Les racines carrées et le théorème de Pythagore … · Le théorème de Pythagore est utilisé...

Les racines carrées et le théorème de Pythagore

Durée suggérée: 4 semaines

PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE28

LES RACINES CARRÉES ET LE THÉORÈME DE PYTHAGORE

Aperçu du module

Orientation etcontexte

Dans le présent module, les élèves verront en détail les carrés parfaits et les racines carrées. Ils établiront la relation entre la longueur des côtés des carrés et les racines carrées, et entre les aires et les nombres carrés parfaits. Les élèves détermineront si des nombres sont des carrés parfaits en se servant de la factorisation première et en examinant les facteurs relatifs aux nombres donnés. Dans le cas d’un nombre qui n’est pas un carré parfait, ils utiliseront diverses méthodes pour en estimer la racine carrée au dixième près. Cela mènera à l’étude du théorème de Pythagore. Les élèves découvriront le théorème au moyen de l’étude dé-taillée et de l’investigation, et ils utiliseront la connaissance déjà acquise des carrés et des racines carrées pour déterminer la longueur des côtés de triangles rectangles.

Pourquoi est-ceimportant?

Le théorème de Pythagore est utilisé tous les jours par des gens de nombreux horizons et il se peut que certains élèves aient déjà été exposés à son utilisation sans en être conscients. Grâce à l’utilisation d’exemples réels pour le faire découvrir et l’étudier sous tous ses aspects, il sera plus facile d’amener les élèves à comprendre cet omniprésent et important théorème.

On peut soutenir que le théorème de Pythagore est l’équation mathématique la plus puissante utilisée dans l’industrie de la construction. Il permet d’agrandir des dessins, de poser des fondations et de créer de parfaits angles droits. On peut s’en servir pour calculer des distances inaccessibles telles que la hauteur d’une montagne, la largeur d’une rivière, la distance jusqu’à la planète Mars ou le diamètre d’un système solaire. Les menuisiers peuvent l’utiliser pour conserver la perpendicularité de leurs travaux. Les dessinateurs s’en servent pour s’assurer de l’exactitude de leurs dessins architecturaux. L’utilisation du théorème est omniprésente et puissante.

PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE 29


Processus mathématiques

Résultatsd’apprentissage

DOMAINE RÉSULTAT D’APPRENTISSAGE

PROCESSUS MATHÉMATIQUES

Le nombre

Démontrer une compréhension des carrés parfaits et des racines carrées (se limitant aux nombres entiers positifs), de façon concrète, imagée et symbolique. [8N1]

C, L, R, T

Le nombre

Déterminer la racine carrée approximative d’un nombre qui n’est pas un carré parfait (se limitant aux nombres entiers positifs). [8N2]

C, CE, L, R, T

La forme et l’espace (la mesure)

Développer et appliquer le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes. [8FE1]

L, R, RP, T, V

[C] Communication [RP] Résolution de problèmes [L] Liens [R] Raisonnement [CE] Calcul mental et estimation [T] Technologie

[V] Visualisation

30 PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE

Résultats d’apprentissage


Stratégies d’enseignement et d’apprentissage

spécifi ques

L’élève devra

Domaine: Le nombre

8N1 Démontrer une

compréhension des carrés parfaits

et des racines carrées (se limitant

aux nombres entiers positifs),

de façon concrète, imagée et

symbolique.

[C, L, R, T]

Les élèves doivent reconnaître que le carré est un quadrilatère à quatre côtés égaux et à quatre angles droits. Ils peuvent aussi reconnaître qu’un polygone de ce type s’appelle un polygone régulier. En 7e année, les élèves ont été exposés à des formules servant à trouver l’aire de certains quadrilatères (carrés, rectangles et parallélogrammes). Ils devraient égale-ment bien connaître les unités d’aire que sont cm2, m2, mm2, etc.

Le carré parfait est le produit de deux facteurs identiques. Il est possible d’associer les carrés parfaits, ou les nombres carrés, expressément à l’aire des carrés. Dans la fi gure ci-après, les élèves doivent être encouragés à visualiser l’aire comme le carré parfait et l’une ou l’autre des dimensions du carré, comme la racine carrée.

5 cm

5 cm

L’aire de ce carré est 25 5 25cm cm cm× = . Par conséquent, le nombre 25 est un carré parfait.

On découvre ici l’utilisation des exposants. Il convient de noter que la notation des exposants n’est pas une composante du programme de la

7e année d’études.25 25= s’exprime sous la forme « 5 à la puissance 2 =

25 » ou « 5 au carré = 25 ». Le nombre 5 s’appelle la base, le nombre 2 s’appelle l’exposant et 52 s’appelle une puissance.

