LICENCE INFORMATIQUE - decitre.fr · Maître assistant à l’Institut Supérieur des Sciences...

LICENCE 1 & 2INFORMATIQUE

Skander BelhajAnis Ben Aïssa

Cet ouvrage présente les concepts et les outils mathématiques de base que toutétudiant en première et deuxième années de Licence Informatique doit maîtriser :initiation au raisonnement mathématique et à la modélisation de problèmesconcrets mais aussi méthodes et applications fondamentales de l’analysenumérique.Plus de 200 exercices corrigés complètent le cours et permettent aux étudiants des’entraîner efficacement.

Docteur en mathématiques appliquées, Skander Belhaj est spécialiste d’algèbre matricielle rapide.Chercheur à l’École Nationale d’Ingénieurs de Tunis (LAMSIN), il enseigne actuellement à l’InstitutSupérieur des Arts du Multimédia de la Manouba (Tunisie). Il est également Maître assistant etDirecteur des Études et des Stages à l'ISAMM.

Maître assistant à l’Institut Supérieur des Sciences Appliquées et de Technologie de Sousse (Tunisie),Anis Ben Aïssa est spécialiste des probabilités et statistiques.

ISBN 978-2-311-01241-5

WWW.VUIBERT.FR

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SommairePartie I. Analyse1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques2. Étude des fonctions réelles d’une variable réelle3. Séries numériques4. Intégration des fonctions réelles d’une variable réelle5. Équations différentielles

Partie II. Algèbre6. Espaces vectoriels et applications linéaires7. Matrices, déterminant et systèmes linéaires8. Diagonalisation des endomorphismes – matrices9. Polynômes et fractions rationnelles10. Applications bilinéaires et formes quadratiques

Partie III. Probabilités11. Notion de probabilité12. Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes

13. Variables Aléatoires Continues - Lois Continues14. Notions de convergence

Partie IV. Statistiques15. Statistique descriptive16. Échantillonnage et estimation17. Tests d’hypothèse et tests de comparaison

Partie V. Analyse numérique18. Introduction à l’analyse numérique19. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires20. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires21. Résolution des équations non linéaires22. Méthodes d’intégration numérique

Corrigés des exercices

Annexe

9 782311 012415

Mathématiquespour l’informatique

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• Cours complet• Méthodes et applications fondamentales• Exercices d’entraînement corrigés

Skander Belhaj & Anis Ben Aïssa


CV_MathsInformatique:EP 30/09/13 14:43

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Table des matières

Analyse 1

1 Nombres réels, nombres complexes et suites numériques 31.1 L’ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 L’ensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Étude des fonctions réelles d’une variable réelle 212.1 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Complément sur les fonctions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.8 Fonctions équivalentes, définition et opérations . . . . . . . . . . . . . 442.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Séries numériques 513.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5 Série quelconque. Convergence absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Intégration des fonctions réelles d’une variable réelle 574.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Techniques de calcul d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Calcul pratique des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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IV Table des matières

5 Équations différentielles 655.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . 655.2 Étude de l’équation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Équations différentielles linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . . 675.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Algèbre 71

6 Espaces vectoriels et applications linéaires 736.1 L’espace vectoriel Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 766.4 Indépendance linéaire, base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.5 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7 Matrices, déterminant et systèmes linéaires 897.1 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.3 Le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8 Diagonalisation des endomorphismes - matrices 1178.1 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.2 Caractéristique d’une valeur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.3 Diagonalisation d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.4 Application de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9 Polynômes et fractions rationnelles 1279.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

10 Applications bilinéaires et formes quadratiques 13910.1 Applications bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13910.2 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Probabilités 149

11 Notion de probabilité 15111.1 Modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15111.2 Probabilités conditionelles et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 157

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Table des matières V

11.3 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.4 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12 Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes 16712.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16712.2 Espérance, Moments et Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17212.3 Lois usuelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17612.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

13 Variables Aléatoires Continues - Lois Continues 18513.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18513.2 Espérance, Moments et Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18913.3 Lois usuelles continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19213.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

14 Notions de convergence 20114.1 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20114.2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20614.3 Convergence des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20714.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Statistiques 213

15 Statistique descriptive 21515.1 Séries statistiques à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21515.2 Séries statistiques à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22315.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

16 Échantillonnage et estimation 23516.1 Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23516.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23716.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

17 Tests d’hypothèse et tests de comparaison 24317.1 Tests de conformité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24317.2 Tests de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24717.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Analyse numérique 253

18 Introduction à l’analyse numérique 25518.1 Représentations des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25518.2 Arithmétique flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25718.3 Normes de vecteurs et de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

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VI Table des matières

18.4 Conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26018.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

19 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires 26519.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26519.2 Méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26619.3 Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26819.4 Décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27119.5 Décomposition de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27219.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

20 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 27920.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27920.2 Définition et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27920.3 Méthodes itératives linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28020.4 La méthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28020.5 La méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28320.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

21 Résolution des équations non linéaires 28721.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28721.2 Méthodes à base géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28821.3 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29321.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

22 Méthodes d’intégration numérique 29722.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29722.2 Méthodes des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29822.3 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30022.4 Méthode de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30222.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Corrigés des exercices 307

Annexe 449

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CHAPITRE 1

Nombres réels, nombres complexes et suites numériques

1.1 L’ensemble des réels

1.1.1 Ensembles ordonnés

Un ensemble E non vide est dit ordonné s’il est suivi d’une relation d’ordre, notée« ≤ ».

