Licence de mathématiquesAlgèbre linéaire et bilinéaire 2019-2020

AL3 - Contrôle continu 2 - 29 novembre 2019

Durée : 1h

Exercice 1.Soient E,E0

deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Soient u 2 L(E) et v 2 L(E0).On considère u⌦ v 2 L(E ⌦ E0).

1. On suppose que u et v sont diagonalisables. Démontrer que u⌦ v est diagonalisable.

2. On suppose que u est nilpotent. Démontrer que u⌦ v est nilpotent.

3. Soient u = d + n et v = d0 + n0les décompositions de Dunford respectives de u et v.

Expliciter la décomposition de Dunford de u⌦ v en fonction de d, n, d0 et n0.

Exercice 2.Soit K un corps de caractéristique 0. Pour P 2 K[X], on notera CP la matrice compagnon

associée au polynôme P .

1. Soient P1, P2 2 K[X] et M =

✓CP1 00 CP2

◆.

(a) On suppose que P1 et P2 sont premiers entre eux. Démontrer que M est la matrice

d’un endomorphisme cyclique dont on précisera le polynôme caractéristique.

(b) On suppose que P1 et P2 ne sont pas premiers entre eux. On note P (resp. Q)

le pgcd (resp. le ppcm) de P1 et P2, et on pose P1 = PQ1, P2 = PQ2. On

écrit P = F1F2 avec F1, F2 des polynômes unitaires tels que pgcd(F1, Q2) =

pgcd(F2, Q1) = pgcd(F1, F2) = 1. Démontrer que

✓CQ 00 CP

◆est semblable à

0

BB@

CF1Q1 0 0 00 CF2Q2 0 00 0 CF1 00 0 0 CF2

1

CCA, puis à

✓CP1 00 CP2

◆.

(c) En déduire les invariants de similitude de M selon que P1 et P2 sont premiers

entre eux ou non.

2. On considère la matrice

M =

0

BBBB@

0 1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 00 0 0 1 0

1

CCCCA.

Déterminer les invariants de similitude de M .

3. On se donne P 2 K[X] et on considère maintenant la matrice par blocs :

CP,2 =

✓CP I0 CP

◆,

où I désigne la matrice identité de taille d = degP .

(a) Démontrer que pour tout k 2 N,

CkP,2 =

✓CkP kCk�1

P0 Ck

P

◆.

(b) En déduire que Q 2 K[X] annule CP,2 si et seulement si P |Q et P |Q0.

(c) On suppose que P est irréductible, montrer que le polynôme minimal de CP,2 est

P 2et en déduire que CP,2 est cyclique.

4. On considère toujours P 2 K[X] et on définit par récurrence pour r � 1, CP,1 = CP

et

CP,r =

0

BB@

CP I 0 · · · 0

0 CP,r�1

1

CCA .

On admet que pour tout Q 2 K[X], on a :

Q(CP,r) =

0

BB@

Q(CP ) Q0(CP ) Q00(CP )/2 · · · Q(r�1)(CP )/(r � 1)!

0 Q(CP,r�1)

1

CCA .

(a) Démontrer que si Q est un polynôme annulateur de CP,r, alors P divise Q,Q0, . . . , Q(r),

et en déduire que si P est irréductible, alors P rdivise Q.

(b) Justifier que si P est irréductible, alors CP,r est cyclique de polynôme minimal

P r.

5. Soit M 2 Mn(K), démontrer qu’il existe une famille de polynômes irréductibles Pi et

une famille d’entiers ri,j tels que M soit semblable à une matrice diagonale par blocs

dont les blocs diagonaux sont de la forme CPi,ri,j .

Page 2

Exercice 11 Supposons v.v diagonalisables Fixons une base D et en de E

forméedevecteurspropresde u et une base C f fm de E forméede vecteurs propres

de v Onpeutécrire ceci D ei et va µ fi pour ieftp.n où Ii est lavaleurpropre

associée à ei et µ lavaleurpropreassociéeà fi On a donc

v ei f u ei Cfj ni ei µjfjDipj ei fj

Comme lesvecteurs ei fj pour i j CICIn forment unebasede t KE on voitqueuxov

est diagonalisable

2 On suppose u nilpotent Il existedonc n 21 tel qu u 0 On aalors

v ce on 0

ce quimontreque uxov estnilpotent3 Soit ce d n la décomposition deDunfordde u et o d n celle de o On a

donc ce v dtn d n d d n d d n n n Posons 5 d d et

y n d d n non D'après d l'endomorphismes est diagonalisable et d'après 2

chacundes endomorphismes n d d n et n n'est nilpotent Comme nd dn et n'd d'n

les endomorphismes n d d n et n n commutentdeuxà deux et leursomme yestdonc

nilpotente par la formule dubinômeComme

Sy d o n d d n n n dn d d d'n dn d'n

nd d2 d n'd nd n'd n d d n n n o d d psla décomposition deDunforddece v est ce v S n

