L'infiltration : aperçus physiques et...

L'INFILTRATION : APERCUS PHYSIQUES ET MODELISATION

Michel VAUCLIN

Institut de Mécanique de Grenoble F. 38402 SAINT MARTIN D'HERE'S Cedex

L'objectif de cette présentation n'est pas de fournir des recettes miracles -en admettant qu'elles puissent exister- permettant d'estimer l'infiltration à l'échelle du bassin versant, mais plutôt de faire succinctement le point de ce que l'on connaît bien et moins bien sur les mécanismes mis en jeu.

D'une manière générale, l'infiltration est le terme communément utilisé en hydrologie pour décrire le processus physique d'entrée de l'eau dans un sol, à travers sa surface.

Trois approches conceptuelles peuvent être utilisées : mécanique des fluides, physique du sol et hydrologique.

1 - APPROCHE "MECANIQUE DES FLUIDES"

Le sol étant assimilé à un milieu polyphasique (phase solide déformable ou non, phases fluides constituées de l'eau et de l'air contenant de la vapeur d'eau), l'infiltration correspond à la pénétration d'un fluide mouillant (l'eau) dans le milieu. Cela nécessite le déplacement du fluide non mouillant (l'air). Les phénomènes mis en jeu sont décrits par les lois de la mécanique des fluides (conservation de la masse, de la quantité de mouvement de l'énergie, équation d'état pour chaque phase, relations d'équilibre entre phases etc.) en admettant les hypothèses du milieu continu (approche macroscopique). Il s'agit donc d'une approche biphasique de l'infiltration. Des études expérimentales de laboratoire et de terrain montrent que cette approche doit être utilisée dès lors que l'air initialement présent dans la zone non saturée n'est pas libre de circuler : milieux confinés, présence de stratifications pédologiques à fort contraste de perméabilité etc.

A titre d'exemple, les figures 1 et 2 montrent l'influence du confine- ment de l'air en amont d'un front d'infiltration, tant sur les profils hydriques que sur la lame d'eau infiltrée et le flux correspondant. On notera que la modélisation biphasique nécessite la connaissance des relations pression capillaire-teneur en eau-perméabilités relati- ves à l'eau et à l'air-caractéristiques d'un sol donné (fig. 3). Le lecteur intéressé par cette approche trouvera plus de détails dans VAUCLIN : "Ecoulements biphasiques eau-air dans les milieux poreux. Cours à 1'Ecole d'été GUT. Bombannes sept. 1985".

214

II - APPROCHE "PHYSIQUE DU SOL"

1. Généralit&.

On suppose ici que l'air dans le sol est constamment et partout à la pression atmosphérique. Il s'agit donc d'une description monopha- sique des transferts d'eau. Ils sont classiquement décrits à l'échelle macroscopique, par l'une des deux équations suivantes :

. FOKKER - PLANCK :

88 st=-& {Dce, $ - ,-&=’ -

. RICHARDS :

C(&l = A-. { K(h) (A - bt 8Z 62

111

1)) /a

Ces équations sont de type diffusion non linéaire. Elles font appa- rartre les paramètres caractéristiques du sol : diffusivité capillaire D(e ), conductivité hydraulique K(O ) ou K(h), capacité capillaire C(h) qui sont fonction de l'humidité volumique S ou de la pression effective de l'eau h. On notera que l'équation /2/ doit être préféren- tiellement utilisée dès lors qu'une zone saturée apparalt dans le profil, ou en cas de milieux stratifiés (continuité spatiale du champ de la pression).

Sous réserve de la pertinence des hypothèses sous-tendant ce forma- lisme, ces équations sont générales. La spécificité d'un problème particulier à résoudre se traduit par la connaissance des conditions initiales (profils d'humidité ou de pression) et aux limites (à la surface et en profondeur). Compte tenu des différents modes d'apport d'eau à la surface d'un sol, il est possible de considérer deux classes :

a) infiltration sous condition de charge d'eau.

Mathématiquement cela correspond à résoudre un problème de Dirichlet :

tbo, 2 = 0 e (o,t) = e si h(0.t) = 0 (es./111

h(O,t) = S(t) si h(O,t)> 0 (eq./2/)

Physiquement cela revient à étudier et simuler une irrigation à la raie ou à la planche, la recharge artificielle des aquifères par bassin, les fuites dans les canaux et les réservoirs, l'infiltra- bilité des sols déterminée par infiltromètre simple et/ou double anneaux. On notera que, dans cette dernière application, une modélisa- tion multidimensionnelle peut s'imposer, commel'a montre récemment TOUMA (thèse de Doctorat Es Sciences Physiques; Grenoble 1984).

