Les signaux 1

Les Signaux

F. Bister - A. QuidelleurSRC1 Meaux 2007-2008

Culture Scientifique et Traitement de l’InformationModule 2112 – Représentation de l’information

Les signaux 2

Plan

Définitions

Les signaux sinusoïdaux

Analyse de Fourier

Valeur moyenne et puissance moyenne d’un signal

Les signaux 3

Définitions

Télécommunications Information Signal Fonction Information et Transmission Analogique

Information et Transmission Numérique Signal déterministe / Signal aléatoire Signal Périodique

Les signaux 4

Télécommunications / Information

Télécommunications : ensemble des moyens et systèmes permettant l’acheminement aussi fidèle que possible d’informations entre deux points.

L’information est physiquement représentée par un signal qui se traduit par une manifestation physique, capable de se propager dans un milieu donné.

Ex: signal sonore (pression acoustique), signal lumineux (onde électromagnétique), signal bande de base (signal électrique)…

canal Récepteur

Source d’information

bruit

Emetteur

Destinataire

Message émis

Message reçu

Signal émis Signal reçu

Les signaux 5

Exemple

Lignetéléphonique

bruit

Combinétéléphonique

Mots dits

Pression acoustique

Message reçu

Pression acoustique

Courant électrique

Cordesvocales

Personne

Mots pensés

= message

Courant électrique Combiné

téléphonique

Oreille

Personne

Mots compris

= message

Emetteur Récepteur

Les signaux 6

Fonction

La fonction représente mathématiquement le signal en fonction de la variable temps « t ».

Intensité du courant électrique : i(t) Tension électrique : v(t) Pression : p(t) …

v(t)

t

Les signaux 7

Information analogique / Information discrète

Une information analogique est représentée par un signal continu dans le temps qui peut prendre n’importe quelle valeurs entre - et +.

Une information numérique est une information discrète (c’est-à-dire définie seulement pour certaines valeurs du temps) qui ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs distinctes.

Ex: la suite de bits 101100001010101101 cadencée par une horloge de durée T0.

t1 t2t

s(t)

1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

T0 2T0 3T0 4T0 5T0 6T0 …horloge

Information binaire

Les signaux 8

Transmission analogique / Transmission numérique

Transmission analogique l’information à transmettre est analogique

Transmission numérique l’information à transmettre est numérique

Le signal physique utilisé lors d’une transmission est toujours analogique, mais l’interprétation du signal effectuée au niveau du récepteur diffère suivant le type d’information.

Signal analogique

Récepteur- Interprétation

Information Numérique Information analogique

Les signaux 9

La transmission numérique : exemple

Modem

tension

temps

tension

Signal - Analogique- Sinusoïdal par

morceaux

Signal - Analogique- Constant par

morceaux, dit bande de base

Interprétation : Information Numérique

00110110010100110100111

Interprétation : Information Numérique

Les signaux 10

La transmission analogique : exemple

Interprétation: Information Analogique

Signal sonore

Signal électrique

Signal électrique

Signal électromagnétique

Antenne

Commentateur radio

Micro Câbles

AntenneCâbles

Haut-parleur AuditeurSignal sonore

Signal électrique

Signal électrique

Les signaux 11

Signaux déterministes / Signaux aléatoires

Lancé de dé = message aléatoire Partition de piano = message déterministe

Signal déterministe : qui peut être décrit par des relations mathématiques explicites.

Ex.: un signal sinusoïdal s(t) = sin(2Ft)

Signal aléatoire : dont l’évolution suit une loi de probabilité. Signaux associés à des expériences non reproductibles, pas de relation explicite pour décrire les phénomènes physiques.

Ex. : Agitation thermique des électrons dans un conducteur électrique ; Parasites électromagnétiques sur une ligne de transmission

Dans la nature aucun signal n’est déterministe ! Malgré tout, les signaux déterministes serviront de modèles pour décrire les phénomènes physiques, en particulier la transmission d’informations.

Les signaux 12

Signal périodique

Signal périodique : signal analogique qui possède un motif élémentaire qui se répète dans le temps.

