Livre Du Professeur Declic Mathematiques 1res ES Et L Option Hachette 2011

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  • Lydia Misset

    Michle Le Bras

    Claudine Merdy

    Marie-Andre Belarbi

    Pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01

    Second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    Fonctions de rfrence . . . . . . . . . . 58

    Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 083

    Probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    chantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    Maquette de couverture : Christine SoyezMaquette intrieure et composition : CMB GraphicSuivi ditorial : Stphanie MathSchmas : Lionel Buchet (SG Production)

  • PourcentagesPourcentages

    Partir dun bon pied

    Rapporter une partie au tout1 Part des dcs aprs 60 ans Londres :

    b. et d. 1 82013 189

    0,138 0 ; soit 13,8 %.

    Par rapport aux dcs Paris :

    f. 1 8202 799

    0,65 ; soit 65 %.

    2 a. Vrai: par lecture de lnonc.

    b. Faux: 1 5 + 2 + 0,394

    0,922 ; soit moins de 95 %.

    c. Faux: 2,394 5

    .

    B

    Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 1

    (p. 10)

    C h a P i t R e

    1Bien que lordre du programme ne place pas ces notions en premier, il nous a sembl important de leur donner la priorit pour diverses raisons. Ce chapitre ne ncessite que trs peu de prrequis, ce qui est plus rassurant pour des lves en ES, avec une faiblesse en maths en Seconde, alors que le second degr conduit une pratique du calcul algbrique, non matrise pour ce type dlves. La notion de part exprime en pourcentage (rapport dune partie au tout ou pourcentage instantan du programme prc-dent) est revue en page247 dans laccompagnement personnalis. Nous avons repris la rgle de trois, de nouveau tudie en primaire et trs utilise par les collgues dautres disciplines. Les professeurs de SES vont rapidement avoir besoin des pourcentages et il est bon de placer cet outil dans une approche mathmatique rigoureuse.Tous les lves pensent connatre les pourcentages, mais ils ne les matrisent pas encore. Le plus difficile est de penser un pourcentage dvolution en terme de multiplication, alors quil est exprim par une phrase indiquant une addition (ou une soustraction). Il faut donc casser une habitude, ce qui est le plus dlicat pdagogiquement. Cest pourquoi nous avons insist sur le coefficient multiplicateur.Nous avons fait le choix de nommer V0 la valeur ini-tiale, ou valeur de dpart, et V1 la valeur finale, ou valeur darrive, car les professeurs de SES ne donnent pas toujours la mme appellation.

    Calculer des pourcentages1 a. 50 % b. 100 % c. 75 % d. 500 %

    2 a. 12,5 b. 196 c. 156 d. 82,95

    3 Tableau des effectifs :

    Effectifs N Non N Total

    L 72 32 104

    Non L 48 8 56

    Total 120 40 160

    a

    Intentions des auteuresSi le pourcentage rciproque (taux compensatoire) est abord en Premire, ainsi que le taux global dvo-lution, le taux moyen annuel sera vu en Terminale seulement. Nous lavons abord lors de la rsolution graphique approche dquation.Lemploi de la calculatrice et du tableur est dun grand secours pour aller plus loin dans ces notions et entra-ner les lves une pratique aise de techniques de calculs sur les pourcentages. La notion de rsultats arrondis, aborde page25, doit tre vue le plus rapi- dement possible pour sappliquer dans tous les cha-pitres de cet ouvrage o les exercices concrets abondent.Conformment au programme, les situations pro- poses dans les autres domaines permettent dame-ner les lves avoir une attitude critique vis--vis des informations chiffres ; dans ce cadre, nous avons choisi des thmes importants et actuels : TVA, pou-voir dachat, SMIC, seuil de pauvret, consommation, chocs ptroliers, carte de crdit, etc. Les exercices pro- poss utilisent au maximum des donnes chiffres relles et actuelles.Ce chapitre peut se prolonger directement par le cha-pitre8 si on le dsire, ou le chapitre3. Cependant, il nous semble quune dmarche en spirale est plus adapt ces lves de 1re ES.Dailleurs, lordre des chapitres de ce manuel tient compte de cette dmarche: on peut donc le suivre de bout en bout.

  • ajouter des pourcentages1 Vrai: les pourcentages portent sur le mme

    ensemble : les filles dune classe de 1re ES.

    Et les parties considres sont disjointes.

    C

    tudier une volutionObjectifs

    Exprimer un taux en pourcentage en nombre dcimal ; calculer le montant dune baisse ou dune hausse ; calculer le prix aprs une hausse ou une baisse dont le taux est donn en pourcentages ; dcouvrir la relation entre le coefficient multipli- cateur et le taux dvolution.

    1 Calcul dun prix toutes taxes comprises (TTC)a. Lcriture dcimale sobtient en divisant par 100 les taux donns dans la dernire colonne du tableau. Ces valeurs sont entres en L1.

    b. Pour trouver le montant de la TVA en euros dans les diffrents pays, on applique le pourcentage de TVA au prix HT de 21 .En France, pour un livre : TVA = Prix HT 0,055.L2 = 21 L1.

    c. Prix TTC = Prix HT + TVAL3 = 21 + L2

    Activit 1

    2 Faux: on nadditionne pas des pourcentages qui portent sur des ensembles diffrents. Moins de la moiti des filles ou des garons viennent vlo. Le rsultat ne peut pas tre 54 % des lves.

    2 Calcul et utilisation des coefficients multiplicateurs

    a. CM = prix TTCprix HT

    L4 = L321

    La liste L4 contient les coefficients multiplicateurs pour un livre suivant les diffrents pays.

    b. On constate que L4 = 1 + L1. On en dduit que :

    CM = 1 + taux de la TVA100

    CM = prix TTCprix HT

    donc prix TTC = prix HT CM

    prix TTC = prix HT (1 + taux de la TVA100 )En France, le prix TTC dun VTT est :

    257 (1 + 0,196) 307,37 .Au Danemark, le prix TTC du graveur Blue Ray est :

    350 (1 + 0,25) = 437,50 .

    Pour les trois achats, Mlina dpense :748,13 en France ; 696,55 au Luxembourg ; 711,18 aux Pays-Bas ; 785 au Danemark.

    Dcouvrir (p. 12)

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  • Graveur Blue Ray VTT Livre Prix total

    Prix HT(en euros) 350 257 21 628

    Prix TTCFrance 418,6 307,372 22,155 748,127

    Prix TTCLuxembourg 402,5 272,42 21,63 696,55

    Prix TTCPays-Bas 416,5 272,42 22,26 711,18

    Prix TTCDanemark 437,5 321,25 26,25 785

    c. Avec une baisse de 20 % sur le montant des achats en France, Mlina obtient une remise de :

    0,20 748,13 149,63 .Le prix pay est : 748,13 149,63 = 598,50 .Le coefficient multiplicateur est :

    CM = prix final aprs la remiseprix initial

    = 598,50748,13

    = 0,80

    ou encore : nouveau prix = prix 0,20 prix = (1 0,20) prix = 0,8 prixPour un taux t de remise exprim en pourcentage, le coefficient multiplicateur est :

    CM = 1 t100

    .

    Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 3

    Comparer des volutions en variation absolue ou relativeActivit 2Objectifs

    Diffrencier les variations en valeur absolue et en valeur relative ; calculer un taux dvolution partir du coefficient multiplicateur.

    1 Novembre 1989 est le mois de la chute du mur de Berlin, o les habitants dAllemagne de lEst furent autoriss se rendre en Allemagne de lOuest aprs en avoir t privs depuis lanne 1961.

    2 Pour les migrations entre le mois doctobre et le mois de novembre, le coefficient multiplicateur est :

    CM1 = 133 42957 024

    2,339 9.

    Pour les migrations entre le mois de novembre et le mois de dcembre :

    CM2 = 43 221

    133 429 0,323 9.

    3 La variation absolue du nombre de migrations entre les mois doctobre et de novembre est :

    V1 = 133 429 57 024 = 76 405.Puis entre novembre et dcembre :

    V2 = 43 221 133 429 = 90 208.

    4 a. Pour les migrations entre octobre et novembre, le taux daugmentation est :

    t1 = V2

    57 024 100 133,99.

    La variation relative du nombre de migrations entre octobre et novembre est denviron 133,99 %.

    b. Pour les migrations entre novembre et dcembre, le taux de diminution est :

    t2 = V2

    133 429 100 67,61.

    La variation relative du nombre de migrations entre novembre et dcembre est denviron 67,61 %.

    c. On remarque que t1, le taux daugmentation en pourcentage entre octobre et novembre, est tel que :

    t1 = (CM1 1) 100 = CM1 100 100.De mme pour le taux de diminution entre novembre et dcembre :

    t2 = (CM2 1) 100 = CM2 100 100.

    d. Pour une hausse ou une baisse, la relation qui permet de calculer le taux dvolution t en fonction du coefficient multiplicateur CM est :

    t = (CM 1) 100 = CM 100 100.

    Cumuler des tauxActivit 3Objectifs

    Calculer le prix final aprs deux volutions succes-sives ; constater que les taux ne sajoutent pas.

    1 La chemise possde une tiquette verte, donc bnficie dune rduction de 40 %.55 0,40 55 = 55 (1 0,40) = 55 0,60 = 33.Le prix sold de la chemise est 33 .

    La jupe possde une tiquette orange, donc bnficie dune rduction de 30 %.68 0,30 68 = 68 (1 0,30) = 68 0,70 = 47,60.Le prix sold de la jupe est 47,60 .Le sac possde une tiquette violette, donc bnficie dune rduction de 50 %.139 0,50 = 69,50. Le prix sold du sac est 69,50 .

    2 a. Faux : Julie bnficie dune rduction suppl-mentaire de 15 %.

  • Savoir faire

    Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 4

    Exercices dapplication

    Exercices dapplication

    1.Calculer et utiliser un pourcentage dvolution (p. 15)

    2.Calculer et utiliser un taux dvolution global (p. 17)

    1 a. 1,18 b. 0,95 c. 2,5 d. 0,5

    2 a. CM = 110,585

    = 1,3 ;

    t = (CM 1) 100 = 30 ;soit une hausse de 30 %.b. CM = 3 ; t = (CM 1) 100 = 200 ;soit une hausse de 200 %.

    c. CM = 11,25

    = 0,8 ; t = (CM 1) 100 = 20 ;

    soit une baisse de 20 %.

    d. CM = 630

    = 0,2 ; t = (CM 1) 100 = 80 ;

    soit une baisse de 80 %.e. CM = 0,5 ; t = (CM 1) 100 = 50 ;soit une baisse de 50 %.

    3 a. prix TTC = prix HT 1,196 = 68 1,196 81,33 b. La vendeuse propose une remise de 15 % :

    81,33 (1 15100 ) = 81,33 0,85 69,13.Aprs la remise de 15 %, le client paiera 69,13 .

    4 La consommation en 2008 est C2008 = 51,5 aprs avoir baiss de 22,7 %.

    CM = 1 22,7100

    = 0,773

    C1998 = C2008CM =

    51,50,773

    66,6

    La consommation annuelle de yaourts par an et par personne en 1998 est de 66,6 kg.

    5 La population augmente de 10 % : elle est multi-plie par 1,10. Puis elle baisse de 10 % : elle est mul- tiplie par 0,90.Le coefficient multiplicateur global est :CM = 1,10 0,90 = 0,99.0,99 < 1 donc la population finale est infrieure la population initiale.Le taux dvolution global est de 1 %.150 000 0,99 = 148 500. La nouvelle population compte 148 500 habitants.

    6 Les taux dvolution successifs sont de 2 %, 4 % et 5 %. Le coefficient multiplicateur global est :CMglobal = 1,02 1,04 0,95 1,0078.tglobal = (1 CM) 100 = 0,78 ;soit une hausse denviron 0,78 %.

    7 a. En 2008, lindice est gal 103,1 donc le coeffi-cient multiplicateur est 1,031. De 2007 2008, le prix a augment de 3,1 %.De mme de 2007 2009, lindice est 157 donc le coeffi-cient multiplicateur est 1,57. Le prix a augment de 57 %.En 2005, lindice est 95, le coefficient multiplicateur est 0,95 cest--dire que le prix est infrieur de 5 % au prix de 2007. Pour connatre laugmentation du prix entre 2005 et 2007, on calcule le taux dvolution rciproque :

    ( 1CM 1) 100 = ( 10,95 1) 100 5,26Le prix a augment de 5,26 % entre 2005 et 2007.

    b. CM = 15795

    = 1,652 6 ; t = (CM 1) 100 = 65,26.

    Entre 2005 et 2009, le prix a augment de 65,26 %.

    Donc : 69,50 69,50 0,15 = 69,50 (1 0,15) = 69,50 0,85 = 59,075.Le prix du sac est 59,07 .Aprs une rduction de 65 % :139 0,65 139 = 139 (1 0,65) = 139 0,35 = 48,65.Le prix du sac est de 48,65 . Les prix sont diffrents. Les pourcentages dvolution ne sajoutent pas.

    b. Faux : 55 1,4 correspond au calcul du prix aprs une hausse de 40 %.55 1,4 = 77. Le prix de dpart serait donc de 77 .