Indicateur de rendement:

8N1.1 Représenter un carré

parfait donné sous forme d’une

région carrée à l’aide de

matériel de manipulation tel

que du papier quadrillé ou des

formes carrées.

31PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE

Stratégies d’évaluation Ressources/Notes


Résultat d’apprentissage général: Développer le sens du nombre

Performance

• Reportez-vous au site Web du gouvernement de T.-N.-L. pour trouver la section intitulée « Perfect Square Investigation » (investigation des carrés parfaits). Demandez aux élèves de suivre les instructions qui leur permettront de découvrir les quatre premiers carrés parfaits.

www.ed.gov.nl.ca/edu/k12/curriculum/documents/mathematics/index.html#gr8support (8N1.1)

• Demandez aux élèves de modéliser des carrés parfaits à l’aide de carreaux carrés à deux dimensions et de trouver le carré parfait et ses facteurs. (8N1.1)

Technologie/Ressources Web

• Jouez au jeu Trouver les carrés assortis (Find the Matching Squares), au lien suivant http://www.quia.com/mc/65631.html (8N1.1)

Chenelière Mathématiques 8

Leçon 1.1: Les nombres carrés et

les représentations de l’aire

GE* ProGuide: p. 4-8, FR

1.15

CD-ROM: FR 1.24

ME: p. 6-10

* Légende

GE: Guide d’enseignement

FR: Feuilles reproductibles

ME: Manuel de l’élève





spécifi ques

L’élève devra

Domaine: Le nombre

8N1 Démontrer une





symbolique.

[C, L, R, T]

(suite)


Le papier quadrillé peut lui aussi servir à défi nir les carrés parfaits. Don-nez aux élèves une aire fi xe et demandez-leur de construire autant de régions rectangulaires que possible.

Prenons une aire de 16 2cm .

Les élèves doivent décider si certains des rectangles sont des carrés. Il est alors possible de déterminer si le nombre est un carré parfait. Continuez à faire le lien entre les carrés parfaits et les racines carrées en encourageant les élèves à visualiser l’aire comme le carré parfait et les dimensions, comme la racine carrée.

Les exemples ne doivent pas se limiter aux carrés parfaits. Demandez aux élèves de faire l’exercice également pour les nombres qui ne sont pas des carrés. Cela les aidera à éviter d’adopter le point de vue erroné selon lequel tous les nombres sont des nombres carrés.

La factorisation première est une méthode utilisée pour trouver la racine carrée des carrés parfaits. Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui a exactement deux facteurs, 1 et lui même. Un nombre composé est un nombre entier supérieur à 1 qui a plus de deux facteurs. Chaque nombre composé peut s’écrire comme le produit de nombres premiers exactement d’une seule façon (quand on ne tient pas compte de l’ordre des facteurs). Ce produit s’appelle la factorisation première du nombre.

Prenons la factorisation première pour déterminer si oui ou non 36 est un carré parfait. On peut se servir d’un arbre de facteurs pour énumérer les facteurs premiers.

Comme 36 2 3 2 3= ⋅ ⋅ ⋅ nous pouvons regrouper les facteurs en deux

groupes égaux, ce qui donne ( ) ( )36 2 3 2 3= ⋅ × ⋅

6 6= × . 36 6∴ =

À suivre

8N1.2 Déterminer si un

nombre donné est ou n’est pas

un carré parfait à l’aide de

matériel de manipulation et des

stratégies tels que des formes

carrées, du papier quadrillé ou

la mise en facteurs premiers et

expliquer pourquoi.








Leçon 1.2: Les carrés et les racines

carrées

GE: ProGuide: p. 4-8, 9-14

CD-ROM: FR 1.24

ME: p. 6-10, 11-16

Papier et crayon

• Créez la liste des facteurs relative à chacun de ces nombres. Décidez si le nombre initial est un carré parfait et, dans l’affi rmative, trouvez la racine carrée.

(i) 2 (ii) 5 (iii) 9 (iv) 12 (v) 16 (vi) 20 (vii) 81 (8N1.2)

Interview/Journal

• 361 n’a que trois facteurs : 1, 19 et 361. Expliquez comment on peut utiliser cette information pour montrer que 361 est un carré parfait.

(8N1.2)





spécifi ques

L’élève devra

Domaine: Le nombre

8N1 Démontrer une





symbolique.

[C, L, R, T]

(suite)


Ou bien, puisque chacun des facteurs premiers distincts survient un nombre pair de fois, il est possible de disposer ces facteurs par paires.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

36 2 3 2 3 2 2 3 3

36 2 2 3 3

36 2 2 3 3

36 2 3

36 6

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ × ⋅

∴ = ⋅ × ⋅

= ⋅ × ⋅

= ×

=

La méthode de la factorisation première peut aussi servir à démontrer qu’un nombre n’est pas un carré parfait. Dans l’arbre de facteurs illustré ci-après, remarquez qu’aucun des facteurs premiers de 280 n’est présent un nombre pair de fois.