Période T : durée du motif élémentaire. Unité : la seconde (s)

Fréquence F : nombre de motifs élémentaires en 1 seconde. Unité : le Hertz (Hz)

T1

F

t

s

T

T

s

t

Signal carréSignal sinusoïdal

Les signaux 13

Les signaux sinusoïdaux

Les signaux 14

Rappels de trigonométrie

Considérons un point A tournant indéfiniment sur le cercle trigonométrique.

Le point A part de I à l’instant t = 0.

Il fait un tour en T secondes. On note (xA,yA) ses coordonnées

dans le repère orthonormal (O, I, J).

On note à l’instant t.

IOA

On définit le cosinus de l’angle par

On définit le sinus de l’angle par

Axcos

Aysin

NB : Si besoin, revoir le cours d’harmonisation mathématiques…

Les signaux 15

Les fonctions sinus et cosinus

Une période du phénomène dure T secondes. En une période le point A décrit un angle de 2 radians.

et t sont liés par la relation

Représentation temporelle de cos et sin

Ft2tT2

t

1

-10 T-T

2-2

Ft2coscos

t

1

-1

0 T-T2-2

Ft2sinsin

période T

période T

Les signaux 16

Représentation temporelle du cosinus

0T

A

-A

t

Ft2cosAts

0

A est l’amplitude du signal.

Les signaux 17

Représentation temporelle du cosinus

0T

B+A

B-A

t

BFt2cosAts

0

B

A

A

B est la valeur moyenne du signal.

Les signaux 18

Représentation temporelle du sinus

0T

A

-A

0

Ft2sinAts

t

A est l’amplitude du signal.

Les signaux 19

Représentation temporelle du sinus

0 T

B+A

B-A

0

BFt2sinAts

t

B

A

A

B est la valeur moyenne du signal.

Les signaux 20

Phase initiale

0T

B-A

t

BFt2cosAts

0

B

B+A

2 0

On nomme 2Ft la phase instantanée et la phase initiale du signal. Elles s’expriment en radian.

Quand la phase initiale est non nulle, la courbe représentative du signal est translatée selon l’axe des abscisses

vers la gauche si >0 Vers la droite sinon

Les signaux 21

Analyse de Fourier

Les signaux 22

Représentation temporelle d’un signal

C’est la représentation la plus courante : elle consiste à représenter le signal en fonction de la variable temps.

Il existe une autre représentation, moins courante, qui permet de « voir » des propriétés du signal que la représentation temporelle ne permet pas.

Pression acoustique

temps

Les signaux 23

Un peu d’histoire : Joseph Fourier

Au début du 19ème siècle un mathématicien de génie, le Baron Joseph Fourier né à Auxerre en 1768, découvrit une méthode mathématique d'analyse des phénomènes périodiques complexes, utilisée maintenant par les physiciens sous le nom de « décomposition en série de Fourier » ou encore sous le nom « d’analyse spectrale » ou « d’analyse de Fourier ». Cette méthode a des applications si universelles qu'actuellement Joseph Fourier est l'auteur scientifique le plus cité au monde avant Einstein.

En plus de ses activités scientifiques, Joseph Fourier joua un rôle dans la vie politique: en 1798, il accompagna le corps expéditionnaire français en Egypte et devint administrateur civil de l'Egypte en août 1799. De retour en France en 1802, il fut nommé par Napoléon préfet à Grenoble.

Les signaux 24

Le théorème de Fourier

Tout signal périodique s(t), de période T, de fréquence F, borné, est égal à une somme infinie de fonctions sinusoïdales de fréquence f = nF, n étant un entier positif ou nul.

Ce théorème s’applique donc à des signaux analogiques.