    Or si lon effectue une remise de 40 % sur ce prix, on ne retrouve pas 55 :

    77 0,40 77 = 77 (1 0,40) = 77 0,60 = 46,20.Le prix avant une remise de 40 % ne sobtient pas en effectuant une hausse de 40 % du prix pay.

    c. Vrai : On effectue une remise de 40 %.Soit x le prix de la chemise, le nouveau prix est :x1 = x x 0,40 = x (1 0,40) = x 0,60.Puis une remise de 15 % :x1 x1 0,15 = x1 0,85 = (x 0,60) 0,485 = x 0,51soit une remise de 49 %.

  • Exercices

    Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 5

    1 Pourcentage dvolution (p. 20)19 Valeur finale aprs une hausse

    a. Q = (1 + 4100) Q = 1,04 Q.b. L = (1 + 10100) L = 1,10 L.c. N = (1 + 200100) P = 3 N.20 Valeur finale aprs une baisse

    a. P = (1 5100) P0 = 0,95 P0.b. P = (1 4100) P = 0,6 P.21 Calculs de variations absolues,

    puis relativesV0 la valeur de dpart, V1 la valeur darrive, la variation absolue est : V = V1 V0.

    Le coefficient multiplicateur est : CM = V1V0

    .

    La variation relative en pourcentage est :t = (CM 1) 100.

    a. V = 21,2 20 = 1,2 soit une variation absolue de 1,2 millions ;

    CM = 21,220

    = 1,06 ; t = 6 soit une hausse de 6 %.

    b. V = 0,2 millions ; CM = 0,96 ; t = 4 soit une baisse de 4 %.c. V = 1,5 milliers ; CM 1,2143 ; t 21,43 soit une hausse de 21,43 %.

    22 Calculs de variations relatives

    Le coefficient multiplicateur est : CM = V1V0

    .

    La variation relative en pourcentage est :t = (CM 1) 100.

    a. CM = 3,954,05

    0,975 ;

    t = 2,5 soit une baisse denviron 2,5 %.

    b. CM = 543

    0,116 ;

    t = 88,4 soit une baisse de 88,4 %.

    c. CM = 1,051,2

    0,875 ;

    t = 12,5 soit une baisse de 12,5 %.

    d. CM = 0,70,75

    0,933 3 ;

    t = 6,67 soit une baisse de 6,67 %.

    23 Lien entre coefficient multiplicateur et taux dvolution

    V1 V0V0

    = V1V0

    V0V0

    = CM 1

    Si t est le taux dvolution, alors CM = 1 + t100

    ou encore t = (CM 1) 100.

    24 Calculs de taux dvolution partir du coefficient multiplicateur

    partir du coefficient multiplicateur CM, le taux dvo-lution en pourcentage est : t = (CM 1) 100.a. Le prix de cet article a doubl donc CM = 2 ;t = 100 soit une hausse de 100 %.b. La population de cette ville est rduite de moiti donc CM = 0,5 ; t = 50 soit une baisse de 50 %.c. Cette cole a perdu le quart de ses lves donc CM = 0,75 ; t = 25 soit une baisse de 25 %.d. Cet lve bnficie dun tiers temps supplmentaire donc CM 1,3333 ; t = 33,33 soit une hausse de 33,33 %.

    25 QCM

    1 b. CM = 144120

    = 1,2 : hausse de 20 %.

    2 b. et c. CM = 200250

    = 0,80 = 11,25

    QCM

    8 c. Le budget de Jean est 13 5000,6

    = 22 500 .

    9 a. Une hausse de 2 % (2 pour 100 ).

    10 c. Prix HT = prix TTC1,196

    108,61 .

    11 c. CM = 2001 500

    0,133.

    Et (0,133 1) 100 86,7 ; soit une baisse de 87 % 1 point prs.

    12 b. CMglobal = 0,90 0,80 = 0,72.

    13 b. I = 4 3183 400

    100 = 127.

    14 b. CMglobal = 2 3 = 6 ; soit une hausse de 500 %.

    15 b. Vfinal = Vinitial 1,6 ; donc Vinitial = Vfinal1,6

    CM = 11,6

    ; donc t = ( 11,6 1) 100 = 37,5.16 c. CM = 0,75 et CM CM = 1.

    Donc CM = 11,75

    = 43

    = 1 + 13

    .

    On doit augmenter dun tiers.

    17 b. 4 800 1,065 1,065 = 5 444,28et 5 444,28 4 800 = 644,28.

    18 c. (1 + 0,009)12 1,1135 ; hausse de 11,4 %.

    (p. 19)

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 6

    3 a. et b. CM = 240300

    = 0,8 : baisse de 20 %.

    c. est faux, car 100120

    0,833 0,8

    26 CM et tauxt = (CM 1) 100

    CM 1,04 1,4 1,004 0,95 0,59

    Taux (en%) + 4 + 40 + 0,4 5 41

    CM 0,09 1,057 2,15 5

    Taux (en%) 91 + 5,7 + 115 + 400

    27 Calcul de taux partir dindices

    Au 1er du mois Jan. Fv. Mars Avril Mai

    Indice 100 110 123 103 97

    Taux dvolution 10 % 23 % 3 % 3 %

    28 Calculs dindices

    CM = (1 + t100) et In/2009 = CM 100.Les ventes des voitures de la marque Peugeot ont baiss de 15 % entre 2009 et 2010 donc CM = 0,85 ; soit I2010/2009 = 85.

    Les ventes des voitures de la marque Renault ont baiss de 7 % entre 2009 et 2010 donc CM = 0,93 ; soit I2010/2009 = 93.Les ventes des voitures de la marque Dacia ont aug-ment de 47,5 % entre 2009 et 2010 donc :

    CM = 1,4755 ; soit I2010/2009 = 147,55.

    Anne 2009 2010

    Indice pour la marque Peugeot 100 85

    Indice pour la marque Renault 100 93

    Indice pour la marque Dacia 100 147,55

    29 Frquentation des cinmasLes programmes corrects sont les programmes 2 et 3.

    Le programme 2 correspond la formule :

    t = V1 V0

    V0 100.

    Le programme 3 correspond la formule :t = CM 1 100.

    Les volutions de la frquentation mensuelle entre 2008 et 2009 sont plus fortes quentre 2007 et 2008 pour les sept mois : janvier, mai, juin, juillet, aot, sep-tembre et dcembre, mais lvolution de la frquen- tation annuelle entre 2008 et 2009 est moins forte quentre 2007 et 2008.

    30 indice et taux

    In/2000 = Yn

    V2000 100.

    a. Entre 2006 et 2007, CM = 35,59,4

    = 3,78.

    Lindice en 2007 est 3,78 100 378.De mme pour les autres annes.On complte le tableau avec un tableur :

    b. Entre 2006 et 2009, lindice passe de 100 2 851 ;t = (CM 1) 100 = CM 100 100 = I2009/2006 100 = 2 751.Le taux dvolution entre 2006 et 2007 est de 2 751 %.

    31 Calcul de valeur initiale

    a. V0 = V1

    CM = 20 600

    1,03 = 20 000 :

    population de 20 000 habitants en 2009.

    b. 580,80

    = 72,5. La veste cotait 72,50 .

    c. Prix HT = 2581,196

    215,72

    32 taux de remisea. prix TTC = 21 850 .Le prix pay par lacheteur est le prix HT.prix TTC = prix HT 1,196 ;

    ou encore : prix HT = prix TTC1,196

    = 21 8501,196

    18 269.

    Lacheteur paie ce modle 18 269 .

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 7

    b. 21 850 18 269 = 3 581 ; le montant de la remise est de 3 581 .3 851

    21 850 0,163 9 ; le taux de la remise est de 16,39 %.

    33 taux: March de la viande

    1 CM = 21,221,8

    = 0,972 5 ; t = (CM 1) 100 = 2,75 ;

    la consommation de viande de buf a diminu de 2,75 %.2 Soit V0 la consommation initiale de viande de volaille en 2007 et V1 la consommation en 2008 :V1 = 25 ; V0 = 25 0,2 = 24,8

    donc CM = 2524,8

    1,008 1. La consommation de viande

    de volaille a augment de 0,81 %.

    3 Soit O0 la consommation de viande ovine en 2007 et O1 la consommation en 2008 :

    O1 = 3,7 et CM = 1 6,9100

    = 0,931

    donc O1 = O1CM

    = 3,70,931

    3,97.

    La consommation individuelle de viande ovine en 2007 tait denviron 4 kg.

    34 taux: March de la bire

    1 CM = 1,91,5

    1,267 donc t = (CM 1) 100 = 26,7

    soit une hausse de 26,7 % du march de la bire en France entre 2008 et 2009.

    2 Le march de la bire a baiss de 2 % en 2010

    donc CM = (1 t100) = 0,98.1,9 0,98 = 1,862 donc le march de la bire en 2010 est denviron 1 900 millions deuros, valeur arrondie 50 millions deuros prs.3 En 2010, la consommation de bire par an et par habitant est C1 = 17,2 L.

    La consommation a augment de 9 % en 2009.Si C0 est la consommation en 2009, C1 = 1,09 C0

    donc C0 = C1

    1,09 = 17,2

    1,09 15,8.

    En 2009, la consommation annuelle par habitant tait de 15,8 L.

    35 volution dune recette

    R1 = 430 2,5 = 1 075 .La quantit augmente de 15 % et le prix diminue de 10 % :

    (430 1,15) (2,5 0,90) = 1 112,625.La recette du mois suivant est de 1 112,625 .

    CM = R2R1

    = 1,035 ; t = (CM 1) 100 = 3,5 ;

    soit une augmentation de 3,5 %.

    36 volution du pouvoir dachat1 Pouvoir dachat :

    Anne 0 : 1 300112,4

    = 11,566

    Anne 1 : 1 350120,5

    = 11,203

    Variation relative du prix :

    t = ( 120,5112,4 1) 100 = 7,21 ; soit une hausse de 7,21 %.Variation relative du salaire :

    t = ( 1 3501 300 1) 100 = 3,85 ; soit une hausse de 3,85 %.Variation relative du pouvoir dachat :

    t = ( 11,20311,566 1) 100 = 3,14 ; soit une baisse de 3,14 %.2 Le nouveau pouvoir dachat est :

    salaire 1,08prix 1,10

    = salaireprix

    1,081,10

    .

    Le pouvoir dachat est multipli par 1,081,10

    = 0,988

    soit une baisse de 1,82 % du pouvoir dachat.

    37 Carte de crdit dun magasin1 Au bout dun an, le montant payer augmente de 19,7 % : 1 200 1,197 = 1 436,40.Le client remboursera 1 436,40 .2 a.

    Intrts pays chaque mois : Capital restant taux mensuel

    1200 0,015 = 18

    Capital restant d chaque mois : Capital prcdent

    + intrts mensuels mensualit

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 8

    b. Le client a besoin de 17 mois pour rembourser son crdit.c. La somme effectivement paye sobtient en ajou-tant, la somme de toutes les mensualits, le dernier capital restant : 17 80 + 9,52 = 1 369,52.Le prix de lordinateur tait de 1 200 , le client a pay 1 369,52 :

    (1 369,521 200 1) 100 = 14,1 soit une hausse de 14,1 %.d. Avec des mensualits de 50 :

    Le client rembourse son crdit en 20 mois :29 50 + 48,04 = 1 498,04 ;

    soit un capital effectivement pay de 1 498,04 .

    (1 498,041 200 1) 100 = 24,84 ; soit une hausse de 24,84 %.

    2 volutions successives (p. 23)38 Vrai ou faux ?

    a. Faux: 1,02 0,97 = 0,9894 ; Or (0,9894 1) 100 = 1,06 ;la valeur a diminu de 1,06 %.b. Vrai: le coefficient multiplicateur est :CM1 = 0,92 0,93 = 0,8556 : baisse de 14,44 %.c. Faux: CMglobal = 1,5 0,5 = 0,75. Par ces deux vo- lutions, on obtient une baisse de 25 %.d. Vrai: pour une hausse de 100 %, CM = 2.Donc CMglobal = 0,5 2 = 1.

    39 taux global dvolutiona. Les signes indiquent une baisse du march solaire thermique.

    Anne 2004 2005 2006 2007 2008 2009Croissance(en%) 11 25 47 9 60 10

    CM 1,11 1,25 1,47 0,91 1,6 0,9b. CMglobal = 1,11 1,25 1,47 0,91 1,6 0,9 2,6727soit une hausse denviron 167 % pour ces 6 annes.

    40 taux dvolution et prvision

    a. t1= (CM1 1) 100 = ( 3,870,125 1) 100 = 2 996soit une hausse de 2 996 % de 2005 2009.

    t2= (CM2 1) 100 = ( 83,87 1) 100 106,72soit une hausse de 106,72 % de 2009 2010.b. CMglobal = CM1 CM2 30,96 2,07 64

    tglobal = (CMglobal 1) 100 = (64 1) 100 = 6 300

    ou CMglobal = 8

    0,125 = 64 ;

    tglobal = (CMglobal 1) 100 = (64 1) 100 6 300soit une hausse de 6 300 %.c. La production en 2011 augmente de 130 % par rapport la production de 2010 :

    (1 + 130100) 8 = 18,4En 2011, lentreprise produira 18,4 milliers de tonnes de produits alimentaires.