215

- . I -_ - ._ “_ ^ . * ..- .---__

b) infiltration sous condition de flux.

Il s'agit ici de résoudre le problème de Neumann suivant :

t>O z = 0 q(O,t) = -D(e& 6e+ K@ 1 = qs(t) (Eq./l/)

q(O,t) = -K(h$+ - 1) = q (t) (Eq./2/)

le flux à la surface qs(t) pouvant être inférieur ou supérieur

à la conductivité hydraulique à saturation KS.

Physiquement cela correspond à une irrigation par aspersion

Dans les deux cas de figure, de nombreuses conditions à la limite inférieurez=L peuvent être envisagées : niveau imperméable (q(L,t)=O); présence d'une nappe à surface libre (h(L,O)=O); drainage gravitaire (q(L,t)=K(BL), milieu semi-infini (e(L,t)=e(L,O) ou h(L,t)=h(L,O));etc.

2. Méthodes de résolution

Le caractère fortement non linéaire des équations /l/ et /2/ rend vaine, dans le cas général, la recherche de solutions analytiques exactes. Seules des solutions approchées par voie numérique peuvent être obtenues. Sous réserve de validation sur des données expérimenta- les et d'une bonne détermination des coefficients de transfert, les solutions numériques permettent de résoudre de nombreux problèmes pratiques à un coût qui peut néanmoins apparaître prohibitif.

Dans un certain nombre de cas particuliers, il est possible d'obtenir de bonnes solutions quasi analytiques :

a) infiltration sous condition de charge;

. En assimilant le soi à un milieu "linéaire" on peut facilement montrer que

(D\ R)=Do=constante) la résolution des équations /l/

sans la gravité et /2/ conduit à la loi d'infiltration de HORTON

. En assimilant le sol à un milieu de "Dirac" (D(e )=6 (8 - E)), on obtient la loi de GREEN et AMPT donnant l'infiltration 'cumulée en fonction du temps; Elle implique l'existence d'un front (effet piston) d'infiltration caractérisé par une pression d'eau, séparant une zone totalement saturée, et une zone non encore affectée par l'infiltration.

. Dans le cas des milieux. "réels" (forme non assignée a priori à la courbe de diffusivitécapillaire), plusieurs auteurs (PHILIP, PARLANGE, MOREL-SEYTOUX) ont proposé des formalismes donnant de façon explicite ou implicite en fonction du temps, l'évolution du flux d'infiltration de la lame cumulée infiltrée, des profils hydriques.

b) infiltration sous condition de flux

L'introduction du concept de relation flux-concentration (PHILIP),

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. - - I I ~ , - - .__

a permis le développement récent de solutions quasi-analytiques pour des flux inférieurs ou supérieurs à KS ; et pour des conditions initiales uniformes et non uniformes (WHITE et al., BOULIER et VAUCLIN). Un exemple est donné figure4 . On notera que cette approche permet également la modélisation de l'infiltration à travers une croate superficielle caractérisée parune impsdance. Cela se traduit par une condition à la limite radiative à la surface.

III- APPROCHE "HYDROLOGIQUE"

1. Généralités

Partant du principe physique que l'eau arrivant à la surface d'un sol sous forme d'un flux r(t) présente une tendance préféren- tielle à s'infiltrer, la détermination de la pluie efficace :

PE(t) = r(t) - qs(t)

nécessite la connaissance à tout temps du flux d*infiltration q (t) et de son corollaire l'infiltrabilité du sol i(t) précédemment d%finie (problème de lère classe).

La physique du sol nous apprend que la fonction i(t) présente les propriétés suivantes :

i(t) ->w pour t-90 (effets capillaires prépondérants)

i(t)-> KS pour t+os [effets gravitaires prépondérants)

On conçoit facilement que le mode d'infiltration dépendra de l'impor- tance relative entre l'intensité de la piuie r(t) et l'infiltrabilité i(t) qui diminue au fur et à mesure que le sol s'humidifie. Deux cas de figure peuvent se présenter :

a) tant que r(t)< K-S i(t), toute la pluie s'infiltre : q (t)=r(t) et Pg(t)=O. Cela zorrespond à la non submersion de la 'surface.

b) Si r(t)>K , trois situations vont se produire successivement : S

. Sur un intervalle de temps [ 0,t 1 , l'intensité de la pluie sera inférieure à l'infiltrabilité du sol : qs(t)=r(t) et PE(t)=O.