Les signaux 25

Comment la somme est-elle construite ?

s(t) est périodique, de fréquence F

s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ …

+ b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ …

a cosb sin

Indice n nF pas de b0

Les signaux 26

Définitions

s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2 Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ …

Certains coefficients ai et bi peuvent être nuls Ex. : s(t)= a0+ a1.cos(2Ft)

Les coefficients a0, a1, a2, a3…an et b1, b2, b3 …bn sont appelés coefficients de (la série de) Fourier du signal s(t) 

a0 est la valeur moyenne de s(t) Ex. : s(t) = A.sin(2Ft) + B

F est la fréquence fondamentale de s(t), c’est aussi la fréquence ( tout court…) du signal s(t)

nF sont les fréquences harmoniques de s(t)

Les signaux 27

Fabriquer s(t)

On peut fabriquer un signal périodique s(t) en additionnant les signaux sinusoïdaux définis par les coefficients de Fourier, les fréquences fondamentale et harmoniques.

Fabriquer = faire la somme mathématique ( avec un ordinateur ou des générateurs de signaux électriques)

Signaux connus

Pour « fabriquer »avec un logiciel

s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ …

+ b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ …

Les signaux 28

Calculer les coefficients

On peut calculer les coefficients de Fourier d’un signal s(t) (connu) :

s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ …

+ b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ …

Signal périodique connupar l’intermédiaire de sa représentation temporelle

Permet de calculer les coefficientsde Fourier, donc permet de trouver l’expression de la somme de Fourier.Avec un ordinateur.

Les signaux 29

Calculer les coefficients

Remarque : La notation signifie « intégrale sur un intervalle de longueur T ». Par exemple [0;T], ou [-T/2 ; T/2] ou [-T/4 ; 3T/4], etc. …

dttsT1

a]T[

0

dtnFt2costsT2

a]T[

n dtnFt2sintsT2

b]T[

n

s(t)

t

T

]T[

Les signaux 30

Décomposition en série de Fourier

La somme de signaux sinusoïdaux est appelée aussi somme de Fourier ou décomposition en série de Fourier du signal s(t), elle est unique pour le signal étudié et aucun autre signal n'a la même décomposition de Fourier.

Les signaux 31

Spectre

Définition: c’est la représentation graphique des termes de Fourier présents dans la somme.

Il existe deux spectres : celui qui donne la représentation des coefficients an et celui qui donne la représentation des coefficients bn

Représentations en fonction de la variable fréquence

Intérêt pratique par rapport à l’écriture complète de la somme de Fourier.

Les signaux 32

Deux spectres : an(f) et bn(f)

a0 = a01 = a0 cos(0) = a0 cos(20Ft)

s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ …

+ b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ …

Fréquence F

33

Deux spectres : an(f) et bn(f)

Dans la somme de Fourier chaque coefficient de Fourier est associé à une fréquence ( nulle, fondamentale ou harmonique ), qu'on appellera fréquence associée  :

s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ …

+ b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ …

a0 est associé à la fréquence nullea1 est associé à la fréquence fondamentale Fa2 est associé à la fréquence harmonique 2.Fa3 est associé à la fréquence harmonique 3.Fetc…

b1 est associé à la fréquence fondamentale Fb2 est associé à la fréquence harmonique 2.Fb3 est associé à la fréquence harmonique 3.Fetc…

Les signaux 34

Représentations d’un signal

On utilise aussi le nom de « représentation fréquentielle » pour parler du spectre d'un signal.

Ainsi un signal peut être connu grâce à sa représentation en fonction de la variable "temps"

= représentation temporelle, ou à ses 2 représentations en fonction de la variable

"fréquence" = 2 représentations fréquentielles = 2 spectres

Ces deux représentations sont rigoureusement équivalentes.

Les signaux 35

Exemple important : le signal carré

T0

1s(t)

t

...tF72sin72

tF52sin52

tF32sin32

Ft2sin2

5.0)t(s

0.100 F 3F 5F 7F 9F

0.5

bn

f

0.100 F 3F 5F 7F 9F

0.5

an

f

Les signaux 36

Spectres amplitude et argument

On montre par le calcul que l’on peut aussi écrire un signal décomposable en série de Fourier sous la forme

On passe de l’expressionà cette nouvelle écriture en posant

S0 = a0

n

1nnn0 nFt2sinSSts

n

1nnn0 nFt2sinbnFt2cosaats

2n

2nn baS

n

nn b

atan

Les signaux 37

Spectres amplitude et argument

Cette nouvelle écriture permet de tracer deux nouveaux spectres, strictement équivalents aux spectres an et bn.