    41 taux de tVa et remise1 Sans rduction : prix TTC = prix HT 1,196.Avec une rduction de 15 % sur le prix HT :nouveau prix = (prix HT 0,85) 1,196.Avec rduction de 15 % sur le prix TTC :nouveau prix = prix TTC 0,85 = (prix HT 1,196) 0,85.Les rsultats sont gaux.2 Le vendeur propose une rduction de 8 % sur le prix TTC, donc le nouveau prix est : prix TTC 0,92.Le taux de la TVA est de 19,6 % :

    prix TTC = prix HT 1,196.Le prix HT est de 34 698 .34 698 1,196 0,92 = 34 698 1,10032 38 179 ;le prix pay par le client est 38 179 .

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 9

    42 taux annuels et indices

    a. t1= ( V1V0 1) 100 = (CM 1) 100 laide dun tableur :

    Lvolution la plus forte est en 2008.

    b. Indices base 100 en 2007 : In/2007 = Vn

    V2007 100 ; voir tableau ci-dessus.c. tglobal = (CMglobal 1) 100

    CMglobal = 540,4348,5

    1,550 6

    ou CMglobal = 1,180 2 1,142 0 1,150 5 1,550 6soit une hausse de 55,06 % ou tglobal = I2010/2007 100.Lindice en 2010, base 100 en 2007, est gal 155,06, ce qui correspond une hausse de 55,06 %.13

    55,06 18,35: rsultat suprieur aux taux annuels

    obtenus en a.

    43 volution du taux de chmage

    a. V0 = 46,1 3,9 = 42,2 et V1 = 46,1.

    CM = 46,142,2

    1,092 4 : hausse de 9,24 %.

    b. Espagne : hausse de 9,69 %, car CMglobal = 0,998 1,031 1,066 1,0969.France : hausse de 0,18 %, car CMglobal = 0,991 0,994 1,017 1,0018.Allemagne : baisse de 2,29 %, car CMglobal = 0,986 0,989 1,002 0,9771.

    44 Calculs de taux rciproques

    t= ( 1CM 1) 100 ; en pourcentage.a. ( 11,25 1) 100 = 20b. ( 11,6 1) 100 = 37,5c. ( 10,8 1) 100 = 25d. ( 10,4 1) 100 = 150e. ( 13 1) 100 66,67f. ( 10,1 1) 100 = 900

    45 Recherche de taux et quations

    a. CM = 1,2 (1 + t100

    ) = 1,4

    1 + t100

    = 1,41,2

    t = (1,41,2 1) 100 16,67 ;soit une hausse de 16,67 %.

    b. CM = 1,1 (1 t100) = 1051 t

    100 = 1,05

    1,1 t = (1 1,051,1 ) 100 4,55 ;

    soit une baisse de 4,55 %.

    c. CM = (1 + t100)2 = 1,21

    1 + t100

    = 1,1 t = 10 ; soit une hausse de 10 %.

    d. CM = (1 + t100) (1 t100) = 1 t2

    10 000

    1 t2

    10 000 1.

    Le coefficient multiplicateur global est infrieur 1, donc le prix final est infrieur au prix initial.

    46 taux global et quation

    a. (1 t100)2

    = 0,9 1 t100

    = B0,9

    On ne garde que la solution positive, car un coefficient multiplicateur est positif.t = (1 B0,9 ) 100 5,13Chaque anne, la ville perd 5,13 % de ses habitants.

    b. 1,2 (1 + t100)2 (1 t100)

    2 = 1,1

    Or (100 + t) (100 t) = 100 tOn rsout :

    (1 t100)2)2 = 1,1

    1,2 (1002 t21002 ) = C1,11,2

    1002 t2 = 1002 C1,11,2

    t2 = 1002 1002 C1,11,2

    t = 100 C1 C1,11,2

    20,63

    Le taux de placement est de 20,63 %.

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 10

    47 Placements sur un compte pargne

    a. Le capital est plac au taux annuel de 3 %, donc il augmente de 3 % au bout dun an :

    300 1,03 = 309Le capital est de 309 au 1er janvier 2011.b. Au 1er janvier 2011, Flore ajoute 20 sur son compte pargne.Au 1er janvier 2012 : 329 1,03 = 338,87 puis elle ajoute 20 , donc le capital est de 358,87 .Au 1er janvier 2013 : 358,87 1,03 369,64 puis elle ajoute 20 , donc le capital est de 389,64 .

    Au 31 dcembre 2013 : 389,64 1,03 401,33.Le capital acquis est de 401,33 la fin dcembre 2013.

    c. Pour les deux annes, CMglobal = 390300

    = 1,3.

    Soit t le taux annuel, t vrifie (1 + t100)2 = 1,3.

    1 + t100

    = B1,3

    donc t = (B1,3 1) 100 14,02 ;soit un taux annuel de 14,02 %.

    48 SMiC et pouvoir dachat

    a. et b. Pouvoir dachat = salaireprix

    et t = (CM 1) 100 en pourcentage.

    c. En 2011, le nouveau pouvoir dachat est : SMIC 1,016prix 1,03

    SMICprix

    1,0161,03

    = SMICprix

    0,986 4

    CM = 0,9864 donc t = (0,9864 1) 100 = 1,36 ; soit une baisse de 1,36 % du pouvoir dachat.

    d. Soit CM le coefficient multiplicateur du SMIC. CM vrifie : SMIC CM

    prix (1 + t100) = 1,01 SMIC

    prix donc CM

    1 + t100

    = 1,01.

    Do (1 + t100) = CM1,01 ; soit une hausse du SMIC de taux t = ( CM1,01 1) 100 en pourcentage.49 taux global et doublement

    a. On sait que 26 = 64 ; 6 5 = 30. En 30 ans, lunit dargent vaut 64 fois sa valeur initiale.b. CM = 64 ; t = (CM 1) 100 = 6 300 ; soit une augmentation de 6 300 %.

    50 Dcote dune automobile

    a. t = ( V1V0 1) 100 = (CM 1) 100Si lacheteur choisit un modle 2005, le taux dvolution du prix du vhicule est : t = ( 8 80023 450 1) 100 62,47 ; soit une baisse de 62,47 %.b. laide dun tableur, on obtient :

    c. En 2011, le prix du vhicule a baiss de 17,8 % : P2011 = P2010 (1 t100) .23 450 (1 17,8100 ) = 23 450 0,822 = 19 275. Le prix du vhicule en 2011 est 19 275 .En 2012, il baisse encore de 17,8 % : 19 275 (1 17,8100 ) = 19 275 0,822 = 15 844,05.Le prix du vhicule en 2011 est 15 844,05 .

  • Vers le Bac

    Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 11

    51 exercice guid1 Le prix au troisime mois est : 145 1,05 = 152,25.

    Le prix au premier mois est : 1450,91

    .

    2 a. CMglobal = 0,91 1,05 1,04 1,10 1, 0931et (1,0931 1) 100 = 9,31 ;soit une hausse denviron 9,31 %.

    b. Coefficient rciproque : 11,093 1

    = 0,914 8

    et (0,9148 1) 100 = 8,52 ;soit une baisse rciproque de 8,5 %.3 Tableau des indices

    Dbut du mois 1 2 3 4 5

    Indice 100 91 95,6 99,4 109,3

    52 Seuil de pauvret

    ParTie a

    1 c. CM = 3 7515 785

    0,648 4 ; soit une diminution entre

    1975 et 1990, de 35,2 % 0,1 % prs.2 b. Le nombre de personnes tudies en 1970 :57850,12

    48 208 et en 2005 : 3 7330,063

    59 254 (en milliers),

    soit une augmentation de 11 millions, 1 million prs.

    3 c. Le niveau de vie est le double du seuil de pau-vret.

    CM = 2 7572 377

    2,008 ; soit une hausse denviron 100 %

    du niveau de vie mdian de 1970 2007.

    ParTie B1 V1975 = 8 649, V1990 = 7 848 ;Variation absolue entre 1975 et 1990 :V = V1990 V1975 = 801 milliers ;

    CM = V1990V1975

    0,907 4

    donc t = (CM 1) 100 = 9,26.Le nombre de personnes pauvres a diminu de 9,26 % de 1970 1990. Ce rsultat est infrieur en pourcen-tage, celui trouv la question 1 de la ParTie a.2 V1970 = 8 649, V2005 = 7 136 ;Variation absolue entre 1970 et 2005 :V = 1 513 milliers ;Variation relative entre 1970 et 2006 :V

    V1970 100 = 1 513

    8 469 100 17,49

    ou CM = V2005V1970

    0,825 1

    donc t = (CM 1) 100 = 17,49.Le nombre de personnes pauvres a diminu de 17,49 % de 1970 2005.3 Avec un seuil de pauvret 50 %, entre 2000 et 2007, le seuil de pauvret a augment de :

    t = ( 757657 1) 100 = 15,2 soit une hausse de 15,2 %.Avec un seuil de pauvret 60 %, entre 2000 et 2007, le seuil de pauvret a augment de :

    t = ( 908789 1) 100 = 15,08 soit une hausse de 15,08 %.

    53 Calcul du prix de la rentre1 On complte le tableau donn, laide dun tableur, en utilisant les coefficients multi-plicateurs :

    Cellule B2 : CM = (1 + 6,13100 ) = 0,938 7 donc prix en 2009 = 33,07

    CM 35,23.

    Cellule B3 : CM = (1 + 1,42100 ) = 1,014 2 donc prix en 2009 = 88,32

    CM 87,08.

    Cellule C4 : CM = (1 + 3,89100 ) = 1,038 9 donc prix en 2010 = 51,92 CM 53,94.En ajoutant toutes les dpenses, on calcule la dpense totale en 2009 en cellule B5 puis en cellule C5, celle de 2010 :t = (CM 1) 100 0,63 ; soit une hausse de 0,63 %.

    La hausse des prix des vtements a t la plus impor-

    tante.

    2 laide du tableur, on obtient :

    Anne Cot CM Taux dvolution (en%)

    2004 184,73

    2005 186,32 1,0086 0,861

    2006 202,7 1,0879 8,791

    2007 206,68 1,0196 1,963

    2008 190,82 0,9233 7,674

    2009 174,23 0,9131 8,694

    (p. 26)

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 12

    3 a. Magasins spcialiss : P2009 = P2010CM

    = P2010

    1,027 1 .

    laide du tableur :

    2009 2010

    Papeterie 31,04 31,88

    Fournitures 80,32 82,5

    Vtements 65,69 67,47

    Total 177,05 181,85

    b. Supermarchs :

    Variation relative des prix : t = ( V2010V2009 1) 1002009 2010 Variation relative des prix

    Papeterie 41,1 36,66 10,80

    Fournitures 95,41 95,19 0,23

    Vtements 51,56 50,53 2,00

    Total 188,07 182,38 3,03

    c. De 2009 2010, les prix ont augment dans les magasins spcialiss et baiss dans les supermarchs.

    54 Prix dachat dune maison

    Prix de la premire maison :260 000 (1 + 0,02 + 0,07 0,02) = 278 200 .Prix de la deuxime maison :250 000 (1 + 0,06 + 0,07) 5 000 = 277 500 .

    55 taux dvolution et lecture graphique

    1 a. Faux : si CMglobal = 2, le taux t dvolution annuelle vrifie :

    CMglobal = (1 + t100)2 = 2

    donc 1 + t100

    = B2 or B2 1,414 2.

    Le prix naugmente que de 41,42 % par an.b. Faux : CMglobal = 1,2 0,8 = 0,96.CMglobal 1 donc le prix final est infrieur au prix initial.

    2 a. Soit x le taux dvolution annuel, pour les deux

    annes : CMglobal = (1 + x100)2.

    b. Par lecture graphique : pour CMglobal = 2, x 1,414 2.On retrouve sur le graphique suivant que deux hausses successives de 41,42 % font doubler la valeur initiale.

    3 a. Soit x le taux de la hausse et x celui de la baisse :CMglobal = (1 + x100)(1 x100) = 1 x

    2

    10 000b. Par lecture graphique :pour CMglobal = 0,96, x = 20.

    4 CMglobal = (1 10100)5 0,590 5.

    Aprs 5 baisses successives de 10 %, on obtient une baisse de 40,95 % et non 50 %.

    CMglobal = (1 x100)5 = 0,5.

    Par lecture graphique, x 12,94.

    Aprs 5 diminutions de 12,94 % ( 0,01 prs), le prix diminue de moiti.

    56 Pouvoir dachat et SMiC

    ParTie a1 a. Entre 1999 et 2002 : CMglobal = 1,032 1,034 1,034 1,036 1,143 1 ;soit une hausse de 14,31 %.b. Entre 2003 et 2006 : CMglobal = 1,008 1,026 1,016 1,026 1,078 1 ; soit une hausse de 7,81 %.c. Laffirmation du journaliste est vraie.2 a. Les indices du salaire moyen base 100 en 1951 sont 342, 345, 344, 345, 348, 348, donc stables de 2001 2006.

    CMglobal = 348342

    1,017 5 ;

    soit une hausse de 1,75 % en 5 ans.

    Le SMIC horaire brut est pass de 6,67 8,27 .

    CMglobal = 8,276,67

    1,239 9

    soit une hausse de 24 % en 5 ans.

    b. Laffirmation du journaliste est fausse.