280 2 2 2 5 7= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Dans le cas d’un carré parfait, chaque facteur premier distinct survient un nombre pair de fois.

Les élèves devraient être en mesure de reconnaître chacun des carrés par-faits de 1 à 144 inclusivement. Cette reconnaissance automatique sera très utile au moment de déterminer si les résultats qui incluent les ra-cines carrées trouvées à l’aide d’une calculatrice sont vraisemblables. Elle sera également très utile dans le cadre de travaux subséquents exigeant l’utilisation de l’algèbre et de la théorie des nombres. Il est également très utile d’utiliser des modèles pour déterminer que puisque la racine carrée de 25 est 5, celle de 2 500 est 50.

8N1.2 Déterminer si un

nombre donné est ou n’est pas

un carré parfait à l’aide de

matériel de manipulation et des

stratégies tels que des formes

carrées, du papier quadrillé ou

la mise en facteurs premiers et

expliquer pourquoi. (suite)









carrées

GE: ProGuide: p. 4-8, 9-14

CD-ROM: FR 1.24

ME: p. 6-10, 11-16

Paper and Pencil

• Reportez-vous au site Web du gouvernement de T.-N.-L pour trouver un exemplaire de la méthode de factorisation première servant à trouver les racines carrées (Prime Factorization Method for Finding Square Roots).

www.ed.gov.nl.ca/edu/k12/curriculum/documents/mathematics/index.html#gr8support

(8N1.2)

Interview/Journal

• Expliquez pourquoi la méthode de factorisation première ne peut être utilisée pour trouver la racine carrée d’un nombre entier dans le cas des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits. (8N1.2)

• Y a-t-il un carré parfait entre 900 et 961? Expliquez. Utiliseriez-vous des facteurs premiers pour déterminer si 900 est un carré parfait? Pourquoi oui ou pourquoi non? (8N1.2)





spécifi ques

L’élève devra

Domaine: Le nombre

8N1 Démontrer une





symbolique.

[C, L, R, T]

(suite)


8N1.3 Déterminer les facteurs

d’un carré parfait donné et

expliquer pourquoi un de ses

facteurs est la racine carrée

tandis que les autres ne le sont

pas.

Une racine carrée est un nombre qui est égal à une valeur donnée lorsqu’il est multiplié par lui-même. Chaque carré parfait a une racine carrée positive et une racine carrée négative. Cependant, parce que le présent résultat d’apprentissage se limite aux nombres entiers, l’objectif est la racine carrée principale (positive). Les élèves ne feront pas con-naissance avec les racines carrées négatives dans le présent cours, mais les instructions mentionnent « une » racine carrée plutôt que « la » racine carrée, parce que la valeur positive n’est pas la seule racine carrée d’un nombre.Les élèves ont déterminé les facteurs d’un nombre au cours des années précédentes au moyen d’essais systématiques et de l’application des règles de divisibilité. Pour trouver une racine carrée en utilisant une liste de facteurs, disposez d’abord les facteurs par ordre ascendant. Prenons les facteurs de 36, un carré parfait. Remarquez le nombre impair de facteurs. Le facteur du milieu est la racine carrée.

1, 2, 3, 4, �

, 9, 12, 18, 36

Le facteur du milieu

Il se peut que cela demande de plus amples explications.

Comme le chiff re 6 ne peut être apparié à un autre facteur, il est la ra-

cine carré de 36. Cela s’écrit sous la forme de 36 6= . Cette notation,

x , s’appelle la notation des radicaux et elle est nouvelle pour les élèves de 8e année. Il faut faire découvrir à ces derniers le symbole de la racine

carrée, , qui représente une racine carrée positive.

La méthode peut aussi servir à établir qu’un nombre n’est pas un carré parfait. Après avoir examiné les facteurs d’un nombre donné, les élèves devraient conclure qu’un nombre qui a un nombre pair de facteurs n’est pas un nombre carré. Par exemple, les facteurs de 35 sont 1, 5, 7, 35. Comme aucun des facteurs ne se multiplie par lui-même pour donner 35, il ne s’agit pas d’un carré parfait.

À suivre





Papier et crayon

• Dresser la liste des facteurs de chaque carré parfait, que vous utilis-erez ensuite pour trouver les racines carrées.