« ≤ » est une relation binaire vérifiant :1. reflexivité : x ≤ x, ∀x ∈ E ;2. symétrique : x ≤ y et y ≤ x alors x = y, ∀x, y ∈ E ;3. transitivité : x ≤ y et y ≤ z alors x ≤ z, ∀x, y, z ∈ E.

Si de plus, ∀x, y ∈ E, x ≤ y ou y ≤ x, on dit que la relation ” ≤ ” est d’ordretotale (et E est dit un ensemble totalement ordonné).Exemple 1.1.1 (N, ≤) est un ensemble totalement ordonné.Exemple 1.1.2 Soit E un ensemble non vide. P (E) : l’ensemble des parties de E est

un ensemble ordonné mais pas totalement. En effet, la relation ” ⊆ ” est unerelation d’ordre puisqu’elle vérifie :– la reflexivité (A ⊆ A, ∀A ∈ P (E)) ;– la symétrie (A ⊆ B et B ⊆ A alors A = B, ∀A,B ∈ P (E)) ;– la transitivité (A ⊆ B et B ⊆ C alors A ⊆ C, ∀A,B,C ∈ P (E)).

Majorants, minorants et ensemble bornés

Soit E un ensemble ordonné et soit A une partie de E.1. On dit qu’un élément M de E (m ∈ E) majore A (minore A) si on a : x ≤ M

(x ≥ m), ∀x ∈ A.2. On dit que A majorée (respectivement, minorée) si A possède un majorant (respec-

tivement, un minorant).3. Un majorant (respectivement, minorant) de A qui appartient à A est appelé le plus

grand élément de A (respectivement, le plus petit élément de A).4. La partie A est dite bornée si et seulement si A est majorée et minorée.

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4 Chapitre 1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques

Exemple 1.1.3 E = Q muni de la relation d’ordre pq ≤

p′

q′ ⇐⇒ p.q′ ≤ p′.q. Soit

A ={

1− 1n

tel que n ∈ N\ {0}}⊂ Q.

Vérifier que A est bornée de Q. En effet, on a :

0 ≤ 1− 1n≤ 1,∀n ∈ N\ {0} .

Donc, 1 majore A et 0 minore A. Le plus petit élément de A est 0 = 1− 11 . Par

contre, A n’admet pas de plus grand élément ! Supposons que la valeur maximalede A :

maxA = 1− 1n0

avec n0 ∈ N\ {0} .

Or, 1− 12n0

> 1− 1n0

= maxA. D’où la contradiction.

Borne supérieure, borne inférieure et caractérisation de R

Soit E un ensemble ordonné et soit A une partie de E.Définition 1.1.1 On dit qu’un élément e ∈ E est la borne supérieure de la partie A

et on note e = supA si :1. e majore A ;2. tout majorant M de A est tel que : e ≤M. (autrement dit e est le plus petit des

majorants de A).Remarque 1.1.1 e = inf A⇐⇒ e est le plus grand des minorants de A

⇔{e minore Atout minorant m de A est tel que : e ≥ m

}.

Proposition 1.1.1 (Caractérisation de la borne sup et inf) : Soit E un ensembleordonné et soit A une partie de E. Un élément e ∈ E est la borne supérieure deA (e = supA) si et seulement si :

1. e majore A ;2. ∀e′ ∈ E : e′ < e,∃a ∈ A tel que e′ ≤ a ≤ e.Exemple 1.1.4 Soit

A ={

1− 1n

tel que n ∈ N\ {0}}⊂ Q.

On sait que minA = 0 et 1 majorant de A mais n’est pas maxA. A admet-elleune borne supérieure ? Oui, 1 = supA en utilisant le fait que 1 majore A et pour

e′ = p

q∈ Q : e′ < 1 (p 6= q) ,

existe t-il un élément a ∈ A tel que e′ ≤ a ≤ e ? C’est-à-dire ∃?n ≥ 1, a = 1− 1n

tel que e′ = pq ≤ a = 1− 1

n ≤ 1 (toujours vrai pour n ≥ qq−p ). D’où, supA = 1.

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1.1 L’ensemble des réels 5

Remarque 1.1.2 e ∈ E est la borne inférieure de A (e = inf A) si et seulement si

⇔{e minore A∀e′ ∈ A : e < e′,∃a ∈ A tel que e ≤ a ≤ e′.

}.

Définition 1.1.2 On dit qu’un ensemble ordonné E vérifie l’axiome de la bornesupérieure si toute partie non vide majorée de E admet une borne supérieure.

Exemple 1.1.5 Z vérifie l’axiome de la borne supérieure. Q ne le vérifie pas !Théorème 1.1.1 Il existe un seul corps (à isomorphisme près) commutatif totalement

ordonné vérifiant l’axiome de la borne supérieure. Ce corps est appelé le corpsdes nombres réels et est noté R.

1.1.2 Propriétés des nombres réels

Théorème 1.1.2 (Principe d’Archimède) : Soit x un nombre réel strictementpositif alors, pour tout y ∈ R, il existe un entier relatif n unique vérifiant :

(n− 1)x ≤ y ≤ nx.

Théorème 1.1.3 (Densité de Q dans R) : Entre deux réels distincts, il existe unrationnel.

