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Ca

lvin

2018-2019

Licence Creative Commons

Coursde

mathématiques1re

année

Jann WEISS

S O M M A I R E

1 Calcul numérique et notions algébriques de base 5

1.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 La droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Propriétés des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Rappel et complément sur les proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Propriétés d’une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Application aux pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Transformations d’écritures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.1 Développer, réduire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.2 Factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Résolution des équations du 1er et du 2e degré 25

2.1 Équation générale du 1er degré ax +b = 0 avec a 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Les « équations-produits » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Les équations comportant des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Équations littérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Problèmes résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7 Équation générale du 2e degré ax2 +bx +c = 0 avec a 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7.1 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.8 Équations paramétriques à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.9 Problèmes conduisant à une équation de second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.10 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Systèmes linéaires 49

3.1 Rappels sur les systèmes linéaires (2,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.1 Système de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.2 Équation de la droite : y = ax +b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.3 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Inéquations et programmation linéaire 58

4.1 Les inéquations du 1er degré à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.1 Les propriétés des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.2 La résolution d’une inéquation de 1er degré à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.3 Les demi-droites et les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2 Les systèmes d’inéquations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.1 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.2 Systèmes d’inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.3 Polygone des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.4 Programmation linéaire ou comment optimiser une fonction à 2 variables ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Géométrie euclidienne 67

5.1 Les axiomes de base ou les règles du jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2 Notations et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3

5.3 Le triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.1 Triangle rectangle et théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.2 Théorème des milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.3 Les droites remarquables dans le triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.4 Triangle rectangle et cercle ou théorème du cercle de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 Propriétés sur les proportions (utiles pour la suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4.2 Propriétés d’une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.5.1 Les configurations de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.5.2 Réciproque du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.5.3 Les triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.5.4 Conséquences du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.6 Applications pratiques du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.6.1 Partage d’un segment en n parties égales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.6.2 Calculer la hauteur d’un arbre par temps ensoleillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.6.3 Calculer la hauteur d’un arbre par temps nuageux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6.4 Calculer la largeur d’une rivière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.7 Théorème de l’angle inscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.8 Théorème d’Euclide et théorème de la hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.10 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.10.1 Axiomatique de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.10.2 Axiomatique originale d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Trigonométrie dans le triangle rectangle 98

6.1 Connaissances préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.1.1 Configurations de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3 Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3.1 Angle au centre et arc intercepté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3.2 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5 Résolution de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.5.1 Résolution de triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7 Les fonctions 110

7.1 Une fonction à partir d’un tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2 Une fonction à partir d’un graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2.1 Remplissage d’un récipient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2.2 Déplacement d’une voiture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.3 Fonctions à partir d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.4 Suite de « Une fonction à partir d’un tableau » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.5 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.6 Graphiques des fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.7 Fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.8 Tableau de signes et zéros d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.10 À savoir ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.10.1 La droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.10.2 La parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.10.3 Les trois formes de la fonction quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

1Calculnumérique etnotionsalgébriques debase

C H A P I T R E

6 1.1. LES ENSEMBLES DE NOMBRES

Les ensembles de nombres1

Les entiers

N = {0,1,2,3,4,5,. . . } est l’ensemble des entiers naturels

Z ={0,+1,-1 ;+2;-2 ;+3;-3,. . . } est l’ensemble des entiers relatifs

N⊂Z

Z est une extension de N qui se justifie du fait que la soustraction n’est pas toujours définie dans N.

12 ∈N et ,17 ∈Nmais 12−17 =−5 et −5 6∈N

LE SYSTÈME DÉCIMALNotre écriture des nombres est positionnelle et utilise la base décimale ; on l’appelle simplementl’écriture décimale des nombres. Elle est très ancienne et découle d’un choix naturel dicté par les dixdoigts de nos mains. Dans cette base, il suffit de 10 symboles différents (0, 1, 2,..., 9) pour représentern’importe quel nombre. Ces symboles sont les chiffres. Le nombre (1213)10, ou simplement 1213 enomettant d’indiquer la base uniquement dans le cas de la base 10, s’écrit comme la somme suivantede puissance de 10 :

1213 = 1 ·103 +2 ·102 +1 ·101 +3 ·100 .

On remarque dans cet exemple que les deux « 1 » n’ont pas le même poids, l’un a le poids des milliers(103) et l’autre le poids des dizaines (101). Cette notion de poids lié à la position du chiffre dansle nombre explique pourquoi notre écriture est positionnelle. Lorsque l’on passe d’une position àcelle qui est directement voisine, le facteur multiplicateur est 10, la base du système. La raison estdirectement liée au nombre limité de chiffres utilisés. Ainsi, en comptant depuis la première unitéune certaine quantité d’objets, en arrivant à 9, il est nécessaire de procéder à un regroupement pourdénoter les 10 premières unités : ce sera 1 dizaine . On peut ensuite compter toutes les dizainesjusqu’à 9, là aussi, il faudra faire un regroupement des 10 premières dizaines en 1 centaine, et ainside suite... En changeant de base, le principe reste le même, c’est juste le facteur multiplicateur,c’est-à-dire le nombre d’éléments dans un regroupement, qui change.

Activité

Si en passant de la position d’un chiffre dans un nombre à la position qui est juste à sa gauche le «poids » du chiffre est 10 fois plus grand, alors cela implique que lorsqu’on multiplie un nombre dansle système décimal par 10, la quantité obtenue s’obtient en décalant tous les chiffres du nombred’un cran à gauche, ce qui laisse apparaître à la droite du nombre une position vide.

103 102 101 100

1 3 2 · 10 =103 102 101 100

1 3 2 .

qui signifie qu’il n’y a plus d’unité, on écrira donc : 1 3 2 0 (la propriété utilisée est la distributivité).On peut aussi écrire

132,0 ·10 = 1320

Dans un système numérique fondé sur une autre base, par exemple la base 2 qui sera vue ci-après,on a le même propriété. Si on multiplie un nombre par 2 (de manière plus générale, par le nombrede la base), alors il faut déplacer tous les chiffres du nombre d’un cran à gauche en introduisant unzéro à la droite du nombre.

Remarque

— 45 ·100 = 45 ·10 ·10 = 4500

— 17 ·1000 = 17000

— 34 ·105 = 3400000

Exemples

Existe-t-il d’autres systèmes de numérations ?

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CHAPITRE 1. CALCUL NUMÉRIQUE ET NOTIONS ALGÉBRIQUES DE BASE 7

LE SYSTÈME BINAIREEn informatique, l’écriture des nombres se fait en base 2 et découle d’un choix dicté par la pré-sence ou l’absence de tension aux bornes d’un transistor. Dans cette base, il n’existe donc que deuxsymboles (0 et 1) pour représenter n’importe quel nombre. Le nombre (1111011)2 s’écrit comme lasomme suivante de puissance de 2 :

123 = 1 ·26 +1 ·25 +1 ·24 +1 ·23 +0 ·22 +1 ·21 +1 ·20 .

Nous pouvons ainsi écrire que (123)10 = (1111011)2 .Pour comprendre cette écriture, partons d’un exemple plus simple : représenter 27 en binaire. Avec2 chiffres (0 et 1), on ne peut aller au-delà d’une unité sans passer à un regroupement supérieur : lespaquets de 2 (21) unités (ellipses en pointillées). Mais ceux-ci, à leur tour, ne peuvent être comptésau-delà de 1 sans passer à une unité supérieure, le paquet de 4 (22) qui représente 2 paquets de2. On continue de la même manière, 2 paquets de 4 forment 1 paquet de 8 (23) et 2 paquets de 8forment un paquet de 16 (24) ! Le nombre de bâtonnets dans la figure ci-dessous est ainsi

1 ·24 +1 ·23 +0 ·22 +1 ·21 +1 ·20 = (11011)2 = 27

2122 23

24

Lorsque nous utilisons un ordinateur (ou tout autre appareil numérique), toutes les informationssont traduites en série de 0 et de 1. Pour des raisons de soucis de compatibilité, il a fallu uniformi-ser l’échange des informations entre les différents appareils. Ainsi, a été inventé en 1961 le jeu decaractères codés ASCII (American Standard Code for Information Interchange) par l’américain BobBemer.

a) Selon le codage ASCII, la lettre ’K’ correspond à la valeur numérique 75. Convertissez ce ca-ractère ’K’ en code binaire.

b) Quel est le nombre en base 10 correspondant à la valeur binaire (1000011)2 ?

Activité

1 1

Écrire le nombre 20 donnée en base décimale

a) en base 2;

b) en base 3;

c) en base 8.

Transformer 35 en base 2.


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8 1.1. LES ENSEMBLES DE NOMBRES

Multiplier un nombre par 2 en binaire revient à ajouter un 0 tout à droite du nombre. De la mêmemanière que multiplier un nombre par 10 dans le système décimal revient aussi à ajouter un 0 aubout du nombre.Vérifier avec 35!

Les ordinateurs utilisent cette propriété pour calculer rapidement.

Qu’en est-il de la division par 2 en binaire ?

Remarque

1 2Le stockage de l’information Lorsqu’une information doit être stockée en mémoire sur un ordinateur, ilest primordial de savoir la place nécessaire que prendra cette dernière avant de commencer à son enre-gistrement. Généralement la place mémoire est comptée en octet qui est une série de 8 chiffres binaires.Dans un octet, il est donc possible d’inscrire les nombres de 00000000 à 11111111.

a) Combien de nombres différents peuvent tenir dans un octet ?

b) Quel est le plus grand nombre en base 10 qui puisse être mémorisé dans un octet ?

c) Combien d’octets sont-ils nécessaires pour stocker le nombre 22010 ?

d) Estimer le nombre de chiffres contenus dans le nombre 22010 ? L’approximation 210 = 1024 ≈ 103

peut-être utilisée.

e) Par quel chiffre se termine le nombre 22010 ?

Les décimaux

1 3

Représenterp

2 par une construction géométrique.

D désigne l’ensemble des nombres décimaux. Ce sont les nombres qui ont une écriture finie en base 10.

3 2,8 -4,116 sont des nombres décimaux

0,3 −5,2345 π ne sont pas des nombres décimaux

Les décimaux sont les seuls nombres que connaît une calculatrice et en plus elle n’en connaît qu’unepartie.

Les rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme quotient de deux entiers (fraction). On saitque celui-ci n’est généralement pas un entier35 6∈Z ou 2

3 6∈ZParfois le quotient est un nombre décimal, d’autres fois c’est un nombre dont la partie décimale est illi-mitée (cf. exercice 1-3).Q désigne l’ensemble des nombres rationnels.

1 4Montrer que dans ce dernier cas (où le quotient comporte une partie décimale illimitée) la partie déci-male est périodique

1 5Montrer que tout nombre décimal est un nombre rationnel

1 6Montrer que tout nombre à partie décimale illimitée et périodique est un nombre rationnel.

1 7Montrer qu’entre deux nombres rationnels, il en existe toujours un 3e. Ce n’est pas le cas avec les entiers.(cf.paradoxe de Zénon)

Les réels

Certains nombres commep

2 ou π ne peuvent s’écrire comme quotient de deux entiers : ce sont desnombres irrationnels.

L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels constitue l’ensemble des nombres réelsnoté R.

1 8Fabriquer un nombre irrationnel


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Les pythagoriciens (Ve siècle avant notre ère) pensaient pouvoir tout ramener aux nombres entiersou à des rapports entre nombres entiers. En particulier, ils liaient l’harmonie du monde aux rap-ports rationnels existant entre les choses. Ainsi avaient-ils découvert que les harmonies musicalespouvaient être exprimées par des rapports de nombres entiers. Par exemple, l’intervalle musicalentre la note produite par une corde tendue et celle produite par une autre dont la longueur est lamoitié de la première est une octave. La surprise vint d’une figure élémentaire : le carré. Sa diago-nale est incommensurable avec son côté, c.-à-d. qu’il n’existe pas d’unité commune a pour laquelleces deux segments ont une mesure entière. Autrement dit, le rapport entre la diagonale et le côté nedonne pas un nombre rationnel.

Donc ce qu’on n’a pas, c’est quelque chose du genre :

diagonale= 14a et côté = 10adiagonale

côté=

14a

10a=

14

10 a

En effet, pour un carré de côté 1, la diagonale vautp

12 +12 =p

2.

Remarque

L’antiphérèse : les Grecs de cette époque utilisaient une méthode pour déterminer une unité communeentre deux segments appelée l’antiphérèse.

En préambule, à titre d’analogie, nous allons appliquer l’antiphérèseà deux nombres, 119 et 85, plutôt que deux longueurs, pour rendre leprocessus plus facile à comprendre.119⇌ 85 ⇒ 119−85 = 3485⇌ 34 ⇒ 85−34 = 5151⇌ 34 ⇒ 51−34 = 1734⇌ 17 ⇒ 34−17 = 17.Le nombre 17 est le plus grand diviseur commun de 85 et 119!

Essayer avec 130 et 56, puis avec 117 et 62!

Soit deux segments [AB] et [CD] tels que AB > CD. On construit unsegment [A1B1] en prenant la différence entre les deux segments ini-tiaux, comme ci-contre. Puis, on recommence la procédure avec lesdeux segments [CD] et [A1B1]. Assez rapidement, on aboutit à deuxsegments de même longueur. Cette longueur sera celle qui servirad’unité commune entre les deux segments [AB] et [CD] de départ detelle sorte que chacun d’eux pourra s’exprimer par un nombre entierd’unités.

1. Montrer les limites de cette méthode.

2. Faire l’analogie avec la recherche du pgcd par la méthode dessoustractions successives.

A B

C D

A1 B1

Une application de cette même méthode permet aussi de montrer que le côté du carré n’est pas com-mensurable avec sa diagonale.

On l’applique aux segments [AB] et [AC]. Pour cela, on place le pointE sur [AC] tel que AE = AB, et le point F à l’intersection de la perpen-diculaire à (AC) qui passe par E et de (BC).(AC, AB) = (AC, AE) −→ a (AE,EC) = (AE,EF) = (AE,BF) = (BC,BF) −→(BF,FC) = (EF,FC). On peut poursuivre la technique avec le carré decôté [EF]. Si on finit par obtenir deux segments égaux, cela signifieque l’on a trouvé un carré dont le côté et la diagonale ont la mêmelongueur, ce qui est contradictoire !

a. La flèche indique le passage de deux segments aux deux segments de l’étape sui-vante de l’antiphérèse D C

BA

E

F

||

||


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10 1.2. LA DROITE NUMÉRIQUE

1 9

Montrer pourquoi on ne peut pas résoudre x2 = 2 dans Q.

Même question pour x2 = 3.

1 10

Dessiner un diagramme qui représente l’inclusion entre les différents ensembles de nombres.

Dans quel ensemble y a-t-il le plus nombres ? Le moins ?

La droite numérique2

Il existe une bijection entre les nombres réels et les points d’une droite. Ce qui signifie qu’à chaque nombreréel correspond un point sur la droite, et, inversement, à chaque point sur la droite correspond un nombreréel. Cette bijection, assez naturelle et intuitive, mais non triviale à démontrer, est construite de la manièresuivante.

On prend une droite, horizontale, pour simplifier les choses. Onchoisit un point sur la droite et on lui attribue l’étiquette O, pourl’origine. Puis, on choisit un autre point à droite du précédent età une distance fixée. On lui donne l’étiquette i , pour l’unité. Cettedistance fixée qui peut valoir 1 cm, 3 cm ou n’importe quelle unitéde distance, détermine l’échelle. On associe le nombre 0 à l’origineet 1 à l’unité. Le point se situant à droite de l’origine à deux foiscette distance fixée aura l’étiquette 2, le point à gauche de l’origineà la même distance que 0 et 1 aura l’étiquette -1, etc.

×

34

0 1 2 30−1

On peut aussi placer les nombres rationnels comme 34 . En ce qui concerne les irrationnels ce procédé ne

marche pas, car, de par leur nature, ils n’ont aucune commune mesure avec un quelconque rationnel. Cecinous renvoie à un problème ancien : est-ce que les côtés d’un triangle rectangle sont « commensurables » ?C’est vrai pour un triangle dont les dimensions sont 3, 4 et 5 cm pour les cathètes et l’hypoténuse, respective-ment. Mais, si on prend 1 cm pour chacune des cathètes, qu’en est-il de l’hypoténuse (appelons-la z pour ladiscussion). Pythagore nous livre

z2 = 12 +12, c’est-à-dire z2 = 2

La solution à l’exercice 7 nous permet de conclure qu’il n’y a aucune commune mesure entre l’hypoténuse et lescathètes, ce qui veut dire qu’il n’est pas possible de diviser en un nombre entier de parties égales l’hypoténuseet en même temps diviser les cathètes en un nombre entier de parts égales à celles qui divisent l’hypoténuse.On peut trouver des approximations. Par exemple, en divisant un côté en 5 parties, une de ces parties entrepresque 7 fois dans l’hypoténuse ( 7

5 est une approximation dep

2).

Ceci n’empêche pas, toutefois, dans certains cas, de placer avecexactitude un nombre irrationnel sur la droite numérique. Pre-nons l’exemple de

p2 (cf. exercice 7). Grâce à Pythagore, il est facile

de reproduire (cf. schéma ci-contre) sur une droite cette longueuret ainsi de placer ce nombre sur une droite numérique. En fait, onpeut associer à tout nombre réel, rationnel ou irrationnel, un pointsur la droite.

0 1

b

p2

1 1

Avec cette représentation géométrique qu’est la droite numérique, si a < b, alors le point correspondant à a setrouvera à gauche du point correspondant à b.

Le nombre |a − b| a une interprétation simple dans le cadrede cette image géométrique : il s’agit de la distance entre a et bou la longueur du segment dont les extrémités sont a et b. Ce quisignifie, en particulier, en prenant un exemple d’usage fréquent,que l’ensemble des nombres x satisfaisant |x − a| < ǫ peut être re-présenté comme l’ensemble des points dont la distance à a est in-férieur à ǫ. Il s’agit de l’intervalle de a − ǫ à a + ǫ, ou, encore, desnombres x tels que a −ǫ< x < a +ǫ.

a −ǫ a a +ǫ


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Les ensembles de nombres qui correspondent àdes intervalles sont tellement fréquents qu’uneécriture particulière a été prévue pour eux. L’en-semble {x|a < x < b} est noté ]a;b[ et appelé l’en-semble ouvert de a à b. On a, en particulier, les si-tuations ci-contre.

Remarquons que ]−∞;∞[=R

a b]a;b[= {x|a < x < b}

a b[a;b]= {x|a ≤ x ≤ b}

a]−∞; a[= {x|x < a}

a]a;+∞[= {x|x > a}

a[a;+∞[= {x|a ≤ x}

a]−∞; a] = {x|x ≤ a}

Calcul numérique3

3 1 Puissances

Notation : an

Soit a ∈R et n ∈N∗, on définit :

1. an = a ·a · . . . ·a︸︷︷︸n facteurs a

2. pour a 6= 0, a0 = 1

3. pour a 6= 0, a−n =1

an

Définition 1 - 1

Règles de calcul : soit a et b ∈R et m,n ∈N∗

1. an ·am = an+m

2.an

am= an−m

3. (an)m = anm

4. (a ·b)n = an ·bn

5.( a

b

)n=

an

bn

Théorème 1 - 1

LES LIMITES DE LA CALCULATRICESauriez-vous être plus performant que votre calculatrice ?

1. Comparer les nombres suivants :

a) 2400 et 10100

b) 3200 et 25100

c) 272000 et 3431200

d) 123456789123 ·123456789123 et 123456789122 ·123456789124

2. Considérez l’expression :x + y − x

y

a) La calculer à l’aide de la calculatrice pour x = 104 et y = 10−4

b) La calculer à l’aide de la calculatrice pour x = 106 et y = 10−6

c) La réduire algébriquement le plus possible

d) Que peut-on conclure des calculs précédents ?

Activité


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12 1.3. CALCUL NUMÉRIQUE

3 2 Racines

Soit a ∈R+ et n ∈N∗, on définit

—p

a désigne un nombre x tel que x ≥ 0 et x2 = a

— np

a désigne un nombre unique x tel que xn = a

Définition 1 - 2

1 11

montrer que a1n = n

pa et en déduire les règles suivantes

Règles de calcul : soit a et b ∈R+ et m,n ∈N∗

1.p

a2 =(p

a)2 = a

2. npan =(

np

a)n = a

3. npam =(

np

a)m = a

mn (cf. plus loin)

4. npab = np

a · npb

5. n

√a

b=

np

anpb

si b 6= 0

Théorème 1 - 2

Initialement, les puissances n’étaient définies que pour les exposants naturels, puis à coup de définitionssuccessives, on a accepté les exposants relatifs, rationnels et enfin irrationnels. Nous allons montrer com-ment se justifient ces extensions de la notion de puissance jusqu’aux exposants rationnels. Pour ce faire,utilisons les puissances de dix.Dans un premier temps, 10x est défini pour les nombres entiers positifs : 10x = 10 ·10 · . . . ·10︸︷︷︸

x fois

. C’est une

notation très utile, en particulier pour multiplier les grands nombres puisqu’on a la propriété

10n ·10m = 10n+m

L’extension de la définition de 10x à des nombres x rationnels est motivée par le maintien de cette pro-priété. L’équation

100 ·10n = 100+n = 10n

nous force à poser que 100 = 1. L’équation suivante

10−n ·10n = 100 = 1

nous oblige à poser : 10−n = 1/10n . En appliquant cette propriété dans la situation suivante,

101/n · . . . ·101/n︸︷︷︸

n fois

= 101/n+···+1/n

︸︷︷︸n fois

= 101 = 10

on est amené à définir : 101/n = np10. En continuant à appliquer cette même propriété

101/n · . . . ·101/n︸︷︷︸

m fois

= 101/n+···+1/n

︸︷︷︸m fois

= 10m/n

on peut définir : 10m/n = ( np10)m .

Remarque

1 12Vrai ou Faux !

1.((−8)2

)1/6 = (−8)1/3 =−2

2.((−8)2

)1/6 = 641/6 = 2

1 13

Pour a ∈R, est-ce quep

a2 = a dans tous les cas ?


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3 3 Propriétés des opérations

1° Tout nombre non nul a admet un inverse a′ tel que

a ·a′ = 1

L’inverse de a se note1

aou encore a−1.

On a a ·a−1 = a1+(−1) = a0 = 1.

0 n’admet pas d’inverse. On le démontre par l’absurde. Car si 0 admettait un inverse, on aurait

0 ·1

0= 1 (·3)

3 ·0︸︷︷︸ ·1

0= 3

0 ·1

0︸︷︷︸= 3

1 = 3 !!!

2° quels que soient les nombres a et b,

ab = 0 si, et seulement si, a = 0 ou b = 0

3° quels que soient les nombres a et b, mais b 6= 0,

a

b= 0 si, et seulement si, a = 0

4° quels que soient les nombres a et b

a2 = b2 ⇐⇒ a2 −b2 = 0

⇐⇒ (a −b)(a +b)= 0

⇐⇒ a −b = 0 ou a +b = 0

⇐⇒ a =±b.

5° règle de simplification :

quels que soient les nombres x, y et a, on a :

x +a = y +a si, et seulement si, x = y

(règle utilisée dans la résolution des équations)

6° règle de simplification :

quels que soient les nombres x, y et a, avec a 6= 0, on a :

xa = y a si, et seulement si, x = y

(règle utilisée dans la résolution des équations)

7° quels que soient les nombres a, b, c et d , avec b 6= 0 et d 6= 0, on a :

a

b=

c

dsi, et seulement si, ad = bc

1 14démontrer cette dernière propriété à l’aide des précédentes

3 4 Exercices

1 15Pour chaque équation, chercher toutes les valeurs possibles pour l’inconnue

1) x ·4

3=+1 2)

7a · (5a −1)

12= 0 3)

a · (a −4) · (2a −1)

2a −8= 0

1 16Compléter à l’aide de l’un des signes ∈ ou 6∈

1) +1,2 . . . Z 2)√

0,04 . . . Q 3) π . . . Q

4)p

15 . . . Q 5) 100,1234 . . . R 6)15

3. . . Z


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1 17Pour chaque égalité, indiquer la ou les propriétés utilisées :

1) [3a · (a2 −5)] ·b = 3a · [(a2 −5) ·b]

2) 3a + (a +b) · (2x − y) = 3a + (a +b) ·2x − (a +b)y

3) (a2 +b) · [2c +3 · (2a +b)] = (a2 +b) · [3 · (2a +b)+2c]

1 18Utiliser la notation « puissance » pour écrire aussi simplement que possible chacune des expressions :

1) (−5)3 · (−5) · (−5)4 4) (72 ·73)4

2) (+3)4 · (−2) · (+3)2 · (−2)3 5)((−4)2 · (+5) · (−2)4)3

3) 72 · (73)4 6)((52)3 ·34)2

1 19Idem

1)25

23 3)(

3

5

)2

:

(3

5

)5

5)74

76

2)25 ·23

22 4)(

2

9

)7

:

(2

9

)3

6)

(1

2

)5

(1

2

)3

·(

1

2

)2

1 20Idem

1)(−

2

3

)2

·(−

2

3

)3

·(−

2

3

)3)

((0,5)3 · (0,5)4)2

5)((

4

5

)2

·73 ·1

3

)4

2)(+

3

4

)3

·(+

4

3

)4

·(+

3

4

)·(+

4

3

)2

4)((

5

6

)2)3

·(

5

6

)4

6)((

1

2

)5

· (32)3)2

1 21Idem

1)

(3

4

)8

(3

4

)2 4)

(4

5

)2

·(

4

5

)4

((4

5

)2)4

2)(

2

3

)3

:

(2

3

)6

5)23 ·34

25 ·32

3)

((−3)2

)3

(−3)3 · (−3)6)

((2

3

)·(

5

7

)3)2

:

((2

3

)2

·(

5

7

))3

1 22Sans effectuer les calculs, réduire les expressions suivantes en exploitant la notation « puissance » :

1)

((2

3

)2

·(

2

3

)3)4

·2

3= 2)

((1

3

)5

·(32)3

)2

= 3)

(4

5

)4

:

(4

5

)7

=

4)

(3

4

)2

·(

3

4

)5

((3

4

)3)5 = 5) 34 ·(

2

3

)3

·(

5

2

)4

= 6)

((−3)2

)3

(−3)5 ·32 =

7)82 ·46

163 = 8)483 ·56

407 ·34 = 9)34 ·123

308 ·5−10 =

1 23Écrire chaque nombre en notation scientifique et calculer :

200 000 ·0,03 ·40 ·0, 00002 ·10 = 0,001 5 ·0,002 ·4 000 ·1,05 =


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Conventions d’écriture

En principe :

1. Les nombres écrits avec des puissances le sont avec un exposant entier positif : 3−2 = 132 , 2

13 = 3p2.

2. Simplifier les racines en extrayant les carrés parfaits :p

125 =p

25 ·5 = 5 ·p

5.

3. Pas de racine au dénominateur : 1p2=

p2

2 .

Remarque

1 24Simplifier les radicaux ou calculer :

1) 4p

75 2) 5p

48−7p

75 3)

p225

p200

·p

98p

0,04

4)5

p11

5)3

5p

76)

3

2p

5−1

7)8

p3+4

8)

p11−5

p11+5

9)

p2+

p3

5p

3−3p

2

10)p

243−3p

75+p

192 11) (1−p

10)2 + (3p

2−p

5)2 12)

√4,9 ·107

p3 ·105 ·

p21 ·104

13) 782 −232 14) 79 3452 −79 344 ·79 346 15)

p76

80·√

45

19

1 25Calculer dans R

1)

√2

3·√

1

6= 2)

3p−5 · 3p25 = 3) 5

√4

2· 5

√1

64=

4)5√

515 = 5)√

53 ·√

55 = 6)p

2 ·(p

2 ·p

8)=

7)√

132 −122 = 8)3p53p3

= 9)4p

32

p3

=

1 26Calculer dans R et réponds par une fraction irréductible

1)75

42:

55

154= 2)

(−

7

4+

1

12

)·(−

1

10

)−

(−

3

4+

4

3

)·(−

3

14

)=

3)

(−

2

3− (−2)

)2

= 4) −(−

1

3+

3

2

)2

·3 ·42

35+1 =

5)(0,52 +0,6

)2 = 6)−4 ·

(1

3−1

)2

−4+2

3

=

7)

4

√16

81+

5

65

27·√

27

12

= 8)

(+

2

5

)−

(−

4

3

)

(−

12

5·(

1

3

)3) ·(−

2

3

)+

(−

1

4

)=

1 27Réduire et répondre par une expression de la forme an (notation puissance)

1)(72 ·73)4 = 2)

((−3)2

)3

(−3)2 · (−3) =3)

(+

3

4

)3

·(+

4

3

)4

·(+

3

4

)·(+

4

3

)2

=


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4)

(453

155 ·(

1

3

)3)4

= 5)

((2

5

)2)3

·(

5

6

)4

6)

((1

3

)5

· (32)3)2

=

7)(32 ·10−2)5

(3 ·10−4)3 ·(

1

30

)2

= 8)

(4

3

)50

·0,7551 = 9)34 ·23

25 ·32 =

1 28Calculer dans R

1)(0,25+0,3

)2 = 2)

(−1−

1

2

)2

= 3)1−2

3 · (−2)=

4)23 ·

(1+ 1

2

)2

53 −0,75

= 5)

(−

1

2

)3

+5

12·(−

3

2

)

4 :16

5−

5

2

= 6)p

8 ·(p

2

5+

1p

32

)=

7)p

2 · (p

18+p

32) = 8)0,1

0,75 ·( 1

2 −3) = 9)

(−

2

3

)+

(−

1

4

)

(−

2

3

)·(−

1

4

) ·(−

2

3

)+

(−

1

4

)=

10)3

√−

1

5· 3

√−

1

25= 11)

35 ·46 ·7 ·52

74 ·44 ·32 = 12)4

√16

81+

5

6:

(5

27·√

27

12

)=

Rappel Un théorème annonce, sous certaines conditions, une vérité mathématique. Il est composé dedeux parties :

— la/les condition(s) ou hypothèse(s)

— la/les conclusions(s)

Exemple Théorème de Pythagore :

Si un triangle est rectangle, alors a2 +b2 = c2

(avec a et b les côtés de l’angle droit ou cathètes et c l’hypoténuse).

Notation Si H, alors C ou plus simplement H ⇒ C .

La contraposée du théorème est la même affirmation, mais formulée autrement : non C ⇒ non H.

La réciproque du théorème est le théorème lu dans l’autre sens : la conclusion devient l’hypothèseet l’hypothèse devient la conclusion : C ⇒ H .

Attention, la réciproque peut être fausse !

Définition 1 - 3

1 29Comment, avec des nombres entiers représentés par n, m, etc. , peut-on écrire ?

1. un nombre pair ;

2. un nombre impair ;

3. deux nombres consécutifs ;

4. trois nombres consécutifs ;

5. deux nombres impairs consécutifs ;

6. un nombre qui se termine par 3;

7. un nombre qui se termine par 23;

8. un multiple de 3;

9. un multiple de 5;

10. un nombre carré ;

11. un nombre carré pair ;

12. un nombre carré impair ;

13. un nombre triangulaire (1 ; 3 ; 6 ; 10; . . .)

14. trois multiples de 17 consécutifs ;


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15. les nombres de la suite 25; 45; 65; ...

16. un nombre qui laisse un reste de 4, lorsqu’on le divise par 5;



19. un nombre, différence de deux nombres consécutifs ;

20. un nombre, différence de deux nombres impairs consécutifs ;

21. un nombre, différence des carrés de deux nombres consécutifs ;

22. un nombre, somme de trois nombres pairs consécutifs ;

23. un nombre, somme des cubes de deux nombres consécutifs ;

24. un nombre, produit de deux nombres impairs consécutifs ;

25. le dernier nombre d’une suite de k nombres consécutifs, le premier étant n ;

26. le ke nombre impair.