Exercice2e Pour i CEt27J on a pcp Xcpi P On a donc

ton ppcmpcpµ a ppcmPipa et XM XpXp PPa

a Si Pi etPzsontpremiersentre eux alors ppcmPipa PPz Ainsi pom Xm ce quiassure

que Mestcycliquede polynôme caractéristique PB

b Aveclesnotationsde l'énoncé lespolynômes F F2sontpremiersentreeux de produit P

de sortequed'après a lamatriceCp est semblableà lamatrice

De même Q Qi Faaa et comme lespolynômes FQi et FaQasontpremiersentreeux

lamatrice Ca est semblable à lamatrice

c a

CelamontrequelesmatricesCrari O O O

c 4 LCra

sontsemblables Enraisonnant de même onvoit quela matrice Cp estsemblableà

a

et queCpaestsemblable à

çacelamontreque lesmatrices

ça ça

sontsemblables

c Si Pi et Pasontpremiersentre eux alors M a un unique invariantdesimilitudedonnépar

Pilz Si Pi etPz nesontpaspremiersentreeux alors M a deuxinvariantsde similitudedonnés

par P pgcd Pipa et Q ppcmPipa Le premier cas est une conséquence de a et

le second de b

2 Onconsidère lamatrice

0 1 OOOI O OOO

mf010

Il s'agitd'unematricedeforme précédente avec Pi 1 et Pz X 1 On a

pgcdPipa X I et ppcm Pi B X 1 XIX 1 Les invariantsde similitudede M

sontdonc 1 et X 1 X2 X 1

3 OnsedonnePEKLX et onconsidère lamatriceparblocs

Cp ICpa 0 Cp

a Raisonnonspar récurrence sur k Le cas te 1 coincideavecladéfinitiondeCpz On

a donc pour tes 2 par récurrence

catif ai fois ça épier çà m'Était çb Soit QEKIX Ecrivons Q Ê aiXi Lecalculprécédentmontreque

Qcm Êai È ÊËAinsi QannuleCpp ssi QCp Q Cp 0Celamontreque Qannule P si et seulementsi

P divise Q et Q

c Onsuppose P irréductible Lepolynômecaractéristique deCpa est P Lepolynômeminimal

estdonc soit P soitPZ par le théorèmedeCayley Hamilton Comme PI µép d'après bon doit avoir pris P Xp ce quimontrequeCppestcyclique

4 a Si QEKIX est annulateur deCp alorsen particulier laformuleadmise

impliqueque Q Q annulent tousCp Comme lepolynômeminimaldeCpest P cela

revient àdireque P diviselespolynômes Q Q Supposons de plus P irréductible

Montronspar récurrence sur r qu'alors PrdiviseQ Pour r 1 c'est immédiat Pour riz

alors par récurrence Pr divise Q En écrivant PAR où a 1 et R estpremier à P

alorsQ ap P R P R Pa ap R PR

Comme Pest irréductible P est premier avec PK etdoncavec APR PR Ainsi la

multiplicité de P dans Q est a 1 de sorteque a 1 a r 1 ce quidonne a z r et montre

que Pr diviseQ

b Le polynôme caractéristique deCprest Pr Parailleurs a montrequePr divisele

polynômeminimaldeCpr Celamontreque le polynômeminimal deCprest égalau

polynôme caractéristiquedeCpr et doncqueCprest cycliquede polynômeminimalPr

5 Soit A l 1Aa les invariantsde similitudede M La matriceMestalors semblableà

Ca 0o aa

desortequel'onpeutsupposer M Ca pour un polynômeunitaire A de KIX Onpeutalors

écrire A Pimi où mi 21 et Pi Ps sontdespolynômes irréductiblesdeuxàdeux

premiersentre eux La matriceM estalorssemblableà

Ï c ms

Eneffet on apu ppcm ftp.i.miiicll.SI ppcm Pmi iCEt A Xv

Celamontre que N et H ont un seulinvariantdesimilitudedonnéparA etqu'ellessontdonc

semblables