Licence Creative Commons - République et canton de Genève · 2019-08-30 · Calvin 2019-2020...

Ca

lvin

2019-2020

Licence Creative Commons

Coursde

mathématiques2e

année

Jann WEISS

S O M M A I R E

1 Les fonctions 5

1.1 Une fonction à partir d’un tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Une fonction à partir d’un graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Remplissage d’un récipient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Déplacement d’une voiture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Fonctions à partir d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Suite de « Une fonction à partir d’un tableau » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Opérations sur les graphiques de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Variantes autour de la chute d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3 Tableau de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Équation d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 La fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Résumé sur les fonctions « carré» et «inverse» et leur transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 Quelques notions importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Les fonctions polynômes 23

2.1 Définition et terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Division euclidienne d’un polynôme A par un polynôme B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Représentation graphique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Les fonctions « puissances » x 7→ xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Analyse de quelques polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8 Symétries diverses dans les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.9 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.10 Faire le point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.10.1 Savoir reconnaître un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.10.2 Connaître des situations particulières pouvant être représentées par des fonctions polynomiales . . . . 422.10.3 Polynômes de degré > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Fonctions polynômes et fonctions rationnelles 45

3.1 Représentation graphique des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Équations et inéquations 53

4.1 Équations avec des valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Équations du second degré (ou s’y ramenant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1 Équations bicarrées ou par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2.2 Équations irrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Les inéquations du 1er degré à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.1 LES PROPRIÉTÉS DES INÉGALITÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.2 LA RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION DU 1er DEGRÉ À UNE INCONNUE . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.3 Les demi-droites et les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5 Les systèmes d’inéquations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6 Les inéquations rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.7 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.8 Inéquations et valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Encore les fonctions 66

5.1 Applications, fonctions, domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.1 Injections, surjections et bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3

5.1.2 Applications composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Interprétation géométrique de la réciproque d’une fonction bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Recherche de la fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4 Présentations alternative pour l’injection, la surjection et la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4.1 Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4.2 Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4.4 Explication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4.5 Test algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Fonction logarithme et fonction exponentielle 82

6.1 Exploration du logarithme népérien avec la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2 Problème d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4 La fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.4.1 Rappel sur la représentation graphique d’une fonction et de sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4.2 Représentation graphique du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.5 Propriétés des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.6 Modélisation des situations de croissance ou de décroissance par la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . 896.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.8 Équations logarithmiques et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.8.1 Équations logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.8.2 Équations exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7 Fonctions trigonométriques 997.1 Le théorème de Thalès (rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.1.1 Configurations de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.3 Résolution de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.3.1 Résolution de triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3.2 Résolution de triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.4 Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.4.1 Unités pour la mesure d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.4.2 Conversions d’unités angulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.4.3 Angle au centre et arc intercepté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.4.4 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.6 Projection d’un escalier tournant (hélice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.6.1 Réalisation pratique d’une hélice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.7 Approche analytique de la projection d’une hélice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.7.1 Fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.7.2 Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.8 Quelques propriétés remarquables des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.8.1 Valeurs remarquables du sinus et du cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.8.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.8.3 Angles complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.8.4 Angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.8.5 Sinus et arcsinus, cosinus et arccos sur la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.10 Équations trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.11 Exercices divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

1Les fonctions

C H A P I T R E

6

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CHAPITRE 1. LES FONCTIONS 7

Si une notion est fondamentale en mathématiques, c’est celle de fonction. Son étude est même l’objet d’unediscipline particulière des mathématiques : l’analyse. Ce chapitre commencera par l’observation de tableaux,de graphiques, puis continuera par l’étude de formules qu’on appellera les expressions analytiques des fonc-tions.

Une fonction à partir d’un tableau1

Pour couvrir les besoins collectifs, l’État récolte des fonds sous diverses formes (impôts directs, impôts indirectsou taxes). En Suisse, le prélèvement de l’impôt direct se fait à trois niveaux différents : communal, cantonal etfédéral. Nous examinerons ici l’imposition des personnes physiques en 1997, vivant seuls et au niveau fédéral.Les revenus sont décomposés en tranches et pour chaque tranche un taux d’imposition spécifique est appliqué.Ainsi, pour un revenu de 30 000 fr., par exemple, on calculera un impôt pour chacune des 3 premières tranchesque l’on cumulera pour arriver à l’impôt total :

0+ (25300−11600) ·0,77%+ (30000−25300) ·0,88% = 146,85fr.

Tranche De Jusqu’àTaux

d’imposition partranche

Impôt partranche

Impôt cumulé

1 0 11 600 0% 0 0

2 11 600 25 300 0,77% 105,50 105,50

3 25 300 33 100 0,88%

4 33 100 44 100 2,64%

5 44 100 57 900 2,97%

6 57 900 62 400 5,94%

7 62 400 82 700 6,60%

8 82 700 107 500 8,80%

9 107 500 140 500 11,00%

10 140 500 603 000 13,20%

11 603 000 taux max. 11,50%

a) Pour se familiariser avec ce tableau, calculer l’impôt dû pour un revenu imposable annuel de 50 000 fr.,125 000 fr. et de 850 000 fr.

b) Si x désigne le revenu imposable annuel, donner pour chaque tranche la formule (on dit aussi l’expres-sion analytique) qui permet de trouver l’impôt i (x).

c) Que penser de l’affirmation : « Cela ne sert à rien que je travaille plus, je vais tomber dans une tranched’impôt supérieur et je gagnerai finalement moins que maintenant. »

d) Que penser de l’affirmation : « L’impôt fédéral représente à peu près 5% du revenu imposable annuel. »

e) Quel doit être le revenu imposable annuel pour que le taux d’imposition soit de 10% ?

f) Examiner ce qu’apporte une représentation graphique des questions ci-dessus. À l’intérieur d’une tranche,que montre la représentation graphique ? Comment justifier cette observation ? Que vaut, à l’intérieurd’une tranche, le rapport entre la différence des ordonnées et la différence des abscisses ?

g) Pour prouver ce dernier résultat, considérer deux revenus x et x +∆x dans une tranche, et calculer lerapport demandé. Ce dernier est appelé le taux d’accroissement à l’intérieur d’une tranche.

h) Comment trouver graphiquement le revenu pour lequel l’impôt s’élève à 10% du revenu imposable an-nuel.

Une fonction à partir d’un graphique2

2 1 Remplissage d’un récipient

On verse de l’eau dans un récipient qui a la forme d’un cône tronqué et renversé. Le débit est constant et on litla hauteur atteinte par l’eau à différents instants.


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8 1.3. FONCTIONS À PARTIR D’UNE FORMULE

Cette situation peut être représentéepar un graphique. Pour un récipientde forme donné, on a mis en ordon-née la hauteur atteinte par l’eau aufur et à mesure du remplissage, et, enabscisse, le temps.On peut varier à souhait la forme durécipient et obtenir des graphiquesprésentant des courbes d’allures fortdifférentes.

a) Quelle va être la courbe du gra-phique si le verre a la formed’un ballon.

b) Quelles sont tous les verresdont le remplissage à débitconstant donne lieu à la re-présentation graphique d’unedroite ? Que représente la pentede la droite ?

c) Trouver la forme d’un récipientdont la courbe de remplissageprésente un saut.

5

10

15

20

25

30

hauteur de l'eau (cm)

1 5temps (sec)

5

10

15

20

25

30

hauteur de l'eau (cm)

1 5temps (sec)

Finalement, il est intéressant de s’interroger sur le type de graphique qui ne correspondrait pas à la représen-tation du remplissage d’un verre d’eau. En particulier, par rapport aux courbes possibles, quelle est la particu-larité d’une courbe qui revient sur elle-même (ellipse, cercle, spirale ...) ?

2 2 Déplacement d’une voiture

La figure ci-contre représente le déplacementd’une voiture dont le mouvement est uniforme (vi-tesse constante).

1. Expliquer pourquoi les occupants de ce vé-hicule ont peu de chance de survivre à un teldéplacement si ce graphique représentait levrai mouvement du véhicule.

2. Quel serait un graphique beaucoup plusplausible pour un véhicule ? Présenter diffé-rentes possibilités. 0

1

2

3

0 1 2 3

distance(en km)

temps(en minutes)

Fonctions à partir d’une formule3

Généralement, les fonctions sont données par le biais de formules. Par exemple, un objet en chute libre d’unealtitude de 300 m, a son mouvement qui est décrit par l’expression :

h = 300− g t 2

2où g ≈ 9,81m/s2

Comme g est une constante, la hauteur h à laquelle se trouve l’objet dépend uniquement du temps t qui s’estécoulé depuis le début de la chute ; h est donc fonction de ce temps t , et on écrit

h(t) = 300− g t 2

2

ou encore

h : t ,→ 300− g t 2

2Il est plus correct d’utiliser cette dernière écriture pour désigner une fonction que la précédente. En effet, h(t)indique au sens strict la valeur de la hauteur h à un instant donné t , alors que la dernière formulation indiqueun objet mathématique h qui est une fonction.La fonction (ou application, ces termes sont considérées comme de proches synonymes) de notre exemple

associe, à tout nombre t , un nombre qui s’obtient par la formule 300− g t 2

2 . Ce dernier nombre s’appelle l’image


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de t par l’application h et il est noté h(t). Il est assez évident que le choix des valeurs pour t peut être assorti decertaines contraintes. Ici, t ∈R+ : le temps est positif ! La définition complète de notre fonction est donc

h : R+ −→ R

t −→ 300− g t 2

2

R+ est le domaine (ou l’ensemble de départ) de la fonction h.

Une fonction est une relation telle que tout élément de l’ensemble de départ a une et une seule imagedans l’ensemble d’arrivée.

Définition 1 - 1

Suite de « Une fonction à partir d’un tableau »4

Tranche De Jusqu’àTaux

d’imposition partranche

Impôt partranche

Impôt cumulé

1 0 11 600 0% 0 0

2 11 600 25 300 0,77% 105,50 105,50

3 25 300 33 100 0,88% 68,65 174,15

4 33 100 44 100 2,64% 290,40 464,55

5 44 100 57 900 2,97% 409,85 874,40

6 57 900 62 400 5,94% 267,30 1141,70

7 62 400 82 700 6,60% 1339,80 2481,50

8 82 700 107 500 8,80% 2182,40 4663,90

9 107 500 140 500 11,00% 3630 8293,90

10 140 500 603 000 13,20% 61050 69343,90

11 603 000 taux max. 11,50%

i (x)=

0 si x ≤ 11600

(x −11600) ·0.0077 si 11600 < x ≤ 25300

105.5+ (x −25300) ·0.0088 si 25300 < x ≤ 33100

174.05+ (x −33100) · .0264 si 33100 < x ≤ 44100

464.45+ (x −44100) ·0.0297 si 44100 < x ≤ 57900

874.30+ (x −57900) ·0.0594 si 57900 < x ≤ 62400

1141.6+ (x −62400) ·0.066 si 62400 < x ≤ 82700

2481.4+ (x −82700) ·0.088 si 82700 < x ≤ 107500

4663.8+ (x −107500) ·0.11 si 107500 < x ≤ 140500

8293.8+ (x −140500) ·0.132 si 140500 < x ≤ 603000

69343,80+ (x −603000) ·0.115 si 603000 < x

Dans les deux graphiques qui suivent, les revenus x sont placés sur l’axe des abscisses et les impôts sur l’axedes ordonnées. À chaque revenu x correspond un impôt i (x), et un seul (c’est ce qui caractérise une fonctionou application par opposition à une relation quelconque). Chaque couple (x ; i (x)) représente un point dansce repère et l’ensemble de tous les points (x ; i (x)) est appelé le graphique de la fonction i .


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10 1.4. SUITE DE « UNE FONCTION À PARTIR D’UN TABLEAU »

À l’intérieur d’une tranche d’imposition, le graphique est composé d’unmorceau de droite. En effet, si on considère par exemple la tranche derevenus allant de 107 600 à 140 500, on voit qu’en augmentant le revenude 1 000 fr., l’impôt, lui, augmente de 110 fr. S’il augmente de 5 000 fr.,l’impôt augmente de 550 fr.Le rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscissesde deux points est constante : il est égal au taux de la tranche, ici 11%.On peut le prouver de la manière suivante.

+1000

+110

+5000

+550

+2000

+220

On considère deux revenus x et x +∆x (où ∆x représente une quantité différente de 0) dans une tranche. Pources deux revenus, on a l’impôt :

i (x) = 107600+0.11(x −107500)

i (x +∆x) = 107600+0.11(x +∆x −107500)

le rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses donne

i (x +∆x)− i (x)

x +∆x − x= 0,11∆x

∆x= 0,11

Ce rapport est désigné par le terme de taux d’accroissement à l’intérieur de la tranche.

L’avantage d’un graphique est de donner une image immédiate d’une fonction : elle permet d’estimer pourchaque revenu l’impôt (on parle de l’image d’une valeur de x), ou réciproquement d’estimer le revenu lors-qu’on connaît l’impôt (pré-image d’une valeur de i ). On voit aussi immédiatement le caractère croissant oul’absence de saut dans une fonction. Enfin, si l’on veut savoir quel est le revenu dont l’impôt s’élève à 10% dece revenu, alors la réponse est donnée par l’intersection du graphique de i et de la droite d’équation y = 0,1x.On voit aussi que l’impôt est toujours inférieur à 12% du revenu.


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CH

AP

ITRE

1.

LES

FO

NC

TION

S1

120000 40000 60000 80000 100000 120000

2000

4000

6000

8000

10000

Jann

Weiss,Licen

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12 1.4. SUITE DE « UNE FONCTION À PARTIR D’UN TABLEAU »

200000

400000

600000

800000

20000

40000

60000

80000


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Opérations sur les graphiques de fonction5

5 1 Variantes autour de la chute d’un corps

Nous avons vu que la hauteur d’un objet lâché à trois cents mètres au-dessus du sol est donnée par la fonction

h : t 7→ 300− g t 2

2ou h(t) = 300− g t 2

2

a) Si g (t) est la hauteur en fonction du temps d’unautre objet lancé en même temps que le pré-cédent, mais d’une hauteur de 200 m, quellesera l’expression analytique de g ? Exprimer g

en fonction de h. Dessiner les courbes repré-sentant h et g .

b) Faire la même chose pour un 3e objet lâchéd’une hauteur de 200 m, mais 3 secondes plustard. On désignera la fonction par k.

c) Que devient h(t) si le premier objet est lâchésur la lune où l’accélération due à la gravitationest six fois moins grande ? On désignera la nou-velle fonction par i .

d) Faire correspondre à chacune des courbesdans la figure ci-contre l’une des fonctions pré-cédentes.

5 10 15 20

50

100

150

200

250

300

5 2 Généralisation

-3 -1 1 3

-15

-5

5

15

25

C f

Cg

+8

+8

FIGURE 1.1 – Translation verti-cale de la courbe : g (x) = f (x)+8

-4 -2 2 4 6

-15

-5

5

15

25

35

Ch

+2

+2

C f

FIGURE 1.2 – Translation hori-zontale : h(x) = f (x −2)

-3 -1 1 3

-30

-20

-10

10

20

30

Ci

C f

FIGURE 1.3 – Dilatation ou com-pression : i (x) = 2 · f (x)

Les trois figures 1.1-1.3 montrent trois transformations standards d’une courbe qui se traduisent par certainesmodifications de l’expression algébrique de la fonction de départ f .Dans la figure 1.1, la courbe représentant g a été obtenue en déplaçant verticalement celle représentant f .Ainsi pour chaque x, on a g (x)= f (x)+8.

La figure 1.2 montre que f et h ont les mêmes ordonnées avec un décalage de 2 sur les abscisses. Plus pré-cisément, f (x) atteint une certaine valeur y en x, alors que h(x) atteint cette même valeur y en x + 2, donch(x+2) = f (x) ou encore h(x) = f (x−2). En d’autres termes, les valeurs pour h(x) sont celles obtenues 2 unitésavant pour f , c’est-à-dire f (x −2).

La figure 1.3 montre l’effet obtenu sur une courbe lorsque la fonction de base f a été multipliée par unenombre : i (x) = 2 · f (x).

Connaissant l’expression de f , on peut trouver celle de g , h et i .

f (x) = 0,3x4 −3x2 −4

g (x)= f (x)+8 = 0,3x4 −3x2 +4

h(x) = f (x −2) = 0,3(x −2)4 −3(x −2)2 −4 = 0,3x4 −2,4x3 +4,2x2 +2,4x −11,2

i (x)= 2 · f (x) = 0,6x4 −6x2 −8


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14 1.5. OPÉRATIONS SUR LES GRAPHIQUES DE FONCTION

Ces trois types de transformations créent une famille de fonctions à partir d’une fonction de base f . Toutmembre g de cette famille peut s’exprimer à partir de f de la manière suivante :

g (x)= k · f (x −h)+ v

où les différents paramètres représentent

— k : la contraction ou dilatation verticale effectuée sur la courbe ;

— h : le déplacement horizontal de la courbe. Il faut noter le signe négatif dans l’argument de f . Ainsi,pour une translation de 2 unités vers la droite, h prendra simplement la valeur 2, le signe négatif liéà ce type de déplacement se trouvant déjà dans l’argument de f ;

— v : le déplacement vertical de la courbe.

Important

Ces trois transformations ne changent pas les caractéristiques générales d’une courbe. Une parabole resteraune parabole. Ainsi, en partant de la fonction de base f (x) = x2, ces transformations donneront lieu à un en-semble de fonctions dont l’expression analytique sera de la forme g (x) = ax2 +bx+c et dont la représentationgraphique sera toujours des paraboles dont l’axe de symétrie est vertical. En effet

g (x) = k · (x −h)2 + v = k · (x2 −2hx +h2)+ v = kx2 −2khx + (kh2 + v) = ax2 +bx +c

Inversement, toute fonction dont l’expression algébrique est de la forme g (x) = ax2 +bx +c a une représenta-tion graphique qui est une parabole dont l’axe de symétrie est vertical. Pour le montrer, il suffit de compléter lecarré :

g (x) = ax2 +bx +c = a

(x2 + b

ax

)+c = a

[(x + b

2a

)2

− b2

4a2

]+c = a

(x + b

2a

)2

− b2

4a+c

= a

(x + b

2a

)2

− b2

4a+ 4ac

4a= a

(x + b

2a

)2

− b2 −4ac

4a(∗)

On trouve ainsi que : h =− b2a

, v =− b2−4ac4a

et k = a. Le sommet de la parabole a donc les coordonnées

S

(− b

2a; −b2 −4ac

4a

)

En cherchant les zéros de g à partir de la forme donnée en (∗), il n’est pas trop difficile de trouver la formulepermettant de résoudre les équations du second degré (formule avec le discriminant).

Toute fonction quadratique a une représentation graphique qui est une parabole avec un axe de symétrievertical et toute parabole avec un axe de symétrie vertical représente une fonction quadratique.

Théorème 1 - 1

1 1Trouver les expressions algébriques des fonctions représentées par les paraboles suivantes :

-4 -2 2 4

4

-2

2

4a)

-4 -2 2 4

4

-2

2

4b)

-4 -2 2 4

4

-2

2

4c)

-4 -2 2 4

4

-2

2

4d)

-4 -2 2 4

4

-2

2

4e)

-4 -2 2 4

4

-2

2

4f )


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1 2

Montrer que la fonction g (x) = ax2 +bx +c peut s’écrire sous la forme g (x)= k · f (x −h)+ v avec f (x) = x2.

1 3

Esquisser le graphe des fonctions g (x) = x2 − 6x − 5, h(x) = x2 − x + 3 et i (x) = 2x2 − 3x − 1 en partant de lafonction de base f (x) = x2

1 4

1. Représenter graphiquement la fonction : f : x 7→ 1

x

2. Quelles sont les particularités de cette fonction ?

3. Esquisser sur le même graphique la représentation de la fonction g : x 7→ 1

x −2.

4. Idem, mais avec h : x 7→ 1− 1

x −2.

Un fonction homographique est une fonction de la forme

f : x 7→ ax +b

cx +davec c 6= 0 et (a,b) non proportionnel à (c,d), c-à-d. ad 6= bc

Définition 1 - 2

Nous avons ainsi un résultat similaire à celui obtenu avec les fonctions quadratiques, mais cette fois avec lesfonctions homographiques dont la représentation graphique est une courbe appelée hyperbole.

Toute fonction homographique a une représentation graphique qui est une hyperbole avec des asymp-totes parallèles aux axes de coordonnées et toute hyperbole avec des asymptotes parallèles aux axes decoordonnées représente une fonction homographique.

Théorème 1 - 2

En effet, puisque f (x) = 1x a une courbe représentative qui est une hyperbole, c’est aussi le cas pour g (x) =

k · 1x−h

+v , cette dernière fonction ayant une courbe représentative obtenue par déplacement et/ou contraction

de celle représentant f (x) = 1x . Cette fonction g peut être réécrite sous la forme

g (x) = k · 1

x −h+ v = k

x −h+ v(x −h)

x −h= v x + (k − vh)

x −h

Ainsi, toute hyperbole avec des asymptotes parallèles aux axes de coordonnées représente une fonction homo-graphique particulière.

Inversement, toute fonction homographique a une courbe représentative qui une hyperbole. Il suffit de mon-trer que le changement d’écriture ci-dessus peut se faire dans l’autre sens. Nous allons le voir avec les exercicessuivants. Plus tard, nous verrons avec la division polynomiale une méthode plus directe.

1 5

Récrire la fonction

g : x 7→ x +1

x −3

sous la forme

g : x 7→ k · f (x −h)+ v avec f (x) = 1

x

1 6

Même exercice avec f (x) = x −2

x +5, g (x) = x −2

x, h(x) = 2x −3

x +5et i (x)= x −3

2x +5.


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16 1.5. OPÉRATIONS SUR LES GRAPHIQUES DE FONCTION

1 7Trouver les expressions analytiques des fonctions représentées par les hyperboles suivantes :

-5 -3 -1 1 3

-2

2

4

6

-3 -1 1 3 5

-5

-3

-1

1

3

-3 -1 1 3 5

-2

2

4

6

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

5 3 Tableau de signes

Une manière de caractériser une fonction est de décrire sur quels intervalles elle est positive et sur quels inter-valles elle est négative. Dans le cas d’un polynôme, cette information s’obtient en factorisant le polynôme, puisen dressant le tableau de signes.

Exemple 1 : f (x) = x2 −5x +6

Comme f (x) = x2−5x+6 = (x−2)(x−3), le signede f s’obtient en regardant le produit des signesdes parties linéaires x −2 et x −3.

x −∞ 2 3 +∞

x −2 – 0 + +

x −3 – – 0 +

f (x) + 0 – 0 +

Exemple 2 : f (x) =−x2 +7x −12

Comme f (x) =−x2 +7x −12 = (x −3)(−x +4), lesigne de f s’obtient en regardant le produit dessignes des parties linéaires x −2 et x −3.

x −∞ 3 4 +∞

x −3 – 0 + +

−x +4 + + 0 –

f (x) – 0 + 0 –

1 8Faire le tableau de signes des fonctions suivantes :

1) f (x) = x2 +3x −4 2) g (x)= x2 −2x −5 3) h(x) =−4x2 −2x +64) i (x) = 2x2 −11x +15 5) j (x) = x3 −8x2 +15x 6) k(x) = (x2 −1)(x −5)(x +1)(x −1)


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Équation d’une courbe6

Dans un système de coordonnées cartésiennes, une courbe est un ensemble de points de coordonnées (x ; y).Une équation liant les coordonnées x et y permet de déterminer algébriquement la courbe.Par exemple, la courbe d’équation x2 + y2 = 9 est un cercle de rayon 3 et centrée à l’origine (0 ; 0) (vérificationen exercice).L’équation général du cercle est

(x −h)2 + (y −k)2 = r 2

Si h = 0, k = 0 et le rayon r = 3, on retrouve l’équation ci-dessus.Il n’est pas possible d’exprimer la relation entre x et y de telle sorteque y soit donné uniquement en fonction de x. Ce n’est donc pasune relation de type « fonction » !

C(h ; k)

y

x

r

P (x; y )

( x h ) 2 ( y k) 2 r2

1 9Donner l’équation d’un cercle de centre C(−2 ; 3) et passant par le point D(4 ; 5).

1 10Vérifier que

x2 + y2 +4x −6y −27 = 0

est l’équation d’un cercle

1 11Déterminer le centre et le rayon du cercle d’équation

3x2 +3y2 −12x +18y = 9.

1 12Déterminer l’équation des demi-cercles supérieur, inférieur, de droite et de gauche du cercle x2 + y2 = 81.Dégager, si possible, des fonctions !

Exercices7

1 13Évaluer les points d’intersection des graphiques de y = 2x–1 et y = x2–3.

1 14Déterminer les points d’intersection des cercles x2 + y2 = 25 et x2 + y2–4y = 12.

1 15Trouver les coordonnées du point symétrique au point M(a ; b), par rapport à l’origine des coordonnées.

1 16Trouver les coordonnées des points symétriques aux points A(2 ; 7), et par rapport à la bissectrice du premierquadrant.

1 17Parmi les courbes suivantes, trouver celles qui passent par l’originea) x + y = 0 b) x2 + y = 12

1 18Quelles sont les courbes définies par les équations suivantes ? Construire ces courbes

a) x − y = 0 b)x −2 = 0 c) y −5 = 0 d) x = 0

e) x2 − x y = 0 f) x2 − y2 = 0 g) y2 −9= 0 h) x2 = y2

i) x2 + y2 = 16 j) (x +5)2 + (y −1)2 = 9 k) x2 + (y +3)2 = 1 l) 3x −2y = 0

m) x2 +2y2 = 0 n) x y = 2 o) x2 + y = 0 p) (x −2)2 + (y +3)2 +1 = 0

q) (x y)2 = 1.


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18 1.7. EXERCICES

1 19Trouver les points d’intersection des courbes avec les axes (Ox) et (Oy).

a) x2 + y2 = 49 b) (x +6)2 + (y −3)2 = 25

c) x2 + y2 −12x +16y = 0 d) x2 + y2 −6x +4y +12 = 0.

1 20Former l’équation de l’ensemble des points qui se trouvent à une distance b de l’axe (Ox).

1 21Former l’équation de l’ensemble des points qui se trouvent à égale distance des axes de coordonnées.

1 22Soit A(a1 ; a2) et B(b1 ; b2) deux points du plan. Montrer que le milieu du segment AB est donné par la formule :

milieu(A; B) =(

a1+b12 ; a2+b2

2

).

1 23On mène du point C(10;−3) toutes les droites possibles qui coupent l’axe des ordonnées. Former l’équation del’ensemble des points milieux de ces segments.

1 24On mène du point C(10;−3) toutes les droites possibles qui coupent les deux axes de coordonnées. Formerl’équation de l’ensemble des points milieux de ces segments formés par les intersections avec les axes.

1 25Former l’équation de l’ensemble des points à équidistance de la droite d’équation y = 1 et du point de coor-données F(0 ; 3).

1 26Former l’équation de l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points donnés F1 (−3;0) etF2(3;0)est une quantité constante 10.

1 27Former l’équation de l’ensemble des points à égale distance d’un point donné F(3;0) et de la droite donnée parl’équation x +3 = 0.

1 28Déterminer la fonction affine passant par les points (1 ; 2) et (4 ; −1).

1 29Soit la parabole d’équation y = x2. Trouver au point (2 ; 4), l’équation de la tangente à la parabole.

1 30Déterminer la fonction affine f dont la représentation graphique est parallèle à celle de g : x 7→ 2x+3

5 et passantpar le point (1 ; 1).

Pour les exercices relatifs aux paraboles, il peut être intéressant de consulter le fichier geogebra sur le sitede Calvin.

Remarque


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La fonction inverse8

Elle a pour expressions algébrique

f : x 7→ 1

x

et a pour caractéristiques

— son domaine de définition est R∗, car 0 n’a pas d’inverse !