1 30Démontrer les petits théorèmes de l’école pythagoricienne sur les nombres entiers :

1. Si deux nombres sont pairs, alors leur somme est paire.

2. Si deux nombres sont impairs, alors leur somme est paire.

3. Si deux nombres sont pairs, alors leur produit est pair.

4. Si deux nombres sont impairs, alors leur produit est impair.

5. La somme de deux nombres consécutifs est impaire.

6. Le produit de deux nombres consécutifs est pair.

7. La somme de deux entiers impairs consécutifs est un multiple de quatre.

1 31Parmi les théorèmes 1. - 7., lesquels ont leur contraposée qui est juste ?

1 32Pour les théorèmes 1. - 4., écrire la réciproque et prouver si elle est vraie ou trouver un contre-exemple si elleest fausse.

1 33Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? A toi de le prouver !

1. La somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de trois.

2. La différence entre le cube d’un nombre et ce nombre est toujours divisible par 6.

3. La somme d’un nombre pair et d’un nombre premier impair est un nombre premier.

4. Un nombre qui est multiple de 9 et multiple de 12 est multiple de 108.

5. Le carré d’un pair est pair.

6. Le carré d’un impair est impair.

7. Le quotient de deux pairs est pair.

8. La somme de deux nombres impair consécutifs est un multiple de 4.

9. La somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un carré parfait.

10. Soit six nombres entiers, obtenu de la façon suivante :

— le 1er et le 2e sont choisis au hasard ; le 3e est la somme du 1er et du 2e ;

— le 4e est la somme du 2e et du 3e ; le 5e est la somme du 3e et du 4e ;

— le 6e est la somme du 4e et du 5e ;

La somme de ces six nombres est le quadruple du 5e.

11. Le carré d’un nombre pair est un multiple de 4.

12. Soit trois nombres entiers consécutifs. Le carré du deuxième, augmenté de 1, est égal au produit des deuxautres.

13. Le carré d’un nombre impair donne un reste de 1 lorsqu’on le divise par 8.

14. Soit trois nombres entiers consécutifs. Le carré du deuxième, diminué de 1, est égal au produit des deuxautres.

15. n2–n+11 est un nombre premier.


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1 34Inventer d’autres petits théorèmes sur les nombres.

1 35

Selon Pythagore et son école, un nombre est parfait si la somme de ses diviseurs propres redonne le nombre.

Existe-il des nombres parfaits ?

1 36Selon l’école pythagoricienne, deux nombres sont amicaux si la somme des diviseurs propres de l’un donnel’autre.

Existe-il des nombres amicaux ?

1 37Parmi les nombres "imparfaits", Pythagore tenta de trouver des nombres un peu excessifs, c’est-à-dire dont lasomme des diviseurs propres est supérieure d’une unité à ces nombres.

Existe-il des nombres un peu excessifs ?

1 38On peut facilement vérifier les égalités suivantes :

25 ·25 = 20 ·30+25

45 ·45 = 40 ·50+25

65 ·65 = 60 ·70+25

. . . etc.

1° Trouver une règle générale.

2° Présenter une preuve pour cette règle.

1 39Simplifier l’expression (2x −10) · (2x +10), puis calculer 20012 ·19992.

MOSAÏQUE DE CERCLESD est un carré de 1 m de côté et C en est le cercle inscrit.

Si on partage D en carrés plus petits et que l’on y trace leurs cercles inscrits respectifs, on obtient la figuresuivante :

Augmentez, autant que vous l’imaginez, le nombre de subdivisions. L’aire de la partie hachurée (cellecouverte par les disques) croît-elle, décroît-elle, ou reste-t-elle toujours la même ?

Et qu’en est-il si on se pose le problème dans l’espace ?

Activité

Est-il vrai que le nombre π vérifie la relation : 9π= 16+7pπ?Activité


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(a) Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers ci-dessous en t’inspirant de l’exemple etde la liste des carrés : 1 ; 4 ; 9 ; 16; 25; . . . ; 121; 144; 196; 225; 256; 289; 324; 361; 400; . . . 10’000

Exemple : 143 = 144−1 = 122 −12 = (12−1)(12+1) = 11 ·13

1) 399 2) 221 3) 391 4) 117 5) 9 991 6) 3237) 135 8) 231 9) 119 10) 171 11) 299 12) 9 919

(b) Calculer 782 −232 ; 7782 −2232 ; 7 7782 −2 2232 ; 77 7782 −22 2232 , ...

Établir un résultat général.

☞ a2 −b2 = (a −b)(a +b).

(c) Les nombres impairs ont une écriture particulière sous la forme d’une différence de deux carrés.Laquelle ?

Activité

Rappel et complément sur les proportions4

Un rapport est un quotient entre deux grandeursDéfinition 1 - 4

Une proportion est une égalité entre deux rapportsDéfinition 1 - 5

Si a,b,c,d sont quatre nombres tels quea

b=

c

d, on dit qu’ils sont en proportion.

a,b,c,d sont les quatre termes de la proportion.

a et d sont appelés les deux extrêmes

b et c sont appelés les deux moyens

Exemple : Si une voiture roule à une vitesse moyenne de 80 km/h, on peut présenter les deux grandeurs pro-portionnelles que sont la distance et le temps par un tableau

Temps (en min) x15 45 60 75 150 189

Distance (en km) y20 60 80 100 140

Question : Quels sont les deux coefficients de proportionnalité ?

Remarque : Ces coefficients permettent d’écrire deux applications linéaires

f : R+ −→R+ g : R+ −→R+

x −→ y =4

3x x −→ y =

3

4x

et chacune d’elle admet une représentation graphique particulière.

4 1 Propriétés d’une proportion

Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens

a

b= c

dssi ad = bc


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20 1.4. RAPPEL ET COMPLÉMENT SUR LES PROPORTIONS

1° Interversion des extrêmes :a

b=

c

dssi

d

b=

c

a

2° Interversion des moyens :a

b=

c

dssi

a

c=

b

d

3° Inversion des rapports :a

b=

c

dssi

b

a=

d

c

4° Transformation correspondant à la somme et à la soustraction de deux colonnes dans un tableau de

proportionnalité :a

b=

c

dssi

a

b=

c

d=

a +c

b +d=

a −c

b −d

4 2 Application aux pourcentages

situation application linéaire associée exemple type

prendre t % de x x 7→t

100x 12 % de x, c’est 0,12x.

augmenter x de t % x 7→(1+

t

100

)x si x augmente de 12 % de x, x devient 1,12x.

diminuer x de t % x 7→(1−

t

100

)x si x diminue de 12 % de x, x devient 0,88x.

4 3 Exercices

1 40Trois maçons montent un mur de 600 briques en 1 heure.En combien de temps, avec une efficacité identique, cinq maçons monteront-ils un mur de 1 200 briques ?

1 41Deux amis, Michel et Bernard, achètent un billet de loterie qui coûte 40 fr. ; Michel donne 28 fr. et Bernard 12 fr.Le billet est gagnant et rapporte 1500 fr. Détermine le gain de chacun des deux amis, sachant qu’ils se partagentle gain total proportionnellement à leurs mises.

1 42Une horloge sonne six heures en six secondes.En combien de temps sonnera-t-elle midi ?☞ Ce n’est pas douze secondes.

1 43Le prix hors TVA d’un objet est de 30 fr. Quel est son prix TVA compris ? Même question avec 100 fr., x fr. (la TVAest de 7,5 %)

1 44Le prix d’une voiture avec la TVA est de 25 800 fr. Quelle est sa valeur hors TVA ?

1 45Compléter.

Augmenter un objet de 3,3 %, revient à le ......

Diminuer un objet de 3 %, revient à le ......

Augmenter un objet de 300 %, revient à le ......

Diminuer un objet de 33 %, revient à le ......

Augmenter un objet de 33 %, revient à le ......

Dans chacun des cas, écrire l’application linéaire correspondante.

1 46Une calculatrice « marquée » 42 fr. est soldée 33 fr. 60.

Quel est, en pourcentage, le montant de la remise ?

1 47Commenter cette affirmation d’un journaliste

« Une nouvelle hausse de 15 % sur le tabac interviendra le 1er septembre qui, ajoutée à la hausse de10 % survenue le 1er mars, aura augmenté d’un quart le prix du paquet sur l’année. »


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1 48Les prix sur un certain produit ont augmenté de 20%. De combien de % doivent-ils diminuer pour retrouverleur ancienne valeur ?

1 49Vrai ou faux ?. Justifier !

a) Augmenter trois fois de 10 % revient à augmenter de 33,1 %.

b) Augmenter de 200%, c’est la même chose que doubler.

c) Une augmentation de 12 % suivie d’une baisse de 12 %, cela ne change rien.

1 50On augmente la longueur d’un rectangle de 20 % et on diminue sa largeur de 20 %. Son aire a-t-elle varié ? Sioui, préciser cette variation en pourcentage.

1 51Le nombre de bactéries d’un bouillon de culture s’est accru de 1000 à 4000 en trois jours. Quel est le pourcen-tage moyen d’accroissement par jour ?

1 52Le prix d’un diamant est proportionnel au carré de son poids. Un diamant de 0,45 g vaut 15 000 fr.

1° Combien coûte un diamant de 0,693 g ?

2° Quel est le poids d’un diamant valant 9 000 fr. ?

Transformations d’écritures5

FACTORISER !1. Des multiples de 3

1° Vérifier que les nombres suivants sont multiples de 3 :

23 −2 ; 53 −5 ; 73 −7 ; 113 −11

2° Factoriser n3 −n et en déduire un résultat général.

2. Triplets pythagoriciens

On se propose de trouver des triplets d’entiers (x ; y ; z) tels que x2+y2 = z2 (exemple connu : 32+42 = 52).

1° Soit a et b des entiers.

Montrer que x = 2ab, y = a2 −b2 et z = a2 +b2 sont des entiers tels que x2 + y2 = z2.

2° Pourquoi de tels triplets sont-ils appelés « pythagoriciens » ?

3° Qu’est-ce qu’une identité, une équation ?

Activité

5 1 Développer, réduire

Développer une expression algébrique consiste à effectuer les produits d’expressions entre parenthèses.Définition 1 - 6

Autrement dit, il s’agit de transformer un produit en somme :

— en appliquant les règles de distributivité, la règle des signes

— en utilisant les produits remarquables

Développer l’expression 3a2 · (2a3 +4a2 −2a −5)

3a2 · (2a3 +4a2 −2a −5) = 6a5 +12a4 −6a3 −15a2Exemple


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22 1.5. TRANSFORMATIONS D’ÉCRITURES

Développer, puis réduire l’expression (x −5)(x2 −3x +1).

L’application des règles de distributivité peut se schématiser ainsi :

(x −5) · (x2 −3x +1)

chaque flèche indique un produit dans lequel chaque nombre

est affecté du signe qui le précède

Exemple

(x −5)(x2 −3x +1) = x3 −3x2 + x −5x2 +15x −5

= x3 −8x2 +16x −5on réduit et on ordonne les termes selonle degré des puissances

5 2 Factoriser

C’est la transformation inverse.

Factoriser, c’est transformer une somme en un produit de termes.Définition 1 - 7

Factoriser −5x(x +1)+ (x +1)2 .

Il faut essayer de reconnaître un facteur commun aux deux termes de la somme : x +1 semble convenir.

−5x(x +1)+ (x +1)2 = (x +1)[−5x + (x +1)

]

= (x +1)(−4x +1)on réduit et on ordonne les termes selonle degré des puissances

Exemple

Factoriser f (x) = 9x2 −24x +16 et g (x)= (2x −1)2 −25x2.

Dans ces deux cas, il n’y a pas de facteur commun apparent, mais il existe les identités remarquables.

• On reconnaît dans f (x) le développement de (3x −4)2 :

9x2 → carré de 3x

16 → carré de 4

−24x → double produit2 · (3x) · (−4)

Ainsi f (x) = (3x −4)2

• g (x) est la différence de deux carrés : celui de 2x −1 et celui de 5x.

Ainsi,

g (x) =[

(2x −1)+5x]·[

(2x −1)−5x]

= (7x −1)(−3x −1)

=−(7x −1)(3x +1)

Exemple

Factoriser A(x)= 4x2 −9+ (x +5)(2x −3).

Le terme 4x2 −9 est une différence entre deux carrés. Il peut donc s’écrire (2x +3)(2x −3).

A(x)= 4x2 −9+ (x +5)(2x −3)

= (2x +3)(2x −3)+ (x +5)(2x −3) (2x −3) est un facteur commun

= (2x −3)[

(2x +3)+ (x +5)]

on réduit

= (2x −3)(3x +8)

Exemple


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Identités remarquables6

Quels que soient les réels a et b, on a :

1. (a +b)2 = a2 +2ab +b2

2. (a −b)2 = a2 −2ab +b2

3. a2 −b2 = (a +b)(a −b)

4. (x +a)(x +b) = x2 + (a +b)x +ab

5. (a +b)3 = a3 +3a2b +3ab2 +b3, (a −b)3 = a3 −3a2b +3ab2 −b3

6. a3 −b3 = (a −b)(a2 +ab +b2), a3 +b3 = (a +b)(a2 −ab +b2)

Théorème 1 - 3

Exercices7

1 53Développer, puis réduire

1)(2x2 − y

)2 = 2) (2x −5) · (2x +5) =

3) (4abc −7ab)2 = 4)(12a4 −11ab

)·(11ab +12a4)

=

5) (x +12) · (x −11) = 6)(7a2b −2a2b3) ·

(7a2b −2a2b3)=

7) (3a +2) · (3a −2) ·(9a2 −4

)= 8)

(1

2a2 −b

)·(

1

4a4 −b2

)=

9) (4a −1) · (4a −1) · (4a +1) · (4a +1) =

1 54Développer les expressions suivantes

1)(3x −2y −1

)2 2) (3x + y + z)(3x − y − z)

3)(4x2 − y2 − z2)(z2 + y2 +4x2)

4)(2a3 −4b3 +c3)2

5)(2an −an+1)2

6)(4a3n +3a2n)(

4a3n −3a2n)

7)

(1

3a3 −

2

3b3

)2

−(

2

3a3 −2b3

)2

+(a3 +b3)(b3 −a3)

8)

(1

2x2 +1

)(1

2x2 −1

)−

1

2x4 ·

(2−

1

2x4

)

9)[

x2 + (2+p

2)x +1+p

2]·[

x2 + (2−p

2)x +1−p

2]

10) (x2 −1)(x2 + x

p2+1

)· (x2 +1)

(x2 − x

p2+1

)

11)(x2 + x

p3+1

)(x2 +1

) (x2 − x

p3+1

)

1 55Factoriser

1) 4a2 −12ab +9b2 = 2) a8 −256 = 3) −169+b2 =


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24 1.7. EXERCICES

4) 16a8 +81b4 −72a4b2 = 5) x2 −11x +30 = 6) 9x4 +1

16y2 −

3

2x2 y =

7) 4a2 +8a −21 = 8) x8 +1 =

1 56Factoriser au mieux !

1) 9ab −6a2 +12ab2 = 2) a3b2c −a2bc +a5b3c2 = 3) 7x3 −14x2 y +21x4 =

4) 8a4 −32a2 = 5) 4x3 y +4x2 y −80x y =

6)1

4x3 +

1

9x y2 +

1

3x2 y = 7) −16a3 −9ab2 +24a2b =

1 57Factoriser au mieux !

1) 3 · (a −b)−5x · (a −b) 2) 7x2 · (2x + y)−7x · (2x + y)

3) 16(a −b)− x4(a −b) 4) 25 · (x2 −2x y + y2)+a2 · (2x y − x2 − y2)

5) 2x y · (a2 −b2)+ y · (b2 −a2) 6) ax +ay +bx +by

7) 5ax −5ay −bx +by 8) −4x8 y +4x4 y5 − x7 y + x3 y5

9) 4a2(3− x)−4a(3− x)+a(3− x) 10) (7a −b)2 −4a(b −7a)+12b(7a −b)

11) x2(a −2)−4x(2−a)−12(a −2) 12) (x −1)2 −16y2

13) (x +2y)2 − (2x − y)2 14)(25a2 +1−10a

)−9a2

15) 3x −2y −5b(2y −3x)+6x −4y 16) (x − y)n −2x(x − y)n−1 + x2(x − y)n−2

17)

(2x −

1

3

)2

− (6x −1)(x +2) = 18) (3x +1)2 − (x +2) · (3x +1) =

19) 11 ·(

1

2y +2

)−

(1

2y +2

)2

20)

(x

4+

1

3

)(2+ x)− (2+ x)

(3

4x +1

)

21) (5t +7)(t −1)+ (t −1)(3t −2)− (2t +1)(t −1)

22) (2x −5)2 +20−8x 23)

(y −

1

2

)2

−2y2 + y

24) 36x2 +84x +49 25)

(t −

1

2

)2

−(2t +

1

3

)2

26) −48x3 +48x2 −12x 27) 9x2 −6x −15


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2Résolution deséquations du 1er

et du 2e degré

C H A P I T R E

26

CARRÉ MAGIQUEIl s’agit de remplir les cases du carré ci-contre avec les neuf nombres 1, 2, 3, ..., 9, pour obtenir la mêmesomme sur toutes les lignes, les colonnes et les deux diagonales.

1

2

1° Déterminer cette somme.

2° Soit x le nombre figurant dans la case centrale. Remplir les cases en fonction de x.

3° Calculer x et conclure.

Activité

« 1995 »

1° Soit n un entier relatif. Chacune des listes suivantes est formée d’entiers consécutifs :

(L1) : n, n+1, n+2, . . . , n+1994

(L2) : n−997, n−996, . . . , n−1, n, n+1, . . . , n+997.

Combien y a-t-il de termes dans chaque liste ?

2° 1995 entiers consécutifs ont pour somme 1995 millions. Quel est le plus petit ?

☞ Faire le bon choix pour la variable ...

Activité

LA MÉTHODE DIOPHANTEProblème : « Trouver deux nombres connaissant leur somme 50, et leur produit, 589. »

1° Résoudre ce problème ...

2° Le choix de Diophante :

(a) Justifier l’argument de Diophante : « si deux nombres ont pour somme 50, l’un s’écrit 25+x etl’autre 25− x ».

(b) Montrer que x est alors solution de l’équation x2 = 36.

(c) Résoudre cette équation et en déduire les deux nombres.

Activité

Un peu d’histoire ...

L’algèbre n’est pas née en Grèce, mais à Bagdad avec un mathématicien du nom de al-Khwarizmı au IXe siècle. Ilutilisa un procédé nouveau dans l’histoire des mathématiques qui consiste à manipuler une quantité inconnuecomme si elle était connue, dans le but d’en découvrir la valeur. Pour y parvenir, il va désigner cette quantitérecherchée par le terme de « chose » et calculer avec cette chose inconnue comme si elle était connue. Il ne fauttoutefois pas s’attendre à trouver dans les livres de l’époque l’écriture mathématique utilisée de nos jours avecdes x et des signes d’égalité. Celle-ci n’est venue que bien plus tard. Toutes les équations sont écrites littérale-ment, avec des phrases. Rappelons aussi, au passage, que la notion d’équation, en tant qu’être mathématiquebien isolé, a aussi été introduite par al-Khwarizmı.


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CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1er ET DU 2e DEGRÉ 27

Une équation est un énoncé mathématique qui pose une égalité entre deux expressions qui comportentau moins une inconnue désignée par une lettre.

Définition 2 - 1

Terminologie Définition Illustration

Équation en x Énoncé d’une égalité avec lavariable x

2x2 −5x = 4x −9

Solution ou racine d’uneéquation en x

C’est un nombre a qui vérifiel’équation lorsqu’on le substitue àx

3 est une solution de l’équation2x2 −5x = 4x −9 car

2 ·32 −5×3 = 4×3−9

Équations équivalentes Équations qui ont exactement lamême solution

4x +1 = 5

4x = 4

8x = 8

x = 1

Résoudre une équation enx

Trouver toutes les solutions del’équation

(x −5)(x +2) = 0 a pour solutions 5 et-2 car un produit est nul si l’un de ses

facteurs est nul.

Identité C’est une équation qui est vérifiéepar tous les nombres appartenantau domaine de définition desexpressions composantl’équation.

x2 −1 = (x +1)(x −1)a pour ensemble de solutions S

S =R

Équation générale du 1er degré ax +b = 0 avec a 6= 01

La solution de cette équation est :

ax +b = 0

ax =−b

d’où x =−b

a

Ainsi une équation du premier degré a exactement une solution.

Généralement une équation se résout en la transformant en équations équivalentes de plus en plussimples, pour terminer avec une équation dont on tire facilement les solutions.Une équation se transforme de manière équivalente en ajoutant, enlevant, divisant ou multipliant lesdeux côtés de l’équation par une expression qui représente un nombre non nul.

Remarque

5x −3 =2x +8 additionner 3 et réduire

5x = 2x +11 soustraire 2x et réduire

3x = 11 diviser par 5

x =11

3solution

Exemple

Méthode1° Réduire et simplifier chaque membre de l’équation. Éventuellement, multiplier

l’équation par un dénominateur commun.

2° Isoler l’inconnue («x») dans un des membres de l’équation.


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28 2.2. LES « ÉQUATIONSPRODUITS »

Les « équationsproduits »2

Une équation comme (x −5)(x +3) = 0 est une équation-produit. Son traitement est lié à une propriété impor-tante des nombres réels : un produit est nul, si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul.

Soit les expressions A(x), B(x) et C(x), alors les solutions de l’équation-produit A(x)B(x)C(x) = 0 sont :l’union des solutions de chaque équation A(x)= 0, B(x) = 0 et C(x) = 0.

Théorème 2 - 1

Exemple 1 :

L’équation (2x−5)(x+4) = 0 se résout en cherchant les solutions des équations 2x−5 = 0 (solution 52 ) et x+4 = 0

(solution −4), puis en les regroupant : l’équation a ainsi pour solution 52 ou −4, ou, dans une autre présentation,

S = {−4 ; 52 }.

Exemple 2 :

L’équation x2 −7x +12 = 0 se résout en factorisant d’abord le membre de gauche. On cherche ensuite les solu-tions de l’équation équivalente : (x −3)(x −4) = 0. S = {3 ; 4}.

Exemple 3 :

L’équation x2 = a, avec a > 0, se résout aussi en commençant par la transformer, puis en appliquant une iden-tité remarquable.

x2 −a = 0

(x +p

a)(x −p

a) = 0

C’est une équation-produit dont les solutions sont −p

a etp

a.

2 1Résoudre dans R les équations suivantes :

1. (2x −1)2 + x(1−2x) = 4x2 −1 ;

2. (3x +5)2 = (x +1)2

La résolution de cet exercice permet d’établir le plan de résolution suivant :

Méthode

1° Mettre tout dans un membre

2° Factoriser pour obtenir une équation-produit

3° On cherche les racines pour chacun des polynômes apparaissant dans l’équation-produit

La factorisation s’effectue soit par mise en évidence d’un polynôme

(4x +1)(x −3) = 5(x −3)

(4x +1)(x −3)−5(x −3) = 0

(x −3)(4x +1−5) = 0

4(x −3)(x −1) = 0

soit par l’application d’une identité remarquable comme la différence entre deux carrés

(4x −5)2 − (x +3)2 = 0

(5x −2)(3x −8) = 0

2 2Vrai ou faux

1. L’équation x = x +1 n’a pas de solution.

2. L’équation x2 = (x +1)2 n’a pas de solution.


C

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3. L’équation (x −3)2 = (3− x)2 n’a pas de solution.

4. L’équation

(x +1)(−4−4x)2 = 0

admet une solution.

5. L’équation x(3x +1) = x2 est équivalente à l’équation 3x +1 = x.

6. L’équation3

10x = 0 a pour solution x =−0,3.

7. Les solutions de l’équation (2x −3)(x +5) = 7 sont obtenues en rassemblant les solutions des équations2x −3 = 1 et x +5 = 7.

2 3

Vérifier que 4 et 0,5p

3 sont solutions de l’équation :

−2x2 + x(8+p

3)−4p

3 = 0

2 4Résoudre dans R les équations :

1) x2 +4x −5 = 0 2) m2 +12m =−20 3) y2 =−4y

4) 2z2 −9z +4 = 0 5) 5v2 +4 = 4v2 6) 4y2 −1 = 0

7) 11y = y2 +24 8) u2 =−8u−16 9) z2 −2 = 0

10) 3x2 +5x +2 = 0 11) 100y2 −700y = 0 12) 2x2 = 2(x +4)2

13) 13u+25 = 3u−u2 14)x2

2− x =

x2

4+1 15) 5x2 −3x −2 = 0

2 5Résoudre dans R les équations :

1)

(x +

1

3

)2

= 4

(x −

1

3

)2

2) −x(5− x)+3(x −5)2 = x2 −25 3) x(x +1)(x +2) = (x +1)(x +2)(x +3)

4) 2x(x2 +2) = x2(x2 +2) 5) 3−x

4= 5− x 6) 2(x −1)+

3

2(x +1) = x

7)x

3+

9

4=−

5x

6+

15

28)

x −3

5=

4+5x

39)

x

2+

x

3= 1−

x

4

10)p

2x = 1+ x 11) 5(3− xp

2)+7 = 12−7xp

2 12) (x −1)2 +1 = 0

13) (3x +1)(5x −3) = 0 14) (3− x)(4− x)(10− x) = 0 15) 3x2 −1 = 0

16) 0,04x2 = 1 17) 7x2 =1

1518) (x +1)2 + (x −1)2 = 6

19) (x +1)2 −2x2 = 0 20) x2 −2(x +1)2 = 0 21)x +3

2−

4x −3

3= 1−

5x −12

6

22) (2x +5)2 −2(7x +4) = 4(x +3)2 −1 23) (2x +1)2 −3(x2 −1) = (x +3)2 −5x +4

2 6

Écrire une équation ayant pour solutions : a) 3 ; b) 3 et 4 ; c)p

2 etp

7 ; d) 0,4 et −4

7.

2 7Parmi les équations suivantes, ne résoudre que les équations présentant un produit de facteurs nul :

a) (5x −3)(2x +1) = 0 b) 5x(x +4) = 4 c) (3x +9)(−x +4) = 1

d) 3x(x +2) = 0 e) x(2x −1)+1 = 0 f) (−5x +4)2 = 0.


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30 2.3. LES ÉQUATIONS COMPORTANT DES QUOTIENTS

2 8Factoriser pour résoudre les équations suivantes

a) (2x −1)(x +1)+ (2x −1)(3x −7) = 0 b) (3x +1)2 − (5x +8)(6x +2) = 0

c) −4(3x −1)2 + (2x +3)2 = 0 d) 3(x +2)2(x −1)− (x +2)(x −1)2 = 0

e) 2x2 −5x = (2x −5)(2x +4) f) −x2 +4 = (x −3)(x +1)+ (x +1)

g) − 5x3 (x −3)(x +1) = 0 h) (5x +3)2 = 4(2x −3)2

i) x3 (4x −1)2 = 0 j) 4x2 = 250000

k) (x +1)(3−2x) = 4x2 −9 l) (x2 −9)(2x +1) = (x +3)(2x +1)2

m) (x +1)(2− x)(x +3)+ (x +1)(2− x)(5−2x) = (x +1)(x −2)

n) x3 − x = 2x2 −2

2 9On se propose de résoudre l’équation : x2 − x −1 = 0.

1° Montrer que cette équation est équivalente à :(

x −1

2

)2

−5

4= 0.

2° Résoudre alors cette dernière équation.

Cet exercice nous indique une méthode pour résoudre n’importe quelle équation du second degré...

2 10Un problème d’EulerUn père mourut en laissant quatre fils, ceux-ci se partagèrent ses biens de la manière suivante :

— le premier prit la moitié de la fortune moins 3 000 livres ;

— le deuxième prit le tiers de la fortune moins 1 000 livres ;

— le troisième prit exactement le quart de la fortune ;

— le quatrième prit 600 livres plus la cinquième partie de la fortune.

1° Quelle est la fortune laissée par le père ?

2° Quelle somme reçut chaque enfant ?

Les équations comportant des quotients3

2 11

Lorsqu’on ajoute un même nombre au numérateur et au dénominateur de la fraction1789

1994, on obtient 2

comme résultat.Quel est ce nombre ?

Commentaire : on a obtenu dans cet exercice une équation avec l’inconnue au dénominateur. La méthode àsuivre pour résoudre ce type d’équation est la suivante :

Méthode1° Définir les contraintes sur l’inconnue (ensemble de définition de l’équation)

2° « Chasser » l’inconnue des dénominateurs (légal car ils sont non-nuls)

3° Ne retenir que les solutions appartenant à l’ensemble de définition

2 12Résoudre dans R

1)1

x=

2

x +12)

5x −1

3x +1=−1 3)

3

x2 −9=

1

x −3


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Très rapidement, les équations comportant des quotients se compliquent et nécessitent alors une étape inter-médiaire avant que l’on « chasse » l’inconnue des dénominateurs.

Une équation comme3

2x −6−

5

x +4=

2

x −3domaine R\ {−4 ; 3}

demande que l’on recherche d’abord le ppcm des fractions rationnelles présentes : 2(x −3)(x +4) dans ce cas.On multiple alors l’équation par le ppcm :

3

2x −6·2(x −3)(x +4)−

5

x +4·2(x −3)(x +4) =

2

x −3·2(x −3)(x +4) simplification

3(x +4)−5 ·2(x −3) = 2 ·2(x +4) on distribue

3x +12−10x +30 = 4x +16 simplification

−7x +42 = 4x +16 ajouter 7x, soustraire 8

26 = 11x diviser par 11

x =26

11

La solution de l’équation est bien x = 2611 car cette valeur appartient au domaine de l’équation.

Méthode

1° définir les contraintes sur l’inconnue (ensemble de définition de l’équation)en cher-chant les nombres qui annulent les dénominateurs ;

2° déterminer le ppcm des dénominateurs ;

3° multiplier chaque terme de l’équation par le ppcm et simplifier ;

4° résoudre l’équation ;

5° ne retenir que les solutions appartenant à l’ensemble de définition.

2 13Résoudre les équations suivantes :

1)3x +1

6x −2=

2x +5

4x −132)

2

5+

4

10x +5=

7

2x +13)

3

y+

6

y−

1

y= 11

4)4

x +2+

1

x −2=

5x −6

x2 −45)

6

2x +11+5 = 5 6)

3

2x −4−

5

3x −6=

3

5

2 14Montrer que l’équation est une identité sur son domaine

1) (4x −3)2 −16x2 = 9−24x 2)3x2 +8

x=

8

x+3x 3)

49x2 −25

7x −5= 7x +5

Équations littérales4

Très souvent en mathématiques, en physique ou dans d’autres sciences, des formules comportant plusieursvariables sont utilisées pour répondre à certains problèmes. Quelquefois, il est nécessaire d’exprimer une va-riable particulière en fonction des autres.

Exemple 1 :

Relations entre les échelles de température

La figure ci-dessous montre les échelles de température Celsius et Fahrenheit. L’échelle Celsius a deux pointsfixes : le 0°C (point de fusion de la glace) qui correspond à 32°F et les 100°C (point d’évaporation de l’eau) quise traduisent en 212°F.


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32 2.4. ÉQUATIONS LITTÉRALES

La relation entre les deux échelles est de type affine, c’est-à-dire :

C = a ·F+b avec a et b à déterminer

Comme 0°C=32°F et 100°C=212°F0 = 32a +b 100 = 212a +b

b =−32a

on met cette valeur dans la 2e équation100 = 212a −32a

100 = 180a

a =5

9

on peut maintenant calculer la valeur pour b

b =−32 ·5

9

ceci permet d’écrire la formule

C =5

9F−32 ·

5

9

C =5

9(F−32)

–100

0

100

–148

32

212

EchelleCelsius

EchelleFahrenheit

C F

Pour résoudre cette formule par rapport à F, nous devons obtenir une formule ne contenant que F d’un côté dusigne « égal » et ne contenant pas F de l’autre côté. Nous procédons ainsi :

C =5

9(F−32) multiplier par

9

59

5C = F−32 additionner 32

F =9

5C+32

Exemple 2 :

En électricité, la formule :

1

R=

1

R1+

1

R2

est utilisée pour trouver la résistance totale R lorsque deux résistancesR1 et R2 sont montées en parallèle, comme l’illustre la figure ci-contre.Nous allons la résoudre par rapport à R1.