  • Rinvestir...

    Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 13

    ParTie B1 a. b. et 2 a. laide dun tableur : tannuel = (CM 1) 100 = ( V1V0 1) 100 et In/2001 =

    VnV2001

    100.

    57 ... en conomieCalculs dlasticit1 Le prix a augment de 1,2 % entre 2005 et 2006, CM = 1,012. Il atteint 5,94 en 2006.

    P2005 = P2006CM

    = 5,941,012

    5,87 donc le prix dune place en 2005 est 5,87 .

    2 Entre 2006 et 2008, T = (CMglobal 1) 100 = (6,015,87 1) 100 2,39 ; soit une hausse de 2,39 %.3 Le taux annuel t vrifie lquation : CMglobal = (1 + t100)

    3 = 1,023 9.

    Le taux annuel arrondi au centime : t 0,79 %.4 laide dun tableur, on obtient que le prix dune place de cinma dpasse 6,25 en 2013.

    b. Entre 2007 et 2008, le salaire moyen augmente de 1,5 % : 353 1,015 = 358,295donc le salaire moyen en 2008 est environ gal 358 .

    CM = 358342

    1,047 donc lindice base 100 en 2001 du salaire moyen en 2008 est 104,7.

    (p. 28)

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 14

    5 a. ED/P =

    D1 D0D0

    P1 P0P0

    =

    2 350 2 4002 4000,208,60

    0,89

    b. Le prix augmente de 2 % donc le prix dune place de cinma au mois 1 est :

    P1 = P0 (1 + t100) = 8,80 1,02 = 8,976.Soit D1, le nombre de places vendues le mois 1, D1 vrifie lquation :

    ED/P =

    D1 2 3502 3500,02

    = 1,3 D1 = 2 288,9.

    Mois 0 Mois 1

    Prix (en ) 8,80 8,98

    Demande:nombre de places vendues 2350 2289

    Chiffre daffaires (en ) 20 680 20 555,22

    Le chiffre daffaires est gal 8,98 2 289 = 20 555,22 . Le taux dvolution du chiffre daffaires est :

    t = (20 555,2220 680 1) 100 0,603 ;soit une baisse de 0,6 % du chiffre daffaires.Le directeur na pas fait le bon choix.

    58 ... en anglaistourisme international1 a. Pendant la priode de janvier aot 2010, le nombre de touristes est suprieur de 40 millions au nombre de touristes la mme priode en 2009. Il tait donc gal 602 millions en 2009. Le pourcentage dvolution est :

    t = (642602 1) 100 6,64 ;soit une hausse de 6,64 % entre 2009 et 2010.b. Le nombre de touristes en 2010 est suprieur de 1 million au nombre de touristes la mme priode en 2008. Le nombre de touristes en 2008 est donc gal 641 millions en 2008.Le pourcentage dvolution est :

    t = (602641 1) 100 6,08 ;soit une baisse de 6,08 % entre 2008 et 2009.2 Le taux dvolution entre 2010 et 2011 est de 4 % : CM = 1,04.En 2010, le nombre de touristes est de 642 millions.642 1,04 = 667,6 : le nombre de touristes estims en 2011 est de 667,6 millions.

    3 Entre 2009 et 2011, le nombre de touristes a aug-ment de 6,64 % puis a baiss de 6,08 % puis augment de 4 % :

    CMglobal = 1,066 4 0,939 2 1,04 1,041 6 ;soit une hausse de 4,16 % du nombre de touristes entre 2009 et 2011.

    59 ... en biologie

    Population de bactries1 a. Pendant les cinq premires minutes, la popula-tion des bactries continue daugmenter.b.

    t 0 5 10

    f (t)

    1 025

    2

    On observe que le bactricide ralentit la croissance de la population de bactries.

    60 ... en gographie

    volution de la population japonaise1 La population japonaise a baiss de 0,24 % entre 2009 et 2010 : CM = 0,9976. En 2010, la population compte 126 804 400 habitants :

    P2009 = P2010

    0,997 6 = 127 109 462 ; la population en 2009

    compte 127 109 462 millions dhabitants.

    2 a. laide dun tableur, on obtient :

    Anne Population Taux / 2004

    2050 115 183 943 9,79

    2051 114 907 502 10,01

    Anne Population Taux / 2004

    2100 102 144 259 20

    2109 99 959 006 21,7

    b. Ce nest qu partir de 2100 que la population japo-naise sera infrieure 100 millions dhabitants.

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 15

    61 ... en conomieConsommation des mnages

    1 a. coeff. budgtaire = conso. du posteconso. totale

    100

    laide dun tableur, on obtient :

    b. La part de lalimentation est de 10,4 %.1 418,6 0,1040 147,53 donc la consommation pour lalimentation est de 147,53 milliards.2 a. tglobal = (CMglobal 1) 100CMglobal = 1,027 1,045 1,034 1,047 1,052 1,032 1,2614 soit une hausse de 26,14 % du Revenu Disponible Brut entre 2003 et 2009.

    Anne 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Global

    Taux (en%)au cours de lanne

    2,7 4,5 3,4 4,7 5,2 3,2 26,14

    CM 1,027 1,045 1,034 1,047 1,052 1,032 1,2614

    b. EC/R = taux dvolution de la consommation

    taux dvolution du revenu

    Pour lalimentation : EC/R = 18,2

    26,14 0,67

    Pour les loisirs : EC/R = 25,2

    25,14 0,96

    Pour le logement : EC/R = 33,3

    25,14 1,27

    Pour les communications : EC/R = 39,5

    26,14 1,51

    c. Si le revenu augmente de 1 %, pour lalimentation, la consommation augmente de 0,67 %, donc une aug-mentation moins forte.Pour les loisirs, la consommation augmente de 0,96 %, donc une augmentation presque gale.Pour le logement, la consommation augmente de 1,27 %, donc une consommation plus forte.Pour les communications, la consommation augmente de 1,51 % donc une consommation plus forte.

    62 ... en artsLes poupes russes

    1 t = (CM 1) 100 = ( V1V0 1) 100 laide dun tableur :

    2 CMglobal = 1,5 1,666 7 1,6 1,625 1,615 4 10,5 ;tglobal = (CMglobal 1) 100 = 950 ;soit une augmentation de la taille de 950 % entre la poupe P2 et la poupe P7.

    3 P0 est la valeur de dpart avant une augmentation de 66,1 %.

    P1 = P2

    CM = 2

    1,661 1,2.

    La plus petite poupe mesure 1,2 cm.

    63 ... en histoireLes chocs ptroliers du xxesicle1 En 1973, variation absolue V = 10,41 2,83 = 7,58 ; soit une hausse de 7,58 $.

    Variation relative : t = (10,412,83 1) 100 267,84 ; soit une hausse denviron 268 %.En 1978, variation absolue : V = 29,75 13,03 = 1672 ; soit une hausse de 16,72 $.

    Variation relative : t = (29,7513,03 1) 100 128,31 ; soit une hausse de 128 %.Lvolution de 1973 fut la plus importante en valeur relative.

    2 a. Entre 1985 et 1986, t = (12,9727,33 1) 100 52,9 ; soit une baisse de 52,9 %.b. Cet effondrement fut beaucoup moins important en valeur relative.3 laide dun tableur (voir ci-dessous) :

    la calculatrice :Entrer en liste L1 les annes : OPS 5 : suite (x, x, 1973, 1 990,1) L1.Entrer les prix en liste L2.En liste L3, entrer : L3 = 100 L2 L2(6).

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. ChaPitRe 1 Pourcentages 16

    64 ... en conomie

    Comparaison de deux livrets dpargne1 Le capital obtenu en appliquant le calcul de la pre-mire proposition au taux annuel de 1,75 % est :

    C1 = C0 (1 + t100) = 5 000 1,0175 = 5 087,5 ; soit un capital de 5 087,50 .2 a. Soit t le taux mensuel correspondant un taux annuel de 4,8 %, le coefficient multiplicateur global

    est CMglobal = (1 + t100)12.t vrifie lquation : (1 + t100)12 = 1,048.b.

    Le taux mensuel est de 0,391 5 %.

    c. Soit t le taux mensuel correspondant un taux annuel de 1,6 %.

    t vrifie lquation : (1 + t100)12 = 1,016.

    Le taux mensuel est de 0,132 4 %.3 a. Le capital est plac pendant 3 mois au taux men-suel de 0,39 % et pendant 9 mois au taux mensuel de 0,13 % : CMglobal = 1,003 915

    3 1,001 3249 1,023 915 000 1,02391 = 5 119,55Le capital acquis est de 5 119,55 .Les intrts slvent 119,55 .b. On prlve sur les intrts 12,7 % puis 18 % donc les intrts aprs prlvement sont :

    119,55 (1 12,7100 ) (1 18100 ) 85,58 ; soit des intrts de 85,58 .Le capital acquis est de 5 085,58 .

    4 Le taux dvolution annuel est :

    t = (5 085,585 000 1) 100 = 1,711 6.Soit un taux annuel denviron 1,71 % pour la seconde proposition, taux infrieur celui du livret A

  • Second degrSecond degr

    Partir dun bon pied

    d. Vrai: daprs b.e. Faux: lensemble solution de f(x) 0 est :

    ] ; 1] [5 ; + [ .

    f. Faux: le minimum de f est 3 , atteint en 2.

    Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 17

    (p. 32)

    C h a p i t r e

    2Les lves ont dj quelques connaissances sur le second degr en Seconde, plus que dans le pro-gramme prcdent. Ce chapitre va permettre de consolider tout laspect graphique afin de placer les techniques algbriques, plus difficiles matriser.Si la forme canonique est connatre, sa dtermi-nation nest pas un attendu du programme : inutile en 1re ES de faire une reconnaissance du dbut de dveloppement dun carr, le calcul de labscisse du

    sommet b2a

    est plus efficace, plus encore que la rso-

    lution de lquation ax +bx +c =c, puis la recherche

    du milieu des deux solutions 0 et ba

    .

    Nous avons intentionnellement mis le signe devant le numrateur b et non devant la fraction, car pour une part des lves de ES les nombres relatifs et les rgles de signes ne sont pas matriss. Inutile de cher-cher dmontrer les formules des racines : trop de techniques mathmatiques qui entrent en jeu dans cette dmonstration nont pas t travailles dans les classes prcdentes. La factorisation nest plus un objectif de collge et en Seconde, le temps manque pour la pratique. Nous avons propos un algorithme de recherche de la forme canonique.Dans les programmes prcdents, donc depuis 15 ans, le signe du trinme est vu travers la position relative de la parabole et de laxe des abscisses : nous avons continu cette pratique, plus formatrice quun tho-rme de type algbrique, et la justification est le trac de la parabole et de laxe des abscisses, et le placement des solutions si elles existent.Le calcul formel (calculatrice ou logiciel TI-Nspire dans louvrage) nest l que pour indiquer des rsul-

    Lire graphiquementa. Faux: laxe des ordonnes est laxe vertical.b. Vrai: en traant la droite dquation y = 2.c. Vrai: lordonne du point dabscisse 2 est 3.

    a

    Intentions des auteurestats utiliser au cours de lexercice par les lves. Ce ne sont donc que des copies dcran. En aucun cas llve doit faire un calcul formel. Comme les classes de 1reES ne sont pas ddoubles a priori, nous avons fait le choix dune pratique en classe par le profes- seur en classe entire avec ordinateur et vido- projecteur (ou TBI) et non des sances en salle infor-matique.Pour ce qui concerne lalgorithmique, difficile de faire autre chose que des programmes sur calculatrice pour ces lves.Les prrequis sont importants et bien en place dans laccompagnement personnalis : aussi bien en mthode (partie A), en calcul algbrique (partie B), en lectures graphiques (partie E) et bien sr, un retour sur la fonction carr (partie F). De nombreux liens permettront aux lves de les trouver.Les applications en SES sont nombreuses, conduisant: la rsolution dune quation : les points morts dune production (rsolution dune quation), lqui-libre de loffre et de la demande, des lectures de cots et retour sur les pourcentages ; la rsolution dinquations: la plage de bnfice, les cots et les recettes, comparaison de loffre et de la demande, la courbe de Lorenz, etc.Nous avons pens aux lves de L qui ont choisi lop-tion Maths en abordant des thmes comme le nombre dor bien sr, mais aussi toutes les applications archi-tecturales et proprits physiques de la parabole. Lexercice 106 est le seul qui est un peu plus dlicat, mais son but est surtout de montrer les proprits du foyer dune parabole, trs utilises y compris dans le dveloppement durable.

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 18

    travailler sur les expressions algbriques1 b. et c. En dveloppant : page 228.2 b. En dveloppant.3 a. et b. Voir page 231 : 3(1) 2(1) 1 = 0

    et 3( 13 )2 2 1

    3 1 = 0.

    4 c. Voir page 243 : (x 1) 4 = 0 x 1 = 2 ou x 1 = 2

    x = 3 ou x = 1.

    5 a. et c. 0,01(50) 0,2 50 + 22 = 37.

    B associer courbes et expressions algbriquesa. et 4. La parabole est tourne vers le bas et elle a pour sommet (2 ; 1). Voir page 246.

    b. et 1. La parabole est tourne vers le haut et elle a pour sommet (2 ; 1).

    c. et 2. La parabole est tourne vers le bas et elle a pour sommet ( 2 ; 1).

    d. et 3. La parabole est tourne vers le haut et elle a pour sommet ( 2 ; 1).

