12

3 1# #= - + = -l^ ^h h

qui est du signe de x3 1- .On a le tableau :

x 031 3+

g xl^ h - 0 +

g x^ h

0 0

92 3

-


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lic 1

re S

a. La fonction f est dérivable sur; ;2 2,3 3- - - +6 6@ @ .

Sur cet ensemble, f xx 2

82=

+

-l^^

hh

qui est toujours

négative. On a le tableau :x 3- 2- 3+

f xl^ h - -

f x^ h

b. La fonction g est dérivable sur ; ;21

21,3 3- +; ;E E .

Sur cet ensemble, g xx2 1

112=

-

-l^^

hh

qui est toujours négative.On a le tableau :

x 3-21 3+

g xl^ h - -

g x^ h

a. La fonction f est dérivable sur R, car le dénomi-nateur ne s’annule pas sur R.


x x1

4 22 2=

+ +

- +l^

^

^h

h

h qui est du

signe de x x4 2- +^ h.On a le tableau :

x 3- 2- 0 3+

f xl^ h - 0 + 0 -

f x^ h31

-

5

b. La fonction g est dérivable sur R, car le dénominateur ne s’annule pas sur R.

Sur cet ensemble, g xx

x1

3 12 2

2

=+

-l^

^

^h

h

h qui est du signe

de x 12 - .On a le tableau :

x 3- 1- 1 3+

g xl^ h + 0 - 0 +

g x^ h 25

21

-

a. La fonction f est dérivable sur R\ ;0 1" ,, car le dénominateur s’annule en 0 et 1.


x1

2 12 2=

-

-l^^

hh

qui est du signe

de x2 1- .On a le tableau :

x 3- 021 1 3+

f xl^ h - - 0 + +

f x^ h

4

b. La fonction g est dérivable sur R\ 1" , car le dénomina-teur s’annule en 1.

Sur cet ensemble, g xx

x1

8 33=

-

- +l^

^

^h

h

h qui est du signe

de x x3 1- + -^ ^h h.On a le tableau :

x 3- 3- 1 3+

g xl^ h - 0 + -

g x^ h0

1 Par lecture graphique, la fonction f semble stric-tement croissante sur ;0 46 @.2 La fonction f est dérivable sur ;0 46 @ et

,f x x x4 3 992= - +l^ h .,0 04=D ; ,x 1 91 = et ,x 2 12 = .

D’où le tableau de variations :

x 0 1,9 2,1 4

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ h0

15003 971

2,64675

397

1

2 La fonction f est dérivable sur R et

f xx

x x1

16 12 2

2=

+

- + +l^^

hh

.

f xl^ h est du signe de x x16 12- + + .

260=D ; x 8 651 = - et x 8 652 = + .D’où le tableau de variations :

x 0 8 65+ 20

f xl^ h + 0 -

f x^ h8-

265 8-

40112

• La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, f x ax x3 4 12= + +l^ h .

• La fonction f est strictement croissante sur R + pour tout réel x, 2f x a0 0+Hl^ h et 1 2a0 0+D et

1 2a a16 12 034

+- .

1 En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OBH, on peut écrire H R1502 2 2+ = .Or H R x= - . Donc R xR x R2 22 5002 2 2- + + = .Donc xR x2 22 5002= + .En divisant par 2x, on obtient R x

x211250

= + .

2 a. La fonction f est une fonction dérivable sur ;70 2006 @

et on a f xx x

x21 11250

2150

2 2

2 2= - = -l^ h .


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On a le tableau de variations ci-dessous :

x 70 150 200

f xl^ h - 0 +

f x^ h 71370

1504

625

b. Une fl èche de 150 cm rend le rayon minimal.

Déterminer des encadrements

1 La fonction f est dérivable sur ;0 3+ 6@ et

f xx x

x1 1 12 2

2= - = -l^ h qui s’annule en 1 et est du

signe de x 1- sur ;0 3+ 6@ .On a le tableau de variations ci-dessous :

x 0 1 3+

f xl^ h - 0 +

f x^ h 2

2 On en déduit que, pour tout réel 2x 0, xx1 2H+ .

La fonction f est dérivable sur ;23

25-

; E et f x x3 32= -l^ h qui s’annule en 1- et 1.

On a le tableau de variations ci-dessous :

x ,1 5- 1- 1 2,5

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ h8

335

11 889

On en déduit que pour tout réel x de ;23

25-

; E,

f x18

89G G^ h .

La fonction f est dérivable sur ;5 5-6 @ et

f xx

x x1

2 12 2

2=

+

- -l^^

hh

, qui s’annule en 1 2- et en

1 2+ et qui est du signe de x x2 12 - - .On a le tableau ci-dessous :

x 5- 1 2- 1 2+ 5

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ h 1342 2

7 2+

27 2- 13

37

On en déduit que pour tout réel x de ;5 5-6 @,

f x2

7 22

7 2G G- +^ h .

La fonction f est dérivable sur ;4 4-6 @ et

f xx

x1 1

4 12 2=

+ +

- +l^

^^

^h

h h

h qui s’annule en 1- et qui est

du signe de x 1- +^ h.On a le tableau ci-dessous :

x 4- 1- 4

f xl^ h + 0 -

f x^ h 51

2

131

On en déduit que la fonction f admet sur ;4 4-6 @ un maximum égal à 2, atteint en 1- , et un minimum égal à

131 , atteint en 4.

1 La fonction f est dérivable sur ;0 3+ 6@

et f xx

x x2

35 6 92= + -l^ h , qui est du signe de

x x35 6 92 + - .

1296=D ; x53

1 = - et x73

2 = .

On a le tableau ci-dessous :

x 0 73 1 3+

f xl^ h - 0 +

f x^ h

0

4948 21-

00

2 On en déduit que pour tout réel x de l’intervalle ;0 16 @,

f x49

48 21 0G G-^ h .

Cinématique

1 La fonction d est dérivable sur ;0 56 @ et

d t t t43

29 62= - +l^ h .

,2 25=D ; t 21 = et t 42 = .On a le tableau de variations suivant :

t 0 2 4 5

d tl^ h + 0 - 0 +

d t^ h

0

5

4

5

2 Sur un axe, à l’instant t 0= le mobile est au point d’abscisse 0 et s’éloigne vers la droite jusqu’en B atteint au bout de 2 secondes et qui a pour abscisse 5. Puis il revient en arrière jusqu’au point C atteint au bout de 4 secondes et d’abscisse 4. Puis le mobile repart vers la droite jusqu’en B, au bout de 5 secondes.3 La vitesse sera maximum lorsque d t t t

43

29 62= - +l^ h sera maximum.

Le sommet de la parabole (tournée vers le haut) repré-

sentant dl a pour coordonnées ;343-

c m.

En utilisant le tableau de signes de dl, on a :t 0 2 3 4 5

d tl^ h

6

0

43

0

49

La vitesse est donc maximum à l’instant t 0= .

1 La fonction d est une fonction dérivable sur ;0 3+6 6 et ,d t t b9 8=- +l^ h .

, , ,d b b1 5 0 14 7 0 14 7+ += - + = =l^ h .2 , ,d t t9 8 14 7=- +l^ h .


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La vitesse initiale est , m/sd 0 14 7=l^ h .3 On résout d t 0=^ h , c’est-à-dire , , ,t t4 9 14 7 0- + =^ h soit t 0= s ou t 3= s.Donc la descente dure 3 s.

3 Extremum d’une fonction

1 b. 2 a., b. et c.

1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai.

1 f x x x x3 6 3 3 12 2= + + = +l^ ^h h et f 1 0- =l^ h .2 La fonction f n’admet pas d’extremum en 1- , car la dérivée s’annule mais ne change pas de signe en 1- .Plus précisément, la fonction f est strictement crois-sante sur R.

1 D’après la copie d’écran donnée, le minimum de f sur ;2 3-6 @ est atteint en 2- , et les maxima sont atteints en 0 et 3.2 La fonction f est dérivable sur ;2 3-6 @ et f x x x x x3 6 3 22= - = -l^ ^h h.

D’où le tableau de variations suivant :x 2- 0 2 3

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ h

16-

4

0

4

La fonction f admet aussi un minimum local en 2 , égal à 0.La calculatrice donne les extrema globaux sur l’inter-valle ;2 3-6 @.

1 La fonction f est dérivable sur ;0 3+ 6@ , et pour

tout réel 2x 0, f xx x

x2 1

12=

+

-l^^

hh

.

2 f xl^ h s’annule pour x 1= et est du signe de x1 - .D’où le tableau de variations :

x 0 1 3+

f xl^ h + 0 -

f x^ h

0

21

La fonction f étant positive, pour tout réel x de ;0 3+6 6,

on a : f x021G G^ h .

En multipliant par 2x 1 0+ , on a pour tout réel x 0H :

x x02

1G G + .

3 Pour tout réel 2x 0, on a :

f xx x

xx x x

11

111

- =+

- =+

-^

^h

h.

Donc f xx

1 0G-^ h , c’est-à-dire f xx

1G^ h .

Pour avoir f x 10 2G -^ h , il suffi t d’avoir

x1 102G ,

c’est-à-dire x 10 000H .Ainsi sur l’intervalle ;10 000 3+6 6, on a : f x 10 2G -

^ h .

1 La fonction P est dérivable sur ;4 226 @ et on a P v v v6 110 2102=- + -l^ h .

7 060=D ; ,v6

55 1765 2 161 .= -

et ,v6

55 1765 16 172 .= + .

v 4 v2 22

P vl^ h + 0 -

P v^ h

98

M

890

Où ,M54

72 469 1765 1765 2 715 19.= + .

2 La puissance est maximale pour une vitesse du vent égale à v2 m/s. Ce maximum est ,M 2 715 2. W.3 a. Voir ci-dessous :

x

y

50 11,5 20

500

y = 2 000

b. Les vitesses correspondant à une puissance de 2 000 W sont environ 11,5 et 20 m/s.

La fonction f est dérivable sur R et f x x x x x x x2 2 2 n1 2 f= - + - + + -l^ ^ ^ ^h h h h.

On a donc : f x nx x x x2 n1 2 f= - + + +l^ ^^h hh.On note x la moyenne arithmétique des xi et V la variance fV n x#= ^ h :

xn

x x xn1 2 f=

+ + + .

Ainsi f x nx nx n x x2 2= - = -l^ ^ ^h h h.D’où le tableau de variations de f :

x 3- x 3+

f xl^ h - 0 +

f x^ hnV

1 On a L2 22

400# #,

+ =r

donc L 2002,= -

r .

2 Le stade a pour aire :

L2

2002 4

22# # #, , , , ,+ = - +r

r rc ^m h

2004

2, ,= -r .


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Déc

lic 1

re S

Soit f la fonction défi nie sur ;0 400r

; E par :

f x x x2004

2= -r

^ h .

La fonction f est dérivable sur ;0 400r

; E et

f x x2002

0H= -rl^ h .

Donc la fonction f est croissante sur ;0 400r

; E .

Son maximum est atteint pour 400, =r

et L 0= .

Le stade a la forme d’un cercle.

1 Le produit xy est égal à x x x x10 10 2- = -^ h qui est maximum en /x 10 2 5= = .2 Le produit xy est égal à x a x ax x2- = -^ h qui est maximum en /x a 2= .

1 a. Le fabriquant utilise toute la largeur du carton.Donc y x30 2= - et ,x0 15G G car x est maximum pour y 0= .b. Le volume V, en cm3, est y x x x30 22 2# = -^ h .Donc V x x30 22 3= - .2 La fonction f est dérivable sur ;0 156 @ et on a f x x x x x60 6 6 102= - = -l^ ^h h.

D’où le tableau de variations :x 0 10 15

f xl^ h + 0 -

f x^ h0

1 000

0

3 Le volume V est maximum pour x 10= , et donc y 10= . La boîte est alors cubique de volume 1 000 cm3.

1 On appelle H le projeté orthogonal du point N sur la droite AC^ h.D’après le théorème de Thalès,

ABNH

CBCN

= .

Donc NH y4 5= . D’où NH y

54

= .

L’aire du triangle CMN est :

CM NH2# . Donc

x y

25

4

2#

= . Ainsi yx5

= .

2 • On appelle K le projeté orthogonal du point N sur la droite AB^ h.On obtient de la même façon K

y5

3 5=

-^ h.

• � I IA M A AM xx

2 22 3

3# #= =

-= -^

^h

h.

• � I INB B NKy

y2 2

25

3 5

53 5#

#= =

-

=-

^

^

^h

h

h

� INB xx5

3 5 5

3 3=

-= -^

c

h

m

.

• � IMN =^ h � ABC -^ h � CMN -^ h � IA M -^ h � INB^ h.

Donc � IMN xx

6 2 3 3 3= - - - - -^ ^ ch h m.

Ainsi � IMN xx

2 3= - +^ h .

• On appelle f la fonction défi nie sur ;0 3@ @ par :

f x xx

2 3= - +^ h .

La fonction f est dérivable sur ;0 3@ @ et ,f xx

x 32

2= -l^ h

qui s’annule en x 3= , et qui est du signe de x 3- . La fonction f admet un minimum en 3 et ce minimum est égal à 2 3 2- .• Conclusion : l’aire du triangle IMN est minimale lorsque

CM 3= et CN3

5 3= .

Problèmes

• La courbe �1 représente la fonction f qui est décroissante sur ; 13-@ @ et croissante sur ; .1 3+6 6 Donc �1 est associée à 2C , représentant une fonction négative sur ; 13-@ @ et positive sur ; .1 3+6 6

• La courbe �2 est associée à 3C , car la fonction g est affi ne : sa fonction dérivée est une fonction constante.• La courbe �3 représente la fonction h qui est croissante sur ; 13-@ @ et ;4 3+6 6, et décroissante sur ;1 46 @. Donc �3 est associée à 1C .

1 La fonction f est dérivable sur R et f x x x3 2 12= - -l^ h .

16=D ; x3

11 = - et x 12 = .

D’où le tableau de variations ci-dessous :

x 3- 31

- 1 3+

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ h 2732

0

2 a. f31

2716

=c m et f31

34

= -lc m .

Une équation de � est : y x34

2728

= - + .

b. fd x x x34

2728

= - - +^ ^ ch h m

d x x x x x134

27283 2= - - + + -^ ^h h

d x x x x31

2713 2= - + -^ h .

Comme x x x x31

31

2713

3 2- = - + -c m , on a :

d x x31 3

= -^ ch m , qui est du signe de x31

- .

D’où le tableau de signes de d x^ h :

x 3- 31 3+

d x^ h - 0 +

A

MH N

C

I B


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Déc

lic 1

re S

1 On doit avoir f 0 4=^ h . Donc a 4= .Dans ce cas f 4 0=^ h , donc � passe par le point ;B 4 0^ h.

2 La fonction f est dérivable sur ;0 46 @ et

f x x x x x89

25

89

252=- + = - +l^ ch m, qui s’annule

en 0 et 9

20 .

x 0 920 4

f xl^ h 0 + 0 -

f x^ h4 243

1472

0

Le maximum de f sur ;0 46 @ est :

,273

1472 6 06. .

L’espacement maximum entre le contour de l’évidement entre A et B, et l’axe des abscisses est environ 6,06.

1 a. • Pour tout réel x, 2f x x3 3 012= +l^ h , donc

la fonction f1 est strictement croissante sur R.• Les autres fonctions ont pour dérivée x 7 x3 12 -^ h.Les fonctions f2, f3 et f4 sont croissantes sur ; 13- - 6@ et sur ;1 3+ 6@ et décroissantes sur ;1 1- 6@ .

b. Voir ci-dessous.

Ces courbes coupent l’axe des abscisses en un, deux ou trois points.2 a. f x x p3 2= -l^ h .

b. • 1p 0 :

x 3- 3+

f xl^ h +

f x^ h

• p 0= :

x 3- 0 3+

f xl^ h + 0 +

f x^ hq

• 2p 0 :

x 3-p3-

p3 3+

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ hM

m

c. On a : fm p q p p3

23 3= = -d n

et fM p q p p3

23 3= - = +d n .

La courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses en trois points

m+ et M sont de signes contraires

1 1m M q p0274 02

3+ +# - .

1 a. et b. x 0 1 3 5

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ h

2 a. b. c.

x

y

1

1

0

��

3 La fonction f est dérivable sur ;1 5-6 @ et f x x ax b22= + +l^ h .

On doit avoir f 1 0=l^ h , f 3 0=l^ h et f 0 1=-^ h .D’où le système :

a ba b

c

1 2 09 6 0

1

+ + =

+ + =

=-

*

Donc a 2=- , b 3= et c 1=- .

Donc pour tout réel x de ;1 5-6 @ :

f x x x x31 2 3 13 2= - + -^ h .

4 Il y a une infi nité de fonctions qui admettent f x x x4 32= - +l^ h pour dérivée.

Il suffi t de changer la valeur du réel c.

1 Le polynôme x x2 22 - + , qui a pour discrimi-nant 4- (négatif ) , ne s’annule pas sur R.La fonction f est bien défi nie sur ;3 3- +6 6.2 Pour tout réel x 3H - ,

f xx xx x1

2 24 4 12

2- =

- +

+ - -^ h

f xx x

x x x x1

2 24 4 2 2

2

2 2

- =- +

+ - - - +^

^ ^h

h h

f xx x

xx x

x1

2 26 6

2 26 1

2 2- =- +

- =- +

-^

^h

h.

fffff

0 3

1 0

2 1

3 0

4 3

=

=

=-

=

=

l

l

l

l

l

^

^

^

^

^

h

h

h

h

h


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11 –

Déc

lic 1

re S

Ainsi f x 1-^ h est du signe de x 1- .• Si 1x 1, 1f x 1 0-^ h donc la courbe � est située sous la droite �.• Si x 1= , la courbe � et la droite � se coupent en

;A 1 1^ h.• Si 2x 1, 2f x 1 0-^ h donc la courbe � est située au-dessus de la droite �.3 Pour tout réel x 3H ,

f xx x

x x x x x x2 2

2 4 2 2 2 2 2 22 2

2 2

=- +

+ - + - - - +l^

^

^ ^ ^ ^h

h

h h h h

f xx x

x x2 2

6 122 2

2=

- +

- +l^^

hh

.

x 3- 0 2 3+

f xl^ h - 0 + 0 -

f x^ h 177

-

2-

4

4

x

y

1

1

0

A

��

�

1 Pour tout x élément de R\ 0" , on a :

f xx

x x x xx

x1 3 3 3 1 32

2 3

2= - + - =- + + -^ h .

2 Pour tout x élément de R\ 0" , on a :

f xx

x x2 13

2

=-+ -

l^^ ^

hh h

,

qui est du signe de x x 2- +^ h.

x 3- 2- 0 1 3+

f xl^ h - 0 + - 0 -

f x^ h4

27 0

3 La droite � a pour équation

f fy x21

21

21

= - +lc c cm m m,

avec f21 5=-lc m et f

21

21

=c m .

Donc � a pour équation : y x5 3=- + .

4 On résout sur R\ 0" , l’équation :f x x x x1 2 1 2 3+=- + - =l^ ^ ^h h h

x x x x x3 2 3 2 0323 3+ + +- + = - = = .

Comme f32

121

=c m et f32 1=-lc m , la tangente paral-

lèle à la droite D passe par le point ;A32

121

c m et a pour

équation y x43

=- + .

5 On développe :

f x x xx

x x3 3 1 3 32- - + = - + + - - - +^ ^ d ^h h n h

x

x1 32= - .

• Si ; ;x 0 031,3! - 6 ;@ E , 2f x x 3 0- - +^ ^h h ,

donc la courbe � est située au-dessus de la droite �.

• Si x31

= , la courbe � et la droite � se coupent en

;B31

38

c m.

• Si ;x31 3! + ;E , 1f x x 3 0- - +^ ^h h , donc la

courbe � est située en dessous de la droite �.

1 a. La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x,

f xx

x x x1

3 1 1 1 22 2

2# #=-

+

- + - -l^

^

^ ^ ^ ^^h

h

h h h hh

f xx

x x1

3 2 12 2

2

=+

- - -l^

^

^h

h

h.

b. 8=D ; x 1 21 = - et x 1 22 = + .

x 3- 1 2- 1 2+ 3+

f xl^ h - 0 + 0 -

f x^ h

21 3 2-

21 3 2+

2 On résout :

f xx

x2 2

13 1

22+= -+

-=^

^h

h

x x1 0 1+ +- = = .

Donc le point d’intersection de �f avec la droite d d’équation y 2= est le point ;A 1 2^ h.

3 On résout :

f xx

x1 2

13 1

12+=- -+

-=-^

^h

h

xx

x x1

3 13 1 12

2+ ++

-= - = +

^ h

x x x1 0 0+ ++ = =^ h ou x 1=- . Les antécédents de 1- par f sont 1- et 0.

4

x

y

1

1

0

A d�f


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Déc

lic 1

re S

La fonction f est dérivable sur ;1 56 @, et pour tout

réel x de ;1 56 @, f x axc

2= -l^ h .

On doit avoir : f 2 0=l^ h , f 2 6=^ h et f 1 7=^ h . D’où le système :

a c

a b c

a b c

abc

40

22

6

7

124

+

- =

+ + =

+ + =

=

=

=

Z

[

\

]]]

]]

*

Donc pour tout réel x de ;1 56 @, on a .f x xx

2 4= + +^ h

Donc f 55

39=^ h .

1 On conjecture que l’aire du rectangle MNPQ est maximum pour ,x 1 4. .2 On a : QM x2= et MN x6 2= - .Donc en fonction de x, l’aire du rectangle MNPQ est égale à f x x x x x2 6 12 22 3= - = -^ ^h h .La fonction f est dérivable sur ;0 66 @, et pour tout réel x de ;0 67 A, on a : f x x12 6 2= -l^ h .Elle s’annule en 2 sur ;0 67 A.

x 0 2 6

f xl^ h + 0 -

f x^ h

0

8 2

0

L’aire est donc maximum pour x 2= et le maximum est 8 2 .

A - Un cas particulier1 Les points d’intersection de � et � ont des abscisses qui vérifi ent l’équation x x x x6 6 02 2+= + - - = .

25=D ; x 21 =- et x 32 = .

Comme 2 42- =^ h et 3 92 = , les points d’intersection de � et � sont ;A 2 4-^ h et ;B 3 9^ h.2 a. � AMB =^ h � AHPB -^ h � AHQM -^ h � MQPB^ h.Pour tout réel x de ;2 3-6 @, on a :

• � AHPBAH PB HP

2 24 9 2 3

=+

=+ +

^^ ^ ^

hh h h

;2

65=

• � AHQMAH QM HQ x x

2 24 22

=+

=+ +

^^ ^ ^

hh h h

;

• � MQPBMQ PB QP x x

2 29 32

=+

=+ -

^^ ^ ^

hh h h

.

Donc l’aire du triangle AMB est

� AMBx x x x

265

24 2

29 32 2

= -+ +

-+ -

^^ ^ ^ ^

hh h h h

fx x x25

25 15

2= - + + = ^ h.

b. Avec les notations habituelles, a25

= - (négatif ) et

ab

2 21- = .

Donc l’aire du triangle AMB est maximale pour x21

= .

B - Pour chercher1 Les points d’intersection de � et � ont des abscisses qui vérifi ent l’équation :x mx p x mx p 02 2+= + - - = , qui admet deux solutions distinctes si, et seulement si, 2m p4 02 + :

xm m p

24

1

2

=- +

et xm m p

24

2

2

=+ +

.

Dans ce cas-là, les courbes � et � se coupent en ;A x x1 1

2_ i et ;B x x2 2

2_ i.

2 a. � AMB =^ h � AHPB -^ h � AHQM -^ h � MQPB^ h.Pour tout réel x de ;x x1 26 @, on a :

• � AHPBAH PB HP x x x x

2 212

22

2 1=

+=

+ -^

^ _ ^h

h i h ;

• � AHQMAH QM HQ x x x x

2 212 2

1=

+=

+ -^

^ _ ^h

h i h ;

• � MQPBMQ PB QP x x x x

2 2

222

2=

+=

+ -^

^ _ ^h

h i h.

Donc l’aire du triangle AMB est :

� AMBx x x x x x x x

2 212

22

2 1 12 2

1=

+ --

+ -^

_ ^ _ ^h

i h i h

x x x x2

222

2-

+ -_ ^i h

� fAMB x x x x x x x2 2

151 2 2 22

12

=-

+-

+ =^ ^h h.

b. Avec les notations habituelles, a x x2

1 2=- (négatif )

et ab x x

2 21 2- =+

m m p m m p m21

24

24

2

2 2

=+

++ +

= .

Donc l’aire du triangle AMB est maximale pour :

x x x m2 2

1 2=+

= .

1 On conjecture le tableau de variations suivant :

x 0 0,7 2 4

f x^ h

4

3,7

4

0

2 a. Dans le triangle rectangle AME,

sin AMEMEAE

ME2

= =_ i% .

Dans le triangle rectangle MBN,

sin MNBMNMB

MNx4

= = -^ h% .

Comme MNB AME=% % , on a :

ME MNx2 4

= -

donc MN x ME2

4#= - .

L’aire du triangle EMN est :

MN ME x ME21

21

24 2# # #= - .

Or dans le triangle rectangle AME, on a ME x 42 2= + .

Donc f xx x

44 4 2

=- +

^^ ^

hh h

.

b. La fonction f est dérivable sur ;0 46 6 et pour tout

réel x de ;0 46 6, f x x x43 2 12=- + -l^ h .


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Déc

lic 1

re S

1=D ; x 21 = et x32

2 = .


x 0 32 2 4

f xl^ h - 0 + 0 -

f x^ h

4

27100

4

0

3 Pour tout réel x de ;0 26 @, f x27

100 4G G^ h .

1 Le périmètre de l’arbelos est composé de la somme des trois demi-cercles de diamètres respectifs x,

x10 - et 10.

Donc p x x x2 2

10 5 10# # #= + - + =r r r r^ h .

Ce périmètre est constant sur ;0 106 @.2 L’aire de l’arbelos est obtenue en enlevant l’aire des deux demi-disques roses au grand demi-disque.

A x x x21

210

21

2 21

2102 2 2

# #= - - -r r r^ c d ch m n m

A x x x4

102= - +r

^ ^h h.

La fonction A est dérivable sur ;0 106 @ et pour tout réel x

de ;0 106 @, A x x4

2 10= - +rl^ ^h h.


x 0 5 10

A xl^ h + 0 -

A x^ h

0

425r

0

Le maximum de l’aire est 4

25r , atteint pour x 5= .

1 La première lampe, située à x du point M, fournit un

éclairement de x8

2 U ; la deuxième lampe, située à x5 -

du point M, fournit un éclairement de x5

272-^ h

U.

Donc l’éclairement reçu par le point M, en fonction de

x, est proportionnel à : f xx x8

527

2 2= +-

^^

hh

, où x

appartient à ;0 56@ .

2 La fonction f est dérivable sur ;0 56@ . Pour tout réel x de ;0 56@ ,

f xx x

8 2 275

23 3# #= - +

-l^

^h

h

.f xx x16

554

3 3= - +-

l^^

hh

En mettant au même dénominateur,

f xx x

x x5

16 5 543 3

3 3

=-

- - +l^

^

^h

h

h

f xx x

x x x x5

16 125 75 15 543 3

2 3 3

=-

- - + - +l^

^

^h

h

h

x x

x x x5

70 240 1200 2 0003 3

3 2=

-

- + -

^ h

x x

x x x5

10 7 24 120 2003 3

3 2

=-

- + -

^

^

h

h.

De plusx x x x x x2 7 10 100 7 10 1002 3 2- - + = - +^ ^h h

x x14 20 2002- + -

x x x7 24 120 2003 2= - + - .

Donc f xx x

x x x5

10 2 7 10 1003 3

2

=-

- - +l^

^

^ ^h

h

h h.

Pour tout réel x de ;0 56@ , 2x 03 ; 2x5 03-^ h et 2x x7 10 100 02 - + (car 2 700=-D est négatif ).

Donc f xl^ h est du signe de x 2-^ h.D’où le tableau de signes et de variations suivant :

x 0 2 5

f xl^ h + 0 -

f x^ h

5

L’éclairement est maximum lorsque le point M est situé à 2 m du point A.

Dans le triangle OO Al rectangle en Ol, on a O A OA OO2 2 2= -l l .En posant OO x=l , O A R x2 2 2= -l .Le volume du cône est :

V x O A SO R x R x31

312 2 2# # # #= = - +r rl l^ ^ ^h h h

Pour tout réel ;x R0! 6 @,

V x x Rx R31 3 22 2= - - +rl^ ^h h.

R16 2=D ; x R31 = et x R2 =- . D’où le tableau de varia-

tions :

x 0 R3

R

V xl^ h + 0 -

V x^ h R3

3r

R81

32 3r

0

Donc le volume est maximum en R3

et ce maximum est R

8132 3r .

La longueur L étant fi xée à 1,20 m, on doit avoir , ,h1 2 0 3# #, = . Donc h

41,

= .

La quantité de plastique est proportionnelle à la surface

� , ,L h L2 2 1 241 1 2#, , , ,,

,= + + = + +^ ^ ^h h h .

Donc � , , ,0 6 1 2 0 5,,

,= + +^ h .

La fonction � est dérivable sur ; ,0 1 2@ @, et pour tout , de

; ,0 1 2@ @, � , ,1 2 0 62

2,

,

,=

-l^ h .


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D’où le tableau de variations ci-dessous :

, 022 1,2

� ,l^ h + 0 -

� ,^ h

, ,1 2 2 0 5+

La boîte est de volume maximal lorsque 22, = , et

donc h42

= .

Les dimensions de la boîte de volume maximal sont au dixième près , , ,1 2 0 7 0 4# # .

1 Il semble que l’aire du trapèze OBMA soit constante et égale à 1,5.2 Soit ;x 0 3! + 6@ . Le point M a pour coordonnées

;xx1

c m. La tangente T a pour équation :

Yx

X xx x

Xx

1 1 1 22 2=- - + =- +^ h .

Donc le point A a pour coordonnées ;x

0 2c m.

Ainsi :

� OBMAOA BM OB x x

x

2 2

2 1

23

#=

+=

+=^

^c

hh

m

.

1 Une rampe rectiligne ne peut pas convenir, car elle ne peut être tangente au sol en A par exemple. Il en est de même d’une ligne brisée.2 Un arc de parabole ne peut pas convenir, car il ne peut pas avoir deux tangentes horizontales. 3 Une rampe formée d’un arc de cercle ne peut pas convenir, car il ne peut avoir deux tangentes horizontales.4 • On considère la fonction f défi nie par :

si ;

si ;f x

ax bx c x

x x x

0 1

1 2

2

2

!

!=

+ +

+ +a b c^ h

6

6

@

@

* .

Il faut que f 0 1=^ h , f 2 0=^ h , f 0 0=l^ h , f 2 0=l^ h , ce qui conduit à :

si ;

si ;f x

ax x

x x x

1 0 1

4 4 1 2

2

2

!

!=

+

- +a a a^ h

6

6

@

@

* .

On doit avoir raccordement à la fois des courbes et des

tangentes pour x 1= donc a

a1

2 2+ =

=-

a

a) .

On obtient donc : si ;

si ;f x

x x

x x x

21 1 0 1

21 2 2 1 2

2

2

!

!=

- +

- +^ h

6

6

@

@

Z

[

\

]]

]].

x

y

1

1

0

• Sur ;0 16 @, la pente est f x x x= - =l^ h , qui est maximum pour x 1= .Sur ;1 26 @, la pente est f x x x2 2= - = -l^ h , qui est maximum pour x 1= .Ainsi la pente maximum est obtenue au point d’abs-cisse 1 et cette pente vaut 1.5 • Si g x ax bx cx d3 2= + + +^ h .

Alors g x ax bx c3 22= + +l^ h .On doit avoir : g 0 1=^ h , g 0 0=l^ h , g 2 0=^ h et g 2 0=l^ h .On obtient le système :

dc

a b c da b c

a

b

cd

10

8 4 2 012 4 0

41

43

01

+

=

=

+ + + =

+ + =

=

= -

=

=

Z

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]]

]]]

Donc g x x x41

43 13 2= - +^ h .

x

y

1

1

0

• Pour x de ;0 26 @, la pente est :

g x x x43

232= -l^ h

g x x43 1

432= - -l^ ^h h .

On a les tableaux de variations suivants :

x 0 1 2

g xl^ h

0

43-

0

g xl^ h

043

0

Donc la pente est maximum au point d’abscisse 1 et elle

est égale à 43 .

1 a. Pour x appartenant à ;10 1006 @,

U xx

1 9002= -l^ h

U xx

x x30 302=

- +l^

^ ^h

h h.

D’où le tableau de variations de U :

x 10 30 100

U xl^ h - 0 +

U x^ h

90

50

99


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x

y

10 80

10

80

0

b. Le coût unitaire est minimum pour une production de 30 objets.La production de 30 objets à 50 € chacun coûte 1 500 € et leur vente rapporte 3 000 €. Le bénéfi ce est donc de 1 500 €.c. Pour avoir un coût de production unitaire inférieur ou égal à 80 € , il faut produire environ entre 12 et 78 objets.2 a. Le coût de production de x objet est :

C x x U x x x10 9002#= = - +^ ^h h .La vente de ces x objets rapporte R x x100=^ h .Donc le bénéfi ce est :

B x R x C x x x110 9002= - =- + -^ ^ ^h h h .b. La fonction B est dérivable sur ;10 1006 @ et pour tout réel x de ;10 1006 @, B x x2 110=- +l^ h .D’où le tableau de variations :

x 10 55 100

B xl^ h + 0 -

B x^ h 100

2 125

100

Le bénéfi ce maximal est de 2 125 €, atteint pour une production et une vente de 55 objets.Le coût unitaire n’est pas, dans ce cas-là, minimal.

Partie A 1 p 3

53

=^ h . La probabilité qu’une personne prise au

hasard ignore le nom du produit après trois semaines de

publicité est : 153

52

- = .

2 p xx

x x21

4 33

21

23

+ +=+

= =^ h .

Au bout d’une semaine et demie, la moitié de la popula-tion connaît le nom de l’entreprise. 3 • « Avant le lancement de l’opération, personne ne connaît le nom du produit. » : vrai, car p 0 0=^ h .• « Au bout de 12 semaines de publicité, tout le monde connaît le nom du produit. » : faux, car

,p 121712 0 71.=^ h .

Partie B1 La fonction f est dérivable sur ;0 186 @ et pour tout

réel x de ;0 186 @, 2f xx4 3

9 02=+

l^^

hh

.

Donc la fonction f est strictement croissante sur ;0 186 @.2 a. On a ,f 3 0 6=^ h et ,f 3 0 04=l^ h . Donc la droite � a pour équation :

, , , ,y x x0 04 3 0 6 0 04 0 48= - + = +^ h .b.

x

y

1 3 5

0,1

0,6

y = 0,72

0

y = 0,66

Partie C 1 Voir ci-dessus.2 • La durée nécessaire pour que la probabilité exprimée en A. passe de 0,6 à 0,66 est de 2,5 semaines environ.• La durée nécessaire pour que la probabilité exprimée en A. passe de 0,66 à 0,72 est de 12,5 semaines environ.3 Oui, car le gain en probabilité de connaissance est infi me au bout de 5,5 semaines.

On appelle f la fonction x 7 x4 2- .La fonction f est dérivable sur R et pour tout réel x, f x x2=-l^ h .Pour tout réel t de ;0 2@ @, le point M a pour coordonnées

; .t t4 2-^ h

La tangente en M à � a pour équa-tion : ,y t x t t2 4 2#=- - + -^ h soit y t x t2 4 2#=- + + .Donc les points P et Q ont pour coordonnées respectives

;t

t2

4 02 +

d n et ; t0 42 +^ h.

L’aire du triangle OPQ est :

g t OP OQt

t2 4

42 2#= =

+^

^h

h.

La fonction g est dérivable sur ;0 2@ @ et pour tout réel t

de ;0 2@ @, g tt

t t4

4 3 42

2 2

=+ -

l^^ ^

hh h

.


t 03

2 3 2

g tl^ h - 0 +

g t^ h 932 3

8

Donc l’aire du triangle OPQ est minimum pour ,t3

2 3=

et son minimum est 9

32 3 .

A. Une première modélisation1 a. ◗ Les positions limites du compas sont :• les branches sont collées et dans ce cas C est en B ;• les branches sont alignées et C est en Bl.

x

y

1

1

0

Q

O

M

P


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◗ Le point A appartient à la médiatrice du segment BC6 @, car le triangle ABC est isocèle en A.◗ Le point A appartient aussi au cercle de centre B et de rayon 10 car AB 10= .b. D’après le dessin ci-dessous, l’aire est maximum pour

,BC 14 14. et dans ce cas l’aire maximum est 50.

2 a. Soit H le milieu du segment BC6 @. On a :

AH AC HC2 2= - ;

donc AH x x1004 2

1 4002

2= - = - .

L’aire du triangle ABC est BC AH2# .

Donc pout tout réel x de ;0 206 @, l’aire du triangle ABC

est f x x x4

400 2= -^ h .

b. On remarque que pour tout réel x de ;0 206 @,

f x x x41 4002 2#= -^ ^h h .

Les fonctions f et g : x 7 x x4002 2-^ h ont les mêmes variations sur ;0 206 @.Or g est dérivable sur ;0 206 @ et pour tout réel x de

;0 206 @, on a : g x x x4 200 2= -l^ ^h h.D’où les tableaux de variations de g et de f sur ;0 206 @ :

x 0 200 20

g xl^ h 0 + 0 -

g x^ h

0

40 000

0

f x^ h

0

50

0

Le maximum de f sur ;0 206 @ est donc 50, obtenu pour ,x 200 14 14.= .

B. Une question de « point de vue »

On a : � ABC AB CH2#=^ h .

La longueur AB étant fi xe, l’aire du triangle ABC est maximum lorsque la longueur CH est maximum, c’est-à-dire lorsque le triangle ABC est rectangle en A. Dans ce cas :

BC 10 2 200= = et � ABC2

10 10 50#= =^ h .


Les fonctions dérivées sont :

a. x 7 x3

4- en posant u : x 7 x3 et en appliquant la

formule u1

c ml

uu

2=-l .

b. x 7x

x2

3 1+ en posant : x 7 x 1+ , v : x 7 x

et en appliquant la formule uv^ hl u v uv= +l l.

c. x 7x xx x

12 2

2 2

2

+ +

- + +

^ h en posant u : x 7 x 1- ,

v : x 7 x x 12 + + et en appliquant la formule

vu

d nl

vu v uv

2= -l l .

a. A s’annule en 31 et 2.

On a le tableau de signes suivant :

x 3- 31 2 3+

x1 3- + 0 - -

x 2- - - 0 +

x x1 3 2- -^ ^h h - 0 + 0 -

b. On a B x x x x2 5 32= - +^ ^h h donc comme

x x2 5 32 - + s’annule en 1 et 23 , on a le tableau de

signes suivant :

x 3- 0 1 23

3+

x - 0 + + +

x x2 5 32 - + + + 0 - 0 +

B x^ h - 0 + 0 - 0 0 +


Sur ;0 3+6 6, u : x 7 x2 3- est une fonction affi ne de coeffi cient directeur positif, donc elle est crois-sante sur R ; v : x 7 x est croissante sur ;0 3+6 6. Comme f u v= + , f est croissante sur ;0 3+6 6.

1 x x 12 + + a un discriminant négatif, donc il ne s’annule pas. La fonction f est défi nie sur R.2 Pour tout réel x, f x

x xx

12 1

2 2=+ +

- -l^^

hh

qui est du

signe de x2 1- - ; d’où le tableau de variations :

x 3- 21

- 3+

f xl^ h + 0 -

f x^ h 34


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x 3- 2- 0 2 3+

f xl^ h - 0 + 0 - 0 +

f x^ h

x

y

1

1

0

• f est défi nie pour x 2! .

• Pour tout réel x 2! , 1f xx 2

8 02=--

l^^

hh

.

La fonction f est décroissante sur ; 23- 6@ et sur ;2 3+ 6@ .

La fonction f est déri-vable sur R et .f x x4 83= -l^ h La représentation graphique ci-contre montre qu’elle s’annule une fois en ,a 2 1 263 .= et donne le signe de f xl^ h.

x 3- a 3+

f xl^ h + 0 -

f x^ hm

La fonction f présente un mini-mum égal à :

,m a a8 7 564 += - - .

1 On a d t t2 8=- +l^ h . Donc, d est maximum pour t 4= et ce maximum est 16.Le point le plus éloigné est obtenu au bout de 4 secondes. La vitesse instantanée est nulle en ce point, puis elle change de signe. Le mobile revient donc vers A. 2 Il sera de nouveau en A au bout de 8 secondes, car dans ce cas d 8 0=^ h .

1

At = 0

t = 8 d’(4)= 8

t = 4

16

1 Pour tout réel x, f xx

x x1

2 12 2

2=

+

- -l^^

hh

qui est

du signe de x x2 12 - - . Ce trinôme a pour racines :

1 2- et 1 2+ . On en déduit le tableau de varia-tions ci-dessous, puis que pour tout x appartenant à

;10 10-6 @, on a :

f x2

7 22

7 2G G- +^ h .

x 10- 1 2- 1 2+ 10

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ h

101314

27 2+

27 2-

101294


Pour x positif, f xx x

3203 168 1764

=- +

l^^

hh

,

soit f xx x

3203 42 14

=- -

l^^ ^

hh h

qui est du signe de

x x42 14- -^ ^h h ; d’où le tableau ci-dessous.Au bout de 14 minutes, la quantité de substances actives est maximum et est de 34,3 milligrammes par litre.

x 0 14 42

f xl^ h + 0 - 0

f x^ h

0

34,3

0

1 On a :h

h

a ba b

2 2 012

6 2 018

4 2 2 000 2 01236 6 2 000 2 018

+=

=

+ + =

+ + =

^

^

h

h* )

a ba b

a

b

2 66 3

43

215

+ ++ =

+ =

=-

=

Z

[

\

]]

]]) ;

donc h t t t43

215 2 0002=- + +^ h .

2 a. , ,f x x1 5 7 5=- +l^ h qui s’annule pour x 5= ; d’où le tableau de variations :

x 0 5 8

f xl^ h + 0 -

f x^ h

2 000

2 018,75

2 012

b. La hauteur maximum de l’avion est de 2 018,75 m atteinte au bout de 5 secondes. En fi n de phase, il est à 2 012 m d’altitude.

1 On a PR r

RE2

2=

+^ h.

2 f RR r

E r R4

2 2 2

=+

-l^

^

^h

h

h qui s’annule pour R r= . On a

le tableau ci-dessous :

R 0 r 100

f Rl^ h + 0 -

f R^ h

0r

E4

2

3 La puissance est maximum pour R r= .

x

y

1

1

0


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Approfondissement

1 x x 12 + + a un discriminant négatif, donc il ne s’annule pas sur R.2 La droite D coupe la courbe � en des points dont les abscisses sont solutions de l’équation f x x 1= -^ h , qui

équivaut à x3 1 0- = ; soit x31

= . Le point d’intersec-

tion est ;A31

32

-c m.

3 On a f xx x

x x x1

2 6 32 2

4 3 2=

+ +

+ + -l^^

hh

. À l’aide d’un

logiciel de calcul formel, les solutions

approchées de f x 0=l^ h sont : 0,63 et - 0,77. Le numérateur est du signe de l’expression x x x2 6 34 3 2+ + - que l’on a représentée ci-contre ; d’où le tableau de variations ci-dessous.

x 3- - 0,77 0,63 10

f xl^ h + 0 - 0 +

f x^ h

2,25

- 0,8

Le volume du fl acon est V x h31

22

= ;

donc on a hx

3 0002= .

La surface peinte a une aire :

S x xh xh xx2 2 2 2

3 0002 2= + + = + .

Il faut étudier les variations de la fonction f défi nie sur

;0 3+ 6@ telle que f x xx2

3 0002= +^ h .

Elle a pour dérivée f xx

x 3 0002

3= -l^ h qui s’annule

en ,a 3 000 14 43 .= . Si 2x a , alors 2x 3 0003 et

2f x 0l^ h . On a donc le tableau de variations :

x 0 a 10

f xl^ h - 0 +

f x^ h

m

On trouve m 312. cm2.

x

y

1

1

0

C H A P I T R E

Suites numériques

Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques 1

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Contenus Capacités attendues CommentairesSuitesModes de génération d’une suite numérique.

◗ Modéliser et étudier une situation à l’aide de suites. Mettre en œuvre des algorithmes permet-tant :– d’obtenir une liste de termes d’une suite ;– de calculer un terme de rang donné.

Il est important de varier les approches et les outils.L’utilisation du tableur et la mise en œuvre d’algorithmes sont l’occasion d’étudier en particulier des suites générées par une rela-tion de récurrence.

Sens de variation d’une suite numérique. ◗ Exploiter une représentation graphique des termes d’une suite.

On peut utiliser un algorithme ou un tableur pour traiter des problèmes de comparaison d’évolutions et de seuils.Par exemple, dans le cas d’une suite crois-sante non majorée, on peut déterminer un rang à partir duquel tout terme de la suite est supérieur à un nombre donné.Le tableur, les logiciels de géométrie dyna-mique et de calcul sont des outils adaptés à l’étude des suites, en particulier pour l’approche expérimentale de la notion de limite.On ne donne pas de défi nition formelle de la limite.

Approche de la notion de limite d’une suite à partir d’exemples.

◗ Exploiter le sens de variation pour l’obten-tion d’inégalités.


2. Intentions des auteursDans ce chapitre, on introduit une nouvelle notion : la notion de suite numérique.On travaille tout d’abord sur les deux principales façons de générer une suite : par une formule explicite et par une formule de récurrence, en diversifi ant les cadres (numérique, graphique, algorithmique). Puis on met en place la notion de sens de variation d’une suite, toujours en variant les approches. Un travail a été mené particulièrement sur les théorèmes utilisés et leurs réciproques (généralement fausses). Enfi n, on approche la notion de limite à partir d’exem-ples, toujours en variant les cadres de travail.Conformément au programme, le travail s’inscrit dans le domaine de la résolution de problèmes relevant de la modélisation de phénomènes discrets. Les situations proposées répondent à des problématiques clairement identifi ées d’origine purement mathématique ou en lien avec d’autres disciplines ou encore liées à la vie courante.

L’utilisation de logiciels (calculatrices, logiciels de programmation, tableur, logiciels de géométrie dyna-mique) donne du sens à ces notions tout en continuant l’apprentissage de l’algorithmique.De nombreux QCM et Vrai ou faux ? permettent de conforter les apprentissages des notions du cours tout en travaillant la logique par l’intermédiaire de contre-exemples.Des démonstrations de théorèmes non données dans le cours se retrouvent aux exercices 58 et 67.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 5 Suites numériques

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A 1 c. 2 a. et c. 3 c.

B 1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai.

C 1 a. Vrai. b. Faux. 2 Vrai. 3 a. Vrai. b. Faux.

D 1 a. et b. 2 a. et c.

ActivitéActivité 1 Liste de nombres et notation indicielleObjectif◗ Introduire la notion de suite et la notation indicielle.◗ Introduire le vocabulaire lié aux suites : rang, indice, terme général, terme précédent, terme suivant.◗ Introduire les deux principales façons de générer une suite : par une formule explicite ou par une formule de récurrence.

1 a. x 1 2 3 4 5 6

t x^ h - 32 - 30 - 24 - 14 0 18

b. Le terme de rang 8 est t 8 66=^ h .Le terme de rang 20 est t 20 690=^ h .c. La fonction t est dérivable sur R, et pour tout réel x, t x x4 4= -l^ h , qui s’annule en 1.D’où le tableau :

x 3- 1 3+

t xl^ h - 0 +

t x^ h- 32

Pour tout entier n non nul, n 1H .Comme la fonction t est croissante sur ;1 3+6 6, on a alors : t n t n 1G +^ ^h h, c’est-à-dire t tn n 1G + .

2 a. Le terme de rang 8 vaut 17 ; le terme de rang 10 vaut 21.b. Deux termes consécutifs sont distants de 2. Plus préci-sément, pour tout entier n, u u 2n n1 = ++ .c. Le terme de rang 15 est obtenu à partir du terme de rang 0 en ajoutant 15 2# . Donc le terme de rang 15 est 31.Le terme de rang 50 est obtenu à partir du terme de rang 0 en ajoutant 50 2# . Donc le terme de rang 50 est 101.Pour tout entier n, u u n n2 1 2n 0 #= + = + .On a bien :

u 1 2 8 178 #= + = et u 1 2 10 2110 #= + = .

3 a. Le terme de rang 10 est 23 ; le terme de rang 15 est 29 ; le terme de rang 50 est 103 ; le terme de rang 100 est 203.b. Pour tout entier n, v v 4n n2 = ++ .

c. Pour tout entier n, u n2 et u n2 1+ sont échangés, c’est-à-dire que v un n2 2 1= + et v un n2 1 2=+ .D’où l’algorithme donné.On en déduit que pour tout entier n :– si n est pair, v u n n1 2 1 3 2n n 1= = + + = ++ ^ h ;– si n est impair, v u n n1 2 1 1 2n n 1= = + - =- +- ^ h .On obtient bien : v 3 2 10 2310 #= + = ;v 1 2 15 2915 #=- + = ;v 3 2 50 10350 #= + = ;v 3 2 100 203100 #= + = .

ActivitéActivité 2 Utiliser une suite pour modéliser une situationObjectifs◗ Introduire une suite pour résoudre un problème géomé-trique.◗ Travailler sur une formule de récurrence.◗ Introduire un algorithme pour résoudre un problème.

1 u 11 = ; u 32 = ; u 63 = ; u 104 = .

2 Pour tout entier n, l’ajout d’un point An 2+ sur le cercle rajoute les n 1+ segments le reliant aux n 1+ points précédents ( A1 à An 1+ ).Donc u u n 1n n1 = + ++ .

3 On propose :

ALGO

Variables : n , i , u : entiers ;Début Entrer (n) ; u 1! ; Pour i allant de 2 à n faire iu u! + ; FinPour ; Affi cher(u) ;Fin.

ActivitéActivité 3 Comportement à l’infini d’une suiteObjectifs◗ Approcher la notion de limite par une étude numérique.◗ Découvrir le vocabulaire lié à la notion de limite.◗ Utiliser la calculatrice pour conjecturer des limites.

1 Pour tout entier n 1H , fu nn = ^ h où f est la fonction inverse.Comme la fonction f est décroissante sur ;1 3+6 6, u un n1 G+ .Donc la suite u est décroissante.Pour tout entier n 1H , v g nn = ^ h où g est la fonction carré.Comme la fonction g est croissante sur ;1 3+6 6, v vn n1 H+ .Donc la suite v est croissante.

2 ,u 0 01100 = ; ,u 0 0011000 = ; ,u 0 000 001106 = ; u 1012

12= - .


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11 –

Déc

lic 1

re S

Le terme un se rapproche de 0 lorsque n devient « grand ».v 10 000100 = ; v 101000

6= ; v 101012

6 = ; v 101024

12 = .Le terme vn devient très « grand » lorsque n devient « grand ».

3 a. On résout :

un

n0 10 1 10 10n3 3 3+ +G G G H- - .

Tout entier p supérieur à 1 000 convient.b. On résout :

un

n0 10 1 10 10n6 6 6+ +G G G H- - .

Tout entier q supérieur à 106 convient.

c. Pour tout réel 2e 0, u e ne

0 1n +G G H .

On peut donc raisonner de la même façon avec 2e 0. En conclusion, pour tout réel e strictement positif, l’in-tervalle ; e0 6@ contient tous les termes de la suite u à

partir du rang Ee1 1+c m .

4 a. On résout :v n n10 10 100n

4 2 4+ +H H H .Tout entier pl supérieur à 100 convient.b. On résout :

v n n10 10 10n10 2 10 5+ +H H H .

Tout entier ql supérieur à 105 convient.c. Pour tout réel positif M, v M n Mn +H H ;pour tout réel négatif M, v M n 1n +H H .Donc on peut raisonner de la même façon.

5 a. On conjecture que la limite de la suite u est 21 .

b. On conjecture que la limite de la suite v est 3- .c. On conjecture que la limite de la suite w est 2- .d. On conjecture que la limite de la suite t est 0.


Travailler sur des indices

1 u 20 =- ; u 01 = ; u 42 = .2 Pour tout entier n :◗ u n n1 1 2n 1

2= + + + -+ ^ ^h h

u n n n n n2 1 1 2 3n 12 2= + + + + - = ++ ;

◗ u n n1 1 2n 12= - + - -- ^ ^h h

u n n n n n2 1 1 2 2n 12 2= - + + - - = - -- ;

◗ u n n n n2 2 2 4 2 2n22 2= + - = + -^ h ;

◗ u n n3 1 3 1 2n3 12= - + - -- ^ ^h h

u n n n n n9 6 1 3 1 2 9 3 2n3 12 2= - + + - - = - -- ;

◗ u u n n n n n3 2 2 2n n12 2- = + - + - = ++ ^ ^h h .

1 v21

0 = ; v52

1 = ; v21

2 = .

2 Pour tout entier n :

vn n3 1 2

23 5

2n

n n

1

1 1=

+ +=

++

+ +

^ h ;

vn n3 2 2

23 8

2n

n n

2

2 2=

+ +=

++

+ +

^ h.

Alors v

n12

3 8n

n2

2= +

++

et v v

n n14

12

3 54 23 2

n nn n

11 #

- = + - +

++

v vn n1

41

26 10

23 2

n nn n

12 2- = + - +

++ +

v vn1

41

23 8

n nn

12- = +

++

.

Donc pour tout entier n, v v v

1 14

1n n n2 1

= -+ +

.

w 30 = ; ,w 1 51 = ; ,w 1 52 = ; ,w 2 33 . .

Calculer des termes d’une suite

1 u 00 = ; u 01 = ; u 22 = ; u 63 = ; u 124 = .v 20 = ; v 41 = ; v 112 = ; v 283 = ; v 654 = .2 Pour tout entier n, u u n n n n1 1n n1 - = + - -+ ^ ^h h

u u n n n n n2n n12 2- = + - + =+ .

3 Pour tout entier n, v v n2 3 1n n 1= + -- ^ h.

t 50 =- ; t 11 = ; ,t 2 62 . ; t 33 . .