R2R1

1

R·RR1R2 =

1

R1·RR1R2 +

1

R2·RR1R2 multiplication par le ppcm

R1R2 = RR1 +RR2 regrouper du même côté les termes en R1

R1R2 −RR1 = RR2 mettre en évidence R1

R1(R2 −R) = RR2 diviser par R2 −R

R1 =RR2

R2 −R

2 15Résoudre par rapport à la variable donnée

1) V =1

3πr 2h par rapport à h (volume d’un cône).

2) F =GMm

d2 par rapport à m (loi de la gravitation universelle).

3) A =1

2(b1 +b2)h par rapport à b1 (aire d’un trapèze).


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4) V =πr 2 h1 +h2

2par rapport à h1 (volume d’un tronc de cylindre droit).

5) cp =(i +2)R

2Mpar rapport à i (loi de la chaleur massique d’un gaz parfait).

v = vo

√c −V

c +Vpar rapport à c (effet Doppler relativiste).

2 16Choisir l’équation qui décrit le mieux le tableau des données dans les deux situations qui suivent :

a)

x y

1 0,8

2 -0,4

3 -1,6

4 -2,8

5 -4,0

(1) y =−1,2x +2

(2) y =−1,2x2 +2

(3) y = 0,8p

x

(4) y = x3/4 −0,2

b)

x y

1 -9

2 -4

3 11

4 42

5 95

(1) y = 13x −22

(2) y = x2 −2x −8

(3) y = 4p

x −13

(4) y = x3 − x2 + x −10

Problèmes résolus5

Exemple 1 :

Un appareil toute taxe comprise (TTC) coûte 2400 FF. Quel est son prix hors taxe (HT), si la TVA est de 20,6% ?

Solution La quantité inconnue est le prix HT; on pose ainsi x = prix HT.

La TVA est de 20,6%, ce qui fait pour l’objet en question : 0,206x = montant de la TVA sur l’appareil.

Le prix TTC s’obtient de la manière suivante :

(prix HT)+ (montant de la TVA ) = prix TTC

Cette équation se traduit par :

x +0,206x = 2400 on somme les x

1,206x = 2400 division par 1,206

x ≈ 1990,05 FF

Le prix HT est ainsi de 1990,05 FF.

Exemple 2 :

Une société d’investissement a 100 000 $ à investir pour un client et décide d’investir dans deux fonds, A et B.L’intérêt annuel attendu, ou intérêt simple, pour le fonds A est de 15 %, mais il y a un certain risque et le clientne veut pas investir plus de 50 000 $ dans ce fonds. Pour le fonds B plus solide, l’intérêt escompté est de 10 %.Déterminer s’il y a une façon d’investir l’argent pour que l’intérêt annuel attendu soit(a) 12 000 $ (b) 13 000 $


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34 2.5. PROBLÈMES RÉSOLUS

Solution L’intérêt annuel est donné par i = Ct , tiré de la formule de l’intérêt simple i = Ctn avec n = 1. Soitx la somme investie dans le fonds A, 100000− x sera investi dans le fonds B. Cela conduit aux équationssuivantes :

x = somme investie dans le fonds A à 15%

100000− x = somme investie dans le fonds B à 10%

0,15x = intérêt annuel produit par le fonds A

0,10(100000− x) = intérêt annuel produit par le fonds B

En additionnant les intérêts des deux fonds, nous obtenons

intérêt annuel total = 0,15x +0,10(100000− x)

En simplifiant à droite, nous avons

intérêt annuel total = 10000+0,05x.

(a) L’intérêt annuel total est 12 000 $ si

10′000+0,05x = 12000 soustraire 10 000

0,05x = 2000 diviser par 0,05

x = 40000

Ainsi, 40 000 $ pourraient être investis dans le fonds A, et les 60 000 $ restants pourraient être investisdans le fonds B. Puisque la somme investie dans le fonds A ne dépasse pas 50 000 $, cette façon d’investirrépond à la demande du client.

(b) L’intérêt annuel total est 13 000 $ si

10000+0,05x = 13000 soustraire 10 000

0,05x = 3000 diviser par 0,05

x = 60000

Ainsi, 60 000 $ pourraient être investis dans le fonds A, et les 40 000 $ restants pourraient être investisdans le fonds B. Ce plan ne répond pas à la demande du client qui ne veut pas que plus de 50 000 $ soientinvestis dans le fonds A. Donc, la société ne peut pas investir l’argent du client dans les fonds A et B defaçon que l’intérêt annuel soit 13 000 $.

Exemple 3 :

Adjonction d’antigelUn radiateur contient 8 litres d’un mélange d’eau et d’antigel. Si 40 % du mélange est de l’antigel, combiendevrait-on enlever du mélange pour le remplacer par de l’antigel pour que le mélange résultant contienne 60% d’antigel ? Il faut d’abord bien choisir son inconnue ...

Solution On choisit l’inconnue

x = nombre de litres de mélange à enlever et à remplacer

Quantité totale

Quantité d’antigel pur

+ =

Mélange d’origine à 40%, moins la quantité enlevée Antigel pur Nouveau mélange à 60%

(8 – x) l0,40(8 – x) l

x l1,00(x) = x l

8 l0,60(8) = 4,8 l

La quantité finale d’antigel pur peut être exprimée soit par 0,40(8− x)+ x, soit par 4,8. Nous pouvonsdonc écrire l’équation :

0,40(8− x)+ x = 4,8


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que nous résolvons par rapport à x

3,2−0,4x + x = 4,8 regrouper les termes et soustraire 3,2

0,6x = 1,6 diviser par 0,6

x =1,6

0,6=

16

6=

8

3

Ainsi 83 litres devraient être enlevés du mélange d’origine.

Exemple 4 :

Mouvement de deux voituresDeux villes sont reliées par une route. Une voiture quitte la ville B à 13 heures et roule à la vitesse constante de40 km/h vers la ville C. Trente minutes plus tard, une autre voiture quitte B et roule vers C à la vitesse constantede 55 km/h. Si l’on ne tient pas compte de la longueur des voitures, à quel moment la seconde voiture rejoindra-t-elle la première ?

Solution Au moment de la rencontre, les deux voitures auront parcouru la même distance d (variable auxi-liaire), mais la 1re voiture aura roulé pendant t heures, alors que la 2e pendant t − 1

2 heures, puisqu’elleest partie une demie-heure plus tard. On peut mettre ces données dans un tableau

Voiture Vitesse (km/h) Durée du trajet Longueur du trajet (km)

Première voiture 40 t d=40t

Seconde voiture 55 t − 12 d = 55(t − 1

2 )

L’égalité des distances s’écrit :

40t = 55(t −1

2)

Nous résolvons cette équation par rapport à t

40t = 55t −55

2soustraire 40t et ajouter

55

255

2= 15t diviser par 15

t =55

30=

11

6

Ainsi t = 116 ou 1 heure 5

6 , c’est-à-dire 1 heure 50 minutes. Par conséquent, la seconde voiture rejoint lapremière à 14 h 50.

Exercices6

2 17Pierre a dans son porte-monnaie 86 fr. en pièces de 2 fr. et 5 fr.Sachant qu’il a en tout 28 pièces, combien a-t-il de pièces de 2 fr. et de 5 fr. ?

2 18Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des entiers consécutifs et dont la somme des aires est de 15 125?

2 19

La distance AB est de 200 000 km. Le problème estde trouver la surface de l’anneau. Y a-t-il assez dedonnées ?☞ Il faut recourir à des variables auxiliaires pourles rayons des disques ...

A

B


C

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36 2.6. EXERCICES

Méthode

1° Bien choisir l’inconnue et la désigner par une lettre suffisamment évocatrice : t pourle temps, m pour la masse ...

Il est parfois nécessaire de recourir à des variables auxiliaires qui disparaîtront encours de résolution ...

2° Préciser les éventuelles contraintes sur l’inconnue.

3° Mise en équation.

4° Résolution de l’équation.

5° Conclusion : on confronte la (ou les) les solutions trouvée(s) aux contraintes portantsur l’inconnue.

2 20Sur le côté [BC] de ce carré, où faut-il placer unpoint P pour que l’aire du triangle ABP soit la moi-tié de celle du trapèze APCD ?

A

B C

D

P

10 cm

2 21La caisse de la classe contient exactement 100 francs, en pièces de 2 francs ou de 5 francs. Le caissier compteles pièces et en trouve 30. Un autre élève les recompte et en trouve 29. Qui s’est trompé ?

2 22Le périmètre d’un triangle rectangle est 30 cm. Un des côtés de l’angle droit mesure 6 cm.

Combien mesurent les autres côtés ?

2 23La largeur d’un rectangle vaut le quart de sa longueur. Si tu triples sa largeur et que tu diminues sa longueur de8 cm, tu obtiens un deuxième rectangle dont l’aire mesure 320 cm2 de plus que le premier.

Quelles sont les dimensions du premier rectangle ?

2 24Trouve les dimensions d’un rectangle tel que si l’on augmente chacun de ses côtés de 5 m, l’aire augmente de125 m2 tandis que si l’on diminue chacun de ses côtés de 5 m, l’aire diminue de 75 m2.

2 25Les côtés d’un triangle rectangle mesurent 3, 4 et 5 cm. Une droite parallèle au grand côté de l’angle droitpartage ce triangle en deux polygones de même périmètre : un trapèze et un triangle. Quelles sont les longueursdes côtés de ces polygones ? Même question avec une droite parallèle à l’hypoténuse.

2 26Cherche les dimensions de deux cubes, sachant que la différence de leurs volumes est 39’500 cm3 et que l’arêtede l’un mesure 20 cm de moins que celle de l’autre.

2 27Où faut-il scier ce cube de 10 cm d’arête de ma-nière à obtenir un prisme dont la base est un tri-angle isocèle et dont le volume est le tiers de celuidu reste du cube ?


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2 28L’aire d’un rectangle est 72 cm2. Son périmètre est 44 cm. Quelles sont ses dimensions ?

2 29Le rayon d’un disque mesure 8 cm. De combien doit-on l’augmenter pour que :

a) l’aire du disque double ?

b) l’aire du disque triple ?

c) l’aire du disque quadruple ?

2 30Moyenne annuelle Pendant l’année, un étudiant a obtenu les notes 72, 80, 65, 78 et 60 (Canada). Si l’examenfinal compte pour un tiers dans la note annuelle, quelle note l’étudiant doit-il obtenir pour avoir une moyenneannuelle de 76?

2 31Salaire brut Le salaire d’un travailleur à domicile est 492 $, après des déductions s’élevant à 40 % du salairebrut. Quel est le salaire brut ?

2 32Comptes d’épargne Un étudiant a gagné 100 000 $ à la loterie et il aimerait placer cet argent en comptesd’épargne dans deux banques. Un compte donne 8 % d’intérêt simple, mais le dépôt n’est garanti que jusqu’à50 000 $. Le second compte donne 6,4 % d’intérêt simple, et le dépôt est garanti jusqu’à 100 000 $. Déterminercomment l’argent peut être déposé sans risque et rapporter un intérêt annuel de 7 500 $.

2 33Fréquentation d’un cinéma Six cents personnes assistent à la première d’un film. Les billets pour adultescoûtent 5 $, et les enfants sont admis pour 2 $. Si la caisse contient 2400 $, combien d’enfants assistaient à lapremière ?

2 34Salaire horaire Un ingénieur consultant est payé 60 $ par heure, et son assistante 20 $ par heure. Un clientreçoit une facture de 580 $ pour un certain travail. Si l’assistante a travaillé 5 heures de moins que l’ingénieur,combien de temps chacun a-t-il facturé pour ce travail ?

2 35Préparation d’une solution de glucose Dans un certain test médical destiné à mesurer la tolérance aux hy-drates de carbone, un adulte boit 7 centilitres d’une solution à 30 % de glucose. Lorsque le test est administré àun enfant, la concentration de glucose doit être ramenée à 20%. Combien de solution à 30 % et combien d’eaudevra-t- on utiliser pour préparer 7 centilitres de solution à 20 % ?

2 36Promenade Deux enfants qui sont éloignés de 224 mètres partent au même instant et marchent l’un versl’autre aux vitesses respectives de 1,5 m/s et 2 m/s. (a) Quand vont-ils se rencontrer ? (b) Quelle distance cha-cun aura-t-il parcourue ?

2 37Un cycliste effectue un aller-retour entre deux villes. À l’aller, sa vitesse constante est de 30 km/h. Au retour, savitesse est encore constante et vaut 20 km/h.Quelle est la vitesse moyenne sur l’aller-retour ?☞ Introduire d la distance entre les villes.

2 38Le paradoxe de la Croisette Un cycliste effectue la montée de la croisette à la moyenne de 10 km/h. À quellevitesse doit-il redescendre pour que sa moyenne globale (aller-retour) soit le double, c’est-à-dire 20 km/h ?


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38 2.6. EXERCICES

2 39Le paradoxe de la ficelleSi on enroulait une ficelle autour de l’équateur (environ 40 000 km)et qu’on rallongeait cette ficelle d’un mètrede façon à former une nouvelle circonférence, à quelle hauteur au-dessus du sol se trouverait-elle ?

Imaginer le même problème, mais avec un ballon de football !

2 40Si une boîte et son couvercle pèsent 110 g et si la boîte pèse 100 g de plus que le couvercle, alors le couverclepèse 10 g. Vrai ou faux ?

2 41Un père a 27 ans de plus que son fils. Dans 6 ans, son âge sera le double de celui de son fils.Quel est l’âge du fils ? du père ?

➤ ➤ Méthode le mieux est de faire d’abord un tableau duquel on déduira une équation.

aujourd’hui 6 ans plus tard

père x +27 x +33

fils x x +6

2 42Calculer le côté d’un carré sachant que si on l’augmente de 3 cm, son périmètre augmente de 21 cm.

2 43DuelSur une route sinueuse, vous parvenez enfin à dépasser le poids lourd qui se traînait devant vous à 60 km/h.Combien de kilomètres devrez-vous parcourir à 90 km/h pour avoir le temps de faire un arrêt-pipi (5 min)avant qu’il ne repasse devant vous ?

2 44Une flottille navigue à la vitesse de 15 miles à l’heure. Une corvette part en avant reconnaître le secteur ; savitesse est de 25 miles à l’heure.Elle rejoint la flottille 3 heures après le départ de sa mission.Combien de temps après le départ, la corvette a-t-elle rebroussé chemin ?

2 45Une voiture de police est cachée derrière des sapins à 10 mètres du bord de la route.Une seconde après le passage d’un camion, l’angle θ entre lepoint d’observation des policiers et la route avec pour sommetl’emplacement du camion, est mesuré.

1. Si cet angle mesure 15°, quelle est la vitesse du camion ?

2. Si la limitation de la vitesse est à 80 km/h, à partir de quelangle y a-t-il excès de vitesse ?

10 m

1 seconde

θ

2 46J’ai un jour ramassé tellement de champignons que j’ai eu de la peine à les porter. Mais je ne portais pratique-ment que de l’eau, car les champignons frais contiennent 90 % d’eau. Quand les champignons furent secs, ilspesaient 15 kg de moins et contenaient alors 60 % d’eau.Quel poids de champignons ai-je ramassé ?


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2 47« Touthankaré » (Rallye sans frontière 1993)Le rectangle ABCD a été découpé en carrés. Cal-culer ses dimensions (longueur et largeur) sachantque le petit carré, en blanc sur la figure, représenteun carré de 2 cm de côté.

A

B C

D

2 48Un bateau à moteur remonte une rivière dont le courant est de 5 km/h. Puis après 40 km, il fait demi-tour etrevient à son point de départ. Le voyage aller-retour a pris 6 heures. En supposant que la vitesse du bateau parrapport à l’eau était constante, quelle était cette vitesse ? En l’absence de courant, est-ce que le voyage auraitpris plus de temps ?

2 49« J’ai autant de frères que de sœurs »La sœur de la personne qui vient de parler déclare : « J’ai deux fois plus de frères que de sœurs. »Combien y a-t-il de frères et de sœurs ?Attention : L’énoncé ne fournit aucune indication sur le sexe de la personne qui parle en premier ...

Équation générale du 2e degré ax2+bx + c = 0 avec a 6= 07

La correction de l’exercice 2 - 9 nous a permis de découvrir la solution d’une équation du second degré dont laforme générale est

ax2 +bx +c = 0 avec a 6= 0

Rappelons la démarche.

ax2 +bx +c = a

(x2 +

b

ax +

c

a

)

On a en complétant le carré : x2 +b

ax =

(x +

b

2a

)2

−(

b

2a

)2

= a

((x +

b

2a

)2

−(

b

2a

)2

+c

a

)

et en arrangeant le deuxième terme= a

((x +

b

2a

)2

−b2 −4ac

4a2

)

En distribuant a, on obtient a(x + b

2a

)2− b2−4ac

4a = a(x −h)2 + v qui est appelé la forme canonique du

trinôme du second degré.Remarque

Ainsi

ax2 +bx +c = 0 ⇔ a

((x +

b

2a

)2

−b2 −4ac

4a2

)= 0 (♣)

⇔(

x +b

2a

)2

=b2 −4ac

4a2

en posant ∆= b2 −4ac (discriminant du trinôme)


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40 2.7. ÉQUATION GÉNÉRALE DU 2e DEGRÉ AX2 +BX+C = 0 AVEC A 6=0

⇔(

x +b

2a

)2

=∆

(2a)2

Soit l’équation ax2 +bx +c = 0 et ∆= b2 −4ac, si

• ∆<<< 0, pas de solution (car un carré ne peut être négatif)

• ∆=== 0, une solution unique : −−−b

2acar

(x +

b

2a

)2

= 0⇔ x +b

2a= 0

• ∆>>> 0, deux solutions−b +

p∆

2aet

−b −p∆

2acar

(x +

b

2a

)2

=∆

(2a)2 ⇔ x +b

2a=±

p∆

2a

⇔ x =−b ±

p∆

2a

Théorème 2 - 2

2 50Résoudre les équations suivantes avec et sans la formule :

1) x2 +2x −5 = 0 2) x2 +2x −8 = 0 3) 2x2 +3x −6 = 04) 3x2 +2x +5 = 0 5) 3x2 +7x = 0 = 0 6) 5x2 −7 = 07) x2 −1−2x = 0 8) x − x ·x2 = 0

2 51Résoudre les équations suivantes :

1) −5x2 −6x −1 = 0 2) x2 −6x −1 = 0 3) x2 + x +10 = 04) x2 −7x +12 = 0 5) (x +1)2 −5 = 0 6) −4x2 −6x +2 = 0

7)2

3x2 +

4

3x −1 = 1 8) −3x2 +12x +1 = 0 9) −x2 +10x −4 = 0

10) −3x2 −3x −5 = 0 11) 4x2 −4x = 0 12)1

x −1+

1

x +1= 1

13)3x +2

x −1=

x

x +214)

1

x −1+

1

x −2+

1

x −3= 0 15) x4 + x2 −20 = 0

2 52Résoudre et factoriser

1) x2 −2p

3x +3 = 0 = 0 2) 9x2 −24x +16 = 0 3) 6x2 − x −2 = 0

7 1 Changement de variables

1. Équations bicarrées

Exemple : 2x4 +13x2 −7 = 0

On effectue le changement de variable X = x2.

L’équation 2x4 +13x2 −7 = 0 est alors équivalente au système

{x2 = X

2X2 +13X−7 = 0

La résolution de la 2e équation donne ∆= 225 et fournit ainsi deux solutions X1 =−7 et X2 = 12 .

Il nous reste deux équations à résoudre : x2 = X1 et x2 = X2. La 1re n’a pas de solution et la 2e en admet

deux :p

22 et −

p2

2 .

Conclusion : 2x4 +13x2 −7= 0 admet deux solutionsp

22 et −

p2

2 .

2. Autres substitutions

Exemple : ( 1x )2 − 1

x − 34 = 0, avec X = 1

x est équivalent à

{1x = X

X2 −X− 34 = 0


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Équations paramétriques à une inconnue8

Une équation paramétrique à une inconnue se différencie des équations déjà vues par la présence d’autreslettres que celle représentant l’inconnue dans l’équation. Par exemple,

2x2 +++bx +++2 === 0

est une équation paramétrique du 2e degré à une inconnue x de paramètre b. Elle est une expression généralequi résume une famille d’équations dont voici quelques exemplaires :

2x2 +2x +2 = 0 (b = 2)

2x2 − x +2 = 0 (b =−1)

2x2 +2 = 0 (b = 0)

Résoudre une équation paramétrique, c’est donner une solution générale pour toutes les équations de la fa-mille d’équations représentée par l’équation paramétrique.

Résolution L’équation 2x2 +++bx +++2 === 0 est du second degré. On calcule ∆.

∆= b2 −16

si b2 < 16 c’est-à-dire b ∈]−4 ; +4[ , il n’y a pas de solution

si b2 = 16 c’est-à-dire b ∈ {−4 ; +4} , la solution est x =−b

4

si b2 > 16 c’est-à-dire b ∈R\ [−4 ; +4] , il y a deux solutions

Dans le dernier cas, pour toute équation 2x2 +bx +2 = 0 avec b ∈R\ [−4 ; +4], les solutions sont

x1,2 =−b ±

pb2 −16

4

Autre exemple Discutons les solutions de l’équation

(a −−−2) ···x === b +++1

selon les valeurs de a et b.

1° a 6= 2 : pour isoler x, il faut diviser l’équation par a − 2; d’où ce cas avec a 6= 2 qui nous livre la

solution x =b +1

a −22° a = 2 : on considère maintenant le cas exclu précédemment.

L’équation devient 0 ·x = b +1 ou 0 = b +1.

a) a = 2 et b =−1 : en mettant ces valeurs dans l’équation, elle devient 0 = 0 dont la solution estS =R.

b) a = 2 et b 6= −1 : en mettant ces valeurs dans l’équation, elle devient 0 6= b −1 dont la solutionest S =;.

2 53Résoudre les équations ci-après

Équations bicarrées

1) 4x4 −73x2 +144 = 0 2) 2x6 +15x3 −8 = 0

Équations paramétriques

3) x −1 = b +b2x 4) x2 − (a +3)x +3a = 0

5) a2x −a = a2 −ax 6) m(mx +1) = 2(2x −1)

7) bx · (a −b)+a2x = a · (1−bx)+b · (1−2bx)

8) Soit la famille d’équations (m + 2) · x2 + 2m · x + m − 3 = 0. Trouver les équations de cette famille qui ontexactement une solution . Calculer cette solution.

9) Soit l’équation 3x2 −10x +c = 0. Détermine c pour que l’équation admette :

1° deux solutions distinctes ;

2° deux solutions positives ;

3° deux solutions de signe contraire, la positive étant en valeur absolue plus grande que la négative.


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42 2.9. PROBLÈMES CONDUISANT À UNE ÉQUATION DE SECOND DEGRÉ

Problèmes conduisant à une équation de second degré9

2 54Pour se rendre de Genève à Bâle (distance approximative 288 km), deux cyclistes partent en même temps. L’und’eux, dont la vitesse est supérieure de 4 km/h à celle de l’autre, arrive 1 heure plus tôt.Quelles sont les vitesses des deux cyclistes ?

2 55L’aire d’un triangle rectangle est 429 m2, et l’hypoténuse a pour longueur h = 72,5 m. Trouver le périmètre.

2 56

Le grand carré a son côté de longueur 1.Trouver la largeur (constante) de la bande, sachant qu’elle a même aireque le carré intérieur.

2 57

Le demi-cercle de diamètre [AB] a 7,5 cm de rayon.Le triangle △AMB a pour périmètre 36 cm.Déterminer les longueurs des côtés du triangle△AMB.

A O B

M

2 58En partant de la ligne (♠) page 39, si le discriminant ∆ est positif, on peut écrire :

a

((x +

b

2a

)2

−(p

b2 −4ac

2a

)2)= 0

Utiliser cette écriture pour démontrer le théorème suivant :

Si ∆> 0, l’équation ax2 +bx +c = 0 admet deux racines x1 et x2, et

ax2 +bx +c = a(x − x1)(x − x2)Théorème 2 - 3

2 59Montrer le théorème suivant

Théorème de Viète

Lorsque l’équation ax2 +bx + c = 0 admet deux racines distinctes, ou confondues, leur somme S et leurproduit P sont donnés par

S =−b

aP =

c

a

Théorème 2 - 4

En particulier, si l’équation est x2 +bx +c = 0, alors

S =−b P = c

2 60En utilisant ce résultat, trouver deux nombres dont la somme est égale à 6 et dont le produit est égal à 1.

2 61Trouver deux nombres de somme 5 et de produit 6.


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2 62On veut faire une boîte ouverte de base carrée àpartir d’un morceau de métal carré, en coupant àchaque coin un carré de 3 cm de côté et en pliantles côtés. De quelle taille doit être le morceau demétal pour que la boîte ait un volume de 48 cm3 ?

3

x

x � 6

3

x

3

x � 6 3

x � 6

3

x � 6

2 63La hauteur h (en m) au-dessus du sol d’une fusée jouet t secondes après son lancement est donnée par h =−4,9t 2 +36t . Quand la fusée sera-t-elle à 60 m du sol ?

2 64Dimensions d’une boîte de conserve Une fabrique de boîtes de conserve veut faire une boîte de forme cylin-drique de 20 cm de haut, contenant 3000 cm3. Calculer le rayon intérieur r de la boîte.

2 65Distance de freinage La distance qu’une voiture parcourt entre le moment où le conducteur décide de freineret celui où la voiture s’arrête est appelé la distance de freinage. Pour une certaine voiture circulant à v km/h, ladistance de freinage d (en m) est donnée par d = 0,2v +0,006v2 .

(a) Calculer la distance de freinage quand v vaut 50 km/h.

(b) Si un conducteur décide de freiner 100 m avant un signal stop, à quelle vitesse doit-il rouler pour s’arrêterau bon endroit ?

2 66Dans le cercle ci-contre de centre O,AB est un diamètre,C est un point du cercle,CD est une hauteur du triangle ABC,le point C est un point du cercleet le triangle BAE est isocèle en E.Sachant que CD = 3 et AB= 10,

1. Trouver la longueur BD.

2. Trouver le périmètre du quadrila-tère ACBE.

b

O

bB

b

A

bC

b

D

b

E

2 67Loi de Coulomb Une particule de charge−1 est située sur une droite de coordonnées en x =−2, et une particulede charge −2 est en x = 2, comme le montre la figure. Si une particule de charge +1 a une position x entre −2 et+2, la loi de Coulomb en électricité affirme que la force résultante F exercée sur la particule est donnée par laformule

F =−k

(x +2)2 +2k

(2− x)2

pour une constante k > 0.–2 x 2

–1 –2+1

Déterminer la position où la force résultante est nulle.

2 68Clôture d’un terrain Un fermier projette de clôturer un terrain rectangulaire, utilisant l’écurie pour un côtéet une barrière pour les trois autres côtés. Si le côté parallèle à l’écurie vaut deux fois la longueur d’un côtéadjacent, et si l’aire du terrain est de 128 m2, combien de mètres de barrière doit-il acheter ?


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44 2.10. EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

2 69

Rabais de quantité Une fabrique vend des chaussures de marche à un revendeur pour 40 $ la paire si la com-mande est de moins de 50 paires. Si la commande est de plus de 50 paires (jusqu’à 600), le prix par paire estréduit de 0,04 $ fois le nombre commandé. Combien de paires le revendeur peut-il acheter pour 8400 $?

2 70

Dimensions d’un comprimé de vitamine La rapidité avec laquelle un comprimé de vitamine C se dissout dépendde sa surface. Une première sorte de comprimé a 2 centimètres de long et a la forme d’un cylindre terminé àchaque extrémité par un hémisphère de 0,5 centimètre de diamètre, comme le montre la figure. Une secondesorte de comprimé a la forme d’un cylindre circulaire droit de 0,5 centimètre de hauteur.

(a) Calculer le diamètre du second comprimé pour que son aire soit égale à celle du premier comprimé.

(b) Calculer le volume de chaque comprimé.

2 cm

0,5 cm

Exercices supplémentaires10

2 71

Un sol est recouvert de 500 carreaux carrés. Si l’on avait utilisé des carreaux de 5 cm plus longs et plus larges, ilen aurait fallu 320 pour recouvrir le sol. Quelles sont les dimensions des premiers carreaux ?

2 72

Un héritage, qui s’élève à 405 000 F, doit être partagé de manière égale entre un certain nombre de personnes.Trois héritiers viennent à être exclus, et de ce fait la part de chacun des autres s’en trouve augmentée de 22 500F.Combien y avait-il d’héritiers initialement ?

2 73

Quelle longueur ont les deux aiguilles d’une horloge, si la distance de leurs extrémités est 17cm à midi et 85cmà 9 heures ?

2 74

Deux dindes pèsent 20 kilos à elles deux. La plus petite coûte 96 F et la plus grande 120Frs, mais la plus petitecoûte 2 F de plus au kilo que la grande. Combien pèsent chacune des deux dindes ?

2 75

On envisage un rectangle de 4m sur 3m, entouré d’une bordure de largeur constante. Déterminer cette largeurde sorte que l’aire de la bordure soit égale à celle du rectangle qu’elle entoure.

2 76

En augmentant de t% la largeur d’un rectangle et de 2t% sa longueur, l’aire de ce rectangle augment de 31 %.Calculer t .

2 77

1. a) Dans la figure ci-dessous, trouver le point P appartenant au segment AB de sorte que l’angle �CPD soitdroit.


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AC=

7

AB = 10

BD

=5

bA b B

bC

b D

b

P

b) Quelle devrait être la longueur de BD pour qu’il n’existe qu’une et une seule position de P de sorte àobtenir l’angle droit ?

2. Quelles sont les dimensions exactes d’un rectangle de 40 [cm] de périmètre et de 50 [cm2] de surface ?

2 78

Si l’on jette une pierre du haut d’une falaise dans l’océan, elle parcourt approximativement 4,9t 2 m en t se-condes. On entend l’impact 4 secondes plus tard. Sachant que la vitesse du son est de 330 m/s, évaluer lahauteur de la falaise.

2 79Deux trains partent en même temps de deux villes A et B distantes de 360 km. Ils se rencontrent au bout de4 heures. Pour que la rencontre se fasse à mi-distance, il aurait fallu que le train à destination de B parte 54minutes avant l’autre. Calculer la vitesse moyenne des deux trains.

2 80

Deux voyageurs A et B distants de 66 km vont l’un vers l’autre. À part trois heures après B. Après la rencontre, Bmet 1h 36min pour achever le trajet et A, 6h 15min. Déterminer le point de rencontre.

2 81La vitesse du courant d’un fleuve est de 5km/h. Il faut à un rameur 30 minutes de plus pour parcourir 1,2kmen remontant le courant que pour la même distance en descendant. Quelle est la vitesse du canoë en eautranquille ?

2 82Deux ouvriers reçoivent l’un 16 000 F et l’autre, 9 000 F. Le premier a travaillé 5 jours de plus que le second. Sichacun avait travaillé le nombre de jours qu’a travaillé l’autre, ils auraient reçu la même somme. Quel est lenombre de journées de travail de chaque ouvrier et leur salaire journalier ?

2 83Lorsque le prix d’un lecteur CD en vogue est de 450 F, un magasin en vend 15 par semaine. Cependant, chaquefois que le prix est réduit de 15Frs, il en vend deux de plus par semaine. Quel est le prix de vente du lecteur CDsi les revenus de la semaine se sont élevés à 10 500 F ?

2 841. On dit qu’un rectangle est un rectangle d’or si, lorsqu’il est coupé en un carré et un rectangle, le rectangle

obtenu est semblable au premier (préservation du rapport des côtés). Déterminer la longueur du grandcôté d’un rectangle d’or dont le petit côté mesure l m.

2. Calculer le rapport entre la diagonale interne d’un pentagone régulier et son côté. Poser que le côté vaut1.


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2 85On dit qu’un rectangle est de format A si, lorsqu’il est coupé en deux rectangles égaux, ces derniers sont sem-blables au premier.

1. Déterminer le rapport des côtés (> 1) d’un rectangle de format A.

2. Une feuille de papier AO est une feuille de format A dont l’aire mesure 1 m2.

En coupant cette feuille en deux, on obtient deux feuilles A1; en coupant en deux une feuille A1, on obtientdeux feuilles A2 et ainsi de suite. Déterminer en mm la longueur et la largeur d’une feuille de format A4.

