Lignes Influence

Cours de - mcanique -

_______________________________________________

LIGNES DINFLUENCES

DANS LES POUTRES ISOSTATIQUES ET CONTINUES :

Application la dtermination des cas de chargementen vue dobtenir lextremum de leffet recherch

(raction dappui, moment de flexion, effort tranchant,flche)

SOMMAIRE

1. DEFINITIONS --_________________________________________________________________ 3

1.1. DFINITION.....................................................................................................................................31.2. OBJECTIF .......................................................................................................................................3

2. -- APPLICATION UNE POUTRE TRAVE UNIQUE ISOSTATIQUE -- _________________________________4

2.1. PRINCIPE DES PUISSANCE VIRTUELLES (PPV). ................................................................................72.1.1. NONC 72.1.2. APPLICATION LTUDE DES STRUCTURES ISOSTATIQUES 82.1.3. THORME DE RCIPROCIT DE MAXWELL-BETTI : 11

3. -- TUDE DES POUTRES CONTINUES -- ___________________________________________________ 12

3.1. DTERMINONS LA FONCTION DINFLUENCE DE LA RACTION DAPPUI iA ..........................................123.2. DTERMINONS LA FONCTION DINFLUENCE DU MOMENT DE FLEXION................................................133.3. DTERMINONS LA FONCTION DINFLUENCE DE LEFFORT TRANCHANT..............................................163.4. DTERMINONS LA FONCTION DINFLUENCE DE LA FLCHE ...............................................................17

Lignes dinfluences. LT le Garros AUCH Ch. ALBOUY Page n3/17

1. DEFINITIONS --

1.1. DEFINITION

Soit une poutre plan moyen de symtrie, charge dans ce plan par une force unit (intensit gale 1), verticale, dabscisse variable. Cette force peut occuper une position quelconque sur cettepoutre.Considrons un effet, dont la variation nous intresse, observ dans une section droite ( )xfixe dabscisse x , que nous nommons , cet effet peut reprsenter : une sollicitation telle que le moment de flexion, un effort tranchant, un effort normal ; une raction dappui ; un dplacement (flche ou rotation)

x L

A B

1x

y ( )x( )xG

Lexpression analytique de est fonction de lavariable .Cette fonction ( ) est la fonction dinfluencede leffet dans la section droite observe( )x fixe dabscisse x , sous laction de la forceunit parcourant la poutre dune extrmit lautre. Sa ligne reprsentative est la ligne dinfluencede dans ( )x .

1.2. OBJECTIF

Certaines actions sont variables en position (par exemple les charges dexploitation, laction du chariot sedplaant sur le pont roulant, laction du pont roulant sur la poutre de chemin de roulement (la poutre support), lessurcharges routires sur une trave dun pont.) Pour dimensionner une poutre et plus gnralement une structure, le problme qui se pose au constructeur, est ladtermination des cas de chargement les plus dfavorables. O disposer les charges variables qui vontinduire par exemple la flche max. ou les sollicitations max. (effort tranchant et moment de flexion max.) dans lapoutre tudie.


2. -- APPLICATION A UNE POUTRE A TRAVEE UNIQUE ISOSTATIQUE --

La poutre (A, B) nest soumise qu une charge unit yr , notons : ( )Sv , les forces [ ]y,B,A rrr appliques lapoutre.On sintresse aux ractions dappui. Dterminons les fonctions dinfluence ( ) ( ) YA=1 et ( ) ( ) YB=2lorsque la charge unit yr se dplace.