Preuve : Soient a et b deux nombres réels distincts tels que a < b. Comme b− a > 0d’après le principe d’Archimède, il existe un unique entier n (non nul) tel quen (b− a) > 1. Soit m = [na] : partie entière de na ∈ R signifie que :

m

n≤ a ≤ m+ 1

n≤ na+ 1

n= a+ 1

n< b.

�

1.1.3 Propriétés topologiques de la droite réelle

Intervalles de R

Un intervalle I de R est un sous-ensemble I ⊆ R tel que : ∀x, y ∈ I, le segment joignantx à y est tout entier inclus dans I.Définition 1.1.3 (intervalle) : On dit que I ⊆ R est un intervalle, si,

∀x, y ∈ I, ∀λ > 0 : λx+ (1− λ) y ∈ I.

Définition 1.1.4 (intervalle fermé) : Soit a < b. On définit l’intervalle fermé d’ex-trimité a et b par :

[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} .

Définition 1.1.5 (intervalle ouvert) : Soit a < b. On définit l’intervalle ouvertd’extrimité a et b par :

]a, b[ = {x ∈ R / a < x < b} .

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Voisinage d’un point

Soit x0 ∈ R, on dit qu’une partie V de R est un voisinage de x0 s’il existe α > 0 telque ]x0 − α, x0 + α[ 1 ⊂ V.

Exemple 1.1.6 V =] 1

2 ,72[est un voisinage de 2 car ]2− 1, 2 + 1[ ⊂ V. Par contre,

V =] 1

2 , 2[n’est pas un voisinage de 2 car pour tout α > 0, ]2− α, 2 + α[ * V.

Remarque 1.1.3 Si V est un voisinage de x0 dans R alors, x0 ∈ V (donc V 6= ∅).Remarque 1.1.4 Si V est un voisinage de x0 et si V ⊆ V ′ alors V ′ est un voisinage

de x0.

Remarque 1.1.5 L’intersection de deux voisinages de x0 dans R est un voisinage dex0.

Points d’accumulation d’une partie de R

Soit A ⊆ R et soit x0 ∈ R. On dit que x0 est un point d’accumulation de la partieA si pour tout voisinage V de x0 on a : V ∩ (A\ {x0}) 6= ∅. Autrement dit, si toutvoisinage V de x0 rencontre A au moins en un point distinct de x0.Exemple 1.1.7 Soit A = ]1, 3[ ∪ {4} et x0 = 1 est-il un point d’accumulation de A ?

La réponse est oui car ∀α > 0, (]1− α, 1 + α[) ∩ (A\ {1}) 6= ∅.

1.2 L’ensemble des complexes

1.2.1 Construction de l’ensemble des complexes

La résolution de l’équation x2 + 1 = 0, dans R est impossible et nous conduit àintroduire un nouvel ensemble, comprenant les nombres réels et d’autres nombresparmi lequels se trouvent des solutions de x2 + 1 = 0 ou les équations de même type :3x2 + 5 = 0, ... . Pour cette raison, nous avons construit l’ensemble des complexes.Définition 1.2.1 Un nombre complexe est un couple de réels. L’ensemble des nombres

complexes est donc l’ensemble R2. On peut alors écrire

C = {(x, y) / x, y ∈ R}

ou encore,∀z ∈ C,∃x, y ∈ R, z = x+ iy

avec i est un nombre nouveau tel que i2 = −1. De plus les réels x et y sontuniques. Le réel x est appelé partie réelle de z, noté Re(z) et le réel y est appelépartie imaginaire de z, noté Im(z).

Exemple 1.2.1 z1 = 2 + 4i, Re(z1) = 2 et Im(z1) = 4.

1 Intervalle ouvert de centre x0 et de rayon α.

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1.2 L’ensemble des complexes 7

1.2.2 Notation algébrique (ou cartésienne) des complexes

Définition 1.2.2 Les complexes de la forme iy sont appelés imaginaires purs. L’en-semble des imaginaires purs est noté iR.

Théorème 1.2.1 Tout complexe z s’écrit sous la forme z = x+ iy où x est la partieréelle de z et y est la partie imaginaire de z. C’est la notation algébrique (oucartésienne) de z.

Propriétés 1.2.1

1. z = z′ ⇔{

Re (z) = Re (z′)Im (z) = Im (z′) .

2. z ∈ R⇔ Im (z) = 0.3. z ∈ iR⇔ Re (z) = 0.4. Re (z + z′) = Re (z) + Re (z′) et Im (z + z′) = Im (z) + Im (z′).5. Si α ∈ R, alors Re (αz) =αRe (z) et Im (αz) =α Im (z).6. Formule du Binôme de Newton :

∀z, z′ ∈ C,∀n ∈ N, (z + z′) =n∑k=0

Cknzk (z′)n−k =

n∑k=0

Cknzn−k (z′)k

où Ckn = n!k!(n−k)! est le nombre de combinaison de n par k.

Exemple 1.2.2 z1 = 2 + bi, z2 = a− 5i, si z1 = z2 alors a = 2 et b = −5.

1.2.3 Module et conjugué d’un nombre complexe

Définition 1.2.3 Soit z = x+ iy un complexe. On appelle conjugué de z le complexenoté _

z et défini par _z = x− iy. On a donc Re (_

z) = Re (z) et Im (_z) = − Im (z) .