2 86La base et la hauteur d’un rectangle mesurent 50m et 24m. Mener une parallèle au petit côté, de manière queles deux rectangles qu’elle détermine soient semblables. Remarque : il y a 3 réponses, une, évidente, et les deuxautres, symétriques.

2 87

L’aire latérale du cylindre ci-contre estégale à l’aire de la couronne circulairehachurée. Quel est le diamètre du cy-lindre ?

20 cm

10 cm

2 88On veut planter 324 arbustes sur un terrain rectan-gulaire ABCD de longueur 140m et de largeur 32m,de façon à former un quadrillage régulier (voir fi-gure). Quelle doit être la distance entre deux ran-gées consécutives ?

b

Ab

B

bC

bD

b b

b

b

b

b

b

b b

b

b b

b

b

b

2 89Deux ouvriers doivent faire un certain travail. Si chacun en exécutait la moitié, ils mettraient en tout 12h 30minutes ; mais, travaillant ensemble, ils feraient le travail en 6 heures. Combien chacun mettrait-il de tempspour faire l’ouvrage tout seul ? ☞ Introduire la capacité de travail horaire de chaque ouvrier.

Réponses

2 - 71

500x2 = 320(x +5)2 ⇔ 5x =±4(x +5). Les dimensions des premiers carreaux sont de 20cm x 20cm.

2 - 72405000

x −3=

405000

x+22500 ⇔ x2 −3x −54 = 0. Il y avait initialement neuf héritiers.

2 - 73x2 + (x +17)2 = 852. Les aiguilles ont respectivement pour longueurs 51 cm et 68cm.

2 - 74

96

x=

120

20− x+2 ⇔ x2 −128x +960 = 0. La plus petite pèse 8kg et la plus grande, 12kg.


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2 - 75

2 ·4 ·3 = (3+2x)(4+2x) ⇔ 2x2 +7x−6 = 0. La largeur de la bordure est d’environ 71 cm (

p97−7

4exactement).

2 - 76 (1+

t

100

)·(1+

2t

100

)=

131

100⇔ t 2 +150t −1550 = 0 ⇔ t ≈ 9,7

2 - 77 1. a) Construire le point E aligné à BD tel que DE = 2. Poser x la distance AP.Le théorème de Pythagore appliqué sur les ∆APC, ∆BPD et ∆CED nous indique que :

72 + x2 = PC2

52 + (10− x)2 = PD2

22 +102 = DC2

Par la réciproque du théorème de Pythagore, le ∆CPD est rectangle si :

CP2 +PD2 = CD2 ⇔ 2x2 −20x +70 = 0

La valeur du discrimant ∆ étant négatif il n’est pas possible de placer P sur AB de sorte à obtenirl’angle droit voulu !

b) Poser a la longueur de BD. Par un raisonnement analogue au cas précédent, la condition pour ob-tenir un angle droit est donnée par l’équation :

2x2 −20x +14a = 0

Pour obtenir une et une seule position, il faut que :

∆= 202 −4 ·2 ·14a = 0⇔ a =25

7

2. Poser x la largeur du rectangle et (20− x) la longueur. Équation à résoudre :

x · (20− x) = 50 ⇔ x2 −20x +50 = 0

Seule la solution positive est retenue,

x = 10+5p

2

20− x = 10−5p

2

2 - 78 √x

4,9+

x

330= 4 ou 4,9t 2 = 330(4− t). La hauteur de la falaise est d’environ 70,27m.

2 - 79

vA + vB = 90 km/h et180

vA=

180

90− vA+0,9 ⇔ v2

A −490vA +18000 = 0

Le train partant de A fait 40km/h et celui partant de B, 50km/h.

2 - 80 Soit x, la distance séparant A du point de rencontre. Alors on a

x

vA=

66− x

vB−3, vA =

66− x

6,25et VB =

x

1,6

d’où6,25x

66− x=

1,6 · (66− x)

x−3 ⇔ 1,65x2 +409,2x −6969,6 = 0

Le point de rencontre se trouve à 16 km de A.

2 - 811,2

v −5=

1,2

v +5+

1

2

La vitesse du canoë en eau tranquille est de 7 km/h.

2 - 829000 · (x +5)

x=

16000x

x +5, x étant le nombre de jours qu’a travaillé le second.

Le premier ouvrier a travaillé 20 jours à 800 F par jour, tandis que le second a travaillé 15 jours à 600 F par jour.


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2 - 83(450−15x)(15+2x) = 10500, où x est le nombre (entier) de réductions.

Le prix de vente du lecteur CD est de 300 F.

2 - 84 1.x −1

1=

1

x, avec 0 < x < 1.

La longueur du petit côté est d’environ 1.62 cm ( 1+p

52 cm exactement, qui est le nombre d’or φ).

2. On trouve également φ.

2 - 85 1) x = 1x/2 ⇒ x =

p2 2) 24 · (x2

p2) = 106 mm2.

La largeur et la longueur d’une telle feuille sont respectivement d’environ 210 mm et 297 mm (exactement125 ·23/4 et 250 ·21/4).

2 - 86 Soit x la distance à laquelle on trace la parallèle au petit côté gauche.

24

x=

50− x

24ou

24

x=

24

50− xsolution évidente : x = 25.

Les deux solutions non triviales sont solutions de l’équation x2 −50x +576 = 0 . On trouve x = 18 ou x = 32.

2 - 87

10πx =π

(102 −

( x

2

)2)

Le diamètre du cylindre est de 20 ·(p

2−1).

2 - 88 (140

x+1

)·(

32

x+1

)= 324 ⇔ 323x2 −172x −4480 = 0

La distance entre deux rangées doit être de 4 m.

2 - 89 x est le temps mis par l’un des ouvriers pour effectuer 1/2 unité de travail.

1

2x+

1

2 · (12,5− x)=

1

6

Un des deux ouvriers mettrait 5h pour effectuer la totalité du travail et l’autre 7h 30mn.


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3Systèmeslinéaires

C H A P I T R E

50 3.1. RAPPELS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES (2,2)

Rappels sur les systèmes linéaires (2,2)1

Beaucoup de problèmes à plusieurs inconnues se traduisent par des systèmes linéaires d’équations ou d’inéqua-tions. Pour la résolution des systèmes d’équations, on trouve deux approches :

a° les méthodes de résolution algébrique qui, en ce qui concerne les petits systèmes (2-4 équations), sontla substitution, la comparaison et l’addition (appelée aussi combinaison).Exemples

• la substitution

➀ x −2y = 5 =⇒ x = 2y +5

➁ 2x −6y = 5

en remplaçant x dans l’équation ➁ par l’expression tirée de l’équation ➀, on obtient

2(2y +5)−6y = 5

4y +10−6y = 5

−2y +10 = 5

2y = 5

y =5

2

en mettant cette valeur dans l’équation ➀, on obtient

x = 2 ·5

2+5

x = 10 d’où S = {(10;5

2)}

• la combinaison

➀ 3x −2y = 5 ·2

➁ 2x −5y = 3 · (−3)

➀’ 6x −4y = 10

➁’ −6x +15y =−9

11y = 1 c’est-à-dire y =1

11

en mettant cette valeur dans l’équation ➀, on obtient

3x −2 ·1

11= 5 d’où x =

19

11

Ainsi S ={(

19

11;

1

11

)}

b° l’interprétation et la résolution graphique.

Une notion fondamentale pour ce chapitre est celle de l’équation y = ax +b de la droite. Elle est nécessaire àl’interprétation graphique.


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CHAPITRE 3. SYSTÈMES LINÉAIRES 51

Par exemple, le système linéaire

➀ −2x + y = 3

➁ 0,5x − y =−1

se représente graphiquementpar deux droites d’équation

➀’ y = 2x +3 pour f1

➁’ y = 12 x +1 pour f2

La solution de ce système se litgraphiquement à l’endroit (s’ilexiste) de l’intersection de cesdeux droites : ici

S = {(−1,3; 0,3)}

il est clair que cette solutionn’est qu’approximativepuisqu’elle est le résultat d’unelecture graphique.

f1

f2

1 5 10 15-5-10-15

1

5

10

15

-5

-10

-15

1 1 Système de coordonnées

On munit le plan d’un système de coordonnées ou repère (Oxy). C’est un système de deux axes, souvent per-pendiculaires, qui permet de repérer la position d’un point grâce à deux nombres, appelés les coordonnées dupoint.

• l’axe (Ox), appelé axe des abscisses, est muni du repère (O,I) ;

• l’axe (Oy), appelé axe des ordonnées, est muni du repère (O,J).

M

I

J

O m1 x

m2

y

J

I

y

x

M

m1

m2

Repère orthonormal• m1 est le projeté de M sur (Ox) selon (Oy)

• m2 est le projeté de M sur (Oy) selon (Ox)

Un point M a ainsi pour coordonnées (x, y) dans le repère (Ox y) lorsque les points m1 et m2 ont pour abscissesrespectives x sur (Ox) et y sur (Oy) : x est l’abscisse du point M, y est son ordonnée.Dans la figure ci-dessus, le repère de gauche est quelconque, celui de droite est orthonormal. Ceci signifie que(OI)⊥ (OJ) et OI = OJ = 1.C’est une fois que le plan est doté d’un repère orthonormal que l’on peut calculer aisément des distances. Ainsila distance entre deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) est donnée par une formule déduite de Pythagore.


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52 3.1. RAPPELS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES (2,2)

−1

−2

1

2

3

1 2 3−1−2

b

A(1;−1)

bB(2;3)

3− (−1) = 4

2−1 = 1

AB=√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 =√

42 +12

1 2 Équation de la droite : y = ax +b

Dans un système de coordonnées orthonormal (Oxy), une droite est entièrement décrite par deux données :

a° l’ordonnée à l’origine. C’est le point où la droite coupe l’axe des ordonnées (axe vertical). Dans la figurede la page précédente, cela correspond à l’ordonnée +3 pour la droite f1 ;

b° la pente. C’est le rapport du déplacement vertical au déplacement horizontal entre deux points de ladroite. Toujours avec le même exemple, la pente de f1 est +2

+1 = 2. Ceci signifie qu’un changement d’uneunité pour x se répercute sur y en doublant de valeur. L’équation de f1 est ainsi y = 2x +3

La forme générale de l’équation de la droite est ainsi y = ax +b (x = c pour une droite verticale).

Justification Une équation du type y = ax+b (par exemple y = 3x+5) a une infinité de solutions : pour chaquechoix d’une valeur de x, on obtient une valeur pour y . Dans l’exemple, si x = 2, alors y = 11. Le couple(2; 11) est ainsi une solution de l’équation. Toutes les solutions sont données par l’écriture suivante :

S = {(x, y) |x ∈R et y = 3x +5}

En fait, l’ensemble de ces couples forme la définition d’une fonction

f : x 7→ 3x +5

et représentent des points dans le plan muni d’un système de coordonnées. La justification qui suit vamontrer que ces points dessinent une droite. On commence par un cas particulier de l’équation de ladroite.

a° Cas particulier de l’équation de la droite y = ax

Soient les points O(0; 0) et A(x ; ax) du graphe de f : x 7→ ax.

Un point B appartient à la droite (OA) si les △OB′B et△OA′A sont semblables, c’est-à-dire si

BB′

AA′ =OB′

OA′ ⇔BB′

OB′ =AA′

OA′ (∗)

mais on a queAA′

OA′ =ax

x= a

Ox′ x

B

B′ A′

Aax

Cette condition (∗) signifie que

BB′

OB′ = a c.-à-d. BB′ = ax′ puisque OB′ = x′

Ainsi les coordonnées d’un point B appartenant à la droite sont (x′ ; ax′), en d’autres termes, si B estun point de la droite (OA), alors il appartient au graphe de f : x 7→ ax.

b° Cas général y = ax +b


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La différence entre y = ax +bet y = ax est que les pointssolutions de y = ax + b ontune ordonnée à laquelle il aété ajouté b par rapport àcelle des points solutions dey = ax.

y = ax

+b

+b

y = ax

y = ax +b

1 3 Systèmes linéaires

Un système linéaire de deux équations, deux inconnues x et y est la donnée de deux équations

(S)

ax +by = c

a′x +b′y = c ′

où a, b, c, a′, b′ et c ′ sont des réels donnés.

Définition 3 - 1

Une solution de (S) est un couple (x, y) vérifiant chacune des équations. Résoudre le système (S) revient àdéterminer tous les couples solutions.

Soit (S) le système

ax +by = c

a′x +b′y = c ′.

• Si ab′−a′b 6= 0, le système (S) admet une solution unique.

• Si ab′−a′b = 0, le système (S) n’a pas de solution ou admet une « droite de solutions ».

L’expression ab′− a′b, notée schématiquement

∣∣∣∣∣a b

a′ b′

∣∣∣∣∣ (différence des produits en croix) est appelé dé-

terminant du système.

Théorème 3 - 1

Preuve. Chacune des équations est représentée par une droite, D et D′, respectivement. Si b et b′ sont différents

de 0, les pentes de ces droites sont − ab et − a′

b′ . Les droites sont parallèles lorsque ces pentes sont égales, soitab′ = ba′ ou encore ab′−ba′ = 0.

Cependant, si b = 0, par exemple, alors a 6= 0.ab′−a′b = 0 s’écrit alors ab’=0. Mais puisque a 6= 0, c’est donc b′ = 0. Dans ce cas, les deux droites sont parallèlesà l’axe (Oy). Réciproquement, si D//D′//(Oy), alors b = b′ = 0. D’où ab′−a′b = 0.

On a montré que si le déterminant est nul, alors les droites D et D′ sont parallèles (confondues éventuellement,

dans ce cas on a une droite solution), et réciproquement. Donc, si le déterminant est non nul, alors les droitessont sécantes et la solution est donnée par le point d’intersection (une seule solution). �

Exercices2

3 1Résoudre les systèmes

1)

➀ 2x +3y = 2

➁ x −2y = 82)

➀ 4x +5y = 13

➁ 3x + y =−43)

➀ 3r +4s = 3

➁ r −2s =−4

4)

➀ 5x −6y = 4

➁ 3x +7y = 85)

➀ 2x +8y = 7

➁ 3x −5y = 46)

➀ 13 c + 1

2 d = 5

➁ c − 23 d =−1


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54 3.2. EXERCICES

7)

➀p

3x −p

2y = 2p

3

➁ 2p

2x +p

3y =p

28)

➀ 0,11x −0,15y = 0,25

➁ 0,12x +0,05y = 0,79)

➀ 2y −5x = 0

➁ 3y +4x = 0

10)

➀ 3x = 5y −6

➁ x = y −1011)

➀ x3 + y

5 =− 415

➁ 5x − y2 = 13

2

12)

➀ 3x + y = 5

➁ 6x +2y = 5

13)

➀ 3x + y = 5

➁ 64 x = 5

2 −y2

14)

➀ 2x +4y = 6

➁ 12 x +3y = 11

2

➂ 32 x − 5

2 z = 6

15)

➀ 3x −5y +2z = 26

➁ 2x +3y −5z = 11

➂ 7x −9y −3z = 63

16)

➀ 2x −5y −2z = 3

➁ − x + y + z = 0

➂ 4x +3y +2z = 11

17)

➀ 2x + z = 3

➁ 2y + z = 0

➂ 4x − y − z = 1

18)

➀ x −3z + z = 5

➁ −2x +3y + z = 2

➂ 4x +3y − z = 1

19)

➀ mx + y = 2

➁ 3x −2y = 120)

➀ mx − y = 12

➁ 4x +2y =−121)

➀ y = mx

➁ y = x +m2 −1

3 2En terrasse« Deux cocas, trois oranginas : 66 F. »« Trois cocas, cinq oranginas : 105 F. »Combien le coca ? l’orangina ?

3 3Soit deux nombres. En retranchant au premier nombre le double du second, on obtient 21. En ajoutant ausecond nombre le tiers du premier, on trouve 27. Quels sont ces nombres ?

3 4J’ai dans mon porte-monnaie des pièces de 2 fr. et des pièces de 1 fr., soit 21 pièces en tout. Si les pièces de 2 fr.étaient remplacées par des pièces de 1 fr. et inversement, j’aurais 3 fr. de moins. Combien ai-je ?

3 5Si on augmente la longueur d’un rectangle de 2 cm et sa largeur de 3 cm, son aire augmente de 96 cm2.Si, maintenant, on diminue sa longueur de 5 cm et sa largeur de 4 cm, son aire diminue de 135 cm2.Déterminer les dimensions du rectangle.

3 6Si on diminuait de 3 cm la grande diagonale d’un losange et si on augmentait la petite de 1 cm, l’aire diminueraitde 7 cm2. Si on augmentait la grande diagonale de 4 cm et si on diminuait la petite de 3 cm, l’aire diminueraitde 12cm2. Calculer les dimensions de ce losange.

3 7Calcul de la vitesse du courant d’une rivière Un bateau à moteur, fonctionnant à plein régime, parcourt 4 kmen remontant la rivière (contre un courant constant) en 15 minutes. Le retour (avec le même courant et à pleinrégime) prend 12 minutes. Trouver la vitesse du courant et la vitesse propre du bateau en eau calme.

3 8Les notes suivantes ont été écrites dans l’ordre croissant :

x ; 4 ; 6 ; 7 ; 10 ; 11 ; 13 ; 14 ; 15 ; y

On sait que la moyenne est 10 et que l’écart entre les deux notes extrêmes est 16.Calculer x et y .


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3 9La plus mauvaise note est 2. Si l’on n’en tient pas compte, la moyenne des notes au contrôle augmente d’undemi-point.La meilleure note est 19. Éliminée, la moyenne baisse alors d’un demi-point.Combien d’élèves ont participé au contrôle ?☞ Utiliser les variables S pour la somme des notes, n le nombre d’élèves et m la moyenne ...

3 10Calculer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite qui passe par l’origine et par le point (−12 ; −6).

3 11Calculer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite qui passe par les points A(−1 ; −1) et B(7 ; 3).

3 12La droite d1 passe par les points (3 ; 0) et (−3 ; −2). La droite d2 est parallèle à d1 et passe par le point (−1 ; 4).Calculer la pente et l’ordonnée à l’origine de d2.

3 13

La largeur d’une piscine rectangulaire est égale aux 34 de sa longueur. Cette piscine est entourée d’une allée

large de 3 m, d’une aire de 246 m2. Calculer les dimensions de la piscine.

3 14Un paysan vend pour 80 fr. le mètre carré deux terrains carrés non contigus. Un des terrains mesure 75 m2 deplus que l’autre. La somme des périmètres est de 100 m. Quel est le prix de chaque terrain ?

3 15Un enfant achète 26 rails pour son train électrique. Il achète des rails courbes et des rails droits. Un rail courbecoûte 4,40 fr. et un rail droit 3,30 fr. Combien a-t-il acheté de rails de chaque sorte, sachant qu’il a dépensé97,90fr. ?

3 16Un père donne 6630 fr. à ses trois enfants. Le premier reçoit le double du deuxième et 1870 fr. de plus que letroisième. Calculer la part de chacun.

3 17

Un monsieur, ne voulant ni avouer son âge ni mentir, dit : « Si je vivais jusqu’à 100 ans, les 34 du 1

3 des annéesqui me resteraient à vivre surpasseraient de 3 ans le 1

3 des 58 de mon âge ». Quel âge a-t-il ?

3 18Quelles sont les dimensions d’un rectangle dont

(1) le périmètre vaut 78 m et l’aire 360 m2 ?

(2) le périmètre vaut 68 m et l’aire 290 m2 ?

3 19Les faces d’un parallélépipède rectangle ont pour aires, en centimètres carrés, 6, 8 et 27. Déterminez les lon-gueurs des arêtes.

3 20Avant d’entreprendre sa tournée, le Père Noël fait ses emplettes. Il se rend chez un grossiste avec le budget qu’ila affecté à l’achat d’ordinateurs de jeux. Le vendeur lui fait remarquer qu’il devrait offrir également quelqueslogiciels ; et chaque logiciel coûte 200 F. Le budget du Père Noël n’est pas extensible : « si j’offre deux logicielsavec chaque ordinateur, je prive d’ordinateur 80 enfants », s’exclame-t-il. « Mais si vous en offrez un, vous n’enprivez que 50 », rétorque le vendeur.

Quel est le prix d’un ordinateur ? Et le budget du Père Noël ?

3 21En vendant ensemble deux objets pour 210 F, on réalise un bénéfice de 5 %. Trouvez le prix d’achat de chaqueobjet sachant que l’on a gagné 10 % sur l’un et perdu 10 % sur l’autre.

3 22Deux villes A et B sont distantes de 130 km. Un véhicule part de A à 8 h et se dirige vers B à vitesse constante.Deux véhicules partent de B, l’un à 9 h, l’autre à 9 h 30 et se dirigent vers A à la même vitesse (constante) ?Le véhicule parti de A rencontre le premier véhicule parti de B après avoir parcouru 88 km et le second aprèsavoir parcouru 106 km.Quelle est la vitesse de chaque véhicule ? ☞ Écrire des équations autour des deux heures de rencontre ...


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56 3.2. EXERCICES

3 23Aller-retourUn cycliste parcourt en 5 heures le trajet ASB aller-retour schématisé ci-contre. Il met 40 minutes de plus au retour (trajet BSA)qu’à l’aller (trajet ASB).Déterminer sa vitesse en montée et sa vitesse en descente (chacune étant sup-posée constante).

AB

S

20 km 30

km

3 24Représenter graphiquement les droites D et D

′ et calculer les coordonnées de leur point d’intersection (s’ilexiste ...).

1) D : 7x −5y −3 = 0 D′ : 5x −3y = 5

2) D : 2x = 3y D′ : 7x −4y = 13

3 25Rendement d’un investissement Une femme a 15’000 fr. à investir dans deux fonds qui paient un intérêt simple àdes taux de 6% et 8%. Les intérêts sur le fond à 6% sont exemptés d’impôt ; par contre, il faut payer un impôt surles intérêts du fond à 8%. Comme la femme est dans une tranche d’imposition élevée, elle ne veut pas investirtout son argent dans le compte à 8%. Y a-t-il un moyen d’investir l’argent afin qu’elle reçoive 1 000 fr. d’intérêtsà la fin d’une année ?

3 26Alliage d’argent Un fondeur d’argent a deux alliages, l’un contenant 35% d’argent et l’autre 60% d’argent. Quellequantité de chaque alliage faudrait-il fondre et mélanger pour obtenir 100 grammes d’un alliage qui contienne50% d’argent ?

3 27Accélération Lorsqu’une balle roule le long d’un pan incliné, sa vitesse v(t) (en cm/s) au temps t (en s) estdonnée par v(t)= v0+at pour une vitesse initiale v0 et une accélération a (en cm/s2 ). Si v(2) = 16 et v(5) = 25,trouver v0 et a.

3 28Projection verticale Si un objet est projeté verticalement vers le haut d’une hauteur de s0 mètres avec une vitesseinitiale de v0 m/s, sa position s(t) par rapport au sol après t secondes est s(t) =−16t 2 + v0t + s0. Si s(1) = 84 ets(2) = 116, que valent v0 et s0 ?

3 29Nourriture pour le bétail Un fermier prépare un mélange d’avoine et de blé pour le bétail. 30 grammes d’avoineapportent 4 grammes de protéines et 18 grammes d’hydrates de carbone, et 30 grammes de blé fournissent 3grammes de protéines et 24 grammes d’hydrates de carbone. Quelle quantité (en grammes) de chaque céréalefaudrait-il employer pour satisfaire à des besoins nutritionnels de 200 grammes de protéines et 1 320 grammesd’hydrates de carbone pour chaque ration ?

3 30Établir les équations des hauteurs du triangle dont les sommets sont A(−3 ; 2), B(5 ; 4) et C(3 ; −8), et trouver lepoint d’intersection des hauteurs.

3 31

Le cercle inscrit au triangle ABC est tangent aux cô-tés en U, V et W.Calculer AV, AW, BW, BU, CU et CV sachant queBC = 8, CA = 7 et AB= 5,5.

A

B C

W

U

V

I


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3 32Une fillette à qui sa mère avait confié 100 francs achète des fruits pour toute la famille : des pamplemousses à 3fr., des melons à 7 fr. et des ananas à 8 fr. Après ces achats, et après avoir dépensé tout l’argent, la fillette peinaitpour porter son cabas lourd de 20 fruits.Combien en avait-elle de chaque espèce ?

☞ Exprime en fonction du nombre x de pamplemousses achetés, le nombre de melons et d’ananas achetés ...(ces trois nombres sont des entiers supérieurs ou égaux à 1).

Réponses à l’exercice 3 - 1

1) {(4 ; −2)} 2) {(−3 ; 5)} 3) {(−1 ; 3/2)} 4) {( 7653 ; 28

53 )} 5) {( 6734 ; 13

34 )}

6) {( 5113 ; 96

13 )} 7) {( 87 ; − 3

p6

7 )} 8) {(5 ; 2)} 9) {(0 ; 0)} 10) {(−22 ; −12)}

11) {(1 ; −3)} 12) ; 13) {(x ; y)| y =−3x +5} 14) {(−1 ; 2 ; −3)} 15) {(6 ; −2 ; −1)}

16) {2 ; −1 ; 3} 17) { 12 ; −1 ; 2} 18) {− 6

5 ; 910 ; − 31

10 }

19) S =

; si m =− 3

2( 5

3+2m ; 6−m3+2m

)si m 6= − 3

2

20) S =

{(x, y)|4x +2y =−1, x ∈R} si m =−2

(0;− 12 ) si m 6= −2

21) S =

{(x, y)|y = x, x ∈R} si m = 1

(0;0) si m =−1

(m +1;m(m +1)) si m 6= ±1


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4Inéquations etprogrammationlinéaire

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CHAPITRE 4. INÉQUATIONS ET PROGRAMMATION LINÉAIRE 59

Les inéquations du 1er degré à une inconnue1

Problème Résoudre l’inéquation 2 · (x −4) 61

2x +3 .

Cette inéquation contient une inconnue au 1er degré (c’est x) ; elle comporte un membre de gauche et unmembre de droite, séparés par un signe d’inégalité :

inconnue

2x −8︸︷︷︸

membre de gauche

≤1

2x +3

︸︷︷︸membre de droite

signe d’inégalité

Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inégalité.

Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.

On désignera par S l’ensemble des solutions de l’inéquation. En général, S sera un intervalle.

1 1 Les propriétés des inégalités

Pour trouver les solutions d’une inéquation, on peut appliquer les trois propriétés suivantes :

Première propriété On peut ajouter (ou retrancher) un même nombre à chaquemembre d’une inégalité, sans en changer le sens :

si a ≤ b, alors a +c ≤ b +c.

Exemple Prenons l’inégalité 7 < 8.

On peut ajouter 2 à chaque membre : 7+2 < 8+2 (en effet, 9 < 10).

Deuxième propriété On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une in-égalité par un même nombre positif, sans changer le sens de l’inégalité :

si a ≤ b et c > 0, alors ac ≤ bc.


On peut multiplier chaque membre par 3, sans changer le sens de l’inégalité :

3 ·7 < 3 ·8, en effet, 21 < 24).

Troisième propriété On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inéga-lité par un même nombre négatif, à condition de changer le sens de l’inégalité :

si a ≤ b et c < 0, alors ac ≥ bc.


On peut multiplier chaque membre par −1, à condition de changer le sens de l’inégalité :

(−1) ·7 > (−1) ·8 (en effet, −7 >−8).

1 2 La résolution d’une inéquation de 1er degré à une inconnue

Pour résoudre une inéquation du 1er degré, on utilisera ces 3 propriétés.

Problème Résoudre l’inéquation −x +4 ≤ 2x −2 .


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60 4.2. LES SYSTÈMES D’INÉQUATIONS À UNE INCONNUE

Solution Si x vérifie cette inéquation, alors

−x −2x ≤−2−4 (1re propriété)

−3x ≤−6 (réduction)

−3x

−3≥

−6

−3(3e propriété)

x ≥ 2 (simplification des fractions)

L’inéquation est vérifiée par toutes les valeurs de x supérieures ou égales à 2. Si on désigne l’ensembledes solutions de cette inéquation par S, on peut écrire :

S ={

x |x ≥ 2}= [2;∞[.

Représentation graphique Les solutions sont indiquées par la partie non hachurée de la droite graduée. Lesens du crochet indique que 2 est une solution :

| |

0 1 2

1 3 Les demidroites et les intervalles

On distingue 4 types d’intervalles ; dans la représentation graphique, l’intervalle est représenté par la partienon hachurée de la droite. Le sens d’un crochet indique si a ou b appartient à l’intervalle, ou non.

Intervalle :nom et notation

Représentationgraphique

Description : ensembledes nombres x tel que :

intervalle fermé[a ; b] a b

a ≤ x ≤ b

Intervalle ouvert]a ; b[ a b

a < x < b

Intervalle semi-ouvertà droite [a ; b[ a b

a ≤ x < b

Intervalle semi-ouvertà gauche ]a ; b] a b

] ]a < x ≤ b

On distingue aussi 4 types de demi-droites :

Demi-droite :notation

Représentationgraphique

Description : ensembledes nombres x tel que :

]a ; +∞[a

x > a

[a ; +∞[a

x ≥ a

]−∞ ; a[a

[x < a

]−∞ ; a]a

x ≤ a

Les systèmes d’inéquations à une inconnue2

Voici un système de deux inéquations à une inconnue :


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➀

➁

x −4 ≤ 2x +1

−2x +5 ≥ 5x −2

Résoudre un tel système, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue x qui vérifient à la fois ➀ et ➁. Cesvaleurs sont les solutions du système.

Marche à suivre :

a) Résoudre l’inéquation ➀.

b) Résoudre l’inéquation ➁.

c) Chercher les nombres qui sont solution à la fois de ➀ et de ➁.

Ces nombres forment l’ensemble des solutions du système.

a) Résolution de ➀ :

x −4 ≤ 2x +1

x −2x ≤ 1+4

−x ≤ 5

x ≥−5

Si S1 désigne l’ensemble des solutions de ➀, onpeut écrire :

S1 ={

x |x ≥−5}

b) Résolution de ➁ :

−2x +5 ≥ 5x −2

−2x −5x ≥−2−5

−7x ≥−7

x ≤ 1

Si S2 désigne l’ensemble des solutions de ➁, onpeut écrire :

S1 ={

x |x ≤ 1}

Pour trouver les nombres x qui sont à la fois dans S1 et dans S2, représentons graphiquement ces deux en-sembles :

S1 | |

−5 0 +1

S2 | |

−5 0 +1

S1 ∩S2 |

−5 0 +1

[ ]

Si S désigne l’ensemble des solutions du système d’inéquations, on peut écrire :

S = S1 ∩S2.

On voit, en comparant les représentations graphiques de S1 et de S2, que

S ={

x |−5 ≤ x ≤ 1}= [−5; 1].

4 1Résoudre les inéquations

1) −3x +5 >2

3x −1 2)

3− x

4−

x −2

3>−

3−2x

63)

1

2(x −1) ≥−x −2

4)

{3x −5 > 3− x

9≥ 2x5)

{3x −5 < 3− x

9 ≤ 2x6)

{2x −7 ≤ 6x +5

4x −11 ≤ 4+ x

7)

2x −1

5> 3−2x

5 ≥−2

3x +1


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62 4.3. PROGRAMMATION LINÉAIRE

Programmation linéaire *3

Au cours de la Seconde Guerre mondiale, l’armée de l’air des États-Unis d’Amérique eut de nombreux pro-blèmes concernant l’allocation de ses ressources, tant humaines que matérielles. Naturellement, plusieurs spé-cialistes se penchèrent sur la question et parmi eux, George Dantzig. Peu après la guerre, en 1946, ce dernierformula de manière plus générale ce genre de problèmes et proposa une méthode de résolution, la méthodedu simplexe.