L

A B

1y

( )YA

( )YB

1

1

Appliquons le PFS :( ) ( ) 01=+ YY BA , ( ) ( ) == YA LBSM 0vNous en dduisons lexpression des actions de contact

en A et B. ( )

=L

AY 1 ; ( )

LBY

=( ) ( ) 010 == LA,A YY ; ( ) ( ) 100 == LB,B YY

La ligne dinfluence de ( )1 est la courbereprsentative de ( )YA , de mme la ligne dinfluencede ( ) 2 est la courbe reprsentative de ( )YB . Ceslignes dinfluence sont des droites.A laplomb de la force unit, correspond l action lappui ; prenons le cas de ( )YA : lorsque la forceunit est applique en A, ( ) 10 =YA , lorsque la forceunit se dplace vers B, lintensit de ( )YA diminuejusqu devenir nulle en B : ( ) 0=LAY .Nous remarquons immdiatement que :( )01 == max,YA

Dterminons la fonction dinfluence de ( ) ( ) zM=3dans une section droite ( )x dabscisse x

( )

=LxLx z 1 M

( ) xL

x z

= 10 M( ) 00 ==,xzM ; ( ) 0== L,xz M

Le moment est maximum lorsque la force unit est

applique en ( )xG : ( )

==Lxxx,xz 1M

Dterminons la fonction dinfluence de ( ) ( ) yV=4dans une section droite ( )x dabscisse x :

( )L

Lx y =


Soit la mme poutre soumise aux forces ponctuelles

iFr

. On veut dterminer le moment de flexion ( )xMzdans la section droite ( )x , On applique le principe de superposition :

( ) ( )=

=n

iiziz FxM

1M

Pour le moment de flexion, compte tenu que ( )zM esttoujours positif, le moment dans la section droite ( )x estdautant plus grand que les forces sont plus nombreuses etvoisines de ( )x .Si on sintresse leffort tranchant ( )xVy dans lasection droite ( )x ,

( ) ( )=

=n

iiyiy FxV

1V

pour ( ) 0>< yx Vpour ( ) 0 yx VLeffort tranchant sera positif si les forces ponctuelles sontsitues gauche de ( )x , dautant plus grand que lesforces sont proches de ( )x . Mme raisonnement pourobtenir leffort tranchant ngatif (le plus grand en valeurabsolue)

On veut dterminer le moment de flexion ( )xMzdans la section droite ( )x , la poutre est soumise une surcharge dexploitation reprsente par lacharge uniformment rpartie q . Celle-ci estrpartie sur un tronon de poutre dabscissesrespectives : 21 , .

( ) ( ) ( ) == 21

2

1

dqqdxM zzz MM (q constante)

Le moment est proportionnel laire de la surface

poche. ( )21

dzM . Cette aire est toujours positive.

Si on veut dterminer leffort tranchant ( )xVy( ) ( ) ( ) == 2

1

2

1

dqqdxV yyy VV

( )21

dyV reprsente laire de la zone poche,

attention ici la zone situe sous laxe des abscisses estngative.Pour obtenir leffort tranchant max. il faut doncsurcharger la poutre soit uniquement droite de lasection ( )x soit uniquement gauche.

x

L

AB

x

y

Lxx 1

Lx

Lx1

1

( )xG( )x

( )zM

( )yV

( )21

dzMaire

( )21

dyVaire

+

+

q

x

L

AB

xy

Lxx 1

Lx

Lx1

1

( )xG( )x

( )zM

( )yV

1FiF

nF

i


Calcul des effets extrmes du chargementreprsent par la charge uniformment rpartie q , charge qui peut affecter ou non la totalit de la longueurde la poutre.. Le moment est max. dans la section droite ( )x

lorsque la poutre est surcharge sur toute alongueur.

( ) ( ) ( ) ==L

z

L

z,maxz dqqdxM00

MMOn peut se dispenser de dterminer lintgrale, il suffitde connatre laire dun triangle.

( ) ( )xLqxLLxqxxM max,z =

=21

21

Voir le schma ci-contre pour le diagramme de( )xM max,z .Pour le moment de flexion : Dans la section dabscissex, le moment de flexion est max. lorsque toute la traveest surcharge.

( ) ( )xLqxLLxqxxM ,maxz =

=21

21

De plus en faisant varier x on montre que le moment estmax. dans la section mdiane de la poutre ; sa valeur

est alors :8

2qL.

Leffort tranchant est max. dans la section droite( )x lorsque la poutre est surcharge uniquementsur le tronon situ soit droite, soit gauche de lasection droite ( )x observe.

