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DÉPARTEMENT D'INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

Sigle du cours : 1ft 3512 Nom du professeur: Jacques A. Ferland

Titre du cours: Techniques d'optimisation 2

Examen final H 2005

Date: 26 avril 2005 Heure: 08h30 à 11 h15 Lieu: 1411 Pav. A. Aisenstadt

Directives pédagogiques: • Répondre à toutes les questions. • 2 pages de notes 81/2 x 11 sont permises • L'utilisation de la calculatrice est permise.

Question 1 (15 points)

Considérer le problème suivant:

Min

Sujet à Li 8j Xj = b

Supposer que Cj (1 ~j ~ n), 8j (1 ~j ~ n) et b sont des scalaires tels que b > 0 et aj > 0, 1 ~ j ~ n. Déterminer une solution optimale de ce problème en utilisant les conditions de Kuhn - Tucker.

Question 2

Considérer le problème de déterminer le point de l'ensemble

{ (x , y) E R2 : x + y ~ 4, 2x + y ~ 5 }

dont la distance à l'origine est minimum.

a) (5 points) Résoudre ce problème graphiquement.

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b) (2 points) Formuler ce problème comme un problème de programmation mathématique.

c) (8 points) Démontrer que le point obtenu en a) satisfait les conditions de Kuhn - Tucker pour le problème formulé en b).

Question 3 (15 points)

Considérer le problème

Min f(x)

Sujet à Li aj Xj = b

où b > 0 et aj > 0, 1 ~ j ~ n, sont des scalaires et f E C1• Spécifier la direction

utilisée pour s'éloigner de x! dans la méthode de Frank - Wolfe pour résoudre ce problème.

Question 4

Considérer le problème de déterminer le point de l'ensemble

{ (x , y) E: ~ : -2 s x s 2, 1 s y s 4 }

dont la distance à l'origine est minimum.

a) (2 points) Formuler ce problème comme un problème de programmation mathématique.

b) (8 points) Utiliser la méthode des directions réalisables pour résoudre ce problème en utilisant la solution initiale (xo, '1 )= (-1, 3).

c) (5 points) Représenter graphiquement les différentes étapes de la résolution.

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Question 5

Considérer la méthode du gradient réduit pour résoudre le problème suivant

(P) Min f(x)

Sujet à Ax = b

x~O

où A est une matrice m x n, b E R:TJ et x E Rn.

À l'itération k, supposons que la matrice A est partitionnée comme suit:

De façon similaire

Soit cfRk la direction de déplacement pour les variables hors base telle que

définie dans la méthode du gradient réduit. Étant donné que

F (XkR ) =f (Bk -1 b - Bk -1 Rk XkR ' XkR ) ,k k k

démontrer que si

alors il existe (sous l'hypothèse de non dégénérescence) une scalaire ç > 0 tel que pour tout 0, 0 < 0 S ç,

a) (5 points) kx + 0 cf est un point réalisable du problème (P) et

b) (15 points) f(xk + 0 cl) < f(0).

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Questions 6

Pour la programmation linéaire en nombres entiers, nous avons présenté deux méthodes au cours.

a) (5 points) Quel est le principe de base de ces deux méthodes?

b) (5 points) Indiquer un élément distinguant les deux méthodes.

c) (10 points)

Considérer l'exemple introduit en classe:

Min - 5X2 Sujet à + 10X2 ~ 20

5,2 ~ 0, X2 ~ 0 ,entières

Résoudre ce problème avec la méthode du Branch & Bound.

Illustrer graphiquement les parties du domaine réalisable associées aux divers problèmes relaxés au cours des itérations de la méthode. De plus il faut noter que les problèmes relaxés peuvent se résoudre graphiquement.

Jacques A. Ferland

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