— la fonction est impaire, c’est-à-dire que f (−−−x) ===−−− f (x), en effet : f (−x) = 1−x

=− 1x=− f (x).

Graphiquement, cela signifie qu’elle a un centre de symétrie à l’origine. Rappelons que la fonction « carré» g : x 7→ x2 est paire, car g (−−−x) === g (x) puisque g (−x) = (−x)2 = x2 = g (x). Sa représentation graphique aun axe de symétrie qui est l’axe (Oy).

— c’est une fonction strictement décroissante sur R+, car si 0 < x < x′, alors 1x′ < 1

x.

Pour la représenter graphiquement, on peut dresser un tableau de valeurs

x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

f (x) −0,25 − 13 −0,5 −1 1 0,5 1

3 0,25

Il se passe quelque chose de particulier pour les grandes valeurs de x et les valeurs de x proche de 0.

Petites valeurs de x

x 0,01 0,001 10−6 10−20

f (x) 100 1000 106 1020

Il est possible de rendre f (x) aussi grand que l’onveut, à condition de prendre x proche de 0 :f (x) tend vers +++∞∞∞ lorsque x tend vers 0.

Grandes valeurs de x

x 100 1000 106 1020

f (x) 0,01 0,001 10−6 10−20

Il est possible de rendre f (x) aussi proche de 0 que l’onveut, à condition de prendre x suffisamment grand :f (x) tend vers 0 lorsque x tend vers +++∞∞∞

Le comportement est semblable pour les valeurs négatives de x.

Graphiquement, la courbe C f se rapproche del’axe (Ox) (d’équation y = 0) lorsque x prend desvaleurs arbitrairement grandes, et de l’axe (Oy)(d’équation x = 0) lorsque x prend des valeursarbitrairement proche de 0. On dit que les deuxaxes sont des droites asymptotes à la courbes C f :l’une est une asymptote horizontale et l’autre uneasymptote verticale.En transformant l’expression algébrique de f de lamanière suivante : g (x) = − 1

x−2 + 1, on opère surla représentation graphique de f un déplacementhorizontal vers la droite de 2 unités, un déplace-ment vertical vers le haut de 1 unité et une dilata-tion d’un facteur −1 :

−1

−2

−3

1

2

3

4

1 2 3 4 5−1−2

Cg

−1

−2

−3

−4

1

2

3

4

1 2 3 4−1−2−3−4

C f

La fonction g peut être réécrite sous la forme :

g (x) =− 1

x −2+ x −2

x −2= x −3

x −2

L’ensemble des fonctions obtenues de cette manières’appellent les fonctions homographiques.


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20 1.9. RÉSUMÉ SUR LES FONCTIONS « CARRÉ» ET «INVERSE» ET LEUR TRANSFORMATIONS

Résumé sur les fonctions « carré» et «inverse» et leurtransformations9

Nous avons vu dans ce chapitre deux types de fonction avec certaines de leurs caractéristiques.

f : x 7→ x2

D f =R

Représentation graphique : parabole

Symétrie axiale, d’axe (Oy)

Sommet de la parabole en S = (0 ; 0)

Généralement intersection avec (Ox) : zéros de f

f : x 7→ 1

x

D f =R∗

Représentation graphique : hyperbole

Symétrie centrale, de centre (0,0)

Deux asymptotes (l’une horizontale, l’autre verticale)

Intersection des asymptotes en (0 ; 0)

En appliquant les trois transformations

• déplacement horizontal : h

• déplacement vertical : v

• contraction/dilatation : k

sur les représentations graphiques de ces deux fonctions, on obtient deux famillesde courbes présentant les mêmes caractéristiques que les courbes de départ. L’ex-pression algébrique des fonctions représentées par ces courbes est simplement :

Sommet de la para-bole en S = (h ; v)

Intersection des asymp-totes en (h ; v)

g (x)= k · f (x −h)+ v

g (x) = k · (x −h)2 + v

m

g (x) = ax2 +bx +c

Fonctions quadratiques

développementcomplétiondu carré

1. g (x) = 2 · (x −3)2 +5

= 2 · (x2 −6x +9)+5

= 2x2 −12x +23

2. g (x) = 2x2 −12x +23

= 2(x2 −6x)+23

= 2((x −3)2 −9

)+23

= 2(x −3)3 +5

Exemple

g (x)= k · 1

x −h+ v

m

g (x) = ax +b

cx +d

Fonctions homographiques

dénominateur com-mun

division polyno-miale ou ...

1. g (x) = 2 · 1

x −3+5

= 2

x −3+ 5(x −3)

x −3

= 5x −13

x −3

2. g (x) = 5x −13

x −3= 5(x −3)+2

x −3

= 5+ 2

x −3= 2 · 1

x −3+5

Exemple


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Quelques notions importantes10

Distance entre deux points

Soit deux points A et B, la distance entre eux,notée dist(A,B), est obtenue en utilisant le théo-rème de Pythagore.

dist(A,B)=√

(7−2)2 + (6−3)2

Plus généralement, si A = (a1, a2) et B = (b1,b2)

dist(A,B)=√

(b1 −a1)2 + (b2 −a2)2

−1

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1−2

bA(2,3)

bB(7,6)

7−2

6−3

Point milieu d’un segment Soit [AB], un segment d’extrémités A(a1, a2) et B(b1,b2) ; les coordonnées du pointmilieu sont

M

(a1 +b1

2;

a2 +b2

2

), avec l’exemple ci-dessus M

(2+7

2,

3+6

2

)= (4,5;4,5)

Distance entre un point et une droite

La distance entre un point A et une droite d

est la distance la plus courte entre ce point etun point de la droite : on l’obtient en dessinantla perpendiculaire à d passant par A. Si l’on sedonne l’équation de la droite, le calcul de cettedistance nécessite quelques connaissances engéométrie vectorielle. Il y a toutefois quelquescas particuliers où il est aisé de la trouver, parexemple, lorsque la droite est horizontale ouverticale.

d

b

AA

?3

Pente

La pente d’une droite est par définition le rap-port entre le déplacement vertical et le dépla-cement horizontal lorsque l’on passe d’un pointA = (a1, a2) à un point B = (b1,b2) de la droite

pente = b2 −a2

b1 −a1

Dans le cas de la figure ci-contre, cela donne

pente = 4−2

5−1= 1

2 −1

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1−2

d

bAA

bBB

b(x, y)

Ainsi, chaque déplacement horizontal de 2 doitêtre suivi d’un déplacement vertical de 1, si l’onveut rester sur la droite (les « marches » sont ré-gulières). L’équation de la droite peut être obte-nue en utilisant la pente : la pente trouvée entredeux points A et B est égale à la pente entre lespoints A et un point quelconque sur la droite decoordonnées (x, y) :

pente = 4−2

5−1= y −2

x −11

2= y −2

x −1| · (x −1)

x −1

2= y −2 |+2

1

2x − 1

2+2 = y ⇒ y = 1

2x + 3

2

Équation d’une courbe Une courbe se définit par l’ensemble des points qui en font partie. Ces points ontdes coordonnées particulières qu’il est souvent possible de décrire par une équation portant sur cescoordonnées. Ainsi l’équation

• x = 5 décrit tous les points dont l’abscisse est 5. Par contre, cette équation ne donne aucune contraintesur l’ordonnée qui peut donc prendre n’importe quelle valeur réelle : c’est ainsi l’équation d’unedroite verticale ;


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22 1.10. QUELQUES NOTIONS IMPORTANTES

• y = 1 décrit tous les points dont l’ordonnée est 1. Par contre, cette équation ne donne aucunecontrainte sur l’abscisse qui peut donc prendre n’importe quelle valeur réelle : c’est ainsi l’équa-tion d’une droite horizontale ;

• 3x −2y = 6 que l’on peut réécrire y = 32 x −3 représente une droite. Chaque fois que l’on ajoute 1 à

x, l’ordonnée y augmente de 32 . En effet

3

2(x +1)−3 = 3

2x + 3

2−3 = 3

2x −3

︸︷︷︸y

+3

2

On a ainsi affaire à une droite de pente 32 .

• (x −3)2 + (y +5)2 = 25 est l’équation d’un cercle de centre (3;−5) et de rayon 5;

• y = 2(x −5)2 +3 ou y = 2x2 −20x +53 est l’équation d’une parabole de sommet S(5,+3), orientéevers le haut (2 est positif) et dont l’axe de symétrie a pour équation x = 5;

• y = 2 · 1x+3 −5 ou y = −5x−13

x+3 est l’équation d’une hyperbole dont les asymptotes ont pour équationx =−3 (asymptote verticale) et y =−5 (asymptote horizontale).

Équation et fonction Certaines équations de courbes correspondent à des fonctions : ce sont toutes celles oùl’ordonnée « y » peut être isolée dans l’équation.

Équation Fonction

y = 1 d : x 7→ 1

3x −2y = 6 f : x 7→ 32 x −3

y = 2x2 −20x +53 g : x 7→ 2x2 −20x +53

y = −5x−13x+3 h : x 7→ −5x−13

x+3

x = 5 non

(x −3)2 + (y +5)2 = 25 non

Compléter le carré Les expressions de la forme x2 + bx peuvent être complétées pour former un carré. Parexemple :

x2 +6x = (x2 +6x +9)−9 = (x +3)2 −9

ou encore

x2 +5x −5 =(

x + 5

2

)2

− 25

4+5 =

(x + 5

2

)2

− 5

4

ou, plus généralement

ax2 +bx +c = a(x2 + b

ax)+c = a

(x + b

2a

)2

−(

b

2a

)2

+c


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2Les fonctionspolynômes

C H A P I T R E

24


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CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES 25

Définition et terminologie1

Nous avons déjà vu des fonctions linéaires, des fonctions « carré » (ou quadratiques), des fonctions cubiques.Chacune de ces fonctions appartient à une classe plus large formée par les fonctions polynomiales.

Un polynôme f est une fonction (à une variable) définie sur R de la forme

f : x −→ an xn +an−1xn−1 +·· ·+a2x2 +a1x1 +a0 (an 6= 0)

où n est un entier naturel et a0, a1, . . . , an sont des nombres réels

Définition 2 - 1

La variable est x et an , an−1, . . . , a1, a0 sont des constantes appelées les coefficients du polynôme. Si an 6= 0,alors l’entier naturel n est appelé degré du polynôme f (on écrit deg f = n).

Il existe une notation abrégée pour les polynômes qui recours à un symbole particulier∑

qui désigne unesomme.

i=n∑

i=0ai xi

a. Soit le polynôme f : x −→ 3x4 −2x2 −7. On utilise le mot terme pour dire

• 3x4 est le terme de plus haut degré et son degré est 4 ; on dit aussi que c’est le terme « en x4 » ;

• −7 est le terme de degré 0, ou terme constant ;

• le degré de f est 4, car le degré du terme de plus haut degré est 4 ;

• par commodité, on parle souvent du polynôme 3x4 −2x2 −7 au lieu de la fonction polynômef : x −→ 3x4 −2x2 −7

b. Identification de polynômes : déterminer parmi les fonctions suivantes celles qui sont des poly-nômes

1) f : x 7→ 2−3x4 2) g : x 7→px 3) i : x 7→ 0 4) h : x 7→ x2 −2

x3 −1

5) j : x 7→ 7 6) k : x 7→ x4 −1

x2 +17) l : x 7→ x2 −1

x −1

Réponses

1) f est un polynôme de degré 4, avec a0 = 2, a4 =−3 et les autres ai = 0;

2) g n’est pas un polynôme. La variable x est élevée à la puissance 12 (car

px = x

12 ) qui n’est pas

un entier naturel ;

3) i est le polynôme nul ; il n’a pas de degré ;

4) h n’est pas un polynôme. C’est le quotient de deux polynômes non simplifiable, avec au dé-nominateur un polynôme de degré supérieur à 0;

5) j est un polynôme constant non nul de degré 0;

6) k est un polynôme car elle admet une écriture polynomiale. En effet, pour tout réel x, on a :

k(x) = (x2 +1)(x2 −1)

x2 +1= x2 −1 égalité vérifiée pour tout x

7) l n’est pas un polynôme, car la simplification n’est pas vraie pour tout x :

l(x) = x2 −1

x −1= x +1 si x 6= 1

Exemples

Le tableau suivant présente les polynômes déjà connus et les caractéristiques de leurs graphes.


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26 2.1. DÉFINITION ET TERMINOLOGIE

Degré Polynôme Nom Graphe

Pas de deg f : x 7→ 0 fonction nulle axe des x

0 f : x 7→ a0, a0 6= 0 fonction constante droite horizontale coupant (Oy)en a0

1 f : x 7→ a1x +a0, a1 6= 0 fonction affine droite oblique de pente a1 et cou-pant (Oy) en a0

2 f : x 7→ a2x2 +a1x +a0, a2 6= 0 fonction quadratique parabole : ouverte vers le haut sia2 > 0 (convexe) ; ouverte vers lebas si a2 < 0 (concave)

2 1Donner le degré et la valeur des coefficients pour le polynôme

f (x) =−4x7 −2x4 + 1

2x3 −7

2 2

Dans le polynôme p(x) = 4x6 − 3

4x3 + 1

2x2 − x +3

1) quelle est la valeur de a3 ? ...... a1 ? ...... a4 ? ......

2) quelle est la valeur du coefficient du terme en x6 ? ......

Égalité de deux polynômes

Deux polynômes (non nuls) sont égaux si, et seulement si, les coefficients des termes de même degré sontégaux.

Théorème 2 - 1

Preuve en exercice

Les polynômes f (x) = ax3 +bx2 +cx +d et g (x) = 5x3 +8 sont égaux si a = 5, b = 0, c = 0 et d = 8.Exemple

2 3

a° Déterminer les réels m, n et p tels que pour tout réel x on ait :

mx2 +3x −p = nx +4

b° Les deux polynômes a(x +1)2 +b(x +1)+c et 3x2 +5x +3 sont égaux. Déterminer les réels a, b et c.

2 4Quelles sont les caractéristiques (orientation de la parabole, axe de symétrie, coordonnées du sommet, inter-section avec l’axe des x) du graphe de chacune des fonctions suivantes :

f (x) = k(x −h)2 + v

le graphe de f est une parabole d’équation y = x2 déplacée horizontalement de h unités et verticalement de v

unités. Son sommet se trouve ainsi en (h, v) et l’axe de symétrie est la droite d’équation x = h)

1) f : x 7→ x2

2) f : x 7→ x2 −3

3) f : x 7→−2x2 −3

4) f : x 7→ (x −2)2

5) f : x 7→ (x −2)2 +3

6) f : x 7→ x2 −6x +9 (complétion du carré)

7) f : x 7→ x2 −6x +12 (complétion du carré)

8) f : x 7→ 2x2 +8x +5 (complétion du carré)


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Opérations sur les polynômes2

Les règles du calcul algébrique permettent d’affirmer que la somme, la différence et le produit de deux poly-nômes sont encore des polynômes.

— Le degré de la somme (ou de la différence) de deux polynômes non nuls est inférieur ou égal à celuidu polynôme de plus haut degré.

— Le degré du produit de deux polynômes non nuls est égal à la somme des degrés des polynômes.

Théorème 2 - 2

2 5Soit P(x) = x2 − x +1 et Q(x) =−x3 + x −2.Calculer le produit des polynômes P et Q.

Méthode directe En utilisant les techniques du calcul algébrique (distributivité), on commence par

— développer : P(x) ·Q(x) =−x5 + x3 −2x2 + x4 − x2 +2x − x3 + x −2

— réduire et ordonner : P(x) ·Q(x) =−x5 + x4 −3x2 +3x −2

Multiplication par analogie avec l’arithmétique Les polynômes sont disposés d’une manière qui n’est passans rappeler celle utilisée lors de la multiplication des entiers.

Les lignes (1), (2), (3) correspondent aux pro-duits de P(x) par chacun des termes de Q(x),chaque « colonne » étant réservée aux termesd’un même degré. La ligne (4) est le produit despolynômes obtenu par sommation de chacunede ces colonnes. Le résultat est immédiatementsous forme réduite.

x2 − x + 1

− x3+ x − 2

(1) − 2x2+ 2x − 2

(2) x3 − x2+ x

(3) − x5+ x4 − x3

(4) − x5+ x4 − 3x2

+ 3x − 2

Division euclidienne d’un polynôme A par un polynôme B3

La division euclidienne sur des polynômes ressemble tout à fait à celle pratiquée sur les entiers.

Principe général : à chaque étape de la division, on élimine le terme de plus haut degré dans le reste jusqu’àce que son degré soit inférieur au degré du diviseur.

Diviser A(x)= 3x4 +2x3 − x2 +2 par B(x) = x2 − x +1.

Le terme de plus haut degré est 3x4, il faut ainsi multiplier B(x) par 3x2.

3x4 + 2x3 − x2 + 2

− (3x4 − 3x3 + 3x2)

5x3 − 4x2 + 2

x2 − x + 1

3x2

Le terme de plus haut degré dans le reste, 5x3, est de degré 3, on poursuit avec lui. Il faut multiplier B(x)par 5x pour l’enlever.

3x4 + 2x3 − x2 + 2

− (3x4 − 3x3 + 3x2)

5x3 − 4x2 + 2

− (5x3 − 5x2 + 5x)

x2 − 5x + 2

x2 − x + 1

3x2 + 5x

Le degré du reste étant toujours supérieur ou égal à celui du diviseur, on continue en multipliant B(x) par1.

Exemple


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28 2.3. DIVISION EUCLIDIENNE D’UN POLYNÔME A PAR UN POLYNÔME B

3x4 + 2x3 − x2 + 2

− (3x4 − 3x3 + 3x2)

5x3 − 4x2 + 2

− (5x3 − 5x2 + 5x)

x2 − 5x + 2

− (x2 − x + 1)

− 4x + 1

x2 − x + 1

3x2 + 5x + 1

Cette fois le degré du reste est inférieur à celui du diviseur : la division s’arrête.Le quotient est Q(x) = 3x2 +5x +1 et le reste R(x) =−4x +1. On peut ainsi écrire :

3x4 +2x3− x2 +2= (x2 − x +1) · (3x2 +5x +1)+ (−4x +1) c’est-à-dire A(x)= B(x) ·Q(x)+R(x)

ou3x4 +2x3− x2 +2

x2 − x +1= 3x2 +5x +1+ −4x +1

x2 − x +1c’est-à-dire

A(x)

B(x)= Q(x)+ R(x)

B(x)

Exemple

On a le théorème suivant.

Soit A et B deux polynômes, B n’étant pas le polynôme nul.Il existe un unique polynôme Q et un unique polynôme R tels que A === B ···Q+++Ravec deg R < deg B.

A

B=== Q+++ R

Bou A === B ···Q+++R

c’est-à-dire dividende = diviseur · quotient + reste.

Théorème 2 - 3

Si le diviseur B (ou, par abus d’écriture B(x)) est un polynôme du premier degré de la forme

B(x) = x − r r un nombre réel

alors le reste R(x) est soit le polynôme nul ou un polynôme de degré 0. Pour un tel diviseur, le reste est donc unnombre que l’on va désigner par C, et on peut écrire

A(x)= (x − r ) ·Q(x)+C

Cette équation est une identité, elle est donc vraie pour tout x. Ainsi, si x = r , cette équation devient

A(r )= (r − r ) ·Q(r )+C

A(r )= C (= R)

L’équation ci-dessus devient donc

A(x)= (x − r ) ·Q(x)+A(r )

On a ainsi prouvé le théorème suivant

Soit A est un polynôme. Si A(x) est divisé par x − r alors le reste est A(r ).Théorème 2 - 4

2 6

Trouve le reste si f (x) = x3 −4x2 +2x −5 est divisé para) x −3 b) x+2

On dit qu’un polynôme P est factorisable par x − r s’il existe un polynôme Q tel que P(x) = (x − r ) ·Q(x)Définition 2 - 2

Une importante conséquence de ce dernier théorème est


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Le polynôme P est factorisable par x − r si et seulement si P(r )= 0.Théorème 2 - 5

Preuve. Elle comporte deux parties

a) Hypothèse P est factorisable par x − r , donc ...

b) La réciproque

Hypothèse P(r ) = 0, c.-à-d. r est une racine du polynôme P, donc ...

�

On appelle racine (ou encore zéro) d’un polynôme P, tout réel a tel que P(a) = 0.Définition 2 - 3

2 7Utiliser ce théorème pour montrer que le polynôme f (x) = 2x3 − x2 +2x −3 a pour facteura) x −1 b) x +3

Factoriser le polynôme P(x) = x3 +2x2 −5x −6.

a) On remarque que 2 est une racine « évidente » du polynôme car P(2) = 23 +2 ·22−5 ·2−6 = 0. Donc,d’après le théorème ci-dessus, si 2 est une racine du polynôme, alors P est factorisable par x −2.

b) Dire que le polynôme est factorisable par x−2, c’est dire (d’après la définition) qu’il existe un poly-nôme Q tel que P(x) = (x −2) ·Q(x).

c) Il faut maintenant trouver le polynôme Q. Pour cela on dispose de deux méthodes :

— la division des polynômes

— la méthode des coefficients indéterminés

Exemple

Si P est un polynôme de degré n (∈N), l’équation P(x) = 0 a au plus n solutions dans R.Théorème 2 - 6

Preuve. Supposons que a1 est une solution du polynôme, c.-à-d. P(a1) = 0. Le théorème 5 permet d’écrire

P(x) = (x −a1)Q1(x) avec deg Q1 = deg P−1= n−1

Si Q1 a encore une racine a2, alors

Q1(x) = (x −a2)Q2(x) avec deg Q2 = deg Q1 −1 = n−2

On peut continuer ainsi, si à chaque fois le polynôme Qi a une racine, jusqu’au moment où le polynôme Qi

aura le degré 1 (c.-à-d. Qn−1 =λx −k =λ(x −an ))

P(x) = (x −a1)Q1(x) avec deg Q1 = n−1

P(x) = (x −a1)(x −a2)Q2(x) avec deg Q2 = n−2

P(x) = (x −a1)(x −a2)(x −a3)Q3(x) avec deg Q3 = n−3

P(x) = (x −a1)(x −a2)(x −a3)(x −a4)Q4(x) avec deg Q4 = n−4

. . .


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30 2.3. DIVISION EUCLIDIENNE D’UN POLYNÔME A PAR UN POLYNÔME B

P(x) = (x −a1)(x −a2)(x −a3)(x −a4) . . . (x −an)λ

Ceci est évidemment le cas le plus favorable, car on a à chaque fois une racine pour le polynôme Qi , ce qui n’estpas forcément toujours le cas (exemple Q(x) = x4 +1). Donc P a au plus n racines.

�

Lorsqu’un polynôme non nul P admet k racines distinctes a1, a2, . . . , ak , il existe un polynôme Q tel que

P(x) = (x −a1)(x −a2) . . . (x −ak )Q(x) deg P ≥ kThéorème 2 - 7

Preuve. Comme a1 est racine de P, il existe un polynôme Q1 tel que P(x) = (x −a1)Q1(x).Mais a2 est aussi racine de P, donc P(a2) = (a2 − a1)Q1(a2) = 0. Puisque a1 6= a2, il vient Q1(a2) = 0 : a2 est uneracine de Q1. Ainsi, il existe un polynôme Q2 tel que Q1(x) = (x − a2)Q2(x). Donc P(x) = (x − a1)(x − a2)Q2(x).On continue le raisonnement avec a3, a4 jusqu’à ak .

�

2 8Factorisation de xn −an

a°) Vérifier les identités remarquables

x2 −a2 = (x −a)(x +a) x3 −a3 = (x −a)(x2 +ax +a2)

b°) x4 −−−a4 et x5 −−−a5

Développer les produits :

(x −a)(x3 +ax2 +a2x +a3)

(x −a)(x4 +ax3 +a2x2 +a3x +a4)

En déduire la factorisation de x4 −a4 et x5 −a5

c°) Cas général

On considère l’expression

f (x) = xn−1 +axn−2 +a2xn−3 +·· ·+an−2x +an−1

(a) Que signifient les pointillés ?

(b) On dispose ainsi les calculs de x f (x) et a f (x) :

x f (x) = xn +axn−1 +a2xn−2 + . . . +an−2x2 +an−1x

a f (x) = axn−1 +a2xn−2 + . . . +an−2x2 +an−1x +an

Que peut-on dire des termes « l’un sous l’autre » ?

(c) Déduire des égalités ci-dessus que

xn −an = (x −a) f (x) = (x −a)(xn−1 +axn−2 +a2xn−3 +·· ·+an−2x +an−1)

(d) Retrouver les identités pour x4 −a4 et x5 −a5

(e) Trouver l’identité pour x3 −1 et x4 −1.

2 9

i) Pour quelles valeurs de n le polynôme xn −an est-il factorisable par (x +a) ? Trouver le quotient.

ii) Pour quelles valeurs de n le polynôme xn +an est-il factorisable par (x +a) ? Trouver le quotient.

2 10Factoriser les polynômes suivants, en faisant apparaître un facteur commun ou en utilisant un produit remar-quable, puis déterminer les racines des polynômes.

1) A(x) = (x +1)2 −2(x +1)(2x +1) 2) B(x) = 3(x −2)3 −12(x −2)(x +2)2

3) C(x) = x2 −4+ (x −2)(x +3)− (x −2)2 4) D(x) = (x2 −2x +1)− (x4 −2x2 +1)


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5) E(x) = 9x(x +5)2 −36x3 6) F(x) = x4 +4x2 +4 7) G(x) = 2x3 +4x2 +3x +6

8) H(x) = x4 +3x3 − x −3 9) I(x) = x5 −27x2 10) J(x) = x2 +4x4 +4x3

11) K(x) = 4x2 +2x + 1

412) L(x) = 0,25x2 − x +1 13) M(x) = (5x +3)2 −4(x +1)2

2 11Factoriser les polynômes suivants et étudier leur signe

1) x 7→ x2 −3x +2 2) x 7→ x2 +4x +4 3) x 7→ x2 + x +1

4) x 7→ 9x2 −12x +4 5) x 7→ x2 −81 6) x 7→ (x −1)2 −16

7) x 7→ 2x3 −12x2 +18x 8) x 7→ x4 − x3 −6x2 9) x 7→ x4 −8x2 +16

10) x 7→ x4 −4x2 +3 11) x 7→ x3 −1 12) x 7→ x3 −7x2 −4x +28

2 12Dans chacun des cas ci-dessous, proposer deux polynômes P et Q satisfaisant les conditions énoncées

1) P et Q sont de degré 4, leur somme et leur différence aussi ;

2) P et Q sont de degré 3, leur somme est un polynôme constant.

2 13Soit P(x) = 3x2 +2x −3 et Q(x) = x3 − x2 +1.Déterminer 3P−2Q et P ·Q

2 14Soit P un polynôme non nul tel que deg P = n.Exprimer en fonction de n les degrés des polynômes :

1) P ·P ;

2) (x2 +1)P(x) ;

3) P3 = P ·P ·P ;

4) k ·P, où k est un réel non nul.

2 15Dans chaque cas, déterminer le réel k pour que le polynôme proposé admette le réel a pour racine.

1) P(x) =−4x2 +6x +k, a = 3

2) P(x) = 2x4 +kx3 − x +1, a =− 12

2 16Déterminer les réels a et b pour que le polynôme P(x) =−x5 +2x4 −3x3 +4x2 +ax+b admette 2 et −3 commeracines.

2 17Déterminer tous les polynômes de degré 3 admettant les réels 1, −1 et 2 pour racines.

2 18Factoriser le polynôme P(x) = x3 −6x2 +3x +10.

2 19Monter que le polynôme

P : x 7→ −x(2x −1)+(

x − 1

2

)2

est factorisable par x − 1

2et x + 1

2


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32 2.4. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES POLYNÔMES

2 20Déterminer tous les polynômes de degré 4 admettant les réels 1, -2, 4 pour racines.