Lorsque la poutre est surcharge droite de la sectiondroite ( )x , leffort tranchant observ dans la sectiondroite ( )x est positif et a pour expression

( ) ( )

=x

ymax,y dqxV0

V , ( )L

qxxLxqxV max,y 22

1 2== .Lorsque la poutre est surcharge gauche de la sectiondroite ( )x , leffort tranchant observ dans la sectiondroite ( )x est ngatif et a pour expression

( ) ( )+

=+L

xymax,y dqxV V

( ) ( ) ( )LxLqxL

LxqxV max,y 22

112=

=+

( )2

0 qLV ,maxy =+ ; ( ) 2qLLV ,maxy =Dans la section mdiane leffort tranchant nest pas nul,il existe 2 cas de chargement (chargement sur la demitrave) qui conduisent une valeur max.

82qLLV ,maxy =

(soit le 41 de leffort tranchant

max. aux appuis.

x L

ABx

y

Lxx 1

( )xG ( )x

( )zM

( )xMz8

2qL

q

xL

ABx

y q

x

( )2qLLV ,maxy =

( )L

qxxV ,maxy 2

2

=

( )2

0 qLV ,maxy =+

82qLLV ,maxy =

( )xV ,maxy

( ) ( )LxLqxV ,maxy 2

2=+

xL

ABx

y q


La notion de ligne dinfluence, dfinie dans le cas dune poutre trave unique reposant sur appuis simplesstend aux structures plus complexes. Dans de nombreux cas, on sintresse souvent lallure de la lignedinfluence dun effet observ, car lobjectif est de dterminer la position la plus dfavorable du systme decharges.La dtermination de lquation de la fonction dinfluence nest pas ncessaire. On procde alors unedtermination graphique qui repose sur le principe des Puissances virtuelles. (PPV)

2.1. PRINCIPE DES PUISSANCE VIRTUELLES (PPV).

2.1.1. nonc Comme nous faisons intervenir des dplacements au lieu des vitesses, il faut parler de travail au lieu de puissance.Considrons un champ de dplacement virtuel quelconque

rU* et la dformation reprsente par la courbure

(en flexion simple EIM** = )

Le travail de dformation de ltat rel des sollicitations M dans le champ virtuel des dformations EIM** =

est gal au travail des forces extrieures relles dans le champ de dplacements virtuel rU* , quel que soit ce

champ virtuel.Le travail fourni par les forces extrieures se retrouve sous forme de travail absorb par les sollicitationsinternes.

0=+ *i*e TT Ce principe traduit la conservation de lnergie. =structure

**e dxU.FT

rr ; =

structure

**i dx.MT

Forme condense utilise dans le calcul des structures : 0= structure

*

structure

* ds.MdsU.F rr

M reprsente le moment de flexion et plus gnralement les sollicitations, * la courbure de la ligne moyenne virtuelleet plus gnralement les dformations gnralises de ltat virtuel. Exemples de champs

A2A1

Rigidifiant par morceaux et cinmatiquementadmissible

A2A1

Rigidifiant par morceaux et cinmatiquement admissible

A2A1

Rigidifiant maisnon cinmatiquement admissibleRigidifiant : la barre ne se dforme pas, elle se dplace.Non cinmatiquement admissible, en effet au point A2nous avons un soulvement de lappui simple.

A2A1F

confondu avec le champ de dplacement rel


2.1.2. Application ltude des structures isostatiques Nous choisirons un champ de dplacement rigidifiant par morceaux : 0=*

0= dx.Mstructure

*zic -=T , 0=*eT

Sil est cinmatiquement admissible alors le travail des actions aux appuis est nul. Cest dautant plusintressant car ces actions nous sont inconnues.

On cherche dterminer une action au niveau dune liaison i. Sur le systme rel, on supprime la liaison, on la remplace par laction quelle exerait et qui constitue linconnuecherche, de ce fait, elle est prsent une force extrieure.