Étudier les variations d’une suite

1 u 10 = ; u 21 = ; ,u 3 52 . ; u 43 = ; ,u 4 54 . ; u 55 = ; u 66 = .2 Les premiers termes de la suite paraissent augmenter : la suite u paraît croissante.

a. Pour tout entier n,u u n n n n1 1n n1

2 2- = + - + - -+ ^ ^^ ^h hh h

u u n2 0n n1 H- =+ .Donc la suite u est croissante.b. v 10 = ; v 41 = ; v 12 = . Donc la suite v n’est pas mono-tone.

a. Pour tout entier n, 2u un 1

1 0n n1 - =++ .

Donc la suite u est croissante.b. Pour tout entier n,

v v23

23

23

22 3

n n n

n

n

n

n

n

n

n

1 2

1

1 2

1

2#- = - = -+ +

+

+ +

+

+

2v v2

3 3 22

3 0n n n

n

n

n

1 2 2#

- =-

=+ + +

^ h.

Donc la suite v est croissante.

Déterminer la limite éventuelle d’une suite numérique

La suite u paraît converger vers 0.La suite v paraît converger vers 2.


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Déc

lic 1

re S

1 La suite v semble converger vers 3.2 Pour tout entier n,

vnn3

13 2 3n - =

++ -

vnn

nn

n3

13 2

13 3

11

n - =++ -

++ =

+- .

a. On résout :

, ,vn

3 0 011

1 0 01n +G G-+

n n1 100 99+ +H H+ .On résout :

vn

3 101

1 10n6 6+G G-

+- -

n n1 10 99 9996+ +H H+ .b. Pour n’importe quel écart 2e 0,

v en

e ne

31

1 1 1n + +G G H-+

- .

Donc vn peut être aussi proche de 3 qu’on le souhaite à partir d’un certain rang.Donc la suite v converge vers 3 .

Étude d’une suite définie par une sommeÉtape 2tape 2

1 u21

1 = .

Pour tout entier n 2H ,

un n n

nn n1

1 11

1n 1 +

+= - +

+-

^ ^h h

n n

n nn n

n1

1 1 11

1 12=

+

- + +=

+- +

^

^ ^

^h

h h

h

n n

n u1 n

2=

+=

^ h.

Donc les suites S et u ont le même terme initial et véri-fi ent la même relation de récurrence.Donc les suites S et u sont égales.2 Pour tout entier n 1H , on a :

Sn

n

nn

n

n1 1 1 1 1

1n =

+=

+=

+c m

.

Lorsque n devient « grand », n1 devient proche de 0, et

Sn devient proche de 1 0

1 1+

= .

Donc la limite de la suite S est 1.

Un phénomène périodique

A – Approche numérique, puis graphique1 On obtient le tableau ci- contre.On conjecture que un vaut alter-nativement 3 et - 0,5.

2 a. et b. On obtient :

x

y

1

10

�f �

La conjecture de la question 1 est confi rmée.

B – Démonstration1 Pour tout entier n,

uuu

uuuu

uu u

uu u

11

111

111

11 1

11 1

nn

n

n

n

n

n

n

n n

n

n n

21

1=+

-=

++-

-+-

=

++ + -

++ - +

++

+

u u u2

2n

nn2 = =+ .

On en déduit que les termes d’indice pair sont égaux (et donc égaux à u0), et que les termes d’indice impair sont égaux (et donc égaux à u1).

Comme u 30 = et u1 31 3

21

1 =+- = - , on a : pour tout

entier n, si n est pair, alors u 3n = , sinon u2

1n = - .

2 On a démontré la conjecture émise à la partie A.

Une suite alternée1 Il semble que la suite v converge vers 0.2 a. Pour tout entier n 1H ,

vn n n1 1 1

n

n n

=-

=-

=^ ^h h

.

b. On résout , ,vn

n0 01 1 0 01 100n + +G G H .

Donc la distance entre vn et 0 est inférieure à 0,01 à partir du rang 100.On résout v

nn10 1 10 10n

6 6 6+ +G G H- - .

Donc la distance entre vn et 0 est inférieure à 10 6- à partir du rang 106.

On résout vn

n10 1 10 10n12 12 12+ +G G H- - .

Donc la distance entre vn et 0 est inférieure à 10 12- à partir du rang 1012.3 La suite v converge vers 0, car le terme vn peut être aussi proche de 0 qu’on le souhaite à partir d’un certain rang.

Sommes d’inverses1 u

11 11 = = ;

u11

21

23

2 = + = ;

u11

21

31

611

3 = + + = ;

u11

21

31

41

1225

4 = + + + = .


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11 –

Déc

lic 1

re S

Pour tout entier n 1H , u un 1

1n n1 = +

++ .

Comme pour tout entier n 1H , 2 ,u un 1

1 0n n1 - =++

la suite u est croissante.2 L’algorithme donné permet de calculer un pour tout entier n entré.3 Par la calculatrice, on obtient :

,u 4 550 . et ,u 5 2100 . .4 a. On propose :

ALGO

Variables : M , u : réels ; n : entier ;Début Entrer(M) ; n 1! ; u 1! ; Tant Que 1u M faire n n 1! + ;

u un1

! + ;

FinTantQue ; Affi cher (n) ;Fin.

b. i) Le terme un est supérieur à 10 à partir du rang 12 367.ii) Le terme un est supérieur à 12 à partir du rang 91 380.

1 c. 2 b. 3 b. 4 b. 5 c. 6 a.

1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux. 5 Faux.


1 Définir une suite numérique

1 Vrai, car u 3 2 2 1022#= - = .

2 Faux, car u 3 10 2 298102#= - = .

3 Faux, car u 3 5 2 7352#= - = .

4 Faux, car une suite est défi nie sur N et N32 !Y .

5 Faux, car :

u n n n3 1 2 3 2 1 2n 12 2= + - = + + -+ ^ ^h h

u n n3 6 1n 12= + ++ .

6 Vrai, car :

u n n n6 3 3 2 6 3n2+ + = - + +

n n u3 6 1 n2

1= + + = + .

a. Faux, car u est défi nie sur N\ 1" ,. b. Vrai.

c. Faux, car ,u5 1

1 0 255 =-

= .

d. Faux, car u

un

nn

1 1 1n

n 1 = - = -+ .

1 Vrai.2 Faux, car v v2 1 2 2 1 31 0 #= - = - =

et v v2 1 2 3 1 52 1 #= - = - = .3 Vrai, car v v2 1 93 2= - = et v v2 1 174 3= - = .4 Vrai.5 Vrai, car v 20 = , donc v 10 H . Alors v v2 11 0= - , soit v 2 1 11 #H - , ou encore v 11 H . Et ainsi de suite, de proche en proche, pour tout entier n, v 1n H : les termes de la suite v sont positifs.

1 Faux, car w w w w0 1

1 11 0 1 0 0= = ++

= ++ .2 Vrai.3 Vrai, car w w

11 21 0= + = ; w w

21

25

2 1= + = ;

w w31

617

3 2= + = .

4 Vrai, car ,w w41

1237 3 084 3 .= + = .

5 Vrai.

La suite u correspond au graphique .La suite v correspond au graphique .La suite w correspond au graphique .La suite t correspond au graphique .

Suites définies par une formule explicite

1 Vrai, car pour tout entier n, n2 1 0!- .2 Faux, car ;n n n1 5 0 1 5+H !- -^ ^h h 6 @.3 Vrai.

1 u 00 = ; u21

1 = ; u52

2 = ; u103

3 = .

2 u 410 = ; u 411 = ; u 432 = ; u 473 = .

1 u23

0 =- ; u31

1 =- ; u41

2 = ; u53

3 = .

2 u 10 = ; u21

1 =- ; u31

2 = ; u41

3 =- .

1 u 10 = ; u 01 = ; u 12 =- ; u 03 = .

2 u 00 = ; u31

1 = ; u53

2 = ; u97

3 = .

a.

b.


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11 –

Déc

lic 1

re S

1 a. u 10 = ; u 41 = ; u 32 = ; u 23 = ; ,u 1 54 . .b. Les termes semblent diminuer à partir du rang 1.2 a. u 10 =- ; u 21 =- ; u 12 = ; u 03 = ; u 34 = .b. Les termes semblent alternativement augmenter et diminuer.

1 u 10 = ; u 21 =- ; u 32 =- .2 Pour tout entier n, u n n4 1n

2= - + .

3 a.

b. Les termes de la suite u semblent augmenter à partir du rang 2.

Suites définies par une formule de récurrence

1 c. 2 a. et c.

1 a. u 40 = ; u 51 = ; u 72 = ; u 113 = .b. u u2 34 3= - ; u u2 3n n 1= -- .

2 a. u 21 =- ; u 12 =- ; u 13 = ; u 44 = .b. u u 34 3= + ; u u n 1n n 1= + -- .

1 a. u 20 = ; u 31 = ; u 82 = ; u 633 = .

b. u u 14 32

= - ; u u 1n n 12

= -- .

2 a. u 30 = ; u31

1 = ; u 52 = ; u521

3 = .

b. uu u1 2 3 1 643 3

#= + = + ;

uu

n1 2 1nn 1

= + --

^ h.

1 a. u 20 = ; u34

1 = ; u78

2 = ; u1516

3 = .

b. uu

u1

24

3

3=+

; uu

u1

2n

n

n1 =

++ .

2 a. u 20 = ; u 31 =- ; u27

2 = ; u623

3 = - .

b. u u u41

41

4 3

4

3=- +-

=- +^ h

;

u un 1

1n n

n

1

1

=- ++

-+

+^ h

.

1 a. f x x41 3= +^ h .

b. u 20 =- ; u25

1 = ; u8

292 = ; u

32125

3 = .

2 a. f x x x 12= - +^ h .b. u 30 = ; u 71 = ; u 432 = ; u 18073 = .

1

u 20 = ; u 71 = ; u 172 = ; u 373 = .2 u 30 =- ; u 31 =- ; u 32 =- ; u 33 =- .3 u 20 =- ; u 11 =- ; u 12 = ; u 53 = .4 u 50 =- ; u 71 =- ; u 112 =- ; u 193 =- .Le comportement de la suite est lié au terme initial. Il est donc important de le préciser lorsqu’on défi nit une suite par récurrence.

1 a. u 10 = ; u 21 = ; ,u 2 52 = .

b. u un1

n n 1= +- ; u un 1

1n n1 = +

++ .

c.

2 a.

b.

1 a. u 20 =- ; ,u 0 11 . ; ,u 2 62 . ; ,u 4 53 . .

b. Pour tout entier n, ,u u0 1 5 5n n12=- - ++ ^ h .

,u 0 11 = ; ,u 2 5992 = ; ,u 4 4243 . .c. Les résultats sont cohérents.2 a. u 10 =- ; ,u 2 51 = ; ,u 4 22 . ; ,u 5 13 . .

b. ,u25 2 51 = = ; ,u

417 4 252 = = ; ,u

841 5 1253 = = .

c. Les résultats sont cohérents.3 a. u 20 =- ; ,u 2 51 . ; ,u 1 12 . ; ,u 1 73 . .

b. u u3

2nn

1 =-

++ .

,u38 2 671 .= ; ,u

910 1 112 .= ; ,u

2744 1 633 .= .

c. Les résultats sont cohérents.


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11 –

Déc

lic 1

re S

1 et 2

xu0 = 10u0 = –2

y

1

10

�f

y = x

a. u 20 =- ; u 11 = ; ,u 2 62 . ; ,u 3 23 . ; ,u 3 44 . .Les termes semblent augmenter.b. u 100 = ; u 51 = ; ,u 3 92 . ; ,u 3 63 . ; ,u 3 54 . .Les termes semblent diminuer.

1 a. Les algorithmes corrects sont les algorithmes A et B.b. Algo A modifi é :

ALGO

Variables : n, i : entiers ; u : réel ;Début Entrer (n) ; u 100! ; Affi cher (u) ; Pour i allant de 1 à n faire ,u u0 5 5! #- + ; Affi cher (u) ; FinPour ;Fin.

Algo B modifi é :

ALGO

Variables : n, i : entiers ; u : réel ;Début Entrer (n) ; u 100! ; Affi cher (u) ; i 0! ; TantQue 1i n faire i i 1! + ; ,u u0 5 5! #- + ; Affi cher (u) ; FinTantQue ;Fin.

c. ,u 3 427 710 . ; ,u 3 333 420 . ; ,u 3 333 3100 . .

2 a. On choisit pour sa facilité de compréhension de transformer l’algorithme A ; on obtient l'algorithme ci-après.Après avoir programmé la calculatrice, on obtient : u 350 . .

ALGO

Variables : n, i : entiers ; u : réel ;Début Entrer (n) ; u 10! ; Pour i allant de 1 à n faire u u2 3! # + ; FinPour ;Fin.

b. On choisit pour sa facilité de compréhension de trans-former l’algorithme A :

ALGO

Variables : n, i : entiers ; u : réel ;Début Entrer (n) ; u 3! - ; Pour i allant de 1 à n faire

uu1 2! - ;

FinPour ;Fin.

Après avoir programmé la calculatrice, on obtient : ,u 2 41450 . - .

Travailler sur les indices

1 Pour tout entier n :◗ u n n2 1 1 2n 1

2= + - + -+ ^ ^h h

u n n n n n2 2 1 1 2 2 3 1n 12 2= + + - - - = + -+ ^ h ;

◗ u n n2 1 1 2n 12= - - - -- ^ ^h h

u n n n n n2 2 1 1 2 2 5 1n 12 2= - + - + - = - +- ^ h ;

◗ u n n n n1 2 2 1 2 1n2 2+ = - - + = - -^ h ;

◗ u n n n n2 2 2 2 8 2 2n22 2= - - = - -^ ^h h ;

◗ u n n2 3 1 3 1 2n3 12= - - - -- ^ ^h h

u n n n2 9 6 1 3 1 2n3 12= - + - + -- ^ h

u n n18 15 1n3 12= - +- .

2 Pour tout entier n,.u u n n n n n2 3 1 2 2 4 1n n1

2 2- = + - - - - = ++ ^ ^h h

3 u u n n n n1 2 3 1 2 1n n12 2+= + + - = - -+

n n4 0 0+ += = .Donc la proposition A est fausse et la proposition B est vraie.

1 v 41 =- ; v27

2 = et v4

13 = - .

2 Pour tout entier n 1H ,

v 1 12

5 12

5n

nn n2

22 1 2 1#= + - = +

- -^ h .

v 1 12

5 125

nn

n n2 12 1

2 1 1 2#= + - = -++

+ -^ h .


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11 –

Déc

lic 1

re S

3 Pour tout entier n 1H ,

v 1 125

nn

n11#- = -+

+^ h et v 1 1

25

nn

n 1#- = --

^ h .

Donc v

v1

12

1 51 52

21

n

nn

n

n

n1

1 1##

#-

-=

-

-= -+

+ -^

^

h

h

(réel indépendant de n ).

1 w 10 = ; w w2 3 0 21 0 #= - = ;w w2 3 1 12 1 #= - = et w w2 3 2 43 2 #= - =- .2 Pour tout entier n 1H ,w w n w n2 3 1 2 3 3n n n1 1= - - = - +- -^ h .

Modéliser à l’aide d’une suite

a. Pour tout entier n, u n2 1n2= +^ h .

b. Pour tout entier n, un2 1

1n =

+^ h.

c. Pour tout entier n, u n3 1n = +^ h.

d. Pour tout entier n, u 2nn= .

On a la fi gure suivante :

A2A0 A4 A5 A3 A1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10

On a : x 00 = et x 11 = .Pour tout n 1H , le point An 1+ est le milieu du segment

A An n1-6 @. Donc x x x2n

n n1

1=+

+- .

1 Pour tout entier n, on note pn la population de la ville au bout de n années de diminution.La suite p est défi nie par : p 10 0000 = et la relation de récurrence :

,p p p p100

3 0 97n n n n1 = - =+ .

On a : p 9 7001 = ; p 9 4092 = et p 9 1273 . .

2 Pour tout entier n, on note an le nombre d’abonnés à la revue l’année n (on commence à n 0= , et donc a0 désigne le nombre d’abonnés pour l’année 0, soit la 1re année).La suite a est défi nie par : a 5 0000 = et la relation de

récurrence : a a10095 500n n1 = ++ .

On a : a 5 2501 = ; a 5 4882 . et a 5 7133 . .

3 Pour tout entier n, on note un le terme de rang n.La suite u est défi nie par u 20 = et la relation de récur-rence u u 3n n1

2= -+ .

On a : u 11 = ; u 22 =- et u 13 = .

4 Pour tout entier n, on note Cn le capital obtenu après n années de placement.La suite C est défi nie par : C 12 0000 = et la relation de récurrence :

,C C C C100

2 400 1 02 400n n n n1 = + - = -+ .

On a : C 118401 = ; ,C 11676 802 = et ,C 11510 3363 = .

1 F 10 = ; F 11 = ; F F F 22 0 1= + = ; F 1 2 33 = + = ; F 2 3 54 = + = ; F 3 5 85 = + = ; F 5 8 136 = + = .

2 FF 10

1 = ; FF 2

1

2 = ; ,FF

23 1 5

2

3 = = ; ,FF

35 1 67

3

4 .= ;

,FF

58 1 6

4

5 = = et ,FF

813 1 625

5

6 = = .

Égalité de deux suites

Les termes initiaux sont : u 20 = et v 2 1 200= + = .

Pour tout entier n,v 2 1 2 2 1n

n n1

1 #= + = +++

v v v2 1 1 2 1n n n1 = - + = ++ ^ h .Donc les suites u et v ont même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence.Donc les suites u et v sont égales.

1 u 00 = ; u 11 = ; u 42 = ; u 93 = et u 164 = .2 On reconnaît les premiers carrés d’entiers. On conjec-ture donc que pour tout entier n, u nn

2= .

3 Soit la suite v défi nie sur N par v nn2= .

On a : v 00 = , et pour tout entier n,v n n n v n1 2 1 2 1n n1

2 2= + = + + = + ++ ^ h .Les suites u et v ont même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence.Donc les suites u et v sont égales : pour tout n, u nn

2= .

Les premiers termes de la suite u sont : u 10 = ;

u21

1 = ; u31

2 = ; u41

3 = et u51

4 = .

Il semble que pour tout entier n, un 1

1n =

+.

Soit alors la suite v défi nie sur N par : vn 1

1n =

+. On a

v 10 = et pour tout entier n, vn 2

1n 1 =

++ .

Or v

v

n

n

nnn

n1 11

11

1

121

1

21

n

n+

=+

+

+ =

+++ =

+.

Donc vv

v1n

n

n1 =

++ .

Ainsi les suites u et v ont même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence.Donc les suites u et v sont égales :

pour tout n, un 1

1n =

+.

2 Sens de variation d’une suite

1 Vrai : pour tout entier n (positif ), ,n n 12 2G +^ h c’est-à-dire u un n 1G + .2 Vrai : pour tout entier n, v vn n 1H + , donc en multi-pliant par - 2 (négatif ), v v2 2n n 1G- - + .3 Faux : w 20 =- et w 61 =- . Donc 2w w0 1.4 Vrai : pour tout entier n, t t 3n n1 - =+ , donc

2t t 0n n1 -+ .


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1 Vrai : pour tout entier n, n n 1G + . Comme f est croissante, f fn n 1G +^ ^h h, donc u un n 1G + .

2 Faux. On a représenté ci-contre en rouge la suite de terme général :

sinu n n nn = + =r^ h .Alors que la fonction x 7 sinx x+ r^ h n’est pas monotone.3 Vrai. 4 Faux.

Suites définies par une formule explicite

1 Pour tout entier n,

u un n n n

11

1 1 11

1n n1 - = +

+- + =

+-

+ c c^

m mh

.

Donc 1u u 0n n1 -+ .Donc la suite u est décroissante.


u u nn

nn

11

1 1n n1 - = + +

+- ++ c cm m

u un n

n n1

1n n1

2- =

++ -

+^ h

.

5=D ; ,n2

1 5 1 61 .= - - -

et ,n2

1 5 0 62 .= - + .

D’où le tableau de signes pour n 1H :

n 1 3+

n n 12 + - +

n n 1+^ h +

u un n1 -+ +

Donc la suite u est croissante.


u u nn

nn

11

1 1n n1 - = + -

+- -+ c cm m

2u un n

11

1 0n n1 - = ++

+^ h

, car n entier.



u un n n n1

3 31

3n n1 - =

+- - - =

++

^ h.

Ainsi 2u u 0n n1 -+ .Donc la suite u est croissante.


u u51

51

51

51

51

n n

n n n n1

1#- = - = -+

+

c c c cm m m m

u u51 1

51

54

51

n nn n

1 # #- = - = -+ c c cm m m .

Donc 1u u 0n n1 -+ : la suite u est décroissante.


u u n n n1 1 1 2 1n n12 2- = - + + - - + =- -+ ^^ ^h h h .

Donc 1u u 0n n1 -+ : la suite u est décroissante.

1 Soit la fonction f défi nie sur ;0 3+6 6 par :

f xx

21

32= -

+^ h .

f est dérivable et pour tout réel x 0H ,

f xx

x1

62 2=

+l^

^h

h.

Donc f x 0Hl^ h : la fonction f est croissante.Comme pour tout n, fu nn = ^ h, alors la suite u est crois-sante.2 Soit la fonction f défi nie sur ;0 3+6 6 par :

f x x x2 12= + -^ h .f est dérivable et pour tout réel x 0H ,

f x x4 1= +l^ h .Donc f x 0Hl^ h : la fonction f est croissante.Comme pour tout n, fu nn = ^ h, alors la suite u est crois-sante.

1 Soit la fonction f défi nie sur ;0 3+6 6 par :f x n n3 12= + +^ h .

f est dérivable et pour tout réel x 0H ,f x n2 3= +l^ h .

Donc f x 0Hl^ h : la fonction f est croissante.Comme pour tout n, fu nn = ^ h, alors la suite u est crois-sante.2 Soit la fonction f défi nie sur ;0 3+6 6 par :

f xxx

42 1

=++

^ h .

f est dérivable et pour tout réel x 0H ,

f xx

x xx4

2 4 2 14

72 2=

+

+ - +=

+l^

^

^ ^

^h

h

h h

h.

Donc f x 0Hl^ h : la fonction f est croissante.Comme pour tout n, fu nn = ^ h, alors la suite u est crois-sante.

1 Soit u une suite strictement positive.

Supposons que pour tout entier n, u

u 1n

n 1 H+ . En multi-

pliant par 2u 0n , on obtient : u un n1 H+ .Donc la suite u est croissante.Supposons que pour tout entier n,

uu 1

n

n 1 G+ . En multi-

pliant par 2u 0n , on obtient : u un n1 G+ .Donc la suite u est décroissante.2 a. La suite u est strictement positive. Pour tout entier

n, 2u

u23

32

23 1

n

nn

n

n

n1

2

1 1#= =+

+

+ +. Donc la suite u est

croissante.b. La suite v est strictement positive à partir du rang 1.Pour tout entier n 1H ,

vv n

n nn

21 2

21

n

nn

n1

1 #= + = +++

.

Comme n

nn

n2

1 12

1 0G+ - = - .

x

y

1

1

0


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Donc pour tout entier n 1H , v

v 1n

n 1 G+ .

Donc la suite v est décroissante à partir du rang 1.

1 u 11 = ; u u12 22 1#= = ; u u

23 33 2#= = ;

u u34 44 3#= = .

2 Par construction, tous termes consécutifs de la suite u ont le même signe, donc la suite u est de signe constant.Or u 11 = . Donc la suite u est strictement positive.

Comme pour tout entier n 1H , 2u

un

n 1 1n

n 1 = ++ , la suite u est strictement croissante.Remarque : la suite u a pour terme général u nn = .

a. Pour tout entier n,u u n n1 2 2n n

n n1

1- = + - - -++

^ ^h h

.u u 1 2 2 1 2 1 2 1 2n nn n n n

11- = + - = + - = -+

+^ h

Or pour n 0H , 2 2n 0H . On a alors 2 1 0n H- , c’est-à-dire u u 0n n1 G-+ . Donc la suite u est décroissante.b. Soit f la fonction défi nie sur ;0 3+6 6 par :

f xx

x2 1

1=

++

^ h .

La fonction f est dérivable, et pour tout x 0H ,

1f xx

x xx2 1

1 2 1 2 12 1

1 02 2=+

+ - +=

+

-l^^

^ ^

^h

h

h h

h.

Donc la fonction f est strictement décroissante sur ;0 3+6 6.

Comme pour tout entier n, fu nn = ^ h, la suite u est décroissante.

a. Soit f la fonction défi nie sur ;0 3+6 6 par :f x x x33=- +^ h .

La fonction f est dérivable, et pour tout x 0H ,f x x3 32=- +l^ h .

On a le tableau de signes et de variations suivant :

x 0 1 3+

f xl^ h + 0 -

f x^ h2

Comme pour tout entier n, fu nn = ^ h, la suite u est décroissante à partir du rang 1.b. La suite u est strictement positive, et pour tout entier

n, 1u

u310

103

31 1

n

nn

n1

1 #= =++

.

Donc la suite u est décroissante.

a. Pour tout entier n,u u n n2 2 1 1 2 2 1n n

n n1

1- = + + + - + +++

^^ ^h h h

2u u 2 2 0n nn

1 - = ++ .Donc la suite u est croissante.b. Soit f la fonction défi nie sur ;0 3+6 6 par :

f x xx 1

1= +

+^ h .

La fonction f est dérivable, et pour tout x 0H ,

f xx x

x x1

11

12

02 2 H= -+

=+

+l^

^ ^

^h

h h

h.

Donc la fonction f est croissante sur ;0 3+6 6. Comme pour tout entier n, fu nn = ^ h, la suite u est croissante.

Suites définies par une formule de récurrence

a. Pour tout entier n, 1u u 3 0n n1 - =-+ . Donc la suite u est décroissante.b. Pour tout entier n, u u n 0n n1 H- =+ . Donc la suite u est croissante.c. u 10 = ; u 21 = et u 13 = . Donc la suite u n’est pas monotone.

1 u 10 = ; u2

11 = - ; u

45

2 = - et u813

3 = - .

Il semble que la suite u est décroissante.2 a. Pour tout entier n,

v u u u u21 1

21 1n n n n n1 2 1 1= - = - - -+ + + +c cm m

v u u21

n n n1 1= -+ +^ h.

Donc v v21

n n1 =+ .

b. On en déduit que tous termes consécutifs de la suite ont le même signe. Donc la suite v est de signe constant.

Or 1v u u23 00 1 0= - = - . Donc la suite v est stricte-

ment négative.c. Ainsi pour tout entier n, 1u u 0n n1 -+ : la suite u est décroissante.

1 et 2 a.

u0 = 1 u1 u2

u1u2u3u0 = –2 x

y

1

1

0

�

�

La suite u paraît décroissante.b. La suite u paraît croissante.c. La suite u paraît stationnaire lorsque u 10 =- .Dans ce cas-là, u 2 1 1 11 = - + =-^ h ;u 2 1 1 12 = - + =-^ h … De même si u 1n =- , alors u 2 1 1 1n 1 #= - + =-+ ^ h .d. On conjecture que :• si 1u 10 - , alors la suite u est décroissante ;• si u 10 =- , alors la suite u est stationnaire ;• si 2u 10 - , alors la suite u est croissante.


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3 a. Pour tout entier n, v u un n n1 2 1= -+ + +

v u u u u v2 1 2 1 2 2n n n n n n1 1 1= + - + = - =+ + +^ ^ ^h h h .b. v u u u u u2 1 10 1 0 0 0 0= - = + - = +^ h .Donc si 1u 10 - , 1v 00 ;si u 10 =- , v 00 = ;si 2u 10 - , 2v 00 .c. D’après la question a., la suite v est de signe constant (donc celui de v0).D’après la question b. :• Si 1u 10 - , alors pour tout entier n, 1u u 0n n1 -+ : la suite u est décroissante.• Si u 10 =- , alors pour tout entier n, u u 0n n1 - =+ : la suite u est stationnaire.• Si 2u 10 - , alors pour tout entier n, 2u u 0n n1 -+ : la suite u est croissante.

1 On conjecture que la suite u est décroissante.2 a. Pour tout entier n, u u u u u u1n n n n n n1

2- = - - =-+ ^ h .

b. Donc pour tout entier n, u u 0n n1 G-+ : la suite u est décroissante.

Démonstration du cours1 On suppose que f est une fonction croissante sur

;p 3+6 6. Pour tout entier n pH , n n 1G + . Donc f fn n 1G +^ ^h h, c’est-à-dire u un n 1G + .Donc la suite u est croissante.2 On suppose que f est une fonction décroissante sur

;p 3+6 6. Pour tout entier n pH , n n 1G + . Donc f fn n 1H +^ ^h h, c’est-à-dire u un n 1H + .Donc la suite u est décroissante.

Propriétés et réciproques

1 a. Pour tout entier n, u 0n = . La suite u est mono-tone, et plus précisément constante.b. La fonction f : x 7 sin xr^ h n’est pas constante sur

;0 3+6 6 : f 0 0=^ h et f21 1=c m .

c. La réciproque du théorème est fausse.2 a. Pour tout entier n, v nn = . Donc la suite v est crois-sante.b. Par la calculatrice, on a : La fonction f n’est pas croissante sur ;0 3+6 6.c. La réciproque du théorème est fausse.3 Soit la fonction g défi -nie sur ;0 3+6 6 par :

sing x x x=- + r^ ^h h, et la suite w défi nie sur N par : w g nn = ^ h.La fonction g n’est pas décrois-sante sur ;0 3+6 6.Pour tout entier n, w nn =- : la suite w est décroissante.Donc la réciproque du théorème est fausse.

1 a. Pour tout entier n,1u u 2 2 2 0n n

n n n1

1- =- + =-++ .

Donc la suite u est décroissante.

b. Pour tout entier n, u

u 2n

n 1 =+ . Donc 2u

u 1n

n 1+ .

c. La condition « suite strictement positive » est indis-pensable dans le théorème .2 a. v 10 = ; v 21 =- ; v 42 = . Donc la suite w n’est pas monotone.b. Pour tout entier n, 1

vv 2 1

n

n 1 =-+ .

La condition « suite strictement positive » est indispen-sable dans le théorème .

3 Comportement d’une suite à l’infini

1 c. 2 a. 3 b.

La suite u correspond au graphique .La suite v correspond au graphique .La suite w correspond au graphique .La suite t correspond au graphique .

1 Pour tout entier n,u u n n n n1 2 1 2n n1

2 2- = + + + - ++ ^ ^^ ^h hh h

2u u n2 3 0n n1 - = ++ .Donc la suite u est croissante.2 u 12010 = ; u 10 200100 = ; u 1002 0001000 = ; u 100 020 00010 000 = .La suite u ne paraît pas convergente.3 a. u n n1000 2 1000n

2+H H+

n n2 1000 02+ H+ - .4 004=D .

,n2

2 4 004 32 61 .= - - -

et ,n2

2 4 004 30 62 .= - + .

D’où le tableau de signes :

n 0 n2 3+

n n2 10002 + - - 0 +

Comme n est un entier, u n1000 31n +H H .

b. u n n10 000 2 10 000n2+H H+

n n2 10 000 02+ H+ - .40 004=D .

n2

2 40 004 1011 .= - - -

et n2

2 40 004 992 .= - + (par défaut).

D’où le tableau de signes :

n 0 n2 3+

n n2 10 0002 + - - 0 +

Comme n est un entier, u n10 000 100n +H H .c. La limite de u est 3+ .


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1 a. ,u101 0 3110 .= ; ,u

101 0 1100 = = ;

,u1000

1 0 0311000 .= ; ,u100

1 0 0110 000 = = .

b. La fonction f : x 7x

1 est décroissante sur

;0 3+ 6@ . Donc la suite u est décroissante.c. ;u u10 10 10n n

6 6 6+! G- - - -6@

nn n1 10 10 106 6 12+ + +G H H- .

Donc p 1012= .d. lim u 0

n n =" 3+

.

2 a. u251

10 = ; u2 500

1100 = ; u

250 0001

1000 = ;

u25 000 000

110 000 = .

b. La fonction f : x 7x4

2 est décroissante sur

;0 3+ 6@ . Donc la suite u est décroissante.

c. ;u u10 10 10n n6 6 6+! G- - - -

6@

nn n4 10 4 10 2 0002

6 2 6+ + +$G H H- .

Donc p 2 000= .d. lim u 0

n n =" 3+

.

3 a. u11

510 = - ; u

1015

100 = - ; u1001

51000 = - ;

u10 001

510 000 = - .

b. La fonction f : x 7 x 15

+- est croissante sur

;0 3+ 6@ . Donc la suite u est croissante.

c. ;u u10 10 10n n6 6 6+! H- -- - -

6@

nn

15 10 1 5 106 6+ + #H H

+- - +-

n 4 999 999+ H .Donc p 4 999 999= .d. lim u 0

n n =" 3+

.

1 Pour tout entier n, on note Pn la population de la ville l’année n2010 + .a. La suite P est défi nie sur N par : P 30 0000 = et la rela-tion de récurrence :

,P P P P100

5 1000 1 05 1000n n n n1 = + - = -+ .

b. P 30 0000 = ;P 30 5001 = ; P 310252 = ; P 315763 . ; P 32 1554 . .

c. On conjec-ture que la suite P diverge vers 3+ . La population de la ville devient très grande au bout d’un certain temps.

2 Pour tout entier n, on note Vn le volume du vase, en L, au bout de n semaines.

a. La suite V est défi nie sur N par : V 20 = et la relation

de récurrence :

, ,V V V V51 0 3

54 0 3n n n n1 = - + = ++ .

b. V 20 = ; ,V 1 91 = ; ,V 1 822 = ; ,V 1 7563 = .

c. On conjecture que la suite V converge vers 1,5.Au bout d’un grand nombre de semaines, le volume d’eau dans le vase tend à se stabiliser autour de 1,5 L.

1 La droite D a pour équation : y x= et la droite �

a pour équation : y x21 2= + .

2 On conjecture que la suite u est croissante et converge vers 4.3 a. On propose :

ALGO

Variables : U : réel ; N : entier.Début U 0! ; N 0! ; Tant que 2U 4 10 3- - faire

N N 1! + ; U U21 2! + .

FinTantQue ; Affi cher N^ h ;Fin.

b. On propose :

ALGO

Variables : U, e : réels ; N : entier.Début Entrer e^ h ; U 0! ; N 0! ; Tant que 2U e4- faire

N N 1! + ; U U21 2! + .

FinTantQue ; Affi cher N^ h ;Fin.

Les programmes TI associé et exécuté sont :


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Le programme Casio associé est :

1 a. La suite u est défi nie sur N par : u 10 = et la relation de récurrence : fu un n1 =+ ^ h, où f est la fonc-tion défi nie sur ;2 3- +6 6 par :

f x x2= +^ h .

b. u 10 = ; ,u 1 7321 . ; ,u 1 9322 . ; ,u 1 9833 . ; ,u 1 9964 . .

c. Il semble que la suite u converge vers 2.

2 a. La suite u est défi nie sur N par : u 10 = et la rela-tion de récurrence : fu un n1 =+ ^ h, où f est la fonction

défi nie sur R 2-" , par :

f xx2

1=

+^ h .

b. u 10 = ; ,u31 0 3331 .= ;

,u73 0 4292 .= ;

,u177 0 4123 .= ; ,u

4117 0 4144 .= .

c. Il semble que la suite u converge. La limite est environ 0,414 à 0,001 près.

1 Voir ci-après.2 a. La suite v semble diverger vers 3+ .b. La suite v semble diverger vers 3- .c. Pour v 20 = , la suite v est constante à 2, et donc convergente.3 Si 2v 20 , la limite de v est 3+ .Si v 20 = , la limite de v est 2.Si 1v 20 , la limite de v est 3- .

x

v0 = 3v0 = 1

y

1

10

��

1 Il semble que la suite u diverge vers 3+ .2 a. Pour n 20G , on a : ,u n0 5 3n H - .b. La limite de la suite de terme général , n0 5 3- est 3+ . On en déduit que la limite de la suite u est 3+ .

1 a. Un majorant de la suite u est 2, un minorant de la suite u est 0. La suite u paraît converger vers 0.b. Un majorant de la suite u est 1, un minorant de la suite u est 0. La suite u paraît converger vers 1.c. Un majorant de la suite u est 1, un minorant de la suite est 1- . La suite paraît ne pas admettre de limite.2 a. On peut choisir les suites du 1 a. et 1 b..b. La suite de terme général 1 n-^ h convient.c. Supposons que la suite u converge vers L.Il existe un rang N à partir duquel les termes un sont proches de L à 0,01 près. Ainsi pour tout entier n NH ,

, ,L u L0 01 0 01nG G- + .En notant ; ; ; ; ,maxM u u u L 0 01N0 1 1f= +-" , et

; ; ; ; ,minm u u u L 0 01N0 1 1f= --" ,, on a pour tout entier n, m u MnG G .Donc la suite u est bornée.

Pour tout entier n 1H , un demi-cercle constituant

�n a pour rayon 28

n , et donc une longueur de 28

nr .

Donc 228 4n

nn

1 #, = =r

r- : la longueur totale est

constante.Donc la limite de la suite n,^ h est 4r .Remarque : Se méfi er des résultats « visibles » : si on regarde le dessin, il semble que la suite u converge vers 8 !

Problèmes

Pour tout entier n 1H , on note Cn le nombre de cartes nécessaires à la construction du château numé-roté n. Par construction, la suite C est défi nie sur N* par : C 21 = et la relation de récurrence :

C C n n C n1 2 3 2n n n1 #= + + + = + ++ ^ h .En eff et, le château numéroté n 1+ possède n 1+ étages. On ajoute au château précédent deux cartes par étage et une carte pour l’horizontale.


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On calcule les premiers termes :C 21 = ; C 72 = ; C 153 = ; C 264 = ; C 405 = ; C 576 = ; C 777 = ; C 1008 = ; C 1269 = et C 15510 = .Le château n° 4 comporte 26 cartes ; le château n° 5 comporte 40 cartes ; le château n° 10 comporte 155 cartes.

1 On conjecture que la suite u est décroissante et que sa limite est 0,5.2 Soit f la fonction défi nie sur ;0 3+6 6 par :

f xx

x2 2

4=

++

^ h .

La fonction f est dérivable et pour tout x 0H ,

1f xx

x xx2 2

1 2 2 2 42 2

6 02 2=+

+ - +=

+

-l^^

^ ^

^h

h

h h

h.

Donc la fonction f est décroissante sur ;0 3+6 6.Comme pour tout n, fu nn = ^ h, la suite u est décrois-sante.3 Pour tout entier n,

.n n

nn n

n u21

2 23

2 21

2 23

2 24

n++

=++ +

+=

++ =

4 a. 1 1, , ,un

0 51 0 52 2

3 0 51n + ++

1 2n

n2 2

3 10 1492+ ++

- .

Donc N 1501 = .

b. 1 1, , ,un

0 501 0 52 2

3 0 501n + ++

1 2n

n2 2

3 10 14993+ ++

- .

Donc N 15001 = .

c. 1 1, , ,u hn

h0 5 0 52 2

3 0 5n ++ ++

+

1 2n

h nh

h2 2

32

3 2+ ++

- .

Donc N Eh

h2

3 2 1= - +; E .

d. On constate que tous les termes un à partir d’un certain rang sont aussi voisins de 0,5 qu’on le désire.Donc la limite de u est 0,5.

1 Quand le nombre de pièces augmente, on a besoin de plus de déplacements. Donc la suite u est croissante.Quand le nombre de pièces devient très grand, le nombre de déplacements devient aussi très grand. Donc la suite u diverge vers 3+ .2 u 11 = ; u 32 = ; u 73 = .3 Pour tout entier n 1H , pour déplacer la plus grosse pièce en la mettant en dessous de toutes les autres, il faut avoir déplacé les n pièces vers une tige, puis déplacer la plus grosse pièce, puis déplacer les n pièces au-dessus de la plus grosse pièce. Donc u u2 1n n1 = ++ .4 u 154 = ; u 315 = ; u 636 = ; u 1277 = et u 2558 = .Il faut donc au minimum 255 déplacements pour déplacer une tour de huit étages.

1 u 00 = ; u31

1 = ; ,u98 0 8892 .= ;

u 13 = ; ,u8164 0 7904 .= ; ,u

243125 0 5145 .= ;

,u278 0 2966 .= .

Il semble que la suite u soit décroissante à partir du rang 3.2 Pour tout entier n 0! ,

uu n

n nn

31 3

31

n

nn

n1

1

3

3 3

3

#=+

=++

+

^ ^h h.

3 a. Pour tout entier n 1H ,

uu

nn n

131 3

n

n 13

3 3

- =+ -+ ^ h

uu

nn n n n1

33 3 1 3

n

n 13

3 2 3- = + + + -+

uu

nn n n1

32 3 3 1

n

n 13

3 2- = - + + ++ .

Comme 2n3 03 , le signe de u

u 1n

n 1 -+ est celui de n n n2 3 3 13 2- + + + .

b. La fonction f est dérivable sur R, et pour tout réel x, f x x x6 6 32=- + +l^ h .

108=D ; ,x 1 3661 . et ,x 0 3662 . - . D’où le tableau de variations :

x 3- x2 x1 3+

f xl^ h - 0 + 0 -

f x^ h

La fonction f est décroissante sur ;3 3+6 6 et 1f 3 17 0=-^ h . Donc pour tout x 3H , 1f x 0^ h .

c. On en déduit que pour tout entier n 3H ,

1u

u 1 0n

n 1 -+ , c’est-à-dire 1u

u 1n

n 1+ .

Comme la suite u est strictement positive, la suite u est décroissante à partir du rang 3.

1 a. L’univers est l’ensemble des couples ;i j^ h où i et j sont des entiers de 1 à 6, muni de l’équiprobabilité.

Donc p p1 = ^« obtenir ;6 6^ h »361

=h .

b. B2 : « ne pas obtenir de double-six au cours des deux lancers ».La situation peut être représentée par l’arbre suivant :

/1 36 double-sixdouble-six

/1 36 /35 36 pas de double-six

/1 36 double-six

/35 36pas de double-six

/35 36 pas de double-six

Donc p B3635

3635

3635

2

2#= =^ ch m .

Donc ,p p B1 13635 0 0552 2

2.= - = -^ ch m .

2 Bn : « ne pas obtenir n fois consécutives de double-six » (la même expérience est répétée n fois dans les mêmes conditions).

Donc p B3635

3635

3635

3635

nn

# # #f= =^ c c c ch m m m m .

Donc p p B1 13635

n nn

= - = -^ ch m .


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p p 13635 1

3635

n n

n n1

1- = - - -+

+

cd cdm n m n

2p p3635

361 0n n

n1 #- =+ c m .

Donc la suite p est croissante.Concrètement, plus le nombre de lancers augmente, plus il est probable d’obtenir au moins un double-six au cours de ces lancers.4 a. Par la calculatrice, on obtient : 2 ,p n0 5 25n + H .b. Par la calculatrice, on obtient : 2 ,p n0 9 82n + H .c. Par la calculatrice, on obtient : 2 ,p n0 99 164n + H .5 La limite de p est 1 : concrètement, quand le nombre de lancers est très grand, il est quasiment certain d’ob-tenir au moins un double-six sur ces lancers.


u un n n n1 2

11

1n n1 - =

+ +-

++

^ ^ ^h h h

u un n n

n nn n n1 2

21 2

2n n1 - =

+ +

- +=

+ +-

+^ ^

^

^ ^h h

h

h h.

On en déduit que 1u u 0n n1 -+ . Donc la suite u est décroissante.b. On aurait pu étudier les variations de la fonction f défi nie sur ;0 3+ 6@ par : f x

x x 11

=+

^^

hh

.

2 a. 1 1un n

101

1 10n4 4+

+- -

^ h

2n n 10 02 4+ + - .

40 001=D ;

,n2

1 40 001 100 51 .= - - -

et ,n2

1 40 001 99 52 .= + .

Comme n est un entier naturel, on obtient :

1u n10 100n4 + H- .

Donc k 100= .b. La limite de u est 0.3 a. Pour tout entier n 1H ,

n n n nn n u1

11

11

n-+

=+

+ - =^ h

.

b. Pour tout p 1H ,

S11

21

21

31

31

21

p f= - + - + - +c c cm m m

p p1

11

+ -+

d n

Sp

11

1p = -

+.

c. ,S u u u 199 1

1 0 991 2 99g= + + + = -+

= .

1 a.C 10 000

1005 10 000 200 10 3001 #= + - = ;

C 10 300100

5 10 300 200 10 6152 #= + - = ;

,C 10 615100

5 10 615 200 10 945 753 #= + - = .

b. Pour tout entier n,

,C C C C100

5 200 1 05 200n n n n1 #= + - = -+ .

c. On conjecture que la suite C est croissante et diverge vers 3+ .

2 a. Pour tout entier n,

v C Cn n n1 2 1= -+ + +

, ,v C C1 05 200 1 05 200n n n1 1= - - -+ +^ ^h h

, .v C C1 05n n n1 1= -+ +^ h

Donc ,v v1 05n n1 =+ .b. Comme 2v C C 300 00 1 0= - = , de proche en proche la suite v est positive.On en déduit que pour tout entier n, 2C C 0n n1 -+ : la suite C est croissante (économiquement, les capitaux augmentent lorsque le nombre d’années de placement augmente).3 a. Le capital dépasse 15 000 € au bout de 13 années de placement.b. Le capital double au bout de 21 années de place-ment.4 Le capital dépasse 50 000 € au bout de 42 années de placement : c’est diffi cilement envisageable à l’échelle de l’homme.

On calcule le nombre de moles d’acides après chaque prélèvement.

Situation initiale : bécher 1 : C 101

3= - mol . L-1 ; V 1001 = mL ;n 101

4= - mol ;bécher 2 : C 102

5= - mol . L-1 ; V 1002 = mL ;n 102

6= - mol.

Prélèvement 1 (P1) : On prélève 10 mL du bécher 1 que l’on verse dans le bécher 2. On a alors 90 mL dans le bécher 1 et 110 mL dans le bécher 2.bécher 1 : V 901 = mL ;

9 10n 10101 101 54 4# #= - =- - - mol ;

bécher 2 : V 1102 = mL ;

11 10n 10101 102

6 4 6# #= + =- - - mol.

Prélèvement 2 (P2) : On prélève 10 mL du bécher 2 que l’on verse dans le bécher 1.bécher 1 : V 1001 = mL ;

;9,1 10 moln 9 1011010 11 101 55 6# # # #= + =- - -

bécher 2 : V 1002 = mL ;

10 moln 11 1011010 11 106 6

2 5# # #= - =- - - .


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On remplit le tableau suivant :

SituationNombre de moles d’acideBécher 1 Bécher 2

initiale 10 4- 10 6-

P1 9 10 5# - 11 10 6# -

P2 ,9 1 10 5# - 10 5-

À la fi n de cette première étape :– la concentration en acide dans le bécher 1 devient alors : ,c 9 1 101

4#= - mol . L-1 ;– la concentration en acide dans le bécher 2 devient alors : d 101

4= - mol . L-1 .2 a. La concentration en acide diminue dans le bécher 1, elle augmente dans le bécher 2.Donc la suite c est décroissante et la suite d est croissante.Au bout d’un nombre d’étapes, on conjecture que le nombre de moles d’acides s’équilibre entre les deux béchers. Alors les suites c et d convergent vers

,2

10 10 5 05 103 5

4#+ =- -

- mol . L-1.

b. À la fi n de l’étape n :

bécher 1 : n c10

n1 = mol ; bécher 2 : n d

10n

2 = mol.

Prélèvement 1 (P1) : On prélève 10 mL du bécher 1 que l’on verse dans le bécher 2. On a alors 90 mL dans le bécher 1 et 110 mL dans le bécher 2.

bécher 1 : n cc c10 10

110 100

9n n1 n#= - = mol ;

bécher 2 : 10n dd c10 10

110 100

cn n2

n n#= + = + mol.

Prélèvement 2 (P2) : On prélève 10 mL du bécher 2 que l’on verse dans le bécher 1.bécher 1 :

;11 110 moln c dc d c100

911010

10 1001n n

nn n= + + = +c m

bécher 2 :

n d c d c10 100 110

1010 1002

n n n n= + - +c cm m

.11 110 moln d c2

n n= +

On reprend le tableau :

SituationNombre de moles d’acideBécher 1 Bécher 2

À la fi n de l’étape n

c10

n d10

n

P1 c100

9n

d c10 100

n n+

P2c d11 110

n n+d c11 110

n n+

Donc c c d c d1011 110 11

10111

nn n

n n1 = + = ++ c m

et d d c d c1011 110 11

10111

nn n

n n1 = + = ++ c m .

c. On entre les formules suivantes :

On obtient :

Et le graphique suivant :

d. Les résultats obtenus sont cohérents.

1 a. C 1 112= = ; C 1 2 52

2 2= + = ;

C 1 2 3 1432 2 2= + + = ; C C 4 304 3

2= + = .

b. Pour tout entier n, C C n 1n n12= + ++ ^ h .

c. On propose :

ALGO

Variables : U, N, i : entiers ;Début U 1! ; Entrer N^ h ; Pour i allant de 2 à N iU U 2! + ; FinPour ; Affi cher U^ h ;Fin.

Programme TI associé : Programme Casio associé :

En exécutant les programmes, on retrouve les résultats obtenus à la question 1 a. .

2 a. Pour tout entier n, v an bn cn dn3 2= + + + .

Alors :v a b c d1 = + + + ; v a b c d8 4 22 = + + + ;

v a b c d27 9 33 = + + + et .v a b c d64 16 44 = + + +

Donc :

a b c da b c d

a b c da b c d

a

b

c

d

18 4 2 527 9 3 1464 16 4 30

31

21

61

0

+

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ + + =

=

=

=

=

Z

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]]]

]]]]


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Déc

lic 1

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b. Pour tout entier n, v n n n31

21

61

n3 2= + + .

Donc :

v n n n31 1

21 1

61 1n 1

3 2= + + + + ++ ^ ^ ^h h h

n n n n n n31 3 3 1

21 2 1

61

613 2 2= + + + + + + + +^ ^h h

v n n n31

23

613 1n 1

3 2= + + ++ .

Donc

v v n n n31

23

613 1n n1

3 2- = + + ++ c m

n n n31

21

613 2- + +c m

v v n n n2 1 1n n12 2- = + + = ++ ^ h .

Ainsi v v n 1n n12= + ++ ^ h .

3 Les suites C et v ont le même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence.Donc les suites C et v sont égales.

Donc pour tout entier n, C n n n31

21

61

n3 2= + + .

4 n n n n n n n

61 2 1

62 2 12+ +

=+ + +^ ^ ^h h h

n n n C6

2 3n

3 2= + + = .

Le résultat est identique à celui obtenu à la question 3 .

1 Pour tout entier n, un est pair si, et seulement si, u2

n est entier, c’est-à-dire si, et seulement si, la partie

entière de u2

n est égale à u2

n . D’où la formule écrite en

B3. On obtient :

La suite u paraît périodique à partir du rang 4 : le cycle 4 – 2 – 1 apparaît.2 Il semble que seulement deux cas soient possibles :– soit la suite u est stationnaire à 1 à partir d’un certain rang ;– soit la suite u est périodique 4 – 2 – 1 à partir d’un certain rang.

On calcule les premiers termes :

b 10 = ; b11 1 11

2= =^ h ;

b21 1 1 12

2 2= + =^ h ;

b31 1 1 1 13

2 2 2= + + =^ h .

Il semble que la suite b soit constante à 1.Soit la suite u défi nie sur N par u 1n = .

Alors pour tout entier n,

unn

n1

11

11 1 1

termes

n

n

1

1

f= =

++ =

++ + +

+

+6 7 84444 4444

un

u u u1n

n1

02

12 2

f=

+

+ + ++ .

Ainsi les suites u et b ont même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence.Donc les suites u et b sont égales. Ainsi pour tout entier n, b 1n = (entier).

On lit les images par f : f 4 1- =^ h ; f 3 2- =^ h ; f 0 3=-^ h ; f 1 1=^ h et f 2 0=^ h .

Pour la suite u :u 30 =- ; fu 3 21 = - =^ h ; fu 2 02 = =^ h ;

fu 0 33 = =-^ h ; fu 3 24 = - =^ h etc.Ainsi de proche en proche, pour tout entier n :– si n est de la forme 3k, u 3n =- ;– si n est de la forme k3 1+ , u 2n = ;– si n est de la forme k3 2+ , u 0n = ,où k est un entier naturel.On en déduit que u 2100 = , car 100 3 33 1#= + .Pour la suite v :v 40 =- ; fv 4 11 = - =^ h ; fv 1 12 = =^ h ; fv 1 13 = =^ h ;

fv 1 14 = =^ h etc.Ainsi de proche en proche, pour tout entier n 1H : v 1n = .On en déduit que v 1100 = .


a. Pour tout entier n :f n n n n1 1 3 2 22 2+ = + - = + -^ ^h h ;f n n n2 2 3 4 32 2= - = -^ ^h h .

b. Pour tout entier n :.f fn n n n n n1 2 2 3 2 12 2+ - = + - - - = +^ ^ ^ ^h h h h

a. La fonction affi ne f a pour coeffi cient a 2=- (négatif ). Donc la fonction f est décroissante sur

; .0 3+6 6

b. La fonction g est du second degré, où a 1= (positif )

et ab

2 23- = . Comme g

23

41

= -c m , on a le tableau de

variations sur ;0 3+6 6 :

x 0 23

3+

g x^ h

2

41

-

c. La fonction h est dérivable sur ;0 3+6 6, et pour tout

réel x 0H , 2h xx

11

1 02= ++

l^^

hh

.

Donc la fonction h est croissante sur ;0 3+6 6.


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lic 1

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d. La fonction k est dérivable sur ;0 3+6 6, et pour tout

réel x 0H , k xx

x x xx

x1

1 1 21

12 2

2

2 2

2#=

+

+ -=

+

-l^^

^

^h

h

h

h.

D’où le tableau de variations :x 0 1 3+

k xl^ h + 0 -

k x^ h0

21


1 u 3 5 1 212#= - =- ;

u 3 5 10 497102#= - =- ;

u n n n3 5 1 3 5 2 1n 12 2= - + = - + ++ ^ ^h h

n n5 10 22=- - - .2 u u2 2 2 1 2 01 0 #= + = - + =^ h ;u u2 2 22 1= + = ; u u2 2 63 2= + = ; u 144 = ; u 305 = ; u 626 = ; u 1267 = ; u 2548 = ; u 5109 = et u 102210 = .

La suite v est défi nie sur N par : v 120 = et la rela-tion de récurrence : v v2 3n n1 =- ++ .Pour calculer le terme d’indice n, on utilise :

ALGO

Variables : n, i : entiers ; v : réel ;Début Entrer n^ h ; v 12! ; Pour i allant de 1 à n faire v v2 3! - + ; FinPour ; Affi cher v^ h ;Fin.