2 21Déterminer tous les polynômes de degré 4 admettant les réels 1, 2, 3 pour racines et 2x4 comme terme de plushaut degré.

2 22Déterminer les réels a, b, c de telle sorte que le polynôme P(x) = x5 −2x4 −6x3 + ax2 +bx + c soit factorisablepar le polynôme

Q(x) = (x2 −1)(x −3).

Préciser le polynôme R tel que : P(X) = Q(x) ·R(x), et achever la factorisation de P.

2 23Factoriser après avoir décelé une racine évidente

1) P(x) = x5 −5x3 +4x 2) Q(x) = x4 −4x2 − x +23) R(x) = x4 −4x3 −6x2 +4x +5 4) S(x) = 2x5 +2x4 −8x3 −8x2 +8x +8

Les recherches autour de la factorisation des polynômes ont donné lieu à ce qu’on a appelé le théorème fon-damental de l’algèbre.

Le théorème fondamental de l’algèbre

Tout polynôme peut se factoriser comme produit de polynômes de degré 1 ou 2.Théorème 2 - 8

Représentation graphique des polynômes4

Nous avons déjà vu de manière exhaustive l’allure des courbes données par la représentation graphique despolynômes du second degré (trinômes). Leur nom générique est celui de parabole.Pour les polynômes de degré supérieur, les choses sont plus compliquées et le tracé des courbes exigent destechniques plus élaborées. Nous nous contenterons dans un premier temps d’accepter un résultat d’un coursd’analyse : le graphe d’un polynôme est « lisse » et « continu ». Par lisse, on entend que le graphe ne contientpas de point anguleux ; par continu, on entend que le graphe ne contient pas de trou ou de saut et qu’il peutêtre dessiné sans lever le crayon.

Graphique d’un polynôme :lisse et continu

pointanguleux

pointanguleux

saut

trou

Graphe d’une fonctionqui n’est pas un polynôme

Si un polynôme f est complètement factorisé, il est facile de résoudre l’équation f (x) = 0, c.-à-d. de trouver lesracines du polynôme et de localiser les intersections de la courbe représentant f avec l’axe (Ox).

Si (x−r )n est un facteur d’un polynôme f et (x−r )n+1 n’est pas un facteur de f , alors r est appelé un zéroou une racine de multiplicité n du polynôme f .Si n = 2, on parle de racine double, n = 3 de racine triple.

Définition 2 - 4


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1

Étude du rôle des racines multiples avec f (x) = x2(x −2).

a°) Trouver l’intersection du graphe de f avec l’axe (Ox) etl’axe (Oy).

b°) Trouver la multiplicité de chaque racine (paire ou im-paire).

c°) Faire un tableau de signe pour f .

d°) Faire une hypothèse sur la parité de la multiplicité et l’al-lure de la courbe représentant f .

Exemple

Si r est un zéro de multiplicité paire, alors le signe de f ne change pas autour de r .La courbe touche l’axe des x en r

Si r est un zéro de multiplicité impaire, alors le signe de f change autour de r .La courbe traverse l’axe des x en r

Les courbes représentant des polynômes montrent généralement des « bosses » et des « creux». Les « bosses »sont appelées des maxima locaux, et, les « creux » des minimas locaux. Ce sont des points où la courbe changede « direction », c’est-à-dire qu’en se déplaçant sur la courbe de gauche à droite, elle monte, puis elle descend(maximum local), ou, inversement, elle descend, puis elle monte (minimum local). Si on analyse la situation enterme de fonction, on dira que la fonction de croissante devient décroissante quand elle passe par un maximumlocal, et, de décroissante devient croissante quand elle passe par un minimum local.

Soit une fonction définie sur un intervalle I :

— on dit que f est croissante sur I, si pour tout réels x et x′ de I tels que x 666 x ′′′, on a f (x)666 f (x ′′′) ;

— on dit que f est décroissante sur I, si pour tout réels x et x′ de I tels que x 666 x ′′′, on a f (x) >>> f (x ′′′).

Définition 2 - 5

Le graphe de l’exemple ci-dessus présente deux points de changement de « direction », plus précisément, desens de croissance. Quel est le nombre de ces points pour la fonction x 7→ x3 ? Quel est le rapport entre le degréd’un polynôme et le nombre de ces points ?

Si f est un polynôme de degré n, alors f a au plus n−1 points de changement de directionThéorème 2 - 9

On peut aussi constater que le graphe de la fonction f (x) = x2(x −2) a une allure similaire à celui de g (x) = x3.En fait, pour les grandes valeurs de x, soit positives, soit négatives, il y a en fait peu de différences.

Pour les grandes valeurs de x, soit positives, soit négatives, le graphe du polynôme

f : x 7→ an xn +an−1xn−1 +·· ·+a1x +ao

ressemble à celui de la fonction puissancex 7→ an xn

Théorème 2 - 10

Démonstration. On met en évidence le terme de plus haut degré dans le polynôme

f (x) = an xn +an−1xn−1 +·· ·+a1x +ao = an xn ·(

1+ an−1

an· 1

x+ an−2

an· 1

x2 +·· ·+ a1

an· 1

xn−1 + a0

an· 1

xn

)

On vérifiera en utilisant la distributivité que c’est bien correct. Chacun des termes de la forme 1xi devient très

proche de 0 quand x devient arbitrairement grand ou arbitrairement petit.Par exemple, si x = 100, alors 1

1003 = 0,000001. Si x =−100, alors 1(−100)3 =−0,000001.


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34 2.5. LES FONCTIONS « PUISSANCES » X 7→ XN

Il est vrai qu’il faut aussi tenir compte du coefficient ai

an, mais il a une valeur bien déterminée et fixe ; même s’il

est très grand, il suffit de prendre x suffisamment petit ou grand pour le contrebalancer.

Par exemple, si a3an

= 106, il suffit de prendre x = 10000 = 104 et on a a3an

· 1x3 = 106 · 1

(104)3 = 1106 .On voit ainsi que

quand x devient arbitrairement grand ou arbitrairement petit, tous les termes contenus dans la parenthèsesont proche de 0, sauf, évidemment, le premier qui vaut 1. Ainsi quand x devient arbitrairement grand ouarbitrairement petit, alors f (x) ≈ an xn .

�

Les fonctions « puissances » x 7→ xn5

L’expression analytique d’une fonction permet de répondre de manière très précise à certaines questions, alorsque la courbe donne une vue globale et rend ainsi possible des réponses à des questions de type qualitatif.

Nous avons déjà vu que la courbe d’équation y = x (ou, pour le dire autrement, la courbe représentant lafonction x 7→ x) est une droite. la courbe d’équation y = x2 est une parabole. Qu’en est-il des courbes

y = x3, y = x4, y = x5, . . . y = xn avec n ∈N

1) Essayer de trouver l’allure de la courbe d’équation y = x3 à partir de celle d’équation y = x2, puisquex3 = x2 · x. pour ce faire, que se passe-t-il pour les valeurs de x ∈ [0, 1[ ? Et pour x ∈ [1, +∞] ? Pour lesvaleurs négatives de x ?

Réponse Regardons ce qui se passe pour des différents intervalles de x :

— pour les x positifs (x ≥ 0) : la courbe est au-dessus de l’axe des x et elle passe par(0; 0) et (1; 1) ;

— pour x entre 0 et 1 (0≤ x ≤ 1) : elle est au-dessous de y = x2 car x3 = x2 ·x et puisquex < 1, on a bien x3 < x2 ;

— pour x > 1 : on a au contraire x3 > x2. Et comme x2 devient très très grand bien plusvite que x quand x devient grand, il en va de même pour x3. Voir le graphique ...

— pour les x négatifs, x3 ne prend que des valeurs négatives et on poursuit avec lemême raisonnement que ci-dessus. Mais on peut aussi observer que si on prenddeux valeurs opposées pour x, par exemple a et −a, x3 prend aussi des valeurs op-posées, à savoir a3 et −a3. On se rend ainsi compte que la courbe admet un centrede symétrie à l’origine, le point (0; 0). Donc la partie de la courbe pour les x négatifspeut être dessinée par symétrie.

2) Faire le même travail pour y = x4 en se référant à la courbe d’équation y = x3.

Réponse On observe d’abord que si on prend deux valeurs opposées pour x, par exemple a et−a, x4 prend la même valeur a4. La courbe présente donc une symétrie axiale d’axe Oy

comme la courbe y = x2. On se contentera donc de regarder ce qui se passe pour les x

positifs et par symétrie, on trouvera ce qui se passe pour les x négatifs :

— pour les x positifs (x ≥ 0) : la courbe est au-dessus de l’axe des x et elle passe par(0; 0) et (1; 1) ;

— pour x entre 0 et 1 (0≤ x ≤ 1) : elle est au-dessous de y = x3 car x4 = x3 ·x et puisquex < 1, on a bien x4 < x3 ;

— pour x > 1 : on a au contraire x4 > x3. Et comme x3 devient très très grand bien plusvite que x quand x devient grand, il en va de même pour x4. Voir le graphique ...

3) Généraliser : que se passe-t-il selon la parité de la puissance ? Quand n devient grand ?

Réponse Nos observations précédentes s’étendent sans peine à ces nouvelles courbes :

— d’abord, toutes celles d’exposant impair admettent l’origine comme centre de sy-métrie ;

— et toutes celles d’exposant pair ont l’axe des y pour axe de symétrie orthogonal ;

— ensuite, plus n est grand et plus y = xn « s’écrase » sur l’axe des x pour x comprisentre 0 et 1. Enfin, plus n est grand, plus xn tend rapidement vers l’infini.


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-3 -2 -1 1 2 3

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

f (x) = xn pour n = 1, . . . ,10

À travers les réponses données aux questions précédentes, plusieurs propriétés des fonctions « puissances» peuvent être distinguées : les courbes représentant des puissances impaires ont une symétrie centrale decentre O, celles représentant des puissances paires ont une symétrie axiale d’axe (Oy), les premières « montenttoujours » en allant de gauche à droite (dans les sens des x croissants), ce qui n’est pas le cas des secondes.En d’autres termes, pour les fonctions « puissances impaires », si les x augmentent sur l’intervalle ]−∞ ; +∞[,alors f (x) croît : si x 6 x′ , alors f (x)6 f (x′)

On dit dans ce cas que la fonction est croissante sur R. Les fonctions « puissances paires », elles, ne sont crois-santes que sur l’intervalle R+. Elles sont décroissantes sur R−.

En ajoutant à la fonction « puissance » un coefficient a positif, f (x) = axn , le comportement décrit ne changepas. Par contre si le coefficient a est négatif, le graphe de f subit une symétrie axiale d’axe (Ox).

Ces différentes situations sont résumées dans les tableaux de variations suivants :

x −∞ 0 +∞

+∞ +∞axn

a > 0 0

0

axn

a < 0 −∞ −∞pour les puissances paires

x −∞ 0 +∞

+∞axn 0

a > 0 −∞+∞

axn 0

a < 0 −∞pour les puissances impaires


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36 2.6. ANALYSE DE QUELQUES POLYNÔMES

Analyse de quelques polynômes6

Analyser le graphe du polynôme : f (x) = x4 −3x3 −4x2.

a°) Chercher les intersections avec les axes de coordonnées.

b°) Déterminer les multiplicités des racines.

c°) Trouver la fonction puissance qui ressemble à f quand |x| →∞.

d°) Déterminer le nombre de points de changement du sens de croissance.

e°) Trouver les extrema.

Méthode

2 24Même chose pour les polynômes suivants

1) f : x 7→ (x −1)2 2) g : x 7→ x(x +2)2 3) h : x 7→ 6x3(x +4)

4) i : x 7→ x(x −2)(x +4) 5) j : x 7→ x2(x −3)(x +4) 6) k : x 7→ x2(x2 +1)(x +4)

2 25Lequel des polynômes suivants pourrait avoir ce graphe ? (Plusieurs réponses sont possibles)

1) x 7→ −4x(x −1)(x −2)

2) x 7→ x2(x −1)2(x −2)

3) x 7→ 3x(x −1)(x −2)

4) x 7→ x(x −1)2(x −2)2

5) x 7→ x3(x −1)(x −2)

6) x 7→ −x(x −1)(x −2)


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Les 4 graphiques ci-dessous représentent des polynômes entre lesquelles la seule différence est la puis-sance d’un facteur.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

f : x 7−→ (x +5)(x −3)(x +1)

= x3 +3x2 −13x −15

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-80

-60

-40

-20

20

40

60

f : x 7−→ (x +5)(x −3)(x +1)2

= x4 +4x3 −10x2 −28x −15

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-200

-150

-100

-50

50

100

150

200

f : x 7−→ (x +5)(x −3)(x +1)3

= x5 +5x4 −6x3 −38x2 −43x −15

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

100

200

f : x 7−→ (x +5)(x −3)(x +1)4

= x6 +6x5 − x4 −44x3 −81x2 −58x −15

Les 2 graphiques suivants montrent l’effet de l’adjonction d’un facteur sans racine comme x2 +1.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

f : x 7−→ (x +5)(x −3)(x +1)

= x3 +3x2 −13x −15

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-200

-100

100

200

300

400

f : x 7−→ (x +5)(x −3)(x +1)(x2 +1)

= x5 +3x4 −12x3 −12x2 −13x −15

Exemple


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38 2.7. EXERCICES

Exercices7

2 26

Lequel des polynômes suivants pourrait avoir ce graphe ? (Plusieurs réponses sont possibles)

1) x 7→ 2x3(x −1)(x −2)2

2) x 7→ x2(x −1)(x −2)

3) x 7→ x3(x −1)2(x −2)

4) x 7→ x2(x −1)2(x −2)2

5) x 7→ 5x(x −1)2(x −2)

6) x 7→ −2x(x −1)2(2− x)

2 27

Lequel des polynômes suivants pourrait avoir ce graphe ? (Plusieurs réponses sont possibles)

1) x 7→ 1

2(x2 −1)(x −2)

2) x 7→ −1

2(x2 +1)(x −2)

3) x 7→ (x2 −1)(1− x

2)

4) x 7→ −1

2(x2 −1)2(x −2)

5) x 7→ (x2 + 1

2)(x2 −1)(2− x)

6) x 7→ −(x −1)(x −2)(x +1)

2 28

Fabriquer un polynôme qui a les caractéristiques suivantes : intersections avec l’axe des x en −2 et 2, touchel’axe (Ox) en 0 et est en dessous de l’axe des x entre 0 et 2.

2 29

Fabriquer un polynôme qui a les caractéristiques suivantes : intersections avec l’axe des x en −1 et 4, touchel’axe (Ox) en 0 et 2, et est en dessus de l’axe des x entre 0 et 2.

2 30

Trouver ...

1) un polynôme de degré 4 ayant 4 racines distinctes et passant par le point (0; 5).

2) un polynôme de degré 4 ayant seulement deux racines distinctes ;

3) un polynôme de degré 4 ayant 3 racines distinctes simples et une racine double ;

4) un polynôme de degré 3 n’ayant aucune racine ;

5) tous les polynômes de degré 3 ayant au moins −2 et +2 comme racine.


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2 31

Trouver, si possible, les expressions algébriques des polynômes représentées ci-dessous

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-20

-10

10

20

30

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-20

-10

10

20

30

40

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

-3 -2 -1 1 2 3 4

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

2 32

Est-ce que la représentation graphique d’un polynôme peut ne présenter aucune intersection avec l’axe des y ?avec l’axe des x ?

Symétries diverses dans les polynômes8

Il existe une manière simple de détecter la symétrie axiale d’axe (Oy) et la symétrie centrale de centre O parune caractéristique présente chez certaines fonctions.

f

−xb

b

xb

bf (−x) = f (x)

b

−x∗b

b

x∗b

b

f (−x) = f (x)b

Symétrie axiale d’axe x = 0

f

−xb

b

xb

b

−x∗b

b

x∗b

b

f (x) b

f (−x) =− f (x)b

f (x∗) b

f (−x∗) =− f (x∗)b

Symétrie centrale de centre (O; 0)0


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40 2.9. PROBLÈMES

Soit une fonction définie sur un intervalle I.

— f est dite paire lorsque f (−−−x) === f (x) pour tout x de I : (Oy) est un axe de symétrie pour la courbereprésentant la fonction ;

— f est dite impaire lorsque f (−−−x) === −−− f (x) pour tout x de I : O est un centre de symétrie pour lacourbe représentant la fonction.

Définition 2 - 6

2 33Déterminer la parité des fonctions suivantes :

a) f : x −→ x2 −3 b) f : x −→ (x −3)2 +6x c) f : x −→ x − 1

2+ x2

d) f : x −→ x

1+ x2 e) f : x −→ x3 −2x2 +3x f) f : x −→ x + 1

x2

2 34

Calculer les coordonnées du centre de symétrie du graphe de f (x) = 3x −1

x −2

2 35

Montrer que le graphe de f (x) = x3 −9x2 +23x −10 admet un centre de symétrie en (3; 5).

2 36

Montrer que le graphe de f (x) = 2x4 −16x3 +63x2 −124x +94 admet un axe de symétrie d’équation x = 2.

2 37

Montrer que le graphe de f (x) = x4 +8x3 +24x2 +32x +17

x2 +4x +6admet une symétrie d’axe x =−2.

2 38

Montrer que le graphe de f (x) = x3 +3x2 − x +1 admet une symétrie de centre C(−1 ; 4).

Problèmes9

2 39Quelles sont les dimensions d’une boîte parallélépipédique (ou pavé droit) à base carrée dont le volume estV = 1875 cm3 et telle que la surface de carton employée est S = 950 cm2. (On se ramènera à une équation dutroisième degré dont on cherchera une racine évidente.)

2 40Quatre cubes ont respectivement pour arêtes, mesurées en centimètres, x, x+1, x+2, x+3 où est x un nombreentier naturel.

Déterminer x pour que le contenu (volume) des trois cubes d’arêtes x, x+1, x+2 remplisse exactement le cubed’arête x +3.

2 41Population de cerfs

Un troupeau de 400 cerfs est introduit sur une petite île. Tout d’abord le troupeau grandit rapidement, mais parla suite les ressources en nourriture baissent et la population diminue. Supposons que le nombre N(t) de cerfsaprès t années est donné par N(t)=−t 4 +96t 2 +400, où t > 0.

1. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles N(t)> 0.

2. La population de cerfs va-t-elle s’éteindre ? Si oui, quand ?


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2 42On veut construire une boîte ouverte à partir d’unefeuille de carton rectangulaire de 20 cm sur 30 cm,en ôtant de chaque angle un carré d’aire x2 et enrelevant les côtés.

1) Montrer qu’il y a deux façons de construireune telle boîte d’un volume de 1000 cm3.

2) Quelles sont les dimensions de la boîte qui al’aire la plus petite ?

(source : Swokowski E.W. Cole J.A., Algèbre)

20

?x x

? 30

x

x

?

x

?

Quelle valeur faut-il choisir pour x pour que le volume de la boîte soit maximal ? (donner la meilleure estima-tion possible)

2 43La masse d’une section d’un pont suspendu est uniformément répartie entre deux tours identiques situées à400 m l’une de l’autre et s’élevant à 90 m au-dessus de la chaussée horizontale (voir figure). Un câble fixé entreles sommets des tours a la forme d’une parabole et son centre est à 10 m au-dessus de la chaussée. Supposonsqu’on a introduit des axes de coordonnées, comme le montre la figure.

1) Donner une équation de la parabole.

2) Neuf câbles verticaux équidistants sont utili-sés pour soutenir le pont (voir la figure). Cal-culer la longueur totale de ces supports.


y

x

90 m

400 m

2 44Une fusée est tirée vers une colline suivant une tra-jectoire donnée par y = –0,016x2 +1,6x. La collinea une pente de 1

5 , comme illustré sur la figure.

1) Où la fusée va-t-elle atterrir ?

2) Calculer la hauteur maximale de la fusée au-dessus du sol.


y

x

y = 15 x

Faire le point10

10 1 Savoir reconnaître un polynôme

2 45Préciser si les fonctions proposées sont des polynômes (donner à chaque fois une justification)

1) x 7→ x2

105 −( x

10

)22) x 7→ 3

√x6 3) x 7→ 2x3 − x2 −5p

3

4) x 7→ 5p

3−1 5) x 7→ x5 − x +1

x2 +16) x 7→ x2 −2x −3

x +1


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42 2.10. FAIRE LE POINT

10 2 Connaître des situations particulières pouvant être représentées par des fonctions polynomiales

10 2 a Les fonctions linéaires

2 46Dans un magasin, tous les prix ont été augmentés de 15%. Représenter par une fonction le changement de prix.

2 47Dans un magasin, tous les prix ont été diminués de 5%. Représenter par une fonction le changement de prix.

2 48Dans un magasin une série d’objets subissent d’abord une augmentation de 25%, puis une diminution de 10%.Représenter par une application linéaire le changement de prix global. Quelle a été l’augmentation finale desprix en % ?

10 2 b Les fonctions affines

2 49La relation entre la température de l’air T (en °C) et l’altitude h (en m au-dessus du niveau de la mer) peutêtre approchée par une expression du type affine pour 0 < h < 6 000. Si la température au niveau de la mer est15,6°C, elle baisse d’environ 10°C lorsque l’on monte de 1 500 m.

1. Exprimer Ten fonction de h, et faire une représentation graphique dans un système de coordonnées.

2. Donner approximativement la température de l’air à l’altitude de 4 500 m.

3. Donner approximativement l’altitude à laquelle il fait −17,8°C.

10 2 c Polynômes de degré 2

2 50Compléter le carré

Si f (x) = 3x2 +24x +50, exprimer f (x) sous la forme a(x −h)2 +k.

2 51Déplacement de la parabole d’équation y = x2

Soit le polynôme P(x) = x2 −4x +5. Sa représentation graphique est une parabole. Trouver

1. son sommet ;

2. son axe de symétrie ;

3. son intersection avec l’axe des x.

2 52Un objet est lancé du sol au temps t = 0 et sa hauteur h est donnée par la fonction

h : t 7→ 10t − g t 2

2où g ≈ 9,81 m/s2

1. Quelle hauteur maximale atteindra-t-il ?

2. Au bout de combien de temps retombera-t-il au sol ?

3. Un autre objet est lancé trois secondes plus tard de la même manière. Donner la fonction qui décrit sahauteur.

Si une parabole y = ax2+bx+c coupel’axe des x en (x1 ; 0) et (x2 ; 0) commele montre la figure ci-contre pour lecas a < 0, alors l’axe de la paraboleest la droite verticale x = (x1 + x2)/2passant par le point milieu de (x1; 0)et (x2; 0). Par conséquent, l’abscisse hdu sommet (h ; k) est h = (x1+ x2)/2.

(x1 ; 0) (x2 ; 0)

S(h ; k)

h = x1 + x2

2

y = ax2 +bx +c

x

y


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2 53Animaux sauteurs

Les bonds des animaux sauteurs ont typiquementdes trajectoires paraboliques. La figure illustre lebond d’une grenouille superposé à un système decoordonnées. La longueur du saut est de 2,7 m, etla hauteur maximale au-dessus du sol est de 0,9 m.Donner une équation de la trajectoire du saut de lagrenouille sous forme standard.


��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

y

x2,7

0,9

Trajectoire

de la grenouille

��10 3 Polynômes de degré > 2

2 54On veut construire un hangar cubique surmonté d’un toit en forme de prisme triangulaire (voir figure).

La longueur x du côté du cube est encore à déterminer.

1) Si la hauteur totale de la construction est 6 m, montrerque le volume V est donné par V = x3 + 1

2 x2(6− x).

2) Déterminer x pour que le volume soit de 80 m3.


6 m

x





2 56La fonction esquissée ci-dessous est f (x) = 4–x2 et on considère le triangle ombré. On a aussi P est un point dugraphique de f .

1. Calculer l’aire A du triangle pour x = −1, x = 1et x = 2.

2. Exprimer l’aire A du triangle en fonction de x.

3. Quelle valeur faut-il donner à x pour que l’airedu triangle soit maximale ?

4. Quelle est cette aire maximale et quelles sontalors les dimensions du triangle ? f

b

b P

b

x0


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44 2.10. FAIRE LE POINT

10 3 a Factoriser pour trouver les racines ou les intersections avec l’axe des x

2 57Factoriser les polynômes suivants, trouver leurs racines et étudier leur signe

1) A(x) = x3 −5x2 +4 2) B(x) =−6x2 +23x −20 3) C(x) = x6 −8x3

4) D(x) = x4 +2x2 +1 5) E(x) = x2 −9−2(x −2)(x −3)− (x −3)2


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3Fonctionspolynômes etfonctionsrationnelles

C H A P I T R E

46


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CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES 47

Rappel Un polynôme est une fonction de la forme

f : x −→ an xn +an−1xn−1 +·· ·+a2x2 +a1x1 +a0 (an 6= 0)

où n est un entier naturel et a0, a1, . . . , an sont des nombres réels.

Remarque : son domaine est toujours R.

3 58

1. Développer et réduire : (a +b)3 et (a −b)3

2. Développer, réduire et ordonner les polynômes : A(x)= (−2x +1)3 ; B(x) = (−5x −3)3

3 59

1) Développer et réduire : (a +b +c)2 et (a +b −c)2

2) Remarquer que l’on peut retrouver (a +b −c)2 à partir de (a +b +c)2

3) Déduire de 2) , le développement de :

(a) (a −b +c)2 ; (a −b −c)2 ; (−a −b −c)2 ; (−a +b −c)2 ; (−a +b +c)2

(b) (a +b)4 ; (a −b)4

(c) Développer, réduire et ordonner les polynômes :

P(x) = (x2 + x +1)2 ; Q(x) = (−x2 −2x −3)2 ; T(x) = (−2x2 + x −3)2

U(x) = (3x −5)4 ; V(x) = (−2x +3)4

(d) Déterminer le réel k pour que : x4 −2x3 + (k +1)x2 −kx +4 soit le carré d’un polynôme.

On retiendra (en complétant avec ce qui a été vu au chapitre précédent)

Pour tous nombres réels a, b et c, on a :

(a +b)3 = a3 +3a2b +3ab2 +b3 (a −b)3 = a3 −3a2b +3ab2 −b3

(a +b +c)2 = a2 +b2 +c2 +2ab +2ac +2bc

Pour tout entier n, n > 1 : xn −an = (x −a)(xn−1 +axn−2 +a2xn−3 +·· ·+an−2x +an−1

Pour tout entier n impair, n > 1 : xn +an = (x +a)(xn−1 −axn−2 +a2xn−3 +·· ·−an−2x +an−1

Théorème 3 - 1

L’ensemble D f , appelé l’ensemble de définition de f , ou encore domaine de f , est le plus grand sous-ensemble de tous les réels pour lesquels il existe un unique f (x).

Définition 3 - 1

Une fonction rationnelle (ou fraction rationnelle) est le quotient de deux fonctions polynômes

f : x 7→ an xn +an−1xn−1 +·· ·+a2x2 +a1x +a0

bp xp +bp−1xp−1 +·· ·+b2x2 +b1x +b0

Définition 3 - 2

En général, le domaine de définition d’une fonction rationnelle n’est pas R. En effet, le dénominateurpourrait être nul pour certaines valeurs qui sont donc à exclure du domaine.

Remarque

Trouver une expression pour la diagonale d’un pavé droit, sachant que la somme de ses arêtes vaut L etson aire totale S.