    C

    rechercher des solutions dune quation du second degrActivit 2Coefficients

    =b 4 a c Solutions de lquationf (x) =0 Calculatricea b c

    f1 0,5 1 1,5 = 1 4 ( 0,5) 1,5 = 4 1 et 3

    f2 2 2 4 = 2 4 2 ( 4) = 36 2 et 1

    Utiliser les formes dun polynme de degr 2Activit 1b. 0,5 (x 3) 1 = 0,5 (x 6 x + 9) 1 = 0,5 x + 3 x 4,5 1 = g (x).

    c. a = 0,5 ngatif, la parabole g est tourne vers le bas do le tableau de variations :

    x 3 +

    g (x) 1

    Le maximum de la fonction g est 1.Donc lquation g (x) = 0 na pas de solution.

    3 En dveloppant les formes canoniques, on obtient : h (x) a pour forme canonique 3 (x 1) 1 et pour tableau de variations C. k (x) a pour forme canonique (x + 2) + 3 et pour tableau de variations B.

    m (x) a pour forme canonique 14

    (x 2) + 2 et pour tableau de variations A.

    1 a. 0,5 (x 1) 2 = 0,5 (x 2 x + 1) 2 = 0,5 x x + 0,5 2 = f (x).

    x 1 +

    f (x) 2

    b. 0,5 (x + 1) (x 3) = 0,5 (x 3 x + x 3) = 0,5 x x 1,5 = f (x)f (x) = 0 x + 1 = 0 ou x 3 = 0 x = 1 ou x = 3Donc S = {1 ; 3}.

    2 a.

    Les coordonnes du sommet de la parabole sont (3 ; 1).

    Dcouvrir (p. 34)

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 19

    Dterminer le signe dun polynme du second degrActivit 3a Signe de a Signe de Allure de la parabole Tableau de signes

    f1 0,5 4 ngatif positif+ + + + +

    + + + + +

    + + + + +

    + + + + +31x 1 3 +

    f1 (x) 0 + 0

    f2 2 36 positif positif x1 x2

    ++

    x 2 1 +

    f2 (x) + 0 0 +

    f3 1 0 positif nul

    ++ +

    x 1 +

    f3 (x) + 0 +

    f4 1 3 ngatif ngatif

    x +

    f4 (x)

    f5 0,5 0 ngatif nul

    x 1 +

    f5 (x) 0

    f6 2 4 positif ngatif

    +

    + +x +

    f6 (x) +

    f3 1 2 1 = ( 2) 4 1 1 = 0 1

    f4 1 1 1 = ( 1) 4 ( 1) ( 1) = 3 Pas de solution

    f5 0,5 1 0,5 = ( 1) 4 ( 0,5) ( 0,5) = 0 1

    f6 2 2 1 = ( 2) 4 2 1 = 4 Pas de solution

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 20

    rsoudre une quation laide dun programmeActivit 4Casio :

    2 a. = 36 ; x1 = 5 et x2 = 1 . Donc S = { 5 ; 1 }.b. = 7 . Donc S = .c. = 0 ; = 1. Donc S = { 1 }.d. = 121 ; x1 = 7 et x2 = 1,5. Donc S = { 7 ; 1,5 }.

    1 Saisie des coefficients :T.I. :

    Casio :

    Calcul de et son affichage :T.I. :

    Casio :

    Test sur le signe de :T.I. :

    tudier la position relative de deux courbesActivit 5b. f (x) g (x) 0,5 x 1,5 x 1 0,5 x + 0,5 0,5 x x 1,5 0 .a = 0,5 positif et = 4 ; x1 = 1 et x2 = 3.

    x1 x2

    ++

    x 1 3 + f (x) g (x) + 0 0 +

    Donc S = [ 1 ; 3 ].

    1 La fonction f est du second degr, reprsente par la parabole et la fonction g est affine, donc reprsente par la droite.

    2 a. Les courbes f et g se coupent aux points dabscisses 1 et 3, donc S = { 1 ; 3 }.

    b. f (x) = g (x) 0,5 x 1,5 x 1 = 0,5 x + 0,5 0,5 x x 1,5 = 0. = 4 ; x1 = 1 et x2 = 3. Donc S = { 1 ; 3 }.3 a. La courbe f est en dessous de la droite g sur

    lintervalle [ 1 ; 3 ]. Donc S = [ 1 ; 3 ].

  • Savoir faire

    Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 21

    Exercices dapplication

    1.Utiliser une forme adapte (p. 37)

    1 1 Le sommet de la parabole f a pour coordonnes (1 ; 3).Donc g (x) = 2 (x 1) 3.2 a. g (x) du second degr avec a = 2 positif.

    a > 0

    x 1 +

    g (x) 3

    Donc la fonction g admet 3 comme minimum, atteint en 1.b. g (x) = 1 2 x 4 x 1 = 1 2 x 4 x = 0 2 x (x 2) = 0 x = 0 ou x 2 = 0 x = 0 ou x = 2. Donc S = { 0 ; 2 }.c. g (x) = 3 2 (x 1) 3 = 3 2 (x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1.Donc S = { 1 }.d. Le minimum de g est 3 .Donc linquation g (x) < 4 na pas de solution.

    2 1 (x 1) + 16 = (x 2 x + 1) + 16 = x + 2 x 1 + 16 = h (x).2 h (x) = 4 (x 1) = (4 (x 1)) ( 4 + ( x 1)) = ( 4 x + 1) (4 + x 1) = (5 x) (x + 3).

    3 a. h (1) = (1 1) + 16 = 16 .b. h (0) = (0 1) + 16 = 15 .c. Comme a = 1 ngatif, on a le tableau de variations de h.

    a < 0

    x 1 +

    h (x)16

    d. h (x) = 0 5 x = 0 ou x + 3 = 0 x = 5 ou x = 3 . Donc S = { 3 ; 5 }.

    3 0,5 ( x 1) 2 = 0,5 (x 2 x + 1) 2 = 0,5 x x + 0,5 2 = 0,5 x x 1,5.0,5 (x + 1) (x 3) = 0,5 (x 3 x + x 3) = 0,5 x x 1,5.Donc 0,5 (x 1) 2 = 0,5 (x + 1) (x 3). f (x) = 0 x + 1 = 0 ou x 3 = 0 x = 1 ou x = 3. Donc S = { 1 ; 3 }. f (x) = 2 0,5 (x 1) 2 = 2 0,5 (x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1.Donc S = { 1 }.

    Exercices dapplication

    2.rsoudre une quation du second degr (p. 39)

    4 a. a = 1, b = 2 et c = 3. = 8.Donc f (x) na pas de racine.b. a = 2, b = 3 et c = 1. = 1 ; x1 = 0,5 et x2 = 1.Donc f (x) admet deux racines : 0,5 et 1.c. a = 1 , b = 2 et c = 3. = 16 ; x1 = 3 et x2 = 1.Donc f (x) admet deux racines : 3 et 1 .d. a = 1 , b = 2 et c = 1. = 0 ; = 1.Donc f (x) admet une racine : 1.

    5 a. x 3x 10 = 0. = 49 ; x1 = 2 et x2 = 5. Donc S = { 2 ; 5 }.b. 2x = 6x 2x 6x = 0 2x (x 3) = 0 x = 0 ou x 3 = 0 x = 0 ou x = 3.Donc S = { 0 ; 3 }.c. (x + 1) = 9 (x + 1) 3 = 0 (x + 1 3) (x + 1 + 3) = 0 (x 2) (x + 4) = 0 x 2 = 0 ou x + 4 = 0 x = 2 ou x = 4. Donc S = { 2 ; 4 }.d. 0,2 x + 2 x 15 = 0. = 16 ; x1 = 15 et x2 = 5. Donc S = { 15 ; 5 }.

  • Exercices

    (p. 43)

    Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 22

    Exercices dapplication

    3. Dresser le tableau de signes dun polynme du second degr (p. 41)

    6 a. a = 1 ngatif et = 4 ; x1 = 3 et x2 = 1.

    x1 x2+

    x 1 3 + A (x) 0 + 0

    b. a = 2 positif et = 8.

    ++

    x + B (x) +

    c. a = 12

    positif et = 2,25 ; x1 = 4 et x2 = 1.

    x1 x2

    ++

    x 4 1 + C (x) + 0 0 +

    d. a = 14

    ngatif et = 0 ; = 2.

    x 2 + D (x)

    7 f (x) = 2 x + 3 est la somme dun carr, positif, mul- tipli par 2, et de 3.Donc pour tout rel x, f (x) > 0. g (x) = 0,1x 7 = (0,1x + 7) est loppos dun nombre strictement positif.Donc pour tout rel x, g (x) < 0. h (x) = (x 3) + 1 est la somme dun carr, positif, et de 1.Donc pour tout rel x, h (x) > 0. k (x) = 3 (x + 4) est le produit de 3 et dun carr, positif qui sannule en 4. Donc :

    x 4 + k (x) + 0 +

    QCM

    8 c. 3(x + 1)2 4 = 3 (x2 + 2x + 1) 4 = 3x2 + 6x 1.

    9 a. La forme factorise nexiste pas si le polynme na pas de racine ; si a = 0, le polynme est du premier degr. La forme canonique existe toujours.

    10 a. Sur la forme canonique, 2 annule le carr et 3 est limage lorsque x = 2.

    11 c. Forme factorise et rgle du produit nul.

    12 b. Labscisse du sommet est = 1,5 et a = 1.Donc la fonction f est dcroissante sur [1,5 ; + [, donc sur [2 ; + [ qui est lintrieur.

    13 b. = 20 positif.

    14 b. On factorise ax2 + bx = x (ax + b), produit qui

    sannule en 0 et en ba

    : voir page 234.

    15 a. = 0,2 ngatif, et a = 0,1 positif.

    16 c. Bien reprendre le tableau page 40.

    17 a. = 25. Donc x1 = 4 et x2 = 1.

    18 b. On rsout linquation x2 + 3x 0.Les solutions de lquation x2 + 3x = 0 sont 0 et 3 et la parabole est tourne vers le bas.

    1 polynmes du second degr et parabole (p. 44)19 QCM1 c. 2 (x 3)2 + 7 = 2 (x2 6x + 9) + 7 = 2 x2 12x + 18 + 7 = 2 x2 12x + 25.Revoir le calcul algbrique page 228.

    2 b. 4 (x + 1) 9 = 2 (x + 1) 3 = (2 (x + 1) + 3) (2 (x + 1) 3) = (2x + 5) (2x 1)Voir page 228.3 a. 2 (x + 2) + 9 = 2 (x + 4 x + 4) + 9 = 2 x 8 x 8 + 9 = 2 x 8 x + 1.

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 23

    20 Vrai ou faux ?1 Vrai: en dveloppant B et C, on retrouve A.2 Vrai : on applique la rgle du produit nul : voir page 234.3 Faux: en lisant la forme canonique B, le sommet a

    pour coordonnes ( 13 ; 43 ).4 Vrai: a = 3 positif.

    21 reconnatre une fonction1 a. Pour la fonction f, a = 1, positif, parabole tourne vers le haut, reprsentation par la courbe rouge.2 c. La fonction g est reprsente par g , bleue, labs-cisse du sommet de g est 1, labscisse du sommet de f est p.Graphiquement, on a p > 1.3 a. f (p) = q, le sommet de f est en dessous de laxe des abscisses, donc q < 0.

    22 allure dune parabole1 f , parabole tourne vers le haut et g , parabole tourne vers le bas donc a est positif et a est ngatif.2 Sommet de f , de coordonnes (p ; q) et sommet de g de coordonnes (p ; q ).Graphiquement, on a : p > p et q < q.

    23 QCMa. Vrai: a = 2 positif.b. Faux: a = 3 ngatif ; la fonction g est dcroissante sur [ 1 ; + [ .

    c. Vrai: = b2a

    = + 14

    .

    d. Faux: le sommet est S ( 1 ; 4 ).

    24 reprer une formeVoir pages 228 et 230.

    Formes dveloppes

    Formes factorises

    Formes canoniques

    B, D et G A, H, I et J C, E et F

    On dveloppe les expressions non dveloppes :A = D = F B = E = H C = G = I

    25 galits dexpressions

    a. 3 ( x 32 )2 + 25

    4 = 3 ( x2 3x + 94 ) + 254

    = 3x2 9x + 274

    + 254

    = 3x2 9x + 13

    b. 12

    (x 2)2 + 8 = 12

    (x2 4x + 4) + 8

    = 12

    x2 + 2x + 612

    (6 x) (x + 2) = 12

    ( x2 + 4x + 12)

    = 12

    x2 + 2x + 6

    c. 0,1 (x + 10)2 20 = 0,1 (x2 + 20x + 100) 20 = 0,1x2 + 2x 10

    26 Formes et calculatricesa.

    Le sommet parat tre S (1,5 ; 2,5).b. 2 ( x 1,5) 2,5 = 2 (x 3 x + 2,25) 2,5 = 2 x 6 x + 4,5 2,5 = 2 x 6 x + 2 = f (x).La forme que lon a dveloppe est la forme canonique de f (x).c. a = 2 positif et le sommet est (1,5 ; 2,5).

    x 1,5 +

    f (x) 2,5

    27 Forme factorisea. g (x) = 0,1 (x 2)(x + 3) x 2 = 0 ou x + 3 = 0 x = 2 ou x = 3.La parabole g traverse laxe des abscisses aux points dabscisses 2 et 3.b. est la moyenne des racines 2 et 3.