Exemple 1.2.2 z1 = 2 + 3i ⇒ _z1 = 2− 3i.

Théorème 1.2.2 Soient z, z′ ∈ C, on a :1. z + z′ = z + z′.2. zz′ = zz′.3. z = z.

Remarques 1.2.1

– z + z = 2 Re (z) et z − z = 2i Im (z).– z ∈ R⇒ z = z.– z est un imaginaire pur si et seulement si z = −z.

Définition 1.2.4 Soit z = x+ iy un complexe, on appelle module de z, le réel positifnoté |z| et défini par : |z| =

√zz avec zz = x2 + y2.

Propriétés 1.2.2

1. |z| = 0 ⇔ z = 0.2. |Re (z)| ≤ |z| et |Im (z)| ≤ |z|.

ii


ii

ii


3. Si z ∈ R, alors son module coïncide avec sa valeur absolue.4. |zz′| = |z| |z′| , en particulier, ∀n ∈ N, |zn| = |z|n (ceci reste valable pour n ∈ Z,

si z 6= 0.5. |z| = |_z |.6. ||z| − |_z || ≤ |z − z′| ≤ |z|+ |z′| (Inégalité triangulaire).7. Pour mettre le complexe z

z′ sous forme algébrique ou cartésienne, il suffit demultiplier en haut et en bas par z′.

Théorème 1.2.3 Soient z et z′ deux complexes non nuls, |z + z′| = |z| + |z′| si etseulement s’il existe un réel strictement positif α telque z = αz′.

1.2.4 Équation du second degré

Théorème 1.2.4 Soit a ∈ C, l’équation z2 = a admet dans C deux solutions opposées(toutes deux nulles lorsque a = 0).

Théorème 1.2.5 Soient a, b, c ∈ C avec a 6= 0, l’équation az2 + bz + c = 0 admetdeux solutions complexes qui sont

z1 = −b+ δ

2a et z2 = −b− δ2aavec δ ∈ C tel que δ2 = ∆ = b2 − 4ac (discriminant). De plus, lorsque lescoefficients a, b, c sont réels et que le discriminant b2−4ac est strictement négatif,ces deux solutions sont complexes non réelles et conjuguées.

Remarque 1.2.2 La somme et le produit de ces deux solutions, sont données par lesrelations :

∀z ∈ C, az2 + bz + c = a (z − z1) (z − z2) .

Notation exponentielle

Pour tout réel x, on pose eix = cosx+ i sin x. On a alors les propriétés suivantes :1. ∀x ∈ R, e−ix = cosx− i sin x = eix.

2. ∀x ∈ R,∣∣eix∣∣ =

√(cosx)2 + (sin x)2 = 1.

3. ∀x, y ∈ R, eixeiy = ei(x+y).4. Soit z = x+ iy un complexe et |z| = 1 = x2 + y2, donc il existe un réel θ tel quex = cos θ et y = sin θ, c’est à dire z = eiθ.

5. Soient x, y ∈ R, eix = eiy ⇔{

cosx = cos ysin x = sin y ⇔ {x ≡ y [2π] .

Formules d’Euler et de Moivre

Formule de Moivre : ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, eix =(eix)n = (cosx+ i sin x)n . On en

déduit que :

cos (nx) = Re ((cosx+ i sin x)n) ;sin (nx) = Im ((cosx+ i sin x)n) .

ii


ii

ii


À l’aide du binôme de Newton, ces formules permettent d’exprimer cos (nx) etsin (nx) sous forme d’un polynôme en cos (x) et sin (x) .

Formule d’Euler :

∀x ∈ R, cosx = eix + e−ix

2 et sin x = eix − e−ix

2i .

Ces formules permettent la linéarisation de (cosx)n et (sin x)n .

Forme trigonométrique (ou polaire)

Soit z ∈ C tel que |z| = 1, on sait qu’il existe θ tel que z = eiθ. Si maintenant z ∈ C∗

alors∣∣∣ z|z| ∣∣∣ = 1 donc il existe θ ∈ R tel que z

|z| = eiθ, c’est à dire z = |z| eiθ.

Définition 1.2.5 Soit z ∈ C∗, on appelle argument de z tout réel θ tel que z = |z| eiθ.Cette égalité est appelée forme trigonométrique (ou polaire) de z. L’ensembledes arguments de z est noté arg (z) , on a donc arg (z) =

{θ ∈ R / z = |z| eiθ

}et si θ0 est un argument de z, alors arg (z) = {θ0 + 2kπ / k ∈ Z} .

Définition 1.2.6 Soit z ∈ C∗, z possède un unique argument dans ]−π;π] , pardéfinition cet argument est appelé argument principal de z et noté arg (z) .

Propriétés 1.2.3 Soient z, z′ ∈ C∗ avec θ = arg (z) et θ′ = arg (z′) .

1. z = z′ ⇔{|z| = |z′|θ ≡ θ′ [2π] .

2. z ∈ R∗ ⇔ θ ≡ 0 [π].3. _

z = |z| e−iθ donc arg (_z) ≡ −θ [2π].

4. −z = |z| ei(θ+π) donc arg (−z) ≡ θ + π [2π].

5. zz′ = |zz′| ei(θ+θ′) donc arg (zz′) ≡ θ + θ′ [2π].

6. zz′ = |z|

|z′|ei(θ−θ′) donc arg

(zz′

)≡ θ − θ′ [2π].