Activité


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48

3 60Déterminer le domaine de définition, puis écrire sous la forme du quotient de deux fonctions polynômes :

i) f (x) = 2− 3

x +1

ii) f (x) = 2+ 1

x− 3

2− x

iii) f (x) = x − 2

3+ 1

x2 +1

iv) f4(x) = 2x +1− x +3

x2 − x −2+ 2

x

3 61Déterminer le domaine de définition puis simplifier les fonctions rationnelles :

i) E(x) = 6−2x

x2 −6x +9

ii) Q(x) = (x −1)(x −3)+ (x −1)(x −5)

x2 −1

iii) H(x) = (x4 −1)(x2 −2x)

(x3 −4x)(x3 − x)

iv) J(x)= x2 −1

x3 +1

3 62

1) Déterminer Dq , le domaine de définition de la fonction rationnelle :

q(x)= x2 −2x −1

(x +1)2(x −1).

2) Déterminer par « identification », les réels a, b et c tels que :

pour tout réel x de Dq , on ait :x2 −2x −1

(x +1)2(x −1)= a

x +1+ b

(x +1)2 + c

x −1.

Autre méthode (facultatif) :

— multiplier l’égalité précédente par (x −1) , puis dans la nouvelle égalité obtenue, remplacer x

par 1 , qu’obtient-on ?

— multiplier l’égalité précédente par (x+1)2 , puis dans la nouvelle égalité obtenue, remplacer x

par −1 , qu’obtient-on ?

— Peut-on en déduire a ?

Remarque

3 63

1) Déterminer Dq , le domaine de définition de la fonction rationnelle :

q(x)= x2 +3x −1

(x −1)2(x +2).

2) Déterminer par « identification », les réels a, b et c tels que :

pour tout réel x de Dq , on ait :x2 +3x −1

(x −1)2(x +2)= a

x −1+ b

(x −1)2 + c

x +2.

(utiliser éventuellement la méthode facultative).

3 64

Soit f la fonction définie par : f (x) = 2x2

x2 −1− 3

x2 + x −2.

1) Déterminer l’ensemble de définition de f .

2) Factoriser chacun des polynômes de f .

3) 1) Déterminer un dénominateur commun aux fractions rationnelles2x2

x2 −1et

3

x2 + x −2, puis écrire f (x)

à l’aide d’une fraction rationnelle, notéeg (x)

h(x).

2) Déterminer une racine simple du polynôme g (x).

3) Simplifier l’écriture de f (x) (en précisant les conditions de la simplification) et résoudre l’équationf (x) = 0.


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3 65Simplifier les fractions rationnelles suivantes, après avoir effectué les opérations demandées

2− x −3x2

6x2 − x −2= −(3x2 + x −2)

6x2 − x −2=−

1(3x −2)(x +1)

(3x −2)1

(2x +1)

si x 6= 23

=− x +1

2x +1

(x2 +8x +16)(x −5)

(x2 −5x)(x2 −16)= (x +4)

162 1

(x −5)

x(x −5)1

(x +4)1

(x −4)

si x 6= 5, x 6= −4

= x +4

x(x −4)

Exemple

1)x2 −6x +9

x2 −1· 2x −2

x −3

2)x +2

2x −3:

x2 −4

2x2 −3x

3)2x +5

x2 +6x +9+ x

x2 −9+ 1

x −3

4)2

x+3 − 2a+3

x −a

5)2x2 +7x +3

2x2 −7x −4

6)−12− r + r 2

r 3 +3r 2

7)2x +6

x2 +6x +9+ 5x

x2 −9+ 7

x −3

8)1

x+2 −34x− x

9)9x2 −4

3x2 −5x +2· 9x4 −6x3 +4x2

27x4 +8x

10)5a2 +12a +4

a4 −16:

25a2 +20a +4

a2 −2a

11)2

3s +1− 9

(3s +1)2

12)3t

t +2+ 5t

t −2− 40

t 2 −4

13)12x

2x +1− 3

2x2 + x+ 5

x

14)6x

x2 −4− 2x +1

x2 +4x +4− 3

x −2

15) 4+ 2

u− 3u

u+5

16)x + x2

1+ x2

17)2x4 +6x2 +4

x4(x2 +1)−4 · (x2 +1)

18)2x2 +4x +2

x3 − x· x − x2

2+2x

3 66Rendre le dénominateur rationnel

1)1p

x −py

2)

px −4px +4

3)81x2 −16y2

3p

x −2p

y


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50 3.1. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS RATIONNELLES

Représentation graphique des fonctions rationnelles1

En 2e année, on se limitera à la représentation des fonctions homographiques dont l’essentiel a été vu au pre-mier chapitre.

Deux écritures Si l’on prend comme fonction de base f (x) = 1x

, nous pouvons former une famille entière defonctions (les fonctions homographiques) grâce aux trois transformations graphiques que sont

— le déplacement horizontal h

— le déplacement vertical v

— la dilatation/contraction k.

f : x 7→ 1

xg : x 7→ 1

x −3−1

-4 -2 2 4

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-2 2 4 6

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

Elles se traduisent algébriquement de la manière suivante

g (x) = k · f (x −h)+ v avec f (x) = 1

xon obtient

g (x) = k1

x −h+ v avec D f =R\ {h}

Nous avons aussi montré que ces fonctions peuvent être données sous une autre forme

f (x) = a ·x +b

c ·x +davec D f =R\ {−d

c}

Asymptotes Les fonctions homographiques ont deux asymptotes :

— une asymptote verticale d’équation x = h (en partant de la 1re écriture) ou d’équation x = −d

c(à

partir de la 2e écriture)

— une asymptote horizontale d’équation y = v (en partant de la 1re écriture) ou d’équation y = a

c(à

partir de la 2e écriture).

3 67Pour les fonctions homographiques suivantes, donner l’une ou l’autre écriture manquante, puis préciser lesasymptotes

1) f (x) = 2x −5

x −1

2) g (x) = 3

x +2−5

3) h(x) = 2x −5

−3x +4

4) f (x) =−2− 5

x −1

5) g (x) = 3− x

3x +5

6) h(x) = −5

−3x +4

3 68Un toit en pente s’appuie sur les murs MN et AB. Ceux-ci sont hauts de 3 m et écartés l’un de l’autre de 4 m. Letoit peut être plus ou moins incliné. Comment varie la hauteur h du faîte lorsque la distance x s’approche de 2m?

Comment varie h lorsque x devient de plus en plus grand ?


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Comment se traduisent sur le graphique de h en fonction de x les observations précédentes ?

N

M A

B

h

x

3

4

3 69Déterminer tous les rectangles de dimensions entières dont l’aire égale le périmètre, c’est-à-dire l’aire et lepérimètre sont représentés par le même nombre.

3 70Un rectangle est pavé par des carrés unitaires. Ceux du bord sont grisés et les intérieurs sont blancs. Déterminertoutes les dimensions entières possible pour que l’aire grisée soit identique à l’aire blanche.

3 71Dans une grande ville, la densité de population D (en habitants/km2) d’un quartier est liée à la distance x (enkm) qui sépare ce quartier du centre de la ville par

D = 5000x

x2 +36

(a) Comment varie la densité de population lorsque l’on s’éloigne du centre de la ville de 20 à 25 km?

(b) Comment varie la densité de population lorsque la distance au centre devient grande ?

(c) Dans quelles zones de la ville la population excède-t- elle 400 habitants/km2 ?

3 72De l’eau salée d’une concentration de 10 g de sel par litre coule dans un grand réservoir contenant initialement200 litres d’eau pure.

(a) Si l’eau salée coule dans le réservoir à raison de 20 l/min, calculer le volume de l’eau V(t) et la quantité desel A(t) dans le réservoir après t min.

(b) Déterminer une formule pour la concentration de sel c(t) (en g/l) après t min.

(c) Étudier la variation de c(t) lorsque t devient arbitrairement grand.

Au chapitre suivant, nous verrons des équations et des inéquations construites à partir de fractions rationnelles.


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52 3.1. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS RATIONNELLES


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4Équations etinéquations

C H A P I T R E

54


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CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS 55

Équations avec des valeurs absolues1

a. Résoudre l’équation |x −5| = 3

Solution Si a et b > 0 sont des réels, alors |a| = b signifie que a = b ou a =−b.

Ainsi, si |x −5| = 3, alors

x −5 = 3 ou x −5 =−3

x = 8 ou x =+2

L’équation donnée a donc deux solutions, 8 et 2.

b. Résoudre l’équation 2 · |x −5|+3 = 11

Solution On commence par isoler l’expression en valeur absolue en soustrayant 3 et en divisantpar 2 pour obtenir.

|x −5| = 11−3

2= 4

Puis, on procède comme dans le premier exemple.

Exemples

4 1Résoudre les équations

1) |3x −2|+3 = 7

2) 2 · |5x +2|−1 = 5

3) 3 · |x +1|−2 =−11

4) |x −5| = |3−2x|−2

5) 2 · |x −6| = |5− x|+6

6) 2 · |x −6| = |1−2x|+1

Équations du second degré (ou s’y ramenant)2

Rappel La solution d’une équation du second degré dont la forme générale est

ax2 +bx +c = 0 avec a 6= 0

se trouve de la manière suivante.

ax2 +bx +c = a

(x2 + b

ax + c

a

)

En prenant les deux premiers termes pour compléter le carré, on a : x2 + b

ax =

(x + b

2a

)2

−(

b

2a

)2

ax2 +bx +c = a

((x + b

2a

)2

−(

b

2a

)2

+ c

a

)

et en arrangeant le deuxième terme

= a

((x + b

2a

)2

− b2 −4ac

4a2

)

Ainsi

ax2 +bx +c = 0 ⇔ a

((x + b

2a

)2

− b2 −4ac

4a2

)= 0 (♣)

⇔(

x + b

2a

)2

= b2 −4ac

4a2

en posant ∆= b2 −4ac (discriminant du trinôme)

⇔(

x + b

2a

)2

= ∆

(2a)2


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56 4.2. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ (OU S’Y RAMENANT)

• ∆<<< 0, pas de solution (car un carré ne peut être négatif)

• ∆=== 0, une solution unique : −−− b

2acar

(x + b

2a

)2

= 0 ⇔ x + b

2a= 0

• ∆>>> 0, deux solutions−b +

p∆

2aet

−b −p∆

2acar

(x + b

2a

)2

= ∆

(2a)2 ⇔ x + b

2a=±

p∆

2a

⇔ x = −b ±p∆

2a

La formule en bref Si le discriminant ∆> 0, alors x1,2 =−b ±

pb2 −4ac

2a.

Racines et facteurs Connaissant les deux racines du trinôme, il est possible de le factoriser

ax2 +bx +c = a

(x − −b +

p∆

2a

)(x − −b −

p∆

2a

)

Remarque Tant qu’il est possible de factoriser le trinôme par l’utilisation d’une identité remarquable, il ne fautse priver de le faire et, ainsi, éviter la formule avec le discriminant plus coûteuse en temps.

4 2Résoudre les équations :

1) x(x −1) = 3

2) (x −1)2 = x(2x −3)

3) (2x +1)(5− x) = (4x +2)2

4) x3 −6x2 +9x = 0

5) x3 + x2 = 3x − x2

6) (2− x)3 = (x −2)2 −2+ x

4 3Factoriser si possible les polynômes :

1) p1(x) =−x2 + x +1 2) p2(x) =−x2 + x − 1

43) p3(x) = 2x2 + x +3

4 4Pour quelles valeurs de m , le polynôme pm(x) = 3x2 −4mx +12, admet-il une seule racine ?


1) x +1 = 1

x

2) x +1 = 1

x +1

3) 2x −1 = x +1

x −3

4) x2 +4 = 4

x +1

5) x + 2

x=−3

6) 2− 3

x+ 9

x2 = 0

7)x +1

x+ x +2

x +1= 1

8)2x

x +2+ x +3

2x= 2

4 6Résoudre les systèmes d’équations :

i )

{x − y +1 = 0

3x2 + y2 −2x y −2y +1 = 0i i )

{y + x −1 = 0

x2 + y2 +3x −3y −2 = 0{

x=sin a cosb

y=sin a sin b

4 7Trouver (si possible) deux nombres x et y , connaissant leur somme s et leur produit p

{x + y = s

x y = p⇔

Les solutions de x + y = s et x · y = p

sont le(s) solution(s) (si elle(s) existe(nt)) de : x2 − sx +p = 0Théorème 4 - 1

4 8Déterminer (si possible) les dimensions d’un rectangle

(i) dont le périmètre est : 8 cm , et l’aire : 3,75 cm2 ;

(ii) dont le périmètre est : 8 cm , et l’aire : 5 cm2 ;

(iii) dont la longueur des diagonales est : 2,5 cm , et l’aire : 3 cm2.


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2 1 Équations bicarrées ou par substitution

a. Résoudre l’équation 2x4 +13x2 −7 = 0

Solution On effectue le changement de variable y = x2.

L’équation 2x4 +13x2 −7 = 0 est alors équivalente au système

{x2 = y

2y2 +13y −7 = 0

La résolution de la 2e équation donne ∆= 225 et fournit ainsi deux solutions y1 =−7 ou y2 = 12 .

Il nous reste deux équations à résoudre : x2 = y1 et x2 = y2. La 1re n’a pas de solution et la 2e en

admet deux :p

22 et −

p2

2 .

Conclusion : 2x4 +13x2 −7= 0 admet deux solutions x =p

22 ou x =−

p2

2 .

b. Résoudre l’équation x2/3 + x1/3 −6 = 0

Remarque x2/3 =(x1/3

)2. La forme de l’équation suggère la substitution y = x1/3.

Solution L’équation x2/3 + x1/3 −6= 0 est alors équivalente au système

{x1/3 = y

y2 + y −6 = 0

On résout cette dernière équation

y2 + y −6 = 0 on a posé y = x1/3

(y +3)(y −2) = 0 factorisation

y +3 = 0 y −2 = 0 équation-produit

y =−3 y = 2

x1/3 =−3 x1/3 = 2 substitution inverse

x =−27 x = 8 élévation au cube

Aucun contrôle n’est nécessaire, car nous n’avons pas élevé les membres de l’équation à unepuissance paire.

Exemples


1) x4 −8x2 +16 = 0

2) x6 −4x3 +4 = 0

3) x4 +2x2 +1 = 0

4) x2/5 −7x1/5 +12 = 0

5) x4 − x2 −12 = 0

6) 6x4 +11x2 +4= 0

7) x4 − x2 −1= 0


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58 4.2. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ (OU S’Y RAMENANT)

2 2 Équations irrationnelles

a. Résoudre l’équation 2x −3 =p

x +6

Remarque Les solutions de cette équation sont aussi des solutions de

(2x −3)2 = (p

x +6)2

Généralement, cependant, cette dernière équation a plus de solutions que l’équation donnée.En effet, si nous prenons l’équation x = 4 et que nous l’élevons au carré ses deux membresx2 = 16, nous obtenons une équation qui a pour solutions x = 4 et x = −4, une de plus quel’équation de départ pour laquelle −4 n’est pas solution. Il faut donc vérifier après-coup si lessolutions obtenues ne renferment pas des solutions étrangères.

Solution On élève chaque membre au carré

(2x −3)2 = x +6

4x2 −12x +9 = x +6

4x2 −13x +3 = 0

(x −3)(4x −1) = 0 ⇒ deux solutions possibles 3 ou1

4

Après vérification dans l’équation de départ, seulement 3 est solution.

b. Résoudre l’équation3p

x2 −1 = 2

Solution

3√

x2 −1 = 2 donnée(

3√

x2 −1)3

= 23 élever au cube les deux membres

x2 −1 = 8

x2 = 9

x =±3

Ici le contrôle n’est pas nécessaire, car nous avons élever chaque membre à une puissanceimpaire.

Exemples


1) x −p

x −2 = 0

2)1px= 2

x−1

3) 2+ 3p1−5t = 0

4)p

3x +1 = 1− x

5) 3−p

1−2x = x

6)5√

2x2 +1−2 = 0

7)p

x +4+p

x +7 = 3

8)p

2x +3−p

x +1 = 1

9)√

5p

x =p

2x −3


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Problèmes3

4 11Détermination du trajet d’un ferry

Un ferry fait des voyages entre une ville et une îlesituées comme le montre la figure ci-contre. Le ba-teau longe le rivage jusqu’à un certain point puisva directement vers l’île. Si le bateau parcourt 12km/h le long du rivage et 10 km/h lorsqu’il est enpleine mer, déterminer les trajets qui durent 45 mi-nutes.

3 km

7 km

7

7 – xx

3d

4 12Installation d’une ligne à haute tension

Une ligne à haute tension doit être installée à tra-vers une rivière de 1 km de large vers une ville si-tuée à 5 km en descendant la rivière (voir figure).Cela coûte 7 500 F par km pour le câble immergéet 6 000 F pour la ligne aérienne. Déterminer com-ment le câble peut être installé si 35 000 F sont al-loués pour le projet.

x

1

5

4 13Trouver l’ensemble des points dont la distance à la droite d’équation x = 2 est égale à la distance les séparantde la droite d’équation y = 3.





Les inéquations du 1er degré à une inconnue4

Problème Résoudre l’inéquation 2 · (x −4) 61

2x +3 .

Cette inéquation contient une inconnue au 1er degré (c’est x) ; elle comporte un membre de gauche et unmembre de droite, séparés par un signe d’inégalité :

inconnue

2x +4︸︷︷︸

membre de gauche

≤ 1

2x +3

︸︷︷︸membre de droite

signe d’inégalité


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60 4.4. LES INÉQUATIONS DU 1er DEGRÉ À UNE INCONNUE

Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inégalité.

Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.

On désignera par S l’ensemble des solutions de l’inéquation. En général, S sera un intervalle.

4 1 LES PROPRIÉTÉS DES INÉGALITÉS

Pour trouver les solutions d’une inéquation, on peut appliquer les trois propriétés suivantes :

Première propriété On peut ajouter (ou retrancher) un même nombre à chaquemembre d’une inégalité, sans en changer le sens :

si a ≤ b, alors a +c ≤ b +c.

Exemple Prenons l’inégalité 7 < 8.

On peut ajouter 2 à chaque membre : 7+2 < 8+2 (en effet, 9 < 10).

Deuxième propriété On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une in-égalité par un même nombre positif, sans changer le sens de l’inégalité :

si a ≤ b et c > 0, alors ac ≤ bc.


On peut multiplier chaque membre par 3, sans changer le sens de l’inégalité :

3 ·7 < 3 ·8, en effet, 21 < 24).

Troisième propriété On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inéga-lité par un même nombre négatif, à condition de changer le sens de l’inégalité :

si a ≤ b et c < 0, alors ac ≥ bc.


On peut multiplier chaque membre par −1, à condition de changer le sens de l’inégalité :

(−1) ·7 > (−1) ·8 (en effet, −7 >−8).

4 2 LA RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION DU 1er DEGRÉ À UNE INCONNUE

Pour résoudre une inéquation du 1er degré, on utilisera ces 3 propriétés.

Problème Résoudre l’inéquation −x +4 ≤ 2x −2 .

Solution Si x vérifie cette inéquation, alors

−x −2x ≤−2−4 (1re propriété)

−3x ≤−6 (réduction)

−3x

−3≥ −6

−3(3e propriété)

x ≥ 2 (simplification des fractions)

L’inéquation est vérifiée par toutes les valeurs de x supérieures ou égales à 2. Si on désigne l’ensembledes solutions de cette inéquation par S, on peut écrire :

S ={

x |x ≥ 2}= [2;∞[.

Représentation graphique Les solutions sont indiquées par la partie non hachurée de la droite graduée. Lesens du crochet indique que 2 est une solution :

| |

0 1 2

[


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4 3 Les demidroites et les intervalles

On distingue 4 types d’intervalles ; dans la représentation graphique, l’intervalle est représenté par la partienon hachurée de la droite. Le sens d’un crochet indique si a ou b appartient à l’intervalle, ou non.

Intervalle :nom et notation

Représentationgraphique

Description : ensembledes nombres x tel que :

intervalle fermé[a ; b] a b

[ ]a ≤ x ≤ b

Intervalle ouvert]a ; b[ a b

] [a < x < b

Intervalle semi-ouvertà droite [a ; b[ a b

[ [a ≤ x < b

Intervalle semi-ouvertà gauche ]a ; b] a b

] ]a < x ≤ b

On distingue aussi 4 types de demi-droites :

Demi-droite :notation

Représentationgraphique

Description : ensembledes nombres x tel que :

]a ; +∞[a

]x > a

[a ; +∞[a

[x ≥ a

]−∞ ; a[a

[x < a

]−∞ ; a]a

]x ≤ a

Les systèmes d’inéquations à une inconnue5

Voici un système de deux inéquations à une inconnue :

➀

➁

x −4 ≤ 2x +1

−2x +5 ≥ 5x −2

Résoudre un tel système, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue x qui vérifient à la fois ➀ et ➁. Cesvaleurs sont les solutions du système.

Marche à suivre :

a) Résoudre l’inéquation ➀.

b) Résoudre l’inéquation ➁.

c) Chercher les nombres qui sont solution à la fois de ➀ et de ➁.

Ces nombres forment l’ensemble des solutions du système.


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62 4.6. LES INÉQUATIONS RATIONNELLES

a) Résolution de ➀ :

x −4 ≤ 2x +1

x −2x ≤ 1+4

−x ≤ 5

x ≥−5

Si S1 désigne l’ensemble des solutions de ➀, onpeut écrire :

S1 ={

x |x ≥−5}

b) Résolution de ➁ :

−2x +5 ≥ 5x −2

−2x −5x ≥−2−5

−7x ≥−7

x ≤ 1

Si S2 désigne l’ensemble des solutions de ➁, onpeut écrire :

S1 ={

x |x ≤ 1}

Pour trouver les nombres x qui sont à la fois dans S1 et dans S2, représentons graphiquement ces deux en-sembles :

S1 | |

−5 0 +1

[

S2 | |

−5 0 +1

]

S1 ∩S2 |

−5 0 +1

[ ]

Si S désigne l’ensemble des solutions du système d’inéquations, on peut écrire :

S = S1 ∩S2.

On voit, en comparant les représentations graphiques de S1 et de S2, que

S ={

x |−5 ≤ x ≤ 1}= [−5; 1].

Les inéquations rationnelles6

Rappel Le principe générale à suivre pour résoudre les équations de degré supérieur à 1 est de mettre toutdans un membre et de factoriser ce membre pour avoir une équation-produit (cf. cours de 1re) :

x2 +12x =−20

x2 +12x +20 = 0

(x +10)(x +2) = 0 ⇒S = {−10; −2}

... même si on est parfois tenté de faire autre chose

Faux x2 = x · (2x −1) (division par x) Correct x2 =x · (2x −1)

x = 2x −1 x2 − x · (2x −1) = 0 tout dans un membre

x = 1 x(x − (2x −1)

)= 0 factorisation

x(−x +1) = 0 équation-produit

S = {0; −1}

Il est incorrect de diviser chaque membre par x sans autre, car x peut recevoir la valeur 0. Il est vraique l’on peut se tirer d’affaire en distinguant les deux cas : x = 0 et x 6= 0.

Exemple

Avec les inéquations comportant des fractions rationnelles, la situation est encore un peu plus délicate.


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Pour résoudre l’équation − 1

x+2 < x, on peut aussi être tenté d’évacuer le dénominateur en multi-

pliant chaque côté par x.

Faux − 1

x+2 < x (multipl. par x) Correct − 1

x+2< x

−1+2x < x2 0< x + 1

x−2 tout dans un membre

0 < x2 −2x +1 0< x2 +1−2x

xfactorisation

0 < (x −1)2 0< (x −1)2

xle signe dépend de x

S =R\ {1} S =R∗+ \ {1}

Où est le problème ? Que se passe-t-il lorsqu’on multiplie une inéquation par x ?

Exemple

1° Mettre tout dans un membre

2° Mettre au même dénominateur

3° Factoriser

4° On cherche les valeurs de x pour lesquelles le membre non nul est positif ou négatif. Généralement,on recourt à un tableau de signes.

Méthode

Résoudre l’inéquationx +1

x +3≤ 2.

Solution Il faut commencer par tout mettre dans un membre.

x +1

x +3−2 ≤ 0

x +1−2(x +3)

x +3≤ 0 regrouper en une fraction

−x −5

x +3≤ 0 réduire, pas besoin de factoriser

x +5

x +3≥ 0 multiplier par −1

x

x +5

x +3

x +5

x +3

−∞ −5

0

0

−3

0

+∞

− + +

− − +

+ − +

En lisant la dernière ligne du tableau, la réponseest :

S =R\]−5; −3] =]−∞ ;−5]∪]−3; +∞[

Exemple

4 15

Résoudre les inéquations

1)1

2(x −1) ≥−x −2 2)

3− x

4− x −2

3>−3−2x

63) −x2 −2x +3 ≥ 0

4) 2x2 +2x +5 > 3x2 + x +1 5) 2x3 +3x2 −3x −2 > 0 6) x4 ≥ x2

7) −1

2< 2x +3

5< 3

28)

1

x≤ 1

x +19)

2x

16− x2 < 0


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64 4.7. PROBLÈMES

10)1

x −2≥ 3

x +111)

x

2x −1≥ 3

x +212)

x

3x −5x≤ 2

x −1

Problèmes7

4 16J’ai le choix entre deux voitures d’occasion :

— la première coûte 6 000 € et consomme 10 l/100km

— la deuxième coûte 8 000 € et consomme 8 l/100km

Si l’essence coûte en moyenne 1 € /l et que je roule 20 000 km/an, après combien d’années la deuxième voitureme reviendra-t-elle moins cher que la première ?

4 17Un réseau de téléphonie mobile propose deux tarifs mensuels :

— l’abonnement de base à 15 € et 10¢ par minute de communication

— l’abonnement ‘extra’ à 25 € et 6¢ par minute de communication

a) Si je téléphone 1h par mois, quel est le tarif le plus intéressant ?

b) Si je téléphone 10h par mois, quel est le tarif le plus intéressant ?

c) Combien de temps dois-je téléphoner, pour que le tarif extra soit plus avantageux ?

4 18Une entreprise fabrique un produit. Pour une période donnée, le coût total de production, en €, est donné enfonction du nombre q d’articles fabriqués par :

C(q)= 2q2 +10q +900

Tous les articles fabriqués sont vendus ; la recette totale en € est donnée par R(q) = 120q .

1. Vérifier que le bénéfice total est donné par B(q) =−2(q2 −55q +450), puis trouver la forme factorisée deB(q).

2. Pour quels nombres d’articles produits la production est elle rentable ?

4 19Une page d’un livre a été arrachée. On sait seulement que la somme des numéros de pages restantes est de654321. Combien le livre avait-il de pages initialement et quel est le numéro de la page déchirée ?

Inéquations et valeurs absolues8

La présence d’une valeur absolue dans un calcul ou une équation ne permet pas de poursuivre un calcul direct.Il faut au contraire entrer dans une discussion de cas conformément à la définition de la valeur absolue

|expression| =

expression si expression≥ 0

−expression si expression< 0

Soit l’inéquation |x −1| ≤ 5.

Sachant que |x −1| =

x −1 si x −1 ≥ 0, c.-à-d. x ≥ 1

−(x −1) si x < 1, cette inéquation se partage en 2 cas.

|x −1| ≤ 5

−x +1 ≤ 5

−4≤ x

S1 = [−4;1[

x −1 ≤ 5

x ≤ 6

S2 = [1;6] ⇒ S = [−4;6]

x<1 x≥1

Il est aussi possible de résoudre cette inéquation géométriquement, car |x − 1| ≤ 5 s’interprète commetous les points d’abscisse x dont la distance à 1 est inférieure ou égale à 5, c.-à-d. −4= 1−5≤ x ≤ 1+5 = 6.