(i) 9 (ii) 25 (iii) 81 (iv) 169

(v) 36 (vi) 16 (vii) 64 (8N1.3)

Interview/Journal

• Les facteurs de 81 sont 1, 3, 9, 27 et 81. Expliquez par des mots et/ou des diagrammes la façon de déterminer si 81 est un carré parfait et, dans l’affi rmative, lequel des facteurs est la racine carrée de 81. (8N1.3)


Leçon 1.2: Les carrés et les racines carrées

GE: ProGuide: p. 9-14

CD-ROM: FR 1.25

ME: p. 11-15





spécifi ques

L’élève devra

Domaine: Le nombre

Les méthodes dont il a été question précédemment sont des moyens effi caces de trouver les carrés parfaits et d’en déterminer la racine carrée. Fait à noter, aucune de ces méthodes ne requiert l’utilisation d’une calculatrice. On peut parler de l’utilisation d’une calculatrice, mais l’objectif devrait être les techniques non technologiques mentionnées dans le résultat d’apprentissage.

En bout de ligne, en se servant des diverses techniques, les élèves devraient être en mesure de formuler des énoncés tels que :

Il est opportun ici de parler des opérations inverses. Examinez les raisons pour lesquelles la mise au carré d’un nombre est le contraire de la découverte de la racine carrée de ce nombre. Les élèves devraient être en mesure de reconnaître que la mise au carré d’un nombre et la déter-mination d’une racine carrée sont des opérations inverses. Demandez-leur de penser à d’autres opérations inverses (addition et soustraction, multiplication et division, etc.). Le fait d’établir une relation entre cela et des situations non mathématiques peut aider les élèves à acquérir une meilleure compréhension des opérations inverses. Par exemple, lorsque quelqu’un vous téléphone, il ou elle cherche votre numéro dans un bot-tin téléphonique (recherche du numéro de téléphone correspondant au nom). Lorsque la fonction d’identifi cation de l’appelant affi che le nom de la personne qui appelle, la fonction a eff ectué l’opération inverse (recherche du nom correspondant au numéro).

49 = 7 ou 72 = 49

100 = 10 ou 102 = 100

144 = 12 ou 122 = 144

49 = 7 ou 72 = 49

100 = 10 ou 102 = 100

144 = 12 ou 122 = 144

8N1 Démontrer une





symbolique.

[C, L, R, T]

(suite)

Indicateurs de rendement:

8N1.4 Déterminer la racine

carrée d’un carré parfait donné

et la noter de façon symbolique.

8N1.5 Déterminer le carré

d’un nombre donné.







carrées

Leçon 1.3: Déterminer la

longueur de segments de droite

GE: ProGuide: p. 9-14, 15-19, FR 1.16

CD-ROM: FR 1.25, 1.26

ME: p. 11-13, 15-16, 17-21

Mathématiques mentales

• Voici une suite numérique fondée sur des carrés de nombres. Pouvez-vous la compléter? (8N1.5)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 1 3 1

3 2 4 1

4 3 5 1

5 4 6 1

6

7

8

9

10

= × +

= × +

= × +

= × +

=

=

=

=

=

Résolution de problèmes

• Hélène veut faire poser une grande fenêtre panoramique dans le sé-jour de sa nouvelle maison. La fenêtre doit être carrée et l’aire, de 49 pieds carrés. Quelle devrait être la longueur de chacun des côtés de la fenêtre?

(8N1.4)

• La longueur du côté d’un carré est de 11 cm. Quelle est l’aire du carré? (8N1.5)

• Un portrait miniature de Danny Williams est carré et son aire est de 196 centimètres carrés. Quelle est la longueur de chaque côté du portrait?

(8N1.4)





spécifi ques

L’élève devra

Domaine: Le nombre

À mesure que la discussion des carrés parfaits progresse, les élèves devraient remarquer que plus les nombres augmentent, plus les nombres carrés sont espacés. C’est à dire qu’il y a de nombreux nombres entiers qui ne sont pas des carrés parfaits. Développez la notion selon laquelle certains nombres ont une racine carrée approximative qui est une approximation décimale située entre deux racines carrées de nombres entiers. Par exemple, la racine carrée de 12 se situe entre 3 et 4, parce

que 12 est entre 23 et 24 . Il est important de souligner la diff érence

entre une racine carrée exacte et une approximation décimale.

La méthode de droite numérique est un modèle effi cace qui permet de déterminer une racine carrée de façon approximative. Ou bien, pre-nons l’approche suivante : Pour estimer 55 au dixième près, les élèves devraient reconnaître que 55 se situe entre les carrés parfaits 49 et 64. Par conséquent la racine carrée de 55 doit être entre 7 et 8. Comme le nombre 55 est environ au tiers du chemin entre 49 et 64, on peut estimer que sa racine carrée est environ au tiers du chemin entre 7 et 8. La valeur de 7,3 est donc une bonne approximation de 55 .

Van de Walle (2006 p.150) présente cette méthode de manière visuelle.

Une discussion semblable à celle qui se trouve plus haut mènera à établir

la valeur approximative de 55 à 7,3.