7. ∀n ∈ Z, zn = |zn| einθ donc arg (zn) ≡ nθ [2π] .

Exponentielle complexe

Définition 1.2.7 Soit z = x + iy un complexe, on appelle exponentielle de z lecomplexe noté exp (z) et défini par :

exp (z) = ex [cos y + i sin y] .

Remaques 1.2.31. Si z ∈ R (y = 0), alors l’exponentielle de z correspond à l’exponentielle réelle

de z. D’autre part on peut écrire (pour x, y ∈ R :)

exp (x+ iy) = exeiy.

2. exp (0) = 1.

ii


ii

ii


3. exp (−z) = 1exp(z) .

4. Re (exp (z)) = eRe(z) cos (Im (z)) et Im (exp (z)) = eRe(z) sin (Im (z)).

5. |exp (z)| = eRe(z) et arg (exp (z)) ≡ Im (z) [2π].

6. exp (z) = exp (_z) .

Racine n-ièmes d’un nombre complexe

Soient a, z0 deux complexes et n ∈ N, on dit que z0 est une racine n-ième de a lorsquezn0 = a.

Théorème 1.2.6 Soit n ∈ N tel que n ≥ 2 et a ∈ C∗. L’ensemble des racines n-ièmesde a (que l’on note Rn (a)) est un ensemble fini de cardinal n et pour toutargument θ de a on a :

Rn (a) ={

n√|a|ei

θ+2kπn / 0 ≤ k ≤ n− 1

}.

Cas particuliers : racine n-ièmes de l’unité : (noté par Un)

Un = {z ∈ C∗ et |z| = 1 / zn = 1} ={ei

2kπn / 0 ≤ k ≤ n− 1

}.

Exemple 1.2.3 Résoudre dans C l’équation z5 + 1 = 0.

1.2.5 Représentation géométrique des complexes

Le plan complexe est un plan ℘ muni d’un repère orthonormé direct < =(o,→u,→v).

1.2.6 Affixe

Chaque point M du plan complexe est repéré par ses coordonnées : une abscisse xet une ordonnée y, c’est-à-dire par le couple de réel (x, y) . Plus précisement, M estrepéré par le complexe z = x+ iy. Par définition, ce complexe est l’affixe du point M.

Réciproquement, tout complexe z est l’affixe d’un point M du plan que l’on appelleimage de z. Les axes

(o,→u)et(o,→v)sont appelés respectivement axes des réels et

ii


ii

ii


axes des imaginaires.

M(x, y)y

O u x

ν→

→

1.2.7 Angles orientés

Soit z un complexe non nul et M le point du plan d’affixe z, l’argument principal de zest une mesure de l’angle orienté

(−→u ,−−→OM), ce que l’on écrit(−→u ,−−→OM) ≡ Arg (z) [2π] .

y

ν→

O u→ x

θ

x + iy = reiθ avec r = OM = √ x2 + y2

M(x, y)

ii


ii

ii


1.3.4 Suites divergentes et limite infinie

Définition 1.3.4 On dit qu’une suite de nombres réels (un)n≥0 tend vers +∞ (res-pectivement, vers −∞) quand n tend vers +∞ si :

∀A ∈ R, ∃NA ∈ N, ∀n ≥ NA : un ≥ A.

(respectivement, ∀B ∈ R, ∃NB ∈ N, ∀n ≥ NB : un ≤ B).Exemple 1.3.9 La suite un = an avec a > 1 tend vers +∞ quand n tend vers +∞ :

limn→+∞

un = +∞. En effet, soit A ∈ R cherchons NA ∈ N, ∀n ≥ NA : an ≥ A.

Posons NA ={

0 si A ≤ 0[ lnAln a]

+ 1 si A > 0Définition 1.3.5 Une suite de nombres réels (un)n≥0 est dite divergente si elle

n’admet pas de limite ou si elle tend vers ±∞ quand n tend vers +∞.Proposition 1.3.8

– Une suite de nombres réels croissante et non majorée tend vers +∞ quand ntend vers +∞.

– Une suite de nombres réels décroissante et non minorée tend vers −∞ quand ntend vers +∞.

1.3.5 Suites de nombres complexes

Proposition 1.3.9 La suite (zn = xn + iyn)n≥0 de nombres complexes converge versl = x+ iy si et seulement si lim

n→+∞xn = x et lim

n→+∞yn = y.

Preuve :”⇒ ” On suppose lim

n→+∞zn = l. Par définition, on a :

∀ε > 0,∃Nε ∈ N,∀n ≥ Nε : |zn − l| < ε.

Or,|zn − l| =

√(xn − x)2 + (yn − y)2

.

Ainsi, |xn − x| ≤ |zn − l| et |yn − y| ≤ |zn − l| . Donc,

∀n ≥ Nε : |xn − x| < ε et |yn − y| < ε.

”⇐ ”(xn −→

n→+∞x

yn −→n→+∞

y

)⇒

(xn −→

n→+∞x

iyn −→n→+∞

iy

)⇒

zn = xn + iyn −→n→+∞

x+ iy = l.

�

ii


ii

ii

1.4 Exercices 17

1.4 Exercices

Exercice 1 :Soient a et b deux nombres réels vérifiant :

0 ≤ a ≤ 5 et 3 ≤ b < 8.

Donner un encadrement de a+ b, a− b, ab et a× b.