Exemple


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Soit l’inéquation |x −1|+ |2x +3| ≤ 5.Avec deux valeurs absolues ou plus, il est plus simple de les présenter dans un tableau qui donne la valeurde chacune d’elle en fonction des différentes valeurs de l’inconnue.

x

|x −1|

|2x +3|

−∞ −3/2

0

1

0

+∞

−x +1 −x +1 x −1

−2x −3 2x +3 2x +3

Cas 1 Cas 2 Cas 3

|x −1|+ |2x +3| ≤ 5

−x +1−2x −3 ≤ 5

−3x −2 ≤ 5

−7/3 ≤ x

S1 = [−7/3;−3/2[

−x +1+2x +3 ≤ 5

x ≤ 1

S2 = [−3/2;1[

x −1+2x +3 ≤ 5

3x ≤ 3

x ≤ 1

S3 = {1}

Cas 1x <−3/2

Cas 2−3/2 ≤ x < 1

Cas 3x ≥ 1

Donc, S = [− 72 ;1].

Il n’est pas très aisé de résoudre cette inéquation géométriquement.

Exemple

4 20Résoudre les inéquations

1) |x −5| < 3 2) |x +2| < 4 3) |x +2| > 4

4) |2x +3| > 9 5) 2< |2x −1| < 3 6)

∣∣∣∣2−3x

5

∣∣∣∣≥ 2

7) |2x −1|−3 > |x +5| 8) 3 · |x|−2 > |x −5| 9) |5− x|+ |2x −6| ≥ 1


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5Encore lesfonctions

C H A P I T R E

CHAPITRE 5. ENCORE LES FONCTIONS 67


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68 5.1. APPLICATIONS, FONCTIONS, DOMAINE

Applications, fonctions, domaine1

A et B étant deux ensembles, on appelle application de A dans B (ou fonction définie sur A à valeur dansB), toute correspondance f qui à chaque élément de A fait correspondre un seul élément de B, noté f (x).

f : A−→B

x −→ f (x)

Définition 5 - 1

— A est l’ensemble de départ ou encore la source de f .

— B est l’ensemble d’arrivée ou encore le but de f .

Le domaine d’une fonction f est le plus grand sous-ensemble de R sur lequel il est possible de définir f

comme une fonction. Il est noté D f .Définition 5 - 2

a. La fonction

f : R+ −→R

x −→x2

a pour ensemble de départ R+ et pour ensemble d’arrivée R.

b. Le domaine de cette fonction f (x) = x2 est cependant R.

c. La fonction f définie par f (x) = 1/x est une application de R∗ dans R, et elle est différente de la

fonction g définie par : g (x) =

1/x pour x 6= 0

1 pour x = 0, car les domaines de définition ne sont pas les

mêmes. En effet, g a pour domaine R.

d. Le domaine de la fonction f (x) =p

x −3

x −5se trouve

— en cherchant quand x−3 est positif, car on ne peut prendre que la racine d’un nombre positif :x −3 ≥ 0 si et seulement si x ≥ 3;

— en regardant quand le dénominateur s’annule, car on ne peut diviser par 0 : pour x = 5.

Ainsi D f = [3; ∞[\{5}.

Exemples

1 1 Injections, surjections et bijections

Une application f de A dans B est dite injective, ou encore que c’est une injection, si deux élémentsdistincts de A ont pour image par f deux éléments distincts de B.

Définition 5 - 3

Une application f de A dans B est dite surjective, ou encore que c’est une surjection, si tout élément deB est l’image par f d’au moins un élément de A.

Définition 5 - 4

Une application f de A dans B est dite bijective, ou encore que c’est une bijection, si tout élément de Best l’image par f d’un élément et d’un seul de A.

Ceci revient à dire qu’une application est bijective si, et seulement si, elle est à la fois injective et surjective.

Définition 5 - 5

Une bijection d’un ensemble sur lui-même est aussi appelée une permutation si l’ensemble est dénombrable.

Soit f une bijection et soit y ∈ B. On désigne par f −1(y) ou rf (y) l’unique élément x de A tel que f (x) = y

(cet élément est aussi appelé la pré-image de y). De cette manière, nous pouvons définir une nouvelleapplication, notée f −1 ou encore rf , de B dans A. C’est aussi une bijection. Elle est appelée l’applicationréciproque ou la bijection réciproque de f :

rf : B→ A

Définition 5 - 6


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a. Soit la fonction f définie de R+ dans R+ par f (x) = x2. On vérifie d’abord qu’elle est bien bijective,puis on définit la fonction réciproque rf par rf (y) =p

y .

b. Soit la fonction sin : [−π/2;+π/2] −→ [−1;+1]. C’est une fonction bijective dont la réciproque estsin−1 (aussi notée arcsin) : [−1;+1] −→ [−π/2;+π/2].

c. Soit la fonction cos : [0;π] −→ [−1;+1]. C’est une fonction bijective dont la réciproque est cos−1

(aussi notée arccos) : [−1;+1] −→ [0;π].

Exemples

a6

a5

a7

b1

b2

a4

a2

b3

b4

a1

a3

b5

b6

b7

b8

✲

✲

✲

✲

✲

✲

✲a6

a5

a7

b1

b2

a4

a2

b3

b4

a1

a3

a8

a9

b5

b6✸✒

✲❃✲

✲❃

✶

✶ a6

a5

a7

b1

b2

a4

a2

b3

b4

a1

a3

b5

b6

b7

✲

✲

✲

✲

✲

✲

✲

Injection Surjection Bijection

1

1 2 Applications composées

Soient les deux applications suivantes :

f : A −→ B g : B−→ C

on appelle application composée g ◦ f , l’application de A dans C donnée par g ◦ f (x) = g ( f (x)). Il faut noterqu’on écrit g ◦ f dans l’ordre inverse de celui dans lequel les opérations sont effectuées :

Af−−−−→ B

g−−−−→C

Soit deux applications f et g définies comme suit

f :R−→R g :R−→R

x −→ 2x +1 x −→ (x −1)2

g ◦ f : R−→R

x −→ g ( f (x)) = ((2x +1)−1)2

= (2x)2

= 4x2

Exemple

— la composition des applications est associative : si f , g et h sont des applications de A dans B, de B dansC et de C dans D respectivement, on a (h ◦ g )◦ f = h ◦ (g ◦ f ) ; ce qui s’écrit simplement : h ◦ g ◦ f ;

— si f −1 est la bijection réciproque d’une bijection f de A dans B, on a : f −1 ◦ f = IA (application identiquede A dans A) et f ◦ f −1 = IB (application identique de B dans B) ;

— inversément si f est une application de A dans B, et g une application de B dans A telle que g ◦ f = IA etf ◦ g = IB, alors f est une bijection et g est sa bijection réciproque ;

— si f est une bijection de A dans B, et g une bijection de B dans C, g ◦ f est une bijection de A dans C et sabijection réciproque est (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1

(g ◦ f )◦ (g ◦ f )−1 = (g ◦ f )◦ ( f −1 ◦ g−1)

= g ◦ f ◦ f −1

︸︷︷︸IA

◦ g−1 par l’associativité

= g ◦ g−1

︸︷︷︸= IB


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70 5.2. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DE LA RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION BIJECTIVE

Lors de la composition g ◦ f de deux fonctions f et g , il faut s’assurer de ne prendre dans le domaine def que les x tels que f (x) soient dans le domaine de g .

x

Domaine de f

f (x)

Image dudomaine de f

Domaine de g

g ( f (x))

f g

g ◦ f

On voit dans le croquis ci-dessus qu’il est possible d’imaginer un x tel que f (x) soit en-dehors du domainede g .

Exemple f : R−→R

x −→ 2x +1

et g : R+ −→R

x −→p

x

Dans ce cas, g ( f (−3)) n’est pas défini car f (−3) n’est pas dans le domaine de g . Pour éviter ce problème,le domaine de g ◦ f doit se limiter aux x tels que 2x +1 ≥ 0, c.-à-d. aux x ∈ [−1/2;+∞].

Si f est une fonction bijective et g sa réciproque,on a par définition : rf ◦ f = Id et f ◦ rf = Id. Il fautalors que

Image f = Domaine rf

Domaine f = Image rf

x f (x)

Domaine de f Image de f

Image de r f Domaine de r f

f

rf

Remarque

Interprétation géométrique de la réciproque d’une fonctionbijective2

Soit un point (a,b) appartenant à la représenta-tion graphique d’une fonction bijective f donnée.On a alors b = f (a). On a aussi immédiatementa = rf (b). Ainsi (b , a) est un point du graphe de lafonction réciproque rf . On note aussi que la lignejoignant les points (a,b) et (b, a) est perpendicu-laire à la droite d’équation y = x et que celle-ci lacoupe en son milieu. La droite y = x est donc unaxe de symétrie pour les courbes représentant lesfonctions f et rf .

a

b

a b

(a,b)

(b, a)

y = xy = f (x)

y =r f (x)


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Recherche de la fonction réciproque3

On a vu que le graphe d’une fonction bijective et de sa réciproque sont symétriques relativement à la droited’équation y = x. Ceci signifie que l’on peut obtenir rf en interchangeant les rôles de x et y dans f . En d’autrestermes, si f : x 7→ y est défini par une équation du type

y = f (x)

alors rf : y 7→ x est défini implicitement par la même équation.

Si l’on peut résoudre cette équation en x, alors on aura la forme explicite pour rf , c’est-à-dire

x =r f (y)

Cela nous donnera une expression pour rf : y 7→ x. Mais, comme il n’est pas très habituel de donner une fonc-tion par rapport à y , on peut échanger les x et y pour avoir la forme

rf : x 7→ y

Exemple 1 : Soit la fonction f : x 7→ 2x−1. Trouver la source et le but de la fonction f afin qu’elle soit bijective,puis déterminer sa réciproque. Faire ensuite le graphique de ces deux fonctions.

Solution : La fonction f est bijective, car linéaire et croissante. On peut aussi montrer qu’elle est bijective envérifiant d’abord qu’elle est injective, puis surjective.

Injectivité : si x1 6= x2,alors 2x1 6= 2x2

2x1 −1 6= 2x2 −1

f (x1) 6= f (x2) sans restriction sur x

f : R →Rrf : R →R

x 7→ 1

2(x +1)

Surjectivité : on regarde quelles sont les va-leurs de y qui ont une préimage

. . . 7→ y = 2x −1

y +1 = 2x

x = 1

2(y +1) sans restriction sur y

Ceci donne du même coup la fonction réci-proque rf (y) = 1

2 (y + 1). Pour avoir l’expres-sion habituelle pour une fonction, il suffit deremplacer y par x.

Graphique de f et rf :

5

-5

-5 5

y = x

f (x) = 2x −1

f (x) = 12 (x +1)

Exemple 2 : Soit la fonction f : x 7→ 2x +1

x −3, x 6= 3. Elle est bijective. Trouver sa réciproque et faire une vérifi-

cation.

Solution : On cherche d’abord les intervalles où la fonction est injective et surjective. Mais, pour cela, il fautd’abord réécrire f pour que la variable x n’apparaisse qu’une fois. On y arrive en procédant à la

division polynomiale qui permet d’obtenir :2x +1

x −3= 2+ 7

x −3.


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72 5.3. RECHERCHE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE

Injectivité : si x1 6= x2,alors x1 −3 6= x2 −3

7

x1 −36= 7

x2 −3si x 6= 3

2+ 7

x1 −36= 2+ 7

x2 −3

g (x1) 6= g (x2)

f : R\ {3} →R\ {2}rf : R\ {2} →R\ {3}

x 7→ 7

x −2+3 = 3x +1

x −2


. . . 7→ y = 2+ 7

x −3

y −2 = 7

x −3avec y 6= 2

1

y −2= x −3

7

x = 7

y −2+3

Vérification :

rf ( f (x)) =r f

(2x +1

x −3

)=

32x +1

x −3+1

2x +1

x −3−2

= 6x +3+ x −3

2x +1−2(x −3)= 7x

7= x

f (rf (x)) = f

(3x +1

x −2

)=

2

(3x +1

x −2

)+1

3x +1

x −2−3

= 2(3x +1)+ x −2

3x +1−3(x −2)= 7x

7= x

Exemple 3 : Soit la fonction f : x 7→ x2. Trouver sa réciproque si x ≥ 0.

Solution : Cette fonction n’est bijective que si son domaine est R+. Elle est alors croissante.

Injectivité : si x1 6= x2,alors x2

1 6= x22 à condition que x ≥ 0

f (x1) 6= f (x2)

f : R+ →R+rf : R+ → R+

x 7→px


. . . 7→ y = x2

x =py à condition que y ≥ 0

Vérification : rf ( f (x)) =r f (x2) =√

x2 = |x| = x, puisque x ≥ 0

f (rf (x)) = f (p

x) = (p

x)2 = x 2

2

y = x

rf (x) =px

f (x) = x2

Exemple 4 : f : x 7→ x2 −6x−8. Trouver sa réciproque après avoir déterminé les ensembles de départ et d’arri-vée.

On a un problème comparable à celui de l’exemple 2 où la variable x apparaissait aussi 2 fois dansl’expression de la fonction. Il faut donc réécrire la fonction en complétant cette fois-ci le carré :x2 −6x −8 = (x −3)2 −9−8 = (x −3)2 −17.

Injectivité : si x1 6= x2,alors x1 −3 6= x2 −3

(x1 −3)2 6= (x2 −3)2 condition x ≥ 3

(x1 −3)2 −17 6= (x2 −3)2 −17

f (x1) 6= f (x2)

f : [3,+∞[ → [−17;+∞[rf : [−17;+∞[ → [3,+∞[

x 7→p

x +17+3


. . . 7→ y = (x2 −3)2 −17

y +17 = (x −3)2 avec y ≥−17

x =√

y +17+3 ou −√

y +17+3

Si on ne cherche pas à déterminer les ensembles de départ et d’arrivée et qu’on veut avoir uniquementl’expression de la réciproque, il suffit de résoudre l’équation poser vérifier la surjectivité.

Remarque


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5 1Le périmètre d’un rectangle est de 50 mètres. Exprimer son aire en fonction de la longueur d’un de ses côtés.

5 2En économie, le chiffre d’affaires R est défini comme la somme d’argent obtenue par la vente d’un produit etest égal au prix unitaire p du produit multiplié par le nombre d’unités vendues x. C’est-à-dire

R = xp

Généralement, x et p sont liés : quand l’un augmente, l’autre décroît. Supposons que x et p soient reliés parl’équation suivante :

p =− 1

10x +25 0 ≤ x ≤ 200

Exprimer le chiffre d’affaires R comme une fonction du nombre x d’unités vendues.

5 3Soit f : N−→N ,

x −→ x +3est-ce que f est injective ? surjective ?

5 4Déterminer le domaine de définition des fonctions

f1 : x 7→ ax +b

cx +df2 : x 7→

√7x2 −4x −11 f3 : x 7→ x +7

2x3 −7x2 +5x

f4 : x 7→ x

|x −2| f5 : x 7→√

4− x2 f6 : x 7→p

x2 − x −12

x +1

f7 : x 7→p

x −1 ·p

x +2 f8 : x 7→√

(x −1)(x +2) f9 : x 7→p

5x −7

3x2 −5x +8

f10 : x 7→ 3x −2p5x2 −13x +6

f11 : x 7→√

2x +6

x −2f12 : x 7→ 5

6−p

63x2 −17x −10

5 5Représente par des diagrammes fléchés toutes les injections de A = {a;b} vers B= {t ;u; v}.

5 6Établis une bijection entre l’ensemble des nombres pairs positifs et Z+.

5 7Vérifier que les fonctions f et g soient les réciproques l’une de l’autre en montrant que f (g (x))= x et g ( f (x))=x.

1) f : x 7→ 3x +4; g : x 7→ 1

3(x −4) 2) f : x 7→ 4x −8; g : x 7→ x

4+2

3) f : x 7→ 1

x; g : x 7→ 1

x4) f : x 7→ 2x +3

x +4; g : x 7→ 4x −3

2− x

5 8Utiliser le test de la ligne horizontale pour déterminer si les graphiques suivants représentent des fonctionbijectives

3

-3

-3 3

3

-3

-3 3

3

-3

-3 3


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3

-3

-3 3

3

-3

-3 3

3

-3

-3 3

5 9Trouver les réciproques des fonctions suivantes et déterminer leur source et leur but.

1) f : x 7→ 3x 2) f : x 7→ 4x +2 3) f : x 7→ x3 −1

4) f : x 7→ x3 +1 5) f : x 7→ x2 +9, x ≥ 0 6) f : x 7→− 3

x

7) f : x 7→ 2

3+ x8) f : x 7→ 2x −3

x +49) f : x 7→ 2 3px

☞ pour déterminer la source et le but afin que la fonction soit bijective, il faut rendre la fonction injective etsurjective.

5 10

Le graphe de la figure ci-contre est celui d’unefonction bijective d’équation y = f (x). Dessine legraphe de la fonction réciproque.

(−2,−1)

(−1,0)

(2,1)

5 11Soit A = {a;b} et B = {1;2,3}

1 ° donne toutes les applications de A vers B ;

2 ° indique celles qui sont injectives, surjectives, bijectives.

5 12Soit les applications :

f : N−→Z g : Z−→Q

x −→−2x +3 x −→ x

3

Détermine l’application composée g ◦ f .

5 13Pour chacune des fonctions f suivantes, trouve deux fonctions g et h distinctes de l’identité, telles que f = g ◦h.

1) f : x −→ x2 +1 de . . . vers R

2) f : x −→ 1

x −9de . . . vers R

3) f : x −→ (x +1)2 de . . . vers R

4) f : x −→p

x +3 de . . . vers R

5) f : x −→p

x +3 de . . . vers R

Complète l’énoncé avec la source de chacune des fonctions données.


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5 14Soit les deux fonctions

f : R−→R g : R−→R

x −→ ax +b x −→ cx +d

À quelle condition a-t-on f ◦ g = g ◦ f

5 15Soit quatre fonctions f , g , h et j de R dans R.

f : x −→ 3x g : x −→ x2 −1 h : x −→ 1

x2 +4j : x −→−x

Détermine la réciproque de chacune d’elles, puis les composées f ◦ g ◦h ◦ j et j ◦h ◦ g ◦ f .

5 16Soit une bijection f : Z+ −→ Z\ {?} définie de la manière suivante :

f (x) =

−2x si x est pair,x +1

2si x est impair.

Trouve la bijection réciproque f −1 de f telle que : f −1 ◦ f (x) = f −1(

f (x))= x.

5 17Soit f une application de A vers B. Montre que, s’il existe une application g de B vers A telle que g ◦ f = IA, alorsf est injective.

5 18Soit f : x −→ 1− 1

xet g : x −→ 1

1−xdeux applications de R\ {0;1} vers R\ {0;1}.

Détermine g ◦ f et f ◦ g . Conclusion ?

5 19Soit les fonctions

f : R\ {−4} −→R\ {3} g : R\ {3} −→R∗

x −→ 3x −1

x +4x −→ 2

x −3

1 ° vérifie par calculs que f est une bijection et détermine sa réciproque

2 ° détermine la fonction g ◦ f

3 ° décompose g en deux fonctions, c.à-.d. trouve deux fonctions h et k telles que h ◦ k = g , attention auxsources et aux buts !

5 20Démontre que la composition de deux fonctions injectives est aussi injective.

5 21

f : x −→ x

x2 −2est une application de Q dans Q, mais elle n’est pas une application de R dans R. Pourquoi ?

5 22On considère les applications p1 et p2 de R×R dans R×R telles que

p1 : (x; y) −→ (x;0)

p2 : (x; y) −→ (0; y)

1 ° dessine les images de quelques couples par p1 et par p2 ;

2 ° montre que p1 et par p2 sont surjectives

3 ° quel est l’ensemble des pré-images de (a;0) par p1 ?

quel est l’ensemble des pré-images de (0;b) par p2 ?

4 ° interprète p1 et par p2 géométriquement.


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5 23On considère les applications f et g de R×R vers R×R telles que

f : (x; y) −→ (−x; y)

g : (x; y) −→ (x;−y)

1 ° dessine les images de quelques points de R×R par f et par g ;

2 ° montre que f et par g sont des bijections ; détermine leur réciproque ;

3 ° détermine g ◦ f ;

4 ° interprète géométriquement f , g et g ◦ f .

5 24

Soit f : x −→p

x +1−1px

; vérifie que 0 n’a pas de pré-image par f .

5 25Est-ce que f : x −→ 1+ x2 de [−1;2] dans [2 ;5] est une application ?

5 26Trouver la source et le but des fonctions suivantes pour qu’elles soient bijectives, puis déterminer leurs réci-proques.

f1 : x 7→ x2 +4 f2 : x 7→ x +1

xf3 : x 7→ x2 −1

f4 : x 7→ x2 −4x +5 f5 : x 7→ 1

x −2f6 : x 7→ 1− x

2+3x

5 27Soit la fonction f : x 7→ x

2x+1

(1) Calculer f ◦ f .

(2) Calculer f ◦ f ◦ f , puis f ◦ f ◦ f ◦ f .

(3) Calculer ( f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸︷︷︸20 fois

)(x).

5 28Soit la fonction f : x 7→ 2x +1

(1) Calculer f ◦ f .

(2) Calculer f ◦ f ◦ f , puis f ◦ f ◦ f ◦ f .

(3) Calculer ( f ◦ f ◦ · · · ◦ f︸︷︷︸20 fois

)( 1220 ).

5 29

Soit la fonction f : x 7→ 2x

x −2de R\ {2} dans R\ {2}.

(1) Déterminer f ◦ f = f (2).

(2) Déterminer f ◦ f ◦ f = f (3).

(3) Déterminer f (2n+1)(4) pour n ∈N.

(4) Quelle est la réciproque de f ?


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Présentations alternative pour l’injection, la surjection et labijection4

4 1 Injection

Une application f de A dans B est dite injective, ou encore que c’est une injection, si deux élémentsdistincts de A ont pour image par f deux éléments distincts de B.

4 1 a Explication

f : A →B

x1 7→ f (x1)

6= 6=

x2 7→ f (x2)

Une fonction est injective si, pour tout couple denombres dans A, les images des ces nombres sontdifférentes. Il en découle que dans le cas d’unefonction continue (dans le graphe se dessine sanslever le crayon), la courbe représentative de lafonction est soit montante, soit descendante.

Si la courbe monte, puis descend, elle va présen-ter des points qui se trouvent à la même hau-teur, comme on le voit dans le contre-exemple dugraphe d’une fonction non-injective.

À partir de là, on peut imaginer un test graphiquepour vérifier si une une fonction est ou n’est pasinjective.

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Exemple

x1 x2

f (x1)= f (x2)

Contre-exemple

4 1 b Test graphique

Chaque horizontale coupe au plus unefois la courbe représentative de lafonction !

4 1 c Test algébrique

a. Est-ce que la fonction suivante est injective ?

f : R→R

x 7→x2 −5

Il faut montrer que quels que soient x1 et x2, leurs images sont différentes. Pour obtenir celles-ci, ilfaut élever x au carré :

si x1 6= x2, alors x21 6= x2

2 est faux, car il suffit de prendre deux nombres opposés comme −3 et 3 pourle montrer. Ainsi f n’est pas injective.

Exemples


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78 5.4. PRÉSENTATIONS ALTERNATIVE POUR L’INJECTION, LA SURJECTION ET LA BIJECTION

a. Cependant, en changeant l’ensemble de départ pour exclure les nombres positifs ou les nombresnégatifs, il est possible de rendre f injective.

f ∗ : R+ →R

x 7→x2 −5

si x1 6= x2, alors x21 6= x2

2 | au carré

x21 −5 6= x2

2 −5 |−5

f (x1) 6= f (x2)

b. Est-ce que la fonction suivante est injective ?

f : R\ {−2} →R

x 7→x −1

x +2

si x1 6= x2, alors x1 −1 6= x2 −1 ..., mais pour poursuivre, il faudrait diviser par deux nombres diffé-rents x1 +2 et x2 +2 et rien n’est moins sûr que deux nombres différents divisés par deux nombresdifférents donnent toujours pour résultat deux nombres différents. On s’en tire en mettant la fonc-tion homographique sous forme canonique.

f (x) = x −1

x +2= x +2−2−1

x +2= x +2−3

x +2= 1− 3

x +2

si x1 6= x2, alors x1 +2 6= x2 +2 | +2

1

x1 +26= 1

x2 +2| passage à l’inverse

−31

x1 +26= −3

1

x2 +2passage à l’opposé

1− 1

x1 +26= 1− 1

x2 +2|+1

f (x1) 6= f (x2)

Exemples

4 2 Surjection

Une application f de A dans B est dite surjective, ou encore que c’est une surjection, si tout élé-ment de B est l’image par f d’au moins un élément de A.

4 2 a Explication

Cela signifie que pour tout y ∈B, il doit exister au moins une préimage x.

f : A→B

? 7→y

x1 x2

y1

y2

Exemple

x1 x2

y

z

Contre-exempleSur le graphe de gauche, tout y ∈B a une préimage, par contre sur le graphe de droite, z ∈B n’a pas de pré-image.

4 2 b Test de l’horizontale

Le test de l’horizontale permet de conclure qu’une fonction est surjective, si tout horizontale coupe au moinsune fois la courbe représentative de la fonction.


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4 2 c Test algébrique

a. f : R →R

x 7→2x +5

y −5

27→y

1 7→7

y = 2x +5

y −5 = 2x

x = y −5

2

le test algébrique consiste à trouver unesolution en x à cette équationdans ce cas, f est surjective

b. f : [5,+∞[ →R

x 7→p

x −5

69 7→8

rien 7→−3 f n’est pas surjective !

Exemples

Toutefois, une simple modification de l’ensemble d’arrivée permet de rendre l’application surjective. Il suffitd’enlever les nombres négatifs qui n’ont pas de préimages. Ainsi f : [5,+∞[−→R+ est surjective.

4 3 Bijection

Bijection = injection + surjection

4 4 Explication

Une autre manière de le dire consiste à demander que tout élément de l’ensemble d’arrivée a au mois et auplus une préimage, c’est-à-dire exactement une préimage.

L’intérêt de découvrir qu’une fonction est une bijection est qu’elle admet toujours une fonction réciproque :

f : x → f (x) = yrf : y 7→x

et pour trouver cette réciproque, il suffit de résoudre l’équation f (x) = y en x, comme lorsque l’on cherche àsavoir si une fonction est surjective (cf. exemple ci-après).

4 4 a Test de l’horizontale

Conformément à la définition selon laquelle tout nombre y a exactement une préimage, toute horizontalecoupe exactement une seule fois la courbe représentative de la fonction.

Exemple Contre-exemple

4 5 Test algébrique

Ce test peut être fait de deux manières différentes :

1° une bijection est à la fois injective et surjective ; on teste donc d’abord l’injectivité, puis la surjectivité. Lesexemples de cette méthode se trouvent à la page 71 ;

2° on résout l’équation y = f (x) en cherchant à obtenir pour chaque y une seule solution x.


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80 5.4. PRÉSENTATIONS ALTERNATIVE POUR L’INJECTION, LA SURJECTION ET LA BIJECTION

a.

f : R→R

x 7→x2 −5y = x2 −5

y +5= x2

x =±√

y +5

Il y a 2 problèmes :

1° certains y admettent deux préimages (± . . . ), donc la fonction n’est pas injective ;

2° d’autres y n’en admettent aucune (y <−5). En effet, pour appliquer la racine, il faut quey +5 ≥ 0 ⇔ y ≥−5. Ainsi, cette fonction n’est pas surjective.

On a deux raisons pour dire que cette fonction n’est pas bijective (une raison aurait suffi). Tou-tefois, il est possible de rendre cette fonction bijective en restreignant l’ensemble de départ etl’ensemble d’arrivée.

f :R→R pas bijective, mais f :R+ → [−5;+∞[ bijective

On aurait pu choisir R− comme ensemble de départ !

Graphiquement, ceci revient à restreindre le graphe de la fonction à une fenêtre.