On pourrait également demander aux élèves de trouver un nombre entier dont la racine carrée se situe entre 7 et 8.

2 2

7 8

7 8

49 64

x

x

x

< <

< <

< <

La racine carrée de tout nombre entier entre 49 et 64 se situe entre 7 et 8. Il n’y a pas qu’une seule bonne réponse.

En se servant de suites et du calcul par estimation, les élèves devraient également reconnaître que la racine carrée de 3 200 se situe entre 50 et 60, mais plus près de 60.

8N2 Déterminer la racine

carrée approximative d’un nom-

bre qui n’est pas un carré parfait

(se limitant aux nombres entiers

positifs). [C, CE, L, R, T]


8N2.1 Estimer la racine carrée

d’un nombre donné qui n’est

pas un carré parfait en utilisant

les racines de carrés parfaits

comme repères.

8N2.2 Identifier un nombre

entier dont la racine carré se

situe entre deux nombres

donnés.






Leçon 1.4: Estimer des racines

carrées


CD-ROM: FR 1.27

ME: p. 22-27

Interview/Journal

• Le nombre entier dont la racine carrée est d’environ 5,66 est-il plus proche de 25 ou de 36? Comment le savez-vous? (8N2.1)

• Dans vos propres mots, expliquez comment vous estimeriez la racine carrée de 75. (8N2.1)

• Mathieu détermine en les mesurant que chacun des côtés du potager de sa mère mesure 3,2 m. Expliquez comment Mathieu pourrait raisonnablement estimer l’aire du potager. (8N2.2)

Discussion collective

• Inscrivez des paires de nombres sur le tableau. Demandez aux élèves d’utiliser la stratégie et de trouver un nombre entier dont la racine carrée se situe entre deux nombres donnés. Demandez aux élèves d’inscrire leur réponse sur une carte, ou sur du papier, qu’ils tiendront en l’air tous ensemble en même temps. Parlez des raisons pour lesquelles les réponses ne sont pas toutes identiques. (8N2.2)





spécifi ques

L’élève devra

Domaine: Le nombre

Les calculatrices off rent un moyen effi cace d’établir la valeur approximative d’une racine carrée. Elles off rent aussi une bonne occasion de souligner la diff érence entre les valeurs exactes et les valeurs approximatives. Les élèves devraient conclure que lorsque la racine carrée est une décimale terminée, le nombre initial est un carré parfait.

Avec une calculatrice, il est possible de déterminer la val-eur approximative d’une racine carrée à tout nombre de décimales requis, à l’aide des stratégies d’arrondi.

87 9.3

87 9.33

87 9.327

≈

≈

≈

Nota: ≈ signifi e « approximativement égal à ».

8N2 Déterminer la racine

carrée approximative d’un nom-

bre qui n’est pas un carré parfait

(se limitant aux nombres entiers

positifs). [C, CE, L, R, T]

(suite)


8N2.3 Déterminer la racine

carrée approximative d’un

nombre donné qui n’est pas un

carré parfait à l’aide de la

technologie, telle qu’une

calculatrice ou un ordinateur.

8N2.4 Expliquer pourquoi la

racine carrée d’un nombre

déterminé à l’aide d’une

calculatrice peut être une

approximation.






Leçon 1.4: Estimer des racines

carrées

Technologie: Investiguer des

racines carrées à l’aide d’une

calculatrice


CD-ROM: FR 1.27

ME: p. 29

Papier et crayon

• Utilisez une calculatrice pour déterminer la valeur approxima-tive des racines carrées qui suivent et trouvez quels sont ceux des nombres sous les signes de radical qui sont des carrés parfaits.

. 1600 . 1681 . 1212 . 1000 . 2468i ii iii iv v

(8N2.3)

Journal/Interview

• Stéphane s’est servi de sa calculatrice pour trouver la racine carrée de 90 et de 169. Les réponses ont été respectivement :

Ces réponses sont-elles exactes? Expliquez votre raisonnement. (8N2.4)

• Émilie voulait trouver l’aire d’un rectangle de 9 cm de long. Elle savait que la largeur du rectangle était égale à la longueur des côtés

d’un carré adjacent. L’aire du carré était 238cm . Pour trouver la longueur des côtés du carré, elle a utilisé sa calculatrice de la façon

suivante: 38 6,2= L’aire du rectangle est donc9cm x 6,2cm = 55,8cm2 . André a résolu le même problème de la

façon suivante: 38 9 55,5× = cm2 . Expliquez la diff érence entre les résultats obtenus. (8N2.3, 8N2.4)





spécifi ques

L’élève devra

Domaine: La forme et l’espace (la mesure)

Pythagore est né à la fi n du VIe siècle avant Jésus-Christ, sur l’île de Samos. Philosophe grec et chef religieux, il fut responsable d’importants progrès en mathématiques, en astronomie et dans la théorie de la musique. Pythagore est aussi célèbre pour avoir prétendument payé son premier élève. Irrité parce que personne ne voulait écouter ses enseigne-ments, il décida « d’acheter » un élève.