Ce problème général peut se formuler ainsi : trouver la valeur maximale (ou minimale) d’une fonction à plu-sieurs variables si ces variables sont soumises à des contraintes. Par exemple, supposons qu’une compagniefabrique plusieurs produits différents et que pour chacun de ces produits il y a des coûts de fabrication diffé-rents en main-d’oeuvre et en matières premières. La compagnie connaît le bénéfice qu’elle réalise en vendantchacun de ces produits. La compagnie doit alors se poser la question suivante : quelle quantité de chacun desproduits doit-on fabriquer pour obtenir un bénéfice global maximal ? En général, de tels problèmes peuventêtre assez complexes. Cependant, dans le cas où la fonction à optimiser, c’est-à-dire à rendre minimum oumaximum, est linéaire et où les contraintes peuvent s’exprimer par des inéquations, on peut développer unethéorie assez simple pour résoudre ce genre de problèmes, la programmation linéaire. Nous nous limiteronsà des problèmes comportant seulement deux variables. Ceci nous permettra d’illustrer la solution par une re-présentation graphique simple. Précisons que la méthode de résolution proposée dans ce paragraphe n’est pasla méthode du simplexe.

3 1 Inéquations linéaires

Une inéquation linéaire est une inéquation qui peut être écrite sous l’une des formes suivantes, où a, b etc sont des nombres réels :

ax +by < c, ax +by > c, ax +by ≤ c, ax +by ≥ c

Définition 4 - 1

Graphiquement, la droite ax +by = c sépare le plan en deux demi-plans, comme le montre la figure ci-contre.Les solutions d’une inéquation linéaire sont tous les points de l’un de ces demi-plans, la droite frontière étantincluse pour ≤ ou ≥, pas incluse pour < ou >.

−1

−2

−3

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4

2x −3y =−6

Truc : Pour repérer rapidement le bon demi-plan défini par une inéquation, il suffit de regarder si le point (0;0)est du bon côté de la droite frontière.

*. Cette partie est reprise d’un polycopié de Jean-Philippe Javet sur la programmation linéaire,http://www.gymomath.ch/javmath/1ere_diplome/index1C.htm


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http://www.gymomath.ch/javmath/1ere_diplome/index1C.htm



4 2Représenter graphiquement les inéquations suivantes :

(a) 3x–4y > 12

(b) x + y ≤ 3

(c) −3x +2y >−6

(d) 4x +3y < 12

(e) 2x +3y ≥ 2y +1

(f) 2x–y ≥ 3

3 2 Systèmes d’inéquations linéaires

Comme nous l’avons fait avec les équations, nous travaillons parfois simultanément avec plusieurs inéquationsà deux inconnues, c’est-à-dire, avec un système d’inéquations.

Les solutions d’un système d’inéquations sont les solutions communes à toutes les inéquations du sys-tème. Le graphique d’un système d’inéquations correspond à une région R du plan contenant les pointscorrespondants aux solutions.

Définition 4 - 2

4 3Représenter graphiquement les systèmes d’inéquations :

1.

{x + y 6 4

2x − y 6 4

2.

{3x + y < 3

−2+ y < 2x

3.

{y +2 < 2x

y − x < 4

4.

{y − x < 0

2x +5y < 410

5.

{2y − x 6 4

3y +2x > 6

4 4Représenter graphiquement le système d’inéquations :

1.

x + y 6 4

5x −3y 6 9

x > 0

y > 0

2. Les points P(3;1) et Q(1;2) vérifient-ils le système d’inéquations ?

4 5Représenter graphiquement les systèmes d’inéquations :

1.

3x + y 6 6

x +2y 6 4

x > 0

y > 0

2.

x +2y > 4

4x + y > 4

x > 0

y > 0


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3 3 Polygone des contraintes

Nous avons observé que si un système d’inéquations contient uniquement des inéquations linéaires de laforme : ax +by ≤ c ou ax +by ≥ c où a, b et c sont des nombres réels, alors la représentation graphique dece système est une région R limitée ou non du plan par un polygone convexe. Dans le cadre des exercices deprogrammation linéaire, cette région sera appelée le polygone des contraintes.

4 6Dans une usine d’informatique :

• Pour construire une carte mère de type A, il faut 4 mémoires de type M1 et 3 mémoires de type M2.

• Pour construire une carte mère de type B, il faut 2 mémoires de type M1 et 3 mémoires de type M2.

• L’usine ne peut disposer par jour que de 16 mémoires de type M1 et de 15 mémoires de type M2.

On note x le nombre de cartes mères de type A et y le nombre de cartes mères de type B produites chaque jour.

(1) Écrire un système d’inéquations traduisant les contraintes imposées à l’usine.

(2) Représenter graphiquement cette zone de contraintes.

(3) Le point P(3;1) vérifie-t-il le système de contraintes ?

4 7Un artisan fabrique deux types de jouets en bois A et B. Un jouet A nécessite 1/2 heure de travail et 3 kg de bois.Un jouet B nécessite 1 heure de travail et 2 kg de bois.L’artisan ne doit pas travailler plus de 8 heures par jour et ne doit pas utiliser plus de 24 kg de bois par jour.On note x le nombre de jouets A et y le nombre de jouets B fabriqués par jour par l’artisan.

(1) Ecrire un système d’inéquations traduisant les contraintes imposées à l’artisan.

(2) Représenter graphiquement le polygone R des contraintes.

4 8Le comité des fêtes d’une commune organise un repas pour 150 personnes. Chaque personne doit disposer de3 assiettes en carton, de 2 verres et de 4 serviettes en papier. Un magasin propose un lot de type A comprenant50 assiettes, 50 verres et 50 serviettes pour 50 francs. Un autre magasin propose un lot de type B comprenant30 assiettes, 25 verres et 60 serviettes pour 40 francs. On note x le nombre de lots de A et y le nombre de lots Bprévus pour la fête.

(a) Ecrire un système d’inéquations traduisant les contraintes.

(b) Représenter graphiquement le polygone R des contraintes.

4 9Un atelier de confection fabrique en série deux modèles de chemises A et B. L’approvisionnement en tissu estsuffisant pour 400 chemises par jours (modèle A et modèle B). Le temps de fabrication pour le modèle A est égalà trois fois le temps de fabrication pour le modèle B et si toutes les chemises étaient du modèle B, l’entreprisepourrait en fabriquer au maximum 600 par jour. Grâce à une étude de marché, on sait que l’on ne peut pasécouler plus de 150 chemises du modèle A et 350 du modèle B. On note x le nombre de chemises du modèle Aet y le nombre de chemises du modèle B.

(1) Écrire un système d’inéquations traduisant les contraintes.

(2) Représenter graphiquement le polygone R des contraintes.

3 4 Programmation linéaire ou comment optimiser une fonction à 2 variables?

Dans les problèmes de programmation linéaire, nous traitons de tels systèmes d’inéquations conjointementavec une fonction à 2 variables de la forme :

f (x; y) = ax +by +c

où a, b et c sont des nombres réels et (x; y) est un point dans le polygone de contrainte (c’est-à-dire une solutiondu système). f est appelée une fonction économique. Les solutions du système, c’est-à-dire les couples (x; y)correspondant aux points dans le polygone des contraintes, sont appelées les solutions possibles du problème.Dans les applications commerciales, la valeur f peut représenter le coût, le gain, la perte ou une ressourcephysique, et l’objectif sera de trouver un point précis P(x; y) dans R où f (x; y) prend une valeur maximum ouminimum.

4 10

On considère la fonction économique f (x; y) = 2x +6y soumis aux contraintes :

2x +3y > 12

x +3y > 9

x > 0

y > 0

(a) Avant de représenter le polygone R des contraintes, montrer que le point A(8;4) vérifie bien le système descontraintes.


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(b) Représenter le polygone R des contraintes.

(c) Montrer que le point B(4;3) vérifie bien le système d’inéquations.

(d) Parmi ces 2 points A et B, lequel minimise le mieux la fonction économique ?

(e) Quel pourrait être le point P(x; y) de R minimisant la fonction économique ?

4 11

À l’approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolat. Enallant inspecter ses réserves, il constate qu’il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 kg de lait.Il a deux spécialités : l’oeuf Extra et l’oeuf Sublime.

• Un oeuf Extra nécessite 1 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 kg de lait.

• Un oeuf Sublime nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 kg de lait.

Il fera un profit de 20 fr. en vendant un oeuf Extra, et de 30 fr. en vendant un oeuf Sublime. Combien d’oeufsExtra et Sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice possible ?

Remarques :

• Dans cet exemple introductif, le résultat est en nombres entiers, ce n’est de loin pas toujours le cas.

• On constate que le chocolatier va utiliser complètement deux de ces trois ingrédients.

• Seuls les couples (x; y) ∈ R satisfont toutes les contraintes. Mais en fait, la solution optimale sera toujoursl’un des sommets du polygone délimitant le domaine R.

• La fonction économique est une droite qui doit couper l’axe Oy le plus haut possible dans le cas d’unemaximisation et le plus bas possible dans le cas d’une minimisation.

Méthode

1. On pose x et y les 2 inconnues apparaissant dans le problème.

2. On traduit toutes les contraintes en un système d’inéquations.

3. On exprime la fonction économique f (x; y) à optimiser.

4. On représente le polygone R des contraintes.

5. On trace la droite représentant la fonction f et passant par l’origine.

6. On translate cette droite.

7. Le point optimal P est le dernier point du domaine R que la droite de la fonction ftouchera lors de son déplacement.

8. Déterminer algébriquement les coordonnées du point P.

9. On répond finalement à la question posée par une phrase.

4 12Une entreprise fabrique deux types de boîtes en métal. La fabrication d’une boîte de type A demande 1 heurede travail et 3 kg de métal alors que le type B demande 2 heures de travail et 2 kg de métal. L’entreprise disposede 80 heures de temps de travail et de 120 kg de métal.

(1) Sachant que, pour une boîte, le profit est de 20 francs pour le type A et de 30 francs pour le type B, com-ment organiser la production afin de maximiser le profit ?

(2) Après une restructuration dans l’entreprise, les profits sont modifiés en 50 francs pour le type A et 20francs pour le type B. Faut-il alors modifier le plan de production afin de maximiser le profit ?

4 13Une petite communauté désire acquérir des camionnettes et des petits bus usagés pour son système de trans-ports publics. La communauté ne peut pas dépenser plus de 200’000 fr. pour les véhicules et pas plus de 1’000fr. par mois pour l’entretien. Les camionnettes coûtent 20’000 fr. pièce et en moyenne 200 fr. par mois pourl’entretien. Les coûts approximatifs correspondants pour chaque bus sont de 40’000 fr. et 150 fr. par mois. Sa-chant que chaque camionnette peut transporter 15 passagers et chaque bus 25 voyageurs, trouver le nombrede camionnettes et de bus à acheter pour que la capacité en passagers du système soit maximale.

4 14Un ébéniste fabrique des tables et des armoires avec trois sortes de bois : chêne, pin et noyer. Dans le tableausuivant, on donne le nombre de mètres carrés de bois nécessaire à la fabrication de chaque type de meubles et


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le nombre de mètres carrés de bois disponible.

Armoire Table Disponible

Chêne 4 5 210

Pin 5 2.5 180

Noyer 6 5 240

Combien d’armoires et de tables cet artisan doit-il fabriquer pour rendre son gain maximum si

(1) il gagne CHF 1000.- par armoire et CHF 900.- par table ;

(2) il gagne CHF 1200.- par armoire et CHF 1000.- par table.

4 15Une fabrique d’automobiles construit, deux modèles A et B. Chaque jour, elle peut produire au maximum600 voitures A et 300 voitures B, mais en raison d’un manque de personnel, elle ne peut produire plus de 750voitures en tout. Le bénéfice est de CHF 1200.- pour une voiture du modèle A et de CHF 1800.- pour une voituredu modèle B.

(1) Combien de voitures de chaque modèle doit-elle produire pour que le bénéfice soit maximum?

(2) Comment se modifie cette situation si la production du modèle B ne peut dépasser la moitié de celle dumodèle A ?

4 16Une entreprise chimique livre deux types de mélanges P et T obtenus à partir des trois éléments A, B et C selonles pourcentages et prix de production donnés par le tableau ci- dessous. Calculer les quantités de mélangesP et T à produire pour satisfaire les besoins en produits A, B et C donnés dans le tableau suivant à un prixminimum.

P T Besoin (kg)

A 20% 40% ≥ 7

B 30% 50% ≥ 2

C 20% 10% ≥ 4

Prix par kilo 10 8

4 17On désire préparer des rations alimentaires contenant au moins 90 g de protéines, 120 g d’hydrates de car-bone et 2400 calories à partir de deux produits A et B. Une dose du produit A coûte 1 franc et contient 15 g deprotéines, 20 g d’hydrates de carbone et 300 calories. Une dose de produit B coûte 1 franc et contient 10 g deprotéines, 30 g d’hydrates de carbone et 400 calories.Quelle est la composition de la ration alimentaire la plus économique ?

4 18Un grossiste distribue chaque jour à diverses boucheries 17’800 kg de viande fraîche et 11’000 kg de viandecongelée. Pour cette distribution, il dispose de deux types de camions A et B. Un camion de type A peut trans-porter 600 kg de viande fraîche et 300 kg de viande congelée ; un camion de type B peut transporter 500 kg deviande fraîche et 400 kg de viande congelée. Avec un camion de type B, le transport coûte 120% de ce qu’il estavec un camion de type A.Combien de camions de chaque type doit-il utiliser pour minimiser les frais de transport ?

4 19Afin de financer un voyage d’études, une classe du gymnase projette d’installer un stand dans une kermessepour vendre des paquets de cacahuètes et des paquets de bonbons. Elle possède 800 fr. pour acquérir son stock,dont le coût serait de 80 ct. par paquet de cacahuètes et de 1,60 fr. par paquet de bonbons. Elle a l’intention devendre les cacahuètes 2 fr. le paquet et les bonbons 3,20 fr. le paquet. Son stand peut contenir 500 paquets decacahuètes et 400 paquets de bonbons. Par expérience, elle sait qu’elle ne vendra pas plus de 700 paquets autotal.Trouver le nombre de paquets de chaque sorte qu’elle devrait avoir à disposition pour réaliser un bénéficemaximal. Quel est le bénéfice maximal ?


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5Géométrieeuclidienne

C H A P I T R E

68 5.1. LES AXIOMES DE BASE OU LES RÈGLES DU JEU

Faire des mathématiques, c’est résoudre des problèmes à l’aide d’outils spécifiques qui nécessitent d’être at-tentifs à quelques points particuliers

• Si possible, tous les calculs doivent être effectués avec des valeurs exactes. Ainsi une réponsecomme 2π doit être préférée à 6,28.

Dans les cas où des mesures physiques sont données ou qu’il n’est pas possible de travailler avec desvaleurs exactes sans créer de grands inconforts dans les calculs, les valeurs arrondies s’imposent.On arrondit alors au mieux et, si aucune précision n’est donnée, au centième près.

• Les étapes de raisonnement et de calcul doivent être clairement explicitées. Quand un théorèmeest utilisé, il faut le citer.

• Les résultats fournit par la calculatrice requiert non seulement une attention particulière aux arron-dis, mais il faut aussi veiller à la mettre dans le bon mode. Dans ce chapitre, nous allons travailleravec des degrés. Votre calculatrice doit ainsi être réglée dans le mode degré (DEG affiché).

Important

Les axiomes de base ou les règles du jeu1

La géométrie plane s’intéresse au plan défini comme un ensemble de points contenant certaines parties tellesque les droites et les segments. Ces trois types d’objets sont reliés entre eux par des règles de base, appeléesaxiomes. Elles correspondent à des propriétés « évidentes » que l’on admet telles quelles, sans apporter depreuve.

Axiomes d’incidence a

(i) Par deux points distincts du plan passe toujours une droite et une seule.

(ii) Chaque droite contient au moins deux points.

(iii) Il existe trois points non-alignés

Axiome des parallèles

Par un point quelconque du plan passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.

Axiome d’isométrie des triangles

Deux triangles qui ont respectivement un angle et les côtés adjacents isométriques sont isomé-triques (isométrie CAC).

Axiomes de report

Le transport des segments et des angles ne change pas leur mesure.

a. Cette axiomatique est celle de Hilbert (1862 – 1943) en remplacement de celle d’Euclide. Une présentation plus complète enest donnée à la page 96. On y trouvera également dans les pages qui suivent celle d’Euclide.

Axiomes

Il existe encore deux autres axiomes, l’un sur les segments et l’autre sur la correspondance entre les nombres etles mesures de longueur de segments et d’angle (cf. axiome de Cantor-Dedekind : tous les points d’une droitepeuvent être mis en correspondance biunivoque avec les nombres réels.

Ces axiomes sont les briques de base sur lesquelles on va construire toute la géométrie plane. Ce qui signifieque toutes les propriétés découvertes en géométrie sont tirées par déduction des axiomes. La démarche pourle faire s’appelle une démonstration et ce qu’on démontre s’appelle un théorème. On verra qu’un théorèmecomporte toujours une première partie qui est l’hypothèse, et une autre, qui est la conclusion.


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CHAPITRE 5. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE 69

On peut tirer à partir de l’axiome d’isométrie des triangles, deux théorèmes qui représentent deux autres casd’isométrie.

Deux triangles qui ont respectivement un côté et les angles adjacents isométriques sont aussi isomé-triques (isométrie ACA).

Théorème 5 - 1

Deux triangles qui ont respectivement les trois côtés isométriques sont isométriques (isométrie CCC).Théorème 5 - 2

Un autre théorème très utile est aussi donné sans démonstration.

Théorème de la transversale

Si deux droites d et d ′ déterminent avec une transversale t une paire d’angles alternes-externes, alternes-internes ou correspondants isométriques, elles sont parallèles.Réciproquement, si une droite t coupe deux droites d et d ′ parallèles, alors les angles ainsi formés sontisométriques dans la mesure où ils sont alternes-externes, alternes-internes ou correspondants.

d

d ′

t

∡1∡2

∡3∡4

∡5∡6

∡7∡8

∡1 et ∡7

∡2 et ∡8alternes-externes

∡3 et ∡5

∡4 et ∡6alternes-internes

∡1 et ∡5

∡2 et ∡6

∡3 et ∡7

∡4 et ∡8

correspondants

Théorème 5 - 3

Notations et conventions2

Les points sont généralement désignés par des lettres majuscules.

Ainsi les lettres A, B et C sont souvent utilisées pour désigner les trois sommets d’un triangle.

Plus généralement, pour désigner les sommets d’un polygone, on utilise les lettres majuscules de l’alpha-bet en commençant en principe par la première. Elles sont en général attribuées dans l’ordre en tournantdans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre).

Certaines lettres ont un usage particulier : I, J, K sont utilisés pour désigner des points intermédiaires.

La lettre O est généralement utilisé pour désigner un point central dans une figure comme le centre d’uncercle ou le centre d’un repère.

Les lettres M, N, P, Q sont utilisées pour désignées des points quelconques.

Les droites On utilise généralement les lettres minuscules d , d ′ pour désigner une droite. D’autres lettres mi-nuscules peuvent également être utilisées.

Si une droite passe par les points A et B, on la désignera par la notation (AB) ou encore dAB.

b

AA

b

BB

Les segments Le segment d’extrémités A et B se note [AB].


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70 5.3. LE TRIANGLE

bAA

b BB

Demi-droites La demi-droite d’extrémité A et passant par B se note [AB).

b

AA

b

BB

Les angles Les angles sont désignés par les lettres grecques minusculesα, β, γ, δ, etc. (l’alphabet grec est donnédans la table et formulaire CRM).

Un angle peut également être noté au moyen de trois points. Si son sommet est O et ses côtés respectifspassent par les points A et B, on le notera �AOB ou �BOA (les angles ne sont pas orientés en géométrieeuclidienne).

bOO

bAA

b

BB

α

Longueurs de segment On utilise généralement des lettres minuscules pour désigner la longueur d’un seg-ment. Ou, si ses extrémités sont A et B, la longueur est désignée par AB ou encore AB.

Le triangle3

Le triangle est le polygone fermé le plus simple. Mais, c’est aussi certainement l’un des plus riches, avec despropriétés aux répercussions pratiques innombrables.

Un triangle est doté de trois angles et de trois côtés. Lesquels de ces éléments est-il suffisant de connaître pourdéterminer entièrement les autres ?


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Pour trouver la distance entre un point O, où l’on se trouve, et un point éloigné M inaccessible, comment peut-on procéder ? Comment calculer la distance entre deux points inaccessibles M et M′ ? La réponse est dans laformation de triangles entre les différents points et un nouveau point O′ vers lequel on peut se déplacer et pourlequel on connaît la distance qui le sépare de O. Les angles en O et O′ peuvent être obtenus par des visées. Cesdonnées permettent de calculer celles qui sont inconnues dans les deux triangles △MOO′ et △M′OO′, et cecigrâce au théorème 5.1 d’isométrie des triangles.

La distance OM peut se calculer si on connaît les angles en O et O′ du triangle △OMO′ et la distance OO′. De lamême manière, on trouve la longueur du côté OM′ dans le triangle △OM′O′.

On considère ensuite le triangle △OMM′, pour lequel on connaît maintenant les longueurs des côtés OM etOM′. En vertu de l’axiome d’isométrie et connaissant par visée l’angle en O, on peut calculer la distance entreMM′.

5 1

1. Construire les triangles suivants et identifier chacune des situations avec un des cas d’isométrie du tri-angle, ce qui permet de s’assurer que la construction est unique :

1° l’angle α= 37°, AB= 4 cm et AC = 6 cm;

2° l’angle α= 20° et l’angle β= 43°, AB= 5 cm;

3° AB= 7 cm, AC = 5 cm et BC = 9cm.

2. Trouver des cas où 3 informations ne déterminent pas un triangle unique.

3. Trouver des cas où les 3 informations ne permettent pas de construire un triangle.

La somme des angles d’un triangle égale 180°

Hypothèse △ABC un triangle

Conclusion α+β+γ= 180°

A

B

C

α

β

γ

Théorème 5 - 4


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72 5.3. LE TRIANGLE

Démonstration.

Idée : mener par C une parallèle d à (AB)

Raisonnement

A

B

C

α

β

γ

�

sur les triangles isocèles

Hypothèse △ABC un triangle et AB= AC

Conclusion β= γ

Théorème 5 - 5

Démonstration.

• Partager le △ABC par la médiane (cf. page 77) [AD] issue de A.

• Comparer les triangles △ADB et △ADC.

— [AD] commun aux deux triangles ;

— AB= AC par hypothèse ;

— BD = CD par construction.

• Par le théorème 1.2 d’isométrie des triangles, les deux triangles sont isométriques et donc β= γ.

�

3 1 Triangle rectangle et théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Hypothèse △ABC un triangle rectangle en A

Conclusion BC2 = AB2 +AC2

Réciproquement, si les côtés d’un triangle △ABC véri-fient la relation BC2 = AB2 + AC2 (hypothèse), alors cetriangle est rectangle en A(conclusion).

Théorème 5 - 6

B

A

C


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Démonstration. Les 2 premières figures sont une illustration du théorème et les 2 dernières permettent deconstituer sa preuve.

c

c

c

c

b

a b

b

b

a

aa

a

a

cbb

b

ba

a

c2

a2

b2

a2

b2

c2

b

a

a2 c2

b2

a

b

b

b

• Montrer d’abord que la figure carré ci-dessus à gauche est possible, c’est-à-dire qu’il est possible d’alignerles 4 triangles de cette manière et d’obtenir à l’intérieur un quadrilatère qui est un carré.

• En comparant l’aire des deux figures carrées, trouver la conclusion du théorème.

�


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74 5.3. LE TRIANGLE

3 2 Théorème des milieux

La démonstration du théorème des milieux utilise des connaissances relatives aux parallélogrammes. Nousallons commencer par une définition, puis présenter deux théorèmes, avec leurs démonstrations, qui énoncentdes conditions suffisantes pour avoir un parallélogramme.

Un parallélogramme est un quadrilatère délimité par deux paires de parallèles.Définition 5 - 1

Si deux segments [AC] et [BD] se coupent en leur milieu, leurs extrémités déterminent un parallélo-gramme.

Théorème 5 - 7

Preuve.

Par hypothèse, on a les trois isométries qui per-mettent d’appliquer l’axiome d’isométrie des tri-angles

A

B C

D

α

β γ

δ

OAO= OC

OB = OD

�AOB= �DOC

⇒△ABO≡△OCD

⇒{

AB= CD

α= γ

⇒ (AB)//(CD) théorème de la transversale

⇒ (AD)//(BC) en faisant un raisonnement identique

sur les triangles △AOD et △BCO.

�

Si AB= CD et (AB)//(CD), alors ABCD est un parallélogramme.Théorème 5 - 8

Preuve.A

B C

D

α

β

γ

δ

ǫ

(AB)//(CD)⇒ β= γ et α= ǫ réciproque du théorème de la transversale

AB= CD

AC côté commun

α= ǫ

⇒△ABC ≡△ACD axiome d’isométrie des △

⇒ β= δ mais on a déjà β= γ

⇒ δ= γ angles correspondants

⇒ (BC)//(AD) theoreme de la transversale

⇒ ABCD est un parallélogramme

�

On peut montrer que la réciproque de chacun de ces deux théorèmes est aussi vraie. C’est-à-dire que chacunedes conditions énoncées dans ces théorèmes n’est pas seulement suffisante pour avoir affaire à un parallélo-gramme, mais aussi nécessaire. On a ainsi

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles de même longueur.Théorème 5 - 9


C

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Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.Théorème 5 - 10

5 2Formuler ces théorèmes sous la forme « Si ..., alors ... », puis les démontrer.

Théorème des milieux

Soit un triangle ABC et deux points I et Jsitués sur les côtés [AB] et [AC] du triangle.

1° Lorsque I et J sont les milieux res-pectifs de [AB] et [AC], alors (IJ) estparallèle à (BC)

et IJ = 12 BC ;

2° Lorsque I est le milieu de [AB] et (IJ)est parallèle à (BC), alors J est le mi-lieu de [AC].

A

B C

bII b JJ

Théorème 5 - 11

Démonstration.

1°

Hypothèse △ABC un triangleI point milieu de [AB]J point milieu de [AC]

Conclusion (IJ)//(BC) et IJ = 12 BC

Placer un point K sur le prolongement de [IJ] en sorte que IJ = JK et analyser les parallélogrammes ainsiformés ... (à compléter)

A

B C

bII b JJ b KK

/

/

2°

Hypothèse △ABC un triangleI point milieu de [AB](IJ)//(BC)

Conclusion J est le milieu de [AC]

Placer un point K sur le prolongement de [IJ] en sorte que IBCK soit un parallélogramme ... (à compléter)

�


C

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76 5.3. LE TRIANGLE

3 3 Les droites remarquables dans le triangle

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendi-culaire à ce segment.

Définition 5 - 2

Propriété caractéristique de la médiatrice : un point quelconque de la médiatrice est équidistant des extré-mités A et B du segment (et réciproquement)

(Preuve en exercice)

Dans un △ABC, les trois médiatrices sont concourantes et le point d’intersection est le centre du cerclecirconscrit.

Théorème 5 - 12

Idée de la démonstration : on trace deux des médiatrices. Elles se coupent en O. On montre que OA = OB =OC. On en déduit que la 3e médiatrice passe par O.

La bissectrice d’un angle �ABC est la demi-droite issue du sommet B de l’angle et qui partage cet angle endeux angles égaux.

Définition 5 - 3

Propriété caractéristique de la bissectrice : un point quelconque de la bissectrice d’un angle �ABC est équi-distant des côtés [BA) et [BC) de l’angle (et réciproquement).

(Preuve en exercice)

Dans un △ABC, les trois bissectrices sont concourantes et le point d’intersection est le centre du cercleinscrit.

Théorème 5 - 13

Idée de la démonstration : on trace deux des bissectrices. Elles se coupent en O. On considère les distances deO à chacun des côtés du triangle.

La hauteur issue du sommet A dans un triangle △ABC est la droite passant par A et perpendiculaire aucôté [BC].

Définition 5 - 4

Dans un △ABC, les trois hauteurs sont concourantesThéorème 5 - 14

Idée de la démonstration : on considère les médiatrices du triangle augmenté.


C

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La médiane dans un triangle est une droite passant par le sommet et le milieu du côté opposé.Définition 5 - 5

Propriété caractéristique de la médiane : la médiane partage le triangle en deux triangles d’aires égales.

Dans un △ABC, les trois médianes sont concourantes en G, centre de gravité du triangle et situé auxdeux-tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant

Théorème 5 - 15

Idée de la démonstration : désigner par A′, B′ et C′ lespoints au milieu des côtés du triangle. Puis des-siner les médianes (AA′) et (CC′) qui se coupenten un point G intérieur au triangle. Construire lepoint L, symétrique de B par rapport à G. Mon-trer que le quadrilatère �AGCL est un parallélo-gramme. Montrer que la droite (BG) coupe [AC]en B′, (CG) coïncide alors avec la médiane issuede B.

B

A C

bC′C′

B′

b A′A′

b GG

b LL

3 4 Triangle rectangle et cercle ou théorème du cercle de Thalès

Lorsqu’un triangle possède l’une de ces propriétés, il possède aussi les autres, c’est-à-dire que pour untriangle, ces quatre propriétés sont équivalentes :

1re ⇔ 2e ⇔ 3e ⇔ 4e

ou en décomposant1re ⇒ 2e ⇒ 3e ⇒ 4e

4e ⇒ 3e ⇒ 2e ⇒ 1re

1° Le triangle △ABC est rectangle en A.

2° La médiane AI vérifie AI =BC

2.

3° Le côté [BC] est un diamètre du cercle circons-crit.

4° Le milieu I de [BC] est centre du cercle cir-conscrit.

A

B CI

Théorème 5 - 16

On a en particulier le théorème

Théorème de l’angle droit

Soit un cercle de diamètre [BC] ; pour tout point A de ce cercle (A 6= B et A 6= C), le triangle △ABC estrectangle en A.

Théorème 5 - 17


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78 5.4. PROPRIÉTÉS SUR LES PROPORTIONS (UTILES POUR LA SUITE)

Propriétés sur les proportions (utiles pour la suite)4

4 1 Définitions

Un rapport est un quotient entre deux grandeursDéfinition 5 - 6

Une proportion est une égalité entre deux rapportsDéfinition 5 - 7

Si a,b,c,d sont quatre nombres tels quea

b=

c

d, on dit qu’ils sont en proportion.

a,b,c,d sont les quatre termes de la proportion.

a et d sont appelés les deux extrêmes

b et c sont appelés les deux moyens

Exemple : Si une voiture roule à une vitesse constante de 80 km/h, on peut présenter les deux grandeurs pro-portionnelles que sont la distance et le temps par un tableau

Temps (en min) x 15 45 60 75 150 189

Distance (en km) y 20 60 80 100 140

Question : Quels sont les deux coefficients de proportionnalité ?

Remarque : Ces coefficients permettent d’écrire deux applications linéaires

f : R+ −→R+ g : R+ −→R+

x −→ y =4

3x x −→ y =

3

4x

et chacune d’elle admet une représentation graphique particulière.

4 2 Propriétés d’une proportion

Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens

a

b= c

dssi ad = bc

Théorème 5 - 18

On a aussi les propriétés suivantes :

1° Interversion des extrêmes :a

b=

c

dssi

d

b=

c

a

2° Interversion des moyens :a

b=

c

dssi

a

c=

b

d

3° Inversion des rapports :a

b=

c

dssi

b

a=

d

c

4° Transformation correspondant à la somme et à la soustraction de deux colonnes dans un tableau de

proportionnalité :a

b=

c

dssi

a

b=

c

d=

a +c

b +d=

a −c

b −d


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Le théorème de Thalès5

Thalès

Si deux paires de parallèles découpent sur une sécante des segments dans un rapport donné, elles dé-coupent des segments dans le même rapport sur n’importe quelle autre sécante

Théorème 5 - 19

(démonstration http ://www.mathkang.org/swf/thales.html)

d

d’

a1 a2

b1b2

A1

A2

B1

B2

A′1 A′

2 B′1 B′

2

Hypothèse a1, a2, b1, b2 des droites parallèlesd et d ′ sécantes en A1, A′

1 ; A2, A′2 ; B1, B′

1 ; B2, B′2, respectivement

ConclusionA1A2

B1B2=

A′1A′

2

B′1B′

2

La proportion

A1A2

B1B2=

A′1A′

2

B′1B′

2

peut s’écrire, par l’interversion des moyens,A1A2

A′1A′

2

=B1B2

B′1B′

2

En généralisant à plus de points, on obtient la situation suivante avec le tableau de proportionnalité

AB

C

D

A′ B′ C′D′

longueurssegments AB BC CD AD

projetés A′B′ B′C′ C′D′ A′D′·r

AB

A′B′ =BC

B′C′ =CD

C′D′ =AD

A′D′

Si r est la valeur du rapportA′B′

AB, alors

A′B′ = r ·AB

projeté = r ·segment

5 1 Les configurations de Thalès

En prolongeant les sécantes au-delà de leur point d’intersection A, on obtient la figure (a) ci-dessous. Elle pré-sente deux configurations particulières : (b) le « papillon » et (c) les « triangles emboîtés ». Ce qui est capitaldans ces configurations est que (CB)//(DE) !