5

10

15

1 2 3−1−2−3

b. Voici un autre exemple qui sera traité graphiquement uniquement. Il s’agit de la fonction «si-nus» que nous aborderons dans le chapitre suivant. En 1ère année, le sinus a été défini commele rapport entre le côté opposé à un angle α et l’hypoténuse dans d’un triangle rectangle. Ilétablit une relation entre un angle et un rapport de côtés, en ce sens c’est bien une fonction :sin :α 7→ opp.

hyp. . Si à partir d’un rapport donné, on souhaite retrouver l’angle, il faut recourir à la

fonction réciproque sin−1 que l’on trouve sur la calculatrice : sin(α) = 0,5 ⇒ α = sin−1(0,5) =30° = π

6 .

En fait, le sinus s’applique à n’importe quelle valeur réelle et sa représation est donnée par legraphique ci-dessous :

−1

1

π2

−π2−π

f

Visiblement, cette fonction n’est pas bijective. Toutefois, elle peut le devenir si on restreint sadéfinition de la manière suivante (c’est le choix fait dans les calculatrices pour sin−1) :

f : [π/2;π/2] →[−1;1]

x 7→sin(x)

Exemples


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6Fonctionlogarithme etfonctionexponentielle

C H A P I T R E

CHAPITRE 6. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE 83


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84 6.1. EXPLORATION DU LOGARITHME NÉPÉRIEN AVEC LA CALCULATRICE

La plupart des fonctions utilisées et traitées jusqu’à maintenant (à l’exception des fonctions trigonométriques)font partie de la classe des fonctions algébriques, c’est-à-dire des fonctions qui peuvent s’exprimer en termesde sommes, différences, produits, quotients, puissances et racines de polynômes. Les deux types de fonctionsque nous allons aborder, ne sont pas algébriques et appartiennent à la classe des fonctions transcendantes (ausens où elles vont au-delà des fonctions algébriques).Historiquement, les logarithmes sont apparues sous la forme de table de logarithmes. Au cours du XVIe siècleet au début du XVIIe, les calculs (astronomie, navigation) étaient devenus d’une très grande complexité. L’idéequi émergea alors était de les simplifier en remplaçant les multiplications par des additions moyennant unetable de correspondance. La première table de logarithmes a été mise au point par un mathématicien du nomde John Neper (les mathématiques auont conservé son nom a travers le logarithme népérien).L’introduction de cette technique de calcul mena à des études théoriques qui permirent de dégager la notion defonction logarithme, puis celle de sa réciproque, la fonction exponentielle. Ces fonctions jouent aujourd’huiun rôle fondamental dans maintes disciplines telles que la physique, la biologie, l’économie, etc., alors quel’utilisation des logarithmes comme technique de calcul a entièrement disparu...

Exploration du logarithme népérien avec la calculatrice1

1. Calculer ln(x) (on écrit souvent simplement ln x) pour plusieurs valeurs de x. Conjecturer alors,pour la fonction

1° l’ensemble de définition ;

2° les solutions des inéquationsln x < 0 et ln x > 0

2. Comparer ln x et ln

(1

x

)pour diverses valeurs de x > 1. Quelle propriété peut-on conjecturer ?

3. Trouver un réel x tel que : a) ln x > 200 b) ln x <−200.

4. Comparer ln(a ·b) et ln a + ln b pour diverses valeurs de a > 0 et b > 0. Que peut-on conjecturer ?

Activité

Problème d’introduction2

Soit un capital C placé en banque à un taux de 3%. On suppose que les intérêts sont composés sur une base an-nuelle. Ce qui signifie qu’au terme d’une année les intérêts sont ajoutés au capital et que, pour l’année suivante,le calcul des intérêts se fera sur ce capital augmenté. Ainsi on capitalise les intérêts tous les ans.

1° De combien d’argent disposera-t-on au bout de 5 ans ? 10 ans ? 15 ans ? 20 ans ? 25 ans ?

2° Combien d’années faut-il laisser le capital en banque pour qu’il soit doublé ?

La fonction exponentielle3

En algèbre, il est possible de donner une définition de ax pour autant que a soit un nombre réel positif et x unnombre rationnel.La démarche qui conduit à cette définition est la suivante. Considérons la fonction

f : x −→ 10x

Dans un premier temps, 10x est défini pour les nombres entiers positifs : 10x = 10 ·10 · . . . ·10︸︷︷︸x fois

. C’est une notation

très utile, en particulier pour multiplier les grands nombres puisqu’on a la propriété

10n ·10m = 10n+m

L’extension de la définition de 10x à des nombres x rationnels se justifie par l’utilisation de cette propriété.

1. Que vaut 100 ?

La suite d’égalités écrites grâce à cette propriété

100 ·10n = 100+n = 10n


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nous forcent à poser que 100 = 1.

2. Que vaut 10−n ?

Les égalités suivantes, également écrites grâce à cette propriété,

10−n ·10n = 100 = 1

nous obligent à poser : 10n = 1/10n .

3. Que vaut 101n ?

Puisque l’on souhaite que les égalités

101/n · . . . ·101/n︸︷︷︸

n fois

= 101/n+···+1/n

︸︷︷︸n fois

= 101 = 10

soient vraies, il faut définir : 101/n = np

10.

4. Que vaut 10mn ?

Et puisque l’on souhaite que les égalités

101/n · . . . ·101/n︸︷︷︸

m fois

= 101/n+···+1/n

︸︷︷︸m fois

= 10m/n

soient vraies, il faut définir : 10m/n = ( np

10)m .

5. Malheureusement, l’algèbre ne permet pas d’aller plus loin et de définir 10x pour x irrationnel. C’est unepartie des mathématiques, appelée l’analyse, qui donne les moyens pour franchir ce pas. Dans le cadrede ce cours, on supposera simplement qu’il est possible de définir 10x ou ax (a > 0) pour x ∈R.

Si m,n ∈R et a,b ∈R∗+, alors

am ·an = am+n(am

)n = amn (ab)n = an ·bn

1n = 1 a−n = 1

an=

(1

a

)n

a0 = 1 anm = m

pan =

(mp

a)n

Théorème 6 - 1

Une fonction exponentielle est une fonction de la forme

f : x −→ ax

où a est un réel strictement positif et a 6= 1. Le domaine de f est R.

Définition 6 - 1

a 6= 1 sinon f (x) = 1x = 1 est simplement une fonction constante. On ex-clue aussi pour a les nombres négatifs, car a1/2 n’est pas défini pour a

négatif.On remarquera aussi que

— l’image de R par f est R∗+ ; c’est une fonction strictement croissante

ou décroissante selon la valeur de a ;

— f : R−→R∗+ est donc bijective ;

— lorsque x →−∞ alors 2x → 0; pour a > 1, l’axe des x est une asymp-tote horizontale. Si x → +∞, la fonction croît très rapidement (demanière exponentielle, justement) ;

— lorsque x → +∞, alors

(1

2

)x

→ 0; pour 0 < a < 1, l’axe des x est

une asymptote horizontale et lorsque x →−∞, la fonction croît trèsrapidement (de manière exponentielle, justement).

Remarque

3

-3

-3 3

y = 2x

3

-3

-3 3

y =(

1

2

)x


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86 6.4. LA FONCTION LOGARITHME

3

-3

-3 3

y = 1.5x

y = 2x

y = 3xy = 10x

3

-3

-3 3

y =(

1

2

)x

y =(

8

10

)x

y =(

3

10

)x

y =(

1

10

)x

Beaucoup de situations apparaissant dans le monde naturel peuvent être symbolisées par une fonction ex-ponentielle dont la base est un nombre irrationnel très particulier symbolisé par la lettre e : f : x −→ ex . Cenombre e a une valeur approximative de 2,71828....

La fonction logarithme4

Une fonction bijective f : x 7→ y (c.-à-d. y = f (x)) a une réciproque rf : x 7→ y qui est définie (implicitement)par l’équation x = f (y). En particulier, l’exponentielle y = f (x) = ax , a > 0, a 6= 1, est bijective et a donc uneréciproque définie implicitement par l’équation

x = ay a > 0, a 6= 1

Cette réciproque est suffisamment importante pour mériter un nom, c’est la fonction logarithme.

La fonction logarithmique de base a, avec a > 0, a 6= 1 est une fonction de R∗+ dans R désignée par

loga : x 7→ y

et est définie pary = loga x ssi x = ay

Si la base du logarithme est e, il s’agit du logarithme népérien noté ln x .Si la base du logarithme est 10, la fonction logarithme est simplement notée log x.

Définition 6 - 2

a. Calcul d’un logarithme.

a) Si y = log3 x, alors x = 3y . Ainsi log3 9 = 2 car 9 = 32 ;

b) log10 1000 = 3, car 1000 = 103.

b. Transformation d’expressions exponentielles en expressions logarithmiques.

a) 2,53 = m b) eb = 9

a) Si 2,53 = m, alors 3 = log2,5 m

b) Si eb = 9, alors b = loge 9

Exemples


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c. Recherche de la valeur exacte de certains logarithmes.

a) log2 8 b) log313 c) log5 25

a) pour y = log2 8, on a l’expression équivalente 2y = 8, donc y = 3. Ainsi log2 8= 3;

b) pour y = log313 , on a 3y = 1

3, donc y =−1. Ainsi log3

13 =−1;

c) pour y = log5 25, on a 5y = 25, donc y = 2. Ainsi log5 25 = 2.

Exemples

6 1

Trouver sans calculatrice :

1) log2 32 = 2) log3 81 = 3) log10 1000000 =

4) log5 1= 5) log3 70 = 6) log5 625 =

4 1 Rappel sur la représentation graphique d’une fonction et de sa réciproque

Soit un point (a,b) appartenant à la représenta-tion graphique d’une fonction bijective f donnée.On a alors b = f (a). On a aussi immédiatementa = rf (b). Ainsi (b , a) est un point du graphe de lafonction réciproque rf . On note aussi que la lignejoignant les points (a,b) et (b, a) est perpendicu-laire à la droite d’équation y = x et que celle-ci lacoupe en son milieu. La droite y = x est donc unaxe de symétrie pour les courbes représentant lesfonctions f et rf .Concernant les ensembles de départ et d’arrivéed’une fonction et de sa réciproque, on a aussi lesidentités

Image f = Domaine rf

Domaine f = Image rf

a

b

a b

(a,b)

(b, a)

y = xy = f (x)

y =r f (x)

4 2 Représentation graphique du logarithme

Comme le logarithme est la fonction réciproque de l’exponentielle, il suffit de connaître le graphe de celle-cipour en déduire celui du logarithme

3

-3

-3 3

y = 2x

y = log2 x

3

-3

-3 3

y =(

1

2

)x

y = log1/2 x


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88 6.5. PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES

— Pour tout 0< a, l’intersection avec l’axe des x est en 1, c’est-à-dire que loga 1= 0 car a0 = 1.

— L’axe (Oy) est une asymptote verticale du graphe.

— Le logarithme est une fonction strictement croissante si a > 1, et strictement décroissante si 0< a <1.

— Le graphe est lisse et continu, sans point anguleux ni saut.

Remarque

Propriétés des logarithmes5

Nous venons de voir la première

loga 1= 0 loga a = 1

Pour les suivantes, S et a sont des nombres positifs, avec a 6= 1 et r est un réel quelconque.Le nombre loga S est l’exposant auquel a doit être élevé pour obtenir S. C’est-à-dire

aloga S = S loga ar = r

Preuve. Soit x = loga S. On a par définition du logarithme l’expression correspondante de l’exponentielle

ax = SMais x = loga S, donc

aloga S = S

�

(a) 2log28 = 8 (b) 2log2π =π (c) e ln5 = 5 (d) lnex = xExemple

Si S, T et a sont des nombres positifs, avec a 6= 0, et r un réel quelconque, on a

(1) loga(S ·T) = loga S+ loga Tle log d’un produit est égal à lasomme des logs

(2) loga

(S

T

)= loga S− loga T

le log d’un quotient est égal à ladifférence des logs

(3) loga(1

S) =− loga S

(4) loga Sr = r · loga S

Théorème 6 - 2

a) loga(x√

x2 +1) = loga x + loga

√x2 +1

= loga x + loga(x2 +1)1/2

= loga x + 1

2loga(x2 +1)

b) loga

x2

(x −1)3 = loga x2 − loga(x −1)3

= 2loga x −3loga (x −1)

c) loga

x3p

x2 +1

(x +1)4 = . . .

Exemple

Formule de changement de base

Si a 6= 1, b 6= 1 et S sont des nombres réels positifs, alors

loga S = logb S

logb a

Théorème 6 - 3


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Preuve. Posons y = loga S. On a que ay = S. Donc

logb ay = logb S

y logb a = logb S Théorème 6 - 2 (4)

y = logb S

logb arésous en y

loga S = logb S

logb acar y = loga S

�

log5 89 = log89

log5≈ 1.94939

0.69897= 2.7889

logp2

p5 = log

p5

logp

2=

12 log512 log 2

≈ 0.69897

0.30103= 2.3219

Exemple

Modélisation des situations de croissance ou de décroissance parla fonction exponentielle6

Beaucoup de situations de problème présentant une quantité qui croît ou décroît avec le temps, comportentdans leur énoncé une formulation du type

« Toutes les périodes de durée p, la quantité Q est multipliée par un facteur k ... »

(si 0 < k < 1, on parle de décroissance, si k > 1, de croissance)

Problème : La population d’une culture de bactéries comptant initialement Qo = 100 bactéries, est multipliéepar 3 toutes les 5 heures.

1. Combien de bactéries y aura-t-il après un jour ?

2. Au bout de combien de temps la population aura-t-elle décuplée ?

3. De quelle pourcentage la population augmente-t-elle chaque jour ?

Explication Si on exprime la quantité de bactéries après t heures par la fonction f (t), on peut écrire

f (0) = Qo

f (1) = Qo ·31/5

f (2) = Qo ·32/5

f (3) = Qo ·33/5

f (4) = Qo ·34/5

f (5) = Qo ·35/5 = Q0 ·3...

f (t)= Qo ·3t5

·3 = 31/5 ·31/5 ·31/5 ·31/5 ·31/5

·31/5

·31/5

·31/5

·31/5

·31/5

De manière plus générale, on a :

f (t)= Qo ·ktp avec

Qo : la quantité initiale

k : le facteur de croissance ou de décroissance

p : la période sur laquelle s’applique le facteur k

t : le temps exprimé dans la même unité que la période

Solution On applique cette formule à l’énoncé

1. Un jour représentant 24 heures, p = 5 heures, k = 3, on écrit

f (24) = 100 ·3 245 ≈ 19506 bactéries après un jour


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906.6. MODÉLISATION DES SITUATIONS DE CROISSANCE OU DE DÉCROISSANCE PAR LA FONCTION

EXPONENTIELLE

2. Pour répondre à cette question, il faut écrire l’équation

f (t) = 10 ·Qo

100 ·3 t5 = 10 ·100 on résout l’équation exponentielle

3t5 = 10 on prend le log de chaque membre de l’équation

log(3

t5

)= log(10) propriété du log, théorème 15 (4)

t

5· log(3) = 1 on isole t

t = 5

log(3)≈ 10,5 heures

3. La formule f (t) = Qo ·ktp telle qu’elle est présentée donne le facteur de (dé)croissance sur une pé-

riode de p unités (par exemple, des jours). En la transformant un peu

f (t)= Qo ·ktp = Qo ·

(k

1p

)t

= Qo ·(

pp

k)t

= Qo ·k t∗ = Qo ·k

t1∗ avec k∗ = p

pk

on obtient une formule où le facteur de (dé)croissance est relatif à une période de 1 unité !

En appliquant cette idée à notre situation, le facteur de croissance journalier serait k∗ = 5p3≈ 1,246.On sait que multiplier une quantité par un tel nombre est équivalent à une augmentation de 24,6%,car 1,246 = 1+0,246 = 1+ 24,6

100 et Q ·1,246 = Q · (1+24,6%) = Q+24,6% ·Q.

La réponse est ainsi une augmentation journalière d’environ 24,6%.


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Exercices7

6 2Calculerp

0 ;

√25

16;

√0,0016 ; 3

√0,027

6 3

Sachant quep

27 ≈ 5,19 etp

270 ≈ 16,43 calculer :p

2700 ;p

27000 ;p

27000 ;√

2,7 ;√

0,27 ;√

0,00027

6 4Écrire à l’aide d’exposants rationnels : (a ∈R

∗+ et n ∈N

∗)

5p32 ;

4√

42 ;8√

(32)3 ;p

6 ;n√

a2n ;2n√

a6n ;(

3√

a2)6

;(

5√

a5)15

;(

3pan

)3.

6 5Écrire à l’aide de radicaux :

2−12 ; 36

32 ; 4−

53

6 6Simplifier : (a ∈R

∗+)

p2

4p2;

6pa5

4pa3

;

pa 3p

a4p

a3;

3pa5 6

pa

a3 .

6 7La pression atmosphérique p sur un ballon ou un avion diminue avec l’altitude. Cette pression, mesurée enmillimètres sur une colonne de mercure, est dépendante de la hauteur, en km, par rapport au niveau de la mer,selon la formule :

p = 760e−0,145h

a) trouver la pression atmosphérique à une altitude de 2 km;

b) quelle est cette pression à 10 km au-dessus du sol.

6 8La guérison d’une plaie peut-être modélisée par une fonction exponentielle. Si Ao représente l’aire de la surfaceinitiale de la blessure et si A est l’aire de la blessure après n jours, alors la formule

A = Aoe−0,35n

décrit l’aire de la plaie au ne jour suivant l’accident, à condition qu’aucune infection ne retarde la cicatrisation.Supposons qu’une blessure a une aire initiale de 100 cm2.

a) Si la cicatrisation a lieu normalement, quelle est la taille de la plaie après 3 jours ?

b) Après 10 jours ...

6 9Évaluer en base 10 :

log1 ; log1000 ; log 107 ; log1

10; log

14p10

; log3p

100 .

6 10Calculer

log2 64 ; log21

512; log3

4p3 ; log3

4p27 ; log4

5p64


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92 6.7. EXERCICES

6 11Change chacune des expressions exponentielles suivantes en une expression équivalente comportant un loga-rithme.

1) 16 = 42 2) 2x = 7,2 3) a2 = 1,64) a3 = 2,1 5) xπ = e 6) e2,2 = M

6 12Change chacune des expressions logarithmiques suivantes en une expression équivalente comportant une ex-ponentielle.

1) log2 8= 3 2) loga 3 = 6 3) log3 2= x

4) log2 M = 1,8 5) logπ x = 1

26) ln4 = x

6 13Trouve la valeur de chacun des logarithmes sans calculatrice

1) log2 1= 2) log5 25 = 3) log31

9= 4) log1/2 16 =

5) log10

p10 = 6) log5

5p25 = 7) logp3 9 = 8) ln

pe =

6 14Écrire chacune des expressions suivantes comme un seul logarithme

a) 3log5 u+4log5 v =b) loga 7+4loga 3=

c)2

3loga 8+ loga (34 −8) =

d) loga x + loga 9+ loga(x2 +1)− loga 5 =

6 15On suppose que ln 2= a et ln 3 = b, en utilisant les propriétés des logarithmes, exprimer chacun des logarithmesen termes de a et b.

1) ln 6 = 2) ln2

3= 3) ln0,5 = 4) ln2e =

5) ln5p

18 = 6) log2 3= 7) ln24 = 8) log0,6 =

6 16A chaque rebond, une « superballe » atteint les 80 % de la hauteur atteinte au rebond précédent.Si on lâche la balle d’une hauteur de 2m,

1. quelle sera la hauteur atteinte par la balle au 1er, au 2e, au 3e, au ne rebond ?

2. à partir de quel rebond cette balle ne dépassera-t-elle plus la hauteur de 10 cm?

6 17Un problème de Nicolas Chuquet (1484)

« Chaque jour on soutire d’un tonneau le dixième de son contenu. Au bout de combien de temps letonneau sera-t-il à moitié vide ? »

6 18On place un capital de 1000 F. au taux annuel de 5 %.

a) Quel est le capital après une année ? Après 2 années (en ayant laissé l’intérêt annuel sur le compte, onparle alors d’intérêts composés) ? Après 3 années ? . . . Après n années ?

b) Généraliser la question précédente avec un capital initial Co placé au taux annuel de t %.

c) On reprend la question a) avec le même taux annuel mais cette fois l’intérêt est capitalisé tous les mois.Quel sera le capital après une année ? Après deux ans ? . . . Après n années ?


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d) On reprend la même question mais avec une capitalisation non plus mensuelle mais journalière (l’annéebancaire compte 360 jours). Quel sera alors le capital après une année ? Après deux ans ? Après n années ?

En capitalisant instantanément l’intérêt on est amené à donner un sens précis à l’expression (1+ λn )n pour

des n arbitrairement grand. On montre alors que l’expression (1+ λn )n s’approche indéfiniment de eλ (où

e ≈ 2,718) lorsque n devient arbitrairement grand.Ce nombre e est de la même " nature " que le nombre π, on dit qu’il est transcendant, car il n’est solutiond’aucune équation algébrique alors que

p2, par exemple, est une des solutions de l’équation x2 −2= 0 .

Remarque

6 19La consommation d’électricité d’un pays double tous les 20 ans.

a) Quel est le taux d’accroissement annuel ?

b) Combien de temps faut-il pour voir cette consommation augmenter de 50 % ?

c) Par combien cette consommation est-elle multipliée après un siècle ? Et après deux siècles ?

6 20La population mondiale a passé le cap du milliard d’êtres humains en 1804, celui du second milliard en 1927,du 3e en 1960, du 4e en 1974, du 5e en 1987 et du 6e en 1999.[A titre d’information les projections montrent qu’en -5000 il y avait environ 5 millions d’êtres humains ; 100millions en -750; 200 millions en 400; 500 millions en 1650]

a) Quel est le taux d’augmentation entre le 2e et le 6e milliard ?

b) Si ce taux était resté constant, quelle aurait été la population mondiale en 1960? 1974? 1987? 1999?

c) Selon la même hypothèse (taux constant), en quelle année le 3e milliard aurait-il été atteint ?

d) Quand le 7e milliard sera-t-il atteint si ce taux se maintient ?

e) Les terres émergées ayant une superficie d’environ 130 millions de km2, à quelle date n’y aura-t-il plusqu’un mètre carré par habitant ?

6 21Une colonie de bactéries se développe au cours du temps t suivant la loi exponentielle :

N : t 7→ No at , où No est le nombre initiale de bactéries

1. Déterminer No et a sachant que la colonie comprend 200 000 bactéries après 3 jours et 1 600 000 après4,5 jours.

2. Quel est le nombre de bactéries au bout de 5 jours ?

3. Après combien de jours la colonie comprend-elle 800 000 bactéries ?

4. Après combien de jours la population de la colonie s’est-elle décuplée ?

6 22Tant qu’il y a de la nourriture, la population d’une culture de bactéries croît proportionnellement à la quantitéde bactéries présentes. Le nombre de bactéries au début de l’expérience est égal à 100 et leur nombre doublechaque heure.

1) Combien y aura-t-il de bactéries deux heures et demie après le début de l’expérience ?

2) Au bout de combien de temps la population sera-t-elle de 100 000 bactéries ?

6 23Dans de l’eau de mer propre la lumière perd 75% de son intensité par mètre de profondeur. À quel profondeurla lumière n’a-t-elle plus que le millième de l’intensité qu’elle a à la surface de l’eau ?

6 24La demie-vie du radium est de 1690 années. Si on a maintenant 10 grammes, combien en restera-t-il dans 100ans ? dans 1 000 ans ?

6 25La population d’une ville suit une loi exponentielle. Si une population a diminuée de 900 000 à 800 000 de 1993à 1995, quelle sera la population en 1997? En quelle année la ville deviendra-t-elle une ville-fantôme ?

6 26La demie-vie du carbone 14 est de 5600 ans. Un fossile contient 70 % de sa quantité normale de carbone 14. Dequand date le fossile ?


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94 6.7. EXERCICES

6 27Faire correspondre chacune des fonctions suivantes à un des graphes

1) f : x 7→ 3x 2) g : x 7→ 3−x 3) h : x 7→ −3x

4) i : x 7→ −3−x 5) j : x 7→ 3x −1 6) k : x 7→ 3x−1

7) l : x 7→ 1−3x 8) m : x 7→ 31−x 9) n : x 7→ −3x −1

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

-2 -1 1 2

-1

1

2

3

6 28Trouve le domaine des fonctions suivantes

1) f : x 7→ ln(3− x) 2) g : x 7→ ln(x2 −1) 3) h : x 7→ log2 x2

4) i : x 7→ log3

(x2

x −1

)5) j : x 7→ 1

ln x6) k : x 7→ log1/2(x2 − x −6)


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6 29

Faire correspondre à chacune des fonctions suivantes le graphe approprié

1) f : x 7→ log3 x 2) g : x 7→ log3(−x) 3) h : x 7→ − log3 x

4) i : x 7→ − log3(−x) 5) j : x 7→ log3 x −1 6) k : x 7→ log3(x −1)

7) l : x 7→ log3(1− x) 8) m : x 7→− log3(1− x) 9) n : x 7→ 1− log3 x

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

Équations logarithmiques et exponentielles8

8 1 Équations logarithmiques

On utilisera la bijectivité du log (avec S, T et a qui sont des réels positifs et a 6= 1) :

si S = T, alors loga S = loga T et si loga S = loga T, alors S = T


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96 6.8. ÉQUATIONS LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLES

a. Équation logarithmique

Résoudre log3(4x −7) = 2

Solution On peut obtenir une solution exacte en passant de l’expression logarithmique à l’expres-sion exponentielle

log3(4x −7) = 2 Contrainte : 4x −7 > 0

log3(4x −7) = log3(9) x > 7

4car il faut exprimer 2 comme un logarithme en base 3 : 2 = log3 32

4x −7 = 9

4x = 16

x = 4

b. Équation logarithmique

Résoudre 2log5 x = log5 9

Solution Comme chaque logarithme est dans la même base, on peut obtenir une solution exactede la manière suivante

2log5 x = log5 9 Contrainte : x > 0

log5 x2 = log5 9

comme le logarithme est bijectif

x2 = 9

x = 3 ou x =−3/////////

(cf. contrainte)

c. Équation logarithmique

Résoudre log4(x +3)+ log4(2− x) = 1

Solution Dans ce cas, il faut exprimer le membre de gauche comme un seul logarithme

log4(x +3)+ log4(2− x) = 1 Contrainte : x +3 > 0 ⇒ x >−3

log4[(x +3)(2− x)] = log4(41) 2− x > 0 ⇒ x < 2

(x +3)(2− x) = 41 ⇒−3 < x < 2

−x2 − x +6 = 4

−x2 − x +2 = 0

x2 + x −2 = 0

(x +2)(x −1) = 0

x =−2 ou x = 1

Exemples

6 30Résoudre

1) log2(2x +1) = 3 2) log3(x2 +1) = 2 3)1

2log3 x = 2log3 2

4) log5(x2 + x +4) = 2 5) 3log2 x =− log2 27 6) 3log2(x −1)+ log2 4= 5

7) log4 x + log4(x −3) = 1 8) log1/3(1−2x)1/2 =−1 9) logx 4= 2

10) 2log3(x)+1 = log3 5

8 2 Équations exponentielles

Ces équations sont résolues en utilisant de manière appropriée la propriété suivante de la fonction exponen-tielle

Si as = at , alors s = t avec a > O, a 6= 1

qui découle du fait qu’elle est bijective.


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a. Équation exponentielle

Résoudre 5x+1 = 625

Solution Puisque 625 = 54, l’équation peut s’écrire

5x+1 = 54

x +1 = 4

x = 3

b. Équation exponentielle

Résoudre e−x2 = (ex )2 · 1e3

Solution On arrange l’équation pour avoir la même base dans chaque membre

e−x2 = e2x ·e−3

e−x2 = e2x−3

on utilise la bijectivité de l’exponentielle

−x2 = 2x −3

x2 +2x −3 = 0

(x +3)(x −1) = 0

x =−3 ou x = 1

c. Équation exponentielle

Résoudre 4x −2x −12 = 0

Solution On remarque que 4x = (22)x = 22x = (2x )2. L’équation peut ainsi se récrire

(2x )2 −2x −12 = 0

on pose y = 2x

y2 − y −12 = 0

(y −4)(y +3) = 0

y = 4 ou y =−3

2x = 4 ou 2x =−3

x = 2 (l’équation 2x =−3 n’a pas de solution car 2x > 0, ∀x).

d. Équation exponentielle

Résoudre 2x = 5

Solution On écrit l’équation exponentielle dans son équivalent logarithmique.