On croit que les Égyptiens et les autres peuples anciens utilisaient la règle 3-4-5 dans le domaine de la construction. En Égypte, Pythagore a étudié avec les ingénieurs qui ont construit les pyramides et auxquels on avait donné à l’époque le nom de « tendeurs de cordes ». Ceux-ci possé-daient une corde comportant 12 nœuds à intervalles réguliers. Quand la corde était fi xée au sol à l’aide de fi ches suivant les dimensions 3-4-5, le résultat était un triangle rectangle. Cela permettait de poser les fonda-tions des bâtiments avec précision. Pythagore a généralisé cette relation et c’est à lui que revient le crédit d’en avoir fait la première démonstra-tion géométrique.

La relation pythagoréenne stipule que 2 2 2c a b= + où a, b et c représentent les côtés d’un triangle rectangle. Le plus long côté, ou l’hypoténuse, est c et les autres côtés sont a et b. Une interprétation de l’aire stipule que si on fabrique un carré à partir de chaque côté d’un triangle rectangle, la somme des aires des deux carrés les plus petits sera égale à l’aire du carré fabriqué à partir du côté le plus long du triangle.

2 2 2a b c+ =

À suivre

8FE1 Développer et appliquer

le théorème de Pythagore pour

résoudre des problèmes.

[L, R, RP, T, V]


8FE1.1 Modéliser et expliquer

le théorème de Pythagore, de

façon concrète et imagée ou à

l’aide de la technologie.




Résultat d’apprentissage général: Résoudre des problèmes à l’aide de mesures directes ou indirectes


Leçon 1.5: Le théorème de Py-

thagore

Technologie: Vérifi er le théorème

de Pythagore


ME: p. 31-38

Investigation

• Reportez-vous au site Web du gouvernement de T.-N.-L. pour trouver la feuille de travail Developing Pythagorean Activity Worksheet (élaboration d’une activité pythagoréenne).

www.ed.gov.nl.ca/edu/k12/curriculum/documents/mathematics/index.html#gr8support (8FE1.1)

• Un moyen simple d’illustrer la relation pythagoréenne consiste à donner à des groupes d’élèves divers triangles rectangles dont la longueur de chaque côté est un nombre entier, tels que le triangle

3 4 5cm cm cm− − , le triangle 6 8 10cm cm cm− − , ou le triangle

5 12 13cm cm cm− − (ou demandez aux élèves de dessiner ces tri-angles). Demandez aux élèves de découper des carrés dans du papier quadrillé centimétrique de manière à ce que les côtés de chaque carré aient la même longueur que les côtés de chaque triangle. Placez les carrés sur les côtés du triangle de la façon illustrée. Trouvez l’aire de chaque carré. Demandez aux élèves ce qu’ils remarquent. (8FE1.1)





spécifi ques

L’élève devra


Une des nombreuses preuves du théorème de Pythagore est donnée ici.

Fig.1 Fig.2

Examinez l’espace blanc délimité par les quatre triangles rectangles

isométriques dans la fi gure 1. L’aire de cet espace est 2c . Remarquez aussi que le diagramme de la fi gure 1 a les mêmes dimensions que celui de la fi gure 2. Par conséquent, l’aire totale est la même dans les deux cas. Remarquez ensuite que quand les quatre triangles rectangles isométriques de la fi gure 1 sont disposés de la façon illustrée dans la fi gure 2, l’espace blanc intérieur se divise en deux régions carrées

distinctes dont les aires sont 2a et 2b . Cependant, parce qu’ils sont identiques, les quatre triangles recouvrent la même surface, peu importe la façon dont ils sont disposés, ce qui signifi e que l’espace blanc emprisonné doit lui aussi être le même dans chaque diagramme. De cela,

on peut conclure que 2 2 2a b c+ = .

Il est possible d’étudier plus à fond la relation pythagoréenne à l’aide de casse têtes chinois tangram. Demandez aux élèves de placer l’un des petits triangles dans le centre du papier et d’en tracer le contour. Identifi ez l’hypoténuse par la lettre c et les côtés (les cathètes), par les lettres a et b. Utilisez des morceaux de casse-tête pour former un carré parfait le long de chaque côté du triangle. Tracez le contour des carrés. Les élèves devraient déterminer que deux petits triangles ont été utilisés sur les côtés a et b et qu’il a fallu quatre petits triangles pour former le carré le long du côté c. Parlez de la façon dont les carrés parfaits des côtés a et b se sont combinés pour former un carré parfait le long du côté c. Répétez l’opération à l’aide du triangle moyen, puis de nouveau à l’aide du gros triangle. Demandez aux élèves de comparer les trois dessins. Parlez de la relation entre les aires des carrés le long de chaque côté du triangle rectangle et l’aire des carrés le long de l’hypoténuse. Les élèves devraient conclure que la somme des aires des carrés le long des côtés est égale au carré de l’hypoténuse.