Après avoir programmé la calculatrice, on obtient ,v 1 24 1050

16#. .

Pour Rémi, on ne peut rien conclure sur le sens de variation d’une suite en calculant seulement les trois premiers termes.Pour Sami, il y a une erreur dans le calcul de un 1+ (oubli de parenthèses).Pour tout entier n, u

nn

nn

1 12 1

22 2

n 1 =+ +

+=

++

+

^ h.

Donc

u unn

nn

22 2

12

n n1 - =++ -

++

u un n

n n n n1 2

2 2 1 2 2n n1 - =

+ +

+ + - ++

^ ^

^ ^ ^

h h

h h h

u un n

n n n n n1 2

2 2 2 2 2 4n n1

2 2- =

+ ++ + + - -

+^ ^h h

2u un n1 2

2 0n n1 - =+ +

+^ ^h h

.


1 L’affi rmation est fausse.2 a. Soit f la fonction défi nie sur ;0 3+6 6 par :

f xx

x1

3=

+^ h .

La fonction f est dérivable, et pour tout réel x 0H ,

2f xx

x xx1

3 1 31

3 02 2=+

+ -=

+l^

^

^

^h

h

h

h.

Donc la fonction f est croissante sur ;0 3+6 6 .Comme pour tout entier n, fu nn = ^ h, la suite u est crois-sante.b. On conjecture que la limite de u est 3.c. Les termes un peuvent être aussi proche de 3 qu’on le souhaite à partir d’un certain rang.Pour tout réel 2e 0,

1 1u en

n e31

3 3n +-+

-

1 2n

e ne1

3 3 1+ ++

- .

Donc la suite u converge vers 3.



,P P P P1000

181000

13 0 08n n n n1 = + - ++

, ,P1 005 0 08n= + .2 À l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice, on obtient que :– en 1970, la ville compte environ 42,863 millions d’ha-bitants ;– en 2000, la ville compte environ 52,364 millions d’ha-bitants ;– en 2020, la ville compte environ 59,536 millions d’ha-bitants.


, , ,c c c c10030 1 8 0 7 1 8n n n n1 = - + = ++ .

2 a. Pour tout entier n,, , , ,d c c c c0 7 1 8 0 7 1 8n n n n n1 2 1 1= - = + - ++ + + +^ ^h h

, ,c c d0 7 0 7n n n1= - =+^ h .b. Comme

2, , , , ,d c c 0 7 1 8 1 8 1 8 1 26 00 1 0 #= - = + - =^ h , de proche en proche, la suite d est strictement positive.Donc pour tout entier n, 2c c 0n n1 -+ . Donc la suite c est croissante.3 On calcule les pre-miers termes de la suite c à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur ci-contre.Il faut arrêter les injections au bout de 5 heures.


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4 On propose la feuille de calcul suivante :

La valeur maximale injectée semble être 1,65 unités de produit.

Approfondissement

1 u52

1 = ; u2910

2 = .

2 a. Pour tout réel 2x 0,

f x xx

x xx

x1 12 2

3- =

+- =

+

-^ h .

Comme 1x 03- et 2x1 02+ , on a : 1f x x 0-^ h .b. Par construction, la suite u est strictement positive. Pour tout entier n, fu u u un n n n1 - = -+ ^ h . D’après la question 2 a., 1u u 0n n1 -+ .Donc la suite u est décroissante.

Préliminaire : La fonction f est dérivable sur ; ,0 16 @ et pour tout réel ;x 0 1! 6 @, 2f x x3 4 02= +l^ h .Donc la fonction f est strictement croissante sur ; .0 16 @

Comme f 0=a^ h , on a le tableau de signes suivant :

x 0 a 1

f x^ h - 0 +

1 a. x a b2 2

11 = + =

et 1f x21 4

21 4

815 01

3= + - = -

^ c ch m m .

b. D’après le tableau de signes, 1 121 1a .

2 On pose : a21

= et b 1= .

a. x43

2 = et 1f43

6437 0= -

c m .

b. D’après le tableau de signes, 1 1x 12 a .3 a.

ALGO

Variables : a ; b ; x : réels ;Début a 0! ; b 1! ; Tant que 2b a 10 4- - faire

x a b2

!+ ;

Si 1f x 0^ h alors a x! ; sinon b x! ; FinSi : FinTantQue ; Affi cher ;a b^ h ;Fin.

b. On entre la fonction f en Y1.Programme TI associé :

Programme Casio associé :

On obtient :

C H A P I T R E

Suites arithmétiqueset géométriques

Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques 1

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Contenus Capacités attendues CommentairesSuites arithmétiques et suites géométriques. Établir et connaître les formules

donnant n1 2 f+ + +et q q1 nf+ + +

Approche de la notion de limite d’une suite à partir d’exemples.

Par exemple, dans le cas d’une suite croissante non majorée, on peut déterminer un rang à partir duquel tout terme de la suite est supérieur à un nombre donné.Le tableur, les logiciels de géométrie dynamique et de calcul sont des outils adaptés à l’étude des suites, en particulier pour l’approche expérimentale de la notion de limite.


2. Intentions des auteursDans ce chapitre, il s’agit de mettre en place deux outils de modélisation : les suites arithmétiques et les suites géométriques. Il s’agit d’étudier ces deux modèles d’une façon assez autonome. Pour cela, on a de nombreux exercices capables de fi xer les contraintes techniques de ces suites, puis une série de problèmes où ces deux suites sont à mobiliser pour modéliser des problèmes géométriques physiques et de la vie courante.

Comme l’indique le programme, on procède à une approche graduée de la notion de suites convergentes et divergentes.Certains résultats du cours sont démontrés aux exer-cices 35 et 54.De nombreux exercices du type QCM et Vrai-Faux et des exercices utilisant l’algorithmique sont présents dans ce chapitre.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 6 Suites arithmétiques et géométriques

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A 1 b. 2 b. 3 a. et c. 4 a. et c.

B 1 b. 2 b.

C 1 a. Vrai. b. Vrai. c. Faux. d. Faux. 2 a. Vrai. b. Faux. c. Vrai.

ActivitéActivité 1 Isoler phoniquement et thermiquementObjectifDans cette activité tirée de la vie courante, il s’agit de modéliser une situation complexe pour pouvoir prendre une décision.

1 Lorsque l’on insère une couche isolante, l’intensité du bruit sera de 100 2 3 9 85#- - = dB et la consom-mation annuelle sera de ,600 0 975 585# = €.Lorsque l’on insère deux couches isolantes, l’intensité du bruit sera de 100 2 3 2 9 76# #- - = dB et la con-sommation annuelle sera de , ,600 0 975 570 382# . €.

2 a. u 100 2 3 940 #= - = ; v 6000 = . b. Vrai. Vrai. Faux. Faux. Faux. Vrai.

3 a. On a pour tout entier n 1H , u n94 9n = - .

Donc u n509

44n +G H .

Comme ,9

44 4 9. et que n est entier, N 5= .

L’intensité du bruit devient inférieure à 50 dB à partir de cinq plaques de mousse insérées.b. Pour n couches de mousse, le coût annuel de consom-mation est ,v 600 0 975n

n#= .La diminution absolue de coût pour N couches est :

, ,600 600 0 975 71 345# .- €.

Cela représente , , %600

71 34 0 12 12. . de réduction.

c. 20 % de diminution correspond à une dimi-nution de 120 €. En utili-sant un tableur, on trouve que dès que l’isolation comporte neuf plaques l’objectif est atteint.Ce résultat peut aussi être obtenu à la calcu-latrice en déterminant le plus petit entier n tel que v 480n G .

ActivitéActivité 2 Le jeune GaussObjectif : L’objectif de cette activité est plus d’associer une image mentale au calcul d’une somme que d’eff ectuer eff ectivement cette somme.

1 S10 est la moitié de l’aire d’un rectangle de dimen-

sions 10 et 11, donc : S2

10 11 5510#= = .

2 Voir le schéma ci-dessous.

1

1+2+

+ 2 +

+12

+12

S2

12 25 7812#= = .

3 De même, Sn est la moitié de l’aire d’un rectangle de

dimensions n et n 1+ . Donc Sn n

21

n =+^ h

.

ActivitéActivité 3 RadioactivitéObjectifs◗ Montrer que l’on peut mathématiser des situations d’une autre discipline.◗ Répondre à de « vraies » questions qui sont abordées couramment dans l’actualité.

Erratum : il faut corriger dans l’énoncé 3 10 7# - seconde pour le « polonium 211 ».

1 700 jours représentent 5 périodes du « polonium

210 », donc il restera ,121 0 031

5# .c m g.

2 0,125 g représente 1/8e de 1 g.

Comme 81

21 3

= c m , au bout de trois périodes, soit

420 jours, il restera 0,125 g de polonium.

3 Pour tout entier n, on a u u21

n n1 =+ .

Application : datation au carbone 141 30 000 ans représentent cinq périodes du carbone 14C. Si la quantité initiale était de M, au bout de 5 périodes,

il en reste M21 5

# c m . En proportion, cela représente

, %21 3 1

5.c m .

2 81

21 3

= c m . L’objet correspond alors à trois périodes

du carbone 14, soit à 90 000 ans.


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Démontrer qu’une suite est, ou n’est pas, arithmétique

a. Pour tout entier n,u n n5 1 1 5 1 5n 1 = + + - + =+ ^ ^h h . La suite u est arithmétique de raison 5 et de premier terme u 10 = .b. Pour tout entier n, .u

nn n

n2 1

2 1 2 12 1n =

+

- += -

^ ^h h

La suite u est arithmétique de raison 2 et de premier terme u 10 =- .

c. u 00 = , u21

1 = , u32

2 = . Comme u u u u1 0 2 1!- - ,

la suite u n’est pas arithmétique.

1 u 10 = ; u 143

47

1 = + = ;

u 1 243

25

2 #= + = .

2 Pour tout entier n, u n14

3n = + .


u un n1

43 1

14

343

n n1 - = ++

- + =+

^d c

hn m .

Donc la suite u est arithmétique de raison 43 et de

premier terme u 10 = .

1 u 00 = ; u 21 = ; u 42 = ; u 63 = .2 La fonction f est défi nie par f x x 2= +^ h .3 Pour tout entier n, u u 2n n1 - =+ . Donc la suite u est arithmétique de raison 2 et de premier terme u 00 = .

Démontrer qu’une suite est, ou n’est pas, géométrique

a. u

u55 25

n

nn

n1

2 3

2 5= =+

+

+.

Pour tout entier n, u u25n n1 =+ . La suite u est géomé-trique de raison 25 et de premier terme u 1250 = .

b. v 20 = ; v25

1 = ; v38

2 = , donc vv

45

0

1 = et

.vv

1516

1

2 =

Donc la suite v n’est pas géométrique.

Pour tout entier n :v v u u3

31 1n n n n1 1- = - = -+ +

v u v31 3

31

n n n1 = - =+ ^ h .

Donc la suite v est géométrique de raison 31 et de

premier terme v u 3 30 0= - = .

1 u 10 = ; u 21 =- ; u 42 = ; u 83 =- .2 La fonction f est défi nie par f x x2=-^ h .3 Pour tout entier n, fu u u2n n n1 = =-+ ^ h . Donc la suite

u est géométrique de raison - 2.

Calculer des sommes

A 100 100 3 100 2 3#= + + + + +^ ^h h

100 100 3#f + +^ h

A 100 101 3 1 2 3 100# f= + + + + +^ h.

Donc A 100 101 32

101 100 25 250# # #= + = .

Il faut calculer la somme :S 21 63 189 137 781f= + + + + .La suite utilisée est la suite géométrique de premier terme 21 et de raison 3.S 21 21 3 21 3 21 32 8# # #f= + + + +

S 21 1 3 3 3 211 31 32 8

9# #f= + + + + =

--

^ h

S221 3 1 206 6619= - =^ h .

Il faut calculer la somme :S 128 256 512 16 384f= + + + + .La suite utilisée est la suite géométrique de premier terme 128 et de raison 2.S 128 128 2 128 2 128 22 7# # #f= + + + +

S 128 1 2 2 2 1281 21 22 7

8# #f= + + + + =

--

^ h

S 128 2 1 32 6408= - =^ h .

1 Pour 10 colis, l’entreprise doit payer :S 98 98 3 1 98 3 2# #= + - + - +^ ^h h

98 3 9#f + -^ h.

Donc S 98 10 32

10 9# # #= - . Donc S 845= €.

2 Le 34e colis devient gratuit. L’envoi de 33 colis coûte moins de 33 98 3 234# = €. Avec le budget prévu, ils peuvent envoyer tous les colis voulus !

Examiner le comportement à l’infini

1 La suite est arithmétique de raison r 3=- , donc u est divergente vers 3- . 2 La suite est arithmétique de raison r 2= , donc u est divergente vers 3+ .3 La suite est arithmétique de raison r 3=- , donc u est divergente vers 3- . 4 La suite est arithmétique de raison r 2= , donc u est divergente vers 3+ .

1 La suite est géométrique de raison 23 1 et v 20 = . Donc elle diverge vers +¥.2 La suite est géométrique de raison 13 1- - . Donc elle diverge sans avoir de limites.3 La suite est géométrique de raison , ;0 5 1 1! - 6@ . Donc elle converge vers 0.4 La suite est géométrique de raison ;

75

1 1!-

-^ h

6@ . Donc elle converge vers 0.


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Calculer une somme infinie de termesÉtape 1 :À l’aide d’un tableur comme ci-dessous où un est

41 n

c m et

Sn la somme des n premiers termes d’une suite géomé-

trique de raison 41 et de premier terme

41 , on constate

que cette somme semble converger vers 31 .

Étape 2 : Validation géométriqueEn s’appuyant sur la fi gure, la quantité

,a a3 3 11 2 f+ + = car 3 fois l’aire de la surface verte donne la surface du carré de côté 1.Validation par le calculEn utilisant la suite géométrique de raison

41 , on a :

S41

41

41

141

41

41

nn

n

2

1

f= + + + =-

-+

c c

c

m m

m

S31

31

41

nn

= - c m . La suite géométrique de raison 41

converge vers 0. Donc lim S31

n n =" 3+

.

À la recherche d’une formule1 En utilisant un tableur ou une calculatriceEn tapant en B3 : =B2+4*A2-6 et en « tirant » vers le bas, on obtient le tableau de valeurs ci-contre. Le graphique suggère une fonction polynôme de degré 2 pour un en fonction de n.2 a. En utilisant la régression quadratique de la calculatrice, on obtient u n n2 8n

2= - .

b. Comparons la suite u et la suite v telle que pour tout entier n, v n n2 8n

2= - .

On a v u00 0= = et pour tout entier n :

v n n2 1 8 1n 12= + - ++ ^ ^h h

v n n n n n2 4 6 2 8 4 6n 12 2= - - = - + -+

v v n4 6n n1 = + -+ .Les suites u et v ont le même terme initial et vérifi ent la même relation de récurrence, donc elles sont égales. Donc pour tout entier n, u n n2 8n

2= - .

Utiliser une suite auxiliaire1 a. Voir ci-dessous.

b. On peut conjecturer que pour tout entier n, 2u 0n . La suite u semble décroissante et converger vers 0.c. La suite v semble être arithmétique de raison 0,4 et de premier terme 1.2 Signe de unLa fonction f défi nie sur ;0 3+6 6 par f x

xx

2 55

=+

^ h est strictement positive.Comme 2u 1 00 = , alors 2fu u 01 0= ^ h . Alors 2fu u 02 1= ^ h , etc. Donc de proche en proche, pour tout entier n, 2u 0n .

3 a. vu u

uu

15

2 552 1

nn n

n

n1

1= =

+= ++

+

.

Donc pour tout entier n, v v52

n n1 = ++ .

La suite v est arithmétique de raison 52 et de premier

terme v 10 = .b. On a donc v n1

52

n #= + .

4 a. Pour tout entier n, uv n

1

152

1n

n= =

+.

b. La suite v diverge vers 3+ , car elle est arithmétique de raison 0,4. Donc la suite u converge vers 0.

Comparer deux évolutions1 Pour tout entier n, u u 6n n1 = ++

et ,v v v v100

3 1 03n n n n1 = + =+ .

La suite u est arithmétique de raison 6 et de premier terme u 800 = , et la suite v est géométrique de raison 1,03 et de premier terme v 1000 = .


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2 a. L’algorithme met en place le calcul des termes un et vn jusqu’à ce que un dépasse vn et dans ce cas affi che la valeur correspondante de n.b. On propose les programmes suivants :

Casio

TI

On obtient : Noémie reçoit des étrennes supérieures à Alexandre en 2018. 3 a. On propose :p pALGO

Variables :i : entier ;U, V, S, C : réels ;

DébutU 80! ; V 100! ; S 80! ;C 100! ;Pour i allant de 1 à 9 faire

U U 6! + ;,V V 1 03! # ;

S S U! + ;C C V! + ;

FinPour ;Affi cher(« Noémie reçoit en tout », S ) ;Affi cher(« Alexandre reçoit en tout », C ) ;

Fin.

b. On propose les programmes suivants :

Casio

TI

Noémie reçoit en tout 1 070 € d’étrennes entre 2010 et 2019. Alexandre reçoit en tout environ 1 146,39 € entre 2010 et 2019.

1 a. 2 b. 3 b. 4 a. 5 b. 6 c. 7 a. 8 a.

1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Vrai. 6 Faux.


1 Suites arithmétiques

1 a. et b. 2 c. 3 a. et c. 4 b.

1 a. et c. 2 c.


a. La suite u est arithmétique de premier terme u 30 = et de raison r 2=- .

b. La suite v est arithmétique de premier terme v54

0 = et de raison r

53

= .

c. La suite w est arithmétique de premier terme w 20 =- et de raison r 4=- .d. La suite t n’est pas arithmétique.

a. La suite u est arithmétique de premier terme u 10 = et de raison r 2= .b. La suite u n’est pas arithmétique, car ,u 1 10

2= = u 3 91

2= = et u 5 2522= = . La diff érence u u 81 0- =

est diff érente de la diff érence u u 162 1- = .c. La suite u n’est pas arithmétique, car u 10 = , u 21 = et u 13 = . La diff érence entre deux termes consécutifs n’est pas constante.

a. La suite u est arithmétique de premier terme u 10 =- et de raison r 2= .Son terme général est u n1 2n =- + .u 199100 = .b. La suite u n’est pas arithmétique, car u 20 = , u 31 = et ,u 4 52 = . La diff érence entre deux termes consécutifs n’est pas constante.c. La suite u est arithmétique de premier terme u 10 =- et de raison r

43

= .

Son terme général est u n14

3n =- + . u 74100 = .

d. La suite u est arithmétique de premier terme u 40 = et de raison r 1=- .Son terme général est u n4n = - . u 96100 =- .

1 u 1000 = ; u 40050 = .2 Pour tout entier n, u n100 6n = + .3 2r 6 0= . La suite u est strictement croissante.

1 a. La suite u est arithmétique de premier terme u 140 = et de raison r 5=- . En eff et : u u r24 2= + , donc r6 4 2- = + ; soit .r 5=- De plus u r2 40 + = , donc u 140 = .b. u 486100 =- .c. La raison de la suite u est négative, donc la suite u est décroissante.d. Le terme général est u n14 5n = - .


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2 a. La suite u est arithmétique de premier terme

u25

0 =- et de raison r103

= .

b. u2

55100 = .

c. La raison de la suite u est positive, donc la suite u est croissante.d. Le terme général est u n

25

103

n =- + .

1 u 20 = , u 61 = et u 102 = .2 Pour tout entier n,

u u n n4 6 4 2 4n n1 - = + - + =+ ^ ^h h .Donc la suite u est arithmétique de raison 4 et de premier terme 2.

1 a 14500 = ; ,a 1450 751 = ; ,a 1451 52 = .2 Pour tout entier n, le terme an 1+ est égal à la somme du terme précédent an et de 0,75 : ,a a 0 75n n1 = ++ .Donc la suite a est arithmétique de raison 0,75.3 Pour tout entier n, ,a n1450 0 75n = + .

smin15 900= . On a a 2 125900 = .Donc l’altitude de la gare d’arrivée est 2 125 m.

Le cercle �n a pour rayon n, donc :1 Pour tout entier n, p n2n = r .La suite p est arithmétique de raison 2r et de premier terme p 00 = .2 Pour tout entier n, a n n1n

2 2= + -r r^ h ; soit a n2n = +r r . La suite a est arithmétique de raison 2r et de premier terme a0 = r .

1 ,h 22 416 = et ,h 22 817 = .2 Pour tout entier n compris entre 15 et 30, on a

,h h 0 4n n1 - =+ . Donc la suite h est une suite arithmé-tique de raison 0,4.3 On a ,h n17 0 4 15n #= + -^ h. Donc h 2330 = .4 On a ,h h 10 0 428 18 #= + . Donc h 2418 = .

Démonstration de cours : les variations d’une suite arithmétiqueSoit une suite arithmétique u de raison r et de premier terme u0.1 Pour tout entier n, u u nrn 0= + .2 Pour tout entier n, u u rn n1 - =+ .3 Si 2r 0, alors pour tout entier n, 2u u 0n n1 -+ . Donc 2u un n1+ . La suite u est strictement croissante.Si 1r 0, alors pour tout entier n, 1u u 0n n1 -+ . Donc 1u un n1+ . La suite u est strictement décroissante.Si r 0= , alors la suite u est constante.

Utiliser les suites arithmétiques

1 a. u 10 = , u31

1 = , u51

2 = , u71

3 = .

b. La suite u n’est pas arithmétique, car :

.31 1

51

31

!- -

2 La fonction f est dérivable sur ;0 3+6 6 et pour tout

réel x 0H , 2f xx2 1

1 02=+

l^^

hh

. Donc f est stricte-

ment croissante sur ;0 3+6 6 et comme f 0 0=^ h , la fonction f est strictement positive sur ;0 3+ 6@ .Comme 2u 1 00 = et fu u1 0= ^ h, on a 2u 01 .Comme fu u2 1= ^ h, 2u 02 , etc.Ainsi de proche en proche, pour tout Nn ! , 2u 0n .

3 a. Pour tout entier n,

.v vu u u

uu

1 1 2 1 1 2n nn n n

n

n1

1- = - =

+- =+

+

Donc la suite v est arithmétique de premier terme v 10 = et de raison 2.b. Pour tout entier n, v n1 2n = + , donc u

n1 21

n =+

.

4 La suite v est arithmétique de raison 2, donc stricte-ment croissante. Donc la suite u est strictement décrois-sante.5 a. À l’aide de la calculatrice, on obtient le tableau de valeurs ci-dessous. On conjecture que :

lim u 0n n =" 3+

.

b. 1 1un

101 2

1 10n6 6+

+- -

2n1 2 106+ +

n 500 000+ H .À partir du rang N 500 000= , pour tout entier ,n NH 1 1u0 10n

6- .

1 u 19761 = , u 19722 = , v 21 = et v 42 = .2 On a u n1980 4n = - et v n2n = .3 Les suites u et v sont des suites arithmétiques. La suite u a pour raison 14 0- , donc u est décrois-sante.La suite v a pour raison 22 0, donc v est croissante.4 Jacques et William se rencontrent lorsque u vn n= ; soit n n1980 4 2- = , d’où n 330= . La rencontre a lieu au bout de 330 s, soit 5 min 30 s, sur la marche u 660330 = , c’est-à-dire entre les 36e et 37e étages.

2 Suites géométriques

1 b. et c. 2 b. 3 a.


a. Pour tout entier n, u

u33

27n

nn

n1

3 1

3 4

=-

-=-+

+

+

^

^

h

h.

Donc u u27n n1 =-+ . La suite u est géométrique de raison - 27 et de premier terme u 30 =- .


©H

ache

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Déc

lic 1

re S

b. Pour tout entier n, v

v5 2

2 552

n

nn n

n n1

2

1 1

#

#= =++

+ +.

Donc v v52

n n1 =+ . La suite v est géométrique de raison

52 et de premier terme v

51

0 = .

c. Pour tout entier n, w

w1 2

1 24

n

nn n

n n1

2 1

1 2 3

=-

-=-+

+

+ +

^

^

h

h.

Donc w w4n n1 =-+ . La suite w est géométrique de raison - 4 et de premier terme w 20 = .

a. Pour tout entier n, u 431

nn

= c m . Donc la suite

u est géométrique de raison 31 et de premier terme

u 40 = .b. u 20 = , u 41 = et u 62 = . Donc la suite u n’est pas géométrique.c. Pour tout entier n, ,u u0 97n n1 =+ . Donc la suite u est géométrique de raison 0,97 et de premier terme u 30 =- .d. On a u 40 = , u 51 = , u

211

2 = , donc uu

uu

0

1

1

2! .

La suite u n’est pas géométrique.

1 u 631

2432

6

6#= =c m .

2 u 102421 88

7#= =c m .

1 u 1 3 2 18777#= - =-^ h .

2 u 341

10243

6

5#= - - =^ ch m .

On a u qu4 3= , soit q18 2= . Donc q 9= .

On a u q u33

0= , donc u729

20 = .

On a u q u62

4= , soit u 81 18 14586 #= = .

1 La raison q vérifi e : uu q

2

6 4= . Donc q 814 = et

q 92 = . Donc q 3= ou q 3=- .2 Comme la suite u est croissante, 2q 0. Donc q 3= .

1 On a uu q2

42= . Donc q

1692 = , soit q

43

= ou

q43

=- . Comme la suite u est monotone, q43

= .

2 La suite u est monotone décroissante, car la raison est positive et inférieure à 1 et que les termes sont positifs.3 Les termes de la suite u sont positifs non nuls.De plus, la suite u est décroissante, donc majorée par

uqu

932

0 22= = .

Pour tout entier n, 1u09

32n G .

Soit q la raison de la suite géométrique.

On a q36 492 = , donc q67

= ou q67

=- .

Si q67

= , alors x67 36#= ; donc x 42= .

Si q67

=- , alors x67 36#=- ; donc x 42=- .

En notant un la taille de la n-ième poupée, la suite u est géométrique de raison

32 et de premier terme

u 101 = .Donc ,u 10

32

81160 1 985

4# .= =c m .

La cinquième poupée mesure environ 1,98 cm.

On note L la longueur initiale du triton.Pour tout entier n 1H , on note un la longueur du n-ième triton.Pour tout entier n 1H , on a : ,u L 0 8n

n 1#= - .

On cherche n tel que u L21

n G , c’est-à-dire tel que , ,0 8 0 5n 1 G- .

On obtient le tableau ci-dessous.La taille a diminué de moitié dès que n 5= .

Si la suite u est une suite géométrique de premier terme 2u 00 et de raison 2q 0, alors pour tout entier n 1H , u u qn

n1 0

1=-- et u u qn

n1 0

1=++ .

Donc u u u qn nn

1 1 02 2=- + .

Donc u u u q un nn

n1 1 0= =- + .

Pour tout entier n, on appelle un le prix du livre en n2011+ .

On a ,u u u u10012 0 88n n n n1 = - =+ .

La suite u est donc une suite géométrique de raison 0,88 et de premier terme u 200 = .Donc pour tout entier n, on a ,u 20 0 88n

n#= ^ h .En 2015, le livre coûtera ,u 20 0 88 124

4# .= €.

On a ,U U0 62 1= , , ,U U U0 6 0 363 2 1= = et , ,U U U0 6 0 2164 3 1= = .Comme U U U U 6 8001 2 3 4+ + + = , on a :

, U2 176 6 8001 = . Donc ,

U2 1766 800 3 1251 = = .

Donc ,U 3 125 0 6 18752 #= = ; U 11253 = et U 6754 = .

1 On a S 1004#= r - et pour tout entier n :

S 10 2nn4# #= r - .

2 a. La moitié de la surface est de 5 000r m2.

ALGO

Variables : S : réel ; N : entier ;Début S 10 4

! #r - ; N 0!

Tant que 1S 5 000 r faire N N 1! + ; S S2! # FinTantQue Affi cher N^ h ;Fin.


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TI

Casio

b. Il faut 26 jours pour que la moitié de l’étang soit recou-verte.3 Il suffi t de changer le test de la boucle TantQue :Tant que 1S 10 000 r faireOn obtient évidemment 27 jours.4 Si on appelle rn le rayon du nénuphar au bout de n jours, on a : r 10 2n

n2 4# #=r r - .

On en déduit que r 10 2nn2= - .

Pour tout entier n, on a r

r 2n

n 1 =+ . La suite des rayons

est une suite géométrique de raison 2 .

Démonstration du cours1 Pour tout entier n, u u u q u q u q q 1n n

n n n1 0

10 0- = - = -+

+^ h.

2 On prend u 10 = .Si 2q 1, alors 2q 0n et 2q 1 0- . Donc 2u u 0n n1 -+ . La suite u est strictement croissante.Si 1 1q0 1, alors 2q 0n et 1q 1 0- . Donc 1u u 0n n1 -+ . La suite u est strictement décrois-sante.Si 1q 0, alors 1q 1 0- , mais qn change de signe. Donc u un n1 -+ n’a pas un signe constant. La suite u n’est pas monotone.Si q 1= ou q 0= , alors la suite u est constante.3 Si 2u 00 , il n’a pas d’infl uence sur le sens de variation de la suite.Si 1u 00 , le sens de variation de la suite est changé.

Utiliser les suites géométriques

1 ,I I I I10023 0 771 0 0 0#= - = .


,I I I I10023 0 77n n n n1 1 1#= - =- - - .

b. Donc la suite I est géométrique de raison 0,77 et de premier terme I0.Donc pour tout entier n, ,I I 0 77n

n0 #= .

c. 1 1,0 0 77 1. Donc la suite ,0 77 n^ h est décroissante.

Comme 2I 00 , la suite I a le même sens de variation, donc I est décroissante.Ainsi plus le nombre de plaques augmente, plus l’inten-sité lumineuse à la sortie diminue.3 On résout : ,I 0 77 150

4# = .

Donc ,

,I0 77

15 42 670 4 .= lumen.

4 À l’aide de la calculatrice, on cherche le plus petit entier n, tel que I I

41

n 0G , c’est-à-dire , ,0 77 0 25n G .

Ainsi il faut au minimum six plaques.


, .r r r r100

4 0 96n n n n1 = - =+

Donc la suite r est géométrique de raison 0,96 et de premier terme 50 000.2 Pour tout entier n, ,r 50 000 0 96n

n#= .

3 a. r 33 24210 . tonnes de déchets rejetés.La norme n’est pas respectée.b. Si le taux réduction de déchets est de 5 % par an, on a la suite u de terme général ,u 50 000 0 95n

n#= ; donc u 29 93710 . tonnes.La norme est respectée.

1 Voir le dessin ci-dessous.

x0 1

1

y

y = x

y = x—3

+ 4

u0 = –2

La suite u semble croissante.La limite de la suite u semble être 6.2 a. Pour tout entier n, on a :

v u u u631 4 6

31 2n n n n1 1= - = + - = -+ + .

Donc v u v31 6

31

n n n1 = - =+ ^ h .

La suite v est géométrique de raison 31 et de premier

terme v u 6 80 0= - =- .

b. On a v 831

nn

#=- c m . Donc pour tout entier n,

u v 6 6 831

n nn

#= + = - c m .

c. Pour tout entier n, on a :

u u 6 831 6 8

31

n n

n n1

1# #- = - - -+

+

c cm m= <G F.

Donc 2u u3

1631 0n n

n1 #- =+ c m . La suite u est crois-

sante.

1 u 100 = , u56

1 = , u38

2 = , u47

3 = .

Donc v118

0 = , v114

1 =- , v112

2 = , v111

3 =- .

On peut conjecturer que la suite v est une suite géomé-

trique de raison 21

- .


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Déc

lic 1

re S


v

u

uu

u

1 2 1

1 2 2

2 22

n

n

n

n

n1 =

+ +

+ -=

+-

+ , soit v v21

n n1 =-+ .

3 La suite v est bien une suite géométrique de raison

21

- et de premier terme v118

0 = .

Pour tout entier n, v118

21

nn

= -c m .

4 On a uvv

12

nn

n=-+ , soit u

1118

21

2118

21

n n

n

=

- -

+ -

c

c

m

m

.

1 et 2 a. Voici les premiers termes des suites a, b, u et v :

En B2 =20 ; en C2 =60.En B3 =(2*B2+C2)/4 ; en C3 =(B2+2*C2)/4.En D2 =B2+C2.

En E2 =C2–B2.En F3 =D3/D2 ; en G3 =E3/E2.

b. On conjecture que les suites u et v sont géométriques de raisons respectives 0,75 et 0,25.

3 a. Pour tout entier n :

u a b a b a b4

24

2n n n

n n n n1 1 1= + =

++

++ + +

ua b

43

nn n

1 =+

+

^ h.

Donc u u43

n n1 =+ .

v b a a b a b4

24

2n n n

n n n n1 1 1= - =

+-

++ + +

v b a4n

n n1 =

-+ . Donc v v

41

n n1 =+ .

Les conjectures émises sont vérifi ées.

b. u 800 = , donc u 8043

nn

#= c m .

v 400 = , donc v 4041

nn

#= c m .

c. Pour tout entier n, on a :

a u v2

4043 20

41

nn n

n n# #=

-= -c cm m

et b u v2

4043 20

41

nn n

n n# #=

+= +c cm m .

3 Calculs de sommes

1 a. 2 a.

1 b. et c. 2 a. et c. 3 b. et c.

Somme 1 + 2 + 3 + … + n

S2

2011 2012 2 023 0661#= = .

S 1 2 10 000 1 2 20092 f f= + + + - + + +^ ^h h

S2

10 000 10 0012

2009 20102

# #= -

S 47 985 9552 =

S 2 2 4 2 2 41 #= + + + + +^ ^h h

2 150 4#f + +^ h.Donc S 151 2 4 1 2 1501 # # f= + + + +^ h.

Donc S 151 2 42

150 151 45 6021 # # #= + =c m .

S 1 4 4 5 4 2 52 #= - + + + + +^ ^^ h h

4 5 199#f + +^ hh.S 1 200 4 5 1 2 1992 # f= - + + + +^^ hh.

S 1 800 52

199 200 100 2992#= - + =-cc mm .

1 P n2 4 6 2n f= + + + + ^ h

P n S2 1 2 2n nf= + + + =^ h .

Donc Pn n

n n22

11n #

##=

+= +

^^

hh.

2 I P Sn n n2+ = . Donc I S Pn n n2= - .

I n nn n n

22 2 1

1n2=

+- + =

^^

hh .

1 u 30 =- , u 21 = , u 72 = , u 123 = .2 Pour tout entier n,u n n5 1 3 5 3 5n 1 = + - = - ++ ^ ^h h ; donc u u 5n n1 = ++ . La suite u est arithmétique de raison 5 et de premier terme - 3.3 La suite u est arithmétique de raison 25 0 ; elle est donc croissante.4 S 98 3 5 1 2 3 97# f= - + + + + +^ ^h h ;

Donc S 98 3 52

98 97 23 471# #= - + =^ ch m .

1 Le terme général de la suite u est u u nrn 0= + .Donc S u r21 0= + , S u r3 1 22 0 #= + +^ h

et S u r4 1 2 33 0 #= + + +^ h.

2 S n u rn n

12

1n 0= + +

+^

^h

h.

3 Su nr n

22 1

n0

=+ +^ ^h h

Su u nr n u u n

21

21

nn0 0 0#

=+ + +

=+ +^ ^ ^ ^h h h h

4 Voir les exercices 62 et 63.


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lic 1

re S

Somme 1 + q + q2 + … + qn

S1 est la somme des 7 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison

31 :

S 131

31

131

131

1

6

7

f= + + + =-

-c c

c

m m

m

,S23

2 31 1 4991 6#

.= - ;

S2 est la somme des 11 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2- :S 1 2 2 22

2 10f= + - + - + + -^ ^ ^h h h

S1 2

1 23

1 2 6832

11 11=

- -

- -= + =

^

^

h

h.

S 2 151

51

51

1 2 6# f= + + + +d n.

Donc ,S 21

51

151

25

2 51 2 4991

7

6#.=

-

-= -

c

c

m

m

.

S 10 1101

101

101

2

2 6f= + + + + +c cd m m n.

Donc :

,S 101

101

1101

9100

9 101 11 112

7

6#.= +

-

-= -

c m

.

a. S1 3

1 34

1 3n

n n1 1

=- -

- -=

- -+ +

^

^ ^

h

h h.

b. S 16 64 4nnf= + + +

S 16 1 16 4 16 4nn 2# # #f= + + + -

S 16 1 4 4nn 2# f= + + + -

^ h

S 161 4

1 43

16 4 1n

nn

11#=

-- = -

--

^ h.

1 On a pour tout entier n, u u qnn

0= .

Donc S u q q q102 20# f= + + + +^ h.

2 S uq

q1

18

121

121

0

2121

#=-

-=

-

-

^

^

c

c

h

h

m

m

S 1621 1617 .= - .

1 u 40 = , u 21 = , u 12 = , u21

3 = .

2 Par défi nition, la suite u est géométrique de raison

.21 Donc pour tout entier n, u 4

21

21

nn

n 2= =-

c m .

3 On a u32 768

121

17 15= = .

4 S 4 121

21 4

121

121

17

18

#f= + + + =-

-d

c

c

n

m

m

S 821 815 .= - .

En situation

1 On peut empiler au total 3 2 1 6+ + = tuyaux.2 D’un étage à l’étage supérieur, on met un tuyau de moins. En notant N le nombre de tuyaux posés sur le sol, le nombre total de tuyaux est :

N N 1 2 1f+ - + + +^ h .

Donc N N2

1 153#+ = , c’est-à-dire :

N N 306 02 + - = .On calcule 1225=D ; N 181 =- et N 172 = .Comme 2N 0, N 17= . Il y avait 17 tuyaux posés sur le sol.

1 Soit un le nombre de perles au rang n. La suite u est arithmétique de raison - 4 et de premier terme u 781 = .Donc pour tout n 1H , u n78 4 1n = - -^ h.On doit avoir u 10N = . Donc N78 4 1 10- - =^ h , soit N 18= .2 Le nombre S total de perles nécessaires pour garnir le bustier est :S u u u u1 2 3 18f= + + + + .S 78 78 4 78 2 4#= + - + - +^ ^h h

78 17 4#f + -^ h.Donc S 18 78 4 1 2 17# f= - + + +^ h

S 18 78 42

18 17# # #= - .

Donc S 792= perles.

1 La suite u est une suite arithmétique de premier terme u 1301 = et de raison 52.On a u n130 52 1n = + -^ h.2 S 130 130 52 130 2 52n #= + + + + +^ ^h h

n130 1 52#f + + -^^ h h.S n n130 52 1 2 3 1n # f= + + + + + -^^ hh

S nn n

130 522

1n = +

-^ h.

Soit S n n26 104n2= + .

3 On résout :S n n116 610 26 104 116 610 0n

2+G G+ - .12 138 256=D ;

n 691 =- et n 652 = .On a le tableau de signes suivant :

n 1 65 3+

n n26 104 116 6102 + - - 0 +

On peut donc forer jusqu’à 65 m de profondeur.

1 Le nombre de grains de riz est :

N 1 2 2 21 2

1 2 2 12 6364

64f= + + + + =-

- = - .

2 Cela représente ,3 000

2 1 6 15 1064

15#.- kg, soit

,6 15 1012# tonnes de riz, c’est-à-dire environ 10 000

fois la production mondiale !


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Déc

lic 1

re S


,a a a a100

2 1 02n n n n1 #= + =+ .

Donc la suite a est géométrique de raison 1,02 et de premier terme a 1000 = .Donc pour tout entier n, ,a 100 1 02n

n#= .2 , ,S 100 100 1 02 100 1 02n

n# #f= + + +

,, ,S 100

1 1 021 1 02 5 000 1 02 1n

nn

11# #=

--

= -+

+d ^n h.

3 a. n représente l’âge d’Alban, a représente la somme versée l’année n et S la somme totale sur le compte au bout de n années.b. On complète :

ALGO

Variables :n : entier ; a, S : réels ;

Débutn 0! ; a 100! ; S 1000! ;Tant Que 1S 1999 faire

n n 1! + ;,a a 1 02! # ;

S S a! + ;FinTantQue ;Affi cher n^ h ;

Fin.

c.

TI

Casio

Alban pourra acheter sa guitare à 16 ans.

1 ,D 30010020 300 300 0 8 2401 # #= - = = m3.


,D D D D10020 0 8n n n n1 #= - =+ .

La suite D est donc géométrique de premier terme D 3000 = et de raison 0,8. Donc pour tout n, ,D 300 0 8n

n#= .3 Le volume d’eau apporté dans la retenue au cours des 30 jours du mois de juin sera :

, ,V 300 300 0 8 300 0 829# #f= + + +

, ,,

,V 300 1 0 8 0 8 3001 0 8

1 0 82930

# f= + + + =-

-^ dh n;

soit V 1498. m3.

4 Approche du comportement à l’infini

1 a. 2 b. 3 b.


1 La suite u est croissante ; elle est donc minorée par u 20 =- .

2 Soit M un réel. Pour tout n, u n23n =- + .

2 2 2u M n M n M23

3 6n + +- + + .

Quel que soit le réel M, dès que 2n M3 6+ , alors 2 .u Mn Donc la suite u n’est pas majorée.

3 lim un n 3=+" 3+

.

Pour n 3 10 66#H + , on a u 10n6H .

1 v 310 =- , v 48100 =- , v 4981000 =- ,v 4 99810 000 =- .Comme la raison

21- est négative, la suite v diverge

vers 3- .

2 Pour tout entier n, v n22n = - .

a. v n10 221 10n

6 6+G G- - -

n 4 2 106+ #H + . Donc N 4 2 101

6#= + .b. De même N 4 2 102

12#= + .

1 lim un n 3=+" 3+

. lim v 0n n =" 3+

.

lim w 0n n =" 3+

.

2 La suite u a une raison 2q 1.La suite v a une raison q telle que 1 1q1 0- .La suite w a une raison q telle que 1 1q0 1.

a. lim u 0n n =" 3+

.

b. lim un n 3=-" 3+

.

c. La suite u n’admet pas de limite.d. lim u 0

n n =" 3+

.

1 Pour tout entier n, dans le triangle A B Bn n n1 1+ + rectangle en Bn, le théorème de Pythagore permet

d’écrire : c c c41

43

n n n12

2 2= ++ c cm m .

Donc c c410

n n1 =+ .

La suite c est géométrique de raison 410 et de premier

terme c a0 = .Donc pour tout entier n, c a

410

n

n= c m .

2 La suite c est géométrique de raison ;q 0 1! 6@ , donc elle converge vers 0. Lorsque n devient grand, le côté du carré Fn est proche de 0.

1 ,C 10001001 5 1000 10151 #= + = ;

et , ,C 10151001 5 1015 1030 22 # .= + .

2 Pour tout entier n : , ,C C C C

1001 5 1 015n n n n1 #= + =+ .

La suite C est géométrique de raison 1,015 et de premier terme C 10000 = . La raison est supérieure à 1 et 2C 00 . Donc la suite C est croissante et a pour limite 3+ .Plus le temps passe, plus le capital augmente et fi nit par devenir très grand.


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Déc

lic 1

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3 a. On complète :pALGO

Variables :C : réel ; i : entier ;

DébutC 1000! ; i 0! ;TantQue 1C 2000 faire

i i 1! + ; ,C C 1 015! # ;FinTantQue ;Affi cher(i) ;

Fin

TI

Casio

Le capital va doubler au bout de 47 ans.b. On modifi e :ALGO

Variables :C : réel ; i : entier ;

DébutEntrer C0^ h ;C C0! ; i 0! ;TantQue 1C C2 0 faire

i i 1! + ; ,C C 1 015! # ;FinTantQue ;Affi cher i^ h ;

Fin

TI

Casio

On constate que quelle que soit la valeur de C0 on double le capital au bout de 47 ans.

1 , ,R R R R10030 0 7 1 261 0 0 0 #= - = = .

, ,R R 0 7 0 8822 1 #= = .2 Pour tout entier n, ,R R R R

10030 0 7n n n n1 = - =+ .

Donc la suite R est géométrique de raison 0,7. Elle est donc décroissante et admet pour limite 0. Plus le temps passe, plus la quantité de médicament diminue et celui-ci tend à disparaître.3 On obtient : n 21 = ; n 92 = ; n 153 = .

1 d1 = r et d22 =r .

2 a. Pour tout entier n, d d21

n n1 =+ . Donc la suite d est

géométrique de raison 21 et de premier terme d1 = r .

b. Pour tout entier n 1H , d21

n

n 1= r

-

c m .

3 a. Pour tout entier n 1H :D d d dn n1 2 f= + + +

D21

21

n

n 1# #f= + + +r r r

-

c m

D 121

21

n

n 1f= + + +r

-

cd m n

D1

21

121

2 121

n

n

n=

-

-= -r r

c

cd

m

m n.

b. lim21 0

n

n=

" 3+c m . Donc lim D 2

n n = r" 3+

.

Problèmes

1 Appelons un le nombre de cubes du mobile à l’étape n. Pour tout entier n 1H , le cube de l’étape n 1+ est obtenu en ajoutant un cube au bout de chaque branche du cube de l’étape n.Donc u u 6n n1 = ++ . La suite u est une suite arithmé-tique de raison 6 et de premier terme u 11 = .2 Pour tout entier n 1H , u n1 6 1n = + -^ h.Donc u 5510 = .

1 Pour tout entier n 1H , on pose un le montant des pénalités du n-ième jour : u 1001 = et pour tout entier n 1H , u u 50n n1 = ++ .Donc la suite u est arithmétique de raison 50.Donc pour tout entier n 1H , u n100 50 1n = + -^ h.Le fabriquant « off re » la machine dès que : u u u 10 000n1 2 f H+ + +

100 100 50 100 50 2+ #+ + + + +^ ^h h

n100 50 1 10 000#f H+ + -^^ hh

n n100 50 1 2 1 10 000+ # # f H+ + + + -^^ hh

nn n

100 502

110 000+ # H+

-^ h

n n25 75 10 000 02+ H+ - .1005 625=D ; ,n 21 61 . - et ,n 18 62 . .

Comme n est entier, le fabriquant « off re » la machine au bout de 19 jours de retard2 On résout u u u 2 500n1 2 f G+ + +

n n25 75 2 500 02+ G+ - .255 625=D ; ,n 11 61 . - et ,n 8 62 . .

Comme n est entier, le nombre maximum de jours de retard pour que le fournisseur rentre dans ses frais est 8.

Si pour tout entier n 1H on appelle an l’aire noircie totale au bout de n étapes, la fi gure suggère que

lim a31

n n =" 3+

.


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Pour tout entier n 1H , on note :◗ cn le côté du carré noirci à l’étape n ;◗ bn l’aire du carré noirci à l’étape n.

On a : c21

1 = et pour tout entier n 1H , c c21

n n1 =+ .

Donc pour tout n 1H , c21

nn

= c m .

Alors pour tout n 1H :

◗ b c41

n nn2

= = c m ;

◗ a41

41

41

31

31

41

nn n2

f= + + + = -c c cm m m .

Comme lim41 0

n

n=

" 3+c m , on a bien lim a

31

n n =" 3+

.

1 u52

1 = , u41

2 = .

2 u u u u1 0 2 1!- - et uu

uu

0

1

1

2! . La suite u n’est ni

arithmétique ni géométrique.3 La suite u semble décroissante.

x0

1

y � : y = x

u0 = 1

�f

4 a. v 20 = , v 51 = , v 82 = .

b. Pour tout entier n, vu u

u2 22

2 3n

n n

n1

1= =

++

+d n,

donc vu

v2 3 3nn

n1 = + = ++ . La suite v est arithmé-

tique de raison 3 et de premier terme v 20 = .

c. Pour tout entier n, v n2 3n = + , donc un2 3

2n =

+.

5 On défi nit la fonction g sur ;0 3+6 6 par :

,g xx2 3

2=

+^ h

qui admet pour dérivée 1g xx2 3

6 02=+

-l^^

hh

.

Donc la fonction g est décroissante sur ;0 3+6 6. Comme pour tout n, u g nn = ^ h, la suite u est décroissante.

1 u 31 = , u3

112 = et u

1143

3 = .

2 a. f xx

5 4= -^ h .

0 x

y

1

1

�f : y = 5 – 4—x

� : y = x

u0 = 2

b. La suite u semble croissante.Il semble que lim u 4

n n =" 3+

.

3 a. v 20 = , v21

1 = et v81

2 = .

b. Pour tout entier n :

vu

u

u

u1

4

5 4 1

4 5 4

nn

n

n

n1

1

1=-

-=

- -

- -

++

+

d n

vu

u v4 44

41

nn

nn1 =

--

=+ .

La suite v est une suite géométrique de raison 41 et de

premier terme v 20 = .c. Pour tout entier n, v 2

41

nn

#= c m .

d. Pour tout entier n, on a v u u1 4n n n- = -^ h .

Donc uvv

14

nn

n=++ , soit u

1 241

4 241

n n

n

#

#=

+

+

c

c

m

m

.

4 lim 241 0

n

n# =

" 3+c m . Donc lim u 4

n n =" 3+

.

1 a. u 12000 = , u 13001 = et u 14002 = .b. v 11000 = , v 11881 = et v 12832 . .c. Pour tout entier n, u n1200 100n = + et ,v 1100 1 08n

n#= .2 Après 8 ans, le salaire de type 2 dépasse le salaire de type 1.

3 La somme des salaires sur 10 ans est :◗ Type 1 : S u u u12 0 1 9f= + + +^ h

S 12 1200 1200 100 1200 900f= + + + +^ ^^ h hh,soit S 12 1200 10 100 1 2 9# f= + + + +^^ hh,

soit S 12 1200 10 1002

9 10# # #= +c m.

Donc S 198 000= €.◗ Type 2 : T v v v12 0 1 9f= + + +^ h. Donc :

, ,T 12 1100 1100 1 08 1100 1 089# #f= + + +^ h,soit , ,T 12 1100 1 1 08 1 089# # f= + + +^ h,

soit ,

,T 12 11001 1 08

1 1 0810# #=

-- .

Donc T 191 222. €.Le salaire de type 1 est plus intéressant sur 10 ans.

Proposition 1 :Vincent va rembourser :S 400 400 30 400 11 30#f= + - + + -^ ^h h.S 12 400 30 1 2 11# f= - + + +^ h

S 12 400 302

11 12 2 820# # #= - = €.


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Proposition 2 :Vincent va rembourser :

, ,T 400 400 0 9 400 0 911# #f= + + +

, ,,

,T 400 1 0 9 0 9 4001 0 9

1 0 91112

# #f= + + + =-

-^ h

T 2 870. €.La proposition 1 est la plus avantageuse.

1 Pour tout entier n, u u 1n n1 = -+ .Donc la suite u est arithmétique de raison - 1.Donc pour tout entier n, u u nn 0= - .2 Le nombre de boîtes est égal à 24 23 1f+ + + , donc

224 25 300# = .

3 a. On a :

nn n

1 2 3 1052

1105+f+ + + + =

+=

^ h

n n 210 02+ + - = .841=D ; n 151 =- et n 142 = .

14 est la seule solution positive. Chaque boîte a 10 cm de diamètre, donc la largeur de la pile sera de 140 cm.b. Il y a 14 lignes de boîtes, donc la hauteur sera de 140 cm.

Pour tout entier n, v 3 3 3 3nu u r u r

11n n n= = =+

++ .Donc v qvn n1 =+ en posant q 3r= .La suite v est une suite géométrique de raison 3r .

1 a. En tenant compte des transferts de puces, on a :• en B3 : =B2*0,8+C2*0,6 ;• en C3 : =B2*0,2+C2*0,4.

b.

c. On constate que le nombre de puces se stabilise sur chaque podium : 750 sur le grand et 250 sur le petit.2 Les suites u et v semblent géométriques de raison

51 .

3 a. Pour tout entier n :, , , ,g g p g g0 8 0 6 0 8 0 6 1000n n n n n1 = + = + -+ ^ h.

Donc pour tout entier n, ,g g600 0 2n n1 = ++ .b. ,u g g750 0 2 600 750n n n1 1= - = + -+ + .Donc , ,u g u0 2 750 0 2n n n1 = - =+ ^ h . La suite u est géométrique de raison 0,2 et de premier terme - 550.c. Pour tout entier n, ,u 550 0 2n

n#=- .

Donc ,g 750 550 0 2nn#= - .

d. ,lim 0 2 0n

n =" 3+

. Donc lim g 750n

n =" 3+

.

4 Si g p 10000 0+ = , alors on obtient :,g g750 750 0 2n

n0 #= + -^ h , ce qui ne change rien

aux conclusions.

Pour tout entier n 1H , on note n, la distance parcourue par la balle après n rebonds. On a :

121

21

21

121

121

n

nn

2 1, f= + + + + =

-

--

c c

c

m m

m

.

Donc 1221 2n

n 1, = -

-

c m .

Donc la balle ne tombera pas de la table.

On considère la première marche comme unité de masse. Il en faut 6 pour un escalier de 3 marches, donc elle pèse 20 kg. Si on appelle un le nombre d’unités néces-saires pour la construction d’un escalier de n marches, on a pour tout entier n 1H , u u n 1n= + + .

Donc u nn n

1 2 32

1n f= + + + + =

+^ h.

Donc la masse de ciment nécessaire pour construire un escalier de n marches est :

mn n

n n202

110 1n #=

+= +

^^

hh kg.

Ainsi : m 2004 = , m 3005 = , m 110010 = en kg.

1 a. Au bout de 4 semaines, il y a :A : ,4 500 1 025 4 9674# . bactéries ;B : 5 000 4 140 5 560#+ = bactéries.Au bout de 10 semaines, il y a :A : ,4 500 1 025 5 76010# . bactéries.B : 5 000 10 140 6 400#+ = bactéries. b. Pour tout entier n :

, ,u u u u1002 5 1 025n n n n1 = + =+ et v v 140n n1 = ++ .

Donc la suite u est géométrique de raison 1,025 (et de premier terme u 4 5000 = ) et la suite v est arithmétique de raison 140 (et de premier terme v 5 0000 = ).On en déduit que pour tout entier n :

,u 4 500 1 025nn#= et v n5 000 140n = + .

2 Au bout de 28 semaines, le nombre de bactéries A aura dépassé le nombre de bactéries B.

On peut aussi programmer un algorithme :p p g gALGO

Variables :N : entier ; U, V : réels ;

DébutN 0! ; U 4 500! ; V 5 000! ;Tant Que U VG faire

N N 1! + ;,U U 1 025! # ;

V V 140! + ;FinTantQue ;Affi cher N^ h ;

Fin.