C

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80 5.5. LE THÉORÈME DE THALÈS

(a)

b E′bD

bD′

b E

b C

bA

bB

b

D

bE

b

C

bA

bB

(b)

b

E

bD

b

C

bA

bB

(c)

On peut montrer que dans ces configurations, on a les rapports suivants :

AB

AD=

AC

AE=

BC

DElongueurs

côtés petit triangle AB AC BC

côtés grand triangle AD AE DE

Le dernier rapport s’obtient en appliquant Thalès à la figure modifiée obtenue en tirant une parallèle à (AE)passant par B.

Les parallèles sont (AE) et (BL) et elles coupent les sécantes (AD) et(ED). Le théorème de Thalès permet d’écrire les rapports

segments

projetés=

AB

EL=

AD

DE⇔

AB

AD=

EL

DE

puisque BC = EL, on aAB

DA=

BC

DEb

E

bD

b

C

bA

bB

bL

5 2 Réciproque du théorème de Thalès

Réciproque du théorème de Thalès

Si les points A, B, B′ sont alignés dans le même ordre que les points A, C, C′ et

AB

AB′ =AC

AC′

alors (BC)//(B′C′)

Théorème 5 - 20

À quoi sert ce théorème ?

Ce théorème sert à montrer quedeux droites sont parallèles.

B′

C′

C

A

B

C′

B′

C

A

B


C

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5 3 Les triangles semblables

Deux triangles △ et △′ sont dits semblables si lesangles correspondants sont isométriques et lescôtés correspondants sont proportionnels (l’undes triangles est simplement un « agrandisse-ment » de l’autre).

Définition 5 - 8

Notation : △∼△′

Cela signifie donc que

α=α′

β= β′

γ= γ′et

AB

A′B′ =AC

A′C′ =

BC

B′C′ .

Remarque

A

B

C

A′

B′

C′

α

β

γ

α′

β′

γ′

Deux triangles dont les côtés sont respectivement parallèles ont des angles respectivement isométriques.Théorème 5 - 21

5 4 Conséquences du théorème de Thalès

Les deux théorèmes suivants donnent chacun un critère pour déterminer si deux triangles sont semblables.C’est la raison pour laquelle on les appelle théorèmes de similitude.

1er cas de similitude des triangles

Deux triangles qui ont leurs angles respectivement isométriques sont semblables.Théorème 5 - 22

L’idée de la démonstration consiste à placer l’un des triangles sur l’autre, puis à appliquer Thalès.

2e cas de similitude des triangles

Deux triangles qui ont un angle isométrique et les côtés adjacents proportionnels sont semblables.Théorème 5 - 23

3e cas de similitude des triangles

Deux triangles qui ont les longueurs de leurs trois côtés proportionnelles sont semblables.Théorème 5 - 24

Il suffit ainsi, au moyen de ces trois théorèmes, de repérer si deux triangles sont semblables pour ensuite utiliserles différents rapports donnés dans les configurations de Thalès.


C

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82 5.6. APPLICATIONS PRATIQUES DU THÉORÈME DE THALÈS

Applications pratiques du théorème de Thalès6

6 1 Partage d’un segment en n parties égales

On aimerait partager un segment [AB] en n = 7 parties égales à l’aide du compas et d’une règle.

Méthode

1° On trace une demi-droite issue de Asur laquelle on reporte 7 fois au com-pas une unité de longueur choisie ar-bitrairement (ni trop courte, ni troplongue, non plus ...)

2° On relie A et E.

3° Et on trace des parallèles à (BE) pas-sant par les subdivisions de [AE].

4° Comme celles-ci sont toutes égalesentre elles (de longueur u), les sub-divisions projetées sur (AB) le sontaussi.

u

A

B

C

D

E

Par exemple, si [AD] représente les 4/7 de [AE], alors [AC] représente les 4/7 de [AB].

6 2 Calculer la hauteur d’un arbre par temps ensoleillé

1,8 m

h

20 m 20 m

3 m

3 m

côtés petit triangle 3 1,8

côtés grand triangle 20 hh = 20·1,8

3 = 12m.


C

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6 3 Calculer la hauteur d’un arbre par temps nuageux

Par temps nuageux, il faut changer de stratégie et utiliser un instrument permettant de construire des trianglessemblables.

Il est fait de deux parties perpendicu-laires, l’une à placer horizontalement,l’autre verticalement, et chacune étantgraduées. Une troisième tige est articu-lée sur la partie horizontale et permetde viser le sommet de l’arbre en plaçantson oeil à son extrémité.On obtient ainsi deux triangles sem-blables. Si on mesure y = 0,3 m et quela distance AB est de 30 mètres, alors

côtés petit triangle 0,3 0,5

côtés grand triangle x 30

x = 0,3·300,5 = 18m. Il reste à ajouter la

hauteur des yeux par rapport au sol.

0,5 m0,5 m

A B

C

x

y

6 4 Calculer la largeur d’une rivière

La méthode est semblable, mais cette fois en utilisant l’instrument en position couchée.

Il faut s’arranger pour trouver sur l’autrerive un objet ( un tronc d’arbre, parexemple) qui servira de repère, bien vi-sible, en face duquel on mettra un autrerepère B sur la rive où on se trouve. Puis,on fera une visée à partir d’un autrepoint A de la rive en ayant pris soin demesurer la distance AB.

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa













0,5 m

AB

C

Théorème de l’angle inscrit7

Dans un cercle, unangle inscrit est égalà la moitié de l’angleau centre quiintercepte le mêmearc.

arcintercepté

A

A

B

B

M

OOThéorème 5 - 25

Conséquences : • dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

• lorsque l’angle au centre �AOB est plat (c.-à-d. [AB] est un diamètre), le théorème énonceque l’angle inscrit �AMB est droit, autrement dit le triangle △AMB est rectangle. C’est, onle reconnaît immédiatement, le théorème de l’angle droit.


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84 5.8. THÉORÈME D’EUCLIDE ET THÉORÈME DE LA HAUTEUR

Théorème d’Euclide et théorème de la hauteur8

Nous allons d’abord voir une nouvelle démonstration du théorème de Pythagore qui utilise la similitude destriangles.

Nouvelle preuve de Pythagore.

1° Dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des cathètes.

On dessine la hauteur issue de A. On obtient ainsi deux nouveaux triangles. Les triangles △ABC, △ABHet △AHC sont semblables parce qu’ils sont dans le premier cas de similitude des triangles.

• △ABC ∼△ABH implique que

BC

AB=

AB

BH

doncAB2 = BC ·BH

• △ABC ∼△AHC implique que

BC

AC=

AC

HC

doncAC2 = BC ·HC

A

B

C

H

En ajoutant ces égalités membre à membre, on obtient

AB2 +AC2 = BC ·BH+BC ·HC = BC · (BH+HC) = BC ·BC = BC2.

2° Si △ABC est un triangle tel que BC2 = AB2 +AC2, alors l’angle �BAC =α= 90°.

On construit un triangle △A′B′C′ rectangle en A′, et tel que A′B′ = AB et A′C′ = AC. Avec la première partiedu théorème appliquée au triangle △A′B′C′, il vient

B′C′2 = A′B′2 +A′C′2

d’où

B′C′2 = AB2 +AC2

Par hypothèse, on a

BC2 = AB2 +AC2

Donc

B′C′2 = BC2 et B′C′ = BC

△ABC ≡△A′B′C′ par le 2e theoreme d’isométrie

Ainsi

α= 90°

�

Théorème d’Euclide

Dans tout triangle △ABC rectangle en A, on a que les angles β et γ sont aigus et la relation

AB2 = BH ·BC et AC2 = CH ·BC.

Réciproquement, si les angles β et γ sont aigus et si l’on a

AB2 = BH ·BC et AC2 = CH ·BC.

alors ce triangle est rectangle en A.

Théorème 5 - 26


C

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AA

BB CC

H

H

AB2

BC ·BH

Preuve. Dans la démonstration du théorème de Pythagore que nous venons de voir, nous avons établi que dansun triangle △ABC rectangle en A, on avait les relations AB2 = BH ·BC et AC2 = CH ·BC.

Réciproquement, si les angles β et γ sont aigus, alors H ∈]BC[ et les △ABC et △ABH ont même angle en B. Deplus, par hypothèse, on a AB2 = BH ·BC, c’est-à-dire

BC

AB=

AB

BH

On est dans les conditions pour appliquer le 2e cas de similitude des triangles : △ABC ∼△ABH. Or ce derniertriangle est rectangle en H par construction, donc △ABC est rectangle en A. �

Théorème de la hauteur

Un triangle △ABC est rectangle en A si et seulement si β et γ sont aigus et

AH2 = BH ·CH

Théorème 5 - 27

AA

BB CC

βγ

HH

AH2

CH ·BH

Preuve. Si △ABC est rectangle en A, on a △ACH∼△AHB ; ainsi

CH

AH=

AH

HB

c’est-à-dire

AH2 = CH ·HB

Réciproquement, si les angles β et γ sont aigus, alors H ∈]BC[. Les triangles △AHC et △ABH sont rectangles enH et leurs côtés adjacents sont respectivement proportionnels, car, par hypothèse

AH2 = BH ·CH ou encoreBH

AH=

AH

CH

on a ainsi △ACH∼△AHB. D’où

α= β+γ

mais

α+β+γ= 180°

donc

α= 90°.

�


C

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86 5.9. EXERCICES

Exercices9

5 3

d1//d2.En traçant la bissectrice de l’angle α, on fait appa-raître un triangle isocèle △ABC. Pourquoi ?

α

d1

d2

5 4

Le schéma ci-contre représente l’entrée d’un tun-nel. Le demi-cercle intérieur a un diamètre de 8 m.Un camion de 2,40 m de large emprunte ce tun-nel. Quelle est, en « théorie », la hauteur maximaledu camion ? (Attention ! On roule à droite ou à ...gauche.)

8 m

5 5Voici deux quadrilatères dont les points milieux des côtés sont joints. Les figures ainsi obtenues semblent êtredes parallélogrammes. Est-ce un hasard ?

AA

B

BC

C

D

D

5 6Montrer que les diagonales d’un rectangle sont de même longueur.

5 7La médiane d’un triangle partage ce triangle en deux triangles d’aires égales.

5 8Soit un triangle △ABC et M un point intérieur au triangle ; si aire△AMB = aire△AMC, alors M est un point dela médiane issue de A.Indication : Démontrer d’abord le cas particulier où M est un point de [BC].

5 9

On considère un cercle de diamètre [AB], unedroite d , perpendiculaire à (AB) et ne passant nipar A ni par B, et enfin un point M de d n’appar-tenant pas à (AB).Les droites (MA) et (MB) recoupent le cercle en P etQ.Que dire des droites (AQ), (BP) et d ?Indication : droites remarquables d’un triangle etthéorème 5 - 16.

A B

M

P

Q

d


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5 10

Dans le triangle ci-contre, I est le milieu de [AB], Lest le milieu de [CI] et J et K sont les points de [BC]tels que BJ = JK = KC.Montrer que A, K et L sont alignés.Indication : Si deux droites parallèles ont un pointcommun, alors ...

A

B C

I

J K

L

5 11

1° Vérifier que les triangles suivants définis par leurs côtés sont tous rectangles :

5,6,p

11; 11,12,p

23; 13,14,p

27.

2° Deviner une loi générale et l’établir.

5 12L’aire d’un triangle est 48 cm2. La hauteur et la médiane issues d’un même sommet mesurent respectivement6 cm et 8 cm.Prouver que ce triangle est rectangle.

5 13

Les bissectrices issues de A et de D dans le parallé-logramme ABCD se coupent en I.Montrer que le triangle AID est rectangle en I.

A

BC

D

I

5 14

ABCD est un parallélogramme, I est le milieu de[AB] et J le milieu de [CD].Montrer que DF= FE = EB

A B

CD

EF

I

J

5 15Trois droites d1, d2 et d3 sont concourantes en un point I. Tracer un triangle ABC dont ces trois droites soientles hauteurs et I l’orthocentre.

Existe-t-il plusieurs triangles ? Si oui, ont-ils un lien entre eux ?

Thalès

5 16

ABCD est un parallélogramme. Montrer que les tri-angles △ABI et △KDA sont semblables.

A B

CD

I

K


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88 5.9. EXERCICES

5 17

On donne un triangle△ABC, un point I de [BC] (I 6= B et I 6= C) et un point M de (AI) (M 6= A et M 6= I). La parallèleà (AB) menée de M coupe (BC) en P. La parallèle à (AC) passant par M coupe (BC) en Q.

Montrer que si I est le milieu de l’un des segments [BC] ou PQ, il est aussi le milieu de l’autre.

5 18

AB= 15, BC = 9, DE=15.Calculer AC, AE et AD.

A

B

C

D

E

5 19

△ABC est un triangle rectangle en B. Les côtés del’angle droit mesurent 36 cm et 48 cm.Calculer la longueur du côté du carré inscrit.

A B

C

5 20

(AA′)//(BB′)//(CC′) et (A′C′′)//(AC).AB= 24, BC = 32A′B′ = 36,AA′ = 39, BB′ = 60.Calculer B′C′ et CC′.

A

B

C

A′

B′′

C′′

B′

C′

5 21

(AA′)//(BB′)//(CC′).AB= 15, BC = 30AA′ = 10, A′B′ = 12.Calculer le périmètre du trapèze BB′C′C.

A

B

C

A′

B′

C′

5 22

△ABC est un triangle rectangle en C. △DBF est untriangle rectangle en F.Montrer que les triangles△AEF et△DBF sont sem-blables.

A B

C

D

E

F


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5 23

(BD)//(CE).AB= 64, BC = 24BD = 42.Calculer CE.

A B C

D

E

5 24

(BD)//(CE).BC = 5, CE = 25AD= 18, DE = 2.Calculer AB et BD.

A B C

D

E

5 25

1) (BD) est perpendiculaire à (BC)

(AB) est parallèle à (DE)

DC = 12,6 cm, AC = 18 cm, CE = 7 cm

2) Justifier clairement que les triangles△ABC et△DEC sont semblables.

3) Calculer BE et BD

A

B

C

D

E

5 26

En plaçant son oeil à 1,50 m de hauteur et à 1 mdu bord d’un puits de 1,20 m de diamètre, le borddu puits cache juste la ligne du fond. Quelle est laprofondeur du puits ?

1 m

1,2 m1,5 m

5 27

Tracer un segment [AB] de longueur 11 cm, placer sur ce segment le point C tel que AC =5

7AB, en laissant les

constructions apparentes.

5 28Soit ABCD un rectangle (AB< AD). Où placer le point H sur le segment [AB] et K sur le segment [AD] afin que ladroite (HC) soit perpendiculaire à [BK] en son milieu ? (Vérifier que le quadrilatère BHKC est un « cerf-volant »,c’est-à-dire qu’une diagonale est médiatrice de l’autre.)

5 29On considère un carré ABCD, I et J les milieux des côtés [AB] et [BC] et K le point d’intersection de (AD) et (IJ).

1° Montrer que KA =BJ = JC. En déduire la nature des quadrilatères AKBJ et AKJC.

2° Montrer que (DB) est orthogonale à (KJ).

3° Quel point remarquable du triangle △BDK est le point I ? En déduire que les droites (DI) et (AJ) sontorthogonales.


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90 5.9. EXERCICES

5 30

Les bases du trapèze ci-contre ont pour longueursAB = 2 cm et CD = 5 cm. Compléter la phrase : «L’aire du triangle △ABI est égale à ... % de l’aire dutriangle △CDI. »☞ Oui, Thalès.

A B

CD

I

5 31

Dans la figure ci-dessous, les trois droites d1, d2

et d3 semblent concourantes. Qu’en est-il exacte-ment ?

25o60o 55o 25o

d1d2

d3

5 32

Sachant que d1 et d2 sont parallèles, trouver x et y .21 18

9,5 12,6

d1

d2

x

y

5 33

À l’aide du quadrillage, trouver k dans chaque cas :

1° AI= k ·AB

2° AJ = k ·AK

3° BJ = k ·BC

4°LA

LC= k A

B

C

I

J

K

L

5 34

La figure ci-contre représente trois carrés accolés.Les droites (DH) et (BG) se coupent en J et I est lemilieu de [BH].Montrer que les points I, J et F sont alignés.☞ Préciser la position de J sur [BG] avant de s’in-téresser au triangle △BHF.

A B C D

EFG

IJ

H


C

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5 35

Les droites (DE) et (AB) sont-elles parallèles ?

24

20 12

15

A

B

CD

E

5 36

Calculer les angles du triangle △ABC de la figureci-contre.

50o 100oA

B

CI

5 37

Vrai ou faux : « Dans la figure ci-contre, où le cerclea pour centre O, les triangles △ABC et △ADE ont lamême bissectrice issue de A » .

A

B

C

D

E

O

5 38

9 cm

6 cm

5 cm

A

B

CSachant qu’un triangle semblable au triangle ABC a un pé-rimètre de 12 cm,

1. calculer la longueur de chacun de ses côtés (audixième près) ;

2. si le triangle semblable au triangle ABC a une aire de5,04 cm2, quelle est l’aire du triangle ABC ?

☞ Quel est le rapport entre les périmètres de deux trianglessemblables, et entre leurs aires ?

5 39

Vrai ou faux : « La médiatrice de [BC] passe par lemilieu de [AD] » .

A

B

C

D


C

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92 5.9. EXERCICES

5 40

Dans la figure ci-contre, on ne connaît que AH = 3et BK = 2 (unité : le cm).

Peut-on quand même calculer CL ?☞ Soit h la longueur CL et d la longueur HK (dest une inconnue auxiliaire). Exprimer LK et LH enfonction de h et de d, et comme HL+LK...Remarque : Est-il intuitivement évident que la lon-gueur CL ne dépende pas de l’« écartement » entreH et K ?

A

B

C

KLH

5 41Calculer le périmètre d’un triangle rectangle d’aire 80 cm2, sachant que ce triangle est semblable à un trianglerectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent respectivement 2 cm et 5 cm.

5 42

Un carré est inscrit dans un cercle de 10 cm de diamètre. Surdeux de ses côtés sont construits deux autres côtés (grisés).Quelle est la somme des aires de ces deux carrés grisés ?

5 43

Le point C est sur le demi-cercle de diamètre [AB]. La bissec-trice issue de A dans le triangle △ABC rencontre en I celle is-sue de B, et en D le demi-cercle.

Montrer que le triangle △BDI est rectangle isocèle.

A B

C

D

α βI


C

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5 44

Calculer α, ω

40o

α

ω×

Calculer α, β

15o

α

β

O

Calculer α, β, γ, δ

30o

80o

α

β

O

γδ

×


30o

α

β

γ

δ


80o

α

β

O

γ

δ

Calculer α, β, γ

50o

60o

α

β

γ


30o

80o

α

β

γ

δ

Calculer α, β

30o

α

β

Calculer α, β

80o

70o

α

βO

5 45

1° Montrer que les triangles △ABE et△ADC sont semblables.

2° Montrer que : AB ·AC = AD ·AE.

A

B

C

D

E

1° Montrer que les triangles △ABD et△ACE sont semblables.

2° Montrer que : AB ·AE = AC ·AD.

A

B

C

DE


C

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94 5.9. EXERCICES

5 46�BAC = 90°(AH)⊥ (BC)AB= 4 cm et BC = 5 cmCalculer BH, AC et AH. Les triangles △ABCet △ABH sont-ils semblables ?

A

B CH

5 47�BAC = 90°(AH)⊥ (BC)BH = 6 cm et HC = 1,5 cmCalculer AH, AB et AC. Les triangles △ABHet △ACH sont-ils semblables ?

A

B CH

5 48

(AB)⊥ (AC) et (AH)⊥ (BC)AB= 21 m et AC = 28 mCalculer BC, BH, HC et AH.

A

B CH

5 49

En utilisant le théorème de la hauteur, construire un segment de longueur :p

7,p

12,p

3 etp

a avec a ∈N.

5 50Dans un cercle de 5 cm de rayon, on place une corde [AB] de 8 cm, et le diamètre [AC]. Soit P le pied de laperpendiculaire abaissée de B sur (AC).

Calculer les longueurs de [AP], [PC] et [BP].

5 51Par un point P d’un segment [AB], on mène la per-pendiculaire à [AB]. Soit d cette perpendiculaire etC le cercle de diamètre [AB]. Choisir un point C ducercle, distinct de A et de B. La droite d va couperen D et en E, respectivement, le côté [AC] et le pro-longement du côté [BC] du triangle △ABC.

Montrer que PD · PE ne dépend pas du choix dupoint C.

A B

C

D

E

P

dC

5 52On donne un rectangle ABCD et un segment [EF].

1. Construire un carré de même aire que le rectangle ABCD (quadrature du rectangle).

2. Construire un rectangle EFGH de même aire que ABCD.


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5 53Construire un triangle △ABC connaissant le côté [AB] et les pieds respectifs H et D de la hauteur et de la bis-sectrice intérieure issue de C.

Données numériques : AB= 80 mm,AD

BD= 1

2 ,AH

BD= 1

3 .

5 54Construire un triangle rectangle sachant que son hypoténuse mesure 10 cm et que l’une des cathètes est ledouble de l’autre.

5 55

Dans la figure ci-contre, sachant queAB= AC,

1. trouver tous les triangles sem-blables ;

2. si OB = 25 cm et OA = 60 cm, cal-culer si possible les longueurs detous les segments de la figure.

Réponse : AE = 59513 , AB = 65, BC = 50,

EC = 60013 , EB = 250

13 , AF = 59512 , EF = 2975

156 ,OF = 125

12 et FC = 32512 .

b O

bB

b

C

bA

bE

b

F


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96 5.10. ANNEXE

Annexe10

10 1 Axiomatique de Hilbert

Cette section donne une présentation presque complète de l’axiomatique de Hilbert à la différence du débutde ce chapitre qui l’avait simplifiée pour la rendre plus digeste.

On suppose donné un ensemble E dont les éléments sont appelés points et qui sont habituellement désignésP, Q, etc. On considère des sous-ensembles particuliers de E, appelés droites et notés par d , e, etc. On ne dit pasce qu’ils sont, mais ces objets sont compris à travers les propriétés (axiomes) qu’ils vérifient.Encore un peu de vocabulaire :

• si un point P appartient à une droite d , P ∈ d , alors on dit que la droite d passe par le point P ;

• deux droites n’ayant aucun point commun sont dites parallèles ;

• si trois points appartiennent à la même droite, on dit qu’ils sont alignés.

Axiomes d’incidence

(I1) Par deux points distincts du plan passe toujours une droite et une seule.

(I2) Chaque droite contient au moins deux points.

(I3) Il existe trois points non-alignés

On en tire immédiatement certains théorèmes dont

Deux droites distinctes ont au plus un point en commun.

Axiomes d’ordre (relatif aux segments)

(O1) Soit P, Q et R trois points distincts de la même droite :

si R est entre P et Q, alors on a aussi que R est entre Q et P.

(Cet axiome assure qu’il y a les mêmes points entre P et Q qu’entre Q et P.)

(O2) Pour toute paire de points distincts P et Q, il existe un point R tel que Q soit entre P et R.

(Cet axiome assure que la droite « ne s’arrête jamais ». )

(O3) Soit P, Q et R trois points distincts de la même droite :

il existe un seul de ces points qui se trouve entre les deux autres.

(Cet axiome assure que les droites ne sont pas circulaires.)

(O4) Axiome de Pasch utilisé implicitement par Euclide.

Soient P, Q et R trois points non alignés et d une droite ne contenant aucun des points P, Q, R. Si dcontient un point S situé entre P et Q, alors d contient soit un point entre P et R, soit un point entreQ et R, mais pas les deux.

Pour deux points distincts P et Q, on notera [PQ] le segment constitué de tous les points situés entre P etQ.

Axiomes de report ou de congruence des segments et des angles

Le transport des segments et des angles ne change pas leur mesure. Ceci est garanti par

(C1) Soit [PQ] un segment et d une demi-droite issue du point R. Il existe alors un unique point S de dtel que [PQ] ∼= [RS] (même longueur).

(C2) La relation de congruence des segments est une relation d’équivalence.

(C3) Axiome d’addition. On considère des points alignés A, B, C et P, Q, R. Si [AB] ∼= [PQ] et [BC] ∼= [QR],alors [AC]∼= [PR].

(C4) Soit un angle �ABC et [QP) une demi-droite. Il existe une unique demi-droite [QR) d’un côté donnéde la droite QP telle que �ABC ∼= �PQR.

(C5) La relation de congruence des angles est une relation d’équivalence.

Axiome d’isométrie des triangles CAC

On se donne deux triangles △ABC et △PQR.

On suppose que [AB]∼= [PQ], [BC] ∼= [QR] et �ABC ∼= �PQR. Alors les deux triangles sont congruents : [AC]∼=[PR], �BCA∼= �QRP et �CAB∼= �RPQ.

Plus simplement, deux triangles qui ont respectivement un angle et les côtés adjacents isométriques sontisométriques.


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Axiome des parallèles

Par un point quelconque du plan passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.

Axiomes de continuité d’Archimède et de Cantor Ils permettent d’établir une correspondance entre les nombresréels et les mesures des longueurs des segments et des angles.

Les axiomes dont le nom est en bleu sont utilisés implicitement dans le chapitre.

10 1 a Premiers théorèmes non démontrés

(i) Les théorèmes ACA et CCC d’isométries des triangles (on peut éventuellement démontrer ACA).

(ii) le théorème de la transversale et sa réciproque.

Remarque L’axiome d’isométrie des triangles CAC n’en est pas un chez Euclide. Il est mentionné en tant quethéorème et est justifié à ce titre par une démonstration. Malheureusement, celle-ci pose un sérieux problèmequi a été relevé seulement au XIXe siècle et qui amènera Hilbert a une refonte des axiomes dont l’une desparticularités est d’avoir placé ce cas d’isométrie des triangles au rang des axiomes. Son sens est d’établir unlien entre la congruence des angles et la congruence des segments qui l’une et l’autre font également l’objetd’un axiome.

10 2 Axiomatique originale d’Euclide

L’axiomatique d’Euclide comprend en plus de définitions utiles en géométrie et d’axiomes généraux à toutes lesmathématiques, cinq postulats. Les quatre premiers justifient essentiellement les constructions sur lesquellesEuclide base ses démonstrations.

(P1) On peut tracer un segment de droite reliant deux points quelconques.

(P2) On peut prolonger continûment en ligne droite tout segment.

(P3) Étant donné un segment de droite quelconque, on peut tracer un cercle en prenant ce segment commerayon et l’une de ses extrémités comme centre.

(P4) Tous les angles droits sont isométriques.

(P5) Si une droite tombant sur deux droites fait des angles intérieurs et du même côté plus petits que deuxangles droits, les deux droites indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles pluspetits que deux angles droits.

Voici quelques exemples de définitions (celles du point et de la droite n’existent pas chez Hilbert, car elles sontdonnées implicitement à travers les axiomes).

(D1) Le point est ce qui n’a aucune partie.

(D2) Un segment est une longueur sans largeur.

(D3) Les extrémités d’un segment sont des points.

(D4) La ligne droite est une ligne dont l’extension entre deux quelconques de ses points est égale à la distanceentre ces points.

(D5) etc.

Les axiomes généraux sont les suivants.

(A1) Les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles.

(A2) Si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs égales, les touts seront égaux.

(A3) Si de grandeurs égales on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux.

(A4) Si à des grandeurs inégales on ajoute des grandeurs égales, les touts seront inégaux.

(A5) Si de grandeurs inégales on retranche des grandeurs égales, les restes seront inégaux.

(A6) Les grandeurs qui sont doubles d’une même grandeur sont égales entre elles.

(A7) Les grandeurs qui sont les moitiés d’une même grandeur sont égales entre elles.

(A8) Les grandeurs superposables sont égales entre elles.

(A9) Le tout est plus grand que la partie.

(A10) Deux droites ne délimitent point d’aire (on suppose que cet axiome a été rajouté après-coup).


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6Trigonométriedans le trianglerectangle

C H A P I T R E

CHAPITRE 6. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE 99

Connaissances préalables1

1 1 Configurations de Thalès

Elles sont constituées de deux triangles formés par deux droites sécantes ((AE) et (AD)) coupées par une pairede droites parallèles ((BC) et (ED)).

b

B

bD

b

E

bC

b

A

b

Ab

B

bC

b

D

bE

Théorème de Thalès

Dans ces configurations les côtés d’un triangle sont proportionnels aux côtés associés de l’autre.Théorème 6 - 1

On a ainsi les égalités de rapports (ou proportions)suivants :

AB

AD=

AC

AE=

BC

DE

1 1 a Théorème de Pythagore

• Dans un triangle ABC rectangle en B, on a la relation dePythagore

AC2 = AB2 +BC2

• Réciproquement lorsque les côtés d’un triangle ABC vé-rifient la relation AC2 = AB2 + BC2, alors ce triangle estrectangle en B.

b

AAb

BB

bCC

Théorème 6 - 2

Il est ainsi possible dans un triangle rectangle, connaissant la longueur de deux côtés, de calculer la longueurdu troisième. Est-il possible de trouver la valeur des angles ? C’est ce que nous allons pouvoir faire avec lesrapports trigonométriques.

Les fonctions trigonométriques2

On applique Thalès à la figure ci-dessous qui est une configuration de Thalès particulière avec des trianglesrectangles. Pour chaque point B, B′, ..., choisi sur la droite horizontale, on a à la verticale sur la droite sécanteun point C, C′, ... On a ainsi toute une série de proportions, et, par interversion des moyens, on obtient uneseconde série de proportions.


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100 6.2. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

AB

AB′ =AC

AC′ =⇒AB

AC=

AB′

AC′

BC

B′C′ =AC

AC′ =⇒BC

AC=

B′C′

AC′

BC

B′C′ =AB

AB′ =⇒BC

AB=

B′C′

AB′b

AAb

BB

bCC

b

B′B′

bC′C′

b

B′′B′′

bC′′C′′

bc DD

α

Ces rapports ne dépendent pas du choix de B sur la droite horizontale, mais seulement de l’angle α.

AB

AC=

AB′

AC′ , maisAB

AC6=

AB

AD

La valeur du rapport ABAC se présente ainsi sous forme d’une dépendance fonctionnelle

α 7→AB

AC

En l’occurrence, cette fonction est appelée le cosinus.

cos : α 7→AB

AC

On pose

cos(α) =AB

ACsin(α) =

BC

ACtan(α) =

BC

AB

On écrira souvent, pour simplifier l’écriture

cosα, sinα, tanα au lieu de cos(α),sin(α), tan(α)

En résumé, on a

bAA

b

BB

bCC

c

ab

α

γ sinα=a

b

cosα=c

b

tanα=a

c

D’oùa = b ·sinα et c = b ·cosα

Par le théorème de Pythagore

b2 = a2 +c2 = b2 · (sinα)2 +b2 · (cosα)2 = b2 ·((sinα)2 + (cosα)2)

Donc,(sinα)2 + (cosα)2 = 1

ou, dans une écriture plus courante

sin2α+cos2α= 1

On a aussi

tanα=a

c=

b ·sinα

b ·cosα=

sinα

cosαc’est-à-dire tanα=

sinα

cosα

et encore

sinα=a

b= cosγ= cos(90o −α) donc sinα= cos(90o −α) et cosα= sin(90o −α)


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Ces définitions des fonctions trigonométriques à partir des rapports sur les côtés d’un triangle rectangle li-mitent ces fonctions aux angles aigus, car dans un triangle de ce type, il n’y a pas d’angle obtus. En d’autrestermes, le cosinus et le sinus sont des fonctions dont le domaine est ]0, 90[ et les valeurs de ces fonctions sonttoujours

– inférieures à 1 :a

b< 1 et

c

b< 1 puisque la longueur de l’hypoténuse b est supérieure à a ou à c

– supérieures à 0 : car quotient de 2 valeurs positives.