Exercice 2 :Déterminer chacun des ensembles suivants :

A ={x ∈ R tels que x− 1

(x+ 1) (x− 2) ≥ 0},

B = {x ∈ R tels que |x+ 1| < |x− 3|} ,C = {x ∈ R tels que |x+ 1|+ |x+ 2| < 1} .

Exercice 3 :Soient A et B deux parties non vides et majorées de R.1. Montrer que si A ⊂ B alors supA ≤ supB.2. Montrer que :

sup (A ∪B) = max (supA, supB) ,inf (A ∪B) = min (inf A, inf B) .

3. Montrer que

max (inf A, inf B) ≤ inf (A ∩B) ≤ sup (A ∩B) ≤ min (supA, supB) .

Exercice 4 :Soit A une partie de R définie par :

A ={r ∈ Q / r2 − 3r + 1 < 0

}.

1. Montrer que A est non vide et bornée.2. La partie A admet-elle une borne supérieure, une borne inférieure dans R ?

Exercice 5 :Donner, lorsqu’ils existent, le plus grand élément, le plus petit élément, la borne

supérieure et la borne inférieure des ensembles suivants :

A = N, B = {1} ∪ ]2,+∞[ , C ={n− 1n+ 1 , n ∈ N

}.

ii


ii

ii


Exercice 6 :Calculer : ⋃

n≥1

[1n, 1[,⋂n≥0

[n,+∞[ ,⋃n≥0

[n, n+ 1[ ,

⋃n≥1

]−∞, 1

n

[,⋂n≥1

[1− 1

n, 1 + 1

n

[.

Exercice 7 :Écrire sous forme cartésienne les nombres complexes suivants :

z1 = 2−√

3i√3− 2i

, z2 = 3 + 4i(2 + 3i) (4 + i) , z3 = exp (3iπ) , z4 = π exp

(−iπ3

),

z5 = exp(−i5π4

), z6 = (1 + i)9

(1− i)5 .

Exercice 8 :

1. Montrer que si z ∈ C\{1} alors 1 + z + z2 + · · ·+ zn = zn+1−1z−1 .

2. En déduire, pour θ ∈ ]0, 2π[ ,n∑k=0

cos (kθ) etn∑k=0

sin (kθ) .

Exercice 9 :Résoudre dans C les équations suivantes :(E1) z2 + (−3 + i) z + 4− 3i = 0,(E2) z8 + z4 + 1 = 0,(E3) z6 = 1+i

√3

1−i√

3 .

Exercice 10 :

1. Trouver le module et l’argument des nombres complexes suivants :

z1 = −2 + 2i , z2 = −1 +√

3i , z3 =(−1 +

√3i)5.

2. En déduire la forme polaire de ces nombres complexes.

Exercice 11 :Soient z = exp

( 2iπ7), S = z + z2 + z4 et T = z3 + z5 + z6.

1. Montrer que S et T sont conjugués et que la partie imaginaire de S est positive.2. Calculer S + T et ST. En déduire S et T .

ii


ii

ii

1.4 Exercices 19

Exercice 12 :Soient α ∈ ]−π/2, π/2[ , n ∈ N∗ et λ ∈ C, |λ| = 1.1. Soit z0 = 1+i tanα

1−i tanα . Vérifier que z0 = e2iα.

2. Montrer quei (1− λ)λ+ 1 = Im (λ)

1 + Re (λ)où Im (λ) et Re (λ) désignent la partie imaginaire et la partie réelle du complexeλ. (On pourra vérifier que (1 + λ)

(1 + λ

)= 2 + 2 Re (λ)).

3. Déterminer les complexes z solutions de l’équation :(1 + iz

1− iz

)n= 1 + i tanα

1− i tanα.

Exercice 13 :Soit (un)n≥0 la suite définie par :

un ={

1 si n = 012un−1 + 1

4 si n ≥ 1.

1. Montrer que (un)n≥0 est décroissante.2. Montrer que (un)n≥0 est minorée.3. Vérifier que 1

2 est la borne inférieure de (un)n≥0 (Indication : inf (un)n≥0 = inf Eavec E = {u0, u1, . . . , un, . . .}).

Exercice 14 :Soit (un)n≥0 la suite de terme générale définie par :

u0 = 0u1 = 1 et un+1 =

(n+ un−1

n

) 1n , n ≥ 1.

1. Montrer que un =(

1 + n(n−1)2

) 1n−1

, n ≥ 2.2. Montrer que la suite (ln un)n≥1 est convergente et calculer sa limite.3. En déduire que la suite (un)n≥0 est convergente et sa limite est égale à 1.

Exercice 15 :Soit la suite (un)n≥0 de nombres réels définie par :

u0 = 0u1 = 1

2et un+2 = 1

3(1 + un+1 + u2

n

).

1. Montrer que la suite (un)n≥0 est croissante et à valeurs dans [0, 1] (on pourraraisonner par récurrence sur n).

2. Montrer que la suite (un)n≥0 est convergente et calculer sa limite.

ii


ii

ii


Exercice 16 :On considère (un) une suite réelle. On suppose que les suites (u2n) et (u2n+1) sont

convergentes. La suite (un) est-elle convergente ? Discuter.

Exercice 17 :On se propose d’étudier la nature de la suite :

un = 1− 12 + 1

3 + · · ·+ (−1)n−1 1n, n ∈ N∗.