Pour dfinir ltat virtuel, il faut supprimer, sur la structure relle, la liaison i correspondant laction cherche, la structuredevient alors un mcanisme un degr de libert et en adoptant une loi de comportement rigide parfait , on obtientainsi le champ de vitesse rigidifiant par morceaux. On prend donc pour *U

r, le champ de dplacement de ce mcanisme.

Il nest pas cinmatiquement admissible, car il ne respecte pas la liaison i.

Le champ de dplacement virtuel est donc choisi de manire dplacer le point dapplication de lactioncherche, sans dformer les diffrents lments de la structure, comme si ces diffrents solides qui la constituent taientindformables (infiniment rigide, cest dailleurs lhypothse adopte en statique).

On cherche la fonction dinfluence de la ractiondappui yA .

On supprime lappui A pour visualiser la raction dappuiyAyr

dont on cherche la fonction dinfluence.

Soit *U le champ de dplacement virtuel rigidifiant obtenupar rotation de la poutre autour de lappui B et tel que ledplacement au point A soit gal lunit de mesure desdplacements.

Appliquons le PPV : seules les forces extrieures travaillent

( ) ( ) 010 = **y U.U.A ; or ( ) 10 =*U( )*y UA =

L

A B

1y

( )YA

1

L

A B

yU* rchamp de dplacement virtuel( ) 10 =*U

yA* r

yAyr

( )yU* r


Dans le cas dune structure isostatique, pour calculer une sollicitation.

Dans ltat rel, pour dterminer une action de liaison, on extriorise cette action en supprimant la liaisoncorrespondante. De mme, pour dterminer une sollicitation dans la section droite ( )x on pratique en ce point unecoupure pour extrioriser cette sollicitation. Par exemple, soit dterminer le moment de flexion labscisse x . Onintroduit une articulation dans la section droite ( )x , on applique sur les lvres de la coupure ( )+M x zz r sur la sectiondroite x et ( )M x zz r sur la section droite x+ . Ces moments sont des couples, ils agissent comme des actionsextrieures.

Pour dfinir ltat virtuel, il faut introduire, sur la structure relle, une coupure. Par cette opration, on transforme lastructure relle en un mcanisme un degr de libert. Cela permet de dfinir le champ de dplacement virtuel,rigidifiant par morceaux 0=T *i , compatible avec les appuis et ne dpendant que dun seul paramtre. Comme il est

cinmatiquement admissible, le travail des actions aux appuis est nulle. lquation se rsume crire 0=T *e

On cherche la fonction dinfluence du moment deflexion dans la section droite ( )x .On introduit une articulation dans la section droite ( )xsur les lvres de la coupure, on applique ( )z,xMz r+ surla section droite gauche x et ( )z,xMz r sur la sectiondroite x+ . Ces moments agissent comme des actionsextrieures.

Pour la notation : ( ) ( )zz,xM zz rr M= moment dans lasection droite dabscisse x pour une force unit appliqueen .Soit *U le champ de dplacement virtuel rigidifiant obtenuen introduisant une articulation dans la section droite( )x et tel que la variation de rotation entre la sectiondroite ( )+x et ( )x soit gale 1.Appliquons le PPV : seules les actions extrieurestravaillent

( ) ( ) 01 = **z U..M ; or 1=* ; ( ) ( ) *z U=M

x L

AB

1x

y

( )xG( )x

x L

AB

1x

y

( )xG ( )x

( )zM

yU* rchamp de dplacement virtuel

1=*( )yU* r

( )zz rM( )zz rM


On adopte la mme dmarche pour leffort tranchant

1

( )yV

x L

AB

1x

y

( )xG( )x

x L

AB

1x

y

( )xG( )x

( )yV( )yV

1

yU* r champ de dplacement virtuel

( )yU* r


En utilisant le Principe des Puissances Virtuelles, nous obtenons le :

2.1.3. Thorme de rciprocit de Maxwell-Betti :

Le travail des forces jr

dans le champ de dplacement jUr

d aux forces rFi est gal au travail des forces

rFi

dans le champ de dplacement i'Ur

d aux forces jr

. On adopte la loi de comportement lastique.