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3 25 % par rapport au nombre initial de bactéries de la culture A représentent 1 125 bactéries. Il faut donc 2u 4 500 1125n + , soit 2u 5 625n . Un tableur nous indique que cela se vérifi e au bout de 10 semaines.

A0

A1

A2 A3

A4

A5

A6A7A8

A9 O

1 a. et b. Voir ci-dessus. Les points O, A0 et A8 sont alignés, ainsi que les points O, A1 et A9, car les triangles rectangles isocèles ont des angles aigus de 45°.

2 a. D’après le théorème de Pythagore dans OA A1 2, on

a A A2

101 2 = .

Puis de la même façon A A A A2

52 31 2= = .

b. Si, à une étape, la longueur du côté diff érent de l’hy-poténuse est notée a, la longueur du côté diff érent de l’hypoténuse du triangle de l’étape suivante est a

2.

c. La suite des côtés d’un triangle est une suite géomé-trique de premier terme 10 et de raison

21 .

Donc pour tout entier n 0H ,

A A 102

1n n

n

1 #=+ d n .

3 a. La longueur de la ligne brisée à l’étape 2 est :

S A A A A 102

10 10 5 22 0 1 1 2= + = + = + .

La longueur de la ligne brisée à l’étape 3 est :

S A A A A A A 102

102

103 0 1 1 2 2 3 2= + + = + +

^ h

S 15 5 23 = + .

b. Pour tout entier n 1H ,

S 102

102

10 102

1n

n

2

1

#f= + + + +-

^d

hn ;

S 101

21

12

1

2 110 2 1

21

n

n

n#=

-

-

=-

-

d

df

n

n p.

Remarque : on peut transformer 2 1

2 2 2-

= + et

obtenir : S 10 2 2 12

1n

n= + -^ dfh n p.

4 On entre An et Sn en Y1 et Y2.a. Le côté du triangle devient inférieur à 0,5 cm dès le 9e triangle.

b. La longueur de la ligne brisée est supérieure à 30 cm dès le 7e triangle.

c. La longueur de la ligne brisée est supérieure à 34,142 cm dès le 36e triangle.

5 Comme ;2

1 0 1! 6@ , on a lim 102

1 0n

n=

" 3+d n .

Donc lim S2 1

10 2 10 2 2n n =

-= +

" 3+^ h.

Partie A - Étude d’un triangle blanchi à l’étape n1 À l’étape 1, on blanchit un triangle, ayant un côté égal à la moitié du côté du triangle initial.

Donc u 11 = ; p 32

10 151 #= =c m

et a41

410 3

425 31

2#= =c m (l’aire est le quart de

l’aire du triangle initial).On rappelle que l’aire d’un triangle équilatéral de côté a

est a4

32.

2 Pour le passage de l’étape 1 à l’étape 2 :• On blanchit 3 fois le nombre de triangles blanchis à l’étape précédente. Donc u u3 32 1= = .• Chaque triangle blanchi a un côté moitié du triangle blanchi précédent, donc un périmètre moitié du triangle

blanchi précédent. Donc p p2 2

152

1= = .

• Chaque triangle blanchi a une aire égale au quart de l’aire du triangle blanchi précédent.

Donc a a41

1625 32 1= = .

D’une façon plus générale, pour tout entier n 1H :u u3n n1 #=+ ;

p p2n

n1 =+ ;

a a4n

n1 =+ .

Les suites u, p et a sont donc géométriques, de raisons

respectives 3, 21 et

41 .


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On en déduit que pour tout entier n 1H :

u u 3 3nn n

11 1#= =- - ;

p p21

215

n

n

n1

1

1#= =-

-c m ;

a a41

425 3

n

n

n1

1#= =

-

c m .

Partie B - Un tracé bien long1 Pour tout entier n 1H ,

P u p 3215 15

23

n n nn

n

n1

1

1# # #= = =-

-

-

c m .

2 ◗ À l’aide de la calculatrice, on cherche le rang N à partir duquel P 100n H .On obtient N 6= .

◗ À l’aide de la calculatrice, on cherche N à partir duquel P 1000 000N H .On obtient N 29= .

3 Comme la raison de la suite géométrique u est 3 et que u 11 = , la suite u diverge vers 3+ .De même, les raisons des suites géométriques p et a sont comprises entre 0 et 1. Donc les suites p et a convergent vers 0.

Partie C – Vers le blanc1 Pour tout entier n 1H ,

A u a 3 254

3n n n

nn

1# #= = -

A4

25 343

n

n 1#=

-

c m .

Comme 1 1043 1, la limite de la suite A est 0.

2 On peut conjecturer que pour un nombre très grand d’étapes, le triangle initial est complètement blanchi,

c’est-à-dire que l’aire Sn tend vers 4

10 3 25 32

= .

Pour tout entier n 1H ,

S A A An n1 2 f= + + +

.S4

25 34

25 343

425 3

43

n

n 1# #f= + + +

-

c m

Donc :

S4

25 3 143

43

n

n 1# f= + + +

-

cd m n

S4

25 3

143

143

25 3 143

n

n

n# #=

-

-= -

c

cd

m

m n.

Comme 1 1043 1, la limite de

43 n

c m est 0.

Donc la suite S converge vers 25 3 .

Partie A : Des formules de récurrence1 10, = , c 30 = , P 30 = et �0 4

3= .

2 D’après le processus de construction, pour tout entier

n, 31

n n1, ,=+ et c c4n n1 =+ .

3 Pour tout entier n, P cn n n# ,= .

4 On a pour tout entier n,

�n + 1 = �n c4

1 3n

n2

#,

++ .

Partie B : Expérimenter

On peut conjecturer que :– la suite , converge vers 0 ;– la suite c diverge vers 3+ ;– la suite P diverge vers 3+ ;– la suite � converge vers un réel voisin de 0,692 82.

À l’étape n, on a 1 2 2 2n2 f+ + + + branches au total, c’est-à-dire la somme des n 1+ termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

Donc il y a 1 2

1 2 2 1n

n1

1

-- = -

++ branches.

Le nombre de rameaux dépasse 1 000 000 à la 19e étape.


1 c. 2 a.

1 b. 2 c.


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Pour tout entier n,

u u n n31 1 3

31 3

31

n n1 - = - + + - - + =-+ ^ h; ;E E .

La suite u est arithmétique de raison r31

=- .

1 Chaque minute, on apporte 50 litres d’eau, donc

on ajoute une hauteur de , ,

, ,0 5 0 5

0 05 0 2#

= m.

La suite des hauteurs est donc arithmétique de raison

0,2 et de premier terme , ,

, ,h0 5 0 5

0 075 0 30 #= = m.

2 ,h h 8 0 28 0 #= + . La hauteur d’eau après 8 minutes de remplissage est de 1,9 m.

Rémi généralise hâtivement une propriété constatée sur les trois premiers termes.

Sami se trompe, car u32

n n

n

1 1

2=+ +

+.

a. La suite u est une suite géométrique de raison 53

comprise entre 0 et 1 et de premier terme 1, donc elle converge vers 0.b. La suite v est une suite arithmétique de raison - 2 (négatif ), donc elle diverge vers 3- .c. Pour tout nombre entier n, ,k k0 5n n1 =+ .La suite k est géométrique de raison 0,5 comprise entre 0 et 1 et de premier terme 1 000, donc elle converge vers 0.


1 Les productions mondiales prévues pour 2009 et 2010 sont :

,120 791 1 2 144 949# . MW et ,144 949 1 2 177 939# . MW.2 a. Pour tout entier n, ,u u 1 2n n1 #=+ .La suite u est géométrique de raison 1,2 et de premier terme u 120 7910 = .b. Pour tout entier n, ,u 120 791 1 2n

n#= .3 On entre :– en C2 =120 791 ;– en C3 =C2*1,2.La production dépassera 250 000 MV en 2012.

Pour tout entier n :

C C t C C t100

1100n n n n1 #= + = ++ c m.

La suite C est géométrique de raison t1100+ .

Pour tout entier n, on a C C t1100n

n0 #= +c m .

Donc p t1100

1 100nn

#= + -c m= G .

La suite p est naturellement croissante.pn ne dépend pas de C0. Donc le temps de doublement ne dépend que de t.Pour t fi xé, on cherche n tel que p 100n H , c’est-à-dire

tel que t1100

2nH+c m .

À l’aide de la calculatrice, on a :

Taux de placement (en %)

1 2 3 4 5 10 15 30 50

Nombres d’années 70 36 24 18 15 8 5 3 2

Approfondissement

1 u 21 = et u38

2 = . Donc uu 2

0

1 = et uu

34

1

2 = .

La suite u n’est pas géométrique.

2 Pour tout entier n, 2u u32 0n n

n1 - =+ c m . Donc la

suite u est strictement croissante.

3 Pour tout Nn ! , v u u32

n n nn

1= - =+ c m .

La suite v est géométrique de raison 32 et de premier

terme v u u 10 1 0= - = .4 Pour tout entier n,

S 132

32

132

132

nn

n 1

f= + + + =-

-+

c

c

m

m

S 3 132

n

n 1= -

+

cd m n.

5 Pour tout entier n :S u u u u u un n n1 0 2 1 1f= - + - + + -+^ ^ ^h h h. Donc S u un n 1 0= -+ ,

soit u S u 1 3 132

n n

n

1 0

1= + = + -+

+

cd m n.

Donc u 3 132 1n

n= - +cd m n .

1 a. 500, = r , 251, = r , ,12 52, = r .

b. Pour tout entier n, 21

n n1, ,=+ .

c. La suite , est géométrique de raison 21 et de premier

terme 500, = r .

d. Pour tout entier n, 5021

nn

, = r c m .

2 L 50 121

21

0 1 7

7, , f , f= + + + = + + +r cd m n.

L 501

21

121

100 121

8

8=

-

-= -r r

J

L

KKKK

c

cd

N

P

OOOO

m

m n.

Donc ,L 312 9. m.

C H A P I T R E

Géométrie plane

Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane 1

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Contenus Capacités attendues CommentairesGéométrie planeCondition de colinéarité de deux vecteurs : xy yx 0- =l l .

Vecteur directeur d’une droite.Équation cartésienne d’une droite.

Expression d’un vecteur du plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires.

Utiliser la condition de colinéarité pour obtenir une équation cartésienne de droite.◗ Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un vecteur directeur et un point.◗ Déterminer un vecteur directeur d’une droite défi nie par une équation cartésienne.

◗ Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes.

On fait le lien entre coeffi cient directeur et vecteur directeur.

L’objectif est de rendre les élèves capables de déterminer effi cacement une équation cartésienne de droite par la méthode de leur choix.

On ne se limite pas au cadre de la géométrie repérée.


2. Intentions des auteursDans ce chapitre, il s’agit à la fois de renforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dont la résolution repose sur la démonstration d’alignement et de parallélisme, mais aussi de préparer l’introduction de l’outil produit scalaire.L’introduction de ce nouvel outil implique un travail, contrairement à la classe de Seconde, sur le calcul vectoriel non repéré, en particulier la décomposition d’un vecteur suivant deux vecteurs de directions diff érentes.On travaille tout d’abord sur la colinéarité de deux vecteurs, avec pour corollaire la décomposition d’un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires. Il s’agit de résoudre des problèmes d’alignement et de parallélisme.Ensuite, on travaille à la défi nition d’une équation cartésienne de droite et au lien avec l’équation réduite de celle-ci.Par ailleurs, on précise les positions relatives de deux droites où les vecteurs directeurs fournissent des critères de décision.

Les exercices d’applications directes sont basés sur :– la colinéarité de deux vecteurs : colinéarité dans un repère, étudier des confi gurations ;– l’expression d’un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires : lectures graphiques, utiliser la relation de Chasles, étudier des confi gurations ou des ensembles de points ;– équations cartésiennes d’une droite : vecteurs directeurs, équations de droites, étudier des confi gurations.De nombreux problèmes permettent à la fois de maîtriser les outils défi nis dans le chapitre en situation et de travailler dans des cadres diff érents : cadre algébrique, analytique et vectoriel.Certains résultats du cours sont démontrés aux exercices 77 et 78.De nombreux exercices du type QCM et Vrai- Faux et des exercices utilisant l’algorithmique sont présents dans ce chapitre.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 7 Géométrie plane

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A 1 b. 2 b. 3 a. 4 b.

B 1 b. et d. 2 b. et c. 3 a. et d.

C 1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Vrai.

D 1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.5 Vrai. 6 Vrai.

ActivitéActivité 1 Utiliser la colinéarité de vecteursObjectifIl s’agit d’aborder les problématiques du chapitre en utili-sant les résultats de la classe de Seconde : calculs de coor-données, utilisation de la notion de colinéarité vue en Seconde.

1 On a AD 42d n et BC 8

4d n. Donc BC AD2= . Ces vecteurs

sont colinéaires, donc les droites AD^ h et BC^ h sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est un trapèze.

2 Le milieu E de BC6 @ a pour coordonnées :

; ;2

3 52

3 1 1 1- + - + = -c ^m h.

On en déduit que AB 15

--d n et DE 1

5--d n, soit AB DE= .

Le quadrilatère ABED est un parallélogramme.

3 On a OA 22

-d n et OE 1

1-d n, donc OA OE2=- .

En conséquence, les trois points A, E et O sont alignés.

ActivitéActivité 2 Décomposer des vecteursObjectifIl s’agit ici d’aborder l’outil vectoriel sans utiliser de repère.

1 I I I JOM OC O C O O21

21

21

= = + = +^ ^h h

donc I JOM O O21

21

= + .

De même I JOD O O=- + .

2 Comme IO LB= et J JO L21

= , on a :

JOM LB L21

41

= + . De même JOD LB L21

=- + .

3 OM OC21

= . IOD OC CD OC O2= + = - .

Donc IOD O OC2=- + .

ActivitéActivité 3 Démontrer en utilisant une décompositionObjectifs◗ Mettre l’élève en position de correcteur d’une démonstra-tion utilisant les vecteurs sans coordonnées.◗ Retrouver un résultat à l’aide d’une autre méthode.

1 Marc utilise la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs EF et IB en fonction de vecteurs colinéaires à AB et AC .On en déduit que IEF B

32

= , donc que les droites EF^ h

et IB^ hsont parallèles, car elles ont des vecteurs direc-teurs colinéaires.

2 a. ;A 0 0^ h, ;B 1 0^ h, ;C 0 1^ h, ;E32 0c m, ;I 0

21

c m,

;F 031

c m.

b. IB1

21

-f p, EF 3

2

31

-J

L

KKKK

N

P

OOOO.

c. On a IEF B32

= . Les vecteurs EF et IB sont colinéaires,

donc les droites EF^ h et IB^ h sont parallèles.

ActivitéActivité 4 Appartenance à une droiteObjectifAutomatiser les calculs qui permettent de décider si un point appartient ou non à une droite.

1 Un point appartient à la droite � si, et seulement si, ses coordonnées vérifi ent l’équation de la droite �.2 0 1 1# + = , donc A ! �.De même, B ! �, C ! �, D !Y �.

2 a. Si ;M x y^ h, on compare y avec x2 1+ . S’il y a égalité, la réponse est « oui » ; dans le cas contraire, c’est « non ».b. On vérifi e les résultats du 1 .

ActivitéActivité 5 Caractériser un ensemble de pointsObjectifs◗ Caractériser vectoriellement les points d’une droite passant par A et de vecteur directeur u .◗ Donner une équation cartésienne de cette droite.

1 a. et b. On conjecture que l’ensemble E est la droite passant par le point A et de vecteur directeur u .

2 a. Si M E! , alors il existe un réel a tel que AM a= u ; donc les vecteurs AM et u sont colinéaires.

Réciproquement si AM et u sont colinéaires, alors il existe un réel a tel que AM a= u .b. « Le point M appartient à E si, et seulement si, les vecteurs AM et u sont colinéaires ».

3 a. ;B 2 2^ h.b. M AB! ^ h si, et seulement si, AM et AB sont coli-néaires ; donc si, et seulement si, AM et u sont coli-néaires.c. L’ensemble E est la droite AB^ h.

4 Si ;M x y^ h, alors AM xy

11

+-

d n.

En utilisant la condition analytique de colinéarité, AM et u colinéaires équivaut à x y1 1 3 1 0# #+ - - =^ ^h h ; donc M E! si, et seulement si, x y3 4 0- + = .


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Utiliser le calcul vectoriel pour étudier des configurations

Les vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si, m m1 1 2 12 0# #- + - =^ ^h h ; soit m 25 02 - = . Les vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si, m 5= ou m 5=- .

On a I JA C= , donc le quadrilatère ACJI est un parallélogramme. Ses diago-nales JA6 @ et IC6 @ se coupent en leur milieu D.

En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

MA MB MC MA MA AB MA AC2 2+ - = + + - +^ h

AB AC2= -

qui est un vecteur indépendant de M.

B C

A

AB – 2AC

MA MB MC2 3 3+ = .

Donc MA MA AB MA AC2 3 3+ + = +^ ^h h,

donc MA BA AC BC2 3 3= + =^ h .

Les vecteurs AM et BC sont colinéaires, donc les droites AM^ h et BC^ h sont parallèles.

Déterminer une équation cartésienne de droite

a. AB 35

-d n. Le point ;M x y^ h appartient à la droite

AB^ h si, et seulement si, AM xy

23

-+

d n et AB sont coli-

néaires ; soit x y2 5 3 3 0# #- - + - =^ ^ ^h h h .Donc la droite AB^ h a pour équation x y5 3 1 0+ - = .b. Le point ;M x y^ h appartient à la droite � si, et seule-

ment si, CM xy

34

--

d n et u sont colinéaires ; soit :

x y3 3 4 2 0# #- - - - =^ ^ ^h h h .Donc la droite � a pour équation x y3 2 17 0+ - = .

c. La droite d a pour vecteur directeur IO 10d n. Donc elle a

pour équation y 3=- .

La droite d passe par A si, et seulement si, a 1 3 2 5 3 0# #- - - + =^ ^h h ; soit a

34

=- .

La droite d a pour équation cartésienne :

x y37 2 3 0- - + =

et a pour vecteur directeur u 67-

d n.

1 Soit ;M x y^ h et ;A 2 2-^ h. On a AB 42d n et

AM xy

22

+-

d n. Le point M appartient à AB^ h, si et seule-

ment si AM et AB sont colinéaires, c’est-à-dire :

y x4 2 2 2 0- - + =^ ^h h .La droite AB^ h a pour équation : x y2 6 0- + = .La droite AC^ h passe par ;A 2 2-^ h et ;C 2 1^ h. Donc son

coeffi cient directeur est : 2 2

1 241

- -- =-^ h

. Donc AC^ h

a pour équation y x p41

=- + . Comme elle passe par

A, on a p241 2#=- - +^ h , donc p

23

= . La droite

AC^ h a pour équation y x41

23

=- + .

La droite BC^ h est parallèle à l’axe des ordonnées. Elle admet pour équation : x 2= .2 La droite EF^ h est parallèle à AC^ h, donc elle a pour

équation : y x p41

=- + .

Comme elle passe par ;E 0 3^ h, on a p 3= ; donc la

droite EF^ h a pour équation y x41 3=- + .

Utiliser les équations de droites et les vecteurs directeurs pour étudier alignement ou parallélisme

,AB 1 51d n et ,CD 4 5

3--

d n.

Comme , ,1 5 3 1 4 5 0# #- - - =^ ^ ^ ^h h h h , AB et CD sont colinéaires. Les droites AB^ h et CD^ h, qui ont des vecteurs directeurs colinéaires, sont parallèles.

On a AB 34

-d n, AC 4

5-d n, AD 1296

1728-d n

Ces trois vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B, C et D ne sont pas alignés.

Parmi toutes les méthodes possibles, choisissons celle faisant intervenir les équations de droites. On se place dans un repère orthonormé d’origine A et dont les axes sont portés par les droites AE^ h et AF^ h.On a ;E 13 0^ h et ;F 0 21^ h. Pour tout ;M x y^ h, M appar-

tient à la droite EF^ h si, et seulement si, EF 1321

-d n et

EM xy

13-d n sont colinéaires, c’est-à-dire :

y x13 21 13 0#- - - =^ h .D’où une équation de la droite EF^ h :

y x13 21 273 0- - + = . Comme les coordonnées de ;C 8 8^ h ne vérifi ent pas cette équation, les points F, C et E ne sont pas alignés.

A

CD

B

I

J


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Étude d’un « lieu géométrique »Étape 11 et 2 Voir le schéma ci-contre. Lorsque M est en O, le point N est aussi en O : les points M, N et P sont alors confondus avec le point O.

3 Il semble que le point P décrit la droite D passant par

O et de vecteur directeur a 21d n.

Étape 2

1 a. MK xy b-

d n. Le vecteur MK est colinéaire à u si, et

seulement si, x y b1 2 0# #- - - =^ ^h h .Donc la droite dM a pour équation : x y b2 2 0+ - = .b. Le point N a pour ordonnée 0 et est sur la droite dM . Donc x b2= et N a pour coordonnées ;b2 0^ h.

Le milieu P de MN6 @ a pour coordonnées ;b b2c m.

2 Pour tout point ;M b0^ h, le point ;P b b2c m a des coor-

données qui vérifi ent l’équation de D .

3 Soit P un point de D . Il a pour coordonnées ;2

aa

d n.

Soit ;M x y^ h un point de la droite passant par P et de

vecteur directeur u . Alors PMx

y2

-

-

aaf p et u sont coli-

néaires. Donc cette droite a pour équation : x y2 2 0+ - =a .

Cette droite coupe les axes de coordonnées en ;N 0 a^ h et ;M 2 0a^ h. Le milieu de MN6 @ est le point P qui appartient donc à C .4 L’ensemble C des points P est la droite D .

Configuration du « trapèze complet »

A – Approche graphique1 Construction à l’aide du logiciel Geogebra (voir p. 211).

2 On conjecture que les points O, I, J et E sont alignés.

3 On conjecture que ces rapports sont égaux.

B – Démonstrations1 a. Les vecteurs BC et AD sont colinéaires et 2 .BC AD Donc il existe un réel k tel que BC k AD= et 2k 1.

b. Première méthode : Par la relation de Chasles, BC BE EC= + et AD AE ED= + .

Ainsi BE EC k AE ED+ = +^ h, d’où : EC kED EB kEA- = -

1 2 344 44 1 2 344 44.

colinéaire à CD colinéaire à AB

Or les droites AB^ h et CD^ h ne sont pas parallèles.

Donc EC k ED 0- = et EB k EA 0- = .

Ainsi EC k ED= et EB k EA= .

Seconde méthode : D’après le théorème de Thales avec les parallèles AD^ h et

BC^ h, on peut écrire ADBC

EAEB

EDEC k= = = et en tenant

compte du sens des vecteurs, on obtient : EB k EA= et EC k ED= .

c. On a I IE EA A EA AD21

= + = +

et J JE EB B EB BC k EA k AD21

2= + = + = + .

Donc J IE k E= . Donc les points E, I, J sont alignés.

2 a. On a BD BA ADk

BC BA1= + = + . Donc le point

D a pour coordonnées ;k1 1c m.

b. BD k1

1f p.

;M x y BD!^ ^h h équivaut à BM xyd n et BD colinéaires.

Donc la droite BM^ h a pour équation : y kx= .De même, la droite AC^ h a pour équation dans le repère

, ,B C A^ h : x y 1 0+ - = .En résolvant le système formé par ces deux équations, on obtient les coordonnées de leur point d’intersection

;Ok k

k1

11+ +

c m.

c. ;Ik21 1c m et ;J

21 0c m. Donc JI k

k2

1

1

-f p.

On a IO k kk

k

2 11

11+

-

+

J

L

KKKK

^

N

P

OOOO

h , donc I JIOk 1

1=

+.

Les trois points O, I et J sont alignés. 3 Les conjectures de la partie A sont vérifi ées.

Déterminer une équation cartésienne d’une droite1 a. Le point ;M x y^ h appartient à D si, et seulement si,

les vecteurs AM x ay b

--

d n et u pqd n sont colinéaires, soit :

q x a p y b 0- - - =^ ^h h .La droite D a pour équation :

qx p y aq bp 0+ - + - + =^ ^h h .b. On propose :

Variables :a, b, p, q, e : réels.

DébutEntrer(a, b, p, q) ;e a q b p! # #- + ;Affi cher(« la droite a pour équation cx + dy + e = 0 ») ;Affi cher(« où c vaut » , q) ;Affi cher(« d vaut » , - p) ;Affi cher(« e vaut » , e) ;

Fin.

P

x

y

M �dM

N

u

u

10

1


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2 a. La droite D a pour équation x y3 5 0+ + = .La droite BC^ h a pour équation x y3 2 1 0+ + = .

b. Les vecteurs u et BC ne sont pas colinéaires. Donc les droites D et BC^ h sont sécantes. En résolvant le système formé par les équations de D et BC^ h, on obtient les coordonnées de leur point d’intersection ;1 2-^ h.

1 b. 2 c. 3 a. 4 c. 5 b. 6 b. 7 a. 8 b.

1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux.


1 Colinéarité de deux vecteurs


1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai.

1 a., b., c. 2 b.

1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux.

Colinéarité dans un vecteur

1 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.

2 Les vecteurs u et v sont colinéaires, car v u2=- .

3 Les vecteurs u et v sont colinéaires, car v u1 2= +^ h .

1 Les vecteurs u et v sont colinéaires, car v u45

=- .

2 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, car 3 2 2 3 0# - =Y .

3 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, car 1 5 7 2 6 0#+ - =Y^ h .

1 u x1d n et v x 1

2+

d n sont colinéaires

x x x2 1 1 0 1+ +# #- + = =^ h .

2 u x 12-

d n et v x2

1+d n sont colinéaires

x x1 1 2 2 0+ # #- + - =^ ^h h

x x5 0 52+ +- = =- ou x 5= .

3 Si x 0! , u x 12+

d n et v x1

1f p sont colinéaires

xx

x x1 1 2 1 0 2 02+ +# #+ - = + - =^ ch m

x 1+ = ou x 2=- .

1 AB 11d n et AC a

a1

3 12 +

-e o sont colinéaires si, et seule-

ment si, a a1 3 1 02 + - + = ; soit a a3 2 02 - + = . Cette équation admet deux solutions : 1 et 2.Les points C associés sont ;C 1 41^ h et ;C 4 72 ^ h.2 Les points A, B et C sont alignés :

– si, et seulement si, AB et AC sont colinéaires ;– si, et seulement si, a 1= ou a 2= (d’après la question 1 ).

a. AB 32

--d n et AC 5

3--d n.

3 3 2 5 1# #- - - - - =-^ ^ ^ ^h h h h non nul. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. AB 50130-

d n et AC 140364-

d n.

50 364 130 140 0# #- - - =^ ^ ^ ^h h h h .Donc les points A, B et C sont alignés.

c. AB 43

1-f p et AC

1

34

-f p.

43

34 1 1 0# #- - - =c c ^ ^m m h h .

Donc les points A, B et C sont alignés.

a. AB 41

-d n et CD 4

2-d n.

4 2 1 4 4# #- - - =^ ^ ^h h h non nul. Donc les droites AB^ h et CD^ h ne sont pas parallèles.

b. AB 96-

d n et CD 32

-d n.

9 2 6 3 0# #- - - =^ ^ ^ ^h h h h .Donc les droites AB^ h et CD^ h sont parallèles.

c. AB 21

32

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO et CD 33

44-d n.

21 44

32 33 0# #- - - =c ^ c ^m h m h .

Donc les droites AB^ h et CD^ h sont parallèles.


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1

Variables :xu , yu , xv , yv : réels.

DébutEntrer ( xu , yu , xv , yv ) ;Si x y y x 0u v u v# #- =

alors Affi cher (« les vecteurs sont colinéaires ») ;sinon Affi cher (« les vecteurs ne sont pas colinéaires ») ;FinSi ;

Fin.

On propose à la calculatrice :

Casio

TI

2 Entrer les données et conclure.

1

Variables :xA, yA, xB , yB , xC , yC : réels.

DébutEntrer ( xA, yA, xB , yB , xC , yC ) ;Si x x y y x x y y 0B A C A C A B A- - - - - =^ ^ ^ ^h h h h

alors Affi cher (« les points sont alignés ») ;sinon Affi cher (« les points ne sont pas alignés») ;FinSi ;

Fin.

2 On propose à la calculatrice :

Casio

TI

Étudier des configurations

1 Le point E a pour coordonnées

;2

1 52

1 1- + - +c m. Donc ;E 2 0^ h.

2 La médiane issue de A est la droite AE^ h.

Or AE 34-

d n et AD 912-

d n.

3 12 4 9 0# #- - - =^ ^ ^ ^h h h h .

Donc les points A, D et E sont alignés.3 Le milieu de AD6 @ a pour coordonnées ;

27 2-c m.

Les diagonales ne se coupent pas en leur milieu, donc le quadrilatère ABCD n’est pas un parallélogramme.

1 OA 63d n, BC 8

4d n.

6 4 3 8 0# #- = . Donc OA est colinéaire à BC . Les droites OA^ h et BC^ h sont donc parallèles.

2 BC 84d n et BD 2

1d n.

8 1 2 4 0# #- = . Donc BC est colinéaire à BD , et les points B, C et D sont alignés.

3 AM x19

3-d n, AB 9

3--d n.

Ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, x19 3 3 9 0# #- - - - =^ ^ ^h h h ; soit x3 28 0- = ,

c’est-à-dire x3

28= . Donc ;M 25

328

c m.

1 AB 84-

d n, CD 84

-d n. Donc AB CD=- .

Les droites AB^ h et CD^ h sont parallèles. Plus précisément, le quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme.2 AD 202 = , AB 802 = et BD 1002 = , donc BD AB AD2 2 2= + . D’après le théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en A.3 Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit, donc c’est un rectangle.

Choisir un repère

1 ;A 0 0^ h, ;B 1 0^ h, ;C 1 1^ h, ;D 0 1^ h, ;G31 0c m et

;E 021

c m.

AF AB BD AB BA AD2 2= + = + +^ h,

soit AF AB AD2=- + . Donc ;F 1 2-^ h.

2 EF1

23

-f p, EG 3

1

21

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO.

On a 121

31

23 0# #- - - =^ c c ch m m m , donc les points

E, F et G sont alignés.

1 En munissant le plan du repère , ,A B D^ h, on a : ;B 1 0^ h, ;D 0 1^ h.

Comme AE AD43

= , on a ;E 043

c m.

Comme AF AB43

= , on a ;F43 0c m.


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2 On en déduit que EF 43

43

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO et BD 1

1-d n.

Donc EF BD43

= - : les droites EF^ h et BD^ h sont paral-lèles.

1 Dans le repère , ,B C A^ h, on a ;L21 0-c m, ;M 0

41

c m

et ;B21

21lc m.

2 Méthode 1, par les coordonnées :

LM 21

41

J

L

KKKK

N

P

OOOO, LB

1

21lf p. Donc LB LM2=l .

Les points L, M et Bl sont alignés.Méthode 2, en utilisant un parallélogramme :Comme Bl et C l sont les milieux des segments AC6 @

et AB6 @, on a C B BC LB21

= =l l . Donc le quadrilatère

LBB Cl l est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu. Le point M, qui est le milieu de

BC l6 @, est aussi le milieu de LBl6 @.Donc les points L, M et Bl sont alignés.

1 Voir le schéma ci-contre.Conjectures :– les points B, C et F semblent alignés ;

– il semble que BF BC23

= .

2 Dans le repère , ,D C A^ h :

;E32 0c m, ;A 0 1^ h.

Si ;F x y^ h, alors AF xy 1-

d n, AE 32

1-f p.

Comme AF AE23

= , on a x23

32 1#= = et

y23 1 1

21

#= - + =-^ h . Donc ;F 121

-c m.

;B 1 1^ h et ;C 1 0^ h. Donc les points B, C et F sont alignés sur la droite d’équation x 1= , et on vérifi e immédiate-

ment que BF BC23

= .

1 Voir le schéma ci-contre.2 On utilise le repère , ,A B D^ h :

;A 0 0^ h, ;E43 1c m

et ;F 034

-c m.

Donc AE 43

1f p et FB

1

34f p.

43

34 1 1 0# #- = . Donc AE est colinéaire à BF .

Donc les droites AE^ h et BC^ h sont parallèles.

1 Les droites AB^ h et AD^ h sont perpendiculaires et AB AD= que l’on pose égal à 1.Donc , ,A B D^ h est un repère du plan.

2 ;D 0 1^ h.Comme les triangles ABE et BCF sont équilatéraux de

côté 1, ils ont pour hauteur 23 .

Donc ;E21

23

c m et ;F 123

21

+c m.

3 On obtient DE 21

23 1-

J

L

KKKK

N

P

OOOO, DF 2

3 1

21+

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO.

Or 21

21

23 1

23 1 0# #- - - + =c c cm m m .

Donc les points D, E et F sont alignés.

4 Le triangle AED est isocèle en A et DAE 30c=% .

Donc AED2

180 30 75c= - =% .

Le triangle BEF est isocèle en B et BEF 90c=% .

Donc BEF2

180 90 45c= - =% .

Donc DEF 75 60 45 180c= + + =% .

On en déduit que les points D, E et F sont alignés.

1 Voir le schéma ci-dessous.A

EC

NM

B

2 ;A 0 0^ h, ;B 1 0^ h, ;C 0 1^ h, ;E32

31

c m

3 a. M AB! ^ h. Donc il existe un réel a tel que

AM AB= a .N AE! ^ h. Donc il existe un réel b tel que AN AE= b .b. ;M 0a^ h.

AN AE AB AC32

31

= = +b b c m.

Donc ;N3

23

b bc m.

4 Si le point M répond au problème, alors le point N doit être le milieu de CM6 @.

Donc 3

22

0= +b a et

3 21 0

= +b .

On en déduit 2=a et 23

=b ; on a AM AB2= .

Réciproquement : soit le point M tel que AM AB2= et N le milieu de CM6 @.On a ;M 2 1^ h et ;N 1

21

c m.

Alors AE 32

31

J

L

KKKK

N

P

OOOO et AN

1

21f p.

Donc AN AE23

= .

C’est-à-dire que N appartient à la droite AE^ h.Le point M ainsi défi ni répond au problème.

A

CE

F

D

B

F

A

E CD

B


©H

ache

tte

Livr

e 20

11 –

Déc

lic 1

re S

2 Expression d’un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires

1 b. 2 a. et c.


1 Vrai. 2 Vrai. 3 Vrai.

Lectures graphiques

a. ◗ FS AE AB3= + .

◗ GN AE AB2= - .

◗ SP AE AB=- + .

b. ◗ IFS A AD23

31

= + .

◗ IGN A AD31

= - .

◗ ISP A AD21

31

=- + .

c. ◗ FS AF BC3 2= - .

◗ GN AF BC2 3= - .

◗ SP AF BC2=- + .On peut obtenir ces résultats en remarquant que :

AE AF BC= - et AB BC= .

1 AP AB41

= ; BQ BC73

= ; AR AC31

=- .

2 On a PR PA AR AB AC41

31

= + =- - .

3 PQ PB BQ AB BC43

73

= + = +

PQ AB BA AC43

73

= + +_ i

PQ AB AC289

73

= + .

4 On a PQ PR79

=- . Donc les points P, Q et R sont alignés.

Utiliser la relation de Chasles

1 Voir le schéma ci-contre.2 IJ I JA A= +

IJ AB AC41

43

=- + .

3 a. I IK A AB BK= + + .

b. BK BC BA AC89

89

= = +_ i.

Donc BK AB AC89

89

=- + .

c. IK AB AB AB AC41

89

89

=- + - + .

Donc IK AB AC83

89

=- + .

4 I IJK23

= . Donc les points I, J et K sont alignés.

1 Voir le schéma ci-contre.2 CE CB BE= +

CE AB AD43

= - .

BF BA AD DF= + + .

Donc BF AB AD34

=- + .

3 On en déduit que : BF CE43

- = .

Donc les droites BF^ h et CE^ h sont parallèles.

1 En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

AM MA AB MA AC2 0+ + + + =^ ^h h , soit :

AM MA AB MA AC2 2 0+ + + + = .En regroupant et transposant, on obtient :

AM AB AC21

= + .

2 D’où la construction ci-contre.

1 NA CA AN2 0- + =^ h .

Donc NA CA3 2 0- = . Donc AN AC32

= .Voir la fi gure ci-dessous.

A

C

M N P

B

2 MN MA AN AB AC52

32

= + =- + .

MP MA AC CP= + + .

Donc MP AB AC BA AC52

21

=- + + +_ i.

Soit MP AB AC109

23

=- + .

3 On a MP MN49

= . Donc les vecteurs MP et MN sont

colinéaires. On en déduit que les points M, N et P sont alignés.


On exprime JB et BK en fonction des vecteurs non colinéaires BC et BA.

J J I IB BC C BC C BC CB B21

21

= + = + = + +^ h

JB BC BA21

41

= + .

A

KCB

IJ

A

CD

F

B E

A

C

M

B

I

AB1—2


©H

ache

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Livr

e 20

11 –

Déc

lic 1

re S

BK BC CK BC CA BC CB BA31

31

= + = + = + +^ h

BK BC BA32

31

= + .

Donc JBK B34

= : les vecteurs BK et JB sont colinéaires.

Donc les points B, J et K sont alignés.

1 IDE DA AE DA A52

= + = +

IDE DA AD D52

= + +^ h

IDE DA AD D52

52

= + + . Donc IDE DA D53

52

= + .

2 G est le milieu du segment AAl6 @.

Donc on a DG DA DA21

= +l^ h.

Or Al est le centre de gravité du triangle BCD.

Donc IDA D32

=l . Donc IDG DA D21

31

= + .

3 On a DE DG65

= . Donc les vecteurs DE et DG sont

colinéaires. Donc les points D, G, E sont alignés.

1 Voir la fi gure ci-dessous.A

C

E D

B

2 CE CB AB23

25

= + .

DE DB BC CE= + + , soit :

DE AC AB BC CB AB221

23

25

= - - + + +c cm m.

DE CA AB BC CB BC BC2 221 2

21

25

= + - = - = - .

Les vecteurs DE et BC sont colinéaires, donc les droites DE^ h et BC^ h sont parallèles.

EF EB BF AB AD2= + =- + .

HG HD DG AB AD2= + =- + .

Donc EF HG= , donc EFGH est un parallélogramme.

Ensembles de points

1 b. 2 c.

1 On conjecture que l’ensemble des points M du

plan tel que MA MB+ soit colinéaire à AC est la droite

passant par le milieu I de AB6 @ et parallèle à AC^ h.

A

M

B C

IMA + MB

2 On a IMA MB M2+ = . Donc :

MA MB+ est colinéaire à AC :

– si, et seulement si, IM2 est colinéaire à AC ;

– si, et seulement si, il existe k réel tel que IM kAC2 = ;

– si, et seulement si, il existe k réel tel que IM k AC2=- .

L’ensemble des points M est donc la droite passant par I et parallèle à AC^ h.

1 Voir le schéma ci-contre.2 On conjecture que l’ensemble des points P, lorsque le point M décrit la droite AC^ h, est la paral-lèle à AC^ h passant par I.3 M est un point de la droite

.AC^ h Donc il existe un réel k tel que AM kAC= .

D’après le théorème de Thalès, IP AM21

= ; soit

IP k AC2= . Lorsque M décrit la droite AC^ h, le point P

décrit la droite passant par le point I et de vecteur direc-teur AC .

3 Équation cartésienne d’une droite

1 b. et c. 2 b. et c. 3 a. et c.



Vecteurs directeurs

A

x

y

�1

�2

�4

�3

u1u2

u3

u4

10

1

C

M

A

PD

B

I


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Livr

e 20

11 –

Déc

lic 1

re S

u 521d n est associé à d2 ; u 2

32 -d n est associé à d5 ;

u 733

-d n est associé à d1 ; u 2

54-d n est associé à d4 ;

u 735

--d n est associé à d3.

1 u 12d n est un vecteur directeur de la droite D .

2 v x3d n est un vecteur directeur de D équivaut à u et v

colinéaires, soit x2 3 0- = ; donc x23

= .

1 Le point d’intersection ;A x 0^ h de d avec l’axe des abscisses est tel que : x3 2 0 5 0#+ - = , soit x

35

= .

Le point d’intersection ;B y0^ h de d avec l’axe des ordon-nées est tel que : y3 0 2 5 0# #+ - = , soit y

25

= .

Donc d coupe les axes en ;A35 0c m et en ;B 0

25

c m.

2 et 3 La droite d a pour vecteur directeur u 23

-d n.

B

Ax

y

10

1

4 On doit avoir v ku= , donc si v y7d n on doit avoir :

k7 2=- et y k3= .

Donc k27

=- et y 327

221

#= - =-c m .

Donc v7

221

-f p.

La droite D d’équation x y2 4 0- + = a pour

vecteur directeur u 12d n, et tout vecteur qui lui est coli-

néaire. Les vecteurs u2 et u4 sont aussi des vecteurs directeurs de la droite D .

a. �1 a pour vecteur directeur u 32d n.

b. �2 a pour vecteur directeur u 07d n.

c. �3 a pour vecteur directeur u 13-

d n.

d. �4 a pour vecteur directeur u 12

-d n.

a. �1 a pour vecteur directeur u 10d n.

b. �2 a pour vecteur directeur u 25d n.

c. �3 a pour vecteur directeur u 12-

d n.

d. �4 a pour vecteur directeur u 32d n.

1 D passe par ;A 1 1- -^ h et a pour vecteur direc-

teur u 32

-d n.

d passe par ;B 2 1- -^ h et a pour vecteur directeur

.v 12

-d n


B A

d�

x

y

10

1

uv

Équations de droites

a. La droite � a une équation du type : x y c3 0+ + = . Et comme A est un point de la droite,

c 5=- . La droite � a pour équation x y3 5 0+ - = .

b. ;M x y !^ h � AM xy

23+ +

-d n et u 0

3d n sont colinéaires

x y2 3 3 0 0+ #+ - - =^ ^ ^h h h .Une équation de � est x 2=- .

a. La droite � a une équation du type x y c 0- + + = . Et comme A est un point de la droite,

c 0= . La droite � a pour équation x y 0- + = .

b. ;M x y !^ h � AM xy

52+ +

+d n et u 1

4-d n sont colinéaires

x y5 4 2 1 0+ #+ - - + =^ ^ ^h h h .Une équation de � est x y4 22 0+ + = .

a. y 3= . b. x y 0- = .

a. La droite AB^ h passe par ;A 3 1-^ h et a pour

vecteur directeur AB 48d n.

Une équation est x y2 7 0- + = .b. La droite AB^ h passe par ;A 0 5^ h et a pour vecteur

directeur AB 320-

d n.

Une équation est x y20 3 15 0- - + = .

a. La droite AB^ h a pour vecteur directeur AB 140d n. La

droite AB^ h est parallèle à l’axe des abscisses, donc elle admet pour équation y 2= .

b. La droite AB^ h a pour vecteur directeur AB 42d n.

;M x y AB AM xy

25+!

++

^ ^ dh h n et AB 42d n sont

colinéairesx y2 4 16 0+ - - = .

Donc AB^ h admet pour équation x y2 8 0- - = .


©H

ache

tte

Livr

e 20

11 –

Déc

lic 1

re S

a. x 3= . b. x y5 3 0+ = .

PointA

PointB

Vecteur directeur de AB^ h

Équation cartésienne

de AB^ h

Coeffi cient directeur de AB^ h

;2 5^ h ;1 0^ h15d n x y5 5 0- - = 5

;1 0-^ h ;2 2^ h32d n x y2 3 2 0- + = 3

2

;4 3-^ h ;0 0^ h4

3-d n x y3 4 0+ = 4

3-

;2 1^ h ;0 5^ h12-

d n y x2 5=- + - 2

;3 5^ h ;1 2^ h23d n x y3 2 1 0- + = 2

3

a. Les vecteurs AB 81-

d n et AC 52-

d n ne sont pas coli-

néaires. Donc les trois points ne sont pas alignés.b. Les trois points sont alignés sur la droite d’équation x y3 4 0+ - = .

a. Les trois points sont alignés sur la droite d’équa-tion x y2 2 0+ + = .

b. Les vecteurs AB 11

--d n et AC 5

5-d n ne sont pas coli-

néaires. Donc les trois points ne sont pas alignés.

1 On suppose que b 0! .

On obtient : yba x

bc

=- - , qui est l’équation d’une

droite de coeffi cient directeur ba

- , et donc de vecteur

directeur u ba

-d n.

2 On suppose que b 0= .a. Comme les coeffi cients a et b ne sont pas simultané-ment nuls, a 0! .

b. Si b 0= , alors C admet pour équation : ,xac

=- qui

est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordon-nées.

Droites parallèles

1 Les vecteurs directeurs des deux droites sont

u ba

-D d n et u b

a-

Dlll c m.

2 Les droites D et Dl sont parallèles si, et seulement si, uD et uDl sont colinéaires, soit : ba ab 0- =l l .Donc les droites D et Dl sont parallèles si, et seulement si, ;a b^ h et ;a bl l^ h sont proportionnels.

◗ //d d1 4. ◗ // // //d d d d2 3 5 6.

AB^ h et CD^ h ont pour vecteurs directeurs AB 76d n et

CD 65d n, 7 5 6 6 1# #- =- (non nul).

Donc les deux droites AB^ h et CD^ h ne sont pas paral-lèles.

a. �l a pour équation x y c2 3 0+ + = . Et comme elle passe par ;A 2 1-^ h, on a c4 3 0- + + = , donc c 1= . On obtient x y2 3 1 0+ + = .b. �l : x y 7 0- + = .c. �l : x y4 5 12 0- + = .

a. �l : y x2 5= - (�l = �).b. �l : y 4 0+ = .c. �l : x 3=- .

1 La droite AB^ h a pour vecteur directeur AB 63d n.

;M x y !^ h � AM xy

22+ +

+d n et AB 6

3d n sont colinéaires

x y2 3 2 6 0+ #+ - + =^ ^ ^h h h .Une équation de � est x y3 6 6 0- - = , soit : x y2 2 0- - = .2 De même, une équation cartésienne de la droite d est x y2 4 0- + = .3 Les droites AB^ h et d sont parallèles, car elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Intersections

1 u 12

-Dd n, u

1

21d -f p ;

121 2 1

23

#- - - =-^ c ^h m h (non nul).

Donc les droites sont sécantes.En résolvant le système formé des deux équations, on

obtient le point d’intersection ;38

37

-c m.

2 u 32

-D d n, u 3

2d--d n.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les droites D et d sont sécantes en ;B 1 2-^ h.

3 u 21D d n, u 1

3d -d n. Ces deux vecteurs ne sont pas coli-

néaires. Les droites D et d sont sécantes en ;C 6 2^ h.

1 On a AB 63-

d n et CD 104d n.

Comme 6 4 3 10 54# #- - =^ h (non nul), les vecteurs AB et CD ne sont pas colinéaires, donc les droites AB^ h et CD^ h sont sécantes. 2 La droite AB^ h a pour équation cartésienne x y2 8 0+ - = et la droite CD^ h a pour équation carté-sienne x y2 5 11 0- + = . Les coordonnées ;x y^ h du point d’intersection des deux droites vérifi ent les équations de ces droites :

x yx y

2 82 5 11

+ =

- =-* , qui a pour solution ;2 3^ h.

Le point d’intersection est le point de coordonnées ;2 3^ h.


©H

ache

tte

Livr

e 20

11 –

Déc

lic 1

re S

1 Les droites � et D ont pour vecteurs directeurs

u ba

-d n et v e

d-d n, donc elles sont sécantes en un point

unique si, et seulement si, a e b d 0# # !- .2 a. On suppose que a e b d 0# # !- .Les coordonnées ;x y^ h du point d’intersection des

droites � et D vérifi ent f

ax by cdx ey

00

+ + =

+ + =* .

En multipliant la première équation par e et la seconde par b et en soustrayant, on obtient :

fa e b d x c e b# # # #- =- +^ h .

b. On en déduit : fxae bdb ce

=-

- ; fyae bdcd a

=-

- .

3 On propose :

Variables :a, b, c, d, e, f, m, x, y : réels.

DébutEntrer(a, b, c, d, e, f, g, h) ;m a e b d! # #- ;Si m 0! alors

fxm

b c e!

# #- ;

fym

c d a!

# #- ;

Affi cher(« les droites sont sécantes en ;x y^ h où : ») ;

Affi cher(« x = » , x) ;Affi cher(« y = » , y) ;

SinonAffi cher(« les droites ne sont pas sécantes ») ;

FinSi ;Fin.

4 On propose : TI

Casio


1 On a ;I 2 0^ h et ;J 032

c m.

2 La droite BC^ h passe par B et a pour vecteur directeur

BC 11

-d n. Elle admet pour équation x y 1 0+ - = .

La droite IJ^ h passe par I et a pour vecteur directeur

IJ2

32

-f p.

Elle admet pour équation x y3 2 0+ - = .3 Le point O, milieu de BC6 @, a pour coordonnées

;21

21

c m. On a 21

23 2 0+ - = .

Donc le point O appartient à IJ^ h.

1 Le milieu E du segment BC6 @ a pour coordonnées

;21

23

c m.

2 La médiane du triangle ABC issue du sommet A est la droite passant par A et de vecteur directeur AE .

;M x y AE!^ ^h h AM xy

23+ -

-d n et /

/AE 3 23 2

--d n sont coli-

néairesx y2

23 3

23 0+ #- - - - - =^ c ^ ch m h m .

Une équation de AE^ h est x y 1 0- + = .3 Le milieu F de AB6 @ a pour coordonnées ;0 4^ h. En procédant comme ci-dessus, la médiane CF^ h a pour équation x y2 4 0+ - = .Les coordonnées du point G vérifi ent les équations de

AE^ h et CF^ h, donc G est le centre de gravité du triangle ABC.

1 La droite DE^ h passe par ;D 6 4^ h et a pour

vecteur directeur AC 12

--d n. Elle admet donc pour équa-

tion x y2 8 0- + + = .

2 La droite AB^ h passe par ;A 2 3-^ h et a pour vecteur

directeur AB 63d n. Elle admet donc pour équation

x y2 8 0- + = .

Le point E est l’intersection de DE^ h et AC^ h. Donc en résolvant le système formé par leurs équations, on obtient que le point E a pour coordonnées ;8 8^ h.3

B

D

E

A

Cx

y

10

1

On se place dans le repère , ,A B C^ h.On pose ;M a b^ h avec a et b diff érents de 0 et 1.

;C 1 1^ h. Donc AC^ h admet pour équation y x= .;E b0^ h et ;H a 1^ h. La droite EH^ h a pour vecteur direc-

teur EH ab1 -

d n. Donc elle admet pour équation :

b x ay ab1 0- - + =^ h

;F b1^ h et ;G a 0^ h. La droite FG^ h a pour vecteur direc-

teur FG ab

1--

d n. Donc elle admet pour équation :

bx a y ab1 0- - - + =^ h .


©H

ache

tte

Livr

e 20

11 –

Déc

lic 1

re S

En résolvant le système y x

b x ay ab1 0=

- - + =^ h*

on obtient les coordonnées du point d’intersection I de

AC^ h et EH^ h ; soit : ;Ia b

aba b

ab1 1+ - + -

c m.

Les coordonnées de I vérifi ent l’équation de la droite FG^ h. En eff et :

ba b

ab aa b

ab ab1

11

0# #-+ -

- -+ -

+ =^ h .

Les trois droites AC^ h, EH^ h et FG^ h sont sécantes en I.D’où le résultat.

Analyse : La droite d coupe l’axe des abscisses

en ;A34 0c m et l’axe des

ordonnées en ;C 0 4^ h,

donc AC34 10= .

Construction : À partir d’un point A de d, on construit un point C tel que

AC34 10= .

On trace le milieu D de AC6 @ et le cercle �1 de diamètre AC6 @.

Le cercle de centre C et de rayon 4 coupe �1 en O.Le repère cherché est le repère orthonormé d’origine O et dont les axes sont OA^ h et OC^ h.

Preuve : AC6 @ étant un diamètre du cercle �1, l’angle COA% est droit. Dans le repère orthonormé d’origine O et dont les axes sont OA^ h et OC^ h, la droite d coupe ces

axes en ;C 0 4^ h et ;A34 0c m. Elle a donc pour équation

y x3 4=- + .

Problèmes

1 Dans le repère , ,A B H^ h, ;A 0 0^ h, ;G 1 1^ h. Donc

;I21

21

c m.

;C 2 0^ h, AE 31d n. Donc la droite AE^ h a pour équation

x y3 0- = .J est le point de cette droite d’abscisse 1, donc ;J 1

31

c m.

2 IC 23

21

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO, IJ 2

1

61

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO. Donc IJ IC3 = ; les points I, J et

C sont donc alignés.

1 ;B 0 0^ h, ;C 1 0^ h, ;A 0 1^ h, ;I 052

c m, ;J25 0c m.

BK BC CK BC AC32

= + = + .

Donc BK BC AB BC BC BA32

35

32

= + + = -^ h .

Donc ;K35

32

-c m.

2 JA 25

1-f p, IC

1

52

-f p, BK 35

32

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO sont tous les trois coli-

néaires à u 52-

d n.

Donc les droites JA^ h, BK^ h et IC^ h sont parallèles.

On se place dans le repère , ,A B C^ h.

;M x 0^ h, ;N x0 1 -^ h, ;K x x2 2

1 -c m, ;I

21 0c m et

;J 021

c m.

On a IKx

x2

1

21

-

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO, donc IK x

21

= - u avec u 11-

d n.

On a JKx

x2

2

-J

L

KKKK

N

P

OOOO, donc JK x u

2=- avec u 11-

d n.

Les vecteurs IK et JK sont colinéaires, donc les points I, J, K sont alignés.

Les coordonnées de A vérifi ent le système :x y

x y2 3 4 0

3 1 0- + =

+ + =* .

Après résolution, on obtient ;A35

92

-c m.

La droite AB^ h a pour vecteur directeur AB 314

970

J

L

KKKK

N

P

OOOO.

Donc elle admet pour équation x y5 3 9 0- + = .

1 a. Le milieu M du segment AC6 @ a pour coordon-nées ;1

23

-c m.

b. On pose ;D x y^ h. M est le milieu de BD6 @, donc x

23 1+ =- et y

21

23+

= ; soit ;D 5 2-^ h.

2 a. On pose ;E x y^ h.