Spectre amplitude : représentation de Sn en fonction de la fréquence nF associée

Spectre argument : représentation de n en fonction de la fréquence nF associée

Exemple : Spectres amplitude et argument du signal carré

f

Sn

00 F 3F 5F 0 F

n

f

Les signaux 38

Exemple : note de piano

t

Pression acoustique

Les signaux 39

Quel est l’intérêt des spectres?

Les signaux sont amenés à passer « au travers » de systèmes comme les filtres. Que deviennent les signaux?

On connaîtra la réponse grâce aux propriétés du système spectres du signal

Ex. : Les modems ADSL utilisent une technologie appelée « modulation multi-porteuse » dont l’explication passe par l’observation du spectre du signal modulé.

Les signaux 40

Effet d’un déphasage sur les spectres

Considérons le signal carré précédent déphasé de . On note sd le nouveau signal obtenu.

T0

1s(t)

t

T0

1sd(t)

t

Les signaux 41

Effet d’un déphasage sur les spectres

Signal carré s(t)

Signal carré déphasé sd(t) bn

f

0,50

0 F 3F 5Ff

0,50

0 F 3F 5F

an

an

f

bn

00 F 3F 5F

0,5

0,5

f0

0 F

Les signaux 42

Effet d’un déphasage sur les spectres

f

Sn

00 F 3F 5F 0 F

n

f

n

0 F ff

Sn

00 F 3F 5F

Signal carré s(t)

Signal carré déphasé sd(t)

Les signaux 43

Effet d’un déphasage sur les spectres

On constate que : Les spectres an et bn de deux signaux de même

nature mais déphasés sont différents. Les spectres Sn de deux signaux de même nature

mais déphasés sont identiques.

Le spectre amplitude permet de connaître la nature d’un signal. Le spectre argument porte l’information de phase.

Les signaux 44

Et pour un signal non périodique ?

Approche intuitive On peut considérer qu’un signal non périodique

est un signal périodique dont la période T tend vers +.

Observons le spectre amplitude d’un signal rectangulaire dont la fréquence croît.

t0

Période T

Les signaux 45

Spectre d’un signal non périodique

Fréquence F1

Fréquence F2 = F1/8

f0

Sn Intervalle entre 2 raies successives : 1/T2 = F1/8

f0

Sn

F1

Intervalle entre 2 raies successives : F1 = 1/T1

Les signaux 46

Spectre d’un signal non périodique

Si T tend vers l’infini, les raies constituant le spectre se rapprochent infiniment.

Le spectre d’un signal non périodique est fourni par une fonction complexe S(f), la transformée de Fourier du signal s(t).

L’équivalent du spectre amplitude pour un signal non périodique est le module de S(f) : |S(f)|. C’est une fonction continue.

L’équivalent du spectre argument pour un signal non périodique est l’argument de S(f). C’est une fonction continue.

A titre indicatif, la transformée de Fourier S(f) est donnée par la formule :

dtetsfS fti2

47

Comparaison

Sn(f)

0 F 2F 3F 4F 0 fmaxf

S(f)

f

Signal non périodiqueSignal périodique

F F0

0 F 2F 3F….nF Intervalle continu de fréquence [0;fmax]

Spectre discret Spectre continu

Coefficients Sn(f)Transformée de Fourier S(f)

= fonction mathématique continue

Somme discrète de signaux sinusoïdaux

Somme continue de signaux sinusoïdaux

Bande de fréquences principale

Bande de fréquences principale

BFP BFP

f1 f2

Les signaux 48

Valeur moyenne et Puissance moyenne d’un signal

Les signaux 49

Pourquoi s’intéresser à la puissance ?

Un signal est transmis par le biais d’une représentation physique : tension électrique, onde lumineuse, pression acoustique (dans le cas d’un son), etc. …

Cette transmission a un coût : le coût de la transmission est lié à la puissance du signal.