    Donc = 3 + 22

    = 12

    .

    c. b = 0,1 ( 12 2 ) ( 12 + 3 ) = 58 .Do la forme canonique de g (x) est :

    g (x) = 0,1 ( x + 12 )2 + 5

    8 .

    a = 0,1 ngatif et le sommet de g a pour coordon-

    nes ( 12 ; 58 ). Donc :x

    12 +

    g (x)

    58

    28 Signe de aa. La parabole est tourne vers le bas, donc le coeffi-cient de x est ngatif.b. La forme canonique de h (x) est :h (x) = a (x 2)2 + 9.Comme h ( 1) = 0 9a + 9 = 0, donc a = 1.Ainsi h(x) = (x 2)2 + 9 = x2 + 4x + 5.

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 24

    29 Choisir la bonne forme1 Justifier : il faut faire les calculs : voir page 225.

    f (x) = ( x2 2 52x + ( 52 )2

    ) + 4 = x2 + 5 x 25

    4 + 4 = x2 + 5 x 9

    4

    f (x) = 22 ( x 52 )2

    = ( 2 ( x 52 )) ( 2 + ( x 52 )) = ( 2 x + 52 ) ( 2 + x 52 ) = ( 92 x ) ( x 12 ) = 9 2x

    2

    2x 12

    = (2x 9) (2x 1)

    42 a. Pour dterminer les points dintersection avec laxe des abscisses, on rsout lquation f (x) = 0

    en prenant la forme factorise : (2x 9) (2x 1)4

    = 0.

    Quotient nul : voir page 234.2 x 9 = 0 ou 2 x 1 = 0

    x = 92

    ou x = 12

    .

    Donc la courbe f coupe laxe des abscisses aux points

    ( 92 ; 0 ) et ( 12 ; 0 ).Pour dterminer le point dintersection avec laxe des ordonnes, on calcule f (0) en remplaant x par 0 dans la forme dveloppe :

    f (0) = 02 + 5(0) 94

    = 94

    .

    Donc f coupe laxe des ordonnes en ( 0 ; 94 ).b. a = 1 ngatif, donc la parabole est tourne vers le bas. En utilisant la forme canonique, on obtient :

    x 52 +

    f (x)4

    c. La fonction f admet 4 comme maximum, donc la valeur 25 nest pas atteinte par f (x).Lquation f (x) = 25 ne peut donc avoir de solution.

    30 retrouver lexpressionLe graphique indique que le sommet de la parabole est S (2 ; 1) et f (0) = 1.La forme canonique est donc :f (x) = a (x 2)2 1 et a vrifie lquation :

    a (0 2) 1 = 1 a = 12

    .

    Donc : f (x) = 12

    (x 2)2 1.

    31 a. a = 2 positif ; b = 3 et c = 4.

    = ( 3)2 2

    = 34

    et b = f () = 2 ( 34 )2 3 ( 34 ) + 4 = 238 .

    Donc f (x) = 2 ( x 34 )2 + 23

    8 .

    x 34 +

    f (x) 238

    b. a = 3 ngatif ; b = 2 et c = 1.

    = 22 ( 3)

    = 13

    et b = f () = 3 ( 13 )2 + 2 ( 13 ) + 1 = 43 .

    Donc f (x) = 3 ( x 13 ) 2 + 4

    3 .

    x 13 +

    f (x)43

    32 a. a = 4 ngatif ; b = 2 et c = 1.

    = 14

    et b = f ( 14 ) = 34 .Donc f (x) = 4 ( x 14 )

    2 3

    4 .

    x 14 +

    f (x)

    34

    b. a = 2 ngatif ; b = 9 et c = 0.

    = 94

    et b = f ( 94 ) = 818 .Donc f (x) = 2 ( x 94 )

    2 + 81

    8 .

    x 94 +

    f (x)

    818

    33 Forme canonique1 Forme canonique : f (x) = a (x ) + .

    = b2a

    = et b = f () = a + b + c.2 Saisie des coefficients a, b, c :

    (Texas)

    (Casio)

    Calcul de et son affichage :

    (Texas)

    (Casio) Calcul de b et son affichage :

    (Texas)

    (Casio)

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 25

    2 quations du second degr (p. 46)34 QCM1 a. Si a > 0 (ngatif ), la parabole est tourne vers le haut et comme yS > 0 , la parabole f ne coupe pas laxe des abscisses, cest--dire lquation f (x) = 0 na pas de solution.

    On en dduit que < 0 .2 a. c. et d. sont vraies. > 0 indique quil y a deux solutions et a > 0 indique que la parabole est tourne vers le haut.

    x1 x2

    Mais on ne peut rien dire sur le signe de labscisse du sommet.3 a. et c. sont vraies. Comme = 0, il y a une seule solution et la parabole f touche une seule fois laxe des abscisses en = xS.f (x) garde donc toujours le mme signe.

    ++ +

    35 Vrai ou faux ?a. Vrai : = 4 positif.On calcule les deux solutions : x1 = 1 et x2 = 3.b. Faux : lquation est : 2x2 + 5x 10 = 0. = 105 ; x1 3,8 et x2 1,3. (La rponse donne p. 254 dans les corrigs du manuel lves est inexacte.)c. Vrai : = 0 nul. Il y a une seule solution = 2.d. Vrai : = 95 , ngatif : il ny a pas de solution.e. Vrai : = 81 positif et ! = 9 : x1 = 2 et x2 = 1.

    36 associer fonction et parabole f et 2. : comme a = 1, la parabole f est tourne vers le haut et on calcule = 5, donc f coupe deux fois laxe des abscisses. g et 3. : a = 1 et = 13. Donc g est tourne vers le bas et coupe deux fois laxe des abscisses. Comme b = 3 non nul, le sommet de la parabole g nest pas sur laxe des ordonnes.h et 4. : a = 3 et = 3 , donc la parabole h est tourne vers le haut et ne coupe pas laxe des abscisses.k et 1. : a = 3 et = 12, donc k est tourne vers le bas et coupe deux fois laxe des abscisses. Comme b = 0, le sommet de la parabole est sur laxe des ordonnes.

    37 polynme ax +cLa fonction f est dfinie sur par f (x) = a x + c.

    a < 0

    f (x) = 0 x = ca

    avec a < 0 et c > 0 , donc ca

    > 0.

    Lquation f (x) = 0 admet deux solutions distinctes. On en dduit que f admet un maximum et deux racines distinctes. c. est la bonne rponse.

    38 quation avec a. a = 3 ; b = 1 et c = 4. = 49 positif et !49 = 7.

    Deux solutions : x1 = 1 7

    6 = 4

    3 et x2 =

    1 + 76

    = 1.

    S = { 43 ; 1 }.b. a = 0,1 ; b = 3 et c = 9,9. = 12,96 positif et !12,96 = 3,6.Deux solutions : x1 =

    3 3,60,2

    = 3 et x2 = 3 + 3,6

    0,2 = 33.

    S = { 3 ; 33 }c. a = 25 ; b = 20 et c = 4. = 0 nul.

    Une seule solution : = b2a

    = 2050

    = 25

    .

    S = { 25 }.d. a = 4 ; b = 3 et c = 4. = 55 ngatif.Pas de solution. S = .

    39 rsolution adaptera. = 0,01 positif et ! = 0,1.

    x1 = 1,1 0,1

    0,2 = 5 et x2 =

    1,1 + 0,10,2

    = 6.

    S = { 5 ; 6 }.b. (x + 3)( 3 x + 4) = 0 x + 3 = 0 ou 3 x + 4 = 0

    x = 3 ou x = 43

    .

    S = { 3 ; 43 }.c. (x 2)( 2 x 3) = (x 2) (x 2)( 2 x 3) (x 2) = 0 (x 2) ((2 x 3) (x 2)) = 0 (x 2) (x 1) = 0 x 2 = 0 ou x 1 = 0 x = 2 ou x = 1.S = { 2 ; 1 }.d. = 289 et ! = 17.

    x1 = 7 17

    4 = 5

    2 et x2 =

    7 + 174

    = 6.

    S = { 52 ; 6 }.40 a. = 49 ; x1 = 4 et x2 =

    12

    . Donc S = { 4 ; 12 }.b. = 5,29 ; x1 =

    114

    et x2 = 3. Donc S = { 114 ; 3 }.41 a. = 0 ; = 4. Donc S = { 4 }.b. = 81 ; x1 = 2 et x2 = 7. Donc S = { 2 ; 7 } .

    42 a. = 11. Donc S = .b. = 0,09 ; x1 = 10 et x2 = 5. Donc S = { 10 ; 5 }.

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 26

    43 a. = 8 ; x1 = 1 !2 et x2 = 1 + !2.Donc S = { 1 !2 ; 1 + !2 }.b. = 3 ; x1 = 2 !3 et x2 = 2 + !3.Donc S = { 2 !3 ; 2 + !3 }.

    44 a. = 169 ; q1 = 4 et q2 = 52

    . Donc S = { 4 ; 52 }.b. = 49 ; q1 = 4 000 et q2 = 500.Donc S = { 4 000 ; 500 }.

    45 a. x (6 x + 11) = 35 6 x2 + 11x 35 = 0

    = 961 et ! = 31 ; do les deux solutions :

    x1 = 72

    et x2 = 53

    . Do S = { 72 ; 53 }.b. (x 3) (7 x) = 5 7 x x2 21 + 3 x = 5 x2 + 10 x 26 = 0 = 4 , donc pas de solution. Do S = .

    46 a. (x 3) = 49 x 3 = 7 ou x 3 = 7 x = 10 ou x = 4 donc S = { 10 ; 4 }.b. 2 x (x + 1) = 0 x = 0 ou x + 1 = 0 x = 0 ou x = 1 donc S = { 0 ; 1 }.

    47 a. 4 x = 9 x 4 x 9 x = 0 x (4 x 9) = 0

    x = 0 ou 4 x 9 = 0 x = 0 ou x = 94

    .

    S = { 0 ; 94 }.b. x + 4 = 0 x = 4. Pas de solution. S = .

    48 a. 3 x (x + 1) = 0 x = 0 ou x + 1 = 0 x = 0 ou x = 1 donc S = { 0 ; 1 }.

    b. x + 22

    ( x + 3) = 0 x + 22

    = 0 ou x + 3 = 0

    x = 2 = 0 ou x = 3 donc S = { 2 ; 3 }.

    49 a. 2x2 3x + 1

    x + 2 = 0 2x 3x + 1 = 0 et x 2.

    = 1 ; x1 = 12

    et x2 = 1. Donc S = { 12 ; 1 }.b. 1

    x + 2

    x + 1 = 3 ; les valeurs interdites sont 0 et 1 .

    On rduit au mme dnominateur.1 (x + 1) + 2 x 3 x (x + 1)

    x (x + 1) = 0 x + 1 + 2 x 3 x

    2 3 xx (x + 1)

    = 0

    3 x2 + 1

    x (x + 1) = 0

    3 x + 1 = 0 x2 = 13

    x = 1!3

    ou x = 1!3

    S = { 1!3 ; 1!3 }.50 a. La valeur interdite est 1.

    x 1 = 0 x = 1 ou x = 1.On garde la solution 1. Donc S = { 1 }.b. La valeur interdite est 2.

    9 x2 + 2 x + 3 = 0. = 104. Donc S .

    51 quation et courbe1 = 4 donc x1 = 1 et x2 = 3. Do S = { 1 ; 3 }.La parabole f coupe laxe des abscisses aux abscisses 1 et 3.

    2 est la moyenne des racines x1 et x2.

    Donc = 1 + 32

    = 2. On peut aussi calculer = b2a

    .

    Comme a = 1, on a le tableau, avec comme minimum f (2) = 22 4 2 + 3 = 1.

    x 2 +

    f (x)

    1

    3 On calcule f (0) = 3. Donc la parabole f coupe laxe des ordonnes au point (0 ; 3).

    52 Lien avec le graphique1 a. xS = 3 et 1 est lune des solutions de lquation

    f (x) = 0.b. Par symtrie de la parabole, la deuxime solution

    vrifie lquation x + ( 1)2

    = 3, soit x = 5 .

    La solution cache est 5.c. = 4 ; x1 = 1 et x2 = 5 . Donc S = { 1 ; 5 }.On retrouve le rsultat du b.

    2 f (x) = 4 0,5 x + 3 x + 6,5 = 0. = 4. Donc S = .La droite dquation y = 4 ne traverse pas la para-bole .

    53 quation et interprtation

    1 a. = 100 ; x1 = 92

    et x2 = 12

    . Donc S = { 92 ; 12 }.b. 2x + 8 x 4,5 = 8 2 x + 8 x + 3,5 = 0.