2x = 5

x = log2 5 = ln 5

ln 2(changement de base)

Il existe une méthode alternative (on prend le ln de chaque membre)

2x = 5

ln 2x = ln 5

x · ln 2 = ln 5

x = ln 5

ln 2≈ 2,322

Exemples


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98 6.8. ÉQUATIONS LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLES

e. Équation exponentielle

Résoudre 8 ·3x = 5

Solution

8 ·3x = 5 on isole l’exponentielle

3x = 5

8on poursuit comme dans l’exemple 4

log3x = log3

(5

8

)

= ln(5/8)

ln 3≈−0,428 (changement de base)

f. Équation exponentielle

Résoudre 5x−2 = 33x+2.

Solution Comme la base est différente dans chaque membre, on applique le logarithme naturelsur chaque membre. C’est possible, car le log est bijectif.

ln5x−2 = ln 33x+2

(x −2) ln 5 = (3x +2) ln 3 propriété (4)

x ln 5−2ln 5 = (3ln 3)x +2ln 3

(ln5−3ln 3)x = 2ln 3+2ln 5

x = 2ln 3+2ln 5

ln5−3ln 3≈−3,212

Exemples

6 31Résoudre

1) 22x+1 = 4 2) 51−2x = 1

53) 3x3 = 9x

4) 2x ·8−x = 4x 5) 22x −2x −12 = 0 6) 32x +3x+1 −4= 0

7) 2x = 10 8) 8−x = 1,2 9) 2x+1 = 51−2x

10) ex+3 =πx 11) 5 · (23x ) = 8 12) 500e0,3x = 600


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7Fonctions trigo-nométriques

C H A P I T R E

CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 101

Il existe deux approches généralement admises pour la présentation des fonctions trigonométriques : l’uneutilise les triangles rectangles et l’autre le cercle de rayon 1, appelé aussi le cercle trigonométrique. Nous com-mencerons par la première qui est un peu plus concrète, mais qui se limite aux angles aigus (moins de 90˚).

Le théorème de Thalès (rappel)1

Thalès

Si deux paires de parallèles découpent sur une sécante des segments dans un rapport donné, elles dé-coupent des segments dans le même rapport sur n’importe quelle autre sécante.

Théorème 7 - 1

(sans démonstration)

Hypothèse a1, a2, b1, b2 des droites parallèlesd et d ′ sécantes en A1, A′

1 ; A2, A′2 ; B1, B′

1 ; B2, B′2, respectivement

ConclusionA1A2

B1B2=

A′1A′

2

B′1B′

2

d

d’

a1 a2

b1b2

A1

A2

B1

B2

A′1 A′

2 B′1 B′

2

Les points sur la droite d ′ sont les projections de ceux se trouvant sur la droite d selon la direction donnée parles parallèles a1, a2, b1, b2.Si on procède à l’interversion des moyens dans le rapport ci-dessus, on écrit

A1A2

A′1A′

2

= B1B2

B′1B′

2

En généralisant à plus de points, on obtient une suite de proportions

A1A2

A′1A′

2

= A2B1

A′2B′

1

= B1B2

B′1B′

2

= A1B1

A′1B′

1

= . . .

Si r est la valeur du rapportA′

1A′2

A1A2, alors

A′1A′

2 = r ·A1A2

projeté = r ·segment

1 1 Configurations de Thalès

Elles sont constituées de deux triangles formés par deux droites sécantes ((AE) et (AD)) coupées par une pairede droites parallèles ((BC) et (ED)).


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102 7.2. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

b

B

bD

b

E

bC

b

A

b

Ab

B

bC

b

D

bE

On a les égalités de rapports suivants :AB

AD= AC

AE= BC

DECe dernier rapport s’obtient en appliquant Thalès à la figure modifiée obtenue en tirant une parallèle à (AD)passant par C.

Les parallèles sont (AD) et (CL) et elles coupent les sécantes (AE)et (ED). Le théorème de Thalès permet d’écrire les rapports ce quinous permet d’écrire les rapports

AC

AE= DL

DE

puisque BC = DL, on aAC

AE= BC

DEb

Ab

B

bC

b

D

bE

L

Les fonctions trigonométriques2

On applique Thalès à la figure ci-contre où par projection orthogonale B et B′ sont respectivement projetés surC et C′. Par interversion des moyens on obtient à chaque fois les seconds rapports.

AB

AB′ =AC

AC′ =⇒AB

AC= AB′

AC′

BC

B′C′ =AC

AC′ =⇒BC

AC= B′C′

AC′

BC

B′C′ =AB

AB′ =⇒BC

AB= B′C′

AB′b

AAb

BB

bCC

b

B′B′

bC′C′

b

B′′B′′

bC′′C′′

bc

α

Ces rapports ne dépendent pas du choix de B, mais seulement de α. Par exemple, la valeur du rapport ABAC se

présente ainsi sous forme d’une dépendance fonctionnelle

α 7→ AB

AC

En l’occurrence, cette fonction est appelé le cosinus.

cos : α 7→ AB

AC

On pose

cos(α) = AB

ACsin(α) = BC

ACtan(α) = BC

AB


C

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On écrira souvent, pour simplifier l’écriture

cosα, sinα, tanα au lieu de cos(α), sin(α), tan(α)

Ou, selon le dessin ci-dessous

bAA

b

BB

bCC

c

ab

α

γ sinα= a

b

cosα= c

b

tanα= a

c

D’oùa = b ·sinα et c = b ·cosα

Par le théorème de Pythagore

b2 = a2 +c2 = b2 · (sinα)2 +b2 · (cosα)2 = b2 ·((sinα)2 + (cosα)2)

Donc,(sinα)2 + (cosα)2 = 1

ou, dans une écriture plus courante

sin2α+cos2α= 1

On a aussi

tanα= a

c= b ·sinα

b ·cosα= sinα

cosαc’est-à-dire tanα= sinα

cosα

et encore

sinα= a

b= cosγ= cos(90o −α) donc sinα= cos(90o −α) et cosα= sin(90o −α)

Ces définitions des fonctions trigonométriques à partir des rapports sur les côtés d’un triangle rectangle, nesont valables que pour les angles aigus. En d’autres termes, le cosinus et le sinus sont des fonctions dont ledomaine est ]0, 90[ et les valeurs de ces fonctions sont toujours

— inférieures à 1 :a

b< 1 et

c

b< 1 puisque la longueur de l’hypoténuse b est supérieure à a ou à c

— supérieures à 0 : car quotient de 2 valeurs positives.

On peut étendre la définition à l’angle de valeur 0. Dans ce cas a = 0 et b = c, donc le sin 0 = 0b= 0 et le cos 0 =

cc = 1. De manière semblable, nous pouvons trouver que sin 900 = 1 et cos 900 = 0.

Il est toutefois possible d’étendre la définition de ces fonctions au-delà de ce domaine par une nouvelle défini-tion dont voici une première présentation.

La généralisation à tous les angles est donnée grâceau cercle trigonométrique. Si b = 1, les variationsde l’angle α font décrire à C un cercle de rayon 1.Le cosinus et le sinus de α (qui est une mesure de

l’angle orienté (−→OI,

−→OC)) sont les coordonnées de C

dans le repère (OIJ).

Pour les angles aigus (0 ≤ α ≤ 90), cette définitionest compatible avec l’ancienne. En effet,

cos(α)= x

OC= x

1= x=cos(α)

sin(α) = y

OC= y

1= y = sin(α)

ancienne

définition

nouvelle

définition

Il est à remarquer que ces fonctions dont le do-maine est désormais R, ne sont pas bijective.

C′

I(1; 0)

J(0; 1)

α

C(

cos(α) ; sin(α))

y = sin(α)

x = cos(α)O

Ainsi, on voit que les deux points C et C′ ont la même ordonnée, on en conclut que sin(α) = sin (180o −α). Cequi signifie que sin−1(y) n’est pas défini de manière univoque : sin−1(y)=α ou sin−1(y)= 180o −α.


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104 7.3. RÉSOLUTION DE TRIANGLES

Résolution de triangles3

« Résoudre un triangle », c’est calculer les grandeurs inconnues (côtés, angles, périmètre, aire) à partir de cer-taines données.Pour désigner les différentes grandeurs et éléments d’un triangles, on respectera la notation suivante :

bAA

bBB

bCC

c

a

b

α

β

γ

3 1 Résolution de triangles rectangles

Si le triangle est rectangle, la résolution est plutôt simple. Les relations utilisées sont :

1° le théorème de Pythagore

2° les rapports trigonométriques du triangle rectangle

cosinus = côté adjacent

hypoténusesinus = côté opposé

hypoténusetangente = côté opposé

côté adjacent

3 2 Résolution de triangles quelconques

Un triangle est entièrement déterminé en donnant 3 de ses grandeurs comme dans les trois situations clas-siques suivantes :

— les longueurs des trois côtés sont données ;

— deux côtés et l’angle compris entre eux sont donnés ;

— un côté et les deux angles adjacents sont donnés.

bAA

bBB

bCC

c

ab

bAA

bBB

bCC

c

b

αb

AA

bBB

bCC

cα

β

Dans chacun de ces cas, le triangle est déterminé de manière unique conformément aux théorèmes d’isomé-trie des triangles (cf. cours de 1re). Par contre, un angle et deux côtés dont l’un n’est pas adjacent à l’angle nedétermine pas un triangle unique. Dans ce cas, il y a en effet deux possibilités.

Par exemple, si on se donnel’angle α, la longueur du côté[AB] et celle du côté [BC], nousne sommes pas dans un des 3cas d’isométrie des triangles. Laconstruction du triangle laissealors apparaître deux possibili-tés lorsque après avoir dessiné lecôté [AB] et l’angle α, l’on veutdessiner le côté [BC]

bAA

b BB

cα

bAA

b BB

bCC

c

b

bC′

α

Dans l’exercice 1, les deux possibilités apparaîtront dans le calcul au moment de l’utilisation du théorème dusinus (page suivante) : pour trouver l’angle γ, nous serons amené à calculer un sin−1(...), ce qui laisse la porteouverte à deux possibilités comme nous l’avons vu plus haut. Mais d’abord, voyons les deux outils indispen-sables pour résoudre les triangles quelconques.


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3 2 a Théorème du cosinus

a2 = b2 +c2 −2bc ·cosα

Remarque :

1° la formule est valable par permutation des lettres désignant les côtés ;

b2 = a2 +c2 −2ac ·cosβ c2 = a2 +b2 −2ab ·cosγ

2° si le triangle est rectangle en A, cosα= 0 et l’égalité du théorème du cosinus se réduit à a2 = b2 + c2 : onretrouve le théorème de Pythagore.

Démonstration

Hypothèse △ABC un triangle

Conclusion a2 = b2 +c2 −2bc ·cosα

Raisonnnement (dans le cas où α est aigu ; en exercice, rédiger une preuve analogue pour α obtus)

bAA

bBB

bCC

c

ab

b

αx

a2 = h2 + (c − x)2

= h2 +c2 −2cx + x2

mais h2 = b2 − x2

donc a2 = b2 − x2 +c2 −2cx + x2

comme cosα= x

bc.à.d. x = b ·cosα

on obtient ainsi bien, après substitution de x : a2 = b2 +c2 −2bc ·cosα.

3 2 b Théorème du sinus

sinα

a= sinβ

b= sinγ

c= 1

2r

r désigne le rayon du cercle circonscrit au triangle.

Démonstration

sinα= h

bet sinβ= h

a

d’où h = b ·sinα et h = a ·sinβ

donc b ·sinα= a ·sinβ

ou encoresinα

a= sinβ

betc. ...

3 2 c Aire du triangle

On peut montrer que l’aire d’un triangle quelconque est donnée par la formule :

aire triangle= 1

2bc ·sinα= 1

2ac ·sinβ= 1

2ab ·sinγ


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106 7.3. RÉSOLUTION DE TRIANGLES

7 1Calcule les dimensions manquantes :

a

b

c c

a

ag

b

b

ac

a

c

ab

a

(triangle isocèle)

a = 8 cm

a = 40o

c = 11 cm

a = 32o

c = 4,8 cma = 5 cmb = 7,5 cmc = 11 cm

a = 6 cmb = 8,5 cm

g = 110o

a = 35o

b = 70o

c = 9 cma = 52o

b = 6,8 cm

b

a

a

a = 7 cmb = 8,5 cm

a = 55o

c

c = 5,6 cma = 4,8 cm

a

b

ab

a = 35o

b = 70o

b = 9 cm

a

a = 9,5 cmc = 7 cm

c

a

c = 8 cm

a = 70o

g = 45o

c

g

h

(triangle équilatérale)

h = 6 cm


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Correction de l’exercice

1) Triangle avec a = 5 cm, b = 7,5 cm, c = 11 cm

Valeur pour α : On utilise a2 = b2 +c2 −2bc cosα et on trouve α≈ 22,67o .

Valeur pour β : On utilisesinα

a= sinβ

bpour trouver β≈ 35,32o (autre possibilité 180o −35,32o = 144,68o )

Valeur pour γ : γ≈ 180o − (22,67o +35,32o ) = 122,01o

2) Triangle avec α= 32o , c = 4,8 cm

Valeur pour β : β= 90o −32o = 58o .

Valeur pour a : sinα= a

cd’où a = c ·sinα≈ 2,54cm

Valeur pour b : On utilise Pythagore a2 +b2 = c2 et on trouve b ≈ 4,07 cm

3) Triangle avec a = 8 cm, α= 40o , c = 11 cm

Valeur pour γ : On utilisesinα

a= sinγ

cpour trouver γ≈ 62.11o (autre possibilité 180o −62,11o = 117,89o )

Valeur pour β : β≈ 180o − (40o +62.11o ) = 77,89o ou 180o − (40o +117.89o ) = 22,11o

Valeur pour b : On utilisesinα

a= sinβ

bet on trouve b ≈ 12,17 cm ou 4,69 cm

4) Triangle avec a = 6 cm, b = 8,5 cm, γ= 110o

Valeur pour c : On utilise c2 = a2 +b2 −2ab cosγ et on trouve c ≈ 11,96 cm.

Valeur pour α : On utilisesinα

a= sinγ

cpour trouverα≈ 28,12o (la valeur 180o−28,12o = 151,88o est exclue,

car la somme des angles dépasse 180°)

Valeur pour β : β= 180o − (110o +28,12o ) ≈ 41.88o .

5) Triangle avec α= 35o , β= 70o et c = 9 cm

Valeur pour γ : γ= 180o − (35o +70o ) = 75o .

Valeur pour a : On utilisesinα

a= sinγ

cpour trouver a ≈ 5,34 cm

Valeur pour b : On utilisesinβ

b= sinγ

cpour trouver b ≈ 8.75 cm

6) Triangle avec α= 52o , b = c = 6,8 cm (triangle isocèle)

Valeur pour β et γ : γ= β= (180o −52o ) : 2 = 64o .


a= sinγ


7) Triangle avec α= 35o , β= 70o et b = 9 cm

Valeur pour γ : γ= 180o − (35o +70o ) = 75o .


a= sinβ

bpour trouver a ≈ 5,49 cm

Valeur pour c : On utilisesinβ

b= sinγ

cpour trouver c ≈ 9,25 cm

8) Triangle avec α= 60o , β= 60o , γ= 60o et h = 6 cm

Valeur pour a : On utilise Pythagore a2 =( a

2

)2+62 et on trouve a = 12p

3= 4 ·

p3 ≈ 6,93 cm


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108 7.4. LES ANGLES

9) Triangle avec α= 55o , a = 7 cm et b = 8,5 cm.

Valeur pour β : On utilisesinα

a= sinβ

bpour trouver β≈ 84,09o ou β≈ 95,91o (les deux sont possibles)

Valeur pour γ : γ≈ 180o − (55o +84,09o ) = 40,91o ou γ≈ 180o − (55o +95,91o ) = 29,09o

Valeur pour c : On utilisesinα

a= sinγ

cpour trouver c ≈ 5,6 cm ou c ≈ 4,15 cm

10) Triangle avec a = 9,5 cm, c = 7 cm

Valeur pour b : On utilise Pythagore a2 +c2 = b2 et on trouve b ≈ 11,8 cm

Valeur pour γ : On utilise sinγ= c

bet on trouve γ≈ 36,39o

Valeur pour α : sinα= a

bet on trouve α≈ 53,62o

11) Triangle avec α= 70o , γ= 45o et c = 8 cm

Valeur pour β : β= 180o − (45o +70o ) = 65o .


a= sinγ


Valeur pour b : On utilisesinβ

b= sinγ

cpour trouver b ≈ 10,25 cm

12) Triangle avec a = 4,8 cm, c = 5,6 cm

Valeur pour b : On utilise Pythagore a2 +b2 = c2 et on trouve b ≈ 2,88 cm

Valeur pour α : On utilise sinα = a

cet on trouve α ≈ 59o . On peut aussi utiliser cosα = b

cet on trouve

α≈ 59,05o .

Valeur pour β : sinβ= b

cet on trouve α≈ 30,95o

Les angles4

En géométrie, un angle est défini comme l’ensemble des points déterminés par deux rayons, ou demi-droites,d1 et d2, qui ont la même extrémité O. Si A et B sont des points sur d1 et d2,comme ci-contre, nous faisons référence à l’angle AOB (noté ∠AOB ou �AOB). Unangle peut également être considéré comme deux segments de droites avec uneextrémité commune. θ A

B

d1

d2

En trigonométrie, un angle est défini par la rotation autour du sommet O qui est nécessaire pour amener lerayon d1 sur d2. Il n’y a aucune limite de sens ni de nombre de rotations. Nous pouvons laisser d1 effectuer plu-sieurs rotations autour de O dans un sens quelconque avant de se confondre avec d2. Ainsi, plusieurs anglesdifférents ont le même côté initial et le même côté final, ou autrement dit, plusieurs angles au sens trigonomé-trique correspondent au même angle au sens géométrique habituel. Nous dirons simplement qu’un angle (ausens géométrique) a plusieurs mesures (au sens trigonométrique).

Si nous introduisons un système de coordonnées rectangulaires, la position standard d’un angle s’obtient enplaçant le sommet à l’origine et en faisant coïncider le côté initial d1 avec la partie positive de l’axe des x. Sid1 tourne en sens inverse des aiguilles d’une montre jusqu’à la position finale d2, l’angle est considéré commepositif. Si d1 tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, l’angle est négatif. Nous parlons alors d’angleorienté.Dans l’exemple qui suit, un même angle est donné par différentes mesures ; l’une d’entre elles est définiecomme la mesure principale : c’est celle qui appartient à l’intervalle ]−π ; π] (ou ]− 180o ; 180o ]), à savoir,dans notre exemple, π

3 (ou 60o). Généralement, si l’on mesure un angle en radians, on n’indique aucune unité.

θ= 60o

x

y

420o

x

y

780o

x

y

−300o

x

y

−660o

x

y


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4 1 Unités pour la mesure d’un angle

Les angles sont généralement mesurés en degrés (noté °), en radians (noté rad ou sans unité) ou, parfois, engradians (noté grad).L’utilisation des degrés remontent aux Babyloniens dont le système numérique était sexagésimal (base 60). Les360o sont vraisemblablement liés à l’année babylonienne, composée de 360 jours.Une unité de mesure plus intéressante d’un point de vue mathématique est le radian (cf. page suivante). Il a lapropriété que la longueur L d’un arc sur un cercle est donnée par l’angle en radians θ multiplié par le rayon r

du cercle (c’est aussi la mesure d’angle la plus utile en analyse). Une révolution complète vaut ainsi 2π rad, carle périmètre P d’un cercle vaut 2πr .

L = θr P = 2πr 2π rad= 360o

4 2 Conversions d’unités angulaires

Les mesures d’angles en degrés ou en radians sont proportionnelles. Il est ainsi possible pour faire la conver-sion d’établir un tableau de proportionalités.

angles

en degrés 360 180 90 60 45 30 α

en radians 2π ππ

2

π

3

π

4

π

6x

Nous en tirons la proportion180

π= α

xd’où x = π

180α

Un angle droit est la moitié d’un angle plat et vaut 90o ou π2 . Le tableau ci-dessous contient les définitions

d’autres types d’angles particuliers.

Terminologie Définition Exemples

angle aigu α 0o <α< 90o 15o ; 49o

x 0< x < π2 1 ; π

4

angle obtus α 90o <α< 180o 95o ; 149o

x π2 < x < π 2 ; 2π

3

angles complémentaires α, β α+β= 90o 30o et 60o ; 75o et 15o

x et y x + y = π2

π3 et π

6

angles supplémentaires α, β α+β= 180o 120o et 60o ; 75o et 105o

x et y x + y = π π3 et 2π

3

Afin que certaines valeurs d’angle en radian puissent mieux être mémorisées, voici un triangle rectangle isocèleet un triangle équilatéral dont les angles sont bien connus en degré.

π

2 π

4

π

4

π

2

π

3

π

6

4 3 Angle au centre et arc intercepté

Nous savons que dans un cercle de rayon r l’angle au centre θ et la longueur de l’arc L intercepté par cet angle,sont proportionnels.

angle au centre (degrés) θ 360o

longueur de l’arc intercepté L 2πr

angle au centre (radians) θ 2π

longueur de l’arc intercepté L 2πr


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110 7.4. LES ANGLES

De chacun de ces tableaux, on tire respectivement,

θ

L= 360

2πr

θ

L= 2π

2πr

L= πr

180θ L= θr

Nous retrouvons la formule précité sur la longueur d’un arc de cercle. Pour fixer définitivement les choses, voicila définition d’un radian.

Un radian est la mesure d’un angle aucentre d’un cercle qui intercepte un arc delongueur égale au rayon du cercle.

On remarque qu’on peut mettre le rayonplus de 6 fois sur le pourtour du cercle (enfait exactement 2π≈ 6,28 fois).

θ= 1

A

B

r

r

θ= 1r

r

1

r

1

r1

r

1

r

1≈ 0,28rDéfinition 7 - 1

Cette définition nous donne immédiatement le résultat utilisé pour faire la conversion des degrés en radians ettrouver la formule exprimant la longueur d’un arc. En effet, si 1 rad est l’angle qui intercepte un arc de longueurr (rayon du cercle), sachant que le périmètre du cercle vaut 2πr , une révolution complète correspond à un anglede 2π.

Nous allons encore extraire un dernier résultat de cette définition. Dans un disque, l’angle au centre θ est pro-portionnel à l’aire A du secteur intercepté par cet angle. Cela permet de poser la proportion

θ

A= 2π

πr 2

θ

A= 2

r 2

A = r 2

2θ

θ

2θ

A = r 2

2 θ

A = r 2θ

4 4 Exercices résolus

a. Conversion de radians en degrés, minutes et secondes

Si θ= 3, donner une valeur approchée de θ en degrés, minutes et secondes.

Solution

3 radians= 3 ·(

180o

π

)conversion

≈ 171,8873o arrondir

= 171o +0,8873 ·60′ 1o = 60′

= 171o +53,238′

= 171o +53′+0,238 ·60′′ 1′ = 60′′

= 171o 53′+14,28′′

≈ 171o 53′ 14′′

b. Conversion de degrés, minutes et secondes en degrés décimaux

Exprimer 23o 17′ 43′′ sous forme décimale, au dix-millième de degré près.

Solution On utilise que 1′ =(

1

60

)o

et 1′′ =(

1

60

)′=

(1

3600

)o

23o 17′ 43′′ = 23o +(

17

60

)o

+(

43

3600

)o

≈ 23o +0,2833o +0,0119o = 23,2952o

Exemples


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c. Utilisation des formules de longueur d’un arc de cercle et d’aire du secteur

Un angle au centre θ intercepte un arc de longueur 10 centimètres sur un cercle de rayon 4 centi-mètres.

(a) Donner une valeur approchée de θ en degrés.

(b) Trouver l’aire du secteur circulaire déterminé par θ.

Solution

(a) L = θr formule de la longueur d’un arc

θ= L

r

= 10

4= 2,5 angle en radians !

Et on convertit en degrés en utilisant la proportion 180o

π = θ2,5 . On trouve queθ= 180o

π ·2,5 ≈143,24o .

(b) A= r 2

2θ formule de l’aire d’un secteur circulaire

= 1

2·42 ·2,5 angle en radians !

= 20 cm2

Exemples

Exercices5

7 2Si l’angle donné est en position standard, trouver d’autres mesures de ce même angle (2 positives et 2 néga-tives).

(a) 120o (b) −135o (c) 210o (d) −315o

(e) 620o (f)5π

6(g) −π

4(h) −11π

4

7 3Trouver l’angle qui est le complémentaire de α .(a) α= 5o 17′ 34′′ (b) α= 32,5o

7 4Trouver la valeur exacte de l’angle en radians.(a) 150o (b) −60o (c) 225o

7 5Trouver la valeur exacte de l’angle en degrés.

(a)2π

3(b)

11π

6(c)

3π

4

7 6Exprimer l’angle sous forme décimale, en arrondissant au dix-millième de degré près.(a) 37o 41′ (b) 83o 17′ (c) 258o 39′ 52′′

7 7Exprimer l’angle en degrés, minutes et secondes, en arrondissant à la seconde.(a) 63,169o (b) 12,864o (c) 310,6215o

7 8Les angles suivants sont exprimés en radian. Les convertir en degré.

3π

4,

2π

3,

5π

6, 1 ,

7π

6, 15,6


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112 7.5. EXERCICES

7 9Convertir en radian :

36o , 345o , 15o , 210o , 540o , 72o

7 10Le triangle ABC est équilatéral de centre O.Évaluer en radian les angles �AOB, �AMB et�BMC.

A

B

MC

O

7 11Dans un triangle d’angle α, β et γ, on a

α= π

5rad et β= 2π

5rad

Quelle est la nature de ce triangle ?

7 12Si un arc de cercle de longueur L donnée sous-tend un angle au centre θ sur un cercle, trouver le rayon de cecercle.(a) L = 10 cm, θ= 4 (b) L = 3 km, θ= 20o

7 13(a) Trouver la longueur de l’arc du secteur ombré dans la figure ci-dessous. (b) Trouver l’aire du secteur.

45o

r = 8 cm

120o

r = 9 cm

7 14(a) Trouver la valeur en radians et en degrés de l’angle au centre θ qui intercepte l’arc donné de longueur L surun cercle de rayon r . (b) Trouver l’aire du secteur déterminé par θ.(1) L = 7 cm, r = 4 cm (2) L = 90 cm, r = 50 cm

7 15Mesure de distances sur terreLa distance entre deux points A et B sur terre semesure le long d’un cercle dont le centre C est aucentre de la terre et dont le rayon est égal à la dis-tance de C à la surface (voir la figure). Si le diamètrede la terre est approximativement de 12’800 km,calculer la distance entre A et B si l’angle ACB a lavaleur indiquée :(a) 60o (b) 10o

Mesure d’angles en utilisant la distanceSi deux points A et B sont éloignés de 800 km, ex-primer l’angle ACB en radians et en degrés.

A

B

C

7 16Une roue type pour une petite voiture a un diamètre de 56 cm. Si le véhicule se déplace à une vitesse de 96km/h, calculer le nombre de tours que la roue fait par minute.


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Projection d’un escalier tournant (hélice)6

On peut se faire une image assez bonne de la projection d’une hélice en visualisant de face ou de dessus unescalier tournant (en colimaçon).