Soit une structure S soumise un ensemble de forces iFr

appliques en Ai On applique le PTV des forces iFr

dans le champ de dplacements engendrs par jr

; 0=*i*e T+ T ; ( ) ( ) ( ) 0= structure

jijii dxEI

M.FM'U.F

rr

Soit la mme structure S soumise un ensemble de forces jr

appliques en Aj . on applique le PTV des

forces jr

. dans le champ de dplacements engendrs par iFr

; 0=*i*e T+ T ;( ) ( ) ( ) 0=

structure

ijijj dxEI

FM.MFU. rr

en comparant les 2 quations on obtient ( ) ( )ijjjii FU.U.F rrrr = =j

jji

ii .'.F

'i la projection sur le vecteur unitaire rvi du dplacement du point i induit par ( )jr j la projection sur le vecteur unitaire rv j' du dplacement du point j induit par ( )rFi

Gi

Gj

GiGj

iii v.FFrr =

jjj 'v.rr =

i'Ur

jUr


3. -- ETUDE DES POUTRES CONTINUES --

La mthode cinmatique (utilisant la Principe de Puissances Virtuelles) permet de tracer lallure de la ligne dinfluenceen faisant intervenir la dformabilit de la poutre. Ceci tant, lorsque lon souhaite connatre les zones de chargement envue dobtenir lextremum de leffet recherch, il suffit souvent de ne connatre que lallure de la ligne dinfluence, afin dedisposer les charges soit dans les parties positives, soit dans les parties ngatives.

3.1. DETERMINONS LA FONCTION DINFLUENCE DE LA REACTION DAPPUI iA

Sur le systme rel, on supprime la liaison, on la remplace par laction quelle exerait et qui constitue linconnuecherche, de ce fait, elle est prsent une force extrieure. Le chargement est constitu de la force unit qui se dplaceet laction de contact en iA : ( )iR ; notons ( )S le systme des actions de ltat rel.Pour dfinir ltat virtuel, on prend le systme rel, on supprime la liaison i, mais on applique en iA une force

* qui creles dplacements virtuels, le champ de dplacement virtuel est choisi de manire dplacer le point dapplicationde laction cherche dune valeur unit. Ici la poutre se dforme. Le chargement est constitu de lunique force * :notons ( )*S le systme des actions de ltat virtuel.Aux appuis, les dplacements dans les 2 tats (rel et virtuel) tant nul, le travail des actions aux appuis est nul.

Si on compare les 2 schmas ci-dessus, ils sont identiques, seul le chargement diffre. On applique le thormede Maxwell-Betti.Dans ltat rel le dplacement de iA est nul, la force inconnue

* ne travaille pas. Dans ( )*S , 1=iU estimpos. ( ) ( ) ( )( ) 010 =+= yU.y.R. i* rr ; ( ) ( ) 0= URi ; ( ) ( ) URi = ;La ligne dinfluence de la raction dappui est la courbe obtenue en imposant un dplacement unitvertical en iA . Cette raction dappui est max. et positive lorsque les charges sont appliques sur les tronons ou lafonction dinfluence est positive (au dessus de laxe horizontal) , cest--dire lorsque les 2 traves quiencadrent cet appui iA sont surcharges ainsi que les traves alternes qui sen dduisent (iciuniquement la console).On obtient une raction dappui ngative (soulvement) lorsque les charges sont appliques sur les traves ou lafonction dinfluence est ngative.