[L, R, RP, T, V]

(suite)


8FE1.1 Modéliser et expliquer

le théorème de Pythagore, de

façon concrète et imagée ou à

l’aide de la technologie.

(suite)







thagore

Technologie: Vérifi er le théorème

de Pythagore


ME: p. 31-38

Technologie

• On peut trouver une preuve animée de ce théorème à l’adresse http://www.usna.edu/MathDept/mdm/pyth.html. Les utilisateurs de Smart Board peuvent trouver une preuve animée à l’adresse www.smarttech.com. (8FE1.1)





spécifi ques

L’élève devra


Chaque fois qu’un triangle a un angle droit et deux côtés de longueur connue, le théorème de Pythagore devrait venir à l’esprit des élèves. Ces derniers devraient faire les expériences qui demandent de trouver la longueur de l’hypoténuse. Les situations de ce genre ne devraient pas poser problème. Les élèves devraient également connaître des situations dans lesquelles l’hypoténuse et l’un des côtés sont connus, et l’autre côté doit être trouvé. Il devra y avoir ici une certaine discussion. Il est possible, mais non nécessaire, d’utiliser un nouvel arrangement de la formule dans cette situation. Pour trouver un côté manquant, un cathète, les élèves peuvent réarranger la formule avant de procéder à la substitution de valeurs.

Qu’un nouvel arrangement de la formule soit utilisé en premier, ou que les longueurs de côté soient substituées dans le théorème de Pythagore immédiatement, la procédure réitère le concept de préservation de l’égalité que les élèves ont découvert en 7e année d’études.

Il est important de présenter des diagrammes de triangles rectangles dans diverses orientations. Les élèves devraient reconnaître l’hypoténuse comme étant le côté opposé à l’angle droit, peu importe l’orientation de la fi gure. Ils devraient également reconnaître que l’hypoténuse est le plus long côté du triangle. Bien que l’utilisation de la technologie soit admis-sible, les élèves devraient être encouragés à essayer de trouver un côté inconnu sans se servir d’une calculatrice. Cela aidera à développer les qualités intellectuelles et la notion des nombres.

Il existe de nombreuses occasions d’utiliser la relation pythagoréenne. Les cas d’utilisation types incluent la découverte de la distance entre deux points sur un plan des coordonnées lorsque ces points ne sont pas verticaux ou horizontaux l’un par rapport à l’autre, la découverte de la hauteur qu’une échelle peut atteindre et celle de la longueur de la diago-nale d’un carré ou d’un rectangle.




[L, R, RP, T, V]

(suite)


8FE1.2 Déterminer la

longueur du troisième côté d’un

triangle rectangle dont les deux

autres côtés sont connus pour

résoudre un problème.

(cathète1)2 + (cathète2)

2 = (hyp)2

(cathète1)2 + (cathète2)

2 - (cathète2)2 = (hyp)2 - (cathète2)

2

(cathète1)2 = (hyp)2 - (cathète2)

2







thagore

Leçon 1.6: Explorer le théorème

de Pythagore

Leçon 1.7: Utiliser le théorème de

Pythagore

GE: ProGuide: p. 29-34, 44-49, FR 1.19, 1.21

CD-ROM: FR 1.28, 1.30

ME: p. 31-36, 39-51

Résolution de problèmes

• Un avion vole à l’altitude de 5 000 m. L’aéroport est à 3 kilomètres d’un point au sol qui se trouve directement sous l’avion. À quelle distance l’avion est-il de l’aéroport? (8FE1.2)

• Étienne a un potager de forme rectangulaire dans la cour arrière. Il

établit que l’un des côtés du potager mesure 7 m et que la diagonale est de 11 m. Quelle est la longueur de l’autre côté du potager? (Con-seil : Dessinez un diagramme). (8FE1.2)

• Les dimensions d’un cadre rectangulaire sont de 30 by 50cm cm . Un menuisier veut poser une contre-fi che en diagonale entre deux angles opposés du cadre. Quelle devrait être la longueur de la contre-fi che? (8FE1.2)

• Une platebande triangulaire est créée à l’endroit où deux allées se croisent à angle droit. La platebande se prolonge de 2 m le long d’une des allées et de 1,5 m le long de l’autre.

(i) Serge veut poser une bordure tout autour du jardin. Quelle sera la longueur de bordure nécessaire?