1. Montrer que la suite (u2n) est croissante, majorée par 1.2. Montrer que la suite (u2n+1) est décroissante, minorée par 1

2 .

3. Montrer que pour tout n ≥ 1, u2n < u2n−1 et que les suites (u2n) et (u2n+1)tendent vers la même limite. Conclure.

Exercice 18 :On considère deux suites (un) et (vn) définies par :{

u1 = 1un+1 = 5un+vn

6

{v1 = 1vn+1 = un+2vn

3 .

1. Étudier le signe de vn − un et la limite de vn − un.2. Montrer que la suite (un)n≥1 (respectivement, (vn)n≥0) est croissante (respecti-

vement décroissante).3. Déduire des équations précédentes que (un) et (vn) sont deux suites adjacentes,

donc convergentes vers la même limite l.4. Calculer l.

Exercice 19 :En utilisant le critère de Cauchy, étudier les suites suivantes :

1. un = 1− 12 + 1

3 + · · ·+ (−1)n−1

n .2. un = 1 + 1

2 + · · ·+ 1n .

3. un = 1 + 1√2 + · · ·+ 1√

n.

Exercice 20 :Soit (un) une suite réelle définie par u0 = 1 et un+1 =

√u2n + 1

2n .

1. Montrer que ∀n ∈ N∗, 1 ≤ un+1 < un + 12n+1 .

2. Montrer que (un) est de Cauchy. Donner une valeur approchée de sa limite à10−3 prés.

ii


ii

ii


Corrigés des exercices du chapitre 1

Exercice 1 :– 3 ≤ a+ b ≤ 13– −8 ≤ a− b ≤ 2– 0 ≤ a

b ≤53

– 0 ≤ a× b ≤ 40.

Exercice 2 :– A = ]−1, 1] ∪ ]2,+∞[– B = ]−∞, 1[– C = ∅.

Exercice 3 :Soient A et B deux parties non vides et majorées de R.1. Comme R vérifie l’axiome de la borne supérieure alors A admet une borne

supérieure dans R. Il suffit donc de montrer que supB est un majorant deA. Soit x ∈ A ⊂ B alors x ∈ B et comme supB et un majorant de B alorsx ≤ supB. D’où, supA ≤ supB.

2. Montrer que sup (A ∪B) = max (supA, supB). On a :

A ⊂ A ∪B ⇒ sup (A) ≤ sup (A ∪B) ,B ⊂ A ∪B ⇒ sup (B) ≤ sup (A ∪B) ,

alors sup (A ∪B) ≥ max (supA, supB) . Il suffit de montrer que max (supA, supB)est un majorant de A ∪B. En effet, soit x ∈ A ∪B alors x ∈ A ou x ∈ B c’està dire x ≤ supA ou y ≤ supB. Donc, x ≤ sup (A ∪B) . D’où, le résultat. Onmontre de même inf (A ∪B) = min (inf A, inf B) .

3. On a :

(A ∩B) ⊂ A⇒ sup (A ∩B) ≤ sup (A) ,(A ∩B) ⊂ B ⇒ sup (A ∩B) ≤ sup (B) .

Donc,sup (A ∩B) ≤ min (supA, supB) .

ii


ii

ii

308 Corrigés des exercices

De même, on a :max (inf A, inf B) ≤ inf (A ∩B) .

Exercice 4 :

A ={r ∈ Q / r2 − 3r + 1 < 0

}=]

3−√

52 ,

3 +√

52

[∩Q.

1. Comme Q dense dans R, alors il existe r dans Q tel que 3−√

52 < r < 3+

√5

2 . Donc,A est non vide. De plus, 3+

√5

2 est un majorant de A et 3−√

52 est un minorant

de A donc A est bornée.2. Comme R vérifie l’axiome de la borne supérieure alors la partie A admet une

borne supérieure et une borne inférieure dans R.

Exercice 5 :– A = N : 0 est le plus petit élément de N car 0 est un minorant de N et 0 ∈ N,donc 0 est la borne inférieure de N et aussi un minorant. N n’admet pas unmajorant. En effet, soit M ∈ R, montrer qu’il existe n ∈ N / n > M. Pourn0 = E (M) + 1, on a n0 > M donc M n’est pas un majorant de N. Ainsi, Nn’admet pas ni de majorant, ni de borne supérieure, ni de plus grand élément.

– B = {1} ∪ ]2,+∞[ . On voit que 1 est le plus petit élément de B donc inf B = 1.D’autre part, B n’admet pas de majorant car si M est un majorant, on a M > 2.On a M + 1 > r et M + 1 ∈ B donc c’est la contradiction. Ainsi, B n’admet pasni de borne supérieure, ni de plus grand élément.

– C ={n−1n+1 , n ∈ N

}. On remarque que −1 est le plus petit élément de C. ∀n ∈ N,

on a n−1n+1 ≥ −1 et −1 ∈ C donc −1 est le plus petit élément de C et −1 = inf C.

On vérifie aussi que 1 est la borne supérieure. En effet, 1 /∈ C sinon il existen ∈ N tel que n−1

n+1 = 1 absurde. Donc, C n’admet pas de plus grand élément.Pour montrer que 1 = supC. On a 1 est un majorant de C. Soit e un majorantde C, montrons que e ≥ 1. Sinon, e < 1. Montrons qu’il existe x ∈ C tel quee < x < 1 avec x = n−1

n+1 . Ainsi, pour n0 = E(

1+e1−e

)+ 1, on a e < n0−1

n0+1 < 1.Contradiction avec e un majorant de C. D’où, 1 = supC.