1x

y

iA0A 1A nA1+iA

1x

y

iA0A 1A nA1+iA

( )iR

iA0A 1A nA1+iA* 1

( ) ( ) URi =( )yU r


3.2. DETERMINONS LA FONCTION DINFLUENCE DU MOMENT DE FLEXION

Sur le systme rel, on pratique dans la section droite ( )x une coupure (articulation) pour extrioriser le moment deflexion. On applique sur les lvres de la coupure ( )+M x zz r sur la section droite x et ( )M x zz r sur la section droitex+ . Ces moments agissent comme des actions extrieures. notons ( )S le systme des actions de ltat rel.Pour dfinir ltat virtuel, on prend le systme rel, on pratique dans la section droite ( )x une coupure (articulation).On applique sur les lvres de la coupure zC* r+ sur la section gauche x et zC* r sur la section droite x+ . Cescouples sont choisis pour que le champ de dplacement virtuel qui en rsulte soit tel que la variation de rotation[ ] zz.z rrr == + 1 de manire dplacer le point dapplication de laction cherche ( )+M x zz r dune rotationunit. Le chargement est constitu des 2 couples : notons ( )*S le systme des actions de ltat virtuel.Si on compare les 2 schmas mcaniques, ils sont identiques, seul le chargement diffre. On applique le thorme deMaxwell-Betti.Dans ltat rel la rotation de ( )+x est identique la rotation de ( )x , la variation de rotation est nulle ; les couples

zC* r et zC* r ne travaillent pas.( ) ( ) ( ) 0= + UMM zz ; ( ) [ ] ( ) 0= + U.Mz ;or [ ] zz.z rrr == + 1( ) ( ) 01 = U.Mz ; ( ) ( ) UMz =La ligne dinfluence du moment de flexion est la courbe obtenue en positionnant une articulation dans la sectiondroite ( )x dans laquelle le moment de flexion est observ et en imposant une variation de rotation unitaire[ ] zz.z rrr == + 1 dans cette mme section droite.


1x

y

iA0A 1A nA1+iA

1x

y

iA0A 1

AnA1+iA( )zM z r ( )zMz r

x

y

iA0A 1A nA1+iAzC* rzC* r

zrzr+ [ ] zz.z rrr == + 1

( )yU r

x

y


[ ] zz.z rrr == + 1( )yU r

x

yiA

0A 1A nA1+iAzC* r( )yU rx

y

0A 1A nA1+iAzC* r

[ ] zz.z rrr == + 1( )yU r

x

y


[ ] zz.z rrr == + 1

gF

dF

la charge applique gauche de la trave i+1 n'introduit pas de moment dans la section droite foyer de droite de la trave i+1.

la charge applique droite de la trave i+1 n'introduit pas demoment dans la section droite foyer de gauche de la trave i+

cette zone n'est pas dforme

la trave n'est pas dforme


Moment de flexion en trave

Le moment de flexion positif est max. lorsque les charges sont appliques sur les tronons ou la fonctiondinfluence est positive (au dessus de laxe horizontal) , cest--dire lorsque la trave tudie est surchargeainsi que les traves alternes qui sen dduisent (ici uniquement la console).

Le moment de flexion ngatif sera max. en valeur absolue lorsque les charges sont appliques sur les trononsou la fonction dinfluence est ngative (au dessous de laxe horizontal) , cest--dire lorsque les traves quiencadrent la trave tudie sont surcharges ainsi que les traves alternes qui sen dduisent.

Dans une trave, il existe deux sections droites particulires nommes les foyers : gF et dF . (voir les lignes dinfluencesci-dessus)

Moment de flexion sur appuiLe moment de flexion ngatif sera max. en valeur absolue lorsque les charges sont appliques sur les trononsou la fonction dinfluence est ngative (au dessous de laxe horizontal) , cest--dire lorsque les traves quiencadrent la trave tudie sont surcharges ainsi que les traves alternes qui sen dduisent. (ici uniquementla console).