Exemple simple : Dans le cas d’une tension électrique, le coût est lu sur la facture EDF qui facture l’électricité distribuée au kW.h, le kW (kilo-watt) étant l’unité de la puissance du signal électrique.

Les signaux 50

Pourquoi s’intéresser à la puissance ?

De plus, la puissance d’un signal électrique influence l’environnement électromagnétique.

Exemple : La réception d’un message téléphonique sur un téléphone portable perturbe l’affichage sur un écran de TV ou d’ordinateur ; l’utilisation d’un mixer dans la cuisine crée des parasites sur votre télévision…

Toutes ces perturbations ont pour origine la pollution électromagnétique engendrée par le signal émis.

Intuitivement : plus le signal est puissant, plus la perturbation est importante.

Il existe des normes dans tous les domaines de transmission limitant la puissance émise par les équipements électriques afin de préserver un environnement électromagnétique stable, voire de protéger la santé (par ex., réseau WiFi : émission limitée à 10mW à l’intérieur des bâtiments).

Il est donc essentiel de quantifier la puissance d’un signal.

Les signaux 51

Valeur moyenne d’un signal périodique

Soit un signal périodique de période T. On appelle valeur moyenne du signal s, notée <s>, la grandeur

Lorsque <s>=0, on dit que le signal est centré.

T

dttsT1

s

Les signaux 52

Puissance moyenne d’un signal périodique

La puissance moyenne d’un signal périodique s de période T est

C’est la valeur moyenne de s2(t). Elle s’exprime en Watts (W).

Exercice : Montrez que la puissance moyenne du signal vaut A2/2.

Retenez ce résultat bien pratique !

T

2s dtts

T1

P

Ft2sinAts

Les signaux 53

Théorème de Parseval

La puissance moyenne d’un signal s, périodique, s’exprime en fonction des coefficients an(f) et bn(f) de sa décomposition de Fourier.

En fonction des coefficients du spectre amplitude, on obtient :

On remarque que les coefficients de déphasage n n’interviennent pas dans le calcul de la puissance. Logique : un déphasage n’est qu’une translation temporelle !

1n

2n

2n2

0s 2ba

aP

0n

2n2

0s 2S

SP

Les signaux 54

Exemple : puissance moyenne d’un signal carré

Par la formule directe, on obtient Ps = 0,5W. Calculons maintenant la puissance contenue dans les 3

premiers harmoniques.

95% de la puissance du signal est contenue dans les 3 premiers harmoniques !!!

Conclusion : L’information est contenue dans les composantes basse fréquence du signal.

t

s

T

1

0 f

Signal étudié

Sn

0,5

00 F 3F 5F

Spectre amplitude

0,64

0,21 0,13 0,09

W475,02

21,064,05,0

2SS

SP22

223

212

03H

Les signaux 55

Exemple (suite)

Lorsqu’on ne garde que les 3 premiers harmoniques, on déforme le signal, mais on « reconnaît » un signal carré.

Si ce signal carré est le support physique d’une information binaire 1 0 1 0 1 0…, on ne perd pas le contenu informatif du message.

On a transmis suffisamment de puissance du signal d’origine.

s(t) sH3(t)

00

1

T t

Les signaux 56

Puissance moyenne d’un signal non périodique

On montre que

Signification physique : la puissance contenue dans une bande de fréquence est égale à l’aire de la courbe |S2(f)|.

dffSdtts

T1

limP2

T

2

Ts

Puissance du signal dans la bande [F1;F2] = aire sous la courbe

Les signaux 57

Conclusion

Maintenant que l’on a acquis des notions sur la représentation de l’information en général, il va être possible de s’intéresser aux « signaux stratégiques de SRC » que sont

les signaux sonores les signaux vidéo les données

A voir enUE2 – Culture Technologique et Développement MultimédiaM21 – Culture Scientifique et Traitement de l’InformationMatière: Les systèmes audiovisuels et les systèmes de transmission 1 et 2…