On peut étendre la définition à l’angle α= 0°. Dans ce cas a = 0 et b = c, donc le sin 0° = 0b = 0 et le cos0 = c

c = 1.De manière semblable, nous pouvons trouver que sin 90° = 1 et cos90° = 0.

En résumé,0≤ cosα≤ 1 et 0 ≤ sinα≤ 1 avec 0° ≤α≤ 90°

Les angles3

θ A

B

d1

d2 En géométrie, un angle est défini comme l’ensemble des points déterminés par deux rayons,ou demi-droites, d1 et d2, qui ont la même extrémité O. Si A et B sont des points sur d1 etd2, comme ci-contre, nous faisons référence à l’angle AOB (noté ∠AOB ou �AOB). Un anglepeut également être considéré comme deux segments de droites avec une extrémité com-mune.

Un angle droit est la moitié d’un angle plat et vaut 90o . Le tableau ci-dessous contient les définitions d’autrestypes d’angles particuliers.

Terminologie Définition Exemples

angle aigu α 0o <α< 90o 15o ; 49o

angle obtus α 90o <α< 180o 95o ; 149o

angles complémentairesα, β α+β= 90o 30o et 600 ; 75o et 15o

angles supplémentaires α, β α+β= 180o 120o et 600 ; 75o et 105o

3 1 Angle au centre et arc intercepté

Dans un cercle de rayon r l’angle au centre θ et la longueur de l’arc L intercepté par cet angle sont propor-tionnels.

angle au centre (degrés) θ 360o

longueur de l’arc intercepté L 2πr

On tire de ce tableau de proportionnalité,

θ

L=

360

2πr

L =πr

180θ

Dans un disque, l’angle au centre θ est proportionnel à l’aire A du secteur intercepté par cet angle. Cela permetde poser la proportion

angle au centre (degrés) θ 360o

aire secteur A πr 2

θ

A=

360

πr 2

A =πr 2

360·θ

θ

2θ

A = πr 2

360θ

A = 2 · πr 2

360θ


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102 6.4. EXERCICES

3 2 Exercices résolus

Conversion de degrés décimaux en degrés, minutes et secondesExprimer 35,48° en degrés, minutes et secondes.

Solution On utilise que 1° = 60′ et 1′ = 60′′

35,48° = 35°+(

48

100

)de 1° = 35°+0,48 ·60′

= 35°+28,8′ = 35° 28′+8

10de 1′ = 35° 28′+0,8 ·60′′

= 35°+28,8′ = 35° 28′+0,8 ·60′′ = 35° 28′ 48′′

Exemple

Conversion de degrés, minutes et secondes en degrés décimauxExprimer 23o 17′ 43′′ sous forme décimale, au dix millième de degré près.

Solution On utilise que 1′ =(

1

60

)o

et 1′′ =(

1

60

)′=

(1

3600

)o

23o 17′ 43′′ = 23o +(

17

60

)o

+(

43

3600

)o

≈ 23o +0,2833o +0,0119o = 23,2952o

Exemple

Utilisation des formules de longueur d’un arc de cercle et d’aire du secteurUn angle au centre θ intercepte un arc de longueur 10 centimètres sur un cercle de rayon 4 centimètres.

(a) Donner une valeur approchée de θ en degrés.

(b) Trouver l’aire du secteur circulaire déterminé par θ.

Solution

(a)L

2πr=

θ

360proportionnalité angle et longueur d’arc intercepté par l’angle

θ=360L

2πr

=360 ·10

2π ·4=

450o

π≈ 143,2o

(b)θ

A=

360

πr 2 proportionnalité angle et secteur

A =πr 2

360·θ

≈π ·42

360·143,2 ≈ 20,0 cm2

Exemple

Exercices4

6 1Trouver l’angle qui est le complémentaire de α .(a) α= 5o 17′ 34′′ (b) α= 32,5o

6 2Exprimer l’angle sous forme décimale, en arrondissant au dix millième de degré près.(a) 37o 41′ (b) 83o 19′ (c) 258o 39′ 52′′

6 3Exprimer l’angle en degrés, minutes et secondes, en arrondissant à la seconde.(a) 63,169o (b) 12,864o (c) 310,6216o


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6 4

Si un arc de cercle de longueur L donnée sous-tend un angle au centre θ sur un cercle, trouver le rayon de cecercle. Résultat à arrondir au centième !

(a) si L = 10 cm, θ= 350 (b) L = 3 km, θ= 20o

6 5

(a) Trouver la longueur de l’arc du secteur ombré dans chacune des figures ci-dessous.

(b) Trouver l’aire du secteur.

Résultats à arrondir au centième !

45o

r = 8 cm

120o

r = 9 cm

6 6

(a) Trouver la valeur de l’angle au centre θ qui intercepte l’arc donné de longueur L sur un cercle de rayon r .(b) Trouver l’aire du secteur déterminé par θ.

(1) si L = 7 cm, r = 4 cm (2) si L = 90 cm, r = 50 cm.

Résultats à arrondir au centième !

6 7

Mesure de distances sur terre

La distance entre deux points A et B sur terre semesure le long d’un cercle dont le centre C est aucentre de la Terre et dont le rayon est égal à la dis-tance de C à la surface (voir la figure). Si le diamètrede la terre est approximativement de 12’800 km,calculer la distance entre A et B si l’angle ACB a lavaleur indiquée :(a) 60o (b) 10o

(c) Mesure d’angles en utilisant la distanceSi deux points A et B sont éloignés de 800 km, ex-primer l’angle ACB en degrés.

A

B

C

6 8

Une roue type pour une petite voiture a un diamètre de 56 cm. Si le véhicule se déplace à une vitesse de 96km/h, calculer le nombre de tours que la roue fait par minute.

Résolution de triangles5

« Résoudre un triangle », c’est calculer les grandeurs inconnues (côtés, angles, périmètre, aire) à partir de cer-taines données.

Pour désigner les différents grandeurs et éléments d’un triangle, on respectera la notation suivante :


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104 6.5. RÉSOLUTION DE TRIANGLES

A

B

C

a

b

cα

β

γ

5 1 Résolution de triangles rectangles

Si le triangle est rectangle, la résolution est plutôt simple. Les relations utilisées sont :

1° le théorème de Pythagore

2° les rapports trigonométriques du triangle rectangle

cosinus =côté adjacent

hypoténusesinus =

côté opposé

hypoténusetangente =

côté opposé

côté adjacent

6 9

Si θ est un angle aigu et cosθ= 34 , calculer les valeurs des fonctions trigonométriques de θ.

6 10

Calcul des valeurs des fonctions trigonométriques de 60°, 30°et 45°.

☞ Pour les 2 premiers angles, travailler sur un triangle équilatéral dont les côtés ont une longueur de 2 cm.Pour le dernier, il faut aussi penser à un triangle particulier.

Ces valeurs particulières pour les fonctions trigonométriques peuvent être résumées par le tableau :

θ (degrés) sinθ cosθ tanθ

30o 1

2

p3

2

p3

3

45o

p2

2

p2

21

60o

p3

2

1

2

p3

6 11

Un géomètre observe qu’en un point A, placé au ni-veau du sol à une distance de 7,5 m de la base Bd’un mât, l’angle entre le sol et le sommet du mâtest 30°. Calculer la hauteur h du mât arrondie audixième de centimètre.

B30°

h

7,5 m

A


C

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6 12

Trouver les valeurs des trois fonctions trigonométriques de l’angle θ.

54

3

17

15

85

2

θ

θ

θ

θ

ac

6 13

Résoudre les triangles suivants (π5 = 36°et π12 = 15°)

5 cm

30o

50o

6 cm

8 cm

7 cm

9 c

m

5 c

m

3 c

m

3 c

m

π5

π12

a) b) c) d)

e)

f)

6 14

Résoudre les triangles rectangles ABC ci-dessous, rectangles en C.

1. a = 10 cm c = 26 cm

2. c = 10 cm α= 32,4°

3. α= 38,45° aire= 8,28 cm2

4. α= 30° périmètre= 10 cm

5. Vérifier que sin2(α)+cos2(α) = 1

β

α

B

A C

6 15

Suspendu en un point O, un pendule oscille. A et Bsont deux positions du pendule.Lorsque l’angle avec la position d’équilibre est de30o, le pendule se trouve à 3 cm au-dessus de saposition verticale.Calcule la longueur de ce pendule.

Historiquement, la définition du mètre a étédonnée à une certaine époque en fonction dupendule : le pendule oscillant en 1 seconde (2secondes pour l’aller et le retour) a une longueurde 1 mètre (1668, John Wilkins).

Remarque

O

A

BH

30o


C

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6 16Calcule la hauteur de la tour (cf. dessin)

h

S

B

H50o

15o

3m

6 17Trouver les valeurs exactes de x et y .

30o

60o

45o

60o

x

x

y

y

4 x

x

y y

3 48

6 18Quelle est la valeur maximale (minimale) du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu ?

6 19Un bûcheron se trouvant à 60 m de la base d’un séquoia observe que l’angle entre la base et le sommet del’arbre est de 60°. Calculer la hauteur de l’arbre.

6 20Le sommet du Mt Fuji, au Japon, culmine à environ 3’800 m. Un étudiant en trigonométrie, à des kilomètres delà, remarque que l’angle entre le sol et le sommet est de 30°. Calculer la distance de l’étudiant au point sur lesol à la verticale du sommet.

6 21Le plus haut symbole publicitaire au monde est une immense lettre I située au sommet du building de 73étages, le First Interstate World Center à Los Angeles. À une distance de 60 m à partir du point à la verticaleau pied du symbole, l’angle entre la base de l’immeuble et le sommet de ce symbole est de 78,87°. Calculer lahauteur du sommet de ce symbole.

6 22

Quelle est la valeur exacte du périmètre du triangle △ABC ? (π6 = 30°)

HB= 1 cm.AH= 3 cm.

π6

A B

C

H


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6 23Calculer le périmètre et l’aire de la surface ombrée dans chacune figure (on a affaire dans chaque cas à des arcsde cercles)

a) O A

B

1 b)

O

A

B

70°

1

c)

O

A

B

144°

4

6 24Une vache se trouve au centre d’un enclos circulaire. Un promeneur arrêté à 70 m ( de la vache, voit l’enclossous un angle horizontal de 20°.

a) Quel est le diamètre de l’enclos ?

b) Le promeneur se trouve maintenant à 5 mètres de l’enclos. Calculer le nouvel angle de vue.

6 25Un observateur voit une tour circulaire de diamètre 25 m, sous un angle horizontal de 20°. A quelle distance dupoint le plus proche de la tour se trouve l’observateur ?

6 26On considère un cercle de centre O et de rayon 7 cm, et un point P situé à 10 cm du centre. Calculer l’angleentre les droites passant par P et tangentes au cercle.

6 27On considère un cercle de centre O et de rayon 5 cm, et un point P situé à l’extérieur du cercle. Sachant que lestangentes au cercle issues du point P font un angle de 25°, calculer la distance OP.

6 28On considère un triangle isocèle dont la base vaut 10 cm et l’angle opposé 36°. Calculer le rayon du cercle inscrità ce triangle.

6 29

En sortant de son phare, le gardien alaissé la porte ouverte, mais il a laissé sonchien (féroce) attaché à un piquet par unechaîne de 10 m.Je connais bien le gardien, mais malheu-reusement le chien ne me connaît pas.Vais-je pouvoir rendre visite au gardien ?

2 m

3 m

10 m

(rayon du cercleextérieur)

1 m

porte

6 30Le rayon de la terreDeux points A et B de la surface terrestre sont si-tués sur le même méridien et distants de 800 km.Lorsque le soleil est à la verticale de A, l’ombre d’unbâton de 1 m planté verticalement en B mesure12,6 cm.Quel est le rayon de la terre ?

☞ Utiliser le schéma ci-contre en faisant interve-nir une fonction trigonométrique de α et en sup-posant que le triangle SBS′ est rectangle en B avecBS′ = 12,6 cm : c’est légitime compte tenu des di-mensions.

A

O

B

S

S’α


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La méthode décrite ici fut imaginée par Eratosthène (vers 284–195 av. J.–C.) qui fut le premier à évaluer correc-tement le rayon terrestre. Il choisit les villes antiques de Syènes (point A) et d’Alexandrie (point B).

6 31

Calcule, si possible, les dimensions manquantes :

a

b

c c

a

ag

b

b

ac

a

c

ab

a

(triangle isocèle)

a = 8 cm

a = 40o

c = 11 cm

a = 32o

c = 4,8 cma = 5 cmb = 7,5 cmc = 11 cm

a = 6 cmb = 8,5 cm

g = 110o

a = 35o

b = 70o

c = 9 cma = 52o

b = 6,8 cm

b

a

a

a = 7 cmb = 8,5 cm

a = 55o

c

c = 5,6 cma = 4,8 cm

a

b

ab

a = 35o

b = 70o

b = 9 cm

a

a = 9,5 cmc = 7 cm

c

a

c = 8 cm

a = 70o

g = 45o

c

g

h

(triangle équilatérale)

h = 6 cm

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)Jann Weiss, Licence Creative Commons BY:© $ \©

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b = 10 m

aire = 10 m

2

b

α=10 m

aire = 15 m

2

α

= 12 m

aire = 20 m

2

c

Correction de l’exercice 6 - 31

1) Triangle quelconque (2e)

2) Triangle avec α= 32o , c = 4,8 cm

Valeur pour β : β= 90o −32o = 58o .

Valeur pour a : sinα=a

cd’où a = c ·sinα≈ 2,54 cm

Valeur pour b : On utilise Pythagore a2 +b2 = c2 et on trouve b ≈ 4,07 cm




6) Triangle avec α= 52o , b = c = 6,8 cm (triangle isocèle)

Valeur pour β et γ : γ= β= (180o −52o ) : 2 = 64o .

Valeur pour a : On utilisesinα

a=

sinγ

cpour trouver a ≈ 5,96 cm


8) Triangle avec α= 60o , β= 600, γ= 600et h = 6 cm

Valeur pour a : On utilise Pythagore a2 =( a

2

)2+62 et on trouve a =

12p

3= 4 ·

p3 ≈ 6,93 cm


10) Triangle avec a = 9,5 cm, c = 7 cm

Valeur pour b : On utilise Pythagore a2 +c2 = b2 et on trouve b ≈ 11,8 cm

Valeur pour γ : On utilise sinα=c

bet on trouve γ≈ 36,38o

Valeur pour α : sinα=a

bet on trouve α≈ 53,62o


12) Triangle avec a = 4,8 cm, c = 5,6 cm

Valeur pour b : On utilise Pythagore a2 +b2 = c2 et on trouve b ≈ 2,88 cm

Valeur pour α : On utilise sinα =a

cet on trouve γ ≈ 59o . On peut aussi utiliser cosα =

b

cet on trouve

γ≈ 59,05o .

Valeur pour β : sinβ=b

cet on trouve α≈ 30,95o


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7Les fonctions

C H A P I T R E

CHAPITRE 7. LES FONCTIONS 111

Si une notion est fondamentale en mathématiques, c’est celle de fonction. Son étude est même l’objet d’unediscipline particulière des mathématiques : l’analyse. Ce chapitre commencera par l’observation de tableaux,de graphiques, puis continuera par l’étude de formules qu’on appellera les expressions analytiques des fonc-tions. Cela permettra de reconnaître quelques fonctions de base.

La notion de fonction a une signification concrète que l’on peut percevoir lorsqu’on étudie la relation entredeux grandeurs dans

– un tableau

– un graphique

– une formule (expression algébrique) ou une loi physique

et bien entendu quand on utilise la locution d’usage courant : « en fonction de ».

Une fonction à partir d’un tableau1

Pour couvrir les besoins collectifs, l’État récolte des fonds sous diverses formes (impôts directs, impôts indirectsou taxes). En Suisse, le prélèvement de l’impôt direct se fait à trois niveaux différents : communal, cantonal etfédéral. Nous examinerons ici une version simplifiée de l’imposition fédérale suisse qui se fait par tranches desalaire. En principe, il y a onze tranches que nous avons réduites à 4 pour des raisons de confort de calcul !Les revenus sont décomposés en tranches et pour chaque tranche un taux d’imposition spécifique est appliqué.Ainsi, un revenu de 50 000 fr., par exemple, a 30 000 fr. dans la première tranche et 20 000 fr. dans la suivante.L’impôt pour la première tranche s’élève à 30 000 · 0,8

100 = 240 fr. On le cumule avec l’imposition appliquée à lapart du revenu dans la 2e tranche 20 000 · 3

100 = 600 fr.L’impôt fédéral se monte ainsi à : 240+600 = 840 fr.

Tranche De Jusqu’àTaux

d’imposition partranche

Impôt partranche

Impôt cumulé

1 0 30 000 0,8 % 240 240

2 >30 000 60 000 3 % 900 1 140

3 >60 000 100 000 6 %

4 >100 000 ∞ 11 %

a) Pour se familiariser avec ce tableau, calculer l’impôt dû pour un revenu imposable annuel de 80 000 fr.,125 000 fr. et de 850 000 fr.

b) Si x désigne le revenu imposable annuel, donner pour chaque tranche la formule (on dit aussi l’expres-sion analytique) qui permet de trouver l’impôt i (x) en fonction du revenu x.

c) Que penser de l’affirmation : « Cela ne sert à rien que je travaille plus, je vais tomber dans une tranched’impôt supérieur et je gagnerai finalement moins que maintenant. »

d) Que penser de l’affirmation : « L’impôt fédéral représente à peu près 5% du revenu imposable annuel. »

e) Quel doit être le revenu imposable annuel pour que le taux d’imposition soit de 10% ?

f) Examiner ce qu’apporte une représentation graphique des questions ci-dessus. À l’intérieur d’une tranche,que montre la représentation graphique ? Comment justifier cette observation ? Que vaut, à l’intérieurd’une tranche, le rapport entre la différence des ordonnées et la différence des abscisses ?

g) Pour prouver ce dernier résultat, considérer deux revenus x et x +∆x dans une tranche, et calculer lerapport demandé. Ce dernier est appelé le taux d’accroissement à l’intérieur d’une tranche.

h) Comment trouver graphiquement le revenu pour lequel l’impôt s’élève à 10% du revenu imposable an-nuel.

Une fonction à partir d’un graphique2

2 1 Remplissage d’un récipient

On verse de l’eau dans un récipient qui a la forme d’un cône tronqué et renversé. Le débit est constant et on litla hauteur atteinte par l’eau à différents instants.


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112 7.3. FONCTIONS À PARTIR D’UNE FORMULE

Cette situation peut être représentéepar un graphique. Pour un récipientde forme donné, on a mis en ordon-née la hauteur atteinte par l’eau aufur et à mesure du remplissage, et, enabscisse, le temps.On peut varier à souhait la forme durécipient et obtenir des graphiquesprésentant des courbes d’allures fortdifférentes.

a) Quelle va être la courbe du gra-phique si le verre a la formed’un ballon.

b) Quels sont tous les verres dontle remplissage à débit constantdonne lieu à la représenta-tion graphique d’une droite ?Que représente la pente de ladroite ?

c) Trouver la forme d’un récipientdont la courbe de remplissageprésente un saut.

5

10

15

20

25

30

hauteur de l'eau (cm)

1 5temps (sec)

5

10

15

20

25

30

hauteur de l'eau (cm)

1 5temps (sec)

2 2 Déplacement d’une voiture

La figure ci-contre représente le déplacementd’une voiture dont le mouvement est uniforme (vi-tesse constante).

1. Expliquer pourquoi les occupants de ce vé-hicule ont peu de chance de survivre à un teldéplacement si ce graphique représentait levrai mouvement du véhicule.

2. Quel serait un graphique beaucoup plusplausible pour un véhicule ? Présenter diffé-rentes possibilités. 0

1

2

3

0 1 2 3

distance(en km)

temps(en minutes)

Fonctions à partir d’une formule3

Généralement, les fonctions sont données par le biais de formules.

(a) Exprimer, en fonction de x = OM, l’aire A(x) et le périmètre de p(x) du triangle OMI. Représenter graphi-quement ces deux fonctions.

I

O

M

x

4

(b) Un objet en chute libre, lâché sans vitesse initiale, a parcouru aubout de t secondes une distance d exprimée (en mètres) par d =5t 2. À cet instant t , la vitesse de l’objet (en m/s) est 10t .

a° Compléter le tableau de valeurs ci-après

t (s) 2 10

d (m) 180 50

v (m/s) 50

b° L’objet est lâché de l’altitude x (en m). Exprimer en fonction de x la vitesse de l’objet lorsqu’il entreen contact avec le sol : i) en m/s ; ii) en km/h.

(c) Un objet en chute libre d’une altitude de 300 m, a son mouvement qui est décrit par l’expression :

h = 300−g t 2

2où g ≈ 9,81m/s2


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Comme g est une constante, la hauteur h à laquelle se trouve l’objet dépend uniquement du temps t quis’est écoulé depuis le début de la chute ; h est donc fonction de ce temps t , et on écrit

h(t) = 300−g t 2

2

ou encore

h : t ,→ 300−g t 2

2

Il est plus correct d’utiliser cette dernière écriture pour désigner une fonction que la précédente. En effet,h(t) indique au sens strict la valeur de la hauteur h à un instant donné t , alors que la dernière formulationindique un objet mathématique h qui est une fonction.

La fonction (ou application, ces termes sont considérés comme de proches synonymes) de notre exemple

associe, à tout nombre t , un nombre qui s’obtient par la formule 300− g t 2

2 . Ce dernier nombre s’appellel’image de t par l’application h et il est noté h(t). Il est assez évident que le choix des valeurs pour t peutêtre assorti de certaines contraintes. Ici, t ∈ R+ : le temps est positif ! La définition complète de notrefonction est donc

h : R+ −→ R

t −→ 300−g t 2

2

R+ est le domaine (ou l’ensemble de départ) de la fonction h.

x

x

h

(d) Une boîte sans couvercle de contenance 12 litre, a la forme du pavé droit

ci-contre (x et h sont exprimés en centimètre).

Exprimer en fonction de x la hauteur h et l’aire extérieure A(x) (fond plusparois latérales).

Une fonction est une relation telle que tout élément de l’ensemble de départ a une et une seule imagedans l’ensemble d’arrivée.

Définition 7 - 1

Suite de « Une fonction à partir d’un tableau »4

Tranche De Jusqu’àTaux

d’imposition partranche

Impôt partranche

Impôt cumulé

1 0 30 000 0,8 % 240 240

2 >30 000 60 000 3 % 900 1140

3 >60 000 100 000 6 % 2400 3540

4 >100 000 ∞ 11 % ... ...

i (x)=

x ·0.008 si x ≤ 30000

240+ (x −30000) ·0,03 si 30000 < x ≤ 60000

1140+ (x −60000) ·0,06 si 60000 < x ≤ 100000

3540+ (x −100000) ·0, 11 si 100000 < x

Dans les deux graphiques qui suivent, les revenus x sont placés sur l’axe des abscisses et les impôts sur l’axe des ordonnées.À chaque revenu x correspond un impôt i (x), et un seul (c’est ce qui caractérise une fonction ou application par oppositionà une relation quelconque). Chaque couple (x ; i (x)) représente un point dans ce repère et l’ensemble de tous les points(x ; i (x)) est appelé le graphique de la fonction i .


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114 7.4. SUITE DE « UNE FONCTION À PARTIR D’UN TABLEAU »

À l’intérieur d’une tranche d’imposition, le graphique est composéd’un morceau de droite. En effet, si on considère par exemple latranche de revenus allant de 60 000 à 100 000, on voit qu’en aug-mentant le revenu de 1 000 fr., l’impôt, lui, augmente de 60 fr. S’ilaugmente de 5 000 fr., l’impôt augmente de 300 fr.Le rapport de la différence des ordonnées à la différence des abs-cisses de deux points est constante : il est égal au taux de la tranche,ici 6 %. On peut le prouver de la manière suivante.

+1000

+60

+5000

+300

+2000

+120

On considère deux revenus x et x +∆x (où ∆x représente une quantité différente de 0) dans une tranche. Pour ces deuxrevenus, on a l’impôt :

i (x)= 1140+ (x −60000) ·0,06

i (x +∆x) = 1140+ (x +∆x −60000) ·0,06

le rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses donne

i (x +∆x)− i (x)

x +∆x − x=

0,06∆x

∆x= 0,06

Ce rapport est désigné par le terme de taux d’accroissement à l’intérieur de la tranche.

L’avantage d’un graphique est de donner une image immédiate d’une fonction : elle permet d’estimer pour chaque revenul’impôt (on parle de l’image d’une valeur de x), ou réciproquement d’estimer le revenu lorsqu’on connaît l’impôt (image réci-proque d’une valeur de i ). On voit aussi immédiatement le caractère croissant ou l’absence de saut dans une fonction. Enfin,si l’on veut savoir quel est le revenu dont l’impôt s’élève à 10% de ce revenu, alors la réponse est donnée par l’intersection dugraphique de i et de la droite d’équation y = 0,1x. On voit aussi que l’impôt est toujours inférieur à 12% du revenu.

50000 100000 150000 200000

5000

10000

15000

20000


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Notions de base5

En premier lieu, une fonction est une relation entre deux quantités variables, une des quantités étant fonction de l’autre.Ainsi, la quantité d’impôt à payer dépend du salaire (variable indépendante, cf. plus loin), ou, la distance parcourue dépenddu temps (variable indépendante) pour reprendre deux exemples vus précédemment.

On appelle la quantité dépendant ou fonction de l’autre la variable dépendante et l’autre la variable indépendante.

Cette relation peut être représentée graphique-ment en mettant la variable indépendante x sur unaxe horizontal et la variable dépendante y sur unaxe vertical. La relation entre les deux étant tellequ’à chaque valeur de la variable indépendantene correspond qu’une valeur de la variable dépen-dante, conformément à la définition donnée plushaut d’une fonction que nous rappelons

−1

−2

−3

1

2

3

1 2 3−1−2−3x

y

b

b b

b

f (−1)(−1 ; 2)

C f

Une fonction est une relation telle que tout élément de l’ensemble de départ a une et une seule imagedans l’ensemble d’arrivée.

f : A−→B

x −→y

Définition 7 - 2

Ensemble de départ ou source/domaine est l’ensemble sur lequel la variable indépendante prend ses valeurs.

Ensemble d’arrivée ou but est l’ensemble sur lequel la variable dépendante prend ses valeurs.

L’image d’un élément x est l’unique élément y qui lui est associé. L’image de x par f est notée : f (x), ce qui selit « f de x » ou « l’image de x par f ».

La (ou les) pré-image(s) d’un élément y est le ou les éléments x tels que f (x) = y .

La courbe représentative de f ou encore le graphe de f est la représentation graphique d’une fonction danslaquelle chaque couple (x ; f (x)) est représenté par un point (x ; y) avec y = f (x). Cette courbe est notéeC f , mais souvent on la note simplement f .

Les zéros de f sont les valeurs de x tels que f (x) = 0 (graphiquement ce sont les abscisses des points d’inter-section du graphe de f et de l’axe (Ox)).

L’ordonnée à l’origine est l’image de 0 (graphiquement, c’est l’ordonnée du point d’intersection du graphe def avec l’axe (Oy)).

L’expression algébrique de f est donnée par une expression de la forme

f (x) = 3x3 −5 ou f : x 7−→ 3x3 −5

La lecture du graphique ci-dessus donne

• l’image de −1 est 2, autrement dit f (−1) = 2. Ainsi le point (−1 ; 2) appartient au graphe de f ;

• f (2) = 2;

• les pré-images de 2 sont −1 et 2;

• 4 n’a pas de pré-image, par contre 4 a une image, mais le graphique ne permet pas de la lire (s’ilétait prolongé, on aurait eu −3) ;

• les zéros de f sont -2 et 3 ;

• l’ordonnée à l’origine est 3 ;

• l’expression algébrique de f est (elle n’est toutefois pas évidente à extraire de la lecture du graphe)

f (x) =−1

2x2 +

1

2x +3 ou f : x 7−→−

1

2x2 +

1

2x +3

emple


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116 7.5. NOTIONS DE BASE

7 1

Estimer, en lisant le graphique ci-contre,

1. la valeur de f (0) ;

2. la valeur de f (−2) ;

3. l’ordonnée à l’origine ; <item les zéros ;

4. les valeurs de x sachant que f (x) = 0 ;

5. les valeurs de x sachant que f (x) = 2 ;

6. la ou les pré-images de 2;

7. l’ensemble des valeurs de x telles que f (x)est positive ;

8. combien de pré-images possèdent la valeur−1.

−1

−2

−3

−4

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

C f

7 2

Considérons la fonction donnée par la formule f (x) = x2 +5.

1. Quelle est l’image de 3? et de −3?

2. Quelle est l’image de −2? et de 2?

3. Combien de zéros possède la fonction f ?

4. Donner la ou les pré-images de 10.

7 3

On considère la fonction f (x) = 1x+1 . Déterminer son domaine de définition.

7 4Parmi les courbes suivantes, lesquelles sont représentatives d’une fonction

0-1

-11

1

2

2

3

3

-2

-2

-3

-3

IR0-1 1

1

2

2

3

3

-2-2

-3

-3

IR

IR

0-1

-11

1

2

2

3

3

-2

-2

-3

-3

IR

IR

0-1

-11

1

2

2

3

3

-2

-2

-3

-3

IR

IR


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0-1

-11

1

2

2

3

3

-2

-2

-3

-3

IR

IR

0-1

-11

1

2

2

3

3

-2

-2

-3

-3

IR

IR

7 5

Quel doit être dans chaque cas l’ensemble de départ pour que les graphiques ci-dessous représentent des fonc-tions ?

0-1

-11

1

2

2

3

3

-2

-2

-3

-3

IR

IR

0-1

-11

1

2

2

3

3

-2

-2

-3

-3

IR

IR

0-1

-11

1

2

2

3

3

-2

-2

-3

-3

IR

IR

0

-1

1

2

3

3

-2

-3

IR

IR

π2

-π2

1) 4)

2) 5)

0-1

-11

1

2

2

3

3

-2

-2

-3

-3

IR0-1

-11

1

2

2

3

3

-2

-2

-3

-3

IR

IR3) 6)


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118 7.6. GRAPHIQUES DES FONCTIONS AFFINES

7 6Voici les représentations graphiques de trois fonctions f , g et h de R dans R.

1. Déterminer à partir de ces graphes :

f (1) f (−2) f (0)

g (1) g (−2) g (0)

h(1) h(−2) h(0)

2. « Le point (−49 ; −48) appartient à la courbe représentative de h. » VRAI ou FAUX ?

3. Compléter

Si f (x) =−3, alors x =Si g (x)= 3, alors x =Si h(x) = 0, alors x =Si f (x) = g (2), alors x =Si f (x) = h(x), alors x =

−1

−2

−3

1

2

3

1 2 3−1−2−3−4−5x

y

C f

CgCh

Si g (x)> f (x), alors x

Si f (x) = g (x), alors x =4. Quels sont les zéros de f ?

5. Sur quel ensemble f est-elle positive ?

Sur quel ensemble g est-elle négative ?

Sur quel ensemble h est-elle strictement positive ?

Graphiques des fonctions affines6

Du fait que le graphique d’une fonction contient généralement une infinité de points de la forme (x ; f (x)), il n’est pas tou-jours simple de la dessiner. Il existe toutefois certaines classes de fonctions qu’il est facile de représenter à partir de quelquespoints seulement.

La plus simple est la fonctionconstante f (x) === c dont le graphiqueest une ligne droite horizontale situéeà une hauteur c.