. Au-delà du temps te, l'intensité r(t) devient inférieure à i(t). Il va se produire une saturation de la surface, puis éven- tuellement la submersion. Le temps de submersion t est tel que :

t P ts

r(t) dt = i i(t)dt ,

0 0 l6/

i(t,j = rCtp)

Ces équations traduisent simplement la conservation de la masse d'eau. On notera que tp>te et non tp=te I comme on le voit souvent dans la littérature !

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.__ .-___ - *_ .

. Au-delà de tp ; le flux entrant à travers la surface du sol est donné par :

q,(t) = i{ t - (t, - te)? /7/

et la pluie efficace est PE(t) = r(t) - qs(t)

Il apparaît ici, la nécessité d'une bonne connaissance de l'infiltra- bilité d'un sol, pour estimer la pluie efficace. La physique du sol nous apprend en outre que ie temps d'apparition d'une lame d'eau à la surface dépend du sol et de son état de surface (par l'intermédiaire des paramètres de sorptivité capillaire et de conductivité hydraulique), des conditions initiales (humidité) et aux limites (intensité de la pluie).

2. Exemple

A titre d'illustration la figure 5 présente le devenir d'une pluie de 20 mm ; pendant 40 mn (r = 0,5 mm min-l), L'infiltrabilité initiale est modélisée par la loi de PHILIP à deux paramètres : L(t) = 1/2 St -y + A avec la sorptivité capillaire S = 2.65 mm.mn-?$ et A = 0.1 mm.mn-1.

L'utilisation des relations /6/ donne te = 11 mn et tp = 20 mn. Cela conduit à une pluie efficace PE = 2 mm, soit 10% de la lame tombée.

La figure 6, présente le même calcul pour un hyétogramme "académique" connu au pas A t=5min et correspondant à un épisode pluvieux de 9,75. mm pendant 20 min. La pluie efficace représente 12,3% de la lame tombée. On notera que supposer une intensité fictive continue (r = 0.48 mm.min-1) conduirait à PS = 0 ! Ce réaltat, certes initial, illustre cependant l'absolue nécessité de pouvoir disposer d*hyétogrammes à faibles pas de temps.

IV - DISCUSSION ET CONCLUSIONS

A l'issue de cette brève revue, les points suivants peuvent être relevés :

1. Détermination de l'infiltrabilité des sols.

Cette détermination nous paraît essentielle. Plusieurs démarches s'offrent à l'hydrologue et au pédologue :

a) réalisation "in situ" de tests d'infiltrométrie simple ou double anneaux sous très faible charge maintenue constante dans le temps avec ajustement des valeurs de l'infiltration annulbe, à des lois physiques si possible.

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L'approche physique nous paraît préférable à la recherche de liaisons statistiques en raison de son potentiel d'extrapolation.

b) Etude des possibilités de relier la connaissance pédologique du sol et de son état de surface notamment, avec les paramètres intervenant dans les lois physiques d'infiltrabilité. Dans cet esprit, on peut citer l'article de NC CUEN, RAWLS et BRAKENSIEK (Water Resour- ces Res. Vol 17, 1005-1013, 1981) qui met en évidence des liaisons statistiques étroites entre les paramètres de la loi de GREEN et AMPT et la texture. Il est bien évident que la texture ne peut tout expliquer, et d'autres variables explicatives doivent être recherchées, en fonction des cas spécifiques à étudier.

2. Influence des conditions initiales

La physique (et le sens commun !) nous montre que l'humidité initiale, antérieure à la pluie, a une grande influence sur l'infiltrabilité aux temps courts (effets capillaires dominants), donc sur le temps de submersion et par conséquent sur l'estimation de la pluie efficace, et ce d'autant plus que les épisodes pluvieux sont de courte durée. Il serait souhaitable d'effectuer une modélisation continue des tranferts (évapotranspiration, redistribution) et d'éviter de ne s'intéresser qu'aux épisodes pluvieux, pris isolément de leur contexte hydroclimatique. Au plan expérimental, la télédétection hyperfréquence active (en plein développement) peut s'avérer prometteuse dans la mesure où elle permet d'avoir accès périodiquement et sur de grandes surfaces à l*humidité dans les premiers centimètres de sol. Dans cette optique, il conviendrait de développer des modèles hydrologiques capables de prendre en compte cette information.

3. Influence de la variabilité spatiale du sol

Il est bien connu que les propriétés hydrodynamiques d'un sol, à l'échelle d'une parcelle agronomique ou d'un bassin versant, sont spatialement très variables même au sein d'une unité pédologique, qualifiée d'homogène. La notion d'homogénéité est très subjective et dépend en fait de la "paire de lunettes" avec laquelle on veut bien la regarder !