    = 36 ; x1 = 72

    et x2 = 12

    . Donc S = { 72 ; 12 }.c. 2 x + 8 x 4,5 = 15 2 x + 8 x + 10,5 = 0. = 20. Donc S = .2 a. f traverse laxe des abscisses aux points dabs-

    cisses 92

    et 12

    .

    b. La droite dquation y = 8 coupe f aux points

    dabscisses 72

    et 12

    .

    c. La droite dquation y = 15 ne coupe pas f .

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 27

    54 parabole et droite1 Fentre X [ 6 ; 6] et Y [ 7 ; 10]

    2 = 49 et ! = 7, donc x1 = 1 et x2 = 52

    .

    Do S = { 1 ; 52 }.Ainsi, la parabole f coupe laxe des abscisses en 1 et

    en 52

    .

    3 2x2 3x 5 = x + 7 2x2 2x 12 = 0 = 100 et ! =10 , donc x1 = 2 et x2 = 3.Do S = { 2 ; 3 } . La droite coupe la parabole f aux points dabscisses 2 et 3.

    55 intersection de deux parabolesa.

    b. f (x) = g (x) x + 3 x 1 = 4 x 2 x + 3 x 5 = 0

    = 49 ; x1 = 52

    et x2 = 1. Donc S = { 52 ; 1 }.Les deux paraboles se coupent aux points dabscisses 52

    et 1.

    56 position relative

    On rsout 12

    x + x + 52

    = 53

    x + 3 12

    x 23

    x 12

    = 0

    = 59

    . Donc S = .Donc la droite ne coupe pas la parabole .

    57 points morts dune production1 C (q) = 1 610 0,1 q + 10 q 110 = 0 = 144 ; q1 = 110 et q2 = 10.On garde la solution positive.Le cot de fabrication est 1 610 pour seulement une production de 10 objets.2 Bnfice = Recette cot .a. B(50) = R(50) C(50) = 2 100 .B(100) = R(100) C(100) = 5 200 .b. B(q) = 87q (0,1q + 10q + 1 500) = 0,1 q + 77 q 1 500.c. 0,1 q + 77 q 1 500 = 0. = 5 329 ; q1 = 750 et q2 = 20.Le bnfice est nul pour la production et la vente de 20 ou 750 objets.

    58 volution dune production

    ( 1 + a100 ) ( 1 + 2a100 ) = 1,68 2 a + 300 a 6 800 = 0. = 144 400 ; a1 = 170 et a2 = 20.On ne garde que la solution positive, soit 20.La premire anne, la production a augment de 20 %.

    59 Compte rmunrLargent obtenu au bout des deux ans est :

    2 000 ( 1 + t100 )2 + 2 000 ( 1 + t100 ).

    On rsout :

    2 000 ( 1 + t100 )2 + 2 000 ( 1 + t100 ) = 4 305

    2 000 ( 1 + 2t100 + t2

    10 000 ) + 2 000 ( 1 + t100 ) 4 305 = 0.

    2 000 + 40t + 0,2t + 2 000 + 20t 4 305 = 0 0,2t + 60t 305 = 0. = 3 844 ; t1 = 305 et t2 = 5.On ne garde que la solution positive.Le taux de placement est donc 5 %.

    60 volutions successives dun chiffre daffaires

    1 a. D (x) = 20 000 ( 1 + x100 ) ( 1 + x + 10100 ) = 20 000 100 + x

    100 110 + x

    100 = 2 (100 + x) (110 + x) = 2x + 420x + 22 000.b. 2x + 420x + 22 000 = 31 200 2x + 420x 9 200 = 0. = 250 000 ; x1 = 230 et x2 = 20.On ne garde que la solution positive.Si le chiffre daffaires augmente de 20 % dans ces condi-tions, le chiffre daffaires sera de 31 200 en dcembre.

    2 20 000 ( 1 + t100 )2 = 31 200

    20 000 (100 + t)2

    10 000 = 31 200

    2 (10 000 + 200t + t2) = 31 200 2t + 400t + 20 000 = 31 200 2t + 400t 11 200 = 0.

    t 24,9 % 103 prs.

    61 prix et demande1 a. d (80) = 479. Au prix de 80 , 479 djeuners sont commands par semaine.Recette totale : 479 80 = 38 320 .b. d (100) = 373 ; 373 100 = 37 300 .Au prix de 100 , 373 djeuners sont commands et donnent une recette de 37 300 .

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    c. La fonction d est affine, dcroissante sur , donc sur [70 ; 170]. Plus le prix du djeuner augmente, plus la demande des consommateurs diminue.2 C (x) = x ( 5,3 x + 903) = 5,3 x + 903 x.3 Les prix x cherchs doivent appartenir [ 70 ; 170 ].a. C (x) = 20 000 5,3 x + 903 x 20 000 = 0.Le chiffre daffaires est 20 000 lorsque le prix du repas est environ 140 .

    b. C (x) = 36 000 5,3 x + 903 x 36 000 = 0.Le chiffre daffaires est 36 000 lorsque le prix du repas est environ 110 .

    c. C (x) = 40 000 5,3 x + 903 x 40 000 = 0.Pas de solution, le chiffre daffaires ne peut pas tre gal 40 000 .

    C (x), fonction du second degr avec a = 5,3 ngatif.

    a < 0

    Labscisse du sommet est = b2a

    = 903 10,6

    85,19.

    Au prix de 85,19 , le chiffre daffaires est maximal et vaut : C (85,19) 38 462,69 .

    62 Cot total et recette1 a. Sur le graphique, on lit lordonne du point de la courbe f dabscisse 5 et labscisse du point de la courbe f dordonne 3. Le cot de production de 50 objets est environ3,8 milliers deuros. Pouruncotde3000,onproduitenviron43objets.b. f (5) = 3,8 ; produire 50 objets cote 3 800 .f (x) = 3 0,1 x + 0,2 x 2,7 = 0.

    On retient la solution positive.Pour un cot de 3 000 , on fabrique environ 43 objets.

    c. Rsultats identiques graphiquement ou par calcul.2 a. Une dizaine dobjets est vendue 800 ou 0,8 mil-liers deuros. On en dduit la recette en milliers deuros pour la vente de x dizaines dobjets : g (x) = 0,8 x.b.

    x

    y

    O 1 7

    1

    5

    f

    g

    3 a. Graphiquement les cots sont gaux aux recettes lorsque x 0,6 dizaine ou x 5,5 dizaines dobjets (6 ou 55 objets).b. 0,1 x + 0,2 x + 0,3 = 0,8x 0,1 x 0,6 x + 0,3 = 0.

    Les valeurs approches des solutions, sont les points morts de la production. Pour 6 objets ou 55 objets fabriqus et vendus, le bnfice est nul.c. Il faut fabriquer et vendre entre 6 et 55 objets pour que lartisan ralise des bnfices.

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    3 Signe du trinme (p. 49)63 > 0 donc f coupe deux fois laxe des abscisses.

    Comme a < 0 , f est tourne vers le bas.Donc rponse c.

    64 Vrai ou faux ?1 Vrai : si < 0 , la parabole ne coupe pas laxe des abscisses et comme a > 0 , elle est tourne vers le haut, donc le sommet S est au-dessus de laxe des abscisses et son ordonne est positive.

    +

    + +

    2 Vrai : comme est ngatif, f (x) est de signe constant. Or f (1) = 3 ngatif, donc f (x) est toujours ngatif.3 Vrai : si la parabole ne coupe pas laxe des abs-cisses, lquation f (x) = 0 nadmet pas de solution.Donc < 0.4 Faux : si > 0 , la parabole traverse laxe des abscisses et on peut avoir lallure ci-contre.

    x2 x1+

    Lordonne yS est alors positive.

    65 QCM1 a.

    2 c. x1 x2+

    66 QCM1 b.

    2 c. x1 x2+

    67 Signe de A(x) : a = 11 positif

    = 1 600 ; x1 = 2 et x2 = 1811

    . x1 x2

    ++

    x 21811 +

    A(x) + 0 0 +

    Signe de B(x) : a = 2 positif

    = 169 ; x1 = 4 et x2 = 52

    . x1 x2

    ++

    x 452 +

    B(x) + 0 0 +

    68 Signe de C(x) : a = 4 ngatif = 55.

    x +

    C (x)

    Signe de D(x) : a = 2 ngatif

    = 49 ; x1 = 4 et x2 = 12

    .x2 x1+

    x 12 4 +

    D(x) 0 + 0

    69 Signe de E(x) : a = 3 ngatif

    = 49 ; x1 = 43

    et x2 = 1.x2 x1+

    x 143 +

    E(x) 0 + 0

    Signe de F(x) : a = 2 positif = 0 ; = 1.

    ++ +

    x 1 +

    F(x) + 0 +

    70 Signe sans discriminantA(x) 0 ; B(x) 0 ; C(x) 0 et D(x) 0.

    71 Signe de carrE(x) 0 ; E(x) = 0 x = 4.F(x) 0 ; F(x) = 0 x = 2.G(x) 0 ; G(x) = 0 x = 0 ou x = 1.H(x) 0 ; H(x) = 0 x = 1 ou x = 1.

    72 polynmes particuliers :ax2 + c et ax2 +bx

    Signe de A(x) : a = 5 positifA(x) = x (5 x 4) sannule

    en 0 et en 45

    . x1 x2

    ++

    x 045 +

    A(x) + 0 0 +

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    Signe de B(x) : a = 9 ngatifB(x) = x ( 9 x + 4) sannule en 0

    et en 49

    .

    x2 x1+

    x 049 +

    B(x) 0 + 0

    Signe de C(x) : a = 2 positifC(x) = 2 (x 9) sannule en 3 et en 3.

    x1 x2

    ++

    x 3 3 +

    C(x) + 0 0 +

    Signe de D(x) : D(x) est la somme de deux nombres ngatifs. Donc D(x) < 0.

    Pour les exercices 73 et 74

    Signe dun trinme73 Pour A(x), a = 9 et = 164,

    pas de solution.De lallure, on dduit que : A(x) est toujours stricte-ment positif.

    +

    + +

    Pour B(x), a = 2 et = 1, x1 = 72

    = 3,5

    et x2 = 4 3,5 4

    ++

    +

    De lallure, on dduit le tableau de signes :

    x 3,5 4 +

    B(x) + 0 0 +

    Pour C(x), a = 2 et = 289, ! = 17

    x1 = 6 et x2 = 52

    = 2,5. 2,5 6+

    ++

    De lallure, on dduit le tableau de signes :

    x 2,5 6 +

    C(x) 0 + 0

    Pour (x), a = 4 et = 0 : il y a une seule solution,

    abscisse du sommet = 12

    = 0. 0,5

    Do le tableau de signes :

    x 0,5 +

    D(x) 0

    74 Pour E(x), a = 1 et = 0, = 1.

    De lallure, on dduit que :

    x 1 +

    E(x) 0

    Pour F(x), a = 0,02 et = 0,09, x1 = 10 et x2 = 5.

    x1 x2

    ++

    De lallure, on dduit le tableau de signes :

    x 10 5 +

    F(x) + 0 0 +

    Pour G(x), a = 4.Et G(x) = x (4 x 9) sannule en 0

    et en 94

    . x1 x2

    ++

    De lallure, on dduit le tableau de signes :

    x 094 +

    G(x) + 0 0 +

    Pour H(x), a = 0,4 et = 5,29,

    x1 = 11

    4 et x2 = 3. x1 x2

    ++

    Do le tableau de signes :

    x 11

    4 3 +

    H(x) + 0 0 +

    Pour les exercices 75 et 76

    rsolutions dinquations75 a. a = 2 et = 81, ! = 9 ;

    x1 = 2 et x2 = 2,5.2 2,5

    ++

    +

    Do le tableau de signes :

    x 2 2,5 +

    2 x2 x 10 + 0 0 +

    On garde les intervalles o le polynme est strictement positif : S =] ; 2 [ ] 2,5 ; + [.Revoir pages 238 et 244.b. a = 0,1 et = 1 ; x1 = 10 et x2 = 20.

    10 20

    ++

    +

    Do le tableau de signes :

    x 10 20 +

    0,1 x2 3 x + 20 + 0 0 +

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 31

    On garde lintervalle o le polynme est ngatif ou nul : S =[10 ; 20].c. a = 4 et = 144, ! = 12 ; x1 = 1,5 et x2 = 1,5. 1,5 1,5

    ++

    +

    Do le tableau de signes :

    x 1,5 1,5 +

    4x2 +9 0 + 0

    On garde les intervalles o le polynme est strictement ngatif : S =] ; 1,5 [ ] 1,5 ; + [.d. a = 1 et = 16, ! = 4 ; x1 = 2 et x2 = 2.

    2 2

    ++

    +

    Do le tableau de signes :

    x 2 2 +

    x2 4 + 0 0 +

    On garde les intervalles o le polynme est positif ou nul : S =] ; 2 ] [ 2 ; + [ .

    76 a. x 2 x + 3 0.a = 1 positif et = 8. +

    +

    x +

    x 2x +3 +

    S = .b. 4x + 4 x 15 > 0.a = 4 positif et = 256 ;

    x1 = 52

    et x2 = 32

    . x1 x2

    ++

    x 52

    32

    +

    4x +4x 15 + 0 0 +

    S = ] ; 52 [ ] 32 ; + [ .c. 2 x 3 x 7 0 .a = 2 ngatif et = 47.

    x +

    2x 3x 7

    S = .