1

2

3

4

5

678

9

10

11

12

13

14

15 16

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

17

18

19

20

21

16

Dessin de Dürer, tiré de Underweysung der

Messung, 1525.

La vue de dessus d’une hélice est un cercle et de face une ... sinusoïde.

L’escalier tournant montre bien que lorsqu’on par-court l’hélice, chaque fois qu’on tourne d’un mêmeangle (dans ce cas, on passe d’une marche à la sui-vante en tournant de 22,5°= 360 : 16), on monted’une même hauteur. En respectant ce principe, onpeut construire l’hélice « marche par marche ».

Ce principe est à l’œuvre dans toute hélice. Si onprend un boulon, par exemple, à chaque tour dufilet, on parcourt la même distance dans l’axe ducylindre.

6 1 Réalisation pratique d’une hélice

On dessine sur une feuille transparente rectangulaire une diagonale. Pour simplifier au plus les choses, onprendra même plutôt un transparent carré. On enroule ensuite le papier en accolant deux côtés parallèles.


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114 7.6. PROJECTION D’UN ESCALIER TOURNANT (HÉLICE)

A

M M '

A '

M M '

A A '

On suppose ensuite que le cylindre soit posé surune table dans la position suggérée par le dessin ci-contre. Il s’agit maintenant de construire la projec-tion orthogonale de l’hélice sur un plan horizontalet sur un plan vertical.

Après enroulement le côté du carré devient le cercle de la base du cylindre. Si le côté vaut 12 cm, le rayon ducercle mesure 12

2π ≈ 1,91 cm.

La vue de dessus de l’hélice (projection horizontale de l’hélice) se confond avec celle du cylindre : c’est uncercle de rayon 12

2π cm.

Afin de réaliser la projection verticale, on marque 12points, de 30°en 30 °, sur le cercle de la projection ho-rizontale. On appellera ces points A, B, C, etc. Que sepasse-t-il lorsqu’on passe d’un point au suivant immé-diat : on tourne de 30°, on avance de 1 cm sur le cercle(puisque son périmètre est égal au côté du carré valant12 cm) et on monte de 1cm.

Pour bien s’en rendrecompte, il faut imagi-ner le déplacement surla diagonale du carréqui devient l’hélice dansle cylindre. AA′ mesure12 cm et correspond aucercle partagé en 12. Sil’on avance sur la diago-nale de telle sorte quesur la projection hori-zontale, on avance de1 cm, alors on monteraaussi de 1 cm.

1 c m

1cm AA

MM

’

’

Ces considérations permettent de déterminer le corres-pondant A′, B′, C′, etc. de chacun des points A, B, C, etc.sur la vue verticale. On place ainsi les douze points et ondessine au mieux la courbe qui les relie.

1 cm

1 cm

1 cm

A

A

B

B

C

D

E

’

’


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Approche analytique de la projection d’une hélice7

Après avoir construit la projection verticale d’une hélice, il est temps de trouver l’expression analytique de lacourbe obtenue. Cela signifie qu’on va rechercher l’équation qui relie les coordonnées x et y de chaque point(x ; y) de la courbe obtenue. Il faudra ainsi choisir un système d’axes et des unités appropriées.

Afin de se faire une certaine idée de l’expression analytique recherchée, on fait subir à la projection verticaleprécédemment obtenue une rotation de 90°et on place les axes de coordonnées, avec l’origine au départ de lacourbe, en A′.

=

1 c m

1 cm

1 c m

A

A

BB

CC

DD

EE

F F

G G

H H

I I

J J

K K

L L

M

M ’

’

’’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

α

x

y

On se rappelle aussi du cercle trigonométrique qui a permis de définir les fonctions sinus et cosinus pour toutnombre réel.

α

x

y

A

T

r

sin(α)

1

1

r ·sin(α)

Les coordonnées du point A repéré par l’angle α

sont (cos(α) ;sin(α)). Le point T, quant à lui, a lescoordonnées (r ·cos(α) ;r ·sin(α)) (on applique Tha-lès).

Le cercle de la projection horizontale de l’hélicea un rayon différent de 1. Un moyen de trouverl’équation de la courbe représentant la projectionverticale de l’hélice est de choisir comme unité lavaleur du rayon.De cette manière, les ordonnées des points A′, B′,etc. s’expriment simplement comme des sinus del’angle. On va le voir en détail.

Si l’unité retenue sur l’axe des abscisse est le rayon r , alors, étant donné que la distance AM est égale à la lon-gueur du cercle (2πr ), l’abscisse de M est égale à 2π. Les abscisses des autres points s’obtiennent par division.Les ordonnées des points de la courbe s’obtiennent comme le sinus d’un angle x. En principe, si l’unité étaitde 1, ces ordonnées vaudraient r ·sin x, mais avec le choix d’unité égale au rayon, ces ordonnées valent sin x.

α x

x

y

AA Mπ2

π


C

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116 7.7. APPROCHE ANALYTIQUE DE LA PROJECTION D’UNE HÉLICE

On peut en calculer quelques valeurs pour des x entre 0 et π2 .

si x = 0, y =sin 0° = 0

si x = π

6, y =sin 30° = 1

2

si x = π

3, y =sin 60° =

√3

2

si x = π

2, y =sin 90° = 1

Pour avoir une relation directe entre x et y , on observe qu’il suffit de remplacer la mesure des angles en degréspar celle en radians. En effet,

sin 0° =sin 0 rappel : sans unité, les angles sont en radians

sin 30° =sinπ

6

sin 60° =sinπ

3

sin 90° =sinπ

2

Comme on a choisi comme unité le rayon r et que la longueur du cercle vaut 2πr et est égale à AM, on reconnaîtune propriété du radian, à savoir qu’un angle de 1 radian intercepte sur le cercle un arc de longueur égale aurayon. On a ainsi une identité entre la mesure des angles et les abscisses x.

1

1

r

rx

y

AA Mπ2

π

7 1 Fonction sinus

-

π12

π12

π6

π6

π4

π4

π3

π3

5π12

5π12

π2

π2

− π12

− π12−π

6−π

6

−π4

−π4

−π3

−π3

− 5π12

− 5π12

−π2

−π2

1

1 1

0,50,5

0

0

−0,5

Si on poursuit la construction de la courbe au-delà de π2 et −π

2 jusqu’à respectivement π et −π, on obtient lacourbe pour un tour complet du cercle. Si on insiste en poursuivant avec des angles dépassant ces valeurs, la


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courbe se reproduit à l’identique. C’est pourquoi l’on dit que le sinus est une fonction périodique de période2π.

-

π2

π−π2−π

1

1

0,5

−0,5

0

Une fonction f est dite périodique s’il existe un nombre réel positif p tel que

f (t +p) = f (t)

quel que soit t dans le domaine de définition de f . Le plus petit nombre réel positif p, s’il existe, est lapériode de f .

Définition 7 - 2

7 17La période de la fonction sinus est donc de 2π.

1. Quelle est la période des fonctions

f : x 7→ sin(2x) g : x 7→ sin( x

3

)

h : x 7→ 3sin(x) i : x 7→ sin(5x −3)

☞ Comme point de départ, tracer la fonction x 7→ sin(x) à partir de quelques points bien choisis aprèsavoir compléter le tableau en vous aidant du cercle trigonométrique.

−1

1

π2

x

b (cos(x),sin(x))x

x 0 π4

π2

3π4 π 5π

43π2

7π4 2π

sin(x)

sin(2x)

2. Trouver une règle générale pour la période de f (x) = sin(a ·x).

3. Justifier cette règle algébriquement : f (x +p) = sin(a · (x +p))= . . .


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118 7.7. APPROCHE ANALYTIQUE DE LA PROJECTION D’UNE HÉLICE

7 2 Fonction cosinus

π12

π12

π6

π6

π4

π4

π3

π3

5π12

5π12

π2

π2

1

1

0,5

0,5

0

0

Pour trouver le graphique de lafonction cosinus, il faut faire untravail semblable, mais en consi-dérant cette fois les abscisses despoints sur le cercle, car c’est ainsiqu’est défini le cosinus.

Si on poursuit la construction dela courbe au-delà de π

2 et −π2 jus-

qu’à respectivement π et −π, onobtient la courbe pour un tourcomplet du cercle. Si on insisteen poursuivant avec des anglesdépassant ces valeurs, la courbese reproduit à l’identique. C’estpourquoi l’on dit que le cosinusest une fonction périodique depériode 2π.

-

π2

π−π2−π

1

1

0,5

−0,5

0


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Quelques propriétés remarquables des fonctionstrigonométriques8

Nous allons d’abord montrer la cohérence des définitions du cos x et du sin x avec les rapports trigonométriques

connus dans le triangle rectangle où les valeurs pour x (l’angle) sont comprises entre 0 et π2 .

O cos(x)

sin(x) M

x

I(1 ; 0)

J(0 ; 1)

Définition du sinus et du cosinus dans le cercletrigonométrique

C

S M

x

I(1 ; 0)

J(0 ; 1)

Trigonométrie « ordinaire » dans le triangle OCM

Par comparaison, on voit que cos x = OC et sin x = OS. Avec la trigonométrie « ordinaire » dans le triangle OCM,on obtient :

cos �IOM = OC

OM= cos x

1= cos x

cos �IOM = MC

OM= sin x

1= sin x

On en conclut, heureusement :

Pour x ∈]0 ; π2 [, cos x et sin x sont les cosinus et sinus de l’angle aigu géométrique �IOM

Ceci permet de calculer quelques valeurs remarquables.

8 1 Valeurs remarquables du sinus et du cosinus

Un triangle rectangle isocèle et un triangle équilatéral ont des angles particuliers. En calculant les rapportstrigonométriques, on trouve les valeurs suivantes

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

cos x 1

p3

2

p2

2

1

20

sin x 01

2

p2

2

p3

21

tan x 0

p3

31

p3 ? ?

Ces valeurs se trouvent de la manière suivante :


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120 7.8. QUELQUES PROPRIÉTÉS REMARQUABLES DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

π

2 π

4

π

4

c

c

p2c

sinπ

4= cp

2c= 1p

2=

p2

2

cosπ

4= cp

2c= 1p

2=

p2

2

tanπ

4= c

c= 1

π

2

π

3

π

6

c

c ch

On cherche d’abord h :

h =√

c2 −( c

2

)2

=√

4

4c2 − 1

4c2

=√

3

4c2

=p

3

2c

sinπ

3=

p3

2c

c=

p3

2

cosπ

3=

c

2c= 1

2

tanπ

3=

p3

2c

c2

=p

3

sinπ

6=

c

2c= 1

2

cosπ

6=

p3

2c

c=

p3

2

tanπ

6=

c2p3

2c

= 1p3=

p3

3

Remarque Puisque les angles π3 et π

6 sont complémentaires, il est normal qu’on ait trouvé

sinπ

3= cos

π

6

sinπ

6= cos

π

3

8 2 Propriétés élémentaires

Les valeurs du sinus et du cosinus respectent les inégalités

−1 ≤ cos x ≤ 1

−1 ≤ sin x ≤ 1

La périodicité du sinus et du cosinus permet d’écrire pour tout réel x et tout entier relatif k

cos(x +2kπ) = cos x

sin(x +2kπ) = sin x

Grâce à Pythagore, on vérifie aisément

(cos(x))2 + (sin(x))2 = 1 ou , autrement écrit, cos2 x + sin2 x = 1

Les signes du cosinus et du sinus sont

OI

Jcos x ≥ 0

sin x ≥ 0

cos x ≤ 0

sin x ≥ 0

cos x ≤ 0

sin x ≤ 0

cos x ≥ 0

sin x ≤ 0


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8 3 Angles complémentaires

Deux points du cercle associés à deux angles com-plémentaires sont symétriques par rapport à ladroite d d’équation y = x. Pour cette raison, leurcoordonnées sont « échangées ». Si la coordonnéesd’un point est (a , b), l’autre a pour coordonnées(b , a). On a ainsi

cos(π

2− x

)= sin x

sin(π

2− x

)= cos x

d : y = x

OI

J

xM(cos x, sin x)

π2 − x

M′(cos(π/2− x), sin(π/2− x))

8 4 Angles associés

En lisant attentivement le cercle trigonométrique, on trouve les résultats

I

J

xM

M(cos x, sin x)

π− xM1

M1(cos(π− x), sin(π− x))

cos(π− x) =−cos x

sin(π− x) = sin x

π+ xM2

M2(cos(π+ x), sin(π+ x))

cos(π+ x) =−cos x

sin(π+ x) =−sin x

−xM3

M3(cos(−x), sin(−x))

cos(−x) = cos x

sin(−x) =−sin x

8 5 Sinus et arcsinus, cosinus et arccos sur la calculatrice

On sait maintenant que ces fonctions ne sont pas bijectives de R dans R. Par contre, il est toujours possible derestreindre les ensembles de départ et d’arrivée pour qu’elles le soient de sorte à pouvoir définir leur réciproquerespective.

−1

1

π4

2π4

3π4 π 5π

46π4

−π4

−2π4

sin : [−π/2,π/2] → [−1,+1]

arcsin : [−1,+1] → [−π/2,π/2]

−1

1

π4

2π4

3π4 π 5π

46π4

−π4

cos : [0,π] → [−1,+1]

arccos : [−1,+1] → [0,π]

Le choix fait dans les deux figures ci-dessus correspond à celui effectué sur toutes les calculatrices. Il faut êtreconscient de ce choix et en tenir compte dans les calculs. Par exemple, si on applique le théorème du sinus pourrésoudre un triangle afin de déterminer un angle, on est amené à utiliser l’arcsinus. Dans la première figure de


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122 7.8. QUELQUES PROPRIÉTÉS REMARQUABLES DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

l’exercice 7 - 1, page 106, l’angle β se trouve en faisant

β= arcsin

(7,5 ·sin(22,67°)

5

)=35,52°,calculatri

ce

mais il ne faut pas oublier qu’il y a sur l’intervalle ]0°,180°[ des valeurs possibles pour les angles d’un triangle,

deux valeurs d’angle telles que sin(β) = 7,5·sin(22,67°)5 , celle que donne la calculatrice 35,52° et une deuxième

donnée par 180°−35,52° = 144,68°.

Trouver les différentes valeurs d’angle telles que cos(x) =p

32 .

−1

1

π2 π 3π

2 2π−π2

p3

2

a b c d e

La calculatrice ou la table page 119 fournira la valeur b = π/6 . Les autres valeurs se trouvent en utilisantles angles associés (cf. page précédente)

a =−π

6c =−π

6+2π= 11π

6d = π

6+2π= 13π

6e = −π

6+4π= 23π

6

Exemple

Dans les exercices qui suivent, il faut bien tenir compte de l’intervalle dans lequel la calculatrice donne sesvaleurs et des autres valeurs possibles qui pourraient peut-être mieux convenir au problème posé !


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Exercices9

7 18Un point P(x ; y) correspondant à un nombre réel t est représenté sur le cercle unitaire U. Trouver les valeursdes fonctions trigonométriques de t .1

y

x

t

O

U

P – ;( )1517

817

y

x

t

U

O

P ;( )45

35

3 y

xt

U

O

P ;( )2425

– 725

4 y

x

t

U

O

P – ;( )513

– 1213

7 19Soit P(t) le point sur le cercle unitaire U qui correspond à t . Si P(t) a les coordonnées rectangulaires données

a)( 3

5 ; 45

)b)

(− 8

17 ; 1517

)

c)(− 12

13 ; − 513

)d)

( 725 ; − 24

25

)

déterminer pour chacun de ces cas

1. P(t +π)

2. P(t −π)

3. P(−t)

4. P(−t −π)

7 20Soit P(t) le point sur le cercle unitaire U qui correspond à t . Trouver les coordonnées de P et les valeurs exactesdes fonctions trigonométriques de t , si possible.

(a) 2π (b)−3π (c)−π

(d) 6π (e)3π

2(f)−7π

2

(g)9π

4(h)−7π

4(i)−π

4


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124 7.9. EXERCICES

7 21Soit P un point sur le cercle unitaire U qui cor-respond à t . Trouver la coordonnée manquante deP et les valeurs exactes des fonctions trigonomé-triques de t , si possible.

y

x

t

U

O

P ;( )? 3

5

7 22Dans les énoncés suivants, on donne l’un des deuxnombres cos x et sin x. Calculer l’autre en s’aidantdu cercle trigonométrique et de la relation cos2 x +sin2 x = 1

a) cos x = 34 et sin x ≤ 0

b) cos x = 0,8 et 0< x <π

c) sin x = 0,1 et cos x > 0

d) cos x =−0,6 et π< x < 3π2

7 23Vérifier l’identité en transformant le membre de gauche pour obtenir le membre de droite.

1. cos(x −π)= cos(x +π)

2. sin(x −3π) = sin(3π+ x)

3.1

cos(−x)− tan(−x)sin(−x) = cos(x)

7 24Exprimer chaque expression en fonction de cos(x) et de sin(x)

1. A = cos(x −π)+cos(x − π

2

)+ sin(x −π)

2. B = cos(−x)+ sin(−x)+ sin(π+ x)+cos(π− x)

3. C = sin(π2 − x

)+cos(π+ x)−cos

(x − π

2

)

7 25Déterminer la valeur exacte du sinus et cosinus de chaque réel (utiliser les valeurs remarquables et les anglesassociés).

(a)2π

3,

4π

3, −π

3(b)−π

4,

5π

4,

3π

4(c)

5π

6, −π

6,

7π

6(d)−8π

3,

11π

6, −13π

4

7 26Montrer que les fonctions :

x 7→ cos2x et x 7→ sin 2x

sont périodiques de période π.

7 27Vrai ou faux :

Les points du cercle trigonométrique associés à 0, π3 , 2π

3 , π,− 2π3 et −π

3 sont les sommets d’un hexagone régulier.

7 28Vrai ou faux :

Lorsque x est positif, on a :

sin x =√

1−cos2 x

7 29Vrai ou faux :

Si x augmente de π, alors cos x et sin x changent de signe.


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7 30

Trouver l’expression algébrique des fonctions représentées par les courbes suivantes :

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

-1

1

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

-1

1

a) b)

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

-1

1

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

7 Π

24 Π

9 Π

25 Π

11 Π

26 Π

-1

1

2

c) d)

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4e) f)

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

7 Π

24 Π

9 Π

25 Π

11 Π

26 Π

-1

1

g) h)


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126 7.10. ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUE

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

7 Π

24 Π

9 Π

25 Π

11 Π

26 Π

-2

-1

1

2

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

7 Π

24 Π

9 Π

25 Π

11 Π

26 Π

-1

1

2

3

i) j)

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-Π -

Π

2

Π

2Π

3 Π

22 Π

5 Π

23 Π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5k) l)

Équations trigonométrique10

Ce sont des équations dans lesquelles l’inconnue apparaît comme argument de fonctions trigonométriques.Les formes les plus élémentaires en sont

cos x = a etsin x = a avec a ∈ [−1;+1]

En effet pour tout réel x, on a −1 ≤ cos x ≤ +1 et −1 ≤ sin x ≤ +1. Par conséquent, ces équations n’ont pas desolutions pour a <−1 et a > 1.

La résolution de ces équations se fait, du moins au départ, en passant par le cercle trigonométrique.

Exercice Résoudre dans R chacune des équations suivantes :

• sin x =p

3

2• cos x =−0,2 • cos x = sin

π

5• cos 3x = sin x

• sin x ===p

3

2Pour avoir une idée de la situation, il est intéressant de voir les solutions graphiquement

−1

1

π2 π 3π

2 2π 5π2 3π−π

2−π−3π2−2π

×p

32

bC

x1

bC

x2

bC

x3

bC

x4

bC

x5

bC

x6


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On réalise tout de suite qu’il y a une infinité de solutions dont une seule nous est fournie par le

tableau de la page 119 : sin(π/3) =p

32 , ce qui correspond à la valeur x1 du graphe. La valeur x2 peut

être trouvée grâce au cercle trigonométrique (angles associés).

Le fait que sinπ

3=

p3

2et que sin

2π

3=

p3

2permet d’écrire

sin x = sin(π

3

)

et

sin x = sin

(2π

3

)

Les autres solutions sont trouvées en ajoutantou enlevant des tours complets (k ·2π où k estun entier positif ou négatif).

P(π3 )bC

P( 2π3 )bC p

32

Notre équation a ainsi pour solution : x = π

3+2kπ (k ∈Z) ou x = 2π

3+2kπ (k ∈Z).

• cos x ===−−−0,2

La calculatrice nous donne cos1.77 ≈ −0,2.L’équation peut ainsi s’écrire

cos x ≈ cos 1,77

mais, comme le montre le cercle trigonomé-trique, on a aussi

cos x ≈ cos 4,51 ou −1,77

Notre équation a ainsi pour solution :

P(1.77)

bC

P(4.51) = P(−1,77)

bC

−0.2

x ≈ 1.77+2kπ (k ∈Z) ou x ≈ 4.51+2kπ (k ∈Z).

• cos(x) = sin(π

5

)

Nous allons la ramener à une équation de laforme cos x = cos a grâce à la relation

sin(π

5

)= cos

(π2− π

5

)= cos

3π

10

On résoudra ainsi l’équation

cos x = cos

(3π

10

)

mais,comme le montre le cercle trigonomé-trique, on a aussi

cos x = cos

(−3π

10

)

P( 3π10 )

bC

P(− 3π30 )

bC

Notre équation a ainsi pour solution : x = 3π

10+2kπ (k ∈Z) ou x =−3π

10+2kπ (k ∈Z).

• cos3x === sin x

Nous allons la ramener à une équation de la forme cos x = cos . . . grâce à la relation

sin x = cos(π

2− x

)

On résoudra ainsi l’équation : cos 3x = cos(π

2− x

)

mais, on a aussi cos 3x = cos−(π

2− x

)= cos

(x − π

2

)

Nous obtenons ainsi :

3x = π

2− x +2kπ (k ∈Z)

ou

3x = x − π

2+2kπ (k ∈Z)

soit

4x = π

2+2kπ (k ∈Z)

ou

2x =−π

2+2kπ (k ∈Z)


C

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128 7.11. EXERCICES DIVERS

D’où finalement x = π

8+k

π

2ou x =−π

4+kπ avec k ∈Z

7 31Voici une partie du graphe de la fonction f : x 7→ cos(x).

Déterminer les valeurs exactes de a, b, c et d .

a b c d

-

�!!!3��

2

1��

2

7 32Pour chacune des équations suivantes, on demande

1° de donner toutes les solutions dans R ;

2° de placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants à ces solutions ;

3° de donner la mesure principale associée à chacun des points représentés.

a) cos x =p

2

2b) sin x =

p2

2c) cos x =−1

2d) cos x = cos

(x + π

3

)

7 33Résoudre dans l’intervalle I =]−π;π] les équations données, puis représenter les solutions sur le cercle trigo-nométrique :

a) cos2x = 0 b) cos2x = 1

2c) sin 2x =

p2

2d) cos3x =−

p2

2

7 34Résoudre, dans R, les équations données et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique :

1) cos x = 1

22) sin x =

p3

23) cos x =−

p2

24) sin

(x + π

4

)=

p3

2

5) sin 2x =p

3

26) sin2x = 1,2 7) sin2x =−1 8) cos2x = sin x

9) 2sin x = tan x 10) 1− sin2 x = 0 11) cos2 x = sin2 x 12) (2cos(x)+3) · (2sin(x)+1) = 0

Exercices divers11

7 35

Lorsque l’angle d’élévation du soleil est de 64°, unpoteau téléphonique qui penche d’un angle de 9°par rapport à une ligne formée par le pied du po-teau et le soleil projette une ombre de 6,3 m sur lesol. Calculer la hauteur du poteau.

6,3 m

64

9


C

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7 36

Un point P au niveau du sol se trouve à 3,0 kilomètres au nord d’un point Q. Un coureur, partant de Q, sedéplace vers le point R dans la direction N25° E, puis de R vers P dans la direction S70° O. Calculer la distanceparcourue.

7 37

Topographie Pour calculer la distance séparant deux points Aet B situés sur les rives opposées d’un fleuve, un géomètre dé-finit un segment de droite AC de 240 m le long d’une des rives.Il détermine que les mesures des angles �BAC et �ACB sont res-pectivement de 63° 20’ et 54° 10’ (voir figure). Calculer la dis-tance entre A et B.

A

B

C

240 m

63 20 54 10

7 38

Téléphérique La figure représente un téléphérique transpor-tant des passagers d’un point A, qui se trouve à 2 km du pointB situé au pied de la montagne, à un point P au sommet de lamontagne. Les angles d’élévation de P aux points A et B sontrespectivement de 21° et 65°.

1. Calculer la distance entre A et P.

2. Calculer la hauteur de la montagne.

A B

P

2 km

6521

7 39

Un bateau de pêche industriel utilise un sonar pour détecter un banc de poissons à 4 km à l’est du bateau, quise déplace en direction N51° O à la vitesse de 16 km/h.

1. Si le bateau avance à une vitesse de 40 km/h,calculer, à 0,1° près, la direction à suivre pourintercepter le banc de poissons.

2. Calculer le temps, à la minute près, qu’il fau-dra au bateau pour atteindre le banc de pois-sons.

4 km

51

7 40

Hauteur d’une cathédrale La figure représente unecathédrale sise au sommet d’une colline. En obser-vant le sommet de la flèche depuis le pied de la col-line, l’angle d’élévation est de 48°. Si on l’observe à60 m de la base de la colline, l’angle d’élévation dela flèche est de 41°. La pente de la colline forme unangle de 32°. Calculer la hauteur de la cathédrale.

4148

60 m

7 41

Un parallélogramme a des côtés de 30 cm et de 70 cm et un angle de 65°. Calculer la longueur de chaquediagonale au centimètre près.


C

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130 7.11. EXERCICES DIVERS

7 42

Un poteau haut de 12 m est planté sur le flancd’une colline qui forme un angle de 17° avec l’hori-zontale. Calculer la longueur minimale d’un câbletendu entre le sommet du poteau et un point encontrebas distant de 21,6 m de la base du poteau.

A

C

12 m

m 6,12

17D

B


C

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7 43Calcul de distances On peut calculer la largeur d’unfleuve sans avoir à mesurer d’angle. Comme le montrela figure, on choisit un point A sur une rive et deuxpoints B et C sur la rive opposée. Les segments de droiteAB et AC sont étendus jusqu’aux points D et E (voir fi-gure). Puis on mesure les distances BC, BD, BE, CD etCE. Supposons que les distances sont : BC= 184 m,BD=102 m, BE = 218 m, CD = 236 m et CE = 80 m.

A

B

C

D

E

1. Calculer les distances AC et AB.

2. Calculer à partir du point A la plus courte distance au travers du fleuve.

7 44Calculer l’aire du triangle ABC si a = 2,20 cm, b = 1,30 cm et g = 43,2°.

7 45La distance OM peut se calculer si on connaît les angles en O et O′ du triangle △OMO′ et la distance OO′. De lamême manière, on trouve la longueur du côté OM′ dans le triangle △OM′O′.

On considère ensuite le triangle △OMM′, pour lequel on connaît maintenant les longueurs des côtés OM etOM′. En vertu du théorème d’isométrie des triangles et connaissant par visée l’angle en O, on peut calculer ladistance entre MM′.

Appliquer cette démarche avec les mesures suivantes :OO′ = 5 km, àM′OO′ = 50◦, �MOO′ = 80◦, �MO′O= 70◦ et àM′O′M = 50◦.

7 46En sortant de son phare le gardien a laissé la porte ouverte, mais il a laissé son chien (féroce) attaché à un piquetpar une chaîne de 10 m.

Je connais bien le gardien, mais mal-heureusement le chien ne me connaîtpas.Vais-je pouvoir rendre visite au gar-dien ?

2 m

3 m

10 m

(rayon du cercleextérieur)

1 m

porte


C

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