iA0A 1A nA1+iA

iA

0A

1A nA1+iAzC* rzC* r

zrzr+ [ ] zz.z rrr == + 1


[ ] zz.z rrr == + 1

q q

iA0A 1A nA1+iA

q

maxAiM

maxtiM

q

q


3.3. DETERMINONS LA FONCTION DINFLUENCE DE LEFFORT TRANCHANT

Sur le systme rel, on pratique dans la section droite ( )x une coupure pour extrioriser leffort tranchant. Onapplique sur les lvres de la coupure ( )yxVy r+ sur la section gauche x et ( )yxVy r sur la section droite x+ . Cesforces agissent comme des actions extrieures. Notons ( )S le systme des actions de ltat rel.Pour dfinir ltat virtuel, on prend le systme rel, on pratique dans la section droite ( )x une coupure. On appliquesur les lvres de la coupure y* r+ sur la section gauche x et y* r sur la section droite x+ . Ces forces sontchoisies pour que le champ de dplacement virtuel qui en rsulte soit tel que la variation de dplacement( ) ( )[ ] yy.yxUxU rrr == + 1 de manire dplacer le point dapplication de laction cherche ( )yxVy r+ dunevaleur unit. Le chargement est constitu dun couple de forces : notons ( )*S le systme des actions de ltat virtuel.Si on compare les 2 schmas mcaniques, ils sont identiques, seul le chargement diffre. On applique le thorme deMaxwell-Betti.Dans ltat rel le dplacement vertical de la section droite ( )+x est identique au dplacement vertical de la sectiondroite ( )x , la variation de dplacement des lvres de la coupure est nulle ; les forces y* r+ et y* r ne travaillentpas.( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) 00 ==++ + .yU.yyxU.yxVyxU.yxV *yy rrrrrr ;

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0= + UxUxU.xVy ; ( ) [ ] ( ) 01 = U.xVy ( ) ( )UxVy =La ligne dinfluence de leffort tranchant est la courbe obtenue en positionnant une coupure dans la sectiondroite ( )x dans laquelle leffort tranchant est observ et en imposant un dplacement unitaire dans cettemme section droite.

Leffort tranchant positif est max. lorsque les charges sont appliques sur les tronons ou la fonctiondinfluence est positive (au dessus de laxe horizontal).

Leffort tranchant ngatif sera max. en valeur absolue lorsque les charges sont appliques sur les tronons ou lafonction dinfluence est ngative (au dessous de laxe horizontal).

x

iA0A 1A nA1+iA

1x

y

iA0A 1A nA1+iA

1

x

( )yU r( ) ( )yU,xVy r =

*

*

( )yxVy r( )yxVy r


3.4. DETERMINONS LA FONCTION DINFLUENCE DE LA FLECHE

On veut dterminer la flche dans la section droite ( )xCest lapplication directe du Thorme de Maxwell-Betti.

Sur le systme rel, seule est applique la force unitaire mobile dans la section droite dabscisse . notons ( )S lesystme des actions de ltat rel. Le dplacement cherch est not : ( ),xU , dans la mthode des coupures, il estnot xPour dfinir ltat virtuel, on prend le systme rel, on applique dans la section droite ( )x une force unitaire: notons( )*S le systme des actions de ltat virtuel. Dans la section droite ( ) le dplacement ( )x,U dans la mthodedes coupures il est not x .. On applique le thorme de Maxwell-Betti. ( ) ( ) ,xUx,U = xx =La ligne dinfluence de la flche est la courbe obtenue en appliquant une force unit dans la section droite( )x , section dans laquelle la flche est observ .

La flche tant la valeur absolue du dplacement.Cette flche (dplacement vertical descendant) sera max. lorsque les tronons de poutre pour lesquels la fonctiondinfluence est ngative (ligne dinfluence sous laxe) seront surchargs.De mme pour la flche correspondant au soulvement (dplacement vertical ascendant) sera max. lorsque lestronons de poutre pour lesquels la fonction dinfluence est positive (ligne dinfluence au dessus de laxe) serontsurchargs.

x

y

iA0A 1A nA1+iA

1x

iA0A

1A nA1+iA

x

( )yx,U r

( )y,xU r

( ) ( )x,U,xU =

DEFINITIONS --DfinitionObjectif

-- APPLICATION A UNE POUTRE A TRAVEE UNIQUE ISOSTATIQUE --Principe des Puissance virtuelles (PPV).noncApplication ltude des structures isostatiquesThorme de rciprocit de Maxwell-Betti:

-- ETUDE DES POUTRES CONTINUES --Dterminons la fonction dinfluence de la raction dappuiDterminons la fonction dinfluence du moment de flexionDterminons la fonction dinfluence de leffort tranchantDterminons la fonction dinfluence de la flche

Lignes Influence

Documents

Transcript of Lignes Influence