AE ACx

y

x

y31

134

435

31

37

+ +=

- =-

- =-

=-

=

Z

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]

]].

Donc ;E31

37

-c m.

N le milieu de AD6 @ a pour coordonnées ;2 3-^ h.

b. NB 52-

d n et NE 35

32

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO, alors NE NB3 = ; donc les points

B, E et N sont alignés.

1 ;A 0 1^ h, ;C 1 0^ h, ;J31 0c m, ;I 0

41

c m.

CK CA52

= . Donc CB BK CB BA52

+ = +^ h,

soit BK BC BA53

52

= + . Donc ;K53

52

c m.

2 JA 31

1-f p. Donc la droite JA^ h a pour équation

x y3 1 0+ - = .

A��1

OD

d

C


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Déc

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BK 53

52

J

L

KKKK

N

P

OOOO. Donc la droite BK^ h a pour équation x y2 3 0- = .

3 Les coordonnées du point E sont les solutions du

système : x yx y

3 1 02 3 0

+ - =

- =* . Donc ;E

113

112

c m.

4 IC1

41

-f p. Donc la droite IC^ h a pour équation :

x y4 1 0+ - = .

Et comme 113 4

112 1 0#+ - = , le point E appartient

à IC^ h.

1 On a JAB A= et JBA 90c=% .

Donc le repère , , JA B^ h est orthonormé.2 a. ;C 1 1-^ h , ;E 0 2^ h, ;B 1 0^ h et ;F 2 2-^ h.

b. Les vecteurs CF 33

-d n et BE 1

2-d nsont non colinéaires,

donc les droites CF^ h et BE^ h sont sécantes.c. Les droites CF^ h et BE^ h ont pour équations respec-tives : x y 0+ = et x y2 2 0+ - = .Elles se coupent en ;I 2 2-^ h.

GD 21-

d n. Donc la droite GD^ h a pour équation :x y2 2 0+ + = .

Les coordonnées du point I vérifi ent cette équation ; donc les trois droites EB^ h, CF^ h et GD^ h sont concou-rantes (en I).

1 Voir le schéma ci-contre.

2 On a BF BA AE EF= + +

BF BA AC AB52

53

= + +

BF AC AB BC52

52

52

= - = .

Donc les vecteurs BF et BC sont colinéaires et les points B, F et C sont alignés.

Voir la fi gure ci-contre.

a. AK AD DK= +

IAK AD D32

= +

IAK AD DA A32

= + +^ h.

IAK A AD32

31

= + .

Comme IAC A AD2= + , on a AC AK3= . Donc les points A, K et C sont alignés.

b. Dans le repère , ,A B D^ h, ;I21 0c m.

En utilisant le théorème de Thalès, ;K31

31

c m.

Donc AK 31

31

J

L

KKKK

N

P

OOOO et AC 1

1d n, donc AC AK3= .

c. K est le centre de gravité du triangle DAB, car il se trouve au

32 de la médiane ID6 @.

Donc K appartient à la médiane AO^ h issue de A, qui n’est autre que la diagonale AC^ h.


C

A

E F

B

2 a. EF EA AF= + .

Donc EF AB xAC xAB AC3

131

= - - + +

.EF x AB AC x CB x BC31

31

31

= - - = - = -c _ c cm i m m

Les vecteurs EF et BC sont colinéaires, donc les droites EF^ h et BC^ h sont parallèles.

b. Dans le repère , ,A B C^ h, on a :

;B 1 0^ h, ;C 0 1^ h, ;E x31

c m, ;F x31

c m.

Donc EFx

x31

31-

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO et CB 1

1-d n.

Comme x x31 1

31 1 0# #- - - - =c ^ c ^m h m h ,

les vecteurs EF et CB sont colinéaires, donc les droites EF^ h et BC^ h sont parallèles.

3 a. E F= si, et seulement si, EF 0= , soit x31

= .

b. BCFE est un parallélogramme si, et seulement si,

EF BC= , c’est-à-dire x31 1- = , soit x

32

= - .


B

D

�

E

A

d

I

x

y

10

1

v

Le coeffi cient directeur de d est 32 .

Le vecteur u 32d n dirige d.

2 Les coordonnées de A et B vérifi ent l’équation de d.3 Voir le schéma ci-dessus.4 Les droites d et D ont pour vecteurs directeurs u 3

2d n

et v 64

--d n, qui sont tels que v u2=- .

Donc les droites d et D sont parallèles.5 a. Le milieu I du segment AD6 @ a pour coordonnées

;25

23

c m.

C

E

A

B F

C

A

K

D

BI


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b. On a I IB E= . Donc si on pose ;E x y^ h, on a :

x

y

xy

25 3

25

23 0

23

83

++ = -

- = -

=

=

Z

[

\

]]

]]* . Donc ;E 8 3^ h.

6 Le quadrilatère ABDE a ses diagonales qui se coupent en leur milieu I, donc ABDE est un parallélogramme.Donc les droites BD^ h et AE^ h sont parallèles.

1 d d A1 2+ = " , et ;A92

958

c m.

d d B1 3+ = " , et ;B29 3- -c m.

d d C2 3+ = " , et ;C 4 3-^ h.

B C

Ad1d2

d3

x

y

10

1

2 k doit appartenir à l’ensemble :

; ;29 4,3 3- - +; 6E @ .

1 Le point P est diff érent de B et C, donc son abscisse est diff érente de 0 et 1.De même pour le point R.Ces points sont distincts, car sinon la droite PR^ h serait parallèle à AC^ h.2 Coordonnées du point Q

a. AC 11-

d n. Donc la droite AC^ h a pour équation :

x y 1 0+ - = .

PR pr

-d n. Donc la droite PR^ h a pour équation :

rx py rp 0+ - = .b. Le point Q a pour coordonnées :

;r p

p rr pp r1 1

-

-

-

- -^ ^e

h ho.

3 a. ;I p2 2

1d n et ;J

r pp r

r pp r

21

21

-

-

-

- -

^

^

^

^e

h

h

h

ho

et ;K r21

2c m.

Donc IJ r pp p

r pp r

21

21

-

-

-

- -

J

L

KKKKK

^

^

^

^

N

P

OOOOO

h

h

h

h et IK

p

r2

1

21

--

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO.

b. Donc IJ Ir p

p K=-- : les vecteurs sont colinéaires.

c. Les points I, J et K sont alignés.

1 On conjecture que OH OG3= .

A

B’

CA’B

C’

H

G

O

2 a. On a : OA AM OA OB OC+ = + + .

Donc AM OB OC OA2= + = l. La droite AM^ h est donc parallèle à OAl^ h, qui est perpen-diculaire à BC^ h.Donc AM^ h est la hauteur de ABC issue de A.De même BM^ h est la hauteur de ABC issue de B.Donc M est l’orthocentre du triangle. On a M H= .b. En utilisant la relation de Chasles, on obtient :

OA OB OC OG GA GB GC3+ + = + + +^ h

et comme G est le centre de gravité du triangle ABC, on a : GA GB GC 0+ + = . Donc OA OB OC OG3+ + = .

c. On a OH OA OB OC= + + . Donc OH OG3= .

1 �2 a pour équation x y4 3 1 0- + + = .2 Les coeffi cients m 2- +^ h et m 1+ ne sont pas simul-tanément nuls. Donc m x m y2 1 1 0- + + + + =^ ^h h est toujours une équation de droite.

3 La droite �m a pour vecteur directeur u mm

12m

++

d n.

�m // IO^ h équivaut à : um colinéaire à IO , soit m 2=- .Dans ce cas, �

- 2 : y 1= .

�m // JO^ h équivaut à : um colinéaire à JO , soit m 1=- .Dans ce cas, �

- 1 : x 1= .4 Le point commun à toutes les droites �m ne peut être que ;A 1 1^ h (point d’intersection de �

- 2 et �- 1).

On le vérifi e : pour tout réel m,m m2 1 1 1 1 0# #- + + + + =^ ^h h .

Donc toutes les droites �m passent par ;A 1 1^ h.

1 Pour t 0= , on a ;A 3 5^ h.Pour t 3=- , on a ;B 0 2^ h.2 On conjecture que l’ensemble E est une droite

passant par A et de vecteur directeur u 11d n. Voir la fi gure

ci-dessous.

x

y

B

MA

t = –1,6

10

1


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3 ;M x y^ h appartient à E :

– s’il existe t tel que x ty t

35

= +

= +* ;

– s’il existe t tel que x ty t

35

- =

- =* ;

– s’il existe t tel que AM t= u ;

– si AM et u sont colinéaires.L’ensemble E est bien la droite passant par A et de vecteur directeur u .

1 Les vecteurs A Cl et A Bl sont colinéaires.Donc il existe un réel unique r tel que A C r A B=l l .De même, il existe deux réels uniques p et q tels que : C B pC A=l l et B A qB C=l l .Ces trois réels sont diff érents de 1, car les points A, B et C sont distincts.2 a. ;A 0 0^ h, ;B 1 0^ h et ;C 0 1^ h.

On a A A AC rA A rAB+ = +l l .

Donc r AA rAB AC1- = -l^ h .Comme r 1! , on obtient :

AAr

r ABr

AC1 1

1=

--

-l .

Donc ;Ar

rr1 1

1- -

-lc m.

On obtient de même ;Bq

q01-

le o et ;Cp 1

1 0--

ld n.

b. ;M x y^ h appartient à la droite BBl^ h :

– si BBq

q1

1

-

-lf p et BM x

y1-

d n sont colinéaires ;

– si yq

q x11

1 0#- --

- =^ ^h h ;

– si qx q y q1- - =^ h .c. On démontre de même que la droite CC l^ h a pour équation : p x y1 1- + =^ h .d. Les coordonnées ;x y^ h du point H, intersection de

BBl^ h et CC l^ h, vérifi ent le système :

qx q y q

p x y

1

1 1

- - =

- + =

^

^

h

h*

xq p q

yq p q

pq

1 11

1 1

+

=+ - -

=+ - -

^ ^

^ ^

h h

h h

Z

[

\

]]

]]

.

Donc ;Hq p p q p q

pq1 1

11 1+ - - + - -^ ^ ^ ^

fh h h h

p

e. AA rr

r

1

11

-

--

l

J

L

KKKK

N

P

OOOO. Donc la droite AAl^ h a pour équation

ry x 0+ = .

3 H appartient à la droite AAl^ h si, et seulement si,

,rq p q

pqq p q1 1 1 1

1 0#+ - -

++ - -

=^ ^ ^ ^h h h h

soit pqr 1=- .

4 Justifi er le théorème de Ceva : les trois droites AAl^ h, BBl^ h, CC l^ h sont concourantes en H ou parallèles si, et seule-

ment si, pqr 1=- .

1 Voir le schéma ci-dessous.D

A

G

CB

E2 a. En utilisant la relation de Chasles :

GB GD GE GA AB GA AD GE+ + = + + + +^ ^h h .

b. On a : GB GD GE GA GE AB AD2+ + = + + + .

Or GE GA AE GA AC GA AG321 3#= + = + = + .

Donc GE AG2= .

Ainsi GA GE2 0+ = et AB AD 0+ = .

Donc GB GD GE 0+ + = .Le point G est le centre de gravité du triangle BDE.3 La droite BG^ h est la médiane issue de B du triangle

BDE. Donc elle coupe la droite DE^ h au point F, le milieu du segment DE6 @.

1 On achète x y10 5+ rosiers et on doit en avoir au minimum 100. Donc x y10 5 100H+ .De même pour les camélias : x y3 30H+ .Les contraintes se traduisent par le système d’inéqua-tions :

x yx y10 5 100

3 30H

H

+

+* .

0 22 x

y

�5 000

�2 000

2 Les droites ont pour équations : x y2 20 0+ - = et x y3 30 0+ - = .

3 a. Si on achète x lots A et y lots B, la dépense est d x y150 250= + .Tous les couples ;x y^ h d’entiers correspondant à la dépense d sont représentés sur la droite dD d’équation réduite :

y x d53

250=- + .

b. Les droites 2 000D et 5 000D correspondant aux dépenses 2 000 € et 5 000 € sont représentées en vert et mauve respectivement. Elles sont parallèles, car elles ont le même coeffi cient directeur comme pour toutes les droites dD .


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c. La dépense est proportionnelle à l’ordonnée à l’origine de dD . Elle sera minimum lorsque l’ordonnée à l’origine sera minimum avec au moins un point de concours dans la zone permise.Les deux droites limitant la zone de contraintes se coupent en ;A 6 8^ h.La droite qui passe par A est telle que :

d150 6 250 8# #+ = .Donc d 2 900= €.

1 OBxy

A

Bd n colinéaire à OM x

yd n équivaut à :

x y y x 0A B# #- = .La droite OB^ h a pour équation réduite :

yxy x

A

B #= .

2 xf

FB yA

B

+d n colinéaire à fFM x

y+

d n équivaut à :

f fx y y x 0A B# #+ - + =^ ^h h .

Donc une équation cartésienne de la droite BF^ h est : f fy x x y y 0B A B#- + + =^ h .

Son ordonnée à l’origine est ffx

yA

B+

.

3 Bl appartient à la droite OB^ h et a pour ordonnée

ffx

yA

B+

. Donc ffx

yxy x

A

B

A

BB#

+= l.

Ainsi ffxx

xB

A

A=+

l .

Les points Al et Bl ayant même abscisse, on a :

ffx

xx

AA

A=+

l .

4 On a ff

fx xx

x1 1 1A A

A

A=

+= +

l.


a. On a u 33d n et v 6

4--d n.

b. ;A 6 2^ h, ;B 1 3^ h et ;C 5 1- -^ h.

2 En utilisant le théorème de Thalès :

AD AB53

= et AC AE4

11= .

Droites d1 d2 d3 d4

Coeffi cient directeur 1 0 31 1-


1 On a FB FC2 0+ = , donc FB FB BC2 0+ + =^ h ;

soit BF BC31

= .

BF

G

E

A

C

2 EF EB BF BA BC21

31

= + = + ;

EG EB BA AG BA BA AC21

53

= + + = + +

EG BA AC23

53

= + .

Donc : EG BA AB BC BA BC23

53

109

53

= + + = +^ h .

On a donc : EF EG95

= . Les vecteurs étant colinéaires,

les trois points E, F et G sont alignés.

La droite passant par ;A 1 2-^ h et ;B 3 2^ h a pour

vecteur directeur AB 24d n.

;M x y^ h appartient à AB^ h :

– si et seulement si AB et AM xy

12

-+

d n sont colinéaires ;

– si et seulement si x y1 4 2 2 0# #- - + =^ ^h h .La droite AB^ h admet pour équation ,x y4 2 8 0- - = soit encore x y2 4 0- - = .

Le point d’abscisse 2 de la courbe est ;A 2 0^ h.La fonction dérivée est x 7 x3 42 - .Le nombre dérivé pour x 2= est 8.Donc la tangente est la droite qui passe par A et qui a pour coeffi cient directeur 8. Elle admet une équation du type y x b8= + . Et comme elle passe par A, b 16=- , son équation est donc y x8 16= - .

La droite d d’équation cartésienne x y3 6 6 0- - =

a pour vecteur directeur v 63d n.

Comme 4 3 2 6 0# #- - - =^ ^h h , les vecteurs u et v sont colinéaires. Donc les droites d et dl sont paral-lèles.

1 La droite AB^ h admet pour vecteur direc-

teur AB 21d n. Une équation cartésienne de AB^ h est

x y2 5 0- + = .2 On a : 51 2 28 5 0#- + = .Les points A, B et C sont alignés.


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1 Voir le schéma ci-après.

G2

G1

x

y

10

1

2 ;G23 201c m ; ;G

211

4107

2 c m.

3 Voir le schéma ci-dessus.

4 G G4

4271 2 f p.

La droite G G1 2^ h admet pour équation :

x y4

27 48

559 0- + = .

L’équation réduite est :

y x1627

32559

= + .

Les années 2013 et 2014 correspondent aux valeurs 10 et 11 de la variable x, on obtient donc pour chiff re d’af-faires :

– en 2013 : ,y1627 10

32559 34 3# .= + ;

– en 2014 : y1627 11

32559 36# .= + .

1 Les coordonnées du point A vérifi ent le système :

x yx y

x

y

30 25 250 015 18 144 0

1160

1138

++ - =

+ - =

=

=

Z

[

\

]]

]]* .

2 a. Le point de coordonnées ;5 4^ h appartient au domaine rose. Donc l’achat de 5 lots chez Sportco et de 4 lots chez Tousport satisfait les besoins du club.b. Le point de coordonnées ;6 3^ h appartient au domaine rose. L’achat de 6 lots chez Sportco et de 3 lots chez Tousport satisfait les besoins du club.3 a. La dépense pour équiper le club est :

x y990 895= +d .b. Les droites d’équations respectives x y990 895= +d sont parallèles, car elles ont le même vecteur directeur

u 895990

-d n.

c. La dépense est proportionnelle à l’ordonnée à l’ori-gine, qui doit donc être minimale, tout en restant dans le domaine rose. Donc il faut choisir la droite qui passe par A.Mais ce point n’est pas à coordonnées entières. Donc on étudie les deux points à coordonnées entières les plus proches, à savoir ;5 4^ h et ;6 3^ h.Pour ;5 4^ h, on a une dépense de 8 530 €.Pour ;6 3^ h, on a une dépense de 8 625 €.Donc la dépense minimum sera de 8 530 €.

Approfondissement

1 Le vecteur u mm

12 3

-+

d n est toujours diff érent du

vecteur nul. Donc l’ensemble Em est toujours une droite

du plan.2 Si m 1= , on obtient la droite d’équation x 2= qui est parallèle à l’axe des ordonnées.

Si m23

=- , on obtient la droite d’équation y 4= qui

est parallèle à l’axe des abscisses.3 Le point commun à toutes les droites Em ne peut être que ;I 2 4^ h (point d’intersection de deux droites précé-dentes). Vérifi ons : m m1 4 2 3 2 10 0# #- - + + =^ ^h h pour tout réel m.4 Si la droite Em passe par ;A a b^ h, alors :

m b m a1 2 3 10 0# #- - + + =^ ^h h ;soit b a m b a2 3 10- = + -^ h .Si a 2= et b 4= , alors toutes les droites passent par ce point.Si a 2! et b a2= , alors aucune droite ne passe par le point de coordonnées ;a b^ h.Si b a2! , alors la droite de paramètre :

mb a

b a2

3 10=

-+ -

passe par le point ;A a b^ h.

C H A P I T R E

Trigonométrie

Livre du professeur - CHAPITRE 8 Trigonométrie 1

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Contenus Capacités attendues CommentairesTrigonométrieCercle trigonométrique.Radian.Mesure d’un angle orienté, mesure principale.

◗ Utiliser le cercle trigonométrique, notam-ment pour :– déterminer les cosinus et sinus d’angles associés ;– résoudre dans R les équations d’inconnue x :

cos cosx a= et sin sinx a= .

L’étude des fonctions cosinus et sinus n’est pas un attendu du programme.


2. Intentions des auteursDans ce chapitre, on s’appuie sur les notions vues en classe de Seconde concernant l’enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique et on met en place le radian et les mesures des angles orientés. Envisagées dans un premier temps avec le cercle trigo-nométrique, les notions d’angle orienté de vecteurs non nuls et de leurs mesures sont étudiées dans le cas général. On détermine le sinus et le cosinus d’un angle de vecteurs et ceux des angles associés. Des résolutions d’équations trigonométriques dans les cas préconisés par le programme sont traitées, notam-ment avec l’apport de logiciels de calcul formel.

Du point de vue mathématique :– le travail est centré sur l’utilisation du cercle trigono-métrique et du repère orthonormé qui lui est associé ;– les mesures d’un angle orienté de vecteurs non nuls quelconques sont reliées à celles des vecteurs qui leur sont colinéaires et de norme 1 ;– la mesure principale d’un angle orienté de vecteurs est défi nie ;– bien que la relation de Chasles ne soit pas expressé-ment inscrite dans le programme, son utilisation est pratique dans des situations amenant à étudier des angles associés, leurs sinus ou cosinus.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 8 Trigonométrie

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Objectifs◗ Relier sur le cercle trigonométrique l’abscisse d’un point de la droite des réels avec un point du cercle trigonomé-trique et réciproquement.◗ Travailler sous forme de QCM avec des valeurs remarqua-bles de sinus et cosinus.

A 1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Faux.

B 1 a. 2 a. et c. 3 a. et c. 4 c.5 a., b. et c.

ActivitéActivité 1 Mesure d’angles orientés de vecteursObjectifs◗ Mise en place de la notion de radian.◗ Mesure en radian d’un angle orienté de vecteurs non nuls à partir de vecteurs construits avec comme origine le centre du cercle trigonométrique.

Partie A – Avec des vecteurs unitaires1 a. ,OA OG` j a pour mesure

43

-r .

b. ,OA OH` j a pour mesure 3-r .

c. ,OH OE` j a pour mesure 3 3 3

2- - =

r r rd n .

d. ,OH OG` j a pour mesure :

43

3 129

124

125

- + =- + =-r r r r r .

e. ,OG OF` j a pour mesure 6

54

312

19+ =

r r r .

f. ,OA OHl` j a pour mesure 3 3

4- - =-

rr

r .

2 a. Couples dont les mesures sont égales à 2r près :

,OH OG` j et ,OG OF` j ; ,OH OE` j et ,OA OHl` j.

b. ,OA OG` j représente le même angle orienté que

,OG OB` j .

,OA OH` j représente le même angle orienté que

,OE OA` j .

Partie B – Avec des vecteurs quelconques non nuls1 a. Le point C est à l’intersection entre le segment JO6 @

et le cercle trigonométrique.

b. Ce sont respectivement les vecteurs OAl et OB .

2 a. À ,IJ JL` j on associe ,OA OC` j de mesure 4r .

b. À ,JI OB` j on associe ,OA OBl` j de mesure 2-r .

c. À ,IJ KL` j on associe ,OA OAl` j de mesure r .

d. À , IAK K` j on associe ,OB OEl l` j de mesure 4

5r .

e. À , ILO El` j on associe ,OC OE` j de mesure 2-r .

f. À , JAA Ll` j on associe ,OA OCl` j de mesure .4

3-

r

ActivitéActivité 2 Cosinus et sinus d’angles « associés »ObjectifDécouverte de quelques propriétés concernant les sinus et cosinus d’angles associés.

1 Le point B est associé au réel 6 6

5- =r

r r grâce à la symétrie d’axe JO^ h.

cos cos6

56=-

r r ; sin sin6

56=

r r .

2 Le point D est associé au réel 6 6

7+ =

rr

r grâce à la symétrie de centre O.

cos cos6

76=-

r r ; sin sin6

76=-

r r .

3 Les points A et C sont symétriques par rapport à IO^ h, donc ils ont une même abscisse et des ordonnées oppo-sées, d’où les résultats.

ActivitéActivité 3 Résoudre des équationsObjectifRésolution d’équations trigonométriques avec l’apport d’un logiciel de calcul formel.1

O

AC

D B

I

J

2 Pour la première,

32

35

- =-r

rr et

32

37

+ =r

rr .

Pour la deuxième,

32 2

34

- =-r

rr et

32 2

38

+ =r

rr .

3 cos x x k21

32+ #= = +

rr

ou x k3

2#=- +r

r .

cos x x k21

32 2+ #=- = +r

r

ou x k3

2 2#=- +r

r , avec Zk ! .

4


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11 –

Déc

lic 1

re S

Toutes les solutions sont : x k4

2#= +r

r

et x k4

3 2#= +r

r , avec Zk ! .

5 a. Deux points du cercle correspondent aux solutions de l’équation sin x k= .b. Deux points du cercle correspondent aux solutions de l’équation cos x k= .


Déterminer la mesure principale d’un angle orienté

On a par exemple 5

2 25

8- + =

rr

r .

Mesure en degré 10 18 67,5 72 150

Mesure en radian 18r

10r

83r

52r

65r

1 A et B sont respectivement associés à 3

2r et

32

-r .

2 ,IO OA3

2=

r` j ; ,IO OB

32

=-r

^ h .

, ,IOA OB O OA3

2= =

r` `j j .

,IA AB3=-r

` j , c’est la mesure d’un des angles du

triangle IAB dans le sens indirect.

,I IO A6=-r

` j , c’est la moitié de la mesure d’un angle

du triangle pris dans le sens indirect.

Calculer des cosinus et sinus particuliers

x 3r

32r

3-r

34r

38- r

317r

328- r

cos x 21

21

- 21

21

- 21

- 21

21

-

sin x23

23

23

- 23

- 23

- 23

- 23

sin sin sin6

316

36 5 66

5= - = -

r r rr

rc cm m

sin sin6

316

521

= - =-r r

c m .

cos cos cos6

316

36 5 66

5= - = -

r r rr

rc cm m

cos cos6

316

523

= - =-r r

c m .

x 4r

43r

4-r

45r

411- r

419r

431r

cos x22

22

- 22

22

- 22

- 22

- 22

sin x22

22

22

- 22

- 22

- 22

22

-

cos sin5

25

2 12 2+ =r r

c cm m ; donc :

sin cos5

2 15

2 14

5 12 22

= - = - -r rc c cm m m

116

6 2 516

10 2 5= - - = +

c m .

Comme ;5

2 0!rr6 @, on a 2sin

52 0r .

Donc : sin5

24

10 2 5=

+r .

cos cos cos5

35

25

245 1

= - =- = - +rr

r rc m .

sin sin sin5

35

25

24

10 2 5= - = =

+rr

r rc m .

cos cos sin10 2 5

25

24

10 2 5= - = =

+r r r rc m .

sin sin cos10 2 5

25

24

5 1= - = = -r r r r

c m .

Résoudre une équation trigonométrique

a. Les solutions sont les réels : x k 2#= r et x k 2#= +r r , avec Zk ! .

b. Les solutions sont les réels : x k2

2#= +r

r et

x k2

2#=- +r

r , avec Zk ! .

a. cos cos cos cosx x4 4

+= - =r r

d n

x k4

2+ #= +r

r ou x k4

2#=- +r

r ,

avec Zk ! .

b. cos cos cos cosx x4 4

3+=- =r r

x k4

3 2+ #= +r

r ou x k4

3 2#=- +r

r ,

avec Zk ! .

a. sin sin sinx x21

6+= =

r

x k6

2+ #= +r

r ou x k6

2#= - +rr

r ,

avec Zk !

x k6

2+ #= +r

r ou x k6

5 2#= +r

r ,

avec Zk ! .

b. sin cos sin sinx x4 4+=- = -

r rd n

x k4

2+ #=- +r

r ou x k4

5 2#= +r

r ,

avec Zk ! .


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Déc

lic 1

re S

a. On résout sin x 1 0+ = et cos x 1 0- = .

sin sin sinx x12

+=- = -r

d n

x k2

2+ #=- +r

r ou x k2

3 2#= +r

r ,

avec Zk !

x k2

2+ #=- +r

r , avec Zk ! .

cos x x k1 2+ #= = r , avec Zk ! .

Les solutions dans ;-r r@ @ sont : 2-r et 0.

b. cos cosx x1 1 02 2+= - =

cos x 1+ = ou cos x 1=- . Il y a deux solutions 0 et r .

Trigonométrie et électricité

1 a. et b. u t U2Cm=^ h pour les deux valeurs de t

suivantes : , ,t1 48 10 1 71 104

14# #G G- -

et , ,t8 29 10 8 52 1042

4# #G G- - .

2 a. , ,u u u0 0 001 0 002 6CC C= = =^ ^ ^h h h .

b. , ,cosu t t0 001 2 000 0 001C + = +r^ ^^h hh

cos cost t u t2 000 2 2 000 C= + = =r r r^ ^ ^h h h.

3 cosu t t3 2 00021

C += =r^ ^h h

cos cost2 0003

+ =rr

^ h

t k2 0003

2+ #= +rr

r

ou t k2 0003

2#=- +rr

r , avec Zk !

t k6 000

11000

+ = + ou t k6 000

11000=- + ,

avec Zk ! .Pour rester dans l’intervalle ; ,0 0 0016 @, il faut prendre k 0= pour la première famille de solutions et k 1= pour l’autre.On obtient les deux solutions :

6 0001 et

6 0005 .

Donc les valeurs approchées sont cohérentes avec les encadrements du 1 b.

Résoudre une inéquation trigonométrique1 a. L’équation sin a

21

= a pour solutions 6r et

65r

dans l’intervalle ;-r r6 @.

b. Les réels b sont dans l’intervalle ;6 6

5r r; E.

c. Sur l’intervalle ;-r r6 @, on a :

sin x x23 2

16

23 6

5+H G G+ +r r r r

d n .

d. On obtient x x6

22 12 4+G G G G- -

r r r r .

On a bien l’ensemble solution voulu.2 L’équation cos a 0= a pour solutions

2-r et

2r

dans l’intervalle ;-r r6 @.

Les réels b vérifi ant cos b 0H sont les réels de l’inter-

valle ;2 2-r r

< F.

Sur l’intervalle ;-r r6 @, on a donc :

cos x x24

02

24 2

+H G G- - -r r r r

d n .

On obtient x x4

24

38 8

3+G G G G- -r r r r .

Donc ;S8 8

3= -

r r; E.

Angle inscrit et angle au centre

1 , ,OA OB MA MB2 2= r` ` ^j j h.2

O

� = 1,94 rad

� = 4,11 rad

BA M

I

J

3 Lorsque M est sur l’arc de cercle d’extrémités A et B contenant J, la relation est vérifi ée. Sur l’autre arc, celui ne contenant pas J, le logiciel affi che 4,11 rad. Or

, ,2 4 11 8 22# = rad et , , ,8 22 6 28 1 94- = rad, donc

on retrouve bien le double de la mesure de ,MA MB` j (6,28 est une valeur approchée de 2r). L’égalité est vraie pour tout M diff érent de A et B.

Avec deux points symétriques1

2 On conjecture que x x2 = +a l. Pour le cas n° 6, on considère que la mesure 5,66 est en fait

, ,5 66 2 0 62.- -r .3 On conjecture le même résultat.4 , ,I Ix x O OM O OM+ = +l l` `j j

, , , ,I IO OA OA OM O OA OA OM= + + + l` ` ` `j j j j .

Or , ,OA OM OA OM=-l^ `h j grâce à la symétrie donc on obtient x x 2+ = al .

1 b. et c. 2 a. et c. 3 b. 4 a. 5 a., b. et c.

1 a. 2 c. 3 a. 4 b. 5 b.


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11 –

Déc

lic 1

re S

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Faux. 5 Faux. 6 Vrai. 7 Faux. 8 Vrai.


1 Mesures des angles orientés de vecteurs

1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Vrai.

1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Vrai.

1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Faux.

1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Faux.

O

A

B

D

C I

J

O

A

B

D

CI

J

O

A B

D

C

I

J

O

A

B D

C I

J

2

35 182= -

rr

r . Mesure principale : 2-r .

6101 16

65

= +r

rr . Mesure principale :

65r .

353 18

3- =- +r


3r .

451 12

43

= +r


43r .

3

170 563

2= +

rr

r .

Mesure principale : 3

2r .

1281 6

129

= +r

rr .

Mesure principale : 4

3r .

593 18

53

= +r


53r .

1075 8

105

- =- +r


2r .

200 200180 9

10#c = =

r r rad ;

mesure principale : 9

8-

r rad.

170 170180 18

17#c = =

r r rad.

10 10180 18#c = =r r rad.

70 70180 18

7#c = =

r r rad.

rad125

125 180 75# c= =

r .

rad107

107 180 126# c= =

r .

rad152

152 180 24# c= =

r .

rad20

112011 180 99# c= =

r .

Si on appelle J le point repéré par le réel 2r , les

points sont J et son symétrique par rapport à O.

À partir du point A associé au réel 3r (que l’on

construit en faisant un triangle équilatéral avec IO6 @ dans le sens direct), on construit un carré ABCD.

À partir du point A associé au réel 4-r (que l’on

construit en traçant la bissectrice de l’angle droit défi ni par IO^ h et OK^ h où ;K 0 1-^ h), on construit un hexagone régulier ABCDEF.

À partir du point A associé au réel 3r (que l’on

construit en faisant un triangle équilatéral avec IO6 @ dans le sens direct), on construit un dodécagone régu-lier ABCDEFGHIJKL.

Par construction, les triangles OAB, OAC et OCD sont équilatéraux.

a. ,OA OB3=r

` j .

b. , IOB O3 4 12

7=- - =-

r r r` j .

c. ,IO OC4 3 12= - =-r r r

` j .

d. ,OA OD3

2=-

r` j .

e. ,IO OD12 3 12

5=- - =-

r r r` j .


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Déc

lic 1

re S

1

O

AB

D

C

I

J

2 a. Les triangles OAB, OBC et OCA sont isocèles en O et on a les égalités :

, , ,OA OB OB OC OC OA3

2= = =

r` ` `j j j ;

, , ,I IO OB O OA OA OB4 3

212

11= + = + =

r r r` ` ^j j h .

b. , , ,OC OD OC OA OA OD3

23= + = + -

r r` ` ` dj j j n

,OC OD3=r

` j .


2 Cosinus et sinus d’angles « associés »



1 a. 2 c. 3 b. 4 c.

1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux. 5 Faux. 6 Vrai. 7 Faux. 8 Faux.

1 d. 2 c. 3 d. 4 b.

1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Vrai. 6 Vrai.

1 k6

5 2#+r

r avec Zk ! .

2 k4

2#- +r

r avec Zk ! .

3 k3

2 2#- +r

r avec Zk ! .

4 k2

2#- +r

r avec Zk ! .

1 ;M22

22

- -c m. 2 ;M23

21

- -c m.

3 ;M22

22

-c m. 4 ;M21

23

-c m.

1 6

2=-ar

r^ h, donc ;M23

21

-c m.

2 6

5 2=-ar

r^ h, donc ;M23

21

- -c m.

3 2=a r r^ h, donc ;M 1 0-^ h.

4 3

2 2=ar

r^ h, donc ;M21

23

-c m.

a. sin sinA x x 0= - = .b. sin sin sin sinB x x x x=- + - =- .c. cos cos cosC x x x2= + = .d. sin cos sin cosD x x x x=- - + =- .e. cos cos cos cosE x x x x2 2= + - = .

a. sin sin sin sinA4 4 4 4

0= + - - =r r r r .

b. cos cos cos cosB3 3 3 3

0= + - - =r r r r .

c. sin cos cosC6 6 6 2

1= - + =

r r r .

a. A 1 1 1 1= + - = .

b. B22

22

22

23 2

= + + = .

c. C23

23

232 2

= + =c cm m .

d. D 243

21 1 2#= - + = .

a. cos sin 12 2+ =a a , donc sin 191

982 = - =a .

Comme ;02

!ar

< F le sinus est positif, donc :

sin98

32 2

= =a .

b. sin3

2 2+ =-r a^ h .

c. sin3

2 2- =r a^ h .

a. cos sin 12 2+ =a a ,

donc cos 1169

1672 = - =a .

Comme ;2

!ar

r< F le cosinus est négatif,

donc cos167

47

=- =-a .

b. cos2 4

3+ =-

rad n .

c. cos2 4

3- =

rad n .

Démonstrations du cours1 a. et b. Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel x.Le point Ml associé au réel x+r est le symétrique de M par rapport au point O. Donc M et Ml ont des abscisses opposées et des ordonnées opposées, d’où les égalités.2 a. et b. Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel x.Le point Ml associé au réel x-r est le symétrique de M par rapport à l’axe JO^ h. Donc M et Ml ont des abscisses opposées et des ordonnées identiques, d’où les égalités.

x 0 6r

4r

3r

r

tan x 0 33 1 3 0


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lic 1

re S

tancossin

cossin tanx

xx

xx x- =

-

-=- =-^

^

^h

h

h.

tancossin

cossin tanx

xx

xx x- =

-

-=- =-r

r

r^

^

^h

h

h.

tancossin

cossin tanx

xx

xx x+ =

+

+=

-- =r

r

r^

^

^h

h

h.

a. tan tanA4 4

0= - =r r .

b. tan tanB3 3

0= - - - =r r

d dn n .

c. C 1 3= + .

d. tan tan tan tanD6 6 6 6 3

3= - + = =

r r r r .

a. cos cos cos5

75

25

2= + =-

rr

r rc m

cos5

74

1 5= -r .

cos cos5

25

24

5 1- = = -r rc m .

b. sin cos5

7 15

716

10 2 52 2= - = +r r .

Or 1sin5

7 0r , donc sin5

74

10 2 5=-

+r .

Enfi n, sin sin sin5

75

25

2=- = -

r r rc m.

c. tancos

sin

57

575

7

1 510 2 5

= =--

+rr

r

tan5

75 1

10 2 5=

-

+r .

tan tan5

75

2=

r r et tan tan5

25

2- =-

r rc m .

Donc tan tan5

25

7- =-

r rc m .

cos sin 12 2+ =a a , donc sin 1161

16152 = - =a .

Comme ;2

0! -ar

< F le sinus est négatif, donc

sin1615

415

=- =-a .

tan

41415

15=-

=-a .

3 Propriétés des angles orientés de vecteurs


1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Vrai.

1 a. 2 b. 3 c.

1 Les égalités suivantes sont modulo 2r .Comme ABC est rectangle en A et isocèle, on a :

, ,CA CB BC BA4= =r

` `j j .

Donc ,CD CB8=r

` j grâce à la bissectrice, donc :

,DB DC4 8 8

5= - + =r

r r r` dj n .

2 , ,AC DC CA CD21

4 8#= = =r r

` `j j .

1 Comme DCA est isocèle en D et qu’il a un angle de mesure

3r il est équilatéral.

Donc ,DC DA3

2=r

r` ^j h.

,DA DB3 3

2 2= - =rr r

r` ^j h.

2 , , ,BD CA DC CA CD CA= = + r` ` ^j j h

,BD CA3 3

2 2=- + =r

rr

r` ^j h.

a. ,IO OA5

2 2=r

r` ^j h.

b. , ,I IC CA O OA21

52= =

rr` ` ^j j h on utilise le fait que

la mesure de l’angle inscrit vaut la moitié de celle de l’angle au centre.

c. , IAO A2

52

103 2=

-=

rr

rr` ^j h

donc ,IA AO103 2=-r

r` ^j h.

d. , , , ,I IA AB A AD AD AC AC AB= + +` ` ` `j j j j

,IA AB5 5 5 5

3 2=- + - + - =-r r r r

r` d d ^j n n h.

Chacun des trois angles est un angle inscrit dans le cercle

qui intercepte un angle au centre de mesure 5

2-

r .

e. , , ,I IA OB A AO AO OB= +` ` `j j j

, , ,I IA OB A AO OA OB= + + r` ` `j j j

,IA OB103

52

1011

109 2=- + + = =-

r rr

r rr` ^j h.

f. , , , , ,I I I I I I ID AB D A A AB D A A AB= + = +` ` ` ` `j j j j j

,ID AB5

35

35

65

4 2=- + - =- =r r r r

r` c ^j m h.

1 Le point Ml a pour coordonnées ,cos sinx x- -^ ^^ h hh, donc ,cos sinx x-^ h.

2 , , ,I IOH OM OH O O OM x2= + = -rl l^ ` `h j j .

3 Dans le repère , , IO H^ h on a : ,M b a-l^ h.

4 cos sinx b x2 - =- =r

d n .

sin cosx a x2 - = -r

d n .

5 cos cos sinx x x2 2+ = - - = -r r

d ^d ^n hn h

cos sinx x2 + =-r

d n .

sin sin cos cosx x x x2 2+ = - - = - =r r

d ^d ^n hn h .


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lic 1

re S

4 Équations : cosx = cos a et sinx = sina

1 Faux. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Vrai.


1 a. 2 b. et c. 3 a. et b.

1 x k5

2#= +r

r ou x k5

2#=- +r

r , avec

Zk ! .L’ensemble des solutions dans l’intervalle ;-r r@ @ est

;5 5-r r

( 2.

2 x k7

2 2#= +r

r ou x k7

2 2#= - +rr

r , avec

Zk ! .

;S7

27

5=

r r' 1.

1 ;S3

23

2= -

r r' 1.

2 ;S3 3

2=

r r' 1.

1 x k k2 2 1#= + = +r r r^ h .2 x k 2#= r ou x k 2#= +r r , ce qui revient à écrire x k= r , avec Zk ! .

1 x k4

2#= +r

r ou x k4

2#=- +r

r (avec

Zk ! ).

2 x k6

2#=- +r

r ou x k6

7 2#= +r

r (avec

Zk ! ).

1 x k3

2#= +r

r ou x k3

2#=- +r

r (avec

Zk ! ).

2 x k23

2#= +r

r ou x k23

2#=- +r

r (avec

Zk ! ), ce qui est équivalent à x k6= +r

r ou

x k6=- +r

r , avec Zk ! .

1 x k6

2#= +r

r ou x x k6

5 2#= + r (avec

Zk ! ).

2 x k4 6

2#+ = +r r

r ou x k4 6

5 2#+ = +r r

r

(avec Zk ! ), ce qui est équivalent à x x k12

2#=- + r

ou x k127 2#= +r

r (avec Zk ! ).

1 cos sin cos cosx x3

26

+= =r r

x k6

2+ #= +r

r ou x k6

2#=- +r

r , avec

Zk ! .

2 x k36 6

2#- = +r r

r

ou x k36 6

2#- =- +r r

r , ce qui est équivalent à

x k33

2#= +r

r ou x k 2#= r , ce qui est équivalent

à x k9 3

2#= +

r r ou x k3

2#=

r , avec Zk ! .

x k1004

2#= +rr

r ou ,x k1004

3 2#= +rr

r

ce qui est équivalent à x k400

150= + ou

x k400

350= + (avec Zk ! ).

a.sin sin sin sinx x x6

23

2 21

2 6+ +=- =- = -

rd n

x k2 6

2+ #=- +r

r ou x k2 6

5 2#=- +r

r

x k3

4+ #=- +r

r ou x k3

5 4#=- +r

r (avec

Zk ! ).

b. cos x x k4

322

43

42+ #= = +

rrc m

ou x k x k4

34

23 3

8+# #=- + = +r

rr r

ou x k3 3

8#=- +

r r (avec Zk ! ).

On peut calculer tan x si, et seulement si, cos x 0! .

Or cos x x k02

2+ #= = +r

r

ou x k2

2#=- +r

r (avec Zk ! ).

Ces deux familles de valeurs sont les valeurs à exclure pour que tan x existe.

cos x x k3

21 3

32 2+ #=- = +r

r

ou x k33

2 2#=- +r

r

x k9

23

2+ #= +r r ou x k

92

32

#=- +r r avec

Zk ! .Si on donne à k les valeurs 1 et 1- dans chacune des familles de solutions, on obtient quatre solutions supplé-mentaires à celles données par le logiciel.

; ; ; ; ;S9

89

49

29

29

49

8= - - -

r r r r r r' 1.

1 On résout cos x23

= , ce qui est équivalent à

x k6

2#= +r

r ou x k6

2#=- +r

r (avec Zk ! ).

Pour que la solution soit dans l’intervalle ;3 4r r6 @ on doit prendre k 2= dans la deuxième famille de solu-tions, on obtient le réel x

64

623

=- + =r

rr .

2 On résout sin x223

= .

On obtient x k23

2#= +r

r ou x k23

2 2#= +r

r

(avec Zk ! ), ce qui est équivalent à x k6 #= +r

r

ou x k3 #= +r

r (avec Zk ! ).


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Avec k 10= dans chaque famille de solutions, on obtient deux valeurs possibles pour x :

x6

10= +r

r et x3

10= +r

r .

Les deux valeurs possibles sont : 3

31r et 6

61r .

1 On conjecture une solution : x4

. r .

2 cos x x k3 4 2

13 4 3

2+ #+ = + = +r r r

rd n

ou x k3 4 3

2#+ =- +r r

r

x k4

6+ #= +r

r (avec Zk ! ).

La solution est obtenue pour k 0= et on retrouve bien

4r .

sin x x k221 2

62+ #= = +

rr

ou x k x k26

5 212

+# #= + = +r

rr

r

ou x k125

#= +r

r (avec Zk ! ).

Pour k 0= on obtient les deux solutions données par le logiciel mais avec k 1=- on en obtient deux autres dans l’intervalle imposé.

Finalement : ; ; ;S12

11127

12 125

= - -r r r r

' 1.

Problèmes

1 ;M22

22

c m.

2 On a ;I 1 0^ h donc

IM 122

222 2

= - + -c cm m

IM23 2

21 2 2= - + = - .

3 a. I I Isin sinM H OH2 2 1 28# #= = =r% .

b. sin8 2

1 2 2= -r .

4 cos sin8

18

14

2 22 2= - = - -r rd dn n

cos8 4

2 22 = +rd n .

Comme ce sinus est positif (on est dans le premier

quadrant), on a sin8 2

1 2 2= +r .

5 sin sin sin8

78 8= - =

rr

r rd n ;

cos cos cos8

78 8= - =-

rr

r rd n .

sin sin sin8

98 8= + =-

rr

r rd n ;

cos cos cos8

98 8= + =-

rr

r rd n .

sin sin cos8

52 8 8= + =

r r r rd n ;

cos cos sin8

52 8 8= + =-

r r r rd n .

sin sin cos8

32 8 8= - =

r r r rd n ;

cos cos sin8

32 8 8= - =

r r r rd n .

1 ;M23

21

c m.

2 IM 123

41 2 32

2= - + = -c m ,

donc IM 2 3= - .3 a. et b. Dans le triangle rectangle OIH,

II IsinO

H M12 2

12

2 3= = =

-r .

4 cos12

14

2 34

2 32 = - - = +rd n

et 2cos12

0r , donc cos12 2

2 3=

-r .

5 cos12

112

2 3=-

+r

et sin12

112

2 3=

-r ;

cos12

132

2 3=-

+r

et sin12

112

2 3=-

-r ;

cos125

22 3

=-r et sin

125

22 3

=+r ;

cos127

22 3

=--r et sin

127

22 3

=+r .

1 ,OA OM6=r

` j à l’instant 1s.

,OA OM = r` j à l’instant 30 s ;

,OA OM3

2=

r` j à l’instant 40 s ;

,OA OM2=-r

` j à l’instant 57 s ;

,OA OM 0=` j à l’instant 60 s.

2 a. À l’instant 5 s.b. Il occupe cette position aux instants k5 12 #+ , donc cinq fois : 125 s, 137 s, 149 s, 161 s et 173 s.

a. ; ; ;S4

34 4 4

3= - -

r r r r' 1.

b. sin cosx x2 2 02- + + =^ h

cos cosx x2 1 02+ + + =^ h

cos x 1 02+ + =^ h ; S = r" ,.

1 sin sinx x2 1 02 - - =^ h .2 En posant sinX x= , on obtient une équation du second degré dont le discriminant vaut 9 et les racines

21

- et 1 ; d’où ; ;S6

56 2= - -

r r r' 1.

sin sinx x8 1213 += =^ h

x6

+ =r ou x

65

=r sur ;-r r@ @.


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1 C

B30,03°

D

A

Il semble que � 2= lorsque 30c=i et lorsque 150c=i .2 � sin4= i ou � sin4= -r i^ h.

3 Sur ;02r

< F, � sin221

6+ += = =i i

r .

Sur ;2r

r< F, � sin221

65+ += - = =r i ir

^ h .

1 ,sin x 0 6= a deux solutions positives et ,sin x 0 3=- a deux solutions négatives.

2 La calculatrice ne donne qu’une solution.3 0,643 et 2,498 ; ,2 837- et ,0 305- .4 Aucune solution si 1k 1- , une solution

2-r

d n si

k 1=- , deux solutions négatives si 1 1k1 0- , trois solutions , ,0-r r^ h si k 0= , deux solutions positives si

1 1k0 1, une solution 2r

d n si k 1= et aucune solution

si 2k 1.

1 Les deux équations ont deux solutions opposées.2 La calculatrice ne donne que la solution positive.3 ,0 927! et ,1 875! .4 Aucune solution si 1k 1- , deux solutions ! r^ h si k 1=- , deux solutions opposées si 1 1k1 1- , une solution 0^ h si k 1= et aucune solution si 2k 1.

1 La fonction sinus semble être décroissante sur

les intervalles ;2- -rr

< F et ;2r

r< F, et croissante sur

l’intervalle ;2 2-r r

< F.

La fonction cosinus semble être croissante sur l’inter-valle ; 0-r6 @, et décroissante sur l’intervalle ;0 r6 @.2 Quand le point du cercle trigonométrique associé à x parcourt, dans le sens positif, le quart de cercle corres-pondant au troisième quadrant, son abscisse augmente (de 1- à 0) et son ordonnée diminue (de 0 à 1- ) ; on observe de même les trois autres quarts de cercle.3

0�- –2�–2

1

–1

-� �

4

0

1

–1

�- –2�–2

-� �

5

x -r 2-r 0

2r

r

f x^ h

0

1

0

1

0

x -r 2-r 0

2r

r

g x^ h

1

0

1

0

1

1

2 u 0 220=^ h ; ,u 0 01 220=-^ h ; ,u 0 0225 0=^ h .

3 cosu t t220 1004 2

2+= + =r

r^ dh n

t k1004 4

2+ ! #+ = +rr r

r avec k entier

,t k0 02+ = ou , ,t k0 005 0 02=- + avec k entier.4 La tension est maximale lorsque le cosinus vaut 1, donc lorsque t k100

42#+ =r

rr avec k entier, c’est-

à-dire lorsque , ,t k0 0025 0 02=- + avec k entier.5


A est associé aux réels 3r et

35

-r .

C est associé aux réels 6

5r et 6

7-

r .

E est associé aux réels 125

-r et

1219r .

;A21

23

c m ; ;C23

21

-c m ;

;cos sinE125

125

-r r

c m ; on obtient des valeurs appro-

chées : , ; ,E 0 26 0 97-^ h.


1 ,IO OA3

2=r

r` ^j h ;

,IO OC6

5 2=r

r` ^j h ;

,IO OE125 2=-r

r` ^j h.


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lic 1

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2 ,OA OC2

2=r

r` ^j h ;

,OC OE4

3 2=r

r` ^j h ;

,OA OE4

3 2=-r

r` ^j h ;

,OB OA4

2=-r

r` ^j h.

1 Degrés 15 40 50 63 125

Radians 12r

92r

185r

207r

3625r

2 Degrés 30 54 165 5 122,4

Radians 6r

103r

1211r

36r

2517r

cos cos cos6

76 6 2

3= + =- =-

rr

r rd n .

sin sin2 2

1- =- =-r r

d n .

cos cos cos4

94

9 24- = = +

r rr

rc c dm m n

cos cos4

94 2

2- = =

r rc m .

sin sin sin3

10 23 3 2

3= + + =- =-

rr r

r rd n .

a. cos cosx x k4 4

2+ #= = +r r

r

ou x k4

2#=- +r

r (avec Zk ! ).

b. cos cos cosx x21

32+=- =r

x k3

2 2+ #= +r

r

ou x k3

2 2#=- +r

r (avec Zk ! ).

c. sin sinx x k6 6

2+ #= = +r r

r

ou x k6

5 2#= +r

r (avec Zk ! ).

d. sin sin sinx x22

4+= =

r

x k4

2+ #= +r

r ou x k4

3 2#= +r

r

(avec Zk ! ).


1 Grâce à la symétrie, les angles entre les deux rayons lumineux et le miroir sont également de même mesure.Donc , ,EM EC ED EF

62= =

rr` ` ^j j h.

Donc on a aussi , ,FE FD FA FH3

2= =r

r` ` ^j j h.

Grâce aux angles alternes-internes, on a également

,HM HF3

2=r

r^ ^h h.

Les droites ME^ h et FH^ h sont donc parallèles.

2 , ,tanOE 0 43

0 4 3#= =r ,

donc ,ED 1 0 4 3= - .

, , .tanFD ED6

1 0 4 333

33 0 4# #= = - = -

r^ h

On appelle Fl le point de CB^ h de même ordonnée que F :

tanF H FF6 3

3#= =

rl l .

Conclusion :

, ,OH OF F H33 0 4

33

32 3 0 4= + = - + = -l l .

C’est l’ordonnée de H.

Approfondissement

Les mesures suivantes sont modulo 2r .1 ,AB AE

3=r

` j ; ,BC BE6=r

` j ;

,EA EC3 2

63 12

54

3= +

-= + =

rr

rr r r

` fj p .

2 , , ,AD EC BC EC CB CE125

= = =-r

` ` `j j j .

, ,DC EC CD CE1 12

512= =- + =-

r r r` `j j .

, ,AE BE EA EB3= =r

` `j j .

CD

B

E

F

A

,ED EA2

6125 2=

-=

rr

rr^ ^h h,

car EDA est isocèle en A.De plus le triangle BEF est isocèle et rectangle en B. En eff et BE BF= et ,BF BE

3 6 22= + =

r r rr^ ^h h.

On obtient donc ,EB EF4=r

^ h ,

puis ,EA EF3 4 12

7 2= + =r r r

r^ ^h h.

Finalement ,ED EF125

127 2= + =

r rr r^ ^h h, donc les

points E, D et F sont alignés.

a. cos cosx x2 3 221++ = =-

cos cosx3

2+ =r

x k3

2 2+ #= +r

r ou x k3

2 2#=- +r

r

(avec Zk ! ).Les solutions dans ;-r r@ @ sont

32r ;

32

-r .

b. sin sin sin sinx x x x0 1 02 +- = - =^ h

sin x 0+ = ou sin x 1= .Les solutions dans ;-r r@ @ sont

2r ; 0 ; r .


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c. cos x2 0=

x k22

2+ #= +r

r ou x k22

2#=- +r

r

x k4

+ = +r

r ou x k4=- +r

r (avec Zk ! ).

Les solutions dans ;-r r@ @ sont 4r ;

43

-r ;

4-r ;

43r .

d. sin x3 2

1+ =

rd n

x k3 6

2+ #+ = +r r

r ou x k3 6

5 2#+ = +r r

r

x k6

2+ #=- +r

r ou x k2

2#= +r

r

(avec Zk ! ).Les solutions dans ;-r r@ @ sont

6-r ;

2r .

1 a. L’angle au centre a une mesure double de celle de l’angle inscrit donc , ,I IO OA K KA x2 2#= =` ^j h .

b. Dans le triangle OIH, on a : II Isin xO

H H2 = = .

c. Aire de I I sin cosAK A AK x x2 2

2 2# #= =

donc aire de I sin cosAK x x2= .d. Les triangles AKO et AOI ont la même aire, car ils ont tous les deux une base de longueur 1 et la même hauteur, celle issue de A.

Aire de I I IAO AO H H2 2#= = .

e. Aire de IAK = Aire de AKO + Aire de AOI, donc :I I Isin cos sinx x H H H x22 2

2= + = = .