Pour étudier ces problèmes, la démarche scientifique actuellement proposée consiste à utiliser une modélisation conceptuelle des transferts couplée à une description statistique (fonctions de distribution et de structure) des paramètres hydrodynamiques. Cela revient à exprimer la solution d'un problème d'écoulement en termes probabilistes (espérance, variante etc.). On notera également que la variabilité spatiale des champs de pluies et temporelle de certaines caractéristi- ques du sol (états de surface notamment) renforcent le caractère stochastique des écoulements. A titre d'exemple, la figure 7 présente l'&olution en fonction du temps, des lames moyennes infiltrées (essais d'infiltromètre double-anneaux) mesurées en 23 sites sur une parcelle de un hectare calculées par un modble stochastique et déterministe (résolution de l'équation de l'écoulement avec des paramètres moyens). La figure 8 donne le ruissellement rapporté à la pluie, en fonction du flux réduit (r/Ks moyen) pour diverses variabilités supposées des propriétés hydrodynamiques. Là encore, on voit clairement l'inadéquation d'une approche déterministe ainsi

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que l'influence de la variabilité du sol sur le ruissellement, tant pour les faibles intensités de pluie (172) que pour les fortes.

Une revue bibliographique sur ce thème, qui commence à devenir abon- dante, montre la non pertinence du concept de propriétés effectives valable pour toute classe d'écoulement. Une approche déterministe des transferts dans un milieu hétérogène, obtenue à partir de paramè- tres globaux moyens est inadéquate pour modéliser le comportement réel. Seule une approche stochastique semble devoir être utilisée.

Puisse ce bref exposé apporter une contribution, aussi modeste soit- elle, au rapprochement des disciplines de même thématique, mais utilisant concepts et langage bien souvent différents, et susciter de nombreuses études qui doivent être pluridisciplinaires.

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teneur en eou , cm’/cm’

A

-------

--

- - Ce-. exp. !Xi --

- calcul I I

I * initial

3 r

n 8 ws-

“I

: I

I -

l- l

Figure? - Infiltration d'eau SOUS charge positive dans une colonne verticale de sable : comparaison entre profils hydriques observes et calculBs dans le cas de la colonne "ouverte" (A) et "fermée" (B) laté- ralement. Les segments horizontaux 0-0-l) correspondent aux incertitudes expérimentales associées aux mesures gammam6triques.

30-

20 --

.i

y\ . I

c

4

0

-- -- 1 0

l --

Y w

___-. -.-.--

temps, h

-r-------l -

I - ; exp. J--

îemps, h

Figure 2.- Infiltration d'eau sous charge positive dans une colonne verticale de sable : comparaison expPrience-calcul dans le cas de la colonne "ouverte" (0 ) et "fermée" ( 0 ) lat&ralement.

230

_ -,--- .+&j --- infilfrolion/ c

l I I 0.1 02 0; -ÏY

teneur en eau, cm’ /cm3

I 0.1 0.2 0.3 0.4

teneur en eau ,cm’/cm’

Figures - Caractéristiques hydrodynamiques d'un sable

231

t.gaas 1 I LJ-----î--= -YfI+ I

0.6 I

Figure 4 - Infiltration sous condition de flux à la surface ) KS : profils

hydriques expérimentaux t--t) numériques (--- Eq. de Richards)

et quasi-analytiques (- flux concentration).

232

O.i5 r- ----T--- Y+- 7 _~__--

---

0 10 20 30 40

Temps, min

Figure 5 - Exemple de calcul de la pluie efficace dans le cas d'une intensité

constante. L'infiltrabilité est modélisée par la loi de Philip

à deux paramètres.

Flux u

z=o

cm min-’

0.1

0.0.:

(

Figure 6 - Exemple de calcul de la pluie efficace dans le cas d'intensité

variable avec le temps.

234

1.0 Temps ,h

Evolution en fonction du temps de la lame infiltrée. Les barres verticales correspondent au domaine de variation des valeurs mesurées sur les 23 sites.

235

3

REGIME PERMANENT ----"--*-_"_ l

REGIME TRANSITOIRE STOCHASTIQUE

o-

15- APPROCHE DETERMINISTE

1 y’j --- 8 10

n 2. 4 6

FLUX REDUIT, r/K, moYe"

Figure 8 - Ruissellement en fonction du flux réduit.cX est l'écart-type

de lno(oùo( est le facteur d'échelle décrivant la variabilité

spatiale de la conductivité hydraulique.

236

L'infiltration : aperçus physiques et...

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