(ii) Étienne souhaite pulvériser un pesticide sur la platebande. Il a besoin de connaître l’aire du jardin pour déterminer le format du contenant de pesticide qu’il doit acheter. Quelle est l’aire du jardin? (8FE1.2)

Enrichissement

• Désignez comme une unité la longueur des côtés du carré formé par les sept morceaux de casse-tête chinois tangram. À l’aide du théorème de Pythagore, déterminez la longueur de tous les côtés de chacun des sept morceaux de casse tête.

(8FE1.2)





spécifi ques

L’élève devra


Les élèves devraient être en mesure d’utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer si trois longueurs de côté données sont, ou ne sont pas, les côtés d’un triangle rectangle.

L’inverse du théorème de Pythagore stipule que quand les longueurs

a, b et c d’un triangle sont telles que 2 2 2a b c+ = , on est en présence d’un triangle rectangle. On ne doit pas insister sur le fait d’appeler cette idée l’inverse d’un théorème. Les élèves ont rarement été confrontés à la situation dans laquelle il est possible de soutenir une idée logiquement dans les deux directions. Il devrait y avoir une certaine discussion qui permettra aux élèves de se sentir à l’aise avec l’idée que « si A mène à B, alors parfois B mène à A ». L’objectif ici doit être de faire comprendre aux élèves que si le théorème de Pythagore fonctionne pour un triangle donné, il s’agit alors d’un triangle rectangle.

Un triplet pythagoréen se compose de trois entiers naturels, a, b et c, de

sorte que 2 2 2a b c+ = . On écrit couramment ce triplet sous la forme (a, b, c), et un exemple bien connu est (3, 4, 5). Si (a, b, c) est un triplet pythagoréen, il en va alors de même pour (ka, kb, kc) dans le cas de tout entier naturel (nombre entier positif ) k. Par exemple, comme (3, 4, 5) est un triplet, c’est également le cas de (6, 8, 10) et ainsi de suite.

Les triangles rectangles dont les côtés ne sont pas des entiers naturels ne forment pas de triplet pythagoréen.

Par exemple, le triangle dont les côtés sont a = b = 1 et 2c = est

rectangulaire, mais ( )1,1, 2 n’est pas un triplet pythagoréen parce que

2 n’est pas un entier naturel.

Certains triplets pythagoréens dans lesquels c < 100 sont indiqués ci-des-sous:

( 3, 4, 5) ( 5, 12,13) ( 7, 24,25) ( 8, 15,17)

( 9,40,41) (11,60,61) (12,35,37) (13,84,85)

(16,63,65) (20,21,29) (28,45,53) (33,56,65)




[L, R, RP, T, V]

(suite)


8FE1.3 Expliquer, à l’aide

d’exemples, le fait que le

théorème de Pythagore

s’applique uniquement aux

triangles rectangles.

8FE1.4 Déterminer si un

triangle donné est un triangle

rectangle on non à l’aide du

théorème de Pythagore.

8FE1.5 Résoudre un problème

donné comportant des triples de

Pythagore, ex. : 3, 4 et 5 ; 5,

12 et 13.







de Pythagore


CD-ROM: FR 1.29

ME: p. 39-45

Papier et crayon

• Déterminez si chaque triangle aux côtés de longueur donnée est un triangle rectangle. (8FE1.4)

(i) 9 , 12 , 15cm cm cm

(ii) 16 , 29 , 18mm mm mm

(iii) 9 , 7 , 13m m m

Investigation

• Dessinez des triangles autres que des triangles rectangles. Mesurez la longueur des côtés et vérifi ez si le théorème de Pythagore fonctionne dans le cas de ces triangles. (8FE1.3)

Journal

• Les menuisiers utilisent souvent un triangle 3-4-5 pour déterminer

si des coins sont à angle droit ( )90° . Expliquez en vos propres mots pourquoi cette méthode fonctionne. (8FE1.5)

Enrichissement

• Comment le théorème de Pythagore pourrait-il servir à déterminer si ces étagères sont parallèles? (8FE1.4)

• Reportez-vous au site Web du gouvernement de T.-N.-L. pour trou-ver l’activité « Finding Pythagorean Triples » (découverte de triplets pythagoréens). L’activité « Va plus loin » (« Take It Further ») de la page 45 du manuel de l’élève est liée à cette feuille de travail. www.ed.gov.nl.ca/edu/k12/curriculum/documents/mathematics/index.html#gr8support (8FE1.5)


de Pythagore

GE: ProGuide: p. 37-43, FR 1.9

CD-ROM: FR 1.29

ME: p. 41-42, 44-45

PROGRAMME DE MATHÉMATIQUES 8e ANNÉE - VERSION PROVISOIRE52


Les racines carrées et le théorème de Pythagore … · Le théorème de Pythagore est utilisé...

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