2 Comme ;x2

! rr< F on aura ;x 0

2! rl < F.

D’après la question 1 , on peut écrire : xsin sin cosx x2 2=l l l,

ce qui équivaut à :

sin sin cosx x x22

22 2- = - -

r r rdd d dnn n n

sin cos sinx x x2 2+ - =-r^ h

sin sin cosx x x2 2+ - =-

sin sin cosx x x2 2+ = .Avec les deux questions précédentes, on a démontré le résultat pour tout ;x 0! r6 @.3 a. Si ;x 0! -r6 @, alors ;x 0! rll 6 @.

On peut appliquer le résultat au réel xll.sin sin cosx x x2 2=ll ll ll. b. Ce qui précède équivaut à écrire :sin sin cosx x x2 2- = - -^ ^ ^h h h

sin sin cosx x x2+ - =-

sin sin cosx x x2+ = .4 Tout réel x peut s’écrire sous la forme x y k 2#= + r avec k dans Z et ;y ! -r r6 @, on a alors sin sinx y= , cos cosx y= et sin sinx y2 2= .Comme l’égalité est vérifi ée pour y, elle l’est pour x.

C H A P I T R E

999999999999999999Produit scalaire

Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire 1

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IntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroductionIntroduction

1. Programme o� ciel

Contenus Capacités attendues CommentairesProduit scalaire dans le planDé� nition, propriétés

◗ Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par di� érentes méthodes :– projection orthogonale ;– analytiquement ; – à l’aide des normes et d’un angle ;– à l’aide des normes.◗ Choisir la méthode la plus adaptée en vue de la réso-lution d’un problème.

Il est intéressant de démontrer l’éga-lité des expressions attachées à chacune de ces méthodes.

La démonstration du théorème de la médiane fournit l’occasion de travailler le calcul vectoriel en lien avec le produit scalaire.

Vecteur normal à une droite ◗ Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un point et un vecteur normal.◗ Déterminer un vecteur normal à une droite dé� nie par une équation cartésienne.

Applications du produit scalaire :– calculs d’angles et de longueurs ;– formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus.

Déterminer une équation de cercle dé� ni par son centre et son rayon ou par son diamètre.

Démontrer que : cos cos cos sin sina b a b a b- = +^ h .

La relation de Chasles pour les angles orientés est admise.


2. Intentions des auteursLe produit scalaire, après l’introduction des vecteurs en Seconde, est un nouvel outil destiné, comme le précise le programme, à « renforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dont la résolution repose sur des calculs de distances et d’angles, la démonstration d’ali-gnement de parallélisme ou d’orthogonalité ».La notion de vecteur étant récente pour les élèves, il importe de n’aborder ce chapitre qu’après avoir activé leurs souvenirs en géométrie repérée, mais aussi de les avoir entraînés au calcul vectoriel et en particulier à la décomposition vectorielle sur deux vecteurs non coli-néaires. Les notions de trigonométrie et la compréhension du sens de l’écriture I Jcos sinOM O O= +i i , où , ,I JO^ h est un repère orthonormé, sont des points de passage obligés.Nous avons donc choisi dans ce chapitre :◗ de donner très rapidement les di� érentes expressions du produit scalaire : à l’aide des normes et d’un angle, en utilisant la projection orthogonale, à l’aide des normes, analytiquement,

les liens entre ces di� érentes formules étant soit établis en activité préparatoire, soit esquissés dans le cours ;◗ d’établir ensuite les propriétés algébriques du produit scalaire et de les mettre en application dans les calculs de longueurs et d’angles sur des con� gurations classi-ques. On cite les théorèmes de la médiane et d’Al-Kashi, on les démontre et on les met en application ;◗ de faire le lien entre orthogonalité et produit scalaire et de dégager la notion de vecteur normal à une droite pour en tirer les applications pratiques : équations de droites, de cercles, de tangentes ;◗ de � nir par une application à la trigonométrie, en établissant les formules d’addition et de duplication des cosinus et sinus.Il s’agit d’un chapitre très consistant en terme d’appli-cations mathématiques et de savoir-faire. L’essentiel du travail doit porter sur la maîtrise et l’emploi judicieux des di� érentes formules établies, en visant aussi la prise d’initiative par l’élève dans le choix ou la mise en place d’une méthode de résolution pour un problème.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 9 Produit scalaire

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Partir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon piedPartir d’un bon pied

A a. IJ AB AC41

43

+ .

b. AB BK AB BA AC43

89

+ +^ h

IK AB AC83

89

+ .

B 1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Faux. 5 Vrai. 6 Vrai.

C 1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai.

D 1 a., b. et c. 2 a. et c. 3 a. et c.

DécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrirDécouvrir

Activité 1 Deux expressions du produit scalaire ObjectifParvenir, avec le soutien visuel du logiciel, à formuler une dé� nition du produit scalaire utilisant les deux normes et le cosinus de l’angle, et voir le lien avec la projection ortho-gonale.Le changement de signe du produit scalaire en fonction de l’angle est aussi pointé.

1 Réalisation de la � gure dans un repère orthonorméa. et b.

2 Comparaison de deux produitsa. On constate que p1 et p2 sont égaux.b. cos cosp AB AH AB AC AC AB1 # # # # #= = =i i

p AC AK p1 2#= = .

3 Approche du produit scalaire à partir du logiciela. Lorsque H appartient au segment AB6 @, K appartient à la demi-droite ACh6 .

Lorsque BAH = r% , CAK = r

% .b. p est égal ou opposé à p1 et p2.

c. Si BAH 0=% , alors p est positif,

si BAH = r% , alors p est négatif,

BAH2=r% (ou si A B= ou A C= ), alors p 0= .

4 Dé� nition du produit scalairecosu v u v$ # #= i.

a. cosAB AC 5 3 24

15$ # #= =r ;

b. cosAB AC 2 3 24

3 6$ # #= =-r ;

c. cosAB AC 6 63

18$ # #= =r .

Activité 2 Une identité avec des normes en repère orthonorméObjectifs◗ Revoir l’expression de la norme (ou longueur) d’un vecteur en repère orthonormé.◗ Établir la relation :

u v u v u v u v2 2 2 2 2 2+ - - = + - -

xx yy2= +l l6 @.

1 a. u AB 5 1 1 3 2 52 2= = - + - =^ ^h h ;

v BC 4 5 1 1 52 2= = - + - - =^ ^h h ;

u v AC 3 4 52 2+ = = + - =^ h .

b. u v u v 25 20 5 02 2 2+ - - = - - = .

c. AC AB BC2 2 2= + , donc le triangle ABC est rectangle en B.

2 a. u OM x y2 2= = + , où M a pour coordonnées ;x y^ h dans , ,I JO^ h.

v x y2 2= +l l ;

u v x x y y2 2+ = + + +l l^ ^h h ;

u v x x y y2 2- = - + -l l^ ^h h .

b. u v u v2 2 2+ - -

x x y y x y x y2 2 2 2 2 2= + + + - + - +l l l l^ ^ ^ ^h h h h

xx yy2= +l l^ h.c. On trouve de même :

u v u v xx yy22 2 2+ - - = +l l^ h.

3 a. Si u et v sont non nuls et si xx yy 0+ =l l , alors le triangle ABC, où AB = u et BC = v , est rectangle en B et par suite l’angle , modulou v

2=r r_ i .

b. Cette phrase est vraie. Considérons le parallélogramme ABCD, posons AB = u et BC = v , alors DC = u , AD = v , et pour les diagonales :

AC = u v+ et DB = u v- .

AC DB u v u v2 2 2 2+ = + + -

AC DB u v xx yy22 2 2 2+ = + + +l l^ h

u v xx yy22 2+ + - +l l^ h

AC DB u v2 22 2 2 2+ = +

.AC DB AB BC CD DA2 2 2 2 2 2+ = + + +Remarque : il s’agit sous une forme « déguisée » du théo-rème de la médiane.

Activité 3 Un exemple de vecteur normal à une droiteObjectifs◗ Montrer sur un exemple que l’on peut caractériser l’ap-partenance d’un point à une droite par une condition d’or-thogonalité. ◗ Introduire la notion de vecteur normal à une droite, comme vecteur orthogonal à un vecteur directeur.


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1 u 52d n. Les coordonnées du point A véri� ent l’équation

de : 2 1 5 1 3 0# #- + = , donc A ! .

2 u n 5 2 2 5 0$ # #= + - =^ h .

Les deux vecteurs étant non nuls, c’est donc que l’angle ,u n

2=r r_ ^i h.

3 a. M ! AM& et u sont colinéaires

& il existe un réel t tel que AM t= uAM& $ n tu n 0$= = .

Réciproquement, considérons que AM $ n 0= . Comme n et u ne sont pas colinéaires, il existe deux réels s et t tels que AM s= n tu+ . Or on a AM0 $= n s n 2

= , donc s 0= , et par suite AM = tu .

C’est-à-dire AM et u sont colinéaires, donc M ! .On peut aussi utiliser une autre idée : dans le repère

, ,I JO^ h,

AM $ n xy0 1

12

5 0+ #=-- -

=d dn n

x y2 1 5 1 0+ - - - =^ ^h h

x y M2 5 3 0+ + !- + = .Ce deuxième point de vue paraît plus simple, mais il masque l’aspect géométrique des choses. Il semble important de présenter les deux méthodes (qui pour-ront avoir été trouvées par les élèves) en synthèse de cette activité.b. On peut conclure facilement que si M ! A-" ,,

alors ,AM` jn 2=r r^ ^h h.

Activité 4 Une propriété des points d’un cercleObjectifFaire découvrir, sur un exemple et à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, le théorème de la médiane.1

2 Lorsque M se déplace sur le cercle de rayon donné R, s est invariant. On obtient le tableau suivant :

R 0 1 3 5s 18 20 36 68

3 a. Les points N semblent être placés sur une parabole ayant son sommet sur l’axe des ordonnées.b. d est la valeur de s pour R 0= , soit d 18= . Cela correspond donc au cas où IM = (cercle de rayon nul) et dans ce cas I I Is A B A22 2 2= + = .

Avec R 1= , on obtient c20 18= + , soit c 2= , ce qui est conforté avec R 3= , puisque 2 9 18 36# + = , et le tracé de la parabole d’équation y x2 182= + , qui se superpose à la trace des points N.c. On en déduit : I IMA MB M A2 22 2 2 2+ = + .

Exercices d’application

Savoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faire Calculer un produit scalaire

111 a. cosAB AD AB AD BAD 8$ # #= =% ;

b. BA BC 4 421 8$ # #= - =-c m ;

c. DB CD 4 421 8$ #= - =-c m ;

d. AD CB AD DA 16$ $= =- ;

e. BD CA 0$ = .

222 1 cosAB AC AB AC BAC2

9 2$ # #= =

% .

2 On a :

.BC BC AC AB AC AB AB AC22 2 2 2 2 $= = - = + -^ ^h h

On obtient BC 18 9 22= - .

3 BA BC BH BC BH BC BC21 2$ $ #= = =

BA BC2

18 9 2$ = - , où H est le projeté orthogonal

du point A sur la droite BC^ h, c’est-à-dire le milieu du segment BC6 @, puisque le triangle ABC est isocèle en A.

333 Figure :

.cosAB AC AB AC BAC 5 623 15 3$ # # # #= = =

%

Figure :

AB AC AB AC AB AC21 2 2 2

$ = + - -^ h

AB AC21 25 36 9 26$ = + - =^ h .

Figure : AB AC AC AH 24$ #= = .

Figure : AB AC 32

72 21 4 17$ #=

-= - =d dn n .

444 u v 10 3 7$ = - = ; u 4 9 132

= + = ;

v 25 1 26= + = .

Savoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faire Calculer des longueurs et déterminer des angles

555 b.cos A

AB ACAB AC BC

2 2 9 781 49 16

63572 2 2

# # #= + - = + - =

et A 25c. .On trouve de même :cos B

3624

32

= = et B 48c. ;

cos C72

=- et C 107 180 25 48c c c cc = - +^ h.

Q

Q

QQ

QQ


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666 a. u v 3$ =- ;

b. u v u v u u v v2 3 2 3 32 2$ $ $+ = + - =^ ^h h ;

c. u v u u v v2 72 2 2$+ = + + =

donc u v 7+ = ;

d. u v u v u v21

41 13

22 2

$- = + - =

donc u v21 13- = .

777 a. AC BD AB AD AB AD$ $= + - +^ ^h h

AC BD AD AB 9 16 72 2$ = - = - =- .

b. , ,OC OD AC BD=^ ^h h,

or ,cos AC BDAC BDAC BD

257

#$

= =-^ h ;

d’où ,COD 106 2c.% .

888 1 cosBA BC BA BC ABC$ # #=% et

BA BC 2 31

1 32 5 4 2 18$ $=

- - - --

=- - - =d d ^n n h ;

2 cos ABCBA BCBA BC

26 2018

1309

#$

#= = =

%

et ABC 38c.% .

999 On calcule le produit scalaire I JA A$ de deux façons di� érentes.

◗ I J I JA A AD D AB B$ $= + +^ ^h h

,I J J IA A AD B D AB$ $ $= +

car AD AB 0$ = et I JD B 0$ = , donc I JA A 16$ = .◗ Comme I JA A 2 5= = (Théorème de Pythagore), on a I J I J cos cosA A A A 20$ # # #= =i i,

donc cos54

=i et ,36 9c.i .

Savoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faire Déterminer une équation de droite ou de cercle

101010 a. Soit cette hauteur :

M ! AM CB 0+ $ =

xy x y2

293 0 9 18 3 6 0+ +#

--

= - + - =d dn n

x y3 8 0+ + - = .b. Soit ’ cette médiatrice et K le milieu du segment

AB6 @ :M ! ’ KM AB 0+ $ =

xy x y4

142 0 2 7 0+ +#

-- -

= - - =d dn n .

111111 1 Un vecteur normal à d est n 23-

d n.2 La droite passant par A et perpendiculaire à d :◗ a pour vecteur directeur n, donc les coordonnées de

AM xy

31

-+

d n sont proportionnelles à celles de n :

y x2 1 3 3+ = - -^ ^ ^h h h, soit x y3 2 7+ = ;

◗ a pour vecteur normal un vecteur directeur de d,

u 32d n ; son équation est de la forme x y c3 2 0+ + = et

comme elle passe par A, c 7=- . Elle a pour équation x y3 2 7 0+ - = .

121212 1 ;M x y^ h appartient au cercle si, et seulement si, AM 92 = , soit x y2 3 92 2- + - =^ ^h h .

Donc on obtient : x y x y4 6 4 02 2+ - - + = .2 L’équation s’écrit : x y2 3 162 2- + + =^ ^h h ; ’ est le cercle de centre ;K 2 3-^ h et de rayon 4.

131313 Une équation du cercle de centre A passant par O est :x y OA3 12 2 2- + - =^ ^h h

x y3 1 102 2+ - + - =^ ^h h .Les points communs au cercle et à la droite d, s’ils exis-tent ont leurs coordonnées solution du système :

x y

x y

x x

y x

3 1 10

2 0

3 1 10

2

2 2 2 2

+- + - =

+ - =

- + - =

= -

^ ^ ^ ^h h h h* *

x xy x

x x

y x2 8 0

22 4 0

2

2+ +- =

= -

- =

= -

^ h* * .

On trouve deux points : ;C 0 2^ h et ;D 4 2-^ h.

Savoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faireSavoir faire Utiliser les formules de duplication et d’addition

141414 cos cos127

3 4= +r r r

d n

cos cos cos sin sin127

3 4 3 4= -r r r r r

cos127

21

22

23

22

42 6

# #= - = -r .

sin sin sin cos sin cos127

3 4 3 4 4 3= + = +r r r r r r r

d n

sin127

23

22

22

21

46 2

# #= + = +r .

Comme 125

127

= -r r r , on a :

cos cos125

127

46 2

=- = -r r

et sin sin125

127

46 2

= = +r r .

151515 cos cos cosS x x x3

23

4= + + + +

r rc cm m

cos cos sin sin cosS x x x x21

32

21

= + - - + -r

c cm m

sin sin x3

4-

r .

Or sin sin3

43

223

=- =-r r ;

d’où cos cosS x x 0= - = .

sin sin sinS x x x3

23

4= + + + +

r rl c cm m

sin sin cos sinS x x x x21

23

21

= + - + -l c m

cos x23

+ -c m

Et par suite sin sinS x x 0= - =l .


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161616 ◗ On a :cos cos cos cos sin sinx x x x x x x3 2 2 2= + = -^ h ,donc comme cos cosx x2 2 12= - et sin cos sinx x x2 2= , on a alors :cos cos cos sin cos sinx x x x x x3 2 1 22= - -^ h .cos cos cos sinx x x x3 2 1 23 2= - +^ h

et en� n comme sin cosx x12 2= - , on obtient :cos cos cosx x x3 4 33= - .◗ De même, on obtient : sin sin sinx x x3 4 33=- + .

171717 1 cos sinx x2 1 2 1 216

6 2 12 22= - = - + +

cos x2 1 123

23

= - + =-c m .

2 Comme ;x2 0! r6 @ et cos x223

=- ,

on a x26

5=r et par suite x

125

=r .

En� n comme ;x 02

! r< F,

cos sinx x1 116

6 2 12 22= - = - + +

cos x16

8 2 124

6 2= - = - .

Travaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiquesTravaux pratiques212121 Étude d’une « ligne de niveau »tude d’une « ligne de niveau »

Étape 3 : Rédaction d’une solution1 I I I IMA MB k M A M B k+$ $= + + =^ ^h h

I I I I I IM M A B A B k2+ $ $+ + + =^ h

Et compte tenu de I IA B 0+ = et I IB A=- puisque I est le milieu du segment AB6 @, on obtient :

I I IMA MB k M A k M k 92 2 2+ +$ = - = = + .

2 Si 1k 9- , l’ensemble Ek est vide.Si k 9H - , l’ensemble Ek est le cercle de centre I et de rayon k 9+ , réduit à son centre I si k 9=- .

Remarque : L’existence d’un point M tel que ,MA MB k$ = implique donc que k 9H - , valeur minimale apparue lors de l’exploration avec le logiciel.3 E16 est le cercle de centre I et de rayon 5, E

-8 est le cercle de centre I et de rayon 1.

222222222222 Puissance d’un point par rapport à un cercle1

2 a. p est invariant lorsque d pivote autour de M qui reste � xe.b. Si M est à l’extérieur du disque délimité par C , 2p 0 et augmente lorsque M s’éloigne de O.Si M est à l’intérieur du disque délimité par C , 1p 0 et diminue lorsque M se rapproche de O.En� n p est nul pour tout point M sur C .c. On peut continuer à faire les mêmes observations qu’au b. lorsque l’on modi� e le cercle C .d. Le produit scalaire MC MD$ , ne semble donc dépendre que du cercle C et de la position du point M, plus précisément de la distance de M à O et du rayon du cercle.

3 MC MD MC MC C D MC MC MC C D$ $ $ $= + = +l l l l^ h .

Or C Dl et CD sont orthogonaux, puisque le triangle CC Dl est inscrit dans un demi-cercle de diamètre CC l6 @ et par suite MC C D 0$ =l .

On obtient � nalement : MC MD MC MC$ $= l.Puis en introduisant le point O :

MC MC MO OC MO OC$ $= + +l l^ ^h h

MC MC$ l MO OC MO OC MO OC2 2$= + - = -_ _i iMC MC$ l OM R2 2= - .4 a. La valeur minimale pour un cercle de centre O et de rayon R est p R2=- ; elle est obtenue lorsque M est en O.b. M F p k OM R kk

2 2+ +! = - =

OM k R OM k R2k R

2 2 22

,+ = + = +-

.Fk est donc le cercle de centre O et de rayon k R2+ .En particulier FR2 est donc le cercle de centre O et de rayon R2 , que l’on obtient en traçant le carré direct OAEG, puis le cercle de centre O de rayon OE.

�

D

M

v

u

g

C

O

d G

E

A

C‘

B


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Déc

lic 1

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232323232323 Déterminer une équation de droiteA. 1 Soit cette droite perpendiculaire à RS^ h passant

par T : M ! TM+ $ nx xy y

ab

0 0T

T+ $=

-

-=f fp p

a x x b y y 0T T+ - + - =^ ^h h

ax by ax by 0T T+ + - - = .2 Il su� t d’adapter l’équation précédente en prenant n =RS et de faire calculer les coe� cients :

a x xS R= - , b y yS R= - et c ax byT T=- - .

3

ALGO

Variables : XR, YR, XS, YS, XT, YT, a, b, c : réels.Début Entrer (XR, YR, XS, YS, XT, YT) a XS XR! - b YS YR! - * *c a XT b YT! - - a� cher : « une équation de la perpendiculaire est : » a� cher : a a� cher : « x+ » a� cher : b a� cher : « y+ » a� cher : c a� cher : « = 0. »Fin.

B.

x

y

0

B

C

A

B’

C’

B1

A1

C1

A’H

�

�

1 Vu la con� guration, la hauteur issue de C a pour équa-tion : x 1= .À l’aide du logiciel, on obtient une équation de la hauteur issue de B : x y 1 0- + - = , et une pour la hauteur issue de A : x y2 3 8 0+ - = .Les coordonnées de l’orthocentre H sont donc ;1 2^ h.2 Avec ;A 1 1-l^ h et ;H 4 0l^ h, on obtient une équation du cercle C :

M A M H M xy

xy0 1

14 0+ +$ $! =

+-

-=C l l d dn n

x y x y3 4 02 2+ + - - - = .Avec les milieux respectifs des segments AC6 @ et AB6 @,

;B 4 1l^ h et C ;2 2-l^ h, on véri� e que :4 1 12 1 4 17 17 02 2+ - - - = - = ,et aussi 2 2 6 2 4 10 10 02 2+ - - + - = - =^ h ,et par conséquent Bl et C l appartiennent à C .Les pieds des trois hauteurs C1, B1 et A1 ont pour coor-données respectives :

;1 2-^ h, ;2 3^ h et ;131

1334

c m.

On véri� e aisément pour les points à coordonnées entières et pour A1 :

1691

1691156

133

1334 4

1389

1337 4+ - - - = - -

1352 4 0= - = .

3 La médiatrice du segment AB6 @ a pour équation : ,x 2= et celle du segment AC6 @ : x y 3 0- + + = . On obtient les coordonnées du centre X du cercle : ;2 1-^ h.Le rayon de est A 26=X , tandis que le rayon de C

est A H2 2

26=

l l , c’est-à-dire la moitié.

Faire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le pointFaire le point

242424242424 1 c. 2 a. 3 c. 4 a. et c. 5 b. 6 c. 7 a. et c. 8 c. 9 a. et b.

252525252525 1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux.4 Faux. 5 Vrai. 6 Vrai.

ExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercicesExercices


1 Produit scalaire de deux vecteurs

262626262626 1 b. d. 2 a. d.

272727272727 1 a. 2 a.

282828282828 1 a. Vrai. b. Vrai. 2 a. Faux. b. Vrai.

292929292929 1 a. Vrai. b. Vrai. 2 a. Faux. b. Faux.

303030303030 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Faux.


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313131 1 Faux. 2 Vrai.

323232323232 1 a. Faux. b. Faux. 2 a. Vrai. b. Faux.3 a. Vrai. b. Faux.

333333333333 1 Vrai. 2 Vrai. 3 Vrai. 4 Faux.

Calcul dans des configurations

343434343434 a. AB AO a2

2$ = ; b. AB CD a2$ =- ;

c. AB OD a2

2$ =- ; d. AC AD a2$ = .

353535353535 a. AB AH 8$ = ; b. BC BE 12$ =- ;

c. BA AF 8$ =- ; d. BD CE 12$ =- ;

e. BE BA 12$ =- ; f. AD CE 0$ = .

363636363636 1 a. AC AB 18$ = ; b. KC CB 9$ =- ;c. DC BA 18$ =- ; d. AC AD 27$ = .2 On a AC AD AC AH$ $= , donc AH27 6 #= . On obtient donc ,AH 4 5= .

373737373737 AB AD AC AB AD21 2 2 2$ = - -^ h

AB AD21 49 25 9

213

$ = - - =^ h .

Calcul dans un repère orthonormé

383838383838 1 u v 3 3 6$ =- - =- .

2 ◗ u v u v u v u v22 2 2 2$+ = + = + +^ h

10 10 2 6 8#= + + - =^ h .

◗ u v 22+

-d n, donc u v 4 4 82

+ = + = .

◗ u v u v u v u v22 2 2 2$- = - = + -^ h

u v 10 10 2 6 322#- = + - - =^ h .

◗ u v 44- d n, donc u v 322

- = .

3 u v u v 2 4 2 4 0$ # #+ - = + - =^ ^ ^h h h .

L’angle ,u v u v+ -^ h est droit.

393939393939 u 21-

d n, //v 3 5

4 5-d n,

//

w4 53 5e o.

En utilisant l’expression analytique du produit scalaire : u v 2$ = , v w 0$ = et v 12

= .

404040404040 1 OA OC 2$ =- ;

cosOC OD OC OD 45 2 2$ # # c= = .

2 Dans le repère orthonormé , ,O OA OB21

c m, on a

;A 1 0^ h, ;B 0 2^ h, ;C 2 0-^ h et ;D 2 2- -^ h, donc

OB 02d n, OD 2

2--e o et OB OD 2 2$ =- .

D’autre part AB 12

-d n et CD 2 2

2- +

-e o,

donc AB CD 2 2$ =- +^ h.

414141 Il s’agit de la formule de projection généralisée :

◗ HK x0l

d n ;

◗ u w xx$ = l et AB HK xx$ = l, donc u w$ = AB HK$ .

Utiliser la formule adéquate pour calculer

424242 a. AH FE 1$ =- ; b. AE BG 2$ = ;

c. AH DG 3$ = ; d. DB FG 2$ =- ;

e. IB HF 0$ = .

434343 a. AD AC AO AC 2 2 2 4$ $ #= = = .b. IJ AC 0$ = , car //IJ BD^ ^h h et BD AC=^ ^h h.

c. JB CA 2$ = , car JB 21

-d n et CA 2

2--d n.

d. IO BO 1$ = , car IO 01d n et BO 1

1-d n.

444444444444 a. u v 13 6 3+ = - ; ,cos u v23

=-^ h ;

b. u v2

11$ = ; ,cos u v

2411

=^ h ;

c. v 2= ; u v 0+ = .

2 Propriétés algébriques du produit scalaire

454545454545 1 Vrai. 2 Vrai. 3 Vrai.

464646464646 1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux.

474747 1 ◗ u v u v u v22 2 2$+ = + +^ h

4 9 2 1 11#= + + - =^ h .

◗ u v u v u v u v22 2 2 2$- = - = + -^ h

4 9 2 1 15#= + - - =^ h .

2 u v u v2 3 18$+ - =-_ _i i .

484848484848 u v 682+ =^ h ; u v 482- =^ h ;

u v u v 40$+ - =-^ ^h h .

494949 u v u v2 5 2 52 2- + = - +^ h

u v u v4 25 20 1442 2

$= + - = ,

donc u v2 5 12- + = .

505050505050 a. u u v2 25$ + =^ h ;

b. u v 182- =^ h .

515151 On a MA MB MA MB MA MB2 2 $- = + -^ ^h h ,

soit IMA MB MA MB BA M BA22 2 $ $- = + =^ h .

Apprendre à décomposer pour calculer

525252525252 1 ◗ cosAB DE DC DE a a a602

2$ $ # # c= = = ;


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◗ cosDA DE DA DE a a15023

$ # # # #c= = -c m

DA DE a2

32$ =- .

2 BE BD DE BD DE BD DE22 2 2 2 $= + = + +^ h .

On a BD DE BA AD DE BA DE AD DE$ $ $ $= + = +^ h

et comme BD DE a a a2 2

323 12 2 2

$ =- + =-^ h

,

donc BEa

25 32 2

=+^ h

.

535353535353 On a :

cosR F F F F F F2 5021 2

21

22

21 2# # c= + = + +^ ^h h,

soit ,R 53 32 + ; donc ,R N7 3+ .

545454545454 AC AE AD DC AH HE$ $= + +^ ^h h

AC AE AD AH DC HE 4 2 4 3$ $ $ # #= + = + -^ h

AC AE 4$ =- .

555555555555 a. ◗ Le théorème de Pythagore dans le triangle AHB donne AH AB BH 9 1 82 2 2= - = - = .

◗ AB AH AB AB AH AB2$ $+ = +^ h

AB AH 9 8 172 2= + = + = .

b. AB AC AH HB AH HC$ $= + +^ ^h h

AB AC AH HB HC 52$ $= + = .

565656565656 1 AB AC AB AC AB AC21 2 2 2

$ = + - -^ h

AB AC AB AC CB21 2 2 2

$ = + -^ h

AB AC AB AC BC21 192 2 2$ = + - =^ h .

2 On a JA AB AC41

= +^ h, donc :

JA AC AB AC AC AB AC AC41

41 2$ $ $= + = +^ ^h h

JA AC41 19 49 17$ = + =^ h .

575757575757 1 ◗ IAB A AB AB AB a92 2$ $= = = ;

◗ AD KA AD AK AD AD a4 2$ $ $=- =- =- .

2 I IAK A AD DK AB B$ $= + +^ ^h h

I IAK A AD B DK AB$ $ $= +

IAK A AD BC DC AB a2 3

5 2$ # #= + = .

3 On a IA a10= , donc comme

I J I J IAK A A A A A$ $ #= = , on en déduit que :

Ja A a5 102 #= , soit JA a210

= .

585858585858 Une démonstration de la linéarité

a. ◗ u v w$ + =^ h AB AD AK AB$ #= .

◗ u v u w$ $+ = AB AC AB CD$ $+

u v u w$ $+ = AB AH AB HK$ $+

u v u w$ $+ = AB AK AB AK$ #= = u v w$ +^ h.b. On procède de même pour le deuxième cas.

595959595959 Démonstration du cours1 Comme , ,cos cosu v v u=^ ^h h on en déduit que :

, ,cos cosu v u v v u v u# # # #=^ ^h h ;

soit u v v u$ $= .

2 • On a u xyd n et kv kx

kylld n, donc :

u kv kxx kyy$ = +l l^ h .

De même, on a u kxkyd n et v x

ylld n, donc :

ku v kxx kyy$ = +l l^ h .

De plus, k u v kxx kyy$ = +l l^ h .

Donc u kv ku v k u v$ $ $= =^ ^ ^h h h

3 a. u v u v u v2 $+ = + +^ ^ ^h h h

u v u u u v v u v v2 $ $ $ $+ = + + +^ h ,soit en tenant compte de la propriété 1 :

u v u u v v22 2 2$+ = + +^ ^ ^h h h .

b. u v u v u u u v v u v v$ $ $ $ $+ - = - + -^ ^h h ;

donc u v u v u v2 2$+ - = -^ ^h h .

3 Applications au calcul de longueurs et d’angles

606060606060 A. 1 c. 2 b. B. 1 b. 2 a.

616161 1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai.

626262626262 Le théorème du « cosinus » donne :

cosBC AB AC AB AC23

2 2 2 # #= + -r ;

soit BC 25 64 2 5 821 492 # # #= + - = ;

donc BC 7= .

636363636363 Le théorème du « cosinus » donne :cosAB CA CB CA CB ACB22 2 2 # #= + -

% ;

donc cos ACBCA CB

CA CB AB2 35

192 2 2

#= + - =

% .

646464646464 a. OA OC OA AC a b4 4

122

2 2$ =- =- =- +^ h.

b. On pose I le milieu de DC6 @ et J le milieu de BC6 @.

On a JOB OC O DC2+ = = .

D’où OB OC OC DC OC$ $+ =^ h ;

donc IOB OC OC C CD2$ $+ = ;

soit OB OC a a ba b

2 41

42

2 22 2

$ = - + =-

^^

hh

;

c. cos BOCOB OCOB OC

a b

a b

a ba b

4

42 2

2 2

2 2

2 2

#$

= =+

-

=+

-% .


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lic 1

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656565656565 1

cosAB AD AB AD AB AD23

2 2 2 # # #+ = + +r

^ h ;49=

cosAB AD AB AD AB AD23

2 2 2 # # #- = + -r

^ h 19= .

2 Comme AB AD AC+ = , on a AC 7= , et comme

AB AD DB- = , on a DB 19= .

666666666666 Dans le repère , ,A AB AD41

41

c m orthonormé on a :

JA 42d n ; IC 2

4d n, donc J IA C 16$ = , JA 202 = ;

IC 202 = , donc J II Icos

A CA C

2016

54

#$

= = =i ;

d’où ,36 9c+i .

676767676767 1 ◗ QcosBC AB AC AC AC A22 2 2 # #= + - ,

donc Qcos A81 25 36 60= + - .

On obtient Qcos A31

=- .

◗ Q Qsin cosA A1 191

982 2= - = - =

donc Qsin A3

2 3= .

2 QsinAC AB A2 2

6 53

2 210 2# #

# #= = = .

686868686868 1 ◗ BAD4=r% ; BCD

43

=r% , donc ADB

8=r% ;

ABD2 8 8

5= + =r r r% .

◗ AB BC CD a= = = ;

◗ AC a 2= , donc AD a 2 1= +^ h ;

◗ cosBD AD AB AD AB24

2 2 2 # #= + -r ,

soit :

BD a a a a2 1 2 2 1222 2 2 2 # #= + + - +^ ^h h ,

donc BD a 2 22 2= +^ h ;

donc BD a 2 2= + .

2 On a cosDA DB DA DB8

$ # #=r ,

mais aussi DA DB DA DH$ #= , si H est le projeté ortho-gonal de B sur AC^ h.

On obtient cosDBDH

a

a a

8 2 22

2= =

+

+r ,

donc cos8 2

2 2=

+r .

696969696969 1 ◗ Introduire les longueurs a, b, c des côtés du triangle.◗ Calculer Q cosA

bcb c a

21

2 2 2= + --

d n ;

Q cosBac

a c b2

12 2 2

= + --d n ;

Q Q QC A B180= - - .

2 Programmer à l’aide d’un logiciel (scilab)

3 À l’aide du programme, on obtient les résultats :

a. Q ,A 44 5c. , QB 57c. , Q ,C 78 5c. ;

b. QA 37c. , QB 53c. , QC 90c. ;

c. Q ,A 9 5c. , Q ,B 55 4c. , Q ,C 115 1c. .

707070 1 On a ,OB 67 937d n, ,

,OC 92 724 7

--d n,

donc , ,OB 67 9 37 5 979 412 2 2= + = ; donc ,OB 77 33` et de même ,OC 94 97` .

2 ◗ , , , ,OB OC 67 9 92 7 37 24 7 7 208 23$ # #=- - =- .

◗ cosOB OC OB OC$ # #= a .

On en déduit , ,

, ,cos77 33 94 97

7 208 23 0 982#

`=-

-a ,

puis ,168 96cà .3 Les contraintes sont véri� ées, car 2150ca .

717171 Dans le plan ADFE^ h. En prenant comme repère

orthonormé , ,i jA^ h, où i dirige AE^ h, j dirige AD^ h

on a : ;E a 2 0^ h , ;D a0^ h, ;F a a2^ h, soit AF aa

2e o,

ED aa

2-e o.

On en déduit AF DE a 3= = ,

puis cos cosAF ED EF ED a3 2$ # #= =a a,puis en utilisant la dé� nition analytique du produit

scalaire AF ED a2$ =- .

On obtient cos31

=-a , donc ,109 47cà .

727272 En utilisant le théorème de la médiane,I ICA CB C A2 22 2 2 2+ = + ,

donc IC2712 = et ,IC 5 96. .

737373 En utilisant la formule du cosinus, on obtient :1 BC 212 = , soit BC 21= ;2 AC 41 20 32 = - , donc ,AC 6 36. .

747474 En utilisant la formule du cosinus et en posant BC x= , on obtient l’équation ,x x12 35 84 02 - + = qui admet deux solutions : 5,6 et 6,4 ; il y a donc deux valeurs possibles de BC.

757575 On calcule AC à l’aide du théorème du cosinus :cosAC BA BC BA BC2 1052 2 2 # #= + - .

On obtient ,AC 2 458 68. .On applique de nouveau le théorème du cosinus :

,cosAC BC

AC CB AB2

0 6182 2 2

#`= + -i , donc ,51 85cì .


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lic 1

re S

767676 1 Soit H le projeté orthogonal de B sur AC^ h. On a sinBH AB 70#= , donc l’aire est :

,sinAC BH AB AC2 2

70 32 9# # # .= .2 Le théorème du cosinus donne :

,cosBC AB AC AB AC2 70 50 92 2 2 # # .= + - ^ h .Donc ,BC 7 1. et le périmètre de ABC est :

, ,5 7 7 1 19 1+ + = .

4 Orthogonalité

777777 1 Faux. 2 Vrai.3 Faux. (Un vecteur peut être 0.)

787878 1 c. 2 a. 3 b.

797979 1 Faux. 2 Vrai.

808080808080 Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seule-ment si : m m m m1 2 5 4 0+ - + + - =^ ^ ^ ^h h h h

m2 18 0+ - = .Les deux vecteurs sont orthogonaux pour m 9= .

818181 AB 13d n, BC 6

2-d n, donc AB BC 0$ = ; donc le triangle

ABC est rectangle en B.

828282828282 1 En tenant compte des orthogonalités :

AC BD AB BC BA AD$ $= + +^ ^h h

AC BD AB BA BC AD 0$ $ $= + = .2 Les diagonales sont perpendiculaires.

838383838383 1 Voir la � gure ci-dessous.

HC et HD semblent orthogonaux pour 1 1, ,x0 62 0 63.

2 Dans le repère , ,A B D^ h on a ;H x x2 2

3c m, ;C 1 1^ h et

;D 0 1^ h.

HC

x

x

12

12

3

-

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO, HD

x

x2

12

3

-

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO ;

HC HD 0$ =

x x x x12 2

12

3 12

3 0+ - - + - - =d d c cn n m m

HC HD x x021 3 1 02+$ = - + + =c m .

Cette équation admet deux solutions ,x 1 611 ` et ,x 0 622 ` .

Comme x est compris entre 0 et 1 la seule valeur possible est x2.3 Le point H est l’intersection du demi-cercle de diamètre CD6 @ et de la droite passant par A et telle que l’angle fait avec AB^ h soit de 60°.

Équations de droites

848484848484 a. x y2 3 0+ - = ;b. x y3 11 0- + = .

858585858585 1 Un vecteur normal à d : n 21d n.

2 ;M x y AM+! D^ h colinéaire à n + Les coor-

données xy

51

--

d n et 21d n sont proportionnelles .

La droite D a pour équation : x y2 3 0- - = .

868686868686 n 11d n. Une équation de D : x y 1 0- - = .

878787878787 n 10d n. Une équation de D : y 2 0+ = .

888888888888 La médiatrice D passe par ;I 0 2^ h, milieu de AB6 @,

et a pour vecteur normal AB 42-

d n. Elle a pour équation

x y4 2 4 0- + = , soit encore x y2 2 0- + = .

898989898989 1 La droite passe par A et a pour vecteur normal

BC 52

-d n. Elle a pour équation x y5 2 10 0- + - = .

2 La médiatrice D passe par ;I21 2-c m, milieu de BC6 @

et a pour vecteur normal BC 52

-d n. Elle a pour équation

x y5 22

13 0- + - = .

3 On a AB 41d n, donc un vecteur normal est n k

k4-d n avec

k réel quelconque non nul. Sa norme doit être égale à 1,

donc k k4 12 2- + =^ ^h h ; donc ,k171

171! -( 2.

909090909090 1 Si H a pour abscisse a, son ordonnée est a21 2+ .

2 ◗ AHa

a3

21 1

-

+f p ;

◗ d a pour vecteur directeur u 21d n ;

◗ AH = u équivaut à a a2 321 1 0- + + =^ h , donc

a 2= et ;H 2 3^ h.

3 AH 12

-d n, donc AH 52 = et AH 5= .


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lic 1

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Équations de cercles

919191 1 ,M x y !^ h OM 92+ = . Le cercle a pour équation x y 92 2+ = .2 Soit ;M x y^ h. On a AM x

y12

++

d n, BM xy

31

-+

d n.

,M x y !^ h 1 AM BM 0+ $ = .1 a pour équation : x y x y2 3 1 02 2+ - + - = .

929292929292 1 En écrivant que AM BM 0$ = , on obtient : x x y y2 6 2 8 0- - + - - =^ ^ ^ ^h h h h ,

soit : x y x y8 10 28 02 2+ - - + = .2 Le cercle a pour rayon OA. On obtient :

x y x y10 4 02 2+ - - = .

939393939393 1 Le cercle a pour rayon 4. Son équation est :x y x y8 6 9 02 2+ - - + = .

2 Le cercle a pour rayon 3. Son équation est :x y x y4 6 4 02 2+ + + + = .

949494949494 Cercle rouge : équation ;cercle bleu : équation ;cercle vert : équation .

959595959595 1 AB 21d n, AC 2

4-d n. Comme AB AC 0$ = , le triangle

ABC est rectangle en A.2 Le milieu I de BC6 @ a pour coordonnées ;1

27

c m. Le

rayon du cercle est IA25

= , donc le cercle cherché a

pour équation : x y x y2 7 7 02 2+ - - + = .

969696969696 1 ◗ La hauteur issue de A a pour équation : x 0= .

◗ La hauteur issue de B passe par B et a pour vecteur nor-

mal AC 43-

d n. Son équation est donc x y4 3 4 0- + = .

◗ L’orthocentre H a pour coordonnées ;034

c m.

2 ◗ La médiatrice de BC6 @ a pour équation x23

= .

◗ La médiatrice de AC6 @ passe par son milieu ;I 223

c m et

a pour vecteur normal AC 43-

d n. Son équation est donc

x y4 327 0- - = . Le centre du cercle circonscrit est

;W23

65

c m.

3 Le cercle circonscrit C a pour centre W et pour rayon WA 2= . Il a pour équation :

x y x y335

911 02 2+ - - - = .

979797979797 x y x y2 02 2+ + - =

x y21 1

452

2+ + + - =c ^m h .

L’ensemble cherché est un cercle de centre ;I21 1-c m et

de rayon R25

= .

989898989898 1 x y x y4 2 5 02 2+ - + - =

x y2 1 102 2+ - + + =^ ^h h .Son centre est ,I 2 1-^ h et son rayon 10 .2 Il coupe l’axe des abscisses en des points d’ordonnée nulle véri� ant : x x4 5 02 - - = . Cette équation admet deux solutions - 1 et 5. Le cercle coupe l’axe des abscisses en ;A 1 0-^ h et ;B 5 0^ h.

999999999999 x y x y k2 4 02 2+ - + + =

x y k1 2 52 2+ - + + = -^ ^h h .Pour que ce soit l’équation d’un cercle il faut, et il su� t que k5 0H- , soit ;k 53! -@ @.

100100100100100100 1 Le cercle a pour équation :x y3 2 172 2- + - =^ ^h h .

Son centre est ;3 2X^ h et son rayon 17 .2 Les points A et B sont des points de , car leurs coor-données véri� ent l’équation de .

x

y

OB

A

d

I

J

3 La droite d passe par A et a pour vecteur directeur

u 14-

d n. On a A 41X d n et comme u $ A 0=X la droite d

est tangente au cercle .

3 Comme AB6 @ est un diamètre du cercle , la tangente en B est parallèle à d.

101101101 1 On considère les cercles et ’ d’équa-tions respectives : x y x y6 4 12 02 2+ - - - = et x y x2 12 02 2+ - - = . Les coordonnées des points d’intersection véri� ent les deux équations, et par sous-traction on obtient .x y 0+ = En reportant la valeur y x=- dans la première, on obtient x x 6 02 - - = qui admet deux solutions : - 2 et 3.Les deux cercles se coupent en ;C 2 2-^ h et ;D 3 3-^ h.2 Le cercle a pour centre ;A 2 3^ h et 5 pour rayon. ’ a pour centre I ;1 0^ h et pour rayon 13 .

x

y

�

�’A

O

B

C

D

I

J


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Déc

lic 1

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102102102102102102

x

y

AO

BC

E

D

I

J

�

1 Le cercle de diamètre AB6 @ coupe en D et E. Le triangle ADB est rectangle en D, donc AD BD=^ ^h h. Par dé� nition, la droite BD^ h est tangente à en D.De même pour la droite BE^ h.2 ◗ Le cercle a pour centre ;A 2 0^ h et pour rayon 5 .◗ Le point ;M x y^ h appartient au cercle de diamètre

AB6 @ si, et seulement si, AM et BM sont orthogonaux.

AM xy

2-d n, BM x

y7-

d n, donc x y x9 14 02 2+ - + = .

En résolvant le système formé par les équations des deux cercles (comme à l’exercice 101101101101101101 ) nous obtenons les points de tangence ;D 3 2^ h et ;E 3 2-^ h. Les tangentes ont pour équations respectives : x y2 7 0+ - = et x y2 7 0- - = .

Ensembles de points

103103103103103103 ◗ Soit H le point de tangence. Si son abscisse est x,

alors son ordonnée est x 1+ , donc H xx

2-X d n. La droite

a pour vecteur directeur u 11d n. Le point H est le point de

tangence si, et seulement si, H $X u 0= ; donc x véri� e x 1 0+ = . Donc ;H 1 0-^ h.◗ Le cercle cherché a pour centre X et HX pour rayon : son équation est x y x y4 6 5 02 2+ - + - = .

104104104104104104 Soit I le milieu de AB6 @. D’après le théorème de la médiane, I IMA MB M A2 22 2 2 2+ = + . On a donc IM 42 = . L’ensemble des points M est le cercle de centre I et de rayon 2.

105105105105105105 1 L’ensemble des points M est la droite D perpen-diculaire en A à AB^ h.

2 ;M x y^ h, donc AM xy

21

++

d n et comme AB 44d n, la droite

D a pour équation x y 3 0+ + = .

106106106106106106 MA MB MA MB MA MB2 2 $- = + -_ _i i .

Si I est le milieu de AB6 @ alors :

IMA MB M BA15 2 152 2 + $- = =

IM AB2 15+ $ = ,ce qui équivaut à dire que si H est la projection orthogo-nale de M sur AB^ h : les vecteurs IH et AB ont même sens

et IH23

= . L’ensemble cherché est la droite perpendi-

culaire en H à AB^ h.

107107107107107107 1 Soit I est le milieu de AB6 @, alors :

IMA MB M BA0 2 02 2 + $- = = ; donc l’ensemble D est la hauteur IC^ h.2 Soit J est le milieu de CB6 @, alors :

JNC NB BC N BC BC22 2 2 2+ $- = = , ce qui équivaut à dire que, si H est la projection de N sur la droite ,BC^ h les

vecteurs JH et BC ont même sens et JH BC2= . Donc

l’ensemble Dl est la droite perpendiculaire en B à BC^ h.

5 Application aux formules de trigonométrie

108108108108108108 1 c. 2 b.

109109109109109109 1 Vrai. 2 Vrai. 3 Vrai.

110110110 ◗ cos sin2 1 2 12532

2572= - = - =-i i .

◗ Il faut calculer cos i.

On a cos sin1 12516

2592 2= - = - =i i .

Sachant que 1 1270 360c ci , on a cos53

=i .◗ Comme sin sin cos2 2=i i i, on a :

sin 2 254

53

2524

# #= - =-i c m .

111111111 1 ◗ On a :

sin cosx x1 14

2 24

2 22 2= - = - - = + ;

donc sin x2

2 2=-

+ .

◗ sin sin cosx x x2 222

= =- .

◗ cos cosx x2 2 1 24

2 2 1222 #= - = - - =- .

2 On en déduit que x24

3=-

r , puis x8

3=-

r .

112112112 On utilise le théorème du cosinus :cosBC AB AC AB AC22 2 2 # #= + - a ,

soit cos cosBC a a a a2 2 12 2 2 2 2= + - = -a a^ h,

donc cosBC a22

1= - a

113113113 Le théorème du cosinus donne :cosBD AD AB AD AB2 722 2 2 # #= + - .

Donc cosADAB72

2 1 51

45 1

= =+

= - .

114114114 1 Soit H le projeté orthogonal de C sur AB^ h.On a sinAB CH AB AC# # #= = i, donc sin80= i.2 L’aire du parallélogramme est maximale lorsque sin i est maximal, soit pour un angle de 90°.

115115115 On a (1) sin sin cos cos sinx y x y x y# #+ = +^ h ;(2) sin sin cos cos sinx y x y x y# #- = -^ h .


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lic 1

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En additionnant (1) et (2), on obtient :sin sin sin cosx y x y x y2 #+ + - =^ ^h h ;

donc :

sin cos sin sinx y x y x y21

# = + + -^ ^h h6 @.

116116116 1 En utilisant les formules d’addition donnant sin a b+^ h et sin a b-^ h et en les additionnant (voir l’exercice 115115115115115115 ) on obtient :

sin sin sin cosa b a b b a2 #+ - - =^ ^h h .

En posant a b p+ = et a b q- = ,

on a a p q2=+ et b p q

2=- ; on obtient :

sin sin sin cosp q p q p q22 2#- =- + .

2 sin sin sin cos61 59 2 1 60#- =

sin sin2 121 1#= = .

117117117 On considère la fonction f dé� nie sur R par :

f cos sinx x x21

23

= -^ h .

1 f 021

=^ h ; f2 2

3=-

rd n ; f

4 42 6

= -rd n .

2 .fcos cos cos sin sinx x x x3 3 3+ = - =r r r

d d d ^n n n h

3 En utilisant les questions précédentes,

f cos cos4 4 3 12

7= + =

r r r rd d cn n m ;

donc cos127

42 6

= -rc m .

118118118 ◗ On a :cos cos cos cos sin sin3 2 2 2= + = -i i i i i i i^ ^ ^h h h ;donc cos cos cos sin cos sin3 2 1 22= - -i i i i i i^ h ;soit cos cos cos3 4 33= -i i i, donc P x x x4 33

3= -^ h .

◗ En écrivant cos cos cos4 2 2 2 2 12= = -i i i^^ hh , on obtient P x x x8 8 14

4= - +^ h .2 xP x P x x x x x2 2 4 3 2 13 2

3 2- = - - -^ ^ ^ ^h h h h

P x4= ^ h.

119119119 a. sin sin sin cos sinx x x x x2 2 0+=- + =

sin cosx x221 0+ + =c m

sin x 0+ = ou cos x21

=- .

; ; ;S3

23

2= - -r r r r

' 1.

(On résout dans ;-r r6 @.)

b. cos cos cos cosx x x x2 2 1 02+= - - =

cos x 1+ = ou cos x21

=- .

; ;S 03

23

2= -

r r' 1.

Problèmes

120120120120120120 On appelle H le projeté orthogonal de C sur AB^ h.

AC AB AB AH HC$ $= +^ h

AB AH$= , car AB HC 0$ = .

Comme AB AH AB AH$ #= , on doit avoir AH3 6= , donc AH 2= .Les points cherchés sont à l’in-tersection du cercle de centre A et de rayon 5 avec la droite perpendiculaire en A à AB^ h.

121121121 On appelle a et b les longueurs des côtés des deux carrés.

I IED A EA AD G GA$ $= + +^ ^h h.

Comme EA GA 0$ = et IAD G 0$ = , on a :

I IED A EA G AD GA$ $ $= + .

Donc IED A ab ab 0$ =- + = .Les droites ED^ h et IA^ h sont perpendiculaires.

122122122122122122 1 On a a b 180c+ = . Les angles sont supplémen-taires.

2 a. AE AD AC AB$ $+

cos cosAE AD a AC AB b# # # #= + .Mais cos cos cosb a a180= - =-^ h .

On en déduit donc que AE AD AC AB 0$ $+ = .

b. DB EC DA AB EA AC$ $= + +^ ^h h

comme DA AC 0$ = et AB EA 0$ = .

On en déduit que DB EC DA EA AB AC 0$ $ $= + = d’après 1 a.

3 a. BAD CAE a 90c= = +% % , donc cos cosBAD CAE=

% %.

En conséquence : AB AD AE AC$ $= .

b. IA BC AD AE BA AC21 0$ $= + + =^ ^h h d’après ce

qui précède ; donc IA BC=^ ^h h.c. La droite IA^ h est une médiane dans le triangle ADE et une hauteur dans le triangle ABC.

123123123123123123 1 Méthode 1 : On calcule l’angle IJK par des propriétés de la géométrie plane.

Méthode 2 : On calcule IJ JK$ en décomposant les vecteurs.Méthode 3 : On considère un repère orthonormé et on calcule IJ JK$ .2 ABCD est un carré de côté a. On considère le repère

, ,Aa

ABa

AD1 1c m. On a ;I a

40d n, ;J a a

4d n, ;K a a4

3c m.

On a IJa

a4

3

4

J

L

KKKK

N

P

OOOO et JK

a

a4

43

-J

L

KKKK

N

P

OOOO, donc IJ JK 0$ = . Donc les

droites IJ^ h et JK^ h sont perpendiculaires.

aA B

C’

C

H


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lic 1

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124124124124124124 ◗ En faisant varier le point M sur la droite d, on constate que MA MB2 2+ est minimum au point d’in-tersection de d avec la droite passant par le milieu I du segment AB6 @ et perpendiculaire à d.

◗ I IMA MB M A2 22 2 2 2+ = + , donc MA MB2 2+ est minimum lorsque MI est minimum, c’est-à-dire lorsque la droite IM^ h est perpendiculaire à d.

125125125125125125 1 Voir la � gure ci-dessous.2 Un premier déplacement du point M permet d’ob-server que le réel d peut prendre des valeurs positives, négatives ou nulles.

3 Pour k 0= , on doit avoir MA MB2 2= , c’est-à-dire MA MB= : l’ensemble E0 est la médiatrice de AB6 @.4 Pour k 36= , on constate que si M est en B, la condi-tion est véri� ée. Si le triangle MAB est rectangle en B, alors d’après le théorème de Pythagore on a :

MA MB AB 362 2 2+ = = .L’ensemble E36 est la perpendiculaire en B à AB^ h.5 Pour k 12= , on conjecture que l’ensemble E12 est une droite perpendiculaire à AB^ h.6 Les ensembles Ek semblent être des droites perpendi-culaires à AB^ h.On choisit donc un repère orthonormé lié à la � gure,

, ,I JA^ h tel que ;B 6 0^ h.7 Si M a pour coordonnées ;x y^ h, on a MA x

y--d n et

MB xy

6 --

d n.

M E x k x k12 3612

36k + +! - = = + .