La fonction linéaire f (x) === c x a aussiune représentation graphique simple,celle d’une droite ∆ passant par (0,0).

f (x) = 1

f (x) =−1

2

f (x) = x

f (x) =−x

f (x) = 2x

On le prouve en considérant une droite passant par les points (0,0) et A = (x,cx) où x est un nombre quelconque différent de0. Soit un point A′ dont l’abscisse est z. Il appartient à la droite ∆ si les triangles OAB et OA′B′ sont semblables. Ce qui signifie(par Thalès) que

AB

OB=

A′B′

OB′ = c

Dans notre cas, cette relation est bien vérifiée, car A′ est le pointde coordonnées (z,cz), donc OB′ = z et A′B′ = cz et on a le rapportA′B′

OB′ = c. Ainsi la droite ∆ à laquelle appartient le point A′ est le gra-phique de la fonction f (x) = cx. Le nombre c représente la pentede la droite.

A=(x,cx)

A′

O=(0,0) B B′

∆

Le graphique d’une fonction affine f (x) === c x+++d se déduit facilement de celui de la fonction linéaire f (x) = cx. Il s’agit d’unedroite parallèle (même pente c) à celle représentant f (x) = cx, mais passant par le point (0,d).

7 7Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions affines ?

f1 : x 7−→ 1 f3 : x 7−→αx +α2 f5 : x 7−→ 1− x2

f2 : x 7−→−x f4 : x 7−→x2 −9

x −3f6 : x 7−→ 1− x2


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7 8

Déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine des fonctions suivantes, puis tracer leur graphe :

f1 : x 7−→−2x +3 f4 : x 7−→−2 f7 : x 7−→ 3x

f2 : x 7−→ 5− x f5 : x 7−→ x f8 : x 7−→ 0

f3 : x 7−→5x

4f6 : x 7−→

2x −3

4f9 : x 7−→

2− x

3

7 9

Trouver dans chaque cas la fonction affine f dont la représentation graphique

a) passe par le point (3 ; 2) et dont la pente vaut 4 ,

b) est parallèle à la droite d’équation y =−x +7 et passe par (−6 ; 8) ;

c) passe par les points (5 ; 6) et (−9 ; 5) ;

d) est perpendiculaire à la droite d’équation y = 3x −4 et passe par l’origine ;

e) est perpendiculaire à la droite d’équation y = 3x −4 et passe par (2 ; 0) ;

f ) est de pente − 12 et telle que f ( 1

2 ) =−2.

7 10

Les températures peuvent être mesurées dans différentes unités, entre autres les degrés Celsius et les degrésFahrenheit. On a par exemple les relations suivantes : 60°C=140°F et 100°C=212°F.

a) Donner la fonction affine qui permet de passer d’une température exprimée en degrés Celsius à la mêmetempérature exprimée en degrés Fahrenheit.

b) Pour quelle température exprimée en degré Fahrenheit l’eau gèle-t-elle ?

c) Existe-t-il une température qui soit exprimée par le même nombre dans les deux unités ?

7 11Trouver la fonction affine dont le graphe passe parles points (a,b) et (c,d) avec a 6= c (pourquoi cettecondition ?)

7 12Définis la fonction affine par morceaux ci-contre.

21

2

1

-1-2

-1

-2

-3 3

3

-3

x

y

7 13

Les points A(1 ; 5), B(3 ; 7) et C(10 ; 50) sont-ils alignés ?


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120 7.6. GRAPHIQUES DES FONCTIONS AFFINES

7 14Soit les fonctions

−1

−2

−3

1

2

3

1 2 3−1−2 x

y

C f

Cg

Ch

−1

−2

−3

1

2

3

4

1 2 3−1−2 x

y

C f

Cg

Ch

1. Déterminer les fonctions affines f , g et h représentées par les graphes

2. Quels sont les zéros de ces fonctions ?

3. Résoudre l’équation f (x) = g (x). Que représente la solution de cette équation ?

4. Déterminer tous les points d’intersection de ces droites.

7 15Le côté de chaque carré de cette suite vaut les deux tiers du côté du carré précédent

b

b

b

b

b

4,5

cm

O A1 A2 A3 A4

n°1

n°2

n°3n°4

a) Montrer que les points sont alignés, puis choisir un repère convenable et déterminer la fonction dont lareprésentation graphique est la droite sur laquelle ils sont situés.

b) VRAI ou FAUX ? « En continuant le procédé et en construisant autant de carrés que l’on souhaite, on peutobtenir un point An tel que la distance de O à An dépasse 14 cm. »

7 16Un théâtre propose deux prix de places : plein tarif (15 fr.) et tarif adhérent (réduction de 60 % sur le plein tarif).Un adhérent doit payer en début de saison une carte d’abonnement qui lui donne droit à la réduction de 60 %sur chaque entrée.

a) Quel est le prix d’une entrée au tarif adhérent ?

b) Sachant qu’un adhérent a dépensé au total (y compris le prix de la carte) 62 fr. pour 7 entrées, calculer leprix de la carte d’abonnement.

c) Pour un nombre d’entrées x, on note f (x) la dépense totale d’un spectateur qui n’est pas adhérent, et g (x)la dépense totale d’un adhérent. Exprimer f (x) et g (x) en fonction de x.

d) À partir de combien d’entrées l’abonnement devient-il avantageux ?

e) Combien d’entrées totalise un adhérent lorsqu’il constate que, sans abonnement, il aurait dépensé 50 %de plus ?

Nous verrons plus tard d’autres fonctions dont les courbes représentatives (parabole, hyperbole, ...) ont chacune une ex-pression algébrique particulière. Cependant, pour toutes les courbes du même type, par exemple les paraboles, on verraqu’il existe une forme algébrique générale. Mais avant, voyons comment on peut transformer une courbe et quelle est larépercussion de cette transformation sur l’expression analytique.


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Fonctions quadratiques7

Ce sont des fonctions définies sur R et dont l’expression algébrique est de la forme :

f : R−→ R

x −→ ax2+bx +c

Voici quelques exemples avec les graphiques correspondants

f : x −→ x2 g : x −→ x2 −3 h : x −→ −x2

i : x −→ −x2 +2 j : x −→ x2 −2x −3 k : x −→ −x2 +2x +3

-4 -2 2 4-1

1

3

5

7

9

-4 -2 2 4

-5

-3

-1

1

3

5

-4 -2 2 4

-9

-7

-5

-3

-1

1

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

-4 -2 2 4

-3

-1

1

3

5

Les courbes représentatives des fonctions quadratiques f : x 7→ ax2+bx+cs’appellent des paraboles. Elles sont caractériséespar

– leur orientation : si le coefficient a du terme en x2 est positif, la courbe est convexe (⌣), sinon elle estconcave (⌢) ;

– une symétrie axiale passant par le sommet de la parabole ; dans les cas où la parabole coupe l’axe des xaux points x1 et x2, il est possible de trouver l’abscisse du sommet S en prenant la moyenne des zéros x1

et x2 de f :

S =( x1 + x2

2; f

( x1 + x2

2

))

Si la courbe ne coupe pas l’axe des x, l’abscisse du sommet est donnée par la formule − b2a (cf. plus loin).


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122 7.8. TABLEAU DE SIGNES ET ZÉROS D’UNE FONCTION

Méthode

Pour esquisser, la parabole représentative d’une fonction quadratique, on utilise ces carac-téristiques. Par exemple, soit f (x) =−x2 +2x +3 :

a° la parabole sera concave, car a =−1 est négative ;

b° Comme f (x) =−x2+2x+3 =−(x2−2x−3) =−(x+1)(x−3), les zéros de f sont x =−1et x = 3;

c° l’abscisse du sommet de la parabole est ainsi −1+32 = 1 et son ordonnée f (1) =−1+2 ·

1+3 = 4, d’où S = (1 ; 4) ;

d° pour esquisser la courbe, il est bien d’avoir aussi l’ordonnée à l’origine : f (0) = 3.

En mettant toutes ces informations sur un graphique, on obtient le graphique qui est ledernier de la série ci-dessus.

Tableau de signes et zéros d’une fonction8

Une manière de caractériser une fonction est de décrire sur quels intervalles elle est positive et sur quels intervalles elle estnégative. Dans dans le cas d’un polynôme, cette information s’obtient en factorisant le polynôme, puis en dressant le tableaude signes.

Exemple 1 : f (x) = x2 −5x +6

Comme f (x) = x2−5x+6 = (x−2)(x−3), le signede f s’obtient en regardant le produit des signesdes parties linéaires x −2 et x −3.

x −∞ 2 3 +∞

x −2 – 0 + +

x −3 – – 0 +

f (x) + 0 – 0 +

Exemple 2 : f (x) =−x2 +7x −12

Comme f (x) =−x2 +7x −12 = (x −3)(−x +4), lesigne de f s’obtient en regardant le produit dessignes des parties linéaires x −2 et x −3.

x −∞ 3 4 +∞

x −3 – 0 + +

−x +4 + + 0 –

f (x) – 0 + 0 –

On peut aussi factoriser f (x) autrement : f (x) =−(x−3)(x−4). Dans ce cas, il faudrait ajouter dans le tableau de signes un 3e

facteur qui est −1.

Exercices9

7 17

Esquisser les courbes représentatives des fonctions suivantes

a) f : x 7→ x2 +3x −4 b) f : x 7→ x2 −2x −5

c) f : x 7→−4x2 −2x +6 d) f : x 7→ 2x2 −11x +15


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7 18Déterminer l’expression algébrique des fonctions quadratiques représentées ci-dessous.

−1

−2

−3

−4

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4−1−2−3

b b

b

−1

−2

−3

−4

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4−1

b

b

S

−1

−2

1

2

3

4

5

1 2−1−2−3−4

b b

b

b

−1

−2

−3

1

2

3

1 2−1−2−3−4

b b

bb

S

7 19Faire le tableau de signes des fonctions suivantes :

1) f (x) = x2 +3x −4 2) g (x)= x2 −2x −5 3) h(x) =−4x2 −2x +64) i (x) = 2x2 −11x +15 5) j (x) = x3 −8x2 +15x 6) k(x) = (x2 −1)(x −5)(x +1)(x −1)

7 20Donner le domaine des fonctions suivantes :

a) f : x 7→1

x+ x b) f : x 7→

1

x2 −1c) f : x 7→

2x −1

3x +7d) f : x 7→

1− xp

x −1

e) f : x 7→p

x2 −10x +21 f) f : x 7→√

x −2

x +5

7 21On considère les fonctions suivantes, toutes définies sur ]0; +∞ [ :

f (x) = 12 g (x)=36

xh(x) =−

3

2x +15 i (x)=−

3

4x2 +6x −3

a° Trouver parmi ces fonctions celles dont la courbe représentative passe par le point A(4 ; 9).

b° Même question avec le point B(6 ; 6).

c° Trouver le(s) point(s) d’intersection entre les courbes représentatives de f et h. Représenter graphique-ment la situation.

d° Trouver le(s) point(s) d’intersection entre les courbes représentatives de f et g . Représenter graphique-ment la situation.


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124 7.9. EXERCICES

7 22On considère les fonctions :

f : x 7→ x2 −3x +1 et g : x 7→ 17−3x

a) Déterminer les zéros de ƒ et de g.

b) Esquisser le graphe de ƒ et déterminer les coordonnées exactes de son sommet.

c) Déterminer les coordonnées des points d’intersection des graphes de f et de g .

d) Déterminer une fonction affine h dont le graphe coupe celui de g au point (4 ; 5).

e) Déterminer une fonction affine dont le graphe est perpendiculaire à Cg et tangent à C f .

7 23Considérer les représentations graphiques des fonctions f et g ci-dessous.On sait que g (x)=−x2 +2x +3

−1

−2

−3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4−1−2

Cg

C f

bK

bS

bM

bN

bL

a) En se basant uniquement sur les graphiques déterminer : i) les zéros de f et g ii) les coordonnées de L.

b) Calculer l’image de −2 par g et les coordonnées du sommet S de la parabole.

c) Déterminer l’expression algébrique de f .

d) Déterminer la longueur exacte du segment MN.

7 24Caroline fait du toboggan à la piscine. Arrivée au bas du toboggan, sa trajectoire dans l’air est une paraboled’équation y = ax2 +h.

a) La fin du toboggan se situe à 1,50 m au-dessus du niveau de l’eau et le point d’entréedans l’eau est à 2 m du bord. Déterminer lesvaleurs de a et de h.

b) La valeur du paramètre a dépend de la vi-tesse (en m/s). On sait que a = − 6

v2 . Quelleest la vitesse de Caroline au moment de quit-ter le toboggan ? Si vous n’avez pas trouvé devaleur pour la grandeur a ci-dessus faire lecalcul avec a =− 2

5 .

7 25Le périmètre d’un rectangle est de 50 mètres. Exprimer son aire en fonction de la longueur d’un de ses côtés.

Trouver la valeur de x telle que cette aire soit maximale. Quelle est cette aire maximale ?

7 26On considère deux boîtes cylindriques, à base circulaire sans couvercle :


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Boîte 1 : rayon de base 10 cm; hauteur x cm.Boîte 2 : rayon de base x cm; hauteur 10 cm.Exprimer en fonction de x, le volume et l’aire totale de chaque boîte.

7 27

On considère un cube d’arête 2 cm et l’on désigne par Ile milieu de [FG] et par M un point quelconque du seg-ment [BF].On pose x = BM.

a) Exprimer, en fonction de x, la longueur du trajet« AMI » (segment AM, suivi du segment [MI]).

☞ Pythagore, bien sûr.

b) Trouver la valeur de x telle que la longueur de cetrajet soit minimale. A B

C

G

E

H

F

I

M

7 28Un rectangle a une aire égale à 4. On augmente l’une de ses dimensions de x % et l’on diminue l’autre de y %de façon à obtenir un rectangle dont l’aire est encore égale à 4.Exprimer y en fonction de x.☞ Augmenter de x % revient à multiplier par ...

7 29Trouve l’équation de la droite qui est un axe de symétrie vertical pour la parabole d’équation :

a) y =−2 · (x +5)2 +3

b) y = x2 −6x +16

7 30Chercher l’équation d’une parabole qui a pour sommet S (2 ; 3), un axe de symétrie vertical et qui passe par lepoint (5 ; 1).

7 31

Soit une parabole d’équation y = ax2 +bx +c.

Montrer que son sommet a pour abscisse −b

2a.

Le sommet de la parabole y = ax2 +bx +c a pour abscisse −b

2aThéorème 7 - 1

THÉORÈME DU MAXIMUM ET DU MINIMUM D’UNE FONCTION DU DEUXIÈME DEGRÉ

Si f (x) = ax2 +bx +c, alors f (−b

2a) est

a) le maximum de f si a < 0;

b) le minimum de f si a > 0.

Théorème 7 - 2

7 32Recherche du maximum d’une fonction du deuxième degré


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126 7.9. EXERCICES

On veut faire une gouttière avec une longue feuille de métal de 12cm de large en pliant les deux longs côtés et en les relevant perpen-diculairement à la feuille. Quelle hauteur doivent avoir les côtésrelevés pour que la gouttière ait une contenance maximale ?

12 � 2x

x

x

7 33

Analyse du vol d’un projectile

Un projectile est tiré verticalement vers le haut d’unehauteur de 200 m au-dessus du sol. Sa hauteur h(t)(en m) au-dessus du sol après t secondes est donnéepar

h(t) =−4,9t 2 +245t +200

a) Déterminer une fenêtre appropriée quicontient toutes les caractéristiques du gra-phique de h. (Pour la hauteur maximale,utiliser le théorème 7 - 2)

b) Examiner le graphique ci-contre pour trouver àquel moment la hauteur est de 1500 m.

c) Déterminer quand le projectile sera à plus de1500 m au-dessus du sol.

d) Combien de temps le projectile sera-t-il en vol ?

10 20 30 40 50 60

-2000

-1000

1000

2000

3000

7 34

Animaux sauteurs

Les bonds des animaux sauteurs ont typiquementdes trajectoires paraboliques. La figure illustre lebond d’une grenouille superposé à un système decoordonnées. La longueur du saut est de 2,7 m, etla hauteur maximale au-dessus du sol est de 0,9 m.Donner une équation de la trajectoire du saut de lagrenouille sous forme standard.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

y

x2,7

0,9

Trajectoire

de la grenouille

��


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7 35Vol d’un projectile Un objet est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de v0 m/s, et sa distances(t) en m au-dessus du sol après t s est donnée par s(t) =−4,9t 2 + v0t .

a) Si l’objet touche le sol après 12 s, donner sa vitesse initiale v0.

b) Déterminer sa distance maximale au-dessus du sol.

7 36Baignade surveilléeUn maître-nageur dispose d’une corde de 160 m de longueur pourdélimiter un rectangle de baignade surveillée.À quelle distance du rivage doit-il placer les bouées A et B pour quele rectangle ait une aire maximale.

A

B

7 37

On considère un trapèze rectangle OABC avec 0A = 10 cm, AB= 5 cm, etBC = 4 cm (cf. figure ci-contre à l’échelle). À tout point M du segment[OA], avec OM = x, on fait correspondre l’aire du domaine ombrée, no-tée f (x) (exprimée en cm2).

a° Donne une formule explicite de f (x) sur chacun des intervalles[0,6] et [6,10]

b° Représente graphiquement la fonction f O M A

BC

f (x)

x

7 38Une bille métallique de x cm de rayon (0< x < 5) repose sur le fond d’une boîte cubique de 10 cm d’arête.Exprimer, en fonction de x, le volume d’eau V(x) que l’on doit verser dans la boîte, de façon à recouvrir exacte-ment la bille.

7 39Soit f une fonction impaire définie sur R et telle que pour x > 0 : f (x) =

px.

Calculer l’image de −3 par f , f (−4), f (−a2) où a > 0 et expliciter f (x) pour x < 0.

7 40Les fonctions f et g sont définies sur [0; +∞[, la fonction f est croissante, la fonction g est décroissante et l’ona f (1) = g (1).Trouver les x telles que f (x)6 g (x).☞ Faire un dessin ...

7 41Lors d’un rallye de vieilles voitures, trois automobilistes partent d’un même lieu sur la même route :

– le premier à 9 h, à la vitesse de 40 km/h ;

– le deuxième à 10 h, à la vitesse de 30 km/h ;

– le troisième à 11 h, à la vitesse de 60 km/h ;

Utiliser une représentation graphique pour déterminer à quelle heure le troisième automobiliste se trouvera àégale distance des deux premiers. (On demande une valeur approchée au quart d’heure près.)


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128 7.10. À SAVOIR ...

À savoir ...10

Trois catégories de fonctions sont à connaître :

1. les fonctions linéaires.

2. les fonctions affines.

3. les fonctions quadratiques.

expression analytique représentation graphique équation de la courbe

fonctions linéaires f : x → ax droite passant par l’origine y=ax

fonctions affines f : x → ax +b droite y=ax+b

fonctions quadratiques f : x → ax2 +bx +c parabole y = ax2 +bx +c

L’équation d’une courbe donne pour tous les points(x ; y

)appartenant à la courbe la relation algébrique existant entre les

coordonnées x et y de ces points, par exemple : y = 2x −5 ou x2 + y2 = 1.

10 1 La droite

Une droite est entièrement déterminée en donnant deux points A et B qui sont sur la droite.

On donne les points A(−6 ; 7) et B(6 ; −1). Trouver l’équation de la droite passant par ces deux points.

Méthode 1 : détermination de la pente et de l’ordonnée à l’origine.

a° On cherche d’abord la pente de la droite :

A(−6 ; 7)

B(6 ; −1)

}⇒pente =

∆y

∆x=

7− (−1)

−6−6=

8

−12=−

2

3∆x ∆y

l’équation de la droite a pour le moment la forme :

y =−2

3x +b

b° On détermine ensuite l’ordonnée à l’origine en utili-sant un point appartenant à la droite. L’équation doitêtre vérifiée en mettant à la place du x et du y les co-ordonnées de ce point.

(−6 ; 7) ∈droite ⇒ 7 =−2

3· (−6)+b

7 = 4+b

b = 3

0 5−5

5

⇒ l’équation de la droite est donc :

y =−2

3x +3

Méthode 2 : résolution d’un système d’équations.

On utilise deux fois l’idée présentée au point 2° ci-dessus :

(−6 ; 7) ∈droite ⇒ 7 = a · (−6)+b

(6 ; −1) ∈droite ⇒ −1 = a · (6)+b⇒

{➀ 7=−6a +b

➁ −1 = 6a +b

On résout le système par combinaison ➀ + ➁, ce qui donne 6= 2b, donc b = 3. En substituant dans➀, on trouve : 7 =−6a +3, d’où a =− 2

3 . L’équation de la droite est bien y =− 23 x +3

emple

Remarques– cette droite représente la fonction f : x 7→−

2

3x +3


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– une expression du type : « l’image de 3 par f est 1 » est équivalente à f (3) = 1. Le calcul donnef (3) =− 2

3 ·3+3 = 1.

– la pré-image de 5 est −3, car f (x) = 5 se vérifie si −2

3x +3 = 5 |−3

−2

3x = 2 | ·

(−

3

2

)

x = 2 ·(−

3

2

)

x =−3

– la fonction f a un seul zéro en 4.5, car f (x) = 0 se vérifie si −2

3x +3 = 0 |−3

−2

3x =−3 | ·

(−

3

2

)

x = 4,5

– Si on cherche une droite parallèle à celle représentée sur le graphique ci-dessus et passant par lepoint C (1 ; −3), elle aura la même pente, ainsi son équation est de la forme y = − 2

3 x + b. Il suffitencore de mettre le point C dans l’équation et on pourra déterminer b.

−3 =−2

3·1+b ⇒ b =−3+

2

3=−

7

3

10 2 La parabole

Les paraboles que nous avons vues (avec un axe de symétrie vertical, orientées vers le haut – convexe – ou le bas – concave)sont des courbes d’équation de la forme y = ax2 +bx + x.

Le graphique ci-contre présente legraphe de trois fonctions quadra-tiques

f : x 7→ x2

g : x 7→ x2 −10x +21

h : x 7→−x2 +20x −96

Si on factorise à l’aide de la 4e iden-tité remarquable les expressions algé-briques données pour g et h, on a

g (x) = (x −3)(x −7)

h(x) =−(x2 −20x +96)

=−(x −8)(x −12)

Les zéros de g sont ainsi 3 et 7.Les zéros de h sont ainsi 8 et 12.

0 5 10−5

5

−5

10

f g

h

Sg (5 ; −4)

Sh (10 ; 4)

Ce sont les endroits où les paraboles coupent l’axe des abscisses (l’axe des x). Comme les paraboles présentent une symétrieaxiale, on peut, en utilisant les zéros des fonctions, trouver le sommet de chaque parabole.

Pour g , le sommet de la courbe a une abscisse aumilieu des zéros 3 et 7, c.-à-d. 5. Les coordonnéesdu sommet sont ainsi

(5 ; g (5)

)= (5 ; −4)

L’abscisse du sommet se trouve aussi avec la for-mule −b

2a = −(−10)2 = 5.

Pour h, le sommet de la courbe a une abscisse aumilieu des zéros 8 et 12, c.-à-d. 10. Les coordonnéesdu sommet sont ainsi

(10 ; h(10)) = (10 ; 4)

L’abscisse du sommet se trouve aussi avec la for-mule −b

2a = −202·(−1) = 10.

Remarques

– Une fois que l’expression de la fonction a été factorisée, on peut faire le tableau de signes.

– En le faisant, on comprend pourquoi la courbe représentant h est tournée vers le bas, c.-à-d.. concave.


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130 7.10. À SAVOIR ...

x −∞ 8 12 +∞

−1 – – –

x −8 – 0 + +

x −12 – – 0 +

f (x) – 0 + 0 –

De manière plus générale, on dira que si a < 0, la courbe est concave, sinon, elle est convexe.

– l’intersection entre f et g se trouve en écrivant f (x) = g (x), car pour le même x, on doit avoir lamême image :

x2 = x2 −10x +21

0 =−10x +21

x = 2,1

et le point d’intersection est(2,1 ; f (x)

)ou

(2,1 ; g (x)

)(2,1 ; 2,12)

ou(2,1 ; 2,12 −10 ·2,1+21

)

(2,1 ; 4,41) ou (2,1 ; 4,41)

10 2 a Détermination de l’équation d’une parabole : cas général

Une parabole est entièrement déterminée lorsquel’on donne trois points appartenant à la parabole.Si un de ces points est le sommet de la parabole,alors deux points suffisent. Le troisième point s’ob-tient par symétrie. Nous allons le montrer en consi-dérant la parabole qui représente la fonction g .

Son sommet est S(5; −4) et (2; 5) est un autre ap-partenant à la parabole. Comme la parabole a unaxe de symétrie vertical passant par ce sommet, lepoint (8; 5) appartient aussi à la parabole.

Trouver l’équation d’une parabole dans l’un etl’autre cas, revient à résoudre un système de 3équations avec 3 inconnues : chacun des troispoints est injecté dans l’équation y = ax2 +bx +c.

0 5 10−5

5

−5

10g

Sg (5 ; −4)

(2 ; 5) (8 ; 5)

(2 ; 5) ∈Cg : 4a +2b +c = 5 (5 ; −4) ∈Cg : 25a +5b +c =−4 (8 ; 5) ∈Cg : 64a +8b +c = 5

1 4a + 2b + c = 5 |· (−1) | ·(−1)

2 25a + 5b + c =−4 |· 1

3 64a + 8b + c = 5 | ·1

1’ −4a − 2b − c = −5

2 25a + 5b + c = −4

21a + 3b = −9

4 7a + b = −3

1’ −4a − 2b − c = −5

3 64a + 8b + c = 5

60a + 6b = 0

5 10a + b = 0


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4 7a + b =−3 | · (−1)

5 10a + b = 0 | ·15 − 4 = 6 3a = 3 ⇒ a = 1

6 → 4 = 7 : 7+b =−3 ⇒ b =−10

6 , 7 → 1 : 4−20+c = 5 ⇒ c = 21

L’équation de la parabole est y = x2 −10x +21

10 2 b Détermination de l’équation d’une parabole : cas particulier 1**

Dans le cas où l’on connaît les points d’intersection avec l’axe des x (autrement dit, les zéros de la fonction correspondante),il est possible d’utiliser la forme factorisée de l’expression quadratique :

f (x) = ax2 +bx +c = a(x − z1)(x − z2) où z1 et z2 sont les zéros

Reprenons l’exemple de la fonction g dont les zéros sont {3,7}. Ainsi, l’expression algébrique de g est

g (x) = a(x −3)(x −7)

Si de plus, on connaît un point qui appartient à la courbe représentative Cg de g , alors on peut injecterce point dans la fonction. Si ce point supplémentaire est (2 ; 5), cela donne

f (2) = 5 ⇔ a(2−3)(2−7) = 5

5a = 5

a = 1 ⇒ f (x) = (x −3)(x −7) = x2 −10x +21

emple

10 2 c Détermination de l’équation d’une parabole : cas particulier 2

Si, en plus des zéros, le point supplémentaire est donné par l’ordonnée à l’origine, alors on peut écrire un système de 2équations avec 2 inconnues seulement.

Toujours avec le même exemple, on sait que g (0) = 21 et les zéros sont 3 et 7, alors

g (x)= ax2 +bx +c, avec g (0) = 21 ⇔ a ·02 +b ·0+c = 2 ⇒ c = 21

On injecte chacun des zéros dans la fonction et cela nous donne les deux équations :

(3 ; 0) ∈Cg ⇒ 3a +3b +21 = 0

(7 ; 0) ∈Cg ⇒ 49a +7b +21 = 0⇒

{➀ 9a +3b =−21 | · (−7)

➁ 49a +7b =−21 | ·3⇒

{➀’ −63a −21b = 147

➁’ 147a +21b =−63

84a = 84

d’où a = 1. En substituant dans ➀, on trouve : 9+3b =−21, d’où b =−10. Ainsi g (x)= x2 −10x +21.

emple

10 2 d Détermination de l’équation d’une parabole : cas particulier 3

Une fonction du 2e degré accepte une 3e forme : la forme canonique (cf. page 39 ou page 125, exercice 7 - 31),

f (x) = a(x −h)2 + v avec, h et v , les coordonnées du sommetS(h, v)

Toujours avec le même exemple : S = (5 ; −4) et un autre point (2 ; 5) ∈Cg , alors

f (x) = a(x −5)2 −4 et f (2) = 5 ⇒ a · (2−5)2 −4 = 5 ⇒ 9a = 9 ⇒ a = 1

f (x) = (x −5)2 −4 = x2 −10x +21

emple


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132 7.10. À SAVOIR ...

10 3 Les trois formes de la fonction quadratique

10 3 a La forme générale

C’est celle qui a été donnée au début du chapitre à la première présentation de la fonction quadratique

f (x) = ax2 +bx +c a,b,c ∈R et a 6= 0

les coefficients a, b et c sont des paramètres. Chaque choix particulier de réels pour ces paramètres donne une fonctionquadratique particulière, par exemple f (x) = 2x2 − x +5.

Selon le choix effectué pour les paramètres, la fonction peut, selon la valeur de ∆= b2 −4ac,

• ne présenter aucun zéro, si ∆< 0;

• un seul zéro (ou un zéro double), si ∆= 0, à savoir x = −b2a ;

• deux zéros, si ∆> 0, à savoir x1,2 = −b±p∆

2a .

10 3 b La forme factorisée

On sait que, selon le cas, on peut factoriser l’expression algébrique de la fonction (cf. théorème 2 - 3, p. 42) :

∆= b2 −4ac Zéros forme factorisée axe de symétrie

∆< 0 aucun pas de factorisation x =− b2a

∆= 0 x = −b2a f (x) = a

(x − (− b

2a ))2

x =− b2a

∆> 0 x1,2 = −b±p∆

2a f (x) = a(x − x1)(x − x2) x =− b2a

S(−0.5;1)

f : x 7→ x2 + x +1

∆< 0

0 S(1;0)

f : x 7→ 0.5x2 − x +0.5

= 0.5(x −1)2

∆= 0

0x1 x2

S(−1;−2)

f : x 7→ 12 x2 + 1

2 x −3

= 12 (x −2)(x +3)

∆> 0

Justification

f (x) = ax2 +bx +c = a

(x2 +

b

ax +

c

a

)complétion du carré

= a

((x +

b

2a

)2

−(

b

2a

)2

+c

a

)en arrangeant le deuxième terme

= a

((x +

b

2a

)2

−b2 −4ac

4a2

)= a

((x +

b

2a

)2

−(p

b2 −4ac

2a

)2)

Cette dernière égalité n’a de sens que si ∆= b2 −4ac > 0. Dans ce cas, on peut encore écrire, en utilisant la 3e identité remar-quable

f (x) = ax2 +bx +c = a

(x +

b

2a+p

b2 −4ac

2a

)(x +

b

2a−p

b2 −4ac

2a

)

= a

(x −

−b −p

b2 −4ac

2a︸︷︷︸x1

)(x −

−b +p

b2 −4ac

2a︸︷︷︸x2

)

= a · ( x − x1 )( x − x2 ) x1, x2 zéros de f


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10 3 c La forme canonique

Même si ∆ est négatif, il est possible d’écrire encore autrement l’expression algébrique de la fonction

f (x) = ax2 +bx +c = a

((x +

b

2a

)2

−b2 −4ac

4a2

)

= a

(x −

−b

2a︸︷︷︸h

)2

+−(b2 −4ac)

4a︸︷︷︸v

= a · ( x − h )2 + v

On reconnaît l’abscisse du sommet dans −b2a et son ordonnée est f

(−b2a

)= a ·

(−b2a − −b

2a

)2+ v = v .

⇒ Coordonnées du sommet : S = (h, v)

Exemple

0 1x1 x2

S( 7

12 ;− 12172

)

∆> 0

La fonction représentée ci-contre est

f : x 7→ 2x2 −7

3x −1 forme générale

• ∆=49

9−4 ·2 · (−1) =

121

9

• −b

2a=

73

4=

7

12≈ 0,6

• S( 7

12 ; f (7/12))= ( 7

12 ;− 12172 ) ≈ (0,6;−1,7)

• les zéros sont x1,2 =73 ±

113

4=−

1

3ou 3

2 = 1,5

D’où f : x 7→ 2 ·(

x +1

3

)(x −

3

2

)forme factorisée

f : x 7→ 2 ·(

x −7

12

)2

−121

72forme canonique


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