Exercice 6 :–⋃n≥1

[ 1n , 1[

= ]0, 1[ . Car, ∀n ≥ 1,[ 1n , 1[⊂ ]0, 1[ . Et, pour x ∈ ]0, 1[ , il existe

n0 = E( 1x

)+ 1 6= 0 tel que x ∈

[1n0, 1[donc x ∈

⋃n≥1

[ 1n , 1[.

–⋂n≥0

[n,+∞[ = ∅. Montrons que si x ∈ R alors :

x /∈⋂n≥0

[n,+∞[ (x /∈ [n,+∞[).

En effet, il suffit de prendre n0 = E (x) + 1 pour vérifier l’absurdité.

ii


ii

ii

Corrigés des exercices 309

–⋃n≥0

[n, n+ 1[ = [0,+∞[ . Car, ∀n ≥ 0, [n, n+ 1[ ⊂ [0,+∞[ . De plus, soit x ∈

[0,+∞[ . Montrons qu’il existe n0 ∈ N tel que x ∈ [n, n+ 1[ . Il suffit de prendren0 = E (x) + 1.

–⋃n≥1

]−∞, 1

n

[= ]−∞, 1[ . Car, on a ∀n0 ≥ 1,

]−∞, 1

n0

[⊂⋃n≥1

]−∞, 1

n

[. Il suffit

de prendre n0 = 1 donc ]−∞, 1[ ⊂⋃n≥1

]−∞, 1

n

[. De plus, soit

x ∈⋃n≥1

]−∞, 1

n

[.

Montrons que x ∈ ]−∞, 1[ . On a x ∈]−∞, 1

n

[⊂ ]−∞, 1[ ( 1

n ≤ 1).–⋂n≥1

[1− 1

n , 1 + 1n

[= {1} . En effet,

⋂n≥1

[1− 1

n, 1 + 1

n

[=⋂n≥1

(]1− 1

n, 1]∩]1, 1 + 1

n

[)

= {1} ∪⋂n≥1

]1, 1 + 1

n

[.

Il suffit de montrer que⋂n≥1

]1, 1 + 1

n

[= ∅. Pour cela, supposons qu’il existe

x < 1+ 1n ⇔

1x−1 > n, ∀n ≥ 1, absurde car il suffit de prendre n0 = E

(1

x−1

)+1.

D’où, le résultat.

Exercice 7 :– z1 = 4

7√

3 + 17 i

– z2 = 71221 −

22221 i

– z3 = −1– z4 = −π

( 12 i√

3− 12)

– z5 = −( 1

2 −12 i)√

2– z6 = −4i.

Exercice 8 :

1. Il suffit de remarquer que zn+1 − 1 = (z − 1)(1 + z + z2 + · · ·+ zn

).

2. Remplacer z par eiθ pour θ ∈ ]0, 2π[ dans la question 1. pour déduiren∑k=0

cos (kθ)

etn∑k=0

sin (kθ) .

Exercice 9 :

(E1) SC = {1− 2i, 2 + i} .

LICENCE 1 & 2INFORMATIQUE

Skander BelhajAnis Ben Aïssa

Cet ouvrage présente les concepts et les outils mathématiques de base que toutétudiant en première et deuxième années de Licence Informatique doit maîtriser :initiation au raisonnement mathématique et à la modélisation de problèmesconcrets mais aussi méthodes et applications fondamentales de l’analysenumérique.Plus de 200 exercices corrigés complètent le cours et permettent aux étudiants des’entraîner efficacement.

Docteur en mathématiques appliquées, Skander Belhaj est spécialiste d’algèbre matricielle rapide.Chercheur à l’École Nationale d’Ingénieurs de Tunis (LAMSIN), il enseigne actuellement à l’InstitutSupérieur des Arts du Multimédia de la Manouba (Tunisie). Il est également Maître assistant etDirecteur des Études et des Stages à l'ISAMM.

Maître assistant à l’Institut Supérieur des Sciences Appliquées et de Technologie de Sousse (Tunisie),Anis Ben Aïssa est spécialiste des probabilités et statistiques.

ISBN 978-2-311-01241-5

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SommairePartie I. Analyse1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques2. Étude des fonctions réelles d’une variable réelle3. Séries numériques4. Intégration des fonctions réelles d’une variable réelle5. Équations différentielles

Partie II. Algèbre6. Espaces vectoriels et applications linéaires7. Matrices, déterminant et systèmes linéaires8. Diagonalisation des endomorphismes – matrices9. Polynômes et fractions rationnelles10. Applications bilinéaires et formes quadratiques

Partie III. Probabilités11. Notion de probabilité12. Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes

13. Variables Aléatoires Continues - Lois Continues14. Notions de convergence

Partie IV. Statistiques15. Statistique descriptive16. Échantillonnage et estimation17. Tests d’hypothèse et tests de comparaison

Partie V. Analyse numérique18. Introduction à l’analyse numérique19. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires20. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires21. Résolution des équations non linéaires22. Méthodes d’intégration numérique


Annexe

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• Cours complet• Méthodes et applications fondamentales• Exercices d’entraînement corrigés

Skander Belhaj & Anis Ben Aïssa


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