8 L’ensemble Ek est une droite perpendiculaire à la droite AB^ h.

126126126126126126 1 Si le point H appartient à la droite OA^ h :

OA AH OA AH AH4$ #= = ,

donc OA AH AH8 2+$ = = .

2 L’égalité OA AH OA AM$ $= signi� e que MH^ h est perpendiculaire à OA^ h.3 Le point M tel que OA AM 8$ = appartient à la droite

d perpendiculaire en H à OA^ h.Réciproquement si M appartient à d, on a OA AM OA AH HM$ $= +^ h et comme OA HM 0$ = ,

on a OA AM OA AH 8$ $= = , donc l’ensemble cherché est la droite d.4 On considère un repère orthonormé , ,i jO` j tel que i

41

= OA.

a. On a OA 40d n et AM x

y4-

d n, donc :

OA AM x8 4 4 0+$ = - =^ h .L’ensemble des points M est la droite d’équation x 4= .b. M appartient au cercle de diamètre OA6 @ si, et seule-ment si :

OM AM x x y0 4 02+$ = - + =^ h .Le cercle de diamètre OA6 @ a pour équation cartésienne : x y x4 02 2+ - = .c. L’ensemble a pour équation :

x y5 3 102 2- + - =^ ^h h .C’est un cercle de centre ;I 5 3^ h et de rayon 10 .d. Les coordonnées ;x y^ h des points d’intersection éventuels véri� ent le système formé par les équations cartésiennes des deux cercles. Elles véri� ent l’équation obtenue en soustrayant membre à membre, soit :

x y6 6 24 0+ - = .En reportant la valeur de y en fonction de x dans la première équation, on obtient l’équation : x x6 8 02 - + = ,qui admet deux solutions 4 et 2. Les deux cercles se coupent en ;P 4 0^ h et ;Q 2 2^ h.

127127127127127127 1 On a AB 21d n et CB 2

4-d n, donc AB CB 0$ = : le

triangle ABC est rectangle en B.2 Le cercle C a AC6 @ comme diamètre. Si ;M x y^ h, alors

AM xy

12

+-

d n et CM xy

31

-+

d n.

M AM CM 0+ $! =C .Le cercle C a pour équation x y x y2 5 02 2+ - - - = .

Son centre est ;K 121

c m et son rayon 25 .

3 ;M x y^ h appartient à la tangente à C en A si, et seule-

ment si, AM AC 0$ = . Comme AC 43-

d n l’équation est : x y4 3 10 0- + = .

x

y

KH

O

B

A

C

�


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lic 1

re S

4 En utilisant la dé� nition du produit scalaire avec le pro-

jeté orthogonal, on obtient : AB AC AB AH AC2

$ #= = .Comme AB 52 = et AC 5= , on en déduit que AH 1= et ,HK 1 5= .5 ;M x y E AM AC 5+ $! =^ ^h h

x y4 3 7 0+ - + = .L’ensemble E^ h est la droite perpendiculaire en H à AC^ h.

128128128128128128 Le cercle a pour centre le point X , intersection de la droite d avec la médiatrice dl de AB6 @.

On a AB 62d n et le milieu ;D 5 3^ h de AB6 @.

;M x y d DM AB 0+ $! =l^ h . La droite dl a pour équation x y3 18 0+ - = .En résolvant le système formé par les équations de

d et dl on obtient ;521

527X c m. Le rayon de est

A5410

=X .

129129129129129129 Dans un repère orthonormé de centre A, on pose ;B a 0^ h et ;E b0^ h. On a donc ;C b 0^ h et ;D a0^ h.

On en déduit que ;I a b2 2c m et ;J b a

2 2c m.

On a //IA a

b22d n et CD b

a-d n, donc IA CD 0$ = . Donc IA^ h

est perpendiculaire à CD^ h.On démontre de même que JA^ h est perpendiculaire à

BE^ h.

130130130130130130 Dans un repère orthonormé, on a ;F x 0^ h,

;H a a2 2d n et ;G a x^ h, donc :

HFx a

a2

2

-

-

J

L

KKKK

N

P

OOOO et HG

a

x a2

2-

J

L

KKKK

N

P

OOOO.

Comme HF HG 0$ = et HF HG a x a4 4

2 22 2

= = +-^ h

,

le triangle HFG est rectangle et isocèle en H.

131131131 On utilise le repère , ,A AB AD^ h qui est orthonormé en prenant un carré de côté 1.

1 On a ;I 051

c m, ;J 153

c m, ;B 1 0^ h et ;M x 1^ h.

Les droites IJ^ h et BM^ h sont perpendiculaires si, et

seulement si, IJ BM 0$ = , c’est-à-dire x53 0- = , soit

x53

= .

2 a. K a pour coordonnées ;53 1c m, donc /

/JK 2 52 5

-d n.

JI JK256

$ = . Le triangle IJK n’est pas rectangle en J.

b. IJ JI JJI Jcos K

KK

529

58

256

#$

#

= =%

IJcos K2326

583

= =% .

Donc ,IJK 66 8c+% .

3 a. KB 52

1-f p, donc IJ KB

529

= = .

b. On a IJ IJ IJDK DL LH HK LH$ $ $= + + =^ h en tenant compte des orthogonalités.

Donc IJ IJDK LH$ #= .

En calculant IJ DK$ à l’aide des coordonnées, on obtient

IJ DK53

$ = . On en déduit LH293

= .

c. En projetant, on a JK KB KH KB$ #= et en utili-

sant les coordonnées, on obtient JK KB2514

$ = ; donc

KH5 29

14= .

d. L’aire du trapèze DLHK est :

DL KH LH

2 2294

5 2914

293

#=

+=

+^

dh

n

,

donc l’aire de DLHK est 14551

= .

132132132132132132 On considère, dans un repère orthonormé , , ,i jO` j les points ;A 1 2-^ h, ;B 4 1-^ h et ;C 4 4^ h.

1 a. ;I25

23

-c m, AB 31d n, IM

x

y25

23

-

+

J

L

KKKK

N

P

OOOO.

IM D M AB 01 + $! = . La médiatrice D1 du segment AB6 @ a pour équation : x y3 6 0+ - = .

b. De même la médiatrice D2 du segment BC6 @ a pour équation y

23

= .

c. En résolvant le système formé des deux équations des

droites D1 et D2, on obtient ;I23

23

c m.

d. I est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

2 a. L’équation cartésienne du cercle s’écrit :

x y23

23

2252 2

- + - =c cm m .

Il a pour centre I=X et son rayon est 2

5 2 .

b. Comme A 21

27

-

-X

J

L

KKKK

N

P

OOOO on a A

25 2

=X , donc le cercle

est le cercle circonscrit au triangle ABC.

133133133133133133 1 On a W P AB$= .2 a. CSD 60c=

% , car c’est le complémentaire de

HAB 30c=% , donc 120c=i .

b. ,cosW P AB 55 9 81 80021

# # # #= = -i c m.

Donc W 215 820=- J.c. W est négatif, car c’est un travail résistant.d. L ’ énergie potentielle fournie contrebalance le travail résistant, donc elle est égale à 215 820 J.4 a. On a aussi : W P HB P AB1$ $= = , car P AB 02 $ = .

HB représente le dénivelé de la piste.b. Le travail fourni par P2 est nul, car P AB 02 $ = .

134134134134134134 1 Si H, K et L sont les projections orthogonales de A, B et C sur BC^ h, CA^ h et AB^ h.


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Déc

lic 1

re S

On a Q Qsin sinAH AB B c B# #= = . De même pour BK et CL, donc Aire Q Q Qsin sin sinABC bc A ac= = B ab C= .En divisant par abc on obtient :

Q Q Q airesin sin sina

Ab

Bc

Cabc

ABC= = = .

2 ◗ L’angle QC est égal à 74,7°. On a Q Qsin sinAC

BAB

C= , donc

,,

sinsinAC74 1

10 39 6#= . On en déduit , kmAC 6 6. .

135135135135135135 Le théorème de la médiane dans les triangles ABC, ADC et BID donne :(1) I IAB BC B A2 22 2 2 2+ = +

(2) I IAD DC D A2 22 2 2 2+ = +

(3) I I IJ JB D B2 22 2 2 2+ = + .En e� ectuant (1) + (2) - 2(3), on obtient :

IJAB BC AD DC AC BD 42 2 2 2 2 2 2+ + + = + + ;donc :

AB BC AD DC AC BD2 2 2 2 2 2H+ + + + .

136136136136136136 1 MA BC MB CA MC AB a$ $ $+ + = .On peut écrire :

a MA BC MA AB CA MA AC AB$ $ $= + + + +^ ^h h .

Comme AB CA AC AB 0$ $+ = , on a :

a MA BC MA CA MA AB$ $ $= + + .

Donc a MA BC CA AB MA 0 0$ $= + + = =^ h .2 Si M est l’orthocentre H du triangle ABC, alors HA BC 0$ = et HB CA 0$ = . On en déduit HC AB 0$ = et HC^ h est la troisième hauteur.

137137137137137137 1

2 a. Il y a 0, 1 ou 2 points possibles (intersection entre une droite et un cercle).b. Avec ,b 10 5= , on obtient 2 points. Par lecture graphique, ,BC 7 5- ou ,BC 4 5- .c. En appliquant le théorème d’Al-Kashi, on obtient :

cosAC AB BC AB BC2 602 2 2 # #= + - .En posant BC x= , on a l’équation :

,x x12 33 75 02 - + = ,qui admet 7,5 et 4,5 comme solutions.3 On obtient l’équation : x x b12 144 02 2- + - = .Son discriminant est b4 1082= -D ^ h.• Si 1 1b0 6 3 , alors il n’y a pas de point C.• Si b 6 3= , alors il y a un seul point C.• Si 2b 6 3 , alors il y a deux points C possibles.

138138138138138138 1 Comme A et B ont la même ordonnée, la hauteur issue de C a pour équation : x 1= .

Avec CA 66-

d n colinéaire à 11-

d n, on obtient une équation

de la hauteur issue de B : x y 1 0- + = .

Et avec BC 46d n colinéaire à 2

3d n la hauteur issue de A a

pour équation : x y2 3 8 0+ - = .Les coordonnées de l’orthocentre H sont donc ;1 2^ h.2 Avec ;A 1 1-l^ h et ;H 4 0l^ h, on obtient une équation du cercle C :

M A M H M 0+ $! =C l l

xy

xy

11

4 0+ $+-

-=d dn n

x y x y3 4 02 2+ + - - - = .Avec les milieux respectifs des segments AC6 @ et AB6 @,

;B 4 1l^ h et ;C 2 2-l^ h.on véri� e que 4 1 12 1 4 17 17 02 2+ - - - = - = , et aussi 2 2 6 2 4 10 10 02 2+ - - + - = - =^ h .Par conséquent B et C appartiennent à C .

Les pieds des trois hauteurs C1, B1 et A1 ont pour coor-

données respectives : ;1 2-^ h, ;2 3^ h et ;131

1334

c m.

On véri� e aisément pour les points à coordonnées entières et pour A1 :

1691

1691156

133

1334 4

1389

1337 4+ - - - = - -

1352 4 0= - = .

3 La médiatrice du segment AB6 @ a pour équation : x 2= , celle du segment AC6 @ : x y 3 0- - = .En calculant les coordonnées de leur point d’intersec-tion, on obtient les coordonnées ;2 1-^ h du centre X du cercle circonscrit .Le rayon de est A 26=X , tandis que le rayon de C

est A H2 2

26=

l l , c’est-à-dire la moitié.

139139139139139139 1 cos sinx x21

23 1- =-

cos cos sin sin cosx x3 3

+ - =r r r

cos cosx3

+ + =r rd n .

Puisque l’on résout dans ;0 2r6 @, ceci équivaut à :

x k3

2+ = +r r r et ;x 0 2! r6 @,

c’est-à-dire x3

2=r . D’où S

32

=r

' 1.


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2 cos sinx x3 425

+ = cos sinx x53

54

21+ + =

cos cos sin sin cosx x3

+ + =a a r , où a est le réel de

l’intervalle ;02r

< F, tel que cos53

=a et sin54

=a ; la

calculatrice donne ,0 93.a rad.

cos sin cos cosx x x3 425

3++ = - =a

r^ h

x k3

2+ - = +a r r ou x k3

2- =- +a r r .

Comme on résout dans ;-r r6 @, on obtient x3= +ar

ou x3= -ar .

D’où ;S3 3= - +a r a r

( 2.

140140140140140140

◗ IJ J IA A AC AB43

41

= - = - ,

donc IJ AC AB AC AB169

161

163 22 2 2 # $= + - .

IJ AB AC BC36 11632 2 2 2= + - + -^ h

IJ 37163 16 64 36

41152 = - + - =^ h .

◗ IJ BC AC AB AC AB43

41

$ $= - -c _m i

IJ BC AC AB AC AB43

412 2$ $= + -

IJ BC 48 4 22 30$ = + - = .

◗ ,IJ IJIJcos BC

BCBC

#$

=^ h

,IJcos BC

2115 6

30

#

=^ h

,IJcos BC11510

232 115

= =^ h ,

la calculatrice donne , ,IJ BC 21 2c.^ h .

Pistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementPistes pour l’accompagnementpersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisépersonnalisé


111

A

E C

I J

B

F

G

D

H� = 108,37°� = 109,19°� = 107,04°� = 107,04°

� = 108,37°

�

��

� �

La construction de Albrecht Durer est élégante mais malheureusement inexacte.

222 1 IA AB AD21

= + , IJ AB AD21

21

=- + ,

CK AB AD31

=- - , et IK AB AD61

= - .

2 ◗ La droite IK^ h a pour coe� cient directeur 61

- et

passe par ;K 032

c m ; son équation est y x61

32

=- + .

◗ La droite IJ^ h a pour vecteur directeur u 11-

d n et passe

par ;I 121

c m ; son équation est y x23 0+ - = .

3 IJ22

= ; IK637

= .

Les savoir faire du chapitre

333 a. cosEA EB EA EB 60 32$ # #= = .

b. AD CA AD DA 9$ $= =- .

c. cosAE AD AE AD 150 6 3$ # # c= =- .

d. AE AC AE AD DC 6 3 8$ $= + =- +^ h .

e. FB DB BF BA 8$ $= = .

f. cosAF BE AF BE 120 4$ # # c= =- .

g. CA DB CD DA DC CB 7$ $= + + =-^ ^h h .

444 a. On a donc AB 41d n, AC 2

3-d n,

donc AB AC 5$ = . De plus AB 17= et AC 13= , donc

cos BACAB ACAB AC

2215

#$

= =% . D’où ,BAC 70 35c+

% .


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b. On a QcosAB AC BC AC BC C22 2 2 # #= + - ,donc AB 164 80 22 = - soit ,AB 7 1- .

cos AAB AC

AB AC BC2 41 10 2

5 2 22 2 2

#= + - =

-

- ;

d’où Q ,A 52 5c+ .c. AC AD AB BD2 22 2 2 2+ = + (Théorème de la médiane),

donc AB4

1792 = , soit AB2

179= .

On a cosCB AC AB AC AB BAC22 2 2 # #= + -% (théo-

rème d’Al-Kashi), donc cos BAC18 179

211=

% ;

d’où ,BAC 28 8c+% .

d. En travaillant dans le repère orthonormé , ,i jA` j tel

que i IA31

= et j JA21

= , on obtient AB 31d n et /AC 3 2

3d n

donc AB 102 = , soit AB 10= .

AB AC 15$ = et AC2

3 5= , donc cos BAC

22

=% ;

d’où BAC 45c=% .

555 1 La droite a pour vecteur directeur u 52d n.

2 La perpendiculaire D à passant par le point A a u pour vecteur normal.

;M x y AM+ $! D^ h u 0= . D a pour équation cartésienne x y5 2 7 0+ - = .3 ;M x y AM BM 0+ $! =C^ h . Le cercle de diamè-tre AB6 @ a pour équation x y y7 5 02 2+ - + = .4 BA^ h est perpendiculaire à en B, donc C et sont tangents.

666 On considère les points ;A 1 1-^ h, ;B 0 3^ h et

;C 3 1-^ h, dans un repère orthonormé , ,i jO` j.

1 AB 12d n, AC 4

2-d n, donc AB AC 0$ = . Le triangle ABC

est rectangle en A.2 Le milieu I de BC6 @ a pour coordonnées ;

23 1c m, son

rayon est 25 . D’où son équation :

x y x y3 2 3 02 2+ - - - = .3 Une équation de la tangente à en A est x 1=- .

777 est le cercle de centre ;123

-X c m et de rayon 213 .

888 1 ◗ On a cos cos cos6

212

212

12#= = -r r r

donc cos12 4

2 32 = +r ; soit cos12 2

2 3=

+r .

◗ On en déduit sin12 2

2 3=

-r .

2 ◗ cos cos cos12

1112 12= - =-

r r r rd n

cos12

112

2 3=-

+r .

◗ sin sin sin12

1112 12 2

2 3= - = =

-r r r rd n .


999 ◗ On a :

F F P F F21

2325

A B A B2 2 2

$ = - - =-8 B ;

d’où cos AMBF FF F

11213

A B

A B#

$= =-

% ;

soit ,AMB 96 6c+% .

◗ cos AMHF P

P F F2 28

17A

A B2 2 2

#=

+ -=

% ;

d’où ,AMH 52 6c+% , donc Q ,A 37 4c- et par voie de

conséquence : QB 46c- .

Approfondissement

101010 La droite a pour vecteur directeur u 21-

d n. Le cercle

de centre A est tangent à en H tel que AH =^ h . Donc :

;M x y !^ h AH+ $ u 0= ; soit x y2 5 0+ - = .

En résolvant le système formé par les équations des deux

droites, on obtient ;H 025

c m et le rayon AH 2 5= .

111111 1 ◗ AB BC AB BC AB BC21 2 2 2$ = + - -_ i6 @,

soit AB BC AC AB BC21

2512 2 2$ = - - =-6 @ .

◗ I IA BC AB B BC AB BC BC21 2$ $ $= + = +^ h

IA BC251

21 64

213

$ #=- + =- .

2 IAG BC A BC32

313

$ $= =- .

121212

1 On conjecture que le lieu des points G est un cercle de centre K, milieu de OA6 @.

2 Dans le triangle OEF, le théorème de la médiane donne OF OE OG FG2 22 2 2 2+ = + ; donc OG FG 1002 2+ = . Comme AG FG= , on a OG AG 1002 2+ = .3 En utilisant le théorème de la médiane dans le triangle

GOK, GA GO GK AO22

2 2 22

+ = + ; donc GK 41= .

L ’ ensemble des points G est le cercle de centre K et de rayon 41.

(Voir la � gure ci-après.)


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E

F

A

K

O

G

131313 a, b et c sont trois réels non nuls. On considère les

points ;A aa1

c m, ;B bb1

c m, ;C cc1

c m.

On a ABb a

b a1 1

-

-f p. Soit d la hauteur issue de C dans le

triangle ABC.

;M x y d CM AB 0+ $! =^ h ; donc d a pour équa-

tion : x cab

yabc

1 1 0- - + = .

De même dl la hauteur issue de A a pour équation :

x abc

yabc

1 1 0- - + = .

Le système formé par ces deux équations a pour solu-

tion ;abc

abc1- -c m : ce sont les coordonnées du point

H.

L’orthocentre H du triangle ABC appartient à l’hyper-bole.

141414 ◗ Le triangle IJH est isocèle rectangle, donc ANE 45c= .◗ Le triangle ABF est équilatéral, donc la hauteur :

FM23

= .

On en déduit que HM HF FM 123

= - = - .

◗ AN AM MN AM HM2

3 3= + = + = - .

◗ Dans le triangle EAN, Q Qsin sinAN

EAE

N= , soit :

Qsin sinAN

E145

= .

Donc Qsin E4

3 2 6= - , soit Q ,E 26 63c+ ,

donc , ,EAB 180 45 26 63 108 37c+ - - =% .

Si le pentagone était régulier, on trouverait 108°.

C H A P I T R E

Statistiques

Livre du professeur - CHAPITRE 10 Statistiques 1

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Contenus Capacités attendues CommentairesStatistique descriptive, analyse de donnéesCaractéristiques de dispersion : variance, écart type.

◗ Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une série statistique : (moyenne, écart type) et (médiane, écart interquartile).

On utilise la calculatrice ou un logiciel pour déterminer la variance et l’écart type d’une série statistique.

Diagramme en boîte. ◗ Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries statis-tiques à l’aide d’un logiciel ou d’une calcula-trice.

Des travaux réalisés à l’aide d’un logiciel permettent de faire observer des exem-ples d’eff ets de structure lors du calcul de moyennes.


2. Intentions des auteursD’un point de vue mathématique, ce chapitre de statis-tiques introduit la variance et l’écart type, ainsi que la représentation en diagramme en boîte.Ce chapitre comporte peu de nouveautés par rapport à la classe de Seconde. L’accent a donc été mis sur la

variété des situations proposées, que ce soit en reliant les calculs à des problématiques concrètes ou en propo-sant des simulations. Il s’agit de développer l’habitude de la réfl exion et du raisonnement statistiques.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 10 Statistiques

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ObjectifIl s’agit de réactiver le vocabulaire et les formules de statistiques vus en Seconde, et de préparer l’introduc-tion de la variance.

A Série A B

Moyenne, à 0,01 près 8,62 11,29

Médiane 7 12

B 1 L’hypothèse revient à tester si on est en présence d’une loi binomiale de paramètres n 3 000= et ,p 0 5= .L’intervalle de fl uctuation au seuil de 95 % est donc :

, ; ,I 0 53 000

1 0 53 000

1= - +< F ;

soit , ; ,I 0 48 0 52= 6 @.On a observé une fréquence ,f

3 0001400 0 47.= .

La fréquence n’appartient pas à l’intervalle de fl uctua-tion. On peut donc rejeter l’hypothèse : le dé est sans doute truqué.2 On a observé une fréquence égale à :

,f3 0001200 0 40.= .

La probabilité de sortie d’un nombre pair se situe donc dans l’intervalle :

, ; , , ; ,I 0 43 000

1 0 43 000

1 0 38 0 42= - + =< 6F @.

C 1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux. 4 Faux.

D 1 a. Le minimum est atteint pour une valeur de x comprise entre 4 et 4,5.

x

y

1

5

0

�f

b. f est une fonction polynôme du second degré. Le coeffi cient de x2 est égal à 5, et celui de x est à :

2 4 3 5 8 1#- + + + +^ h.f atteint donc son minimum en

2 52 4 3 5 8 1

54 3 5 8 1

#

#-

- + + + +=

+ + + +^ ^h h

,4 2= .2 a. Le minimum est apparemment atteint en x 4= .

x

y

1

5

0

�g

b. On a placé les points A, B, C, D, E d’abscisses respec-tives 1, 3, 4, 5 et 8. On appelle M le point d’abscisse x.

1 3 5 862 4

A B D EC

7

M

On a g x MA MB MC MD ME= + + + +^ h .On place le point M en 6. Tout déplacement vers la droite augmente les distances aux points C, B et A d’une quan-tité d et diminue les distances aux points D et E d’une même quantité. Globalement g x^ h augmente donc de d .On obtient le même résultat si on se déplace vers la gauche. Le point C correspond donc à un minimum.3 La moyenne de la série est 4,2 et la médiane est 4. On retrouve les valeurs obtenues aux questions 1 et 2 .

ObjectifOn a privilégié des activités expérimentales basées sur des données réelles ou des simulations sur tableur pour faire découvrir les paramètres de dispersion.

ActivitéActivité 1 Découvrir la notion de variance3 a. On peut obtenir un écart moyen nul, alors que les valeurs réelles sont éloignées du nombre U choisi, du fait de la compensation des écarts.b. C’est le choix du c., car en élevant l’écart au carré, si l’erreur passe de a à 2a, le carré passe de a2 à a4 2, soit un facteur 4.

ActivitéActivité 2 Comparer deux couples d’indicateurs1 b. En B4 : =MOYENNE(B1 :U1)En B5 : =ECARTYPE(B1 :U1)En B7 : =MEDIANE (B1 :U1)En B8 : =QUARTILE(B1 :U1 ;1)En B9 : =QUARTILE(B1 :U1 ;3)En B10 : =B9-B8c. Les salaires sont plutôt resserrés (écart interquartile faible).2 a.

b. La moyenne des salaires augmente, alors que l’inter-valle interquartile reste identique. Cependant, la grande majorité des salaires n’a pas évolué, ce qui, du fait de l’in-fl ation, représente une perte de pouvoir d’achat.


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ActivitéActivité 3 Un résumé graphique : le diagramme en boîte1 a. Minimum : 20,60 ; maximum : 21,65 ; médiane : 20,95.

2 a. La médiane correspond au centile 50 : 25 309 €.Le premier quartile au centile 25 : 20 096 €.Le troisième quartile au centile 75 : 34 796 €.b.

20 00015 000 25 000

30 00035 000

40 00045 000

50 00055 000

Salaires (en €)

ActivitéActivité 4 Comparer trois séries statistiques1 Méthode A : =ENT(ALEA()*4+1)+ ENT(ALEA()*4+1)+ ENT(ALEA()*4+1)+ ENT(ALEA()*4+1)+ ENT(ALEA()*4+1)

Méthode B : = ENT(ALEA()*6+1)+ ENT(ALEA()*6+1)+ ENT(ALEA()*6+1)+2

Méthode C : =ENT(16*ALEA()+1)+4

3 Il y a visiblement équiprobabilité pour les issues correspondant à la méthode C.


Représenter une série statistique par un diagramme en boîte

d1 Q1 Med Q3 d9

Série A 2,5 5,3 15 27 60Série B 12 17 26 46 67

On a d 441 = et d 549 = ; Med 49= ; Q 471 = et Q 523 = .

44 4642 48 52 5450 50 56

Taille (cm)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

série B

série A

1 Le minimum de la série est 0,5 m et le maximum 2,5 m, le premier décile d1 est égal à 0,8 m et le neuvième décile d9 à 2. Le premier quartile est égal à 0,8 m et le troisième à 1,8 m. La médiane est égale à 1,6 m.2 a. Au moins 75 % des jours, soit 60 jours.b. 10 % des jours, soit 8 jours.c. 65 % des jours, soit 52 jours.

Calculer et utiliser un écart type

a. Moyenne : 10, écart type : 3.b. Moyenne : 104, écart type 2,81.

Série A : Moyenne : 11,17 et écart type : 5,6.Série B : Moyenne 11,1 et écart type : 5,59.Ces deux séries ont des dispersions comparables.

Les bandes de BollingerÉtape 1tape 1

La ligne bleue représente la moyenne mobile des cours sur 20 jours, ce qui permet de « lisser » les évolutions de l’action. Les deux bandes vertes représentent les trans-lations de la bande verte de deux écarts types.Étape 2tape 2

En E21, on a entré : =ECARTYPE(B2 :B21)En D21, on a entré : =MOYENNE(B2 :B21)En E21 : =D21-2*E21 et en F21 : = D21+2*E21

Effet d’une fonction affine sur les paramè-tres statistiques1 Paramètres :moyenne : 10,11 ; écart type : 4,92 ;médiane : 9,5 ; Q 61 = ; Q 143 = ; Q Q 83 1- = .2 Ce système permet en particulier à toutes les stations d’affi cher des notes au-dessus de 50.3 a. f 0 50=^ h et f 20 100=^ h , d’où , .f x x2 5 50= +^ h

b. Nouvelle série ordonnée :52,5-55-62,5-65-65-67,5-70-72,5-72,5-75-80-82,5-85-85-87,5-90-92,5-95.c. Moyenne : 75,28 ; écart type : 12,30 ; médiane : 73,75 ; Q 651 = ; Q 853 = ; Q Q 203 1- = .4 Moyenne, médiane, premier et troisième quartile ont subi la même transformation affi ne.L’écart type et l’intervalle interquartile ont été multi-pliés par 2,5.Moyenne, médiane, Q1 et Q3 subissent la transformation affi ne, tandis que l’écart type et l’intervalle interquartile sont multipliés par a.5 Démonstration2a 0, donc f est croissante, elle conserve l’ordre ; la

médiane et les quartiles de la série transformée sont


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donc les images par f de la médiane et des quartiles de la série de départ. D’où le résultat également pour l’intervalle interquartile.Pour la moyenne :

nax b ax b ax b ax

nnbn1 2 f+ + + + + +

= +

ax b= + .Pour l’écart type, en utilisant le résultat précédent :V ax b ax b ax b ax bn1

2 2f= + - + + + + - +^ ^h h

V a x x a ax x an2

12 2 2 2f= - + + - =^ ^h h .

D’où le résultat, puisque 2a 0.

Un défi : minimiser une somme de distances – ModéliserMéthode 1 : analytiqueOn défi nit un repère orthonormé associé au quadrillage.La distance entre deux points ,M x y^ h et ,N x yl l^ h peut s’exprimer par la formule :

,D M N x x y y= - + -l l^ h .On doit donc minimiser une somme du type :

x x x x y y y yA B A Cf f- + - + + - + + - .Il suffi t donc de prendre pour abscisse de M la médiane des abscisses de A, B, C, D, E, c’est-à-dire l’abscisse de C, et pour ordonnée la médiane des ordonnées, c’est-à-dire celle de A.Méthode 2 : on construit la droite horizontale passant par A et la verticale passant par B. On appelle M le point d’intersection. Tout déplacement à partir du point M augmente globalement la somme des distances. Ce point correspond donc à la somme minimale.Généralisation : Les deux méthodes précédentes s’ap-pliquent dès qu’on a un nombre impair de points.

1 a. et b. 2 b. et c. 3 a. et c.

1 b. et c. 2 b. 3 a. et c.

1 Faux. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai.




1 Quartiles, déciles

1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai.4 Vrai. 5 Faux, elle peut l’être.6 Faux, elle peut en contenir 17, 18, 19 ou 20.

1 Moyenne : 270,9 ; médiane : 270 ;Q1 : 260 et Q3 : 300.2 Il suffi t d’augmenter la valeur d’une maison de 110 100 11000# = milliers euros.3 a. Non.b. La médiane étant la sixième valeur, on ne peut faire mieux que 280 000 euros, soit une augmentation de 10 000 euros.4 Oui. Si la valeur de l’une des maisons passe de 270 à 260, et celle d’une autre de 270 à 280, seule la médiane sera changée, passant à 280 000 euros.

1 a. 80 ont eu au moins 10, 40 au moins 14.b. On sait que 16 candidats ont obtenu une note infé-rieure ou égale à 5, mais on ne peut pas dire combien ont eu une note strictement inférieure à 5, sauf à supposer que tous les candidats ont eu des notes diff érentes.2 a. n 14G : 75%. b. 25 %. c. 40 %.3 16 8 12- = .

2 Diagramme en boîte

1 c. 2 b. 3 c. 4 a.

1 Vrai.2 Vrai si les extrémités représentent les extrema, faux s’il s’agit des déciles.3 Vrai. 4 Faux.5 Faux, car c’est faux pour les femmes comme pour les hommes.

On peut déduire de l’énoncé qu’un carreau repré-sente deux unités. Le troisième quartile est donc égal à 14 et le neuvième décile à 21.

Q1 Med Q3

Série A 7 10 13

Série B 11 12 16

Les salaires médians sont identiques, mais l’entre-prise E2 a un premier quartile et un deuxième quartile nettement supérieurs à la première. Toutefois, l’écart inter-décile est supérieur dans la deuxième entreprise, le premier décile étant plus faible, et le dernier décile plus élevé.

700500 900 1 200

Type A

Durée (h)

Q1 Q3d1

1 400d9Med


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700500 900 1 200

Type B

Durée (h)

Q1 Q3d1

1 500d9Med

Ces deux échantillons ont même médiane, même quar-tile. Seul le décile d9 varie : le type B possède plus d’am-poules ayant une durée de vie très longue.

1

2010

100

2030405060708090

100

30 40 50 60 x

y

d1 Q1 Q3 d9Med

On peut par exemple utiliser les fréquences cumulées croissantes :médiane : 24,7 ; d1 : 12,8 ; Q1 : 16,9 ; Q3 : 34,4 ; d9 : 47,5.2

2010 30 40 50 60Q1 Q3d1 d9Med

7,576,56 8 8,5 9

Note

Poutre

Q1 Q3d1 Med d9

7,576,56 8 8,5 9

Note

Barres

Q1 Q3d1 d9Med

7,576,56 8 8,5 9

Note

Saut

Q1 Q3d1 d9Med

7,576,56 8 8,5 9

Note

Sol

Q1 Q3d1 d9Med

De tous les exercices, le saut est celui qui est globale-ment le moins bien réussi.Au sol, l’écart inter-décile est fort, et la médiane décalée vers la gauche : il y a donc une minorité de notes beau-coup plus élevées que les autres.Les barres possèdent une médiane plus élevée que la poutre, mais l’intervalle interquartile est plus élevé.

3 Variance et écart type

1 Vrai, car c’est une somme de carrés.2 Faux : cela signifi e que tous les termes de la série sont égaux.3 Faux, car les écarts se compensent.4 Faux (tous les termes sont égaux).5 Faux : on peut imaginer une série de 100 valeurs nulles et une valeur égale à 100.

1 c. 2 c.

1 ,x 10 44= et ,s 3 37. .2 Il y a 8 valeurs, soit une fréquence pourcentage de 0,32.

2 Écart type : 1,36 (à 0,01 près).

Moyenne Écart typeSérie A 4,68 3,02Série B 12,91 3,52

1 Moyenne : 3,93 ; écart type : 1,10.2 Il y a 17 valeurs, soit 17 % de l’eff ectif.

Moyenne : 8,86 ; écart type : 3,67.

1 Moyenne : 99,80 ; écart type : 2,39.2 Il n’y a qu’une valeur, soit 1,8 %.

1 a. 500 soustractions, 500 mises au carré, 500 addi-tions et une division, soit 1 501 opérations.b. 501 mises au carré, 501 additions et une division, soit 1 003 opérations.2 a. S contient la somme des valeurs, et X la somme des carrés.b. Fin de l’algorithme :

ALGO

Entrer X^ h

S ! S X+ ; C ! C X X#+

FinPour ;Affi cher (« la moyenne est » ; S/N)Affi cher (« l’écart-type est » ; racine((C-(S/N)²)/N))


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Salle A : écart type de 20,8.Salle B : écart type de 23,7 : la dispersion est plus forte.

1 Moyenne : 41,6 ; écart type : 36,1.2 Il y a 12 valeurs, soit 3,3 %.

Démonstration de cours

1 f xn

x xx x x xx x2 2n n12

12 2 2f

=- + + + - +

^ h

f xn

nx xn

x xn

x x2 n n2

1 12 2

f f= -

+ ++

+ +^ dh n .

2 Voir 1 .

3 Le trinôme admet un minimum en a

b2- , c’est-à-dire

en x .Le minimum est alors égal à la variance.

1 a.

Classes Eff ectif[1 000 ; 1 200[ 120[1 200 ; 1 400[ 80[1 400 ; 1 600[ 80[1 600 ; 1 800[ 80[1 800 ; 2 000[ 240[2 000 ; 2 200[ 200[2 200 ; 2 400[ 40[2 400 ; 2 600[ 40[2 600 ; 2 800[ 40

b. Écart type : 428,652.2 a.

Classes Eff ectif Classes Eff ectif[1 000 ; 1 050[ 30 [1 900 ; 1 950[ 60[1 050 ; 1 100[ 30 [1 950 ; 2 000[ 60[1 100 ; 1 150[ 30 [2 000 ; 2 050[ 50[1 150 ; 1 200[ 30 [2 050 ; 2 100[ 50[1 200 ; 1 250[ 20 [2 100 ; 2 150[ 50[1 250 ; 1 300[ 20 [2 150 ; 2 200[ 50[1 300 ; 1 350[ 20 [2 200 ; 2 250[ 10[1 350 ; 1 400[ 20 [2 250 ; 2 300[ 10[1 400 ; 1 450[ 20 [2 300 ; 2 350[ 10[1 450 ; 1 500[ 20 [2 350 ; 2 400[ 10[1 500 ; 1 550[ 20 [2 400 ; 2 450[ 10[1 550 ; 1 600[ 20 [2 450 ; 2 500[ 10[1 600 ; 1 650[ 20 [2 500 ; 2 550[ 10[1 650 ; 1 700[ 20 [2 550 ; 2 600[ 10[1 700 ; 1 750[ 20 [2 600 ; 2 650[ 10[1 750 ; 1 800[ 20 [2 650 ; 2 700[ 10[1 800 ; 1 850[ 60 [2 700 ; 2 750[ 10[1 850 ; 1 900[ 60 [2 750 ; 2 800[ 10

b. Écart type : 432,28.

Problèmes

1 a.

Valeur 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 1502008 2 3 3 4 5 7 5 5 3 3 02010 0 3 3 4 5 7 5 5 3 3 2

b. et c. Il y a a priori peu d’évolution, mais la moyenne est passée de 98 à 103 et la médiane de 100 à 100. La moyenne a augmenté de 3 %.2

Valeur 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 1502008 4 5 6 4 1 1 4 5 6 2 22010 4 5 6 4 0 0 6 5 6 2 2

Au vu des deux tableaux, il y a peu d’évolution. La moyenne est passée de 95,75 à 96,5 et la médiane de 95 à 110. La médiane a donc augmenté de 15 %, contre moins de 1 % pour la moyenne : la moyenne est plus robuste.3 La distribution des valeurs dans la ville de Joli-Bois est bimodale, avec un trou aux alentours de la médiane, tandis que celle de Ville-Belle est fortement regroupée autour de la moyenne, avec peu de valeurs extrêmes.

1 et 2 .

Moyenne Écart type Médiane Q Q3 1-

1 10 1,5 10 32 a. 9,8 2,6 10 4b. 2 % 73 % 0 % 33 %

3 C’est le couple médiane/intervalle interquartile.

Catégorie par catégorie, les salariés de SILOR sont mieux payés que ceux de SOLIR. Mais comme l’entre-prise SOLIR compte proportionnellement plus de cadres que l’entreprise SILOR, le salaire moyen des salariés de SILOR est plus élevé (2 478 contre 22 485).

1 Moyenne : 10,38 ; médiane : 10 ; médienne : 10,19.2 ◗ Si 1x M , on a : 1V x V M x V MM M# #+ +^ h.D’où 1M x .◗ Si 2x M , on a : 2V x V M x V MM M# #+ +^ h.D’où 2M x◗ Si x M= , on a M x= .3

Joli-Bois Ville-Belle2008 95,4 1002010 95,8 101,6Variation 0,4 % 1,6 %

La médienne est aussi robuste dans chacun des deux cas. Elle est donc insensible aux petites modifi cations de la série, quelle que soit la structure initiale de cette série.


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2 b. =NB.SI(B504:CW504;»<»& B507-4,5*B508)+NB.SI(B504:CW504;»>»& B507+4,5*B508)c. Le premier type d’intervalle laisse échapper une dizaine de valeurs, tandis que le deuxième contient quasiment tout le temps toutes les valeurs.d. La première garantit la qualité de 80 à 90 % des pièces, tandis que la deuxième garantit quasiment 100 % des pièces.

1 a.

Groupe Naissance 4 ans 11 ansMoyenne 45 98 138Ecart type 3,55 3,92 4,45

b. Le groupe des enfants de 11 ans.2 a. C’est le calcul qui apparaît le plus pertinent.b. On obtient les résultats suivants :groupe « naissance » : 8 % ; 4 ans : 4 % ; 11 ans : 3 %.C’est donc le groupe Naissance qui a la plus forte disper-sion relative.

1 Lettre F :

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550

Occurrence

Lettre F

Q1 Q3Med

Moyenne : 192.Lettre K :

0 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800

Occurrence

Q1 Q3Med

Lettre K

Moyenne : 638.Lettre Z :

0 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800

Occurrence

Q1 Q3Med

Lettre Z

Moyenne : 448.2 On peut regrouper le français et l’italien, qui sont aux alentours de la médiane pour le F, et au premier quartile pour le K.On peut regrouper le tchèque et le slovène, qui ont quasiment les mêmes résultats.Enfi n, le néerlandais et l’allemand sont au-delà du troi-sième quartile pour le F, et aux alentours de la médiane pour le Z.


Moyenne MédianeSérie 1 5,6 5,5Série 2 14,3 15

1

Nombre 0 1 2 3 4Eff ectif 80 90 46 20 8Fréquence (%) 32 36 18,4 8 3,2

Fréquences cumulées 32 68 86,4 94,4 97,6

Nombre 5 6 7 8Eff ectif 3 1 1 1Fréquence (%) 1,2 0,4 0,4 0,4

Fréquences cumulées 98,8 99,2 99,6 100

2 94,4 %.3 La médiane est 1 : 50 % des élèves au moins ont au plus un frère ou une sœur.Q 01 = et Q 23 = .


1 Q 341 = ; Med ,50 5= ; Q 773 = .2 d 101 = ; d 909 = .3

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

NoteQ1d1 d9Q3Med

a. ,m 3 25= .

Valeur Eff ectif Résidu0 9 10,56251 1 5,06252 9 1,56253 6 0,06254 2 0,56255 1 3,06256 7 7,56257 2 14,06258 3 22,5625

b. Moyenne des résidus pondérés par les eff ectifs : c’est

la variance : ,V40

130 6 6875= = .

D’où un écart type : , ,s 32 5 2 6.= .


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1 et 2 .

Moyenne Écart type DispersionÉchantillon 1 153,28 4,41 2,9 %Échantillon 2 83,28 4,41 5,3 %

Approfondissement

Partie B1i B x m tsi+! - ou 2x m tsi +

D’où le résultat

.sN

n x m

N

n x m

N

n tsi ii i i

n

i iB

iB2

2

1

2 2

H H=

- -! !=

^ ^ ^h h h! ! !

D’où, en divisant par s t2 2# :

t N

n1

ii B

2 G !

!

On obtient donc que la proportion de valeurs située en dehors de l’intervalle ,m ts ms ts- +6 @ est inférieure ou égale à

t12 .

C H A P I T R E

Probabilités

Livre du professeur - CHAPITRE 11 Probabilités 1

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Contenus Capacités attendues CommentairesProbabilitésVariable aléatoire discrète et loi de probabilité. Espérance, variance et écart type.

◗ Déterminer et exploiter la loi d’une variable aléatoire.◗ Interpréter l’espérance comme valeur moyenne dans le cas d’un grand nombre de répétitions.

À l’aide de simulations et d’une approche heuristique de la loi des grands nombres, on fait le lien avec la moyenne et la variance d’une série de données.

On exploite les fonctionnalités de la calculatrice ou d’un logiciel pour déter-miner l’espérance, la variance et l’écart type d’une variable aléatoire.

On démontre les formules suivantes sur l’espérance et la variance :E aX b aE X b+ = +_ _i i

et V aX a V X2=^ ^h h.Plusieurs démonstrations, ayant valeur de modèle, sont repérées par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent à des capacités attendues. De même, les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole .

2. Intentions des auteursLa notion de probabilité déjà mise en place au collège a été renforcée en classe de Seconde. Dans ce chapitre, on introduit la notion de variable aléatoire et de loi de probabilité d’une variable aléatoire. On modélise ainsi des situations aléatoires et on propose un traitement probabiliste. Les notions d’espérance mathématique, de variance et d’écart type sont mises en place. La répétition d’expé-riences aléatoires identiques et indépendantes permet d’étudier des situations utilisant des arbres ou d’autres modes de modélisation (tableaux…).Conformément au programme, l’utilisation des outils informatiques est largement développée.

Du point de vue mathématique :– on défi nit une variable aléatoire discrète et on met en place la loi de cette variable ;– on défi nit l’espérance, la variance et l’écart type d’une variable aléatoire, ainsi que l’interprétation de l’espé-rance ;– l’apport des outils informatiques, comme le tableur, permet l’étude de diff érentes situations issues de la répétition d’expériences indépendantes et identiques.

2 Livre du professeur - CHAPITRE 11 Probabilités

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A ObjectifProposer un vrai-faux pour remettre en place une partie du vocabulaire des probabilités et les calculs de base.1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.

B ObjectifRéinvestissement de la formule vue en Seconde sur la proba-bilité de l’intersection ou la réunion de deux événements.

1 AP1710

=^ h ; AP177

=^ h ; P B171

=^ h ; CP21

=^ h .

2 A B+ est l’événement : « obtenir la boule blanche numérotée 1 ».A C, est l’événement : « obtenir une boule blanche ou une boule qui porte un numéro pair ».3 A BP

341+ =^ h ; A CP

3427, =^ h .

4 B C+ est l’événement : « obtenir une bille numérotée 1 et portant un numéro pair ». Cet événement est impos-sible. Les événements B et C sont incompatibles.5 B C B CP P P

342

3417

3419, = + = + =^ ^ ^h h h .

C ObjectifApproche de la notion de variable aléatoire dans un cas très simple.1 On appelle respectivement B, R, V et S les événements qui correspondent à l’obtention des couleurs bleu, rouge, vert et rose.

BP101

=^ h ; P R103

=^ h ; P V104

=^ h ; P S102

=^ h .

2 On appelle X la variable aléatoire égale au gain.

Couleur Bleu Rouge Vert RoseGain 10 - 3 - 5 5

B ,P X P10 0 1= = =^ ^h h .3 La probabilité de gagner de l’argent est égale à

1B S ,P P 0 331

+ =^ ^h h .

Marie a eff ectivement moins d’une chance sur trois de gagner de l’argent.

ActivitéActivité 1 Une variable aléatoire à partir du lancer de deux pièces de monnaieObjectifMise en place de la notion de variable aléatoire à l’aide d’un jet de pièces et de gains.

1 Les quatre issues sont PP, PF, FP, FF.

2 On utilise la commande ALEA.ENRE.BORNES(0 ;1) pour obtenir au hasard 0 ou 1 (0 pour face et 1 pour pile).Puis avec la commande SI on aff ecte la valeur - 1 si la cel-lule contient la valeur 0 et 2 si la cellule contient la valeur 1.

3 L’issue PP correspond au gain 4, les issues PF et FP au gain 1 et l’issue FF au gain - 2.

4 La probabilité de gagner 4 € est égale à 41 comme

celle de perdre 2 €, la probabilité de gagner 1 € est égale à

21 .

ActivitéActivité 2 Déterminer un gain moyen à l’aide de probabilitésObjectifMise en place de la notion d’espérance mathématique à l’aide d’un gain moyen lié à un jeu.

1 Slimane : 85 40 25# = €.

Luca : 83 40 15# = €.

2 Avec 100 fi ns de partie :Slimane : , ,0 87 40 34 80# = € ;Luca : , ,0 13 40 5 20# = €.Avec 10 000 fi ns de partie :Slimane : , ,0 874 7 40 34 99# . € ;Luca : , ,0 125 3 40 5 01# . €.

3 S SS

LL

SL

L

La probabilité sur chaque branche de l’arbre est 21 . Donc

la probabilité que Luca gagne est égale à 21

813

=c m ,

celle que Slimane gagne est donc 87 .

Part de Slimane : 87 40 35# = €.

Part de Luca : 81 40 5# = €.

ActivitéActivité 3 Un jeu de dés : de la moyenne à l’espérance de gainObjectifApproche de la notion d’espérance mathématique à l’aide du tableur.

1 2 3 Pour la simulation de 100 lancers, le gain moyen est proche de 0.

4 a. On utilise la commande NB.SI pour dénombrer les cellules contenant 1 et celles contenant - 5.Si on appelle f1 et f2 les deux fréquences, la moyenne s’obtient par : f f1 51 2# #+ -^ h .Avec le cas exposé sur la feuille de calcul, on a bien :

, , ,1 0 84 5 0 16 0 04# #+ - =^ h .

b. p65

1 = ; p61

2 = ;

E 165 5

61 0# #= + - =^ h .

c. En moyenne, on gagne 0 € à ce jeu si l’on joue un grand nombre de fois.


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ActivitéActivité 4 Propriétés de la moyenneObjectifRéinvestissement des propriétés de la moyenne d’une série statistique.

Partie A1 La moyenne est 10. 2 La moyenne est 50.

3 La moyenne est 11.

Partie B - Généralisation1 La nouvelle moyenne est multipliée par a :

Nn ax n axp p1 1# #f+ +

aN

n x n xp p1 1#

# #f=

+ +.

2 La nouvelle moyenne est augmentée de b :

Nn x b n x bp p1 1# #g+ + + +^ ^h h

Nn x n x

NNbp p1 1# #f

=+ +

+ .

3 Non, dans l’exemple du A par exemple, la moyenne devient 115,56.


Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire

1 Valeurs prises par X :

1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 8 10 12

3 3 6 9 12 15 18

4 4 8 12 16 20 24

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30 362 Loi de probabilité de X :

Valeur de X 1 2 3 4 5 6 8 9 10

Probabilité 361

362

362

363

362

364

362

361

362

Valeur de X 12 15 16 18 20 24 25 30 36

Probabilité 364

362

361

362

362

362

361

362

361

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1

2 1 0 1 0 1 0

3 1 1 0 1 1 0

4 1 0 1 0 1 0

5 1 1 1 1 0 1

6 1 0 0 0 1 0

Loi de probabilité de X :

Valeur de X 0 1

Probabilité 3613

3623

On a , ,p p4 0 6 1 0 11 1++ = = .Donc ,p 0 22 = ; ,p 0 33 = ; ,p 0 44 = .

Loi de probabilité de X :

Valeur de X 0 1

Probabilité 41

43

Calculer l’espérance d’une variable aléatoire, sa variance et son écart type

1,

, , ,,

,p qp q

p qp q

0 6 12 1 5 0 4 2 6

0 42 0 7

++ + =

+ + + =

+ =

+ =* * .

On obtient : ,p 0 1= ; ,q 0 3= .2 ,V X 0 64=^ h ; ,0 8=v .

On défi nit la variable aléatoire 1,5X., , ,E X E X1 5 1 5 3 9#= =^ ^h h ;

, , ,V X V X1 5 1 5 1 442 #= =^ ^h h ;

, ,1 44 1 2= =vl (on remarque que ,1 5=v vl ).

Problème du « Grand Duc de Toscane »Étape 1tape 1

On obtient 9 de six façons :1 2 6 1 3 5 1 4 4 2 2 5+ + = + + = + + = + +

2 3 4 3 3 3 9= + + = + + = .

On obtient 10 de six façons également :1 3 6 1 4 5 2 2 6 2 3 5+ + = + + = + + = + +

2 4 4 3 3 4 10= + + = + + = .Sur le tableur, on utilise les commandes ALEA.ENTRE.BORNES(1,6) puis NB.SI avec la plage de cellules concer-nées.

Voici un extrait de feuille de calcul simulant 1 000 lancers des trois dés.


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Étape 2tape 2

On réalise un arbre avec 6 branches à partir de la racine qui représentera 6 2163 = issues.Pour la somme égale à 9 :– chacun des trois cas formés de chiff res distincts deux à deux apparaît 6 fois en parcourant l’arbre ;– chacun des deux cas où deux chiff res identiques appa-raissent apparaît 3 fois ;– le cas formé de trois chiff res identiques apparaît une fois.Dans l’arbre, les six sommes égales à 9 correspondent donc à :

3 6 2 3 1 25# #+ + = issues.

P X 921625

= =^ h .

Pour la somme égale à 10, il y a 3 cas avec des chiff res distincts deux à deux et trois cas avec deux chiff res égaux.Dans l’arbre, les six sommes égales à 10 correspondent donc à :

3 6 3 3 27# #+ = issues.

P X 1021627

= =^ h .

Il est plus probable d’obtenir 10 comme somme que 9.

Répondre au hasard à un QCM1 Pour chaque réponse, la probabilité de répondre

correctement est 31 .

2 ALEA()+1/3 donne un nombre au hasard entre 31 et

34 . La partie entière de ce nombre sera donc 0 dans deux

tiers des cas et 1 dans un tiers des cas, d’où la réponse.3 Voici un exemple obtenu par simulation :

4 Dans ce cas, la probabilité d’avoir au moins trois bonnes réponses est : , , , ,0 174 0 054 0 006 0 234+ + = .C’est Fatou qui semble avoir raison.

Harmonisation de notes1 V aX b p ax b E aX bi

ii

n2

1+ = + - +

=

^ ^^h hh!

p ax b aE X bi ii

n2

1= + - -

=

^^ h h!

a p x E X a V Xi ii

n2 2

1

2= - ==

^^ ^hh h! .

2 ,E X 4 371 =^ h ; ,V X 3 05311 =^ h .

,E X 3 322 =^ h ; ,V X 3 67762 =^ h .3 a. ,E aX b aE X b a b4 37 51 1+ = + = + =^ ^h h ;

,V aX b a V X a3 0531 112

12+ = = =^ ^h h .

Donc ,

a3 0531

12 = ; ,a 0 57. et ,b 2 51. .

,E cX d cE X d c d3 32 52 2+ = + = + =^ ^h h ;

,V cX d c V X c3 6776 122

22+ = = =^ ^h h .

Donc ,

c3 6776

12 = ; ,c 0 52. et ,d 3 27. .

b. Nouvelle note de Samia : , , ,0 57 3 2 51 4 22# + = .Nouvelle note de Marie-Reine : , , ,0 52 4 3 27 5 35# + = .

1 b. et c. 2 c. 3 a. et b. 4 a. 5 b.

1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5

2 0 0 1 2 3 4

3 0 0 0 1 2 3

4 0 0 0 0 1 2

5 0 0 0 0 0 1

6 0 0 0 0 0 01 c. 2 a. 3 a. 4 c. 5 b.

1 Vrai. 2 Faux. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Vrai. 6 Vrai.


1 Variable aléatoire et loi de probabilité

a. Vrai. b. Vrai. c. Faux. d. Vrai. e. Vrai.

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Vrai.

1 Vrai. 2 Vrai. 3 Faux. 4 Vrai. 5 Faux.

1 Les valeurs prises par X sont : 0 ; 1 ; 2.2 Valeur de X 0 1 2

Probabilité 1811

185

182

Tableau 1 : non, car la somme des probabilités n’est pas égale à 1.Tableau 2 : oui, car la somme des probabilités est égale à 1.Tableau 3 : non, car la somme des probabilités est supé-rieure à 1.


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Tableau 4 : non, car une probabilité ne peut pas être négative.

Valeur de X 550 600 750

Probabilité 32

121

127

1 La situation correspond à un tirage de trois cartons avec remise. En esquissant éventuellement un arbre, on s’aperçoit qu’on peut faire 5 5 5 125# # = mots diff é-rents.2

1251 . 3

51 .

4 12524 , car il y a 4 3 2 24# # = branches de l’arbre

qui ne contiennent pas la lettre A.