    77 Critique dune copie1 a. Les valeurs de x sont les solutions de f (x) = 0. Il faut les placer en ordre croissant dans la premire ligne du tableau.

    b. et c.

    x 3 1 1,5 +

    2x 3 0 +

    x +4x +3 + 0 0 + +

    f (x) 0 + 0 0 +

    2 a. S = { 3 ; 1 ; 1,5 }.b. S = [ 3 ; 1 ] [ 1,5 ; + [.c. S = ] ; 3 [ ] 1 ; 1,5 [.

    78 tableau de signes Signe de f (x) :

    x 113

    32 +

    2x x 3 + 0 0 +

    3x +1 + + 0

    f (x) + 0 0 + 0

    Signe de g (x) :

    x 2 1 +

    3x +3x +1 + + +

    2x +4 0 + +

    ( x +1) + + 0 +

    g (x) 0 + 0 +

    Signe de h (x) :

    x 72

    32

    53 +

    6x +11x 35 + 0 0 +

    2x +3 0 + +

    h (x) 0 + 0 0 +

    Pour les exercices 79 et 80

    tableau de signes et inquations79 a. Signe de f (x) :

    x 1 2 +

    x +1 + 0

    x 4x +4 + + 0 +

    f (x) + 0 0

    S = [1 ; + [ .b. Signe de f (x) :

    x 12 +

    4x +1 + +

    2x 1 0 +

    f (x) 0 +

    S = ] ; 12 ] .

  • Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 32

    80 a. Signe de f (x) :

    x 0 +

    x22 0

    2x 4x +9 + +

    f (x) 0

    S = .b. Signe de f (x) :

    x 1 3 4 +

    (x 3) + + 0 + +

    x +3x +4 0 + + 0

    f (x) 0 + 0 + 0

    S = ] ; 1 ] [ 4 ; + [ { 3 }.

    81 Double barre1 2 x 3 x 14 = 0 x = 2 ou x = 3,5.

    x 2 = 0 x = 2.2 est valeur interdite pour le quotient, donc on met une double barre 2 dans la ligne de f (x).2

    x 2 2 3,5 +

    2x 3x 14 + 0 0 +

    x 2 0 + +

    f (x) 0 + || 0 +

    82 tableau de signes et valeurs interdites Signe de f (x) :

    x 0,5 1,5 4 +

    2x 3 0 + +

    2x +9x 4 0 + + 0

    f (x) + || 0 + ||

    Signe de g (x) :

    x 125 +

    25x 20x +4 + + 0 +

    (x +1) + 0 + +

    f (x) + || + 0 +

    Signe de h (x) :

    x 1,5 2 3 +

    2x 3x 9 + 0 0 +

    ( x +2) + + 0 + +

    h (x) + 0 || 0 +

    Pour les exercices 83 et 84

    tableau de signes et inquation83 a. Signe de f (x) :

    x 2 0 4 +

    x 4x + + 0 0 +

    x +2 0 + + +

    f (x) || + 0 0 +

    S = ] 2 ; 0 ] [ 4 ; + [.b. Signe de f (x) :

    x 13 1 2 +

    (3x 1) + 0 + + +

    x 3x +2 + + 0 0 +

    f (x) + 0 + || || +

    S = ] ; 1 [ ] 2 ; + [.

    84 a. Signe de f (x) :

    x 1 1 1,25 +

    4x 5 0 +

    x 1 + 0 0 + +

    f (x) || + || 0 +

    S = ] 1 ; 1 [ [ 1,25 ; + [.b. Signe de f (x) :

    x 9 13 1 +

    3x 2x 1 + + 0 0 +

    x 9 + 0

    f (x) + || 0 + 0

    S = ] ; 9 [ [ 13 ; 1 ].85 inquation, parabole et droite1 a. On rsout f (x) = 0.

    = 81 ; x1 = 3 et x2 = 32

    . Donc f traverse laxe des

    abscisses en 3 et en 32

    .

    b. Signe de f (x) : a = 2 positif. Donc on a lallure ci-contre.

    x1 x2

    ++

    x 332 +

    f (x) + 0 0 +

    f est au-dessus de laxe des abscisses sur] ; 3 ] et

    sur [ 32 ; + [, et en dessous de laxe sur [ 3 ; 32 ].2 f (x) 3 x 1 2 x 8 0 x 4 x 2 ou x 2. Donc S = ] ; 2 ] [ 2 ; + [.f est au-dessus de la droite sur ] ; 2 ] [ 2 ; + [.

  • Vers le Bac (p. 51)

    Hachette Livre 2011 - Dclic Mathmatiques 1res ES/L option - Livre du professeur La photocopie non autorise est un dlit. Chapitre 2 Second degr 33

    86 Bnfice maximal1 = 705 600 ; x1 = 87 et x2 = 3.

    x 3 87 +

    f (x) 0 + 0

    Do le signe de B(x) sur [3 ; 100] :

    x 3 87 100

    B (x) 0 + 0

    2 Lentreprise ralise des bnfices si elle fabrique entre 300 et 8 700 botes de jeu.

    3 est la moyenne des racines 3 et 87. Donc = 45.La parabole f a un sommet dabscisse 45 et a = 10 ngatif.Donc B est croissante sur [3 ; 45] et dcroissante sur [45 ; 3].Le bnfice est maximal pour une fabrication de 4 500 botes de jeu.Le bnfice maximal est B(45) = 17 640 .

    87 exercice guid

    1 4 ( x 12 ) 9 = 4 ( x x + 14 ) 9 = 4 x 4 x + 1 9 = f (x).On lit sur la forme canonique que les coordonnes du

    sommet de la parabole sont ( 12 ; 9 ), avec a = 4 positif.Donc f admet 9 comme minimum, atteint en 1

    2 .

    2 = 144 ; x1 = 1 et x2 = 2. Donc S = { 1 ; 2 }.3 f (x) 4 x + 24 4 x 8 x 32 0

    a = 4 positif et = 576 ; x1 = 2 et x2 = 4.

    x1 x2

    ++

    x 2 4 +

    4x2 8x 32 + 0 0 +Donc S = ] ; 2 ] [ 4 ; + [.La parabole est au-dessus de la droite sur] ; 2 ] et sur [ 4 ; + [.

    88 associer courbe et fonctionPour les quatre fonctions, a est positif : les courbes sont des paraboles tournes vers le haut.f a pour sommet S (1 ; 2), reprsente en 2.g (x) = 0 x + 4 = 0 ou x 2 = 0 x = 4 ou x = 2. g traverse laxe des abscisses en 4 et 2, reprsente par 3.h a pour sommet S (0 ; 2), reprsente par 1.k a pour sommet S (1 ; 3), reprsente par 4.

    89 Choisir la bonne forme1 P (x) = 2 (x 6 x + 9) 1

    2

    = 2x 12 x + 18 12

    = 2x 12 x + 17,5.

    2 P (x) = 2 ((x 3) 14 ) = 2 ((x 3) ( 12 ) ) = 2 ((x 3) 12 ) ((x 3) + 12 ) = 2 (x 3,5) (x 2,5).

    3 a. Sur la forme canonique P (x) = 2 (x 3) 12

    , on lit

    les coordonnes du sommet de la parabole P ( 3 ; 12 ), avec a = 2 positif.

    Donc P admet 12

    comme minimum, atteint en 3.

    b. Sur la forme canonique, on lit que laxe de symtrie de P a pour quation x = 3.c. P (x) = 4 2x 12x + 17,5 = 4 2x 12x + 13,5 = 0. = 36 ; x1 = 1,5 et x2 = 4,5. Donc S = { 1,5 ; 4,5 }.

    90 tudes algbrique et graphique1

    x

    y

    O

    S

    1

    1

    2 Sommet de : S (2 ; 12,5). traverse laxe des abscisses en 3 et 7.3 0,5 (x 2) + 12,5 = 0,5 (x 4x + 4) + 12,5 = 0,5x + 2x 2 + 12,5 = f (x)La fonction f est ainsi sous forme canonique et lon retrouve les coordonnes (2 ; 12,5) du sommet de .4 = 25 ; x1 = 7 et x2 = 3 . Donc S = { 7 ; 3 }.On retrouve les abscisses des points o traverse laxe des abscisses.5 f (x) 2x + 6 0,5x + 4,5 0 x 9 0 x [ 3 ; 3 ].

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    x 3 3 +

    f (x) (2x +6) 0 + 0

    Sur ] 3 ; 3 [, est au-dessus de .Sur ] ; 3 [ ] 3 ; + [, est en dessous de .

    91 position relative1 est la parabole rouge, 1 est la droite verte, 2 est la droite bleue et 3 est la droite violette. Sur ] ; 2 [ ] 1 ; + [, est au-dessus de 1.Sur ] 2 ; 1 [, est en dessous de 1. est au-dessus de 2 sur . Le point ( 0 ; 1 ) est commun 2 et . est au-dessus de 3 sur .2 0,5x + 2x 1 1,5x 0,5x + 0,5x 1 0.a = 0,5 positif et = 2,25 ;x1 = 2 et x2 = 1.

    x1 x2

    ++

    x 2 1 +

    0,5x +0,5x 1 + 0 0 +

    S = ] ; 2 ] [ 1 ; + [.On retrouve les rsultats de la question 1 .3 0,5x + 2x 1 2x 1 0,5x 0. Donc S = . 0,5x + 2x 1 x 3 0,5x + x + 2 0.a = 0,5 positif et = 3.

    ++

    x +

    0,5x +x +2 +

    S = . On retrouve les rsultats de la question 1 .

    92 Bnfice rel1 Le cot de fabrication de 15 appareils par heure est :

    C (15) = 1 075 .La recette associe est R (15) = 1 500 .Le bnfice est 425 .2 B (x) = R (x) C (x) = 100 x (x + 50 x + 100) = 100 x x 50 x 100 = x + 50 x 100.3 a = 1 ngatif et = 2 100 ;

    x1 47,91 et x2 2,08 0,01 prs. x2 x1+

    x x2 x1 +

    f (x) 0 + 0

    La fonction B est dfinie sur lintervalle [ 5 ; 40 ].Par consquent, pour tout rel x de [ 5 ; 40 ], B (x) > 0 : lentreprise ralise toujours des bnfices.

    93 tableau de variations1 f (x) = 8 0,5 x + 2 x = 0 0,5 x (x + 4) = 0 x = 0 ou x + 4 = 0 x = 0 ou x = 4.

    est la moyenne des racines 0 et 4 . Donc = 2 .Et = f ( 2) = 6 .2 a = 0,5 positif. a > 0

    x 2 +

    f (x)6

    3 a. Sur lintervalle [ 0 ; 10 ], la fonction f est croissante. f (0) = 8 et f (10) = 78.

    x 0 10

    f (x)8

    78

    b. Le tableau de variations prouve que pour tout rel x de [0 ; 10], on a 8 f (x) 78.

    94 Cot, recette et bnfice1 Pour vendre une tonne de peinture, il faut vendre 40 pots de 25 kg 50 le pot, do :

    R(x) = 40 50x = 2 000x.2 12 x + 20x + 6 600 2 000x 12 x 1 980x + 6 600 0 .a = 12 positif et = 3 603 600 ;x1 3,404 et x2 161,596.

    x1 x2

    ++

    x x1 x2 +

    12x 1980 x +6 600 + 0 0 +

    S = [ x1 ; x2 ]. 0,001 prs, les bornes de lintervalle sont 3,404 et 161,596.3 Pour raliser des bnfices, les cots doivent tre infrieurs la recette. Daprs la question 2 , il faut produire et vendre entre 3 404 kg et 161 596 kg de peinture par jour, cest--dire de 137 6 463 pots de peinture.

    95 raliser des bnfices1 a. La recette associe la vente de 60 fours est :

    R(60) = 4 740 . Les cots de fabrication associs sont C(60) = 5 377,60 .Donc lentreprise ne ralise pas de bnfice.b. La recette associe la vente de 200 fours est : R(200) = 15 800 . Les cots de fabrication associs sont C(200) = 13 632 .Donc lentreprise ralise 2 168 de bnfices.2 a. R(q) = 79 qb. B(q) = R(q) C(q) = 79 q (0,06 q + 43,36 q + 2 560) = 79 q 0,06 q 43,36 q 2 560 = 0,06 q + 35,64 q 2 560.

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    3 a = 0,06 ngatif et = 655,8096q1 510 et q2 84 arrondies lunit. x2 x1

    +

    q q1 q2 +

    0,06 q + 35,64 q 2 560 0 + 0

    On en dduit que B(q) 0 pour tout q de [ 84 ; 300 ]. Lentreprise doit fabriquer chaque jour et vendre entre 84 et 300 fours pour raliser un bnfice.4 a. 0,06 (q 297) + 2 732,54 = 0,06 (q 594 q + 88 209 ) + 2 732,54 = 0,06 q + 35,64 q 5 292,54 + 2 732,54 = B(q).b. Sur la forme canonique :

    B(q) = 0,06 (q 297) + 2 732,54,on lit que la fonction B admet 2 732,54 comme maxi- mum, atteint en 297 : la fabrication et la vente de 297 fours engendre un bnfice maximal de 2 732,54 .

    96 Chiffre daffaires optimal1 a. Le chiffre daffaires est 1 200 1 = 1 200 .b. Si le producteu