1

N° 1 N° 2

51

1 2 3 4 5 1 2 3

2 AP21

=^ h ; BP21

51

101

#= =^ h ;

CP101

61

154

= + =^ h .

3 Valeur de X 1 2 3 4 5

Probabilité 154

154

154

101

101

2 Espérance, variance, écart type

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Faux.

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai. 5 Faux.

E X1619

=^ h ; ,V X 4 65.^ h ; ,2 16.v .

E X 0=^ h ; V X9

1200=^ h ; ,11 54.v .

On a :, , , , ,E X x2 0 15 1 0 2 0 25 2 0 3 0 1# # #= - + - + + +^ ^ ^h h h

, ,E X x0 35 0 1= +^ h .On veut E X 1=^ h . Donc , , x0 35 0 1 1+ = .D’où : ,x 6 5= .

, ,p p p p0 69 1 0 31 02 2++ + = + - = que l’on résout avec le discriminant.

On obtient , ,p2

1 2 24 0 25.=- + .

On a , , , , ,p 1 0 1 0 25 0 4 0 2 0 05= - + + + =^ h ;donc : , , , , ,E X x0 05 0 2 0 25 0 4 0 4= - - + +^ h

, ,E x x0 05 0 35= +^ h .On résout fi nalement :

, , ,,,x x0 05 0 35 0 5

0 050 15 3++ = = = .

On a le système suivant : ,

, ,,

,p q

p qp q

p q0 7

0 2 5 8 1 5 60 7

5 8 4 4+

+ =

+ + + =

+ =

+ =* * .

La résolution du système (par substitution par exemple) donne ,p 0 4= et ,q 0 3= .

2E X a3

0=^ h , donc 2a 0.

,V X a a6

9 59 36

652 2=

+- =^ h .

On obtient a a a6 57 4 65 42 2 2++ - = = .Comme a est positif, on a fi nalement a 2= .

1 D’après l’énoncé P X 662

= =^ h

et P X P X P X P X1 2 3 4= = = = = = =^ ^ ^ ^h h h h

P X a5= = =^ h .Mais la somme des probabilités doit être égale à 1. Donc

a562 1+ = .

D’où : a564

= . D’où : a304

152

= = .

On obtient donc la loi suivante pour X :

x 1 2 3 4 5 6

P X x=^ h 152

152

152

152

152

62

2 Par hypothèse, la probabilité de sortie du 6 est de

62

155

= . Elle est donc nettement plus élevée que celle

des autres chiff res.3 E X 4=^ h .

1 On a P X 621

= =^ h et on note P X p1= =^ h .

Alors p p p p p2 3 4 521

+ + + + =

donc p p1521

301+= = .

On a donc la loi de X :

x 1 2 3 4 5 6

P X x=^ h 301

302

303

304

305

21

1 L’événement « gagner au moins 5 € » peut se noter P G 5H^ h :P G P G5 1 0H = - =^ ^h h

, ,P G 5 1 0 6 0 4H = - =^ h .2 P G P G100 1 500G = - =^ ^h h

, , .P G 100 1 0 025 0 975G = - =^ h

, .P G P G P G P G10 10 100 500 0 2H = = + = + = =^ ^ ^ ^h h h h

3 , , ,P G10 100 0 1 0 075 0 175G G = + =^ h .4 En comptant le prix du billet, on défi nit une nouvelle variable aléatoire H par :

Valeur de H - 15 - 10 - 5 85 485Probabilité 0,6 0,2 0,1 0,075 0,025

L’espérance de H est E H 7=^ h . En moyenne, les joueurs gagneront 7 € par loterie sur un grand nombre de lote-ries. L’organisateur va perdre de l’argent.

21

21

31


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1 On appelle a la mise du joueur. Le gain est la variable aléatoire X qui suit la loi suivante :

x 36a - a

P X x=^ h 371

3736

E X 0=^ h .2 Il y a 36 35# cas possibles.Parmi eux, 2 35 70# = contiennent le numéro sorti. Le gain est la variable aléatoire X qui suit la loi suivante :

x 18a - a

P X x=^ h 181

1817

E X a18=^ h .

1 Valeur de X a 0 5 8

8 Probabilité 3018

306

304

302

2 E X a a30

183036 0 2+= + = =-^ h .

La compagnie d’assurance doit prévoir de débourser ,100 000 0 00177 177# = € par an pour cet assuré. Elle

devra donc lui demander 227 € par an pour faire un bénéfi ce de 50 €.

On va appeler X le gain du client à la fi n du procès, une fois payés les frais d’avocat.• Si le client choisit le premier avocat, X suivra la loi suivante :

x 88 000 - 12 000P X x=^ h 0,75 0,25

D’où , ,E X 0 75 88 000 0 25 12 000 63 000# #= - =^ h .• Si le client choisit le deuxième avocat, X suivra la loi suivante :

x 70 000 0P X x=^ h 0,75 0,25

D’où , ,E X 0 75 70 000 0 25 0 52 500# #= - =^ h .L’espérance de gain est donc plus forte avec le deuxième avocat.

Propriétés de l’espérance et de la variance


1 a. 2 a. 3 b. 4 c.

1 On a E X 3=^ h ; V X9

12=^ h et ,1 15.v .

2 a. On est en présence de la variable aléatoire Y X2= .

Donc E Y E X2 6= =^ ^h h et V Y V X29

482 #= =^ ^h h .

D’où : ,2 31.v .b. On a cette fois-ci : Y X5=- .Donc E Y E X5 15=- =-^ ^h h

et V Y V X59

3002 #= - =^ ^ ^h h h .

D’où : ,5 77.v .

1 On lance trois pièces de monnaie bien équili-brées. Si l’on obtient trois fois pile on gagne 15 €, si l’on obtient une fois face on gagne 10 €, si l’on obtient une fois pile on gagne 5 €, si l’on obtient trois fois face on ne gagne rien.

2 ,E X8

60 7 5= =^ h .

3 a. ,E X E X3 3 10 5+ = + =^ ^h h .b. , ,E X E X7 5 7 5 0- = - =^ ^h h .

Valeur de X x1 x2 f xn

8 Probabilité n1

n1

f n1

E Xnx

nx

nx xn1 2 f= + + + =^ h .

1 V X p x E Xi ii

n2

0= -

=

^ ^^h hh!

V X p x x E X E X2i i ii

n 2 2

0= - +

=

^ ^ ^^^h h hh h! .

V X p x E X p x E X p2i ii ii

n nn2

0

2

00i i i= - +

= ==

^ ^ ^^h h hh! !!

V X p x E X E X E X2 1i

n 2 2

0i i #= - +

=

^ ^ ^ ^^h h h hh! .

2 On a donc :

V X p x E X E X E X2 1i ii

n 2

0

2 #= - +=

^ ^ ^ ^^h h h hh!

V X p x E Xi ii

n 2 2

0= -

=

^ ^^h hh! .

1 Le nombre moyen de bonnes réponses est 3,425. L’écart type est environ 2,21.2 a. Si on appelle a le nombre de bonnes réponses, le candidat a donc a8 - mauvaises réponses.Sa nouvelle note est , ,a a a8 8 1 5 2 5#- - + =^ h ;donc ,Y X2 5= .b. , ,E Y E X E X2 5 2 5= =^ ^ ^h h h

, , ,E Y 2 5 3 425 8 5625#= =^ h .

Problèmes

1 P X 163

21

=- = =^ h ;

P X 262

31

= = =^ h

(les nombres premiers impairs sont ici 3 et 5)

P X 561

= =^ h .

2 E X21

32

65 1=- + + =^ h .

Ce jeu est favorable au joueur, car il gagne en moyenne 1 € sur un grand nombre de jeux.3 Si on appelle Y la nouvelle variable aléatoire incluant le montant de la mise, on aura :

E Y E X E X2 2 1= - = - =-^ ^ ^h h h .On perd en moyenne 1 € par partie.


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1

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Les valeurs de G sont - 3 ; 0 et 3.

P G 33618

21

=- = =^ h ;

P G 03614

187

= = =^ h ;

P G 3364

91

= = =^ h .

2 E G23

93

1821

67

=- + =- =-^ h .

Sur un grand nombre de parties, on perd en moyenne 1,17 € par partie.

Comme on tire simultanément les deux cartes, on ne peut pas prendre les deux mêmes ; l’ordre n’ayant pas d’importance, on considère chaque tirage une seule fois.

1♦ 1♥ 7♣ 7♠ 8♦ 8♥ 9♣ 9♠

1♦

1♥ cp

7♣

7♠ cp

8♦ c c

8♥ c c cp

9♣ c c

9♠ c c cp

Il y a donc 28 cas possibles.Les issues correspondant à la même couleur c sont au nombre de 12, celles correspondant aux paires p sont au nombre de 4.

Si on appelle m la mise et X le gain, on a :

Valeur de X m2 - m5 - m-

Probabilité 2812

73

= 284

71

= 2812

73

=

Si l’organisateur gagne en moyenne au moins 1 €, c’est que la perte du joueur est supérieure ou égale à 1 €, on résout donc E X 1G -^ h .

m m m73 2

71 5

73 1G- + - - -^ ^h h

m m711 1

718+ +G H- + - .

Pour une mise supérieure ou égale à 2,58 €, l’organisa-teur aura un gain moyen d’au moins 1 €.

BB

BB

BB

BB

BB

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+2

+2

–5

–5

AA

BB

2 a. X prend les valeurs 4 et - 3.

b. P X 431

= =^ h ; P X 332

=- =^ h .

3 E X 431 3

32

32

# #= - =-^ h .

1 a. x 10 - 1

8 P X x=^ h 111

1110

b. E X 0=^ h .

2 a. x 10 - 1

8 P X x=^ h n 11+ n

n1+

E Xn n

nn

n1

101 1

10=

+-

+=

+-

^ h .

b. E X n n0 10 0 10+ +H H G-^ h .

c. E X n n n21 10

21 1 21+ +=- - =- + =^ ^h h .

d. On calcule la limite de E X^ h lorsque n tend vers ,3+ on obtient - 1.

1 Les valeurs prises par X sont 0, 1, 2 et 3.2 et 3 On utilise ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1) pour un enfant.4 F

FG

FF

GG

FF

GG

FG

G

Valeur de X 0 1 2 3

Probabilité 81

83

83

81

1 a. x - m m2

8 P G g=^ h 0,8 0,2

, ,E G m m0 2 0 82= -^ h .b. On résout E G 0G^ h , ce qui équivaut à m 4G . La mise maximale est 4.


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2 Si on appelle G le gain du joueur, on a : x 5 25

P G g=^ h nn

2+ n 22+

Pour défi nir la variable aléatoire H égale au gain du propriétaire du casino, il suffi t de poser H G=- .On a alors :

gl 5 - 25

P H g= l^ h nn

2+ n 22+

E Hnn

25 50

=+-

^ h . Ce nombre tend vers 5 lorsque n

tend vers l’infi ni, on ne pourra donc pas le rendre aussi grand que l’on veut.

Résultats des simulations :

Si on appelle X et Y les variables aléatoires égales aux gains respectifs dans les deux investissements, on a :E X 50=^ h .

, ,E Y 400 0 7 700 0 3 7# #= - =^ h . Le premier investissement a une espérance de gain plus grande.

1 x 1 000 000 - 10 000

8 P X x=^ h 361

3635

E X36

1000 000 350 00036

650 000 18 056.= - =^ h €.

2 Ce jeu est très avantageux pour le joueur. La probabi-lité de perdre 10 000 € est grande, ce qui peut décou-rager le joueur, mais en moyenne, sur un grand nombre de parties, on gagne beaucoup.

1 Pour le jeu n° 1, si on appelle X le gain :

x 2 000 - 8 000

P X x=^ h 109

101

E X 1800 800 1000= - =^ h €.

V X 68 105#=^ h .Pour le jeu n° 2, si on appelle Y le gain :

y 0 10 000

P Y y=^ h 109

101

E X 1000=^ h €.V Y 107=^ h .2 A priori, on préférera le jeu n° 2, car on ne perd jamais d’argent, pourtant les espérances de gains sont égales.

1 On peut utiliser un tableau à double entrée ou appeler Ai l’événement : « la personne va voir le fi lm A le ième jour » avec ;i 1 2! " ,. De la même façon, on peut appeler B j l’événement : « la personne va voir le fi lm B le jème jour » avec ;j 1 2! " ,.

On a A AP224

112

1 2+ = =^ h ;

B BP222

111

1 2+ = =^ h ;

A B A BP P118

1 2 2 1+ ++ =^ ^h h .

On obtient donc :x 16 20 24

P X x=^ h 112

118

111

2 ,E X1132

11160

1124

11216 19 64.= + + =^ h €.

a. Dans les cellules M2 et M3 on a placé les mises des deux joueurs (50 dans cet exemple).

On simule ensuite la sortie du « noir » avec 1 et du « blanc » avec 0 à l’aide de la commande : ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1). On comptabilise les noirs, puis on fait apparaître le gain algébrique à l’aide de :

On a donc une feuille (partielle) de ce type :


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On fait apparaître les fréquences d’obtention des diff é-rents gains algébriques :

Fréquence - 50 0,496Fréquence 50 0,497Fréquence 100 0,007Espérance 0,75

L’espérance est proche de 0, le jeu semble équitable.b. Le jeu est équitable lorsque E X 0=^ h .

On obtient y x y x132 1262221+= = .

Donc dans le cas précédent, il n’est pas tout à fait équitable.

1 a. L’aire du carré étant égale à 400, on a bien A Z

p Z400=^ ^h h�

.

b. D

p D400 400= =

r^ ^h h�.

c. p SS

400 4008

818

40010

4011

= =-

= =

r rr r^ ^h h�

.

2 a. x 1 2 3 4 5 6 7

pi 40r

40r

40r

40r

40r

40r

40r

X 8 10 - 4

pi 40r

400r 1

40081

-r

b. E X40

37 4 140081

400361 4= - - = -

r r r^ ch m

,E X 1 16. -^ h €.

1 On peut faire un tableau à double entrée :

A B TotalDéfectueuse 1,2 % 0,4 % 1,6 %Non défectueuse 58,8 % 39,6 % 98,4 %Total 60 % 40 % 100 %

X prend les valeurs : - 40, -35, 15, 20. Les valeurs négatives indiquent que l’entreprise fait dans ces deux cas un bénéfi ce.On a donc :

x - 40 - 35 15 20P X x=^ h 0,588 0,396 0,012 0,004

2 ,E X 37 12=-^ h €.Ce coût moyen négatif signifi e que l’entreprise gagne en moyenne 37,12 € par carte graphique vendue.

1 xi 10 000 0

pi p p1 -

E X p10 000=^ h .2 xi 430 30

pi p p1 -

E X p p p430 30 1 400 30= + - = +^ ^h h .3 On résout p p400 30 10 000G+ .

On obtient : p320

1H .

1 On peut s’aider du schéma suivant :

1 % 2 % 2 %A B

C ,P 0 05=^ h ; D ,P 0 03=^ h ;

E C , ,P P 1 0 05 0 95= = - =^ ^h h .2 a. ,P X 2 0 02= =^ h ;

,P X 1 0 03= =^ h ; ,P X 0 0 95= =^ h .

b. , , ,E X 40 0 95 32 0 03 20 0 02# # #= + +^ h

,E X 39 36=^ h €.Pour la vente de 1 000 chemises, il peut espérer un chiff re d’aff aires de 39 360 €.

1 ,E X 3 56=^ h .,E Y 3 55=^ h .

2 ,V X 4 39.^ h , ,2 09X .v .,V Y 2 53.^ h , ,1 59Y .v .

3 Les deux tireurs ont des espérances (des moyennes) quasiment égales, mais le tireur B est plus régulier, car l’écart type est plus petit. L’entraîneur devra choisir le tireur B.


1

Anglais Allemand Espagnol TotalFilles 80 35 30 145Garçons 60 40 55 155Total 140 75 85 300

2 AP300155

6031

= =^ h ;

BP30075

41

= =^ h .

3 L’événement A B+ est : « l’élève est un garçon qui étudie l’allemand »

A BP30040

152+ = =^ h .

4 L’événement A B, est : « l’élève est un garçon ou étudie l’allemand »

A B A B A BP P P P, += + -^ ^ ^ ^h h h h

A BP6031

41

152

3019, = + - =^ h .

5 La probabilité est 14530

296

= .

6 La probabilité est 14060

73

= .


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A A , ,P P1 1 0 45 0 55= - = - =^ ^h h .A B A B A BP P P P, += + -^ ^ ^ ^h h h h

A B , , , ,P 0 45 0 7 0 3 0 85, = + - =^ h .

Comme A et B sont incompatibles, on a :B A B A , , ,P P P 0 8 0 63 0 17,= - = - =^ ^ ^h h h .B B ,P P1 0 83= - =^ ^h h .

1 L P

R

P L

R P

L

P R

R L

P

L R2 L’agence peut proposer 6 circuits.

3 AP31

=^ h ; BP31

=^ h ; CP21

=^ h ; DP31

=^ h .

1 L’arbre comporte 25 branches avec 5 branches depuis la racine, avec, aux extrémités, les cinq boules, puis à chacune des extrémités, cinq nouvelles branches avec les cinq boules.On peut aussi faire un arbre 2 2# avec uniquement les événements B pour blanc et R pour rouge, avec des probabilités respectives

52 et

53 .

2 La probabilité cherchée est 259 .

3 La probabilité cherchée est 2256

2512

# = .


1 X prend les valeurs - 10, 10 et 20.

2 x - 30 10 120

P X x=^ h 21

83

81

3 ,E X2

308

308

120 3 75=- + + =^ h €.

Lorsqu’on joue un grand nombre de fois à cette loterie, on gagne en moyenne 3,75 €.4 2E X 0^ h , donc cette loterie est favorable au joueur, donc défavorable pour l’organisateur.5 On veut E X 0=^ h .Les nouvelles valeurs sont celles d’une nouvelle variable aléatoire X l et sont égales à : m30- - , m10 - et

m120 - , où m est le montant de la mise.E X E X m E X m 0= - = - =l^ ^ ^h h h .Ce qui équivaut à , ,m m3 75 0 3 75+- = = .La mise doit être de 3,75 € pour que la loterie soit équi-table.

1 La somme des probabilités vaut 1.2 ,E X

122

65

1235

310

429 7 25= + + + = =^ h .

3 ,E X E X3 3 10 25+ = + =^ ^h h .4 , , ,E X E X1 5 1 5 10 875= =^ ^h h .

Approfondissement

1 On peut faire un tableau à double entrée pour modéliser l’expérience.

V1 V2 V3R1 0 1 2R2 - 1 0 1R3 - 2 - 1 0R4 - 3 - 2 - 1

x - 3 - 2 - 1 0 1 2

P X x=^ h 121

61

41

41

61

121

2 E X12

3 6 3 0 2 2128

32

= - - - + + + =- =-^ h .

3 V X12

9 8 3 2 494

= + + + + -^ h

V X6

1394

1831

= - =^ h .

V X662

= =v ^ h

4 On a le tableau suivant :

V1 V2 V3R1 0 2 4R2 - 2 0 2R3 - 4 - 2 0R4 - 6 - 4 - 2

x - 6 - 4 - 2 0 2 4

P Y y=^ h 121

61

41

41

61

121

E Y E X E X2 234

= = =-^ ^ ^h h h .

V Y V X418

1249

62= = =^ ^h h .

V X362

= =v ^ h .

1 Le résultat du premier lancer sur la première ligne, celui du second sur la première colonne ; dans les cases fi gure le résultat de la division.

1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 62 0,5 1 1,5 2 2,5 3

3 31

32 1 3

4 35 2

4 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,55 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

6 61

31 0,5 3

2 65 1

On appelle A l’événement « le résultat est un entier ».

AP3614

187

= =^ h .


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2 On appelle B l’événement « le résultat est décimal ».

BP3628

97

= =^ h .

3 On appelle C l’événement : « le résultat est strictement supérieur à 1 ». CP

3615

125

= =^ h .

On a le tableau suivant :

xi 1 r1 + r1 2+ r1 3+

pi 251 r

251

+ l r251 2+ l r

251 3+ l

En écrivant que la somme des probabilités doit être

égale à 1, on arrive à r507

=l .

Donc 509

=a ; 5016

=b ; 5023

=c .

On écrit ensuite que l’espérance est égale à 5

27 , on obtient :

r r r2 9 1 16 1 2 23 1 3 270+ + + + + + =^ ^ ^h h h , ce qui donne r 2= .Et donc a 3= ; b 5= ; c 7= .

On peut représenter les diff érents résultats possi-bles à l’aide d’un tableur.

1 362 . 2

3625 . 3

3618 . 4

368 .

On visualise les diff érents résultats possibles à l’aide d’un tableur.

1 10010 . 2

10025 . 3

10064 .

C H A P I T R E

Loi binomiale

Livre du professeur - CHAPITRE 12 Loi binomiale 1

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Contenus Capacités attendues CommentairesModèle de la répétition d’expé-riences identiques et indépen-dantes à deux ou trois issues.

◗ Représenter la répétition d’expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré.

◗ Utiliser cette représentation pour déter-miner la loi d’une variable aléatoire associée à une telle situation.

Pour la répétition d’expériences identiques et indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. La notion de probabilité conditionnelle est hors programme. On peut aussi traiter quelques situations autour de la loi géométrique tronquée. On peut simuler la loi géométrique tronquée avec un algorithme.La représentation à l’aide d’un arbre est privilégiée : il s’agit ici d’installer une représentation mentale effi cace. On peut ainsi : – faciliter la découverte de la loi binomiale pour des petites valeurs de n, 4n G_ i ;

– introduire le coeffi cient binomial n

kf p comme

nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès pour n répétitions ; – établir enfi n la formule générale de la loi binomiale.Cette égalité est établie en raisonnant sur le nombre de chemins réalisant k 1+ succès pour n 1+ répétitions.On établit également la propriété de symétrie des coeffi cients binomiaux.L’utilisation des coeffi cients binomiaux dans des problèmes de dénombrement et leur écriture à l’aide des factorielles ne sont pas des attendus du programme. En pratique, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs des coeffi cients binomiaux, calculer directement des probabilités et représenter graphiquement la loi binomiale.La formule donnant l’espérance de la loi binomiale est conjecturée puis admise, celle de la variance est admise. On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme.

Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.Schéma de Bernoulli, loi binomiale (loi du nombre de succès).

◗ Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale.

Coeffi cients binomiaux, triangle de Pascal.

◗ Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale.

Démontrer que :nk

nk

nk1

11+

+=

++

d d dn n n .

◗ Représenter graphiquement la loi bino-miale.

Espérance, variance et écart type de la loi binomiale.

◗ Utiliser l’espérance d’une loi binomiale dans des contextes variés.

ÉchantillonnageUtilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d’une fréquence.

◗ Exploiter l’intervalle de fl uctuation à un seuil donné, déterminé à l’aide de la loi binomiale, pour rejeter ou non une hypo-thèse sur une proportion.

L’objectif est d’amener les élèves à expérimenter la notion de « diff érence signifi cative » par rapport à une valeur attendue et à remarquer que, pour une taille de l’échantillon importante, on conforte les résultats vus en classe de Seconde. L’intervalle de fl uctuation peut être déterminé à l’aide d’un tableur ou d’un algorithme. Le vocabulaire des tests (test d’hypothèse, hypothèse nulle, risque de première espèce) est hors programme.


2 Livre du professeur - CHAPITRE 12 Loi binomiale

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2. Intentions des auteurs

ObjectifLes activités de cette page ont été conçues pour réactiver les connaissances en probabilité, en particulier en matière d’utilisation d’arbres et de variables aléatoires.

A 1

Pile

PilePile

Croix

Pile

CroixCroix

PilePile

Croix

Pile

CroixCroix

Croix

2 a. 91 . b.

941 .

B 1 Test positif Test négatif Total

Malade 17 3 20

Sain 99 1 881 1 980

Total 116 1 884 2 000

2 a. M ,P 0 01=^ h et T ,P2 000116 0 058= =^ h .

b. T M+ : « l’animal est malade et le test est positif ».

T MP2 000

17+ =^ h

,P T M 0 008 5+ =^ h .c. T M, : « l’animal est malade et le test est positif ».

T M M T M TP P P P, += + -^ ^ ^ ^h h h h

T M , , ,P 0 01 0 058 0 008 5, = + -^ h

T M ,P 0 059 5, =^ h .

C 1 T SP X P02 0001881+= = =^ ^h h

,P X 0 0 940 5= =^ h .TP X P100= =^ ^h h

,P X 100 0 058 0= =^ h .

T MP X P10002 000

3+= = =^ ^h h

,P X 1000 0 0015= =^ h .2

, , ,E X 0 940 5 0 0 058 0 100 0 0015 1000# # #= + +^ h

,E X 7 3=^ h .On peut donc estimer que pour un troupeau de 2 000 têtes, on devra débourser en moyenne 7,3 €.

ObjectifLes activités sont conçues pour amener une découverte de l’uti-lisation des arbres pour les calculs de probabilités, et une décou-verte progressive de la loi binomiale et de ses propriétés.

ActivitéActivité 1 Des expériences indépendantes1 AP

91

=^ h ; BP92

=^ h ; CP94

=^ h .

2

V

V

R

V

R

R

3–8

3–8

3–8

5–85–8

5–8

3 AP6425

=^ h ; BP6415

=^ h ; CP649

=^ h .

Ce chapitre fait suite au chapitre 11 de probabilité. Il porte sur la répétition d’événements indépendants en général, et sur la loi binomiale en particulier. Les auteurs ont été attentifs à proposer des situations variées illustrant la puissance de la modélisation bino-miale. De nombreux cas pratiques côtoient les calculs aussi classiques qu’indispensables (boules et urnes), ainsi que quelques incursions théoriques pour les élèves les plus à l’aise.Concernant l’échantillonnage, les auteurs ont souhaité proposer une présentation détaillée de la méthode

(basée sur la confrontation entre résultat empirique et modèle théorique), en traitant au fi l des paragraphes l’exemple de la pièce de monnaie, dont il s’agit d’exa-miner le caractère équilibré. Contrairement à la situation en classe de Seconde, qui voit l’intervalle de fl uctuation

;pn

pn

1 1- +< F donné sans justifi cation, on peut

ici expliquer clairement l’origine de l’intervalle de fl uc-tuation à partir de la loi binomiale, et en déterminer les bornes.


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ActivitéActivité 2 Neige ou pas ? Une nouvelle « loi »1 a.

E

SE

E

S

S

E

E

S

S

S

SE

E

1–3

1–3

2–3

2–3

1–3

2–3

…

……

……

……

…

b. P X 032

81164

= = =^ ch m .

P X 431

8114

= = =^ ch m .

2 Quatre chemins conduisent à X 1=^ h.

3 P X 1 431

32

81323

# #= = =^ ch m .

P X 2 631

32

81242 2

# #= = =^ c ch m m .

P X 3 431

32

8183

# #= = =^ ch m .

E X81

10834

= =^ h .

ActivitéActivité 3 Coefficient binomial et triangle de Pascal1 Un chemin mène à X 0=^ h et X 2=^ h, deux chemins à X 1=^ h.

2 Un chemin mène à X 0=^ h et X 3=^ h, trois chemins à X 1=^ h et X 2=^ h.

3 Un chemin mène à X 0=^ h et X 4=^ h, quatre chemins à X 1=^ h et X 3=^ h, six chemins à X 2=^ h.

4 P X knk

p qk n k# #= = -^ fh p .

5 k

n 0 1 2 3 4 5 6

0123456

6 nk

nk

nk1

11+

+=

++

d d dn n n.

ActivitéActivité 4 Conjecturer l’espérance de la loi binomiale3 a. X suit une loi binomiale de paramètres n 50= et

,p 0 4= .b. L’espérance de X est apparemment égale à 20.c. On conjecture que E X n p#=^ h .


Utiliser un arbre pondéré pour déterminer la loi d’une variable aléatoire

1 ABAC

0,10,10,10,20,20,20,70,70,7

ABBAC

0,10,10,1

0,20,20,2

0,70,70,7 ABCCABACABBBC

0,10,10,1

0,20,20,2

0,70,70,7

0,10,10,1

0,20,20,2

0,70,70,7

ABCCABACABBCC

0,10,10,1

0,20,20,2

0,70,70,7 ABCC

0,10,10,10,20,20,20,70,70,70,10,10,10,20,20,20,70,70,70,10,10,10,20,20,20,70,70,70,10,10,10,20,20,20,70,70,70,10,10,10,20,20,20,70,70,70,10,10,10,20,20,20,70,70,70,10,10,10,20,20,20,70,70,70,10,10,10,20,20,20,70,70,7

2 a. X 0 300 500 600 800

P 0,343 0,294 0,147 0,084 0,084

X 900 1 000 1 100 1 300 1 500

P 0,008 0,021 0,012 0,006 0,001

b. E X 330=^ h .

1 On pose :

Aa P61

= =^ h ,

Bb P62

= =^ h

et Cc P63

= =^ h .


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ABAC

aaabbbccc

ABBAC

aaa

bbb

ccc ABCCABACABBBC

aaa

bbb

ccc

aaa

bbb

ccc

ABCCABACABBCC

aaa

bbb

ccc ABCC

345456567456567678567678789

aaabbbcccaaabbbcccaaabbbcccaaabbbcccaaabbbcccaaabbbcccaaabbbcccaaabbbccc

2 On appelle X le nombre de points obtenus. On a représenté sur l’arbre les valeurs de X correspondant à chaque branche. X suit la loi suivante :

P X 361

21613

= = =^ ch m .

P X 4 361

62

21662

# #= = =^ ch m .

P X 5 361

63 3

62

61

216212 2

# # # #= = + =^ c ch m m .

P X 6 661

62

63

62

216443

# # #= = + =^ ch m .

P X 7 363

61 3

62

63

216632 2

# # # #= = + =^ c ch m m .

P X 8 363

62

216542

# #= = =^ ch m .

P X 963

216273

= = =^ ch m .

3 On a donc une espérance de :

216

3 1 4 6 5 21 6 44 7 63 8 54 9 277.E X

# # # # # # #=

+ + + + + +=a k

Reconnaître une loi binomiale

1 Les lancers sont identiques et indépendants. X représente donc le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. X suit une loi binomiale de paramètres n 20= et ,p 0 8= .On a donc pour k0 20G G :

, ,P X k k20 0 8 0 2k k20# #= = -

^ dh n .

2 On a ,E X 20 0 8 16#= =^ h .3 1P X P X P X P X5 0 1 4f= = + = + + =^ ^ ^ ^h h h h

1 ,P X 5 1 4 10 8#. -^ h .

4 , ,P X 10 0 2 1 0 1010 7#.= = -^ h .

P X P X P X P X5 5 6 10fH = = + = + + =^ ^ ^ ^h h h h

,P X 5 0 04H =^ h .

Le nombre de boules rouges suit une loi binomiale

de paramètres n 6= et p85

= .

1 ,P X 685 0 059 604 64

6= = =^ ch m .

2 ,E X 685 3 75#= =^ h .

Loi géométrique tronquéeÉtape 1tape 1

La moyenne semble s’approcher de p1 .

Étape 2tape 2

1 a. P X p0 1 n= = -^ ^h h .b. X k=^ h correspond au fait d’arriver à l’heure les k 1- premiers jours et en retard le jour suivant, d’où le résultat.

2 E X^ h se rapproche de p1 .

Étape 3tape 3

La formule entrée en D5 permet d’affi cher 1 si le bus est à l’heure (probabilité q), 0 sinon.Le formule entrée en E4 et recopiée ensuite permet d’af-fi cher 1 si le bus est à l’heure alors qu’il était à l’heure le jour précédent, 0 sinon.La formule entrée en A5, en comptant le nombre de 1, indique donc le nombre de jours au bout desquels Maxi-milien arrivera en retard.

Expériences indépendantes et espérance1 a. , ,p 1 0 000 2 0 998 001810= - =^ h .b. X peut prendre les valeurs 8 (on teste le mélange et il est accepté) ou 88 (le mélange est contaminé, on teste toutes les bouteilles une à une).

,P X 8 0 998 0018= =^ h ., ,P X 88 1 0 998 0018 0 001998 2= = - =^ h .

,E X 8 16.^ h .c. Il y a 10 bouteilles par paquet, soit un coût moyen de 0,82 €.2 a. X peut prendre les valeurs 8 (on teste le mélange et il est accepté) ou N8 8+ (le mélange est contaminé, on teste toutes les bouteilles une à une).P X p8 1 N= = -^ ^h h .P X N p8 8 1 1 N= + = - -^ ^h h .E X p N p8 1 8 8 1 1N N# #= - + + - -^ ^ ^ ^^h h h hh .

Le coût moyen attendu est égal à N

E X^ h.

b. On a programmé sur un tableur les valeurs de N, l’es-pérance et le coût moyen (voir ci-après).


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Il faut faire faire des lots de 71 bouteilles, ce qui donne un coût moyen de 23 centimes d’euros, soit une division par un facteur 3,5 par rapport aux lots de 10.

Intervalle de fluctuation1 a. N et P correspondent aux paramètres de la loi bino-miale.b. La valeur fi nale de I correspond à la valeur k1 utilisée pour défi nir la borne inférieure de l’intervalle de fl uctua-tion.2 Voici la fi n du programme permettant l’affi chage des deux bornes de l’intervalle de fl uctuation.

3 N 20 50 200 1 000 5 000IN 0,2 0,26 0,335 0,37 0,386 4

pN

1- 0,176 0,259 0,329 0,368 0,386

1 b. 2 a. 3 b.

1 b. 2 b. 3 c.

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Faux.


1 Expériences identiques et indépendantes



1

…

0,20,20,2

0,30,30,3

0,50,50,5

V

R

N

2 A , ,P 0 2 0 0083= =^ h . B , ,P 0 3 0 0273= =^ h .C , , , ,P 0 2 0 3 0 5 0 163 3 3= + + =^ h .

1 Voici une partie de l’arbre pondéré :RHRC

0,10,10,10,750,750,750,150,150,15

HR

0,10,10,1

0,750,750,75

0,150,150,15 C

R

H0,10,10,1

0,750,750,75

0,150,150,15 C

R

H0,10,10,1

0,750,750,75

0,150,150,15 CR

C0,10,10,1

0,750,750,75

0,150,150,15H

R

H0,10,10,1

0,750,750,75

0,150,150,15C

HR

C

H

C

0,10,10,1

0,750,750,75

0,150,150,15

0,10,10,1

0,750,750,75

0,150,150,15

2 , ,p 0 1 0 000 14= = .

3 a. x P D x=^ h

40 0,000 145 0,00355 0,033 7555 0,168 7560 0,316 406 2565 0,013 570 0,101 8575 0,253 12580 0,001 3585 0,020 2590 0,075 937 5

100 0,001 35105 0,010 125120 0,000 506 25


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b. D’où une espérance ,E D 67 006=^ h .

1

V

VV

ppp

qqq

rrr

O

O

O

ppp

qqq

rrr

20—6020—6020—60

5—605—605—60

35—6035—6035—60

R

R

RVORVORVORVORVORVORVORVOR

V

O

R

V

O

R

ppp

qqq

rrr

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2 AP6020

2713

= =^ ch m .

BP 36035

6025

103 6812252

# #= =^ c ch m m .

CP 16040

27193

= - =^ ch m .

1 On note A « Marie prend un roman policier », B « Marie prend un roman historique » et C « Marie prend un livre de poésie ».

0,50,50,5

0,30,30,3

0,20,20,2

0,50,50,5

0,30,30,3

0,20,20,2

A

B

C

0,50,50,5

0,30,30,3

0,20,20,2

A

B

C

0,50,50,5

0,30,30,3

0,20,20,2

A

B

C

A

B

C

2 , , ,p 0 2 0 2 0 04#= = .3 , , , , , , , ,p 0 5 0 3 0 5 0 2 0 3 0 5 0 2 0 5# # # #= + + +

,p 0 50= .4 , , , , , , , ,p 0 5 0 5 0 5 0 2 0 2 0 5 0 2 0 2# # # #= + + +

,p 0 31= .

5 Avoir au moins un livre de poésie : probabilité = 0,36.Avoir exactement un roman historique : probabilité = 0,42.Donc, Marie a tort.

Les événements sont identiques et indépendants, on peut appliquer le principe multiplicatif.

1 ,p101 0 1= = .

2 a. , , ,p 0 1 0 1 0 01#= = .b. , , ,p 0 9 0 9 0 562 10 .= - .3 , ,p 0 9 0 3510 .= .

2 Épreuve de Bernoulli, schéma de Bernoulli

1 Oui. 2 Non. 3 Oui. 4 Oui. 5 Non.

1 Non. 2 Oui. 3 Non.

a. Lancer une pièce et noter si on obtient pile ou face.b. Lancer 5 fois de suite la même pièce et noter le nombre de faces obtenus.

Épreuve de Bernoulli : tirer un sujet d’une enveloppe et noter s’il est à dominante histoire ou géographie.Schéma de Bernoulli : eff ectuer 10 fois de suite l’épreuve précédente en remettant à chaque fois le sujet tiré dans l’urne, et compter le nombre de sujets histoire.

1 On appelle P l’événement « le test est positif » et N l’événement « le test est négatif ».

N

P

P

P

0,020,020,02

0,980,980,98

0,020,020,02

0,980,980,98

0,020,020,02

0,980,980,98

N

P

N

P

P

0,020,020,02

0,980,980,98

0,020,020,02

0,980,980,98

0,020,020,02

0,980,980,98

0,020,020,02

0,980,980,98

0,980,980,980,020,020,02

0,980,980,980,020,020,02

0,980,980,980,020,020,02

0,980,980,980,020,020,02

0,980,980,980,020,020,02

0,980,980,980,020,020,02

0,980,980,980,020,020,02

0,980,980,980,020,020,02

N

N

N

N

P

N

P

N

N

N

N

N

N

N

P

P

P

P

P

P

P

2 a. , ,p 0 02 1 6 104 7#= = - .b. , , ,p 4 0 98 0 02 3 14 103 7# # #= = - .


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lic 1

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1 La probabilité d’obtenir une voyelle sur le tirage

d’une lettre est 266

133

= .

Comme le prélèvement des lettres se fait avec remise, X

suit la loi binomiale � ;4133

c m.

Pour tout entier k tel que k0 4G G , on a :

P X k k4

133

1310k k4

# #= =-

^ d c ch n m m .

2 On cherche :

P X P X3 4 43 13

31310

1333 1 4

# #= + = = +^ ^ d c c ch h n m m m

,428 561

27028 561

8128 5611161 0 044# .= + = .

3 Loi binomiale

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Faux. 5 Faux.

1 a. et b. 2 b. 3 a. et c.

1 a. 2 c. 3 a. 4 c.

1 , , ,P X 0 100 0 2 0 8 0 80 10 10# #= = =^ dh n

,P X 0 0 107.=^ h .

, , ,P X 5 105 0 2 0 8 0 0265 5# # .= =^ dh n .

, , ,P X 10 1010 0 2 0 8 0 210 0 10# #= = =^ dh n

,P X 10 1 024 10 7#= = -^ h .

2 P X P X P X P X3 1 0 1 2H = - = + = + =^ ^ ^ ^^h h h hh

, , , , ,1 0 8 101 0 2 0 8 10

2 0 2 0 810 9 2 8# # # #= - + +d dd n n n

,P X 3 0 322H .^ h .

1 Les naissances sont indépendantes et la probabi-lité d’avoir un garçon ne varie pas. Le nombre de garçons suit donc une loi � ; ,3 0 51^ h.2 X suit une loi � ; ,3 0 51^ h.3 , ,P X P X1 1 0 1 0 49 0 888 23513H = - = = - =^ ^h h .4 Il s’agit à nouveau d’un schéma de Bernoulli. Le nombre de familles ayant au moins trois garçons suit une loi � ; p10^ h, avec ,p 0 882 351= .

,P X p p9 109 1 0 389 1# # .= = -^ d ^h n h .

1 La probabilité de sortir un double 6 sur le lancer

d’un dé est égale à 361 .

On appelle X le nombre de « double six » obtenus à l’issue des vingt lancers des deux dés. La variable aléa-

toire X suit la loi binomiale � ;20361

c m.On cherche :

,P X P X1 1 0 13635 0 43

20H .= - = = -^ ^ ch h m .

2 Il s’agit de calculer l’espérance :

E X 20361

94

#= =^ h .

1 X suit une loi � ;1031

c m. L’élève choisit à chaque

fois au hasard et il n’y a qu’une bonne réponse sur les 3.2 ,P X 2 0 2.=^ h et ,P X 6 0 05.=^ h .

3 Il a tort, d’après le graphique P X 5H^ h n’atteint pas 0,25.4

5 On a ,P X 5 0 21H .^ h .

1

P X P X P X P X P X3 0 1 2 3G = = + = + = + =^ ^ ^ ^ ^h h h h h ,P X 3 0 78G .^ h .

2 ,E X 2 5=^ h . D’où ,pE X

100 25= =

^ h.

X : nombre de candidats ayant réussi.1 , ,P X P X1 1 0 1 0 8 0 99625H .= - = = -^ ^h h .2 P X P X P X P X2 0 1 2G = = + = + =^ ^ ^ ^h h h h

,P X 2 0 098G .^ h .3 ,E X 25 0 2 5#= =^ h .

4 Échantillonnage

1 Le nombre X de boulons défectueux suit une loi � ; ,5 000 0 01^ h. Grâce au tableur, on trouve, en repre-nant les notations du cours : k 371 = et k 642 = .D’où un intervalle , ; ,I 0 0074 0 0128= 6 @.

2 ,f5 000

60 0 0120= = .

Donc on se trouve à l’intérieur de l’intervalle de fl uctua-tion.

1 P1 : on détermine l’intervalle correspondant à une loi � ; ,200 0 5^ h ;

, ; ,I 0 475 0 565= 6 @. Donc on ne peut pas éliminer P1.P2 : on détermine l’intervalle correspondant à une loi � ; ,200 0 6^ h ;

, ; ,I 0 53 0 665= 6 @. Donc on ne peut pas éliminer P2.P3 : on détermine l’intervalle correspondant à une loi � ; ,200 0 4^ h ;

, ; ,I 0 335 0 47= 6 @. Donc on peut éliminer P3.2 Il faudrait augmenter la taille de l’échantillon.


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Déc

lic 1

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1 ,P X 6 0 9133G =^ h .2 a. On cherche le plus petit entier k1 tel que

2 ,P X k 0 0251G^ h ; on obtient k 01 = . On cherche le plus petit entier k2 tel que ,P X k 0 9752G H^ h ; on obtient k 52 = . L’intervalle de fl uctuation est :

; ; ; ,nk

nk

200

205 0 0 251 2 = =; ; 6E E @.

b. n 20= ; ,p 0 2= ; , ; ,I 0 05 0 4= 6 @.n 20= ; ,p 0 25= ; , ; ,I 0 1 0 5= 6 @.n 20= ; ,p 0 4= ; , ; ,I 0 2 0 6= 6 @.

1 a. , ,p 0 05 0 000 1253= = .b. , , ,p 3 0 05 0 95 0 135 3752# #= = .c. , ,p 0 95 0 857 3753= = .2 On appelle X le nombre de camions en panne.

X 0 500 1 000 1 500P 0,95 , ,3 0 05 0 952# # , ,3 0 95 0 052# # ,0 053

E X 75=^ h .

1 a. k 51 = .b. k 162 = .2 , ; ,I 0 1 0 32= 6 @.3 On a bien ,p 0 2= . La fréquence observée est donc à la limite de l’intervalle de fl uctuation à 95 %. On peut donc avoir des doutes.

Problèmes

1 p31

= .

2 a. p32

2783

= =c m .

b. ,p2719 0 70c= .

c. Elle n’est pas sûre d’avoir un billet gagnant, même si elle a plus de deux chances sur trois.

1 , ,p 1 0 998 0 05830 c= - .2 , ,p 0 998 0 9430 .= .3 b. p 4 10 9#. - .

X : nombre de penalties réussis.1 ,P X 5 0 058c=^ h et ,P X 10 0 056.=^ h . L’affi rma-tion est donc vraie.2 ,P X 2 0 53H .^ h . C’est donc encore vrai.

1 a. X suit une loi � ; ,5 0 9^ h.b. P X P X P X2 1 0 1H = - = + =^ ^ ^^h h hh

,P X 2 0 999 54H =^ h .

2 a. Y X X X10 20 5 30 100= - - = -^ h .b. Y suit donc la même loi que X, pour les valeurs asso-ciées {- 100 ; - 70 ; - 40 ; - 10 ; 20 ; 50}.c. On a donc :

,E X E X30 100 30 0 9 5 200# #= - = -^ ^h h

E X 35=^ h .

Le jeu est largement favorable au joueur, qui a intérêt à participer un grand nombre de fois.

1 a. X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2.b. X suit une loi � ; p2^ h.c. P X p p p1 1 2 12 # #G = - + -^ ^ ^h h h.2 a. Y peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, 4.b. Y suit une loi � ; p4^ h.c. P Y p p p2 1 4 14 3# #G = - + -^ ^ ^h h h

p p p p6 1 4 1 3# # # #+ - + -^ ^h h .3 On peut utiliser un tableur ou une calculatrice :

Le quadrimoteur est plus sûr lorsque p est petit (jusqu’à ,p 0 33. ), c’est alors le bimoteur qui devient plus sûr.

1 X suit une loi � ;632

c m.

2 E X 4=^ h .3 Y X9 6= + -^ h si Y est la durée en minutes. Donc E Y E X9 6 11= + - =^ ^h h . La durée moyenne du parcours sur un grand nombre de passages se rapproche donc de 11 minutes.

1 a. P X k nk 2

1n#= =^ dh n .

b. P X k nk 2

1 1k

n

k

n

n0 0

#= = == =

^ dh n! ! .

D’où : nk 2

k

nn

0=

=

d n! .

2 Dans un arbre, il y a 2n chemins, en regroupant les chemins suivant le nombre de succès qu’ils comportent, on retrouve bien le résultat précédent.

1 a. X n=^ h.b. X n 1= -^ h (1 seul basculement vers la droite).c. Le bac numéro k (en appelant 0 le bac à l’extrême droite) correspond à X k=^ h.2 X suit une loi binomiale � ; ,n 0 5^ h. Le nombre de billes dans la case k est donc, lorsque le nombre total de billes devient grand, proportionnel à P X k=^ h.3

1 nk

nk

nk

11

1--

+-

=d d dn n n.


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Déc

lic 1

re S

2 On a :nk

nk

nk

22 2 2

12-

-+

--

+-

d d dn n n

nk

nk

nk

nk

22

21

21

2=

--

+--

+--

+-

d d d dn n n n

nk

nk

nk

11

1=

--

+-

=d d dn n n.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 19 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 73 35=d n ; 7

4 35=d n ; 94 126=d n ; 9

5 126=d n .

2 n k2 1= + . Donc n k2

1- = et n k2

1 1+ = + .

3 On applique la formule nk

nn k=

-d dn n.

1 On retrouve le triangle de Pascal.2

1 2 63 1-8-28-56-70-56-28-8-1. On retrouve la huitième ligne

étudiée à l’exercice .

1 a.

E

S

S

E

E

S

S

E

E

S

S

S

S

E

E

E

E

S

E

E

S

S

E

E

S

S

S

S

E

E

b. 4 et 4.c. 6 et 6.

2 a. 1 et 1. b. n et n.

c. Il y a autant de chemins. d. nk

nn k=

-d dn n.

2 P X k p p1 k 1 #= = - -^ ^h h .

3 P X P X n0 f= + + =^ ^h h

p pp

p1

1 11 1

1nn

#= - +- -

- -=^

^

^h

h

h.

1 E X P X n P X n0 0# #f= = + + =^ ^ ^h h h.D’où le résultat.2 a. S x xS x x x x nx1 n n2 1f- = + + + + --

^ ^h h

xx nx

xn x nx

11

11 1n

nn n 1

=-- - =

-

- + + +^ h

.

b. On a donc S xx

n x nx1

1 1 n n

2

1

=-

- + + +

^^

^h

h

h

S xx

n nx x1

1 1 n

2=-

- + -^

^

^h

h

h.

c. E X p S p1#= -^ ^h h

E X pp

n n p p1 1

1 1 1 1 n

2#=- -

- + - - -^

^^

^^ ^h

hh

hh h.

D’où le résultat.

1 Avec le jeu A : p31

= .

Avec le jeu B : p41

= .

2 Avec le jeu A : ,p32

31 0 009

9# .= c m .

Avec le jeu B : ,p43

41 0 019

9# .= c m .

3 Valeurs de : , ,k 1 2 3.

1 ,p 0 2 1030 21.= - .2 On trouve k 191 = et k 282 = . Donc , ; ,I 0 63 0 94= 6 @.

Ici la fréquence est de ,3029 0 97. .

On est donc en dehors de l’intervalle de fl uctuation. On peut donc soupçonner le boulanger de tricher.

1 On appelle X le nombre de fl eurs , ,P X 200 0 96 0 000 3200 .= =^ h . C’est donc le collègue

qui a raison.2 On détermine l’intervalle de fl uctuation à 95 % corres-pondant à une loi � ; ,200 0 96^ h. On trouve k 1861 = et k 1972 = . L’affi rmation du vendeur n’est donc pas vérifi ée.

Pour la ville de Cassis : k 61 = et k 142 = .Pour la ville de Marseille : k 861 = et k 1142 = .Donc la ville de Marseille ne respecte pas la parité.

1 a. X suit une loi � ; p50^ h.b. E X p50=^ h .2 H X X X50 2 50= - - = -^ h .On en déduit E H p100 50= -^ h .On retrouve bien sûr la valeur ,p 0 5= comme valeur limite séparant les cas où la sortie se fait en moyenne en ordonnée positive, et où elle se fait en moyenne en ordonnée négative.


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Déc

lic 1

re S

3 a.

1

2 On voit qu’au bout par exemple de 100 000 déplace-ments, l’abscisse est - 31 et l’ordonnée 27, ce qui donne l’idée que l’abscisse et l’ordonnée moyennes doivent être proches de 0. On pouvait s’y attendre, du fait que toutes les directions sont équiprobables.3

On peut cette fois conjecturer que la valeur moyenne n’est pas nulle, mais aux alentours de 8, en fait, elle se

rapproche de n2r

.

4 a. n : nombre de trajectoires ; d : durée de la trajectoire en nombre de pas, Xmoy : abscisse moyenne, Ymoy : ordonnée moyenne.b.

y

1 a. On note X le nombre de déplacements vers la droite, X suit une loi � ; ,5 0 6^ h : ,P X 3 0 3456= =^ h .b. ,P X 5 0 077 76= =^ h .2 Pour qu’il se trouve en B : ,P X 3 0 008 1= =^ h et en C :

,P X 5 0 000 01= =^ h .3 a. X suit une loi � ; p5^ h. Le robot se trouve en B avec une probabilité P X 3=^ h et en C avec une probabilité P X 5=^ h.b. Il est d’abord plus probable que le robot soit en B, puis en A, et la bascule se fait aux alentours de 0,76.

4 On suppose que A est l’origine :


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1 Pour l’intervalle classique, on trouve k 31 = et k 132 = .On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse du constructeur.2 a. Avec la nouvelle hypothèse, on obtient k 123 = . On est donc à la limite de l’intervalle de confi ance.b. On ne considère pas comme anormal les cas où il y a très peu de pannes, on veut simplement déterminer à partir de quand le nombre de pannes est « anormale-ment » élevé.

1 Aucune des affi rmations ne peut être rejetée, puisque 0,46 et 0,54 sont dans l’intervalle de fl uctuation

, ; ,0 45 0 656 @.2 Il faudrait interroger un échantillon plus élevé.


a.

2—62—62—6

3—63—63—6

B

RN

N

1—61—61—6

1—61—61—6

3—63—63—6

2—62—62—6

B

R

N1—61—61—6

3—63—63—6

2—62—62—6

B

R

N1—61—61—6

3—63—63—6

2—62—62—6

R

B

X = –20

X = –7

X = –9

X = –7

X = 6

X = 4

X = –9

X = 4

X = 2

b. X - 20 - 9 - 7 2 4 6

P 361

366

364

369

3612

364

c. E X31

=-^ h . Le jeu est donc défavorable au joueur.

A , ,P 0 1 0 0013= =^ h .B , ,P 0 2 0 0083= =^ h .C , ,P 0 3 0 0093= =^ h .D , ,P 0 4 0 0163= =^ h .

, , , , ,P E 0 001 0 008 0 009 0 016 0 034= + + + =^ h .


a.

0,60,60,6

0,40,40,4

0,50,50,5

0,50,50,5

0,50,50,5

0,50,50,5

B

B

R

N

BR

BNBNBNBN

b. ,p 0 5= .c. ,p 0 2= .d. 1 ,p 0 008= .2 , ,p 1 0 025 0 975= - = .

1 On peut modéliser la situation par un schéma de Bernoulli en supposant que les rencontres avec les clients sont indépendantes.2 a. , ,p 0 8 0 001230 .= .b. ,P X 5 0 43G .^ h .c. ,E X 0 2 30 6#= =^ h .

1

2 a. k 181 = .b. k 222 = . D’où , ; ,I 0 36 0 44= 6 @.c. Une enquête nationale indique que 40 % des lycéens préfèrent la glace à la vanille à la glace au chocolat. On eff ectue un sondage auprès de 50 élèves du lycée, et on obtient que 25 préfèrent la vanille. On se demande si on peut faire l’hypothèse que les élèves du lycée refl ètent le comportement décrit par l’enquête nationale.La réponse est non d’après le b.


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Déc

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a.

b. ,E X 21 4.^ h .On doit donc équiper environ 22 poissons pour espérer en avoir 15 eff ectivement repérés.

Approfondissement

1 a. On trouve les intervalles , ; ,0 2 0 356 @ ; , ; ,0 25 0 356 @ ; , ; ,0 25 0 46 @.

Tous ces intervalles contiennent la fréquence 0,4 corres-pondant à 8 truites sur 20.b. Cette méthode ne permet donc pas de privilégier de valeur de p.

2 a. P X p p2 208 18 12# #= = -^ d ^h n h

P X p p2 208 18 12# #= = -^ d ^h n h .

b. On pose f p p p 18 12#= -^ ^h h .

f p p p p p8 1 12 17 12 8 11# #= - + -l^ ^ ^h h h

f p p p p p1 8 8 127 11#= - - +l^ ^ ^h h h.f pl^ h est du signe de p20 8- .

f est maximale pour ,p 0 4= .

c. On obtient donc que le maximum est atteint pour une valeur de p égale à la fréquence observée, ce qui est bien conforme à l’intuition.

Livre maths 1ereS4

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